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El Producto escalar para “las comunicaciones” (parte 1)
Luca Mar9no Apuntes no revisados
Cuidado!
Producto Escalar
• El “producto escalar”, también conocido como “producto interno” o “producto punto”, es una operación matemá9ca definida sobre dos elementos cuyo resultado es un número (un escalar).
Producto Escalar (def. genérica)
• El producto escalar entre 2 genéricos elementos x y z, 9ene las siguientes propiedades:
€
< x,x > ≥ 0
€
< x,z >= (< z,x >) *
€
< ax + by,z >= a < z,x > +b < y,x >
1. Definido Posi9vo
2. Hermi9cidad (simetría en campo real)
3. Linealidad
€
< x,x >= 0 Si y solo si x=0 El producto escalar dado 2 elementos nos proporciona un numero, un escalar.
€
< x,z >= es un valor escalar
Producto Escalar entre vectores
• Consideremos 2 vectores de dimensión N
• Un posible producto escalar en este caso es
€
x = [a1,a2,....aN ] z = [b1,b2,....bN ]
€
< x , z >= aibi
i=1
N
∑ = a1b1 + a2b2 + ....+ aNbN
€
< x , x >=
x 2 = ai2
i=1
N
∑€
ai y bi valores reales
€
< x , z >= aibi
*
i=1
N
∑
€
valores complejos
Producto Escalar entre vectores
• Consideremos ahora 2 vectores de dimensión 2
€
x = [a1,a2] z = [b1,b2]
€
< x , z >= a1b1 + a2b2
€
x
€
z
€
a1€
a2
€
b1€
b2
Producto Escalar entre vectores
• Hay otra manera de expresarlo
€
x = [a1,a2] z = [b1,b2]
€
< x , z >= a1b1 + a2b2 =
€
x
€
z
€
< x , z >=
x z cosϑ
€
x = a12 + a2
2
z = b12 + b2
2 €
ϑ
Por esto si los vectores son ortogonales
€
< x , z >= 0
€
(cosϑ = 0)
€
x
€
z
€
ϑ = π2
€
x cosϑ
€
x
€
z
€
ϑ
€
z cosϑ
Producto Escalar con un vector unitario
• Si un vector es unitario por ejemplo
• En este caso el producto escalar coincide con la proyección de sobre donde .
€
x
€
z
€
< x , z >=
x ⋅ 1⋅ cosϑ =
= x cosϑ
€
z =1
€
ϑ
€
x cosϑ
€
z =1
€
z
€
x
Producto Escalar con vectores unitarios (base ortonormal)
• Los ejes en un sistema de referencia están definidos por vectores unitarios
• En este caso el producto escalar de con y coincide con las coordenadas del punto correspondiente a .
€
< x , v 1 >=
x ⋅ 1⋅ cosϑ1 =
= x cosϑ1 = a1
< x , v 2 >=
x ⋅ 1⋅ cosϑ2 =
= x cosϑ2 = a2
€
v 1 =1
€
< v 1, v 2 >= 0
€
x
€
a1€
a2
€
1€
1
€
v 2
€
v 1
€
ϑ1
€
ϑ2
€
x
€
v 1
€
v 2
€
x
€
< x , v 1 >= a1
< x , v 2 >= a2
€
v 2 =1
Base ortonormal
• Este concepto es muy importante, pues, lo vamos a evidenciar.
• Dada una base ortonormal (vectores ortogonales y unitarios)
• Un vector genérico se puede expresar así:
• Lo repe9mos porque es un concepto muy importante.
€
x
€
a1€
a2
€
1€
1
€
v 2
€
v 1
€
ϑ1
€
ϑ2
€
< x , v 1 >= a1
< x , v 2 >= a2
€
v 1 =1
€
< v 1, v 2 >= 0
€
v 2 =1
€
x = a1,a2( )
€
x = < x , v 1 >,< x , v 2 >( )
Producto Escalar entre vectores infinitos
• Se podría incluso pensar a unos vectores infinitos
• Y claramente el producto escalar pasará a ser una serie (suma infinita)
• En este caso se pone el problema de convergencia de la serie. Es decir, en general, esta suma podría divergir a infinito. La convergencia dependerá si la “señales discretas” y 9enen “energía finita”.
€
N →+∞
€
x = [a1,a2,a3,....,ai,...] z = [b1,b2,b3,....,bi,...]
€
< x , z >= aibi
i=1
∞
∑ = a1b1 + a2b2 + ....+ aibi + ....
Pensar a señales discretas infinitas (un tren de deltas infinito).
€
x
€
z
Producto Escalar entre matrices
• Para evidenciar que el producto escalar puede ser definido sobre elementos de diferente 9po, como ejemplo damos una la definición de un producto escalar entre matrices llamado “producto interno de Frobenius”.
• Dada 2 matrices A, B de dimensiones
• El producto escalar de Frobenius está definido como €
n × m
€
A = aij[ ]
€
B = bij[ ]
€
i =1,....,nj =1.....,m
€
< A,B >= tr(ABT ) = tr(BAT ) = aijj=1
m
∑ biji=1
n
∑ = aiji=1
n
∑ bijj=1
m
∑
Producto Escalar entre matrices
Claramente, este producto escalar respecta las propiedades definidas en las primeras trasparencias.
• Ejemplo
€
A =1 6 37 1 4⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
< A,B >=1⋅ 8 + 6⋅ 2 + 3⋅ 1+ 7⋅ 0 +1⋅ 5 + 4⋅ 9 = 64
€
B =8 2 10 5 9⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
ABT =23 5762 41⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
Solo para comprobar la definición podemos calcular
€
BAT =23 6257 41⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
tr(ABT ) = 23+ 41 = 64
€
tr(BAT ) = 23+ 41 = 64
Producto Escalar entre funciones (señales con9nuas)
• Ahora consideraremos señales de energía finita, es decir
• En este caso el producto escalar está definido como €
x(t) 2dt < +∞−∞
+∞
∫
€
x(t)2dt < +∞−∞
+∞
∫
Para señales a valores complejos
Que se reduce a
para señales a valores reales
€
< x(t),z(t) >= x(t)z * (t)dt−∞
+∞
∫
€
< x(t),z(t) >= x(t)z(t)dt−∞
+∞
∫ €
señales a valorescomplejos
€
señales a valores reales
Función de correlación como Producto Escalar
• Para señales de energía finita,
• La correlación entre 2 señales está definida como
• Esto es claramente un producto escalar entre una señal y la otra desplazada,
€
x(t) 2dt < +∞−∞
+∞
∫
€
RXZ (τ) =< x(t),z * (t −τ) >= x(t)z * (t −τ)dt−∞
+∞
∫€
RXZ (τ) = x(t)z * (t −τ)dt−∞
+∞
∫
€
señales a valorescomplejos
Función de correlación como Producto Escalar
• La autocorrelación queda
€
RX (τ) =< x(t),x * (t −τ) >= x(t)x * (t −τ)dt−∞
+∞
∫
Convolución como producto escalar
• Sabemos que la convolución entre 2 señales está definida como
• Se puede ver como un producto escalar
€
CXY (τ) = x(t)∗ y(t) = x(t)−∞
+∞
∫ y * (τ − t)dt
€
CXY (τ) = x(t)−∞
+∞
∫ y * (τ − t)dt =< x(t),y * (τ − t) >
Transformada de Fourier como Producto Escalar
• La trasformada de Fourier está definida (una de las muchas posible definiciones)
• Podemos expresarlo como producto escalar entre y la exponencial compleja
• En termino de senos y cosenos seria
€
F( f ) = x(t)e− j2πftdt−∞
+∞
∫
€
F( f ) =< x(t), e j 2πft( )* > x(t)e− j2πftdt−∞
+∞
∫€
x(t)
€
e j2πft
Recordar que está el conjugado!
€
F( f ) =< x(t),cos(2πft) > − j < x(t),sin(2πft) >
Significado del Producto Escalar
• El producto escalar, en un cierto sen9do, mide el parecido entre dos vectores/funciones/ señales.
• El producto escalar compara dos vectores/funciones/señales.
• Cuando 2 elementos son ortogonales (producto escalar nulo) podemos afirmar que son LINEALMENTE INDEPENDIENTES (es decir, NO CORRELACIONADOS).
• La correlación (y la autocorrelación) es un producto escalar entre versiones desplazadas de las señales.
• La trasformada de Fourier mide el parecido entre la señal y un seno y un coseno (a frecuencia establecida), a través de un producto escalar.
Pequeño resumen
• Hemos visto diferentes productos escalares entre 2 elementos:
Tipo elemento Producto escalar Formula
Vectores finitos Suma finita entre las coordenadas
Vectores infinitos (señales discretas)
Suma infinita entre las coordenadas (serie)
Matrices (finitas) Doble suma entre las coordenadas
Funciones (señales con9nuas)
Integral del producto de las funciones
€
aibi*
i=1
N
∑
€
aibi*
i=1
+∞
∑
€
aijbij*
i=1
m
∑i=1
n
∑
€
x(t)z * (t)dt−∞
+∞
∫