CALCULO VECTORIAL 1

CALCULO VECTORIALCALCULO VECTORIAL

CALCULO VECTORIAL 2

OBJETIVOSOBJETIVOS

1. Distinguir las magnitudes escalares y las vectoriales.

2. Estudiar las operaciones con vectores.

3. Conocer los campos escalares y los vectoriales.

CALCULO VECTORIAL 3

INDICEINDICE

1. Definición y clasificación de vectores.

2. Operaciones con vectores:Adición y sustracción.Productos.

3. Representación algebraica de un vector.

4. Campos escalares y vectoriales.

5. Derivada de un vector respecto de un escalar.

6. Circulación y flujo de un campo vectorial.

CALCULO VECTORIAL 4

Escalares y vectoresEscalares y vectores

Clasificación de vectores• Unitario: módulo 1• Nulo: módulo 0• Ligado, deslizante o libre• Polar o axial

Módulo

(con unidad)

Módulo+

Dirección+

Sentido

PPA

OO OPAA

EscalarEscalar

VectorVector

CALCULO VECTORIAL 5

Operaciones con vectoresOperaciones con vectores

OperaciónOperación ResultadoResultado

SumaSuma

de dos de dos

vectoresvectores

Vector que une el origen del primer vector con el extremo del segundo, cuando éste ha sido transportado hasta el extremo del primero.

Resta Resta

de dos de dos

vectoresvectores

Vector que se obtiene sumando al primer vector el opuesto del segundo.

CALCULO VECTORIAL 6

OperaciónOperación ResultadoResultado

Producto deProducto de

un escalar (m) un escalar (m) por un vectorpor un vector

Vector cuyo módulo es m veces el del vector original, de la misma dirección y el mismo sentido que él si m es positivo (opuesto si m es negativo)

Producto Producto escalar de dos escalar de dos

vectoresvectores

Escalar obtenido como producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman.

Es nulo para vectores perpendiculares.

CALCULO VECTORIAL 7

OperaciónOperación ResultadoResultado

Producto Producto vectorial de vectorial de dos vectoresdos vectores

Vector de módulo igual al producto de los módulos de los vectores por el seno del ángulo que forman, dirección perpendicular a ambos y sentido (convenio más usual denominado regla de la mano derecha) el del avance de un tornillo desde el primer vector al segundo por el camino más corto.

Su módulo es igual al área del paralelepípedo que definen.

Es nulo para vectores paralelos.

CALCULO VECTORIAL 8

OperaciónOperación ResultadoResultado

Producto Producto mixtomixto

Escalar obtenido multiplicando escalarmente el producto vectorial de dos vectores por un tercero.

Su valor es igual al volumen del paralelogramo que definen los vectores.

Doble Doble producto producto vectorialvectorial

Vector obtenido multiplicando vectorialmente el producto vectorial de dos vectores por un tercero

Actividad: Problema 3Actividad: Problema 3

CALCULO VECTORIAL 9

Sistemas de referencia y Sistemas de referencia y componentes de un componentes de un vectorvector

• Sistema de referencia: permite situar en el espacio puntos, rectas, vectores, etc.

TipoTipo CaracterísticaCaracterísticaTrirrectangular

Cartesiano

Tres ejes:

OX; OY; OZ

Ejes perpendiculares entre sí

Directo

Si giramos la cabeza de un tornillo desde OX a OY por el camino más corto la punta avanza en el sentido positivo de OZ.

CALCULO VECTORIAL 10

OXOX

OYOY

OZOZ

i jk

A

• Componentes:

• Módulo:

• Cosenos directores:

A/Acos

A/AcosA/Acos

z

yx

kAjAiAA zyx

0AAAA 2z

2y

2x

CALCULO VECTORIAL 11

Estacionario: independiente del tiempoEstacionario: independiente del tiempo

Campo escalar:

Región del espacio en la que una magnitud física escalar queda definida

como función del punto y el tiempo.

Superficies equipotenciales

Campo vectorial:

Región del espacio en la que una magnitud física vectorial queda definida

como función del punto y el tiempo.

Líneas de campo

Campos Campos escalares y vectorialesescalares y vectoriales

CALCULO VECTORIAL 12

Derivada de un vector Derivada de un vector respecto de respecto de

una variable escalaruna variable escalar

• Es otro vector, tangente en cada punto a la curva descrita por el extremo del vector que se deriva.

• Para calcular la derivada basta con derivar cada una de las componentes del vector.

• Cuando el vector depende de más de una variable escalar, la derivada respecto a una de ellas, manteniendo las demás constantes, se denomina derivada parcial.

CALCULO VECTORIAL 13

Circulación de un campo Circulación de un campo vectorialvectorial

B

Azyx

B

A

B

A

dzAdyAdxA

cosAdrrdA

Flujo de un campo Flujo de un campo vectorialvectorial

SS

cosAdSSdA

Actividad: Calcular la circulación de Actividad: Calcular la circulación de desde el punto (0,0,0) hasta el (6,3,2) a lo largo de la desde el punto (0,0,0) hasta el (6,3,2) a lo largo de la curva x=2y=3z curva x=2y=3z

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