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Clculo de las races reales de Ecuaciones Algebraicas y Trascendentes con la TI Voyage 200

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Mtodo de las Cuerdas o Regla de las Partes Proporcionales o de la Regula FalsiQueremos resolver Supongamos: f x =0

f a f b0 con ab

Grficamente, tenemos: Siendo x0 la raz buscada y x1 una primera aproximacin, por el hecho de considerar la cuerda AB, por esta razn se denomina mtodo de las cuerdas. A= a , f a B=b , f b Ecuacin de la recta AB:y f a= f b f a xa , su punto de corte con el eje de ba

abscisas ser: x1 ,0 , es decir: f b f a f a= x1a , despejando x1 tendremos: ba A partir de aqu basta repetir el proceso: Una segunda aproximacin x2 ser: x1. Hemos de tener en cuenta que en el caso: La aproximacin x2 seria: x2=x1 bx1 f x1 f b f x1 x2=a

x1=a

ba f a f b f a

x1a f a , es decir el nuevo valor de b es f x1 f a

Resumiendo, el Mtodo de las Cuerdas, para determinar las races de una ecuacin, consiste en lo siguiente:

Ferm Vil Queremos resolver la ecuacin:

TI Voyage 200 f x =0

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1) Hemos de terminar un cambio de signo en la funcin, es decir: los valores a y b tales que: f a f b0 con ab 2) Pueden darse dos casos: Caso 1 Caso 2

3) Calculamos las diferentes aproximaciones a la raz x0 buscada, de la siguiente forma: Caso 1 x1=a x2=a x3=a etc ... ba f a f b f a x1a f a f x1 f a x2a f a f x2 f a Caso 2 x1=a ba f a f b f a bx1 f x1 f b f x1 bx2 f x2 f b f x2

x2=x1 x3=x2 etc ...

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TI Voyage 200 xlog x 1=0

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Resuelve por el mtodo de la Regula Falsi, la ecuacin: [APPS] [Y= Editor] Introducimos la funcin:

[APPS] [Graph]

La representamos grficamente:

Con [F2] ZoomBox

Mejoramos la visualizacin:

Movemos el cursor para localizar un valor de a = 2.16

Y una aproximacin de b = 2.84

Ferm Vil [APPS]- [Home]

TI Voyage 200 Introducimos la primera aproximacin x1:

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Y una segunda aproximacin x2, ten en cuenta que se trata del 2 tipo:

Veamos el error que hacemos:

Otra aproximacin:

Con un error:

Como la aproximacin ya nos parece suficiente, editamos el valor de x3, para obtener ms decimales:

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Tenemos pues: 2.506171561825, es la raz buscada con un error de -0.00001.

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Resuelve por el mtodo de la Regula Falsi, la ecuacin: [APPS] [Y = Editor]

x 6x2=0

Introducimos la funcin y la representamos grficamente:

Est claro que tenemos tres races, vamos a acotarlas utilizando la opcin [TBLSET][TABLE]. Accede a la configuracin de la tabla, es decir: [TBLSET], y considera:

[TABLE]

Tenemos un cambio de signo entre -3 y -2, otro cambio entre 0 y 1, y un ltimo cambio de signo entre 2 y 3. Vamos a afinar ms nuestra acotacin; basta acceder de nuevo a [TBLSET] y considerar:

Ferm Vil Observa:

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Tenemos una raz entre -2.7 y -2.6

Otra raz entre 0.3 y 0.4

Y la tercera raz se encuentra entre 2.2 y 2.3 Vamos a buscar la raz entre a = -2.7 y b = -2.6

Busquemos una segunda aproximacin, observa que nos encontramos en el primer caso, es decir la raz buscada se encuentra entre a y x1:

Ferm Vil Con un error:

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Busquemos otra aproximacin:

Tenemos pues una raz: -2.60168, con un error de 0.000003 Vayamos a buscar la raz entre a = 0.3 y b = 0.4:

Una primera aproximacin:

Una segunda aproximacin (es del segundo tipo, es decir la raz se encuentra entre x1 y b:

Tenemos pues la raz 0.339872 con un error de 0.000029

Ferm Vil Vamos a por la ltima raz:

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Tenemos pues la tercera raz: 2.261800965664 con un error de -0.000012

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Programa en TI-Basic que resuelve una ecuacin por el mtodo de la Regula FalsiSe supone definida la funcin y1(x) y conocido el intervalo (a , b) donde tenemos una raz de la ecuacin y1(x)=0 [APPS] [Program Editor] Type: Variable: Escribe: Program regula

Observa que separamos los diferentes casos segn el signo de f(a) y el hecho de ser cncava o convexa en a (y1''(x) = h(x), positivo o negativo):

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Resuelve utilizando el programa regula(), la ecuacin: [APPS] [Y= Editor] Introducimos la funcin:

x 6x2=0

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[APPS] [GRAPH]

Representamos grficamente la funcin:

Localizamos una raz entre -1 y -0.5, y otra raz entre 1 y 1.5 Busquemos la raz entre -1 y 0.5: [APPS] [HOME] Para ejecutar el programa:

Introducimos el valor de a y de b:

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A partir de este momento repetimos la ejecucin del programa (opc = 1), tantas veces como deseemos (depende del error deseado est claro):

En definitiva, tenemos la solucin en -0.72449, con un error de -0.000004 Busquemos la raz entre 1 y 1.5. Volvemos a ejecutar el programa regula() y

Despus de ejecutarlo varias veces tenemos la raz en 1.22074, con un error muy pequeo.

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Resuelve utilizando el programa regula(), la ecuacin: Definimos la funcin:

x0.1sin x =2

La representamos grficamente para acotar las races:

La raz resulta estar entre 1 y 3 Ejecutamos el programa:

Introducimos los valores de a y b:

Despus de ejecutar el programa varias veces, tenemos:

La raz buscada es 2.08697

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Resuelve utilizando el programa regula(), la ecuacin: cos x =x 2 Definimos la funcin y la representamos grficamente:

Raz entre -1 y -0.5:

Raz buscada: -0.824132 Raz entre 0.5 y 1:

Raz buscada: 0.824132

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Mtodo de Newton o de la TangenteEn vez de sustituir el arco la tangente en un extremo. y= f x por una cuerda, el mtodo de Newton lo sustituye por f x y

La tangente que sustituye el arco de curva se elige en el extremo en que f ' ' x tienen el mismo signo. En el caso:

f a 0 y ecuacin:

f ' ' a 0 , por lo tanto la tangente en el extremo A (a,f(a)), que tendr por

y= f a f ' a xa , busquemos la aproximacin x1, que no es ms que la interseccin de la tangente anterior con el eje de las X, y por tanto: 0= f a f ' a x1a , despejando: f a x1=a f ' a En el caso:

f b0 y ecuacin:

f ' ' b0 , por lo tanto la tangente en el extremo B (b,f(b)), que tendr por

y= f b f ' b xb , busquemos la aproximacin x1, que no es ms que la interseccin de la tangente anterior con el eje de las X, y por tanto: 0= f b f ' b x1b , despejando: f b x1=b f ' b

Ferm Vil Resumiendo:f a f ' a

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x1=a

x2=x1 etc ...

f x1 f ' x1

x1=b

f b f ' b f x1 f ' x1

x2=x1 etc ...

x1=b

f b f ' b f x1 f ' x1

x2=x1 etc ...

x1=a

f a f ' a f x1 f ' x1

x2=x1 etc ...

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TI Voyage 200 xlog x 1=0

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Resuelve por el mtodo de Newton, la ecuacin:

Ya habamos determinado en otro ejercicio anterior que a = 2.4 y b = 2.7 Definimos g(x), primera derivada de y1(x) y h(x) la segunda derivada:

Calculamos f(a) y f''(a):

Por lo tanto:

Tenemos una primera aproximacin: x1 = 2.50976.

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Definitivamente tenemos una solucin 2.50619 con un error del 0.000001

Resuelve por el mtodo de Newton, la ecuacin:

x 2

1 =10x x2

Definimos la funcin:

Grficamente:

Acotamos las races:

Tenemos aproximadamente: a = 0.3 y b = 1.7

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Introducimos los valores de a y b:

Definimos f'(x) y f''(x):

Buscamos el signo de f(a) y f''(a):

En definitiva:

Otra aproximacin:

Y otra:

Ferm Vil Y por ltimo:

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Tenemos: una raz es 0.471695, con un error del 0.000008 Busquemos la otra raz:

Es decir:

Otra aproximacin:

La otra raz es 9.99905, con un error del 0.000519

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Resuelve por el mtodo de Newton, la ecuacin:

xe =0

x

Definimos la funcin y la representamos grficamente:

Tomemos un valor de a = -0.86 y de b = -0.25

Buscamos el signo de f(a) y de f''(a), y buscamos una primera aproximacin:

Otra aproximacin:

Y por ltimo:

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Es decir, la raz buscada es -0.567143, con un error muy pequeo.

Resuelve por el mtodo de Newton, la ecuacin: tan x =x (las 3 primeras races positivas) Definimos la funcin y la representamos grficamente:

Hacemos un zoom para ver las tres primeras races positivas:

Tenemos aproximadamente: primera raz positiva: entre 4.4 y 4.6 segunda raz positiva: entre 7.7 y 7.8 tercera raz positiva: entre 10.9 y 10.95 Localicemos la primera raz positiva:

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Busquemos una primera aproximacin:

Otra:

Y otra:

Y una ltima aproximacin:

Es decir la primera raz positiva es 4.49341, con un error del 0.000055 Segunda raz positiva:

Ferm Vil Otra aproximacin:

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Y otra:

Y dos ms:

Tenemos, pues, la segunda raz positiva: 7.72525, con un error muy pequeo Vamos a buscar la tercera raz positiva:

Una primera aproximacin:

Y dos ms:

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Y por ltimo:

Tenemos la tercera raz pedida: 10.9041, con un error del 0.000182

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Programa en TI-Basic que resuelve una ecuacin por el mtodo de NewtonSe supone definida la funcin y1(x) y conocido el intervalo (a , b) donde tenemos una raz de la ecuacin y1(x)=0 [APPS] [Program Editor] Type: Variable: Escribe: Program newton

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Resuelve utilizando el programa newton(), la ecuacin:

xlog x 1=0

Se supone definida la funcin: y1(x) = xlog(x) 1, y determinados los valores de a = 2.4 y b=2.7 Ejecutamos el programa newton():

Introducimos los valores de a y de b:

Repetimos la ejecucin del programa (opc =1), para obtener otra aproximacin:

Tenemos la raz: 2.50619, con un error del 0.000001

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Resuelve utilizando el programa newton(), la ecuacin:

x 2

1 =10x x2

Definimos la funcin:

Ejecutamos el programa:

Introducimos los valores de a y de b:

Repetimos la ejecucin del programa:

Ferm Vil Y por ltimo:

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Tenemos la raz de la ecuacin: 0.471695, con un error del 0.000008

Resuelve utilizando el programa newton(), la ecuacin: Definimos la funcin:

xe =0

x

Ejecutamos el programa e introducimos los valores de a y de b:

Repetimos la ejecucin del programa hasta conseguir una aproximacin satisfactoria:

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En definitiva tenemos una raz, -0.567143, con un error muy pequeo.

Resuelve utilizando el programa newton(), la ecuacin: tan x =x Definimos la funcin:

Ejecutamos el programa e introducimos los valores de a y de b:

Repetimos la ejecucin del programa hasta conseguir una aproximacin satisfactoria:

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Tenemos en definitiva una raz, 4.49341, con un error del 0.000055

1 x Resuelve utilizando el programa newton(), la ecuacin: cotan x= x 2 (una raz positiva) Definimos la funcin y la representamos grficamente:

Hacemos un Zoom para localizar a y b de la primera raz positiva:

Ejecutamos el programa e introducimos los valores de a y de b:

Repetimos la ejecucin del programa hasta conseguir una aproximacin satisfactoria:

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Tenemos en definitiva la raz buscada, 5.94037, con un error del 0.000003