raices de ecuaciones mn

RAÍCES DE ECUACIONES26- Mayo – 2014

Clase 3

RAÍCES DE ECUACIONES

• Las raíces reales de una ecuación son los valores que adquiere la variable

independiente 𝑥, para satisfacer la igualdad:

• 𝑓 𝑥 = 0…… (1)

• Existen dos tipos de aproximaciones para localizar los valores de las raíces.

La primera, presupone el conocimiento de un intervalo que encierra el valor

de la raíz, lo que garantiza la convergencia del método.


• La segunda incluye aquellos métodos en los que a partir de uno o mas

valores iniciales se busca un acercamiento hacia la raíz.

• Los métodos del segundo grupo, son generalmente mas rápidos, pero no

siempre garantizan la localización de la raíz, ya que bajo ciertas

condiciones el proceso se vuelve divergente.


• Métodos Cerrados

• Describiremos los métodos que aprovechan el hecho de que típicamente

una función cambia de signo en el intervalo que encierra a la raíz. Por lo

que, al analizar el cambio de signo de la función en un intervalo, se puede

garantizar la existencia de una raíz. Para desarrollar los algoritmos de estos

métodos, se requiere de dos valores iniciales (extremos del intervalo) entre

los cuales se localiza la raíz.


• Método de la Bisección

• Uno de los métodos mas sencillos de búsqueda de raíces, por medio de la

aplicación de algoritmos numéricos, es el método de la bisección. Este

método consiste en tomar un intervalo de valores donde la evaluar la

función en los extremos se presenta el cambio de signo, con lo cual se

asegura que exista una raíz por lo menos dentro del intervalo.



• A continuación se calcula el punto medio del intervalo, por lo que, de esta manera

el intervalo inicial se divide en dos nuevos subintervalos mas pequeños. Se repite el

análisis de cambio de signo para desechar el subintervalo que no contiene la raíz.

• Es importante señalar que este método puede requerir de muchas iteraciones, ya

que no se considera en ningún momento el hecho de que algún extremo del

intervalo este próximo a la raíz, con lo que el procedimiento se vuelve demasiado

lento.



• En general, si 𝑓(𝑥) es real y continua en el intervalo entre 𝑎, 𝑏 , 𝑦 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓(𝑏)

tienen signos opuestos, entonces existe al menos al menos una raíz real

entre 𝑎 𝑦 𝑏.

• La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del

subintervalo en el cual ocurre un cambio de signo.


• Algoritmo

1. Seleccionar los valores iniciales de 𝑎 𝑦 𝑏 , y evaluar 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓(𝑏), de esta

manera que la función en ese intervalo cambie de signo. También se

establece una tolerancia de error.

2. Calcular la primera aproximación de la raíz por medio de la ecuación

𝑋𝑅 =𝑎 + 𝑏

2…………(2)


• Algoritmo

3. Realizar las siguientes evaluaciones para determinar si se encontró la raíz

para saber en que subintervalo se localiza.

Si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋𝑅 = 0 ⟹ la raíz es igual a 𝑋𝑅 y se terminan los cálculos.

Si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋𝑅 > 0 ⟹ la raíz se encuentra entre 𝑋𝑅 𝑦 𝑏. Hacer 𝑎 = 𝑋𝑅 y pasar al punto

4.

Si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋𝑅 < 0 ⟹ la raíz se encuentra entre 𝑋𝑅 𝑦 𝑎. Hacer 𝑏 = 𝑋𝑅 y pasar al punto

4


• Algoritmo

4. Calcular de nuevo 𝑋𝑅 con la ecuación (2).

5. Calcular el error aproximado, con la ecuación (3), para decidir si la

nueva aproximación cumple con el criterio de error establecido. Si

es así, los cálculos terminan, en caso contrario se regresa al paso 3.

𝑒𝑝 =𝑋𝑅𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑋𝑅

𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑋𝑅𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 × 100 ……(3)


Ejemplo 3.1 (mne2-1v3)

• Aproximar una raíz real positiva para la siguiente función, con un 𝑒𝑝 < 0.01%

• 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥3 − 12𝑥2 + 16𝑥 − 40


Solución

• De acuerdo a los pasos del algoritmo propuesto, se deben seleccionar los

dos valores del intervalo que garanticen la existencia de al menos una raíz.

Por medio de Excel como herramienta de trabajo, se abrirá una hoja para

evaluar la función 𝑓(𝑥) y obtener su gráfica para revisar el comportamiento

de la misma. En esta gráfica se podrá observar si existe alguna raíz entre los

valores seleccionados. En caso contrario se modificaran hasta asegurar que

contiene al menos una raíz.


Solución

• Para construir una gráfica por medio de la herramienta Excel, se puede

seguir las instrucciones que se presentan en la diapositiva de como graficar

una función en Excel. La figura 1 muestra la curva obtenida al graficar la

función dada por la ecuación

• 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥3 − 12𝑥2 + 16𝑥 − 40

• En el intervalo −6,6

Figura 1 Grafica de la función

𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥3 − 12𝑥2 + 16𝑥 − 40

Figura 2 Intervalo de la función a considerar

𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥3 − 12𝑥2 + 16𝑥 − 40


Implementación del algoritmo del método de bisección mediante el uso de

Excel

1. En la figura 2 se puede observar que dentro del intervalo comprendido

entre 4.2 y 4.4 existe un cambio de signo en el valor de la función, por lo

que estos valores pueden ser los correspondientes a 𝑎 𝑦 𝑏 para iniciar el

algoritmo.


Implementación del algoritmo del método de bisección mediante el uso de Excel

2. Para construir en Excel la tabla mostrada en la figura 3 se abre una hoja nueva y

se etiquetan las columnas a emplear de acuerdo al algoritmo. En este caso

deberán aparecer: el numero de iteración (columna A), los valores de los

extremos del intervalo 𝑎 𝑦 𝑏 (columnas B y C), los valores de la evaluación de la

función en los extremos del intervalo 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓(𝑏) (columnas D y E), el calculo de la

aproximación de la raíz 𝑋𝑅 (columna F), la evaluación de la función en ese punto

𝑓 𝑋𝑅 (columna G) y el porcentaje de error aproximado (columna H).

Figura 3 Valores iniciales y calculados con el método de

la bisección



3. Introducir los valores de la iteración inicial y de los extremos del intervalo 𝑎 𝑦 𝑏, en

las celdas A97, B97 y C97, respectivamente.

4. Introducir la formula para evaluar la función en los extremos del intervalo en las

celdas D97 y E97. Hay que tener cuidado con el valor que se utilice en la

operación sea el de la celda con la que tenga la correspondencia. Por ejemplo,

para evaluar 𝑓(𝑎) deberá utilizar los valores de 𝑎, que se encuentran en la celda

B97, para evaluar 𝑓(𝑏) se deberá utilizar el valor de 𝑏, que se encuentra en la

celda C97, como se muestra en la figura 3.

Figura 4 Introducción de la formula para evaluar

𝑋𝑅 𝑦 𝑓(𝑋𝑅)



Excel

5. Introducir en la celda F97 la fórmula para evaluar 𝑋𝑅(𝐵97 + 𝐶97)/2, es

decir, la mitad del intervalo y evaluar la función nuevamente en el punto

𝑋𝑅, tal como se muestra en la figura 4.



6. Para la segunda iteración, indicar en la celda A98 que la interacción anterior

debe ser incrementada en 1. Por otro lado se debe introducir en las celdas B98 y

C98 las condiciones de cambio de acuerdo al punto 3 del algoritmo. En la celda

B98 se introduce la condición: si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋𝑅 < 0, si la condición se cumple no

deberá hacerse cambios en la celda, pero si sucede lo contrario deberá

actualizarse la celda con el ultimo valor calculado para 𝑋𝑅. Las figuras 5 y 6

muestran la forma de introducir la función condicional en la celda B98.

Seleccione menú INSERTAR FUNCIÓN según aparece en la figura 5.

Figura 5 Selección de la opción INSERTAR FUNCIÓN

Figura 6 Selección de la función LÓGICA del tipo SI



7. Seleccionar función LÓGICA del tipo SI como lo muestra la figura 6.

8. Introducir la condición en la primera ventana del menú. En la segunda ventana

se introduce la celda del valor que debe aparecer en la celda B98 en caso de

que si se cumpla la condición y en la tercer ventana se debe introducir la celda

del valor que debe aparecer en la celda B96 en caso de que no se cumpla la

condición, según se muestre la figura 7.

Figura 7 Introducción de la prueba lógica para el

algoritmo de bisección para el valor de a



Excel

9. Repetir el procedimiento del paso 9 para el valor de 𝑏, el cual aparece en

la celda C98, la cual se muestra en la figura 8.

10. Repetir los cálculos para 𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑏 , 𝑋𝑅 𝑦 𝑓(𝑋𝑅) . Calcular el error relativo

porcentual, tal como se muestra en la figura 9 .

Figura 8 Introducción de la prueba lógica para el

algoritmo de bisección para el valor de b

Figura 9 Repetición de los cálculos de

𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑏 , 𝑋𝑅 , 𝑓(𝑋𝑅) y el error relativo porcentual.

Figura 10 Cálculo de la raíz por el método de la

bisección



Excel

11. Repetir los cálculos de la segunda iteración hasta alcanzar el error relativo

porcentual que se indico en un inicio, lo cual sucede para un valor de 𝑥 =

4.380859, como se muestra en la figura 10 .


Implementación del algoritmo del método de bisección mediante Visual

Basic

1. En la figura 2 se puede observar que dentro del intervalo comprendido

entre 4.2 y 4.4 si existe un cambio de signo con el valor de la función, por

lo que estos valores pueden ser los correspondientes a 𝑎 𝑦 𝑏 para iniciar el

algoritmo.



Basic

2. Para construir en Excel la tabla mostrada en la figura 11 se abre una hoja

nueva y se etiquetan las celdas a emplear de acuerdo al algoritmo. En

este caso deben de aparecer: el porcentaje de error (celda B4), el valor

inicial de 𝑎 (celda B6), el valor inicial de 𝑏 (celda B8) y el valor de la raíz

(celda B10) .


Implementación del algoritmo del método de bisección mediante Visual Basic

2. También se etiquetan las columnas de la tabla de resultados que aparecerá con

los siguientes datos: numero de iteración (columna A), valor de a (columna B) ,

valor de b (columna C), evaluación de la función en el punto a 𝑓(𝑎) (columna D),

evaluación de la función en el punto b 𝑓(𝑏) (columna E), product de 𝑓 𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓 𝑏

(columna F), calculo de la aproximación 𝑋𝑅 (𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐻) y el porcentaje de error

aproximado 𝑒𝑝 (columna I ) .

Figura 11 Inicio de los cálculos de las raíces de

𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥3 − 12𝑥2 + 16𝑥 − 40 , por el método

de bisección con Visual Basic.



Basic

3. Una vez la tabla de la figura 11 se incrustan dos botones, los cuales se

etiquetan con las leyendas: “calcular” y “limpiar”, como se denota en la

figuras 12 , 13 y 14.

Figura 12 Habilitar en opciones de Excel la opción

de desarrollador.

Figura 13 Opción habilitada de desarrollador para

insertar botones de comando.

Figura 14 Se incrustan los botones para programar

el método de bisección de Visual Basic.



Basic

4. El botón correspondiente a “calcular” tiene el propósito de calcular la raíz

y tiene el siguiente código de programación abrir botón calcular :

Codigo de Boton Calcular.pdf



Basic

5. El botón correspondiente a “limpiar” tiene el siguiente código de

programación abrir limpiar calcular :

Codigo de Boton Limpiar.pdf



Basic

6. Fuera del código de esos dos botones, en el código general se introduce

la función: abrir el código de la función

Codigo de la Función.pdf



Basic

7. Una vez que se introdujeron los códigos anteriores, se ejecuta el programa

introduciendo los valores iniciales sugeridos en el punto 1, 𝑎 = 4.2 𝑦 𝑏 = 4.4 y

el porcentaje de error de 0.01, según aparece en la figura 15. La raíz

obtenida fue de 4.380859

Figura 15 Calculo de la primera raíz por el método

de bisección con Visual Basic.



Basic

8. Si se desea aproximar la otra raíz real, se utiliza el botón “limpiar” y se

cambian los valores iniciales sugeridos según la gráfica son 𝑎 = −3.8 𝑦 𝑏 =

− 3.5 y el porcentaje de error de 0.01, según aparece en la figura 16. La

raíz obtenida fue de −3.548340

Figura 16 Calculo de la segunda raíz por el

método de bisección con Visual Basic.

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