1

Áreas: 1- Calcule el área de la región acotada por las curvas y en el intervalo

Fig. 1 gráfica problema 1

∫ | |

∫ ( )

∫ ( )

(√ )

O bien por la simetría del problema:

∫ ( ) (√ )

Facultad de Ingeniería y Tecnología Ayudantía cálculo Integral Plan Común Ingeniería Civil. Auxiliar: Marcelo Guajardo L. Semestre otoño 2011

2

2- Sea S la región del plano limitada por la gráfica de y el eje . Para cada considere las dos

regiones de la parábola divide a S:

( ) *( ) | +

( ) *( ) | +

Determine de modo que el área ( )y ( ) sean iguales.

Desarrollo:

Se buscan los puntos de intersección igualando las ecuaciones:

√

Utilizando la simetría en la figura:

3

( ) * ∫

∫ ( )

+

( ) *∫ (( ) )

+ *∫ ( )

∫

+

El enunciado nos dice que ( ) debe ser igual a ( ) por lo tanto:

( ) ( )

* ∫

∫ ( )

+ *∫ ( )

∫

+

∫

∫ ( )

∫ ( )

( )

Reemplazando el valor de

( )

(

√ )

( )

√

Resolviendo la ecuación nos da que

Por lo tanto con un valor de áreas de ( ) y ( ) son equivalentes.

4

Volúmenes:

1. Compruebe mediante la integración el volumen de una esfera de radio r es

.

Desarrollo:

Se centra la esfera en el origen del sistema coordenado, y se selecciona el elemento de área transversal ( ) para

utilizar el principio de Cavalieri.

√

( )

Por lo tanto el volumen de la esfera de radio r:

∫ ( )

∫

∫ ( )

* ∫

∫

+

Volúmenes de revolución:

1. Calcule mediante los métodos de arandelas y cascarones cilindros el volumen del solido obtenido al hacer girar

alrededor del eje la región bajo la curva √ en el intervalo .

Método de las arandelas:

( ) (√ )

∫ ( )

∫

x, x

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

5

Método de los cascarones cilíndricos:

∫ ( )

∫ ( )

2. Usar el método de las capas cilíndricas para calcular el volumen generado al girar la región limitada por las

curvas ( ) ( ) En torno al eje .

Buscar puntos de intersección:

* +

Bosquejo de la región:

∫ ( )( ( ) ( ))

∫ ( )( )

∫ ( )

[

]

[

]

[

]