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CALCULO Examen final.
EJERCICIO 1 (5 puntos) (1h 10 min.) 07 de Julio de 2011
Nota 1: El ejercicio se resolvera en esta hoja.Nota 2: Se recuerda que esta prohibido el uso de calculadoras.
1.– Enunciado y demostracion del teorema de Rolle.
(0.25 puntos)
2.– Calcular la derivada de la siguiente funcion:
f(x) = tg
(ex − 1
ex + 1
)
(0.25 puntos)
3.– Sea z(x, y) = f(u, v) = eu−2v y sean u(x) = sen(x), v(x, y) = x3 + y2. Calcular∂z
∂xy
∂z
∂y.
(0.5 puntos)
4.– Utilizando la funcion lagrangiana, escribir (sin resolver) las ecuaciones necesarias paraobtener los puntos crıticos del siguiente problema de extremos condicionados: Hallarel triangulo isosceles de area maxima y de perımetro P .
(1 puntos)
5.– Calcular la derivada n-esima de f(x) = e−2x, y utilizar la expresion para escribir elpolinomio de Maclaurin de grado n de f(x).
(1.5 puntos)
6.– Estudiar el caracter de la serie
∞∑n=1
(−1)n+1 n
en
.
(1.5 puntos)
I --~--
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CÁLCULO examen julio
EJERCICIO 2 (5 puntos) (75 min) 7 de julio de 2011
LAS PREGUNTAS 3 A 7 SE RESOLVERÁN EN ESTA HOJA
1.- (1,25pj5p)Se considera la función f : IR? ---; IR definida de la siguiente forma:
f(x, y) = I y I sen(x2 + y2)
(a) Determinar los puntos de IR2 en los que f(x,y) es continua.
(b) Calcular, en caso de que existan , sus derivadas parciales.
(c) Estudiar su diferenciabilidad en el punto (1,1).
2.- (1,25pj5p)Calcular para qué valor de b E IR, b> O, la curva y = bcosx divide en dos partes de igual área la región limitada por la curva y = senx y el eje de abscisas cuando O :S x :S ~
3.- (0,5pj5p)Hallar los números reales cuyo cuadrado excede al propio número en más de dos. (3 1 G '2. (-0 X - 2
Xl.. X+ 2.. I I \31 J () {1..> 6 - 1 @ '0 x-ti (_00,-1)0 ~I~ ..
X - X - <. ) O - (.l+ \, ' CV 1U'ffi L (x-~)(x+i):::>O \S' 8
4.- (0,5pj5p)Definir, con la distancia usual en ffi2, las bolas abiertas de centro el origen y radio r
_ ex é-íD1. j )(L+ L l.B{(O,O),r} - {.....\ .~).. ....'~ ... . ............ I.:J ....? .f. ....... }
5.- (O,5pj5p)Escribir en forma polar el siguiente número complejo
1 z=----=
-1+ivÍ3
J~ = i: . 6.- (O,5pj5p)Calcular
3 _ ~ í!t~ -t-1 - 2
O
7.- (O,5pJ5p)La temperatura de un depósito cilíndrico viene dada por la función T(x, y, z ) = 10(xe-y2 + ze- x\ Si estamos situados en el punto (O, 0,1), indicar en qué dirección y sentido debemos movernos para que la temperatura disminuya lo más rápidamente posible,
ljl.. _XL) D' I ~dG ~ T oT _ 10 (e T ~. e-<. x) , e ,~c.~ (>-> y IP~ Y . oX 1.. tL )~.r\Jlj'" 00 -+ ~r' do.. ~ ti...
-~ 0T - X (-<\:)) e. . d.D )¡ T CXU-j l+) ) 0~ (o,o,i)
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