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Clculo Diferencial

Efran Soto Apolinar

ndice de contenidos

1 Lmites 1

1.1 Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Nocin intuitiva de lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Teoremas de los lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3 Lmites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.4 Lmites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.2 Teorema de continuidad de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.2.1 Condiciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.2.2 Teorema de valor intermedio y valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2 Razones de cambio y la derivada 61

2.1 La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.1 Razn de cambio promedio e instantnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.2 La derivada como razn de cambio instantnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.1.3 Interpretacin geomtrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.1.4 Diferenciabilidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.1.5 Reglas del producto y del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.1.6 Derivadas de funciones trigonomtricas y sus inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.1.7 Derivadas de funciones exponenciales y logaritmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.1.8 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3 Valores mximos y mnimos y sus aplicaciones 117

3.1 Aplicaciones de la primera derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.1.1 Mximos y mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.1.2 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.1.3 Mximos y mnimos usando la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.1.4 Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.2 Concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.2.1 Puntos de inflexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.2.2 Trazado de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.3 Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

3.3.1 Problemas prcticos de mximos y mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

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ii NDICE DE CONTENIDOS

3.3.2 Aplicaciones en ciencias naturales, econmico-administrativas y sociales . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

www.aprendematematicas.org.mx Efran Soto A.

Captulo 1

Lmites

Por aprender...

1.1. Lmites

1.1.1. Nocin intuitiva y lmites laterales

1.1.2. Teoremas de los lmites

1.1.3. Lmites de funciones

1.1.4. Lmites infinitos y lmites en el infinito

1.2. Teorema de continuidad de una funcin

1.2.1. Condiciones de continuidad

1.2.2. Teoremas de valor intermedio y valores extremos

Por qu es importante...

El concepto de lmite es sobre el que descansan los dems conceptos del clculo infinitesimal.


2 Lmites


1.1 Lmites 3

1.1 LMITES

Cada rama de las matemticas tiene conceptos que resultan centrales para el desarrollo de la misma.

Nosotros empezamos el estudio del clculo infinitesimal, que est compuesto del clculo diferencial y delclculo integral.

Los conceptos fundamentales en clculo, la derivada y la integral, son definidos a partir de otro, todavams fundamental: el concepto de lmite.

1.1.1 NOCIN INTUITIVA DE LMITE

Nosotros utilizamos los lmites muy frecuentemente, pero no los reconocemos como tales simplementeporque no estamos acostumbrados a pensar en trminos de ellos.

Ejemplo 1Cmo medimos la velocidad de un coche?

Cuando viajamos en un coche es comn revisar frecuentemente el velocmetro. Supongamos que la velocidad que ste indica es de 45 km/hr. Nosotros podemos calcular la velocidad promedio v de un mvil dividiendo la distancia d recorrida

por l entre el tiempo t que le tom recorrerla.

En un instante, es decir, en un punto del tiempo, la distancia recorrida es cero. Cmo, entonces, medimos la velocidad para indicarla en el velocmetro?

Ejemplo 2Imagina que tienes que llenar un vaso con agua. Abres el grifo del agua y sta sale a razn de30 mililitros por segundo. Sabiendo que la capacidad del vaso es de 300 ml, Cunto tiemporequieres para llenarlo?

Como cada segundo se vierten 30 ml de agua al vaso, en t = 10 segundos est a su capacidad mx-ima.

Lo interesante de esto es que notemos que conforme el valor de t se acerca a 10 el volumen de aguavertido en el vaso se aproxima cada vez ms a 300 ml.

Ejemplo 3Imagina que deseas calcular el valor exacto del nmero pi. Sabiendo que el rea del crculounitario (de radio 1) es igual a pi, vamos a encontrar una forma de ir aproximando el valor deesta constante geomtrica.

Ya sabes que el rea de un crculo de radio 1 es igual a pi unidades cuadradas. Entonces, podemos ir dibujando polgonos regulares en el crculo unitario (es decir, de radio 1),

calcular el rea de cada uno, y despus aumentar el nmero de lados del polgono.

Sea n el nmero de lados del polgono dibujado en el crculo unitario, y hagamos que n vayancreciendo. Cuando n sea infinito, obtedremos el valor exacto del nmero pi.


4 Lmites

Decimos quepi es el valor del lmite al cual tiende el rea del polgono inscrito en el crculo unitario.

n = 5

A5

n = 6

A6

n = 7

A7

n = 8

A8

n = 9

A9

n = 10

A10

Observa que conforme hacemos crecer el nmero de lados n , el rea An del polgono de n lados seacerca cada vez ms al rea de la crculo, que es igual a pi, dado que su radio es 1.

El polgono regular que vamos dibujando inscrito al crculo tiene su propia rea. Si hacemos que elnmero de lados de este polgono crezca mucho, su rea cada vez se acercar a la del crculo.

Un matemtico dira: el lmite del rea del polgono inscrito a la circunferencia unitaria cuando sunmero de lados tiende a infinito es pi.

Ejemplo 4

Luisa tiene una cuerda de un metro de largo. Como est aburrida y quiere matar el ocio,empieza a cortar la cuerda por la mitad exactamente. De los dos trozos que obtuvo, uno locoloca en una mesa que est junto a ella y el otro trozo lo vuelve a partir por la mitad; denuevo un trozo lo coloca en la mesa y el otro lo vuelve a cortar por la mitad. Si ella realiza ncortes, Cul es la longitud de cuerda que est en la mesa? [?]

Observa que cada vez corta la mitad de lo que le queda en la mano. En el primer corte tiene medio metro en cada trozo. Despus de cortar la segunda vez tiene un cuarto. Despus de cortar la tercera vez tiene un octavo de metro, y as sucesivamente. Esto es,

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ + 1

2n

1

2+

1

22+

1

23+

1

24+ + 1

2n

En cada corte que hace Luisa a la cuerda, obtiene la mitad del pedazo anterior, y ste lo suma a lalongitud que ya tena en la mesa.


1.1 Lmites 5

La misma situacin prctica nos sugiere una interpretacin en una recta numrica, como se mues-tra a continuacin:

1 metro

0 1o 2o 3o 4o Corte

O bien, en una tabla:

No. Corte Longitud del corte

0 1 m1 1/2 m2 1/22 m3 1/23 m n 1/2n m

Observa que cada vez que ella corta el trozo de cuerda que le queda en la mano, obtiene otros dosnuevos trozos que tienen el mismo tamao, porque siempre corta por la mitad.

Entonces, el ltimo trozo que sum a la cantidad de cuerda que haba en la mesa es igual al trozocon el que se qued en la mano.

Esto significa que la suma de la cuerda que est en la mesa es igual a 1 metro de cuerda (la longitudinicial de la cuerda) menos la longitud del trozo que le qued en la mano, cuya longitud es igual ala del ltimo trozo que agreg.

1

2+

1

4+

1

8+ + 1

2n= 1 1

2n=

2n

2n 1

2n=

2n 12n

Observa que conforme n crece la suma se acerca cada vez ms a 1. Esto es as porque el trozo de cuerda que le queda en la mano es cada vez ms pequeo.

Ejemplo 5

Un terreno que va a ser repartido entre todos los que llegarn al Castillo de Chato Petterde tal forma que a la primera persona le tocar la mitad del terreno, a la segunda personala mitad de lo que quede y a la siguiente persona la mitad que quede, y as sucesivamente.Enseguida se muestra la interpretacin geomtrica de esta situacin.

Como a la primer persona le toca la mitad, dividimos el terreno por la mitad. A la segunda persona le corresponde la mitad de la mitad, es decir, una cuarta parte de todo el

terreno.

A la siguiente personal la mitad de lo que quede, y as sucesivamente... A la persona n-sima le darn 1/2n del terreno:


6 Lmites

1a

2a

3a

4a5a

6a...

Observa que la suma:1

2+

1

4+

1

8+ + 1

2n=

2n 12n

se aproxima mucho a 1 cuando el valor de n crece mucho, sin embargo, nunca se hace igual a 1,porque para que eso ocurriera, necesariamente el numerador debera ser igual al denominador,pero eso nunca ocurre, porque se est restando 1 a 2n .

Por otra parte, cuando los valores den crecen mucho, el nmero 1 se hace insignificante comparadocon 2n , y esto hace que el cociente:

2n 12n

se aproxime cada vez ms al nmero 1, pero como ya dijimos, nunca lo iguala.

Ejemplo 6

Cuando una piedra cae desde 10 metros de altura, su posicin y puede calcularse con lafrmula:

y = 104.905t 2donde t es el tiempo que lleva cayendo. Qu velocidad lleva a los 1.25 segundos despus deinciar la cada?

Podemos calcular la altura a la que se encuentra 1.2 segundos despus de iniciar la cada:y (1.2) = 104.905(1.2)2 = 2.9368 metros.

Y cuando ya pasaron 1.25 segundos su altura es:y (1.25) = 104.905(1.25)2 = 2.3329 metros.

Entonces, entre los primeros 1.2 y 1.25 segundos ha recorrido:y (1.2) y (1.25) = 2.93682.3329= 0.6 metros

Su velocidad promedio en ese intervalo es:v =

d

t=

0.6

0.05= 12 m/s

Observa que hemos considerado la piedra justo antes de que pase por t = 1.25.t

0 1 1.5 2

1.2 1.25


1.1 Lmites 7

Vamos a calcular su velocidad justo despus de pasar por ah. Primero calculamos la altura que tiene esa predra a los 1.3 segundos:

y (1.3) = 104.905(1.3)2 = 1.71 metros. Y como y (1.25) = 2.3329, entre los primeros 1.25 y 1.3 segundos ha recorrido:

y (1.2) y (1.25) = 2.33291.71= 0.6229 metros Y ahora su velocidad es:

v =d

t=

0.6229

0.05= 12.458 m/s

Obviamente, al llevar ms tiempo de cada, como est siendo acelerado debido a la gravedad, suvelocidad creci.

Pero no hemos medido su velocidad cuando t = 1.25 segundos, sino un poco antes y un poco de-spus.

t0 1 1.5 2

1.2 1.25 1.3

Podemos calcular el promedio de las dos velocidades y suponer que este promedio est muy cercade la velocidad que tiene la piedra cuando t = 1.25 segundos:

v f =12+12.458

2= 12.229 m/s

Sin embargo, no estamos seguros de que esta velocidad est correcta. Si comparamos otros valores de t poco antes y poco despus y volvemos a calcular el promedio, el

resultado no necesariamente ser el mismo.

Vamos a elaborar una tabla, para calcular la altura de la piera para diferentes valores de t antes ydespus de t = 1.25.

A partir de esos valores vamos a calcular la velocidad alrededor del valor de t = 1.25 para ver cmocambia.

t y (t ) d t v

1.2000 2.9368 0.6009 0.0500 12.01801.2250 2.6394 0.3035 0.0250 12.14001.2375 2.4885 0.1526 0.0125 12.20801.2500 2.3359 0.0000 0.0000 1.2625 2.1819 0.1540 0.0125 12.32001.2750 2.0263 0.3096 0.0250 12.38401.3000 1.7106 0.6253 0.0500 12.5060

De la tabla podemos observar que la velocidad que obtenemos depende cmo nos acerquemos alpunto t = 1.25 s.

Nuestro problema consiste en calcular la velocidad de la piedra en ese instante.Efran Soto A. www.aprendematematicas.org.mx

8 Lmites

De cualquier manera, el promedio que dimos antes (v f = 12.229 m/s) parece estar correcto.

Esa palabra parece nos deja con la duda. Sabemos que es una aproximacin inteligente, pero nos gus-tara conocer con mayor certeza el valor de la velocidad en ese punto.

En el siguiente ejemplo utilizaremos un recurso geomtrico.

Ejemplo 7

Un estudiante de fsica lanz una piedra hacia arriba de manera tal que su trayectoria sigueuna parbola y la altura y medida en metros puede calcularse con:

y (t ) =4.905 t 2+24.535 tdonde t es el tiempo que lleva la piedra en el aire medido en segundos. Interpreta grfica-mente la velocidad de la piedra a los dos segundos de haber sido lanzada.

Podemos calcular la posicin de la piedra a los dos segundos:y (2) =4.905 (2)2+24.535 (2) = 29.45 metros.

Y su posicin a los 2.5 segundos es:y (2.5) =4.905 (2.5)2+24.535 (2.5) = 30.68 metros.

Mientras que su posicin despus de 1.5 segundos de haber sido lanzada es:y (1.5) =4.905 (1.5)2+24.535 (1.5) = 25.76 metros.

Vamos a graficar esta funcin en el intervalo 2 t 2.5:

t0 1 2 3

y (t )

25

26

27

28

29

30

31

A

B

C

Recuerda que en el eje vertical tenemos la distancia que recorri en t segundos. El eje horizontal est representando al tiempo. En la grfica se incluyeron los puntos A(1.5, 25.76), B (2, 29.45) y C (2.5, 30.68).


1.1 Lmites 9

De la grfica se deduce inmediatamente que mientras la piedra se mova del punto A al punto Brecorri una mayor distancia que en el trayecto de B a C , a pesar de que utiliz la misma cantidadde tiempo.

Esto nos indica que viaj, en promedio a mayor velocidad en el primer intervalo.

La velocidad se calcula definiendo distancia entre tiempo.

La velocidad promedio a la que viaj el tramo AB es:

vAB =29.4525.76

2.01.5 =3.7

0.5= 7.4 m/s

Por otra parte, la velocidad promedio para el tramo BC es:

vBC =30.6829.45

2.52.0 =1.23

0.5= 2.46 m/s

Vaya diferencia!

Observa que la velocidad promedio en realidad es la pendiente de la recta que pasa por los puntosde inters.

Recuerda que la pendiente de una recta es una razn de dos cantidades:

m =y2 y1x2x1 =

yx

Si en el numerador de la pendiente escribimos una distancia y en el denominador tiempo, la pen-diente representa una velocidad promedio.

Geomtricamente ahora puedes notar la gran diferencia en las velocidad medida entre los puntosA y B comparada con los puntos B y C .

La pendiente de cada segmento en la grfica nos debe mostrar eso1.

Pero no hemos terminado con el problema inicial.

Nosotros debemos calcular la velocidad de un objeto que se mueve, pero en un instante.

Ejemplo 8Sabiendo que la pendiente se interpreta como una velocidad, aproxima la velocidad prome-dio para acercarla cada vez ms a la velocidad instantnea.

Utilizaremos la grfica del ejemplo anterior:1Los segmentos no estn incluidos en la grfica.


10 Lmites

t1 2 3

y (t )

29

30

31

y

tB

C

Ahora lo que debemos hacer es acercar el punto C al punto B poco a poco para ver cmo se com-porta la pendiente de la recta que pasa por B y C .

Pero nosotros sabemos cmo calcular y a partir de t :y (t ) =4.905 t 2+24.535 t

As que si hacemos t0 = 2, trataremos de averiguar qu ocurre con la pendiente de la recta conformelos valores det se acercan a cero.

Esto implica que el punto C se aproxime cada vez ms al punto B . As podremos calcular la velocidad de esa piedra en el instante t = 2. Empezamos, si t0 = 2 est fijo y le sumamos la cantidadt , entonces, y se comporta as:

y (2+t ) = 4.905 (2+t )2+24.535 (2+t )= 4.905 4+4t +(t )2+49.08+24.535t= 19.6219.62t 4.05 (t )2+49.08+24.535t= 29.46+4.915t 4.05 (t )2

La ltima expresin nos indica cmo se comporta y (2+t ). Cuandot se hace muy pequeo, casi cero, y (2+t ) debe aproximarse a y (2):

y (2) = 29.46+4.915 (0)4.05 (0)2 = 29.46


1.1 Lmites 11

Esto est de acuerdo con la intuicin. Observa que y (2+t ) y (2) representa la distancia que la piedra recorri durantet segundos, a

partir de t = 2.

Ahora veamos qu pasa con el cociente [y (2+t )y (2)]/(t ), que es igual a la velocidad promedio:vBC =

y (2+t ) y (2)t

=[29.46+4.915t 4.05 (t )2]29.46

t= 4.9154.05t

Cuandot se hace muy pequeo, la velocidad promedio se acerca mucho a la velocidad que debetener la piedra cuando t = 2 segundos, que en este caso es de:

vB = 4.9154.05 (0) = 14.725 m/s.

En el ejemplo anterior notamos que la velocidad promedio de la piedra entre los puntos B yC est repre-sentada geomtricamente por la pendiente de la recta que pasa por esos puntos.

Cuando acercamos el punto C al punto B la recta secante a la parbola se va acercando a la tangente a laparbola en el punto B .

Precisamente esta es la interpretacin geomtrica de la velocidad instantnea.

1.1.2 TEOREMAS DE LOS LMITES

Empezamos esta seccin dando la definicin de lmite.

Definicin 1

LMITESea y = f (x ) una funcin. Si podemos formar la sucesin x1,x2, ,xn de valores de la vari-able x tales que cada uno de los trminos de esa sucesin estn en el dominio de la funcin,y acercndose a un valor fijo x = a , y podemos siempre calcular yi = f (x i ) para toda x i que seencuentre en la sucesin, excepto, posiblemente en xm = a , entonces decimos que el lmitede f (x ) cuando x se aproxima al nmero a es igual a A, y matemticamente lo denotamospor:

limxa f (x ) = A

Observa que no se requiere que f (x ) est definida para x = a .

Ejemplo 1Calcula el lmite al cual se aproxima la funcin y = x 2 cuando x se aproxima a 2.

Necesitamos calcular a qu valor se aproximar x 2 cuando x se acerca mucho a 2. Empezamos con una tabla:

x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1f (x ) 3.61 3.9601 3.996001 4.004001 4.0401 4.41

Observa que conforme x se acerca a 2, por debajo, es decir, dando los valores 1.9, 1.99, 1.999, losvalores de f (x ) que obtenemos se van a cercando a 4, tambin por debajo.


12 Lmites

Cuando decimos por debajo, queremos decir que cada uno de los valores de la sucesin sonmenores al valor al que tienden.

Cuando digamos por arriba, entonces, querr decir que los valores de la sucesin son mayores alvalor al cual tienden.

Cuando los valores de x se acercan por arriba a 2, los valores de f (x ) se acercan a 4 tambin porarriba.

Geomtricamente tenemos la siguiente situacin:3 Nos movemos sobre el eje x empezando en x = 1.9 (nos acercamos por la izquierda de x = 2)

3 Evaluamos f (1.9) = 3.61, que en la grfica est indicado con el punto A

3 Despus evaluamos f (1.99) = 3.9601 (punto B)

3 Finalmente, f (1.999) = 3.996001

3 Despus empezamos desde x = 2.1 acercndonos a x = 2 desde la derecha.

3 Evaluamos f (2.1) = 4.41 denotado por el punto F en la grfica.

3 Despus evaluamos f (2.1) = 4.0401 (punto E )

3 Finalmente evaluamos f (2.01) = 4.004001.

x1 0 1 2 3

f (x )

1

2

3

4

5

6

AB

EF

Conforme nos acerquemos ms a x = 2 por la izquierda o por la derecha, la funcin (que es unamquina que transforma nmeros) se acerca cada vez ms a y = 4.

El hecho de que los valores de f (x ) = x 2 conforme x se aproxima a 2 se acerquen a 4 era de esperarseporque 22 = 4, y ya sabemos que la funcin y = x 2 es una funcin contnua, dado que es una funcinpolinomial.

Entonces, cuando deseemos calcular el lmite de una funcin polinomial, basta con que evaluemos lafuncin al cual tiende y con eso encontraremos el resultado a nuestro problema.


1.1 Lmites 13

Ejemplo 2Calcula:

limx2

x 3x +1

Como la funcin y = x 3x +1 es polinomial, basta con sustituir x = 2 y evaluar:limx2

x 3x +1= 232+1= 7

Se te queda como ejercicio graficar la funcin, y tabular valores de x y los valores que toma la fun-cin cuando x se acerca a 2 por la izquierda y por la derecha.

Puedes utilizar los mismos que se utilizaron en la tabla anterior.

Sin embargo, no siempre vamos a requerir calcular lmites de funciones polinomiales.

Algunas veces vamos a necesitar calcular lmites de funciones racionales.

Ejemplo 3

Calcula:

limx5

x 225x 5

En este caso, si sustituimos x = 5 en la funcin obtenemos:y =

522555 =

0

0 no est definido.

Entonces vamos a necesitar transformar la expresin racional de manera que no obtengamosdivisin por cero.

Para eso vamos a factorizar el numerador. Como en el nmerador tenemos una diferencia cuadrados, la factorizacin nos da un producto

conjugado:

y =x 225x 5 =

(x +5)(x 5)x 5

Ahora podemos simplificar la expresin, para obtener:y =(x +5)(x 5)(x 5) = x +5

Esta simplificacin es vlida siempre que x 6= 5, porque en ese caso el denominador se hace cero. As que si suponemos que x 6= 5, tenemos que:

limx5

x 225x 5

= lim

x5 (x +5)

Observa que si x se acerca mucho a 5, entonces x +5 se va a acercar mucho al valor: 5+5= 10 Y es que x + 5 es una funcin polinomial que solamente requiere que sustituyamos x = 5 para

obtener el resultado. Entonces,

limx5

x 225x 5

= lim

x5 (x +5) = 5+5= 10


14 Lmites

Recuerda que en la funcin:y =

x 225x 5

x no puede ser igual a 5.

Pero la definicin de lmite nos dice que podemos siempre calcular yi = f (x i ) para toda x i que seencuentre en la sucesin que formemos, excepto, posiblemente en xm = a, que es como ocurre eneste caso.

Se te queda como ejercicio elaborar una tabla y verificar que la funcin se acerca al mismo valor porla izquierda como por la derecha cuando x se acerca mucho a 5.

De hecho,y =

x 225x 5 = x +5

para cualquier valor de x , excepto para x = 5. Verifica esto graficando ambas funciones en unmismo sistema de coordenadas.

En matemticas el lenguaje es muy importante.

Cuando escribimos:

limxx0 f (x ) = k

lo leemos: el lmite de f (x ) cuando x tiende a x0 es igual a k .

Tambin podemos leerlo como: el lmite cuando f (x ) se aproxima o se acerca a x0 es igual a k

Ejemplo 4

Calcula:

limx3

x 2+11x +1

Empezamos sustituyendo x = 3 en la funcin:

f (3) =(3)2+11

3+1=

20

4= 5

En este caso no tenemos divisin entre cero, as que la funcin nos ayuda a resolver el problemamuy rpidamente.

Esta funcin presenta una asntota en x =1.

vamos a graficarla para valores de x > 0, porque nos interesa conocer cmo se comporta cerca dex = 3.


1.1 Lmites 15

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f (x )

4

5

6

7

8

9

10

11

y =x 2+11x +1

De la grfica se hace evidente que, independientemente de que nos acerquemos a x = 3 por laizquierda o por la derecha, obtenemos en ambos casos el mismo resultado.

Ejemplo 5

Calcula:

limx100

x 100px 10

Si sustituimos x = 100 en la funcin de nuevo obtenemos una indeterminacin. As que vamos a tener que simplificar de alguna manera. Para eso vamos a definir: u =px . Entonces, u 2 = x , y u debe acercarse ap100= 10, porque u =px , y x se acerca a 100. Esto nos permite escribir:

limx100

x 100px 10

= lim

u10

u 2100u 10

Ahora podemos factorizar el numerador, porque se trata de una diferencia de cuadrados:

limu10

u 2100u 10

= lim

u10

(u +10)(u 10)

u 10

Al simplificar obtenemos:limu10

(u +10)(u 10)u 10

= lim

u10 (u +10) = limx100px +10=

p100+10= 20

En realidad lo que hicimos fue:limx100

x 100px 10

= lim

x100

px2100px 10

!= lim

x100

px +10

px 10p

x 10

= limx100

px +10

=p

100+10= 20


16 Lmites

El cambio de variable u =px es un truco que nos permiti simplificar la expresin. Este artificio matemtico te ser de gran ayuda en los ejercicios. Observa que:

y =x 100px 10 =

px +10

para cualquier valor de x , excepto para x = 100.

Los lmites tienen algunas propiedades que nos ayudarn a resolver problemas de una manera ms sen-cilla.

Las siguientes propiedades de los lmites son las ms importantes.

Definicin 2

PROPIEDADES DE LOS LMITESSi lim

xa f (x ) =M , y limxa g (x ) =N , se cumple:

I. Si f (x ) = c , donde c es una constante, entonces: limxx0 = c para cualquier x0.

II. limxa k f (x ) = k limxa f (x ) = k M .

III. limxa

f (x )+ g (x )

=M +N .

IV. limxa

f (x ) g (x )=M N .

V. limxa

f (x )g (x )

=

limxa f (x )limxa g (x )

=M

N, siempre que N 6= 0.

VI. limxa

rp

f (x ) = rpM , siempre que r

pM R.

1.1.3 LMITES DE FUNCIONES

Gracias a las propiedades de los lmites podemos resolver problemas de una manera ms sencilla.

Lmites de funciones polinomiales y racionales

Ejemplo 1

Calcula:

limx2

1

x+

x 2x 24

Sin el apoyo de las propiedades de los lmites que se acaban de mencionar, empezaramos real-izando la suma de fracciones algebraicas que est indicada en la funcin.

Mejor calculamos dos lmites, aplicando la propiedad III.limx2

1

x

+ lim

x2

x 2x 24

El primero de los lmites es inmediato, dado que al sustituir no obtenemos divisin entre cero:

limx2

1

x

=

1

2


1.1 Lmites 17

El segundo lmite lo calculamos factorizando el denominador:

limx2

x 2x 24

= lim

x2x 2

(x +2)(x 2) Ahora podemos simplificar la fraccin, con lo que obtenemos:

limx2

x 2(x +2)(x 2) = limx2

1

x +2

=

1

2+2=

1

4

As que:limx2

1

x+

x 2x 24

= lim

x2

1

x

+ lim

x2

x 2x 24

=

1

2+

1

4=

3

4

Se te queda como ejercicio verificar con el uso de una tabla de valores que el resultado es correcto.

Ejemplo 2

Calcula:

limx3

x 2+11x +1

aplicando la propiedad V de los lmites.

Este problema se resolvi en la pgina 14. Aplicamos directamente la propiedad V de los lmites para verificar el resultado:

limx3

x 2+11x +1

=

limx3 (x

2+11)

limx3 (x +1)

=(3)2+11

3+1=

20

4= 5

Y ambos resultados son correctos. Observa que como en el numerador como en el denomimador tenemos funciones polinomiales,

podemos sustituir directamente el valor al cual tienen las funciones.

Tambin debes notar que el denominador no se hace cero. Eso nos permite evaluar inmediata-mente el lmite.

Sin embargo, algunos lmites no existen.

Ejemplo 3

Calcula:

limx1

x 2+11x 1

aplicando la propiedad V de los lmites.

Este problema es parecido al anterior. Aplicamos directamente la propiedad V de los lmites:

limx1

x 2+11x 1

=

limx1 (x

2+11)

limx1 (x 1)

=(3)2+11

11 =12

0


18 Lmites

Pero no tiene sentido dividir entre cero. Si tratamos de resolver el problema tratando de simplificar, nos damos cuenta que no podemos

factorizar el binomio x 1 de x 2+11. Esto nos indica que conforme nos acercamos a x = 1 la grfica de la funcin

y =x 2+11x 1

crece mucho, porque precisamente en x = 1 esta grfica tiene una asntota.

x5 3 1 1 3 5 7 9

f (x )

108642

1

5

7

9

11

13

15

Cuando nos acercamos a x = 1 por la derecha, la funcin tiende a crecer infinitamente. Es decir,

limx1+

x 2+11x 1

=

Por otra parte, cuando x se acerca mucho a 1 por la izquierda, la funcin se hace negativa y se va amenos infinito:

limx1

x 2+11x 1

=

Si ambos lmites laterales fueran iguales, por ejemplo, que ambos se fueran a +, entonces con-cluiramos que el lmite es ese valor.

Pero no ocurre as, los dos lmites laterales son distintos. Entonces,

limx1

x 2+11x 1

no existe.

Definicin 1

LMITE LATERALCuando calculamos el lmite lim

xx0 f (x ) usando valores de x tales que x i < x0, entonces deci-mos que hemos calculado el lmite lateral por la izquierda.Por otra parte, si calculamos el mismo lmite pero usando valores de x tales que x i > x0,entonces decimos que hemos calculado el lmite lateral por la derecha.


1.1 Lmites 19

Cuando los dos lmites son iguales decimos que el lmite existe y es igual al valor comn obtenido en ellos.

Cuando los lmites laterales no coinciden decimos que el lmite limxx0 f (x ) no existe.

Ejemplo 4

Calcula:

limx0

1

x

Ya sabemos que la funcin y = 1/x no est definida cuando x = 0. Adems, cuando x es negativo, los valores de y que le corresponden tambin son negativos. Y cuando x es positivo, los valores que le corresponden de y tambin son positivos. Cuando x es muy cercano a cero, los valores de y crecen. Por ejemplo, considere, x = 1

10k, con k N, entonces:

1

x

=

1 110k

=

10k

1

= 10k

Conforme k crece, los valores de x se acercan cada vez ms a cero, porque x = 110k

.

Pero los valores de y se hacen cada vez ms grandes: y = 10k . Observa que x > 0 implica que y > 0. Cuando x sea negativo ocurrir lo mismo, pero ahora los valores de y sern negativos.

x5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

y

54321

1

2

3

4

5

y =1

x

Entonces, por una parte, el lmite por la izquierda:

limx0

1

x

=


20 Lmites

Y el lmite por la derecha:limx0+

1

x

=

Como ambos lmites son diferentes, el lmite:limx0

1

x

no existe.

Es importante hacer notar que no todos los lmites de funciones racionales cuando x tiende a cero noexisten.

El verdadero problema surge cuando el denominador de la funcin racional se hace cero. Entonces habrque ver que los lmites laterales coincidan.

Ejemplo 5

Calcula:

limx0

1

x 2

En este caso, la funcin tampoco est definida para x = 0. De nuevo, la grfica presenta una asntota en x = 0. Pero y siempre es positiva, porque x aparece elevada al cuadrado. Esto nos indica que los lmites laterales tienden a infinito los dos. Esto es evidente de la grfica de la funcin:

x5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

y

1

2

3

4

5

y =1

x 2

El lmite por la izquierda es:limx0

1

x 2

=

Y el lmite por la derecha:limx0+

1

x 2

=

Como ambos lmites son iguales,limx0

1

x 2

=


1.1 Lmites 21

Ejemplo 6

Calcula:

limx3

2x 6

6x 218x

Si empezamos sustituyendo x = 3 en la funcin obtenemos una indeterminacin:

y (3) =2 (3)6

6 (3)218 (3) =0

0

As que lo que tenemos que hacer es factorizar:

limx3

2x 6

6x 218x= lim

x3

2x 6

3x (2x 6)

Para x 6= 3, podemos escribir:

limx3

2x 6

6x 218x= lim

x3

1

3x

=

1

9

Como el denominador no se hace cero, podemos evaluar la funcin en x = 3. Tambin podemos justificar este resultado usando la propiedad V de los lmites. Se te queda como ejercicio.

Algunos lmites parecen difciles, pero no lo son.

Ejemplo 7Calcula:

limx2

x 2px 2

Si sustituimos x = 2 en la funcin obtenemos cero sobre cero:y (2) =

22p22 =

0

0

As que tenemos que simplificar la expresin (si es posible). Recuerda quepp pp = p para cualquier valor p . Entonces,

limx2

x 2px 2

= lim

x2

px 2 px 2p

x 2

= lim

x2p

x 2 Ahora s podemos evaluar el lmite porque no tenemos divisin entre cero:

limx2

x 2px 2

= lim

x2p

x 2=p22=p0= 0 Y terminamos.


22 Lmites

Debes tener en mente que no siempre basta con sustituir el valor al cual tiende x . Tambin hay queverificar que este valor est en el dominio de la funcin.

El dominio de la funcin y =px 2 es: x 2, porque el radicando debe ser no negativo para que la

funcin asigne un valor a y .

El siguiente ejemplo termina el anterior.

Ejemplo 8

Calcula:limx2

px 2

Primero debemos observar que x = 2 es el mnimo valor que puede tomar x para que la funciny =px 2 nos devuelva un valor para y .

Por ejemplo, si x = 1, obtenemos: y (1) =p12=p1. Como no nos devuelve un nmero real, decimos que no est definida para x < 2. Esto nos hace imposible calcular el lmite por la derecha de esta funcin. En otras palabras, el lmite por la izquierda no existe. Por otra parte, el lmite por la derecha se puede calcular fcilmente. Dado que la funcin est definida para x 2, tenemos:

limx2+

px 2=p22=p0= 0

Pero para que el lmite limx2

px 2 exista, se requiere que los lmites laterales sean iguales.

Como un lmite lateral no existe (el izquierdo), es imposible que los dos lmites laterales sean igualesy por eso

limx2

px 2 no existe.

La moraleja que debes aprender de los dos ejemplos anteriores es que no basta con simplificar y sustituir.Siempre tienes que tener en mente que para que el lmite:

limxx0 f (x ) exista,

deben existir los dos lmites laterales por la izquierda y por la derecha:

limxx0

f (x ) y limxx+0

f (x )

En el caso de que la funcin no est definida a la izquierda o a la derecha de x0 nos impide calcular ellmite por ese lado, por lo que el lmite no existe.

Ejemplo 9

Calcula:

limx0

1

x 2+

5

x+6

1

x+3


1.1 Lmites 23

Ya sabemos que cuando x 0, el cociente 1/x no est definido. Podemos hacer un cambio de variable, definiendo: u = 1/x , entonces:

1

x 2+

5

x+6

1

x+3

=u 2+5u +6

u +3

La fraccin en trminos de u puede simplificarse si factorizamos el numerador:u 2+5u +6

u 2+3=(u +2)(u +3)

u +3= u +2

Y al regresar a escribirlo en trminos de x tenemos:

limx0

1

x 2+

5

x+6

1

x+3

= limx0 1x +2

Esto puede descomponerse como una suma de lmites, gracias a la propiedad III de los lmites:

limx0

1

x+2= lim

x0

1

x

+ lim

x0 (2)

Por la propiedad I, tenemos: limx0 (2) = 2, pero ya sabamos que

limx0

1

x

no existe (pgina 19).

Entonces, el lmite

limx0

1

x 2+

5

x+6

1

x+3

tampoco existe.Limites de funciones trigonomtricas

En los siguientes ejemplos vamos a estudiar los lmites de funciones trigonomtricas que ms frecuente-mente se encuentran en la resolucin de problemas en matemticas, ingeniera, administracin, cienciassociales y otras ramas del conocimiento.

Ejemplo 10

Calcula:

limx0

sinx

x

Si sustituimos x = 0 en la funcin, obtenemos cero sobre cero. As que tendremos que utilizar otra forma. Primero nos basaremos en la grfica para tener una idea y despus utilizaremos una forma alge-

braica para verificar el resultado.

La grfica de la funcin es la siguiente:Efran Soto A. www.aprendematematicas.org.mx

24 Lmites

x3 2 1 0 1 2 3

y

1

1y =

sinx

x

De la grfica inmediatamente podemos concluir que el lmite buscado es 1, es decir:

limx0

sinx

x= 1

Observa que la funcin no est definida para x = 0 debido a la divisin entre cero. Ahora vamos a jusfiticar el resultado por medio de un mtodo algebraico. Suponemos que x es un ngulo medido en radianes, positivo. Si x fuera negativo, el resultado puede calcularse por medio de este mismo mtodo, recordando que

sin(x ) =sin(x ). Observa que:

sinx

x=sin(x )x

de manera que al cambiar el signo de x el resultado sigue siendo vlido.

Consideramos la siguiente figura:

1

1

sin

cos

tan

x

El rea del tringulo inscrito al arco de circunferencia es menor al rea del sector circular del arcode x radianes.

Igualmente el rea del sector circular del arco es menor al rea del tringulo ms grande.www.aprendematematicas.org.mx Efran Soto A.

1.1 Lmites 25

As que se cumple la siguiente desigualdad:rea4interno Aa rea4externo

1

2sinx cosx 1

2x 1

2tanx

Dividiendo ambos lados de la desigualdad entre 12

sinx , obtenemos:

cosx xsinx

1cosx

Cuando x se acerca mucho a cero cosx se acerca mucho a 1. Entonces,

1 xsinx

1cuando x tiende a cero.

El recproco sinxx

, por tanto, debe tambin tender a uno:

limx0

sinx

x= 1

Con este resultado podemos calcular otros lmites de funciones trigonomtricas.

Ejemplo 11

Calcula:

limx0

sin(2x )sin(3x )

Dado que x se aproxima a cero sin llegar a serlo, podemos multiplicar por 2x en el numerador ydenominador de la funcin sin(2x ).

De la misma manera, multiplicamos por 3x en el numerador y denominador de la funcin sin(3x ),as obtenemos:

limx0

sin(2x )sin(3x )

= lim

x0

2x

sin(2x )

2x

3x

sin(3x )

3x

= limx0

2

sin(2x )

2x

3

sin(3x )

3x

Ahora aplicamos las propiedades II y V de los lmites para obtener:

limx0

sin(2x )sin(3x )

=

limx0

2

sin(2x )2x

limx0

3

sin(3x )3x

= 2 limx0

sin(2x )2x

3 limx0

sin(3x )

3x

Ahora aplicamos el resultado que obtuvimos en el ejemplo anterior haciendo u = 2x y v = 3x , con

lo que tenemos:

limx0

sin(2x )sin(3x )

=

2 limx0

sin(2x )

2x

3 limx0

sin(3x )

3x

= 2 limu0

2sin(u )u

3 limv0

sin(v )v

= 2 (1)3 (1) =

2

3


26 Lmites

Entonces,limx0

sin(2x )sin(3x )

=

2

3

Ejemplo 12

Calcula:

limx0

sin2(3x )x tan(2x )

Necesitamos transformar la funcin a funciones cuyos lmites ya conozcamos. En el primer paso multiplicamos por (3x )2 en el numerador y en el denominador de la fraccin:

sin2(3x )x tan(2x )

=sin2(3x )(3x )2

(3x )2x tan(2x )

=

sin(3x )(3x )

2 (3x )2x tan(2x )

El primer factor ya tiene la forma de un lmite conocido, haciendo u = 3x . Ahora recuerda que tan= sin

cos.

Sustituyendo esta identidad en el segundo factor obtenemos:sin2(3x )x tan(2x )

=

sin(3x )(3x )

2 9x

sin(2x )cos(2x )

=

sin(3x )(3x )

2 9x cos(2x )

sin(2x )

Este resultado puede reescribirse como:sin2(3x )x tan(2x )

= 9

sin(3x )(3x )

2 2x cos(2x )

2 sin(2x )=

9

2

sin(3x )(3x )

2 2x

sin(2x ) cos(2x )

Ahora ya podemos calcular el lmite:

limx0

sin2(3x )x tan(2x )

= lim

x0

9

2

sin(3x )(3x )

2 2x

sin(2x ) cos(2x )

Aplicamos las propiedades de los lmites para simplificar el clculo:

limx0

sin2(3x )x tan(2x )

= lim

x0

9

2

sin(3x )(3x )

2 2x

sin(2x ) cos(2x )

=

9

2 limx0

sin(3x )(3x )

2 2x

sin(2x ) cos(2x )

=

9

2

limx0

sin(3x )(3x )

2 limx0

2x

sin(2x )

limx0 (cos(2x ))

=9

2

limx0

sin(3x )(3x )

2 1

limx0

sin(2x )

2x

limx0 (cos(2x ))

=9

2 (1)2(1)(1) = 9

2


1.1 Lmites 27

Entonces,limx0

sin2(3x )x tan(2x )

=

9

2

Ejemplo 13

A travs de una grfica calcula:

limx0

sin

1

x

La grfica de la funcin y = sin

1

x

es la siguiente:

x3 2 1 0 1 2 3

y

10.5

0.5

1 y = sin

1

x

Observa que conforme x se acerca a cero, 1/x crece muy rpidamente. Entonces, podemos transformar el lmite como sigue:

limx0

sin

1

x

= lim

x (sinx )

Pero cuando x se hace muy grande la funcin sinx vara entre 1 y 1. En otras palabras, no existe una asntota horizontal a la cual se aproxime la funcin sinx cuando x

tiende a infinito.

Por tanto este lmite no existe.

limx0

sin

1

x

= lim

x (sinx ) no existe.

El siguiente ejemplo est muy relacionado con el anterior.

Ejemplo 14

Calcula:

limx0

x sin

1

x

Vamos a empezar con la grfica de la funcin para darnos una idea del resultado del lmite:Efran Soto A. www.aprendematematicas.org.mx

28 Lmites

x3 2 1 0 1 2 3

y

10.5

0.5

1

y = x sin

1

x

Al parecer tiende a cero. Vamos a justificarlo usando las propiedades de los lmites.

limx0

x sin

1

x

= lim

x0 (x ) limx0

sin

1

x

Nosotros ya sabemos que el segundo factor siempre est en el intervalo [1, 1]. Como el primer factor se acerca mucho a cero, cuando x tiende a cero estaremos multiplicando un

nmero muy pequeo por otro nmero en el intervalo [1, 1]. El resultado de ese producto debe ser un nmero muy cercano a cero, como lo muestra la grfica

de la funcin.

Entonces, el lmite es:limx0

x sin

1

x

= 0

Hay muchas aplicaciones en diferentes ramas de las ciencias de los lmites de funciones trigonomtricas.En este apartado solamente hemos explicado los ms frecuentes y los que te pueden dar una idea de cmoresolver lmites de funciones trigonomtricas.

Otras funciones que hemos estudiado en otros semestres son las funciones exponenciales y las logartmi-cas.

Limites de funciones exponenciales y logartmicas

Ejemplo 15Calcula:

limx0

2x

Las funciones exponenciales estn deifinidas para todo x real. Cuando x = 0, 2x = 1. Entonces, si hacemos que los valores de x se acerquen a 0, esperamos que 2x se acerque a 1. Matemticamente:

limx0

2x = 1

La grfica nos muestra eso:www.aprendematematicas.org.mx Efran Soto A.

1.1 Lmites 29

x3 2 1 0 1 2 3 4 5

f (x )

1

2

3

4

5

6

7

8

y = 2x

Ejemplo 16Calcula:

limx0

1 ex

De nuevo, cuando x tiende a cero, ex tiende a 1.

Pero no queremos el lmite de la funcin ex cuando x tiende a cero, sino de 1 ex .

As que aplicando las propiedades de los lmites, obtenemos:

limx0

1 ex = lim

x0 (1) limx0ex

= 11= 0

La grfica muestra el mismo resultado geomtricamente:Efran Soto A. www.aprendematematicas.org.mx

30 Lmites

x3 2 1 1 2 3 4 5 6

y

7

6

5

4

3

2

1

0

1y = 1 ex

Observa que cuando x crece mucho, los valores de y tienden a 1.

Observa que la grfica siempre nos ayuda a calcular un lmite.

Sin embargo, tambin podemos calcular los lmites sin necesidad de una grfica.

El anlisis de la funcin y cada una de sus partes es la herramienta que nos ayuda a realizar los clculosde los lmites sin grficas de las funciones.

Ejemplo 17Calcula:

limx0 (1 ln(x ))

Cuando x tiende a cero por la derecha, ln(x ) se va a . Pero por la izquierda, ln(x ) no est definida. De esto nos damos cuenta con la grfica. Entonces, cuando x tiende a cero, ln(x ) se va a, porque el signo menos refleja la grfica respecto

al eje x .

Aplicando las propiedades de los lmites, podemos calcular el lmite por la derecha:limx0+ (1 ln(x )) = limx0+ (1) limx0+ (ln(x ))

= 1 ()=

Pero no podemos calcular el lmite por la izquierda, porque la funcin ln(x ) no est definida parax 0.


1.1 Lmites 31

Entonces,limx0 (1 ln(x )) no existe.

Ejemplo 18Calcula:

limx0 (ln |x |)

En este caso, dado que el argumento de la funcin siempre es no negativo, la funcin est definidapara toda x , excepto en x = 0.

Cuando x tiende a cero por la derecha, ln |x | se va a . Igual ocurre por la izquierda, debido a la simetra de la funcin |x |. Entonces, cuando x tiende a cero, ln |x | se va a , tanto por la izquierda como por la derecha. Luego,

limx0 (ln |x |) =

La grfica de la funcin es la siguiente:

x5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

y

3

2

1

0

1

y = ln |x |

Ejemplo 19

La poblacin de una especie de rata que vive en los mercados se calcula con la siguientefrmula:

P(t ) =840 000

700+500 e1.02tdonde la poblacin inicial es de 700 ratas (t = 0), y t es el tiempo medido en das. Si no seutilizan raticidas para controlar la poblacin, cul ser la poblacin de ratas a los 30 das?

Primero debes observar que el denominador de la funcin nunca se hace cero. Eso se debe a que:

700+500 e1.02t = 0 75= e1.02t

pero la funcin exponencial nunca toma valores negativos. Entonces, el denominador nunca sehace cero.


32 Lmites

Luego, el lmite:limt30P(t ) = limt30

840 000

700+500 e1.02t

existe.

Vamos a calcularlo. Como la funcin est definida para toda t R, tenemos que evaluar la funcin en t = 30:

limt30P(t ) = limt30

840 000

700+500 e1.02t=

840 000

700+500 e1.02(30) = 1200

Entonces, si en un mercado hay 700 ratas al inicio del mes, al final del mismo habr 1200 ratas.

Ejercicios 1.1.3 Calcula cada uno de los siguientes lmites. En caso de que un lmite no exista, indcalo.

1) limx1

x 21x +1

2

2) limx1

x 21x 1

2

3) limx1

x 41x 1

4

4) limx2

x 3x 23x +2

x 2

5

5) limx1

x 3+x 2x 1

x 1

4

6) limx1/3

3x 37x 2+5x 1

3x 1

4

9

7) limx5/3

3x 38x 2+8x 5

3x 5

19

9

8) limx7/5

5x 317x 2+29x 21

5x 7

54

25

9) limx7/5

5x 317x 2+29x 21

x 7

6

10) limxp3

5x 37x 215x +21

x 23

0

11) limx9

x 314x 2+52x 63

x 9

43

12) limx1

x 4+x 34x 2x +3

x +1

6

13) limx1

x 44x 2+3

x 21

2

14) limx1

x 44x 2+3

x 1

4


1.1 Lmites 33

15) limx1

x 44x 2+3

x 1

0

16) limx1

x 44x 2+3

x +1

4

17) limx1

2x 4+3x 3+4x 2+9x +3

3

18) limx3

3x 4+4x 39x 28x +7 70

19) limx2

6x 4+6x 3+3x 23x 8 12920) lim

x26x 4+4x 34x 23x +10 89

21) limx2

6x 43x 35x 23x +10 103

22) limx2

6x 4+5x 3+4x 2+9x +4 1323) lim

x13x 4+4x 311x 25x +6 18

24) limx2

6x 4+2x 3+3x 2+4x +7

136

25) limx2

4x 4+3x 38x 2+6x 3 5426) lim

x2

5x 4+5x 3+3x 23x 6 12327) lim

x4

3x 45x 3+2x 23x +10 46528) lim

x6

1x 45x 3+7x 2+1x 8 47529) lim

x7

x 3+9x 2+1x 105

x 3+26x 2+224x 640

20

3

30) limx9

x 3+15x 262x +72x 3+9x 222x +120

35

13

31) limx7

x 314x 2+37x +770x 31x 2+26x +24

51

13

32) limx7

x 37x 2+100x +700x 327x 2+236x +660

17

33) limx7

x 3+13x 22x 280x 3+14x 219x 210

33

56

34) limx10

x 3+6x 2+72x 320x 3+9x 2+102x 880

54

35) limx8

x 3+8x 2+16x 128x 3+1x 2+24x 36

24

35

36) limx7

x 33x 2+61x +63x 34x 2+111x +594

32

9

37) limx4

x 3+22x 2152x +320x 3+15x 271x +105

8


34 Lmites

38) limx3

x 31x 2+105x +297x 36x 2+37x +210

7

2

39) limx8

x 35x 2+82x +176x 34x 2+76x +160

19

18

40) limx10

x 322x 2147x 270x 320x 2128x 256

1

36

41) limx2

x 319x 268x +220x 318x 2101x +180

78

7

42) limx3

x 320x 2117x 198x 33x 210x 24

24

43) limx0

1 sin2 x 1

44) limx0

1 cos2 x

x 2

1

45) limx0

1 cos2 x

tanx

0

46) limx0

1 sin2 x

tanx

6

47) limx0

sin(5x )

x

5

48) limx0

sin(3x )

2x

3

2

49) limx0

sin(5x )sin(7x )

5

7

50) limx0

sin(x )

sin(pix )

1

pi

51) limx0

cos2 x

x 2

52) limx0

cos2 x

x

6

53) limx0

sin(5x )

x

5

54) limx0

x2

sinx

0

55) limx0

x 38

sin(x 2)

8

sin 2

56) limx0

cos(x 2)x 2

cos 2

2


1.1 Lmites 35

1.1.4 LMITES EN EL INFINITO

Muchas veces nos interesa conocer cmo se comporta la funcin cuando x crece mucho.

Por ejemplo, para saber qu va a pasar con la poblacin de una especie en extincin, se elabora un modelomatemtico que nos ayuda a predecir el tamao de la poblacin como una funcin del tiempo y lo quenos interesa saber es cunto tiempo tenemos para tratar de incrementarla antes de que el tamao de esapoblacin sea igual a cero.

Ejemplo 1

Calcula:limx

x 2+1

Este lmite es evidente. Conforme x crece ms, los valores de x 2 crecen todava ms. As que conforme x se va a infinito, los valores de x 2 se van ms rpido. Entonces,

limx

x 2+1

=

Ejemplo 2

Calcula:

limx

1+xx 2

Podemos reescribir el lmite de la siguiente manera:

limx

1

x 2+

x

x 2

= lim

x

1

x 2+

1

x

Y aplicando la propiedad III de los lmites, obtenemos:

limx

1

x 2+

1

x

= lim

x

1

x 2

+ lim

x

1

x

Cuando x crece mucho, el cociente 1/x se va a cero rpidamente. Lo mismo le ocurre al cociente 1/x 2. Entonces,

limx

1+xx 2

= lim

x

1

x 2

+ lim

x

1

x

= 0+0= 0

Observa que el grado del denominador era mayor al grado del numerador. Como ya sabes, el polinomio de mayor grado crece ms rpido. Esto nos debe indicar que la funcin:

y =1+xx 2

tiende a cero cuando los valores de x crecen mucho.


36 Lmites

La grfica tambin sugiere eso:

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

1

2

3

4

5

y =1+xx 2

Cuando debemos calcular el lmite de una funcin racional cuando x tiende a infinito, es una buena ideaobservar primero el grado de cada polinomio que forma la funcin racional.

Cuando el grado del polinomio que est en el numerador es mayor al grado del polinomio que est en eldenominador pasa lo ocurri en el ejemplo anterior.

En caso de que el grado del denominador sea mayor que el grado del numerador debemos usar otro truco.

Ejemplo 3

Calcula:

limx

x 211+2x

En este caso, el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del de-nominador de la funcin racional.

Observa que el polinomio se puede factorizar, pero la factorizacin no nos ayuda a simplificar lafuncin:

y =x 211+2x

=(x +1)(x 1)

1+2x

As que usaremos otro truco en este caso. El truco consiste en dividir cada uno de los trminos de cada polinomio entre el monomio de mayor

grado en el denominador de la funcin racional.

En este caso, tendremos que dividir entre x :

limx

x 211+2x

= lim

x

x 2

x 1x

1

x+

2x

x

= lim

x

x 1

x1

x+2


1.1 Lmites 37

Ahora aplicamos la propiedad V de los lmites para obtener:

limx

x 211+2x

= lim

x

x 1

x1

x+2

=

limx

x 1

x

limx

1

x+2

Ya sabemos que cuando x tiende a infinito, el cociente 1/x tiende a cero, luego

limx

x 211+2x

=

limx

x 1

x

limx

1

x+2

=00+2

=

Con lo quelimx

x 211+2x

=

En este caso, el polinomio que est en el numerador tiene mayor grado que el polinomio que esten el denominador de la funcin racional.

Esto nos sugiere que la funcin debe crecer conforme x crece ms. Ese argumento se sigue de que para valores de x suficientemente grandes, el numerador siempre

ser mayor que el denominador.

El resultado est de acuerdo con este argumento.

El nico caso que nos queda pendiente es en el que el grado del polinomio que est en el numerador seaigual al grado del que est en el denominador de la funcin racional.

Ejemplo 4

Calula:

limx

3x 42x 3+x 27

1+2x 3x 2+5x 3+7x 4

No tienes por qu entrar en pnico al ver un ejercicio as. Solamente debes usar el mismo truco que usamos en el ejemplo anterior. Vamos a dividir ambos polinomios entre el monomio de mayor grado.


38 Lmites

En este caso vamos a dividir entre x 4:

limx

3x 42x 3+x 27

1+2x 3x 2+5x 3+7x 4= lim

x

3x 4

x 4 2x 3

x 4+x 2

x 4 7x 4

1

x 4+

2x

x 4 3x 2

x 4+

5x 3

x 4+

7x 4

x 4

= lim

x

32

x+

1

x 2 7x 4

1

x 4+

2

x 3 3x 2+

5

x+7

Ahora observa que todos los cocientes que tienen a x o alguna de sus potencias en el denominador

se hacen cero cuando x tiende a infinito.

limx

3x 42x 3+x 27

1+2x 3x 2+5x 3+7x 4= lim

x

32

x+

1

x 2 7x 4

1

x 4+

2

x 3 3x 2+

5

x+7

=

30+000+00+0+7 =

3

7

Entonces,limx

3x 42x 3+x 27

1+2x 3x 2+5x 3+7x 4=

3

7

Se te queda como ejercicio graficar la funcin para el intervalo 10 x 100 dando valores de 10 en10.

Podemos generalizar el resultado del ejemplo anterior con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5

Calcula:

limx

a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0b3x 3+b2x 2+b1x +b0

De nuevo, tenemos una funcin racional con polinomios en el numerador como el denominadorde igual grado.

As que vamos a dividir entre el monomio de mayor grado: x 3

limx

a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0b3x 3+b2x 2+b1x +b0

= lim

x

a 3x 3

x 3+a 2x 2

x 3+a 1x

x 3+a 0x 3

b3x 3

x 3+b2x 2

x 3+b1x

x 3+b0x 3

= lim

x

a 3+a 2x+a 1x 2+a 0x 3

b3+b2x+b1x 2+b0x 3

Cuando x tiende a infinito, cada cociente que incluye a x en el denominador se hace cero y obten-


1.1 Lmites 39

emos:

limx

a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0b3x 3+b2x 2+b1x +b0

= lim

x

a 3+a 2x+a 1x 2+a 0x 3

b3+b2x+b1x 2+b0x 3

=

a 3+0+0+0b3+0+0+0

=a 3b3

En otras palabras, el limite de una funcin racional con polinomios en el numerador y denominadordel mismo grado tiende al cociente de los coeficientes principales de los polinomios que definen lafuncin.

Matemticamente, para polinomios de tercer grado, tenemos:

limx

a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0b3x 3+b2x 2+b1x +b0

=a 3b3

Es muy sencillo generalizar este resultado a polinomios de grado n . Ese es tu ejercicio.

Ejemplo 6

Una fbrica de ventiladores ha encontrado que cuando invierte x millones de pesos tieneventas por V (x )millones de pesos por cada milln invertido, donde

V (x ) =7x 23x +102x 2+3x +5

Cul es la mxima venta que puede esperar tener esa compaa?

Obviamente, mientras ms invierta esa fbrica, mayores ventas debe tener. Si eso es cierto, entonces necesitamos conocer a qu valor se aproxima la funcin de ventas cuando

lo que invierte la compaa es muy grande.

Matemticamente, necesitamos calcular:

limxV (x ) = limx

7x 23x +102x 2+3x +5

Calcular el lmite es sencillo:

limxV (x ) = limx

7x 23x +102x 2+3x +5

= limx

7x 2

x 2 3x

x 2+

10

x 2

2x 2

x 2+

3x

x 2+

5

x 2

= limx7

3

x+

10

x 2

2+3

x+

5

x 2

=

70+02+0+0

=7

2


40 Lmites

Entonces, por ms que invierta, nunca podr vender ms de 3.5 millones de pesos por cada millnque invierta.

Cuando x crece mucho, V (x ) tiende a 3.5 millones.

Geomtricamente tenemos que y = 3.5 es una asntota horizontal:

x0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

y

1

2

3

V (x ) =7x 23x +102x 2+3x +5

Los lmites al infinito, entonces, pueden ayudarnos a graficar una funcin racional, pues nos dicen cmose comporta la funcin para valores de x muy grandes.

Ejemplo 7

Encuentra las asntotas horizontales de la funcin:

y =3x 2x +1

Cuando x tiende a , tenemos:

limxy (x ) = limx

3x 2x +1

Dividiremos cada trmino del numerador como del denominador entre x y despus simplificamos:

limxy (x ) = limx

3x 2x +1

= lim

x

3x

x 2x

x

x+

1

x

= limx3

2

x

1+1

x

Cuando x tiende a + o , obtenemos:

limxy (x ) = limx

3+010

= 3 lim

xy (x ) = limx

301+0

= 3

As que y = 3 es una asntota horizontal de la grfica de la funcin:www.aprendematematicas.org.mx Efran Soto A.

1.1 Lmites 41

x50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50

y

2

1

1

2

3

4

5

y =3x 2x +1

Ejemplo 8

Un fabricante de tenis deportivos ha encontrado que el costoC (x ) de produccin de x paresde tenis es de:

C (x ) = 275x +25 000

Calcula el costo promedio de produccin de cada par de tenis deportivos.

para calcular el costo promedio de produccin tenemos que dividir el costo de produccin de todoslos pares de tenis entre el nmero de tenis producidos:

C (x ) =275x +25 000

x

Cuando el nmero x de pares de tenis producidos es muy grande, el promedio se aproxima a:

limxC (x ) = limx

275x +25 000

x

= limx

275x

x+

25 000

xx

x

=

275+01

= 275

El precio promedio cuando produce muchos pares de tenis se acerca a $275.00 pesos.

Puedes decir, a partir de la siguiente grfica, si producir ms le hace ms barato o ms caro el preciode produccin promedio?


42 Lmites

x2000 4000 6000 8000 10000

y

100

200

300

400

500

C (x ) =275x +25 000

x

Ejemplo 9

Calcula:limx

ex 2/2

Empezamos observando que el exponente de la funcin es negativo. Esto nos indica que podemos escribir:

limx

ex 2/2

= lim

x

1

e x 2/2

Cuando x crece mucho, x 2/2 crece todava ms y e x 2/2 crece mucho ms. As que estamos calculando el resultado de dividir 1 entre un nmero que crece muy rpido. Entonces, conforme x tienda a infinito, esperamos que ex 2/2 se vaya a cero muy rpido. La grfica de la funcin nos da la misma informacin.:

x4 3 2 1 0 1 2 3 4

y

1y = ex 2/2

Entonces,limx

ex 2/2

= 0

Ejemplo 10

Calcula:

limx

3

2+5e2t


1.1 Lmites 43

Empezamos aplicando las propiedades de los lmites:

limx

3

2+5e2t

= lim

x

3

2

+ lim

x5e2t

=3

2+ lim

x5e2t

=3

2+5 lim

xe2t

Cuando t tiende a infinito e2t = 1/e 2t tiende a cero, porque e 2t crece muy rpido. Entonces,

limx

3

2+5e2t

=

3

2+5 lim

xe2t = 3

2+5 (0) = 3

2

Se te queda como ejercicio graficar la funcin y = 32+5e2x y verificar grficamente el resultado.

Ejemplo 11

La produccin de un trabajador de ensamble de juguetes despus de t das es de:

P(t ) = 35 1 e0.25t en cada hora de trabajo. Cul es el nmero mximo de juguetes que puede ensamblar enuna hora un experto ensamblador?

Para calcular el nmero de juguetes que puede ensamblar un experto, consideramos que tiene mu-cho tiempo de prctica ensamblando juguetes.

As que tenemos que calcular:limtP(t ) = limt

35 1 e0.25t

Aplicando las propiedades de los lmites obtenemos:limtP(t ) = limt

35 1 e0.25t

= 35 limt

1 e0.25t

= 35

limt (1) limt

e0.25t

= 35

1 lim

t

e0.25t

Usando las leyes de los exponentes, podemos escribir:

limtP(t ) = 35

1 lim

t

e0.25t

= 35

1 lim

t

1

e 0.25t

Cuando t tiende a infinito, el cociente 1/e 0.25t tiende a cero, entonces,

limtP(t ) = 35 [10] = 35 (1) = 35


44 Lmites

Con el paso del tiempo un trabajador puede ensamblar a lo ms 35 juguetes por hora. Verifica geomtricamente el resultado graficando la funcin P(t ) = 35 1 e0.25t .

Ejemplo 12

Si p es el precio de una caja de cereal, el nmero de unidades demandadas por los clientesest relacionada con el precio de acuerdo a la siguiente funcin:

p (x ) =100

ln(x +5)

Si la demanda crece mucho, qu pasa con el precio?

Necesitamos calcular el siguiente lmite:limxp (x ) = limx

100

ln(x +5)

Empezamos graficando la funcin:

x0 20 40 60 80 100

y

10

20

30

40

50

y =100

ln(x +5)

Ya sabemos que la funcin y = ln(x +5) se va a infinito cuando x tiende a infinito. Entonces, 100

ln(x +5)tiende a cero cuando x tiende a infinito, porque el denominador crece ms y

ms.

limxp (x ) = limx

100

ln(x +5)

= 0

Ejercicios 1.1.4 Calcula cada uno de los siguientes lmites. En caso de que el lmite pedido no exista, indcalo.

1) limx

x2

2) limx

1x

0

3) limx

1 1

x

1


1.1 Lmites 45

4) limx

x 2x 3

5) limx

x +

1

2x 2

6) limx

x 21x 31

0

7) limx

2x 34x 2+5x 77x 35x 24x +2

2

7

8) limx

5x 51

500x 4+120x 3

9) limx

x 31

x 3x 2+x 1

1

10) limx

2x 564

x 516x 4+8x 3+4x 22x +1

2

11) limx

7x 7+106

6x 8106

0

12) limx

6x 81067x 7+106

13) limx

8x 46x 3+11x 24x 53x 42x 3+11x 25x 4

8

3

14) limx

4x 41x 32x 22x +811x 43x 39x 210x +3

4

11

15) limx

10x 46x 3+5x 28x +75x 411x 3+3x 210x +2

10

5

16) limx

7x 4+1x 36x 2+4x 92x 4+5x 31x 2+8x 5

7

2

17) limx

10x 43x 33x 2+6x 611x 46x 311x 2+4x 6

10

11

18) limx

7x 4+9x 35x 210x 56x 4+4x 34x 22x 6

7

6

19) limx

9x 4+4x 3+8x 2+3x +107x 4+8x 3+7x 2+3x +5

9

7

20) limx

8x 4+10x 3+11x 2+2x 610x 4+11x 3+6x 2+3x 6

4

5

21) limx

6x 4+6x 3+9x 25x +2

10x 4+2x 3+5x 21x +5

3

5

22) limx

7x 4+4x 36x 2+3x +46x 4+11x 36x 2+4x +10

7

6

23) limx

11x 45x 38x 2+1x 39x 410x 310x 2+2x 4

11

9


46 Lmites

24) limx

4x 4+4x 39x 211x +27x 4+7x 310x 27x +1

4

7

25) limx

6x 411x 3+8x 2+3x +83x 41x 3+8x 2+1x +5

6

3

26) limx

10x 4+4x 3+5x 28x 97x 4+7x 3+7x 25x 6

10

7

27) limx

6x 43x 32x 23x 81x 410x 38x 26x 5

6

28) limx

9x 44x 3+9x 2+9x +97x 43x 3+1x 2+10x +4

9

7

29) limx

3x 42x 3+10x 2+7x 45x 42x 3+4x 2+11x 2

3

5

30) limx

6x 4+5x 3+10x 24x 510x 4+8x 3+2x 24x 3

3

5

31) limx

9x 4+10x 3+7x 2+9x +55x 4+5x 3+2x 2+10x +6

9

5

32) limx

1x 47x 3+7x 2+9x +810x 48x 3+11x 2+3x +5

1

10

33) limx

9x 4+2x 3+3x 210x 63x 4+11x 3+7x 22x 10

9

3

34) limx

9x 4+1x 3+5x 23x +95x 4+3x 3+8x 25x +6

9

5

35) limx

9x 4+5x 32x 23x +6

2x 4+7x 310x 24x +8

9

2

36) limx

10x 46x 37x 25x 91x 410x 32x 24x 4

10

37) limx

6x 47x 38x 2+6x +84x 43x 33x 2+4x +4

3

2

38) limx

x lnx

lnx

39) limx

2 ln(x )

1 ln(x )

2

40) limx

3px

ex 2

41) limx

x exx 2+1

0

42) limx

1 lnx

x

0

43) limx

e x

x e


1.1 Lmites 47

44) limx (cosx ) 6

45) limx

tanxsecx

6

46) limx (sinx cosx ) 6

47) limx

sinx

x

0

48) limx

x + sinx

x

1

49) limx

cosxx + sinx

0

50) limx

e x + sinxx 2+ e 2x

0


48 Lmites


1.2 Teorema de continuidad de una funcin 49

1.2 TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN

A travs de algunos ejemplos nos hemos dado cuenta que un lmite existe siempre que la funcin escontnua en un intervalo al cual pertenezca el punto al cual tiende la variable independiente de la funcin.

Hay algunas condiciones que nos ayudan a calcular lmites de una manera sencilla lmites y que tambinnos ayudan a determinar si una funcin es contnua en un punto.

1.2.1 CONDICIONES DE CONTINUIDAD

Para que una funcin sea contnua se requeiren de las siguientes condiciones.

Definicin 1

CONDICIONES DE CONTINUIDADUna funcin y = f (x ) es contnua en x = a , si

i. f (a ) est definida,

ii. limxa f (x ) existe, y

iii. limxa f (x ) = f (a ).

Cuando decimos que una funcin es contnua en un intervalo I , queremos decir que las condiciones decontinuidad se cumplen para cualquier punto de ese intervalo.

Recuerda que la segunda condicin requiere que los lmites laterales:

limxa+ f (x ) y limxa f (x ) existen.

En los siguientes ejemplos veremos algunos casos de funciones que son contnuas y otros de funcionesdiscontnuas.

Ejemplo 1

Verifica si la funcin:y = x 21

es contnua en el punto x = 0.

Esta funcin es polinomial, y por tanto, su dominio es R.

Esto se debe a que siempre podemos multiplicar un nmero por s mismo y a ese resultado restarle1.

Cuando x se acerca a cero, obtenemos:

limx0x

2 = (0)2 = 0

Adems, f (0) = 02 = 0, por lo que esta funcin es contnua en x = 0.Efran Soto A. www.aprendematematicas.org.mx

50 Lmites

x4 3 2 1 1 2 3 4

f (x )

1

11

2

3

4

5

6

7

8

9

Ejemplo 2

Verifica si la funcin:

y =x 21x 1

est definida para x = 1.

Primero vamos a calcular el lmite:limx1

x 21x 1

Para eso, empezamos factorizando el numerador de la funcin:limx1

x 21x 1 = limx1

(x +1)(x 1)x 1

= limx1 (x +1) = 1+1= 2

Entonces, el lmite existe. Ahora debemos verificar que la funcin est definida cuando x = 1. Pero cuando x = 1 el denominador se hace cero. Y entonces, no podemos realizar la divisin:

y (1) =(1)21

11 =0

0



Entonces, la funcin no est definida para x = 1. Y concluimos que la funcin no es contnua en ese punto. Se te queda como ejercicio graficar esta funcin.

Algunas veces las funciones definidas por intervalos.

En estos casos debemos verificar que la funcin est bien definida. Porque, por ejemplo, puede ocurrirque la funcin tome dos valores para un solo valor de x debido a que se ledefini incorrectamente.

Evidentemente, eso no debe ocurrir, porque una funcin devuelve a lo ms un nico valor de y para cadax que nosotros le demos.

Si devuelve ms de un valor, entonces no se trata de una funcin.

Ejemplo 3


y (x ) =

2x si x 3x 23 si x > 3

en el punto x = 3.

Primero calcularemos el lmite:limx3y (x )

Observa que la funcin est definida de una manera por la izquierda y de otra por la derecha de esepunto.

As que tendremos que calcular los dos lmites laterales y verificar que coinciden. Empezamos calculando el lmite por la izquierda:

limx3 y (x ) = limx3 2x

= 2(3) = 6

Ahora calcularemos el lmite por la derecha:limx3+ y (x ) = limx3+ x

23= (3)23= 6

Como los dos lmites laterales son iguales, el lmite limx3y (x ) existe.

Ahora verificamos que la funcin est definida para x = 3. Observa que en la definicin, la expresin x 3 nos indica que debemos usar la primera rama de la

funcin:

y (3) = 2x = 2(3) = 6

Adems, podemos ver que y (3) = limx3y (x ), por lo que la funcin s es contnua en x = 3.

La grfica de esta funcin es la siguiente:Efran Soto A. www.aprendematematicas.org.mx

52 Lmites

x4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

y

2

2

4

6

8

10

y (x ) =

2x si x 3x 23 si x > 3

Observa que la grfica de la funcin es contnua porque en x = 3 el valor de las dos ramas coincide.

Esto lo notamos del clculo de los dos lmites laterales.

En general, puedes ver grficamente si una funcin es discontnua si al graficarla sta presenta un brinco,es decir, si no es posible dibujarla de un solo trazo.

Las funciones escalonadas son discontnuas. Igualmente, las funciones racionales con denominador quese hace cero para al menos un valor de x .

Ejemplo 4

Verifica si la funcin piso, que se denota por: y = bx c, y que se define como:bx c=mayor entero x

es contnua en el intervalo (0,).

Observa que la funcin tiene un mismo valor y para muchos valores de x :www.aprendematematicas.org.mx Efran Soto A.


x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

1

2

3

4

5

6

7

La grfica nos indica que la funcin es discontnua.

Esto se concluye tambin al calcular cualquiera de los lmites:

limxk bx c k Z

porque para calcular ese lmite, se requiere que los lmites por la izquierda y por la derecha coinci-dan.

Pero cuando k es un entero, el lmite por la derecha es k , mientras que el lmite por la izquierda esk 1, porque la funcin bx c devuelve la parte entera de x .

Luego, el lmite limxk bx c con k entero, no existe.

Y por tanto, la funcin es discontnua para toda x = k con k entera.

Ejemplo 5


y =sinx

x

es contnua en x = 0.

Ya calculamos el lmite limx0

sinx

xen la pgina 23.

Si sustituimos x = 0 en la funcin, obtenemos cero sobre cero.

As que la funcin no es contnua, porque no cumple con la primera condicin de coninuidad.

La grfica de la funcin es la siguiente:Efran Soto A. www.aprendematematicas.org.mx

54 Lmites

x3 2 1 0 1 2 3

y

1

1y =

sinx

x

Observa que la funcin no est definida para x = 0 debido a la divisin entre cero. Sin embargo, si definimos f (0) = 1, la funcin es contnua.

Reto 1

Considera la funcin

y =

0 si x es un nmero racional,1 si x es un nmero irracional

Es esta funcin es contnua o discontnua? Argumenta tu respuesta.

La continuidad es importante en matemticas porque en una funcin contnua, un pequeo incrementoen x ocasiona un pequeo incremento en y .

No as con las funciones discontnuas.

En otras palabras, para una funcin contnua, cuandox tiende a cero, y (x+x ) tiende a y (x ), indepen-dientemente de que nos acerquemos a x por la derecha o por la izquierda.

Ejemplo 6

Si las funciones f y g son contnuas y satisfacen:

limx1

3 f (x )+ g (x )

= 12

Sabiendo que f (1) = 2, calcula: g (1).

Por las propiedades de los lmites, podemos reescribir el lmite dado como sigue:limx1

3 f (x )+ g (x )

= 3 lim

x1 f (x )+ limx1 g (x ) = 12

Pero sabemos adems que las dos funciones son contnuas. As que se cumple tambin:

3 f (1)+ g (1) = 12porque de acuerdo a la definicin de continuidad,

limx1 f (x ) = f (1)

y tambin:limx1 g (x ) = g (1)

Como f (1) = 2, tenemos:3 (2)+ g (1) = 12 g (1) = 6



Con lo que terminamos.

Ejercicios1.2.1

Verifica la continuidad de las siguientes funciones para el valor de x dado.

1) y = x 2x +1 cuando x = 0. Continua2) y =

1

xcuando x = 0. Discontnua

3) y =x

1+xcuando x =1. Discontnua

4) y =3px 2

1+px

cuando x = 1. Contnua

5) y =exx

cuando x = 0. Discontnua

6) y =x 21x 2+1


7) y =x 2+1x 21 cuando x = 1. Discontnua

8) y =x

e x 1 cuando x = 0. Discontnua

9) y =e x

x ex cuando x = 0. Contnua

10) y =ln(x )e x e cuando x = 0. Discontnua

11) y =

5x2 si x 2x 2+1 si x > 2 cuando x = 1. Contnua12) y =

1x 2 si x 1x 21 si x > 1 cuando x = 1. Contnua

13) y =

2x 1 si x 02x +1 si x > 0


14) y =

x 3 si x 22x 2 si x > 2


15) y =

5x si x 2x 2+1 si x > 2


16) y =

|x |+1 si x 0x 2x si x > 0 cuando x = 1. Discontnua

17) y =

7x 14 si x 1x +1 si x > 1



56 Lmites

18) y =

sin(x ) si x 0cos(x ) si x > 0

cuando x = 0. Disontnua

19) y =

sin(x )x si x < 0cos(x ) si x 0 cuando x = 0. Contnua

20) y =

x si x 0tan(x ) si x > 0


21) y =

cos(2x ) si x 0sin(5x )+1 si x > 0


22) y =

cos(2x ) si x < 0sin(5x )+1 si x 0 cuando x = 0. Contnua

23) y =

ex si x < 1e x si x 1 cuando x = 1. Discontnua

24) y =

e x11 si x < 1ln(x ) si x 1 cuando x = 1. Contnua

25) y =

ln(x +1) si x < 0e x si x 0 cuando x = 0. Discontnua

1.2.2 TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO Y VALORES EXTREMOS

Cuando una funcin es contnua en un intervalo, digamos [a ,b ], entonces, dado que la funcin no secorta en ese intervalo, los valores de y que va devolviendo esa funcin en ese intervalo estn entre f (a ) yf (b ), al menos.

Es posible que suba ms all de f (a ) f (b ), aunque no siempre ocurrir, pero siempre tomar todos losvalores entre esos dos lmites.

Eso es de lo que habla el teorema del valor intermedio.

Teorema 1

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIOSea y = f (x ) una funcin contnua en el intervalo [a ,b ] (cerrado) y sea k un nmero entref (a ) y f (b ). Entonces, existe un nmero x0 en el intervalo [a ,b ] (es decir, a x0 b ) quesatisface: f (x0) = k .

En otras palabras, una funcin contnua toma todos los valores entre f (a ) y f (b ) cuando los valores de xcambian desde a hasta b .

La siguiente grfica muestra esto de una manera ms clara:



x

y

x0

y = f (x )k = f (x0)

ba

f (b )

f (a )

Cuando el valor k va subiendo, los valores de x0 van movindose hacia la derecha (para la grfica dela funcin mostrada) y cuando k va bajando sobre el eje y , los valores de x0 van movindose hacia laizquierda.

Geomtricamente este teorema nos dice que la lnea horizontal y = k corta a la grfica de la funciny = f (x ) en al menos un punto cuando es contnua en el intervalo [a ,b ] y se cumple que k = f (x0) ya x0 b .Es posible que corte a la grfica de la funcin en varios puntos. Por ejemplo, si dibujamos el punto bdespus del mximo que se dibuj, es posible para algunos puntos de la grfica que la recta horizontalcorte en dos de sus puntos.

Ejemplo 1

Demuestra que la funcin:y = x 3x 2+x +1

tiene una raz en el intervalo [1, 1].

Para eso vamos a aplicar el teorema del valor intermedio. Como la funcin es polinomial es contnua en todo el conjunto de los nmeros reales. Si N = f (x0) = 0 para algn x0 que est en el intervalo [1, 1], hacemos a =1, y b = 1, y evaluamos

la funcin en esos puntos:

y (1) = (1)3 (1)2+(1)+1=2< 0y (1) = (1)3 (1)2+(1)+1= 2> 0

Por lo que satisface con la condicin de que f (a ) k f (b ). Entonces, por la continuidad de la funcin, debe existir un nmero x0 en el intervalo [a ,b ] tal que

f (x0) = 0.

Observa que no hemos dicho cmo calcular el valor de x0 que es raz de la funcin dada.

Solamente sabemos que existe. Tampoco podemos asegurar que sea nico.

En realidad este es el teorema que utilizamos cuando decimos que una funcin polinomial de grado impartiene al menos una raz real porque para valores positivos y grandes de x los valores que va devolviendola funcin se hacen positivos para algn x suficientemente grande, y cuando x es negativo y muy grande,los valores que devuelve la funcin son negativos.

Entonces, dado que toda funcin polinomial es contnua en todo el conjunto de los nmeros reales, sielegimos el intervalo [p ,q ] con p tal que f (p ) sea un nmero negativo y q tal que f (q ) positivo, entonces,


58 Lmites

por el teorema de valor intermedio, existe un nmero x0 en el intervalo [p ,q ] tal que p x0 q y satisface:f (x0) = 0.

Ejemplo 2

Demuestra que una raz de la funcin:

y =x 3+x 2x +1

x 2+1

est en el intervalo [5, 0]

Vamos a evaluar la funcin en los extremos del intervalo:y (5) = (5)3+(5)2 (5)+1

(5)2+1 =9426=47

13< 0

y (0) =(0)3+(0)2 (0)+1

(0)2+1=

1

1= 1> 0

Como f (5) es negativo, f (0) es positivo y la funcin es contnua, dado que el denominador nuncase hace cero, una de sus races est en el intervalo [5, 0].

Precisamente eso es lo que suponemos cuando graficamos esa funcin.

Dado que el denominador nunca se hace cero, vamos dando valores a x y calculando los que le corre-sponden a y . Ubicamos esos puntos en el plano cartesiano y despus unimos esos puntos con una curvasuave que pase por todos ellos.

Ejemplo 3

Demuestra que la ecuacin:sinx = cosx

tiene una solucin en el intervalo [0, 1].

Evaluamos la funcin y = sinx cosx en x = 0 y x = 1:y (0) = sin(0) cos(0) = 01=1< 0y (1) = sin(1) cos(1) = 0.841470.5403= 0.30117> 0

Entonces, por el teorema de valor intermedio, haciendo M = 0, a = 0 y b = 1, existe un nmero x0en [0, 1] tal que f (x0) = 0.

Para cualquier funcin contnua en del intervalo [a ,b ], f (x0) es un nmero finito. Es decir, existe unnmero M finito que es el mximo valor que toma la funcin para algn valor xM .

Lo mismo se puede decir para el mnimo: existe un valor xm tal que f (xm ) =m siendo m el mnimo valorque toma la funcin en el intervalo [a ,b ].

Esto es lo que se plasma en el siguiente teorema.

Teorema 2Sea y = f (x ) una funcin contnua en el intervalo [a ,b ]. Entonces, la funcin tiene un valorM mximo y un valor m mnimo en ese intervalo.

Para el caso en que la funcin es constante, M =m , todos los valores que nos devuelve la funcin siemprees el mismo, digamos y = k .

Cuando la funcin no es constante, tenemos el caso ms general.



x

y

a b

y = f (x )

xMxm

M = f (xM )

m = f (xm )

La funcin que se muestra en la grfica es contnua en el intervalo [a ,b ]. Para x = xm la funcin adquiereel mnimo en ese intervalo, y para x = xM adquiere el mximo.

Observa que fuera del intervalo la funcin puede tomar valores mayores a f (xM ) as como puede tomarvalores menores a f (xm ).

Nosotros nos concentramos en los valores que pertenecen al intervalo, es decir, que satisfacen la desigual-dad: a x b .

Ejemplo 4Si y = f (x ) es una funcin contnua en el intervalo [a ,b ] y solamente toman valores enteros,qu podemos decir de esta funcin?

Dado que esta funcin es contnua, no puede presentar saltos en su grfica. Es decir, no puede parecerse a la funcin escaln. Si pudiera tomar dos valores distintos f (x1) y f (x2) estos valores deberan ser enteros. Por el teorema del valor intermedio debera existir un nmero x0 tal que x1 x0 x2, y:

f (x1) f (x0) f (x2) Pero para que la funcin sea contnua, f (x0) debe tomar todos los valores entre f (x1) y f (x2), in-

cluyendo nmeros no enteros.

Entonces, la funcin debe tener un solo valor, de otra forma, presentara saltos. En otras palabras, la funcin es constante en ese intervalo. En este caso, el mximo y el mnimo de la funcin son el mismo valor. Por ejemplo, si y = k con k entero, entonces, f (xm ) = f (xM ), debido a que m =M = k .

Ejemplo 5Si las funciones y = f (x ) y y = g (x ) son contnuas en el intervalo [a ,b ], y adems f (a )> g (a )y tambin f (b ) < g (b ), demuestra que existe un x0 en ese intervalo que cumple: f (x0) =g (x0).

Utilizando el teorema del valor intermedio, hacemos k = f (x0), donde f (a ) f (x0) f (b ). Este valor x0 existe en el intervalo [a ,b ] porque la funcin es contnua dentro del intervalo. Como la funcin y = g (x ) tambin es contnua, existe al menos un valor x1 en el intervalo para el

cual f (x1) = k .


60 Lmites

Como las funciones son contnuas, no presentan saltos en sus valores. Entonces, en un punto deben cortarse si se satisfacen f (a )> g (a ) y f (b )< g (b ). Es decir, un punto (x0,k ) pertenece a ambas grficas. Por eso, satisfacen f (x0) = g (x0). La grfica muestra exactamente eso:

x

y

y = g (x )

y = f (x )

a b

k

x0


Captulo 2

Razones de cambio y la derivada

Por aprender...

2.1. La derivada

2.1.1. Razn de cambio promedio e instantnea

2.1.2. La derivada como razn de cambio instantnea

2.1.3. Interpretacin geomtrica de la derivada

2.1.4. Diferenciabilidad en un intervalo

2.2. Reglas de derivacin

2.2.1. Regla de la potencia

2.2.2. Reglas del producto y del cociente

2.2.3. Derivadas de funciones trigonomtricas y funciones trigonomtricas inversas

2.2.4. Derivadas de funciones exponencial y logartmica

2.2.5. Regla de la cadena

2.3. Derivacin implcita

2.4. Ecuaciones de la tangente y la normal.

Por qu es importante...

La derivada es el concepto que nos ayudar a resolver muchos problemas prcticos relacionados conrazones de cambio promedio e instantnea.


62 Razones de cambio y la derivada


2.1 La derivada 63

2.1 LA DERIVADA

En esta seccin empezamos con el estudio del concepto ms importante de este curso.

La derivada, la cual vamos a definir ms adelante, es una herramienta poderossima que ayuda a in-genieros, cientficos, bilogos, sociologos, etc., a resolver problemas diversos en los que se involucranrazones de cambio.

2.1.1 RAZN DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTNEA

Al inicio de este curso estudiamos de una manera intuitiva la razn de cambio de la velocidad con re-specto al tiempo, es decir, la velocidad promedio de una piedra que fue lanzada y de la cual conocemosla ecuacin de su movimiento.

Entonces, utilizamos la definicin bsica de velocidad promedio como el cociente de la distancia recor-rida dividida entre el tiempo que le tom al objeto recorrerla1:

v =y (t f ) y (t i )

t f t i =yt=d

t

En la grfica, la velocidad promedio puede calcularse a partir de los puntos B yC , y es igual a la pendientede la recta que pasa por esos dos puntos, como se puede ver de la frmula anterior y de la grfica.

t1 2 3

y (t )

29

30

31

y

tB

C

Entonces, cuando el punto C se acerca mucho al punto B ,t tiende a cero.

La grfica de la recta secante se va transformando, cambiando su pendiente, como se muestra en la sigu-iente grfica:

1Ver el ejemplo de la pgina 9.


64 Raz

calculo diferencial.pdf

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