cálculo diferencial e integral 1 -...
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2018/Sem_02
NOTAS DE AULA
Cálculo Diferencial e
Integral 1
Derivadas
Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.
Cálculo 1
Cálculo Diferencial e Integral 1
ii
Índice 3 Derivadas .................................................................................................................. 1
3.1 Definição ........................................................................................................... 1 3.2 Função derivada ................................................................................................ 1 3.3 Derivadas das funções compostas ..................................................................... 3 3.4 Regras de derivação .......................................................................................... 3
3.5 A Derivada como Taxa de Variação ................................................................. 9 3.6 Interpretação geométrica da derivada. ............................................................ 10 3.7 Derivadas sucessivas ....................................................................................... 14 3.8 Interpretação cinemática das derivadas .......................................................... 15 3.9 Derivadas das funções implícitas .................................................................... 16
3.10 Crescimento e decrescimento de funções.................................................... 18 3.11 Taxas relacionadas ...................................................................................... 19 3.12 Máximos e mínimos .................................................................................... 22
3.13 Concavidade e pontos de inflexão ............................................................... 25 3.14 Problemas de otimização envolvendo máximos e mínimos........................ 28 3.15 A Regra de L’Hospital ................................................................................ 30 3.16 Diferenciais ................................................................................................. 31
3.17 Exercícios propostos ................................................................................... 33
Referências Bibliográficas ............................................................................................ 36
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1
3 Derivadas
3.1 Definição
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento de I.
Chama-se derivada de f no ponto a, denotada por )(' af , )(adx
df ou )(aDf , ao limite:
h
afhafaf
h
)()(lim)('
0
, se este limite existir e for finito.
Se escrevermos hax , então axh , e:
ax
afxfaf
ax
)()(lim)('
Exemplos:
1) Encontre a derivada da função 98)( 2 xxxf no ponto ax .
Resolução:
h
aahaha
h
afhafaf
hh
]98[]9)(8)[(lim
)()(lim)('
22
00
82)82(lim)82(
lim)('0
2
0
aha
h
hhaaf
hh
Resposta: 82)(' aaf
2) Encontre a derivada da função x
xf3
)( , no ponto de abscissa 3.
Resolução:
h
fhf
h
fhf
h
fhffm
hhh
)3()3(lim
)3()3(lim
)3()3(lim)3('
000
3
1
)3(
1lim
)3(lim3
33
lim
13
3
lim0000
hhh
h
h
h
h
h
hhhhh
Resposta: 3
1)3(' f
3.2 Função derivada
Definição: Seja f uma função derivável no intervalo aberto I. Chamamos de função derivada
da função f, à função que associa a cada valor de Ix , a derivada de f no ponto x.
Exemplo:
Encontre a função derivada da função xxxf 3)( .
Resolução:
h
xxhxhx
h
xfhxfxf
hh
][)]()[(lim
)()(lim)('
33
00
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2
h
hhxhhx
h
xxhxhxhhxx
hh
322
0
33223
0
33lim
33lim
13)133(lim 222
0
xhxhx
h
Resposta: 13)(' 2 xxf
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento de I.
Dizemos que f é uma função diferenciável em a, se existir o limite:
h
afhafaf
h
)()(lim)('
0
. Em outras palavras, uma função é diferenciável nos pontos a
onde existe )(' af .
Graficamente observa-se que uma função f é diferenciável nos pontos em que o gráfico é
“suave”.
Exemplo:
Encontre os pontos em que a função xxf )( é diferenciável.
Resolução:
)1o Para 0x , xx e para h suficientemente pequeno, 0 hx e portanto
hxhx , logo:
1limlim)('00
h
xhx
h
xhxxf
hh. Assim, xxf )( é diferenciável para valores
de 0x ;
)2o
Para 0x , xx e para h suficientemente pequeno, 0 hx e portanto
)( hxhx , logo:
1lim)()(
limlim)('000
h
xhx
h
xhx
h
xhxxf
hhh. Assim, xxf )( é
diferenciável para valores de 0x ;
)3o Para 0x , temos:
h
h
h
hf
hh 00lim
00lim)0('
.
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Mas 1limlim00
h
h
h
h
hh e 1limlim
00
h
h
h
h
hh.
Logo, como estes limites laterais são diferentes, concluímos que h
h
h 0lim
não existe.
Assim, xxf )( não é diferenciável no ponto 0x .
Resposta: xxf )( é diferenciável em todos os pontos, exceto, no ponto 0x .
De fato, observando o gráfico de xxf )( , vemos que o mesmo não é “suave” (forma uma
ponto), no ponto 0x .
Teorema: Sejam a função Af : e Ax 0 . Se f é derivável em 0x , então f é contínua
em 0x .
Observação: A recíproca deste teorema não é verdadeira.
3.3 Derivadas das funções compostas Consideremos duas funções deriváveis f e g onde )(ugy e )(xfu , isto é,
podemos considerar a função composta ))(o( xfg .
Então as derivadas du
dy e
dx
du existem e a derivada da função composta
))(())(o( xfgxfg tem derivada que é dada por: dx
du
du
dy
dx
dy ou )(')(')(' xfugxy .
Esta expressão é conhecida por Regra da Cadeia.
3.4 Regras de derivação
Aplicando-se a definição de função derivada, bem como a regra da cadeia, podemos
deduzir as seguintes regras de derivação.
kxf )( , k 0)(' xf
ukxf )( , k ')(' ukxf nuxf )( ')(' 1 uunxf n
n uxf )( n nun
uxf
1
')('
uaxf )( , 10 a 'ln)(' uaaxf u uexf )( ')(' uexf u vuxf )( 'ln')(' 1 vuuuuvxf vv
vuxf )( '')(' vuxf
vuxf )( '')(' vuvuxf
v
uxf )(
2
'')('
v
vuvuxf
uxf alog)( au
uxf
ln
')('
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uxf ln)( u
uxf
')('
uxf sen)( 'cos)(' uuxf
uxf cos)( 'sen)(' uuxf
uxf tg)( 'sec)(' 2 uuxf
uxf sec)( 'tgsec)(' uuuxf
uxf cossec)( 'cotgseccos)(' uuuxf
uxf cotg)( 'cossec)(' 2 uuxf
uxf senarc)( 21
')('
u
uxf
uxf cosarc)( 21
')('
u
uxf
uxf tgarc)( 21
')('
u
uxf
uxf secarc)( 1
')('
2
uu
uxf
uxf cossecarc)( 1
')('
2
uu
uxf
uxf cotgarc)( 21
')('
u
uxf
Exemplos:
1) Utilizando as regras de derivação, encontre a função derivada de cada uma das seguintes
funções:
a) 3)( xf
Resolução:
0)('3)( xfxf
Resposta: 0)(' xf
b) xxf )(
Resolução:
1)(')( xfxxf
Resposta: 1)(' xf
c) xxf 2)('
Resolução:
212]'[2)('2)( xxfxxf
Resposta: 2)(' xf
d) 2)( xxf
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Resolução:
xxxxxfxxf 212]'[2)(')( 122
Resposta: xxf 2)('
e) 2)( xxf
Resolução:
3
3122 212]'[2)(')(
xxxxxfxxf
Resposta: 3
2)('
xxf
f) 3 2)( xxf
Resolução:
3
1
3
11
3
2
3
2
3 2
3
21
3
2]'[
3
2)(')()(
xxxxxfxxfxxf
Resposta: 3
1
3
2)('
xxf
g) 5610412)( 3458 xxxxxxf
Resolução:
]'5[]'6[]'10[]'4[]'12[]'[)('5610412)( 34583458 xxxxxxfxxxxxxf
06103441258)(' 2347 xxxxxf
63016608)(' 2347 xxxxxf
Resposta: 63016608)(' 2347 xxxxxf
h) xxxf e)(
Resolução:
xxxxxx xxxxxfxxf e)1(ee1]'e[e]'[)('e)(
Resposta: xxxf e)1()('
i) )()( bxaxxf
Resolução:
)0()(]'[)'()(]'[)(')()( 2
1
bxbxaxbxaxbxaxxfbxaxxf
x
bxaxbbxaxbxbxaxxf
2
3)(
2
1)0()(
2
1)(' 2
11
2
1
Resposta: x
bxaxf
2
3)('
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j) 6
2)(
3
2
x
xxxf
Resolução:
23
3232
3
2
)6(
]'6[)2()6(]'2[)('
6
2)(
x
xxxxxxxf
x
xxxf
23
234
23
223
)6(
61262
)6(
)03()2()6()012()('
x
xxxx
x
xxxxxxf
Resposta: 23
234
)6(
61262)('
x
xxxxxf
k) 1)( 2 xxf
Resolução:
]'1[)1(2
1)(')1()(1)( 2
12
1
22
1
22 xxxfxxfxxf
1)02()1(
2
1)('
2
2
1
2
x
xxxxf
Resposta: 1
)('2
x
xxf
l) 1003 )1()( xxf
Resolução:
]'03[)1(100]'1[)1(100)(')1()( 29933110031003 xxxxxfxxf
2993 )1(300)(' xxxf
Resposta: 2993 )1(300)(' xxxf
m)
9
12
2)(
x
xxf
Resolução:
]'12
2[
12
29)('
12
2)(
199
x
x
x
xxf
x
xxf
2
8
)12(
]'12[)2()12(]'2[
12
29)('
x
xxxx
x
xxf
2
8
2
8
)12(
)2(2)12(
12
29
)12(
)02()2()12()01(
12
29)('
x
xx
x
x
x
xx
x
xxf
10
8
)12(
)2(45)('
x
xxf
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Resposta: 10
8
)12(
)2(45)('
x
xxf
n) 435 )1()12()( xxxxf
Resolução:
]')1[()12()1(]')12[()(')1()12()( 435435435 xxxxxxxfxxxxf
]'1[)1(4)12()1(]'12[)12(5)(' 314354315 xxxxxxxxxxf
)013()1(4)12()1()02()12(5)(' 2335434 xxxxxxxxf
)13()1()12(4)1()12(10)(' 2335434 xxxxxxxxf
Resposta: )13()1()12(4)1()12(10)(' 2335434 xxxxxxxxf
o) xxf sene)(
Resolução:
xxxfxf xxx cose]'sen[e)('e)( sensensen
Resposta: xxf x cose)(' sen
p) xxf 3sece)(
Resolução:
33tg3sece]'3[3tg3sece]'3sec[e)('e)( 3sec3sec3sec3sec xxxxxxxfxf xxxx
Resposta: xxxf x 3tg3sece3)(' 3sec
q) x
xxf
tg1
sec)(
Resolução:
2)tg1(
]'tg1[)(sec)tg1(]'[sec)('
tg1
sec)(
x
xxxxxf
x
xxf
2
2
)tg1(
)'sec0()(sec)tg1('tgsec)('
x
xxxxxxxxf
2
22
2
2
)tg1(
)sectg(tgsec
)tg1(
)1(sec)(sec)tg1(1tgsec)('
x
xxxx
x
xxxxxxf
22
22
)tg1(
)1(tgsec
)tg1(
))tg1(tg(tgsec)('
x
xx
x
xxxxxf
Resposta: 2)tg1(
)1(tgsec)('
x
xxxf
r) )32(cos)( 5 xxf
Resolução:
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)]'32[cos()32(cos5)(')32(cos)( 45 xxxfxxf
]'32[))32(sen()32(cos5)(' 4 xxxxf
)02())32(sen()32(cos5)(' 4 xxxf
)32(sen)32(cos10)(' 4 xxxf
Resposta:
s)
5
1ln)(
2
2
x
xxf
Resolução:
5
1
)5(
]'5[)1()5(]'1[
5
1
']5
1[
)('5
1ln)(
2
2
22
2222
2
2
2
2
2
2
x
x
x
xxxx
x
x
x
x
xfx
xxf
5
1
)5(
)1(2)5(2
5
1
)5(
)02()1()5()02(
)('
2
2
22
22
2
2
22
22
x
x
x
xxxx
x
x
x
xxxx
xf
)5()1(
12
5
1
)5(
12
)('22
2
2
22
xx
x
x
x
x
x
xf
Resposta: )5()1(
12)('
22
xx
xxf
t) )3(sen)( 23 xxxf
Resolução:
)]'3(sen[)3(sen3)(')3(sen)( 22223 xxxxxfxxxf
)32()3(cos)3(sen3]'3[)3(cos)3(sen3)(' 2222222 xxxxxxxxxxxxf
)3(cos)3(sen)32(3)(' 222 xxxxxxf
Resposta: )3(cos)3(sen)32(3)(' 222 xxxxxxf
u) 32 )3(sen)( xxxf
Resolução:
]')3[()3(cos)(')3(sen)( 323232 xxxxxfxxxf
]'3[)3(3)3(cos]')3[()3(cos)(' 222323232 xxxxxxxxxxxf
22322232 )3()3(cos)32(3)32()3(3)3(cos)(' xxxxxxxxxxxf
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Resposta: 2232 )3()3(cos)32(3)(' xxxxxxf
v) xxxf cos32
e)(
Resolução:
)]'[cos32(e]'cos3[e)('e)( cos32cos3cos3 222
xxxxxfxf xxxxxx
)sen32(e))sen(32(e)(' cos3cos3 22
xxxxxf xxxx
Resposta: )sen32(e)(' cos32
xxxf xx
x) xxf e)(
Resolução:
xxxx xxfxf e)1(e]'[e)('e)(
Resposta: xxf e)('
y) xxf 3e)(
Resolução:
xxxx xxfxf 3333 e3)3(e]'3[e)('e)(
Resposta: xxf 3e3)('
z) xxxf )(
Resolução:
1ln1]'[ln]'[)(')( 11 xxxxxxxxxxxfxxf xxxxx
)ln1(ln1)(' xxxxxxf xxx
Resposta: )ln1()(' xxxf x
3.5 A Derivada como Taxa de Variação
Se uma quantidade y é uma função de uma quantidade x, podemos expressar a taxa de
variação de y por unidade de variação em x. Se a relação funcional é dada por )(xfy e se x
varia do valor a para xa , então y varia de )(af para )( xaf . Assim, a variação em y
que pode ser denotada por y será )()( afxaf , quando a variação em x for x . Então,
a taxa média de variação de y por unidade de variação em x, quando x varia de a para xa ,
será x
y
x
afxaf
)()(.
Se o limite deste quociente existir quando 0x , este limite será o que
intuitivamente consideramos a taxa de variação instantânea de y por unidade de variação de x
em a, isto é: x
afxafaf
x
)()(lim)('
0
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Exemplo:
Se uma determinada substância for aquecida, a temperatura (em graus Célcius), após t
minutos, 50 t , será dada por 8630)( tttT .
a) Determine a taxa média de variação de T no intervalo de tempo 41,44 t ;
b) Determine a taxa de variação instantânea de T, quando 4t .
Resolução:
a) min/46,3141,0
1409,152
441,4
)4()41,4( 0CTT
b) t
ttTtttTtttT3
3062
130)('8630)(8630)(
12
1
2
1
min/5,312
330
4
330)4('
330)(' 0CT
ttT
Respostas: a) min/46,31 0C b) min/5,31 0C
3.6 Interpretação geométrica da derivada. Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I. Vamos admitir ainda, que
exista a derivada de f no ponto Ia . Então, o coeficiente angular m da reta tangente ao
gráfico de f no ponto de abscissa a é )(' af .
Isto é: x
afxafafm
x
)()(lim)('
0.
Quando 0x temos que ts e
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Vale a pena lembrar, que a equação da reta que passa pelo ponto ),( 00 yx e que tem
coeficiente angular m é dada por: )( 00 xxmyy .
Exemplo:
1) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função 98)( 2 xxxf , no ponto de
abscissa 3.
Resolução:
98)( 2 xxxf 82)(' aaf . Logo 2832)3(' fm .
O ponto de abscissa 3 tem imagem: 69383)3( 2 f .
Assim, o exercício pede a equação da reta tangente ao gráfico da referida função no ponto
)6,3( .
Finalmente, a equação da reta que passa pelo ponto ),( 00 yx e que tem coeficiente angular m
é dada por: )( 00 xxmyy .
Assim, temos xyxy 2)3(2)6(
Resposta: xy 2 .
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2) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função x
xf3
)( , no ponto de abscissa
3.
Resolução:
222
3130]'[3]'3[)('
xx
x
x
xxxf
3
1
3
3)3('
2 fm
O ponto de abscissa 3 tem imagem: 13
3)3( f .
Assim, o exercício pede a equação da reta tangente ao gráfico da referida função no ponto
)1,3( .
Finalmente, a equação da reta que passa pelo ponto ),( 00 yx e que tem coeficiente angular m
é dada por: )( 00 xxmyy .
Assim, temos xyxy3
12)3(
3
11
Resposta: xy3
12 .
3) Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva xxy , no ponto (1, 1).
Resolução:
xyxxxyxxxyxxy2
3'
2
3
2
3
2
3' 2
11
2
3
2
3
2
1
2
31
2
3)1(' ym
Finalmente, a equação da reta que passa pelo ponto ),( 00 yx e que tem coeficiente angular m
é dada por: )( 00 xxmyy .
Assim, temos 2
1
2
3)1(
2
31 xyxy
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A reta normal, tem coeficiente angular igual a m
1 .
Assim, a equação da reta que passa pelo ponto ),( 00 yx e que tem coeficiente angular m
1 é
dada por: 3
5
3
2)1(
3
21)1(
2
3
11)(
100 xyxyxyxx
myy .
Respostas:
Reta tangente no ponto (1, 1):2
1
2
3 xy
Reta normal no ponto (1, 1):3
5
3
2 xy
4) Encontre os pontos sobre a curva 46 24 xxy , onde as retas tangentes são horizontais.
Resolução:
)3(4124'46 2324 xxxxyxxy
3
00)3(4' 2
x
xxxy
Procurando as imagens destes pontos na função, obtemos: )4,0( , )5,3( e )5,3(
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Respostas: )4,0( , )5,3( e )5,3(
5) Encontre o ponto sobre a curva xy e , onde a reta tangente é paralela à reta xy 2 .
Resolução: xx xfxfy e)('e)(
Supondo (a, b) o ponto de
tangência: 2ln2ln12lneln2lneln2e)(' aaaaf aa
Se 2e2ln 2ln ya (lembrar que se tyyt lne )
Logo o referido ponto é: )2,2ln(
Resposta: )2,2ln(
3.7 Derivadas sucessivas
Seja f uma função contínua em um intervalo I e seja 1I o conjunto dos pontos de I ,
em que f é derivável. Em 1I definimos a função 'f , chamada de função derivada primeira
de f. Seja 2I o conjunto dos pontos de 1I em que 'f é derivável. Em 2I , definimos a função
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''f , chamada de função derivada segunda de f. Repetindo o processo, podemos definir as
derivadas terceira, quarta, etc. de f. A derivada de ordem n de f é denotada por )(nf .
Outras notações para as derivadas sucessivas:
Derivada primeiradx
dyf
dx
dfy ''
Derivada segunda 2
2
)(''''dx
yd
dx
dy
dx
dfy
Derivada terceira 3
3
2
2
)(''''''dx
yd
dx
yd
dx
dfy
Exemplos:
1) Calcular as derivadas sucessivas de 745)( 2 xxxf
Resolução:
410)(' xxf
10)('' xf
0)()()(''' )5()4( xfxfxf
2) Calcular as derivadas sucessivas de xxxf e)(
Resolução: xxxxx xxxxxf e)1(ee1]'e[e]'[)('
xxxxx xxxxxf e)2(e)1(e1]'e[)1(e)]'1[()('' xxxxx xxxxxf e)3(e)2(e1]'e[)2(e)]'2[()('''
xn nxxf e)()()(
3.8 Interpretação cinemática das derivadas Se a distância percorrida por um móvel a partir de uma posição é dada por )(txx ,
então:
a) a velocidade média entre dois instantes 0t e 1t é: 01
01 )()(
tt
txtxvm
b) a velocidade instantânea no instante 0t é: 01
01
00
)()(lim)()('
010 tt
txtxt
dt
dxtxv
ttt
c) a aceleração média entre dois instantes 0t e 1t é: 01
01 )()(
tt
tvtvam
d) a aceleração instantânea no instante 0t é: 01
01
02
2
0
)()(lim)()(''
010 tt
tvtvt
dt
xdtxa
ttt
Exemplos:
1) Segundo a lei do movimento uniformemente acelerado, 2
002
)( ta
tvxtx .
Se 00 x e 20 v , calcule a velocidade instantânea de um móvel que obedece esta lei, no
instante 4t segundos, sendo x em metros.
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Resolução:
222
002
22
202
)( ta
txta
txta
tvxtx
aaxvtatxtvta
ttx 4242)4(')4(2)(')(2
2)( 2
Resposta: av 42)4(
2) Uma partícula se move segundo a função 23 248)( tttx . Em que instante sua
velocidade será nula (x em metros e t em segundos)?
Resolução:
tttxtvtttx 4824)(')(248)( 223
)impossível(2
00)2(2404824)(')( 2
t
ttttttxtv
Resposta: 0t segundos.
3) Uma partícula se move segundo a função 4223)( 23 ttttx . Ache a velocidade
e a aceleração no instante 3t segundos (x em metros).
Resolução:
249)()(')( 2 tttdt
dxtxtv
418)()('')()(')(2
2
ttdt
xdtst
dt
dvtvta
Logo,
s/m7123439)3( 2 v 2s/m504318)3( a
Resposta: s/m71)3( v e 2s/m50)3( a
3.9 Derivadas das funções implícitas
Exemplos de funções na forma implícita:
a) 02 24 yxyx
b) )(cos yxxy
c) 2522 yx
Para obtermos a derivada de uma função dada na forma implícita, primeiro derivamos
toda a expressão em relação a x, tomando y como uma função de x. Na sequência, isolamos
dx
dy ou y’.
Assim, temos:
a) ?02 24 dx
dyyxyx
Resolução:
02)(2402 324
dx
dyy
dx
dyxy
dx
dxxyxyx
0222402)1(24 33
dx
dyy
dx
dyxyx
dx
dyy
dx
dyxyx
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Cálculo Diferencial e Integral 1
17
yxyxdx
dy
dx
dyy
dx
dyxyx 24)22(02224 33
yx
yx
yx
yx
dx
dy
33 2
22
24
Resposta: yx
yx
dx
dy
32
b) ?)(cos dx
dyyxxy
Resolução:
)(cos)(cos)(cos yxdx
dxyx
dx
dx
dx
dyyxxy
))()(sen()(cos1 yxdx
dyxxyx
dx
dy
))((sen)(cosdx
dyxyx
dx
dyxxyx
dx
dy
)1)((sen)(cosdx
dyxyyxxyx
dx
dy
dx
dyyxxyxyxyx
dx
dy)(sen)(sen)(cos 2
)(sen)(cos)(sen2 yxyxyxdx
dyyxx
dx
dy
)(sen)(cos))(sen1( 2 yxyxyxyxxdx
dy
)(sen1
)(sen)(cos2 yxx
yxyxyx
dx
dy
Resposta: )(sen1
)(sen)(cos2 yxx
yxyxyx
dx
dy
c) ?2522 dx
dyyx
Resolução:
y
x
y
x
dx
dy
dx
dyyxyx
2
20222522
Resposta: y
x
dx
dy
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Cálculo Diferencial e Integral 1
18
3.10 Crescimento e decrescimento de funções
Teorema: Seja f uma função contínua em ],[ ba e derivável em [,] ba . Então:
(i) [,]em0)(' baxf f é crescente em ],[ ba ;
(ii) [,]em0)(' baxf f é decrescente em ],[ ba ;
(iii) [,]em0)(' baxf f é constante em ],[ ba .
Exemplos:
1) Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento da função xxxf 2)( 2 .
Resolução:
22)('2)( 2 xxfxxxf
Resposta:
Como 0)(' xf se 1x , temos que f é crescente se 1x ;
Como 0)(' xf se 1x , temos que f é decrescente se 1x ;
2) Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento da função 23 3)( xxxf .
Resolução:
xxxfxxxf 63)('3)( 223
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Cálculo Diferencial e Integral 1
19
Resposta:
Como 0)(' xf se 0x e 2x , temos que f é crescente quando 0x e 2x ;
Como 0)(' xf se 20 x , temos que f é decrescente quando 20 x ;
3) Encontre os intervalos de crescimento da função xxxf ln)( 2 .
Resolução:
x
xxf
x
x
xxxfxxxf
12)('
1212)('ln)(
222
Para que f seja crescente, devemos ter: 012
0)('2
x
xxf .
Analisando os sinais do quadro, concluímos que se 012 2
x
x, então:
02
2 x ou
2
2x .
Resposta: 02
2 x ou
2
2x
3.11 Taxas relacionadas Existem alguns problemas relacionados com a taxa de variação de duas ou mais
variáveis em relação ao tempo. Na sequência são apresentados alguns exemplos.
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Cálculo Diferencial e Integral 1
20
Exemplos:
1) Uma escada com 5 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base
da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m/s. Com que velocidade o topo da
escada está escorregando para baixo na parede, quando a base da escada está a 3m da parede?
Resolução:
m/s1dt
dx
?dt
dy (quando m3x )
dt
dx
y
x
dt
dy
dt
dyy
dt
dxxyx 0222522
Para 43 yx , logo s/m4
31
4
3
dt
dy (O sinal negativo indica que o topo da
escada está descendo, isto é, y está diminuindo com o tempo).
Resposta: s/m4
3
dt
dy
2) Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido (com o vértice para baixo),
com base de 2 m de raio e altura 4m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a
uma taxa de min/m2 3 , encontre a taxa pela qual o nível da água estará se elevando, quando
a água tiver 3 m de profundidade.
Resolução:
/minm2 3dt
dV
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Cálculo Diferencial e Integral 1
21
?dt
dh (quando m3h )
hrV 2
3
1
Mas, 24
2 hr
h
r
3322
1212)
2(
3
1
3
1hVhh
hVhrV
Derivando esta última expressão, em relação ao tempo:
dt
dV
hdt
dh
dt
dhh
dt
dVhV
2
23 43
1212
Substituindo mh 3 e min/m2 3dt
dV, obtemos:
min/m28,023
42
dt
dh
dt
dh
Resposta: min/m28,0dt
dh
3) Um carro A segue em direção ao oeste com velocidade de 90 km/h e um carro B segue
rumo ao norte a 100 km/h. Ambos estão se dirigindo para a intersecção de duas estradas. A
que taxa os carros se aproximam um do outro, quando o carro A está a 60 m e o carro B a 80
m da intersecção?
Resolução:
Para km06,0m60 x e km08,0m80 y , temos km1,0z
222 yxz
Derivando tudo em relação a t:
)(1
222222
dt
dyy
dt
dxx
zdt
dz
dt
dyy
dt
dxx
dt
dzzyxz
h/km134)]100(08,0)90(06,0[1,0
1)(
1
dt
dz
dt
dyy
dt
dxx
zdt
dz
Obs.: As velocidades dt
dx e
dt
dy estão negativas, pois x e y estão diminuindo com o tempo.
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Cálculo Diferencial e Integral 1
22
Resposta: h/km134dt
dz
3.12 Máximos e mínimos
Definição: Uma função f tem um máximo relativo (ou máximo local) em c, se existir um
intervalo aberto I, contendo c, tal que )(),()( fDIxxfcf .
Definição: Uma função f tem um mínimo relativo (ou mínimo local) em c, se existir um
intervalo aberto I, contendo c, tal que )(),()( fDIxxfcf .
Definição: Dizemos que )(cf é um máximo absoluto (ou máximo global) da função f, se
)( fDc e )(),()( fDxxfcf .
Definição: Dizemos que )(cf é um mínimo absoluto (ou mínimo global) da função f, se
)( fDc e )(),()( fDxxfcf .
Exemplo:
Na figura que segue, os pontos que têm abscissas 1x , 2x , 3x e 4x são chamados de pontos
extremos da função f.
Os pontos 1x e 3x , são exemplos de pontos de máximo relativos (ou pontos de máximo
locais) de f.
Os pontos 2x e 4x , são exemplos de pontos de mínimos relativos (ou pontos de mínimo
locais) de f.
Os valores de )( 1xf , )( 2xf , )( 3xf e )( 4xf são também chamados de valores extremos de
f.
Definição: Um número )( fDc , tal que 0)(' cf ou que )(' cf não existe, é chamado de
ponto crítico de f.
Exemplo: Encontre os pontos críticos da função cuja regra é )4()( 5
3
xxxf .
Resolução:
)10()4(5
3)]'4[()4(]'[)(')4()( 5
31
5
3
5
3
5
3
5
3
xxxxxxxxfxxxf
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Cálculo Diferencial e Integral 1
23
5
2
5
3
5
2
5
812)4(
5
3)('
x
xxxxxf
5
2
5
812)('
x
xxf
Fazendo 2
30
5
812)('
5
2
x
x
xxf e )(' xf não existe para 0x .
Logo, os pontos críticos de f são: 2
3x e 0x .
Respostas: 2
3x e 0x
Teorema: Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um número crítico de f.
3.12.1 Critérios para determinar os extremos de uma função
Teorema (Critério da derivada primeira):
Seja f uma função contínua em um intervalo fechado ],[ ba , que possui derivada em todo
ponto do intervalo aberto [,] ba , exceto possivelmente num ponto c.
(i) Se 0)(' xf para todo cx e se 0)(' xf para todo cx , então f tem um máximo
relativo em c;
(ii) Se 0)(' xf para todo cx e se 0)(' xf para todo cx , então f tem um mínimo
relativo em c.
Exemplo: Encontre os pontos de máximo e mínimo locais da função cuja regra é
67)( 3 xxxf .
Resolução:
73)('67)( 23 xxfxxxf .
Observando o gráfico de 73)(' 2 xxf , ou construindo um quadro de sinais, observamos
que:
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24
1) 0)(' xf para valores de 3
7x e 0)(' xf para valores de
3
7
3
7 x , logo, o
ponto que tem abscissa 3
7x é um ponto de máximo local de f;
2) 0)(' xf para valores de 3
7
3
7 x e 0)(' xf para valores de
3
7x , logo, o
ponto que tem abscissa 3
7x é um ponto de mínimo local de f;
Respostas: 3
7x é um ponto de máximo local de f e
3
7x é um ponto de mínimo
local de f;
Teorema (Critério da derivada segunda):
Seja f uma função derivável em um intervalo aberto [,] ba e c um ponto crítico de f neste
intervalo, isto é 0)(' cf , com bca . Se f admite ''f em [,] ba , temos:
(i) Se 0)('' xf , então f tem um máximo relativo em c;
(ii) Se 0)('' xf , então f tem um mínimo relativo em c.
Exemplo: Encontre os pontos de máximo e mínimo locais da função cuja regra é
196)( 23 xxxxf .
Resolução:
126)(''9123)('196)( 223 xxfxxxfxxxxf
3
109123)(' 2
x
xxxxf
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Cálculo Diferencial e Integral 1
25
061216)1(''f logo f tem um máximo local em 1x .
061236)3(''f logo f tem um mínimo local em 3x .
3.13 Concavidade e pontos de inflexão
Definição: Uma função é dita côncava para cima no intervalo [,] ba , se )(' xf é crescente
neste intervalo;
Obs. Se )(' xf é crescente em um intervalo, então 0)('' xf neste intervalo.
Definição: Uma função é dita côncava para baixo no intervalo [,] ba , se )(' xf é decrescente
neste intervalo;
Obs. Se )(' xf é decrescente em um intervalo, então 0)('' xf neste intervalo.
Definição: Um ponto ))(,( cfcP do gráfico de uma função contínua f é chamado de
ponto de inflexão, se existe um intervalo [,] ba , contendo c, tal que uma das seguintes
situações ocorra:
(i) f é côncava para cima em [,] ca e côncava para baixo em [,] bc ;
(ii) f é côncava para baixo em [,] ca e côncava para cima em [,] bc ;
Em outras palavras, pontos de inflexão são pontos onde a curva de f muda o sentido da
concavidade, isto é, 'f passa de crescente para decrescente ou vice-versa. Isto significa
também, que são os pontos onde ''f passa de positiva para negativa, ou vice-versa (Logo são
os pontos que anulam ''f ).
Exemplos:
1) Encontre os pontos de máximo, pontos de mínimo e pontos de inflexão da função cuja
regra é xxxxf 5)( 23 .
Resolução:
)1o Procurando os pontos de máximo e de mínimo:
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Cálculo Diferencial e Integral 1
26
26)(''523)('5)( 223 xxfxxxfxxxxf
3
5
1
0523)(' 2
x
x
xxxf
08216)1(''f logo f tem um mínimo local em 1x .
082)3
5(6)
3
5(''f logo f tem um máximo local em
3
5x .
)2o Procurando os pontos de inflexão:
3
1026)('' xxxf . Como o sinal de ''f muda em
3
1x , temos um ponto de
inflexão em 3
1x .
Respostas:
f tem um mínimo local em 1x .
f tem um máximo local em 3
5x .
f tem um ponto de inflexão em 3
1x .
2) Encontre os pontos de máximo, pontos de mínimo e pontos de inflexão da função cuja
regra é 34 4)( xxxf .
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Cálculo Diferencial e Integral 1
27
Resolução:
)1o Procurando os pontos de máximo e de mínimo:
)2(122412)(''124)('4)( 22334 xxxxxfxxxfxxxf
3
00)3(40124)(' 223
x
xxxxxxf
036)23(312)3(''f f tem um mínimo local em 3x .
0)20(012)0(''f o teste da derivada segunda é inconclusivo. Neste caso,
aplicamos o teste da derivada primeira para 0x .
Como o sinal da derivada primeira é negativo para 0x e também para 30 x (ver
quadro de sinais), concluímos que não existe máximo nem mínimo locais em 0x .
)2o Procurando os pontos de inflexão:
Como ''f muda de sinal em 0x e 2x , os pontos )0,0( e )16,2( são pontos de
inflexão de f.
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Cálculo Diferencial e Integral 1
28
Respostas:
f tem um mínimo local em 3x .
f não tem um máximos locais.
Os pontos )0,0( e )16,2( são pontos de inflexão de f.
3.14 Problemas de otimização envolvendo máximos e mínimos
Exemplos:
1) Toma-se uma folha quadrada de papelão, de lado igual a 12, para construir uma caixa
de base quadrada e sem tampa. De cada um dos cantos corta-se um quadrado de lado
igual a x, conforme a figura que segue. Calcular o valor de x para que o volume da caixa
seja máximo.
Resolução:
A superfície do fundo da caixa é 2)212()( xxS , logo o volume da mesma será:
xxxxxxV 144484)212()( 232
1449612)(' 2 xxxV
6
201449612)(' 2
x
xxxxV
9624)('' xxV
04896224)2(''V V é máximo!
Mas para 6x não haverá caixa!
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Cálculo Diferencial e Integral 1
29
Resposta: 2x .
2) Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que
minimizam o custo de material para produzir a lata.
Resolução:
hrrA 22 2
2
23 1000cm1000litro1
rhhrV
Logo, r
rrAr
rrrA2000
2)(1000
22)( 2
2
2
2
3
2
2 )500(420004)('
20002)(
r
r
rrrA
rrrA
Fazendo 32
3500
0)500(4
0)('
r
r
rrA .
Substituindo 3500
r em
2
1000
rh
, obtemos )500
(2 3
h
O teste da derivada primeira ou da derivada segunda mostram que se trata de um mínimo
global de f (verifique!).
Resposta: 3500
r e )
500(2 3
h .
3) Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em
um cone circular reto com raio de 5 cm e altura de 12 cm.
Resolução:
Prof. Nunes
Cálculo Diferencial e Integral 1
30
5
12605
12
12 rh
rh
hrV 2
)5(5
12
5
1260)( 322 rr
rrrV
)610(5
12)('')310(
5
12)(')5(
5
12)( 232 rrVrrrVrrrV
Fazendo
3
10
0
03100)310(5
120)(' Fazendo 22
r
r
rrrrrV
0)3
10610(
5
12)
3
10(''
V
Substituindo 3
10r em
5
1260 rh
, obtemos 4h e 3cm
9
400r
Resposta: 3
10r e 4h .
3.15 A Regra de L’Hospital
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto, possivelmente, em
um ponto Ia . Suponhamos que 0)(' xg para todo ax em I.
(i) Se 0)(lim)(lim
xgxfaxax
e Lxg
xf
ax
)('
)('lim , então L
xg
xf
xg
xf
axax
)('
)('lim
)(
)(lim ;
(i) Se
)(lim)(lim xgxfaxax
e Lxg
xf
ax
)('
)('lim , então L
xg
xf
xg
xf
axax
)('
)('lim
)(
)(lim ;
Exemplos:
1) Aplicando a regra de L’Hospital, determinar 1e
2lim
0 xx
x
Resolução:
?0
0
1e
2lim
0
xx
x
21
2
e
2lim
]'1e[
]'2[lim
1e
2lim
000
xxxxxx
xx
Resposta: 2
2) Aplicando a regra de L’Hospital, determinar 23
6lim
2
2
2
xx
xx
x
Resolução:
Prof. Nunes
Cálculo Diferencial e Integral 1
31
?0
0
23
6lim
2
2
2
xx
xx
x
51
5
32
12lim
]'23[
]'6[lim
23
6lim
22
2
22
2
2
x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
Resposta: 5
3) Aplicando a regra de L’Hospital, determinar 43
1elim
2
x
x
x
Resolução:
?43
1elim
2
x
x
x
?6
elim
]'43[
]'1[elim
43
1elim
22
xxx
x
x
x
x
x
x
Aplicando-se novamente a regra de L’Hospital:
6
elim
]'6[
]'[elim
6
elim
]'43[
]'1[elim
43
1elim
22
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x xxxx
Resposta:
3.16 Diferenciais Seja )(xfy uma função. Podemos considerar sempre uma variação da variável
independente x, que denotaremos por x . A variação de x origina uma correspondente
variação em y, que denotaremos y . Então temos:
(i) A diferencial da variável independente x será denotada por xdx ;
(ii) A diferencial da variável dependente y será denotada por xxfdy )(' .
Temos que para valores de x muito pequenos, dy será uma boa aproximação para y ,
isto é: dxy .
Exemplos:
1) Ache um valor aproximado para 3 28 .
Resolução:
Prof. Nunes
Cálculo Diferencial e Integral 1
32
3 xy
Fazendo 27x em 3 xy , obtemos 3273 y
yyxxyx 33
dyy 3312728 33 (neste caso, 27x , 1x e ydy ).
3 23 2
3
21
3
1
3
1
3
3
1)('
3
1
3
1
3
1)(')(
xxf
xxxxfxxxfy
Mas 27
11
27
1
3
1)('
3 2
dydx
xdxxfdy
Logo 037,327
13283 .
Resposta: 037,3283
2) Ache um valor aproximado para o44tg .
Resolução:
xy tg
Fazendo rad4
45o x em xy tg , obtemos 1
4tg
y .
rad180
1o
yyxxyx )(tgtg
dyy 11)1804
(tg)145(tg44tg ooo (neste caso,
4
x ,
180
x e
ydy ).
xxfxxfy 2sec)('tg)(
Mas 90
)180
(
)2
2(
1
cos
1sec)('
2
2
2 dx
xdydxxdxxfdy .
90111)
1804(tg)145(tg44tg ooo
dyy
Logo 90
144tg o .
Resposta: 90
144tg o
3) Utilizando diferenciais, encontre o volume aproximado de uma concha esférica cujo
raio interior é de 4 cm e cuja espessura é 16
1 cm.
Prof. Nunes
Cálculo Diferencial e Integral 1
33
Resolução:
drrdVrV 23 43
4
416
1444 22 drrdV
Portanto, 3cm4 V
Resposta: 3cm4
3.17 Exercícios propostos
1) Utilizando as regras de derivação, obtenha as funções derivadas das seguintes funções:
a) 62 )535()( xxxf Resposta:
52 )535)(310(6)(' xxxxf
b) 3
2)1
11()(
xxxf Resposta:
2
223)1
11)(
12(3)('
xxxxxf
c) 52 )23(
1)(
xxxf Resposta:
62 )23)(32(5)(' xxxxf
d) x
xf1
4)( Resposta:
xx
xf1
42
1)('
2
e) 1
1)(
x
xxf Resposta:
1
1.)1(
1)('
2
x
xx
xf
f) 22 49.)( xxxf Resposta:
2
3
49
1218)('
x
xxxf
g) 63ln10)( xxxf Resposta: 310
)(' x
xf
h) 12e)( xxf Resposta: 12e.2)(' xxf
i) 3 3 1ln)( xxf Resposta:
1)('
3
2
x
xxf
j) )4sen()( 2 xxf Resposta: )4cos(.2)(' 2 xxxf
k) )6cos(6)( xxf Resposta: )6(sen36)(' xxf
Prof. Nunes
Cálculo Diferencial e Integral 1
34
2) Encontre a equação da reta tangente à curva 21
e
xy
x
, no ponto (1,
2
e).
Resposta: Reta tangente no ponto (1, 2
e) de equação
2
ey (reta horizontal)
3) Encontre a derivada da seguinte função definida implicitamente: 1543 34 xxyy .
Determine ainda, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico desta função, no ponto
)2,1( P .
Respostas: 34
5123
2
y
x
dx
dy e
29
17m .
4) Encontre a derivada da seguinte função definida implicitamente: yxy sen2 .
Resposta: yx
yx
dx
dy
cos1
sen22
5) Um corpo se desloca sobre um plano inclinado de acordo com a equação ttx 25 2
(x em metros e t em segundos). Calcular a velocidade e a aceleração deste corpo após 2
segundos da partida.
Resposta: s/m18v e 2s/m10a
6) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
13159)( 23 xxxxf .
Respostas: Crescente para: 5ou1/ xxx , decrescente para: 51/ xx
7) Um grande balão esférico de borracha está sendo cheio de gás a uma taxa constante de
min/m8 3 . Calcule com que velocidade o raio r do balão cresce quando o raio r = 2 metros.
Resposta: min/m2
1
dt
dr
8) Uma escada de 13 m está apoiada em um parede. A base da escada está sendo empurrada
no sentido contrário ao da parede, a uma taxa constante de min/m6 . Qual é a velocidade
com a qual o topo da escada se move para baixo, encostado na parede, quando a base da
escada está a 5 m da parede?
Resposta: min/m2
5
dt
dy
9) Considerando a função :f , cuja regra é 32 4318)( xxxxf , encontre:
a) O intervalo de crescimento de f Resposta: 2
31 x
Prof. Nunes
Cálculo Diferencial e Integral 1
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b) O intervalo de decrescimento de f Resposta: 1x ou 2
3x
c) Os pontos de máximo locais de f Resposta: x = 2
3
d) Os pontos de mínimo locais de f Resposta: x = 1
e) Os pontos de inflexão de f Resposta: 4
1x
10) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 3cm375 . O custo do
material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por 2cm e o custo do material usado
para a parte curva (lateral do cilindro) é de 5 centavos por 2cm . Se não há perda de material,
determine as dimensões que minimizam o custo do material.
Resposta: r = 5 cm e h = 15 cm
11) Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços, um dos quais formará um círculo e
o outro, um quadrado. Como deve ser cortado o fio para que a soma das áreas do círculo e do
quadrado seja máxima?
Resposta: 4
1
Ll e
4
42
Ll
12) Um fazendeiro precisa construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum,
conforme a figura. Se cada curral deve ter a mesma área A, qual é o comprimento mínimo que
a cerca deve ter?
Resposta: A34
13) Aplicando a regra de L’Hospital, determinar:
a) 1
lim2
2
1
x
xx
x b)
1
lnlim
1 x
x
x c)
xx
x
elim
99
Resposta: a) 2
1 b) 1 c) 0
14) Utilizando diferenciais, obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa
cilíndrica de altura 12 m, raio interior 7 m e espessura 0,05 m. Qual é o erro decorrente se
resolvermos usando diferenciais?
Resposta: 3m4,8 dVV , 3m43,8 V , 3m03,0 dVV .
15) Utilizando diferenciais, calcule um valor aproximado para 3 5,65 .
Resposta: 03125,45,653
Prof. Nunes
Cálculo Diferencial e Integral 1
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Referências Bibliográficas
1. Flemming, D. M. e Gonçalves, M. B. Cálculo A – Funções, limite, derivação e
integração. 6.a Edição. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2006.
2. Iezzi, G. e Murakami, C. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 1. 6.a Edição.
São Paulo: Atual Editora, 1985.
3. Iezzi, G. et. al. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 8. 6.a Edição. São Paulo:
Atual Editora, 1985.
4. Lima, E. L. et. al. A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. 6.a Edição. Rio de Janeiro:
Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.
5. Stewart, J. Cálculo. 6.a Edição. São Paulo: Cengage Learning, 2012.