Cálculo diferencial El cálculo diferenciales una parte del análisis matemá- ticoque consiste en el estudio de cómo cambian las fun- ciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función. El estudio del cambio de una función es de especial in- terés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambi o de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarro- llar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferenci a claramente del álgebra. Desde el punto de vista matemático de las funcionesy la geometría, la derivada de una función en un ciertopunto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumentose modifica. Esto es, una deri- vada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes ins- tantáneas de f(x)en cada puntox. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha func ión en sus puntos (una t angente por punto); Las deri- vadas pue de n ser uti liz ada s par a co noc er la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos. La inversa de un a de ri vada se llama pr imit i va, antiderivadaointegral indefinida. 1 Dif erenc ia ci ón y dif erenc ia bi li- dad Una función de una variable es diferenciableen un pun- to x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en unintervalosi lo es en cada punto xper- teneciente al intervalo. Si una función no es continuaen c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embar- go, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto ces continuaen c, pe ro no todaf un ción continua en ces diferenciable en c(comof( x) = | x| es continua pero no diferenciable enx= 0). f(x+h) f(x) x+h x secanth Recta secante entre los puntos f(x+h) y f(x). 1.1 Noción de der iv ada Lasderi va das se de fin en tomand o el límite de la pen diente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente. Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangentede una función porque sólo conocemos un pun- to de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la fun- ción. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rec- tassecantes. Cuando tomemos ellímitede las pendientes de las secantes próximas, obtendrem os la pendien te de la recta tangente. Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbi- trariamente pequeño que llamaremosh.hrepresenta una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo co- mo negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y ( x+h,f(x+h)) es f(x+h) − f(x) h Esta expresión es un cociente diferencialde Newton. La derivada de fenxes el límite del valor del cociente dife- rencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente: 1
