CÁLCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de

cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en

el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la

de diferencial de una función.

El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en

concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho

cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial

se apoya constantemente en el concepto básico dellímite. El paso al límite es la principal

herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia

claramente del álgebra.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una

función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme

un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos,

una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de   en

cada punto . Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha

función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para

conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y

mínimos.

La inversa de una derivada se llama primitiva, anti derivada o integral indefinida.

DIFERENCIACIÓN Y DIFERENCIABILIDAD

Una función de una variable es diferenciable en un punto   si su derivada existe en ese

punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto   perteneciente al

intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin

embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda

función diferenciable en un punto c es continua en c, pero no toda función continua en c es

diferenciable en c (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).

Noción de derivada

Recta secante entre los puntosf(x+h) y f(x).

Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme

se van aproximando a la rectatangente.

Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo

conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello,

aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las

pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.

Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que

llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como

negativo. La pendiente de la recta entre los puntos   y   es

Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del

valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función

cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.

Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero,

calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar

el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy

sencillo con funciones polinómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado

complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la

mayoría de las funciones descritas.

INTEGRACIÓN

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático.

Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos,

infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en

el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia

también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos

de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac

Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de

Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la

derivación y la integración son procesos inversos.

Teoría

 Se interpreta como el área bajo la curva de f, entre a y b.

Dada una función   de una variable real   y un intervalo   de la recta real,

la integral es igual al área de la región del plano   limitada entre la gráfica de  , el eje  , y

las líneas verticales   y  , donde son negativas las áreas por debajo del eje  .

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F,

cuya derivada es la función dada  . En este caso se denomina integral indefinida, mientras

que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores

mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo

XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma

independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una

función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una anti derivada. Las integrales y

las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones

en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que

aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A

comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral,

donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace

la integración. La integral curvilínea se define para funciones vectoriales de una variable, y el

intervalo de integración [a,b] se sustituye por el de la parametrización de la curva sobre la

cual se está integrando, la cual, conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral

de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio

tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en

la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a

partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de

muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos

modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral

de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

CÁLCULO VECTORIAL

Historia

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien

junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio

físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran

demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían

cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que

muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así

comenzó el Análisis Vectorial.

Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-

1903).

El cálculo vectorial o análisis vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis

real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría

diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para

la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio,

y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la

temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar

de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto

asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un

campo escalar es un campo vectorial.

Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto;

el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.

Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia

ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra

magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria

de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

CÁLCULO INFINITESIMAL

El cálculo infinitesimal o cálculo de infinitesimales constituye una parte muy importante de

la matemática moderna. Es normal en el contexto matemático, por simplificación,

simplemente llamarlo cálculo.

El cálculo, como algoritmo desarrollado en el campo de la matemática, incluye el estudio de

los límites, derivadas, integrales y series infinitas, y constituye una gran parte de la educación

de las universidades modernas. Más concretamente, el cálculo infinitesimal es el estudio del

cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio del espacio.

El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa para

resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. Este cálculo se

construye con base en el álgebra, la trigonometría y la geometría analítica e incluye dos

campos principales, cálculo diferencial y cálculo integral, que están relacionados por

el teorema fundamental del cálculo. En matemática más avanzada, el cálculo es usualmente

llamado análisis y está definido como el estudio de las funciones.

Más generalmente, el cálculo puede referirse a cualquier método o sistema de cuantificación

guiado por la manipulación simbólica de las expresiones. Algunos ejemplos de otros cálculos

bien conocidos son el cálculo proposicional, el cálculo predicativo, el cálculo relacional y

el cálculo lambda.

FUNDAMENTOS

En matemáticas, los fundamentos se refiere al desarrollo riguroso de un tema

desde axiomas y definiciones precisas. El obtener un fundamento riguroso para el cálculo

ocupó a los matemáticos por la mayor parte del siglo que siguió a Leibniz y Newton y todavía

es un área activa en la actualidad. Los fundamentos del cálculo fueron objeto de diversas

especulaciones filosóficas e interpretaciones informales, la falta de rigor y laxitud con que

fueron afrontados ciertos problemas de fundamentación contribuyeron a la crisis de los

fundamentos de las matemáticas.

Sin embargo, ya durante el siglo XIX se empezó a trabajar en una aproximación rigurosa

para los fundamentos del cálculo. El más usual hoy en día es el concepto de límite definido

en la continuidad de los números reales (el concepto de límite es esencialmente un concepto

topológico). Una alternativa es el análisis no estándar, en el cual el sistema de números

reales es aumentado con infinitesimales y números infinitos, como en la concepción original

de Newton y Leibnitz. Los fundamentos del cálculo son incluidos en el campo del análisis

real, el cual contiene las definiciones completas y pruebas matemáticas de los teoremas del

cálculo, así como también generalizaciones tales como la teoría de la medida y la teoría de

distribuciones.

INSTITUTO NACIONAL DE EDUCACIÓN DIVERSIFICADA SANTA ANA HUISTA

Curso:

Matemática

Profesor:

Wilmar Cano

Carrera:

Bachillerado con orientación en educación

Grado:

5to.

Alumnos:

Virgilio Antonio García

Jesús Alberto Mendoza Silvestre

Fecha de entrega:

24/08/2015