Calculo de Raíces de una ecuación.Alejandro Bolaños Ussa

Diego Muñoz

Dany Mauricio Mejía

• El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple:

f(x) = 0

Importancia

• La determinación de las raíces de una ecuación es uno de losproblemas más antiguos en matemáticas y se han realizado ungran número de esfuerzos en este sentido. Su importanciaradica en que si podemos determinarlas raíces de unaecuación también podemos determinar:

• máximos y mínimos

• valores propios de matrices

• resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales

Cálculo de raíces de ecuaciones

• Si f(x) es una función polinómica de grado 1 ó 2, conocemosexpresiones simples que nos permitirán determinar sus raíces

• Para polinomios de grado 3 ó 4 es necesario emplear métodoscomplejos y laboriosos

• Sin embargo, si f(x) es de grado mayor de cuatro o bien no espolinómica, no hay ninguna fórmula conocida que permitadeterminar los ceros de la ecuación (excepto en casos muyparticulares).

Reglas para determinar las raíces de una ecuación. • Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar

las raíces de una ecuación:

• El teorema de Bolzano, que establece que si una funcióncontinua, f(x), toma en los extremos del intervalo [ a , b ] valoresde signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raízen dicho intervalo.

• En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) degrado n y coeficientes reales, podemos afirmar quetendrá n raíces reales o complejas.

• La propiedad más importante que verifican las raíces racionalesde una ecuación algebraica establece que si p/q es una raízracional de la ecuación de coeficientes enteros:

• …Por lo tanto, el denominador q divide al coeficientes an y el numerador p divide al término independiente a0.

• Ejemplo: Calcular las raíces racionales de la ecuación:

•3x3 + 3x2 - x - 1 = 0• Primero es necesario efectuar un cambio de variable x = y/3:

• y después multiplicamos por 32:

•y3 + 3y2 -3y -9 = 0

Ejemplo:

• con lo que los candidatos a raíz del polinomio son:

• Sustituyendo en la ecuación, obtenemos que la única raíz real es y = -3, es decir:

Métodos para encontrar raices

• Regla falsa

• Bisección

• Grafico

• Punto fijo

• Newton Raphson

• Secante

Definiciones

• Método de la Regla falsa:• El método combina el método de bisección y el método de la

secante.

• Método de bisección, corte binario o punto medio• El método de la bisección o corte binario es un método de

búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio.

• Método gráfico• Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos

ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde

Definiciones

• Método del punto fijo

• Es un método iterativo que permite resolver sistemas deecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puedeutilizar para determinar raíces de una función de la forma f(x),siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.

• Método de Newton Raphson

• Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los másusados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, elmétodo de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sinoque basa su fórmula en un proceso iterativo.

• Método de la Secante

• Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casinunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, ydespués el mismo método se va retroalimentando.

Regla de Ruffini

• En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma (x-r)\ . Descrita por Paolo Ruffini en 1809, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).1 El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini(también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (x-r)\ (siendo r un número entero) si es coherente.