para resolver: se utiliza la formula...
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Para resolver:
f(X) = ax2 + bx + c = 0
Se utiliza la formula cuadratica:
a
acbbx
2
42
El objeto del calculo de las raíces de una ecuación es
determinar los valores de X para los cuales se cumple
f(X) = 0
Para una función polinómica se cumple que tiene tantas
raíces como el grado del Polinomio:
F(x)=0Métodos Cerrados
Método Grafico
Bisección
Falsa Posición
Si en un intervalo cerrado se cumple que entonces se tiene que:0)()( bfaf
ba,
Exista un numero impar de raíces
a b
Si en un intervalo cerrado se cumple que entonces se tiene que:0)()( bfaf
ba,
a b
Exista un numero imparde raíces
Si en un intervalo [a,b] cerrado se cumple que
Entonces se tiene que:
No existan raíces o haya un numero par de raíces
0)()( bfaf
a b
Ejemplo: utilizar graficas por computadora para
localizar las raíces de F(x)=x3+x
2-3x+5
-1000
-500
0
500
1000
1500
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ejercicio: utilice el método gráfico para determinar el
coeficiente de arrastre c necesario para que un
paracaidista de masa m=68.1 kg tenga una velocidad de
40 m/s despues de una caida libre de t=10 s.
40138.667
)(
401)1.68(8.9
)(
146843.0
10)1.68/(
c
c
ec
cf
o
ec
cf
1. Buscar un intervalo (xi, xs) de tal forma que la
función cambie de signo:
0)(.)( si xfxf
Si se cumple existe al menos una raíz real entre xi y xs
xi xsf(xs)
f(xi)
f(x)Intervalo en el que se encuentra la raíz.
2. Se debe hallar el punto medio del
intervalo, tomando el punto de bisección xr como
aproximación de la raíz buscada.
xsxi
f(xs)
2
sir
xxx
rx
3. Se analiza de manera independiente cada uno de los
intervalos. Se elige entre (xi , xr) y (xr , xs), un intervalo
en el que la función cambie de signo.
r
entonces
sr
ri
entonces
sr
rs
entonces
ri
xesraizlaxfxfSi
xxxfxfSi
xxxfxfSi
___0)().(_
0)().(_
0)().(_
Error aproximado
%100actual
r
anterior
r
actual
r
apx
xxE
Ejemplo: utilice el método de bisección para determinar
el coeficiente de arrastre c necesario para que un
paracaidista de masa m=68.1 kg tenga una velocidad de
40 m/s después de una caída libre de t=10 s.
F(x)=e-x – ln x, con un E < 1% en el intervalo [1,1.5]
1. Debemos verificar que f (1) y f (1.5) tengan signos
opuestos.
F(1)= e(-1) – ln(1) = 0.3678 f(1) > 0
F(1.5)= e(-1.5) – ln (1.5) = - 0.18233 f(1)< 0
2. Ahora hallamos Xr = (1+1.5)/2 =1.25
Evaluando Xr = 1.25
f(1.25)= 0.0636 > 0
Repetimos el proceso con el nuevo intervalo [1.25,1.5].
Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda
aproximación a la raíz)
Xr = (1.25+1.5)/2 = 1.375
Aquí podemos calcular el primer error aproximado pues ya
contamos con la aproximación actual y la aproximación
anterior:
%09.9%100
actual
r
anterior
r
actual
r
apx
xxE
Ahora evaluamos f(1.375)= - 0.06561 < 0
Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1.25,1.375].
Entonces calculamos el punto medio
Xr = (1.25+1.375)/2=1.3125
Aprox. a la raíz Error aprox
1.25
1.375 9.09%
1.3125 4.76%
1.28125 2.43%
1.296875 1.20%
1.3046875 0.59%
%76.4%100
actual
r
anterior
r
actual
r
apx
xxE
Y calculamos el nuevo error aproximado:
Se obtuvieron los siguientes datos:
Determine las raices reales de f(x)= 5x3 – 5x2 + 6x – 2
Calcule la raiz cuadrada positiva de 18 con E = 0.5% . Emplee como valores iniciales Xi =4 y Xs = 5.
Una técnica alternativa del método de bisección, consiste en unir f(xi) y f(xs) con la línea recta.
La intersección de esta línea con el eje de las x representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplacé la curva por una línea recta da una falsa posición de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín regula falsa.
También se la conoce como método de interpolación lineal.
s
s
sr
s
ir
i
xx
xf
xx
xf
)()(
)()(
))((
si
sissr
xfxf
xxxfxx
CHAPRA, Steven C. y CANALE, Raymond P.: Métodos Numéricos para Ingenieros. McGraw Hill 2002.
http://lc.fie.umich.mx/~calderon/programacion/notas/Bisecciones.html
http://www.youtube.com/watch?v=5e1GUYfnc9I
https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2008/1/MA33A/1/material_alumnos/objeto/14587