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Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I

Optimización

Este material tiene como finalidaddesarrollar las habilidades y destrezasnecesarias para resolver problemas deoptimización.

Para ello, se plantean una serie deejercicios, los cuales serán desarrolladospaso a paso, resaltando aquellos aspectosimportantes para resolver cada uno deellos.

Es importante recalcar que este tema, esde suma importancia para la aplicación delas derivadas.

Presentación

2

Tema: Optimización I Unidad IX

Índice

Presentación 2

Optimización 4

Ejemplo #1 5

Ejemplo #2 15

A manera de cierre 24

Créditos 25


3

Los problemas de optimización tienecomo objetivo maximizar o minimizarfunciones.

Para resolver un problema de máximo omínimo, es necesario construir la funciónque modela el problema y tratar que estádepende de una sola variable.

Optimización


4

Resuelva el siguiente problema:

“Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartelcon las siguientes características: la zona impresadebe ocupar 90 𝑐𝑚2, el margen superior debe medir3 𝑐𝑚, el inferior 2 𝑐𝑚, y los márgenes laterales 4 𝑐𝑚cada uno.

Determine las dimensiones que debe tener el cartelde modo que se utilice la menor cantidad de papelposible”.

Ejemplo #1


5

Ejemplo #1

Paso 1

Representar el problema

Paso 2

Generar la función objetivo

𝐴 = 𝑦 + 5 𝑥 + 8

90 𝑐𝑚2

3

44

2

𝑥

𝑦

𝑥 + 8

𝑦 + 5

Para minimizar la cantidad de papel, es necesario determinar el área de la lámina del cartel.


6

Ejemplo #1

Paso 3

Formular la ecuación auxiliar

𝑥 ∙ 𝑦 = 90

Paso 4

Despejar la variable “𝑦” de la ecuaciónauxiliar.

𝑦 =90

𝑥

La ecuación auxiliar permite representar una variable en términos de otras, con la finalidad de establecer la

función objetivo en una sola variable.


7

Ejemplo #1

Paso 5

Sustituir “𝑦” en la función objetivo ysimplificar.

𝐴(𝑥) =90

𝑥+ 5 𝑥 + 8

𝐴 𝑥 =90

𝑥∙ 𝑥 + 5𝑥 + 8 ∙

90

𝑥+ 40

𝐴 𝑥 =90

𝑥∙ 𝑥 + 5𝑥 + 8 ∙

90

𝑥+ 40

𝐴 𝑥 = 90 + 5𝑥 +720

𝑥+ 40

𝐴 𝑥 = 130 + 5𝑥 +720

𝑥


8

Ejemplo #1

Paso 6

Calcular la derivada de la función objetivo

𝐴′ 𝑥 = 5 +0 ∙ 𝑥 − 720 ∙ 1

𝑥2

𝐴´ 𝑥 = 5 −720

𝑥2

Paso 7Resolver la suma de fracciones

𝐴′ 𝑥 =5𝑥2 − 720

𝑥2


9

Ejemplo #1

Paso 8

Obtener los puntos críticos

5𝑥2 − 720

𝑥2= 0

5(𝑥2−144)

𝑥2= 0

5(𝑥 − 12 )(𝑥 + 12)

𝑥2= 0

𝑥2 = 0 𝑥 − 12 = 0 𝑥 + 12 = 0

𝑥 = 0 𝑥 = 12 𝑥 = −12

De los puntos críticos que se obtuvieron, 𝑥 = 0corresponde a una restricción, razón por la cual no se

puede presentar un máximo ni un mínimo.


10

Ejemplo #1

Paso 9

Calcular la segunda derivada de la funciónobjetivo.

𝐴´´ 𝑥 =0 ∙ 𝑥2 −−720 ∙ 2𝑥

𝑥4

𝐴´´ 𝑥 =1440𝑥

𝑥4

𝐴´´ 𝑥 =1440𝑥

𝑥4

𝐴´´ 𝑥 =1440

𝑥3


11

Ejemplo #1

Paso 10

Evaluar los puntos críticos en la segundaderivada.

𝐴´´ 12 =1440

12 3> 0

𝐴´´ −12 =320

−12 3< 0

Punto mínimo

Punto máximo

El criterio de la segunda derivada, establece que si al evaluar el punto crítico en la segunda derivada y se obtiene un valor positivo,

entonces en ese punto crítico se presenta un mínimo relativo.

El criterio de la segunda derivada, establece que si al evaluar el punto crítico en la segunda derivada y se obtiene un valor negativo,

entonces en ese punto crítico se presenta un máximo relativo.


12

Ejemplo #1

Paso 11

Determinar el valor de las variables “𝑥” y “𝑦”

𝑥 = 12

𝑦 =90

𝑥=90

12=15

2= 7.5

Paso 12Determinar las dimensiones del cartel

𝑥 + 8 = 12 + 8 = 20

𝑦 + 5 = 7.5 + 5 = 12.5

De los puntos críticos que se obtuvieron, en 𝑥 = 12 es donde la función objetivo alcanza un mínimo.


13

Ejemplo #1

Paso 13

Dar la respuesta

Las dimensiones de la lámina del cartel que minimizan la cantidad de papel son:

20 𝑐𝑚 𝑥 12.5 𝑐𝑚


14

Resuelva el siguiente problema:

Una Pymes fabrica cajas con tapa y base cuadrada devolumen 288 𝑐𝑚3. El precio del material utilizadopara la base es de $5 por centímetro cuadrado, y elutilizado para las caras laterales y la tapa es de$3 por centímetro cuadrado.

Calcula las dimensiones de la caja para que resulte lomás económica posible.

Ejemplo #2


15

Ejemplo #2

Paso 1

Representar el problema

𝑧

𝑥𝑥

Base

𝑥

𝑥𝐴 = 𝑥2

Lateral

𝑥

𝑧𝐴 = 𝑥 ∙ 𝑧

Tapa

𝑥

𝑥𝐴 = 𝑥2

lateral

𝑥

𝑧𝐴 = 𝑥 ∙ 𝑧


16

Ejemplo #2

Paso 2

Generar la función objetivo

𝐴 = 5𝑥2 + 3 2𝑥𝑧 + 3𝑥2 + 3(2𝑧𝑥)

𝐴 = 8𝑥2 + 12𝑥𝑧

Paso 3Formular la ecuación auxiliar

𝑥2 ∙ 𝑧 = 288

Para determinar el volumen de una caja, se utiliza la fórmula 𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ

Para establecer la función objetivo, es necesario multiplicar el área de cada una de las caras de la figura por

el costo correspondiente y posteriormente sumarlas.


17

Ejemplo #2

Paso 4

Despejar la variable “𝑧” de la ecuaciónauxiliar.

𝑧 =288

𝑥2

Paso 5

Sustituir “𝑧” en la función objetivo ysimplificar.

𝐴 = 8𝑥2 + 12𝑥𝑧

𝐴(𝑥) = 8𝑥2 + 12𝑥 ∙288

𝑥2

𝐴(𝑥) = 8𝑥2 +3456

𝑥


18

Ejemplo #2

Paso 6Calcular la derivada de la función objetivo

𝐴(𝑥) = 8𝑥2 +3456

𝑥

𝐴´ 𝑥 = 16𝑥 +0 ∙ 𝑥 − 3456 ∙ 1

𝑥2

𝐴´ 𝑥 = 16𝑥 −3456

𝑥2

Paso 7Resolver la suma de fracciones

𝐴´ 𝑥 =16𝑥3 − 3456

𝑥2


19

Ejemplo #2

Paso 8Determinar los puntos críticos

16𝑥3 − 3456

𝑥2= 0

16(𝑥3−216)

𝑥2= 0

16(𝑥 − 6)(𝑥2 + 6𝑥 + 36)

𝑥2= 0

𝑥2 = 0 𝑥 − 6 = 0

𝑥 = 0 𝑥 = 6

De los puntos críticos que se obtuvieron, 𝑥 = 0corresponde a una restricción, razón por la cual no se

puede presentar un máximo ni un mínimo.


20

Ejemplo #2

Paso 9Determinar la segunda derivada de la funciónobjetivo.

𝐴′′ 𝑥 = 16 +0. 𝑥2 −−3456 2𝑥

𝑥4

𝐴′′ 𝑥 = 16 +0. 𝑥2 −−3456 2𝑥

𝑥4

𝐴′′ 𝑥 = 16 +6912𝑥

𝑥4

𝐴′′ 𝑥 = 16 +6912

𝑥3


21

Ejemplo #2

Paso 10Evaluar el punto crítico en la segunda derivada.

𝐴′′ 6 = 16 +6912

(6)3> 0

Paso 11Determinar las dimensiones de la caja

𝑥 = 6

𝑧 =288

𝑥2=288

62= 8

El criterio de la segunda derivada, establece que si al evaluar el punto crítico en la segunda derivada y se obtiene un valor positivo,

entonces en ese punto crítico se presenta un mínimo relativo.


22

Ejemplo #2

Paso 12

Dar la respuesta

La caja debe tener dimensiones de6𝑐𝑚 𝑥 6𝑐𝑚 𝑥 8𝑐𝑚 para minimizar el

costo


23

Espero que estos ejercicios le sean de utilidadpara reforzar los conceptos necesarios pararesolver problemas de optimización, y de estamanera pueda construir los nuevos conocimientosde Cálculo I.

“El corazón de las matemáticas son sus propios problemas”.

Paul Halmos


24

A manera de cierre

Créditos

Universidad Técnica Nacional

Coordinación de Matemáticas y Estadística

Contenido

Autor: Evelyn Delgado Carvajal

Producción del recurso didáctico:

Productora académica: Guadalupe Camacho Zúñiga

Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde

Derecho de Autor

Queda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obramultimedia [Optimización], por cualquier medio oprocedimiento, conocido o por conocerse, sin elconsentimiento previo de los titulares de los derechos,así como de las obras literarias, artísticas o científicasparticulares que contiene.


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