calculo de placas

7/26/2019 Calculo de Placas

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I N F O R M E S D E L A C O N S T R U C C I N

EL MTODO DEL PROFESOR JOAHNSEN PARA EL

CALCULO DE PLACAS

Por F. G. MONGE

En este artculo se exponen los principios bsicos en que se fundo lo teora del profesor Johonsen

para el clculo de placas de cualquier formo, exponindose sus ventaas sobre los mtodos clsicos de

clculo.

El hormign armado considerado como mate

rial est muy lejos de ser homogneo; por otra

par te ,

los elementos que lo constituyen, es de

cir , el acero y el hormign, no son materiales

elsticos, pues si bien para cargas pequeas

se comportan en cierto modo como tales, para

cargas ms grandes, ms all del lmite elsti

co,

aparecen fenmenos de plasticidad y f luen

cia,

no cumplindose tampoco la ley de Hooke.

Si se quiere saber el comportamiento de una

estructura dentro del lmite elstico del mate

r ial ,

pueden uti l izarse con cierta aproximacin

las teoras clsicas de la elasticidad, es decir,

suponer que el material es elstico, homogneo

y cumple la ley de Hooke, peno con esto no se

consigue gran cosa. En efecto, al analizar por

este procedimiento una estructura sometida a

cargas o efectos diversos, se pueden prever to

do lo ms las cargas de trabajo y las defor

maciones que tendrn lugar para las distintas

hiptesis de carga, pero esto no dice nada en

relacin con el concepto de seguridad real de

la estructura, ya que como pasando de cierto

lmite del valor de las tensiones el material de

ja de satisfacer la ley de Hooke, no se puede

predecir en qu proporcin habra que aumen

tar la carga exterior para producirse la rotura.

Para aclarar las ideas, supongamos (fig. 1)

una viga de material homogneo con empotra

miento perfecto en sus dos extremos, de seccin

constante y sometida a carga uniformemente re

par t ida.

ZZP

Fig. 1.

La ley de momentos es perfectamente cono

c ida, valie ndo p L en los ap oyo s y

- p L* en el centro.

Se representa en la fig. 2 el grfico tensin-

deformacin del material que constituye la viga;

en l se ve que, hasta el valor

o = o e, se

ve

rifica la ley de H ook e y que, a p artir de o = o e,

la deformacin aumenta sin que aumente la ten

sin en la misma proporcin.

Este diagrama es semejante al de los aceros

comerciales corrientes.

Volviendo al clculo de las tensiones en la

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CALCULO DE PLACAS

viga,

stas son , si w =

sistente:

es el momento re-

En el empotramiento o

max

+ 1 pL'^

12

w

pL^

En el centro ^ max = -

+ 24 w

Supongamos ahora que p aumenta de tal mo-

1 p l ^

Oe,

O sea, p' =

12wOe

do que . ,

12 w L

entonces al aumentar la carga la viga se de

forma ms en la zona de apoyo, ya que se ha

alc an za do la tensin a ; por con siguiente e l

efecto es como si girasen los empotramientos

de la viga, tendindose a igualar los momentos

en la seccin del centro y en la de apoyo.

Esto que hemos visto de un modo groseso

quiere decir que para una carg a p > p' las

ten

siones no resultan proporcionales a p ni repar

t idas en la misma forma que para valores de

p < p' , por cuya razn no puede preverse de

este modo para qu valor de p se producir la

Fig. 2.

rotura y por consiguiente, no podr saberse el

coeficiente de seguridad

real,

cuyo conocimien

to es indispensable para dimensionar la estruc

tura de un modo racional.

Entonces, para el debido dimensionamiento y

clculo de una estructura habr que estudiarla

en rotura, es decir, calcular las cargas para las

que la estructura se rompe, y la razn de estas

cargas a las reales que actan nos dar el coe

f ic iente de seguridad.

Ahora b ien, para el anlisis de una estructu

ra en el perodo de rotura no es apl icable la

teora elstica, pues el material no lo es en di

cho perodo, por cuya razn es necesario admi

tir otras teoras que resuelvan el problema.

Entre las teoras que tratan del comportamien

to de la seccin de hormign armado en el pe

rodo de rotura, se pueden citar las de Guerrin,

la de Gebauer y la de Torroja, de las que no

se habla por suponerse conocidas, en las cuales,

y siempre para secciones infracrticas en el pe

rodo de prerrotura, el acero ha l legado a su

lmite de fluencia, mantenindose la tensin cons

tante en las armaduras, aunque aumente la de

formacin a consecuencia de las cargas exterio

res.

La variacin del brazo mecnico de la seccin

en las distintas teoras citadas no es muy gran

de, pero lo que importa es que, para secciones

infracr t icas, el momento mximo que es capaz

de desarrol lar una seccin de canto dado es

proporcional nicamente a la armadura y a su

carga de f luencia, ya que el brazo mecnico

vara en muy pequea proporcin y que cuan

do en una seccin se ha alcanzado este mo

mento, ste puede suponerse que se mantiene

constante y la seccin gira sin aumentar el mo

mento, es decir, que acta como un resorte que

produzca un momento dado para cualquier de

formacin.

El profesor Johansen, basado en esto, ha des

arrol lado una teora para el clculo de placas.

En el la supone, y se ha comprobado por ensa

yos, que al cargar una placa hasta la rotura,

sta viene precedida de unas f isuras que pueden

idealizarse en lneas rectas situadas y dirigidas

en formas distintas segn la forma de la placa,

apoyo, carga, armadura, etc .

A lo largo de estas lneas actan unos mo

mentos flectores y unas tensiones tangenciales.

Los primeros, ya que se trata del comportamien-

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INFORMES DE LA CONSTRUCCIN

to en rotura, son funcin nicamente del canto,

arm adu ra y l mite d e f luencia de l ace ro (se su

pone armadura infracr t ica); por consiguiente

pueden expresarse en funcin de un momento

que se toma como incgnita, conociendo la re

lacin de las armaduras en las diferentes lneas

de rotura. Las tensiones tangenciales a lo largo

de las lneas de rotura pueden sustituirse por

dos fuerzas normales al plano de la placa, si

tuadas en los extremos de las lneas de rotura,

de acuerdo con la teora general de placas.

Johansen llama fuerzas nodales a las resultan

tes en los ngulos.

Mediante las ecuaciones que se obt ienen apl i

cando a cada parte de placa l imitada por l -

ne'as de rotura o borde las condiciones de equi

l ibrio, resulta un sistema que resuelto proporcio

na los valores de los momentos que se produ

cen en las lneas de rotura, en el supuesto de

que el estado de tensiones se mantuviera an

logo al del perodo de rotura.

Una vez obtenidos estos momentos, el dimen-

sionamiento de la placa por cualquier mtodo

anelst ico en prerrotura es inmediato.

Claro est que para la apl icacin de esta

teora es preciso conocer la forma de rotura de

la placa. La situacin de las lneas de rotura

no es arbitraria, sino que responde, como es

natural, a una serie de reglas y condiciones,

las cuales se van a exponer brevemente.

En primer lugar, al romperse la placa en par

tes limitadas por las lneas de rotura y los bor

des, se ha comprobado por ensayos que en el

perodo de rotura las deformaciones elst icas

son despreciables al lado de las plsticas, lo

que produce que las diversas partes en que se

rompe la placa sean planas y la deformacin

del conjunto se haga a base del giro en cada

una de dichas partes alrededor de un cierto

eje de rotacin. Se deduce, pues, que la l nea

de rotura entre dos partes de placa pasa por

la interseccin de sus ejes de rotacin.

Otra conclusin que puede deducirse es que

en un nudo en que concurran l neas de rotura

de distinto signo no puede haber lneas de ro

tura sino en tres direcciones diferentes. Como

aclaracin, se l laman lneas de rotura posit ivas

aquellas en que la armadura de traccin est

en la parte inferior de la placa (momentos posi

t ivos), y lneas de rotura negativas aquellas en

que dicha armadura se encuentra en la cara su

perior de la placa (momentos negativos).

Por ltimo, la posicin de las lneas de rotura

ser la que da el mximo valor para los mo

mentos de rotura.

Estos son los fundamentos de la teora del pro

fesor Johansen. Se comprende que existen otra

serie de teoremas y expresiones sobre las fuer

zas nodales, as como mtodos operat ivos apro

ximados que simpli f ican an ms el problema.

Esta teora parece ms racional que la teora

elst ica en lo que a la determinacin de la se

guridad se ref iere, obtenindose por el la estruc

turas ms econmicas y ligeras que con los m

todos clsicos, presentando una mayor faci l i

dad y senci l lez, y, sobre todo, poseyendo la fa-

B

i

\ \

\ \

1/

a

jm

TrT

\ ,

B

[

My.

Si por ejemplo la armadura en direccin del

lado menor es tr iple de la otra, se trata el pro

blema como sigue: En la teora de Johansen

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D E

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puede demostrarse que en una placa con arma

duras distintas en las dos direcciones, en la rela

cin cp = (y, por con siguiente, los momentos

s'

de rotura segn ellas en la misma relacin cp)

puede calcularse el momento como en una pla

ca armada igualmente en los dos sentidos, pero

cuyas dimensiones en la direccin de la armadu

ra s son las de la pla ca mu ltiplicadas por

Vi

Segn esto, si se supone que en la placa de

la fig. 3, a = 2b y s = 3s', o sea 'f = 3, las nue

vas dimensiones sern

b

a y ~7=i = 0,577b con lo qu e X =^ 3,4

y ^

Entonces la frmula (2) da:

m

3 X 3,4^ + 2 - 2 V 1 + 3 X 3,40^

(0,677b)^p

24

3,46^

X 3 = 0,898b2p

y el error respecto al valor 0,990 es del 9,2 %.

En el otro sentido la armadura y el momento

son la tercera parte.

Se ve, por lo tanto, de este ejemplo y de las

comparaciones hechas que la f i jacin previa de

la relacin de la cuanta de las armaduras t iene

mucha importancia en este mtodo, como poda

preverse, ya que las cuantas determinan el mo

mento de rotura en el caso de placas en que

salvo en algn caso excepcional siempre se pro

yectan con cuantas infracrticas.

Al operar en los mtodos elsticos no suele

tenerse en cuenta la diferente distribucin de

las armaduras, sino que suele operarse como si

la placa fuese de un material istropo, lo cual

dentro del perodo de elast ic idad proporc ional

y con las dbi les cuantas empleadas es admi

sible,

tanto ms cuanto que el suponer la aniso-

tropa de la placa conduce a muy complejos

desarrol los, y una vez obtenidos los momentos

se determinan las armaduras.

El concepto de clculo por el mtodo de

Johansen es totalmente distinto y en l la fi ja

cin previa deMas relaciones de cuantas es fun

damental, como se ha visto.

Ejemplo 22.- Placa rectangular em potra da.

Sea la placa representada en la fig. 4, cuyos

cuatro lados se suponen perfectamente empotra-

Rg.

4.

dos y la carga se supone que est repart ida de

modo uniforme.

Las l neas de rotura son las dibujadas; ade

ms de las que f iguraban en la placa apoyada

existen otras de signo contrario en los lados de

la placa. En este caso hay que considerar cua

tro cuantas dist intas de armadura, que son las

de las dos armaduras para resist ir momentos po

sitivos y las dos para los momentos negativos.

La armadura que se va a tomar como base

es la armadura en el sent ido de b, correspon

diente a la cara inferior, y suponemos primero

que la armadura en el sent ido de a es igual.

Si suponemos que la armadura del empotra

miento es doble de la posit iva se tendr

m' = 2 m, y estableciendo las ecuaciones como

en el caso anterior, se t iene:

_

3

X m -h

o

m' ==

i{ h^m

9

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CALCULO DE PLACAS

b X

m

+

b

m = ^

b

( ^ ^ y

P

y sustituyendo m' por su valor 2 m y resolvien-

do el sistema que da , al hacer X = :

cp = b

X 4- 1 V + 3X2

3

m

3X2 - f 2 2 V I + 3X2

3X2

b2p

24

(31

(4)

En el caso de placa cua dra da :

m = 0,0139 b^p m' = 0,0278 b^p'

que son valores notablemente inferiores a los

que proporciona la teora elst ica que para

[Ji=0,15 da mi = 0,0207 b^ p m '= 0, 05 13 b^p.

La razn de esta diferencia es el haber adop

tado un valor excesivamente alto para la rela

c i n . Tal como se plantean las ecuaciones

m

el valor de m' representa el momento medio y

no el mximo como es el de m'i ; por otra parte,

debido a la plast ic idad del material, los mo

mentos de empotramiento disminuyen hasta en

un 15 %, aparte de que existe otra reduccin

debida a que en la real idad no es posible el

hacer un empotramiento absoluto; por estas

causas no es muy acertado el haber elegido el

valor 2 para la relac in de , s iendo prefe-

m

rible elegir el valor 1 segn se deduce de los

resultados de ensayos efectuados.

Entonces la expresin del momento de rotura

es:

3 X 2 + 2 - ^ 2 V i + 3 X 2 b2p

2X2 24 ^ ^

que en el caso de placa cuadrada proporc iona:

m = 0,0209 b^p, o sea, un valo r sensiblemen

te igual al mi = 0,0207 b'p que da la teora

elst ica. En cuanto al momento de empotramien

to se obtie ne m' = 0,209 b^p en contra de l

m'i = 0,0513 b^p qu e da la teora e ls tica;

ahora b ien, este momento es el mximo y el me

dio puede tomarse adoptando un coef ic iente

de 0,7, y si adems se reduce un 15 % por el

efecto de plast ic idad y otro 15 % por la ejecu

c in real del empotramiento, queda:

rT\\

= 0 ,0513 X 0,7 X 0,85 X 0,85 b^p =

= 0,0259 b^p,

o sea, un valor algo mayor pero del mismo

orden.

Otra vez se ha puesto de manif iesto la impor

tancia que tiene en este mtodo la fi jacin pre

via de las relaciones de armadura en las dist in

tas zonas de la placa,- como es natural debe

colocarse armadura tanto mayor cuanto ms r i

gidez tenga la placa en su direccin. Si esta

relacin es escasa o demasiado grande, enton

ces los momentos se distribuirn en la relacin

de las armaduras supuestas, pero a costa de

fisuras y grietas que en algunos casos sern

inadmisibles. Una gua respecto al modo de dis-

Rg. 5.

t r ibuir las armaduras puede ser el estudio els

tico o el resultado de los ensayos.

Ejemplo 32.

- Placa rectangu lar uniformem ente

cargada con t res lados apoyados y el cuarto

libre (fig. 5).

El esquema de lneas de rotura es el indicado

en la figura, ya que los lados hacen de ejes de

giro de las partes en que se rompe la placa

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y las lneas de rotura pasan por la interseccin

de los ejes de giro.

No existen fuerzas nodales en el borde por

ser normal a l la lnea de rotura que termina

en dicho borde (si formara un ngulo ct, las fuer

zas nodales seran d- m cotg a . Estableciendo

el equilibrio se tienen las expresiones:

m X a = (b x) ap

(sobre AB)

m X b =

1 a^ , 1 a2

4 3 4

(sobre BC)

De las cuales si = X se deduce:

4 X V I2X I

m =

X + V 12) 1+ I pa2

48

Para X = m = 0,0562 p a^

El mtodo basado en la teora de elast ic i

da d propo rcion a pa ra un valor p. = 0,3 m =

= 0,0600 pa ' en el borde y 0,0390 pa ' en el

centro. Se ve, por lo tanto, que el valor obte

nido es bastante aproximado para la relacin

de lados previstos.

De los ejemplos citados puede deducirse que

el mtodo de Johansen resuelve con faci l idad

problemas de placas, obtenindose resultados

aproximados a los de la teora elstica,- por

otra parte, es un procedimiento fci l de apl icar

y nico posible en casos de placas de formas

complicadas. Tan slo requiere en el proyect is

ta cierta prct ica para prever la disposicin de

las lneas de rotura en la placa y prever las

relaciones entre las distintas armaduras para

obtener un trabajo mejor en la placa y la ma

yor economa. Una ventaja de bastante conside

racin es que, puesto que los momentos de ro

tura dependen de la distribucin de las arma

duras, se dispone de cierta elast ic idad para su

eleccin, permit iendo un mejor aprovechamien

to del acero dentro de ciertos lmites.

Para terminar vamos a estudiar este ltimo

ejemplo senci l lo.

Ejemplo 42,- Placa circular ap oy ad a con car

ga uniforme (f ig. 6).

En este caso las lneas de rotura son los ra

dios de la placa, no exist iendo fuerzas nodales

en el centro por ser las lneas de rotura del

mismo signo.

Entonces, entre dos radios o lneas de rotura

Rg.

6.

que forman un ngulo da se tendr la siguiente

ecuacin de equi l ibr io:

m a d a = I a ^ d c t l p o sea

\ 2 / 3 '

m = - 2 - ^ = 0,166 pa^

6

Segn el procedimiento elst ico el momento

vale:

m = - 2 - 5 ( 3 + i ) ( l - p ^ )

I 6

y si |x = 0,15 se tiene en el centro , o sea po ra

p = o

m '= - ^ ^ X 3,15 = 0,196 pa^

Se obtiene por el procedimiento de Johansen

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un valor del momento inferior al que proporcio

na el mtodo elst ico.

De todos los ejemplos analizados se ve que

el mtodo de Johansen proporciona valores de

los momentos de rotura inferiores en general a

los mximos que da la teora elstica, lo cual

es lgico, toda vez que aqulla da valores me

dios y sta valores mximos, siendo en def ini

t iva la distribucin de armaduras la que f i ja la

distribucin de los momentos a causa de la

plasticidad del material dentro de ciertos lmites.

Se ha visto en este artculo que el mtodo del

Profesor Johansen es perfectamente admisible

para el clculo de las placas, presentando co

mo principales ventajas su faci l idad de apl ica

cin y su coincidencia con los resultados de los

ensayos, y teniendo el inconveniente de que hay

que prever las lneas de rotura y distribucin

de armaduras ms convenientes, lo cual exige

cierta prct ica en el proyect ista.

De acue rdo con los disposiciones vigentes, de be r mencionarse el nombre de esta Revista en toda reproducc idn

de los trabajos insertos en la misma.

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