Clculo de Longitud y Masa de Alambres

Edison Pineda - David Batallas Jonathan Chango Jerson Barragn

Escuela Superior Politcnica de ChimborazoRiobamba, Ecuadoredison-e2@hotmail.esdavidbatallasc@hotmail.comuncheco@hotmail.comalexander54274@gmail.comI. INTRODUCCION La integral de lnea tiene varias aplicaciones en el rea de ingeniera, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de lnea de un campo escalar.En matemtica, una integral de lnea o curvilnea es aquella integral cuya funcin es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama tambin INTEGRAL DE CONTORNO.Ejemplos prcticos de su utilizacin pueden ser:

El clculo de la longitud de una curva en el espacio.

El clculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una funcin (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva.

tambin para el clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que acten sobre el mismo.

II. DESARROLLO DE CONTENIDOS

Vamos a referirnos a aplicaciones de curvas C de R3, de manera similar ocurre para curvas C de R2.

1) Sea una funcin continua sobre C tal que f(x, y, z) = 1, Si C es un alambre, entonces:

Que representa la longitud del alambre

2) Si es la funcin de la densidad de la masa del alambre, entonces la masa del alambre recorrido por la curva C es:

[1]

Masa de un alambre

La interpretacin fsica que se le pueda dar a la integral de lnea c f(x, y) ds depender del significado fsico que tenga la funcin f. Si la funcin (x, y) representa la densidad lineal de un punto (x, y) de un alambre muy delgado en forma de la curva C y si se divide la curva C en n sub-arcos de longitudes s1,s2,s3,..,sn , con sf (Pi-1 Pi), entonces la masa del alambre que va desde Pi1 hasta Pi se puede aproximar mediante la siguiente expresin (xi*,yi*) si ; por tanto la masa del alambre completo vendra dado por ni-1 ( (xi*,yi*) si). Para tener una aproximacin ms cercana al valor verdadero de la masa del alambre se puede incrementar el nmero de sub-arcos n en el que se dividi inicialmente la curva C. Al estudiar el lmite de estas aproximaciones cuando n , se obtiene el valor exacto de la masa del alambre: [2]

1.Hallar la longitud total de un alambre cuya forma es de la curva y=IxI con . [1]

g(x) = 1(x0), g(x) = -1(x0)ds= dx = dxL = L = L = m

2. Calcular la masa de un alambre que tiene la forma de la curva de interseccin de las superficies y , si la funcin de densidad lineal es [3]

Para parametrizar la curva C buscamos la proyeccin de esta sobre el plano

Para eliminar el trmino cruzado lo agrupamos con uno cuadrtico y completamos los cuadrados

Obtenemos una elipse cuyos ejes de simetra no son paralelos a los coordenado, sino que esta girada respecto a estos.

3. Un alambre tiene forma de circunferencia . Determine su masa respecto de un diametro si la densidad en un punto (x,y) del alambre esta dada por la funcion [4]

4. Hallar la masa de un alambre cuya forma es de la curva con , si la densidad de cada punto P es igual al valor absoluto del producto de las coordenadas del punto. [4]Solucin x+2, y= -x-2,

IV. CONCLUSIONES

Se ha determinado la masa mediante las integrales de lnea Se ha determinado la longitud mediante las integrales de lnea

V. REFERENCIAS

[1] Leticia Chvez A., Anlisis Matemtico II, primera edicin, editorial copy center, Riobamba Ecuador 2013[2] Aplicaciones de integrales de lnea (2011). [Online]. Available: https://docs.google.com/presentation/d/118L43bQSy6tl1xfRRBFWNvvqWDCLE2fvC4z7ti66YLA/edit?pli=1#slide=id.g36a36e0d4_041&usg=AFQjCNEHdyk7_5mmwq-QG4-32_wHojVNdA&sig2=VYH_spYiIZ4egD9GY69XzA&bvm=bv.82001339,d.eXY&cad=rja[3] Prcticas de fundamentos matemticos de la ingeniera con mathematica, Valencia 2015. [Online]. Available: http://site.ebrary.com/lib/espochsp/reader.action?docID=10074192&ppg=3[4] La integral de linea. [Online]. Available: http://personales.upv.es/aperis/docencia/int_linea.pdf[5] Aplicacin de la integral de linea. [Online]. Available.: http://www.ing.uc.edu.ve/~amejias/Archivos_pdf/int_lin_intlince.pdf