calculo

DERIVACIÒN DE FUNCIONES TRASCENDENTES.

Funciones Exponencial y logarítmica.

Ida y Vuelta

Analicemos las siguientes situaciones:Al pararse una persona ante un espejo, ¿Qué se espera que suceda? Al lanzar una piedra verticalmente hacia arriba ¿Qué se espera que suceda?Al hacer un préstamo en dinero a un amigo ¿Qué se espera que suceda?Al jugar un partido de tenis y lanzar la pelota al adversario ¿Qué se espera que suceda?

Cuando dos funciones son inversas, sucede algo similar, a las actividades anteriores, si ésta cumple con ciertas condiciones:

La funciòn “g” se llama función inversa de la función “f” y se denota por , como vemos la función “g” invierte la correspondencia dada por la función “f”, esto siempre y cuando “f “ séa una función uno a uno (biunívoca).

Recordemos tambien que si una función continua es siempre creciente o siempre decreciente, indica que tiene función inversa.

Una función expònencial está definida por y = , en base ala definición de logaritmo natural se transforma en x = ln y . las funciones y ln y tiene el comportamiento de funciones inversas, si permutamos “x” y “y” de la ecuación

resulta , que se define como función logaritmica.

Dominio Dominio X X

Rango Rango Y Y

Y = f (x) x = G (y)Y es la imagen de x bajo la x es la imagen de Y bajo la funciónFunción f g

Gráficamente las funciones exponencial f(x) = y logaritmica quedan de la siguiente forma:

Análogamente si la función exponencial tiene como base a = 10 en lugar de “e”, basándose en la definición de logaritmo común, se transforma en x = log y . las funciones a x y log y , tienen el comportamiento de funciones inversas y si permutamos “ x “ y “ y ” de la ecuación x = log “ y “ , resulta y = log x , que se define como una función logarítmica su gráfica es idéntica a la anterior haciendo notar que en lugar de f(x) = ex queda f(x) = ax y en lugar de g(x) = ln x queda

.FÓRMULAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES.

Partiendo de la fórmula para derivar la función ln V, deduciremos las demás fórmulas:

EJEMPLOS DEMOSTRATIVOS.

1) Calcular la derivada de la siguiente función logarítmica

Solución por fórmula:

NOTA: Actividad para el alumno:

Derivar la función anterior aplicando propiedades de los logaritmos.

2) Calcular la derivada de la siguiente función exponencial

Solución aplicando propiedades de los logaritmos:

NOTA: Actividad para el alumno:

Derivar la función anterior aplicando fórmulas.

DERIVA LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

Solución:

HALLAR LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

FÓRMULAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

DEMOSTRACION DE FORMULAS TRASCENDENTES

=

=

=

=

=

=

1). Calcular la derivada de la siguiente función trigonométrica directa

Solución:

2). Calcular la derivada de la siguiente función trigonométrica inversa

Solución:

ACTIVIDAD PÀRA LOS ALUMNOS.

Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:

1)

2)

3)

4)

5).

6).

7).

8).

9).

10).

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

SUBE Y BAJA

En la gráfica tenemos el perfil de una pirámide de base cuadrada, la cual se va a escalar, sabiendo que cada escalón tiene con base 1.00 m y como altura 50 cm. Si una persona hace el recorrido iniciando en el punto “A” y terminando en el punto “J”, ¿Cuál es el avance y la altura respectiva en cada uno de los puntos intermedios B, C, D, E, F, G, H, e I?

¿A qué avance corresponde el punto donde la persona está a la altura máxima?.

¿A qué avance corresponde el punto donde la persona empieza a bajar?.

Cuando la persona ha avanzado 12.5 mts. ¿A qué altura se encuentra?.

E

D F

C G

B H

A J

I

Cuando la persona ha avanzado 18.5 mts. ¿A qué altura se encuentra?.

Ahora analizaremos el comportamiento de un punto a través de la gráfica de una función; como veremos, distintas y diversas funciones tienen un recorrido semejante al de la persona subiendo y bajando la pirámide.Analicemos el comportamiento de las funciones:

y = x y y = -x ; en un intervalo (-3, 3)

y y = x y = -x y = x y = -x

x′ x

TABLA 1 TABLA 2

y′

GRÁFICA 1

Analizando la tabla 1 y la gráfica 1, vemos que los valores de “x” crecen y los valores de “y” también crecen, por lo tanto la función y = x es CRECIENTE.

En el caso de la tabla 2 y la gráfica 1; vemos que los valores de “x” crecen y los valores de “y” decrecen, por lo tanto la función y = -x es DECRECIENTE.

En ambos casos si se amplia el intervalo, las dos funciones siguen siendo CRECIENTE y DECRECIENTE, respectivamente.

FUNCIÓN CRECIENTE.- Es aquella en la que los valores de “x” crecen y los valores de “y” también crecen.

x y-3 -3-2 -2-1 -10 01 12 23 3

x y-3 3-2 2-1 10 01 -12 -23 -3

FUNCIÓN DECRECIENTE.- Es aquella en la que los valores de “x” crecen y los valores de “y” decrecen.

De una manera similar analicemos el valor de las funciones: y = x² y y = x²; en un intervalo igual.

y

x′ x

y′

TABLA 3 TABLA 4

GRÁFICA 2

La función ; es DECRECIENTE en ( -∞, 0) y CRECIENTE en (0, ∞).La función ; es CRECIENTE en (-∞, 0) y DECRECIENTE en (0, ∞).

En el punto (0, 0), vemos que la pendiente de la tangente (para ambas funciones) es CERO, por lo tanto el punto (0, 0) es un punto crítico y el VALOR x = 0 es un valor crítico.

Ahora analizaremos un intervalo creciente de la función y = x². y

y = x²

(+) Δyx

x Δx (+)GRÁFICA 3

x y

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

x y

-3 -9

-2 -4

-1 -1

0 0

1 -1

2 -4

3 -9

Sabemos que si “x” crece, “y” crece y los incrementos al pasar del punto A al punto B, (Δx y Δy) tendrán el mismo signo y las tangentes por dichos puntos (A y B) forman ángulos agudos con el eje “x”, por lo tanto la pendiente de las tangentes es positiva (gráfica 3).

y

(-) Δy

x′

Δx (+)GRÁFICA 4

De la misma manera en un intervalo decreciente, sabemos que si “x” crece, “y” decrece y los incrementos Δx y Δy al pasar de un punto A a un punto B tendrán signos opuestos y las tangentes por dichos puntos, forman ángulos obtusos con el eje “x”, por lo tanto su pendiente es negativa. (Gráfica 4).

De lo anterior podemos afirmar que:

Una función es CRECIENTE en un punto dado, si el valor de su primera derivada es POSITIVO.

Una función es DECRECIENTE en un punto dado, si el valor de la primera derivada es NEGATIVO.

Regresemos a las funciones y = x² y y = -x² y sustituyendo valores de “x” donde sabemos de antemano que la función es CRECIENTE o DECRECIENTE como x = -1 y x = 1.Sea la función: Sea la función:

y = x² y = -x²y’ = 2x y’ = -2x

si x = -1 si x = -1

y’ = 2 (-1) y’ = -2 (-1)

y’ = -2 y’ = +2

como la y’ es negativa como la y’ es positivay = x² es decreciente en x = -1 y = -x² es creciente en x = -1

si x = 1 si x = 1

y’ = 2 (1) y’ =-2 (1)

y’ = 2 y’ = -2

como la y’ es positiva como la y’ es negativay = x² es creciente en x = 1 y = -x² es decreciente en x = 1

Lo cual podemos comprobar en la gráfica Nº 2.

En general:

Una función es CRECIENTE en un intervalo, si para cualquier par de números x1, x2 del intervalo, x1< x2, implica ƒ(x1) < (x2).

Una función es DECRECIENTE en un intervalo, si para cualquier par de números x1, x2 del intervalo, x1 < x2 implica ƒ (x1) > ƒ (x2).

Veamos el siguiente ejemplo:

Hallar los intervalos en que la función es creciente o decreciente:

1º. Calcular

2º. Igualando

Simplificando la expresión tenemos:

Resolviendo por factorización la expresión tenemos:

Valores críticos, ,

Los puntos críticos representan el valor de “x” donde la función cambia de CRECIENTE a DECRECIENE o viceversa.

De lo anterior podemos decir que la función cambia de (-∞,1), (1,3) y de (3, +∞).

Considerando un valor del intervalo (-∞,1) y lo sustituimos en tenemos:

Como , La función es CRECIENTE.

Considerando un valor del intervalo (1,3) y lo sustituimos en tenemos:

Como , La función es DECRECIENTE.

Considerando un valor del intervalo (3, +∞) y lo sustituimos en tenemos:

Como , La función es CRECIENTE.Al graficar podemos observar que la función crece de (-∞,1), decrece de (1,3) y crece de (3,+∞).

y4

2

1 2 3 4

En las siguientes funciones, determinar los intervalos en los que la función es creciente o decreciente. Construir las gráficas correspondientes.

a)

x y0 01 42 23 04 4

x

b)

c)

d) e) f)

Verifica si las funciones dadas son crecientes o decrecientes en los valores indicados

g) a) x = 1 b) x = 2 c) x = 3/2h) a) x = 2 b) x = - 2 c) x = 3i) a) x = 0 b) x = - 3 j) a) x = - 2 b) x = 0c) x = 2

Trazar las gráfica correspondiente de las siguientes funciones en los intervalos señalados y comenta con tus compañeros de equipo el comportamiento de las curvas.a) b) c) d)

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS.

¡MÁS ALTO, MAS BAJO!

Algunas de las aplicaciones más importantes e interesantes del cálculo diferencial son aquellos problemas en los que se busca la optimización de las soluciones obtenidas, esto lleva inherente los máximos y mínimos, porque al optimizar un resultado, es en algunos casos necesario maximizar y en otros minimizar, por ejemplo en el procesamiento de un producto en una fábrica lo interesante es maximizar la producción y minimizar costos, tiempos, y desperdicios en la fabricación del producto. Con este criterio, en muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de los datos, la expresión matemática del problema, es decir, la función a través de la cual obtenemos los valores máximos o mínimos que den solución al problema.

Socializa tus respuestas de los siguientes problemas con tu equipo y tu facilitador.

Si un fabricante de camisas desea construir una caja abierta del mayor volumen posible para empacar su producto, dispone de hojas de cartón cuadradas de lado “a”.

Tu ¿qué harías para resolver el problema?.

¿Cuántas cajas podrías construir con una hoja de cartón cuadrada de lado “a”?.

¿Si tienes diversas opciones, cuál sería la que te da el volumen máximo?.

De esa hoja de cartón ¿cuál será el desperdicio al lograr el volumen máximo?.

El desperdicio ¿podría ser nulo?.

Una hoja de papel debe contener 18 cm² de texto impreso, los márgenes superiores e inferiores deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Se piden las dimensiones de la hoja, para que el gasto de papel sea mínimo.

¿Qué propones para resolver este problema?.

¿Cuál es la información de la que dispones?.

¿Se puede establecer una función que nos de la solución?.Problemas como los dos anteriores, que se resolverán más adelante, consisten en obtener el máximo o el mínimo. En el primero se desea el volumen máximo, en el segundo, que el gasto de papel sea mínimo. Como este, existen gran variedad de problemas en los que se buscan maximizar o minimizar áreas, volúmenes, tiempos, costos, gastos, material, velocidades, etc.

En este capitulo aprenderás a calcular el máximo o el mínimo de una función y en el siguiente resolverás problemas de aplicación como los dos planteados al inicio.Aplicando la derivada de una función, determinamos los intervalos en que la función es creciente o decreciente, ahora la utilizaremos para analizar los puntos en que la función cambia de creciente a decreciente o viceversa, generando los puntos máximos o mínimos de una función.

Un máximo y un mínimo, no significa que sean el mayor o el menor valor de la función, por eso se especifica qué son máximos y mínimos locales o también máximos y mínimos relativos y no deben confundirse con los puntos cuya ordenada es la mayor o la menor de la gráfica completa.

Los valores de “x” donde existe un máximo o un mínimo relativo de la función, se les define como valores críticos y a los puntos correspondientes se les define como puntos críticos.

En un máximo relativo, la función cambia de creciente a decreciente, es decir, la derivada cambia de un valor positivo a un valor negativo. (GRAFICA 1).

En un mínimo relativo, la función cambia de decreciente a creciente, es decir, la derivada cambia de un valor negativo a un valor positivo: (GRAFICA 1).

y MÁXIMO ABSOLUTO

MÁXIMORELATIVOm = 0

m (+) m (-)

a c x

b 0 d

MÍNIMO m (-) m (+)ABSOLUTO m = 0

MÍNIMO RELATIVO

GRÁFICA 1Sea la función y = 2x³ – 9x² + 12x –3, analiza si tiene máximos y/o mínimos.

¿Qué vas a hacer?, ¿Conoces su derivada?, ¿Conoces sus puntos críticos?, ¿Sabes si es creciente o decreciente?, ¿En qué intervalos?, Si hay un máximo, ¿en qué punto se localiza?, ¿Conoces su gráfica?, La gráfica de la función ¿te ayudaría a resolver el problema?, ¿Conoces algún procedimiento para resolver el problema?.

Con los conocimientos previos, escribe un plan de solución para tu problema, ordenándolos según prioridades.

Sea la función y = 2x³ - 9x ² + 12x –3; para obtener sus máximos y/o mínimos, aplicamos el criterio de la primera derivada:

y = 2x³ - 9x² + 12x – 3

1º Calcular y’ = 6x² - 18 x + 12

2º Igualar 6x² - 18x + 12 = 0

Factorizando la expresión anterior e igualando a cero cada factor se obtienen los valores críticos.

(x-1) (x-2) = 0 Valores críticos x1 = 1, x2 = 2

De lo anterior podemos decir que la función cambia de (-∞,1), (1, 2) y de (2, +∞).

Analizando el valor crítico x1=1

Considerando un valor Considerando un valor

tomándolo del intervalo (-∞,1) tomándolo del intervalo (1, 2)y lo sustituimos en tenemos: y lo sustituimos en tenemos:

Como Como La función es CRECIENTE. La función es DECRECIENTE.

MÁXIMOLa función y = 2x³ - 9x² + 12x – 3 tiene un valor MÁXIMO para el valor crítico x=1.

Sustituyendo el valor crítico en la función, se obtiene el valor MÁXIMO de y = 2.



tomándolo del intervalo (1, 2) tomándolo del intervalo (1, 2)

y lo sustituimos en tenemos: y lo sustituimos en tenemos:

Como Como La función es DECRECIENTE. La función es CRECIENTE.

MÍNIMO

La función y = 2x³ - 9x² + 12x – 3 tiene un valor MÍNIMO para el valor crítico x=2.

Sustituyendo el valor crítico en la función, se obtiene el valor MÍNIMO de y = 1.

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MÁXIMO de la función, se encuentra en el punto (1, 2) y que el valor MÍNIMO de la misma, se encuentra en el punto (2,1).

Encuentre los valores máximo y mínimo absoluto de la función .

1º Calcular

2º Igualar

Resolviendo la ecuación resultante se obtiene el valor crítico x = 1.

De lo anterior podemos decir que la función cambia de (-∞,1), y de (1, +∞).



tomándolo del intervalo (-∞,1) tomado del intervalo (1, +∞)



MÍNIMO

La función tiene un valor MÍNIMO para el valor crítico x=1.


En base a lo anterior podemos concluir que el valor MÍNIMO de la función, se encuentra en el punto (1, 1).

Examine la función y determine si tiene máximo o mínimo:

1º Calcular

2º Igualar


De lo anterior podemos decir que la función cambia de (-∞,2), y de (2, +∞).



tomándolo del intervalo (-∞,2) tomándolo del intervalo (2, +∞)



MÍNIMO


Sustituyendo el valor crítico en la función, se obtiene el valor MÍNIMO de y = -3.

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MÍNIMO de la función, se encuentra en el punto (2, -3).

MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:

1º Se obtiene la primera derivada de la función.

2º La primera derivada se iguala a cero y se calculan las raíces reales de la ecuación resultante, que representan los valores críticos de la ecuación.3º Se obtiene la segunda derivada de la función.4º Se sustituye en la segunda derivada, en el lugar de la variable, cada uno de los valores críticos obtenidos; si el valor resultante es positivo, la función tiene un MÍNIMO para el valor crítico que se está analizando; si el resultado es negativo, la función tiene un MÁXIMO para el valor crítico que se analiza, si el valor de la segunda derivada es cero, no podemos decir si existe máximo o mínimo, o posiblemente ni uno ni otro.

El procedimiento de la segunda derivada, no es aplicable, si la segunda derivada es igual a CERO o no existe, en tal caso se aplica el procedimiento de la primera derivada.

Para comprobar los ejemplos desarrollados con el criterio de la primera derivada, ahora los resolveremos con el criterio de la segunda derivada, haciendo notar que los pasos 1 y 2 de ambos criterios son iguales.

Ejemplo 1:

Sea la función ; para obtener sus máximos y/o mínimos, aplicamos el criterio de la primera derivada:

1º Calcular

2º Igualar

Factorizando la expresión anterior e igualando a cero cada factor se obtienen los valores críticos.

(x-1) (x-2) = 0 Valores críticos x1 = 1, x2 = 2

3º Calcular

Analizando el valor crítico x1=1 Analizando el valor crítico x1=2

Como Como La función tiene un MÁXIMO. La función tiene un MÍNIMO.

La función tiene un valor MÁXIMO para el valor crítico x=1.




En base a lo anterior podemos concluir que el valor MÁXIMO de la función, se encuentra en el punto (1, 2) y que el valor MÍNIMO de la misma, se encuentra en el punto (2,1).

Ejemplo 2.- Encuentre los valores máximo y/o mínimo absoluto de la función .

1º Calcular

2º Igualar


3º Calcular


Como La función tiene un MÍNIMO.



En base a lo anterior podemos concluir que el valor MÍNIMO de la función, se encuentra en el punto (1, 1).

Ejemplo 3.- Examine la función y determine si tiene máximo o

mínimo:

1º Calcular

2º Igualar


3º Calcular

Analizando el valor crítico x = 2

Como La función tiene un MÍNIMO.


Sustituyendo el valor crítico en la función, se obtiene el valor MÍNIMO de y = -3.

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MÍNIMO de la función, se encuentra en el punto (2, -3).Examine si tienen máximo o mínimo las siguientes funciones:

a) f)

b) g)

c) h)

d)e)

PLATOS, TAPAS, ANTENAS PARABÓLICAS, FAROS DE LUZ Y ANEXAS.

CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION.

PLATOS, ANTENAS PARABÓLICAS, FAROS DE LUZ

Hasta este punto hemos manejado términos como creciente, decreciente, máximo, mínimo, crítico; que desde el punto de vista matemático hemos definido. Los términos concavidad e inflexión se presentan ahora, y vamos a ver cómo se definen de acuerdo a un diccionario y compararlos con su definición matemática.

De un diccionario obtén la definición de las siguientes palabras:

Creciente:

ALTOTOPES

Decreciente:Máximo:Mínimo:Crítico:Concavidad:Inflexión:

Busca en un diccionario de sinónimos y antónimos las siguientes palabras:

Creciente:Decreciente:Máximo:Mínimo:Crítico:Concavidad:Inflexión:

Deduce conclusiones de las actividades 1) y 2) y coméntalas con tus compañeros.Observe la curva definida por y = f (x) que se muestra en la gráfica.

Y C

A B

X

Sabemos que en el punto A la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquierda de A es positiva y a la derecha es negativa, por lo tanto la curva en el punto A es cóncava hacia abajo .

En el punto B, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquierda de A es negativa y a la derecha es positiva, por lo tanto la curva en el punto B es cóncava hacia arriba + .

En el punto C, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquierda es positiva y a la derecha también es positiva, es decir no cambia de signo, sólo cambia el sentido de concavidad, por lo tanto no existe ni máximo, mínimo, a este punto se le define como PUNTO DE INFLEXIÓN.

Para calcular el sentido de concavidad de una función sigamos el proceso de la segunda derivada:

1º Calcular la primera y segunda derivada de la función.2º Igualar la segunda derivada a cero y obtener las raíces (puntos críticos) de la ecuación resultante.3º Analizamos la segunda derivada; si para un valor menor que la raíz obtenemos un resultado NEGATIVO la curva es CÓNCAVA HACIA ABAJO4º Si el resultado es POSITIVO, la curva es CÓNCAVA HACIA ARRIBA.

Dicho de otra manera:

Si f” (x) > 0, es condición para que una curva sea CÓNCAVA HACIA ARRIBA +Si f” (x) < 0; es condición para que una curva sea CÓNCAVA HACIA ABAJOPara determinar los puntos de inflexión de una CURVA se sigue el mismo proceso anterior, sólo que el punto tres tiene una variación:

Calcular la primera y segunda derivada de la función.Igualar la segunda derivada a cero y obtener las raíces (punto crítico) de la ecuación resultante.Analizamos la segunda derivada. Si para un valor menor que la raíz y para otro valor mayor que la raíz cambia de signo al sustituir los valores en la segunda derivada, entonces hay punto de inflexión en el punto crítico analizado.

Ejemplo 1.- Calcula la concavidad de la función , y el punto de inflexión si existe.

1º Calcular

Calcular

2º Igualar

Resolviendo la expresión anterior se obtiene el valor crítico .

De lo anterior podemos decir que la función cambia de , y de .

Analizando el valor crítico


tomándolo del intervalo tomándolo del intervalo


Como Como La curva es: La curva es:CÓNCAVA HACIA ABAJO. CÓNCAVA HACIA ARRIBA.En base a que la concavidad de la curva cambia, podemos concluir que para el

valor crítico , la función tiene un punto de inflexión.

Ejemplo 1.- Calcula la concavidad de la función , y el punto de

inflexión si existe.

1º Calcular

Calcular

2º Igualar

Factorizando la expresión anterior e igualando a cero, se obtienen los valores críticos.

Valores críticos x1 = -1, x2 = 1

De lo anterior podemos decir que la función cambia de (-∞,-1), (-1, 1) y de (1, +∞).

Analizando el valor crítico x1= -1

Considerando un valor Considerando un valor tomándolo del intervalo (-∞,-1) tomándolo del intervalo (-1, 1)y lo sustituimos en tenemos: y lo sustituimos en tenemos:

Como Como La curva es: La curva es:

CÓNCAVA HACIA ARRIBA. CÓNCAVA HACIA ABAJO.

Debido a que la concavidad de la curva cambia, podemos concluir que para el valor crítico , la función tiene un punto de inflexión.

Analizando el valor crítico x2= 1

Considerando un valor Considerando un valor tomándolo del intervalo (-1, 1) tomándolo del intervalo (1, +∞)y lo sustituimos en tenemos: y lo sustituimos en tenemos:

Como Como La curva es: La curva es:CÓNCAVA HACIA ABAJO. CÓNCAVA HACIA ARRIBA.

Debido a que la concavidad de la curva cambia, podemos concluir que para el valor crítico , la función tiene un punto de inflexión.

Calcular el sentido de concavidad y puntos de inflexión de las funciones siguientes, en los puntos que se indican.

a) y = x³ + 2x² - 4x – 2 en x = -1, x = 0 Sol. +b) f (x) = x³ - x² + 3 en x = - 3/5; x = 0; x = 2 Sol. ;

+c) y = x³ - 6x² + 9x + 2en x = - 1; x = 0 Sol. ;

Calcula en qué intervalos las curvas siguientes son cóncavas hacia arriba o cóncava hacia abajo.

d) Sol. , a la izquierda de x = 1 + , a la derecha de x = 1

e) Sol. + , a la izquierda de x = 0, a la derecha de x = 0

f) Sol. , a la izquierda de x = 1 + , a la derecha de x = 1

calculo

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