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CURSO: CÁLCULO I

Tema :

Docente: Holger Espinola López / Percy Angulo Vilca / Denis Ordonio Hoyos

Ejercicios Propuestos

Continuidad de Funciones

1. Determinar los valores de “x” para los

cuales la función es discontinua y construir

la gráfica:

a) 2 1 ; 2

( )3 ; 2

x xf x

x

b)

3 1; 1

( ) 1

8 ; 1

xx

f x x

x

c)

3 2 2 2; 1

( ) 1

4 ; 1

x x xx

f x x

x

d)

23 7 2; 0

( ) 2

3 ; 0

x xx

f x x

x

2. Determinar los valores de a y b de modo

que la función “f” sea continua en todo su

dominio.

a)

2 ; 2

( ) 3 ; 2 1

6 2 ; 1

x a x

f x ax b x

x b x

b)

3 6 ; 3

( ) 3 7 ; 3 3

12 ; 3

x a x

f x ax b x

x b x

Aplicaciones de la continuidad

3. Si una esfera hueca de radio “R” se carga

con una unidad de electricidad estática,

entonces la intensidad de campo eléctrico

E(x) en el punto P situado a “x” unidades

del centro de la esfera satisface:

2

2

0 ; 0

1( ) ;

2

1;

si x R

E x x Rx

x Rx

Determinar si la función intensidad de

campo eléctrico es continua para x>0.

4. Los radios de las bases de tres cilindros

superpuestos miden 3 m, 2 m y 1 m,

respectivamente. La altura de cada uno de

los tres cilindros es igual a 5 m.

a) Expresar el área de la sección

transversal del cuerpo engendrado

como función de la distancia que es

medida entre la sección y la base

inferior del cilindro que ocupa la parte

baja del cuerpo.

b) Construir la gráfica de la función y

determinar si es o no continua.

Asíntotas de una función

5. Calcular las asíntotas de las siguientes

funciones:

a)

1f (x)

x 1

Continuidad de funciones. Asíntotas de una función.

Secciones

Transversales

Cilíndricas

2

b)

2xf (x)

x 1

c) 23x 2

f (x)x 1

d) 2

xf (x)

x 1

e) ( ) x

f xx

f) 23 x x

f (x)x 2

g) 3

2

2xf (x)

x x 1

h) 2

2

1x 1 ; x 1

x 1f (x)

2x; x 1

x 1

i) 2 32y(x 1) x

Problemas de aplicación

6. Suponga que la demanda de un alimento

no perecible (en miles de unidades) está

dado por la función

0.4

0.4

320t 90d(t)

4t 9.

Donde t es el número de semanas después

del lanzamiento del producto al mercado

nacional. Determine la demanda al inicio

del lanzamiento y cuando t .

7. En una simulación computacional se

muestra una relación particular huésped-

parásito, en ella se determinó que cuando

la densidad de huésped (número de

huésped por unidad de área) es n , el

número de huéspedes parasitados en un

periodo es

900nN

10 45n, si la densidad de

huésped aumenta indefinidamente, ¿a qué

valor se aproximaría?

8. Para una relación particular presa–depredador, se determinó que el número N de presas consumidas por un

depredador a lo largo de un periodo fue una función de presas n (el número de presas por unidad de área). Suponga

20nN

1 0,2n. Si la densidad de presas

aumenta sin cota, ¿a qué valor se aproximaría N?

9. Para estudiar la tasa con la que aprenden los animales, un estudiante de psicología realizó un experimento en el que enviaba a una rata repetidamente a través de un laberinto. Suponga que el tiempo requerido (en minutos) para que la rata atraviese el laberinto en el n-ésimo intento esta dado por la siguiente función:

5n 17T(n)

n ¿Cuál es el tiempo mínimo en que la rata

atraviesa el laberinto? 10. En algunas especies animales, el consumo

de comida se afecta por la intensidad de la vigilancia a la que se somete al animal mientras come. En realidad, es difícil comer mucho mientras se siente la vigilancia de un depredador que se lo puede comer a usted, en cierto modelo, si el animal está buscando alimento en plantas que brindan un bocado de tamaño S, la tasa de consumo de alimento I(S) está dada por una función de la forma

aSI(S)

S c

, donde a y c son constantes

positivas. a) ¿Qué le ocurre al consumo de alimentos

I(S) cuando un bocado de tamaño S aumenta indefinidamente? Intérprete su resultado.

b) Trace la gráfica de esta función.