Del teorema de Green sabemos:

Para todo los campos de clase C1 sobre S que contiene a R, de esto sale le equivalente de las dos expresiones:

Para probar la expresin (1); la limitaremos por las grficas de dos funciones y = f(x), y=g(x), con f g. Es decir, supondremos en primer lugar que donde f y g son funciones reales de clase C1.ahora encadenaremos cuatro caminos de la siguiente forma:C = C1 + C2 C3 C4donde, C1 est parametrizado por 1(t) = (t,f(t)), a t b; C2 lo est por 2(t) = (b,t), con f(b) t g(b); C3 es 3(t) = (t,g(t)), a t b; y C4 viene dado por 4(t) = (a,t), f(a) t g(a). Ntese que, a lo largo de C2 y de C4, x = x(t) es constante, luego dx = 0 sobre estos caminos, mientras que sobre los caminos restantes es dx=1. Entonces se tiene que

Luego por fubini y el teorema fundamental del clculo.

Probemos la expresin (2), limitada por dos funciones, x = (y), x = (y), con . que donde f yg son funciones reales de clase C1.ahora encadenaremos cuatro caminos de la siguiente forma: C = C1 + C2 + C3 C4donde C1 est parametrizado por 1(t) = ((t),t), c t d; C2 es 2(t) = (t,c), con (c) t (c); C3 es 3(t) = ((t),t), c t d; y C4 es 4(t) = (t,d), con (d) t (d). A lo largo de C2 y de C4, y = y(t) es constante, luego dy = 0 sobre estos caminos, mientras que sobre los caminos restantes es dY=1. Entonces se tiene que:

Anlogamente al anterior:

El siguiente paso consiste en establecer la validez para toda regin C que pueda descomponerse como la unin de C1; C2; C3;..; Cn

Aplicaremos la formula en cada regin Ci y sumar todas las igualdades correspondientes para obtener lo siguiente:

Como R es la unin de C1 que no est dentro de ninguna Cj (j=2, 3, 4,.., n) nos queda la expresin por demostrar.