UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE Ingeniera CivilFranjas de Moir

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTELaureate International Universities

Facultad de Ingeniera y arquitectura carrera profesional de Ingeniera Civil

Clculo 3

Franjas De Moir

Docente: Duran Pereda, Erico

Responsables:Acosta Solano, EleanaBriones Rabanal, ErikaCalla Navarro, GonzaloGutierrez Melendez, MichaelMachuca Villalobos, JanethMejia Llatas, Cinthia Cajamarca, Julio del 2012

ResumenSe describe un simple modelo matemtico que relaciona una oscilacin cosenoidal con un patrn geomtrico de barras peridicas.El modelo relaciona tambin la suma de dos oscilaciones cosenoidales de casi igual frecuencia (fenmeno de pulsacin) con un par de patrones geomtricos de barras de casi la misma frecuencia. De esta relacin de identifican a las franjas de moir con un nuevo patrn geomtrico. Se discuten algunas de las propiedades y aplicaciones de las franjas de moir. Hoy en da el uso de estas ondas es parte fundamental de materias como la fsica. Las lneas y crculos que forman las figuras son bsicamente las secciones cnicas.

Cnica es el conjunto de todos los puntos p, tales que la razn de la distancia de p a un punto fijo F en distancia de P en lnea fija es una constante llamada( exentricidad de la conica) y se puede determinar por medio de la siguiente formula F (x,y)=C que denota curvas de nivel de dos variables.

Contenido

Resumen2Introduccin.41.Objetivos51.1.Objetivo General.52.Marco terico.52.1.Oscilaciones y Patrones de Barras.52.2.Fenmeno de Pulsacin .62.3.Franjas de Moire.8 3.Aplicaciones.1410.Conclusiones.2211.Referencias Bibliogrficas.22

IntroduccinEn el desarrollo de la fsica, el concepto de onda ha jugado un papel preponderante. Es por ello deseable, que dicho concepto forme parte del conocimiento del hombre contemporneo. En particular, debe formar parte del conocimiento de las personas con preparacin universitaria.Con el propsito de crear herramientas matemticas simples para el estudiante universitario que desea familiarizarse con las consecuencias del concepto de ondas, reportamos este trabajo. La meta es relacionar una oscilacin cosenoidal con un patrn geomtrico de barras peridicas. Esta relacin se aprovecha para visualizar el fenmeno de interferencia de dos ondas. Esta relacin se aprovecha para visualizar el fenmeno de interferencia de dos ondas de casi igual frecuencia (pulsacin), con la generacin y aplicaciones prcticas, adems de poseer un alto valor esttico, en la docencia y la ingeniera.Se establece la relacin matemtica entre una oscilacin cosenoidal y un patrn geomtrico de barras peridicas. Se extiende tambin la relacin a la superposicin (suma) de dos ondas cosenoidales con la superposicin (producto) de dos patrones geomtricos de barras peridicas. Tambin explica cmo se generan las franjas de moir y se mencionan algunas explicaciones.

1. Objetivos1.1. Objetivo General.Conocer la importancia de Franjas de Moire, aplicadas a la carrera de Ingeniera Civil y relacionar una oscilacin cosenoidal con un patrn geomtrico de barras peridicas.

2. Marco terico.2.1 Oscilaciones y Patrones de Barras

Una oscilacin unidimensional u(x), de forma cosenoidal se puede expresar como:u(x) = Acos2Vx .. (1)

Donde V: representa la amplitud de la oscilacin y es la frecuencia espacial de la onda.A: patrn geomtrico, se le puede describir matemticamente (en su variacin a lo largo de x) comop(x) = (1 + signo [cos2Vx)/2. (2)

En donde la funcin signo se define como: 1 si f(x) > 0Signo (f(x))-1 si f(x) < 0

A la representacin de la oscilacin cosenoidal en la forma del patrn de barras, en la ecuacin (2), se le puede considerar como una representacin binaria. Ya que en vez de tomar todos los valores posibles entre A y A, solo se consideran los valores uno o cero.

2.2 Fenmeno de Pulsacin Considrense ahora dos oscilaciones cosenoidales de casi igual frecuencia espacial, que pueden ser representados por:u1 = Acos2Vxu2 = Acos2 (V + V )x (4)La suma de estas dos ondas da como resultado una oscilacin. De la formau(x) = u1 (x) + u2 (x)= 2a (cos 2xV) cos 2x (2V + V).. (5)

Esta oscilacin resultante exhibe una onda llamada envolvente que tiene baja frecuencia espacial. V, y una onda llamada acarreadora de alta frecuencia espacial 2V + V.La visualizacin simplificada al fenmeno de pulsacin, en patrones de barras se obtiene al colocar dos patrones de casi igual frecuencia espacial.P1 (x) = (1 + signo [cos 2Vx])/2P2 (x) = (1 + signo [cos 2 (V + V] x)/2..(6)

Uno encima del otro. En este caso el patrn resultante es el producto de ambos patrones. Es decirP(x) = p1 (x) p2 (x) = 0.5 [p1 (x) + p2 (x)] + N (x) (7)

De la ecuacin (7) es posible reconocer que en el patrn resultante existe el termino de la suma, como en la ecuacin (5), p1 (x) + p2 (x), ms un nuevo trmino, N (x), que no tiene equivalente en la superposicin de dos ondas. La forma explcita del nuevo termino es

Algunas de sus propiedades se pueden analizar considerando solo el producto de las funciones cosenoidales. Por lo que de aqu en adelante solo consideraremos queN(x) = [cos 2Vx] [cos 2 (V + V)x] = 0.5 [cos 4vx + cos 2xv]

Es decir que el nuevo trmino puede escribirse como la suma de dos cosenoidales, una de alta frecuencia especial, 2v, y la otra de baja frecuencia espacial v. La de alta frecuencia espacial ser difcil de visualizarse, y por el contrario, la de baja frecuencia ser fcil de visualizarse.Es a la onda de baja frecuencia espacial a la que se le conoce como franjas de moir. O sea, que definimos a las franjas de moir como al trmino de baja frecuencia espacial fcilmente observable que es:m (x) = cos 2xv(10)

Resulta de encimar los dos patrones de barras peridicas de la ecuacin (6). Es interesante mencionarque el nombre moir (pronnciese muar) proviene del francs y denota un tejido peridico que al superponerse con el mismo produce franjas como en la ecuacin (10).2.3.- Franjas de Moire En la prctica es conveniente utilizar dos patrones de barras idnticos de la forma p1(x). a uno de estos dos patrones se le conserva invariante y sirve como referencia; mientras que al otro se le varia de algn modo para generar p2(x). Aclararemos este punto con un ejemplo simple.Si al segundo patrn p1(x) mostrado en la figura 3a, se le gira por un Angulo , respecto al eje x, en el sentido contrario a las manecillas del reloj; entonces el patrn de barras variara ahora a lo lago de x, como se muestra en la figura 3b. La variacin a lo largo del eje inicial x es el patrn p2(x). En otras palabrasp1(x) = p2(x)(11)De las ecuaciones (6) y (11) tenemos entonces que sus argumentos obedecen la igualdadvx = (v + v) x(12)

Figura 4. Franjas de moire se obtienen al superponer dos patrones geomtricos peridicos de casi igual frecuencia espacial. Uno de ellos se obtiene por el mtodo mostrado en la figura 3

Pero sabemos que bajo una rotacinx= xcos + vsen. (12)ConsecuentementeXv = v [x (cos 1) + ysen]El resultado en la ecuacin (14) nos permite analizar el comportamiento de las franjas de moir en la ecuacin (10) para el caso de una relacin. Los mximos de las franjas de moir se obtienen cuandov [x (cos 1) + ysen ] = m :m = o. 1. 2. . . (13)

Es decir, que geomtricamente estn localizados en lneas rectas de la formaY = y (cos)/sen + m (vsen) = y tan (/2) + d(14)

Obviamente, el angulo que tienen con respecto al eje x es = /2 y el periodo a lo largo del eje y es d = 1/(vsen) como puede apreciarse en la figura 4.

Figura 5. Franjas de moire resultantes de superponer dos patros de crculos concntricos desplazados entre si Hasta aqu hemos considerando un patrn de barras peridico a lo largo del eje x. sin embargo, no es necesario restringirse a tales tipos de patrones. Es perfectamente vlido pensar que la periodicidad a lo largo de x, puede ser la resultante de un mapeo de una funcin de dos variables en otro

Consiguiente el argumento de la funcin p (x).2vx = f (.)(17)

Asimismo. Podemos considerar que el patrn modificado es tambin el resultado de otro mapeo. Por lo cual su argumento es del tipo:2 (v + v) x = g (.)(18)

Por lo que el argumento de las franjas de moir en la ecuacin (10) cumple con la relacin

2xv = g (.) .f (.)(19)

Tal como en el caso de la rotacin. La localizacin de los mximos se encontrara en los lugares geomtricos en queg (.) . f (.) = m/2,m = 0, 1, 2, . . .(20)

Red de frecuencia espacial y franjas de moir resultantes superponer esta red con otra igual pero desplazada

En las figuras mostramos varias franjas de moir que se obtienen para dos tipos de mapeos. Se trata de crculos concntricos igualmente espaciados, a los que se les desplaza entre s. En la figura 5a el desplazamiento es a lo largo del eje y; mientras que en la figura 5b es a lo largo del eje x. el desplazamiento en el ltimo caso es mayor que en el primer caso.Las franjas de moir generadas pueden ser descritas del modo siguiente. Al argumento del patrn p1 (x) se le puede relacionar con los crculos de la forma:

Mientras que el argumento del patrn p2 (x) se le puede relacionar con los crculos desplazados

Por lo tanto, las franjas de moir quedan localizadas en hiprbolas que de acuerdo a la ecuacin (20)

A las hiprbolas as generadas se les puede considerar como a los mximos que resultan de la interferencia constructiva de dos fuentes luminosas puntuales, emisoras de las ondas esfricas del conjunto de crculos concntricos. En otras palabras, las franjas de moir, en este caso, son una representacin geomtrica del experimento de Young de la interferencia de dos fuentes puntuales. Esta representacin tiene aplicaciones directas en holografa y en relatividad especial.Como se menciona en la introduccin, las franjas de moir tienen un gran atractivo esttico; esto se puede observar de las obtenidas por el desplazamiento relativo entre dos redes de periodicidad variable mostradas en las figuras 6 y 7. En metrologa ptica y mecnica la rotacin, el desplazamiento y la distorsin del patrn p1 (x) para obtener p2 (x) sirve para visualizar y medir, generando mapas de contornos, varios eventos que varan desde simples movimientos rgidos hasta complicadas deformaciones mecnicas por tensin o dilatacin.Esperamos en este artculo haber motivado el inters, por la generacin, interpretacin y aplicacin de las franjas de moir; particularmente, como una herramienta de visualizacin propiedades ondulatorias.

Figura 7. Franjas de Moire, con la red

2.4.- Secciones cnicas. Cnica es el conjunto de todos los puntos p, tales que la razn de la distancia de p a un punto fijo F en distancia de P en lnea fija es una constante llamada (excentricidad de la cnica) y se puede determinar por medio de la siguiente formula F (x,y)=C que denota curvas de nivel de dos variables.Esta relacin se aprovecha para visualizar el fenmeno de interferencia de dos ondas de casi igual frecuencia con la generacin y aplicaciones de las franjas de moire.Para poder entender de forma ms clara:

Curva de nivel: es aquella lnea que en una figura une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones, de ah se van formando a partir de los puntos de interseccin de dos rejillas. Hay ciertas figuras en las cuales es igual al ngulo entre los vectores gradiente:

- A / V y Vg, se deduce que cos0 = - (V /) - (Vg )/(||- V / | | | | Vg | |). Por tanto, podemos concluir que el patrn moir que corresponde a m + n = a Dos rejillas circulares Si los centros de dos rejillas circulares idnticas de cada uno de p terreno de juego se colocan a una distancia de 2c entre s, estas ecuaciones de dos familias de curvas se expresan de la siguiente manera:(x + c) 2 + y2 = (mp) 2 y 2 (xc) + y2 = (np) 2,

Donde:m y n : amplia sobre los nmeros enteros positivos.Si Fx = (-c, 0), P2 = (c, 0) y P = (x, y), Las franjas de moir se puede utilizar para el posicionamiento preciso lineales y angulares de los objetos. En general una rejilla se fija en el objeto que despus se ve a travs de una rejilla transparente. Si el objeto se desplaza previamente alineado ser un patrn moire visible.En la prctica es conveniente utilizar 2 patrones de barras idnticos de la forma p1(x). A uno de estos dos patrones se le conserva invariante y sirve como referencia; mientras que al otro se le vara de algn modo para generar.Si el segundo patrn se le fija por un ngulo teta respecto al eje x, en el sentido contrario de las manecillas del reloj: entonces el patrn de barras variara ahora a lo largo de x.

3.- Aplicaciones Al anlisis de esfuerzos de comprensin en el bamb

El bamb es considerado como una materia prima muy importante para los pases en vas deDesarrollo, pues combina levedad con una elevada resistencia mecnica. un material anistropo, pues su comportamiento depende de forma significativa de la direccin anatmica considerada. Adems de sto, otros factores tambin son responsables por la variabilidad en las caractersticas del bamb: especie, edad del tallo, presencia y cantidad de los nudos, posicin a lo largo del tallo y contenido de humedad, entre otras.En trminos de ingeniera, se observa con inters la posibilidad de utilizar el bamb de manera estructural, en columnas, vigas y armaduras. Mientras que, poco se conoce, todava, sobre la distribucin de las tensiones durante una determinada condicion de carga, principalmente porque la obtencin de las deformaciones se presenta como una tarea complicada, siendo el nudo el mayor responsable por la concentracin de las tensiones.Una alternativa para estudiar el campo de las deformaciones en un material sometido a solicitacin es la tcnica de Moir.

La luz se propaga en forma de ondas, siendo descrita matemticamente por una funcin de la ondaCuando dos o ms ondas luminosas coherentes con la misma frecuencia y amplitud se encuentran simultneamente en la misma regin del espacio, la funcin de la onda total es la suma de las ondas, y debido a la interferencia su intensidad depende de la relacin de fases entre las ondas superpuestas . Esta interferencia puede generar un patrn de franjas, oscuras y claras, bajo las suposiciones que la geometra y la malla son correctas. Segn Post et al. (1994) franjas Moir de excelente visibilidad ocurren cuando estn presentes las siguientes condiciones: el ancho de las barras y los espacios en la mallas son iguales; la malla es bien definida a travs de los contornos de las barras; el ngulo de interseccin entre la fuente de luz y la vista del observador es pequeo.

Cuando se mira a travs de dos pantallas o mallas superpuestas, se nota la formacin de patrones o franjas, que son el resultado de la combinacin de las lneas de esas pantallas. Este hecho es llamado fenmeno o efecto de Moir; las franjas producidas son llamadas de patrones o franjas de Moir.

Las franjas de Moir son en verdad amplificadoras de desplazamientos, y que podran dar una alta sensibilidad a mediciones de movimientos relativos. afirm que las tcnicas de Moir (de Sombra y Proyeccin), son las tcnicas perfilomtricas ms utilizadas debido, principalmente, a su simplicidad y rapidez de medicin, y por esto ha sido centro de frecuentes estudios sirviendo para varios tipos de aplicaciones. Los patrones Moir pueden ser definidos como la superposicin de dos ondas planas en ngulo entre sus direcciones de propagacin. En las regiones en que las dos ondas estn en fase, ocurre una interferencia constructiva, resultando en franjas claras y donde ellas estn fuera de fase se generan franjas oscuras, debido a la interferencia destructiva (Malacara, 1992). Esta aproximacin es derivada de la interferencia entre los patrones de franjas a travs del uso de relaciones usualmente llamadas de modelos de transicin inicial (Pisarev y Balavov 2001).En este trabajo sern omitidas las caractersticas electromagnticas y cunticas de la luz, por lo que, sta ser tratada apenas por la teora ondulatoria que es suficiente para explicar los fenmenos descritos. El objetivo de este trabajo es evaluar usando la tcnica de Moir, los esfuerzos de compresin en probetas de bamb (Guadua angustifolia) y avaluar la metodologa de Moir de sombra para la determinacin de la distribucin de los esfuerzos de compresin en probetas de bamb.

Curvas de nivel generadas por franjas de Moirsobre probetas de ensayo de bamb(Guadua angustifolia), con un nudo en la regin central.

Curvas de nivel generadas por franjas de Moirsobre probetas de ensayo de bamb(Guadua angustifolia), con nudo en el extremo superior.

Mire obtenidas con espectros acamalados

Se ha obtenido una variedad muy amplia de figuras de moir empleando tcnicas diversas que, en general, pueden agruparse en las dos formas siguientes, de acuerdo con el resultado de l a amplitud total de las franjas, moir suma y moir producto. La figura 6 ilustra algunas tcnicas de las utilizadas en 10s experimentos.

El empleo de espectros acanalados de componentes parablicas de distinto parmetro P o rectas, dan por resultado una variedad muy grande de geometras de figuras de moir. Los casos ms generales que aqu se considerarn son los siguientes: a) moir obtenido por el desplazamiento transversal del mismo espectro acanalado de componentes parablica, b) moir obtenido por desplazamiento longitudinal del mismo espectro acanalado de componentes rectas o parablicas , y c) moir obtenido por una rotacin del mismo espectro acanalado de componentes parablicas.

Caso a)

El moir obtenido por desplazamiento transversal del mismo espectro acanalado de componentes parablicas esta constituido por familias de rectas, cuya expresin ms general, es la siguiente:

En esta ecuacin, r es el ndice que identifica cada una de las franjas de l a familia del moir, yo es el desplazamiento vertical, y es la variable espacial en el sentido del desplazamiento, p es el parmetro de las componentes parablicas del espectro acanalado y e su espaciado.

La ecuacin (3) es en realidad una aproximacin de la expresin exacta, en razn de que p y e se han considerado constantes. Dicha aproximacin no influye en los resultados, por lo que puede considerrsela satisfactoria.Estas franjas de moir tienen un espaciado igual a:

La figura 7 ejemplifica el caso discutido, obtenido por doble exposicin

Fig.7 - Figura de moir suma obtenida por desplazamiento transversal del mismo espectro acanalado de componentes parablicas.

Caso b)

El moir obtenido por desplazamiento longitudinal del mismo espectro acanalado de componentes rectas o parablicas, est constituido por familias de rectas o parbolas, respectivamente. La expresin matemtica ms general, aproximada, que las gobierna es la siguiente:

En la que se puede reconocerla ecuacin ( I ) de las parbolas del espectro acanalado. De tal modo que, en esta oportunidad juega el papel de P y el "separador efectivo local" del interfermetro de Fabry - Perot es:

El espaciado entre los vrtices de las franjas parablicas del moir, queda expresada por:

La figura 8 muestra cuatro registros de moir real izados segn la tcnica de doble exposicin i lustrada en la figura 6 a). En cada una de ellas l desplazamiento del espectro acanalado fue logrado mediante la rotacin progresiva de la red de difraccin del espectrgrafo.

Fig. 8 - moir suma obtenido por distintos desplazamientos longitudinales del mismo espectro acanalado.

El resultado de esta experiencia permite calcular dicho ngulo de rotacin y, en consecuencia, determinar rotaciones. En caso de producirse un desplazamiento relativo entre los dos espectros acanalados de 1 pm, en e1 espacio de las longitudes de onda, o de 2um, en el espacio de las longitudes determinadas sobre la placa fotogrfica, en la regin verde de1 espectro (=500 mm), la figura de moir que se genera permite determinar la rotacin de la red de difraccin en un ngulo de 0,6".

Caso c)

El moir obtenido por una rotacin del mismo espectro acanalado de componentes parablicas segn el ngulo , est constituido por familias de cnicas, cuya expresin matemtica ms general, es la siguiente:

La figura 9 muestra una reproduccin del moir obtenido superponiendo dos espectros acanalados de componentes parablicas.

Fig.3 - Moir producto obtenido por superposicin de dos grillas de espectros acanalados de componentes parablicas que forman un ngulo 4.

La observacin de los ejemplos de moir dados en las figuras 7, 8 y 9, i lustran sobre el resultado de moir suma, los dos primeros, y de moir producto, el ltimo. Dicha observacin indica que el grado de contraste en las franjas de moir producto es mucho mayor que en las de moir suma.

Estructuras en forma de franjas de moire:

Un monolito de hormign atravesado por seis esferas de piedra caliza. El artista, con estos diferentes materiales, hace un juego de contrastes, ms acentuados an segn el diseo original en el que las bolas eran de aluminio. stas tuvieron que ser sustituidas ante los daos ocasionados por agresiones de vndalos

3. Conclusiones.

Las Franjas de Moire, aplicadas a la carrera de Ingeniera Civil es de gran inters porque, se aplica a la fsica y a las matemticas, en curvas de nivel.

S que la metodologa de Moir de sombra permite inferir satisfactoriamente de los mapas de iso deformaciones la distribucin de los esfuerzos de compresin en probetas de bamb guadua

4. Referencias Bibliogrficas.

Antonio Ludovico Beraldo1; Daniel Albiero; Antonio Jos da Silva Maciel1; IncioMariaDalFabbro; Silvestre Rodrigues1.

Takasaki, H. 1970. Moir topography. Applied Optics 9(6) 1457-1462

Malacara, D. 1992. Optical Shop Testing. John Wiley & Sons, New York.

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