CALCULO VECTORIAL

2do. PERIODO /15

TALLER # 1

ALFREDO OROZCO: 101416581

YULY CARRIAZO BUSTAMANTE: 131120208

ANIBAL OCHOA MACARENO: 101412261

DEPTO. CIENCIAS BASICAS

UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARIBE

23/09/2015

1: MATRIZ DE DERIVADA.

2: DIFERENCIACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES.

3: GRADIENTES DE FUNCIONES.

4: REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

5: REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES VECTORIALES.

1 DERIVADAS MATRICIALES:

Comenzando a definir las derivadas sea una que admite

todas las derivadas parciales de segundo orden en 𝑋𝑜, definimos matriz hessiana de 𝑓 en 𝑋𝑜

como:

Derivada matricial de una función real de variable matricial

Sea y = y(X) una función real de variable matricial, esto es,

entonces la derivada de y con respecto a la matriz X es la función matricial que se suele notar

por y que viene dada por

NOTA: observe que si p = 1 la identificamos de forma natural con y

no es más que el gradiente de y.

Ejemplo 2

Consideramos la función matricial dada por:

La derivada matricial de F viene dada por

Ejemplo 3

Consideramos la función matricial dada por

La derivada matricial de Y viene dada por

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES :

En las aplicaciones nos encontramos a menudo con la necesidad de usar funciones vectoriales de

varias variables: una función vectorial de una variable define una curva, una función vectorial de

tres componentes y dos variables define una superficie, una distribución de cargas eléctricas crea

un campo eléctrico que se describe por medio de una función vectorial de tres componentes y tres

variables, etc.

Funciones vectoriales diferenciables

Definicion: Sean f1,...,fm funciones definidas en un subconjunto D de Rn. la función definida por

x = (xi,x2,...,xn) ∈ D ⊂ Rn → (f1(x),...,fm(x)) ∈ Rm, se dirá que es una función vectorial de n

variables y m componentes y suele denotarse por f = (f1,...,fm).

Definicion: Sea f = (f1,f2,...,fm) una función vectorial. Se dice que f es diferenciable en x0 cuando

lo son todas sus funciones componentes.

Si f es diferenciable en x0 la matriz de orden m × n cuyas filas son los gradientes de cada

componente recibe el nombre de matriz jacobiana de f en el punto x0 y se denota por f0(x0).

Ejemplo: Sea f : R2 → R3 definida f(x,y) = (exy,x2 + y,2x3y2). Calcular la matriz jacobiana en el

punto (1,3)

Así pues, la matriz jacobiana en el punto (1,3) es:

Para facilitar la comprensión, vamos a desarrollar lo que resta de este apartado para el caso de

funciones de dos variables y dos componentes. Si f = (f1,f2) es diferenciable en (x0,y0), sus dos

componentes son diferenciables en dicho punto y, por tanto, existen los gradientes ∇fi(x0,y0)

(i =1,2). La matriz jacobiana de f en el punto (x0,y0) tiene la forma

Si necesitamos un valor aproximado de la diferencia f(x0+∆x,y0+∆y)−f(x0,y0), para valores

pequeños de ∆x y ∆y, basta recordar que cada componente fi(x0+∆x,y0+∆y) -

f(x0,y0) de la diferencial vectorial anterior puede aproximarse por dfi(x0,y0;∆x,∆y) = ∇fi(x0,y0) ·

(∆x,∆y), puesto que cada fi es diferenciable en (x0,y0). Si definimos la diferencial de la función

vectorial por

Entonces la diferencial es un vector cuyas componentes son aproximaciones de las cor-

respondientes componente f(x0 + ∆x,y0 + ∆y) − f(x0,y0) y dichas aproximaciones son mejores

cuanto más pequeños son los incrementos de las variables independientes ∆x y ∆y.

El caso de funciones vectoriales de una variable real presenta una particularidad que destacamos a

continuación. El número de componentes es indiferente pero, para simplificar, consideraremos

una función f : x ∈ D ⊂ R → f(x) = (f1(x),f2(x)) ∈ R2. Sus componentes f1 y f2 son funciones reales

de variable real. Si x0 es un punto interior de D, tiene sentido considerar el l ímite siguiente:

Caso de existir, se denota por f0(x0) y recibe el nombre de derivada de f en el punto x0 que es un

vector de R2. Es f´acil probar que el l´ımite de una funci´on vectorial es el vector cuyas

componentes son los l´ımites de cada componente de la funci´on. Por tanto, en nuestro caso

tenemos:

Vemos, pues, que f es derivable en x0 cuando lo son sus componentes y se verifica f0(x0) = (f0

1(x0),f0 2(x0)). La matriz jacobiana de f es la matriz columna f0(x0) = (f0 1(x0),f0 2(x0))t. Entre las

funciones vectoriales de una variable, el concepto de derivada de una función en un punto es de

mayor interés y se usa más a menudo que el de matriz jacobiana; por ello, reservaremos la

notación f0(x0) = (f0 1(x0),f0 2(x0)) para la derivada de f en x0.

Una ecuación del tipo r(t) = (x(t),y(t)) con t ∈ [a,b], puede interpretarse como las ecuación

paramétrica de una curva plana. Vamos a mostrar que el vector derivada r0(t0) es un vector

tangente a la curva en el punto r(t0). En efecto, el cociente incremental

es un vector con igual dirección y sentido que r(t) − r(t0), si t > t0; en cambio, si t < t0, el sentido es

el contrario. En cualquier caso, el cociente incremental es un vector paralelo a la cuerda de

extremos r(t) y r(t0), y dirigido en el sentido en que r(t) recorre la curva. Al tomar límite cuando t

→ t0, se obtiene un vector tangente a la curva en el punto r(t0) y dirigido en el sentido

mencionado.

Terminamos este apartado haciendo notar que la matriz jacobiana de una función escalar no es

otra cosa que el gradiente, y si la función escalar es de una sola variable, entonces la matriz

jacobiana tiene un único elemento que es la derivada ordinaria f0(x0).

3 GRADIENTE DE FUNCIONES:

El cálculo vectorial es el gradiente de ∇𝑓 de un campo escalar 𝑓 es un capo vectorial. El vector

gradiente de 𝑓 evaluado en un punto genérico 𝑥 del dominio de 𝑓, ∇𝑓(𝑥) indica la dirección en la

cual el campo 𝑓 varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de 𝑓 en la

dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador

diferencial nabla∇ seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia,

ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo).

También puede representarse mediante ∇⃗⃗ 𝑓, o usando la notación . La generalización del

concepto de gradiente a campos vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.

4 REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES:

REGLA DE LA CADENA

Recordemos que la regla de la cadena para una función y = f(x) ; x = g(t), ambas funciones

derivables, con respecto “a” “t” y se cumple.

dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)

Para funciones de varias variables la regla de la cadena tiene varios casos.

CASO 1: Está en función de dos variables.

Ahora tenemos una función z=f(x,y) y vemos que es diferencial respecto de x y y,

donde x=g(t) y y=h(t) son funciones diferenciales respecto de t. Entonces z es una función

de t diferenciable.

CASO 2: Suponga que z=f(x,y) es una función diferenciable de x y y, donde x=g(s,t) y y=h(s,t) son

funciones diferenciables de s y t. Entonces:

CASO GENERAL: Suponga que z es una función derivable de las n variables x1,x2,x3,...,xn , en

donde cada xj es una función de t. Por consiguiente z es una función derivable de t y se cumple

que

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Un circuito simple, compuesto por una resistencia y una batería sigue la ley:

I=V/R

Debido al uso de voltaje en la batería cae a una razón de 0.1V/s y debido al calentamiento la

resistencia aumenta a una razón de 0.5\Omega /s. Cuando R=600\Omega e I=0.004A determine la

razón de cambio de la corriente.

I disminuye a razón de 20μ cada segundo.

Ejemplo 3: si z=x2y+3xy4, donde x= sen 2t y y=cost, halle ∂z∂t cuando t=0

Solución, la regla de la cadena da

No es necesario sustituir las expresiones para x y y en terminos de t. Simplemente observamos

que cuando t=0 tenemos que x= sen= 0 y y cos0= 1. Por tanto,

5 DERIVADAS DE FUNCIONES VECTORIALES

Estudiaremos la derivada de una función vectorial y se establecerán algunas reglas para la derivación de sumas y productos de funciones vectoriales.

P(u) => P(u) es una funcion vectorial de la variable escalar u, es decir, el escalar u define por

completo el módulo, dirección y sentido del vector . Si representamos el vector P en un eje de cartesianas, se va a representar siempre con un mismo origen O, haciendo variar el escalar u, y el extremo de P describirá una curva en el espacio.

Dividiendo ambos miembros por Au, y haciendo tender a cero Au, obtenemos la derivada de la funcion vectorial P(u).

Suma de dos funciones vectoriales

Sean P(u) y Q(u), dos funciones vectoriales de la misma variable escalar u, la derivada de la funcion P + Q es:

Cómo el límite de una suma es igual a la suma de los límites de los sumandos:

Producto de una función escalar f(u) y de una función vectorial P(u) de la misma variable escalar u.

La derivada del vector fP es:

Teniendo en cuenta las propiedades de los límites de sumas y productos, la derivada del vector fP es:

Producto escalar de dos funciones vectoriales

Producto vectorial de dos funciones vectoriales

Componentes rectangulares de la derivada de una función vectorial P(u).

Descomponiendo P en sus componentes según tres ejes rectangulares fijos x, y, z, se tiene:

=> Son las componentes rectangulares escalares del vector P. i, j, k => Son los vectores unitario de los ejes x, y , z.

La derivada de P, es igual a la suma de las derivadas de los sumandos del segundo miembro.

Los vectores unitarios i, j y k, tienen módulo constante ( igual a la unidad ) y direcciones y sent idos fijos de modo que sus derivados son cero.

Teniendo en cuenta que los coeficientes de los vectores unitarios son, por definición, las comoponentes escalares del vector dP/du, se llega a la conclusión de que las componentes rectangulares escalares de la derivada dp/du de la función vectorial P(u) se obtiene derivando las correspondientes componentes escalares de P.

Derivada temporal de un vector

Si el vector P es una función del tiempo t, su derivada dP/dt mide la rapidez de variación de P respecto al sistema de referencia Oxyz.

La ecuación anterior se puede representar, también de la siguiente manera:

BIBLIOGRAFIA:

http://rabfis15.uco.es/sistemasligados/pagina1fin/pag17.htm

http://personal.us.es/jsmonter/jes1/pdf/Tema4.pdf

http://dme.ufro.cl/clinicamatematica/images/Libros/Calculo/Leithold%20-

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