TERAPÉUTICA A N N M i l ) I H A R C I V O l . I . X X I I M N" .1 87

" C A L C U L DE LA DOSI EFICAZ CINQUANTA (DEg,̂ MUJAN^ANT ORDINADOR"

A . D I E Z N O G U E R A

En l'estudi de qualsevol substancia medicamentosa és gairebé un pas obligat el cálcul de la dosi letal cin-quanta, que hom defineix com aquella dosi que pro-dueix la mort del 50% deis animáis tractats. Per a dur a terme aquesta determinado a partir deis resultats ex­perimentáis, s'han desenvolupat, ja fa temps, diversos métodes de cálcul. La base conceptual d'aquests méto-des no ha millorat gaire en els últims anys, ja que els avengos tecnológics no han incidit en els seus plante-jaments matemátics i estadistics; val a dir que un deis métodes mes emprats actualment és de l'any 1949. D'altra banda, el que realment ha suposat una gran millora ha estat el perfeccionament i la simplificació de l'ús d'ordinadors mitjans i petits. Aixó ha permés la utilització de métodes de cálcul numéric que incre­menten considerablement la precisió deis cálculs, cosa en la qual fa uns anys no es pensava degut a la seva complexitat. En el nostre cas, aquests métodes els hem aplicat per a realitzar totes aquelles operacions de transformado d'unitats o de cálculs que fins ara es feien mitjanfant taules o nomogrames.

De bell antuvi realitzarem una petita revisió his­tórica deis métodes mes usuals, assenyalant el que no-saltres hem triat.

En primer lloc hem de considerar el métode K A R B E R (1931) , el qual és poc precís ja que no dona els limits fiducials pero pot resultar práctic per a ob-tenir una primera aproximado, ja que és purament aritmétic. El métode de B L I S S ( 1 9 3 8 ) . és, potser, de tots els que ara repassarem, el que realitza el cálcul ma-temátic d'una manera mes correcta, ja que fa ús de métodes de regressió fent la conversió deis tants per cent a probit, realitza una correcció de tots els punts experimentáis segons la distribució normal i es poden determinar els limits fiducials de la C L J Q . R E E D i M U E N C H (1939) proposen un métode antmétic mes simplificat, amb el quai tamoe sobtenen oís l ini ts fiducials, encara que no fan cap correcció del' punts experimentáis ni tan sois deis valors extrems. E prin­cipal avantatge que té aquest métode és que no cal fer servir un gran nombre d'animals. Poc després M i L L E R i T A I N T E R (1944) en duen a terme un altre, també mitjangant regressió deis valors convertits a probit, en el qual es corregeixen de manera aproxi­mada els valors extrems i es determinen els limits f i ­ducials amb un interval lineal (els efectes segueixen una Ilei logarítmica!). Finalment, l'any 1949 LlT-

*Scssi6dc la Socictat Catalana de F-armaeologia del día 1 d'ahri l de I9K1.

C H I E L D i W i L C O X O N realitzen una modificado del métode de B L I S S incorporant-li un criteri estadistic per a realitzar una comprovació fonal de tot l'experi-ment (prova Xi quadrat). Aquest métode permet el cálcul de qualsevol dosi letal amb els seus limits, aixi com la comparado estadística de dos D L 5 0 . En con-junt nosaltres hem considerat que és un deis mes co-rrectes si bé té l'inconvenient de la gran quantitat d'operacions que s'han de fer amb taules, nomogra­mes o métodes gráfics, factors que li donen una certa imprecisió, sobretot a l'hora de repetir els cálculs. Son tots aquests punts d'imprecisió els que nosaltres hem eliminat mitjaníjant l'ús de métodes numérics de cál­cul, obtenint una precisió, peí que fa al procés de cálcul, superior a la mil.lésima.

D E S C R I P C I Ó D F X P R O G R A M A

El programa comenta esborrant totes les variables que ha de menester i Uegint les dades iniciáis constants deis " D A T A " corresponents. Tot seguit es realitza l'entrada de dades des del teclat; aqüestes dades son: Producte, animal utilitzat, vía d 'administració, vehi-cle, nombre de dosis, unitat de dosi i , mitjancant un lia?, el nombre d'animals morts i tractats per a cada dosi. Un cop entrades les dades es lealitza llur ordi-nació per ordre creixent de dosi. És a partir d'aquest moment que s'inicia el procés de cálcul de forma au­tomática i consta deis següents passos:

1. Esborrat deis registres deis sumatoris per a cálcul de la recta de regressió.

2. Conversió d'unitats i cálcul de la primera recta; amb un lláp,; que consta de: *Cálcul de tant per u d'animals morts a cada dosi. •Conversió deis tants oer u a probit fent servir la fórmula d ' A B R A M O W i T Z i S T E G U M millorada amb una aproximado assimptótica deguda a H I L L i D A V I S ( 1 9 6 8 ) obtenint un error máxim de 5.105.

*Increment deis sumatoris per al cálcul de la recta. 3. Cálcul deis coeficients de la recta de regressió. 4. Esborrat deis registres deis sumatoris, per a fer el

cálcul de la segona recta de regressió amb els va­lors corregits.

5. Correcció deis valors experimentáis i cálcul de la segona recta, amb un lia?, compost per: •Cálcul del probit esperat segons la primera recta i per a cada dosi.

30

A. DIEZ. CÁLCUL DE LA DOSI EFICAC CINQUANTA I O E , „ l 88

•Correcció d'aquest valor: —Cálcul de l'ordinada del probit espera! a la

corba normal. —Cálcul de l'área sota la corba normal per a l'or­dinada anterior, fent servir la fórmula de

SPIEGEL (1970), amb un error máxim de 10 —Correcció final del probit segons B L I S S (1938). •Increment del sumatori per al cálcul de la recta.

6. Cálcul de la recta de regressió. 7. Estimació de la DLso i les dosis corresponents ais

probits 4 i 6. 8. Determinació, mitjangant un lia? que repassa cada

dosi, del nombre d'animals emprats entre els pro­bits 4 i 6.

9. Cálcul deis limits fiducials de la DL5o(P - 95'^o). 10. Realització de la prova Xi quadrat, amb un lia?:

•Cálcul del probit esperat per a cada dosi. •Conversió d'aquest probit a tant per cent segons la fórmula de H A S T I N S (1955) amb un error máxim de 3.10-^. •Determinació de la contribució de cada punt de la recta al valor de Xi quadrat. •Acumulació d'aquests valors en un sumatori total.

11. Cálcul del valor final de la Xi quadrat.

A partir d'aquest punt té lloc la sortida deis resultats tal com es mostra a la figura 1. El programa també disposa de la possibilitat de triar el periféric de sortida (pantalla, impressora o trabador) aixi com la d'incor-porar un altre idioma per a fer els rétols de l'esmen-tada sortida.

Tipus d'operacions matematlques

PASSOS ORIGINAL CALCULADORA COMPUTADOR

Conversió a p r o b i t s T a u l a NUMERIC

Recta de regressió G r a f i c ANALITIC ANALITIC

Extrapolaciñ d'extrems G r i f i c ANALITICr ANALITIC

Correcció d'extrems T a u l a T a u l a NUMERIC

Recta de regressió G r a f i o ANALITIC ANALITIC

c a i c u i DLSO, DL16 i DL84 G r a f i o ANALITIC ANALITIC

C i l c u l de f 1 l i m i t s Nomograma ANALITIC ANALITIC

C i l c u l d e i s v a l o r s t e d r i c s G r i f i c ANALITIC ANALITIC

Taula NUMERIC

Prova X i ' Nonograaa CALCUL CALCUL

Figura 1.— Exemple de la sortida deis resultats elaborada lotalment per rordinador, on apareixen tant els cálculs i re­sultats com els valors iniciáis i les condicions de l'assaig.

C O N C L U S I Ó

Com a resulta! d'aquest treball podem dir que s'ha millorat considerablement el procés de cálcul peí que fa ais errors produits durant el seu transcurs. D'aques-ta manera podem comparar, tal com es mostra a la taula I , l'existéncia de fonts d'error segons com es

dugui a terme la determinació de la DL^o. Hem con­siderat tres métodes: 1.—Tal com proposen els autors fent ús de gráfiques, taules i nonogrames. 2.—Fent ús d'un calculador de sobretaula, especialment en el cál­cul de les rectes de regressió. 3.—Fent servir un ordi-nador, com ha estat el nostre cas. Veiem dones que amb el darrer métode no hi ha cap font teórica d' im­precisió, llevat deis errors máxims propis de cada pas i que en tot cas son insignificants per a l'ordre de les dades que es fan servir en aquests cálculs.

* F F - i e

R A T O L Í , ORAL C*-TW>

M/T )( OBS X EST X l 2

% M/T

99 9r

i e e M I 28.8 28.3 48 8 56.6

8/ B 1/ 8 2/ 8 6/ 8 5/ 8 7 / 8

8 8 12.5 25.8 75.0 62.5 87.5

3. 1 18.6 26.8 58.2 73.6 89 6

a .8317 8 . 8 8 3 6 8 8816 8 2462 0 .8631 8 8848

Xi2 TOTAL 2 8873

Xi2Cp.r o 4 g I 3-9.49 P«r t o n l r«sultat« «on horK>8«fi i« 50 .8 DLI6- 16 284. DL84. 49 093 30 a ANIMALS ENTRE DLI6 I DL84.24 f=1 36803681052

D L S 0 - 2 8 2 8 5 « l / K g 2 8

L I M I T S F I D . CP- 9 5 ) : 2 0 . 6 1 7 , 3 8 . 5 8 5 3 5

e.i

F i s i o l Ani». F.F.B. 2 8 . 2 8 5 K l / K g

Taula I . — Comparació de les causes d'imprecisió associada a cada pas del cálcul, segons el procediment utililzai. Els métodes escrits amb lletres majúscules indiquen que son prácticament exactes, mentre que els escrits amb minúscules son aproximáis i per tant causants d'errors.

De tota manera caldrá recordar la gran utilitat deis métodes gráfics, que tot i sent mes llargs i menys pre­cisos, donen una bona.visió del problema concret que s'está tractant, ja que l'ús indiscriminat de sofisticats programes d'ordinador d'una manera rutinaria porta sovint a l 'oblit i ádhuc al desconeixement del fet que s'estudia i com s'estudia per a poder-ho teñir en compte especialment a l'hora de treure'n les conclu-sions.

B I B L I O G R A F I A

1. A B R A M O W I T Z , M . i STEGUM, J . A . : Handbook og Maiheinaii-cal Functions wilh Formulas, Graphs and Mathematical Ta-bles. Formula 26.2.23. Governmeni Printing Office. Washington, D . C .

2 . BLISS , C . I . , Quart. J . Pharm. and Pharmacol. 1938. II. 192-2 1 6 .

3. MASTINES,' Approximalions for Digital Compuiers. J . R . Princelon University Press. 1955 .

4 . W i L L , G.W. i D A V I S , A . W . , Ann, Malh. Sladisiics. ¡978. 39, 1 2 6 4 - 1 2 7 3 .

5. KARBER, G . Arch. Expl. Palhol. Pharmakol, 1931. 162. 4 8 0 . 6 . L i T C H F i E L D , J .T. i WiLCOXON. F., J . PHarmacol, 1949. 96,

9 9 - 1 1 3 .

7 . M i L L E R , L . C . i T A I N T E R , H . , Proc. Soc. Expil. Biol. Med. 1944, 57, 2 6 1 .

8 . R E E D , L . J . i M U E N C H . H . , Am. J. Hvg, 1938. 27. 4 9 3 .

8. REED , L . J . i M U E N C H , H . , Am J. Hyg, 1938, 27, 4 9 3 . 9 . SPIEGEL , M . R . : Manual de fórmulas v labias maiemálicas.

Fórmula 35.4. Libros M c . G r a w - H i l l . Méxic 1970 .

Ann Med (Barc), 1984, 70: 87-88