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E S C U E L A P O L I T É C N I C A H A C I O H A L
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA '
APLICACIÓN DEL ABALISIS DEL MÉTODO DE ELEMENTOS TO1ITOSEH LA EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LAS CORRIENTES DE FOUCAULT
PARA LA DETECCIÓN VÍA ENSAYOS HO DESTRUCTIVOSDE FALLAS EN MATERIALES METÁLICOS
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO
DE INGENIERO EN ELECTRÓNICA Y CONTROL
GERMÁN ANTONIO PINTO GARZÓN
QUITO - DICIEMBRE - 1988
AGRADECIMIENTO
Al Ing. Douglas Moya por su acertada dirección.
.Al Dr. Alberto San Andrés por su colaboración.
A la familia Robayo Idrovo y a todas las perso-
nas que hicieron posible la realización del
presente trabajo.
Certifico que el presente
trabajo ha sido realizado
en su totalidad por el
Sr. Germán Antonio Pinto
Garzón.
Í N D I C E
RESUMEN: ALCANCE Y OBJETIVOS'
INTRODUCCIÓN
CAPITULO I: FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MÉTODO DE LAS
CORRIENTES DE EOUCÁULT
1. 1 Introducción • : . 1
1.2 Las Ecuaciones Diferenciales del Sistema
Electromagnético ............... 3
1.2.1 Formulación Físico-Matemático del Problema 3
1.3 Las Ecuaciones de Energía y Potencia
Electromagnética ....... ,' 9
1.4 Las Ecuaciones de Impeclancia 12
1. 5 Nomenclatura y sistema de Unidades _. 13
CAPITULO II: ESTUDIO DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS.
2.1 Generalidades 14
2.2 Ventajas y Limitaciones del MEF 18
2.3 Aplicaciones del MEF ,. . . 20
2.4 Pasos en el MEF . .' .'. 21
2.5 Discretización del Dominio en elementos ............... 22
2 . 6 Arreglo de Conectividad ' 27
2.6.1 Generación del Dato de EF . 27
2.7 Planteamiento Matemático del Problema 31
2.8 Formulación Variacional 32
2.8.1 Solución numérica de la Ecuación Diferencial para
la Intensidad de Campo Magnético Inducido (Hr) . 32
2.9 Funciones de Forma 33
2.10 Condiciones de Borde 35
2 . 11 Sistema de Ecuaciones . , 38
CAPITULO III: RESOLUCIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA DE ECUACIONES
3.1 Ensamblaje de las Matrices Locales y Globales .
de Elementos Finitos .......;..•............... 40
3.1.1 Cálculo de las Matrices Elemento '. . ._ 40
3.1.2 Matrices Elemento para un Elemento Rectangular
Lineal 41
3.1.3 Evaluación de las Integrales de Contorno 42
3.1.4 Ensamblad e de las Matrices Elemento 44
3.1.5 Solución para Elementos Rectangulares Lineales ....... 48
3.2 Elementos Isoparamétricos 52
3.3 Coordenadas Naturales ........ r 58
3.4 Cuadratura de G-auss-Legendre 61
3.4.1 Integración Numérica 61
3.4.2 La Cuadratura de G-auss-Legendre . ¿33
3.ó.3 Integración Numérica sobre un Fiemen to
Maste-r Rectangular _ 68
3.5 Descomposición de Choleski 70
3.6 Almacenamiento de la matriz A por el
Método del Perfil de RASCACIELOS 72
CAPITULO IV: DESCRIPCIÓN E I'MPLEMENTACIOH DEL PROGRAMA
NUMÉRICO DE ELEMENTOS FINITOS
4.1 Composición Principal del Programa .• 74
4.1.1 Comentarios Introductorios ". 74
4.1.2 Delineamiento General 74
4.2 Equivalencia o Significado de las Principales
Variables 78
4.3 Ingreso de Datos 81
4.4 Contenido de cada Arreglo 82
4.4.1 Cálculo de las Matrices Elemento ( Procesador ) 82
4.4.2 Ensamblaje en Forma de Matriz Bandada 86
4.4.3 Imposición de las Condiciones de Borde 89.
4.4.4 Solución de las Ecuaciones y Posprocesamiento 90
4.5 Impresión de Resultados 91
4.8 Espacio de Memoria y Tiempo de Ejecución 94
CAPITULO V: ANÁLISIS DE RESULTADOS
5.1 Ejemplos de Cálculo 98
5.2 Análisis de Error 101
5 . 3 Aplicaciones Generales . . .- 103
COMENTARIOS Y RECOMENDACIONES . 105
TABLAS . 107
FIGURAS 117
APÉNDICE A: Determinación del Campo Magnético de.
Excitación He:* 266
APÉNDICE B: Desarrollo Matemático del Teorema de
Poynting 275
APÉNDICE C: Funciones de Interpolación 282
APÉNDICE D: Descomposición de Choleski . 286
APÉNDICE E: Determinación de la Potencia.Disipada,
Energía Magnética y Corrientes de Eddy , 288
BIBLIOGRAFÍA 293
RESUMEN: OBJETIVOS Y ALCANCE
.Este trabajo de tesis tiene la finalidad de
elaborar un programa de simulación digital del método de
las corrientes de Foucault usado para la detección de grie-
tas en materiales metálicos. Como es conocido, este método
consiste en generar mediante un sensor de excitación, un
campo magnético variable en .el tiempo y en las proximidades
de una superficie conductora para inducir en ella .co-
rrientes parásitas. Cuando existe una grieta en el material
la configuración de las corrientes parásitas cambia, produ-
ciéndose una alteración en la itnpedancia vista desde los
terminales del sensor.
Para realisar este trabajo se parte, de las ecua-
ciones de Maxwell tomando al campo magnético en sus dos
componentes: a) de excitación (debido al sensor) y b) de
reacción (debido a las corrientes parásitas).
El método de los elementos finitos se usa en la
determinación de las corrientes de Foucault en el plano
bidimensional ( 2-d ) y para el cálculo, de la impedancia
del sensor. Se realizan ej emplos de aplicación .para
diferentes grietas y posiciones del sensor.
INTRODUCCIÓN
La aplicación de los ensayos no destructivos radi-
ca en un aspecto fundamental, cual es, el de permitir un
análisis con precisión de las propiedades y condiciones que
presenta un material, sin afectar sus características físi-
cas, químicas,, metalúrgicas o de otra índole. Esto conlleva
a la.posibilidad de garantizar calidad inclusive cercana al
100% Cía .
Los ensayos por corrientes inducidas posibilitan
la determinación de una amplia variedad de condiciones fí-
sicas, estructurales y metalúrgicas, en metales y piezas
metálicas eléctricamente conductivas, sean ferromagnéticas
o no-ferromagnéticas. La inspección por corrientes de eddy
pueden ser usadas^2^:
1. Medir o determinar ciertas condiciones y propiedades co-
mo conductividad eléctrica, permeabilidad magnética, ta-
maño de grano, condición de tratamiento térmico, dureza
y dimensiones físicas de piezas metálicas.
2. Detectar fisuras, grietas, porosidades e inclusiones.
3. Diferenciar metales similares y de-teotar diferencias en
su composición química, microestructura y otras propie-
dades .
4 . Medir el espesor de un recubrimiento no conductivo eo~
bre un metal conductor, o el espesor del recubrimiento
de un metal no magnético sobre un metal magnético.
Debido a que la inspección por corrientes induci-
das es una técnica de inducción electromagnética, no
requiere de contacto eléctrico directo con la pieza que
está siendo ins pee ionada .
El principio de inducción electromagnética por
inducción de corrientes parásitas en una pieza colocada
junto a un sensor de excitación producen una modificación
del campo y causan un incremento en las pérdidas óhmicas
El efectc pelicular determina que se escoja la
mejor frecuencia de operación. Este efecto ocasiona que
las corrientes inducidas, se concentren en las superficies
adyacentes al sensor; al aumentar la frecuencia, aumenta el
efecto pelicular o superficial y disminuye la profundidad
de penetración de las corrientes inducidas.
El ensayo por corrientes inducidas se opera a muy
bajos niveles de potencia y frecuencia de excitación, pues
se busca minimizar las pérdidas por calentamiento y por
cambios de temperatura.
El trabajo considera problemas, que por su geome-
tría y condiciones de borde, -puede tratarse como bi-dimen-
sionales .
Con este trabaj o se quiere motivar el análisis
complej o de materiales y al conocimiento adecuado del com-
portamiento material-falla-equipo de detección; y que sirva
va como patrón de comparación para el diseño y construcción
de equipos de medición con técnicas locales.
CAPITULO I
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL MÉTODO DE LAS CORRIENTES
DE FOUCAULT
1.1
En ensayos no-destructivos, grietas o fallas son
detectadas usando un sensor que induce corrientes de Eddy
en el material de estudio y determinando cambios en l'a
impedancia del sensor. La predicción de la relación entre
las propiedades de la grieta ( tamaño y localizacións etc.)
y los cambios de impedancia requieren de la solución de las
ecuaciones de Maxwell para determinar la distribución de
las corrientes de Eddy en el material.
El cambio de la impedancia del sensor es función
de muchos factores; entre los más importantes se encuen-
tran C3D ;
1.- L.a proximidad del sensor al material metálico.
2.- La frecuencia de excitación del sensor.
3.- La configuración geométrica de la pieza metá-
lica. • *
4.~ La conductividad, cr, y la permeabilidad ,u.; del
material de prueba o control.
5.- La presencia de alguna discontinuidad en el
— 2 —
material; defectos o grietas.
En la mayoría de aplicaciones prácticas, la con-
figuración geométrica es irregular lo que imposibilita la
obtención de soluciones analíticas, y entonces, el pro-
blema debe ser resuelto usando métodos numéricos confia-
bles .
Generalmente, los métodos existentes en la litera-
tura son descritos para geometrías con una sola componente
de las corrientes de Eddy para que se reduzca el problema
en la solución de la ecuación de difusión bidimensional con
el vector potencial magnético'C^a .
Los ensayos por corrientes inducidas tienen cinco
variables principales que son: la impedancia del sensor, la
conductividad eléctrica de 'la pie.za a ser inspeccionada,, la
permeabilidad magnética de la pieza, el acoplamiento elec-
tromagnético entre el sensor y la pieza ( efecto de vacia-
do, de llenado, de borde ) y el-efecto pelicular C5^.
En este trabajo se 'realiza una formulación de la
ecuación del sistema de "campo electromagnético, consiguién-
dose una perturbación de las corrientes de Eddy que fluyen
en forma de círculos cerrados en la pieza cuando un campo
electromagnético es aplicado a lo largo de la dimensión más
larga de una grieta característica.
— 3 —
1 - 2 Las Ecuaciones Diferencia les del S
1-2.1 Formulación Físico-Matemático del Problema,.
Consideremos un material, magnética y eléctrica-
mente homogéneo, con una grieta ( Fig.NQ 1.1 ). Esta grieta
es supuesta:
- Infinitamente larga a lo largo del eje Z.
- Infinitamente delgada ( una línea ) en la di-
recciónX,
Sensor
Figura N° 1.1 Configuración del dominio de estudio.
El problema es detectar esta grieta usando un sen-
sor ubicado en la parte superior de la figura y el cual
induce corrientes de Edd'y en el material. Para esta confi-
guración se puede detectar una grieta aplicando un campo
electromagnético unidimensional a lo largo de del eje Z.
Así las corrientes de Eddy bidimensionales son desarrolla-
das en el plano X-Y, las mismas que son perturbadas por la
existencia de la grieta en el material ensayado.
- 4 - '
Para la formulación bidimensional de la ecuación
de difusión se consideran las siguientes hipótesis:->
a.- La intensidad de campo magnético}H, tiene una
componente sólo en la dirección Z} es inva-
riante en esa dirección y varía s.inusoidal-
mente en el tiempo.
b.- Se asume que los conductores que transportan
corriente tienen una conductividad infinita,
considerándose despreciables las corrientes de
Eddy en dichos conductores (sensor).
c.~ Los materiales metálicos se consideran que
tienen un único valor finito de permeabilidad
y resistividad. lío se consideran los efectos
de histéresiSj saturación magnética y tempe-
ratura.-^>
d.- El campo H, es considerado cuasi-estacionario,
por lo tanto se considera ausentes las co-
rrientes de desplazamiento CS]<
En esta investigación se suponen grietas ideales,
es decirj cuya conductividad eléctrica es igual a cero. Las
corrientes de Eddy no existen en el interior de la grieta
cuando se aplica un campo de excitación electromagnético
externo. Pero puede ser desarrollado en el borde de la
grieta. , .
En ensayos no •destructivos, las frecuencias de
excitación son usualmente bastante bajas, por lo tanto se
desprecia el término de la corriente de desplazamiento
_ K
) . Bajo estas consideraciones las ecuaciones de
Maxwell son:
— > .. — >V x E = - OB / Ó-t (1.1)
V x H = J (1.2)
V - B = 0 (1.3)
Y * J = 0 '• (1.4)
Las ecuaciones constitutivas del medio de estudio
se establecen como:
B = u H • (1.5)
J = cr E (1..-6)
Sustituyendo de estas relaciones y la ecuación
(1.1) en (1.2) se determina una ecuación diferencial para
el vector intensidad de campo magnético (H) de la forma:
(1/U) Y x.Tx H = a SH / dt (1-7)
donde se ha considerado que la permeabilidad magnética (u,)
y la conductividad eléctrica (a) son constantes en el domi-
nio del material de estudio.
El vector intensidad de campo magnético (H) en el
plano (x-y) tiene una única componente a lo largo del eje
z, es decir, H - Hz(x.,y,t) ea, y por lo tanto cumple con la
condición de Coulomb ( Y • H = 0 ). Usando la identidad
vectorial:
V x V x V = Y ( V - H ) ~ V a H
La ecuación (1.7) se reduce entonces a:
- 6 -
(I/U) 72H = a "bH / 7>t • (1.8)
En esta ecuación, el campo magnético puede ser separado en
dos partes:
H - FU* + H^ ,
donde t
Hex: es el campo magnético aplicado externamente y
Hr: es el campo magnético de reacción o inducido.
El campo magnético aplicado externamente está
definido por ( V x He^- ) = 0 excepto en el lazo de exita-
ción C73. Si el dominio de estudio se restringe al mate-
rial., entonces (1.8) se reduce a la ecuación diferencial
parabólica:
(I/U) VaHr = a í>H* / t H- o- o H&z< / ót (1.9)
y la corriente de eddy (Jr) está': definida por:
— > — >. J* = V x H* (1.10)
El campo magnético externo (H.ax) en el material se
determina en base a la utilización de la ley de Biot-
Savart ( ver Apéndice A- )•
El campo magnético externo He^c es de la forma:
Hex EXP(iwt)}=Hxo cos(wt) -í- H^a sen(wt) (1.11)
-1) y, w es la frecuencia en el lazo de excita-
ción o sensor .
Dado la f orina de excitación (1.11) y provisto de
las condiciones de borde para la resolución de (1.9) sean
homogéneas, la solución cuasi-estacionaria de esta
ecuación es de la forma:
H*= Real{Hr EXP(iwt)}=H0 cos(wt) + He sen(wt). (1.12)
Se_sobreentiende que únicamente la parte real de
(1.11) y (1.12) tienen significado físico.
Sustituyendo de (1.11) y (1.12) en (1.9) se deter-
mina que el campo magnético de reacción (Hr) sea obtenido
de la siguiente ecuación diferencial:
( 1/1.1) V2 Hr = ÍWC- Hr + ÍWCT He:* (1.13.)
La ecuación (1,13) es la ecuación diferencial de-
difusión lineal del sistema electromagnético.
Las condiciones de borde para la resolución de
•esta ecuación (1.13) en el dominio material son:
a) En regiones lejos de la excitación, frontera
exterior del medio material (Cl), se presume
que la intensidad del campo magnético inducido
es nulo, H» ~ 0. ( ver Figura HQ 1.2.a ).
b) En la región de una grieta o falla (G2)que se
extienda hasta la frontera exterior del medio
se considera que la intensidad de campo
magnético inducido Hr - 0 por continuidad de
(a) ( ver Figura MQ 1.2.b ).
c) En una grieta- interna o aislada, como se obser-
va en la Figura b!Q 1.3, se asume que las
corrientes inducidas no cruzan la grieta y, por
lo tanto la componente normal del vector J es
igual a- cero ( Jn = 0 ). Alternativamente,
puesto que la conductividad eléctrica en •la
región de la grieta es considerada despreciable
( a = 0 ), la integración de (1.13) en el
dominio Qg de la grieta determina que en su
frontera T^-
(lAü V2 H = (i/n> O
rs
H* . n dS (1-14)
donde ( n ) es la normal exterior a la frontera Ts y— > — > K
entonces Hr - Hr en la frontera de la grieta.
Debe notarse que la constante Hr es igual a cero
si la gr i.eta se conecta a la frontera exterior del medio,
De lo contrario, su valor debe determinarse de la resolu-
ción del problema.
(b
Gl: Límite exterior del dominio.C2: Grieta o'límite interno.
Figura bíQ 1.2 Dominio de Estudio y Contornos.
a. Grieta aislada.b. Grieta en el borde exterior del material
- 9 -
Figura NQ 1.3 G-rieta interior en Dominio Material de Análi-sis .
1 . 3 Las Ecuaciones de Energía _ y _ Poten ola _ Electromagné-
La energía es calculada por medio del producto
vectorial de las intensidades de campo ( eléctrico y mag-
nético ) , llamado vector de Poynting o también densidad
de potencia pues su unidad es [ W/m2]^3^.
Del desarrolo matemático ( ver Apéndice B ), se
tiene :
(E * .Je) dv = -
^E2) dv -
-va 1
V-(E x H) dv
(1-15)
El primer miembro con signo positivo indica que es
la potencia consumida en el volumen considerado.
El primer término del segundo miembro t expresa la
disminución de la energía por unidad de tiempo en el volu-
- 10 -men V.
El segundo término del segundo miembro, expresa la
energía que sale por S límite del volumen V.
De la ecuación (B.29) del Apéndice B se tiene que
la potencia disipada dentro de una superficie cerrada S por
unidad de tiempo, está dada por:
Pdt = < Pd > dv ' (1.16)
donde, < P d > - < a E ° E > es el promedio temporal de la
energía disipada por unidad de volumen y tiempo.
La energía media magnética entregada por el campo
electromagnético en S por unidad de tiempo, está dado por:
VJm = > dv (1.17)
donde, < Wm > - < (1/p..) B • B > representa el promedio
temporal de la densidad de energía en el campo magnético.
Para el cálculo de la potencia disipada y energía
magnética almacenada, se sigue: Una vez obtenida la solu-
ción numérica del sistema (1.13), el vector intensidad de
campo magnético ( Hr ) esbá dado para cada nodo del dominio
de estudio como:
Hv;i - Hcj eos (wt) + Híaj sen (wt) ; j - 1;2, . . . , Knm.
- 11 -
El campo magnético efectivo (rms) es definido en
cada nodo del dominio como:
Hj(rms)~limT->o
H • H dt}3* = (1.18)
La densidad de potencia eléctrica disipada (p) y
energía magnética almacenada ( ejn ) están dadas por:
P = /• E*,(1.19)
y em - (%) B • Hr
que son escritas en función del vector de intensidad de
campo magnético de reacción (Ha?) como:
P = (1/cr) V x V x(1.20)
— > —>em - fe
La potencia eléctrica efectiva (Pe) y la energía
magnética almacenada efectiva (Me) en cada elemento del
doninio de estudio se definen como:
Pe =
(1.21)
hU = -mc, s?ms .
JDe
Estas integrales son evaluadas numéricamente usan-
do cuadratura de G-auss. La potencia disipada total (Pt) y
energía magnética almacenada total (Mt) están dadas por la
- 12 -
suma sobre el dominio Q de todos los valores elementales
de potencia disipada y energía magnética; es decir,
Ne m
Pt = 2 Pee = l
(1.22)N e. \n ' •
Mt - 2 Mee = l
donde Nem es el número de elementos finitos totales en el
dominio de estudio.
1 . 4 L^^^Loaag-lones de jQapeda.no i a. .
Cuando una corriente alterna circula por el sensor
de excitación., hay dos1 oposiciones al flujo de corrientes:
la resistencia eléctrica pura (R) y la resistencia inducida
Cuando una pieza metálica es colocada en las pro-
ximidades de un sensor., el campo electromagnético de la
misma cambia debido al flujo de corrientes inducidas en la
pieza. De manera general, tanto la resistencia como la
reactancia inducida varían.
Cuando una corriente alterna circula por el sen-
sor, duran be cada ciclo, una parte de la energía es almace-
nada y devuelta al generador y la otra parte de la energía
es disipada o perdida en forma de calor. La XL es propor-
cional a la energía almacenada en cada ciclo y la R es pro-
porcional a la energía disipada en cada ciclóos:!.
- 13 -
La impedancia del sensor es igual a Z - R •*- j XL .
Las componentes resistiva ( R ) y reactiva ( XL ) se
calcula de:
R = Pt / I*(1.23)
X = w L = 2 w Mt / I2
donde, 1 es la intensidad de corriente de excitación .
1 . 5 Ham^Jial^-tiira Y_jsjLataiaas. de
B Vector de Densidad de flujo magnético [Wb/ma].
E Vector de Campo Eléctrico [V/m].
H . Vector de Intensidad cíe Campo Magnético [A/m] .
Hr = Hc(Xjy) eos (wt) + Hs(x,y) sen (wt)Intensidad de Campo Magnético de reacción en material
J - a E - V x Hr . Vector Densidad de CorrienteEléctrica [A/m*],
I Corriente eléctrica en sensor de excitación [A].
f Frecuencia, de excitación en sensor [Hz] .
t Tiempo [sj.
[A - i i r .Uo . Permeabilidad Magnética del medio [Wb/mA] .-7
M.O - 4 re x 10 [Wb/mA] . Permeabilidad del vacío.P.I? Permeabilidad relativa del material.
a Conductividad eléctrica del medio material [1/Qm].-
w ~ 2 rr f .Frecuencia de excitación [1/s].
O V ( -1) .
R Resistencia eléctrica "equivalente [fí] .
L Inductancia eléctrica equivalente [Q.s],
XL = w L . _ Reactancia equivalente [Q].
Z = R -H j XL . Impedancia del sensor [Q] .
CAPITULO n
ESTUDIO DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
2.1
El Método de Elementos Finitos ( MEF ) supera la
dificultad de los métodos variacionales pues provee un
procedimiento sistemático para la obtención de las funcio-
nes de aproximación.
El método se fundamenta en dos aspectos básicos
que le hace superior sobre otros métodos competentes.
Primero., un dominio del problema geométricamente complejo
es presentado como una colección de subdozninios
geométricamente simples,, llamados elementos finitos. Sobre
cada elemenbo finito las funciones de aproximación son
deducidas usando la idea básica de que cualquier función
continua puede ser representada por una combinación de
polinomiales algebraicas. Las funciones de aproximación son
deducidas usando conceptos de la teoría de interpolación-
( ver Apéndice C ). Así, el MEF puede ser interpretado
como una aplicación de los métodos variacionales ( por
ejemplo, los métodos de Ritz y residuos ponderados), en que
las funciones de aproximación polinomiales algebraicas y
los parámetros indeterminados representan los valores de la
solución en un número finito de puntos preseleccionados,
- 15 -
llamados nodos, en el borde y en el interior del elemento.
De la teoría de interpolación se tiene que el orden ( o
grado ) de la función de interpolación depende del número
de nodos en el elemento,
En este capítulo se trata de introducir al MEE
como un método numérico que emplea la filosofía de la cons-
trucción de aproximaciones variacionales fragmentadas de la
solución a un problema descrito por una ecuación diferen-
cial .
El MEE es una aplicación fragmentada de un método
variaciónal. Hay dos pasos básicos en la solución variacio-
nal de las ecuaciones diferenciales:
1. Calcular una ecuación diferencial dada en forma varia-
cional.
2. Determinar la solución aproximada usando un método va-
r i ación al, tal como el método de Ritz > el método de G-a-
lerkin, u otros métodos.
El término " formulación variacional " es usado enii u
el presente estudio para querer decir formulación débil en
la que una ecuación diferencial dada es recalculada en una
integral equivalente tratando la diferenciación entre una
función de prueba y la variable dependiente. Para la mayo-
ría de problemas lineales la formulación débil es equiva-
lente a la minimización -de una funcional cuadrática I(u).
Análogo a las condiciones necesarias para el mínimo de una
función ordinaria, la condición necesaria para una funcio-
- 16 -
nal cuadrática es que sus primeras derivadas ( o primera
variación ) con respecto a la variable dependiente sea ce-
ro. De los cálculos de variaciones se conoce que la función
minimizada es la solución verdadera de la ecuación diferen-
En un método variacional la variable dependiente
de un problema dado es aproximada por una combinación li-
neal de funciones apropiadamente elegidas: u - 2 c j • 0j . Los
parámetros cj son determinados tal que la función, u,, mini-
mice la funcional I (u) ( o, u satisfaga la formulación dé-
bil del problema ) .
Los métodos var iacionales clásicos '( es decir,
Ritz, G-alerkin, mínimos cuadrados , etc . ) dejan de ser efec-
tivos debido a serias deficiencias, normalmente, la difi-
cultad en elegir las funciones de aproximación. Las funcio-
nes de aproximación, a parte de satisfacer la continuidad,
independencia lineal, ser completas, y condiciones de borde
esenciales, son arbitrarias; la selección es aún más difí-
cil cuando el dominio dado es geométricamente complejo.
Puesto que la calidad de la aproximación es directamente
afectada por la elección de las funciones de aproximación,
es incómodo conocer que no existe procedimiento sistemático
para construirlas. Debido a esta deficiencia, a pesar de la
simplicidad en obtener soluciones aproximadas ( una vez
elegidas las funciones de aproximación ), los métodos va-
riacionales de aproximación nunca fueron considerados com-
putacionalmente competitivos comparados con los esquemas
- 17 -
tradicionales de diferencias-finitas.
Idealmente hablando, un método computacional efe.c-
tivo tendría las siguientes características:
1. El método debe tener una sólida base matemática así como
física.
2. El método no debe tener limitaciones con respecto a la
composición geométrica y física del dominio.
3. El procedimiento formulativo será independiente de la
forma del dominio y de las condiciones de borde.
4. El método será suficientemente flexible si permite ele-
gir un grado de aproximación deseado sin reformular el
problema entero.
5. El método involucrará un procedimiento sistemático
que puede ser automatizado usando computador digital.
El MEE no solamente supera las deficiencias de los
métodos variacionales tradicionales, sino que también está
dotado de las características de una técnica computacional
efectiva. El método consiste en representar un dominio da-
do, por muy complejo que pueda ser, a -formas geométricamen-
te simples mientras las funciones de aproximación puedan
ser obtenidas sistemáticamente. Entonces el tipo de aproxi-
mación de Ritz-Gralerkin de las ecuaciones gobernantes son
desarrolladas sobre cada elemento. Eina-lmente, las ecuacio-
nes sobre todos los elementos de la colección s-on conecta-
dos por continuidad de la variable o variables primarias,
las condiciones de borde del problema son impuestas, y en-
tonces es resuelto el grupo conectado de ecuaciones.
- 18
El análisis de elementos finitos de problemas bi-
dimensionales es hasta cierto punto complicado por el hecho
de que- los problemas bi-dimensionales son descritos por
ecuaciones diferenciales parciales ( EDP ). La frontera F
de un dominio bi-dimensional ( 2~d ) Q. es, en general, una
curva. Sin embargo, los elementos finitos ( EF ) son de
forma geométrica 2-d simples que pueden ser usados para
aproximar un dominio 2-d dado. En otras palabras, en pro-
blemas 2-d no solamente que se busca una solución apropiada
a una EDP dada, sino que también se aproxima al dominio
dado por una malla de EF conveniente. Consecuentemente, se
tendrá errores de aproximación ( debido a la aproximación-
de la solución ) así como errores de discretización ( debi-
do a la aproximación del dominio ) en el análisis de EF de
problemas 2-d. La malla de EF ( discretización ) consiste
-de elementos simples 2-d, tal como triángulos, rectángulos,
y/o cuadriláteros que son conectados a cada uno de los o-
tros en puntos nodales en los bordes de los elementos. La
habilidad para representar dominios con geometrías irregu-
lares por una colección de EF hace que el método sea una
herramienta práctica valorable para la solución de proble-
mas de valor de frontera presentados en varios campos de la
ingeniería.
2.2 Ventarías v Limitaciones del HEF .
Algunas de las propiedades de la ventajas del MEE
ha contribuido a extender su uso. Entre las de mayor impor-
- 19 -
tancia están;
1. Las propiedades del material en elementos adyacentes
no tienen que ser las mismas. Esto permite al método ser
aplicado a formas compuestas de varios materiales.
2. Regiones con complicadas geometrías son fácilmente .re-
presentadas por medió de triángulos o cuadriláteros o
una. combinación de los dos.
3. El tamaño de los elementos puede ser variado. Esta pro-
piedad permite .a la red ( malla ) de elementos ser ex-
pandida o contraída dependiendo de las necesidades
existentes.
4. Condiciones límites tal como la presencia de disconti-
nuidades no presentan dificultad en el método. Pudiendo
ser fácilmente manejadas las condiciones límites mix-
tas .
5. Generalmente, el sistema de ecuaciones resultante, tiene
una matriz de coeficientes de estructura bandada, pu-
diendo además tener la banda simétrica; lo cual conduce
a un considerable ahorro en memoria de computador.
6. El método es fácilmente aplicable para resolución en
computadora digital y permite elaborar programas genera-
les, capaces de resolver problemas con geometría y con-
diciones de borde complejos.
Con respecto a estos puntos., el MEF tiene las si-
guientes desvanta.j as :
1. Los límites de la región que no coinciden con algún sis-
tema de coordenadas ortogonales puede hacerse coincidir
dividiendo o tratando por medio de algoritmos especia-
- 20 -
les .
2. Las matrices derivadas de la aplicación del MEF a siste-
mas elípticos no son necesariamente simétricas.
3. La desventaja del MEF es la necesidad de programas de
computador, la capacidad de memoria de computador y los
costos computacionales.
2,3 Aplicaciones del MEE.
El MEF ha sido aplicado en la resolución de ecua-
ciones elípticas f aplicaciones en problemas de equilibrio,
valores característicos, problemas referentes a propagación
de ondas, transferencia de calor, en problemas de flujos
lentos, en estudios de estructuras planas; considerando en
aquellos casos, problemas estáticos o dinámicos.
El MEF también es aplicado en control de calidad,
como es: en el cálculo de mallas de puesta a tierra, en el
cálculo de la distribución de campos magnéticos en núcleos
de transformadores, en el cálculo de flujo magnético en un
sistema de calentamiento- por inducción, en modelación de
grandes generadores eléctricos, en el cálculo de campos
magnéticos en máquinas electromagnéticas, en la evaluación
de las pérdidas por corrientes de eddy en piezas de hierro
sólido, en 'la determinación de parámetros de máquinas eléc-
tricas con rotores de hierro sólido, etc.
- 21 - -
2.4 Pasos en el MEF .
Los pasos que involucran en el análisis de EF .de
un problema típico
1. Discretización ( o representación ) del dominio dado en
una colección de EF preseleccionados ( este paso puede
ser pospuesto después de que es completada la formula-
ción de la ecuación de EF ) .
a. Construir la malla de EF de los elementos preselecciona-
dos .
b. Número de nodos y elementos.
c . Generar las propiedades geométricas ( es decir las coor-
denadas,, las áreas de secciones transversales; etc) ne-
cesarias para el problema.
2. Deducción de las ecuaciones de elemento para todos los
elementos típicos en la malla.
a. Construir la formulación variacional de las ecuaciones
diferenciales dadas sobre el elemento típico.
b. Asumir que ona variable dependiente, u, es de la forma:
n
U = 2 U i 011 = 1
y sustituirlo en el paso 2a. hasta obtener las ecuacio-
nes del elemento de la forma:
[ 'K<0 ] { u<*>} - { F<*> }
c. Obtener o -seleccionar .las funciones de interpolación 0i
y calcular las matrices de elemento.
3 . Ensamblad e de las ecuaciones de elemento para obtener
las ecuaciones del problema completo .
- 22 -
a. Identificar las condiciones de continuidad Ínterelemento
entre las variables primarias ( la relación entre los
grados de libertad locales y los grados de libertad
globales-conectividad de elementos ) relacionando los
nodos de elemento a nodos globales.f
b. Identificar las condiciones de " equilibrio " entre las
variables secundarias ( la relación entre las componen-
tes de fuente o fuerza locales y las componentes de
fuente globales especificadas ).
c. Ensamblaje de las ecuaciones de elemento usando los pa-
sos 3a y 3b y la propiedad de superposición.
4. Imposición de las condiciones de borde del problema.
a. Identificar los grados de libertad primarios globales
especificados.
b. Identificar los grados de libertad secundarios globales
especificados ( si no se lo ha hecho en el paso 3b ).
5. Solución de las ecuaciones ensambladas.
6. Posprocesamiento de los resultados.
a. Calcular la gradiente de la solución u otras cantidades
deseadas de los grados de libertad primarios calculados
en el paso 5.
b. Representación de los resultados en la forma tabular y/o
gráfica.
2.5 Discretizacion del Dominio en Elementos.
Un dominio Q de un problema dado es dividido en
un grupo de elementos, llamados malla de EF. La malla puede
no ser uniforme, esto es, los elementos no necesariamente
- 23 -
son de igual tamaño. La intersección de dos elementos cual-
quiera determina puntos de intersección a los cuales se los
denomina puntos nodales; a estos puntos y posiblemente pun-
tos intermedios se los llama nodos globales. La coordenada
del e°-vo nodo global es xe ( ver Figura NQ 2.1).
Q H U Q (2.1)
Error deDiscretización
x
Figura NQ 2.1 División del dominio Q ensubdominios Qe-
El número de elementos usados en un problema de-
pende principalmente del tipo de elemento y de la exactitud
deseada. Siempre que un problema es resuelto por el MEF por
primera vez, se requiere investigar las características de
convergencia de la aproximación de EF refinando la malla
gradualmente ( es decir, incrementando el número de elemen-
tos ) y comparando la solución con las obtenidas para un
orden-superior de elementos.
La discretización del dominio en subregiones no
tiene bases teóricas, es -un arte y depende del uso a crite-
rio del ingeniero. La discretización del dominio imp.lica la
decisión del número, tamaño y forma de las subregiones usa-
- 24 -
das para el modelo de la forma real,
Hay dos familias de elementos para modelar el do-
minio 2-d, el triángulo y el cuadrilátera.
El actual proceso de discretización puede ser di-
vidido en dos partes generales, la división del dominio en
elementos y el rotulado de los elementos y el número de
nodos. No necesariamente los nodos deben ser igualmente
espaciados. Una variación en el espaciamiento permite cam-
biar el tamaño de los elementos. La habilidad de variar el
tamaño del elemento es una ventaja importante del MEF ( ver
Figura N2 2,2),
9 10
-ZJ
2 3
Figura N° 2,2 Ordenamiento local de elementos y nodos .
a ) Ordenamiento global de elementos y nodos .
b) Elemento cuadrsngul ar .
c) Elemento triangular.
x±: es la coordenada del nodo local del
elemento , ~x ¿, = x , y.^ = y, x& = z •
El rotulado de los nodos ( asignando un número )
- 25 -
depende de la eficiencia computacional asociada con la so-
lución a obtener. El grupo de ecuaciones lineales que apa-
recen usando el MEF tiene un número grande de coeficientes
que son cero. La mayor cantidad de valores diferentes de
cero se encuentran entre dos lineas formadas entre la dia-
gonal principal y una línea paralela a ésta. A la distancia
entre estas dos líneas se denomina ANCHO DE BANDA, con to-
dos los coeficientes ceros ubicados fuera de este ancho de
banda ( ver Figura. NQ 2.3 ).
J3 0 0 0V .0 0 0c tN 0 0c c c - 0c c 0 c
c c c 0c c c c
Figura blQ 2.3 El ancho de banda para un sistema de ecuacio-nes . c denota un coeficiente diferente decero .
Ancho!•<iccc0Q^
000
ccccc
00
de
cccc0
er0
Banda
0cccc
c^c
2P
ic ^c0cc
c• 0
"-.e
El programa de computador utilizará los valores
del ancho de banda. Una reducción del ancho de banda pro-
duce una reducción en el espacio de memoria de computador
que se requiere, además de una reducción en el tiempo com-
puta cional, el ancho de banda, w, es calculado usando C12U .
w - (' R + 1 ) NDOF (2.2)
donde R es la diferencia mayor entre dos números de nodo en
un elemento simple ( c-onsiderando todos los elementos en su
determinación ) y NDOF es el número de incógnitas ( grados
de libertad, MDOF ) en cada nodo. La minimización de w
depende del mínimo de R.
26
La representación de un dominio dado por una co-
lección de formas geométricas simples, es decir, elementos
finitos, requieren del criterio del ingeniero. El número,
tipo ( lineal, cuadrática ), forma ( triangular, rectangu-
lar ) ,, tamaño, y densidad ( refinamiento del mallado ) de
los elementas usados en un problema dado depende de las
siguientes consideraciones: La primera consideración es
discretizar el dominio lo más exacta pasible can diferentes
elementos tal que de la forma del dominio real, consideran-
do los cambios que acurren en la geometría y propiedades
del material usado corno dominio d'e estudia, La segunda con-
sideración 3 que requiere de algunas criterios • de ingenie-
ría, es la de discretizar el dominio o porciones del domi-
nio en elementas suficientemente pequeños tal que las pen-
dientes del gradiente de la solución sean exactamente cal-
culadas. El criterio del ingeniero debe tener relación can
un entendimiento cualitativa del comportamiento de la solu-
ción y los castos cornputacianales que involucran un refina-
miento del mal lado ( es decir, el reducir el tamaño de los
elementas ).
Hay que tener en cuenta, que en la representación
de un borde curvo una malla de elementas rectangulares in-
volucraría errores de discretización grandes, no así si se
usaría una m-al la de elementos triangulares. Por supuesta,
una puede usar un mallado de elementos rectangulares ( le-
jos del borde curvo ) y elementas triangulares ( cerca del
borde curvo ), o una malla de el eméritos cuadriláteras. En
- 27 -
general, se requiere una malla refinada en lugares donde
ocurre cambios críticos en la geometría, condiciones de
borde, propiedades del material, o en la solución.
Para -resolver un problema dado se puede empezar en
un mallado de EF que sea confiable ( basado en la experien-
cia y criterio del ingeniero ). Entonces, como una segunda
elección, se selecciona un mallado que consiste de un nú-
mero grande de elementos. Si .existe una diferencia signifi-
cativa entre las dos soluciones, se busca el mejor refina-
miento del mallado hasta que garantice una buena solución
del problema dado. Pero esto no siempre es factible en., la
práctica ( principalmente debido a que involucra costos
computacionales ) ; por lo que, si los costos computaciona-
les son de primordial interés, se debe escojer un refina-
miento del mallado que no introduzca errores considerables
en la solución numérica de 'un problema analizado.
2 . 6
2.6.1 Generación del Dato de EF: Una parte importante del
modelo de EF es la generación del mallado, que involucra
el numerado de nodos y'el eméritos, y la generación de coor-
denadas nodales y la matriz de conectividad booleana. Si
bien la tarea de generar todos los datos es completamente
simple, el tipo del dato tiene un efecto en la eficiencia
computacional así como en la exactitud. Más específicamen-
te, el numerado de los nodos afecta directamente al ancho
de banda de las ecuaciones finales ( ensambladas ), y por
- 28 -
lo tanto en el requerimiento de almacenamiento y costos
computacionales. Por ejemplo considerar el mallado de EF
que se muestra en la Figura blQ 2.4.
37 38 33 40 4í (/Z ¿(3 MÍ/ 45
29
20
30
2t
•IZ
3í
22
13 ( V
33
¿5
/ó
(a)
& -H
( b )
5
Zé
17
36
27
•18
10 /5 ¿0 25" 30 35" 4o
©
©
(D
©
g
8
?
©
*
13
*
© ,
13
M
¡7
IH
¿3
22
Z9
28
Z7
3^
33
32
33
36
37
' ®
45
26 31 30
-Figura MQ 2.4 Dos esquemas de numerado de nodos comunmenteusados en EF.a) Esquema I. b) Esquema II. .
En la Figura blQ 2.4a., los nodos son numerados por
filas de izquierda a derecha, empezando con la fila infe-
rior } moviéndose a la próxima fila hacia arriba, y repi-
tiendo el procedimiento cuando se ha realizado el numerado
a lo largo de una fila en particular. En la Figura MQ 2.4b}
el numerado es realizado por columnas de abado hacia arri-
ba, empezando con la columna más a la izquierda y prosi-
guiendo a la próxima (' a la derecha" ) cuando cada columna
es realizada.
- 29 -
Los elementos pueden ser numerados arbitrariamen-
te. El ancho de banda promedio [ ver Ecuación (2.2) ] para
los dos casos son dados, por ll*bÍDOF y 7#bTDOF, respecti-
vamente, donde blDOF es el número de incógnitas primarias
por nodo.
Mote que el numerado de elementos no tiene efecto
en el ancho de banda promedio. Los anchos de banda pequeños
son obtenidos de un numerado de nodos con el número más
pequeño de subdivisiones. En un programa de generación de
malla de propósito general, tal opción será incluida para
minimizar el ancho de banda promedio. El ahorro de los cos-
tos computacionales debido a anchos de banda pequeños en la.
solución de ecuaciones puede ser substancial, especialmente
en problemas donde es involucrado un número grande de .no-
dos. Si bien el numerado de elementos no afecta al ancho de
•banda, afecta al tiempo de computador requerido para ensam-
blar ( usualmente, se requiere un porcentaje pequeño de
tiempo para resolver las ecuaciones ) la matriz de coefi-
cientes global.
La exactitud de la solución de EF puede también
depender de la elección de la malla de EF. En principio., si
la malla seleccionada viola la simetría presente en el pro-
blema, la solución resultante será menos exa.cta que una
obtenida usando un mallado que coincida con la simetría
física presente en el problema. Geométricamente un elemento
triangular tiene pocas líneas de simetría comparada- con un
elemento rectangular, por lo tanto se usará con 'cautela
- 30 -
mallas de elementos triangulares ( seleccionar una malla
que no se oponga a la simetría matemática presente en el
problema ).
La correspondencia entre los nodos locales y los
nodos globales" puede ser expresada convenientemente' en la
forma de un arreglo, llamado matriz de conectividad boo-
leana.
Dado las distribuciones de elementos y nodos
-de la Figura NQ 2.4, el arreglo de conectividad o matriz
booleana para el Esquema 1 se construye:
e Ni '
C = Cu s
1234567'891011121314151617181920212223242528272829303132
12345678101112131415-161719202122232425262829303132333435
9¿j
3456789111213141516•171820212223242526*272930313233343536
1112131415161718202122232425262729303132333435363839404142434445
1011121314151617192021222324252628293031323334353738394041424344
- 31 -
1 < i < bUm
1 < 3 £ Npe
C ( NemJbIPe ) = Cid : es el número de nodo global corres-
pondiente al j0-"'0 nodo del elemento i .
Mam: es el número de nodos en la malla.
blpQ: es el número de nodos por elemento.
Es de interés en la implementación en computador
del M'EF desarrollar la matriz de conectividad .
2 , 7 ELlanj^e_aml£n¿o. H
El objetivo es resolver la EDP (1.13) deducida en
el capítulo anterior.
Se tiene:
7 • < k VH ) = o- "dH / dt + ' g o ( 2 . 3 )
Dado que:-> d wtHr - H* e
jwt (2.4)
donde: H = H» es un campo escalar que satisface la EDP y
sujeto a condiciones de borde apropiadas en , OQ, la
frontera del dominio Q.
k = I/u se define como el coeficiente de permeabili-
dad.
go " cr O Heac /ot es el término de la excitación
libre de corrientes de eddy .
_V : define el operador gradiente en el sistema de2
coordenadas ortogonales., { xi } .
En coordenadas cartesianas el vector VH se escribe:
VH = i ^ H / S x + j 3 H / 3 y (25)
i , ó son vectores unitarios en la dirección x , y
respectivamente .
Entonces la ecuación se escribe como :
'yXk^H/dy) = cr H/ cí t+g0 (2.6)
Se define al vector q = k VH como el vector de f lúa o de H
hacia Q a través de una superficie elemental OT con vector
normal ri dirigido hacia afuera de or, donde:
q = 1 q* + j Qy = k ^ H / ^ x i + k ^ H / S y j . (2.7)
En forma general k = k(x±), que para el problema a resol-
verse se considera constante.
2 . 8 Formulación Variacional . - ' .
2.8.1 iljajxláa Numérica de la Ecuación D i££rsji£LÍa 1 para la, _ ,
Intensidad de Campo Magnético Inducido (Hv 1 .
En dos dimensiones existe más de una forma geomé-
trica que pueda ser usada como un EF ( ver Figura NQ 2.2).
Como veremos luego, las funciones de interpolación no de-
penden solo del número de nodos en el elemento, sino tam-
bién de la forma del elemento. Asumimos que Qe es un ele-
mento típico, sea triangular o cuadrilátero, de la malla .de
EF; desarrollando el modelo de EF de la ecuación ( 2.6) a
la cual la vamos a desarrollar la formulación variacional.
La ecuación diferencial (1.13) es resuelta numéri-
camente con el HEF en el dominio 2-d Q(x,y) para u'na con-
- 33 -
figuración geométrica típica de un material. El medio de
estudio Q se divide en varias sub-regiónes materiales o
elementos finitos Qe de forma poligonal con frontera Te y
conectados entre sí por sus vértices denominados nodos
( ver Figura MP_ 2.1 ). Entonces se tiene que,
H em
Q = U Q*» ( ? fi"ÍJl" ' VJ Ot» Q \ . {J ¿
Usando el principio de Galerkin, la ecuación
(1.13) es multiplicada por funciones de prueba { 0& } e
integrada en cada subregión elemental Qe,, resultando la
siguiente ecuación integral:
i w a* $* { Hr + He* } 'dQe (2.9)
Las funciones 0e e C'(Qe) son fun.ciones de prueba
que sirven para ponderar el error de la solución numérica
en cada EF Q©. La integración por partes de (2.9) determina
la denominada forma variacional o débil de (1.13):
{Í W CT 0* Hr + (1/U)[ 70-
(.2.10)
-i w cr 0« Hex d£2o + Q (I/u) H*/ n dr&
2 . 9
Una examinación de la forma variacional (2.10)
muestra que 0i serán las funciones bilineales mínimas de
- 34 -
x , y.
Existe una correspondencia entre el número y
ubicación de los puntos nodales y el número de
incógnitas primarias por nodo en un EF y el número de
términos usados en las aproximaciones polinomiales de una
variable dependiente sobre un elemento ( ver Apéndice C ).
n © eSea, u*(x) = 2 ai 0i(x) (2.11)
±=i
la aproximación de Ritz en Qe, que debe satisfacer las
condiciones de borde esenciales de cada elemento, dond.e:
ai son parámetros o constantes.
0i(x) son las funciones de aproximación a ser determinadas^
y que no dependen del problema pero si del tipo de elemento
seleccionado. .
{ 01 } son construidas siguiendo los mismos condicionamien-
tos del método de Ritz, o sea:
1- { 0i } deben ser suficientemente diferenciables}
01 £ Cn(Qe) .
2. Satisfacer las' condiciones de borde esenciales del
problema.
3. { 0i } deben ser linealmente independientes, continuas y
completas en Q.&.
Estas condiciones garantizan CONVERGENCIA, o. sea,
que el problema es CONSISTENTE.
e
a. 0i = 0 fuera del elemento £U.
e 0 el 1 < > 3
b. 0i(xa) = C1 01 1 = J
- 35 -
e
0±(xd) ~ 513e
c. 2 0i(x) = 1.
donde xj son las coordenadas nodales del elemento Qe.
Las funciones de interpolación para las coordenadas nodales
del elemento Q"e, están dadas por.
rx - 2 xa. 0i(pj) (2.13)
i=l
donde, 0i son las funciones de interpolación de Lagrange de
grado (r-l)j ípj representa el sistema de coordenadas local.
La ecuación (2.13) describe .la forma de un elemento, y por
lo que, a los 0i se los llama " funciones de forma ".
2.10 Condiciones de Borde.
Existen dos tipos básicos de condiciones de borde
desde el punto de vista variacional: geométricos o esenc-ia-
les y naturales. Una de las principales ventajas del MEF
es; que solamente es necesario especificar las condiciones
de borde geométricas. Las condiciones de borde naturales
quedan implícitamente satisfechas cuando utilizamos el
principio variacional adecuadoC13^.
Condiciones de . Borde Naturales: Normalmente especifican el
flujo de la variable, y son intrínsecas al problema.
Condiciones de Borde Esenciales: Normalmente especifican el
valor de la variable dependiente del problema.
- 36 -
En todos los problemas de interés uno se encuentra
con situaciones donde la porción de un contorno en la que
son especificadas las condiciones de borde naturales tienen
puntos en común con las porciones de contorno en la que se
especifican las condiciones de borde esenciales. En otras
palabras, en estos puntos los grados de libertad primarios
y los grados de libertad secundarios están especificados.
Tales puntos son llamados puntos singulares. Obviamente, se
puede imponer las dos condiciones de borde en el mismo pun-
to. Gomo regla general., impondremos las condiciones de bor-
de esenciales (las condiciones de borde de las variables
primarias ) en los puntos singulares y descuidaremos las
condiciones de borde naturales ( las condiciones de borde
de las variables secundarias ).
2.11 Sistema de Ecuaciones.
La solución de Hr en un elemento típico Qe se a-
proxima como una combinación lineal de las funciones dee
forma { 0j } , ¿ = 1 ,!?£»« ; teniendo como coeficientes a lose
valores nodales { Hj }, j = IjNpo, y ; donde NP© es el nú-
mero de nodos en el elemento Q©; es decir:
líT p e o e
2 0j(x,y) Hj(t) (2.14)3=1
donde los valores nodales Hj(t) son de la forma:
Hd(t) = Hjc cos(wt)-+ HJa sen(wt). (2.15)
Debe destacarse:
- 37 -
& o •
& - { 0J } > 3 - IjNpe es un grupo de funciones lineal-
mente independientes, de soporte local y por lo menose
bilineal en &e, es decir 0j e C ' ( Q e ) .
Sustituyendo de (2 .14) en la f o r m a variaciónal
(2.10), se tiene:
e e s
i w cr 0i 0j Hj
e
w a 0i
Q,
Definiendo:
e eae 0i 0j dx dy
e e
Qi = O (1/nO
rQ
eFi
.ere- 0i- Hac- dxdy
e e
] Hj
e ©
(2.16)
(2,17a)
(2 .17b)
(2.17o)
(2 .17d)
para i, j - 1 , 2 , . . . , t í i
e ' o
donde, [Cij] =
dad.
es la matriz elemental de conductivi-
es la matriz elemental de permeabili-
- 38 -
dad.e
{Qi] es el vector de flujo de campo magnético a tra-
vés de la frontera Fe del elemento .©
{Fi} es el vector elemental de excitaciones del cam-
po magnético externo (sensor) .
Entonces, la ecuación (2.16) se expresa como el siguiente
sistema de ecuaciones:
[CidHdHd/átHCpIdHHj} = {Fi} + { al} (2.18)
Q a s
Dado que Hi = H± cos(wt ) + Hi sen(wt ) (2.19a)
e c a
y c)Hi/dt = -w Hi sen (wt ) + w Hi co s (w t ) (2 .19b)
Al sustituir ( 2 . 19) en (2 . 18) , se tiene:
e c a a s c
[Cid]{-wH±sen(wt)+TíHicos(wt)}+[Pid] (Hisen(wt
ec es es ec
}cos(wt)+{Q± }sen(wt)+{Fi }sen(wt )-h{Fi }cos(wt)(2.20)
Igualando los términos seno y coseno de los dos miembros de
la igualdad, se determina el siguiente sistema acoplado de
ecuaciones algebraicas:
e e e ©
-w[C ]{Ho} + [P ]{HS} = {Q .} + {F } (2 .21a)
Q Q © e > oc ec
w[C ]{Ha} 4- [P ]{Ho} = {Q } + {E } <2.21b)
donde, {He} y {Hs} son los vectores nodales en £e coefi-
cientes de las funciones coseno y seno, respectivamente.
Reordenando (2.21), esta ecuación se escribe como:
[IU]{Ho} = {Q0} + [Fo} (2.22)
donde {Ho} es el vector de valores nodales del campo magna-
- 39 ~
tico en el elemento Qe y, ordenando en la forma:
T •{He} = {Hcl,Hsi,Ho2,Ha2,.....,Ho , Hs } (2.23)
Npe Npe e
Los vectores {Qe.} y {Fe} se ordenan de manera similar.
El sistema de ecuaciones elementales es ensamblado
para todos los elementos finitos o sutadominios de la región
considerada., obteniéndose el sistema global de ecuaciones
de la forma:
(2.24)
N©m N em
donde, [Ks] = U [Ka] , {As} = U {Ae}
[Ke] es la matriz global de conductividades y permeabilida-
des, y {Ag} es el vector global de componentes nodales del
campo magnético. El orden de la matriz global [Ks] es
(2#Mnm,2*Nnm), donde Nnm es el número global de nodos en el
dominio .de estudio.
El sistema global de ecuaciones algebraicas (2.24)
es resuelto numéricamente en base al método directo de Gho-
leski puesto que la matriz global [Kg] es simétrica y defi-
nida positiva. Debe destacarse que el algoritmo utilizado
en el almacenamiento y procesamiento de los coeficientes
globales es conocido como de " perfil de rascacielos " y el
cual permite almacenar los coeficientes diferentes de cero
en un vector global ahorrando espacio de memoria.
CAPITULO III
RESOLUCIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA DE ECUACIONES
3 . 1 Ensamblaje de las Matrices Locales v Globales cíe Ele-
mentos Finitos :
3.1.1 Cálculo de las Matrices Elemento:
El cálculo de las matrices elemento [Ke] , {Qe} y
{Fe} de las ecuaciones (2. 22) en términos de las ecuaciones
(2.17) por métodos convencionales ( es decir, por
integración exacta ) es, en general, no fácil. Por lo
tanto, cuando k, cr -y g¿ [ ver ecuaciones (2.6)] son
constantes, es posible evaluar exactamente las integrales
sobre elementos triangulares o rec h angular es Clin . La
integral de contorno en {Qe} de "las ecuaciones (2.17) puede
•ser evaluada siempre que ítH/^n sea conocido. Para un
elemento interior ( es decir, un elemento que no tiene
cualquiera de sus lados en el contorno del problema ), la'
contribución de la integral . de contorno cancela a
contribuciones similares de 'elementos contiguos de la ma-
lla. Reescribimos [K°] de (2.22) con las de (2.17) como la
suma de las matrices básicas:
[K*] - k [Si]+ k [S2] + a [S ] (3.1a)
donde., Sij -
También tenemos:
fi =
Qi = k O
x -dxdy
-dxdy
( 3 . I b )
dxdy
dxdy
(3 .2 )
Procedemos ahora a calcular las matrices de las ecuaciones
(3.1) y (3.2) usando las funciones de interpolación
lineales .
3.1,2
Puesto que k, a, y go son constantes, podemos usar
las funciones de interpolación de las ecuación (C.9). del
Apéndice C con "5 y T\s por x y y, respectiva-
mente .
Tenemos :
[Si1] =b
—6a
2— 2-11
-221
__ i
-112
-2
1-1— 2
2
[S2] =
[S3] =
- 42 -
a
6b
ab
36
2iJL
-I
-2
" 4212
19¿.
-2™1
24-t21
19¿L
21
12¿j42
-2 "-ij-12
2 "1 .JL.
24
(3.3)
{f} r { 1 1 1 1 }
3.1.3 Eval.naclón^de_.las_I.n±_&gTal&s_de Contorna:
Aquí consideraremos la evaluación de las integra-
les del tipo:
~ d)
Ce) <e>Qn - 0l(s) (3.4)
cuando qn - "e)Hr /d n es una función conocida de la distan-
cia s a lo largo del contorno Te. No es necesario calcular
tales integrales cuando una porción de T° no coincide con
el contorno T del dominio Q. De las porciones de Te que<e>
están en el interior del dominio qn en el lado (i,j) delCf >
elemento e anula al qn .en el lado (p,g) del elemento f
los lados (i,d) del elemento e y (p,q) del elemento f son
los mismos (es decir, la interface de los elementos e y f).
Esto puede verse como un equilibrio de " fuerzas " ( ver
Figura NQ 3.1b,c ). Cuando Te se ubica en el contorno del•e©)
dominio, qn es conocido (en general, como una función de s)
o será determinado en-el poscálculo. En el caso siguiente,
la variable primaria será especificada ( _en la porción del
- 43 -
contorno donde qn no es especificada).
El contorno T& de elementos 2~d lineales es un
grupo de elementos uni-dimensionales ( 1-d ) lineales. Por
lo tanto la evaluación de la integral de contorno equivale
a evaluar integrales de línea. Cuando las funciones de in-
terpolación 2-d restringidas al (es decir, evaluadas en el)
contorno, obtenemos las correspondientes funciones de in-
terpolación 1-d.
Para fijar ideas., consider un EF que tiene una
porción de su contorno en el borde del dominio ( ver
Figura NQ 3.le ), y asumir que qn es conocido allí.-
Entonces:
qn(s) -0i(s) ds = Q.i • (3.5)
da la contribución de qn para el nodo i. Puesto que h
denota la longitud del lado que está sujeto a la fuerza qn,
y 0i(s) son las funciones de interpolación 1-d.. Guando
0i(xjy) son lineales [entonces 0i(s) son lineales], i toma
los valores de 1 y 2, y cuando 0i(x,y) son cuadráticos
[entonces 0i( s ) son cuadráticos], i toma los valores de
1,2 y 3. Por ejemplo cuando 0i son lineales ( 0i - 1 - s/h>
02 = S/h ). '
Tenemos:
Qi =
- 44 -
qn 0± ds?para cualquier qn0
qn h
2jpara qn constante.
(3.6)
especificado)
qn( especificado)
\ocontorno deldominio
Figura NQ 3.1 Cálculo de flujos de contorno y equilibrio delas variables secundarias- en los contornosinterelemento. a) Discretisación de EF.b) Equilibrio de flujos'en las interfaces.c) Cálculo de flujos en el contorno verda-dero .
3,1.4 Ensamblaje de las Matrices Elemento:
Para el ensamblaje de las ecuaciones de EF ilus-
traremos el procedimiento considerando una malla de EF con-
sistente de un elemento .triangular y un elemento cuadrilá-
tero ( ver Figura NQ 3.2 ). K±j ( i,j - 1,2,3 ) denoba la
matriz de coeficientes correspondiente al elemento trian-
lar, y Kij < i,j ~ 1,2,3,4 ) denota el correspondiente al
elemento cuadrilátero. De la malla de elemen tos finitos
- 45 -.
mostrada en la Figura N° .3.2a, notemos la siguiente
correspondencia entre los' valores globales y nodales del
elemento:
Ux = UX U 2 - U 2 = UX
U5 = U3
< 1 >
Ua - us ~
Global
Kxx
Kl5
K23
U4 - U2
-> Local
Kxl
Kl2
K22 + "Kxx
(3.7)
K2 3 + K14
C30
K34
Kl7
K44
K^5
Kss
+ Ksx
0
K , !/• j.o 3 ~t~ iVX X
Kxx + Kix
Kx2 + Kxs
0C 3 > < '-O
KX2 + K.13
Figura NQ 3.2 Ensamblaje de las Matrices de coeficientes deElementos Finitos usando la correspondenciaentre los nodos de elemento global y local
-( una incógnita por nodo ).a) Ensambla,j ededoselementos.b) Ensamblaje de algunos elementos.
Note que la continuidad de los valores nodales en
- 46 -
los nodos interelemento garantiza la continuidad de la va-
riable primaria a lo largo de todo el interelemento. Para
ver esto., recordar que la aproximación de EF es lineal a
lo largo de contornos de elementos triangulares y cuadri-
láteros . Puesto que una polinomial lineal es definida
únicamente por dos constantes ( normalmente, los valores
nodales en el contorno ) y las constantes son las mismas en
los dos elementos que comparte el contorno, permite que la
variable primaria sea definida únicamente a lo largo del
contorno interelemento.
Ahora usaremos las condiciones de continuidad in-
terelemento (3.7) y la formulación variacional para ensam-
blar las ecuaciones elementales:
2 < e ) T Ce) < e > < e >
= 2 £ 6u } <[K }{u } - £Fe-1
2 Sui [2 KIJ uj - F± ]1=1 J=:l
con ni ' - 3 / nz - 4,
CD c i) ci) CDo, 0 = 8Ui[Kn Ui + Ki¿ Us + Kia Us - Fi ]
Ui '+ K22 U2 + K23 Ua - FsCl> Cl> C
U2 + Kss U3 ~ F3
+ 6U2[Kii Ui -1- Kia U4 + Kis Us -í- Ki4 U3 - Fi ]C2) <25 C2> C2> <2>
+ 6U4[K2i U2 -t- K22 U^ + K23 Us + K24 Ua - F2 ]
+6Us[K3i U2 -í- Ks2 U4 -í- K33 Us + Ks-4 Us - Fa ](2) • C2> <2> C25 <2>
K^i Ua -í- IU2 U4 + K43 Us 4- K^4 Us - F4 ]
(3.8)
- 47 -
Coleccionando los coeficientes de Sui, i=l,2,...,5 separa-,
damen te y colocándolos a cero separadamente, obtenemos:
Kn .. Ki2 Kis 0C 1> C I) C2) Cl> (2> <2>
4 Kl2
0
Ksi K32 + K.41 K33 + K-44 K42 K.4 3
0 K21 K.24 K22 K23
0 Ksi K34 K32 Kss'
•<
Ui
U2
Us
IU
Us^
V ~ ,,
f "\ 2 ~1~F ~L
Fs -fF-á
F2
F3
(3.9)
Note que las matrices elemento sobrepuesta en las
ubicaciones correspondientes a los nodos globales 2 y -3,
son compartidos por los dos elementos.
El procedimiento de ensamblaje descrito antes pue-
de ser interpretado de tal forma que se puede evitar el
álgebra grande en la ecuación (3.8). Una examinación de la
elección de la malla de EF en la Figura NO 3.2a muestra la
siguiente correspondencia entre pares de nodos globales y
pares de nodos de elemento:
Nodos Globales Nodos Elemento
) de elemento 1) de elemento 1) de elemento 1correspondenciacorrespondencia) de elemento 1 y) de elemento 2) de elemento 1 y) de elemento 2) de elemento 2) de elemento 2) de elemento 1 y) de elemento 2) de elemento 2) de elemento 2) de elemento 2) de elemento 2) de elemento 2
(1,(1,(1,(-1,(1,(2 ,
(2 ,
(2 ,( 2 ,(3,
(3,(3,(4,(4 ,(5 ,
1)2)3)4)5)2)
3)
4)5)3)
4)5)4)5)5)
(1,1(1 ,2(1,3sinsin( 2 , 2( 1 ^ 1(2 3\- , '-1(1,4(1 ,2(1,3( 3 , 3( 4 , 4
• ( 4 , 2( 4 , 3( 2 , 2( 2 , 3(3 ,3
- 48 -
Esta correspondencia nos provee un camino fácil de
•ensatnblamiento de las matrices para obtener la matriz de
coeficientes global con ingresos apropiados de las matrices
elemento. Por ejemplo,, considerar la malla de EF mostrada
en la Figura MQ 3 . 2b . La ubicación de (3,4) de la matris
coeficiente global contiene K^a + Ksi , y la ubicaciónC 15 C25 <35 C4}
'(4,4) contiene Kaa + Kn + Kn -f Kn. La ubicación 4 en elci> C2> C35 C4>
vector columna ensamblada contiene Fs + F i + Fi +Fx .
La ubicación (1J5),(1,6)J(1,7)J(2,5)J(2J6),(2Í7),(3,6),
(3;?), y (5,8) de la matriz global contiene ceros de en-
trada [ por que Kij - 0 cuando ( i , o" ) no están en el mismo
elemento ] .
3.1.5 Solución pgr..a_. E.lejne.ntps. Rectangulares Lineales :
Usemos una malla uniforme 2x2 de cuatro elementos
triangulares lineales ( ver Figura blQ 3.3 ) para discre-
zar un cuadrante del dominio. Una vez más, no se introduce
el error de discretiz ación en el presente caso.
Puesto que todos los elementos en la malla son
idénticos, calcularemos las matrices elemento para sólo un
elemento, es decir el elemento 1.
Tenemos :
^l - 2y
02 = 2x ( 1 - 2y )
03 - 4xy •
04 = ( 1 - 2x ) 2y
- 48
0.5 0 .
0 0
dxdy
0.5 0.5
Ce )
fl : f 0i dxdy
0 0(3.10)
Evaluando las integrales en las ecuaciones (3.10),
obtenemos' [ ver ecuaciones (3.1) ].
Ce)
[K ] = 1/64
~~ 1-2— 1
-14-1-2
-2 -1-1 -24 -1-1 4
Ce)
] =
dondef
C © >
Qi - [qn - 0l(x,y)]
< e)
(3.11a)
[qn - 0i(xjy)] dy;<=SL
y 2
Ce)
dxCe)
íi(x,y)] dy
y, (xi,yi) denota las coordenadas locales de los nodos del
elemento (y a ~ xz-xi - xa-X4, b ~ y-a-yi = ya-ya ).
- 50 -
La matriz de coeficientes ensamblada para la malla
de cuatro elementos está dado por:
[K]
<1>Kn.
K22
3
.. 0
Kl2
K22
4
Kl4°
K24
0C l > O>
K44 +KH
5
Kl3
K23 +
IÍ24
< 15
Simétrica
<2
K33
• > C3>
6
0
Kl3
IÍ23
0
K43 +Kl2
K33 +K22
7 8 9
0 • 0 0
0 0 - 0
0 0 0
Kl4 Kl3 0
( 3 > < 3 > < 4 > C 4 >
0 K24 K23
lál* K^' 0
K44 +K33 K-iS
. K33 _^
(3 .12;
El vector de flujo ensamblado y la matriz de co
nectividad ( para uso futuro ) están dadas por,
- 51 -
[B] =1 22 34 55 6
Ficao c:F2 + Fi
Fx
F2 +
Fs +
C 3 ) C 4
F3 + F4
C45F3
5 46 58 79 8
(3.13)
La máxima diferencia entre dos nodos cualquiera de
cualquier elemento en la malla es 4. Por lo tanto, el ancho
de banda promedio de la matriz ensamblada es 5.
Las ecuaciones ensambladas (3.12) para el problema
de trabajo están dadas por.,
1/6
L 4 -11 0
'""*--, 8¡ -1*"" 4
S'imétr ica
i ~ 1 ~~ ¿>\2 -2¡
0 -2' - 8 • - 2~¡***•-. - '
*-JL6!
0-2-1
0-2
8
000
-1-2
04
. 000
— 9
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8
0 "000
— 2-1
0-1
4
<
U a.
U 2
UaU-4UsUeU7
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A
!
2
1
2
4
2
1
2
1
> + <
.Qi
Q2 + Qi
Q2
0.4: + Ql
Qa + Q-4 + Qs
Qa + Q2< 3 >
Q4
C 3 > <-Qa + GÍ4
Q3^ j \ ® 9
@ sa) |~V~
2 3
(
a) (£) Cj
°íQ,, '
3 } O+ Qi
i >
>le> ov^3 Vj<,
í 2
' V
^
J - (3.14)
2
•U
<j
é
2Z ES 24- oc
©> i 2n
i • - i i ^ S *© © © ®
< • • 11 i -1°
1 2 - 3 A 5Ce)
*3 (b )
í")f ' 2Z
Figura MQ -3.3 Discretisación de Elementos Finitos delDominio por Elementos Rectangulares Linealesa) Halla de cuatro elementos.b) Malla de dieciseis elementos.
3.2
Suponer que una variable dependiente u es apro-
ximada por expresiones de la forma,
u = 2 u±.0i (3.15)1=1
Note que u es aproximada por funciones de interpolación
de grado s-1. En general, el grado de aproximación usado
para describir la transformación de coordenadas (2.13) no
es igual al grado de aproximación (3.15) usado para repre-
sentar una variable dependiente. En otras palabras, dos
grupos independientes de nodos pueden existir para una re-
gión: un grupo de nodos para la transformación de coordena-
das (2.13), que describe la forma del elemento, y el se-
gundo grupo de nodos para la interpolación (3.15) de la
variable dependiente. Dependiendo de las relaciones entre
el grado de aproximación r usado para la transformación de
coordenada y el grado de aproximación s usada para la in-
terpolación,, los elementos son clasificados en tres cate-
gorías :
1. Elementos Subparamétricos: x < s
2. Elementos Isoparamétricos: r - s
3. Elementos Superparamétricos: r > s
De los tres tipos "de elementos, los elementos iso-
paramétricos son los más comunmente usados debido a la fa-
cilidad y eficiencia de cálculo en la implementación de EE.
Los elementos isopárametrieos son aquellos que
pueden ser usados para la descripción de la geometría del
elemento y la variación de las variables dependientes:
x = x i - 011=1
- 54
y.- 2 yi•0i1=1
n .
U ~ 2 Ul • 01
(3.16)
• s* ¥donde, 0± = 0i(§J"nx) son las funciones de interpolación del
elemento en coordenadas naturales (B>\)-
El concepto isoparamétrico es muy útil porgue fa-
cilita una representación exacta de dominios irregulares
( por ejemplo., dominios con contornos curvos ). Por lo
tanto el uso de elementos isoparamétricos curvilíneos hace
difícil calcular directamente las matrices de'coeficientes
de elemento y los vectores columna en términos de la coor-
denada global x y y ( que son usados para describir las
ecuaciones del problema ). Esta dificultad puede ser supe-
rada introduciendo una transformación invertible entre un
elemento curvilíneo Qe, tal como el indicado en la Figura
MQ 3.4., y un elemento master Q de forma simple que facilita
la integración numérica de las ecuaciones elemento. La
transformación se cumple para una transformación de
coordenada de la forma (3.16). Considerar como un ejemplo,
el elemento master de la Figura HQ 3.4. Las coordenadas en
el elemento master son elegidas a ser las coordenadas
naturales ( 5 )t\ tal que -1 < ( "5,1\. ¿ 1. Esta elección
es impuesta 'para los límites de integración en .la regla de
cuadratura de G-auss. Considerar la transformación de
coordenada,
x = x ( 5 , ii ) , y. = y < 5 , -n > (3.17)
- 55 -
de los puntos ( £ , ~r\ en el elemento master Q en los
puntos ( x , y ) en el dominio Qe. Por- ejemplo, la trans-/*,
formación proyectada de la linea ? - 1 en Q para la curva,
definida paramétricamente por x = x( I ,\, y - y( l^Yi )
en el plano x-y. Para ser más específicos, considerar un
caso especial de las ecuaciones (3.17),
X - Z X± • 0i(. C
(3.18)
y = I yi- 01(5 )
A
donde 0i son las funciones de interpolación bilineales de
la Figura NQ 3.5 con números de nodo 3 y 4 intercambiados,
y (x,y) son las coordenadas globales del iavo nodo del
elemento Qe. Ahora considerando la línea £ - 1 en Q.
Tenemos:
= Xl1=1
Claramente, x y y son funciones lineales de \, por
lo tanto definen una linea recta.
Simílarmente, las líneas $ --1 y\ ± 1 son pro-
yectadas en líneas rectas en el elemento 2°. En otras-*,
palabras el elemento master Q es transformado, bajo la
transformación lineal, en un elemento cuadrángula!" en el
- 56 -
plano x-y. Cuando £1 son cuadráticas, entonces el elementó
transformado en el plano x-y será un elemento curvilíneo.
Note que elementos diferentes de una malla de EF pueden ser
generados de un elemento master asignando las coordenadas
globales de los elementos ( ver Figura NQ 3.4 ) . - Los
elementos master de diferente orden definen diferentes
transformaciones y por tanto diferentes colecciones de
mallas de EF. Por ej emplo, un elemento rectangular master
de orden cúbico puede ser usado para generar una malla de
elementos rectangulares curvilíneos. Así, con la ayuda de
un elemento master apropiado, cualquier elemento arbitrario
de una malla puede ser generado. Por lo tanto, las
transformaciones de un elemento master serán tales que allí-
no existe vacíos aparentes entre elementos y no ocurre
elementos sobrepuestos. El elemento en la Figura tíQ.3.5
puede ser usado como elemento master.
En orden a ejecutar cálculos de elemento, debemos
transformar las funciones de x y y a funciones de 5 y \
Usando la regla de la cadena de la diferenciación, escribi-
mos de las ecuaciones (3.15):
dx = £ix/b§'d£ + "dx/dti-díi dy ~
X
a-n.
(3.19)
donde [J] es la matriz jacobiana de la transformación
" 57 -
(3.15). La ecuación (3,19) representa una transformación
lineal de los elementos de línea d$ y d>\n el elemento
Amaster Q en elementos de línea dx y dy en el plano x-y. -En
orden a transformar las coordenadas x,y en las coordenadas
~&,\ la inversa de [J] debe existir. Una condición necesa-
ria y suficiente para la ecuación (3.19) para que sea in-
vertible él determinante J ( llamado el jacobiano ) de la
matriz jacobiana será diferente de cero en todo punto des*
(¥ > ) e n Q: - .
J s det[J] =
cuando J o 0., tenemos
dS1
dn- 1/J
"bx
0 (3.20)
(3.21)
=
(3.22)
De la ecuación (3,21) es claro que las funciones
£ " 5(x,y) y \ V^ÍXjy) deben ser contínuas; diferen-cia-
bles-, e invertibles. Además, la transformación (3.17) será
algébricamente simple, así la matriz jacobiana puede ser
fácilmente evaluada. Las transformaciones de la forma de la
ecuación (3.18) satisface estos requerimientos y el dé que
no ocurra vacíos aparentes entre elementos o elementos
sobrepuestos.
58 -
Figura MQ 3.4 Generación de una malla de EF de un elementomaster.
(-1,1) ->
'\1 -M
1
(VO
A-
JI
'i
n
-C
2A
1
= \2 = % d+?)
03 = ^ (1-2?) ( 03
Figura MQ 3.5 Transformación del elemento rectangular mas-A
ter Q .
3 . 3 Coordenadas Naturales..
En esta sección discutiremos la transformación de
- 59 -
un sistema de coordenadas global ( o problema ) xi a un
sistema de coordenadas local £k que tiene su origen en el
centro del elemento, donde i = x,y,z , k = 5,1 r y
-1 < "gk < 1 , donde xi denota las coordenadas globales de
los nodos extremos del elemento; la coordenada $k es llama-
da coordenada normal ( o coordenada natural ) quiere decir
que es una coordenada normalizada (adimensional) cuyos va-
lores están siempre entre -1 y 1. La transformación
x± - f(5k) transforma los puntos xi a los puntos 5ic.
El sistema de coordenadas Mormal es conveniente
en dos caminos. 1) Es conveniente en la construcción de las
funciones de interpolación. 2) Es conveniente en la inte-
gración numérica ( para la cuadratura de G-au'ss-Legendre )
de las matrices de coeficientes. Primero discutiremos la
derivación de la familia Lagrange de las funciones de in-
terpolación en términos del sistema de coordenadas natural.
Así, recordemos que las funciones de interpolación satisfa-
cen la propiedad,
T 0 si i<> 3(3.23)
1 si i - o
donde., ?J denota la coordenada "g del javo nodo en el ele-
mento. Para un elemento con n nodos., 0i ( i = 1, 2, . . . , n )
son funciones de grado (n-1).
Las funciones de interpolación que satisfacen la
propiedad (3.23) pertenecen a la familia Lagrange de las
funciones de interpolación.
- 60 -
Recordemos de las ecuaciones (2.17) que las
matrices elemento involucran la derivada de las funciones
de interpolación con respecto a la coordena global xi.
Puesto que 0i es obtenida en el sistema de coordenadas
natural, una transformación de la forma,
XI =f(?k)
(3.24)5k = g(xi)
es requerida en orden a reescribir las integrales en térmi-
nos de füTu. . Las funciones f y g se asumen que son transfor-
maciones uno-a-uno.
La- transformación (3. 24) puede ser escogida en
términos de las funciones de interpolación ,
x = 2 xi 0±(5) (3.25)1 = 1
donde, 0i son las funciones de interpolación de Lagrange de'
grado (r-1 ) , llamadas también funciones de forma . Entonces
tenemos,
r d01
dx - ('2 xi- - - ) d? = J d£^=1 dg
donde J es el o'acobiano de la t ransformación J - dx/d^" .y
r d0iJ = 2 X i - - - ( 3 . 2 6 )
1 = 1 d?
la derivada de"0i con respecto a XR está dada por:
d0i d0i d$i 1 d= (J) - (3.27)
dxk dfi dxu
donde, k = x.yjZ , 1 = " í ^
- 61 -
3.4
3.4.1
La evaluación de las integrales de la forma [ ver
e cu aciones ('2. 17)],
b
F(x) dx (3.28)
por métodos clásicos ( es decir, integración exacta ) es
bastante difícil o imposible debido a la forma complicada
del integrando F. Por ejemplo/ cuando son usados los ele-
mentos isopamétricos, el cálculo de las -integrales en las
ecuaciones (2.17) se hace difícil ( excepto para algunos
casos simp/les ) por la presencia del jacobiano en "el
integrando. La integración numérica es requerida también
cuando el integrando se evalúa inexactamente y el
integrando depende de una cantidad que es conocida
solamente en puntos discretos ( ejemplo, en problemas no
lineales ). La idea básica de la técnica de integración
numérica ( también llamada cuadratura ) es encontrar una
función P(x) que es la aproximación adecuada de F(x) y es
simple de integrar. Las polinomiales interpoladas de grado
n, denotada por Pn, que inberpola al integrando en n+1
puntos del'intervalo [a,b] a menudo produce la aproximación
adecuada y • posee la propiedad deseada de integrabilidad
simple. Una ilustración de la aproximación de la función
F(x) por la polinomial P^(x) que iguala exactamente la
función F(x) en los puntos base indicados está dado en la
- 62 -
Figura tíQ 3.6. El valor exacto de la ecuación (3.28) está
dado por el área bajo la curva sólida, y el valor apro-
piado,
dx (3.29)
está dado por el área bajo la curva segmentada: Mote que la
diferencia ( es decir, el error en la aproximación )
E = F(x) - P-i(x) no es siempre del mismo signo, y por lo
tanto la totalidad de error de integración puede ser peque-
ño ( porque errores positivos en una parte cancela los e-
rrores negativos en otras partes )} aun cuando P^ no es una
buena aproximación de F.
Figura blQ 3.8 Integración Numérica por la cuadratura deNewton-Cotes. 'Aproximación de una funciónpor P-st(x) .
Los métodos de integración comunmente usados pue-
den ser clasificados en dos grupos básicos: 1) La fórmula
de Nevj ton-Cotes que emplea valores de la función en puntos
base o de prueba igualmente espaciados y 2) la fórmula de
cuadratura de Gauss que emplea puntos de prueba indistinta-
mente espaciados.
3.4.2
En la cuadratura de Gauss-Legendre los puntos base
xi y los soportes wi son elegidos tal que la suma de los
n+1 valores de soporte de la función producen la integral
exactamente cuando F(x) es una polínomial de grado 2n-hl ó
menor. La fórmula de la cuadratura de G-auss-Legendre
está dada por ( ver Figura MQ 3.7 ).,
F(x) dx = F($)1=1
(3.30)
donde los w± son los factores de soporte, ± los puntoss~*
base [ raíces de la polinomial de Legendre Pn-nCS), y F es
el integrando transformado ( al sistema de coordenadas na-
tural ) .
F(c) = F(x(5))-J(5) (3.31)
(b)
Figura 3 . 7 Cuadratura de G-auss-Legendre .a) Los dos-puntos de la curva de G-auss-Legendreb) Los tres puntos de la cuadratura de Gauss-
Legendre.
- 64 -
Los factores de soporte y los puntos Gaussianos
para la cuadratura de G-auss-Legendre (3.30) son dados, para
n - lj.,.,6, en la Tabla 3.1. La cuadratura de Gauss-
Legendre es más frecuentemente usado que la cuadratura de
Mewton-Cotes porque la cuadratura de Gauss-Legendre
requiere de pocos puntos base ( en consecuencia un ahorro
en el cálculo ) para lograr la misma exactitud. El error de
la aproximación es cero si la (2n-f 2 )S-VQ- derivada del
integrando desaparece. En otras palabras, una polinomial de
grado n es integrada exactamente empleando (n+l)/2 puntos
gaussianos. Cuando n+1 es impar, se escogerá el entero
.mayor más cercano.
Tabla 3.1. Soportes y puntos gaussianos para l'a cuadratura
de Gauss-Legendre wi
0±00±0±0±00±0±0±0±0±0
Puntos f ±
.0000000000
.5773502692
.0000000000
.7745966692
.3399810435
.8611363116
.0000000000
.5384693101
.9061798459
.2386191861
.6612093865
.9324695142
n
fórmulafórmulafórmula
fórmula
fórmula
fórmula
dedede
de
de
de
un-puntodos-puntostres-puntos
cuatro -puntos
cinco-puntos
seis-puntos
Soportes wi
210000000000
.0000000000
.0000000000
.8888888889
.5555555555
.6521451548
.3478548451
.5688888889,4786286705.2369268850.4679139346.3607615730.1713244024
Puesto que las integrales están definidas en tér-
minos de las coordenadas globales x y y y las funciones de
interpolación son conocidas en términos de las coordenadas
- 65 -
naturales 'g,\, emplearemos las transformaciones de coorde-
nada de la forma de las 'ecuaciones (3.16) para reescribir
las integrales en términos de "5 y Y| ( es decir, transfor-
forinar al elemento master ). En esta sección, discutimos
los pasos involucrados en la evaluación numérica de las
matrices elemento.
Primero calculamos la matriz j acobiana [J], que'
tiene algunos usos después: De las ecuaciones (3.16) y
(3.19), tenemos para cada elemento Q°,
n 01
2 XI yi
n•? xi
(3.32a)
A. A
501A
S0n
xi yi
xs ys(3.32b)
Ahora una relación entre las derivadas de las funciones de
interpolación con respecto a las coordenadas x y y/ £ y V\_.
Usando la regla de la cadena de la diferenciación, escri-
bimos,
SÍ* 01
(3.33)
o en fo rma matricial ,
- 66 -
001Bx .
.*-30i
. ¿y
V =
c)5 dt\x dx
a"^ av\ 3y 3 y _
<j
301
^?
A
001
OH
*1> - [J ] ^
"¿01 ~
35A
B0i(3.34a)
lX
,
^* 001 ^
Jai Ji2
(3.34b)
donde Jij es el elemento en la posición (ijj) del in-
verso de la matriz jacobiana,
[J] s [J ]Jll Jl2
s»e sf;
Jai J22(3.35)
El área elemental está dada por:
dA = dx dy - J (3.36)
Si los elementos tienen lados rectos ( es decir., elementos
no curvos ), uno puede usar siempre los nodos de esquinaA
para definir la geometría de los elementos. En ese caso 0i
en las ecuaciones (3.32) corresponden a las funciones de
interpolación lineal del elemento.-
Las ecuaciones (3.32),(3.33) y (3.34) proveen las
relaciones necesarias para transformar las expr.esiones
integrales en cualquier elemento Q<Q> para un elemento
- 67 -
máster asociado Q. Por ejemplo, considerar la siguiente ex-
presión integral en un elemento arbitrario Q<-0> >
Kij -"t>0i
A A
+ b + c ) dx dy (3.37)
donde a - 'a(x,y) , b - b(x,y), y c = c(x,y) son funciones
de x v y. Suponiendo que la malla de EF es generada por unA
elemento master £. Bao o la transformación (3.22)_[ es de-
cir, dado las ecuaciones (3.33)^(3.34) ], podemos escribir:
[ a ( Jn + JX2 )( J21 + Jl2
+J2 J d£ dlr^
d?
(3.38)
donde Jij son los elementos de la inversa de la matriz ja-
cobianaj y a - a(5Jt\)J y asi sucesivamente. Las ecuaciones
(3.32) son válidas- para el elemento master de geometría
rectangular y triangular ( ver Figura MQ 3.8 ).
i a
- 68 -
Elementos master Transformación de los elemen-tos master.
Figura NQ 3.8 Elementos mas-ter lineales y cuadráticos y sustransformaciones.
3.4.3 IntegraQión_J3um.érÁca s^bre un ELemento... Master Reo-
Las fórmulas de cuadratura para las integrales
definidas sobre un elemento master rectangular QR ( tal
como el mostrado en la Figura NQ 3.5 ) pueden ser obtenidas
como :
o. i
F(c,n) de dn -
-1 -1
69 -
M N
= 2 I F(íi,hj) wi-wj (3.39)
donde M y N denotan el número de puntos de cuadratura en
las direcciones ^ ; (5i;V(_j) denotan los puntos gaussia-
nos, y wi y wa denotan los pesos gaussianos correspondien-
tes ( Ver Tabla 3.1 ). La selección del número de puntos
gaussianos se basa: una polinomial de grado p es integrada
exactamente empleando N - (p+l)/2 puntos gaussianos; cuando
p-M es impar, se elegirá tí ~ p/2 + 1. En la mayoría de los
casosj las funciones de interpolación son del mismo grado
en ,\> y por lo tanto se tiene M - M. Cuando el integran-
do es de diferente grado en "5 ,V\l número de puntos gau-
ssianos es seleccionado de las bases de la polinomial d-e
mayor-g-rado. La Tabla 3.2 contiene información de la selec-
ción del orden de integración y la ubicación de los puntos
gaussianos para elementos cuadriláteros de Lagrange linea-
les, cuadráticosj y cúbicos. El máximo grado de la polino--
mial referida al grado de la polinomial mayor en ? ó Y\e
está presente en los integrandos de las matrices elemento
del tipo.
Mu = J 0i
A A
O
J( ... + ) d5 "d*x (3.40)
•-donde 30i/c)x y
( 3 . 3 3 ) , ( 3 . 3 4 ) .
- 78 -
están dados por las ecuaciones
Las ubicaciones de los NxN puntos gaussianos son dados por
el producto tensor de los puntos gaussianos 1-d £1:
a
52, 1 =
(52,
(3.41)
Tabla 3.2 Selección del orden de integración y ubicación delos puntos gaussianos para elementos cuadriláte-ros lineales, cuadráticos y cúbicos.
Tipode-
elemento
Lineal
Cuadra-tico
Cúbico
Máximogrado de lapolinomial
2
4
6
Ordende
Integración
2 x 2
3 x 3
4 x 4
G-radode
exactitud
3
5
7
Ubicación delos puntos deintegración enelemento mast'er
"$=-0.57
r\~'0.517..._
^ -0.17^-
"n=o.o~
r}~ 0.333n=-o.33s..-
r-ii
_ji
i~r- -
i-.1jii7I
l "i
f-f-
V _l_i-i 1L_i- -i 1— t-
t\ =0.577.11
- ~r -ii1
i
ii1t
-) — |-1 i-i-t
i i- — rT-h
i.
?
j = 0.8
~ T-1 -
3.5 Descomposición de Ci
El sistema de ecuaciones lineales escrita en forma
- 71 -
matricial:
[ A ] { X } = { B } (3.42)
ndonde aij , bi 6 (R , 1 < ±}j < n , { xi } son las in-
1 = 1cógnitas acalcular.
Para resolver el sistema (3.42) por el método de
Cholesky se considerará el caso particular en que [ A ] sea
simétrica y definida positiva. En estas condiciones, impor-
tantes en la práctica, se utiliza un método directo mejor
adaptado que el de G-auss, el método de Cholesky., basado en
lo siguiente: Si [ A ] es una matriz simétrica y definida
positiva", entonces existe otra matriz [ U ], triangular
inferior e invertible tal que:
C U ] [ U ] = [. A ] (3.43)
Ver demostración en el Apéndice D.
Para resolver el sistema (3.42), se calcula
A = U UT , entonces U UT X = b ; sea U* X = Y <> 0 por
definición, entonces:
U Y = b t se calcula Y por sustitución hacia atrás,
UT X = Y j se calcula X por sustitución para adelante.
El número de operaciones en la descomposición de
Cholesky es: (1/6) n3 4- 9(n2); mientras que en la elimina-
ción de G-auss el número de operaciones es: (1/3) n3.
— "7O —l -&
3.6 AJ.mace.namientQ de La .matriz A por el método del Perfi_l_
de RASCACIELOS.
El método del perfil de rascacielos es empleado en
sistemas de ecuaciones grandes, como la ecuación (2.24).
Este método es aplicado a matrices simétricas, y tiene las
siguientes ventajas:
o-1. G-uarda la matriz global Kij como un vector unidimensio-
nal.
2. Permite la existencia de ancho de banda variable.
3. .Ahorra memoria y tiempo de ejecución.
4. Es más estable que el método de eliminación de Gauss-
Seidel.
En orden a ilustrar el método de almacenamiento en
columna ( es decir, el método de RASCACIELOS ) de la matriz
[ K ]; considerar la matriz mostrada en la Figura MQ 3.9a.
El almacenamiento mínimo requerido de los elementos necesa-
rios durante el procedimiento de solución serán una se-
rie de columnas cada una conteniendo todos sus elementos
con el primer término diferente de cero en la diagonal.
Estas columnas son almacenadas en un arreglo un idimensio —
nal como el indicado en la ecuación (3.44), en la que la
ubicación de los términos de la diagonal son indicados
en un arreglo entero de longitud Moq.
Donde, Noq es el número de ecuaciones - 7
Q 2
El número total de elementos de Kij es N©q . - 49
73 -
K - K =
Simétrica * **
(a)
1 2 3 41234567
"1. IX*2 3 5
4 67,
5 6
8 119 12
10^1314^
715"
11617181920
^21
(b)
Figura NQ'3.9 a) Elementos en la matriz de conductivi-dad original.
b) Secuencia de almacenamiento para el vec-tor columna de la ecuación a resolver.
El número total de elementos Kij es: N©Q(Neq-Hl)/2 = 28
El numero total de elementos almacenados en el método del
perfil de rascacielos es IP(N©q) = 21,
Ip(Neq) es el vector que contiene la dirección de los coe-
ficientes diagonales Kn, 1 < i < N©q.
De la Figura MQ 3. 9b} se tiene:
1 2 3 4 5 6 7I P ( Í ) = C 1 2 4 7 10 14 21 }
o-La transformación de K±j a un vector A., es de la fortaa:
1 2 3= { Kn K22
7 8. 94 5
14 15 16 17 18 19 20 21Kss Ki7 Kzv Ka7 IÍ47 Ks7 Ksv K?7 }
o-O sea, Ku " Am , j 5:
10 11 12 13Kss Kas K4s
(3.44)
(3.45)
O - Q-
Hote que: KÍJ - ACIpCi», y además que únicamente los Rij
dentro del perfil de RASCACIELOS son almacenados en el vec-
tor A.
CAPITULO IV
DESCRIPCIÓN E IMPLEMENTACIQN DEL PROG-RAMA NUMÉRICO
DE ELEMENTOS FINITOS
4.1 Composición Principal del Programa.
4.1.1 Comentarios Introductorios :
Estudiaremos la implementación de los pasos invo-
lucrados en el análisis de EF'en problemas 2-d. Serán pre-
sentados los cálculos y resultados. Un modelo de programa
de EF es descrito, y su aplicación es demostrada vía algu-
nos ejemplos; el programa refleja todos los pasos discuti-
dos hasta aquí en la teoría. .
El propósito de esta sección es discutir algunas
ideas fundamentales consideradas en el . desarrollo del
programa de computador para la ecuación diferencial 2-d de
2 ° orden (1.13) ó (2.6). Se puede hacer uso de las ideas
fundamentales para desarrollar un programa para una clase
de problema que a uno le interese, para diferentes ge o me -
trías, condiciones de borde, y datos del problema.
4.1.2 IleJlJjie_amͣiiJiQ_J^
Un programa de EF consiste de tres partes básicas
— *7 R _í O
( ver Figura NQ 4.1 ):
1. Preprocesador
2. Procesador
3. Posprocesador'
En la parte del preprocesador del programa, los
datos de entrada del problema son leídos y/o generados.
Esto incluye la geometría ( por ejemplo, la forma del domi-
nio, las condiciones de borde,etc. ), los datos del pro-
blema ( por ejemplo, los coeficientes de la ecuación dife-
rencial original, etc. ), información de la malla de EF
( por ejemplo, número de elementos, forma del elemento,
matriz de conectividad, etc.), indicaciones para opciones
( por ejemplo, imprimir, no imprimir, grado de interpola-
ción, etc. ). En la parte del procesador, .todos los pasos
del MEF, excepto para el posprocesamiento se incluyen:
generación de las matrices de elemento usando integración
numérica, ensamblaje de las ecuaciones de elemento,
imposición de las condiciones de borde, y solución de las
ecuaciones para los valores de las variables primarias en
los puntos nodales. En la parte del programa del posproce-
cesamiento, el dato de salida es procesado en un formato
deseable para imprimir y/o graficar, y son calculadas las
variables secundarias que son obtenidas, de la solución.
El preprocesamiento y posprocesamiento pueden es-
tar en pocas sentencias BASIC para leer e imprimir la in-
formación pertinente, subrutinas simples ( por ejemplo.
- 76 -
subrutinas para generar mallas y calcular el gradiente de
la solución ) , o programas complejos vinculados a otras
unidades vía archivos en disco o en cinta. El procesador,
donde típicamente la mayor parte de tiempo de computador
son consumidos, puede consistir de algunas subrutinas, cada
una con un propósito general ( por ejemplo3 una subrutina
para el 'cálculo de las matrices elemento, una subrutina
para la imposición de condiciones de borde, y una subrutina
para la solución de las ecuaciones ). El grado de sofisti-
cación y la complejidad de un programa de EF depende de la
.clase general de problemas a ser programados, la generali-
dad de los datos en la ecuación", y los usos deseados del
programa. Es siempre deseable describir, a través de
sentencias de comentarios, todas las variables usadas en el
programa de computador.
Más adelante se da una descripción de las varia-
bles usadas en el programa de computador CORRIMD_2D, tam-
bién será discutido el uso del programa. El programa
CORRIND_2D, está hecho para trabajar con elementos rectan-
gulares isoparamétricos de 4 nodos, y es usado para la so-
lución del problema de las corrientes inducidas 2-d.
En la unidad preprocesadora, el programa BQDY_CORD
es .-'.sado para generar mallas de elementos rectangulares en
dominios rectangulares. La subrutina no es suficientemente
general para generar mallas de EF en dominios arbitrarios.
Por ejemplo, 'se puede usar cualquier otro programa de gene-
ración de mallas en lugar de BODY_CORD. La subrutina
- 77 -
BQDY_CORD genera la matriz de conectividad ( la matriz
Hode ) y las coordenadas globales de los nodos ( matrices
X y . Y ). Si son analizados dominios no rectangulares, la
información de la malla debe ser leída.
PROGRAMA PRINCIPAL
PreprocesadorLee y generadatos
ProcesadorG-enera matri-ces elemento( Stiffq)Ensamblaje deecuacionesImposición decond icionesde borde( Bdy_cond )Solución delas ecuacio-nes ( Sime )
PosprocesadorUso'de la so-lución en elcálculo deotras varia-bles .Imprime/Grá-fica solución
SUBRUTINA Sttifq
¡ Genera matrices¡ elemento para
-> j Ecuaciones de' 2dQ orden 2-d.
SUBRUTINÁ Bdy_condi :i1 Impone valores es-pecíficos de lasvariables prima-rias del problema
SUBRUTIHA Sime
Resuelve sistemade ecuaciones pordescomposiciónLDLt ( para ecua-ciones -simétricasbandadas.
SUBRUTINAShape
Evalúa lasfuncionesde inter-polación _de elemen-to en lospuntosgausianos
Figura MQ 4.1 Tres Unidades Funcionales y sus Funciones enun Programa de Elementos Finitos.
- 78 -
4 . 2 Equivalencia o Sig
A continuación se definen las principales varia-
bles utilizadas en el programa para la solución del proble-
ma que se trata en esta tesis:
Title$
Icord
Itrace
Device
Jj
KK
Ireg
Idrive
Elxy
Rnode
Ncor
Np
leí
Npe
Ndf
Nterm
Titulo del problema; usado para rotular el progra-ma salida.
Lee valores de X y Y de malla del MEF (0/1).
Rastrea todos los cálculos (0/1) .
Selecciona interface de salida ( CRT/PRT )(0/701.)
Número máximo de líneas coordenadas en lación Xa± ( número de subdivisiones .en 'la direc-ción X ) , Jj ~ N>c.
Número de subdivisiones en la dirección y.Kk = Ny.
0 - región simplemente conectada, 1 = región do-blemente conectada.
'Disk Drive en que se encuentra el archivo.
Ubicación de la coordenada x.,y- E.lxy(Npe } Ncor ) .
Dato para las coordenadas nodales (r , s) en elemen-.to master. Rnode(Npe , Ncor )
Número de coordenadas': 2 ~ r,s.
Dato para ordenamiento de nodo en elemento masterHp(4).
Tipo, de elemento para elemento de 4 nodos .( leí = 1, dos nodos por cada lado del elemento de4 nodos ) .
Número de nodos/elemento.( Npe - 4, para elemento cuadrilátero ).
Grados de libertad".( Ndf = 2 , dos incógnitas p o r n o d o )
Número de elementos para Kloc.Nterm = Npe-Ndf ( Npe- Nclf + l)/2..
- 79 -
Ney Número de elementos en la dirección y. Ney = Ny-1
Nex Número de elementos en la dirección x, Nex = Nx-1
Nnm Número global de nodos. Nnm - Nx*Ny
Mem Número global de elementos. Nem = Nex*Mey
Node( i t j ) Nodo global correspondiente al o avo nodo del ele-mento iavo ( matriz de conectividad ).
X(I),Y(I) Coordenadas X y Y del nodo I.
Nintxl ' ; Mintx2 : Número de puntos gaussianos para integra-ción por cuadratura. Nintxl = Mintx2 = 2.
Meq Número total de ecuaciones . Neq - Nnq *Ndf
Nnq Número de nodos.
Nhbw Ancho de banda promedio de la matriz global.Nhbw = (Ny+2)*Ndf.
Length Tamaño del vector de la matriz global.Length = lp(Meq )
Nbound Número de elementos de contorno.Si Ireg - 0 => Nbound = 2(Nex+Ney)Si Ireg - 1 ~> Mbound = 2-Mex
Ebdy Vector que contiene el número del elemento de con-torno . Ebdy (Mbound ) .
Nbdy Contiene el número del nodo del elemento de con-torno . Nbdy(2 j Nbound) .
w - 2n:f frecuencia de excitación [1/seg] .
A,B,Jc.,Js Coeficientes de la EDP en el dominio de EF .A: I/permeabilidad magnéticaB: conductividad eléctricaJe = Hex-BJs = 0
j Ysens: Coordenadas del sensor.Xbob , Ybob : Coordenadas de la bobina.
Isens Corriente de excitación del sensor [A] .
Lsens Longitud del sensor [m] .
Asens Ancho del sensor [in] .
Pdisi Potencia disipada [W] .
Emag Energía magnética [J] .
Rsens Resistencia equivalente del sensor
Inds
Reacs
Eps
Maxit
G-au
wt
Kloc
Fv
Det
. - 80 -
Inductancia equivalente del sensor [Q*s].
Reactancia equivalente del sensor [Q] .
Error de iteración-Cr iberio de convergencia.
Máximo número de iteraciones.
Puntos gaussianos , Gau(4, 4) .
Factores de soporte. wt(4,4).
Vector de permeabilidad y conductividad local.Kloc(i,j) - Kloc(loc), loe = ó(o-l)/2 + i.Kloc(36)
Vector RHS. Vector de excitación externa.. Fv(8)
Determinante de transformación.
Función de interpolación para el nodo i del ele-mento . i =1 , 4 .
Dhx(-i,j
Dhr(i,ó
Jac
Idee
Icoef
),i = 1 -> Dhd/dx , i = 2 -> Dhj/dy.
),i - 1 -> Dhj/dr , i = 2 -> Dhj/ds.
Matriz oacobiana de la transformación.JIH v - INV de Jac .
- 1 Solución completa, = 2 solamente sustituciónhacia atrás.
Coeficientesnio (0/1).
los mismos en 'todo el domi-
U
Igriet
Mgriet
Número de elementos almacenados en la columna i dela matriz global Is(Neq).
Ubicación de los elementos diagonales en la matrizglobal.
Vector de la ecuación matricial del sistema, arre-glado en forma de columna comprimida.
Vector RHS, Ipi ubicación de los elementos diago-nales de Kii, Issi número de elementos, diferentesde. cero en la columna i.
- 1 grieta interna," = 0 grieta en el borde delmaterial.
( >= 2 ) # de nodos/grieta.
- 81 -
4.3
El ingreso de datos ( prep roces ador ) para el pro-
grama de EF consiste en leer el tipo de elemento , el número
de elementos ( si tienen que ser usadas una serie de mallas
uniformes, dar el mínimo y máximo número de elementos ), la
especificación de los puntos de contorno originales ( nú-
mero,, grado global de libertad, y los valores especifica-
dos ), y las coordenadas globales de elemento y las propie-
dades del material del elemento. Si es usada una malla uni-
forme, la forma del elemento será leído, y las coordenadas
globales de los nodos pueden ser generados en el programa.
En las siguientes secciones., es dado una discusión de los
componentes básicos del programa de EF , y enb'onces las i-
deas son ilustradas vía sentencias BASIC ( dado en el PROG-.
CORRIND_2D ).
La utilización del programa, requiere de una pre-
paración de los datos para su lectura en la máquina. La
preparación de los "datos, es un punto que requiere de inge-
niería. Para la preparación de los datos, se han elaborado
algoritmos, que permiten entregar estos, de una manera muy
efectiva, especialmente cuando se considera problemas con
elevado número de nodos ( elementos ).
Siendo el área de memoria disponible, el único
factor limitante para la- aplicación de los programas, se
permite adecuar las dimensiones de arreglos y vectores , a
las exigencias de cada problema, para poder utili'zar el
- 82 -
área de memoria, en una forma óptima.
Nota: El tipo de elemento ( triangular o cuadrilátero ) es
especificado por la variable leí:
0 elemento triangular linealleí - -¿ 1 elemento cuadrilátero lineal
2 elemento cuadrilátero cuadrático
4.4 C o n t e n i d o de cada Ar reg lo .
4.4.1 Oálcjilo de Las-Jiakr-ioes EJLejne-nto C
En dos dimensiones los cálculos de elemento son
más complicados debido' a las siguientes consideraciones:
1. Varias formas geométricas de elementos.
2. Problemas de única o multivar iable .
3. En ciertas formulaciones las integraciones de orden re-
ducido .
4. Un número diferente de grados de libertad primarios en
nodos diferentes del elemento; consecuentemente, el en-
sambla:) e es más complicado.
Los cálculos de elemento para elementos isoparamé-
t ricos rectangulares ( de cualquier orden ) pueden ser lle-
vados a cabo de acuerdo a los desarrollos presentados en la
sección 3.4. Los pasos principales indicados son :
1. El desarrollo de una subrutina, Shape, para la evalua-
ción de las funciones de interpolación y sus derivadas
con respecto a las coordenadas globales [ ver ecuaciones
(3.32) a (3.36) ] .
- 83 -
2. La integración numérica de los coeficientes de las ma-
trices elemento usando cuadratura de G-auss-Legendre
[ ver ecuación (3.39) ].
3. Ensamblaje de las matrices elemento requeridas para la
clase de problemas a ser resueltos.
La subrutina Shape ( llamada en un lazo FOR en el
número de puntos gausianos ) contiene las expresiones de
las funciones de interpolación para elementos de varios-
órdenes y sus derivadas con respecto a las coordenadas lo-
cales ( es decir, natural ). La matriz jacobiana es evalua-
da en el punto gaussiano usando la ecuación (3.32b). Estas
requieren las derivadas de las funciones de interpolación
con respecto a l'as coordenadas naturales y las coordenadas
globales siendo entonces calculadas en los puntos gaussia-
nos por medio de las relaciones (3.33) y (3.34).
Los coeficientes de las matrices elemento en pro-
blemas 2-d de nuestro interés aquí requiere de la evalua-
ción de las' matrices elemento" definidas en las ecuaciones
(3.1). Estas matrices implican productos de las funciones
de interpolación y sus derivadas con respecto a las coor-
denadas globales. Puesto que las integrales son evaluadas
numéricamente [ ver ecuación (3.39) ], los integrandos
deben ser evaluados en los putos de cuadratura y sumados
( en cada dirección de coordenada ) sobre el número de
puntos de integración ( Nintx; Ninty ) . Así, el cálculo de
las integrales en las ecuaciones (3.1) y la evaluación de
las funciones de interpolación y sus derivadas deben ser
- 84 -
llevadas a cabo dentro de los lazos-FQR.
Las matrices elemento son calculadas en una sub-
rutina, Stiffq, evaluando las integrales de la forma de
las ecuaciones (2.17). Las funciones de interpolación ( o
de forma ) y sus derivadas, con respecto a las coordenadas
globales son calculadas en la subrutina, Shape; que es lla-
mada de la subrutina Stiffq ( ver Figura EQ 4.1 ). El indi-
cador, leí, es necesario para especificar el tipo y orden
del elemento.
Necesitamos almacenar los soportes ( pesos ) y
puntos gaussianos asociados con dos-, tres-, 'y cuatro pun-
tos de integración en orden- a facilitar la evaluación de
las polinomiales de grado superior a 6. Esto puede ser
hecho definiendo los arreglos matriciales wt(4,4) y
Gau(4j4). Las columnas nava- de wt y Gau contienen los
soportes y ceros, respectivamente} correspondientes a la
cuadratura de G-auss del n9-" 0 punto ( las entradas indefi-
nidas serán llevadas a ceros ). Por ejemplo, la tercera
columna de wt contiene:
wt(l,3) = 0.55555 wt(2,3) = 0.
wt(3,3) = 0.55555 wt(4,3) = 0.00000
Asi, Gau(Intx, Nintx) = arreglo del- Intx6-" 0 soporte de
gau'ss correspondiente al Nintx punto d-e gauss.
Donde Nintx denota el numero de puntos de gauss, que debe
ser seleccionado para obtener buena exactitud de las matri-
ces elemento.
- 85 -
Para fijar ideas, considerar:
H(I) - funciones de interpolación 0± del i^vo nodo de un
elemento.
Dhx(i,o) ~ derivada global con respecto a xi (es decir,
derivada con respecto a la coordenada global x± )
de la función de interpolación 0j,
[ 'Dhx(i;j) = c>0;i/óxi , xi - x, xa = y ] .
Dv = producto del j acobiano ( es decir, el determinante
de [J] con los soportes correspondientes al punto
gausiano ( gin-t:*, \\in-ty) - Det # wt(Intx, Nintx) *
wt(Inty,Minty).
11Entonces Sij, Su, . . . están dados en la forma BASIC, por:
S(I,J) = S(I.JJ)+H(I)*H(J)*Dv
S1KI.J) = S11CI, J)+Dhx(l,I)*Dhx(lJJ)*Dv (4,1)
S22(I,J) - S22(I,J)+Dhx(2JI)*Dhx(27J)*Dy
La suma de los valores de S11(I,,J) y S22(I;J) representan
los valores numéricos de la integral de coeficientes de las
ecuaciones (3.40). [ ver sentencias BASIC listadas en el
manual de uso del programa ].
En el grupo de matrices de coeficientes de ele-
menbo de un problema dado, hacemos uso de las matrices
elemento definidas anteriormente. Como un ej emplo, consi-
siderar el problema descrito por la ecucaeion (2.6). La
matriz de coeficientes de * elemento y los vectores columna
para el problema están dados por las ecuaciones (2.17). Lae e
matrz elemento P±j y Cij puede ser expresada en términos de11 22
Sij y Sij y Sij} respectivamente por:
- 86 -
P(I,J) = A * ( Sll(i,J) + 322(1,J) )
C(I,J) = B * S(I,J) (4.2)
Por supuesto, se puede evitar la introducción de las matri-
ces S, Sil y S22 definiendo P±j y Cij directamente en tér-
minos de Dhx.
P(i,J) - P(I,J)+A*(Dhx(l,I)*Dhx(l,J)+Dhx(2,I)*Dhx(2JJ))*Dv
CCI.J) - C(I,J)+B*H(I)*H(J)*Dv • (4.3)
Por lo tanto, es económico usar [S], [Sil] y [S22] si exis-
te necesidad en la definición de las matrices elemento de
algunos problemas diferentes en la misma subrutina.
4.4.2 Ensambla.-ie en Forma de Matriz Bandada:
El esnsamblaj e de.las matrices elemento serán lle-
vados a cabo tan pronto como las matrices elemento de cada
elemento sean calculadas, antes de calcular las matrices
elemento de todos los' elementos. Seguidamente se requiere
el almacenamiento de las matrices elemento de cada elemen-
to. En aquellos casos podemos ejecutar el ensamblaje en los
mismos lazos en que la subrutina Stiffq es llamada para
calcular las matrices elemento. Otro punto que nos permite
ahorrar almacenamiento y tiempo de computación es el ensam-
blaje de las matrices elemento en forma de banda-superior.
Cuando las matrices elemento, son simétricas ( esto es el
caso de la mayoría de problemas de nuestro interés ), la
matriz global ( o ensamblada ) resultante es también simé-
trica, con muchos ceros fuera de la diagonal principal (ver
Figura NQ 4.2 ). Por lo tanto, tiene sentido almacenar
solamente la mitad de la banda-superior de la matriz
- 87 -
ensamblada. Las ecuaciones de propósito general a resol-
verse son aprovechadas para tales sistemas de ecuaciones
bandadas.
El ancho de banda promedio blhbw de la matriz de EF
ensamblada ( es decir, global ) puede ser determinada a la
vez en el programa de EF. La propiedad de compatibilidad
de las funciones de interpolación ( es decir, 0i están
definidas para ser diferentes de cero solamente sobre el
elemento e ) es motivo para que la matriz ensamblada sea de
carácter bandada. Recordar de anteriores discusiones que
si dos nodos globales no pertenecen al mismo elemento, en-
tonces las correspondientes entradas en la matriz global
contienen ceros,
KIJ ~ 0 si I y J no pertenecen al mismo elementó.
Esta propiedad nos permite determinar el ancho de banda
promedio Nhbw de la matriz ensamblada:
blhbw = máx[ Node(N,I) - Node(H,J) + .1 ] * bldf (4.4)
1 < N < N*m1 < I,J < Mpa
donde Ndf: número de grados de libertad ( es decir, incóg-
nitas primarias ) por nodo.
Nem': número de elementos en la malla de EF.
Mpe: número de nodos por elemento.
Claramente para problemas 1-d, la máxima diferencia entre
nodos de un elemento es ig'u'al a Npe-1. Por tanto,
Nhbw = [ (Npe~l) + 1 ] * bldf - NPQ * Ndf (4.5)
Por supuesto, Nhbw es siempre tan pequeño o igual al número
total de grados de libertad primarios en la malla de EF del
problema.
- 88 -
Ahora describamos el procedimiento de ensamblaje
bandado. La lógica será tal que el ensamblaje de las matri-
ces elemento serán omitidas si J<I y J>Nhbw. La diagonal
principal., I=J, de la matriz cuadrada ensamblada ( es de-
cir, forma de almacenamiento completo ) se pone en la -pri-
mera columna de la matriz bandada ensamblada ( es decir,
forma de almacenamiento bandado ), como se muestra en la
Figura N° 4.2. Las diagonales superiores ( paralelas a la
diagonal principal ) toman la posición de las columnas
respectivas en la matriz bandada. Así, la matr'iz bandada
tiene la dimensión ( actual ) de Neq # Nhbw , donde Neq
denota el número total de ecuaciones ( o incógnitas
primarias ) en el problema [ ver subrutinas BASIC que
describen el ensamblaje de. las matrices de EF en forma
bandada ].
Modo de almacenamientocompleto
*rr< Ceros
Simé brica
Ceros
•T- «TÍ -T* -T* ,
' \ '."
Modo mitad superiorbandada
ífí ?!< ífí
* >K *
# * *Jff ífí ílí
•T» ^P -T"
diagonal principalNeq por tíeq =
por Nhbw
Figura HQ 4.2 Almacenamien to de la mat r iz de EF en fo rmade mat r iz superior bandada.Los espacios vacios son coros
- 89 -
4.4.3 Imposición de las Condicone.s_d£_Jkírd£.:
La imposición de las condiciones de borde ( de las
incógnitas primarias ) puede ser hecho como se describió
antes. El procedimiento implica modificar la matriz ensam-
blada moviendo los productos conocidos a la columna del
lado derecho de la ecuación matricial, reemplazando las
columnas y filas correspondientes a la variable primaria
conocida por ceros, excepto en la diagonal principal donde
la variable es colocada la unidad, y reemplazando la co-
rrespondiente componente de la columna del lado derecho por
el valor específico de la variable. Para fijar ideas, con
siderar las siguientes n ecuaciones algebraicas en forma
matricial:
(4.6)Kxx Kx2 Rxs . . .Kax K22 K23 . . .Kai Ks2 Kss ...
_ _
UxUzÜ3
J
~
~FX~FsFs
, •
Suponga que Ua = a es especificado. (Recordar que
cuando la variable Ui en un nodo es conocida., la corres-
pondiente componente Fi es conocida, y viceversa). Proce-
damos ahora a imponer la • condición de borde en la si-
guiente manera. Considerar K.22 ~ 1, y Fs = a; adicional-
mente Kai = Ki2 = 0 para i = 2 ( i = 1,3,...,n ).
Tenemos:
010
KnX 0 Kn3 "
KxrT0
Ksn
Knn
<
/ \x
UsU3
Un
> -
' •>!
a
Fn
(4.7)
- 90 -
donde F± = Fi - Kiz a , i = 1,3,4,5, . . . ,n , i <> 2. (4.8)
Así, en general, si UR - a es conocido, tenemos:
Kkk = 1 Fu - a
Fi -> Fi - Kik a (4.9)
Kk± = Kik = 0
donde i = 1,2,...,k-1,k+1,...,n , i o k
Este procedimiento nos posibilita retener el orden
original, de la matriz, y las condiciones de borde se impri-
men como parte de la solución. Por lo tanto, el almacena-
miento no se reduce ( que podría ser deseable si podemos
deletear la columna y la fila correspondiente al grado de
liberbad especificado ). Ver listado del programa, donde
las sentencias BASIC describen el mismo procedimiento para
una matriz bandada ( subrutina Bdy_cond ).
4.4.4 Solución de las Ecuaciones v Posprocesamierrbo:
La subrutina, Sime, dada en el listado del progra-
ma, resuelve un sistema de ecuaciones bandadas y retorna la
solución en la matriz FG . La subrutina ejecuta la elimina-
ción gaussiana y la sustitución hacia atrás para obtener la
solución. De la mayoría de sistemas computados, son aprove-
chables una variedad de soluciones de la ecuación, y se
puede hacer uso de cualquiera de los programas que sean
apropiados a las necesidades.
En la anidad de posprocesamiento ( SUB Post_fetn )
se realiza el posprocesamiento de la solución del HEF .
- 91 -
Determina el valor RMS de la solución. Calcula la energía
magnética total; la potencia disipada total ( ver Apéndice
E ) y la impedancia equivalente total del sensor ( SUB
Impedancia ). Realiza la impresión de los resultados
obtenidos de la solución del campo magnético vía MEF (. SUB
Printresul ). Dibuja un mapa de contornos de la matriz
resultante ( Fg(*) - Zxy(*), y opcionalmente dibuja el
mínimoj máximo locales ( SUB Contour ). Y además almacena
los resultados del MEF.
4.5 Impresión de Resultados.
Se imprimen primeramente -bodos los datos leídos o
generados, en la misma secuencia y forma como han sido en-
tregados al computador; y son: Propiedades del mate.rial
( placa ), numero de nodos y el número de tipos de elemen-
tos. Si no se desean escribir los datos de coordenadas,
restricciones y nodos que forman los elementos.
Si es necesaria una impresión de las coordenadas
de cada uno de los nodos, a la variable Ly$ se le asigna un
"y"; si no es necesaria la impresión de los nodos de cada
uno de los elementos, a la variable Ly$ se le asigna un
"n"; lo mismo se hace si se quiere o no imprimir la matriz
de conectividad.
Para correr • en el computador el "programa
CORRIMD__2D ( ó CORRIND2DB ), previamente se debió haber
generado y salvado ( o grabado ) el mallado de la placa por
- 92 -
medio del programa de generación automática de mallas
BODY_CORD. Entonces al 'cargar el programa CORRIND__2D y'
ejecutarlo aparece una sentencia que solicita ingresar el
tipo de dispositivo de salida, sea en la pantalla ( CRT-1 )
o en la impresora ( PRT-701 ). Además aparece en la panta-
lla la descripción del problema a resolverse por medio del
MEF ( ver' SUB Screen_l en el listado del programa princi-
pal ). Una vez hecha la selección de la interface de sali-
da, aparece en la pantalla una opción para continuar la
ejecución del programa; estas son: FEM MALLA, con esta
.opción se gráfica la malla generada de EF, la misma que lo
realiza por medio de la SUB' Fem_mesh, esta subrutina
discretiza dominios rectangulares a elementos rectangulares
lineales, generando la matriz de conectividad Hode y las
coordenadas globales de los nodos X -y Y, realiza el sistema
de numerado de los nodos locales y globales, como se
muestra en la Figura MQ 4.3; otra opción es FEM FRONTERA,
se gráfica los elementos de frontera del dominio; y, la
opción DATOS/CQNECT imprime arreglos nodales y booleanos
( ver SUB Screen_2 ). Luego aparece en la pantalla una
opción de manej o del programa del MEF, que consiste de: La
opción ENSAMBLE Kg, Fg, la misma que transfiere la
ejecución del programa a la unidad de preprocesamiento del
MEF, donde se realiza la lectura de todas las
características del problema y se realiza el ensamblaje de
las matrices elemento y globales de conductividad,
permeabilidad y el vector de excitación externa; luego otro
rotulado pide aplicar las condiciones de borde del problema
( SUB Bdy_cond ), que aplica las condiciones de borde de
- 93 -
Dirichlet especificando en la frontera externa el valor
esencial del campo magnético igualado a cero en los Nbdy
nodos, donde también se especifican las características de
la grieta en caso de existir para pasar luego a resolver el
sistema de ecuaciones ( SUB Sime ); otro rotulado en la
pantalla es la opción LEA Kg,Eg, que transfiere la
ejecución del programa a la fase de lectura de las matrices
globales de coeficientes y el vector de excitación
guardados previamente en un archivo,, una vez realizada la
lectura se puede aplicar las condiciones de borde
esenciales del problema como las características de .la
grieta en caso de existirlo y pasar a resolver el sistema
de ecuaciones bajo las condiciones impuestas. Una vez
finalizada la solución del .sistema de Neq ecuaciones pasa a
la fase del posprocesamiento, donde se realiza el cálculo e
impresión de la potencia disipada, energía magnética e
. impedancia del sensor, además se imprimen los valores del
campo magnético en sus componentes seno, coseno y RMS en
todos los puntos nodales del inallado de elementos finitos y
luego realizar la gráfica de las líneas de contorno de las
corrientes de eddy. La opción SOLUCIÓN proporciona la
información de los resultados de la solución del MEF,
imprimiéndose las siguientes variables: Nem, Nex,Ney,
Nhbw, Mdf, bTnm, Neq, Lenght, Nintx, Ninty, Ireg, y las
características del sensor ( ver SUB Print__inf ). Cabe
destacar que los pasos a seguirse en la utilización,
ejecución, impresión y almacenamiento de datos y resultados
del programa del MEE es realizado con la ayuda de
comentarios en la pantalla y por medio de la selección de
94
las teclas de función. Otra opción de manejo del programa
del MEF es la opción SALIDA la que indica que el programa
CORRIND_2D ha finalizado.
Elemento típico
números deelemento
1® © ®
(H-/
*Hx Hx+i
números denodos globales
Figura NO 4.3 Hallado de EF de elementos rectangularesgenerados por el programa Fem__mesh ( los nodos sonnumerados de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba ).
4 . 6 Espacio de Memoria .... ._TiemPO de Ejecución .
En la elaboración del programa se utilizó una com-
putadora con las siguientes características:
Hewlett-Packard 9816, Serie 200, 2MB RAM.
Procesador MC68000, 8MHz, 32 Bytes.
Dual Disk Drive HP8122, 1.4 MB, 3.5 pulg.
HPThinkjet Printer.
HP7470A Plotter, 2 lápices.
El lenguaj e que se utilizo es: KP Enhanced Basic.
El tiempo de ejecución del programa- es :
Tiempo de ensamblaje de los . 84 elementos « 80 s.
Tiempo en encontrar la solución [K]{U}-{F} de las 208 ecua-
ciones es x 130 s.
- 95 -
Tiempo en calcular la impedancia del sensor es 53 s.
Tiempo en realizar los gráficos en el plotter es 180 s.
Tiempo total en la ejecución del programa completo x 500. s
El espacio de memoria para los archivos principales:
INPUTDATA 4.608 Bytes•
BODY_CORD 36.096 "
CORRIHD_2D 124.. 928 "
CORRIMD2DB 123.904 "
Plo_dibuje 16.640 "
FIGURAS 4.352 ' "
CAPITULO V
ANÁLISIS DE RESULTADOS
5-1 KjejmlQ-S de QJ
En el presente capítulo, se presentan los resulta-
dos obtenidos para algunos de los problemas .que se han re-
suelto en un computador HP9896, Serie 200 } para comprobar
el correcto funcionamiento del programa.
Los programas se han corrido para varios conjuntos
de datos, con el fin de comprobar su eficiencia y hacer un
análisis de la exactitud de las soluciones en función de la
partición. Y en todos los. casos, los resultados obtenidos
han sido satisfactorios.
Los resultados impresos por la computadora no'
constituyen siempre una respuesta final al problema. Se
deben interpretar los resultados para ver qué es lo que
significan en términos de las combinaciones de metas, del
sistema propuesto.
Realmente, no se puede ' asegurar totalmente la
convergencia a la solución exacta, puesto que nunca podrá
alcanzar el verdadero valor mínimo de energía, ya que, los
elementos utilizados solamente, aproximan el principio de
- 97 -
tninlmización de la energía potencial total; independiente-
mente de lo tupida que sea la subdivisión; ya que la fun-
ción de forma reduce les infinitos grados de libertad del
sistema, y además no cumple con los requerimientos de
continuidad entre elementos.
El estudio numérico es aplicado a la detección de
grietas ( o fallas ) en un medio material de cuatro
materiales, como son: cobre, plomo, plata y aluminio, que
consisten de placas de 8 cm de largo por 1 cm y 3 cm de
altura. Las FIgs. 5.1 y 5.2 muestran mallas de EF generadas
con 104 nodos y 84 elementos rectangulares de tamaño,más
reducido en las cercanías del sensor y fallas, donde se
espera grandes variaciones de las corrientes inducidas.
En el presente trabajo se ha ejecutado el programa
en computador para dos ' tipos de sensor: una bobina
consistente de una espira circular, ubicada sobre la. placa
( ver Figura A.3 del Apéndice A ); y una lámina de
corriente como se muestra en la Figura A. 2 del mismo
Apéndice.
Analicemos primero los resultados obtenidos para
el caso de la bobina de excitación: Las Figs. 5.3 a 5.7
muestran los contornos o líneas de corriente inducida
debido a la intensidad de campo magnético efectivo H(rms)
para cuando el material no presenta ninguna falla, y el
sensor se ecuentra directamente sobre el material en su
par be inedia como denota el círculo en las figuras ,
- 98 -
Las Figs. 5.8 a 5,33 muestran las líneas cíe co-
rrientes inducidas (rms) para cuando existe una grieta en
el material, alineada bajo el sensor, y la cual va crecien-
do desde 10% a 100% del espesor del material. Nótese en es-
tas figuras que las corrientes son perturbadas notablemente
por la presencia de la falla. Las Figs . 5.34 a 5.38 mues-
tran la variación relativa de la resistencia en el sensor,
(Ro - Ri)/Ro, en función del tamaño de la grieta ( R0
denota la resistencia calculada para el material sin fa-
lla) . Mótese que la resistencia medida ( Ri ) decrece en
forma pronunciada conforme aumenta el tamaño de la grieta.
Las Tablas 5.1 a 5.5 muestran los valores obtenidos del a-
nálisis numérico del problema.
Para una grieta de 6 inm ( 60% ) en el caso de la
placa de 10 inm de altura y 18 muí en el caso de la placa de
30 mm de altura y no alineada con el sensor, las Figs. 5.39
a 5.62 muestran las líneas de corrientes inducidas para
desplazamientos laterales del sensor. Para desplazamientos
mayores a 15 mm para la placa de 10 mm de espesor ( archivo
PRUEBA0 ) y mayores a 25 mm para la placa de 30 mm de espe-
sor ( archivo PREUBA1 ), el'sensor no detecta a la falla y
la distribución de corrientes e impedancia es similar "a
cuando no existe una grieta (.Figs. 5.3 a 5.7 ). Las Figs.
5.63 a 5.67 muestran la variación de la resistencia rela-
tiva (Ro - Ri)/Ro. con respecto a la posición lateral del
sensor, donde se aprecia la importancia de la posición la-
teral del sensor relativo a la falla. Las Tablas 5.6 a
5.10 presentan un sumario de los resultados numéricos en-
contrados .
- 99 -
Finalmente las Figs. 5.68 a 5.77 muestran las
líneas de corrientes inducidas (rms) para grietas internas
de 4 y 5 mm de espesor para el caso de la placa de 1 cm.de
espesor y de 18 mm y 15 mm de espesor para el caso de la
placa de 30 mm de espesor y rio alineadas con el sensor. En
este caso, el valor de ( Hr - H** ) en la frontera es
desconocido y calculado en el análisis. Nótese que la
grieta perturba sustancialmente a las corrientes indu-
cidas con respecto al material sin falla ( Figs. 5.3 a
5.7 ).
Ahora analizaremos los resultados obtenidos para
el caso de la lámina de corriente como sensor de excita-
ción : Las Figs. 5.78a 5.81 igual que el caso anterior
representan los contornos de las corrientes de inducción
para cuando el material no presenta ninguna grieta, y el
sensor se encuentra directamente sobre el material en su
parte media como se denota con un guión en las figuras
nombradas.
Las Figs. 5.82 " a 5.105 muestran las corrientes
inducidas para cuando existe una grieta en el material,
o 1ineado bajo el sensor, y la cual va creciendo desde 10% a
100% del espesor del material. Notándose en estas figuras
las perturbaciones de las corrientes en presencia de la
grieta. Las' Figs. 5.106 a 5.109 muestran la variación
relativa de la resistencia en el sensor, (Ro - Ri)/Ro, en
función del tamaño de la grieta. Nótese que la resistencia
medida ( Ri ) decrece en forma pronunciada conforme aumenta
- 100 -el tamaño de la grieta, esto tan solo para el caso de la
placa de plomo; mientras que, para los otros materiales
ésta resistencia Ri en las primeras medidas de este valor
crece,, para luego decrecer en forma pronunciada conforme
aumenta el tamaño de la grieta. Las Tablas 5.11 a.5.14
muestran los valores obtenidos para este caso en el análi-
sis numérico del problema.
Para una.grieta de 18 mm ( 60% ) y no alineada
con el sensor, las Figs . 5,110 a 5.128 muestran las líneas
de corrientes inducidas para desplazamientos laterales del
sensor iguales a 20 mm, 10 mm, 5 mm, 3 mm, 1 mm respecti-
vamente. Para desplazamientos mayores a 25 mm; el sensor no.
detecta a la falla y la distribución de corriente e impe-
dancia es similar a cuando no existe una grieta ( Eigs
5.78 a 5.81 ). Las Figs. 5.129 a 5.132 muestran la varia-
ción de la resistencia relativa (R0 - Ri)/Ro, con respecto
a la posición lateral del sensor, donde se aprecia que para
la placa de cobre y plata la resistencia Ri sufre un aumen-
to para luego adquirir los valores esperados. Esto se ex-
plica, debido a que inicialmente por la presencia de la
grieta existe un aumento considerable de la potencia disi-
pada debido a que las corrientes inducidas tienen que re-
correr un camino mayor que cuando el material se encontra-
ba sin falla; mientras que para la placa de plomo y alumi-
nio se tiene tan solo el efecto de la disminución de ( R-x )
debido a la ausencia de material por la presencia de la
grieba en el material.
- 101 -En las Tablas 5.15 a 5.18 se presenta un sumarlo
de los resultados numéricos encontrados del análisis del
problema.
Finalmente las Figs. 5.133 a 5.148 muestran las
líneas de corrientes inducidas para grietas internas de 18
y 15 mía y no alineadas con el sensor. En éstos últimos ca-
sos, el valor de ( Hu = Hr* ) en la frontera es descono-
cido y calculado en el análisis. Se nota además, la per-
turbación sustancial de las corrientes inducidas con res-
pecto al material sin falla ( Figs. 5.78 a 5-. 81 ).
Los resultados obtenidos cencuerdan satisfactoria-
mente con la teoría y además con resultados •obtenidos por
métodos convencionales. 'Cumpliéndose, así, todos los pun-
tos planteados para la elaboración de esta tesis de grado.
5.2 Análisis de Error.
Los errores introducidos en la solución de EF de
una ecuación diferencial dada pueden ser atribuidos a tres
motivos básicos:
1. Error de contorno: Error debido a la aproximación del
dominio.
2 . Errores de cuadratura y aritmética finita: Errores de-
bido a la evaluación numérica de integrales y al cál-
culo numérico en un computador.
3. Error de aproximación: Error debido a la aproximación de
la solución.
- 102 -
En problemas 2-d propuestos en dominios no rectan-
gulares, los errores de aproximación del dominio ( o con-
torno ) se introducen en los problemas de elementos fini-
tos. En general, estos errores pueden ser interpretados
como errores en la especificación del dato del problema,
pues estamos resolviendo la ecuación diferencial dada en un
-dominio modificado. A medida que refinamos la malla, el
dominio es más exactamente representado, y por lo tanto,
los errores de aproximación de contorno son considerados
aproximadamente cero .
Guando los cálculos de elementos finitos son eje-
cutados en un computador, los errores de redondeo y errores
debido a la evaluación numérica de integrales se introducen
en la solución.
En la mayoría de problemas lineales con un razona-
blemente número pequeño de grados de libertad totales en el
sistema, estos errores son supuestos pequeños comparados
con los errores ds aproximación-.
El error introducido en la solución de EF un por
motivo de la aproximación de la variable dependiente u es
inherente a cualquier problema.
H n ce> <e>
M
- 2 U i (Si
donde M es el número de elementos en la malla, M es el nú-
- 103 -
mero total de nodos globales, y n es el número de nodos en
un elemento. Deseamos conocer cómo el error E ~ u - Uh,
medido en un camino significativo, se comporta a medida
que es incrementado del número de elementos.
5 . 3
Se ha dado en esta sección el desarrollo del in-
greso de datos al CQRR1ND_2D y partes de la salida del pro-
grama para algunos ejemplos del problema. Los problemas de
ejemplo son seleccionados para ilustrar la capacidad y op-
ciones aprovechables en el programa CORRIND_2D. Una mayor
limitación del programa consiste en la. generación de la
malla [ es decir; los cálculos de las matrices Node(I,J),
X(I);Y(I) ] para dominios no rectangulares. Para problemas
que impliquen dominios no rectangulares se necesita ingre-
sar la información de la malla ( que puede ser un trabajo
tedioso si se usan muchos elementos ). Por supuesto, el
programa puede ser modificado par aceptar cualquier otra.
subrutina de generación de malla. Otras limitaciones meno-
res ( que pueden ser superadas fácilmente modificando por-
ciones del programa ) fueron discutidos en la sección ante-
rior .
Se puede modificar ciertas partes del programa
para desarrollar un programa de EF que pueda ser usad o. par a
la solución de problemas más especiales o generales. No nos
olvidemos de que un paso fundamental del análisis de EF de
un problema es formular el modelo de EF de las ecuaciones y
- 104 •-
seleccionar las funciones de interpolación apropiadas. Las
matrices elemento pueden ser programadas con facilidad
modificando apropiadamente las sentencias en Stiffg.
Las aplicaciones realizadas en este trabajo se han
hecho sólo con mallas de elementos finitos rectangulares
con características del material ( permeabilidad magnética
y conductividad eléctrica ) consideradas constantes en
todo el material, el material es una placa uniforme y por
tanto el tipo de mallado es uniforme; las frecuencias de
excitación son tan sólo usadas de 60 y 10 Hz3 y una
corriente de excitación de 1 A; -las dimensiones del sensor
deben cumplir con las condiciones que se- plantearon para
deducir la fórmula reducida del campo magnético de
excitación a partir de la ley de Biot_ Savart.
COMENTARIOS Y RECOMENDACIONES
La finalidad.j cual es, la de obtener por medio del
análisis numérico del método de elementos finitos las co-
rrientes de eddy y la variación de la impedancia del sensor
con la presencia de una grieta en un material metálico ha
sido obtenida satisfactoriamente.
En la generación del mallado se ha escogido la
forma y tamaño de los elementos, de manera que su aproxima-
ción sea la más exacta posible.
Los programas han sido exhaustivamente comproba-
dos, el análisis se ha hecho en base a conceptos generales
de las corrientes de eddyf y los resultados obtenidos han
sido totalmente satisfactorios.
Resulta engañoso, tomar en cuenta los errores ab-
solutos o relativos} para hacer un análisis de los resulta-
dos obtenidos. El análisis de EF en dos dimensiones "permite
incluir geometrías irregulares en el planteamiento del pro-
blema. Se puede según esto, localizar concentraciones de
corrientes de eddy en sit.ios críticos ( por ejemplo cerca-
nos a una discontinuidad o grieta )'., analizarlos y diseñar-
los para compararlos con procedimientos convencionales.
Para ulteriores estudios, se deberán considerar
- 106 -
otros efectos, como es, trabajar con materiales de ensayo
ferromagnéticos, en las que se consideren la saturación
magnética ( sistemas no lineales ), y el análisis del pro-
blema en tres dimensiones. Además considerar piesas metáli-
cas de geometrías complejas. El proceso de elementos fini-
tos, puede incluir dichos factores y evaluarlos.
En cuanto a la discretización del dominio de
estudio., también se puede probar con otros _ tipos de
elementos finitos ( triangulares o rectangulares y
triangulares a la vez ) que requiere un tratamiento
especial.
El programa de computador CGRRIND_2D ó CORRIND2D
( ver listado del programa en el Manual de Uso del Pro-
grama ) puede ser usado para resolver tipos, de problemas de
soluciones estables, aplicando condiciones de borde
apropiadas; que tienen como ecuación del sistema a resolver
del tipo de la ecuación (1.13).
Los resultados encontrados en el presente trabaj o
concuerdan puntualmente con los valores presentados en la
literatura. El presente análisis constituye entonces un
paso fundamental para el adecuado entendimiento del fenóme-
meno de las corrientes inducidas y. su aplicación en .los
ensayos no-destructivos en nuestro país.
T A B L A S
M A T E R I A L E S :
- COBRE
- PLOMO
- PLATA ' •
- ALUMINIO
EXCITACIÓN;
- BOBINA ( PROG: CORRIMD2DB )
- LAMINA DE CORRIENTE ( PROG-: CORRIMD_2D )
PLACAS DE:
- LARGO 8 cm ALTURA 1 cm ( ARCHIVO: PRUEBA0.)
- LARGO 8 cm ALTURA 3 cm ( ARCHI\0: PRUEBA1 )
- 108 -
TABLA 5,1
Resultados del PRQG; CORRIÍ1D2DBGrieta Alineada con la Bobina
f = ¿0 Hz, I = i AMaterial Cobre} |ir =
1 AlturaGrieta
e102040¿8es
160
Pot.Disip.( W J
3.14361E-0B3.ÍÍ598E-083.04Í94E-S32.76376E-082.27586E-88I.63950E-0Bi,3'M54E-88
Energ.Nsg.( J )
I.8383ÍE-091.8295BE-891.82783E-B91.82289E-09L.81777E-B9Í.8Í475E-B9Í.8Í421E-89
, Hesp = 1, R.999983, g =
Resistenciaí fl )
3.Í43&1E-883.Í159BE-B83.S4Í94E-832,7637¿E-282.27586E-S8I.6395BE-B81.34454E-88
=.081 A
5.7E7 V/Ara
Inductancia( a.s )
3.663ÓÍE-893.659UE-893.65565E-092.64578E-093.63554E-B93.6295ÍE-U93,W842E-B9
ÍR0-Ri)/Ro[ 1 }
0.6QOE+00
B.SSiEi-903,234E+081.208E+S12.760E+014.785E+0Í5,723Er0i
ÍOSX Al tu ra de la Grieta = 10 BÍ IB .
TABLA 5.2
Resultados del PROG; CORRIND2DBGrieta Alineada con U Bobina
í = 1S Hz, I = i A, Nssp = i, R = .003 fflHatsrial Cobra, jir = ,999983, ? = 5.7E7 V/Aa
'/, AlturaGrieta
Ü29406980
ÍSS
Püt.Disip.( W ]
8.77Í3BE-088.67397E-0S8.31261E-037.40803E-0B5.25Ü6E-I382.S6866E-88
Energ.Hsq,
( J !
2.78669E-072.7ü¿38E-97 •2.70565E-072,7B'167E-072.78377E-972.78347E-B7
Resistenciaí fl )
8.77I38E-Q88.67397E-088.3126ÍE-087.40803E-885.25116E-082.8É866E-98
Inductancia( a.s ]
5.41337E-075.4Í277E-375.4Í131E-075.40934E-075.49753E-075.40¿94E-07
(Ro-Rií /Ro( 1 }
9.000ET09
i.U0E*005.230E+081.554Et0i4.ai3E+ai6.730E-f01
100X Altura de 1a Grieta = 33 jan.
109.
TABLA 5,3
Resultados de! PRÜG: CORRIHD2DBGrieta Alineada con la Bobina
f = 10 Hz, I - i fHaterial Ploiao, jjr
l AlturaGrieta'
v328430080190
Pot.Disip.( H )
8.88Í89E-0Í7.86158E-397.44639E-09Ó.57182E-894.64033E-B92.54337E-09
Enero. Haq,( J 1
? 2.7B29BE-872.70298E-B72.7B297E-B72.70296E-9?2.7B296E-Q72.7S295E-07
\ Hesp = I, R= .999983, ff
Resistenciaí fl )
8.00189E-097.86153E-S97.44639E-S96.57-192E-094,64fl33E-892.54337E-69
= .303 a= 5E¿ V/Affl
Inductanciai fl.s )
5.40596E-075.40596E-075.49594E-075.4B593E-fl75.43591E-875.4059ÍE-B7
(Ro-Ri)/Ro( 1 }
B.flflflE+BB1.753E+BB6.942EÍ09i,7B8EiBi4.20iEi8i¿.822E+0Í
i Altura de la Grieta = 38 ÍSEÍ,
TABLA 5,4
Resultados del PROG; CORRÍND2DBBrieca Alineada con la Bobina '
f = IB Hz, ! = i ñ, Nssp = 1, R =.903 ¡afoteriai Plata, iir = .99998, u = ü.'ÍJ V/Aa
7. Altura
Grieta
82840b9 •
80108
Pot.Disip.
! tí )
9.33809E-0B
9.24U9E-B88.87QQ7E-00
7.91550E-B8
5.&I387E-BB3,0-i54!E-58
Energ.Hag,
í J )
2.7B717E-B72.7flfi84E-B72.78602E-97
2.79490E-87
2.7B387E-B72.70353E-07
Resistencia
í Q )
9.33B09E-BB9.24169E-08
8.87007E-38
7.9Í556F.-03
5.M387E-BB3.Q6541E-0fi
Inductancia
(f l .s)
5.4Í434E-B7
5.41368E-07
5.4Í284E-07
5.40981E-07
5.40775E-075.4070¿E-07
(Ro-RiJ/Ro( 1 }
8.00BEÍ00
Í.032E+805.0Í2E-Í-3Q
1.523EÍ01
3,9B8EfBi¿.7Í7E+0Í
183?. Altura de la firieta = 30 rata.
- 110 -
TABLA 5.5
Resultados del PROS; CORR1ND2DBGrieta Alineada
í = 18
1 Altura'Grieta
020406083I0B
Haterial
Pot.Disip.( H )
5.51ÓÍ7E-835.43400E-B85.17Í05E-884.59056E-083.23933E-B8Í.77323E-08
Hz, i = 1 A,Aluminio, pr
Energ.Hag.
222¿22
( J )
.72453E-07-7844BE-S7.704Í0E-07.70371E-57.7B336E-B7.70325E-37
Ne= i
con la Bobinasp = 1, R = ..00092, d = 3
Resistencia
5.5.5.4.3.i.
( a )
5Í617E-0843400E-B31H05E-0858056E-8323933E-0877323E-98
8•03 a5E7 V/A»
Inductancia
5c
5555
( fl.s ]
.40907E-07
.408S0E-07
.40828E-Í57
.40742E-07
.40Í73E-87
.40Ó5SE-07
[R
8.I.h,i.4.6.
o-Ri)/Ro( 1 }
00@Ei03490E+00257E+00696E+0ÍÍ28E+0Í785E+01
10flX Altura de la Grieta = 30 na.
TABLA 5.6
Resultados del PROB; CORRIHD2DB
Grieta No Alineada con la Bobina
f = ¿0 Hz, I = i A,
Haterial Cobre, pr =
PosiciónBobina
2I
.5 •
.3
.19
Pot.Energ.
[ W 1
3.Í4361E-08
3.09709E-08
2.80333E-93
2.54542E-082.30559E-282.27586E-0B
Enerq.Mag.
( J }
1.8303ÍE-39Í.82908E-39
1.82416E-B9Í.8288IE-091.81813E-09Í.8Í777E-09
, Nesp = i, R
.999983, tr =
Resistencia
( Q )
3.143&1E-B83.B97B9E-08
2.80333E-08
2.54542E-0B2.30559E-082.27586E-08
= .001 ¡a
5.7E7 V/Aía
Inductancia
( fl.s J
3.660Ó1E-09
3.658UE-093.M832E-09
3.64163E-093,63¿25E-093.63554E-09
(Ro-RiJ/R0
( 1 \G
1.488E+0Q
Í.082E+91
1.9B3E+012.¿66E-i-0i2.7¿6E+0i
Tamaño de'la Grieta = 6 ¡na.
- 111 -
TABLA 5.7
Resultados del F'RÜG: CORRÍÍI02DBGrieta No Alineada con la Bobina
t ~ 10 Hi, i = iMaterial Cobre, pr
PosiciófiBobina
32í.5.3.10
Fot.Disip,í « )
8.77138E-088.639IBE-BB8.082B9E-087,¿2¿¿3E-087.49415E-BB7.4Í749E-087.4B8S3E-08
Energ.Hag.í J 1
2.70669E-0?2.70Ó33E-372.70547E-072.7B492E-B72.7B477E-872.79468E-S72.7B467E-07
A, Nesp = 1, R= .999983, a =
Resistencia( fl 5
8.77138E-088.63910E-B8S,e-B209E-0S7.62663E-087.49415E-037.41749E-B87.488B3E-B8
= .093 a5.7E7 V/fla
Inductancia( fl.s J
5.4Í337E-075,4i26¿E-975,4I894E-e75.4B984E-075.40953E-075.4B936E-B75.40934E-87
[Ro-Ri)/R0( X )
0.000ET00
Í.588EÍ007.858Ef08Í.305E+911.456E+BÍÍ.544E4-0ÍÍ.554E+01
Taiüaño de U Grieta = 18
TABLA 5,8
Resultados del PRGG: CGRRIND2DBGrieta No Alineada con la Bobina
f = ifl Hz, I = I A, Hesp = i, R =.Haterial Ploaia, [ír = ,999983, u = 5E¿
PosiciónSensor
32 •i.5.3. í8
Fot.Disip,í H 1
B.flf5I89£-897.82415E-B97.23449E-B96.7B398E-896.65458E-096.58BI9E-09í,.57i02E-99
Enerq-Mag,í J) •
2.78298E-Ü72.70298E-072.70297E-672.70297E-072.73296E-072.7029¿E-872.79296E-07
Resistencia( fl ) .
3.0fli89E-097.824Í5E-997.23449E-096.73398E-09¿.¿5458E-096.58S19E-B96.571B2E-B9
Inductancia. ( 8.5 )
5.4S596E-S75.49596E-875.49594E-Q75.4ü=.93E-075.43593E-075.48593E-075.4B593E-07
(R.-RiJ/Ro( /- )
9.8Q0E-I-832.22ÍE+009.69SEÍ09I.622E+01l.tB4E+fli1.777EÍ01i.788Eí-ei
Taínaño de la. Grieta = 18 nía.
- 112 -
TABLA 5,9
Resultados del PñGG; CORRIND2DBGrieta No Alineada con la Bobina
PosiciónSensor
32ic
.3
.i9
f =Hats
Pot.Disip.( H )
9.33389E-039.20541E-08B.625Í5E-08B.Í4597E-0S8.00635E-087.9254BE-087.9Í550E-08
18 Hz5 i = 1 A,rial Plata, pr =
Energ.ííag.( J )
2.70717E-072.70678E-B72.70581E-072.70519E-072.78531E-072.70492E-872.78490E-S7
Nesp = 1, R,99998, ir =
Resistencia( fl )
9.33809E-889.2B54ÍE-088.62515E-0B8.14597E-0B3.80635E-BS7.92548E-087.9Í55BE-38
= .093 B6.1E7 V/Affl
InducUncia( Q.s )
5.4Í434E-075.4Í356E-075.41161E-075.4ÍB37E-975.41003E-075.46983E-975.40981E-07
(Ro-Ril/Ro( 1 }
0.QCI8E+0Í). í.42iEia07.635Et0SÍ.277E+01Í.426E+0Í1.513E+0I1.523EÍ0Í
taíiaño de la Grieta = 18 m.
TABLA 5.Í0
Resultados del PROS; CORRIHD2DBGrieta No Alineada con la Bobina
f = 19 Hz, I = 1 A, Nesp = 1, R = MI /aHaterial ftliuainio, pr = í.^8002, a = 3.5E7 V/Au
PosiciónSensor
321.5,3.19
Pot.Disip.( ti ]
5.516Í7E-085.40974E-0B5.02519E-084.723S4E-064.63Ó86E-0S4.'58¿74E-084.5835ÓE-93
Energ.fíag,í J )
2.78453E-872.7043BE-072.78403E-872.793¿iE-672.7B375E-072.70371E-072.7337ÍE-07
Resistenciaí fl )
5.5Í6Í7E-3B5.40974E-035.02519E-084.723S4E-8B4.Ó3686E-834.58674E-084.5895dE-88
Inductancia' ( fl.s )
5,48987E-075.48876E-975.408fl5E-075.48762E-375.40758E-075.40743E-075.46742E-87
ÍRD-RiJ/Roí Z )
0.000E-K39i.929Ei698.901E+001.436E+8I1.594E+81Í.885E+6Í1.696E+0Í-
de la Grieta = 18 sus.
113 -
TABLA 5.11
Resultados del FROG: CORRINDJDGrieta Alineada con el Sensor
= 68 Hz, í = í A, Lsens = .1 rc, Asens = .006 aHaterial Cobre, pr = .999933, a = 5.7E7 V/An
7, AlturaGrieta
0102&406089100
Pot.Disip.í a )
2.50988E-BB2.53625E-082.¿0767E-882.77825E-S82.68354E-S82.25348E-082.38077E-0S
Energ.Mag.( J )
2.92418E-184.42947E-392.84549E-104.29839E-B94.Í8853E-894.13272E-394.12527E-69
Resistencia( fi )
2.50983E-082.53625E-882,óe767E-682.77825E-082.&8354E-882.2534SE-082.08§77E-0S
Inductancia(.fl.s )
5.84821E-188.85B94E-095.69B97E-108.59677E-898.37706E-998.56344E-9?8.25954E-09
ÍR0-Ri)/R0í X }
@.868E+flfl-l.flSiEtBB-3.896E+0Q-Í.B51E*00-¿.919E+8Í1.022EÍ011.710E+01
1307. Altura de la Grieta =
TABLA 5.Í2
Resultados 'del PRQG: CORRINDJDGrieta Alineada con el Sensor
'/i Al turaGrieta
0IB20486880
160
i =
Pot.Disip.[ y )
2.73443E-02.76394E-62.B45IBE-B3.054Í9E-02.97533E-92.W97E-02.2U71E-0
¿0 Hz, I = í A, Lsens = ,1 E, Asens = .006 oñaterial Plata,
Eíierg.Haq.
( 0 )
8 3.3182SE-1018 3.29649E-1B'3 3.2330BE-10.8 3.02154E-Í018 2.ÓÓÍ45E-Í0•8 2.40755E-10.8 4.13002E-89
pr = .99998, tt =
Resistencia
( ü )
2.73443E-082.76394E-982.84513E-0B3.05419E-0B2.97533E-082.44797E-082.2Ü7ÍE-08
6.1E7 V/Aís
ínductancia
( Q.s ]
¿.¿3656E-106.59293E-10¿.4760IE-106.fi43tí9E-i05.32299E-194.5Í8UE-108.26694E-(i9
(Ro-RJ/Ro( 1 )
0.0B0E+00-L877E^30-4.848Ei89-Í.U9E*ai-8.8B8E-1-86
Í.048E+0Íi.912Eiei
10Ü7, Altura de la Grieta = 3fl m.
I o
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r-'s
Cf-
ca
— i
10
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csí
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CQ
esa
r—
co
115 -
TABLA 5.15
i = 68
Resultados del PRQB: GORRINO JDSrieta Ho Alineada con el Sensor
Hz, I = i ñj Lsens = .1 a, Asens = .006 aHatería! Cobre, pr =
PosiciónSensor
2ie "
.3
.19
Pot.Disip.í % }
2,547¿7E-S82.69142E-832.69315E-B82.689BBE-B82.68333E-882.68354E-88
Enerq.ílaq.( J )
4.45239E-394.4B73ÍE-094.31445E-094.25933E-094.2B424E-094.I8S53E-fl9
,999983, ct = 5
Resistencia( fl )
2.54767E-8S2.69Í42E-082.69315E-BB2.689S0E-982.6B3S3E-S32,¿8354E-88
,7E7 V/fta
índüctancial-fl.s )
S,[email protected]Í47ÍE-39S,¿2898E-998.51S65E-098.4S849E-093.37706E-B9
(Ro-Ril/Ro( 1 )
3.B8BE+08-5.642E+90-5.7I8E+0S-5.547E+00-5.344E-Í-98-5.333E+09
Taciaño de la Brieta = 18
TABLA 5.U
Resultados .del PR06¡ CORRINDJOGrie ta No A l ineada con el Sensor
í = 6S H z , I = i A. Lsens - ,í u, fisens = ,9B¿ etííatBrial Plata, JIP = .99998, v = 6.1E7 V/ftm
PosiciónSensor
n
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Pot.Disip,í % }
2.7899ÍE-082.9722ÓE-S82.98396E-B82.988B4E-0B2.97558E-682.97533E-08
Enerq.fiag,í J )
4.48833E-S94.445B4E-B94.34454E-B94.28338E-894.22194E-092.66145E-Í9
Resistenciaí fl )
2.7899ÍE-082.97226E-S32.93396E-032.98084E-082.97558E-082.97533E-08
ínductancia( fl.s }
B.97Í65E-098.89388E-098.689C7E-09B.56675E-098.44388E-993.3229ÜE-10
ÍR0-Ri)/RQí 7- }
0.880E*8tJ-6.549E+00-6.959E+09-6.847E+00-6.659EÍ00-¿.650E+00
Táfiiafío de la Grieta =-18
- 116
TABLA 5.17
Resultados del PROG: GORRINO JDGrieta No Alineada con el Sensor
f = 69 HZj I = i A, Lsens = ,1 m, Asens = .006 niHaterial Aluminio, ¡ir = 1,00002, j = 3.5E7 V/Am
PosiciónSensor
21.5,3.10
Pot.Disip.í H )
2.78527E-882.594B7E-B32.4/417E-682.4379&E-082.41597E-082.41353E-08
Energ.Hag.( J )
4.34431E-094.29133E-094.22I99E-094.Í8635E-094.152¿3E-091.9027ÍE-I0
Resistencia( a )
2.70527E-082.594B7E-082.47417E-SS2.4379¿E-082.41597E-082.41353E-08
Inductancia( iU J
8.6B862E-093.58263E-998.44397E-898.37270E-693.30526E-893.S9542E-10
(Ro-Ril/Roí 1 }
0.30SEI004.U0E+00B.543E+G09.8S1EÍ00i,SÓ9E+0il,316EiSI
Taiiiaño de la Brieta = 18 m.
TABLA 5.18
Resultados del PROG: GORRINOJDBrieta No Alineada con el Sensor
f = 68 Hz, I = 1 A, Lsens = ,1 iü, Asens = .606 siHaterial Plaao, pr = .999983, a = 5E¿ V/Aa
Posición
Sensor
2
i.5.3.10
Poc.Disip.
( K )
9.36Í53E-09
7.51669E-096.49217E-09
6.2133BE-09
6.95769E-096.03907E-Í39
Energ.Hag,
í ¿ }
1.76239E-10
L74335E-10.
Í.73455E-Í0
I.73229E-Í0
1.73106E-I01.73091E-10
Resistencia
"í f l 1
9.36153E-39
7.5I669E-096.49217E-09
6.2Í338E-09
6.05769E-99¿.03907E-09
ínductancia
( ft.s ]
3.52479E-10
3.4BÍ69E-I0
3.4Í91BE-10
3.46457E-103.46213E-IB3.461S3E-I0
(RB-Ri)/Roi X )
0.606E-i-Gg
1.971E+013.365E+81
3.363E+0I
3.529E+014.451E+9Í
de la Grieta = 18
F I G U R A S
R E S U L T A D O S G R Á F I C O S
M A T E R I A L E S :
- COBRE
- PLOMO
- PLATA
- ALUMINIO
EXCITACIÓN:
- BOBINA ( PROG: CGRRIHD2DB )
- LAMINA DE CORRIENTE ( PROG: CORRIMD_2D )
PLACAS DE:
- LARGO 8 cm ALTURA 1 cm ( ARCHIVO: PRUEBA0 )
- LARGO 8 cm ALTURA 3 cm ('ARCHIVO: PRUEBA1 )
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Figura 5-1 Malla de Elementos Finitos para Análisis de Corrientes
Inducidas en Placa Metálica»
N. de elementos = 8¿í-, .
N. de nodos =
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Max: .0333551557074;
Intervalo: .00933551557074
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Intervalo:
.BG4365765798.
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Figura 5-10 Líneas de
- Corriente Inducida para Material de Cobre
con Grieta de
Altura 4 mm,
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Figura 5.1 A Líneas de Corriente Inducida para Material de Cobre con Grieta de
Altura 6 mm.
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Figura 5-16 Líneas de Corriente Inducida para Material con Grieta de Altura 18. mm.
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Figura 5-1? Líneas de Corriente Inducida para Material de Cobre con Grieta de
Altura 24- mm.
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Figura 5-18 Líneas de Corriente Inducida para Material de Cobre con Grieta de
Altura 30 mm.
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Figura 5-19 Líneas de Corriente Inducida para Material de Plomo con Grieta de
Altura 6 mm.
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Corrientes Inducidas RhS
Mín: 0;
Max; .0908656301566;
Intervalo: .00908656301566.
Nx:13
y Ny:8
Figura 5.20 Líneas de Corriente Inducida para Material de Plomo con Grieta de
Altura 12 mm.
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Figura 5-21 Líneas de Corriente Inducida paraMaterial de Plomo con Grieta de
Altura 18 mnu
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Figura 3.22 Líneas de Corriente Inducida para Material de Plomo con Grieta de
Altura
2k
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censor
Cor-rientes
Inducidas
RMS .
Hín: 0;
Max: .0343303781166;
Intervalo: .003433037B1166.
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Figura 5»23 Líneas de Corriente Inducida para Material con Grieta de Aliura 30
Material de Plomo
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Altura 6 m
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Figura 5.25 Líneas de Corriente Inducida para Material de Plata con Grieta de
Altura 12 mnu
Sensor.
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Corrientes Inducidas RMS
Max: 1.03753063132;
Intervalo: . 1037530S3 i 92.
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Figura 5-2? Líneas de Corriente Inducida para Material de Plata con Grieta dé
Altura 24- mm.
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Figura 5.28 Líneas de Corriente Inducida para Material de Plata con Grieta de
Altura 30 mm.
Sen
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Altura 6 mm.
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Intervalo:
.0537015482204.
Nx : 1 3 y Ny : B
•Figura 5>3^ Líneas de Corriente Inducida para Material de Aluminio con Grieta
de Altura 18 mm.
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Corrientes Inducidas RM5
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0;
Max: .482230062833;
Intervalo: .04B22300G2833.
Nx:13 y Ny:8
Figura 5-32 Líneas de Corriente inducida para Material de Aluminio con Grieta
de Altura
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de Altura 30 rom.
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Material de Cobre para placa de 30 mm de Altura.
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Max: 1 .044613733 1 8;
Intervalo: .1044G1379318.
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Ny:B "
Figura 5'3 Líneas de Corriente Inducida para material de Cobre con Grieta de
Altura 18 mm y sensor desplanado 20 mm.
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Altura 18 mm y sensor .desplazado 5 nim.,
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Max: .373522G74864;
Intervalo: .0373522674864.
Nx:13 y Ny:8
Figura 5*^6 Líneas de Corriente Inducida para Material de
Cobre con Grieta de
Altura 18 mm y sensor
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Altura 18 mm y sensor desplazado 1 mm. ¡
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O) en
Corrientes Inducidas RMS .
Mín: 0;
Max: .0327971757637;
Intervalo: .003273717G7S37 .
Nx:13 y Ny:8
Figura 5-^8 Líneas de Corriente - Inducida para Material de Plomo con Grieta de
• Altura 18 mm y sensor desplazado 20 mm.
Sensor
O) co
Corrientes Inducidas RMS .
Mín:
0;
Max: .0889088477428;
Intervalo: .00839088477428.
Nx:
i 3 y Ny:B
Figura 5»^9 Líneas de Corriente Inducida-para material de Plomo con Grieta
'de Altura 18 mm y sensor de-splazado 10 mm.
Sensor
en
Corrientes Inducidas RMS
Mín: 0;
Max: .0870074535207;
Intervalo: .00870074535207.
Nx : 13 y Ny : 8
Figura 5.50 Líneas de Corriente Inducida para Material de Plomo con Grieta
de Altura 18 mm y sensor desplazado
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Max : .0853528251016;
Intervalo: .00859628251016.
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Altura 18 mm y sensor desplazado 20 mm.
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Altura 18 mm y sensor desplazado 5
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de Altura 18 mm y sensor desplazado 3 rom.
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Figura 5.70 Líneas cíe Corriente Inducida para Material de Cobre con Grieta
Interna de Altura 18.mm
y Alineado opn el Sensor.
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Figura 5.?2 Lineas de Corriente Inducida para Material de Plomo con Grieta
Interna de Altura 18 mm y Alineado con el Sensor.
Sensor
Corrientes
Inducidas
RMS
hín: 0;
Max: .0304482283141;
Intervalo: .0030446228314 1 .
Nx : 13 y Ny : B
Figura 5.73 Líneas de Corriente Inducida para Material de Plomo con Grieta
Interna de Altura 15.mm y desplazado- 3flim.
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Figura ¿.76 Líneas de Corriente Inducida para Material de Aluminio con Grieta
Interna de Altura 18 mm y Alineado con el Sensor.
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Figura 5-?8 Líneas de Corriente Inducida para Material de Cobre sin Falla
Placa de 8 cm de largo y 3 cm de altura.
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Figura 5-82 Líneas de Corriente Inducida para Material de Cobre con Grieta de
Altura 3 mm.
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Max: .4GB928SB8083;
Intervalo: ,0468928688083,
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Max: .451083337383;
Intervalo:
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Figura'5.84- Líneas de Corriente Inducida para Material de Co"bre con Grieta de
Altura 12 mm.
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Figura 5.85 Líneas de Corriente Inducida para Material de Cobre con Grieta de
Altura 18 muí.
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Figura 5.88 Líneas de Corriente Inducida para Material de Plomo con Grieta de
Altura 3 flim.
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Altura.6 mm.
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Altura 12 mm.
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Corrientes Inducidas RMS
Mfn:
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Max:
.0560308262753;
Intervalo:
,00560308262753.
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Figura 5-91 Líneas de Corriente Inducida para Material de Plomo con Grieta de
Altura 18 mm.
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Altura 24- mm.
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Max: .312175233473;
Intervalo:
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Figura 5.98 Líneas de Corriente Inducida para Material de Plata con Grieta de
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Altura 18 mm y Sensor Desplazado 5 M
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Altura 18 mm y Sensor Desplazado 3 ^m.
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Altura 18 mm y Sensor Desplazado 1
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Max: .394191248297;
Intervalo: .0394191248297.
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Figura5.125 Líneas de Corriente Inducida para Material de Aluminio con Grieta
de Altura 18 m
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de Altura 18 mm y Sensor Desplazado 10 muí.
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FiguraB.12'7 Líneas de Corriente Inducida para Material de Aluminio con Grieta
de Altura 18 mm y Sensor Desplazado 5
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Sensor
Corrientes Inducidas RMS
Mín: 0;
Max: .232597923393;
Intervalo: .0292597323393.
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Figura5,131 Material de Plata con Grieta de 18 mra de Altura
VRRIBCION Ce ReSlSteNClR ReLRTIVR D£T SENSOR CON POSICIÓN DEL SENSOR
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Posición
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Sensor
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VRRIBCIOH DE R£S!STENCIR RELRTÍVñ De SENSOR CON POSICIÓN D£U SENSOR
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Figura5.135 Líneas de Corriente Inducida para Material de Co"bre con Grieta
Interna de Altura 15 mm y Sensor Desplazado 5 rom.
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Interna de Altura 18 mm Alineada con el Sensor.
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Figura5.13'3 Líneas de Corriente Inducida para Material de Plomo con Grieta
Interna de Altura 15 mm y Sensor Desplazado 3 mm.
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Max: .0887133510049;
Intervalo: ,00887139510049.
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Figura51¿;l Líneas de Corriente Inducida para Material de Plata con Grieta
Interna de Altura 18 mm Alineada con el Sensor.
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Mín: 0;
Max: ,505497938398;
Intervalo: ,0506497338398.
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Figura5.1 >-:
4 Líneas' de Corriente Inducida para Material
de Plata con Grieta
Interna de Altura 15 flim y Sensor Desplazado 10 rum.
^"Sensor
Corrientes
'Inducidas
RMS
Mfns
0;
Max: .348032584833;
Intervalo:
.0348382584833.
Nx:13 y NysQ
FiguraSj.¿1-5 Líneas de Corriente Inducida para Material de Aluminio con Grieta
Interna de Altura 18 mm y Alineada con el Sensor.
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Sensor
Corrientes Inducidas RMS
Mfn:
E;
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.352435432125;
Intervalo: ,3352435432125.
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Figura5.1-8 Líneas
'de Corriente Inducida para Material de Aluminio con Grieta
Interna de Altura 15 mm y Sensor Desplazado 10 mm.
APÉNDICE A
~->De terminar; ion del campo magnético , Hex. para una lámina de
corriente:
->Para determinar el campo magnético externo (HeaO
en el material,, considérese el siguiente análisis: En la
Figura A.l se representa el flujo de corriente en una
superficie conductora. Tal distribución se llama una lámina
de corriente; esta lámina es muy delgada en la direción y,
y l'a densidad lineal de corriente se especifica como Jit
[A/m].
Considerando un camino típico simétrico, como'el
indicado en la Figura A.l tenemos debajo de la lámina
Hz = % J y encima H2 = -% J. H* - 0 a causa de que no
puede haber campo magnético paralelo a una corriente, y
Hv = 0 por simetría. Por lo tanto, el campo magnético H de
una lámina de corriente de densidad lineal constante es
paralelo a la lámina (en dirección z)C103.
Figura A.l Campo magnético de una lámina de corriente.
- 267 •-
El campo magnético es creado por una lámina finita
dirigida en x a lo largo del eje z. Tomando en cuenta para
el cálculo del campo magnético sólo la componente en el eje
z . Considérese la siguiente distribución de material-sensor
y sistema de coordenadas:
5 e n so r
Figura A.2 Definición del Sistema de Coordenadas..
De la ley de Biot-Savart, se tiene
J ( r ' ) x ( r - r ' )dv' (A.l)
r - r' 3
268.-
donde,
r - i x -f o y : es la posición a un punto deprueba P.
r' = i x' + k z' : es la posición del sensor.
Definiendo:
J( r') = JL 6(y') i (A.2)
donde, por definición:
JL = I/L : es la corriente por unidad de longitud del sen-
sor .
Realizando el producto vectorial siguiente:
J ( r ' ) x ( r - r ' ) = JLo(y')x-x
O0y
0
= z'JL6(y')o + Y JL6(y')k (A.3)
Reemplazando (A.3) en (A.l):
y
[(X-X' )2+ y2 + 2'2]3/2
-.dx'dy'dz' (A. 4)
donde, 5(y') dy' = 1 , entonces:
Ha* = %C1/TC).
z' JL 3 + y -JL kdx'dz' (A.5)
La ecuación (A.5) en los limites de definición.
queda:
dx 'dz.
- 269 -
2'JL o'+ y JL k
De la ecuación (A. 6) se tiene que:
Desarrollando cada uno de estos términos:
(A.6)
2 ' JLdx'dz (A.7)
Haciendo el siguiente reemplazo :• z '=iT[(x-x' )2+ y2 ] - tgQ , e
integrando con respecto a z', se tiene:
dz'-[(x-x')2-f y2] tg8 sec:
C(x-x')a+
secE0dG
C(x-x'
sen8-•cos8 d8
[(x-x' cos8
sen8 d6
• • cos8
= 0
- 270 -
Por lo tanto Hy = 0.
Ahora calculamos
y JLdx'dz' (A-.8)
Desarrollando la integración con respecto' a zr } y realizan-
do el siguiente reemplazo: z' = /[(x-x')2+ y2] tg'9 ^ se
tiene:
ydz '= y
(x-x' sec2 6d9
SOC'
= y d9(x-x')2+ y2 sec39
Por lo tanto:
= y cos8 d8(x-x')a+ y:
35 TC
ycose de
(x-x')2+ y2 .
ysene
(x-x')2+ y
2y '
(x-x' )2~t- y:
- 271 -
2y JL
471
dx'(x-x
(A.9)
Haciendo : (x~x ' ) = y t
y dx' = -y sec29 d9
Entonces reemplazando se tiene:
y JL
2-K t
y JL
2ir
-y sec*d9
~y sec'
y sec"de
x-x
y
x-x
2TC ys
Por lo tanto:
JL
2rc{ tg-i( ) - tg-i(
y) }
y(A.10)
En la que: = (0,0,HJB(x,y) )
Determinación del campo magnético. H.e . de excitación deana .Bobina.:
Para el cálculo se considera que el campo mag-
nético creado por la bobina.( espira ) colocado sobre el
material ( placa ), tiene sólo la componente a lo largo del
eje Z ( ver Figura A.3 ).
- 272
Figura A.3 Definición del sistema de coordenadas.
donde, b: es el radio de la bobina.— > _>OA: es el vector a origen centro de. la bobina p-.— > —>OB: es el vector posición en bobina r.— > — >OC: es el vector posición en material r0.
DelaleydeBiot-Savart:
' . d l x ( r 0 - r )O (A.11)
-> -> 3ro ~ r
donde,
ro - r = OC~>
= ro— >
- r0
- (— >
di - b d6 ee
OB = BC— > — >OA - AB— > — >p — b
— > — >- p ) - b
b dG(--i senG + cos9 )
b = b
Como :
r0 - p
- 273 -
= (x0 - xp)i + (y0 - yP)j
Definimos:
r0 - p = x i + y j (A.12)
Entonces:
d l x ( r o - r ) - d l x ( ( r o ~ p ) - b )
= di x ( r0 - p ) - di x b
i 3 k
-sen8 b d8 cosS b d8 0/ \ \
-b d8 ee x b e*-
-[-(yo-yp)sen0bd6-cos(Xo-Xp)bd8]k
+ bad9k-
-[b2-cos8(xo-x]? )b-sen8(yo-yp)b]d8k
(A.13)
donde, ee x e^ - -k
ex- - i cos8 sen8
— > — >r0 - r = (XO-XP)Í + (Yo-yP)3 - ber
- (XO-XP)Í + (yo-yp)o ~ b cosG i - b sen8 j
=(xo-xp-b cos8)i + (y0-yP-bsen8)o
Entonces:
-> -> 3
ro - r 2 + (y0-yP-bsen8)2]3/2
(A.14)
- 274 -
Reemplazando en la ley de Biot-Savart ( A . 11) las ecuaciones
( A . 13) y (A . 14), se t i ene : - -
areP [b2-cos8(xo-xp )b-sen8(y0-yp)b]d8 kM.O!
-4ic
.Y reemplazando (A. 12)., se t iene:
]3/2
2TC
Uolb
4Tt J
Si Ax f Ay » b , entonces:
[io I b2 (2ir)
[b - Ax-cos8 - Ay-senS]
P.O I
2R3(A.15)
donde, R = ( Axa+Ay2 )>á
y considerando un número N de espiras de la bobina, se tie-
ne :
o I b2 N
(A. 16)
APÉNDICE B '
itemático del Teorema de Povnting:
Utilizando las ecuaciones de Maxwell, representa-
das en su forma diferencial vectorial, puesto que se traba-
ja en un medio continuo, en forma generalizada, es decir el
medio que tiene parte conductora. La primera y segunda e-
cuaciones de Maxwell son las siguientes:
V x H = Jo + € 3E / ¿t (B~. 1)
- V x E = -u. SH- / at (B.2)
Entonces :
Jo = V x H - 6 c)E / 3t [A m-2] (B.3.)
donde, €: es la permitividad absoluta [Farad/m].
Jc: es la densidad de corriente de conducción.
Multiplicando escalarmente por E, se tiene:
_> _> _> —> —> •—>E • Jo = E • ( V x H ) -• € E • SE / "dt [W.m-3] (B.4)
donde, E - Je es la densidad de potencia volumétrica.
Utilizando la siguiente igualdad:
V-(E x H) = H-(V x E) - E-(V x H) [W.m-3] (B5)
Entonces:
E-( V x H^ = H-( V x E ) - V-( E x H ) (B.6)
Sustituyendo (B.6) en (B.4), se tiene:
E*- jl = H-(VxE)-V-(E x H)-€ E- ¿>E / St [W.m-3] (B.7)
- 276 -
Con la ecuación (B.2), entonces.:
E • Jo = -M. H • ¿H / Bt - 6 E • E / £t - V-(E x H) (B.8)
Las derivadas con respecto al tiempo, del segundo miembro,
se puede escribir como:
E • 2> E / bt .= \2/ "bt. (B.10)
donde, H 2 - H - H y E 2 = E - E
Entonces :
— > — > — > — > — >E • Jo = -%|JL ^H2/ 7)t - %€ E / bt - 7 • ( E x H ) (B.ll)
— > — >H2 + ^e E2)/ 7>t - V • ( E x H )
we = ^e E2 [J/m3] . (B.13)
donde, Wm : es la densidad de energía magnética. .
We: es la. densidad de energía eléctrica.
Con el objeto de tener potencia, integrando en un volumen
los dos miembros, queda:'
— > — >(E * jc)dv = -c a/ E2)dv- x H)dv
(B.14)
El primer miembro con signo positivo indica que
e's la potencia consumida en el volumen considerado.
El primer término del segundo miembro, expresa una
energía eléctrica y magnética dentro del volumen; variando
con respecto al tiempo, pero en sentido negativo, lo cual
indica que llegará hasta cero; por tanto es energía ele'c-
- 277 -
tromagnética que se pierde conforme el tiempo transcurre.
El segundo término del segundo miembro, de acuerdo
a la ley de la conservación de la energía, debe ser la po-
tencia proporcionada al volumen, y que al tener signo nega-
tivo la divergencia indica que es entrante al volumen que
encierra la integral cerrada de superficie. Por lo tanto la
potencia consumida en el volumen y energía perdida en fun-
ción del tiempo en el mismo volumen, será proporcionada por
este término.
Usando el teorema de la divergencia:
r • (E x H )dv = O (E x H )dS [ W ] (B.15)
s
La integral de E x H sobre una superficie cerrada
representa la rapidez con que la energía electromagnética
atravieza la superficie cerrada. El vector E x H se conoce
como el vector de Poynting:
S = E x H (B.16)
— > ~->donde los vectores E y H son perpendiculares siempre; . por
lo tanto, el vector de Poynting S es perpendicular a cada
uno de ellos.
Considérese únicamente variación armónica de los
campos con frecuencia angular wt15^. El vector de Poynting
se define como:
- 278 -
Sw = % Ew x (l/u.)Bw (B.17)
entonces, Re Sw ~ < E x (l/n)B > (B.18)
donde el símbolo < ... > indica el promedio temporal,
Re Sw es el promedio temporal del flujo de energía por uni-
dad de área y tiempo.
Las siguientes relaciones:
< we > = 3$6 Ew • Ew = < %£ E • E > (B.19)
— > ..-.:*: — > — >
y, < wm > = %(l/|JL)Bw * Bw = < %(l/p.)B * B > (B.20)
representan los promedios temporales de las densidades de
energía en el campo eléctrico y magnético respectivamente.
Sea, Jiw - Jfw + o* Ew/ (B.21)
donde Jiw es la densidad " de corriente libre, Jf-w e's. la
densidad de corriente de las fuentes y aEw es la densidad
de corriente de conducción.
La relación: ' - '
— > —>>K * — > —>
< Pd > = %a Ew '- Ew = < a E * E > (B.22)
es el promedio temporal 'de la energía disipada por unidad
de volumen y tiempo, y
< Pf > - - Re{ ¿2 Ew * Jfvr } - - < E * J f >
(B.23)
es el promedio temporal de la energía entregada por las
fuentes por undidad de volumen y tiempo.
- 279 -
Se define Qr de tal manera que:
• Jfw = < Pf > ~ i Qf (B.24)
Por lo tanto Qf es la energía reactiva entregada por las
fuentes por unidad de volumen y tiempo.
Usando las ecuaciones de Maxwell en el "dominio de
la frecuencia:
V x Ew = i w Bw (B-.25)
y, V x (I/u.) Bw - Jiw - i w € Ew (B.26)
se obtiene:
V - Sw ='- <Pd> + <Pf> - i Qf - 2iw{<we> - <wm>} (B.27)
La parte real de esta ecuación es:
V - ( Re Sw ) = - <Pd> + <Pf> (B.28)
o en forma integral.:
<b Re Sw • dS = - <Pd>} dv (B.29)
Que quiere decir que: la energía media que sale de la su-
perficie cerrada S por unidad de tiempo, es igual a la e--
nergía entregada por las fuentes dentro de S por unidad de
tiempo menos la energía medi¿, disipada dentro de S por uni-
dad de tiempo.
La parte imaginaria.de (B.17) en forma integral
es :
— > - >
O - Im Sw ' dS =
- 280 -
+ 2 w( <we> - <wm>) dv (B.30)
La energía reactiva que sale de la superficie, ce-
rrada S por" unidad de tiempo es igual a la energía reactiva
entregada por las fuentes dentro de S por unidad de tiempo
mas la energía reactiva entregada por el campo electromag-
nético en S por unidad de tiempo.
La ecuación (B.29) da el flujo medio de potencia
usado para el cálculo de la potencia media radiada o las— >
pérdidas óhmicas dependiendo de si E es el campo parcial 'o
total. En lenguaje de circuitos representa una resistencia
equivalente, dada por:
REGL - Pdt / I 2 (B.31)
donde > • Pdt = > dv
La ecuación (B.30) es útil en problemas donde
consideremos la potencia de entrada en un material. El pri-
mer término del segundo miembro es entonces nulo, a causa— > — >
de que E y J están en fase. El segundo término representa
la energía eléctrica y el tercero la energía magnética.
Entonces:
— >Im ( V • Sw ) = 2 W ( Wni - We ) (B.32)
Si la corriente de desplazamiento es despreciable, . We es
despreciable y,
APÉNDICE C
Funciones de Interpolación.:
Existe una correspondencia entre el número y
ubicación de los puntos nodales y el número de incógnitas
primarias por nodo en un EF y el número de términos usados
en las aproximaciones polinomiales de una variable
dependiente sobre un elemento. En problemas 2-d de segundo
orden la correspondencia estre el número de nodos ( que es
igual al número de términos en la polinomial aproximada ) y
el grado de la polinomial no es única. Por ejemplo la poli-
nomial,
u(x,y)=ci+C2X+C3y (C.l)
contiene tres términos ( linealmente independientes ), y es
lineal en x y y.
De otro lado la polinomial,
u(x,y) = ci + C2x + cay + c^xy (C.2)
contiene cuatro términos ( linealmente independientes ),
pero es también lineal en x y y.
La primera requiere un elemento con tres nodos
( con una incógnita primaria por nodo ), y la segunda un
elemento con cuatro nodos.
Un elemento 2-d con tres nodos es un triángulo con
los nodos en los vértices' del triángulo. Cuando el número
de nodos es igual a cuatro, se puede elegir un triángulo
con el cuarto nodo en el centro ( o centroide ) del trian-
- 283 -
guio o un rectángulo ( o cuadrilátero ) con los nodos en
los vértices del rectángulo. Una polinomial con cinco
constantes es la polinomial cuadrática ( incompleta ),
u(x,y) - ci + csx 4- cay + c^xy + C5(x2 + yz) (C.3)
que puede ser usada para construir un elemento con cinco
nodos ( un rectángulo con un nodo en cada vértice y uno en
el centro'del rectángulo ). Similarmente la polinomial cua-
drática,
u(x,y) - ci 4- csx 4- csy 4- c^xy 4- csx2 + csy2 (C.4)
con seis constantes puede ser usada para construir un ele-
mento con seis nodos ( un triángulo con un nodo en cada
vértice y un nodo en la mitad de" cada lado ). Ejemplos de
elementos de tres, cuatro, cinco y seis nodos -son mostrados
en la Figura G.1.
Ao-
Figura C.1 Elementos Finitos en dos dimensiones.a) Un elemento de tres nodos.b) Elementos de cuatro nodos.c) Un elemento de cinco nodos.d) Un elemento de seis nodos.
- 284 -
Funciones de Interpolación Lineal para el Elemento
Rectangular de cuatro nodos:
Consideraremos la aproximación de la forma (C.2)
usando un elemento rectangular con lados a y b ( ver
Figura C.2 ). Por conveniencia, elegimos un sistema de
coordenadas local (5,1 ) para deducir las funciones de
interpolación. Asumimos que:
u(5, ) = ci + C2$ +cs^ + C4?t\ (C;5)
y requiere:
ui = u(0 ,0) - ci
ua = u(a,b) = c i +
u4 = u(0,b) = ci + C3b
Resolviendo para ci ( i = 1,2,3,4 ), obtenemos:
Cl
O 2
C3
C4
E=
"
" 1 0 0 0 "
1 a 0 01 a b ab1 0 b 0
-i
-<
Ul
U2
U3
L 4.
1
— ab
"ab 0 0 0 "-b b 0 0-a 0 0 a1-1 1-1
•
Ul
U2
U3
_U4
c i 5 n
(C.6)
(C.7)
Sustituyendo la ecuación (C.7) en la ecuación (C.5), obte-
nemos:
(C.8)
donde, = (l-?/a)(l-Vb)
04(5,
(G.9)
- 285 -
Las funciones de interpolación son mostradas en la
Figura C.2b, y se tiene que:
2 jai = 1 (C.10)
i,j = 1,2,3,4
rbT
i o--í T
Figura C.2 Elemento Rectangular Lineal y asociado a lasfunciones de interpolación.
a) Un elemento rectangular de cuatro nodo's.b) Funciones de Interpolación Lineal.
APÉNDICE D
Descomposición de Choleskj :
Según (3.43) se verifica; siendo a 13 los elementos
de [ A ] y uij los de [ U ], las relaciones:
- Para i - j :
1 2 1 - 1 2 2
aij = 2 Uki -> aii ~ 2 uiti + uiik=l k=l
" zun = V ( a ± 1 - 2 Uk± ) ' • (D.l)
- Para i o j :
i -i-laij = 2 ORÍ URJ ~> a±j - 2 Uki ukj + un uij
k=l k=l
1-12
k=l
(D.2)Uü
Expresiones que permiten -calcular la. matriz [U], una vez
obtenida la cual, el sistema (3.42) se reduce a:
[U] [U] {X} = {B}
cuya solución equivale a resolver los sistemas:
[U] (X. } = {B}
[U] (X) = {X }
lo cual se realiza de modo inmediato por un proceso de re-
monte . .
- 287 -
T '*
- Solución de [U] {X } - {B} :
i * 1 * ±-1 * . *b± = 2 uik xk - 2 Uki Xk = 2 uki XR + Uü xi
k=l k=l k=l
bi - 2k=l
- Resolución de [U] {X} = {X }:
* n n
xi = 2 u±k xk - 2 uik Xk + un xi
(D.3)
xi = - - (D.4)Uii
APÉNDICE E
Para la implementación en el programa de
computador de la potencia disipada, energía magnética y
corrientes de Eddy , basados en las ecuaciones descritas en
el Capítulo I se han realizado los siguientes cálculos
previos :
La potencia Disipada está dada por:
( I/o*) J9 J dv - ( I/a) [ ( )£+ ( )2 ] dv H
La energía magnética está dada por
dv = dv = \ I
donde, Hi> = He cos(wt) + Hs sen(wt)
El valor efectivo del campo magnético es:
(Hc2cos2(wt)+H92sen2(wt)-i-2HaHscos(wt)sen(wt)dt]
= H
- 289 .-
La energía magnética efectiva en un elemento es
Wm = (1/T) Wm dt
donde,
[ He cos(wt)+Ha sen(wt)]
[Ha2cos=(wt)+2HoHa cos(wt) sen(wt)
dQ,
COS2(wt)+ sens(wt) -
Entonces:
+ 2 He Hs dQa sen(wt) cos(wt)
eos2(wt) dt
sen2(wt)dt
+ 2 HcHa dv (1/T) cos(wt-) sen(wt) dt]
- 290
< Odonde , H r m a 2 Hrmsj ' -
J
HrinsJ - 0J )
Usando la Cuadra tura de G-auss-Legendre:
2 { 2iy=l d =1
• Jac
La energía magnética efectiva total para los Nem ele
mentos globales es:
— N era — &
Wm = 2 Wm
Las corrientes de Eddy están dadas por:
J ~ V x 0k
donde j
Y entonces:
J • J =
cos(wt) -f- sen(wt)
cos(wt) + J^c sen( wt )
cos(wt)
= Jv cos(wt) + Jy sen(vTt)
sen(wt)
Jy= - ( J;* cos( wt )4-J>c sen( wt ) )c a
+(Jy cos(wt)+Jy sen(wt))
- 291 -
La potencia disipada está dada por:
WE = (I/a) J*J dv = (I/a) dv s IaR
sen2(wb)dv
+ 2a s a 3
(JV J c + Jv JV ) cos(wt) sen(wt) dv ]
La potencia disipada efectiva es:
- (1/T) WE dt
( l / T ) c o s 2 ( w t ) dt Jyc )
( l / T ) s e n 2 ( w t ) dt +
+ 2 ( l / T ) c o s ( w t ) s e n ( w t ) (Jx
J
G e
Jy Jy )
2 2 2 2
>:G + Jxis ) + (Jvo + J-yst) ]
= (l/o-)[ dv
- 292 -
2 2
He *f He
Ahora bien:
Entonces: .
dv
Las corrientes inducidas efectivas están dadas por:
— ~^r *2 1¿•cL -c. *Jj
Jxr-ms — J>• — [Jx:c + J>cs] /*í 2
J Vi?ms — o y2
Jys
Puesto que: He = 2 Hi
x ) 2 ] /V2
-> í)Ho/¿)y =
HÍ Hi
HÍ
HÍ
Entonces;
2 2
H = 2 HV2
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