Programa Docente

CÁLCULO III E.T.S.I. Telecomunicación

Curso 2010 - 2011

Código de la asignatura: 305010201

Curso / Cuatrimestre: 2º Curso / 1º Cuatrimestre

Tipo: Troncal

Créditos Aula / grupo (A): 3 créditos (A)

Créditos Laboratorio / grupo (L): 1.5 créditos (L)

Nº Grupos A / Nº Grupos L: 1 grupos A / 3 grupos L

Departamento: Matemática Aplicada II

Área de Conocimiento: Matemática Aplicada

1. Profesorado de la materia

Nombre Profesor Código Créditos Despacho

Aurea María Martínez Varela (coordinadora) 395 4.5 L D202

Lino José Alvarez Vázquez 26 3 A D202

Los horarios de tutorías y los despachos de los profesores se pueden consultar en la sección Docencia y Personal de la página web del Departamento de Matemática Aplicada II http://www.dma.uvigo.es .

2. Horarios Los horarios de la materia se pueden consultar en la sección Docencia de la página Web de la E.T.S.I. de Telecomunicación http://www.teleco.uvigo.es/ .

3. Fecha de los exámenes oficiales Las fechas, horas y aulas de realización de los exámenes de la materia pueden consultarse en la página Web de la E.T.S.I. de Telecomunicación http://www.teleco.uvigo.es/.

4. Tribunal extraordinario Se puede consultar en la sección Docencia de la página Web de la E.T.S.I. de Telecomunicación http://www.teleco.uvigo.es/ .

5. Objetivos Conocimiento de los principales resultados del cálculo diferencial e integral de funciones de variable compleja. Desarrollo de las aplicaciones del cálculo integral en variable compleja y la obtención de la transformada en z.

Análisis de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias con especial atención a las ecuaciones y sistemas lineales. Descripción de los principales tipos de ecuaciones en derivadas parciales que aparecen en la Física.

6. Temario de la materia Para un mayor aprovechamiento de la materia se recomienda cursar o haber cursado las asignaturas Cálculo I, Cálculo II y Álgebra.

La distribución de la docencia es de 2 horas semanales de teoría y dos horas quincenales de laboratorio.

6.1 Temario de Aula I. VARIABLE COMPLEJA (Temas: 7, Horas totales: 17)

1. Funciones analíticas (4 h.) Números complejos. Funciones de una variable compleja. Límites. Continuidad. Derivación. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones analíticas. Funciones armónicas.

2. Funciones analíticas elementales (3 h.) Función exponencial. Funciones trigonométricas. Funciones hiperbólicas. Función logaritmo y sus determinaciones. Exponentes complejos. Funciones inversas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas.

3. Integración en el campo complejo (2 h.) Integral definida de una función compleja de variable real. Contornos. Integrales curvilíneas. Teorema de Cauchy-Goursat para dominios simple y múltiplemente conexos. Primitivas e independencia del camino.

4. Fórmula integral de Cauchy (1 h.) Fórmula integral de Cauchy. Derivadas de funciones analíticas. Teorema de Morera. Principio del módulo máximo. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville. Teorema fundamental del Álgebra.

5. Series (2 h.) Series de números complejos. Series de potencias. Integración y derivación de series de potencias. Series de Taylor. Ceros de funciones analíticas.

6. Residuos y polos (3 h.) Series de Laurent. Residuos. Teorema de los residuos. Clasificación de singularidades. Cálculo efectivo de residuos. Aplicación al cálculo de integrales reales: integrales definidas de funciones trigonométricas, integrales reales impropias.

7. Aplicación: la transformada en z (2 h.) Definición. Cálculo práctico. Inversión de la transformada. Propiedades.

II. ECUACIONES DIFERENCIALES (Temas: 7, Horas totales: 13)

1. Generalidades sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias (1 h.) E.D.O. de primer orden. E.D.O. de orden n. Reducción de una E.D.O. de orden n a un sistema de primer orden. Trayectorias ortogonales y oblicuas. Problemas de valor inicial y problemas de contorno.

2. El problema de Cauchy (1 h.) El problema de Cauchy. Teoremas de existencia y unicidad de solución. Soluciones maximales. Dependencia continua de la solución con respecto a los datos del problema.

3. Resolución de E.D.O. de orden 1 (2 h.) Ecuaciones en variables separadas. Ecuaciones exactas y factores integrantes. Cambio de variable en una E.D.O.: ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas. E.D.O. lineales. Ecuaciones implícitas.

4. Métodos numéricos para el problema de Cauchy (2 h.) Métodos de un paso: Euler y Runge-Kutta. Métodos multipaso: Adams-Bashforth y Adams-Moulton. Métodos de predictor-corrector.

5. E.D.O. lineales de orden superior (4 h.) Resultados básicos. E.D.O. homogéneas y no homogéneas. Caso homogéneo: sistema fundamental. Caso no homogéneo: métodos de coeficientes indeterminados y de variación de constantes. Ecuación de Cauchy-Euler. Métodos de series.

6. Sistemas de E.D.O. (2 h.) Generalidades. Sistemas lineales: coeficientes constantes. Sistemas no lineales: nociones de estabilidad.

7. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales (1 h.) Clasificación. Ecuaciones de tipo hiperbólico: la ecuación de ondas. Ecuaciones de tipo parabólico: la ecuación del calor. Ecuaciones de tipo elíptico: la ecuación de Laplace.

6.2 Temario de Laboratorio Resolución de problemas relacionados con el contenido de la asignatura utilizando como apoyo informático la biblioteca MATLAB.

1. Cálculo en variable compleja (8 h.)

2. Resolución de ecuaciones diferenciales (7 h.)

7. Referencias Bibliográficas 7.1 Referencias básicas

• CHURCHILL, R.V. y BROWN, J.W. Variable Compleja y Aplicaciones. Mc Graw-Hill, 2004.

• SIMMONS, G.F. y KRANTZ, S.G. Ecuaciones Diferenciales. McGraw-Hill, 2007.

• ZILL, D.J. y CULLEN, M.R. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Thompson, 2006.

7.2 Referencias complementarias • LEDDER, G. Ecuaciones diferenciales. Mc Graw-Hill, 2006.

• LOPEZ-GOMEZ, J. Ecuaciones Diferenciales y Variable Compleja. Prentice Hall, 2001.

• NAGLE, R. K., SAFF, E.B. y SNIDER, A.D. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Addison Wesley (Pearson Ed.), 2001.

• QUARTERONI, A. y SALERI, F. Cálculo Científico con MATLAB y Octave. Springer, 2006.

8. Metodología Docente y Sistema de Evaluación El temario se impartirá en las clases de aula, combinando la presentación de conceptos, propiedades y resultados, mediante el uso de transparencias o medios similares, con su aplicación a casos concretos que faciliten la comprensión y las posibilidades de utilización de los mismos, mediante el uso de la pizarra.

La evaluación de los alumnos se llevará a cabo mediante la realización de un examen final, al que el alumno puede presentarse en las fechas aprobadas por la Junta de Escuela para las distintas convocatorias oficiales. En la nota final se tendrá en cuenta la realización correcta de las prácticas de laboratorio y de las cuestiones propuestas en las clases teóricas.

Toda la información de la asignatura estará disponible en la página web de la asignatura en la plataforma TEMA: www.faitic.uvigo.es

Vigo, 24 de Mayo de 2010.