cal culo integral
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Instituto Tecnologico de Hermosillo
1.2x3cos3xdx
u = 2x3 dv = 13sen(3x)
du = 6x2 v = cos3x
2x3sen(3x)dx = (2x3)(
1
3sen(3x))
(1
3sen3x)(6x2)dx =
2
3x3sen(3x)2
x2sen3xdx
u = x2 v = 13cos3xdu = 2x dv = sen3x
x2sen3xdx = (x2)(1
3cos3x)
(2x)(
1
3cos3x)dx = 1
3x2cos3x+6
xcos3xdx
u = x v = 13sen3xdu = dx dv = cos3xdx
xcos3xdx = 1
3xsen3x 1
3
sen3xdx = 1
3xsen3x+
1
9cos3x+ c
2.sen32xdx
sen2x+ cos2x = 1sen32xdx =
(1 cos2(2x))sen(2x)dx
u = cos2x du = 2sen2x
sen32xdx =
(1 u2)(du
2) =
u
2 u
3
6=
1
2cos(2x) 1
6cos3(2x).
1
-
3.
xcos2xdx1
cos2x = sec2x
u = x v = tanx
du = dx dv = sec2xdx
xsec2xdx = xtanx
tanxdx = xtanx
senx
cosxdx = xtanxLn(cosx) = c
4.h2(h3 2) 23 dh
u = h3 2 du = 3h2h2(h3 2) 23 dh =
u
23du
3=
1
3u
23+1(
123 + 1
) =1
5u
53 + c
5.
t3t25dt
u = 3t2 5 du = 6tdt
t
3t2 5dt =
(du6 )
u=
1
6Ln(u) =
1
6Ln(3t2 5) + c
2
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Clculo Integral Instituto Tecnolgico deHermosillo
Resuelva las siguientes integrales por el mtodo de integracin apropiado para cada caso.
1. 2 x3 cos3 x dx
2. sen32x dx
3. x
cos2 xdx
4. h2 (h32 )2/3dh
5. t
3 t2+5dt
6. cos x
1+4 sen xdx
Haciendocambiode variable :
u= 1+4 sen (x)
du= 4 cos (x) dx
cos (x) dx= du4
-
du4u
=14
duu
14ln|1+4 sen ( x )|+c
ln|(1+4 sen (x)) 14|+c
7. e2x (2e2 x)7dx
Haciendocambiode variable :
u=2e2x
du=2e2 xdx
e2x dx=du2
2e2 x7 e2x dx
u7 du2 =12u
7du=12 ( u
8
8 )+c= 116 u8+c
116
(2e2 x)8+c
8. sen3 xdx
Utilizando la identidad trignomtrica:
-
sen x dx=cos ( x )+csen2 x=1cos ( x )=
sen ( x )cos2 ( x )dx
Haciendocambiode variable :
u=cos ( x )
du=sen ( x )dx
sen (x ) dx=du
u2du=u3
3+c=cos
3(x)3
+c
sen ( x )dx sen ( x )cos ( x )dx
cos ( x ) cos3 x3
+c
cos ( x )+ cos3 x3
+c
9. tan2d
Haciendo cambio de variable:
u=Cos (x)
du= -Sen (x) dx
-du= Sen (x) dx
sen ( x )cos ( x ) dx=duu
= duu
-
ln|u|+c=ln|cos ( x )|+c
ln|sec (x )|+c
10. sen (4 x ) cos (2 x )dx
Usando la igualdad:
Sen (2x)= Cos (x) Sen (x)
Sen (4x)= Cos (2x) Sen (2x)
Haciendo cambio de variable:
u= Cos (2x)
du= -sen (2x) 2 dx
-du/2= sen (2x) dx
12 cos (2 x ) sen (2x ) cos (2 x )dx
12 cos
2 (2x ) sen (2 x )dx
12u
2(du2 )
14u
2du
14u3
3+c=1
12cos32x+c
11. sen2 xcos2 x dx
sen2=12(1cos2)
-
sen2 (1sen2 )d
sen2d sen4d
12 (1cos
2 )d ( sen2 )2d
12 d
12cos
2d [ 12 (1cos 2 )]2
d
121
2( 12 (1+cos2 ))d [ 14 (12cos2+cos22 )] d
121
4d14 cos2d
14d+
12cos 2d
14 cos
22d
121
41
4 ( 12 Sen2) 14 + 14 sen214 [12 (1+cos2 )]d
18sen 21
8d18cos2d
116
sen 218+c
12. dx
4+x2
Haciendo cambio de variable
u=2sen=x
du= 2cosd=dx
2cosd4(2 sen2 )2
=2 cosd4 (1sen2 )=2 cosd2cos = d=
-
Como x= sen2 Despejamos
=sen1( x2 )
dx4x2
=sen1( x2 )+c
13. 1
x225dx
Haciendo cambio de variable
u=5 sec = x
du= 5 sec tan d= dx
5 sec tan d (5sec )225
5 sec tan d25 ( tan2 )
5 sec tan d5 tan
sec d
ln|sec+tan|+c=ln|x5 +x2255 |+c
14. xdx
1x2
Haciendo cambio de variable
u= sen =x
du= cos d = dx
-
sen cosd1sen2
sencos dcos2
sencos dcos
sen d
cos+c=1x2
x+c
15. Calcular el rea limitada por la curva xy=36, el eje x y las rectas: x=6 y x=12.
y (x )=36x , a=6, b=12
A=6
12 36xdx=36 ] 12
6dxx
A=36 ln|x||126A=36 [ ln|12|ln|6|]
-
16. Hallar el rea limitada por la recta y=3 x6
2 , el eje de
abscisas y las ordenadas correspondientes a x=0 y x=4.
A1= rea de 0 a 2.
A1=|0
2 3 x62
dx|A2= rea de 2 a 4.
A2=|2
4 3 x62
dx|AT= A1 +A2
A1=|0
2
( 3 x2 3)dx|=|302
( x21)dx||3( x22 (2 )x) 02|||3[( 224 2)(024 0)]||3 (12 )|=|3|=3
A1=3U . A .
-
Por la simetra de la grfica podemos observar que A1=A2 por lo tantoAT=3+3=6U . A .
17. Calcular el volumen del slido de revolucin producido por
la rotacin del rea limitada por la parbola y2=x y la recta
x=2, alrededor del eje y. y= -4; y= 4.
Alrededor del eje y:
V=4
4
( f ( y )g ( y ) )2dy
Donde : f ( y )=2g ( y )= y2
V=4
4
(2( y2 ))2dy=4
4
(44 y2+ y4 )dy
(44 y33 + y5
5 )= [(162563 +10245 )16+ 2563 10245 )2 (162563 +10245 )=406415 U .V .
18. dx
x2+2 x24
Integrando las fracciones:
-
((110 ) 1x+6 +( 110 ) 1x4 )dx=110 dxx+6+ 110 dxx4Reconociendo la integral como logaritmos:
110
ln|x+6|+ 110
ln|x4|+c
110 [ ln|x4|ln|x+6|]+c
Por propiedades de logaritmos:
110
ln|x4x+6 |+c
19. dx
( x+8 ) (x4 )
1(x+8 ) ( x4 )
=A
x+8+B
x4=A ( x4 )+B(x+8)
( x+8 ) ( x4 )
Por lo tanto:
A ( x4 )+B ( x+8 )=1
Desarrollando:
Ax4 A++Bx+8B=1
Agrupando trminos:
(A+B ) x+8 B4 A=1
Cumpliendo con la igualdad:
(A+B)x=0
A+B=0
-
y=8 B4 A=1
Resolviendo para A=-B
8B4 (B )=1
8B+4 B=1
12B=1
B= 112
A=112
Entonces:
1(x+8 ) ( x4 )
=(112 ) 1x+8 +( 112 ) 1x4Integral:
112( 1x+8+ 1x4 )dx= 112 [ln|x+8|+ ln|x4|]
Por propiedades de los logaritmos:
112
ln|x4x+8 |
20. 3 x3+5 xx2x2
dx
(3 x+3 )+ 83 ( 1x+1 )+ 343 ( 1x2 )dx
-
3 x2
2+3 x+ 8
3ln|x+1|+ 34
3ln|x2|+c
3 x( 32 +1)+ 13 [8 ln|x+1|+34 ln|x+2|]+c