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Movimiento Armónico Simple

Movimiento periódico u oscilatorio. Movimiento Armónico Simple. Fuerzas elásticas. Sistema masa – resorte. Aplicaciones

de los sistemas masa-resorte y péndulo simple

12/11/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca 2

Movimiento periódicoEs aquel movimiento que se repite cada cierto tiempo T, denominado periodo.

En las figuras se muestran ejemplos de movimientos periódicos.

El movimiento de los planetas alrededor del Sol

αα

0µ =

El movimiento de un cilindro por una doble rampa inclinada


Movimiento OscilatorioEs un movimiento periódico que se efectúa alrededor de una posición de equilibrio.

Como ejemplo de movimiento periódico puede considerarse el que realiza un bloque que está unido a un resorte sobre una superficie horizontal sin fricción.

En la animación, defina las características de las siguientes magnitudes: Amplitud A Periodo T Frecuencia f Frecuencia angular ω

1f Hz

T=

Posición de equilibrio

2 fω π=

frecuencia

Frecuencia angular


Ejemplo 13.19. Un transductor ultrasónico empleado para el diagnostico médico oscila con una frecuencia de 6,7 MHz . ¿Cuánto tarda cada oscilación y qué frecuencia angular tiene?

Solución:

51 11,5 10

6,7T s

f MHz−= = = ×

72 2 (6,7) 4,2 10 radsfω π π= = = ×

Ejercicio. Si un bloque tarda 4 segundos en dar 2 oscilaciones, ¿cuál de su periodo? ¿Cuál es su frecuencia? ¿Cuál es su frecuencia angular?

Solución

2,0T s=

10,50

2f Hz Hz= =

2 3,1 /f rad sω π= =

Ejercicios


Movimiento Armónico SimpleEs un movimiento oscilatorio, tal que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional a su desplazamiento, como es el caso de un bloque que oscila libremente por acción de la fuerza recuperadora de un resorte. El bloque se mueve sobre una superficie sin fricción.

Vea la animación:

MA57_F1_S05_01_REC2_ley_hooke.swf

Observaciones del movimiento del bloque en el MAS

7. La velocidad es máxima cuando el bloque pasa por el punto de equilibrio. Su velocidad es cero cuando alcanza su máxima elongación (x = A).

8. Por la segunda ley de Newton, la aceleración es cero en el origen y máxima en el punto de máxima elongación.

F kx= −

AA

F

x

F

x

a – máximaF- máximav = 0

a – máximaF- máxima

v = 0

a = 0F = 0

v máxima

Reemplazando la expresión de la aceleración, se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden respecto a la posición y al tiempo.

La solución de la ecuación es:


Ecuaciones del MAS

Por la Segunda Ley de Newton

Considerando que

ka x

m = −

2ωk

m=

22

2

d xx

dtω= −

( ) cos( )x t A tω δ= +k

mω =

1

2

kf

mπ= 2

mT

kπ=


(b)

Ejercicio. Un objeto oscila con frecuencia angular ω = 8,0 rad/s . En t = 0 s, el objeto se encuentra en x0 = 4,0 cm con una velocidad inicial v0= -25,0 cm/s . (a) Determinar la amplitud y la constante de fase para este movimiento. (b) Escribir x en función del tiempo.

Solución

Analizar para t = 0 s

Ejemplo Un bloque de 2,00 kg, que se desliza sin fricción, se conecta a un resorte ideal con k = 300 N/m . En t = 0 s, el resorte no está estirado ni comprimido y el bloque se mueve en la dirección negativa a 12,0 m/s . Calcule: a) la amplitud; b) el ángulo de fase; c) escriba las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración

Solución

(a)

Ejercicios

300150

2

k

mω = = =

( ) ( )dx

v t A sen tdt

ω ω φ= = − +

maxv Aω= 12 150A=

0,980A m=

2rad

πφ =


Posición, velocidad y aceleración del MAS

( ) cos( )x t A tω δ= +

( ) ( )v t A sen tω ω δ=− +

2( ) cos( )a t A tω ω δ= − +


Ejemplo En la oscilación descrita en el ejemplo 13.2, k = 200 N/m, m = 0,50 kg y la masa oscilante se suelta del reposo en x = 0,020 m . a) calcule las velocidades máxima y mínima que alcanza el cuerpo al oscilar. b) calcule la aceleración máxima. c) Determine: la velocidad y aceleración cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del camino hacia el centro desde su posición inicial.

Solución

vmax = + 0,40 m/s y vmin = – 0,40 m/s

amax = 8,0 m/s2

c) v = -0,35 m/s y a = - 4,0 m/s2

Ejemplo Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo. Conectando una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia la derecha, determinamos que la fuerza de estiramiento es proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6,0 N cusa una deformación de 0,030 m . Quitamos la balanza y y conectamos un cuerpo de 0,50 kg de masa al extremo, tiramos de él hasta moverlo 0,020 m, lo soltamos y vemos como oscila. A) Determine la constante de fuerza del resorte. b) Calcula la frecuencia, la frecuencia angular y el periodo de la oscilación.

Solución

k = 200 N/m ω= 20 rad/s

f = 3,2 Hz T = 0,31 s

maxv Aω=

2maxa Aω=

Ejercicio


Volvamos al sistema de masa y resorte horizontal que consideramos en el ejemplo 13,2, con k = 200 N/m y m = 0,50 kg . Esta vez impartiremos al cuerpo un desplazamiento inicial de +0,015 m y una velocidad inicial +0,40 m/s . a) Determine: el periodo, la amplitud y el ángulo de fase del movimiento. b) Escriba ecuaciones para: el desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo.

Solución

(a) T = 0,31 s

A = 0,025 m

φ = -53º = - 0,93 rad

(b) x = (0,025 m) cos ((20 rad/s)t – 0,93)

v = -(0,50 m/s) sen ((20 rad/s)t – 0,93 rad)

a = -(10 m/s2) cos ((20 rad/s)t – 0,93 rad)

Ejercicio


Energía potencial elásticaComo se estudió anteriormente, la fuerza elástica es conservativa, el trabajo realizado por dicha fuerza entre dos puntos no depende de la trayectoria, por lo que tiene una energía potencial asociada.

Consideremos el siguiente caso: Un resorte es estirado desde x1 hasta x2. Determine el trabajo realizado por la fuerza que el resorte ejerce sobre el móvil.

F kx= −

22

1 1

2

( )2

xx

x x

xW kx dx k

= − = −

∫

2 22 1

2 2

x xW k

= − −

Se define la energía potencial elástica U como:

21

2U kx=

W U= −∆x1 x2


• Si no hay fricción, la energía mecánica del oscilador armónico se mantiene constante en todo momento.

• De esta expresión se deduce que:

n cualquier insta te en el extremoE E=

2 2 21 1 1

2 2 2E mv kx kA= + =

Energía mecánica del oscilador armónico

2 2v A xω= −r

2 21 1

2 2E mv kx= +

E K U= +


Relación entre la energía cinética y potencial elásticaLa energía mecánica se conserva, tiene el mismo valor en cualquier punto del movimiento.

La energía potencial elástica es máxima en los extremos del MAS y nula en la posición de equilibrio.

La energía cinética es máxima en la posición de equilibrio y nula en los extremos del MAS.


Ejercicio 7.42 Pág. 272Un bloque de 2,00 kg se empuja contra un resorte con masa despreciable y constante elástica k = 400 N/m, comprimiéndolo 0,220 m . Al soltarse el bloque, se mueve por una superficie sin fricción que primero es horizontal y luego sube a 37,0° . (a) ¿Qué rapidez tiene el bloque al deslizarse sobre la superficie horizontal después de separarse del resorte? (b) ¿Qué altura alcanza el bloque antes de pararse y regresar?

Solución

Caso 1 21

2kx mgh=2 21 1

2 2kx mv=

2kxv

m=

2kxh

mg=

Caso 2


El péndulo simpleUn péndulo simple consta de una cuerda de longitud L y una lenteja de masa m. cuando la lenteja se deja en libertad desde un ángulo inicial θ con la vertical, oscila a un lado y otro con un periodo T.

Cuando el ángulo es pequeño, el segmento de arco barrido por la lenteja es:

Si el ángulo se expresa en radianes.

Por otro lado, por la segunda ley de Newton:

Reemplazando x y sustituyendo senθ por θ

2

2

g d

L dt

θθ− =

2

2

d xmg sen m

dtθ− =

x Lθ=

2

2

dmg mL

dt

θθ− =


La ecuación diferencial del movimiento del péndulo simple es la que se muestra a la derecha.

De la ecuación se deduce la expresión de la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo.

La solución de la ecuación es:

g

Lω =

1

2

gf

Lπ= 2

LT

gπ=

El péndulo simple

22

2

d

dt

θω θ− =

0cos( )tθ θ ω δ= +


EjerciciosEjemplo 13.8 . Calcule el periodo y frecuencia de un péndulo simple de 1,00 m de longitud en un lugar donde g = 9,80 m/s2.

Solución:

Sabemos que:

Luego:

Ejercicio. Calcule la frecuencia de oscilación de un péndulo simple de longitud 2,00 m si el péndulo del ítem anterior se lleva a un lugar donde la aceleración de la gravedad mide 9,77 m/s2.

Solución:

Sabemos que:

2L

Tg

π=

sT 00,2800,9

000,12 == π

HzT

f 500,000,2

11 ===

HzL

gf 352,0

00,2

77,9

2

1

2

1 ===ππ

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