banco problemas 1

1. (Bazaraa Mokhtar S., 2005) Considere el siguiente problema de programacin lineal:

21 32 xxMaximizarZ

Sujeta a:

0,

964

2

21

21

21

xx

xx

xx

a) Grafique la regin factible b) Encuentre 2 puntos extremos ptimos alternativos c) Encuentre la clase infinita de soluciones ptimas

2. (Bazaraa Mokhtar S., 2005) Considere el siguiente problema de programacin lineal:

21 63 xxMaximizarZ

Sujeta a:

0,

42

02

22

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

3. (Taha, 1998) Reddy Mikks produce pinturas tanto para interiores como para exteriores a partir de dos materias primas

M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos bsicos del problema:

Toneladas de materia prima por tonelada de Disponibilidad

Mxima Diaria Pintura para

Exteriores Pintura para Interiores

Materia Prima, M1 6 4 24

Materia Prima, M2 1 2 6

Utilidad por Tonelada

(1000 de dlares) 5 4

Una encuesta de mercado restringe la demanda mxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Adems la

demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores por ms de 1 tonelada. Reddy

Mikks quiere determinar la mezcla de producto ptima de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la

utilidad total diaria.

a) Formule como un problema de programacin lineal

b) Exprese la notacin cannica matricial y estndar matricial

c) Resuelva con el mtodo grfico

d) Invierta el sentido de optimizacin

e) Considere la solucin factible toneladas y tonelada. Determine el valor de las holguras asociadas

para las materias primas M1 y M2.

4. (Taha, 1998) (El problema de la dieta). Ozark Farms utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial.

El alimento especial es una mezcla de maz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:

Libra por Libra de alimento para ganado

Alimento para ganado Protenas Fibra Costo(/libra)

Maz 0.09 0.02 0.30

Semilla de Soya 0.60 0.06 0.90

Los requerimientos dietticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de protenas y cuando mucho

un 5% de fibra. Ozark Farms desea determinar el costo mnimo diario de la mezcla de alimento.

1. Formule como un problema de programacin lineal

2. Exprese la notacin cannica matricial y estndar matricial

3. Resuelva con el mtodo grfico

4. Invierta el sentido de optimizacin

5. (Bazaraa Mokhtar S., 2005) Considere el siguiente problema de programacin lineal

321 32 xxxMaximizarZ

Sujeto a

3

,

42

1232

133

3

21

321

321

321

x

libresxx

xxx

xxx

xxx

a) Reformule el problema en la forma cannica b) Convierta el problema en un problema de minimizacin c) Identifique los parmetros del problema en forma matricial

6. (Bazaraa Mokhtar S., 2005) Considere el siguiente problema:

21 xxMaximizarZ

Sujeto a

0,

323

03

21

21

21

xx

xx

xx

a) Grafique la regin factible

b) Identifique las regiones en el espacio ( ) donde las variables de holgura son iguales a cero c) Resuelva el problema grficamente

7. (Eppen G.D., 2000) Se desea mezclar mineral de hierro de cuatro minas distintas para fabricar rodamientos destinados a un tractor tipo oruga de tamao mediano, diseado especialmente para competir en el mercado europeo. Por medio

de anlisis se ha demostrado que, para producir una mezcla dotada de las cualidades de traccin adecuadas, deben

cumplirse requerimientos mnimos en relacin con tres elementos bsicos que, para simplificar, sealaremos aqu

como A, B y C. En trminos especficos, cada tonelada de mineral deber contener cuando menos 5 libras del

elemento bsico A, 100 libras del elemento bsico B y 30 libras del elemento bsico C. Estos datos se presentan

resumidos en la siguiente tabla:

Elemento bsico Requerimiento mnimo

por tonelada de mezcla

A 5

B 100

C 30

El mineral extrado de cada una de las cuatro minas posee los tres elementos bsicos, pero en cantidades distintas. Esas

composiciones, expresadas en libras por tonelada, se enumeran en la siguiente tabla:

Elemento Bsico Mina

1 2 3 4

A 10 3 8 2

B 90 150 75 175

C 45 25 20 37

El costo del mineral, en $/Tn es de 800, 400, 600 y 500 provenientes de la mina 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Formule

como un problema de programacin lineal.

8. (Eppen G.D., 2000) Una compaa produce 2 lneas de maquinaria pesada. Una de sus lneas de productos, llamada equipo de excavacin, se utiliza de manera primordial en aplicaciones de construccin. La otra lnea, denominada

equipo para la silvicultura, est destinada a la industria maderera. Tanto la mquina ms grande de la lnea de equipo

de excavacin, como la mayor de toda la lnea de equipo para la silvicultura son fabricadas en los mismos

departamentos y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones econmicas correspondientes al siguiente mes, el

gerente de mercadotecnia de la compaa ha considerado que durante ese perodo ser posible vender todas las

mquinas que la compaa sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de produccin

para el mes prximo. Una unidad de la mquina ms grande de la lnea de equipo de excavacin genera una utilidad

(en millones) de $50 y una unidad de equipo para silvicultura genera una utilidad (en millones) de $40. Cada producto

pasa por operaciones de maquinado tanto por el departamento A como por el departamento B.

Departamento Excavacin Silvicultura Total

disponible

A 10 15 150

B 20 10 160

Para que la administracin cumpla un acuerdo concertado con el sindicato, las horas totales de trabajo invertidas en la

prueba de productos terminados del siguiente mes no deben ser ms all del 10% inferior a una meta convenida de 150

horas. Estas pruebas se llevan a cabo en un tercer departamento y no tienen nada que ver con las actividades de los

departamentos A y B. Cada mquina de excavacin es sometida a pruebas durante 30 horas y cada unidad de silvicultura

durante 10. Dado que el 10% de 150 es 15, las horas destinadas a las pruebas no pueden ser menores que 135.

Excavacin Silvicultura

Horas

totales

requeridas

Horas de prueba 30 10 135

Con el fin de mantener su posicin actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado como poltica operativa que: deber

construirse cuando menos una unidad de silvicultura por cada 3 unidades de excavacin que sean fabricadas. Uno de los

principales distribuidores ha ordenado un total de al menos cinco unidades de excavacin y silvicultura en cualquier

combinacin para el prximo mes por lo cual tendr que producirse al menos esa cantidad. Formule el problema como un

modelo de programacin lineal.

9. (Eppen G.D., 2000) Un fabricante tendr que atender cuatro pedidos de produccin. A, B, C y D, en este mes. Cada trabajo puede ser llevado a cabo en cualquiera de los tres talleres. El tiempo necesario para completar cada trabajo en

cada uno de esos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendr cada taller durante este mes

aparecen en la siguiente tabla. Tambin existe la posibilidad de dividir cada uno de los trabajos entre los distintos

talleres, en cualquier proporcin que se desee. Por ejemplo, una cuarta parte del trabajo A puede hacerse en 8 horas en

el taller 1 y una tercera parte del trabajo C puede hacerse en 19 horas en el taller 3. El fabricante desea determinar la

cantidad de horas de cada trabajo que debern realizarse en cada taller, para minimizar el costo total de terminacin de

los cuatro trabajos. Identifique las variables de decisin, formule el modelo de programacin lineal para este

problema.

Taller

Tiempo requerido en

horas Costo por

hora de

taller ($)

Tiempo de

taller

disponible

(horas) A B C D

1 32 151 72 118 89 160

2 39 147 61 126 81 160

3 46 155 57 121 84 160

10. (Eppen G.D., 2000) Una compaa opera cuatro granjas, cuyos grados de productividad son comparables. Cada una de las granjas tiene cierta cantidad de hectreas tiles y de horas de trabajo para plantar y cuidar la cosecha. Los datos

correspondientes a la prxima temporada aparecen en la siguiente tabla:

Granja Hectreas

tiles

Horas de trabajo

disponibles por mes

1 500 1700

2 900 3000

3 300 900

4 700 2200

La organizacin est considerando la opcin de plantar tres cultivos distintos. Las diferencias principales entre estos

cultivos son las ganancias esperadas por hectrea y la cantidad de mano de obra que cada uno requiere, como se indica en

la siguiente tabla.

Cultivo Hectreas

Mximas

Horas mensuales

de trabajo

por hectrea

Ingresos

Esperados

por hectrea

A 700 2 500

B 800 4 200

C 300 3 300

Adems, el total de las hectreas que pueden ser dedicadas a cualquier cultivo en particular estn limitadas por los

requerimientos asociados por concepto de equipo de siega. Con la finalidad de mantener una carga de trabajo ms o

menos uniforme entre las distintas granjas, la poltica de la administracin recomienda que el porcentaje de hectreas

plantadas deber ser igual para todas las granjas. Sin embargo, por razones asociadas a la demanda, el mercado no

aceptar una proporcin de cultivo A que sea ms del doble de los cultivos B y C. Por otro lado, el precio de la hora de

trabajo para el cultivo A es de $10, para el cultivo B es de $15 y para el cultivo C es de $13. La administracin desea

saber cuntas hectreas de cada cultivo tendr que plantar en sus respectivas granjas, a fin de maximizar las ganancias

esperadas. Formule este caso como un modelo de programacin lineal.

11. (Bazaraa Mokhtar S., 2005) Considere el siguiente modelo de programacin lineal:

21 63 xxZMax

Sujeto a

0,

42

02

22

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

a) Resuelva el modelo con el mtodo grfico e identifique el conjunto de todas las soluciones ptimas alternativas para este problema

b) Se quiere optimizar una funcin secundaria dada por 213 xxZ . Cmo cambia la solucin encontrada en la

pregunta anterior?

12. (Eppen G.D., 2000) La Sally Solar Car Co. Tiene una planta que fabrica automviles sedn, deportivos y camionetas. Los precios de venta, costos variables y costos fijos correspondientes a la manufactura de estos vehculos se presentan

en la siguiente tabla:

Modelo

Contribucin a

las ganancias

Costo de

Produccin

$/Unidad

Costos Fijos

Sedanes 6000 12 2000000

Camionetas 8000 15 3000000

Deportivos 11000 24 7000000

Sally ha recibido recientemente pedidos por un total de 100 sedanes, 200 camionetas y 300 automviles deportivos.

Deber atender todos esos pedidos. La compaa desea planear la produccin de manera que pueda alcanzar el punto de

equilibrio con la mayor rapidez posible; es decir, quiere asegurarse de que el margen total de contribucin sea igual al

total de costos fijos y que los costos variables de produccin sean mnimos. Formule este problema como modelo de

programacin lineal.

13. (Eppen G.D., 2000). Una planta tiene suficiente capacidad para manufacturar cualquier combinacin de cuatro productos diferentes (A, B, C y D). Para cada producto se requiere invertir tiempo en cuatro mquinas distintas, el

cual est expresado en minutos por kilogramos de producto, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Cada

mquina tiene una disponibilidad de 60 horas por semana. Los productos A, B, C y D pueden venderse a $9, $7, $6 y

$5 por kilo respectivamente. Los costos variables de mano de obra son de $2 por hora para las mquinas 1 y 2 y de $3

por hora para las mquinas 3 y 4. Los costos de material para cada kilo del producto A son de $4. Los costos de

material para cada kilo de los productos B, C y D son de $1. Formule un modelo de programacin lineal que

maximice las ganancias, dada la demanda mxima por producto que se muestra a continuacin.

Producto Mquina Demanda

Mxima 1 2 3 4

A 5 10 6 3 400

B 3 6 4 8 100

C 4 5 3 3 150

D 4 2 1 2 500

14. (Bazaraa Mokhtar S., 2005) Un fabricante de acero produce 4 tamaos de vigas tipo : pequeas, medianas, grandes y extra grandes. Dichas vigas pueden ser producidas en cualquiera de 3 tipos de mquinas: A, B y C. Las longitudes -

en pies- de las vigas que pueden producirse en las mquinas por hora se presentan en la siguiente tabla:

Viga Mquina

A B C

Pequea 350 650 850

Mediana 250 400 700

Grande 200 350 600

Extra Grande 125 200 325

Asuma que cada mquina puede usarse hasta 50 horas a la semana y que los costos de operacin por hora de las mquinas

son respectivamente: $30, $50 y $80. Adems suponga que la demanda semanal de los diferentes tipos de vigas es de

12000, 6000, 5000 y 7000 pies. Formule el problema de programacin de mquinas como un modelo de programacin

lineal.

15. (Eppen G.D., 2000) La administracin de un viedo desea combinar cuatro cosechas distintas para producir tres tipos de vinos en forma combinada. Las existencias de las cosechas y los precios de venta de los vinos combinados se

muestran en la siguiente tabla, junto con ciertas restricciones sobre los porcentajes incluidos en la composicin de las

tres mezclas. En particular las cosechas 2 y 3 en conjunto debern constituir cuando menos 75% de la mezcla A y

cuando menos 35% de la mezcla C. Adems, la mezcla A deber contener cuando menos 8% de la cosecha 4,

mientras que la mezcla B deber contener por lo menos 10% de la cosecha 2 y a lo sumo 35% de la cosecha 4. Se

podr vender cualquier cantidad que se elabore de las mezclas A, B y C. Formule un modelo de programacin lineal

que aproveche en la mejor forma las cosechas disponibles y resulvalo.

MEZCLA

COSECHA Precio de

Venta por

Galn 1 2 3 4

A *

Cuando menos

75% 2 y 3 en

cualquier

proporcin

Cuando

menos

8%

80

B *

Cuando

me nos

10%

*

Cuando

mucho

35%

50

C *

Cuando menos

35% 2 y 3 en

cualquier

proporcin

* 35

Existencias

(galones) 130 200 150 350

*: Indica que no existe restriccin alguna

16. (Taha, 1998) Una compaa que opera 10 horas al da fabrica cada uno de dos productos en tres procesos en

secuencia. La siguiente tabla resume los datos del problema:

Minutos por Unidad Utilidad

Producto Proceso 1 Proceso 2 Proceso 3 por Unidad

1 10 6 8 $2

2 5 20 10 $3



3. Resuelva con el mtodo grfico

4. Invierta el sentido de optimizacin

17. (Taha, 1998) (Poltica de Prstamos Bancarios) El Thriftem Bank, una institucin de servicio completo, est en

proceso de formular una poltica de prstamos que incluye un mximo de 12 millones de dlares. La siguiente tabla

proporciona los datos pertinentes acerca de los diferentes tipos de prstamos que ofrece el banco:

Tipo de Prstamo Tasa de Inters

Probabilidad

de un mal

crdito

Personal 0.14 0.1

Automvil 0.13 0.07

Vivienda 0.12 0.03

Agrcola 0.125 0.05

Comercial 0.1 0.02

Los malos crditos son irrecuperables y, por tanto, no producen ningn ingreso por intereses. La competencia con otras

instituciones financieras en el rea requiere que el banco asigne por lo menos 40% de los fondos a prstamos agrcolas y

comerciales. Para ayudar a la industria de la vivienda en la regin, los prstamos para viviendas deben ser equivalentes

por lo menos a 50% de los prstamos personales, para automvil y para viviendas. El banco tambin ha declarado una

poltica de que la razn total de los malos crditos en todos los prstamos no puede exceder de 0.04.



18. (Bazaraa Mokhtar S., 2005) Un fabricante de plsticos est planeando mezclar un nuevo producto de 4 componentes qumicos. Esos componentes estn compuestos de 3 elementos: A, B y C. La composicin y el costo unitario de esos

qumicos se muestran en la siguiente tabla:

Compuesto Qumico 1 2 3 4

Porcentaje de A 35 15 35 25

Porcentaje de B 20 65 35 40

Porcentaje de C 40 15 25 30

Costo/Kilogramo 20 30 20 15

Un 25% del nuevo producto corresponde al elemento A, al menos un 35% al elemento B y al menos 20% al elemento C.

Debido a los efectos laterales de los compuestos 1 y 2, no pueden exceder el 25% y el 30%, respectivamente, del

contenido del nuevo producto. Formule el problema de encontrar la forma menos costosa de mezclar los compuestos para

fabricar el nuevo producto como un problema de programacin lineal.

19. (Bazaraa Mokhtar S., 2005) El equipo tcnico de un hospital desea desarrollar un sistema computarizado de planeacin de mens. Para empezar, se busca el men para el almuerzo. El men est dividido en 3 categoras

principales: vegetales, carnes y postres. Se desea al menos el equivalente a una porcin de cada categora. El costo por

porcin de los tems sugeridos, as como su contenido de carbohidratos, vitaminas, protenas y grasas se resume en la

siguiente tabla. Suponga que los requerimientos mnimos de vitaminas, protenas y grasas por almuerzo son

respectivamente 5, 10, 10 y 2. Formule el problema de planeacin de men como un problema de programacin

lineal.

Carbohidratos Vitaminas Protenas Grasas Costo en $/porcin

Vegetales

Arvejas 1 3 1 0 0.10

Habichuelas 1 5 2 0 0.12

Aj turco 1 5 1 0 0.13

Maz 2 6 1 2 0.09

Macarrones 4 2 1 1 0.10

Arroz 5 1 1 1 0.07

Carnes

Pollo 2 1 3 1 0.7

Carne 3 8 5 2 1.2

Pescado 3 6 6 1 0.63

Postres

Naranja 1 3 1 0 0.28

Manzana 1 2 0 0 0.42

Pudding 1 0 0 0 0.15

Gelatina 1 0 0 0 0.12

20. (Bazaraa Mokhtar S., 2005) Un fabricante de muebles tiene tres plantas que necesitan 500, 700 y 600 toneladas de madera semanalmente. El fabricante puede comprar la madera de 3 compaas madereras. Las primeras 2 compaas

tienen una capacidad de suministro virtualmente ilimitada y debido a otros compromisos la tercera compaa no puede

enviar ms de 500 toneladas semanalmente. La primera compaa proveedora de madera utiliza como medio de

transporte el tren y no hay lmite en el tonelaje mximo que se puede enviar a las instalaciones de la fbrica de

muebles. Por otro lado, las otras dos compaas proveedores de madera utilizan camiones que limitan el tonelaje

mximo que puede ser enviado desde cualquiera de las compaas a 200 toneladas. La siguiente tabla proporciona los

costos de transporte desde los proveedores de madera hasta las plantas del fabricante de muebles, en $/tonelada

Compaa

proveedora de

madera

Planta del fabricante

de muebles

1 2 3

1 1 3 5

2 3.5 4 4.8

3 3.5 3.6 3.2

Formule este problema como un modelo de programacin lineal.

21. (Bazaraa Mokhtar S., 2005) Una corporacin tiene 30 millones de dlares disponibles para asignar a sus subsidiarias durante el ao siguiente. Debido a los compromisos con la estabilidad del empleo del personal, y por otras razones, la

corporacin ha establecido un nivel mnimo de financiacin para cada subsidiaria. Esos niveles son $3M, $5M y $8M,

respectivamente. Debido a la naturaleza de su operacin, la subsidiaria 2 no puede utilizar ms de $17M sin una gran

inversin de capital de expansin. La corporacin no quiere realizar tal expansin en el momento. Cada subsidiaria

tiene la oportunidad de realizar varios proyectos con los fundos que reciba. Una tasa de retorno (como un porcentaje

de la inversin) ha sido establecida para cada proyecto. Adicionalmente, algunos proyectos permiten nicamente

inversiones limitadas. Los datos para cada proyecto se presentan a continuacin:

Subsidiaria Proyecto Tasa de Retorno Lmite Superior de Inversin

1

1

2

3

7%

5%

8%

$6M

$5M

$9M

2

4

5

6

5%

7%

9%

$7M

$10M

$4M

3 7

8

10%

8%

$6M

$3M

22. (Bazaraa Mokhtar S., 2005) Una agencia de planeacin gubernamental desea determinar las fuentes de suministro de combustible para utilizar en depsitos de un grupo de oferentes. Suponga que la cantidad mxima de suministro del oferente es galones y que la demanda del depsito es galones. Sea el costo unitario de entrega para el

oferente al depsito . Formule el problema de minimizar el costo total de compra como un problema de programacin lineal.

23. Un molino agrcola produce alimento para ganado. El alimento consiste de tres principales ingredientes: maz, lima y harina de pescado. Esos ingredientes contienen tres nutrientes: protenas, calcio y vitaminas. La siguiente tabla da los

contenidos de los nutrientes por libra de cada ingrediente:

Ingrediente

Nutriente Maiz Lima Harina de pescado

Proteina 25 15 25

Calcio 15 30 20

Vitaminas 5 12 8

El contenido de protenas, calcio y vitaminas por libra del alimento para ganado debe estar en los siguientes intervalos

respectivamente: [18,22], [20,), y [6,12]. El costo por libra del maz, lima y la harina de pescado es, respectivamente, $0.20, $0.08 y $0.50

Formule como un modelo de programacin lineal

Realice una iteracin del mtodo simplex.

Bibliografa

Bazaraa Mokhtar S., J. J. (2005). Linear Programming and Netwok Flows. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons,

Inc.

Eppen G.D., G. F. (2000). Investigacin de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Naucalpan de Jurez: Prentice

Hall.

Taha, H. A. (1998). Investigacin de Operaciones Una Introduccin. Mxico: Prentice Hall.

banco problemas 1

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