A1. - So lu c ió n

a) Sea h una func i ón cont i nua en un i nterval o cer rado [a , b ] y que t oma

va l ores de s i gno contrar i o en l os extremos , entonc es ex i s te a l meno s un

va l or c ( a , b ) ta l que h ( c) = 0 .

b) Consideramos la función h(x)=f(x)-g(x), que es continua en todo R por se diferencia de

continuas. Ocurre que h(-1)=-3-10-10+3-1/e < 0 y h(0)=3-1=2 > 0, luego hay un punto c en el

intervalo (-1 , 0) donde h(c)=0. En ese punto f(c)=g(c), por tanto es punto común a ambas

gráficas (ver gráfico)

c) Para calcular los puntos de inflexión vemos donde se anula la derivada segunda y

comprobamos si en ellos la tercera es distinta de cero

f’’(x)=60x3-120x2+60x=60x(x2-2x+1)=60x(x-1)2, luego se anula sólo en x=0 y en x=1

f’’’(x)=180x2-240x+60 que no se anula en 0 luego Punto Inflexión en (0,3). Como sí se nula en 1

tenemos que seguir probando en la siguiente derivada, probamos la derivada cuarta, como no

se anula no hay punto de inflexión: f’’’’(x)=360x-240, f’’’’(1)=120.

A2.- Solución:

El área encerrada es 33

3

0

23

0

22

3

4

32

322 aa

axa

xdxax

aa

La pendiente es el valor de la derivada en –a, f’(x)=-2x luego f’(-a)=2a

0a que sabemos porque 2

31

3

22

3

4 23 aaaa

A3.- Solución:

Primero sumamos, después restamos y por fin despejamos

a)

231

230

32

302

251

231

52

322

42

31

10

01

BB

AA

BA

BA

b) 2842

49··2

MM

MMMMM

A4.- Solución:

a) La posición relativa depende de las soluciones del sistema formado por la recta y el plano

le)incompatib(sistema plano alparalela esrecta la y 20

021

512

511

y 521

12,5 si

c.d.)(sistema cortan se plano elrecta y la 55

021

12

111

02

02

a

asiaa

yx

azyx

azyx

b) Las ecuaciones paramétricas de la recta cuando a=-5 son

v.d.un (2,1,1) y punto un es (0,0,0) luego

2

55

105

02

52

02

052

z

y

x

z

y

x

z

yx

yx

yx

zyx

Cuando se cortan la distancia es 0, cuando son paralelos es la de un punto de la recta por ej. El

(0,0,0) al plano 3

5

111

5000),(Pd

B1.- Solución:

a)La pendiente de la asíntota es 2 y también es:

2a luego ,lim1lim)(

lim2

2

2

axx

bxax

x

x

bxax

x

xf

xxx

La ordenada en el origen de la asíntota es 3 y también:

5b luego 2,-b3 por tanto

,21

)2(lim

1

222lim2

1

2lim2)(lim

222

bx

xb

x

xxbxxx

x

bxxxxf

xxxx

b)Tenemos ya que la función es:

5xresulta y 0,x en ela tangent es 0)-(0)(xf'f(0)- yque recordando ,0)0( comoy

5)0('12

562

)1(

)52()1)(54()('

1

52)(

2

2

2

22

f

fxx

xx

x

xxxxxf

x

xxxf

En la gráfica vemos todos los elementos del problema

B2.- Solución:

La primera integral es inmediata y la segunda es racional con raíces simples:

kxx

xdxxxx

dxx

C

x

B

x

A

dxxxx

xxdx

xx

xxkxsendx

xsen

xsenx

4

2ln

4

2lnln

2

4/1

2

4/11

22

)2)(2(

4

4

4;)1ln(

1

cos2 2

3

22

2

Para determinar A, B y C podemos hacer lo siguiente:

4/1822

4/1822

1440

)2()2(()4(4

224

4

22

3

2

CCx

BBx

AAx

xCxxxBxAxx

x

C

x

B

x

A

xx

xx

B3.- Solución:

222

222222222

111

5

111

5

111

111

111

5

555

111

111

cba

cbacba

cba

cba

cba

cba

cba

=10

Hemos empleado las siguientes propiedades: 1ª Si se multiplica o divide una fila por un

número el determinante queda multiplicado o dividido por ese número. 2ª Si se añade a una

fila una combinación lineal de otras paralelas el determinante no varía. 3ª Si cambiamos entre

sí dos filas o dos columnas el determinante cambia de signo

la tercerasegunda y la de lineal

ncombinacióuna añadido hemos ledecir es ,la tercera y 2por da multiplicasegunda la

fila primera la a restado hemos ,2

111)1()1()1(

222222

222

cba

cba

cba

cba

cba

b) Los parámetros deben ser distintos porque de haber dos iguales quedaría un determinante

con dos columnas iguales y entonces valdría 0 no 2.

B4.- Solución:

Primero escribiremos las ecuaciones de las rectas en forma paramétrica y así veremos un

punto y un vector director de cada una:

(1,0,1) vector B(0,6,0), Punto6122122

0

(1,0,1) vector A(0,1,0), Punto1212

1

122

1

z

y

x

z

yx

x

zyx

zxs

z

y

x

z

yx

yx

zyx

zyxr

Luego las rectas son paralelas. El vector AB y el vector director de cualquiera de ellas nos

sirven para calcular la distancia: 52

25x ),(

v

vABsrd