Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!

AVESTRUZ AL HORNOReceta para n > 30 personas

Carlos Vaquera

Departamento de Fı́sica, DCIUniversidad de Guanajuato

21 de septiembre de 2011

Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado ¡Avestruz al horno!

Contenido

1 Objetivo

2 Modelo

3 Pollo Rostizado

4 Guajolote horneado

5 ¡Avestruz al horno!

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Objetivo

Obtener un modelo para determinar el tiempo óptimo decocción en la preparación de una avestruz al horno

Figura: Ejemplar de la especie Struthio camelus.

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Esquema de trabajoModelar el tiempo requerido para rostizar un polloProbar la predictibilidad del modelo con otra especie deave: guajoloteExtrapolar el modelo para aplicarlo a la avestruz

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Ingredientes

1.-Ley de Newton del enfriamiento

dQdt

= −hS (T − Ta) (1)

Q Energı́a térmicat TiempoS Superficieh Coeficiente de transferencia de calorT Temperatura del cuerpoTa Temperatura del medio

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2.-Calor especı́fico

dQ = mcdT (2)

m Masa del cuerpoc Calor especı́fico

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3.-Horno

Figura: Horno de adobe artesanal.

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4.-Ave

Figura: Ave. Muerta, por supuesto.

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Preparación

1.-Mezcle (1) y (2) por partes iguales para obtener

dTdt

= − hSmc

(T − Ta) . (3)

2.- Note que m = ρV , donde ρ es la densidad del objeto y V suvolumen

dTdt

= − hSρcV

(T − Ta) . (4)

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3.- Resuelva con las condiciones iniciales T0 = T(t0)∫ tt0

TT − Ta

= − hSρcV

∫ tt0

t

ln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta

∣∣∣∣ = − hSρcV (t − t0)⇒ t − t0 = −

ρcVhS

ln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta

∣∣∣∣ .(5)

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Pollo rostizado

Figura: Ejemplar de la especie Gallus gallus domesticus.

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Hipótesis:h, ρ y c son constantesEl pollo es esférico: S = 4πr2, V = 4πr3/3

t − t0 = −ρcr3h

ln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta

∣∣∣∣ (6)Eliminando r a favor de la masa: m = 4πρr3/3

t − t0 = −m1/3

βln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta

∣∣∣∣ , β = hc(

36πρ2

)1/3. (7)

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determinación de β

Datos experimentalesChicken Roasting times (stuffed)a

m (lb) t (h)2.5 - 3 1.5 - 23.5 - 4 1.75 - 2.254.5 - 5 2 - 2.55 - 6 2.25 - 2.75

t0 = 0 Ta = 190◦C = 463KT0 = 27◦C = 300K T(t) = 83◦C = 356K

(8)

ahttp://www.helpwithcooking.com/cooking-poultry/roast-chicken.html

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Con (8) definimos

λ = − ln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta

∣∣∣∣ = 0.421 (9)de modo que (7) queda

t =λ

βm1/3. (10)

Contamos con 4 datos experimentales (pésimos, por cierto) y apesar de su mala calidad, ¡podemos mejorar el modelo conellos!

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Nueva hipótesisEl pollo no es esférico (¿alguien lo habı́a ya notado?).Introducimos una nueva variable α tal que

t =λ

βmα (11)

y usamos los datos experimentales para ajustar α y β.

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Para empezar, tomamos el logaritmo de (11) en ambosmiembros y obtenemos

ln t = ln[λ

βmα]= α ln m + ln

λ

β, (12)

Sı́, una lı́nea recta y = αx + b, con

y = ln t, x = ln m, b = ln (λ/β) (13)

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El Ajuste: Mı́nimos cuadrados

Nuevos Ingredientes

Una curva modelo: y(x) = αx + bN datos experimentales (xi, yi), i = 1, . . . ,N con susrespectivos errores (δxi, δyi)Una función muy positiva: Ji cuadrada, por nombre

χ2 =N∑

i=1

(y(xi)− yi)2

σ2i(14)

con

σi =

√(δyi)

2 +

(∂yi∂xi

)2(δxi)

2 (15)

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NotaEn muchos casos σi ≈ δyi. No en el nuestro, ası́ que es precisoestimar ∂yi

∂xi. Esto se logra iterativamente, tomando en un primer

ajuste σ(0)i =≈ δyi para encontrar∂yi∂xi≈ α(0) y calcular

σ(1)i =

√(δyi)

2 + (α(0))2(δxi)

2 para hacer un mejor ajuste.

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Nueva preparación

Buscamos los valores para α y b que minimicen χ2:

∂χ2

∂α= 2

N∑i=1

(αxi + b− yi) xiσ2i

= 0

∂χ2

∂b= 2

N∑i=1

(αxi + b− yi)σ2i

= 0

(16)

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las ecuaciones anteriores forman un sistema lineal:(sxx sxsx s1

)(αb

)=

(sxysy

)(17)

con

sxx =∑N

i=1x2iσ2i

sx =∑N

i=1xiσ2i

s1 =∑N

i=11σ2i

sxy =∑N

i=1xiyiσ2i

sy =∑N

i=1yiσ2i

syy =∑N

i=1y2

σ2i

(18)

cuya solución es(αb

)=

1sxxs1 − s2x

(sxys1 − sxsysxxsy − sxysx

)(19)

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La incertidumbre en α y β puede estimarse como

δα =

√√√√ N∑i=1

(∂α

∂xi

)2(δxi)

2 +N∑

i=1

(∂α

∂yi

)2(δyi)

2 (20)

δb =

√√√√ N∑i=1

(∂b∂xi

)2(δxi)

2 +N∑

i=1

(∂b∂yi

)2(δyi)

2. (21)

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Con los datos experimentales disponibles (convertidos porsupuesto a unidades civilizadas [m] = kg) se obtiene

α = 0.51± 0.38 (22)b = 0.43± 0.20. (23)

La incertidumbre es espantosa, ¡pero el valor central puede serútil! Ahora podemos saber si el modelo es válido paraguajolotes.

Nueva hipótesisβpollo = βguajolote

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Pero antes, una mirada al ajuste

0.5 1 1.5 2 2.5m (kg)

0.5

1

1.5

2

2.5

t(h)

Tiempo de cocción como función de la masa del pollo.

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Predictibilidad de modelo¿Cómo se comporta nuestro modelo en un régimen de masassuperior? Comparémoslo con los datos experimentalesdisponibles para el guajolote horneado:

Figura: Ejemplar inconforme de la especie Meleagris gallopavo.

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Guajolote al Horno

Datos experimentalesTurkey Roasting times (stuffed)a

m (lb) t (h)6 - 8 2.75 - 3.25

8 - 12 3 - 3.512 - 14 3.5 - 414 - 18 4 - 4.2518 - 20 4.25 - 4.7520 - 24 4.75 - 5.25

t0 = 0 Ta = 190◦C = 463KT0 = 27◦C = 300K T(t) = 83◦C = 356K

(24)

ahttp://www.helpwithcooking.com/cooking-poultry/roast-turkey.html

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Nuevos datos vs extrapolación del modelo

2 4 6 8 10m (kg)

1

2

3

4

5

t(h)

Tiempo de cocción como función de la masa del guajolote.

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¡El modelo es predictivo!Para mejorarlo podemos incorporar los datos disponibles parael guajolote y hacer un nuevo ajuste, con lo que se obtiene

α = 0.49± 0.06 (25)b = 0.45± 0.09 (26)

El valor central no cambió mucho, pero la incertidumbre seredujo dramáticamente.

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Modelo mejorado vs datos pollo + guajolote

2 4 6 8 10m (kg)

1

2

3

4

5

t(h)

Tiempo de cocción como función de la masa del ave.

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La hipótesis βpollo = βguajolote fue exitosa, por lo tantopostulamos βave = βpollo = βguajolote para encontrar la ecuacióngeneral de cualquier ave en el horno:

t − t0 = −mα

βln∣∣∣∣T(t)− TaT0 − Ta

∣∣∣∣ (27)con

α = 0.49± 0.06 (28)β = 0.27± 0.02 kgα/h (29)

que podemos aplicar directamente a nuestra avestruz.

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¡Avestruz al horno!

Si cuenta usted con una familia numerosa -y excéntrica- puedeofrecerles una majestuosa Avestruz (rellena, vaya usted a saberde qué) al Horno. Si la avestruz de 180 kg se encuentra atemperatura ambiente T0 = 300K y el horno está precalentado aTa = 463K, el ave alcanzará la temperatura necesaria paraeliminar el riesgo de salmonelosis y quedar exquisitamentecocida (T = 356K) en solo

tavestruz = 20± 7h. (30)

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¡Buen Provecho!

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