autocorrelacion internet

8/18/2019 Autocorrelacion INTERNET

1/23

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE ECONOMIA

DPTO. DE ECONOMETRIA Y METODOS CUANTITATIVOS

E C O N O M E T R I A I

M. Sc. Eco. LUIS A. ROSALES GARCÍA

CASTILLA, AGOSTO DEL 2001


2/23

CAPITULO I

PERTURBACIONES AUTOCORRELACIONADAS

Existe autocorrelación cuando el término de error de un modeloeconométrico está correlacionado consigo mismo a través del tiempo, es decir:

.E u ui s( ) ≠ 0

I.1. CAUSAS

1º EXISTENCIA DE CICLOS Y TENDENCIAS

La autocorrelación positiva está asociada a la existencia derachas de valores altos y bajos de .Yt

Si (debido a la inercia de la mayoría de las variablesmacroeconómicas) la variable endógena del modelo econométricopresenta ciclos y éstos no son bien explicados por las variablesexógenas del modelo, el término de error tendrá autocorrelación.

La mayoría del a s v a r i a b l e seconómicas tienenu n a t e n d e n c i a ,g e n e r a l m e n t ecreciente. Si e lconjunto de variablese x p l i c a t i v a s d e lmodelo no explicanadecuadamente dichoc o m p o r t a m i e n t o ,entonces el términode error incorporarádicha tendencia, y elloc o n d u c e a l ae x i s t e n c i a d ea u t o c o r r e l a c i ó npositiva: Una racha de residuos negativos seguida por otra racha deresiduos positivos.

2º VARIABLES OMITIDAS

Si el verdadero modelo que explica el comportamiento de la


3/23

2

Y X X ut t t t= + + +β β β1 2 2 3 3

Y X vt t t= + +β β1 2 2

v u Xt t t= + β 3 3

r t

Dt

Dt

ut

t T= + + + > < =β β β β β1 2 3

22

03

0 1 2, , ,...,

r t Dt vt t T= + + =δ δ1 2 1 2, ,...,

variable endógena es :

pero, se especifica el modelo siguiente :

donde :

Si la variable presenta autocorrelación, entonces elX t3término de error v t también estará autocorrelacionada, incluso si utestaba libre de tal problema.

3º RELACIONES NO LINEALES

Supongamos que la verdadera relación entre los tipos deinterés y el stock de capital de Deuda Pública ( ) es :D t

donde,∂

∂β β

r

DDt

t t

= +2 3

2

nos indica que los tipos de interésaumentan al crecer el stock deDeuda, aunque menos queproporcionalmente. Tanto menor cuanto mayor es .D t

Si se especifica el modelo lineal :

entonces, se tendrá una racha de residuos negativos, seguida deotra racha de residuos positivos, para terminar con otra rachanegativa. Ello generará autocorrelación del término de error.

4º RELACIONES DINÁMICAS

La mayoría de las relaciones entre variables económicas seextienden a más de un período, especialmente si el período deobservación de los datos es mensual o trimestral. Por ejemplo : se

tienen relaciones entre inflación y crecimiento de la ofertamonetaria, del tipo :


4/23

3

π β β β πt t t tm u= + + +−1 2 3 1

Y Y V

Y X U V

= +

= + +

*

Β

La omisión del retardo de la variable endógena haría que eltérmino de error del modelo incorporara dicha variable, mostrandociertas propiedades sistemáticas, que no serían sino reflejo de lainfluencia de sobre .π t −1 π t

5º ERROR DE MEDIDA

Es poco probable que los procedimientos de estimaciónproduzcan errores que sean aleatorios de un período a otro, deforma, que si :

donde, Y es el vector de valores observados de Y.

son los verdaderos valores de Y.Y*

V el vector de errores de medida.

el término de perturbación es U + V que puede exhibir autocorrelación, bien debido a U, a V o a los dos.

6º POSIBLES CAMBIOS DE ESTRUCTURA

Que provocan errores sistemáticos de infra o supervaloraciónpor períodos y, por tanto, una autocorrelación positiva de losresiduos en cada subperíodo.

7º DATOS DE CORTE TRANSVERSAL

Pueden darse ciertos efectos de proximidad que provoquenautocorrelación entre las perturbaciones.

I.2. CONSECUENCIAS

1º El estimador M.C.O. sigue siendo insesgado en un modelo conautocorrelación en el que las variables explicativas seandeterministas.

2º Ya no es el estimador lineal insesgado de mínima varianza. Existesesgo sistemático en el cálculo de sus varianzas muestrales.

3º Incorrecta aplicación de los contrastes de significación.


5/23

4

E

T

P O S I B L E

A U T O C O R R E L A C I O N

P O S I T I V A

E

T

P O S I B L E


N E G A T I V A

E

T

P O S I B L E

A U S E N C I A D E


Q P M R C ut t t t t t1 1 1 1 11 2 3 4 5= + + + + +β β β β β

I.3. CONTRASTES

1º GRÁFICO

Ningún contraste de autocorrelación debe excluir un examenriguroso de los residuos generados en la estimación del modelo.

(A) Dicho examen debe incluir el gráfico de la serie de residuosde igual signo, que serían un claro indicio de autocorrelaciónde primer orden.

EJERCICIO

Supongamos que se especifica el modelo siguiente :

y se quiere verificar ausencia de autocorrelación de primer orden.

Primero estimamos el modelo, así :

Quick Estimate Equation Q1 C P1 M1 R1 C1 OK,⇒ ⇒ ⇒luego marcamos residuos con el comando siguiente :

Procs Make Residual Series, el computador crea la nueva⇒serie con el nombre RESID1, entonces se gráfica con lasiguiente instrucción :

Quick Graph RESID1 @TREND(1985.1) OK⇒ ⇒ ⇒ Scatter Diagram Single Scale OK, el EVIEWS nos⇒ ⇒ ⇒

muestra el siguiente gráfico :


6/23

5

-100

-50

0

50

0 5 10 15 20 25

R E S I D 1

@TREND(1985.1)

El gráfico obtenido separece al tercer gráfico de los

anteriores, por lo tanto,concluimos que no existeindicios de autocorrelación deprimer orden.

(B) El examen del gráfico de contra . Si la mayoría de los$u t $u t −1puntos en dicho gráfico se hallan en el primer y tercer

cuadrante, entonces hay indicio de autocorrelación positivade primer orden. Si se hallan en el segundo y cuarto,entonces hay indicio de autocorrelación negativa de primer orden.

La limitación de este procedimiento es que sólo esrealmente útil si la autocorrelación puede aproximarse por unmodelo autorregresivo de orden uno.

EJERCICIO

En el archivo de trabajo tenemos los residuosestimados (RESID1), a continuación se gráfica con elcomando siguiente:

Quick Graph RESID1 RESID1(-1) OK Scatter ⇒ ⇒ ⇒ ⇒Diagram Single Scale OK, el computador nos muestra⇒ ⇒el siguiente gráfico :

Observamos en el gráfico

que la nube de puntos estáesparcida en los cuatro cuadrantes,por lo tanto, concluimos que noexiste indicios de autocorrelaciónde primer orden.


7/23

6

[ ( ) . ( ) , ( ) . ( ) ]E n Var n E n Var n− +196 196

E n

Var n

T T

T T

T T T T T TT T T T

( )

( ) ( )( ) ( )

= +

=

+

− −+ + −

1 2

2 21

1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

1 22

1 2

(C) EL TEST DE RACHAS

Se basa en las rachas de residuos de igual signo : si

hay pocas rachas, quiere decir que los residuos apenascambian de signo, entonces existe probable correlaciónpositiva. Si hay muchas rachas, entonces existe evidencia deautocorrelación negativa.

Tenemos que calcular la media y varianzas de lasrachas, así :

donde, T es el número total de observaciones, T1 es elnúmero de residuos positivos, T2 es el número de residuosnegativos y n es el número de rachas de igual signo.

Si el tamaño muestral es suficientemente grande,entonces la variable n puede aproximarse a una distribuciónnormal, por lo que con un 95 % de confianza, sus valoresdeberían estar en el intervalo :

En caso contrario, debería rechazarse la hipótesis nulade ausencia de autocorrelación, siendo ésta positiva si n estáa la izquierda del intervalo y negativa si está a la derecha.

EJERCICIO

En el archivo de trabajo tenemos los residuosestimados (RESID1), a continuación se observan con elcomando siguiente : SHOW RESID1 y el computador nosmuestra :

RESID1============================================

Modified: 1985:1 1990:4 // eq1.makeresid1985:1 -15.70622 -0.570948 5.209713 -3.056230

1986:1 -16.02646 18.45952 12.86312 31.08897 1987:1 -11.84675 -14.02071 15.80160 -4.631590 1988:1 -4.522475 2.066781 -2.310079 2.877531 1989:1 11.52880 1.854023 -3.304130 -84.07878

1990:1 5.855036 -5.775373 27.17033 31.07432============================================


8/23

7

100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

1985 1986 1987 1988 1989 1990

Q1 Residuals

[8. , . ]304529472 17 69547053

E(n) 1 2(12)(12)

12 12 13

Var(n) 2(12)(12)[2(12)(12) 12 12]

(12 12)2(12 12 1) 5.739130435

= + + =

= − −

+ + − =

Observando la tabla se determina que T1 = 12 y T2 = 12. Acontinuación obtenemos el gráfico de los residuos, así :

EQ01 View Actual, Fitted, Residual Residual Graph,⇒ ⇒ ⇒el computador nos muestra el siguiente gráfico :

analizando el gráfico, deducimos que existen 14 rachas.

A continuación, calcularemos la media y la varianza delas rachas, de la forma siguiente :

El intervalo sería :

Como el número de rachas es 14 y cae dentro delintervalo; por lo tanto, ausencia de autocorrelación deprimer orden.

(D) TABLA DE CONTINGENCIA

Bajo la hipótesis nula de ausencia de autocorrelaciónde primer orden, los sucesos independientes serían lossignos de los residuos del modelo en dos instantesconsecutivos de tiempo, t-1 y t. Puede diseñarse la tabla :


9/23

8

( ) ( ) ( ) ( )T N

N

T N

N

T N

N

T N

N

11 112

11

12 122

12

21 212

21

22 222

22 1

2− − − −+ + + ≈ χ

T T

T T

T

T

T

N

T T

T

T T

N

T T

T

T T

N

T

T

T

N

11 1 12 1

21 1 22 1

12

12

11

1 2 1 2

12

2 1 2 1

21

22

22

22

= = = =

= = = =

− −

− −

T T T T11 12 21 2212

24 1

2

6 260869565= = = = =−( )

.

# de residuospositivos en t

# de residuos negativos en

t

# de residuospositivos en t-1

T11 T12 T1

# de residuosnegativos en t-1

T11 T22 T2

T1 T2 T - 1

donde, T21 es el número de residuos negativos que estánseguidos de residuos positivos en el siguiente período.

Si el término de error del modelo estuviese libre deautocorrelación, entonces debería ser igualmente probableencontrar residuos positivos y negativos un período despuésde haber observado un residuo positivo (o negativo);entonces, se debería tener las siguientes igualdades entre lostamaños submuestrales :

Si el tamaño muestral es suficientemente grande,entonces el estadístico es :

EJERCICIO

Primero, calculamos los Ti i , así :

porque el número de residuos positivos es igual al número deresiduos negativos.

A continuación, obtenemos el estadístico de lasiguiente forma :


10/23

9

4 6 260869565 23

23 1

22

48 73017177 3 84( . )

. .−

= 〉 =χ

DW d

u u

u

t t

T

t

T= =

− −∑

∑

( $ $ )

$

12

2

2

2

Si comparamos el estadístico con el valor de la tabla,concluimos que existe autocorrelación de primer orden.

2º DURBIN - WATSON

Si se sospecha que el término de error del modeloeconométrico tiene autocorrelación de primer orden: ,u ut t t= +−ρ ε1donde no tiene autocorrelación, entonces el estadístico DWε tpermite contrastar la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación

de primer orden. El estadístico se define:

La autocorrelación de primer orden con coeficiente ρ

positivo hace que valores positivos del término de error u t , tiendan

a venir seguidos de valores positivos, y valores negativos tiendanasimismo a venir seguidos de valores negativos; entonces la

diferencia será menor que el valor de y tendríamos que$ $u ut t− −1 $u t

, por lo tanto, el numerador de d será pequeño en( $ $ ) $u u ut t t−


11/23

10

4 4 - d L 4 - d U 2 d U d L 0

99 Autocorre- 99 Zona de 99 Ausencia de autocorre- 99 Zona de 99Autoco-99 lación ne- duda. lación de primer orden duda. rrelación gativa de positiva 1º orden. de 1ºorden

Dada la dependencia de cualquier valor calculado de d sobrela matriz X asociada, no es posible calcular valores críticos exactosde d para todos los casos posibles.

Durbin-Watson establecieron las cotas superior e( )d Uinferior para los valores críticos. Las cotas tabuladas sirven( )d Lpara verificar la hipótesis de autocorrelación nula frente a laalternativa de autocorrelación positiva de primer orden.

El procedimiento de verificación es el siguiente :

* se rechazará la hipótesis ded d L<

autocorrelación nula en las u en favor dela hipótesis de autocorrelación positiva deprimer orden.

* no se rechazará la hipótesis nula.d d U>

* el test no es concluyente.d d dL U< <

Si el valor muestral de d es mayor que 2, se desearía verificar la hipótesis nula frente a la alternativa de autocorrelación negativade primer orden. El procedimiento apropiado sería calcular 4 - d ycomparar este estadístico con los valores tabulados de yd L d U

como si fuera a contrastar para el caso de autocorrelación positiva.Nos daría el siguiente diagrama:

Las cotas y obtenidas por D -W suponen que hay und U d Ltérmino constante incluido en la regresión, y no son estrictamenteválidos en otro caso. Dichas cotas están obtenidas sobre elsupuesto de que todas las variables incluidas como explicativas sondeterministas.

EJERCICIO

Verificaremos ausencia de autocorrelación de primer orden,por lo tanto, utilizamos el estadístico Durbin-Watson que se tieneen la estimación del modelo, luego buscamos en la tabla de Durbin -Watson a un nivel de significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 24 observaciones y cuatro variables explicativas ( excluyendo


12/23

11

0 1.01 1.78 2

d L d U ƒƒ

1.832160 D - W

h T

TVar =

−$

( $ )ρ

β1 2

el intercepto ); a continuación aplicamos la regla correspondiente:

Como el DW supera la cota superior entonces no se rechazala hipótesis nula, es decir, hay ausencia de autocorrelación positivade primer orden.

3º DURBIN

En el caso en que las únicas variables estocásticas incluidascomo explicativas son los retardos de la variable endógena, Durbinsugirió utilizar el siguiente estadístico :

donde, es la varianza de la estimación M.C.O. delVar( $ )β2coeficiente del primer retardo de Y t .

estimación habitual del parámetro .$ρ ρ

Si no hay autocorrelación de primer orden, el estadístico htiene una distribución que se aproxima a N(0,1) cuando el tamañomuestral tiende a infinito.

Como la hipótesis alternativa es, o bien que existaautocorrelación positiva de primer orden, o bien que existaautocorrelación negativa de primer orden, el contraste de lahipótesis nula debe ser, lógicamente contraste de una sola cola.

Durbin probó que cuando el tamaño muestral tiende a infinito,un modo equivalente de llevar a cabo el contraste anterior ( cuandoel radicando salga negativo ), a saber :

(1) Estimar una regresión de los residuos M.C.O. de la regresiónlineal sobre un retardo de los mismos, todos lo retardos de lavariable endógena incluida en el modelo, y las demásvariables explicativas.

(2) Rechazar la hipótesis nula si el coeficiente de resulta$ut −1significativamente diferente de cero ( " t " ).


13/23

12

Q P M R C Q vt t t t t t t1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 1= + + + + + +−β β β β β β

h =−

=


14/23

13

2 2.572 3.374 4 ƒƒ 4 - d U 4 - d L

2.353052 d 4

u ut t t= +−φ ε4 4

d

u u

u

t t

T

t

T4

42

5

2

5

=

− −∑

∑

( $ $ )

$

La especificación apropiada es en este caso :

y la hipótesis nula es .φ4 0=

Propone una modificación del test de Durbin-Watson, de lasiguiente forma :

donde, son los residuos de M.C.O. tradicionales.$u

Obtiene cotas superiores e inferiores para bajo el supuestod 4de que la matriz X sea no estocástica.

EJERCICIO

Los residuos de M.C.O. del modelo original se tienen con elnombre RESID1, luego se calcula el estadístico de Wallis de lasiguiente forma :

Genr D4 = @SUM((RESID1-RESID1(-4))^2)/@SUM(RESID1^2)⇒ ⇒1986.1 1990.4 OK, nos da como resultado 2.353052.⇒

Buscamos en la tabla de Wallis a un nivel de significancia del5 % la cota inferior y superior considerando cuatro variablesexplicativas y 20 observaciones; resultando :

como el estadístico de Wallis es menor a 4 menos la cota superior entonces hay ausencia de autocorrelación de cuarto orden.

5º EN BASE AL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE (LM)

Puede usarse para los casos de indeterminación para elestadístico d de Durbin-Watson, o de imposibilidad de obtención

para el h de Durbin y para verificar autocorrelación de cualquier orden.


15/23

14

LM T k R

p R F p T k

*( , )

( )

( )=

−

−≈ −

2

21

El procedimiento consta de las siguientes etapas :

(1) Se estima el modelo original por M.C.O. y se recupera los

residuos.

(2) Regresionar los residuos de la ecuación, en las variablesexplicativas de las misma, y en los residuales con p períodosde rezago; y obtención del R2 de la estimación.

(3) Calcular el estadístico de prueba para la autocorrelación deprimer orden : LM = TR2, siendo R2 el coeficiente dedeterminación de la regresión de la etapa 2 y T el tamañomuestral de la misma.

El estadístico LM sigue aproximadamente unadistribución normal con p grados de libertad, y la regla dedecisión :

Si crítico Existe autocorrelación significativaLM > χ 2

de orden p.

Si crítico No ex is te au tocor re lac iónLM < χ 2

significativa de orden p.

Harvey ha llegado a demostrar que en muestras pequeñas, elcontraste LM pierde confiabilidad, maximizando la probabilidad deocurrencia de errores tipo, y para tales casos propone la siguientemodificación para el estadístico de prueba :

La regla de decisión sigue siendo la misma.

EJERCICIO

Comprobaremos que no existe autocorrelación de primer orden. Abrimos la estimación del modelo original y se ejecuta lasiguiente instrucción :View Residual Tests Serial Correlation LM Test 1 OK⇒ ⇒ ⇒ ⇒y el EVIEWS nos muestra el siguiente resultado :

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=======================================================F-statistic 0.020702 Probability 0.887194

Obs*R-squared 0.027570 Probability 0.868123=======================================================


16/23

15

LM TR = = < =2 0.05,120 027570 384. . ( )χ

LM F*

( , )

( )( . )

( . ). .=

−

−= < =

24 6 0 001149

1 1 0 0011490 020702 4 41 0.05,118

LM TR = = < =2 0.05,220 057883 599. . ( )χ

LM F*( , )

( )( . )

( . ). .

=

−

− = < =

24 7 0 002412

2 1 0 0024120 02055157 359

0.05,2 17

Q T s

T

m= ≈

∑$ρ χ2

1

2

Si fuera muestra grande tendríamos :

entonces no existe autocorrelación significativa de segundo orden.

En nuestro caso, se trata de una muestra pequeña, utilizamosel contraste de Harvey; entonces se aplica la fórmula :

concluimos que no hay autocorrelación de segundo orden.

Ahora, verificaremos que no existe autocorrelación desegundo orden. Abrimos la estimación del modelo original y seejecuta la siguiente instrucción :View Residual Tests Serial Correlation LM Test 2 OK⇒ ⇒ ⇒ ⇒y el EVIEWS nos muestra el siguiente resultado :

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=======================================================F-statistic 0.020550 Probability 0.979684Obs*R-squared 0.057883 Probability 0.971473=======================================================

Si fuera muestra grande tendríamos :

entonces no existe autocorrelación significativa de segundo orden.

En nuestro caso, se trata de una muestra pequeña, utilizamosel contraste de Harvey; entonces se aplica la fórmula :

concluimos que no hay autocorrelación de segundo orden.

6º BOX - PIERCE

Sea el coeficiente de autocorrelación de y , siendoρs $u t $u t −1s = 1, 2, 3, ..., m. Denotemos como Q al estadístico de prueba deautocorrelación de Box - Pierce, tal que :


17/23

16

Q T T T s s

T*

( ) ( ) $= + − −∑2 1 21

ρ

QLB = < =0 0276 384 0.05,12. . ( )χ

se han detectado algunas irregularidades en las propiedades del

mismo cuando se trabaja con muestra pequeña. Para esos casos,Ljung y Box (1978) demostraron que la consideración de los gradosde libertad producen un contraste más adecuado, quedando comoresultado el siguiente estadístico :

En ambos casos, la hipótesis de autocorrelación significativade orden m es aceptada si el valor calculado del estadístico superaal valor crítico de la tabla con m grados de libertad.

EJERCICIO

Verificaremos que no existe autocorrelación de segundoorden, como la muestra es pequeña aplicamos el contraste de Ljungy Box.

Abrimos la estimación del modelo original y se ejecuta elsiguiente comando :

View Residual Tests Correlogram - Q - Statistics 2 OK⇒ ⇒ ⇒ ⇒ y el computador nos da el siguiente resultado :

Correlogram of Residuals=====================================================Sample: 1985:1 1990:4Included observations: 24===================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob===================================================== . | . | . | . | 1 0.032 0.032 0.0276 0.868 . | . | . | . | 2 -0.034 -0.035 0.0605 0.970=====================================================

Tenemos :

1º Para verificar autocorrelacción de primer orden :

concluyéndose que no existe autocorrelación de primer orden.


18/23

17

u ut t t= +−ρ ε1

QLB = < =0 0605 599 0.05,22

. . ( )χ

Y X ut t t= + +β β1 2 1( )

Y X ut t t− − −= + +1 1 2 1 1 2β β ( )

ρ ρ β ρ β ρY X u at t t− − −= + +1 1 2 1 1 2( )

Y Y X X u ut t t t t t− = − + − + −− − −ρ β ρ β β ρ β ρ1 1 1 2 2 1 1

Y Y X X u ut t t t t t− = − + − + −− − −ρ ρ β β ρ ρ1 1 2 1 11( ) ( )

Y Xt t t* * *= + +β β ε1 2

2º Para verificar autocorrelación de segundo orden :

concluyéndose que no existe autocorrelación de segundoorden.

I.4. CORRECCIÓN

(A) CUANDO SE CONOCE LA ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN

Asumamos un esquema autorregresivo de primer orden :

donde y satisface los supuestos de mínimos cuadrados ordinariosρ 〈1 ε tde valor esperado cero, varianza constante y no autocorrelación.

El modelo es :

se rezaga el modelo un periodo :

multiplicamos la ecuación (2) por :ρ

restamos (2a) de (1), nos da :

factorizando se obtiene :

renombrando variables resulta :

Como cumple con los supuestos de mínimos cuadradosε tordinarios, entonces se aplica mínimos cuadrados ordinarios y seobtienen estimaciones MELI con todas las propiedades óptimas.

La regresión se conoce como ecuación de diferencia generalizada.En este proceso de diferenciación se pierde una observación, puesto quela primera de ellas no tiene observación que le anteceda. Para evitar estapérdida de una observación, las primeras observaciones de Y y de X setransforma de la siguiente manera :


19/23

18

Y Y X X1 12

1 1

21 1* *= − = −ρ ρ

Y X t ut t t= + + +β β β1 2 3

d o d

= − = −2 1 12

( $ ) $ρ ρ

$ ( )

ρ = − +

−

n k

n k

d22

2

2 2

1

Y Y X X u ut t t t t t− = − + −− − −1 2 1 1β ( )

∆ ∆Y Xt t t= +β ε2

∆ ∆Y Xt t t= + +β β ε2 3

Esta transformación se conoce como transformación de Prais - Winsten.

(B) CUANDO NO SE CONOCE LA ESTRUCTURA DE AUTOCORRELACIÓN

1º Basado en el estadístico d de Durbin - Watson

Sabemos que :

Lo cual sugiere una forma simple de obtener una estimación de a partir ρ

del estadístico Durbin - Watson estimado. Esta relación es solamente unaaproximación y puede no cumplirse para muestras pequeñas.

Para muestras pequeñas, se puede utilizar el estadístico dmodificado de Theil - Nagar :

A continuación se utiliza la ecuación de diferencia generalizada y seaplica el método de mínimos cuadrados ordinarios para su estimación.

2º Correlación serial perfecta

2.1. Método de la p rim era d iferen cia :

Si , entonces la ecuación en diferencias generalizadas queda :ρ = 1

que se puede escribir de la siguiente manera :

se conoce con el nombre de modelo en primera diferencia.

En este caso no hay intercepto en el modelo. Si el modelo originalfuera :

donde t es una variable de tendencia. La transformación de primeradiferencia es :


20/23

19

H0 1:ρ =

ge

u

t

t

T

t

t

T= =

=

∑

∑

$

$

2

2

2

1

Y Y X X u ut t t t t t+ = + + + +− − −1 1 2 1 12β β ( )

Y Y X X u ut t t t t t+ = + +

+ +− − −1

1 2

1 1

2 2 2β β

donde es el coeficiente de la variable de tendencia.β 3

Para verificar si la correlación serial positiva es perfecta, se tiene la

Prueba de Berenbluth - Webb, que se plantea de la siguiente manera :

1º La hipótesis nula es existencia de correlación serial de primer ordenpositiva perfecta, es decir :

2º El estadístico se calcula de la siguiente forma :

El numerador son los residuos de mínimos cuadrados ordinarios dela regresión en primera diferencia y el denominador son los residuos demínimos cuadrados ordinarios del modelo original.

Si el modelo original contiene un término constante, se puedeutilizar las tablas de Durbin - Watson para probar el estadístico g.

2.2. Método del pr om edi o móvil :

Si , entonces la ecuación en diferencias generalizadas es :ρ = − 1

se puede escribir de la siguiente manera :

se conoce con el nombre de regresión de promedios móviles (2 períodos).

2.3. Procedim iento i terativo de Coch rane - Orcut t :

Se trata del procedimiento más usado y uno de los más importantespara el tratamiento de la autocorrelación, dado que está basado en la


21/23

20

$

$ $

$

ρ =

−∑

∑

u u

u

t t

T

t

T

1

2

2

2

estimación de como coeficiente de autocorrelación propiamente dicho,ρ

en base a la expresión :

El procedimiento es como sigue :

(1) Estimación por M.C.O. del modelo original y obtención del estimador de la autocorrelación de Cochrane - Orcutt, con el fin de aplicar la

ecuación de diferencias generalizadas.(2) A partir de los residuos M.C.O. de la ecuación de diferencias

generalizadas de la primera etapa, obtener un nuevo estimador deCochrane - Orcutt; el mismo que se reemplaza en una nuevaecuación de diferencias generalizadas.

(3) De los residuos M.C.O. de la ecuación de diferencias generalizadasanterior, pueden lograrse una nueva estimación del coeficiente deautocorrelación, para de esta manera reemplazarlo en una nuevaecuación de diferencias generalizadas, y así sucesivamente, el

proceso puede repetirse hasta que las estimaciones sucesivas deñ no difieran entre sí ( en menos de 0.01 o 0.005), pudiendo lograrse2, 5 10 o más iteraciones.

Debe tenerse en cuenta que muchas veces un elevado número deiteraciones, cercano al número de observaciones, transforma lainformación original, dificultando notablemente la interpretación lógica delas relaciones entre las variables.

EJERCICIO

Supongamos que la estimación tuvo autocorrelación de primer orden, se corrige con la siguiente instrucción en el Eviews :

Quick ±± Estimate Equation ±± Q1 C P1 M1 R1 C1 AR(1) ±± OK

el computador emplea el método de COCHRANE - ORCUTT y le da elresultado siguiente :


22/23

21

$ $ $u ut t t= +−ρ ε1

Y Y X X u ut t t t t t− = − + − + −− − −$ ( $ ) ( $ ) $ρ ρ β β ρ ρ1 1 2 1 11

Y X X Yt t t t t= − + − + +− −( ) ( )1 11 2 2 1 1ρ β β ρβ ρ ε

LS // Dependent Variable is Q1Sample(adjusted): 1985:2 1990:4Included observations: 23 after adjusting endpoints

Convergence achieved after 6 iterations=========================================================== Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob.=========================================================== C 155.5032 253.2345 0.614068 0.5473 P1 -0.957648 1.895793 -0.505144 0.6199 M1 3.554249 0.276112 12.87249 0.0000 R1 0.701198 0.138989 5.044985 0.0001 C1 4.517882 3.049668 1.481434 0.1568 AR(1) 0.043108 0.262008 0.164529 0.8713===========================================================R-squared 0.963843 Mean dependent var 2085.000Adjusted R-squared 0.953209 S.D. dependent var 119.0206S.E. of regression 25.74560 Akaike info criter 6.715985Sum squared resid 11268.21 Schwarz criterion 7.012201Log likelihood -103.8694 F-statistic 90.63536Durbin-Watson stat 1.923314 Prob(F-statistic) 0.000000===========================================================Inverted AR Roots .04===========================================================

2.4. Procedim iento de dos etapas de Cochrane - Orcut t :

Las etapas son las siguientes :

I Etapa : Se estima ñ a partir del siguiente modelo :

II Etapa : Estimar la ecuación en diferencia generalizada con , así :$ρ

Algunas veces, en la práctica este método de dos etapas produceresultados bastante similares a los obtenidos en el procedimiento iterativo.

2.5. Método de Du rb in :

La ecuación en diferencia generalizada es :

Durbin sugiere los siguientes pasos :

1º Estimar el modelo (1) y trátese el valor estimado del coeficiente de


23/23

22

Y Y Y y X X Xt t t t t t* *

$ $= − = −− −ρ ρ1 1

Y Xt t t* * *= + +β β ε1 2

regresión de como una estimación de . El estimador esYt− =1( $ )ρ ρ

sesgado, pero consistente.

2º Transfórmese las variables como :

el modelo a estimar sería :

se aplica mínimos cuadrados ordinarios.

2.6. Máxim a Vero sim il i tud :

Comprende procedimientos de estimación no lineales (en losparámetros).

2.7. Procedim iento de Hildreth - Lu :

Como ñ oscila entre -1 y 1. Se utiliza intervalos de 0.1 ytransformando los datos mediante la ecuación en diferencia generalizada,se obtienen nueve modelos, que se estiman por mínimos cuadradosordinarios.

Se elige el modelo estimado que tiene la menor sum residual o$u t

T2

1

∑

el máximo coeficiente de determinación .( )R 2

autocorrelacion internet

Documents