aula 01 de sistemas de controle i

8/18/2019 Aula 01 de Sistemas de Controle I

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Universidade Federal do ABC – UFABC

EN2704: SISTEMAS DE CONTROLE I

AULA 1

ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA E DE REGIME ESTACIONÁRIOPARA SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

PRO F. DR. ALFREDO D EL SOLE LORDELO

TEL A C HEIA PRÓXIMA

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UFABC EN2704: Sistemas de Controle I - Aula 1 c Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo

Análise de estabilidade

Considere o sistema dinâmico descrito por

ẋ(t) = f (t, x) (1)

com condição inicial x(0) = x0 cujo ponto de equilı́brio xe é determinado de maneira que f (t, xe) = 0,

∀t ≥ 0.

Considere também S (δ ) uma região que consiste em todos os estados tais que ||x(t) − xe|| ≤ δ e

S (ξ ) a região que consiste em todos os estados nos quais ||x(t) − xe|| ≤ ξ , para todo t > 0.

Figura 1: Análise de estabilidade segundo Lyapunov.

An´ alise de resposta transit´ oria e de regime estacion´ ario

para sistemas de primeira ordem

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Análise de estabilidade

• Um ponto de equilı́brio xe do sistema (1) é estável no sentido de Lyapunov (Figura 1 (a)), se para

cada S (ξ ) houver um S (δ ), de maneira que para toda condição inicial x0 em S (δ ), a trajetória de

estado não deixe S (ξ ) à medida em que t aumenta.

• Um ponto de equilı́brio xe do sistema (1) é assintoticamente estável (Figura 1 (b)), se for estável no

sentido de Lyapunov e se para toda condição inicial x0 em S (δ ), a trajetória de estado convirja paraxe, sem deixar S (ξ ), à medida em que t aumenta.

• Um ponto de equilı́brio xe do sistema (1) é instável (Figura 1 (c)), se para algum S (ξ ) e S (δ ), não

importando o quanto pequeno sejam, há sempre uma condição inicial x0 em S (δ ), tal que a trajetória

de estado iniciada neste ponto deixe a região S (ξ ).

Figura 1: Análise de estabilidade segundo Lyapunov.





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Introduç ˜ ao

A análise e o projeto de sistemas de controle deve ter uma base de comparação de desempenho

para vários sistemas de controle.

Essa base é estabelecida através de sinais especı́ficos aplicados na entrada desses sistemas de

controle e comparando-se as respostas.

Os critérios de projeto têm como base as respostas dos sistemas a esses sinais ou às alterações

nas condições iniciais.

O comportamento da entrada a que o sistema será submetido com maior freqüência determina

quais sinais de entrada devem ser utilizados na análise das caracterı́sticas do sistema.

Os sinais de entrada para teste geralmente utilizados são as funções degrau, rampa, parábola,

impulso e seno.





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Resposta transitória e resposta estacionária

A resposta temporal de um sistema de controle c(t) é constituı́da de duas partes:

A resposta transitória ctr(t), que vai do estado inicial ao estado final.

A resposta estacionária css(t), que reflete o comportamento do sinal de saı́da à medida em que t

tende ao infinito.

Assim,

c(t) = ctr(t) + css(t)





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Sistemas de primeira ordem: resposta ao degrau unitário

A relação entre a entrada r(t) e saı́da c(t) de um sistema de primeira ordem é dado pela função de

transferência na formaC (s)

R(s) =

1

T s + 1 (2)

Considere que a entrada r(t) seja a função degrau unitário definida como

r(t) =

1 se t ≥ 0

0 se t


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na qual

a1 = s × 1

s(T s + 1)

s=0

= 1 e a2 = (T s + 1) × 1

s(T s + 1)

s=− 1

T

= −T

e, portanto

C (s) = 1s

− T T s + 1

= 1s

− 1s + 1

T

(3)

Aplicando a transformada inversa de Laplace da equação (3), temos que

c(t) = 1 − e−tT para t ≥ 0 (4)

Pela equação (4), a resposta c(t) se inicia em zero e se torna unitária e t = ∞.





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Em t = T , a resposta de c(t) alcança, aproximadamente, 63, 2% do valor de estado estacionário, pois

c(T ) = 1 − e−T T = 1 − e−1 = 0, 632

Também temos que

c(2T ) = 1 − e−2 = 0, 865

c(3T ) = 1 − e−3 = 0, 950

c(4T ) = 1 − e−4 = 0, 982

c(5T ) = 1 − e−5 = 0, 993

Na prática, considera-se que o valor de regime permanente é alcançado em quatro constantes de

tempo, ou seja, que a resposta do sistema esteja a menos de 2% do valor de estado estacionário.

A inclinação da reta tangente à curva exponencial de resposta c(t) = 1 − e−tT , em t = 0, é

dc(t)

dt

t=0= −e−

tT

−

1

T

t=0=

1

T e−

tT

t=0=

1

T (5)

e, portanto, quanto menor a constante de tempo T , mais rapidamente o sistema responde.





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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

c ( t )

t[s]

63, 2%

86, 5% 95, 0%

98, 2% 99, 3%

Inclinação = 1

T

Figura 2: Reposta do sistema de primeira ordem à entrada degrau unitário.





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MATLAB

clear

clc

close all

x0=0;

tspan=[0 5];

options=odeset(’RelTol’,1e-12);

[t y]=ode23(inline(’(1/1)*exp(-t/1)’,’t’,’x’),tspan,x0,options); % T=1

plot(t,y,’k’)

grid on

xlabel(’t’)

ylabel(’x(t)’)

print -deps h1.eps

% t=linspace(0,5,1000);

% y=1-exp(-t/1);

% plot(t,y,’k’)

% grid on





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Sistemas de primeira ordem: resposta à rampa unitária

Considere que a entrada r(t) seja a função rampa unitária definida como

r(t) =

t se t ≥ 0

0 se t


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Sistemas de primeira ordem: resposta à rampa unitária

Portanto

C (s) = 1

s2 −

T

s +

T 2

T s + 1 =

1

s2 −

T

s + T

1

s + 1T (6)

Aplicando a transformada inversa de Laplace da equação (6), temos que

c(t) = t − T + T e−tT para t ≥ 0 (7)

O sinal de erro é dado por e(t) = r(t) − c(t) = t − t + T − T e−tT = T (1 − e−

tT ) e, portanto, o erro em

regime estacionário é e(∞) = T .

Logo, quanto menor for a constante de tempo T , menor será o erro de regime estacionário para a

entrada rampa.





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Sistemas de primeira ordem: resposta ao degrau

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

c ( t )

t[s]

Erro de regime estacionárior(t)

c(t)

Figura 3: Reposta do sistema de primeira ordem à entrada rampa unitária.





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MATLAB

clear

clc

close all

x0=0;

tspan=[0 5];


[t y]=ode23(inline(’1-exp(-t/1)’,’t’,’x’),tspan,x0,options); % T=1

plot(t,y,’k’)

grid on

xlabel(’t’)

ylabel(’x(t)’)

print -deps h2.eps

% t=linspace(0,5,1000);

% y=t-1+1*exp(-t/1);

% plot(t,y,’k’)

% grid on





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Sistemas de primeira ordem: resposta ao impulso unitário

Considere que a entrada r(t) seja a função impulso unitário definida como

r(t) =

limt0→0

1

t0se 0 < t < t0

0 se t


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Sistemas de primeira ordem: resposta ao impulso unitário

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

c ( t )

t[s]

Figura 4: Reposta do sistema de primeira ordem à entrada impulso unitário.




UFABC EN2704 Si d C l I A l 1 P f D Alf d D l S l L d l


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MATLAB

clear

clc

close all

x0=1;

tspan=[0 5];


[t y]=ode23(inline(’-(1/1ˆ2)*exp(-t/1)’,’t’,’x’),tspan,x0,options); % T=1

plot(t,y,’k’)

grid on

xlabel(’t’)

ylabel(’x(t)’)

print -deps h3.eps

% t=linspace(0,5,1000);

% y=(1/1)*exp(-t/1);

% plot(t,y,’k’)

% grid on




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Exemplo

Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98, 2% da resposta a uma entrada em degrau. Su-pondo que o termômetro seja um sistema de primeira ordem, determine a constante de tempo. Se o

termômetro for imerso em um banho, cuja temperatura muda linearmente a uma taxa de 10o/min, qual

será o erro apresentado pelo termômetro?

Considerando que o regime permanente é alcançado em quatro constantes de tempo, temos que:

4T = 1 ⇒ T = 1

4 ⇒ T = 0, 25 min

A entrada r(t) é a função rampa dada por

r(t) =

10t se t ≥ 0

0 se t


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Exemplo

Expandindo em frações parciais, temos que

C (s) = 1

T s + 1×

10

s2 =

10

s2(T s + 1) =

b1s

+ b2s2

+ a1

T s + 1

na qual

a1 = (T s + 1) × 10

s2(T s + 1)

s=− 1T

= 10T 2

, b2 = s2

× 10

s2(T s + 1)

s=0 = 10 e

b1 = d

ds

s2 ×

10

s2(T s + 1)

s=0

= d

ds

10(T s + 1)−1

s=0

=

− 10(T s + 1)−2T

s=0= −10T

Portanto

C (s) = 10

s2 −

10T

s +

10T 2

T s + 1 =

10

s2 −

10T

s + 10T

1

s + 1T

Aplicando a transformada inversa de Laplace , temos que

c(t) = 10t − 10T + 10T e−tT para t ≥ 0

O sinal de erro é dado por e(t) = r(t) − c(t) = 10t − 10t + 10T − 10T e−tT = 10T (1 − e−

tT ) e, portanto, o

erro em regime estacionário é e(∞) = 10T = 10 × 0, 25 = 2, 5o.




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Propriedade

A comparação das respostas do SLIT de primeira ordem para essas três entradas mostra que a

derivada de um sinal de entrada pode ser obtida diferenciando-se a resposta do sistema para o sinal

original. Veja as equações (4), (7) e (9).

A resposta à integral do sinal original pode ser obtida pela integração da resposta do sistema ao

sinal original e pela determinação da constante de integração a partir da condição inicial de resposta

nula.

Esta é uma propriedade dos sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT). Os sistemas lineares

variantes no tempo e os sistemas não-lineares não possuem esta propriedade.






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f f

Refer ência principal

Ogata, K.; ”Engenharia de controle moderno“; 4a edição; Pearson & Prentice Hall; 2005.




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