asumimos nuestros retos · 8 asumimos nuestros retos con responsabilidad tus aprendizajes •...

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Asum

imos

nue

stro

s re

tos

co

n re

spon

sabi

lidad

Tus aprendizajes• Conoce y utiliza los conceptos y las operaciones básicas de la teoría de conjuntos para

aplicarlas en la solución de problemas.

• Crea secuencias con patrones de repetición que combinan criterios perceptuales y de posición y los representa con dibujos o símbolos.

• Identifica y construye ángulos teniendo en cuenta su clasificación y aplica propiedades en la solución de ejercicios y problemas.

• Identifica y emplea las nociones de población, muestra y variables estadísticas.

1

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9

1. Describe todo lo que observas en la imagen.

2. ¿Sabes por qué es importante practi-car deporte?

3. Observa el video. ¿Crees que la res-ponsabilidad influye en la trayectoria de un deportista?

4. Comenta con tu compañero(a). ¿De qué manera afecta a una persona la irresponsabilidad?

Observa, reflexiona y comenta

Entorno virtualIngresa a YouTube y observa el video “Tarea y responsabilidades de los niños“

https://www.youtube.com/watch?v=L40dX-u-uXw

Reflexiona y responde. ¿Qué papel cumple la responsabilidad en nuestra vida?

Las páginas web propuestas han sido verificadas. Es importante recordar que muchas de ellas tienen un período determinado de vigencia.

Democracia Derechos ResponsabilidadTICAutonomía

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Resuelve problemas de cantidad - Aritmética

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Conjunto: determinación

� Si vas a competir en una minimaratón, ¿qué vestimenta utilizarías?

Alejandra quiere participar en la minimaratón organizada por su municipalidad.

¿Qué conjunto puedes formar con la que utilizará Alejandra?

Determinación de conjuntos

Extensión

Comprensión

Cuando se nombran, uno a uno, los elementos que lo conforman.

Ejemplo: A = {zapatillas, polo, short, reloj}

Se dice que un conjunto está definido por comprensión cuando se da una característica que permite decir con certeza si un elemento pertene-ce o no al conjunto.

Ejemplo: A = {x/x es un implemento deportivo}

Los conjuntos se representan mediante cualquier letra mayúscula del abe-cedario y sus elementos se denotan mediante letras minúsculas, números o símbolos. Los elementos van encerrados entre llaves, separados por co-mas cuando son letras, y separados por punto y coma cuando son números.

Promueve el aprendizaje autónomo.

Construye tus aprendizajes

Activa tus saberes

Analiza la información

La palabra conjunto da la idea de una colección de objetos bien definidos, por ejemplo: zapatillas, polo, short, reloj, entre otros. Los objetos que con-forman el conjunto se les denomina miembros o elementos.

Recuerda

ImportanteEl cardinal de un conjun-to nos indica la cantidad de elementos diferentes del conjunto A y se denota por n(A).

� Elabora un mapa conceptual sobre determinación de conjuntos.

Utiliza la estrategia

¿Qué indumentaria

emplearé?

Clases de conjuntosUnitario: Tiene un solo elemento.Vacío: No tiene elementos.Finito: Cuando al contar los elementos se llega a un últi-mo elemento.Infinito: Es aquel que no es finito. No se puede determi-nar su cantidad de elemen-tos.Iguales: Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

L. Act. Pág. 12

Las tic en la matemática: http://matematicaabelortega.blogspot.pe/2012/02/sesion-determinacion-de-un-conjunto_26.html

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5Resuelve problemas de cantidad - Aritmética

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Pertenencia e inclusión de conjuntos

� ¿Cuáles son los países de América del Sur?

Solo los países vecinos de Perú participarán en la Maratón de América.

De los países que limitan con el nuestro, ¿cuál o cuáles de ellos se agru-pan en el conjunto cuyos nombres empiezan con la letra “B”?

Relación de pertenencia

Relación de inclusión

Se establece entre un elemento y un conjunto. Se utiliza el símbolo “” para indicar que un elemento pertenece a un conjunto; y el símbolo “”, cuando el elemento no pertenece al conjunto.

Ejemplo:A = {Ecuador, Colombia, Brasil, Bolivia y Chile}

Ecuador A Colombia A Brasil A Rusia A

Un conjunto está incluido en otro cuando todos los elementos del prime-ro son elementos del segundo. Se utiliza el símbolo “” para indicar que un conjunto está incluido en otro conjunto; y el símbolo “”, cuando un conjunto no se encuentra incluido en otro conjunto.

Ejemplo:A = {Argentina, Brasil, Perú, Bolivia} B = {Brasil, Bolivia}

Se puede afirmar que B A, se lee: “B está incluido en A”



Activa tus saberes


ImportanteConjunto potenciaDado el conjunto: A = {1; 2; 3}, determina su conjunto potencia y el núme-ro de elementos. Resolución:Dado el conjunto A, el conjunto potencia de A está formado por todos los subconjuntos de A, incluido el conjunto vacío y A.Se simboliza: P(A)Se lee: “Conjunto potencia de A”.Luego, tendríamos que: P(A) = {{1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, {1; 2; 3}, }El número de elementos de un conjunto potencia se cal-cula así: n(P(A)) = 2n(A)

En el ejemplo:n(A) = 3n(P(A)) = 23 = 8

Utiliza la estrategia � Elabora un cuadro comparativo entre la pertenencia y la inclusión.

¿Cuáles son los países

vecinos del Perú?

L. Act. Pág. 13

Tema: Slideshare: https://www.slideshare.net/greenangelvv/relacin-de-pertenencia-e-inclusin

Colombia

Ecuador

Bolivia

Perú

Chile

Argentina

Brasil

Paraguay

VenezuelaGuyanaGuyana francesaSurinam

Uruguay

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12

1. Dados los conjuntos:

5. Sea M = {{φ}; {4}; 4; {5}}. Determina el valor de verdad.

4. Si el conjunto P es unitario y

M = {2ª; 5 + b; 16; 17 – c}, calcula el valor de “(b + a) (a – c)”.

6. Sea el conjunto:

2. Observa el diagrama y determina la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes expresiones:

3. Si los conjuntos M y N son iguales, calcula el va-lor de “x + y”.

M = ; 17 ; N = {5; 3y + 2}

= 5 → 2x – 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8

3y + 2 = 17 → 3y = 17 – 2 → 3y = 15 → y = 5

Piden: x + y = 8 + 5 = 13

M = {x/x , x + 8 = 10}, N = {x/x , 3 < x < 9}

A = {1; 3; 5}

Determina el conjunto potencia de A.

I. φ M

II. {φ} M

III. {4} M

IV. {5} M

V. 5 M

VI. {4} M

Calcula el valor de “ (n(N) – n(M)”.

.f .g

.d.c.b

.e

.a

Determina por extensión:M = {2} → n(M) = 1 N = {4; 5; 6; 7; 8} → n(N) = 5Piden:

I. φ M … ( V )

II. {φ} M … ( F )

III. {4} M … ( V )

IV. {5} M … ( V )

V. 5 M … ( F )

VI. {4} M … ( V )

Como el conjunto es unitario, se tiene lo siguiente: 2ª = 16 → 2ª = 24 → a = 4 5 + b = 16 → b = 16 – 5 → b = 11 16 = 17 – c → c = 17 – 16 → c = 1Piden:(b + a)(a – c) = (11 + 4)(4 – 1) = (15)(3) = 45

El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos del con-junto A.P(A) = {{1}; {3}; {5}; {1;3}; {3;5}; {1;5}; {1;3;5}; φ}

Si los conjuntos son iguales, entonces ten-drán los mismos elementos.Luego, se tiene:

(n(N) – n(M) = 5 – 1 = 4 = 2

Analiza los ejemplos

Rpta.: El valor de “ n(N) – n(M) ” es 2.

Rpta.: Los valores son VFVVFV.

Rpta.: El valor de "(b + a)(a – c)" es 45.

Rpta.: P(A) = {{1}; {3}; {5}; {1;3}; {3;5}; {1;5}; {1;3;5}; φ}

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Rpta.: El valor de “x + y” es 13.

Resolución:

I. b C ( V )

II. c C ( F )

III. a B ( F )

IV. a B ( F )

C

A B

2x – 1 3

2x – 1 3

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A

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

B

Operaciones con conjuntos

� Si quieres saber cuál de tus compañeros juega en 2 o 3 equipos, ¿qué estrategia utilizarías?

Activa tus saberes


a. ¿Cuál es el color con el cual coinciden los dos amigos?

b. Si juntamos todas las pancartas, ¿qué conjunto formamos?


Operaciones con conjuntos

Unión de conjuntos

Intersección de conjuntos

La unión de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes a los conjuntos A y B.

Representación simbólica: A B y se lee: “A unión B” A B = {x /x A o x B}

I. A B III. A B = B

A B = {x /x A ∧ x B}

Yo voy a elaborar 4

pancartas con fondos: rojo, azul, verde y marrón, ¿qué

conjuntos formaremos?

Yo voy a elaborar

3 pancartas con fondos: amarillo, verde y celeste

Representación simbólica: A B y se lee: “A intersección B”.

II. A B =


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14

A AB B

Diferencia de conjuntos

La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A, pero que no pertenecen al conjunto B.

A – B

A D B = B D A

A – B = A

A D B = B D A = A B

A – B B – A

A D B = B D A = A – B

BA

BA

Representación simbólica: A – B y se lee: “A diferencia B” o “A menos B”,

A – B = {x /x A ∧ x B}

Observación: No es lo mismo A – B que B – A.

Representación simbólica: A ∆ B = {x/x (A – B) (B – A)}

A ∆ B = {x/x (A B) – (A B)}

Observación: A D B = B D A.

A A AB BB

Diferencia simétrica

Se llama diferencia simétrica de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos no comunes de A y B.

Ejemplo:Dados los conjuntos:

D = {2; 4; 6}; F = {6; 8; 10; 12}.

Determina el valor de D D F.

D – F = {2; 4}F – D = {8; 10; 12}(D – F) (F – D) = {2; 4; 8; 10; 12}

Resolución:

� Elabora un mapa conceptual sobre los tipos de operaciones con los conjuntos que hay.


L. Act. Pág. 14

Operaciones con conjuntos: http://www.slideboom.com/presentations/421608/Operaciones-con-conjuntos


Rpta.: El valor de “D D F” es {2; 4; 8; 10; 12}.

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1. Dados los conjuntos:

3. Si A = {a, b, c, d, e}, B = {a, b, d}, C = {c, e, b}, calcula el cardinal del conjunto "[(A B) – C] [A B]".

5. Si n[P(A)] = 128; n[P(B)] = 32, n[P(A B)] = 8, determina el cardinal de “P(A B)”.

4. La parte sombreada corresponde a:

M – (K L)

2. Observa el siguiente gráfico y expresa por ex-tensión cada conjunto.

a. (A B) – (B C)

b. (A B C) – (A – C)

A = {1; 2; 3; 5}B = {x/x ∧ x es divisor de 15}C = {x/x ∧ x es múltiplo de 3}

Calcula el valor de “n(A – (B C)”.


Determina los conjuntos por extensión:A = {1; 2; 3; 5}B = {1; 3; 5; 15}C = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; …}Luego: B C = {3; 15}A – (B C) = {1; 2; 5} Entonces: n[A – (B C)] = 3

A B = {a, b, c, d, e}[(A B) – C] = {a, d}[A B] = {a, b, d}[(A B) – C] [A B] = {a, d} {a, b, d} = {a, b, d}Piden: n{[(A B) – C] [A B]} = 3

n[P(A)] = 128 = 27→ n(A) = 7n[P(B)] = 32 = 25 → n(B) = 5n[P(A B)] = 8 = 23 → n(A B) = 3Entonces:n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) = 7 + 5 – 3 = 9Finalmente:n[P(A B)] = 29 = 512

(A B) – (B C) = {3; 5} – {4; 5} = {3}

(A B C) – (A – C) = {5} – {3; 9} = {5}

Rpta.: El valor de “n(A – (B C)” es 3.

Rpta.: El valor pedido es 3.

Rpta.: El cardinal de “P(A B)” es 512.

Rpta.: (A B) – (B C) = {3}

Rpta.: (A B C) – (A – C) = {5}

Resolución:

Resolución:

Resolución:Resolución:

Resolución:

.3 .1

.2

.8.6

.5.7 .4

.9

A

K

L

C

B

M

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Problemas con dos conjuntos

� ¿Qué alimentos consumes en el desayuno para estar saludable?

José consume en el desayuno leche y alterna pan con queso y pan con palta.


Activa tus saberes


Si 12 días come pan con queso y 20 días pan con palta, ¿cuántos días comerá los dos tipos de panes?

La mayoría de los problemas con conjuntos se resuelven utilizando gráfi-cos, porque con ellos se visualizan más fácilmente los datos.

Pan con queso Pan con palta

Come pan con queso Come pan con palta

ImportanteHay dos conjuntos A y B con sus respectivos elementos.

Si se quiere indicar gráfica-mente cuántos elementos hay en cada zona, el gráfico sería:

Cuando se indica la cantidad de elementos que hay en cada zona, solo se coloca el número sin el punto.

Donde:N(A) = 3 + 2 = 5N(B) = 2 + 4 = 6N(A B) = 2N(A B) = 9

A

A

B

B

.1.2

3

.3

.4

2

.5

.6

4

.7

.8.9

Q P

Come pan con queso y palta

Q P

No come ni pan con palta ni pan con queso

Q P

Come solo pan con queso o palta

Q P

Q P

Come solo pan con queso

Q P

No come pan con queso

Q P

Come pan con queso o palta

Q P


� Observa los gráficos. Luego, explica oralmente cada una de las con-signas dadas.

L. Act. Pág. 16

Razonamiento matemático: http://razonamiento-matematico-problemas.blogspot.com/2013/07/diagramas-de-venn-problemas-resueltos.html


En el mesde abril consumí solo

pan con queso por 12 días.Los 8 días que siguieron consumí solo pan con palta. ¿Cuántos días

de los que restan del mes no consumí pan?

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= x

= 100

= 100

= 58

1. Cierto grupo de estudiantes rindió exámenes de Ciencia y Tecnología y Personal Social. Los resul-tados fueron los siguientes:

3. Si de un grupo de 100 estudiantes, 50 aprobaron Matemática; 38, Comunicación, y 18 no aproba-ron las dos áreas, calcula cuántos aprobaron las dos áreas.

4. En un grupo conformado por 100 personas, 49 no llevan el curso de Zoología y 53 no siguen el curso de Botánica. Si 27 estudiantes no siguen Zoología ni Botánica, ¿cuántas personas llevan los dos cursos?2. Se sabe que de 58 niños, 35 practican bás-

quet; 28, vóleibol; y 18 los dos deportes. De-termina cuántos niños no practican ninguno de estos deportes.

• 42 aprobaron Ciencia y Tecnología.• 16 aprobaron Ciencia y Tecnología y Personal

Social.• 28 aprobaron Personal Social.• 6 no aprobaron examen alguno.

Calcula cuántos estudiantes hay en el grupo.


Grafica:

Grafica:

Grafica:

Grafica:

Del diagrama, se tiene:x = 26 + 16 + 12 + 6x = 60

Del diagrama, se tiene:100 = 18 + 50 – x + x + 38 – x x = 6

Del diagrama, se tiene:x + 27 = 53 → x = 26z + 27 = 49 → z = 22x + y + z + 27 = 100 → y + 48 + 27 = 100 → y + 75 = 100 → y = 25

x + z = 48

Del diagrama, se tiene:x + 17 + 18 + 10 = 58 x + 45 = 58 x = 13

Rpta.: En el grupo hay 60 estudiantes.

Rpta.: 6 estudiantes aprobaron las dos áreas.

Rpta.: 25 personas llevan los dos cursos.Rpta.: 13 estudiantes no practican ninguno de

estos deportes.

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

42–16=26

6

18

27

x

50 – x

x

35–18=17

28–16=12

38 – x

z

28–18=10

16

x

y

18

C = 42

M = 50

Z

B = 35

P = 28

C = 38

B

V = 28

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18

Problemas con tres conjuntos

� Entre los países que participan en los Panamericanos están: Brasil, Perú y Estados Unidos. ¿Qué espe-cialista necesitan para que se puedan comunicar?


Activa tus saberes


Qué bueno, porque

lo necesitamos para que todo se desarrolle

normalmente. ¿Qué idiomas hablas?

Buenos días, soy el

traductor que voy a apoyarlos en su

comunicación.

b. Observa e identifica las zonas que determinan tres conjuntos que re-presentan las áreas donde se ubican las personas que hablan portu-gués (P), inglés (I) y español (E).

a. ¿Sabes qué idiomas hablan los países participantes antes mencionados? ImportantePara saber el número de zo-nas:

1.° Si son dos conjuntos A y B aparecen 4 zonas:

(22 = 4)

2.° Si son tres conjuntos A, B y C se tienen 8 zonas: (23 = 8)

Además, se cumple que:

Además, se cumple que:

zona 1 zona 2 zona 3 zona 4 =

zona 3

zona 4

zona5

zona2

zona7zona

8

zona4

zona6

zona3

zona1

zona 1 zona 2

zona 1 zona 2 … zona 8 =

A

A B

C

B

Hablan español Hablan portugués

Hablan portugués e inglés

Hablan solo españolHablan los tres idiomas

Hablan español y portugués

Hablan solo dos idiomas No hablan ningún idioma

E P

I

E P

I

E P

I

E P

I

E P

I

E P

I

E P

I

E P

I

Promueve el aprendizaje autónomo. L. Act. Pág. 17

Matemática 1. com: http://matematica1.com/operaciones-con-conjuntos-y-diagramas-de-venn-ejercicios-resueltos-para-ninos-de-sexto-de-primaria-en-texto-pdf/

� Observa los gráficos. Luego, explica oralmente cada una de las con-signas dadas.


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1. En una encuesta realizada a 30 estudiantes, se obtuvieron los siguientes resultados:

3. En un sorteo participaron 100 padres de familia de los cuales:

2. Un grupo de turistas llegaron a nuestro país, de los cuales, 32 visitaron Ica; 8, solo el Cusco; y 2, solo Ica. Si 13 visitaron Arequipa y Cusco; 20, Cusco e Ica; y solo 6, las tres ciudades, ¿cuántos visitaron al menos dos ciudades?

• 12 practican vóleibol.• 20 practican fútbol.• 14 practican natación.• 8 practican vóleibol y natación.• 9 practican fútbol y natación.• 7 practican fútbol y vóleibol.• 5 practican los tres deportes.

• 43 ganaron celulares.• 42 ganaron billeteras.• 33 ganaron polos.• 9 ganaron polos y billeteras.• 8 ganaron celulares y billeteras.• 6 ganaron polos y celulares.• 5 ganaron los tres artículos.

¿Cuántos no practican ninguno de estos deportes?

Si todos ganaron, determina cuántos padres de familia ganaron un solo artículo.


Grafica:

Grafica:

Grafica:

Grafica:

Del diagrama, se tiene:12 + 9 + 4 + 2 + x = 30 x + 27 = 30 → x = 3

Del diagrama, se tiene:Ganan un solo artículo: 34 + 30 + 23 = 87

Al menos dos dos o tres ciudades.

Del diagrama, se tiene:

x = 10 + 7 + 14 + 6

x = 37

Rpta.: 3 estudiantes no practican ninguno de los deportes.

Rpta.: 87 padres ganaron un solo artículo.

Rpta.: 37 visitaron al menos dos ciudades.

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

= 30 = 100

V=12 F=20

N=14

C=43 B=42

P=33

A C

I=32

12–10=2

x

43–9=3420–11=9

42–12=30

14–12=233–10=23

2

31

10

55

6

87

23

44

14

4. Se realizó una encuesta y estos fueron los resul-tados:

¿Cuántos estudiantes fueron encuestados?

x = 50 + 7 + 15 + 29 + 5 → x = 106Del diagrama, se tiene:

• 50 personas gustan del té, 40 del café y 60 personas gustan de la manzanilla.

• 6 personas gustan de las tres bebidas.• 18 prefieren té y café, 16 té y manzanilla y 21

café y manzanilla.• 5 gustan de otras bebidas.

Rpta.: Fueron encuestados 106 estudiantes.

= x

T = 50 C = 40

M = 60

22 7

295

106

12

15

20

Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio - Álgebra

Libr

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5©

Edi

cion

es C

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o S.

A. C

. Pro

hibi

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duci

r. D

. L. 8

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Patrones gráficos I

� ¿Con qué adornas tu aula cuando hay alguna festividad?

¿De qué color será el banderín que continúa?

1. Identifica y escribe SÍ o NO si las figuras tienen o no un patrón.

2. Observa y describe el elemento que falta en el siguiente patrón:

Ejemplos:



Activa tus saberes


Los patrones más básicos, llamados teselaciones, se basan en la repetición y la periodicidad. Una única plan-tilla, azulejo o célula se combina mediante duplicados sin cambios o modificaciones. Por ejemplo, olas de mar producen repetidos patrones de movimiento.

Sí No Sí

• Las líneas de cada círculo son horizontales, verticales y cuadriculadas.

• La figura que sigue es un triángulo con ra-yas horizontales y verticales.

…

No

Vamos a confeccionar unos bonitos

banderines. ¿Cuál es el patrón de

repetición?

…

� Parafrasea la definición de patrones.


L. Act. Pág. 19

Patrones geométricos: https://www.youtube.com/watch?v=UXfEOzrxBho

21

Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio - ÁlgebraLi

bro

del Á

rea

- M

atem

átic

a 5

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1. Determina qué figura continúa en la siguientes secuencias:

2. ¿Qué figura no sigue la lógica del patrón?

3. ¿Qué figura rompe el patrón de las figuras?

4. ¿Cuál es la figura que no pertenece al grupo?

a.

b.

c.

El triángulo gira en sentido antihorario y el segmento en sentido horario.La figura que continúa es:

La figura que no sigue la lógica del pa-trón es:

La figura que rompe el patrón es:

La figura que no pertenece es:

Porque tiene un borde negro.

Porque la figura está en el centro; las demás, se alternan arriba y abajo.

Porque todas las figuras (número 2) están es-critas correctamente y van rotando y la que no pertenece está mal escrita.


Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

El cerillo gira en sentido antihorario, pero a la vez cambia de color de rojo a ama-rillo; y el pentágono cambia de color ce-leste a verde en la misma posición.La figura que continúa es:

El círculo central va alternándose con los colores rojo y verde, la línea que une los círculos gira en sentido horario y la línea que está en los ángulos rectos giran en sentido antihorario.La figura que continúa es:

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Introducción a la Geometría: segmentos

� ¿Qué son líneas paralelas y líneas secantes?

Si tomamos una parte de la recta, ¿qué se formará?

Ahora, identifica y comprende las ideas de estos elementos.


Activa tus saberes


En geometría existen elementos llamados básicos. Estos son el punto, la recta y el plano; de ellos solo se tiene una idea: no tienen definición.

Rayo. Es un subconjunto de la rec-ta. También es una sucesión de puntos con inicio, pero sin fin.

O A

OA: Se lee: “Rayo OA”, donde “O” es el punto de origen.

Punto. La marca que deja la punta de un lápiz o un granito de arena sobre un papel da la idea de punto.

Se lee: “Punto P”

P

Recta. Un hilo tensado da la idea de una recta. Una recta es una línea de puntos, sin curvas, que no tiene principio ni fin.

Se lee: “Recta L ”

AB Se lee: “Recta AB”

L

A B

L

Plano. La superficie de la pizarra da la idea de un plano. Un plano no tiene límites (es ilimitado), ni espe-sor.

Se lee: “Plano P”

P

L1

L2

L1 Ç L

2 = Æ

¿Sabías que…?Rectas paralelas

Son rectas que nunca se cor-tan, aunque se prolonguen. La distancia entre las dos rectas siempre es la misma. Además:

¿Sabías que…?Rectas secantes

L1

L2

P

L3

L4

P

L1 Ç L

2 = {P}

Son rectas que se cortan en un único punto. Cuando dos rectas se cortan y determinan ángulos que miden 90° se lla-man rectas perpendiculares.


� Crea una canción con los nombres de los principales elementos geométricos.


L. Act. Pág. 24

Matemática 1. com: http://matematica1.com/operaciones-con-segmentos-ejercicios-de-geometria-de-sexto-grado-de-primaria-pdf/

En los carrilesde una pista atlética, ¿qué elementos geométricos

observas?

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5. Observa el gráfico y determina la longitud de BC.

6. Si AP = 8 cm; AQ = 26 cm y “M” es punto medio de PQ, determina el valor de “AM”.

4. Determina el número de puntos de corte al gra-ficar cuatro rectas paralelas y una recta secante a ellas.

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Calcula el valor de AB:AD = AB + BD 42 = AB + 36 6 = AB

Calcula el valor de PQ:AQ = AP + PQ 26 = 8 + PQ 18 = PQ

Determina el valor de AM.AM = AP + PMAM = 8 + 9 → AM = 17

Luego, calcula el valor de BC.AC = AB + BC 16 = 6 + BC 10 = BC

Luego, calcula el valor de PM.PQ = PM + MQ 18 = PM + PM 18 = 2PM 9 = PM

Rpta.: Genera 4 puntos de corte.

Rpta.: El valor de “BC” es 10 cm.

Rpta.: El valor de “AM” es 17 cm.

Plano: P

Puntos: A y C

Recta: ED

Segmento: RT

Rayo: OB

1. Observa el gráfico y escribe como se lee cada figura.

2. En la siguiente figura denota las rectas que son paralelas y perpendiculares entre sí.

3. Grafica un punto “M” y tres rectas que conten-gan dicho punto.


Resolución:

Rectas paralelas:

CD y BE

Rectas perpendiculares:

CD y AB; AB y BE

D

QB

OE

A

C R TP

ED

BCA

M

A

A

A

B

P

P

C

M

M

D

Q

Q

16 cm

8

36 cm

42 cm

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Ángulo convexo Ángulo cóncavo Ángulo de una vuelta

Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso

� Al observar el reloj, ¿qué elemento geométrico se genera entre las manecillas?



Activa tus saberes


Luis es un niño puntual y responsable, es por eso que aprende a ver la hora. Él forma diferentes ángulos con las manecillas del reloj de acuerdo a la hora indicada, estas son algunas de ellas a las tres de la tarde y a las 6 de la tar-de. ¿Qué ángulos se formaron?

¿Puedes nombrar algunas situaciones donde se generen ángulos?

� Observa el gráfico. Luego, identifica los elementos de un ángulo.

Clasificación de ángulos

1. Según su medida

Elementos de un ángulovértice: Olados: OA y OBNotación: AOB o BOA AOB o BOAMedida del ángulo AOBNotación: m AOB = a

a

B

A

O

0° < a < 90° a = 90° 90° < a < 180°

a aa

A A A

B BB

O O O

0° < a < 180° 180° < a < 360° a = 360°

A BO

OO a

a

aA

AB

B

El ángulo es la figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mis-mo origen.

Importante

RecuerdaEl transportador es un ins-trumento que se utiliza para la medición de ángulos, este consiste en un semicírculo graduado sobre cuya curva-tura se trazan las divisiones que corresponden de 0° a 180° y sus subdivisiones.

Ángulos

Complemento de un ánguloSea “a” el ángulo.Complemento de a: Ca Ca = 90° – a

Suplemento de un ánguloSea “a” el ángulo.Suplemento de a: Sa Sa = 180° – a

121

2

4

1011

857

39

6

121

2

4

1011

857

39

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Bisectriz de un ángulo

Ángulos complementarios Ángulos suplementarios Ángulos adyacentes

Ángulos consecutivos Ángulos opuestos

a, b, g son ángulos consecutivos.

a = ba abg b

O

2. Según su relación

Tendríamos:AOB y BOC son adyacentes

Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°.

Cuando tienen el mismo vértice y un lado en co-mún.

Son dos ángulos que tienen el vértice común, y los lados de uno son las prolongaciones del otro.

Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°.

Son dos ángulos consecutivos.

a + b = 90° a + b = 180°O

ab

Oa

bO

B

A

C

La bisectriz de un ángulo es el rayo que parte de su vértice y lo divide en dos án-gulos de igual medida.

En la figura, OP es bisectriz del ángulo AOB.

Luego, m AOP = m POB = a

aa

A

PO

B

Construcción de un ángulo con cierta medida

Copiar un ángulo con compás

1. Situamos el vértice del ángu-lo en el centro del transpor-tador.

2. Se hace coincidir un lado del ángulo con el grado 0.

3. El otro lado señala los gra-dos que mide la amplitud del ángulo.

180º

90º

0º0 180º

90º

0º0

70º

180º

90º

0º0

70º

Q

PA O E EO

F

EO

F

• En el ángulo QAP con vértice en A y cualquier radio, traza un arco que interseca los lados del ángulo QAP en los puntos P y Q.

• En otra figura, traza un rayo por el punto O y con el mismo radio, un arco determinando el punto E.

• Copia con el compás la distancia PQ y con centro en E, traza un arco que intercepta al anterior en el punto F. Con la regla traza OF. Los ángulos EOF y QAP tienen igual medida.

L. Act. Pág. 25

� Escribe los procedimientos para medir un ángulo.


Vitutor: https://www.vitutor.com/geo/eso/el_6e.html

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1. Observa el ángulo y escribe las palabras lado y vértice donde corresponda.

5. Determina el valor de “x”, si m AOC = 158° y OM es bisectriz del BOC.

6. Calcula el valor de “b”.

7. Si m AOB = 30° y m BOC = 80° Además OM es bisectriz del AOC, calcula m BOM.

3. Escribe cuántos grados mide cada uno de los si-guientes ángulos:

4. En el gráfico, calcula el valor de “a”.

90°

60°

120°

130°

2. Relaciona los gráficos con los tipos de ángulos.


Ángulo agudo

Ángulo recto

Ángulo obtuso

180º

90º

0º0

180º

90º

0º0

180º

90º

0º0

180º

90º

0º0

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:Son ángulos complementarios:2a + a + 30° = 90° 3a + 30° = 90° 3a = 60°

a =

a = 20°

Por dato:x + 64° + 64° = 158° x + 128° = 158° x = 158° – 128° x = 30°

Por ángulos suplementarios:b + 38° + 64° = 180° b + 102° = 180° b = 78°

Lado

Vértice

AOC = AOB + BOCAOC = 30° + 80° → AOC = 110°Además:AOM = MOC = = = 55°Nos piden BOM AOM = AOB + BOM 55° = 30° + BOM → BOM = 25°

Rpta.: El valor de “a” es 20°.

Rpta.: El valor de “x” es 30°.

Rpta.: El valor de “b” es 78°.

Rpta.: El valor de la m < BOM es 25°.

30°

OO

O

a2a

60° 3

AOC 2

110° 2

A

64°

BM

Cx

A

64°

BM

Cx

O

O

38°b

64°

BC

DA

B

C

M

A

64°

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Introducción a la Estadística

� ¿Cómo podrías saber las preferencias de tus compañeros por algún color en especial?

¿Crees que la Estadística es importante?



Activa tus saberes


La Estadística es una rama de la matemática que se encarga de la recolección, organización, análisis e inter-pretación de datos. Para esto, se sirve de diferentes técnicas, instrumentos y procedimientos.

Población

Muestra

Es una característica observable en cada elemento de la población. Se clasifica en:

a. Cualitativa: Cuando se refiere a una cualidad de nuestro objeto de estudio. Estas variables no se pue-den cuantificar. Por ejemplo, el sexo (femenino o masculino), la ocupación (profesor, médico, dentista, etc.), entre muchas otras.

b. Cuantitativa: Cuando se refiere a cantidades, por lo que podrá ser cuantificada. Por ejemplo, el número de hijos, la edad, el peso, la estatura, entre otras.

Es el conjunto total de individuos con características comunes que se desea estudiar. Ejemplo: Los estudiantes del colegio de Joseph.

Es un subconjunto de la población elegida adecuadamente con el propósito de obtener información sobre ella.

Ejemplo: Los estudiantes del quinto grado de primaria del colegio de Joseph.

Variable estadística

Conceptos básicos de estadística

� Elabora un mapa conceptual sobre la estadística.


L. Act. Pág. 28

Aula fácil: https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas-primaria/matematicas-cuarto-primaria/la-estadistica-l7678

Jorge y sus amigos están preocupados por el consumo de comidas chatarra en el colegio a la hora de recreo, por eso, elaboran una encuesta con el fin de saber la opinión general de los estudiantes. Dicha medición la aplicarán a 200 estudiantes al azar. ¿Cuál es la población y cuál es la muestra represen-tativa?

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Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre - Estadística y probabilidad

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Longitud de un carro, carga máxima, número de ruedas, número de ejes, tipo de camión, marcas de neumáticos, tipo de tapicería, nú-mero de puertas, altura máxima.

1. Clasifica las siguientes variables, marca con un aspa al sitio que corresponda.

3. Clasifica los siguientes ejemplos de variables es-tadísticas.

4. En un estudio sobre la edad en la que se caen los dientes de leche, hemos escogido 100 niños de Ica.

5. Señala en que caso es más conveniente estudiar la población o una muestra. Razona tu respuesta.

2. Con la información entregada, identifica la po-blación, la muestra y la variable estadística eva-luada en las siguientes situaciones problemáticas:

a. En un colegio se quiere saber cuál es el de-porte preferido de un grupo de estudiantes de primaria, los resultados de la encuesta fueron los siguientes:

a. La población. Todos los niños de Ica.

b. La muestra. 100 niños escogidos

d. La variable estadística. Edad en la que se caen los dientes de leche.

a. El sueldo de los empleados de una empresa.

b. La estatura de los turistas extranjeros que visitan el Perú en un año.

Población, si la empresa es pequeña.

Muestra, si la empresa es muy grande.

Población, si la cantidad es pequeña.

Muestra, si la población es muy grande.

b. Se desea evaluar cuál es la estatura de los es-tudiantes del colegio Miguel Grau eligiendo 5 estudiantes por grado.

• 56 respondieron vóleibol.

• 49 respondieron natación.

• 69 respondieron fútbol.

• 52 respondieron básquet.

Población: Todos los estudiantes del colegio.

Muestra: 226 estudiantes de primaria.

Variable: Deporte preferido.

Población: Todos los estudiantes del colegio.

Muestra: 5 estudiantes por grado.

Variable: Estatura de los estudiantes.

Variables cualitativasTipo de camión, marcas de neumáticos, tipo de tapicería

Variables cuantitativasNúmero de ruedas, número de ejes, número de puertas, longitud de un carro, carga máxima y altura máxima.

Determina:


Cualitativa Cuantitativa

Libros leídos al año xColor de ojos xPáginas de un libro xEstado civil x

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Rep

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