asmar_unnacmedellin

CAPÍTULO 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD

INTRODUCCIÓN

Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nos encontramos amenudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta ycuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico. Acontinuación consideramos algunos problemas típicos, ya formulados matemáticamente,para los cuales estudiaremos técnicas numéricas de solución.

Problema 1.1 Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de y x= 2sen ,

y e x= − con [ ]x ∈ 0,π . ♦

Problema 1.2 Encontrar las raíces de la ecuación polinómica

x x x x x5 4 3 211 21 10 21 5 0+ − − − − = ♦

Problema 1.3 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) El sistema lineal AX b= con

A =

−− −

− −− −

−

2 1 0 0 0

1 2 1 0 0

0 1 2 1 0

0 0 1 2 1

0 0 0 1 2

b =−

−

3

2

2

2

1

b) El sistema no-lineal

x

2 3

2 3

9

3 4

+ =

− =

xy

x y y ♦

Problema 1.4 Dada la siguiente tabla de datos correspondiente a una cierta función ( )y f x= ,

xk −2 −1 0 1 2 3

( )f xk −5 1 1 1 7 25

TABLA 1.1

encontrar el polinomio de menor grado que pase a través de los puntos dados.

Cuál será una estimación para los valores ( )f x correspondientes a x = −15. y x = 15. ? ♦♦♦♦

Problema 1.5 Hallar el valor de cada una de las siguientes integrales:

2 MÉTODOS NUMÉRICOS

__________________________________________________________________________________

a) sen x

xdx

0

1

∫ b) e dxx2

0

1

∫

c) 14

2

0

2

−∫ sen xdx

π

(elíptica) d) 1

2

3

lnxdx∫ ♦♦♦♦

Problema 1.6 Resolver el problema de valor inicial

( ) ( )

d

dt

d

dt

2

216 0

04

0 0

θ θ θ

θ π θ

+ + =

= ′ =

sen

, ♦♦♦♦

En relación con los problemas anteriores, tenemos que:

En el problema 1.1, es necesario determinar los puntos de intersección de las gráficas de

y x= 2sen y y e x= − , para lo cual debemos resolver la ecuación 2senx e x= − y no

disponemos de un método algebraico para hacerlo.

En el problema 1.2, se trata de hallar los ceros de un polinomio de grado 5 y, como sabemos,sólo se conocen métodos algebraicos para encontrar raíces de ecuaciones polinómicas degrado menor o igual que 4.

En el problema 1.3, tenemos dos sistemas de ecuaciones: El de la parte a) es lineal yconocemos métodos de solución (por ejemplo, el método de eliminación Gaussiana), sinembargo, para sistemas de tamaño mayor, no sólo es conveniente sino necesarioimplementar tales métodos a través del computador (método numérico). En la parte b)tenemos un sistema no-lineal y no conocemos métodos algebraicos generales pararesolverlo.

El problema 1.4 se puede resolver analíticamente (por interpolación), sin embargo paradeterminar los coeficientes de dichos polinomios existen técnicas que permiten encontrarlosrápidamente y que pueden implementarse en el computador.

El problema 1.5, corresponde a integrales definidas cuyo integrando tiene antiderivada queno es elemental.

Finalmente, en el problema 1.6, la ecuación diferencial ordinaria

d

dt

d

dt

2

216 0

θ θ θ+ + =sen (ecuación de movimiento de un péndulo)

es no-lineal (por la presencia de senθ ) y no disponemos de un método analítico para

resolverla.

Capítulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 3__________________________________________________________________________________

Los problemas anteriores sirven como motivación para el estudio de cinco grandes temas enun primer curso de métodos numéricos: solución numérica de una ecuación no-lineal enuna variable, solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales y no-lineales,interpolación polinomial, integración numérica y solución numérica de problemas de valorinicial para ecuaciones diferenciales ordinarias.

Qué es un método numérico?

Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre demanera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramentearitméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta deuna tabla de valores, cálculo proposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una listafinita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas ylógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema(solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximacióndepende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las característicasespeciales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores). En general, alemplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo.

1.1 ARITMÉTICA FINITA

Siendo los computadores la herramienta básica en los métodos numéricos es convenienteindicar cómo son los números del computador y cómo se simula su aritmética.

La mayoría de los computadores usan sólo un subconjunto finito, relativamente pequeño, delos números reales para representar a "todos" los números reales; este conjunto, que sólocontiene números racionales y que describiremos más adelante, es llamado conjunto denúmeros de punto flotante o conjunto de números de máquina en punto flotante osimplemente conjunto de punto flotante.

Cada número del computador se representa mediante un número finito de dígitos (aritméticafinita), según se indica a continuación:

Un número del computador o de punto flotante, distinto de cero, se describematemáticamente en la forma

( ) ... σ ββ× ×.a a ate

1 2

forma en la cual los símbolos que allí aparecen, tienen el siguiente significado:

σ = +1 o σ = −1 es el signo del número.

ββββ es un entero que denota la base del sistema numérico usado. Por lo general β = 2

(Sistema Binario), β = 8 (Sistema Octal) o β =16 (Sistema Hexadecimal).

a ti, , , , i ...= 12 , es un entero con 0 1≤ ≤ −ai β . Los enteros 01 1, , ,... β − son llamados dígitos

en la base β . Nosotros asumiremos en todo lo que sigue que a1 0≠ , en cuyo caso el

número se dice que está en forma normalizada.


__________________________________________________________________________________

( ).a a at1 2... β denota la suma a a at

t11

22β β β

+ + +... y es llamada la mantisa o fracción del número

de punto flotante.

El entero t indica el número de dígitos en la base β que se usan para representar el

número de punto flotante, y es llamado precisión. Por lo general t = =6 7 o t con β =10

(precisión sencilla), t = =14 15 o t con β =10 (doble precisión). En algunos computadores

se pueden hacer representaciones en precisión sencilla, doble precisión e incluso enprecisión mayor.

e es un entero llamado el exponente, y es tal que L e U≤ ≤ para ciertos enteros L y U; escomún encontrar L U= − o L U= − ±1. Un caso frecuente es L = − =63 64 y U , para un total

de 128 posibles exponentes.

El número cero requiere una representación especial.

De acuerdo con lo anterior un conjunto de punto flotante F queda caracterizado por cuatroparámetros:

a) La base β ,

b) La precisión t ,c) Los enteros L y U tales que L e U≤ ≤ , donde e es el exponente.

Cualesquiera sean los parámetros elegidos, los conjuntos de punto flotante correspondientescomparten las mismas características cualitativas, entre ellas la carencia de algunas de laspropiedades algebraicas de que gozan los números reales.

Una de las características de todo conjunto de punto flotante F es que es finito y tiene

( ) ( ) 2 1 U L 1 +1t 1β β− − +−

números diferentes (incluyendo el cero), y donde los distintos de cero están en formanormalizada. En efecto:

a1 puede tomar β −1 valores y a ti, , , , i ...= 2 3 puede tomar β valores, así que hay

( ) ( )β β β β β−−

= − −1

1

1 1

t

t...!"#

fracciones positivas distintas.

Ahora, considerando que el número de posibles exponentes es U L− +1, que el número depunto flotante puede ser positivo o negativo, y teniendo en cuenta que el número cero estátambién en el conjunto de punto flotante, concluímos que el conjunto F tiene

( ) ( )2 1 U L 1 1t 1β β− − + +−

números diferentes.


Lo anterior nos dice que se usan ( ) ( )2 1 1 11β β− − + +−t U L números de punto flotante para

"representar" el conjunto continuo de los números reales (que es infinito), lo que implica quemuchos números reales tendrían que ser representados por un mismo número de puntoflotante.

Como ejemplo, consideremos el conjunto de punto flotante F con parámetros β = 2

(Binario), t = 3 , L = −1, U = 2 . Tal conjunto F tiene

( ) ( )( )2 2 1 2 2 1 1 1 333 1− − − + + =−

números diferentes (incluyendo el cero).

Los números de F , distintos de cero, son de la forma

( )± ×.a a a1 2 3 2e2

con a1 2 31 0 1 1 0 1 2= = = −, , , , , , a a y e ; así que las fracciones positivas distintas son:

( ).1001

2

0

2

0

2

1

22 2 3= + + = = 8

16

( ).1011

2

0

2

1

2

5

82 2 3= + + = = 10

16

( ).1101

2

1

2

0

2

3

42 2 3= + + = = 12

16

( ).1111

2

1

2

1

2

7

82 2 3= + + = = 14

16

Combinando estas mantisas con los exponentes, obtenemos todos los números positivos deF que aparecen en la TABLA 1.2 siguiente.

MANTISA EXP. −1 EXP. 0 EXP. 1 EXP. 2

( ).1008

162= ( ).100 2

4

1621× =− ( ).100 2

8

1620× = ( ).100 2

16

1621× = ( ).100 2

32

1622× =

( ).10110

162= ( ).101 2

5

1621× =− ( ).101 2

10

1620× = ( ).101 2

20

1621× = ( ).101 2

40

1622× =

( ).11012

162= ( ).110 2

6

1621× =− ( ).110 2

12

1620× = ( ).110 2

24

1621× = ( ).110 2

48

1622× =

( ).11114

162= ( ).111 2

7

1621× =− ( ).111 2

14

1620× = ( ).111 2

28

1621× = ( ).111 2

56

1622× =

TABLA 1.2


__________________________________________________________________________________

Como estamos más familiarizados con los números decimales (en baseβ =10 ), los 33

elementos de F en forma (racional) decimal son

04

16

5

16

6

16

7

16

8

16

10

16

12

16

14

16

16

16

20

16

24

16

28

16

32

16

40

16

48

16

56

16

, , , , , , , , ,

, , , , , , ,

.

± ± ± ± ± ± ± ±

± ± ± ± ± ± ± ±

Una representación de los números positivos y el cero de F en la recta real se muestra enla FIGURA 1.1 siguiente.

FIGURA 1.1

Algunos hechos que se pueden observar en un conjunto de punto flotante F son:

1. Todo número real x que entra en el computador o que es el resultado de un cálculo, esreemplazado (si es posible) por un número de punto flotante que notaremos fl(x). Existenreglas para escoger tal número (reglas de redondeo), por lo general es el número de punto

flotante más cercano a x. La diferencia ( ) x − fl x se llama error (absoluto) de redondeo.

2. Si observamos la distribución de los elementos de F , en la recta real, vemos que noestán igualmente espaciados (están más densamente distribuídos el la cercanía del cero), loque implica que el error de redondeo puede depender del tamaño del número (entre másgrande sea el número en valor absoluto, mayor puede ser el error de redondeo).

En el ejemplo, el número de punto flotante positivo más pequeño es 4

16

1

4= , y el número de

punto flotante positivo más grande es 56

16

7

2= .

En general, en un conjunto de punto flotante F con parámetros β, t, L y U, se tiene que

( ) F ... LL L= × = −.100 0 1

β β β

es el número de punto flotante positivo más pequeño (para el ejemplo, FL = =− −21

41 1 ), y

( ) ( ) F ... 1 UU t U= × = − −.γγ γ β β ββ con γ β= −1


es el número de punto flotante positivo más grande (para el ejemplo, ( )FU = − =−1 2 27

23 2 )

A la región RL Lx x F= ∈ < <R / 0 se le llama región de underflow o subflujo, y en

algunos computadores si un número real cae en esta región, el número es redondeado acero.

Por otra parte, a la región RU Ux x F= ∈ >R / , se le llama región de overflow o

sobreflujo, y en algunos computadores si un número real cae en esta región, el número esredondeado al número de punto flotante más cercano (F FU U , − ) o se informa del fenómeno

overflow.

Se define como rango del conjunto F, al conjunto

UL FxF o 0x/xR ≤≤=∈= RF

De acuerdo con ésto, todo número de punto flotante, distinto de cero, fl(x), debe satisfacer

( )F x FL U≤ ≤ fl

3. La combinación aritmética usual + − × ÷, , , de dos números de punto flotante no

siempre produce un número de punto flotante.

Supongamos que ( ) ( )fl x y, fl ∈ F . Veamos, como ejemplo, que la suma usual ( ) ( )fl x fl y+ no

necesariamente será un número en F . Para ello consideremos el conjunto de punto flotante

F dado en el ejemplo: ( )fl x = ∈28

16F , ( )fl y = ∈5

16F , sin embargo

( ) ( )fl x fl y+ = + = ∉28

16

5

16

33

16F . Luego la adición usual no es cerrada en el sentido

matemático ordinario.

Una manera de simular la adición y las demás operaciones aritméticas entre números reales,pero realizadas por el computador es la siguiente:

Si x e y son números reales en el rango de F , definimos las operaciones ⊕ , , ⊗ y , alas que nos referiremos como operaciones de punto flotante, así

( ) ( )( )x y fl fl x fl y⊕ = +

x ( ) ( )( )y fl fl x fl y= −

( ) ( )( )x y fl fl x fl y⊗ = ×

x ( ) ( )( )y fl fl x fl y= ÷

donde + − × ÷, , y son las operaciones aritméticas usuales.


__________________________________________________________________________________

Ilustraremos estas operaciones en el conjunto F del ejemplo, al tiempo que pondremos demanifiesto la carencia de ciertas propiedades para tales operaciones. Supondremos que fl(x)se escoge como el número de punto flotante más cercano a x y que cuando el número xequidista de dos números de punto flotante, se escoge fl(x) como el más cercano a laderecha si es positivo o el más cercano hacia la izquierda si es negativo:

Tomemos en F , los números 28

16

5

16 y y supongamos que x y, ∈ R son tales que

( )fl x = 28

16 y ( )fl y = 5

16. Entonces

x y fl fl⊕ = +

=

=28

16

5

16

33

16

32

16

x y fl fl= −

=

=28

16

5

16

23

16

24

16

x y fl fl⊗ = ×

=

= =28

16

5

16

35

64

32

64

8

16

x y fl fl

FU

= ÷

=

=

↑ > =

28

16

5

16

28

5

56

16

28

5

56

16

fenómeno overflow

Overflow, ya que

( )

Tomemos 6

16∈ F y supongamos que z ∈ R es tal que ( )fl z = 6

16, entonces

z y fl fl

FL

= −

=

=

↑ < < =

6

16

5

16

1

160

01

16

4

16

(fenómeno underflow)

Underflow, ya que

Como 116

16

7

8

14

16= = , ,

5

8

10

16= ∈ F , entonces existen u v, ,w ∈ R tales que ( )fl u = 1,

( )fl v = 7

8 y ( )fl w = 5

8. Entonces

(u v⊕ )w fl fl fl fl= + −

= +

1

7

8

5

81

2

8

= +

=

= =fl fl12

8

10

8

10

8

20

16


( )u v⊕ w fl fl fl fl= +

−

=

−

1

7

8

5

8

15

8

5

8

= −

=

=fl fl16

8

5

8

11

8

24

16

luego

(u v⊕ ) ( )w u v≠ ⊕ w

Análogamente, como 3 ∈ F , entonces existe r ∈ R tal que ( )fl r = 3 y se tiene que

( )r y x fl fl fl fl⊗ ⊗ = × ×

= ×

3

5

16

28

163

35

64

= ×

=

=

=fl fl fl332

64

96

64

24

16

24

16

( )r y x fl fl fl fl⊗ ⊗ = ×

×

=

×

3

5

16

28

16

15

16

28

16

= ×

=

=fl fl16

16

28

16

28

16

28

16

Así que,

( ) ( )r y x r y x⊗ ⊗ ≠ ⊗ ⊗

Finalmente, como 1

4∈ F , existe s ∈ R tal que ( )fl s = 1

4 y

(r v⊗ )s fl fl fl fl= × −

= ×

3

7

8

1

43

5

8

= ×

=

=fl fl35

8

15

8

32

16

Como

r v fl fl⊗ = ×

=

=37

8

21

8

20

8

y

r s fl fl⊗ = ×

=

=31

4

3

4

3

4

entonces

( )r v⊗ ( )r s fl fl⊗ = −

=

=20

8

3

4

14

8

28

16


__________________________________________________________________________________

Así que

(r v⊗ ) ( )s r v≠ ⊗ ( )r s⊗

1.2 ERRORES DE REDONDEO

Sabemos que todo número real x ≠ 0 puede escribirse en la forma decimal normalizadasiguiente

( )x a a at tn= ± ×+. 1 2 1 10 ... a ... , n algún entero.

Para simplificar el análisis de los errores de redondeo, supongamos que nuestro conjunto depunto flotante F es de t-dígitos (precisión t) en base 10 (decimal); en tal caso la forma depunto flotante (normalizada) de ( )x x, fl , se obtiene finalizando la mantisa de x después de t-

dígitos. Se acostumbran dos formas para hacerlo:

i. Cortando o truncando el número x: En este caso

( ) ( )fl x a a atn= ± ×. 1 2 10... , (no importa como sea at+1)

ii. Redondeando el número x: En este caso

( )( )

( ) fl x

a a ...a 10 , si 0 a 5

a a ...a 10 10 10 , si a 5

1 2 tn

t 1

1 2 tn n t

t 1

=

± × ≤ <

± × ± × ≥

+

−+

.

. .

El error ( ) x − fl x que resulta al reemplazar un número x por su representante de punto

flotante, fl(x), se seguirá denominando error de redondeo, independientemente de que seuse el método de cortado o de redondeo.

Ejemplo 1.1 Supongamos t = 5 y usemos las reglas de redondeo y cortado para encontrarel representante de punto flotante decimal en cada uno de los siguientes casos:

a) ( )( ) ( )

e =

= ×

2 718281828

2718281828 101

.

.

...

...

irracional

forma decimal normalizada

Entonces

( )( )

( )fl e =

×

× = >

.

.

27182 10

27183 10 8 5

1

16

, cortando

, redondeando ( ya que a )


b) ( )( ) ( )

π =

= ×

3 141592653... irracional

3141592653... 10 forma decimal normalizada1

.

.

Entonces

( )( )

( )fl π =

×

×

.

.

31415 10

31416 10

1

1

,

cortando

, redondeando

c) ( )( ) ( )

x = −

= − ×

123456789

123456789 109

racional

forma decimal normalizada.

Entonces

( )( )

( )fl x =

− ×

− ×

.

.

12345 10

12346 10

9

9

,

cortando

, redondeando

d) ( )( ) ( )

y =

= × −

.

.

0000213475

213475 10 4

racional


Entonces

( )( )

( )fl y =

×

×

−

−

.

.

21347 10

21348 10

4

4

, cortando

, redondeando

Qué pasa si se redondea el número y antes de normalizarlo?

e) ( )( ) ( )

z = =

= ×

2

36666666

6666666 100

.

.

...

...

racional, periódico


Entonces

( )( )

( )fl z =

×

×

.

.

66666 10

66667 10

0

0

,

cortando

, redondeando

♦

Cómo medir los errores de redondeo?

Hay varias formas acostumbradas para medir errores de aproximación; algunas de ellas sedan en la siguiente definición.


__________________________________________________________________________________

Definición 1.1 Sea x∗ una aproximación de un número real x. El error de x∗ con

respecto a x es ∈= − ∗x x ; el error absoluto de x∗ con respecto a x es E x= − ∗ x y el

error relativo de x∗ con respecto a x, x ≠ 0 , es Erx

=− ∗ x

x . También se define el error

porcentual de x∗ con respecto a x, como Er ×100 y se expresa en porcentaje (%). ∇∇∇∇

Un caso particular de aproximación de un número x es cuando ( )x fl x∗ = , y se tiene

( )E fl x= − x y ( )

Erfl x

=−

≠ x

x , x 0

Ya vimos que el error de redondeo puede depender del tamaño del número, pues losnúmeros de punto flotante no están distribuidos de manera uniforme en la recta real; desdeeste punto de vista el error relativo es una mejor medida del error de redondeo que el errorabsoluto.

Estimemos la menor cota superior para el error relativo cuando un número real x ≠ 0 es

aproximado por su representante de punto flotante, ( )fl x , en una aritmética decimal de t-

dígitos.

Sea

( )x a a a at tn= ×+. 1 2 1 10... ... , n algún entero,

un número real positivo cualquiera en forma decimal normalizada.

Si fl(x) se obtiene por redondeo, tenemos:

a) Si 0 51≤ <+at , entonces

( ) ( )fl x a a atn= ×. 1 2 10...

y entonces

( ) ( )( )

Er ... ... ...

... ... =

× − ×

×

+

+

. .

.

a a a a a a a

a a a a

t tn

tn

t tn

1 2 1 1 2

1 2 1

10 10

10

( )( )

=×

×

+ +−

+

...

... ...

.

.

a a

a a a a

t tn t

t tn

1 2

1 2 1

10

10

( )( )

= ×+ +

+

− ...

... ...

.

.

a a

a a a a

t t

t t

t1 2

1 2 1

10

< × = ×− −.

.

5

110 5 10t t


b) Si 5 a 9t 1≤ ≤+ , entonces

( ) ( )fl x a a atn n t= × + × −. .1 2 10 10 10...

así que

( ) ( )[ ]( )

Era a a a a a a

a a a a

t tn

tn n t

t tn

=× − × + ×

×

+−

+

... ... ...

... ...

. . .

.

1 2 1 1 2

1 2 1

10 10 10 10

10

( )( )

=× − ×

×

+ +− −

+

...

... ...

. .

.

a a

a a a a

t tn t n t

t tn

1 2

1 2 1

10 10 10

10

( )( )=

−×+ +

+

− ...

... ...

.

.

a a

a a a a

t t

t t

t1 2

1 2 1

1010

.

( )≤ ×+

−.

.

510

1 2 1 ... ... a a a at t

t , ya que . .a at t+ + ≥1 2 5...

< × = ×− −.

.

5

110 5 10t t

ya que . . .a a a at t1 2 1 10 05 100 00

1

... ... ... ...

posición t

+ ≥ >

↑+

De a) y b) se tiene que si x ≠ 0 , FRx ∈ y ( )xfl se obtiene por redondeo, entonces

( ) Er

x

x =

−< × −fl x

t5 10

y 5 10 t× − es la menor cota superior para el error relativo.

Observe, en el trabajo anterior, que ( )E fl x n t= − ≤ × − + x 5 10 1( ) .

Se puede verificar que si ( )fl x se obtiene por cortado, entonces

( )Er

fl xt t=

−< × =− − + x

x 10 10 10 1, y

( ) ( ) E x = − ≤ × − +fl x n t10 10 1

Ejemplo 1.2 Encuentre el error absoluto y el error relativo de x∗ con respecto a x, en cadauno de los siguientes casos:

a) ( )x = ×.50 102 , ( )x∗ = ×.51 102 . Entonces


__________________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( )E = × − × = − × = × = . . . . .5 10 51 10 01 10 1 10 102 2 2 1

( )( ) ( ) ( )Er =

×

×=

×= = × = ≡−.

.

.

.. .

1 10

5 10

1

5 10

1

502 10 02 2%

1

2 11

b) ( )x = × −.50 10 3 , ( )x∗ −= ×.51 10 3 . Entonces

( ) ( )E = × = × =− −. . .01 10 1 10 000013 4

( )( )

( )Er =

×

×=

×= = ≡

−

−

−.

.

.

..

1 10

5 10

1 10

5

1

5002 2%

4

3

1

c) ( )x = ×.50 106 , ( )x∗ = ×.51 106 . Entonces

( ) ( )E = × = × =. .01 10 1 10 100006 5

( )( ) ( )

Er =×

×=

×= = ≡

.

.

.

..

1 10

5 10

1

5 10

1

5002 2%

5

6 1 ♦

Este ejemplo nos muestra que el error relativo es invariante al cambio de escala y se usacomo una medida de precisión o cercanía.

Teniendo en cuenta la menor cota superior para el error relativo usando redondeo, se defineel concepto de cifras significativas.

Definición 1.2 Se dice que el número x∗ aproxima con sus primeros t-dígitos o cifrassignificativas al número x ≠ 0 , si t es el mayor entero no negativo para el cual

Er x

x =

−< ×

∗−

xt5 10

Los t-dígitos significativos, a que se refiere esta definición, son los primeros t-dígitos en la

mantisa de x∗ cuando x∗ se escribe en forma decimal normalizada. ∇∇∇∇

De acuerdo con la definición anterior, si ( )x fl x∗ = en una aritmética de punto flotante

decimal con redondeo a t-dígitos, entonces ( )fl x aproxima a x con t cifras significativas, es

decir, todos los dígitos en la mantisa de ( )fl x son significativos con respecto a x.

También se define el concepto de cifras decimales exactas, como sigue:

Definición 1.3 Se dice que el número x∗ aproxima con sus primeras k-cifras decimalesexactas al número x, si k es el mayor entero no negativo tal que


( ) E x = − ≤ ×∗ − +x k5 10 1

Las k cifras decimales exactas, a que se refiere esta definición, son las primeras k cifras

contadas a partir del punto decimal en x∗ , cuando x∗ se escribe en forma decimal. ∇∇∇∇

Los dos conceptos anteriores pueden aparecer definidos de manera distinta en otros textos.Aquí se usarán las definiciones dadas.

Ejemplo 1.3 Si x = .003451 y x∗ = .003348 , entonces

. . .00005 000103 0005 5 10 5 10 5 10 5 104 3 2 1< − = < = × < × < × < ×∗ − − − − x x

así que k = 3 es el mayor entero no negativo tal que . .003451 003348 5 10 1− ≤ × − +( )k .

Luego .003348 aproxima a .003451 con sus tres primeras cifras decimales exactas, que sonen este caso 0, 0 y 3.

Observe que si y = =∗28 003451 28 003348. . y y , entonces

. . .00005 000103 0005 5 10 5 10 5 10 5 104 3 2 1< − = < = × < × < × < ×∗ − − − − y y

y nuevamente, y∗ aproxima a y con sus primeras tres cifras decimales exactas, que son, por

supuesto, 0, 0 y 3.

Ahora, el error relativo de x∗ con respecto a x es

12 10510505 029... 003451

000103Er005 −− ×<×=<==< ..

.

..

así que t = 2 es el mayor entero no negativo que satisface

. .

.

003451 003348

0034515 10

−< × −t

y por tanto x∗ aproxima a x con sus primeros 2-dígitos significativos que son 3 y 3 (Por

qué?). Con cuántas cifras significativas aproxima y∗ a y? ♦

Ejemplo 1.4 Con cuántas cifras significativas aproxima .333 a 1

3 ?

Como

1

3333

1

3

1

3333

1

3

1 999 001

−=

−= − =

. .. .


__________________________________________________________________________________

y . . .0005 < 001 005 5 10 5 10 5 103 2 1< = × < × < ×− − − , entonces t = 3 es el mayor entero nonegativo tal que

1

3333

1

3

5 10

−< × −

.t

Por lo tanto .333 aproxima a 1

3 con 3 cifras significativas. Observe que .333 es el número

en aritmética de punto flotante decimal con redondeo a tres dígitos que representa a 1

3. ♦

Ejemplo 1.5 Dónde debe estar x∗ para que aproxime a 1000 con 4 cifras significativas?

De acuerdo con la definición 1.2, x∗ debe ser tal que

i) 1000

10005 10 4− < ×

∗−x

, y

ii) 1000

10005 10 5− ≥ ×

∗−x

La desigualdad i) tiene como solución 999 5 1000 5. .< <∗x y la desigualdad ii) tiene como

solución x∗ ∗≤ ≥999 95 1000 05. . o x . Interceptando las dos soluciones se obtiene que x∗

debe estar en

( ] [ )999 5 999 95 1000 05 1000 5. . . ., , ∪ ♦

1.3 PÉRDIDA DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Sean x = = y y . .43574628 43574781. Si usamos aritmética (de punto flotante) decimalcon redondeo a 6 dígitos, entonces los representantes de x y y son

( )fl x = .435746 , ( )fl y = .435748

Se sabe que fl(x) y fl(y) aproximan a x e y, respectivamente, con todas sus seis cifrassignificativas (Verifíquelo).

Ahora,

x y− = − × = − ×− −153 10 153 106 5. .y

x ( ) ( )( ) ( )y fl fl x fl y fl= − = −. .435746 435748

( ) ( )= − × = − × = − ×− − −fl fl2 0 10 2 10 2 106 5 5. . .


por tanto el error relativo de x y con respecto a x y− es

( )

− × − − ×

− ×

− −

−

. .

.

2 10 153 10

153 10

5 5

5= = < = × −.

.. .

047

153 307... 5 5 10

1

Luego x y aproxima al valor exacto x y− con únicamente una cifra significativa (1), así

que hubo pérdida de 5 cifras significativas ( ( )fl x , ( )fl y tenían cada uno 6 cifras significativas

con respecto a x e y, respectivamente); lo anterior sugiere que en un coputador debe evitarsela resta de números "casi iguales". Como ejercicio, revise en el mismo ejemplo, qué pasacon las operaciones ⊕ , ⊗ y .

Ejemplo 1.6 Encontrar las raíces de la ecuación cuadrática

x x2 400 2 80 0− + =.

usando la fórmula usual y aritmética decimal con redondeo a 4 dígitos.

De acuerdo con la fórmula usual, las raíces son

( )x1

2400 2 400 2 320

2=

+ −. . y

( )x2

2400 2 400 2 320

2=

− −. .

Si hacemos los cálculos para x1 y x2 , usando aritmética decimal con redondeo a 4 dígitos,

obtenemos

x1400 2 160200 320

2

400 2 159900

2

400 2 399 9

2

800 1

2400 1∗ = + − = + = + = =

. . . . ..

x2400 2 160200 320

2

400 2 159900

2

400 2 399 9

2

3

21500∗ = − − = − = − = =

. . . . ..

Como las raíces exactas de la ecuación son x1 400 0= . y x2 2= . , entonces x1∗ es una

aproximación precisa (a 4 dígitos) de x1 , mientras que x2∗

es una aproximación muy pobre

de x2 (únicamente tiene una cifra significativa con respecto a x2 ) .

La deficiencia en la estimación de x2 se debe a que los números 400.2 y ( )400 2 3202

. −

son números muy cercanos entre sí (en una aritmética finita con redondeo a 4 dígitos). Eneste caso se consigue una aproximación más exacta para x2 , aumentando la precisión de la

aritmética o "racionalizando el numerador".

Si racionalizamos el numerador, es decir, si hacemos


__________________________________________________________________________________

( ) ( )( ) ( )

x2

2 2

2 2

400 2 400 2 320

2

400 2 400 2 320

400 2 400 2 320

160

400 2 400 2 320=

− −×

+ −

+ −=

+ −

. . . .

. . . .

( )

=+ −

=802

400 2 400 2 3202 1. .

c

x, donde c es el término constante en la ecuación

x bx c2 0+ + = , obtenemos

xx

21

80 80

400 12000∗

∗= = =.

.

que coincide con el valor exacto de x2 , en este caso.

Cómo resolvería la ecuación x x2 400 2 80 0+ + =. , usando aritmética decimal con redondeo acuatro dígitos, si quiere intentar evitar la pérdida de cifras significativas en el cálculo de lasraíces? ♦

Ejercicio 1.1 Elabore un programa de computador que resuelva la ecuación cuadrática

general ax bx c2 0+ + = (aún en el caso de raíces complejas), usando aritmética finita y queintente evitar la pérdida de cifras significativas en el cálculo de las raíces. ♦

Ejemplo 1.7 Recordemos que para todo x ∈ R

ex

nx

x x x

nx

n n

n

= = + + + + + +=

∞

∑ ! ! !...

!...1

2 3

2 3

0

Si usamos aritmética de computador para estimar ex , a partir de la serie, sólo podremostomar un número finito de términos; digamos que tomamos los primeros n +1 términos (paraun cierto n), entonces

e xx x x

nx

n

≈ + + + + +12 3

2 3

! !...

!

El polinomio

( )p x xx x x

nn

n

= + + + + +12 3

2 3

! !...

!

se llama polinomio de Taylor de grado n para la función f x ex( ) = en el punto a = 0 otambién polinomio de Maclaurin.

Se sabe que

( ) ( )e p x R xxn n= + ;0

con

( ) ( )R x;0 ex

n 1 !n

n 1

=+

+ξ para algún ξ entre 0 y x


o también

( ) ( )R xn

x t e dtnn t

x

;!

01

0

= −∫

Observe que R xn( ; )0 no es otra cosa que el residuo en la serie de Taylor cuando se toman

los primeros n +1 términos. A ( )R xn ;0 se le llamará error de truncamiento o de fórmula al

aproximar la función ex mediante el polinomio p xn( ) .

El error de truncamiento o de fórmula ocurre cuando un proceso matemático se interrumpeantes de su terminación.

Supongamos que queremos estimar e−5 y e5 a partir del polinomio de Taylor, es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )e 1 55

2!

5

3!...

5

n!p 5

5

2 3 n

n− ≈ + − +

−+

−+ +

−= −

( )e 1 55

2!...

5

n!p 5

52 n

n= + + + + =

Cuál es la aproximación que se obtiene para e−5 y e5 , si se trabaja en una aritmética (depunto flotante) decimal con redondeo a 4 dígitos?

Las aproximaciones correspondientes a e−5 y e5 aparecen en la TABLA 1.3.

De acuerdo con los resultados de la TABLA 1.3, en una aritmética decimal con redondeo a 4

dígitos, e 9993 105 2− −≈ ×. (la suma

( )−

=∑ 5

0

k

k

n

k! se estabilizó en n = 22 ) y e5 148 4≈ . (la

suma 5

0

k

k

n

k!=∑ se estabilizó en n = 14 ) .

El valor exacto de e−5 es 6 737946999 10 3. ...× − y el de e5 es 148.4131591.... Se observa

que para e5 todos los cuatro dígitos obtenidos en la aproximación son significativos,

mientras que para e−5 sólo hay un dígito significativo.

A qué se debe el problema en el cálculo de e−5 ? Se debe, entre otros, a la suma alternada(hay que evitarlas) y al hecho de que hay términos relativamente grandes con respecto al

número pequeño e−5 , los cuales al ser sumados producen pérdida de cifras significativas.

Una forma más adecuada de calcular e−5 es aumentando la precisión de la aritmética o

calculando 15e

: para la aritmética de punto flotante decimal con redondeo a cuatro dígitos


__________________________________________________________________________________

1 1

148 46 739 10

53

e= = × −

..

que es una mejor aproximación de e−5 .

Con cuántas cifras significativas aproxima 6 739 10 3. × − al valor exacto e−5 ? ♦

Grado n Término Suma (( )−

=∑ 5

0

k

k

n

k!) Suma (

5

0

k

k

n

k!=∑ )

0 1.000 1.000 1.000

1 −5 000. −4 000. 6.000

2 12.50 8.500 18.50

3 −20 83. −12 33. 39.33

4 26.04 13.71 65.37

5 −26 04. −12 33. 91.41

6 21.70 9.370 113.1

7 −15 50. −6 130. 128.6

8 9.688 3.558 138.3

9 −5 382. −1824. 143.7

10 2.691 .8670 146.4

11 −1223. −.3560 147.6

12 .5097 .1537 148.1

13 −.1960 − × −.4230 10 1 148.3

14 .7001 10 1× − .2771 10 1× − 148.4

15 − × −.2333 10 1 .4380 10 2× − 148.4

16 .7294 10 2× − .1167 10 1× −

17 − × −.2145 10 2 .9525 10 2× −

18 .5959 10 3× − .1012 10 1× −


19 − × −.1568 10 3 .9963 10 2× −

20 .3920 10 4× − .1000 10 1× −

21 − × −.9333 10 5 .9991 10 2× −

22 .2121 10 5× − .9993 10 2× −

23 − × −.4611 10 6 .9993 10 2× −

TABLA 1.3

1.4 ESTABILIDAD DE UN ALGORITMO

Los ejemplos 1.6 y 1.7 anteriores, muestran como un algoritmo mal concebido puedeconducir a una respuesta defectuosa de un problema perfectamente bien planteado. Ladeficiencia fue corregida cambiando el algoritmo.

Cuando al aplicar un algoritmo para resolver un problema, el efecto acumulativo de loserrores, incluyendo errores de redondeo, es limitado de modo que se genera un resultadoútil, el algoritmo se dice estable; en caso contrario, es decir, cuando los errores crecen demanera incontrolada de modo que se genera una respuesta defectuosa al problema, elalgoritmo se dice inestable.

Ejemplo 1.8 Supongamos que queremos calcular

I x e dxnn x= =−∫ 1

0

1

12 3, n , , ,...

Una forma de proceder para estos cálculos es como se indica a continuación:

Usando integración por partes con u xn= y dv e dxx= −1 , tenemos que

] Inn x n x n x n x

n

x e dx x e nx e dx n x e dx

I

= = − = −− − − − − −

−

∫ ∫ ∫1

0

11

0

1 1 1

0

11 1

0

1

1

1

! "$$ #$$

es decir, I nIn n= − =−1 2 3 41, , , ,... n . Luego I nIn n= − =−1 2 3 41, , , ,... n con I xe dxe

x1

1

0

11= =−∫

(irracional).


__________________________________________________________________________________

Usando aritmética (de punto flotante) decimal con redondeo a 6 dígitos y la fórmula derecurrencia I nIn n= − −1 1, obtenemos

I I1 1367879≈ = ∗ . , I I2 2264242≈ = ∗ . , I I3 3207274≈ = ∗ . , I I4 4170904≈ = ∗ . ,

I I5 5145480≈ = ∗ . , I I6 6127120≈ = ∗ . , I I7 7110160≈ = ∗ . , I I8 8118720≈ = ∗ . ,

I I9 90684800≈ − = ∗.

Es claro que el valor ( )− ≈.0684800 9 I es incorrecto, pues x ex9 1− es continua y positiva

sobre el intervalo ( )01, . Qué causó este resultado? Observe que únicamente hay error de

redondeo en el cálculo de I1 , donde 1

e fue redondeado a 6 dígitos significativos. Como la

fórmula de recurrencia obtenida en la integración por partes es exacta para la aritmética real,entonces no hay error de fórmula y así el error en I9 es debido en su totalidad al error de

redondeo en I1 . El error inicial fue ∈ ≈ × − 4 412 10 7. .

Al calcular I2 , tenemos

( )I I I I I2 1 1 1 21 2 1 2 1 2 2 2= − = − + ∈ = − − ∈= − ∈∗ ∗ ∗

entonces I I2 2 2− = − ∈∗ .

Ahora,

( ) ( )( ) ( )( )I I I I I3 2 2 2 31 3 1 3 2 1 3 2 3 2 3= − = − − ∈ = − + − − ∈= + − − ∈∗ ∗ ∗


así que ( )( )I I3 3 2 3− = − − ∈∗ .

Al llegar al cálculo de I9 , obtenemos

( )( ) ( )I I9 9 2 3 9= + − − − ∈∗ ...

es decir,

( )( ) ( )I I9 9 2 3 9 9− = − − − ∈= ∈∗ ... !

De donde

( )I I9 97362880 4 412 10 160102656− ≈ × ≈∗ −. .

El valor de I9 , con por lo menos 4 cifras decimales exactas, es

I 9 0684800 160102656 091622656= − + =. . .

Observe que el error absoluto, debido a los cálculos, crece a medida que n aumenta, y esmucho más grande que el valor real (en valor absoluto) que se está aproximando (se puedever que si ∈ es el error inicial, entonces el error después de n pasos es

( )∈ = − = − ∈∗n n n

n-1I I 1 n! , y ( )lim lim n

nn

n

n

→∞ →∞

−∈ = − ∈ = +∞11

! ; mientras que 0 I1

n 1n< ≤

+). En

conclusión, el algoritmo dado por la fórmula de recurrencia

n IconI nIe

n n= − = =−1 2 31

1 1, , ,...

es inestable.

Cómo podemos escoger un algoritmo diferente el cual evite esta inestabilidad?

Si reescribimos la relación de recurrencia como

II

nNn

n− =

−=1

13 2, ,..., , n

entonces en cada paso del cálculo el error en In es dividido por n. Así que, si comenzamos

con un valor para algún In con n >>1, y trabajamos hacia atrás, cualquier error inicial o

errores de redondeo que ocurran estarán decreciendo en cada paso. Este es un ejemplo dealgoritmo estable.

Para obtener un valor inicial, notemos que

I x e dx x dxx

n nn

n x nn

= ≤ =+

=+

−+

∫ ∫1

0

1

0

1 1

0

1

1

1

1

Por lo tanto In → 0 cuando n → +∞ .


__________________________________________________________________________________

Por ejemplo, si aproximamos I20 por 0 y usamos el valor 0 como un valor inicial, entonces

cometemos un error inicial ∈ tal que 01

21≤ ∈≤ ; este error es multiplicado por

1

20 al calcular

I19 , así que el error en el cálculo de I19 , que es 1

20∈ , es tal que

01

20

1

20

1

21≤ ∈ ≤

Procediendo de la manera anterior, el error en el cálculo de I15 es tal que

01

16

1

17

1

20

1

16

1

17

1

20

1

212 56 10 5 108 8≤ ∈ ≤ ≈ × < ×− −... ... .

lo que garantiza una precisión de por lo menos 7 cifras decimales exactas de precisión paralos valores calculados de I I15 9,..., .

Haciendo los cálculos para I I20 9,..., , obtenemos

I20 0000000000≈ . , I19 05000000000≈ . , I18 0500000000≈ . ,

I17 0527777778≈ . , I16 05571895425≈ . , I15 05901756536≈ . ,

I14 06273216231≈ . , I13 06694770269≈ . , I12 07177325364≈ . ,

I11 07735222886≈ . , I10 0838770701≈ . , I9 09161229299≈ . ♦

Ejemplo 1.9 La sucesión pn n con pn

n

=

=1

3, n 0,1,... se puede generar de varias

maneras; dos de ellas son:

i) x x xn n n0 1 1 211

3

5

6

1

62 3= = =

−

=− − x x n, , , , ,...

ii) y y yn n n0 1 1 211

3

5

3

4

92 3= = =

−

=− − y y n, , , , ,...

Veamos que, efectivamente, la sucesión definida en i) es igual a la sucesión

1

30 1

=

n

n

, , ,... n . En efecto:

x0

0

1

1

11

3

1

3

1

3= =

= =

; x , y

x x x2 1 0

25

6

1

6

5

6

1

3

1

61

5

18

1

6

1

9

1

3=

−

=

−

= − = =

.


Supongamos que x x xk k k

k

=

−

=

− −

5

6

1

6

1

31 2 para 2 ≤ <k n , y veamos que

x x xn n n

n

=

−

=

− −

5

6

1

6

1

31 2 :

xn

n n n n n

=

−

=

−

=

=

− − − −5

6

1

3

1

6

1

3

1

3

5

6

1

3

1

6

1

3

1

3

1

3

1 2 2 2 2

Luego

x para todo nn n n

n

x x=

−

=

=− −5

6

1

6

1

30 11 2 , , ,...

Análogamente, se puede verificar que la sucesión definida en ii) es igual a la sucesión pn n

con pn

n

=

=1

301, , ,... n .

Si usamos aritmética decimal con redondeo a 7 dígitos para calcular los primeros términos

de las sucesiónes pn n , xn n y yn n , se obtienen los resultados que se muestran en la

TABLA 1.4 siguiente.

n pn∗ xn

∗ yn∗

0 1.000000 1.000000 1.0000001 .3333333 .3333333 .33333332 .1111111 .1111111 .11111113 .3703704 10 1× − .3703704 10 1× − .3703706 10 1× −

4 .1234568 10 1× − .1234568 10 1× − .1234571 10 1× −

5 .4115226 10 2× − .4115227 10 2× − .4115268 10 2× −

6 .1371742 10 2× − .1371743 10 2× − .1371797 10 2× −

7 .4572474 10 3× − .4572475 10 3× − .4573210 10 3× −

8 .1524158 10 3× − .1524159 10 3× − .1525139 10 3× −

9 .5080526 10 4× − .5080529 10 4× − .5093613 10 4× −

10 .1693509 10 4× − .1693510 10 4× − .1710958 10 4× −

11 .5645029 10 5× − .5645036 10 5× − .5877683 10 5× −

12 .1881676 10 5× − .1881680 10 5× − .2191882 10 5× −

13 .6272255 10 6× − .6272272 10 6× − .1040833 10 5× −

14 .2090752 10 6× − .2090760 10 6× − .7605514 10 6× −

15 .6969172 10 7× − .6969214 10 7× − .8049934 10 6× −

16 .2323057 10 7× − .2323078 10 7× − .1003633 10 5× −

17 .7743524 10 8× − .7743628 10 8× − .1314947 10 5× −

18 .2581175 10 8× − .2581227 10 8× − .1745519 10 5× −

19 .8603916 10 9× − .8604175 10 9× − .2324777 10 5× −

20 .2867972 10 9× − .2868101 10 9× − .3098842 10 5× −

TABLA 1.4


__________________________________________________________________________________

Si comparamos los valores calculados p2092867972 10∗ −= ×. , x20

9286810 10∗ −= ×. y

y2053098842 10∗ −= ×. con el valor exacto

1

3

1

34867844012 8679719 10

2010

= = × −. ... , se

puede ver que p2092867972 10∗ −= ×. aproxima al valor exacto con todas sus 7 cifras

significativas, x209286810 10∗ −= ×. aproxima al valor exacto con cinco cifras significativas

(de siete), mientras que y2053098842 10∗ −= ×. aproxima al valor exacto con ninguna cifra

significativa.

Qué puede decirse de la estabilidad numérica de las fórmulas que definen las sucesiones

pn n , xn n y yn n ?

Observamos que la fórmula para calcular yn produce rápidamente pérdida de cifras

significativas, mientras que la fórmulas para calcular pn y xn no, así que el algoritmo para

calcular yn es inestable, mientras que los algoritmos para calcular pn y xn son estables.

Si calculamos más términos de la sucesiones pn n, xn n

y yn n, se obtienen los

resultados que se muestran en la TABLA 1.5 siguiente.

n pn∗ xn

∗ yn∗

30 .4856936 10 14× − .4869553 10 14× − .5502329 10 4× −

40 .8225264 10 19× − .9457497 10 19× − .9770887 10 3× −

50 .1392956 10 23× − .1342649 10 23× − .1735087 10 1× −

60 .2358983 10 28× − .1177509 10 25× − .3081121 100×70 .3994957 10 33× − .1147647 10 28× − .5471369 101×80 .6765496 10 38× − .1120711 10 31× − .9715907 102×90 .1149065 10 42× − .1094443 10 34× − .1725324 104×100 0 .1068791 10 37× − .3063784 105×

TABLA 1.5

Observe, en los cálculos de la tabla anterior, que pn∗ → 0 y xn

∗ → 0 , mientras que yn∗ → ∞

(cuando n → ∞ ), y es claro que limn

n

→∞

=1

30 .

Otra forma de estudiar la estabilidad numérica de las fórmulas definidas en este ejemplo escomo sigue:

Las sucesiones definidas en i) y ii) pueden verse como ecuaciones en diferencias concondición inicial:

i)

( )

( )

x5

6x

1

6x , n 2,3,... 1.1.a

x 1, x1

3 1.1.b

n n 1 n 2

0 1

= − =

= =

− −


ii)

( )

( )

y5

3y

4

9y , n 2,3,... 1.2.a

y 1, y1

3 1.2.b

n n 1 n 2

0 1

= − =

= =

− −

Se puede probar que la solución general de la ecuación en diferencias (1.1.a), es

xn

n n

c c=

+

1 2

1

3

1

2

con c1 y c2 constantes arbitrarias.

Nótese que la solución general anterior es el conjunto de todas las combinaciones lineales de

las soluciones particulares 1

3

n n

y 1

2, de la ecuación (1.1.a). Tales soluciones

particulares pueden obtenerse buscando soluciones de la forma xnn= λ con λ ≠ 0 , para la

ecuación mencionada.

Para que se satisfagan las condiciones iniciales exactas (1.1.b), x0 1= y x11

3= , deben

escogerse c1 1= y c2 0= , es decir, la solución de la ecuación en diferencias (1.1.a) que

satisface la condición inicial (1.1.b) es la sucesión

con p , npn n n

n

=

=1

3012, , ,...

Si las condiciones iniciales son cambiadas por x0 1000000= . y x1 3333333=. (redondeando

las condiciones iniciales (1.1.b) a siete dígitos), entonces los valores de las constantes son

ahora c1 10000002= . y c262 10= − × −. , así que la solución de la ecuación en diferencias

(1.1.a) con las nuevas condiciones es

xn

n n

=

− ×

−100000021

32 10

1

26. .

y entonces al calcular pn

n

=

1

3, mediante esta última fórmula, el error es tan solo

∈ =

− ×

−

= ×

−

− −n

n n n n n

100000021

32 10

1

2

1

32 10

1

3

1

26 6. . .

( ∈ →n 0 cuando n → ∞ y observe que p 0 cuando nn → → ∞ )

En este caso el algoritmo se considera estable.

En cuanto a la ecuación en diferencias (1.2.a), tenemos que su solución general es


__________________________________________________________________________________

yn

n n

c c=

+

1 2

1

3

4

3

con c1 y c2 constantes arbitrarias.

Para que se satisfagan las condiciones iniciales (1.2.b), y0 1= y y11

3= , deben escogerse

c1 1= y c2 0= , es decir, la solución de la ecuación en diferencias (1.2.a) con condición

inicial (1.2.b) es la sucesión

con p , npn n n

n

=

=1

3012, , ,...

Si las condiciones iniciales son cambiadas por y0 1000000= . y y1 3333333=. (redondeando

las condiciones iniciales (1.2.b) a siete dígitos), entonces los valores de las constantes son

ahora c13 0000001

3=

. y c2

710 10

3= × −.

, es decir, la solución de la ecuación en diferencias

(1.2.a) que satisface las nuevas condiciones, es

yn

n n

=

+ ×

−3 0000001

3

1

3

10 10

3

4

3

7. .

El error al calcular pn

n

=

1

3, mediante esta última fórmula, es

∈ =

+ ×

−

= ×

+

− −

n

n n n n n3 0000001

3

1

3

10 10

3

4

3

1

3

10 10

3

1

3

4

3

7 7. . .

( ∈ → +∞n cuando n → ∞ , mientras que p 0 cuando nn → → ∞ )

En este caso el algoritmo definido por la fórmula ii) es inestable. ♦

1.5 CONDICIONAMIENTO DE UN PROBLEMA

Para ciertos problemas "buenas" respuestas no pueden ser obtenidas por cualquieralgoritmo, porque el problema es sensible a errores pequeños cometidos en larepresentación de los datos o en la aritmética. Hay que distinguir entre algoritmos inestablesy problemas sensibles a cambios pequeños en los datos.

Un problema se dice bien condicionado si pequeños cambios en los datos inducen sólo uncambio pequeño en el resultado, es decir, problemas "cercanos" tienen respuesta "cercana".El buen condicionamiento es algo inherente al problema.

Veamos un ejemplo.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales


=+=+

21y10x0510

2y x

.

La solución exacta (única) de este sistema es x = 20 e y = −18 . En este caso, el punto

( )20 18,− es la intersección de las rectas casi paralelas:

L y1 2: x + = , con pendiente m1 10= − .

L x y2 10 05 10 21: . + = , con pendiente m2 1005= − .

Ahora cambiamos el coeficiente 10.05 por 10.1 (un cambio relativo de ≈ .5%) y consideramosel sistema perturbado

=+=+

21y10x1.10

2y x

La solución exacta de este sistema perturbado es x = 10 , y = −8 .

Se observa que un cambio pequeño en uno de los datos del problema (coeficientes ytérminos independientes del sistema) ha producido un gran cambio en la solución (de más de100%). Este problema se dice que está mal condicionado. ♦♦♦♦

TALLER 1.

1. Convertir los siguientes números binarios a la forma decimal (equivalente decimal):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . .1100011 1111111 1010 100101 1000001 101012 2 2 2 2 2 ; ; ; ; ;

2. Para los siguientes números x y x∗ , con cuántas cifras decimales exactas y con cuántas

cifras significativas aproxima x∗ a x ?

a) x = =∗451023 45101. ., x

b) x = − = −∗. .045113 04518, x

c) x = =∗23 4213 23 4604. ., x

3. Un paralelipípedo rectangular tiene lados de 3, 4 y 5 centímetros, medidos solamente alcentímetro más cercano. Determine el intervalo más pequeño en el cual debe estar elárea lateral de este paralelipípedo y el intervalo más pequeño en el cual debe estar suvolumen.


__________________________________________________________________________________

4. Sean ( )x y0 0, y ( )x y1 1, , con y y0 1≠ , puntos dados de una cierta línea recta. Verifique

que la abscisa del punto de intersección de dicha recta con el eje x, se puede calcular concualquiera de las dos siguientes fórmulas

( ) x , x=

−−

= −−−

x y x y

y yx

x x y

y y0 1 1 0

1 00

1 0 0

1 0

Use los datos ( ) ( )x y0 0 131 3 24, ,= . . , ( ) ( )x y1 1 193 4 76, ,= . . y aritmética decimal con

redondeo a tres dígitos para calcular dicha abscisa, utilizando las dos fórmulas. Cuálfórmula da el mejor resultado y por qué?

5. Considere el sistema de ecuaciones lineales

3169 14 31 45 00

13 11 5 89 19 00

. . .

. . .

x y

x y

+ =+ =

Un método para resolver este sistema es multiplicar la primera ecuación por 13.11, lasegunda ecuación por 31.69 y restar las ecuaciones resultantes para obtener el valor dey ; luego se multiplica la primera ecuación por 5.89, la segunda ecuación por 14.31 y

restamos las ecuaciones resultantes para obtener el valor de x.

Efectúe las operaciones indicadas usando aritmética decimal con corte a cuatro dígitos ycompare los resultados obtenidos con la solución exacta del sistema. Si hay algunadiferencia en los resultados, puede explicar a qué se debe tal diferencia?

6. a) Escriba un programa que le produzca un error overflow en su computador.

b) Escriba un programa para determinar experimentalmente (no teóricamente) el númerode punto flotante más pequeño y el más grande de su computador.

7. Calcule ln2 a partir de la serie de Maclaurin para la función ( ) ( )f x x= +ln 1 . Determine el

menor número de términos en dicha serie que deben tomarse para conseguir ln2 con un

error menor que 10 8− . Haga lo mismo para ln15. y ln11. , y analice los resultados.

8. La aproximación sen x x≈ se usa a menudo para x pequeño. Estime, con la ayuda del

teorema de Taylor, el error de truncamiento al usar esta fórmula. Para qué rango devalores de x da esta aproximación resultados con una precisión de por lo menos seiscifras decimales exactas?


9. Sea ( )f x e x= − . Encuentre el polinomio de Taylor de tercer grado para f alrededor de

a 10= . , y úselo para aproximar e−.99 . Cuántas cifras decimales exactas se esperan en la

aproximación calculada?

10. Discuta los problemas que se pueden presentar al evaluar las siguientes funciones yplantee alternativas que permitan evitarlos:

a) ( ) ( )f x x x= + −ln ln1 b) senhxe ex x

= − −

2

c) ( )f xx

x= −1

2

cosd) ( )f x x= + −1 13

11. Use aritmética decimal con redondeo a cuatro dígitos y una fórmula que intente evitar lapérdida de cifras significativas, para encontrar las raíces de cada una de las siguientesecuaciones cuadráticas

a) x x2 19 96 1995 0− + =. . b) x x2 40 1 0+ − =

12. Considere la ecuación en diferencias

x x x , n 2,3,...n n 1 n 2= + =− − (1)

a) Verifique que la sucesión

xn

n

= +

=1 5

201, , ,... n (2)

es solución de la ecuación en diferencias (1), y satisface las condiciones iniciales

x0 111 5

2= = +

y x .

Utilice aritmética finita para calcular x , n 0,1,...,20n = usando la fórmula (1) con las

condiciones iniciales anteriores, y también usando la fórmula (2). Explique losresultados y concluya acerca de la estabilidad numérica de la fórmula (1) .

b) Verifique que la sucesión

xn

n

= −

=1 5

201, , ,... n (3)

es solución de la ecuación en diferencias (1), y satisface las condiciones iniciales

x0 111 5

2= = −

y x .


__________________________________________________________________________________

Utilice aritmética finita para calcular x , n 0,1,...,20n = usando la fórmula (1) con las

condiciones iniciales anteriores, y también usando la fórmula (3). Explique losresultados y concluya acerca de la estabilidad numérica de la fórmula (1) .

13. Considere la ecuación en diferencias

( ) x 2 x x , n 2,3,...n n 1 n 2= + =− −

a) Verifique que si se dan las condiciones iniciales x 1 y x 1 30 1= = − , entonces

( )x 1 3, , n 0,1,...n

n= − = es solución de la ecuación en diferencias dada y satisface

las condiciones iniciales dadas.

b) Utilice aritmética finita para calcular x , n 0,1,...,20n = usando tanto la fórmula

( )x 1 3n

n= − , como la fórmula ( )x 2 x xn n-1 n-2= + , con las condiciones iniciales dadas

en a). Explique los resultados y concluya acerca de la estabilidad numérica de lafórmula ( )x 2 x xn n-1 n-2= + .

14. Las funciones de Bessel Jn satisfacen la siguiente fórmula de recurrencia

( ) ( ) ( ) ( ) J nn n nx n x J x J x= − − =−− −2 1 2 311 2 , , ,... (4)

Empiece con ( ) ( )J0 11 7651976866 1 4400505857= = y J . . y use la fórmula de

recurrencia anterior para calcular ( )Jn 1 2 3 20, , ,..., n = . Se puede creer en los resultados

obtenidos? Explique.

Nota: Se sabe que las funciones de Bessel Jn pueden definirse mediante la fórmula

( ) ( ) J n x x n d= −∫1

0π

θ θ θπ

cos sen

15. Las funciones de Bessel Yn satisfacen la misma fórmula de recurrencia (4) que las

funciones de Bessel Jn . Empiece con ( )Y0 1 0882569642= . y ( )Y1 1 7812128213= −. y

use la fórmula de recurrencia (4) para calcular ( )Yn 1 2 3 20, , ,..., n = . Decida si los

resultados son confiables o no.

16. Escriba un programa de computador que calcule el valor de SkN

k

N

==∑ 1

1

para varios

valores de N . Encuentre el valor de N tal que S Sn N= para todo n N≥ . Le parece


extraño que tal valor exista? Recuerde que la serie armónica 1

1k

k=

∞

∑ es divergente.

Explique.

17. Para cualquier entero positivo N y una constante fija r ≠ 1, se tiene la siguiente fórmulapara la suma geométrica

GNN

N

Nr r rr

rQ≡ + + + + = −

−≡

+1

1

12

1

...

Escriba un programa de computador que calcule GN N y Q para valores arbitrarios de r

y N . Si r se escoge muy cerca de 1, los valores de GN N y Q pueden diferir. Cómo

explica ésto? Cuál de los dos cree que es una mejor aproximación del valor exacto de lasuma? Explique.

18. Defina una sucesión xn n, , ,... n = 01 mediante la fórmula de recurrencia

x , n , ,... donde xn nn

xx+ = + = >1 01

01 0

Qué puede decir acerca de la existencia de lim xn

n→∞

?

CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE UNA ECUACIÓNNO-LINEAL EN UNA VARIABLE

INTRODUCCIÓN

El objetivo de este capítulo es estudiar algunos métodos numéricos para hallar raíces realesde una ecuación no-lineal en una variable (sólo se estudiarán raíces complejas paraecuaciones polinómicas). En la siguiente definición formalizamos el concepto de raíz de unaecuación.

Definición 2.1 Sea f: ,D R D R→ ⊆ , una función dada. Un número α ∈ D se dice una

raíz (en D) de la ecuación ( )f x = 0 , o un cero (en D) de la función f si ( )f α = 0 . ∇∇∇∇

Como veremos, los métodos numéricos que estudiaremos para encontrar una raíz α de una

ecuación ( )f x = 0 , generarán una sucesión x nn n, , , ,... = 012 (Métodos iterativos) tal que

lim xn

n→∞

= α . Cualquiera de tales métodos numéricos permitirá calcular los términos de la

sucesión xn n ; así que no se espera, en general, calcular lim xn

n→∞

. Por lo tanto, deberemos

disponer de algún criterio para escoger un término de la sucesión x nn n, , , ,... = 012 como

aproximación de la raíz buscada α .

CRITERIOS DE APROXIMACIÓN

Supongamos que la función f es continua en alguna vecindad de α que contiene a la

sucesión x nn n, , , ,... = 012 , y que la sucesión xn n es tal que lim x

nn

→∞= α . Entonces

( ) ( )lim f x fn

n→∞

= =α 0 y así, dado cualquier número positivo ε, existe 0,1,2,...N =N∈ tal que

para todo n N≥ se tiene que ( ) f xn < ε . Teniendo en cuenta lo anterior, dado un número

ε > 0 adecuadamente pequeño, al cual llamaremos Tolerancia y que notaremos Tol,podríamos escoger como aproximación de la raíz αααα al término xN de la sucesión

mencionada, donde N es el menor entero no-negativo que satisface

i) ( ) f xn < ε

Por otro lado, como lim xn

n→∞

= α significa que dado ε > 0 , existe N0 012∈ =N , , ,... tal que si

n N≥ 0 , entonces x n − <α ε , y esto implica que

x x

x x

N N N N

N N

x x0 0 0 0

0 0

1 1

1 2

+ +

+

− = − + −

≤ − + − < + =

α α

α α ε ε ε

entonces también podríamos tomar como aproximación de la raíz αααα al término xN de la

sucesión mencionada, donde N es el menor entero no-negativo tal que


__________________________________________________________________________________

ii) x x n n 1− <− ε

También podríamos tomar como aproximación de la raíz αααα al término xN donde N es el

menor entero no-negativo tal que

iii) x x

x n n 1

n

−<− ε , si 0xn ≠

Pues bien, para una tolerancia ε > 0 previamente escogida, cualquiera de los tres criteriosmencionados, se adoptará como criterio para obtener una aproximación de una raíz α .

Ahora, en cuanto a los criterios de aproximación anteriores, es fácil ver que el hecho de que

( ) f xN < ε o x xN N− <−1 ε no necesariamente indica que xN esté muy cerca de α, como

puede apreciarse en la FIGURA 2.1 y en el ejemplo 2.1 siguientes.

FIGURA 2.1

Ejemplo 2.1 Consideremos la ecuación ( )f x = 0 donde ( ) ( )f x x= −110

. Es claro que α = 1 es

una raíz de esta ecuación, y que la sucesión xn n, n 1,2,...= donde x

nn = +11

converge a

dicha raíz.

Si tomamos como tolerancia ε = −10 3 , al aplicar el criterio de aproximación i), se tiene que

( ) f nxn n

nn < ⇔ + −

= < ⇔ > ⇔ ≥−ε 11

11

10 10 210

103 10 3

Si tomamos como aproximación de α al término x2 11

2

3

2= + = de la sucesión mencionada,

observamos que 2

1

2

31 x- 2 =−=α , y

1

2 no es menor que ε = −10 3 ; realmente 2x−α

es una distancia muy grande entre α y x2 . Vea la FIGURA 2.2.

Si usamos el segundo criterio con la misma tolerancia, debemos encontrar n tal que

x x 11

n1

1

n 1

1

n

1

n 110n n 1

3− < ⇔ + − +−

= −−

<−−ε

Capítulo 2. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE UNA ECUACIÓN NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 35__________________________________________________________________________________

Resolviendo esta última desigualdad se obtiene que si n ≥ 33 , entonces

x xn n− < =−−

1310ε , así que la aproximación de α obtenida, usando este criterio, sería

x 11

331030...33 = + = . , y la distancia α − =x

1

3333 no es menor que ε = −10 3 .

Observe que para que α ε− < = −x 10n3 , debe tomarse x x 1

1

1001100099..n 1001= = + = . . .

( α ε− < ⇔ − +

< ⇔ < ⇔ >− −xn n

nn 1 11

101

10 103 3 3 ) ♦

FIGURA 2.2

Se sigue de lo anterior que cualquiera de los criterios i), ii), iii) puede no darnos una ideaclara de la distancia real α − xn .

Por otra parte, para garantizar que una sucesión, generada por un determinado métodonumérico, converge a la raíz buscada, la función f en cuestión deberá satisfacer ciertascondiciones; resulta que muchas veces aplicaremos el método sin chequear talescondiciones lo que nos conducirá, posiblemente, a una sucesión divergente, caso en el cual,un entero N para el cual se cumpla i), ii) o iii), puede no existir. Puede ocurrir también que,aún tratándose de una sucesión que converge a la raíz buscada, el entero N al que noshemos referido sea muy grande, por ser "muy lenta" la convergencia de la sucesión. Por loanterior, al aplicar cualquiera de los criterios, se hace necesario establecer siempre una cotapara N, es decir, imponer un máximo al número de iteraciones.

También, con frecuencia, tendremos que combinar dos o más de los criterios mencionados,o considerar algún otro criterio, al momento de obtener una aproximación de una raíz .

Por lo general al aplicar un método numérico necesitaremos de una aproximación inicial de laraíz buscada o bien de un intervalo que contenga a dicha raíz. Esta información puedeobtenerse dibujando la gráfica de la función f, si la ecuación en cuestión es ( )f x = 0 ; las

abscisas de los puntos de corte de dicha gráfica con el eje x son raíces reales de la


__________________________________________________________________________________

ecuación. Además, la gráfica de f nos permitirá tener alguna idea útil del comportamientocualitativo de f en la vecindad de la raíz α (por ejemplo crecimiento y concavidad). Ahorabien, es posible que a través de un proceso puramente gráfico podamos obtener unaaproximación para una raíz, que aunque limitada, sea útil para ciertos fines.

Ejemplo 2.2 Supongamos que estamos interesados en encontrar todas las raíces de laecuación

3 02x ex− =

Una forma de iniciar la búsqueda de las raíces es determinando intervalos que contengan a

dichas raíces. Para esto, graficamos ( )f x x ex= −3 2 (ver la FIGURA 2.3 siguiente).

FIGURA 2.3

De acuerdo con la gráfica anterior se ve que la ecuación en consideración tiene por lo menostres raíces reales [ ] [ ] [ ]α α α1 2 310 01 3 4∈ − ∈ ∈, , , , y . (Verifique analíticamente que la

ecuación 3 02x ex− = tiene únicamente tres raíces reales).

Ahora bien, puesto que 3 0 32 2x e x ex x− = ⇔ = , otra forma de proceder es graficando las

funciones ( )f x x123= y ( )f x ex

2 = , en un mismo plano coordenado (ver la FIGURA 2.4). En

este caso las raíces buscadas son las abscisas de los puntos de intersección de las dosgráficas.

Una forma de aproximar cada una de las raíces α α α1 2 3, y , es dividiendo el intervalo

donde cada una de éllas se encuentra, y hacer esto sucesivamente hasta lograr unsubintervalo de longitud suficientemente pequeña y que contenga a dicha raíz. Por ejemplo,si empezamos con los intervalos dados y hacemos una tabla de valores para la función

( )f x x ex= −3 2 con tamaño de paso h = 0 1. , obtenemos que [ ]α1 0 5 0 4∈ − −. ., , [ ]α 2 0 910∈ . .,

y [ ]α 3 3 7 3 8∈ . ., . La TABLA 2.1 corresponde a la tabla de valores para la función


( )f x x ex= −3 2 en el intervalo [ ]01, con tamaño de paso h = 0 1. . Observe que como la

función f es continua en [ ]0 910. ., y ( ) ( )f f0 9 10 0. . < , entonces [ ]α 2 0 910∈ . ., .

FIGURA 2.4

x ( )f x x ex= −3 2

0 −10.0 1. −107. ...0 2. −110. ...0 3. −107. ...0 4. −101. ...0 5. −0 89. ...0 6. −0 74. ...0 7. −0 54. ...0 8. −0 30. ...0 9. −0 02. ...10. 0 28. ...

TABLA 2.1

Instrucción en DERIVE:

VECTOR( ( )[ ]x f x, , , , , x a b h ): aproXima una tabla de valores de la función ( )f x en el

intervalo [ ]a b, , con tamaño de paso h. Para el ejemplo, aproXime la expresión

VECTOR( ( )[ ]x x x x, exp , , , ,3 0 1 0 12 − . ). ◊◊◊◊

En situaciones como la del ejemplo anterior, donde se sabe de la existencia de una única raízα para una ecuación ( )f x = 0 en un determinado intervalo cerrado [ ]a b, , se puede usar


__________________________________________________________________________________

alguno de los siguientes métodos numéricos llamados cerrados para encontrar unaaproximación de dicha raíz.

2.1 MÉTODOS CERRADOS

Los métodos numéricos que en cada paso dan un intervalo cerrado donde se encuentra laraíz buscada, son llamados métodos cerrados. Aquí estudiaremos dos de tales métodos: elmétodo de Bisección y el método de Posición Falsa.

2.1.1 Método de Bisección : Supongamos que f es una función continua en un intervalo

[ ]a b, y ( ) ( )f a f b < 0 . Entonces, por teorema del valor intermedio para funciones continuas,

existe al menos un ( )α ∈ a b, tal que ( )f α = 0 . Asumiremos en lo que sigue que la raíz en

este intervalo es única (aunque el método también se puede aplicar cuando hay más de unaraíz en ( )a b, ).

El método de Bisección aplicado a la función f para aproximar la raíz [ ]b,a∈α , consiste en

dividir sucesivamente el intervalo [ ]a b, por la mitad, hasta que la longitud del subintervalo

que contiene a la raíz α sea menor que alguna tolerancia especificada ε .

Para empezar tomamos aa1 = , bb1 = y 1x es el punto medio de [ ]11 b,a , o sea

( )x a b ab a

1 1 1 11 11

2 2= + = +

−: primera aproximación de la raíz α.

FIGURA 2.5

α − ≤−

= −x

b a b a1

1 1

2 2

Si ( )f x1 0= o b a1 1

2

−< ε , entonces α = x1 y el proceso termina.


Si ( ) ( )f a f x1 1 0< , entonces ( )α ∈ a x1 1, y tomamos a a2 1= , b x2 1= ; en caso contrario

tomamos a x2 1= , b b2 1= .

Ahora aplicamos nuevamente el proceso anterior al intervalo [ ]a b2 2, , así:

( )x a b ab a

2 2 2 22 21

2 2= + = +

−: segunda aproximación de la raíz α

( ) α − ≤−

= −

=−

= −x

b ab a

b a b a2

2 21 1

1 12 22

1

2

1

2 2 2

En general, después de (n −1)-pasos, la raíz ( )α ∈ a bn n, y tomamos

( ) 2

ababa

2

1x nn

nnnn−

+=+= : n-ésima aproximación de la raíz α

( )01

2 2≤ − ≤ − = −

α x b ab a

n n n n

Como limb a

n n→∞

− =2

0 , entonces lim xn

n→∞

= α , es decir, la sucesión xn n converge a la raíz α;

lo que significa que el método de Bisección siempre converge.

Dado ε > 0 , si ε≤−n2

ab, entonces ε≤α− x n . En particualr, si ( )ε = × − +5 10

1k para un

cierto entero no-negativo k, y N es el menor entero positivo para el cual ε≤−n2

ab, entonces

( )1kN 105x +−×≤−α , así que xN = ∗α aproximará a la raíz α con una precisión de por lo

menos k cifras decimales exactas.

Algoritmo 2.1 (Bisección) Para encontrar una aproximación α ∗ de una raíz ( )α ∈ a b, de

una ecuación ( )f x = 0 donde f es una función continua en [ ]a b, y ( ) ( )f a f b < 0 :

Entrada: ( )f x ; los extremos a, b del intervalo; una tolerancia Tol, y un número máximo de

iteraciones N .

Salida: Una raíz aproximada α ∗ o un mensaje.


__________________________________________________________________________________

Paso 1: Tomar n = 1.

Paso 2: Mientras que n N≤ seguir los pasos 3-6:

Paso 3: Tomar ca b

ab a= + = + −

2 2 o c (calcular xn )

Paso 4: Si ( )f c = 0 o b a

Tol− <2

, entonces salida: "Una raíz aproximada de la

ecuación dada es α ∗ = c ". Terminar.

Paso 5: Tomar n n= +1.

Paso 6: Si ( ) ( )f a f c < 0 , entonces tomar b c= , de lo contrario tomar a c= .

Paso 7: Salida: "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia".Terminar.

Para el ejemplo 2.2 anterior, usemos el método de Bisección en el intervalo [ ]0 910. ., para

aproximar la raíz α 2 , con una precisión de por lo menos tres cifras decimales exactas.

Debemos encontrar n tal que α 245 10− ≤ × −xn ; pero como

α 22

10 0 9

2

0 1

2− ≤ − = − =x

b an n n n

. . ., basta encontrar n tal que

0 1

25 10 4.

n≤ × −

. La solución de

esta última desigualdad es n ≥ 8 , así que x8 aproximará a α 2 con por lo menos tres cifras

decimales exactas.

La TABLA 2.2 siguiente, muestra los cálculos para obtener x8 .

n an bn xn

signo de

( )f an ( )f xn

1 .9 1.0 .95 −1 .121...2 .9 .95 .925 −1 4 50 10 2. ...× −

3 .9 .925 .9125 −1 7 42 10 3. ...× −

4 .9 .9125 .90625 −1 − × −111 10 2. ...5 .90625 .9125 .909375 −1 − × −188 10 3. ...6 .909375 .9125 .9109375 −1 2 76 10 3. ...× −

7 .909375 .9109375 .91015625 −1 4 42 10 4. ...× −

8 .909375 .91015625 .909765625 −1 − × −7 19 10 4. ...TABLA 2.2



BISECCION( ( )f x x a b N, , , , ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de Bisección

aplicado a la función ( )f x en el intervalo [ ]a b, . Para el ejemplo aproXime la expresión

BISECCION( ( )3 0 9 10 82x x x− exp , , , ,. . ). ◊◊◊◊

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.2, x8 2909765625= ≈. α , y

( ) 48 10...197xf −×−= . . Observe que el menor valor de ( )f xn , n = 12 3 8, , ,..., es

( ) f 91015625 .... = × −4 42 10 4. y ocurrió en la iteración n = 7 . Será que x7 es mejor

aproximación de α 2 que x8 ?

Si usamos el método de Bisección para buscar aproximaciones de [ ]α1 5∈ − −. , 4. y

[ ]α 3 3∈ . .7, 3 8 , con la misma precisión de α 2 , obtenemos:

α1 8458984375≈ − =. x , ( )f x857 485 10= × −. ...

α 3 83 733203125≈ =. x , ( )f x832 408 10= − × −. ... ♦

Algunas de las desventajas del método de Bisección con respecto a otros métodos son:

No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproximaciones calculadasxn , sólo tiene en cuenta el signo de ( )nxf , lo que hace que una aproximación intermedia,

mejor que la respuesta final, pase desapercibida.

Aunque el método de Bisección siempre converge, su convergencia es muy lenta,comparada con la convergencia de otros métodos que estudiaremos, por lo que se sugiereescoger el intervalo inicial [ ]a b, tan pequeño como sea posible o usar el método de

Bisección para obtener un buen punto de arranque para la aplicación de otro método.

Una de las mayores ventajas que tiene el método de Bisección es que el error de

truncamiento, α − xn , se acota fácilmente (recuerde que α − ≤ −x

b an n2

).

Ejercicio 2.1 Use el método de Bisección para estimar la menor raíz positiva de la ecuaciónx tanx− = 0 , con una precisión de por lo menos 3 cifras decimales exactas, empezando conun intervalo [ ]a b, que contenga a dicha raíz y b a− = 0 1. . ♦

2.1.2 Método de Posición Falsa (o Regula Falsi): Consideremos una función f continua

en un intervalo [ ]a b, y tal que ( ) ( )f a f b < 0 . El método de Posición Falsa, para encontrar una

aproximación de una raíz ( )b,a∈α de ( )f x = 0 , es similar al método de Bisección en el

sentido de que se generan subintervalos [ ]a bn n, que encierran a la raíz α, pero esta vez xn

no es el punto medio de [ ]a bn n, , sino el punto de intersección de la recta que pasa por los

puntos ( )( ) ( )( )a f a b f bn n n n, , , con el eje x (ver la FIGURA 2.6 siguiente).


__________________________________________________________________________________

Al reemplazar la curva por una recta se obtiene una "posición falsa" de la raíz, de aquí elnombre del método. También se le conoce como método de Interpolación Lineal Inversa.

FIGURA 2.6

Empezamos tomando a a1 = , b b1 = y encontramos la primera aproximación de la raíz, x1 ,

como la intersección con el eje x , de la recta secante a la curva que pasa por los puntos

( )( ) ( )( )a f a b f b1 1 1 1, , , :

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )x a

b a f a

f b f a

a f b b f a

f b f a1 11 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

= −−

−=

−−

Si ( )f x1 0= , entonces α = x1 y el proceso termina.

Si ( ) ( )f a f x1 1 0< entonces ( )α ∈ a x1 1, y tomamos a a x2 1 2 1= = , b , de lo contrario tomamos

a x b2 1 2 1= = , b .

Aplicamos nuevamente el proceso anterior al intervalo [ ]a b2 2, , es decir, hacemos

( ) ( )( ) ( )x a

b a f a

f b f a2 22 2 2

2 2

= −−

−

Después de la ( n −1)-ésima iteración, tenemos ( )α ∈ a bn n, y tomamos

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) x n n

n n n

n n

n n n n

n n

ab a f a

f b f a

a f b b f a

f b f a= −

−−

=−−

Observe que en el denominador de la expresión anterior nunca se resta, pues ( ) ( )f a f bn n < 0 .

Este método tiene la desventaja, con respecto al método de Bisección, que la longitud delsubintervalo que contiene a la raíz en general no tiende a cero, porque la mayoría de lasgráficas de las funciones son cóncavas (hacia arriba o hacia abajo) en la vecindad de la raíz,lo que hace que uno de los extremos de los subintervalos se aproxime a la raíz, mientras elotro permanece fijo (ver la FIGURA 2.6 anterior).


Por lo anterior, la longitud del subintervalo [ ]a bn n, no puede tomarse como un criterio de

aproximación a la raíz; se requiere una tolerancia en el valor de la función en la aproximación

xn , es decir, ( ) f xn < ε o x n nx− <−1 ε para alguna tolerancia ε > 0 previamente

escogida. El procedimiento termina cuando se alcance esta tolerancia o un número máximode iteraciones previamente establecido.

Se puede demostrar, ver Ralston,1965, página 324, que este método converge siempre que fsea continua.

Ejercicio 2.2 Escriba un algoritmo para el método de Regula Falsi. ♦

Ejemplo 2.3 Con respecto a las raíces [ ]α1 5 4∈ − −. , . , [ ]α 2 10∈ .9, . , [ ]α 3 3 3 8∈ .7, . de la

ecuación 3 02x ex− = , si usamos el método de Regula Falsi con criterio de aproximación

( ) f xn < = × −ε 5 10 5

se obtienen los siguientes resultados

α1 3458960329≈ − =. x y ( )f x366= − × −.56... 10

α 2 3910006353≈ =. x y ( )f x363 10= − × −.62...

α 3 43 73307860≈ =. x y ( )f x468 24 10= × −. ...


REGULA( ( )f x x a b N, , , , ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de Regula falsi

aplicado a la función ( )f x en el intervalo [ ]a b, . ◊◊◊◊

Compare los resultados anteriores con los obtenidos por el método de Bisección. ♦

Ejercicio 2.3 Aplique el método de Regula Falsi para estimar la menor raíz positiva α de la

ecuación x tanx− = 0 , usando como criterio de aproximación ( ) f xn < × −5 10 5 . Con

cuántas cifras decimales exactas aproxima el valor obtenido xn a α ? ♦

2.2 MÉTODOS ABIERTOS

A diferencia de los métodos cerrados que requieren de un intervalo que encierre la raízbuscada, los métodos abiertos que se verán requieren de un solo valor o dos valores iniciales(de arranque) que no necesariamente encierran dicha raíz; ésto hace que algunas veces lassucesiones generadas por estos métodos sean divergentes o se alejen de la raíz de interés(vayan probablemente a otra raíz), pero tienen la ventaja que cuando convergen lo hacen"más rápidamente" que las sucesiones generadas por los métodos cerrados.

2.2.1 Método de Punto Fijo: Dada una ecuación ( ) 0xf = , podemos transformarla, de

alguna manera, en otra equivalente (al menos localmente) del tipo ( )xgx = para alguna


__________________________________________________________________________________

función g. En este caso se tiene que: α es raíz de ( ) ( ) ( )α=α⇔=α⇔= g0f0xf α⇔ es

raíz de ( )xgx = .

Definición 2.2 Un número α tal que ( )α α= g se dice un punto fijo de la función g. ∇∇∇∇

Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?

El siguiente teorema da respuesta parcial (condiciones suficientes) a las preguntasformuladas antes.

Teorema 2.1 (de punto fijo) Si g es una función continua en [ ]a b, y ( ) [ ]g x a b∈ , para todo

[ ]x a b∈ , , entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [ ]a b, . Si además, ( )′g x existe para

todo ( )x a b∈ , y ( ) ( ) para todo x , K constante′ ≤ < ∈g x K a b1 , , entonces g tiene un único

punto fijo [ ]α ∈ a b, y la sucesión xn n definida mediante la fórmula de iteración

( ) x n n ng x= =−1 12 3, , , ,...

converge a α ( α=∞→

nn

xlim ) cualquiera sea [ ]x a b0 ∈ , , y se tienen las siguientes cotas para

el error de truncamiento, α − xn :

i) 0ncada paraxb ,ax Max Kx ,00n

n ≥−−≤−α ,

ii) ,0n cada para , xxK1

Kx 01

n

n ≥−−

≤−α

iii) 1ncada para , xx K1

Kx 1nn n ≥−

−≤−α − .

Ilustración:

FIGURA 2.7

Demostración: Existencia: Si ( )g a a= o ( )g b b= , entonces a o b es un punto fijo de g.


Supongamos ( )a g a< y ( )b g b> y sea ( ) ( )h x g x x= − . Entonces h es continua en [ ]a b, ,

( ) ( ) ( ) ( )h a g a a b g b b= − > = − <0 0, h , por tanto (teorema del valor intermedio) existe por lo

menos un ( )α ∈ a b, tal que ( )h α = 0 , ésto es, ( )α α= g .

Unicidad: Supongamos que ( ) ′ ≤ <g x K 1 para toda ( )x a b∈ , y alguna constante K, y sean

α y β puntos fijos distintos de g en [ ]a b, . Entonces

( ) ( ) ( )( ) ( ) g α β α β ξ α β ξ α β α β α β− = − = ′ − = ′ − ≤ − < −g g g K

para algún ( )ξ α β∈ , , lo cual es un absurdo, así que α β= y entonces el punto fijo en [ ]a b, ,

que existe según la primera parte, es único.

Convergencia de la sucesión xn n con ( ) x , nn ng x= =−1 12 3, , ... y cotas para α − xn :

Sea [ ]x a b0 ∈ , cualquiera. Entonces

( ) ( ) ( ) E g nn n n n nx g x g x KE= − = − = ′ − ≤ =− − −α α γ α1 1 1 12, , ,... (2.1)

para algún γ entre α y xn−1 .

Procediendo inductivamente sobre n, se tiene que

, con E 0 12

2 0 0 0≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = −− −E KE K E K E xn n nn.... α (2.2)

y como Kn → 0 cuando n → +∞ , pues 0 1≤ <K , entonces E xn n= − → α 0 cuando

n → +∞ , es decir, lim xn

n→∞

= α .

De la relación (2.2), se tiene que

i) E x K x K x a b xn nn n= − ≤ − ≤ − − Max α α 0 0 0, , ya que [ ]α ∈ a b, .

De otro lado

α α α α− = − + − ≤ − + − ≤ − + −x x x x x x x K x x x0 1 1 0 1 1 0 0 1 0

así que

( )1 0 1 0− − ≤ −K x x x α

y como 0 1≤ <K , entonces

x α − ≤−

−xK

x0 1 01

1 (2.3)

Nuevamente, de (2.2)

α α− ≤ −x K xnn

0

y entonces multiplicando ambos miembros de (2.3) por Kn , obtenemos


__________________________________________________________________________________

x α α− ≤ − ≤−

−x K xK

Kxn

nn

0 1 01

así que

ii) x nα − ≤−

− =xK

Kxn

n

1121 0 , , ,...

La demostración de la parte iii) se deja como ejercicio. ∇∇∇∇

El método de Punto Fijo para encontrar una raíz α de la ecuación ( )x g x= , consiste en

generar la sucesión xn n mediante la fórmula de iteración

( )x g x , n 1,2,...n n 1= =−

con x0 dado.

La función g se dice una función de iteración de punto fijo.

Nota: Observe, a partir de la cota de error dada en el teorema 2.1, ii), que para 0 1≤ <K ,

entre más pequeña sea K, es decir, entre más pequeña sea ( ) ( ) g x , x a,b′ ∈ , "más rápida"

será la convergencia de la sucesión xn n a α . La convergencia puede ser muy lenta si K

está cerca de 1.

Algoritmo 2.2 (Punto Fijo) Para encontrar una aproximación α ∗ de un punto fijo α de una

función g, dada una aproximación inicial x0 :

Entrada: g(x); una aproximación inicial x0 ; una tolerancia Tol, y un número máximo de

iteraciones N .

Salida: Un punto fijo aproximado α ∗ o un mensaje.



Paso 3: Tomar ( )c g x= 0 (calcular xn ).

Paso 4: Si c c c − < − <x Tol o x Tol0 0 , entonces salida: "Un punto fijo

aproximado de la función dada es α ∗ = c ". Terminar.


Paso 6: Tomar x c0 = (redefinir x0 ).


Paso 7 : Salida "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia".Terminar.

Las siguientes gráficas muestran algunas formas de convergencia o divergencia de lasucesión

( ) , donde nx x g xn n n n= =−1 12, , ,...

FIGURA 2.8.a FIGURA 2.8.b Convergencia. (La sucesión no es Convergencia. (La sucesión monótona) es monótona)

FIGURA 2.8.c FIGURA 2.8.dDivergencia. No satisface las hipó- Convergencia (dependiendo deltesis del teorema de Punto Fijo. punto inicial ). No satisface las

hipótesis del teorema de Punto Fijo.

Hay situaciones en las que no se satisfacen las hipótesis del teorema de Punto Fijo y sinembargo hay convergencia, es decir, el teorema es de condiciones suficientes no necesarias.

Ejemplo 2.4 Para la ecuación 3 02x ex− = sabemos que tiene tres raíces reales

[ ]α1 5 4∈ − −. , . , [ ]α 2 10∈ .9, . y [ ]α 3 3 3 8∈ .7, . . Estimemos α 2 usando el método de iteración

de Punto Fijo.


__________________________________________________________________________________

Empezamos transformando el problema ( ) 0xf = en otro equivalente del tipo ( )xgx = para

alguna función g:

Como

≤−=

≥=⇔

±=⇔=⇔=−

0x si ,3

ex

0x si ,3

ex

3

ex

3

ex0ex3

2

x

2

x

2

1xx

2x2

entonces ( )g x ex

121

3= es una función de iteración.

Como

, x3 03

02x e xe

xx

x

− = ⇔ = ≠

entonces ( )g xe

3x, x 02

x

= ≠ , también es una función de iteración.

Como

( ) 3x e 0 e 3x x ln 3x , x 02 x x 2 2− = ⇔ = ⇔ = ≠

entonces ( ) ( )g x ln 3x , x 032= ≠ , es otra función de iteración.

Como

0ex6 ,ex6

exex3x 0ex6 ,

ex6

ex3xx0ex3 x

x

xx2x

x

x2x2 ≠−

−+−=⇔≠−

−−−=⇔=−

entonces ( )g xx xe e

x ex e

x x

xx

4

23

66 0= − +

−− ≠, , es una función de iteración (la función de

iteración del método de Newton-Raphson) .

Como

3 0 32 2x e x x x ex x− = ⇔ = + −

entonces ( )g x x x ex5

23= + − , es también una función de iteración.

Si escogemos la función de iteración ( )g x ex

121

3= y el intervalo [ ].9,10. , vemos que:

g1 es continua en [ ].9,10. ; ( )′ = >g x ex

121

2 30 para todo [ ]x ∈ .9,10. , así que g1 es

creciente en [ ].9,10. , y como


( ) [ ]g e1 91

3. . . .

.

= = ∈9

2 905... 9,10 , ( ) [ ] g ... 9,1010

21 10

1

3951. . . .

.

= = ∈e

entonces ( ) [ ]g x1 910∈ . ., para todo [ ]x ∈ . .910, . Luego g1 tiene por lo menos un punto fijo en

el intervalo [ ].9,10. .

Ahora,

( ) [ ]0.19,x todo para 0e34

1xg 2

x

1 .∈>=′′

así que ′g1 es creciente en el intervalo [ ].9,10. (la gráfica de g1 es cóncava hacia arriba

para [ ]x ∈ . .910, ), y como

( ) 9 452...45′ = =g e11

2 3. .. , ( ) ...′ = =g e1

5101

2 3475. ..

entonces( ) ( )019,x todo para 1K48 xg 1 ... ∈<=≤′

Luego g1 tiene un único punto fijo α 2 en el intervalo [ ].9,10. , y cualquiera sea [ ]x0 10∈ .9, .

la sucesión xn n con

x , n =n n

xn

g x e= =−

−

1 1

121

312 3( ) , , ,...

converge a α 2 , es decir, lim xn

n→∞= α2 , y se tienen además las cotas para el error de

truncamiento, α 2 − xn , dadas en el teorema 2.1.

Cuántas iteraciones n serán necesarias para que xn aproxime al punto fijo [ ]α 2 10∈ . .9,

con por lo menos tres cifras decimales exactas ?

Como sabemos que Max bα 2 0 0− ≤ − −x K x a xnn , , basta resolver para n la

desigualdad

K Max bn x a x0 045 10− − ≤ × −,

Tomando K =.48 y x0 =.95 ( observe que x0 =.95 es el punto medio del intervalo [ ].9,10. y

es el valor que minimiza la expresión Max x a x0 0− −, b ), obtenemos

Max b 95 9 95 05x a x Max 0 0 10− − = − − =, ,. . . . .

y entonces debemos resolver la desigualdad


__________________________________________________________________________________

( ) ( ) K Max b 05 4n nx a x0 0 48 5 10− − = ≤ × −, . .

La solución de esta desigualdad es

( )( ) n ≥ =

−ln

ln...

10

486 27

2

..

Luego para n ≥ 7 , se tiene que xn aproximará a α 2 con una precisión de por lo menos tres

cifras decimales exactas.

La gráfica de ( )g x ex

121

3= se muestra en la FIGURA 2.9, y los valores calculados usando el

método de Punto Fijo con la función de iteración ( )g x ex

121

3= , iniciando con x0 = 95. y

terminando en x7 2≈ α , se muestran en la TABLA 2.3.

FIGURA 2.9

N xn

0 .951 .92838742 .91840903 .91383834 .91175225 .91080176 .91036907 .9101720

TABLA 2.3



PUNTO_FIJO( ( )g x x x N, , ,0 ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de Punto

Fijo aplicado a la función ( )g x con aproximación inicial x0 . Para el ejemplo aproXime la

expresión PUNTO_FIJO(1

3 20 95 7exp , , ,

xx

. ). ◊◊◊◊

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.3, α 2 79101720≈ = . x . ♦

Observe, en la FIGURA 2.9, que no existe intervalo [ ]a b, que contenga a α 3 (que es punto

fijo de g1 ) donde se satisfagan todas las hipótesis del teorema de Punto Fijo para la función

g1 . Para esta función de iteración g1 el método de Punto Fijo no converge a α 3 .

Si tomamos la función de iteración ( )g xe

x

x

23

0= ≠, x , cuya gráfica se muestra en la FIGURA

2.10 siguiente, tenemos:

FIGURA 2.10

g2 es continua en [ ].9,10. ; ( ) ( ) [ ]′ = − =−

≤ ∈g xxe e

x

e x

x

x x x

2 2 2

3 3

9

1

30 910 si x ,. . , así que g2 es

decreciente en [ ].9,10. , y como

( ) [ ] g 9 ... ,2 91 910. . .= ∈ . , ( ) [ ] g ... ,2 10 90 910. . .= ∈ .

entonces ( ) [ ]g x2 910∈ . ., para todo [ ]x ∈ . .910, , así que g2 tiene por lo menos un punto fijo en

el intervalo [ ].9,10. .


__________________________________________________________________________________

Ahora,

( )( )( ) ( )

′′ =− + − −

g xe x e x e x x

x

x x x

2

2

4

1 3 1 6

9

( )

= − + =− +x e xe e

x

e x x

x

x x x x2

3

2

3

2 2

3

2 2

3y como

( ) R∈>++−=+− x todo para 011x2x2x2x 22

entonces ( )′′ > ⇔ >g x x2 0 0 .

Por tanto ′g2 es creciente en [ ].9,10. , y como

( ) ...′ = −g2 9 10. . , ( ) ′ =g2 10 0.

entonces

( ) ( )019x todo para 1K11 xg 2 .,.. ∈<=≤′

En consecuencia g2 tiene un único punto fijo [ ]α 2 910∈ . , . , y la sucesión xn n con

( ) ...321n x3

exgx

1n

1nx

1n2n ,,,, ===−

−

−

converge a α 2 cualquiera sea [ ]x0 910∈ . , . , y se tienen además cotas para el error de

truncamiento α 2 − xn .

Los valores obtenidos usando la función de iteración g2 con punto inicial x0 95= . y criterio

de aproximación x n nx− < ×−−

155 10 , se muestran en la TABLA 2.4 siguiente.

n xn x xn n− −1

0 .951 .9072665 4 27335 10 2. × −

2 .9102584 2 9919 10 3. × −

3 .9099850 2 734 10 4. × −

4 .9100096 2 46 10 5. × −

TABLA 2.4

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.4, α 2 49100096≈ =. x . Como ejercicio,

analice con cuántas cifras decimales exactas aproxima x4 a α 2 ? ♦

Será que la función ( )g xe

x

x

2 3= nos sirve para determinar [ ]α 3 3 7 3 8∈ . , . ?


Veamos:

g2 es continua en [ ]83,73 .. , g2 es creciente en [ ]3 7 3 8. ., y como ( ) [ ]87,33...6373g2 .... ∉= ,

( ) [ ]83,7383g2 ... ∉ , entonces no se satisface la condición ( ) [ ]g x2 3 7 3 8∈ . ., para todo

[ ]x ∈ 3 7 3 8. ., .

Existirá algún intervalo [ ]a b, que contenga a la raíz α 3 donde se satisfagan todas las

hipótesis del teorema de Punto Fijo para la función g2 ?

Observe, a partir de la gráfica de g2 , que no existe intervalo [ ]a b, con [ ]α 3 ∈ a b, tal que

( ) ′ ≤ <g x K2 1 para todo [ ]x a b∈ , .

Como ′g2 es creciente en [ ]3 7 3 8. , . , ( ) ( )′ = ′ =g g2 23 7 2 65 3 8 2 88. . . ...., ..., entonces

( ) 1xg2 >′ para todo [ ]x ∈ 3 7 3 8. ., . Luego no existe intervalo [ ]a b, que contenga a la raíz

α 3 donde se satisfagan las hipótesis del teorema de Punto Fijo para la función g2 .

Por otro lado, como ′g2 es decreciente en [ ]− −. .5 4, , ( )′ − = −g2 5 121. . ... y ( )′ − = −g2 4 195. . ... ,

entonces g2 tampoco satisface las hipótesis del teorema de Punto Fijo en algún intervalo

que contenga a α1 . ♦

Ejercicio 2.4 Use el método de iteración de Punto Fijo, con alguna de las funciones deiteración dadas anteriormente, para encontrar estimaciones de las raíces α1 y α 3 de la

ecuación 3 02x ex− = , usando como criterio de aproximación

x n nx− < ×−−

155 10 ♦

Ejemplo 2.5 Usemos el método iterativo de Punto Fijo para encontrar la menor raíz positivade la ecuación x tanx− = 0 .

Como x tanx x tanx− = ⇔ =0 , empezamos graficando, en un mismo plano coordenado, lasfunciones ( ) ( )f x x y f x tanx1 2= = (ver la FIGURA 2.11).

De acuerdo con la FIGURA 2.11, la menor raíz positiva α π π∈

2

3

2, , y a partir de una tabla

de valores para ( ) tanxxxf −= , por ejemplo en el intervalo [ ]74,4 . con tamaño de paso

1h .= , puede verse que [ ]α ∈ 4 4 4 5. ., (cuando utilice una calculadora, use el modo radianes

para los cálculos).

Una primera función de iteración de Punto Fijo (que salta a la vista) es ( ) tanxxg = (ya que

x tanx x tanx− = ⇔ =0 ), pero es claro que para esta función g no existe intervalo [ ]a b, que


__________________________________________________________________________________

contenga la raíz α donde se satisfagan todas las hipótesis del teorema de Punto Fijo, pues

( )′ >>g α 1 (observe la FIGURA 2.11).

FIGURA 2.11

Si aplicamos el método de Punto Fijo con la función de iteración ( ) tanxxg = y punto inicial

x0 4 4= . , se obtienen en las cinco primeras iteraciones los resultados que se muestran en la

TABLA 2.5 siguiente.

n xn

0 4 4.1 0963243.2 2105299824 −×− .3 2105330834 −×− .4 2105361914 −×− .5 − × −4 539305 10 2.

TABLA 2.5

Observando la TABLA 2.5 se concluye que no hay convergencia a la raíz buscada.

Si empezamos con x0 4= .5 , se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 2.6,

donde se ve claramente que tampoco hay convergencia a la raíz buscada.

Cuál otra función de iteración podríamos construir?

Observando la gráfica de la función tangente (vea la FIGURA 2.11), y teniendo en cuenta larelación entre la gráfica de esta función y la de su inversa, se ve claramente que una función


de iteración de punto fijo, apropiada para determinar α, es la que se obtiene por la vía de lafunción inversa. Para obtener tal función de iteración g(x) procedemos como sigue:

n xn

0 4 5.1 4 637332.2 13 29819.3 8982038.4 2555201.5 0660283.

TABLA 2.6

Puesto que ( )π−= xtantanx , entonces

( )

( )

xtanx y 2

3x

2

xxtan y 2

x2

xtanx y 2

x2

xtanx y 2

3x

2tanxx y

2

3x

2

1

1

−

−

+π=π<<π⇔

π−=π<π−<π−⇔

π−=π<π−<π−⇔

π−=π<<π⇔=π<<π

Así que podemos tomar como función de iteración ( )g x tan x= + −π 1 . La gráfica de

y tan x= + −π 1 se muestra en la FIGURA 2.12 siguiente.

FIGURA 2.12

Veamos que ( )g x tan x= + −π 1 satisface todas las hipótesis del teorema de Punto Fijo en el

intervalo [ ]4 4 4 5. ., :


__________________________________________________________________________________

g es continua en [ ]4 4 4 5. ., ; ( )′ =+

>g xx

1

10

2 para todo x ∈ R , así que g es creciente en

[ ]4 4 4 5. ., , y como ( )g 4 4 4 48. .= ... y ( )g 4 5 4 49. .= ... , entonces [ ]( ) [ ]g 4 4 4 5 4 4 4 5. . . ., ,⊆ .

Ahora, ′g es decreciente en [ ]4 4 4 5. ., (a medida que x aumenta ( )′g x disminuye), y como

( )′ =g 4 4 049. . ... y ( )′ =g 4 5 047. . ... , entonces ( ) ′ ≤ = <g x K.05 1 para todo ( )x ∈ 4 4 4 5. ., .

Por lo tanto g tiene un único punto fijo [ ]α ∈ 4 4 4 5. ., , y la sucesión xn n con

x tan xn n= + =−−π 11 1, n ,2,...

converge a α cualquiera sea [ ]x0 4 4 4 5∈ . ., , y se tienen además, las cotas para el error de

truncamiento α − xn , dadas en el teorema 2.1.

La convergencia debe ser "rápida" pues K es pequeña.

Como ejercicio, encuentre cuántas iteraciones n serán necesarias para que xn aproxime

a α con por lo menos 4 cifras decimales exactas, tomando [ ] [ ]a b, ,= 4 4 4 5. . , x0 4 45= . y

K = .05 ?

La TABLA 2.7 siguiente, muestra los cálculos de las iteraciones para ( )g x tan x= + −π 1 con

punto inicial x0 4 45= . y criterio de aproximación x n nx− < ×−−

155 10 .

n xn x xn n− −1

0 4 45.1 4 491341. .0413412 4 493311. 197 10 3. × −

3 4 493404. 9 3 10 5. × −

4 4 493409. 5 0 10 6. × −

TABLA 2.7

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.7, α ≈ =4 493409 4. x . ♦

2.2.2 Método de Newton-Raphson: Como veremos más adelante, el método de Newton-Raphson se aplicará para hallar raíces simples de una ecuación ( )f x = 0 . Antes de ver el

método de Newton-Raphson, veamos la siguiente definición sobre la multiplicidad de una raízde una ecuación.

Definición 2.3 Dada una ecuación ( )f x = 0 . Un número α se dice una raíz de multiplicidad

m (m un entero positivo) de la ecuación ( )f x = 0 , si ( )f α = 0 , y


( ) ( ) ( ) ( ) para x , f con h x

≠ = − ≠→

α αα

x x h x lim xm

0

Si m = 1, la raíz se dice simple. ∇∇∇∇

El siguiente teorema relaciona la multiplicidad de una raíz de una ecuación ( )f x = 0 con las

derivadas de la función f .

Teorema 2.2 Supongamos que la función f tiene su dos primeras derivadas continuas en unintervalo [ ]a b, que contiene a un número α . Entonces α es una raíz simple de la ecuación

( )f x = 0 si y sólo si ( )f α = 0 y ( )′ ≠f α 0 .

Demostración: Supongamos que α es una raíz simple de la ecuación ( )f x = 0 . Entonces de

acuerdo con la definición 2.3, ( )f α = 0 , y

para x ≠ α , ( ) ( ) ( ) ( )f x x h x= − ≠→

αα

con lim h xx

0 .

Derivando a ambos lados de la expresión anterior con respecto a x, obtenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ′ = + − ′f x h x x h xαComo

( ) ( ) lim f x lim h xx x→ →

′ = ≠α α

0

y ′f es continua en α (por hipótesis), entonces ( ) ( )lim f x fx→

′ = ′ ≠α

α 0 .

Recíprocamente, supongamos que ( )f α = 0 y ( )′ ≠f α 0 . Haciendo un desarrollo en serie de

Taylor para f alrededor de α, obtenemos

( ) ( )!

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f x f f x fx

x f fx

= + ′ − + ′′−

= − ′ + ′′−

α α α ξα

α α ξα

02

2

2

!

!

para algún ξ entre x y α .

Llamando

( ) ( ) ( ) ( ) h x f f

x= ′ + ′′

−α ξ

α2!

tenemos que, para x ≠ α , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x h x lim h x f= − = ′ ≠→

α αα

con x

0 . ∇∇∇∇

En general, se tiene el siguiente teorema cuya demostración es completamente análoga a ladel teorema 2.2 anterior.


__________________________________________________________________________________

Teorema 2.3 Supongamos que la función f tiene sus primeras m +1 derivadas continuas enun intervalo [ ]a b, que contiene a un número α. Entonces α es una raíz de multiplicidad m de

la ecuación ( )f x = 0 si y sólo si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01= = ′ = ′′ = = ≠−f f f f

m mα α α α α... y f . ∇∇∇∇

Volviendo al método de Newton-Raphson, la hipótesis general para aplicar este métodopara hallar una raíz ( )b,a∈α de una ecuación ( ) 0xf = , es que la función f tenga sus

primeras dos derivadas continuas en el intervalo [ ]a b, y ( )′ ≠f x 0 para todo [ ]b,ax ∈ .

De acuerdo con la hipótesis general y el teorema 2.2, como ( )′ ≠f α 0 , entonces la raíz α es

simple, es decir, de multiplicidad 1.

Las siguientes gráficas muestran diversas posibilidades de multiplicidad para una raíz α deuna ecuación ( )f x = 0 :

FIGURA 2.13.a FIGURA 2.13.b FIGURA 2.13.c (Raíz simple) (Raíz múltiple, par) (Raíz múltiple, impar)

Hay varias formas de presentar el método de Newton-Raphson, dos de ellas son:

Presentación gráfica: Supongamos que f satisface la hipótesis general en un intervalo [ ]b,a

y escojamos [ ]x a b0 ∈ , "cercano" a la raíz α .

La primera aproximación x1 , en el método de Newton-Raphson, es el punto en el cual la

recta L, tangente a la gráfica de f en el punto ( )( )x f x0 0, , corta al eje x (ver la FIGURA 2.14).

De acuerdo con ésto, se tiene que

( ) ( ) ′ =

−−

f xf x

x x00

0 1

0

y entonces

( )( ) x1 0

0

0

= −′

xf x

f x

En general, para cada ( )( )n x

f x

f xn nn

n

≥ = −′−

−

−1 1

1

1

, x : abscisa del punto de intersección de la

recta tangente a la gráfica de f en el punto ( )( )x f xn n− −1 1, , con el eje x.


FIGURA 2.14

Presentación usando polinomios de Taylor: Supongamos que f satisface la hipótesis

general en un intervalo [ ]b,a , y sea [ ]b,a∈α ∗ con α α− ∗ "pequeño".

Consideremos el polinomio de Taylor de primer grado para la función f alrededor de α ∗ :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x f f x f

x= + ′ − + ′′

−∗ ∗ ∗

∗∗α α α ξ

αξ α

2

2! con entre x y

En particular para x = α , tenemos

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0

2

2

= = + ′ − + ′′−

∗ ∗ ∗∗

∗f f f fα α α α α ξα α

ξ α α!

, entre y

Suponiendo que el término ( ) ( )′′

− ∗

f ξα α

2

2! es despreciable (recuerde que ′′f es acotada),

obtenemos

( ) ( )( ) 0 ≈ + ′ −∗ ∗ ∗f fα α α α

y despejando α , llegamos a

( )( ) α αα

α≈ −

′∗

∗

∗

f

f

y ( )( )αα

α∗

∗

∗−

′

f

f es, por lo general, una mejor aproximación de α que α ∗ .

El método de Newton-Raphson para encontrar una raíz α de una ecuación ( )f x = 0 ,

consiste en generar la sucesión xn n definida mediante la fórmula de iteración


__________________________________________________________________________________

( )( ) x nn n

n

n

xf x

f x= −

′=−

−

−1

1

1

12, , ,...

y escogiendo x0 "cercano" a α .

De acuerdo con la fórmula anterior, se ve claramente que el método de Newton-Raphsones un caso especial del método de iteración de Punto Fijo, cuando se toma como funciónde iteración la función

( ) ( )( )g x x

f x

f x= −

′

La escogencia del punto inicial x0 es muy importante para la convergencia del método de

Newton-Raphson. Como ejemplo, consideremos la función ( )f xx

x= −

−4 7

2, que tiene un cero

en α = =7

4175. . Como

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

, ′ =− − −

−= −

−′′ =

−f x

x x

x xf x

x

4 2 4 7

2

1

2

2

22 2 3

entonces f es continuamente diferenciable dos veces en todo intervalo que no contenga ax = 2 .

La sucesión generada por el método de Newton-Raphson para la función dada es

( )

x , xn n

n

n

n

nx

x

x

x

= −

−−

−

−

≠−

−

−

−

−1

1

1

12

1

4 7

21

2

2

La gráfica de ( )f xx

x= −

−4 7

2 es como se muestra en la FIGURA 2.15.

Se puede ver que si en la fórmula para xn (en el método de Newton-Raphson) usamos

x0 15= . , obtenemos x1 2 0= . y el método no puede continuarse.

Si ( )x0 15 2∈ . , el método converge. Qué pasa si ( )x0 015∈ , . ?

En las TABLAS 2.8 y 2.9, se muestran los resultados obtenidos al aplicar el método de

Newton-Raphson a la función ( )f xx

x= −

−4 7

2 tomando como puntos iniciales x0 165= . y

x0 185= . , respectivamente, y usando como criterio de aproximación ( ) f xn < × −5 10 5 o

x n nx− < ×−−

155 10 .


FIGURA 2.15

n xn ( )f xn x n nx− −1

0 165. 114. ...1 179. −.761... .142 17564. −.105... 3 36 10 1. × −

3 1750163. − × −2 60 10 3. ... 6 237 10 3. × −

4 175. 0 163 10 4. × −

TABLA 2.8Instrucción en DERIVE:

NEWTON( ( )f x x x N, , ,0 ): aproXima las primeras N iteraciones en le método de Newton-

Raphson aplicado a la función ( )f x , tomando como aproximación inicial x0 . Para el ejemplo,

aproXime la expresión NEWTON( 4,651,x,2x

7x4.

−− ). ◊◊◊◊


0 185. −2 66. ...1 179. −.761... 6 0 10 2. × −

2 17564. −.105... 3 36 10 1. × −

3 1750163. − × −2 60 10 3. ... 6 237 10 3. × −

4 175. 0 163 10 4. × −

TABLA 2.9

Para la misma función f si usamos el método de Newton-Raphson con x0 10= . se obtienen,

hasta la quinta iteración, los resultados que se muestran en la TABLA 2.10 siguiente. ♦


__________________________________________________________________________________


0 10. 3 0.1 4 0. 4 5. 3 0.2 22 0. 4 05. 18 0.3 1642 0. 4 000609. 1620 0.4 1076168 107. × 4 000000. 10760038 107. ×5 4 632550 1014. × 4 000000. 4 6325498 1014. ...×

TABLA 2.10

El siguiente teorema da condiciones suficientes no necesarias para la convergencia delmétodo de Newton-Raphson, aunque no da, de manera explícita, un intervalo donde sepueda escoger el punto inicial x0 .

Teorema 2.4 Sea f una función continuamente diferenciable dos veces en un intervalo [ ]a b,

que contiene un número α . Si ( ) ( )f fα α= ′ ≠0 0 y ( α es raíz simple de la ecuación

( )f x = 0 ), entonces existe δ > 0 tal que la sucesión xn n con

( )( ) x , n ,2,...n n

n

n

xf x

f x= −

′=−

−

−1

1

1

1

converge a α para cualquier [ ]x0 ∈ − +α δ α δ, .

Demostración: Haciendo

( ) ( )( ) g x x

f x

f x= −

′

se demostrará que existe un δ > 0 tal que la función g satisface las hipótesis del teorema 2.1

(de Punto Fijo) en el intervalo [ ]α δ α δ− +, .

En efecto:

Como ( )′ ≠f α 0 y ′f es continua en [ ]a b, , existe δ1 0> tal que ( )′ ≠f x 0 para todo

[ ] [ ]x a b∈ − + ⊆α δ α δ1 1, , . Entonces g es continua en [ ]α δ α δ− +1 1, .

Ahora,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]

[ ]

para x

′ = −′ ′ − ′′

′=

′ − ′ + ′′

′

=′′

′∈ − +

g xf x f x f x f x

f x

f x f x f x f x

f x

f x f x

f x

12

2 2

2

2 1 1α δ α δ,


y como f es continuamente diferenciable dos veces en [ ]a b, , entonces ′g es continua en

[ ]α δ α δ− +1 1, ; por otro lado ( )f α = 0 y ( )′ ≠f α 0 , así que

( ) ( ) ( )( )[ ]

′ =′′

′=g

f f

fα

α α

α2

0

Ahora, como ′g es continua en [ ]α δ α δ− +1 1, y ( )′ =g α 0 , entonces existe δ con 0 1< <δ δ

tal que ( ) ′ ≤ <g x K 1 para toda [ ]x ∈ − +α δ α δ, (este δ depende del K escogido).

Fijados K y δ, falta demostrar que [ ]( ) [ ]g α δ α δ α δ α δ− + ⊆ − +, , .

Si [ ]x ∈ − +α δ α δ, , el teorema del valor medio aplicado a g implica que existe un ξ entre x y αtal que

( ) ( ) ( ) ( ) g g x x x x x g g K− = − = ′ − ≤ − < − ≤α α ξ α α α δ

(recuerde que ( ) ( )( )g

f

fα α

αα

α= −′

= ).

Así que ( ) g x − ≤α δ , lo que significa que ( ) [ ]g x ∈ − +α δ α δ, para todo [ ]x ∈ − +α δ α δ, .

Luego [ ] [ ]g: α δ α δ α δ α δ− + → − +, , satisface todas las hipótesis del teorema 2.1, y en

consecuencia la sucesión xn n definida por

( ) x nn ng x= =−1 12, , ,...

converge a α cualquiera sea [ ]x0 ∈ − +α δ α δ, . ∇∇∇∇

Nota: Los criterios de aproximación que generalmente se utilizan en el método deNewton-Raphson son: dado ε > 0 , se toma como aproximación de la raíz α de la ecuación

( ) 0xf = , al término xN de la sucesión generada mediante la fórmula de iteración de Newton,

donde N es el menor entero no-negativo tal que ( )f xn < ε o x xn n− <−1 ε .

Obsérve que si el método de Newton-Raphson converge, como

( )( ) x n n

n

n

xf x

f x− =

′−−

−1

1

1

entonces entre más grande sea ( ) ′f x en la vecindad de la raíz α, "más rápida" será la

convergencia.


__________________________________________________________________________________

Algoritmo 2.3 (Newton-Raphson) Para encontrar una aproximación α ∗ de una raíz α de

una ecuación ( )f x = 0 conocida una aproximación inicial x0 :

Entrada: ( ) ( )f x f x, ′ , una aproximación inicial x0 , una tolerancia Tol, y un número máximo

de iteraciones N .




Paso 3: Tomar ( )e f x= 0 y ( )d f x= ′ 0 .

Paso 4: Si d = 0 entonces salida: "No se puede continuar el método". Terminar.

Paso 5: Tomar c xe

d= −0 (calcula xn ).

Paso 6: Si ( ) f c c Tol o xe

dTol< − = <0 , entonces salida: "Una raíz

aproximada es α ∗ = c ". Terminar.


Paso 8: Tomar x c0 = (redefine x0 ).

Paso 9: Salida "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia".Terminar.

Ejemplo 2.6 Con respecto a las raíces α1, α 2 y α 3 de la ecuación 3 02x ex− = , vemos que

la función ( )f x x ex= −3 2 satisface la hipótesis general del método de Newton-Raphson en

los intervalos [ ]− −. .5, 4 , [ ]. .910, y [ ]3 7 3 8. ., . Si aplicamos el método de Newton-Raphson, con

aproximaciones iniciales apropiadas y criterio de aproximación

( ) f xn < × −5 10 5 o x n nx− < ×−

−1

55 10

se obtienen los resultados que se muestran en las TABLAS 2.11, 2.12 y 2.13 siguientes.

n xn ( )f xn x xn n− −1

0 −.5 .143...1 −.4602195 4 26 10 3. ...× − 3 97805 10 2. × −

2 −.4589635 4 18 10 6. ...× − 1256 10 3. × −

TABLA 2.11


Para este ejemplo aproXime la expresión NEWTON( ( )3 0 5 22x x x− −exp , , ,. ).

De acuerdo con la TABLA 2.11 se tiene que α1 24589635≈ − =. x .


0 10. 2 81 10 1. ...× −

1 .9141552 4 26 10 3. ...× − 8 58448 10 2. × −

2 .9100176 4 18 10 6. ...× − 4 1376 10 3. × −

TABLA 2.12

De acuerdo con la TABLA 2.12 se tiene que α 2 29100176≈ =. x .


0 83. ...381.−1 7369353. 210...517 −×− . 21030656 −×.2 7330923. 410...512 −×− . 3108433 −×.3 7330783. 510...961 −×. 51041 −×.

TABLA 2.13

Los resultados de la TABLA 2.13 indican que 33 x7330783 =≈α . . ♦

Ejercicio 2.5 Use el método de Newton-Raphson para encontrar la menor raíz positiva de laecuación x tanx− = 0 , usando como criterio de aproximación el mismo dado en ejemplo 2.6anterior. ♦

2.2.3 El método de Newton-Raphson combinado con el algoritmo de Horner paraencontrar raíces reales de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales: Dada unaecuación polinómica con coeficientes reales

( ) p con a y ax a a x a x a x a a ann

n n= + + + + = ∈ ≠0 1 22

0 1 20 0... , , , ,..., R

Si α es una raíz real simple de la ecuación ( )p x = 0 , el método de Newton-Raphson para

aproximar la raíz α , consiste en generar la sucesión xn n mediante la fórmula de iteración

( )( )x x

p x

p xn nn

n

= −′

=−−

−1

1

1

12, , ,... n

con x0 escogido cercano a α .

Como se ve en la fórmula anterior el cálculo de cada iteración requiere la evaluación delpolinomio p y su derivada ′p en un número. Existe un algoritmo, llamado algoritmo deHorner, muy fácil de implementar en el computador, el cual permite calcular de maneraeficiente, el valor del polinomio y el de su derivada en un número.


__________________________________________________________________________________

El algoritmo de Horner se basa en escribir el polinomio ( )xp en la forma encajada o

anidada siguiente:

( ) ( )( )( )( ) p x a x a x a x a x a xan n= + + + + + +−0 1 2 3 1... ...

queremos evaluar ( ) ( )zp y zp ′ para algún número real z, basta tener en cuenta que:

Si hacemos b , y

b para kn n

k k k

a

a zb n n

== + = − −+1 1 2 10, ,..., ,

entonces ( )zpb0 = .

Los números auxiliares b bn n, ,..., b −1 1 son los coeficientes del polinomio cociente ( )xq que

resulta de la división de ( )xp por x z y b− 0 es el residuo, es decir,

( ) ( ) ( ) 0bxqzxxp +−=

siendo ( ) xbxbxbbxq 1nn

2n1n21

−−− ++++= ... .

En efecto:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

x z q x b x z b b x b x b x b

b zb b zb x b zb x b zb x b x

a a x a x a x a x p x

nn

nn

n nn

nn

nn

nn

− + = − + + + + +

= − + − + − + + − +

= + + + + + =

−− −

−−

−−

0 1 2 12 1

0

0 1 1 2 2 32

11

0 1 22

11

...

...

...

Como ( ) ( ) ( ) 0bxqzxxp +−= , entonces para x z= , se obtiene

( ) ( ) ( ) 00 bbzqzzzp =+−=

Ahora bien, como( ) ( ) ( ) 0bxqzxxp +−=

entonces derivando a ambos lados de esta última ecuación con respecto a x, obtenemos

( ) ( ) ( ) ( )xqzxxqxp ′−+=′

y entonces( ) ( ) ( ) ( ) ( )zqzqzzzqzp =′−+=′


y como ( )xq es un polinomio del cual conocemos sus coeficientes (los números

b bn n, ,..., b −1 1), podemos aplicar el algoritmo de Horner al polinomio ( )xq para hallar ( )zq y

de esta manera obtener ( )zp′ .

Algoritmo 2.4 (Horner) Para evaluar un polinomio con coeficientes reales

( ) nn

2210 xaxaxaaxp ++++= ...

y su derivada en un número real z:

Entrada: El grado n del polinomio, los coeficientes a a an0 1, ,..., del polinomio ( )xp , el número

real z.

Salida: ( ) ( )zpc y zpb0 ′== .

Paso 1: Tomar b an n= (calcula el coeficiente bn de ( )xq )

c an=

Paso 2: Para 1,...,2n,1nj −−= , tomar

b a zbj j j= + +1 (calcula los coeficientes ( )xq de b,...,b,b 12n1n −− )

c b zcj= + (almacena en c a ( ) ( )zpzq ′= )

Paso 3: Tomar b a zb0 0 1= + (almacena en ( )zp a b0 )

Paso 4: Salida: " ( ) ( ) czp y bzp 0 =′= ". Terminar.

Observe, en el algoritmo anterior, que como b b bn n, ,...,−1 1 son los coeficientes del polinomio

reducido ( )xq , si aplicamos el algoritmo de Horner a este polinomio ( )xq , es decir, hacemos

c bn n= , y

para 1,...,2n,1nj −−= hacemos c b zcj j j= + +1

obtenemos que ( ) ( ) zpzqzcbc 211 ′==+= . Por tanto, al terminar la aplicación del

algoritmo de Horner, en c queda almacenado ( )zq , es decir, ( ) ( ) zpzqc ′== .

Es importante observar que el algoritmo de Horner sólo usa n multiplicaciones y n sumaspara calcular ( )zp , lo que hace muy eficiente dicho cálculo. Intente calcular ( )zp de cualquier

otra forma y compare el número de operaciones.

Para implementar el algoritmo de Horner manualmente usamos el esquema de divisiónsintética:


__________________________________________________________________________________

Ejemplo 2.7 Consideremos la ecuación x x3 1 0− − = . Como ( )p x x x= − −3 1 es continua

en el intervalo [ ]12, , ( ) ( ) 0>52p y 011p =<−= , entonces la ecuación ( ) 0xp = tiene por lo

menos una raíz en el intervalo [ ]12, . Por otro lado, como ( ) 01x3xp 2 >−=′ para todo

[ ]x ∈ 12, , entonces la ecuación ( ) 0xp = tiene una única raíz simple [ ]α1 12∈ , . Es claro,

entonces, que se puede aplicar el método de Newton-Raphson para calcular esta raíz α1. Si

hacemos los cálculos usando el método de Newton-Raphson combinado con el algoritmode Horner, tomando como aproximación inicial 02x0 .= , y criterio de aproximación

x xn n− < ×−−

135 10 o ( )p xn < × −5 10 3

, obtenemos:

( )( )

( )( ) x1 0

0

0

2 02 0

2 0= −

′= −

′x

p x

p x

p

p.

.

.

Debemos calcular ( ) ( )02p y 02p .. ′ . Si usamos el algoritmo de Horner y aritmética con

redondeo a cinco (5) dígitos para los cáculos, se obtienen los resultados que aparecen en elsiguiente esquema de división sintética

Entonces

x1 2 05 0

11015455= − =.

.

.. y x x1 0

34545 5 10− = > × −.

Para calcular ( ) ( )54551pxp 1 .= y verificar si se satisface la condición ( )p x135 10< × −

,

usaremos el algoritmo de Horner. Vea el siguiente esquema de división sintética:


Observe que ( )p x1311461 5 10= > × −. , así que debemos calcular x2 . De acuerdo con los

resultados que aparecen en el esquema anterior

( )( )x x

p x

p x2 11

1

1545511461

6 165713596= −

′= − =.

.

.. y x x2 1

31859 5 10− = > × −.

Si seguimos calculando como se indicó en los dos casos anteriores, obtenemos

( )p x231536 5 10= > × −. , ( )′ =p x2 4 5455. , x3 13258= . , x x3 2

30338 5 10− = > × −. ,

( )p x330046 005 5 10= < = × −. . .

Luego α1 313258≈ =. x . Puesto que la ecuación dada, x x3 1 0− − = , tiene tres raíces, cómo

podríamos intentar aproximar las otras dos raíces α α2 3 y de esta ecuación? (Se puede

verificar fácilmente que las raíces α α2 3 y son complejas no-reales).

Recordemos que( ) ( ) ( ) ( )32581pxq32581xxp .. +−=

donde ( )xq es el polinomio cociente en la división de ( )p x x x= − −3 1 por x −13258. , y que

los coeficientes del polinomio ( )xq se pueden obtener usando el algoritmo de Horner. Pues

bien, el siguiente esquema muestra cuáles son los coeficientes del polinomio ( )xq :

De acuerdo con el anterior esquema de división sintética, el polinomio ( )xq es

( )q x x x= + +2 13258 7577. .

Total que

( ) ( )( )p x x x x= − + + +13258 13258 7577 0 00462. . . .

(recuerde que estamos haciendo redondeo a cinco dígitos)


__________________________________________________________________________________

Si despreciamos el residuo en la división anterior, es decir, despreciamos ( )p 13258 0046. .= ,

entonces

( ) ( )( )p x x x x≈ − + +13258 13258 75772. . .

y entonces podríamos usar el polinomio reducido ( )q x x x= + +2 13258 7577. . (cociente en la

división del polinomio 1xx3 −− por el polinomio x −13258. ) para aproximar las otras dos

raíces de la ecuación original ( )p x x x= − − =3 1 0 . Si resolvemos la ecuación ( ) 0xq = ,

obtenemos α 2 3 6629 56415, ≈ − ±. . i . ♦


QUOTIENT( ( )p x x, − ∗α ): Simplifica o aproXima el polinomio cociente ( )xq que resulta de la

división del polinomio ( )xp por x − ∗α . Para el ejemplo, aproXime la expresión

QUOTIENT( x x x3 1 13258− − −, . ). ◊◊◊◊

El proceso ilustrado en el ejemplo anterior para aproximar las raíces α α2 3 y , se conoce

como Deflación.

En general, la Deflación aplicada al problema de hallar raíces reales de ecuacionespolinómicas, consiste en lo siguiente:

Supongamos que en la N-ésima iteración en la aplicación del método de Newton-Raphsonobtuvimos un cero aproximado xN del polinomio ( )xp , entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xqxxxpxqxxbxqxxxp NNN0N −≈+−=+−=

ya que ( ) 0xp N ≈ (porque p(x) es continua y si xN ≈ α , con α un cero de ( )xp , entonces

( ) ( ) 0pxp N =α≈ ).

Lo anterior significa que ( )x xN− es un "factor aproximado" de ( )xp .

Tomando ( )α1 1∗

−= x xN n y q como el polinomio reducido ( )xq , de grado n −1, se tiene que

( ) ( ) ( ) p x x q xn≈ − ∗−α1 1

y podemos encontrar una aproximación α 2∗ de un segundo cero de ( )xp , aplicando el

método de Newton-Raphson al polinomio ( )q xn−1 , con lo cual

( ) ( )( ) ( ) p x x x q xn≈ − −∗ ∗−α α1 2 2

siendo ( )q xn−2 un polinomio de grado n − 2 .


Si ( )xp es un polinomio de grado n con n ceros reales, este procedimiento aplicado

reiteradamente permitirá, eventualmente, obtener n − 2 ceros aproximados de ( )xp y un

factor cuadrático aproximado ( )xq2 , es decir,

( ) ( )( ) ( ) ( )xqx xxxp 22n21∗

−∗∗ α−α−α−≈ ...

Al polinomio cuadrático ( )xq2 le podremos calcular sus ceros usando la fórmula cuadrática.

El procedimiento descrito antes para obtener ∗

−∗∗ ααα 2n21 ,...,, se conoce como Deflación.

La posible deficiencia en la precisión de las raíces obtenidas por Deflación se debe a quecuando obtenemos los ceros aproximados de ( )xp , estamos usando el método de Newton-

Raphson aplicado al polinomio reducido ( )xqk . Para mejorar la precisión en el método de

Deflación, cualquier cero aproximado α k∗

que se encuentre para un polinomio reducido debe

someterse a un refinamiento aplicando el método de Newton-Raphson al polinomio original

( )xp , tomando a α k∗

como aproximación inicial.

Un algoritmo para el método de Newton-Raphson combinado con Horner es el siguiente.

Algoritmo 2.5 (Newton-Raphson combinado con Horner) Para encontrar un cero

aproximado α ∗ del polinomio

( ) nn

2210 xa...xaxaaxp ++++=

Entrada: El grado n y los coeficientes a a an0 1, ,..., del polinomio ( )xp ; una aproximación

inicial x0 ; una tolerancia Tol, y un número máximo de iteraciones N.

Salida: Un cero aproximado α ∗ del polinomio ( )xp o un mensaje.

Paso 1: Tomar i = 1.

Paso 2: Mientras que i N≤ seguir los pasos 3-10:

Paso 3: Tomar b an n= y c an=

Paso 4: Para 1,...,2n,1nj −−= , tomar

b a x bj j j= + +0 1

c b x cj= + 0 (calcula ( )′p x0 )

Paso 5: Tomar b a x b0 0 0 1= + (calcula ( )p x0 ).

Paso 6: Si c = 0 , entonces salida: "No se puede continuar el método porque seanuló ( )′p x0 ". Terminar.


__________________________________________________________________________________

Paso 7: Tome x xb

c1 00= − (calcula xi en el método de Newton-Raphson).

Paso 8: Si b 0 < Tol o x 1 00− = <x

b

cTol , entonces salida: "Una raíz

aproximada de ( )p x = 0 es α ∗ = x1 ". Terminar.

Paso 9: Tomar i i= +1.

Paso 10: Tomar x x0 1= .

Paso 11: Salida "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia".Terminar.

Ejemplo 2.8 Encontrar todas las raíces reales de la ecuación polinómica

x x x x4 3 22 4 4 4 0− − + + = , usando el método de Newton-Raphson y Deflación.

Empezamos graficando el polinomio ( )p x x x x x= − − + +4 3 22 4 4 4 para ubicar las raíces

reales (ver la FIGURA 2.16 siguiente).

FIGURA 2.16

De acuerdo con la gráfica del polinomio ( )p x x x x x= − − + +4 3 22 4 4 4 , se ve que todas las

raíces α α α α1 2 3 4, , y de la ecuación polinómica dada son reales, con

[ ] [ ] [ ] [ ]α α α α1 2 3 42 1 10 12 2 3∈ − − ∈ − ∈ ∈, , , ,, , , .


Se ve claramente que ( )p x satisface la hipótesis general del método de Newton-Raphson en

intervalos apropiados para cada una de las raíces 4321 y αααα ,, .

Usando el método de Newton-Raphson para encontrar α1, con criterio de aproximación

( ) p xn < × −5 10 5 o x n nx− < ×−−

155 10 , se obtiene α 4 42 732076≈ =. x usando x0 3 0= . ,

y el correspondiente polinomio reducido de grado 3, es

( )q x x x x33 27320760 1999912 1463912= + − −. . .

Usando Deflación, encontramos una aproximación de la raíz α 3 , lo que da

α 3 51414157≈ =. x tomando como aproximación inicial x0 10= . . El polinomio reducido

correspondiente de grado 2, es

( ) 0351971x1462332xxq 22 .. ++=

Finalmente, encontramos aproximaciones de la raíces α 2 y α1 , resolviendo la ecuación

cuadrática ( ) 0xq2 = , con lo que se obtiene α α2 17319684 1414264≈ − ≈ −. . y . ♦

Ejemplo 2.9 Encontrar todas las raíces reales de la ecuación

x x x x4 3 25 9 85 136 0+ − − − = , usando el método de Newton-Raphson y Deflación.

La gráfica del polinomio ( )p x x x x x= + − − −4 3 25 9 85 136 es como se muestra en la FIGURA

2.17.

De acuerdo con la FIGURA 2.17, la ecuación dada sólo tiene dos raíces reales simples

[ ] [ ]α α1 25 0 0 5∈ − ∈, , y (verifíquelo analíticamente).

Usando el método de Newton-Raphson para encontrar α1 con criterio de aproximación

( )p xn < × −5 10 5 o x xn n− < ×−−

155 10 , obtenemos α1 54 123123≈ − =. x usando como

punto inicial x0 5 0= − . , y el polinomio reducido correspondiente de grado 3, es

( ) 9848632x6154712x8768767xxq 233 ... −−+=

Usando Deflación, encontramos la aproximación α 2 44 123122≈ =. x , tomando como punto

inicial x0 5 0= . , y el polinomio reducido correspondiente de grado 2, es

( ) 0001348x9999994xxq 22 .. ++=


__________________________________________________________________________________

FIGURA 2.17

Finalmente, las raíces de la ecuación cuadrática ( ) 0xq2 = son los números complejos

conjugados α α3 42 5 1322927 2 5 1322927≈ − + ≈ − −. . . .i y i . ♦

El siguiente ejemplo muestra que el método de Newton-Raphson puede converger y hacerlolentamente cuando se aplica en la búsqueda de una raíz múltiple de una ecuación ( )f x = 0

(cosa similar ocurre cuando hay raíces reales cercanas entre sí).

Ejemplo 2.10 Consideremos la ecuación 0tanxx =− .

Es claro que α = 0 es raíz de esta ecuación. Cuál es la multiplicidad de esta raíz?

La gráfica de ( ) tanxxxf −= alrededor de α = 0 es como se muestra en la FIGURA 2.18

siguiente.


FIGURA 2.18

De acuerdo con esta gráfica la raíz α = 0 es una raíz múltiple con multiplicidad impar.

Como

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

,

,

,

′ = − ′ =

′′ = − ′′ =

′′′ = − − ′′′ = − ≠

f x x f

f x xtanx f

f x xtan x x f

1 0 0

2 0 0

4 2 0 2 0

2

2

2 2 4

sec

sec

sec sec

entonces α = 0 es raíz de multiplicidad m = 3 , según el teorema 2.3.

Observe que aunque la raíz α = 0 es múltiple, ( )′ ≠f x 0 para x cerca de 0, x ≠ 0 , así que

podemos aplicar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz α = 0 . Si hacemos

ésto con criterio de aproximación ( )f xn < × −5 10 5 o x xn n− < ×−−

155 10 , obtenemos los

resultados que aparecen en la TABLA 2.14 siguiente.


0 .3 − × −9 33 10 3. ...1 2 024312 10 1. × − − × −2 81 10 3. ... 9 75688 10 2. × −

2 1356958 10 1. × − − × −8 39 10 4. ... 6 67354 10 2. × −

3 9 068650 10 2. × − − × −2 49 10 4. ... 4 50093 10 2. × −

4 6 052418 10 2. × − − × −7 40 10 5. ... 3 016232 10 2. × −

5 4 036921 10 2. × − − × −219 10 5. ... 2 015497 10 2. × −

TABLA 2.14

Observando los resultados de la TABLA 2.14, vemos que aunque ( )f x5 es pequeño, x5 no

es una buena aproximación de α = 0 , además se ve la lentitud de la convergencia delmétodo de Newton-Raphson. ♦


__________________________________________________________________________________

Ejercicio 2.6 Use el método de Newton-Raphson para encontrar las dos raíces de laecuación x x2 2 0001 10001 0− + =. . , usando como puntos iniciales x0 5= . , x0 15= . y criterio

de aproximación ( )f x x xn n n< × − < ×−−

−5 10 5 1051

5 o . Cuáles son las raíces exactas

de esta ecuación ? ♦

En situaciones como la del ejemplo anterior (raíz múltiple), se recomienda utilizar el métodode Newton-Raphson modificado.

2.2.4 Método de Newton-Raphson modificado: El método de Newton-Raphson modificadose basa en el siguiente resultado: Si α es una raíz de multiplicidad m > 1 de una ecuación

( ) 0xf = y ( ) 0xf ≠′ para toda x en alguna vecindad de α, x ≠ α , entonces α es una raíz

simple de la ecuación ( ) 0xM = , donde la función M está definida como sigue:

( )( )( )M x

f x

f x= ′≠

=

, x

0 , x

α

α

La función M resulta continua en la raíz α .

En efecto: Como por definición de la función M, ( )M α = 0 , entonces α es raíz de la ecuación

( ) 0xM = . Veamos que α es una raíz simple.

Como α es una raíz de multiplicidad m > 1 de la ecuación ( )f x = 0 , entonces ( )f α = 0 y

para x ≠ α , ( ) ( ) ( ) ( )f x x h x lim h xm

x= − ≠

→α

α con 0

Por ser ( ) ( ) ( )xhxxf mα−= , entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xhxxhxmxf m1m ′α−+α−=′ − , así que

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( ) para x , M≠ =

′=

−

− + − ′= −

+ − ′−αα

α αα

αx

f x

f x

x h x

x mh x x h xx

h x

mh x x h x

m

m 1

con ( )

( ) ( ) ( )( )( )lim

h x

mh x x h x

lim h x

m lim h x mx

x

x→

→

→+ − ′

= = ≠α

α

αα

10 , ya que ( )lim h x

x→≠

α0 . Luego α es una raíz

simple de la ecuación ( ) 0xM = .

Observe que ( ) ( )lim M x Mx→

= =α

α0 , lo que significa que la función M es continua en α . ∇∇∇∇

El método de Newton-Raphson modificado para aproximar una raíz múltiple α de unaecuación ( ) 0xf = , consiste en aplicar el método de Newton-Raphson a la nueva función M,

así que la función de iteración g del método de Newton-Raphson modificado está definidacomo


( ) ( )( )

( )( )

( )[ ] ( ) ( )( )[ ]

g x xM x

M xx

f x

f x

f x f x f x

f x

= −′

= −′

′ − ′′

′

2

2

es decir,

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )

g x xf x f x

f x f x f x= −

′

′ − ′′2

lo que requiere que f ′′ sea continua en alguna vecindad de α .

Si aplicamos el método de Newton-Raphson modificado a la función ( ) tanxxxf −= para

aproximar la raíz α = 0 , con criterio de aproximación ( ) M xn < × −5 10 5 o

x xn n− < ×−−

155 10 , se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 2.15

siguiente.

n xn ( )M xn x xn n− −1

0 .3 9 75 10 2. ...× −

1 − × −1595052 10 2. − × −5 31 10 3. ... .31595052

2 2164831 10 6. × − 7 21 10 7. ...× − 1595268 10 2. × −

TABLA 2.15


NEWTON_MOD( ( )f x x x N, , ,0 ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de

Newton-Raphson modificado aplicado a la función ( )f x , tomando como aproximación inicial

x0 . Para el ejemplo, aproXime la expresión NEWTON_MOD( x tanx x− , , ,0 3 2. ). ◊◊◊◊

Observando la TABLA 2.15 vemos que el valor de x2 , obtenido por el método de Newton-

Raphson modificado, es mucho más cercano a 0 que el valor de x5 obtenido por el método

de Newton-Raphson aplicado a la función ( )f x x tanx= − .

En el ejemplo anterior ( )M xx tanx

x= −

−1 2sec y la gráfica de M en la vecindad de α = 0 se muestra

en la FIGURA 2.19 . ♦


__________________________________________________________________________________

FIGURA 2.19

2.2.5 Método de la Secante: El método de Newton-Raphson para aproximar una raíz simple α de una ecuación ( )f x = 0 , consiste en generar la sucesión xn n a partir de la fórmula de

iteración

( )( ) x nn n

n

n

xf x

f x= −

′=−

−

−1

1

1

12, , ,...

y escogiendo x0 cercano a la raíz α .

Como

( ) ( ) ( ) ′ =

−−−

→

−

−−

f x limf x f x

x xnx x

n

nn

11

11

entonces si queremos evitar el uso de la derivada en la fórmula de iteración del método de

Newton-Raphson, una forma es tomar x xn= −2 , y aproximar ( )′ −f xn 1 por ( ) ( )f x f x

x xn n

n n

− −

− −

−−

1 2

1 2,

que no es otra cosa que la pendiente de la recta secante L a la gráfica de f por los puntos( )( ) ( )( )2n2n1n1n xfx xfx −−−− ,,, (ver la FIGURA 2.20).

Remplazando, en la fórmula de iteración del método de Newton-Raphson, ( )′ −f xn 1 por su

aproximación ( ) ( )f x f x

x xn n

n n

− −

− −

−−

1 2

1 2, obtenemos

( )( )( ) ( ) x nn nn n n

n n

xf x x x

f x f x= −

−−

=−− − −

− −1

1 1 2

1 2

2 3, , ,...

que constituye la fórmula de iteración para el método de la Secante.


Nótese que para iterar con el método de la Secante se requiere conocer dos aproximacionesiniciales x0 1 y x .

FIGURA 2.20

Observe la relación entre el método de la Secante y el método de Regula Falsi: Ambosmétodos usan dos puntos iniciales o de arranque para encontrar una nueva aproximación ala raíz buscada, pero hay una gran diferencia entre la escogencia de esos dos puntos:mientras que en el método de Regula Falsi los dos puntos deben encerrar a la raíz buscada yel método siempre converge, en el método de la Secante los dos puntos iniciales nonecesariamente encierran a la raíz buscada lo que puede provocar divergencia del método.El método de la Secante converge bajo las mismas hipótesis de convergencia del método deNewton-Raphson.

Algoritmo 2.6 (Secante) Para encontrar una aproximación α ∗ de una raíz α de una

ecuación ( ) 0xf = conocidas dos aproximaciones iniciales x0 1 y x :

Entrada: ( )f x ; dos aproximaciones iniciales x0 1 y x ; una tolerancia Tol, y un número

máximo de iteraciones N.


Paso 1: Tomar n = 2 , ( ) ( )1100 xfy y xfy == .


Paso 3: Si y y1 0 0− = , entonces salida: "No se puede aplicar el método,

porque el denominador en la fórmula de la Secante se anuló". Terminar.

Paso 4: Tomar ( )

x xy x x

y y2 11 1 0

1 0

= −−

− .


__________________________________________________________________________________

Paso 5: Si x 2 1− <x Tol , entonces salida: "Una aproximación de una raíz de la

ecuación dada es α ∗ = x2 ". Terminar.


Paso 7: Tomar 10 xx =

10 yy =

21 xx =( )11 xfy =

Paso 8: Salida: "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia".Terminar.

Ejemplo: 2.11 Si aplicamos el método de la Secante para encontrar la menor raíz positiva de

la ecuación x tanx− = 0 , con criterio de aproximación x xn n− < ×−−

155 10 , obtenemos los


n xn xn+1 ( )f xn+1 x xn n+ −1

0 4 4. 4 5. −.137... .11 4 5. 4 490469. 5 85 10 2. ...× − 9 531 10 3. × −

2 4 490469. 4 494723. − × −2 66 10 2. ... 4 254 10 3. × −

3 4 494723. 4 492822. 118 10 2. ...× − 1901 10 3. × −

4 4 492822. 4 493671. − × −5 28 10 3. ... 8 490 10 4. × −

5 4 493671. 4 493292. 2 37 10 3. ...× − 3 790 10 4. × −

6 4 493292. 4 493461. − × −104 10 3. ... 1690 10 4. × −

7 4 493461. 4 493386. 4 73 10 4. ...× − 7 500 10 5. × −

8 4 493386. 4 493419. − × −192 10 4. ... 3 300 10 5. × −

TABLA 2.16


SECANTE( ( )f x x x x N, , , ,0 1 ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de la

Secante aplicado a la función ( )f x tomando aproximaciones iniciales x0 y x1 . Para el

ejemplo , aproXime la expresión SECANTE( 8,54,44,x,tanxx ..− ). ◊◊◊◊

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.16, la menor raíz positiva de la ecuaciónx tanx− = 0 es α ≈ =4 493419 8. x . ♦

2.3 RAPIDEZ DE CONVERGENCIA


Los métodos numéricos estudiados aquí para hallar una raíz α de una ecuación ( )f x = 0

consistieron en generar una sucesión xn n tal que lim xn

n→∞

= α .

La eficiencia de un método numérico depende, en parte, de la "rapidez" con la cual lasucesión xn n

converge a α, donde "rapidez" significa el número mínimo de iteraciones N

necesarias para tener xN a una distancia dada de la raíz α, es decir, tal que xn − <α ε

para algún ε > 0 dado. Una forma de medir la "rapidez" de la convergencia de un métodoiterativo de los que estudiamos, es en los siguientes términos.

Notación: Si ∈ = −n nx α , entonces ∈ n puede ser positivo, negativo o cero y

E xn n n= ∈ = − α denota el valor absoluto del error de truncamiento en la iteración n.

En la siguiente definición se introduce el concepto de orden de convergencia de unasucesión, usando el límite. Hay otras formas de definir orden de convergencia de unasucesión.

Definición 2.4 Supongamos que lim xn

n→∞

= ∈α R , es decir, limn

n→∞

∈ = 0 o equivalentemente

lim En

n→∞= 0. Si existen constantes positivas λ y L tales que

x

x lim

E

Elim L

n

n

nn

n

n→∞

+→∞

+=−

−=1 1

λ λ

α

α

entonces se dice que la sucesión xn n converge a α con orden de convergencia λ y error

asintótico L . ∇∇∇∇

Veamos que la definición 2.4 es una buena definición en el sentido que si λ y L existen,entonces son únicos.

Supongamos que existen λ λ1 2 1 2, , L y L constantes positivas, tales que

y limE

EL lim

E

EL

n

n

nn

n

n→∞

+→∞

+= =11

12

1 2λ λ

y veamos que λ λ1 2 1 2= = y L L .

Basta probar que λ λ1 2= , pues si esto ocurre, entonces L L1 2= (por la unicidad del límite,

cuando existe).

Supongamos, por reducción al absurdo, que existen λ1 y λ 2 con λ λ1 2 0> > y tales que

, donde L , LlimE

EL lim

E

EL

n

n

nn

n

n→∞

+→∞

+= = >11

12 1 2

1 20λ λ


__________________________________________________________________________________

Como λ λ1 2 0> > , entonces λ λ1 2 0− > , y

11 2 1

21

1E

E

E

E

En

n

n

n

nλ λ λ

λ

−+

+=

así que

limE

limE

E

E

Enn

n

n

n

n

n→∞ − →∞+

+=

11 2 1

21

1λ λ λ

λ

Pero

0Elim que ya,E

1lim 21

21n

nn

n=∞= λ−λ

∞→λ−λ∞→

y

limE

E

E

Elim

E

Elim

E

EL

L

L

Ln

n

n

n

n n

n

nn

n

n→∞+

+ →∞+

→∞ += = = ∈1

1

1

11

2

1

21

2

1

2 1λ

λ

λ

λR

lo cual es una contradicción. Luego λ λ1 2= . ∇∇∇∇

De la definición 2.4 se tiene que, para n suficientemente grande

En nLE+ ≈1λ

y así, fijado L, entre mayor sea λ , más rápidamente converge la sucesión xn n a α, es

decir, entre mayor sea el orden de convergencia de una sucesión xn n , menor será el

número de iteraciones necesarias para tener a xn a una distancia dada del límite de esa

sucesión.

Casos especiales:

i) Si λ = 1 en la definición 2.4, es decir, el orden de convergencia es uno, se dice que laconvergencia es lineal.

Si la convergencia es lineal, entonces para n suficientemente grande

En nLE+ ≈1

lo que significa que el error en un paso es aproximadamente proporcional al error en el pasoanterior (en este caso debe tenerse 0 1< ≤L , casi siempre L < 1).

ii) Si λ = 2 en la definición 2.4, la convergencia se dice cuadrática.

Si la convergencia es cuadrática, entonces para n suficientemente grande

En nLE+ ≈12


es decir, el error en un paso es aproximadamente proporcional al cuadrado del error en elpaso anterior. En este caso es claro que el error En decrece más rápidamente que en el

caso lineal, y así la convergencia será más "rápida".

Ejemplo 2.12 Consideremos las sucesiones xn n con xn

n = 13

, y "xn n con "xn n= 1

102.

Como lim xn

n→∞

= 0 y lim xn

n→∞

=" 0 , entonces α = 0 , en la definición 2.4, para ambas

sucesiones.

Encontremos el orden de convergencia de la sucesión xn n .

Como

E

E

n

n

nn

n

+ = +

=+

13

3

31

1

1 1λ λ

λ(n )

entonces

limn

nlim

n nL

n n→∞ →∞ − −+=

+= ∈ =

λ

λ λ λ1

11

1R, lo si L > 0, si y só

Luego el orden de convergencia de la sucesión xn n con xn

n = 13 es uno, es decir, xn n

converge linealmente a cero. Observe que si λ = 1, entonces L = 1.

Procediendo de manera similar al caso anterior, se puede ver que el orden de convergencia

de la sucesión "xn n con "xn n= 1

102 es dos, es decir, la sucesión "xn n converge

cuadráticamente a cero, con error asintótico L = 1.

Encontremos ahora, los valores mínimos de N1 y N2 tales que

E x y N N N NE x1 1 2 2

10 103 3= − < = = − < =− −α ε α ε" "

En

n n Nn = < ⇔ > ⇔ > =−110 10 10 11

33 3 3

1, así que .

"E n Nnn

n

n

= < ⇔ > ⇔ > ⇔ ≥ =−1

1010 10 10 2 3 2 2

2

3 2 32, así que .

Lo anterior nos dice que para la sucesión xn n con xn

n = 13 , que converge linealmente a

α = 0 , son necesarias 11 iteraciones para que x n − < −α 10 3 , mientras que para la

sucesión "xn n con "xn n= 1

102, que converge cuadráticamente a α = 0 , son necesarias sólo

2 iteraciones para que "xn − < −α 10 3 . ♦


__________________________________________________________________________________

Con base en la definición 2.4, estudiaremos el orden de convergencia de los métodosabiertos que ya vimos.2.3.1 Orden de convergencia del método de iteración de Punto Fijo: Sea α un punto fijode una función g, es decir ( )α α= g :

i) Si ′g es continua en alguna vecindad de α, ( )′ ≠g α 0 , y la sucesión xn n definida por

( ) x , n ,2,...n ng x= =−1 1

converge a α, entonces la convergencia es lineal.

En efecto:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ∈ = − = − = ′ − = ′ ∈+ +n n n n n n nx g x g g x g1 1 α α ξ α ξ

con ξn entre xn y α .

Ahora, como ′g es continua en α, entonces ( ) ( )lim g gn

n→∞

′ = ′ξ α , ya que ξ αn → cuando

n → ∞ , y entonces

( ) ( ) lim lim g gn

n

n nn

→∞+

→∞

∈∈

= ′ = ′ ≠1 0ξ α

así que

( ) limE

Eg L

n

n

n→∞+ = ′ = >1 0α

lo que significa que la convergencia es lineal. ∇∇∇∇

ii) Si ′′g es continua en alguna vecindad de α, ( )′ =g α 0 , ( )′′ ≠g α 0 (el punto ( )( )α α,g no es

de inflexión de la gráfica de g), y la sucesión xn n definida por

( ) x nn ng x= =−1 12, , ,...

converge a α, entonces la convergencia es cuadrática, es decir, xn n converge a α

con orden de convergencia dos.

En efecto:

Como ′′g es continua en un intervalo abierto que contiene a α, entonces para x en ese

intervalo, se tiene

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) g con entre x y x g g xg

x= + ′ − +′′

−α α αξ

α ξ α2

2


Como ( ) ( )g gα α α= ′ = y 0 , entonces

( ) ( ) ( ) g con entre x y xg

x= +′′

−αξ

α ξ α2

2

En particular, cuando x xn= , n ∈ N, se tiene

( ) ( ) ( ) x con entre x y n nn

n n ng xg

x+ = = +′′

−12

2α

ξα ξ α

Por tanto

( ) ( ) ( ) ∈ = − =

′′− =

′′∈+ +n n

nn

nnx

gx

g1 1

2 2

2 2α

ξα

ξ

y como ′′g es continua en el intervalo que contiene a xn y α, entonces

( ) ( )lim g gn

n→∞

′′ = ′′ξ α , lo que implica que

( ) ( )lim lim

g g

n

n

nn

n

→∞+

→∞

∈∈

=′′

=′′1

2 2 2

ξ α

y entonces

( )lim

E

Elim

gL

n

n

nn

n

n→∞

+→∞

+=∈

∈=

′′= >1

2

1

2 20

α

lo cual significa que la convergencia es cuadrática. ∇∇∇∇

Si queremos tener esquemas iterativos

( ) x nn ng x= =−1 12, , ,...

con orden de convergencia mayor, tenemos que poner condiciones sobre g.

Un teorema que generaliza las ideas anteriores y cuya prueba es similar a la de los casos i) yii) vistos antes, es el siguiente:

Teorema 2.4 Sea α una raíz de una ecuación ( )xgx = . Si g tiene las primeras k-derivadas

continuas en alguna vecindad de α, ( ) ( )gi α = 0 para i k= −12 1, ,..., , ( ) ( )g

k α ≠ 0 , y la sucesión

xn n definida por

( ) x nn ng x= =−1 12, , ,...

converge a α, entonces la convergencia es de orden k, es decir, xn n converge a α con

orden de convergencia k. ∇∇∇∇

Observación: Por lo general, la cantidad de cálculos involucrados en la fórmula de unmétodo iterativo aumenta a medida que el orden de convergencia crece, por lo tanto, laganancia en el orden de convergencia no debe medirse por el número de iteraciones


__________________________________________________________________________________

necesarias para que el error de truncamiento alcance cierta tolerancia, sino por el númerototal de operaciones o tiempo del computador.Sin embargo, los métodos de convergencia cuadrática parecen estar en un punto deequilibrio si tenemos en cuenta la dificultad de los métodos, el número de operacionesrequeridas y los resultados obtenidos; es por éso, que uno de los métodos mas usados es elde Newton-Raphson que, como veremos enseguida, es de convergencia cuadrática.

2.3.2 Orden de convergencia del método de Newton-Raphson: Sea α una raíz de unaecuación ( ) 0xf = . Si la función f tiene sus dos primeras derivadas continuas en alguna

vecindad de α, ( ) 0xf ≠′ para todo x en esa vecindad, ( )′′ ≠f α 0 (el punto ( )( )α α,f no es de

inflexión de la gráfica de f ), y la sucesión xn n definida por

( )( ) x nn n

n

n

xf x

f x+ = −′

=1 01, , ,...

converge a α, entonces la convergencia es cuadrática.

En efecto:

Como la función f tiene segunda derivada continua en algún intervalo que contiene a α,entonces para todo x en ese intervalo, se tiene

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x f f xf

x= + ′ − +′′

−α α αξ

α ξ α2

2 con entre x y

Pero ( )f α = 0 , así que

( ) ( )( ) ( ) ( ) f con entre x y x f xf

x= ′ − +′′

−α αξ

α ξ α2

2

De la misma manera

( ) ( ) ( )( ) con entre x y ′ = ′ + ′′ −f x f f xα ξ α ξ α" "

En particular, cuando x xn= , n ∈ N , se tiene

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

f con entre y

con entre y

x f xf

x x

f x f f x x

n nn

n n n

n n n n n

= ′ − +′′

−

′ = ′ + ′′ −

α αξ

α ξ α

α ξ α ξ α

2

2

" "

Sustituyendo ( )′f xn en la fórmula de iteración del método de Newton-Raphson, obtenemos

( )( ) ( )( )

x con entre x y n nn

n n

n nxf x

f f x+ = −

′ + ′′ −1

α ξ αξ α

""


Restando α a ambos miembros de la ecuación anterior, se obtiene

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )∈ = ∈ −

′ + ′′ ∈=

′ ∈ + ′′ ∈ −

′ + ′′ ∈+n n

n

n n

n n n n

n n

f x

f f

f f f x

f f1

2

α ξ

α ξ

α ξ"

"

"

y sustituyendo ( )f xn , en la última ecuación anterior, obtenemos

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∈ =′ ∈ + ′′ ∈ − ′ ∈ −

′′∈

′ + ′′ ∈+n

n n n nn

n

n n

f f ff

f f1

2 2

2 α ξ α

ξ

α ξ

"

"

( ) ( )

( ) ( )=

∈ ′′ − ′′

′ + ′′ ∈

n n n

n n

f f

f f

2 2

2

"

"

ξ ξ

α ξ

Luego

( ) ( )( ) ( )

∈∈

=′′ − ′′

′ + ′′ ∈

+n

n

n n

n n

f f

f f

12

2

2

"

"

ξ ξ

α ξ

Como xn n converge a α , entonces ξ ξn n nn

y " también convergen a α, y ∈ n n

converge a 0, y como ′′f es continua en α , entonces

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )[ ]

( )( )lim lim

f f

f f

f f

f

f

fn

n

nn

n n

n n→∞

+→∞

∈∈

=′′ − ′′

′ + ′′ ∈

=′′ − ′′

′=

′′′

12

2

2

2

2 2

"

"

ξ ξ

α ξ

α α

α

αα

Por tanto

( )( )

L >lim

f

fn

n

n→∞

+∈

∈=

′′′

=12 2

0αα

(recuerde que ( ) ( )′ ≠ ′′ ≠f fα α0 0 y ), así que la convergencia es cuadrática. ∇∇∇∇

Observe, en el trabajo anterior, que si ( )f α = 0 , ( )′ =f α 0 y ( )′′ ≠f α 0 , es decir, α es raíz de

multiplicidad dos de la ecuación ( )f x = 0 , entonces el método de Newton-Raphson puede

aún converger, pero la convergencia es lineal con error asintótico L = 1

2. En general, se

tiene que: Si ( ) ( ) ( )01= = = −f f

mα α... y ( ) ( )fm α ≠ 0 , es decir, α es una raíz de multiplicidad


__________________________________________________________________________________

m ≥ 2 de una ecuación ( )f x = 0 , y el método de Newton-Raphson converge, entonces la

convergencia es lineal con error asitótico Lm

m= −1

.

Se puede demostrar, véase Ralston,1965, páginas 326 y 327, que el método de la Secante,

cuando converge, tiene orden de convergencia λ = + ≈1 5

2162. , y que el método de Regula

Falsi es de convergencia lineal siempre que la gráfica de la función f sea cóncava haciaabajo o hacia arriba en la vecindad de la raíz α. El método de Bisección se considera deconvergencia lineal.

TALLER 2.

1. El método de Bisección se puede aplicar en un intervalo [ ]b,a siempre que ( ) ( )f a f b < 0 . Si

( )f x tiene más de un cero en ( )a b, , se podrá saber de antemano cuál cero es el que se

encuentra al aplicar el algoritmo 2.1? Ilustre su respuesta con ejemplos.

2. Las siguientes funciones cumplen la condición ( ) ( )f a f b < 0 donde a = =0 1 y b . Si se

aplica el método de Bisección en el intervalo [ ]a b, a cada una de esas funciones, qué

punto se encuentra en cada caso? Es este punto un cero de f ?

a) ( ) ( )f x x= − −3 1

1 b) ( ) ( )f x x= cos 10 c) ( )f x =>

− ≤

x

x

1 0

1 0

,

,

3. Pruebe que la función ( )f x e xxx= − − −12

2

tiene un único cero, precisamente en x = 0 .

Sugerencia: Puede usar el residuo en una expansión en serie de Taylor de ex alrededorde 0 .

Evalúe en una calculadora o un computador la función ( )f x para valores de x cercanos a

cero. Nota cambios de signo en los valores ( )f x para números x, a un mismo lado de

cero? De haber cambios de signo, qué hará el método de Bisección en uno de losintervalos en los que hay uno de esos cambios? Comente sobre la posibilidad deencontrar, por un método numérico, un "falso cero".

4. Verifique que se puede aplicar el método de Bisección para aproximar el único cero de la

función ( )f x x x= − −3 1 en el intervalo [ ]12, . Cuántas iteraciones serán necesarias para

que al aplicar el método de Bisección en el intervalo [ ]12, se logre una aproximación de la


raíz, con una precisión de por lo menos 3 cifras decimales exactas? Calcule talaproximación.

5. Encuentre una aproximación de 253 con una precisión de por lo menos tres cifrasdecimales exactas, usando el método de Bisección.

6. Se quiere encontrar la menor raíz positiva de cada una de las siguientes ecuaciones,usando el método de iteración de Punto Fijo. En cada caso, encuentre una función deiteración de punto fijo y un intervalo en el que se satisfagan todas las hipótesis delTeorema 2.1, y calcule una aproximación de la raíz buscada con una precisión de por lomenos tres cifras decimales exactas.

a) e xx− − =cos 0 b) x x2 10 0+ =cos c) x x− =cos 0

7. Estudie la función ( )g x x= +1 2 como una posible función de iteración de Punto Fijo. Por

qué no es convergente la iteración ( )x g xn n= =−1 12, , ,... n ?

8. a) Verifique que cada una de las siguientes funciones ( )g xi , , , , i = 12 3 4 es una función de

iteración de Punto Fijo para la ecuación x x x4 22 3 0+ − − = , es decir,

( ) ( )α α α= ⇒ = =g fi 0 12 3 4, , , , i , siendo ( )f x x x x= + − −4 22 3 .

i) ( ) ( )g x x x12

1

43 2= + − ii) ( )g xx x

2

41

23

2= + −

iii) ( )g xx

x3 2

1

23

2= +

+

iv) ( )g x

x x

x x4

4 2

3

3 2 3

4 4 1= + +

+ −

b) Efectúe 4 iteraciones, si es posible, con cada una de las funciones de iteracióndefinidas en a), tomando ( )x g xn i n0 110 12 3 4= = =−. y x i, , , , .

c) Cuál función cree usted que da la mejor aproximación? Explique.

9. Demuestre que la ecuación ( )2 0sen πx x+ = tiene una única raíz α ∈

1

2

3

2, . Use el

método de iteración de Punto Fijo para encontrar una aproximación de α con unaprecisión de por lo menos tres cifras decimales exactas.


__________________________________________________________________________________

10. Resuelva la ecuación x x3 1 0− − = para la raíz en el intervalo [ ]12, , usando el método

iterativo de Punto Fijo. Obtenga una aproximación de la raíz buscada con una precisiónde por lo menos tres cifras decimales exactas.

11. Use el método iterativo de Punto Fijo para encontrar una aproximación de 253 con unaprecisión de por lo menos tres cifras decimales exactas.

12. Use el método iterativo de Punto Fijo para demostrar que la sucesión xn n definida por

x nn nn

xx

= +

=−

−

1

2

2121

1

, , ,...

converge a 2 , para x0 0> escogido adecuadamente.

En general, si R > 0 , entonces la sucesión xn n definida por

x xR

xn nn

= +

=−

−

1

2121

1

, , ,... n

converge a R , para x0 0> escogido adecuadamente. Esta sucesión se usa con

frecuencia en subrutinas para calcular raíces cuadradas.

13. La ecuación e xx − =4 02 tiene una única raíz entre a = =0 1 y b . Demuestre que la

sucesión de Punto Fijo, generada por la función de iteración ( )g x ex

= 1

22 , converge a

esta raíz si el punto inicial se escoge en el intervalo [ ]01, .

14. Pruebe que la función ( )g x x tan x= + − −2 1 tiene la propiedad ( ) ′ <g x 1 para toda x.

Pruebe que g no tiene un Punto Fijo. Explique por qué esto no contradice el teorema 2.1de Punto Fijo.

15. Cuál es el valor de la siguiente expresión?

x = + + +2 2 2 ...

Note que esta expresión puede ser interpretada como significando x lim xn

n=→∞

, donde

x0 2= , x x1 02 2 2= + = + , y así sucesivamente. Use el método de Punto Fijo

con una función de iteración g apropiada.


16. Utilice el método de Newton-Raphson para hallar ceros de las siguientes funciones en elintervalo indicado.

a) ( ) [ ]f x e ex x= − −2 2 01 en , b) ( ) [ ]f x x ex= −4 0 5sen , en .

Calcule las iteraciones xn hasta que x n nx− < ×−−

155 10 .

17. Utilice el método iterativo de Punto Fijo para aproximar el dominio de la función

( ) ( )[ ]f x x ex= − −2 1 11

2 .

18. Use el método de Newton-Raphson para aproximar el valor de la abscisa del punto ( )y,x

sobre la gráfica de y x= 2 más cercano a ( )10, . Calcule las iteraciones xn hasta que

x n nx− < ×−−

155 10 .

19. Resuelva la ecuación xexcos4 = con una precisión de 5 10 5× − , es decir, calcule las

iteraciones xn hasta que x n nx− < ×−−

155 10 , usando:

a) El método de Newton-Raphson con 01x0 .= .

b) El método de la Secante con x0 14 2= =π π

y x .

20. Use el método de Newton-Raphson para resolver la ecuación

con xsen xx−

= =2

02

2

0π

Itere hasta obtener una precisión de 5 10 5× − para la raíz aproximada, con

( )f x xx= −

sen2

2

. Parecen los resultados fuera de lo común para el método de

Newton-Raphson? Resuelva también la ecuación con x0 05 10= =π π y x .

21. Use el método de Newton-Raphson modificado para encontrar una aproximación de laraíz de la ecuación

( ) f x x xe ex x= + + =2 22 0


__________________________________________________________________________________

empezando con x0 0= y efectuando 10 iteraciones. Cuál es la multiplicidad de la raíz

buscada?

22. Demuestre que la sucesión xn n definida por

x nn kn= =1

12, , ,...

con k cualquier entero positivo, converge linealmente a α = 0 . Para cada par de enteros

k y m, determine un número N para el cual 1

10Nk

m< −.

23. Suponga que α es una raíz de multiplicidad m de ( )f x = 0 , donde ′′′f es continua en un

intervalo abierto que contiene a α. Demuestre que la iteración funcional usando

( ) ( )( ) g x x

mf x

f x= −

′da convergencia cuadrática.

24. Estudie el orden de convergencia de los métodos abiertos aplicados en la solución decada uno de los ejercicios anteriores.

25. Use el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz α = 1 de la ecuación

( )f x x x x= − + − =3 22 2 1 0 , tomando x0 00 10= = y x . Termine las iteraciones xn

cuando ( ) f x o n 25x xn n n< × − < × ≥−−

−5 10 5 1051

5, . Imprima todos los valores

xn , ( )f xn , ∈ = − ∈n n nx 1 2 y , y verifique que ∈ ≈ ∈+n n12 .

26. Aproxime todas las raíces de la ecuación x x x x4 3 22 8 38 6 3 4 2 0+ − − − =. . . . , usando elmétodo de Newton-Raphson y Deflación.

27. Aproxime todas las raíces de la ecuación

x8 7 6 5 4 3 239 37 446 180 1928 256 1920 0− − + + − − − + =x x x x x x x

usando el método de Newton-Raphson y Deflación.

Sugerencia: Las raíces son: −2 con multiplicidad 3, 4 con multiplicidad 2, 1, 3 y −5 .

28. Use el método de Newton-Raphson y Deflación para encontrar, con una precisión de

5 10 5× − , todos los ceros, todos los puntos críticos y todos los puntos de inflexión de las


siguientes funciones. Use la información obtenida para hacer la grafica de cada una delas funciónes f dadas.

a) ( )f x x x= − +3 29 12 b) ( )f x x x x x= − − + −4 3 22 5 12 5

Capítulo 3. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 1 __________________________________________________________________________________

CAPÍTULO 3. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES

INTRODUCCIÓN Un sistema de n-ecuaciones (con coeficientes reales) en las n-incógnitas x x xn1 2, ,..., es un conjunto de n ecuaciones de la forma

( )( )

( )

f x x x

f x x x

f x x x

n

n

n n

1 1 2

2 1 2

1 2

0

0

0

, ,...,

, ,...,

, ,...,

=

=

=

M (3.1)

donde

fi i in : , D R D R→ ⊆

( ) ( )X x x x X yn i= → =1 2, ,..., f

Si para cada i n= 12, ,..., , la función fi es de la forma

( )f x x x a x a x a x bi n i i i n n i1 2 1 1 2 2, ,..., ...= + + + −

con a a ai i i n i1 2, ,..., y b constantes reales, el sistema se dice lineal (con coeficientes reales); en cualquier otro caso el sistema se dice no-lineal. Si ( )C c c cn

n= ∈1 2, ,..., R es tal que ( )f c c ci n1 2 0, ,..., = para cada i n= 12, ,..., , entonces se dice que

C es una solución real del sistema (3.1). El objetivo de este capítulo es estudiar algunos métodos numéricos para encontrar una solución real de un sistema del tipo (3.1). 3.1 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de n-ecuaciones lineales (con coeficientes reales) en las n-incógnitas x x xn1 2, ,..., puede escribirse en la forma

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

n n nn n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

+ + + =

+ + + =

+ + + =

...

...

...

M con a j ni j i, , , , ,..., b i∈ =R 12 (3.2)

El sistema (3.2) puede escribirse en la forma matricial equivalente AX b= con


A

a a aa a a

a a a

n

n

n n nn

=

11 12 1

21 22 2

1 2

LL

M M M

L

, X

xx

xn

=

1

2

M y b

bb

bn

=

1

2

M

La matriz A es llamada matriz de coeficientes del sistema, el vector columna X el vector de incógnitas y el vector b el vector de términos independientes. Nota: Consideraremos únicamente sistemas de ecuaciones lineales AX b= con A n n∈ ×R que

tengan solución única para cada vector b n∈R , es decir, con A invertible. Los métodos numéricos que estudiaremos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales se clasifican en dos tipos: directos e iterativos. Los métodos directos nos proporcionan una solución del sistema en un número finito de pasos. Si usamos aritmética finita para los cálculos, obtendremos por lo general una solución aproximada, debido únicamente a los errores de redondeo, puesto que no hay errores de truncamiento o de fórmula. Los métodos directos más usados tienen como base la eliminación de Gauss. En los métodos iterativos se parte de una aproximación inicial a la solución del sistema dado y se genera, a partir de dicha aproximación, una sucesión de vectores que si converge lo hace a la solución del sistema. Al igual que en el capítulo 2, tendremos fórmulas para calcular los términos de la sucesión, así que en general no se espera calcular el límite de la sucesión, por lo que debemos tomar algún término de la sucesión como una solución aproximada del sistema. Esta vez, además de los errores de redondeo si se usa aritmética finita, habrá errores de truncamiento o de fórmula. Los métodos iterativos más simples y conocidos están basados en iteraciones de Punto Fijo. 3.2 MÉTODOS DIRECTOS CASO 1: La matriz A (de coeficientes del sistema AX b= ) es triangular (superior o inferior) con todas sus componentes sobre la diagonal principal no-nulas. Supongamos que el sistema es de la forma

a x x a x x x b

x a x x x b

x x x b

x a x b

i n n n

i n n n

i i i i n n i n n i

n n n n n n n

11 1 12 2 1 1 1 1 1 1

22 2 2 2 1 1 2 2

1 1

1 1 1 1 1

a a a

a a a

a a a

a

i n

i n

+ + + + + + =

+ + + + + =

+ + + =

+ =

− −

− −

− −

− − − − −

... ...

... ...

...

,

,

,

, ,

M

M

an n n nx b=

Como an n ≠ 0 , entonces podemos despejar xn de la última ecuación y obtenemos


x nn

n n

ba

=

Conocido xn , usamos la penúltima ecuación para obtener

xb a x

ann n n

n−

− −

− −=

−1

1 1

1 1

,

,

n

n

Conocidos xn y xn−1 , obtenemos (de la antepenúltima ecuación)

( )x

b a x a x

ann n n n n

n−

− − − − −

− −=

− +2

2 2 1 1 2

2 2

, ,

,

n n

n

En general, conocidos x x xn n i, ,...,− +1 1 , obtenemos

x i i

i i k kk i

n

i i

b a x

an n=

−

= − −= +∑

1 1 2 1, , ,...,

El método anterior para determinar la solución del sistema se denomina sustitución reversiva, regresiva o hacia atrás. Si la matriz de coeficientes del sistema es triangular inferior, para resolver el sistema podemos proceder de manera similar al caso anterior, pero empezando por despejar x1 de la primera ecuación. El procedimiento en este caso se denomina sustitución progresiva o hacia adelante. Algoritmo 3.1 (Sustitución regresiva) Para encontrar una solución aproximada

~X de un sistema

triangular superior AX b= con ( )A a i j n n=

× invertible.

Entrada: El orden n del sistema; los coeficientes a n i ni j, , ,..., , ,..., i j= =12 ; los términos

independientes b ni, , ,..., i = 12 . Salida: Una solución aproximada ( )~ , ,...,X x x xn= 1 2 .

Paso 1: Tomar xb

ann

n n= .

Paso 2: Para i n n= − −1 2 1, ,..., , tomar

x

b a x

ai

i i k kk i

n

i i=

−= +∑

1

Paso 3: Salida: "Una solución aproximada del sistema es ( )~

, ,...,X x x xn= 1 2 ". Terminar.


CASO 2: La matriz A (de coeficientes del sistema AX b= ) es tal que no se requieren intercambios de filas para culminar con éxito la eliminación Gaussiana. Digamos que el sistema AX b= tiene la forma

E a x a x a x b

E a x a x a x b

E a x a x a x b

E x a x a x b

E a

j j n

j j n

j j j j j j n n j

i i i j j i n n i

n

1 11 1 1 1 1

2 21 1 2 2 2

1 1

1 1

:

:

:

: a

:

n

n

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

L L

L L

M M

L L

M ML L

M M

n n j j n n n nx a x a x b1 1 + + + + =

L L

El proceso de eliminación Gaussiana (simple) consiste en lo siguiente: i) Eliminamos el coeficiente de x1 en cada una de las ecuaciones E E En2 3, ,..., para obtener un

sistema equivalente ( ) ( )A X b1 1= , realizando las operaciones elementales

( )Eaa

E E i nii

i−

→ =1

111

1 23, , ,...,

ii) Eliminamos el coeficiente de x2 en cada una de las ecuaciones ( ) ( ) ( )E E En3

141 1, ,..., , para obtener

un sistema equivalente ( ) ( )A X b2 2= , realizando las operaciones elementales

( )( )

( )( ) ( )E

a

aE E i ni

i i

1 21

2 21 2

1 2 3 4−

→ =

, , ,...,

(debe ocurrir que ( )a2 21 0 ≠ ).

iii) En general, eliminados los coeficientes de x x x j1 2 1, ,..., − , eliminamos el coeficiente de x j en

cada una de las ecuaciones ( ) ( ) ( )E E Ejj

jj

nj

+−

+− −

11

21 1, ,..., , para obtener un sistema equivalente

( ) ( )A X bj j= , realizando las operaciones elementales

( )( )

( )( ) ( )E

a

aE E i j ni

j i jj

j jj j

jij−

−

−−−

→ = +11

11 1, ,...,

(debe ocurrir que ( )a j jj− ≠1 0 ).

Los números


( )

( ) mi ji jj

j jj

a

aj n i j n= = − = +

−

−

1

11 1 1, ,..., , ,...,

se llaman multiplicadores (si ( )

( )ja

a

aa

i i = ≡1 10

110

1

11 , ) .

El sistema (reducido) resultante tendrá la forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a

a

j

j

a x a x a x a x a x b

x a x a x a x b

x a x a x b

j n n n n

j n n n n

j jj

j j nj

n j nj

n jj

11 1 12 2 1 1 1 1 1 1

221

2 21

2 11

1 21

21

11

11

1

+ + + + + + =

+ + + + + =

+ + + =

− −

− −

−−

−−

−

... ...

... ...

...

,

,

,

M( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

−

− −−

− −−

−−

− −

+ =

=

1

1 12

1 12

12

1 1

a

a

n n

M

nn

n nn

n nn

n nn

n nn

x a x b

x b

, ,

el cual se resuelve por el método de sustitución regresiva, para obtener la solución del sistema original. CASO 3: La matriz A (de coeficientes del sistema AX b= ) es tal que se requieren intercambios de filas para culminar con éxito el proceso de eliminación Gaussiana.

Procedemos exactamente como en el caso 2, solo que cuando encontremos ( )a j jj 1− = 0 para algún

j n= −12 1, ,..., (recuerde que si ( ) ( )j a aj jj= = ≡−1 1

110

11, a ), continuamos de la siguiente manera:

Se busca en la j-ésima columna de ( )A j−1 (si ( ) ( )j A Aj= = ≡−1 1 0, A ) desde la fila (j + 1)-ésima hasta la n-ésima, el primer elemento distinto de cero (Por qué debe existir tal elemento?). Si

( )ak jj− ≠1 0 es tal elemento, entonces se efectúa la operación elemental

( ) ( )E Ejj

kj− −↔1 1 : intercambio de las ecuaciones j-ésima y k-ésima

y se continua con el proceso de eliminación Gaussiana. Una vez que se ha hecho la eliminación Gaussiana completa, se realiza la sustitución regresiva para obtener la solución única del sistema dado. Los procedimientos descritos anteriormente quedan incluidos en el siguiente algoritmo, en el cual incluso la matriz A puede ser no invertible (singular) . Algoritmo 3.2 (Eliminación Gaussiana con sustitución regresiva) Para obtener una solución aproximada ~

X de un sistema de la forma


E :

E :

E :

1 11 1 1 1

2 21 1 2 2

1 1

a x a x b

a x a x b

a x a x b

n n

n n

n n n n n n

+ + =

+ + =

+ + =

...

...

...M M

Entrada: El orden n del sistema; las componentes a i ni j, , ,...,= 12 , j n= +12 1, ,..., de la matriz

aumentada ( )A M b con a b ni n i, , , ,...,+ = =1 12 i .

Salida: Una solución aproximada ( )~

, ,...,X x x xn= 1 2 del sistema dado o un mensaje. Paso 1: Para j n= −12 1, ,..., , seguir los pasos 2-4 (Proceso de eliminación):

Paso 2: Hallar el menor entero k tal que j k n≤ ≤ y ak j ≠ 0 ( ak j es el contenido en la

posición de memoria ( )k j, en ese momento).

Si no existe tal k, entonces A no es invertible, por tanto, salida: "El sistema no tiene solución única". Terminar.

Paso 3: Si existe tal k y k j≠ , hacer

E Ej k↔ (intercambio de las filas j-ésima y k-ésima)

Paso 4: Para i j n= + 1,..., , seguir los pasos 5 y 6:

Paso 5: Tomar ma

ai ji j

j j= .

Paso 6: Efectuar ( )E m E Ei i j j i− → .

(Hasta aquí llega la eliminación Gaussiana)

Paso 7: Si an n = 0 , entonces, salida: "El sistema no tiene solución única". Terminar.

Paso 8: Tomar xa

ann

n n= +, n 1 (Aquí empieza la sustitución regresiva) .

Paso 9: Para i n= − 1 1,..., tomar

x n

i

i i k kk i

n

i i

a a x

a=

−+= +∑, 1

1

Paso 10: Salida: "Una solución aproximada del sistema es ( )~ , ,...,X x x xn= 1 2 ".

Terminar.


Hay sistemas de ecuaciones lineales, como vimos en el capítulo 1, que son sensibles a pequeños cambios en los datos; de tales sistemas decimos que están mal condicionados. En la práctica, por lo general, cuando se requiere resolver un sistema AX b= , asociado con un problema, los datos (coeficientes y términos independientes) no se conocen de manera exacta, debido por ejemplo a errores de medición, es decir, se dispone realmente de un sistema perturbado. Por otra parte, aunque los datos se conozcan de manera exacta, éstos al ser entrados al computador serán transformados (por el compilador) en números de máquina, lo que sabemos introduce errores de redondeo. En cualquier caso, interesa saber si tales errores pueden afectar de manera significativa la solución del problema. Una manera de estudiar estos comportamientos es a través del número de condición de la matriz de coeficientes del sistema. 3.3 SISTEMAS MAL CONDICONADOS Y NÚMERO DE CONDICIÓN DE UNA MATRIZ Para llegar a la idea del número de condición de una matriz empecemos considerando el siguiente ejemplo que muestra dos sistemas de ecuaciones lineales mal condicionados. Ejemplo 3.1 Consideremos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

x

+ =+ =

yx y

210 05 10 21. (3.3)

y

4 1 2 8 41

9 7 6 6 9 7

. . .

. . .

x y

x y

+ =+ =

(3.4)

En el capítulo 1, vimos que la solución exacta del sistema (3.3) es X12018

=−

y si cambiamos el

coeficiente 10.05 por 10.1 (un cambio relativo de aproximadamente .5%), la solución exacta del sistema perturbado

x + =+ =

yx y

210 1 10 21.

(3.3')

es ~X1

108

=−

, que muestra un cambio relativo del 50% en el valor de x y de aproximadamente el

56% en el valor de y.

Análogamente, el sistema (3.4) tiene solución exacta X2100 0

=

.

. y si cambiamos el término

independiente 4.1 por 4.11 (un cambio relativo aproximado de .2% en el término independiente), la solución exacta del sistema perturbado

4 1 2 8 4 119 7 6 6 9 7

. . .. . .

x yx y

+ =+ =

(3.4')


es ~X2

3497

=

..

, que muestra un cambio relativo aproximado de 66% en el valor de x. ♦

Se observa entonces que un cambio "pequeño" en uno de los datos (coeficientes y términos independientes) ha producido un cambio "grande" en la solución, es decir, la solución del sistema perturbado es "muy diferente" de la solución del sistema original. Los anteriores son ejemplos de problemas mal condicionados. Un problema se dice bien condicionado si "pequeños" cambios en los datos introducen, correspondientemente, un cambio "pequeño" en la solución. El buen o mal condicionamiento de un problema es inherente al problema y no depende del algoritmo empleado para resolverlo. El mal condicionamiento en el sistema (3.3) puede visualizarse gráficamente, al graficar las dos rectas: L y x y1 22 10 05 10 21: : x y L + = + =. . Como las pendientes de estas dos rectas son casi

iguales, es difícil ver exactamente dónde se cortan, esta dificultad visual, digamos que se mide cuantitativamente en los resultados numéricos obtenidos. Observe que si A es la matriz de coeficientes del sistema (3.3), entonces det A = −.05 y se puede pensar que el mal condicionamiento está relacionado con el tamaño del determinante de la matriz de coeficientes, pero recuerde que si una ecuación de un sistema se multiplica por un escalar, el determinante de la matriz de coeficientes queda multiplicado por ese escalar mientras los dos sistemas siguen teniendo exactamente las mismas soluciones, es decir, son equivalentes. El objetivo siguiente es desarrollar una teoría que permita estudiar el condicionamiento de un sistema lineal AX b= . Empezamos con la siguiente definición: Definición 3.1 Si X es la solución exacta de un sistema lineal AX b= , A invertible, b ≠ 0 , y

~X es

una solución aproximada de dicho sistema, entonces llamamos vector error de ~X con respecto a

X al vector E definido por

E = −~X X

y vector error residual correspondiente a la solución aproximada

~X , al vector R definido por

R = −AX b ~

Observe que E usualmente no se conoce (pues X no se conoce), mientras que R siempre puede conocerse. Como R AX b= −

~, entonces R mide hasta dónde la solución aproximada

~X satisface el sistema

AX b= . Observe que ~X es tal que AX R b

~= + , es decir,

~X es solución de una perturbación del

sistema AX b= . Nótese que R = 0 implica

~X X= , es decir, R = 0 implica E = 0 . Será que R "pequeña" implica

E también "pequeña", donde . es alguna norma vectorial?

Empecemos recordando qué es una norma vectorial y qué es una norma matricial.


Definición 3.2 Una norma vectorial en Rn es una función

. :

R Rn

X X

→

→

tal que para todo X Y n, ∈R y todo α ∈R : i) ,X X≥ =0 0 si y sólo si X = 0

ii) X α α= X iii) X Y X Y+ ≤ + . ∇

Ejemplo 3.2 Las siguientes son algunas normas vectoriales en Rn . Si Xx

xn

n=

∈1

M R , entonces

1) La norma euclidiana ( o norma 2) definida por

X xii

n

22

1

12

=

=∑

2) La norma suma ( o norma 1) definida por

X x ii

n

11

==∑

3) La norma del máximo (o norma ∞ ) definida por

i n

X Max x i∞ ≤ ≤=

1

Estas normas en Rn , inducen las siguientes nociones de distancia entre dos vectores X Y n, ∈R :

1) ( ) ( )d X Y Y x yi ii

n

X2 2

2

1

12

, = − = −

=∑ (distancia asociada con la norma euclidiana).

2) ( )d X Y X Y x yi ii

n

1 11

, = − = −=∑ (distancia asociada con la norma suma)

3) ( )d X Y Y Max yi i i n

X x ∞ ∞ ≤ ≤= − = −,

1 (distancia asociada con la norma del máximo). ♦

Definición 3.3 Una norma matricial en Rn n× es una función:


. :

R Rn n

A A

× →

→

tal que para todo A B n n, ∈ ×R y todo α ∈R : i) A A≥ =0 0, si y sólo si A = 0

ii) α α A = A iii) A B A B+ ≤ +

iv) AB A B≤ . ∇

Aunque hay diversas formas de construir normas matriciales, aquí solamente consideraremos las normas matriciales que serán obtenidas a partir de las normas vectoriales dadas en el ejemplo 3.2 según se indica en el siguiente teorema, teorema cuya demostración puede ser consultada en Kincaid 1972, páginas 163 y 164. Teorema 3.1 Sea . cualquier norma vectorial en Rn . Entonces la función . de R n n× en R ,

definida por

A AX

X A = ∈

≠×Max

Xn n

0, R (3.5)

es una norma matricial en Rn n× . ∇

La norma matricial dada por (3.5) se dirá la norma matricial inducida por la correspondiente norma vectorial . .

Note que (3.5) implica que

AX A X≤ (3.6)

para cada X n∈R y cada A n n∈ ×R , pues si X n∈R , X ≠ 0 , entonces

AX

X

AX

X A ≤ =

≠MaxX 0

Para X = 0 claramente se satisface (3.6). ∇ Nótese, además, que

A AX

X A

X AZ

Z = = =

≠ ≠ =Max Max

XMax

X X0 0 1

Las normas matriciales inducidas por las normas vectoriales .2 , .

1 y

.∞ son:


1) A AX

X 2

2 1 2=

=Max , difícil de calcular con la información que se conoce hasta aquí, pues

calcular esta norma es resolver un problema de máximo en varias variables. 2) A Max AX

X11 1 1

==

, fácil de calcular, ya que se puede demostrar que

1 j n

A Max ai ji

n

=≤ ≤

=∑1

1

3) A Max

X

AX ∞

∞ = ∞=

1, fácil de calcular, ya que como en el caso 2), se puede demostrar, véase

Burden 1985, páginas 453 y 454, que

i n

A Max ai jj

n

∞ ≤ ≤=

= ∑11

Debido a la facildad del cálculo de las normas . .

1 y

∞ , las usaremos en lo que sigue. Una distancia entre las matrices A n n, B ∈ ×R se puede definir como ( )d A B B , = − A , donde

. es cualquier norma matricial.

Definición 3.4 El radio espectral de una matriz A n n∈ ×R , ( )ρ A , se define como

( ) ρ λ λA Max= / es valor propio de A

Recuerde que si λ es un número complejo, digamos λ α β= + i con α β y en R , entonces

λ α β α β= + = +i 2 2 .

El siguiente teorema, cuya demostración puede ser consultada en Ortega 1990, páginas 21 y 22, relaciona el radio espectral de una matriz A con A

2 .

Teorema 3.2 Si A n n∈ ×R , entonces

i) ( )ρ A A AT =2

, y en consecuencia, si A es simétrica ( )ρ A = A . 2

ii) ( )ρ A A≤ para cualquier norma matricial inducida. ∇

Con respecto al ejemplo 3.1, tenemos:


Para el sistema (3.3), X12018

=−

es su solución exacta y si consideramos como una solución

aproximada a ~X1

108

=−

, que es la solución exacta del sistema perturbado (3.3'), entonces el

vector error de ~X1 con respecto a X1 , es

E X X1 1 11010

= − =−

~

y el vector error residual correspondiente a la solución aproximada ~

X1 , es

R

1 11 1

10 05 1010

82

212

20 5221

05

= − =

−

−

=

−

=

−

AX b

~. . .

Entonces

E1 110 10 20= − + = , R1 1

0 5 5= + − =. .

( ) ( )

,

,

E R

E Max R Max

1 22 2

1 22

1 1

10 10 14 14 5 5

10 10 10 0 5 5

= − + ≈ = − =

= − = = − =∞ ∞

. . .

. ., ,

así que un vector error residual "pequeño" (relativo al vector de términos independientes

b b b=

= ≈

221

23 210951 2

, , . , b ∞

= 21 ) corresponde a un vector error relativamente

"grande".

Para el sistema (3.4), X2100 0

=

..

es la solución exacta y si consideramos como una solución

aproximada a ~ ..

X23497

=

, que es la solución exacta del sistema perturbado (3.4'), entonces el

vector error de ~X 2 con respecto a X2 , es

E 2

3497

100

6697

=

−

=

−

.

...

.

y el vector error residual correspondiente a la solución aproximada ~X2 , es

R24 119 7

4 19 7

010

=

−

=

..

..

.

Como

E R E R E R2 2 2 2 2 2 2 2163 01 117 01 97 011 1 = = ≈ = = =∞ ∞. . . . . ., ; , ; ,


entonces, nuevamente, un vector error residual "pequeño" no corresponde a un vector error "pequeño". ♦ El ejemplo anterior pone de manifiesto que R "pequeño", no necesariamente implica que E

también sea "pequeño". Sin embargo, a partir del siguiente teorema podremos probar que,

satisfecha cierta condición, R

b "pequeño" implica

E

X también "pequeño".

Teorema 3.3 Sea A n n∈ ×R una matriz no-singular y X la solución exacta del sistema

AX b= ≠, b 0 . Si ~X es una solución aproximada del sistema AX b= , entonces para cualquier

norma matricial inducida se tiene que

R

b A A

E

XA A

R

b1

11

−−≤ ≤ (3.7)

Demostración: Como ( )R AX b AX AX A X X AE= − = − = − =~ ~ ~ , y A es invertible, entonces

E A R b AX X A b= = =− −1 1, , y aplicando la desigualdad (3.6), se obtiene

R A E es decir, R

A E y E A R ≤ ≤ ≤ −, , 1

de donde

R

AE A R ≤ ≤ −1 (3.8)

Aplicando la misma desigualdad (3.6), se tiene que

b A X es decir, b

A X y X A b ≤ ≤ ≤ −, , 1

de donde b

AX A b≤ ≤ − 1

o equivalentemente 1 1

1A b X

A

b−≤ ≤

(3.9)

Combinando (3.8) y (3.9), obtenemos las siguientes cotas para el error relativo,

E

X, en términos

del error residual relativo, R

b:

R

b A A

E

XA A

R

b1

11

−−≤ ≤ (3.10)


que era lo que quería demostrarse. ∇

De acuerdo con este teorema 3.3, si se satisface la condición A A− ≈1 1, entonces R

b y

E

X son más o menos del mismo tamaño. Así que si

R

bes "pequeño", también lo será

E

X, y

si R

b es "grande", también lo será

E

X; por lo tanto si A A − ≈1 1, podremos distinguir una

solución aproximada, ~X , buena de una mala observando el error residual relativo

R

b .

El número ( )Cond A A A= −1 se llamará NÚMERO DE CONDICIÓN o CONDICIONAL de la

matriz no-singular A, relativo a la norma matricial usada. Aunque el valor de ( )Cond A depende de

la norma matricial usada; sin embargo ( )Cond A ≥ 1, cualquiera sea la norma matricial inducida, pues

I AA I A An n= ≤− −1 1, y I Max IXX

MaxXXn

Xn

X= = =

≠ ≠0 01

De acuerdo con la relación (3.7), dada en el teorema 3.3, vemos que si ( )Cond A ≈ 1, entonces el

error relativo,

E

X, y el error residual relativo,

R

b, son más o menos del mismo tamaño y

podremos distinguir una solución aproximada "buena" de una "mala" observando el error residual relativo; pero entre más grande sea ( )Cond A , menor es la información que se puede obtener del error relativo, a partir del error residual relativo. De lo anterior se espera que A tenga un buen comportamiento, en el sentido de que un error residual relativo pequeño implique, correspondientemente, una buena solución aproximada de AX b= , si ( )Cond A ≈ 1, caso en el cual diremos que A está bien condicionada (el sistema

AX b= está bien condicionado). Si ( )Cond A >> 1 , es posible que A tenga un mal

comportamiento, en el sentido que un error residual relativo pequeño puede corresponder a una solución aproximada mala, y diremos que A está mal condicionada (el sistema AX b= está mal condicionado). A pesar de las definiciones anteriores, no debemos olvidar que lo que realmente nos interesa es poder determinar cuando una solución aproximada

~X de un sistema AX b= es "buena", y tratar de

distinguir si el sistema AX b= está bien o mal condicionado. Para la matriz

A =

1 110 05 10.

del ejemplo 3.1, tenemos

A − =−

−−

1 1

05

10 1

10 05 1. .


A Max Max∞ = + + = = 1 1 10 05 10 2 20 05 20 05, ,. . .

A−

∞∞

=−

−

= =1 1

0510 1

10 05 1105

1105 221. . .

.

luego

( ) ( )( )Cond A A A∞ ∞−

∞= = = >>

1 20 05 221 443105 1. .

Este número de condición nos dice que un error residual relativo R

b

∞

∞ pequeño, puede

corresponder a un error relativo

X

~X X −

∞

∞

muy grande, así que A puede considerarse mal

condicionada.

Veamos qué puede decirse, en este caso, de la calidad de la solución aproximada ~X1

108

=−

del

sistema

x + =+ =

yx y

210 05 10 21.

Para este ejemplo tenemos

( ) R

b y Cond

1 521

443105∞

∞∞= =

..A

así que la desigualdad (3.7) dada en el teorema 3.3, se convierte en

..

..5

211

443105443105

521

1 1

1≤

−≤∞

∞

~X X

X esto es,

...

...

5 37 10 105 561 1

1. .× ≤

−≤− ∞

∞

~X X

X

lo que indica que aunque el error residual relativo es pequeño, .521

, el número de condición es tan

grande (4431.05) que hace que la solución calculada pueda tener un error relativo de hasta 105.5..., así que nada puede decirse de la cercanía entre ~

.X1 1 y X ♦ Instrucciones en DERIVE: NORMA_INF(A): Simplifica en la norma del máximo de la matriz A, A ∞ .


COND_INF(A): Simplifica en el número de condición relativo a la norma del máximo de la matriz A, es decir, simplifica en el número ( )Cond A A A∞ ∞

−

∞= 1 . ◊

Existe otro número asociado con una matriz, al cual se le denomina también número de condición. A continuación nos referiremos a tal número: Del teorema 3.2 se sabe que ( )ρ A A≤ para toda norma matricial inducida, así que

( ) ( ) ( )Cond A A A A A= ≥− −1 1ρ ρ

pero como los valores propios de A −1 son los recíprocos de los valores propios de A, se tiene que

( ) ( )

( )( ) Cond

A

Max

MinCond A

A

A

≥ ≡∈

∈

∗λ σ

λ σ

λ

λ

con ( ) σ λ λA = ∈C / es valor propio de A : espectro de A. (Recuerde que

( ) ( ) ( )ρ λ

λλ σλ σ

A MaxMinA

A

−

∈ −∈

= =1

1

1

)

El número ( ) ( )

( )

Cond AMax

MinA

A

∗∈

∈

=λ σ

λ σ

λ

λ

se denomina número de condición espectral de A . Según se

acaba de probar ( ) ( )Cond A Cond A≥ ∗ .

Para la matriz A =

1 110 05 10.

, se tiene que

( )det A − =−

−= − −λ

λλ

λ λ I 1 110 05 10

11 052

..

así que los valores propios de A son λ 1 1100454358≈ . , λ 2

34 5435778 10≈ − × −. , y por tanto

( )Cond A∗ −≈×

≈ >>1100454358

4 5435778 102421999592 1

3

.

.. ♦

Dado un sistema AX b= , si δA y δb denotan perturbaciones en A y b, respectivamente, el siguiente teorema, cuya demostración puede ser consultada en Ortega, 1990, páginas 32 y 33,

establece una cota para el error relativo

~X X

X

− , en términos de las perturbaciones relativas

A

b

δ δA b , y ( )Cond A , donde X es la solución exacta de AX b= y

~X es la solución exacta del

sistema perturbado ( )A X b+ = +δ δ A b .


Teorema 3.4 Supóngase que A es no-singular y que δ AA

<−

11

(esta hipótesis asegura que

A A+ δ es invertible y que ( )1 0− >Cond AA

A

δ). Si ~

X es la solución exacta del sistema

perturbado ( )A A X b b+ = +δ δ , entonces ~X aproxima a la solución exacta X del sistema AX b= ,

b ≠ 0 , con la siguiente estimación de error

( )

( )

~X X

X

Cond A

Cond AA

A

b

b

A

A

−≤

−

+

1δ

δ δ (3.11)

∇

La desigualdad (3.11) dice que si la matriz A está bien condicionada, es decir, si ( )Cond A ≈ 1,

entonces cambios "pequeños" en A y b producen, correspondientemente, cambios "pequeños" en la solución del sistema (el sistema AX b= está bien condicionado). Por otro lado, si A está mal condicionada, entonces cambios "pequeños" en A y b pueden producir "grandes" cambios en la solución del sistema (el sistema AX b= está mal condicionado). Ejercicio 3.1 Estime la cota de error dada en el teorema 3.4 para los sistemas (3.4) y (3.4') del ejemplo 3.1. ♦ Ejercicio 3.2 a) Calcule ( )Cond A usando .

2 , .1 y .

∞ para las siguientes matrices:

1 2

10001 24 56 2182 79 138.. .. .

,

b) Qué puede decir del condicionamiento de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales?

i) 3 9 16 5 5

6 8 2 9 9 71 2

1 2

. . .

. . .

x x

x x

+ =

+ =

ii) 4 56 2 18 6 74

2 79 138 4 171 2

1 2

. . .

. . .

x x

x x

+ =

+ = ♦

ESTABILIDAD NUMÉRICA EN LA ELIMINACIÓN GAUSSIANA Volvamos al método de eliminación Gaussiana (simple) y consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 3.3 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando eliminación Gaussiana con sustitución regresiva y aritmética (decimal) con redondeo a tres dígitos:

E x x

E x x1 1 2

2 1 2

03 58 9 59 2

5 31 6 10 47 0

:

:

. . .

. . .

+ =

− =

Usando eliminación Gaussiana, obtenemos


( )( )

b:

:

:

:

,A

E mM =

−

→

− −

=. . .

. . .

. . ..

.03 58 9 59 2

5 31 6 10 47 0

03 58 9 59 2

0 10400 10500

21 215 3103

177

y por sustitución regresiva

~x2

1050010400

101=−−

= .

~( )

x159 2 58 9 101

0359 2 59 5

033

0310 0=

−=

−=

−= −

. . ..

. ..

..

.

luego la solución calculada es ~~

~Xx

x=

=

−

1

2

10 0101

..

.

Instrucción en DERIVE: PIVOT(A, i, ,j): Usa operaciones elemetales de fila para Simplificar (o aproXimar) en una matriz, obtenida de la matriz A, que tiene ceros en la columna j y por debajo de la fila i. ◊ Qué puede decir de la calidad de la solución aproximada ~

X ?

Para intentar responder esta pregunta encontremos las cotas para el error relativo

~X X

X

−,

dadas por el teorema 3.3.

Como A =−

. .. .03 58 9

5 31 6 10

, entonces usando aritmética con redondeo a tres dígitos para todos los

cálculos se obtienen las siguientes aproximaciones:

A − =−

− −−

1 1

313

6 10 58 95 31 03. .. .

A Max

,

∞= =58 9 114 58 9. ..

A Max−

∞= = =1 1

31365 0 5 34

1313

65 0 208

. . . .,

entonces ( ) ( )( )Cond A A A

∞ ∞−

∞= = =1 58 9 208 12 3. . . , que no es muy grande comparado

con uno, así que la matriz A puede considerarse bien condicionada. (Por ciertas consideraciones teóricas sobre el número de condición de una matriz A, las cuales pueden ser consultadas en Burden, 1985, páginas 481 y 482, cuando se trabaja en aritmética finita (decimal) con redondeo a t-dígitos y ( )Cond A t≥ 10 se espera un mal comportamiento de A con

respecto a la solución de AX b= y A se considera mal condicionada. En este ejemplo

( )Cond A = <12 3 103. ). Ahora,


Estas operaciones se realizan en doble precisión (6 dígitos)

AX b~

− =−

−

−

=−

−

=

−

−

. .

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

03 58 9

5 31 610

10 0

101

59 2

47 0

59 189

59 261

59 2

47 0

011

106 261

1 2444444 3444444

(Para evitar la pérdida de cifras significativas, se debe calcular el vector error residual, R AX b= −

~,

en doble precisión). Convirtiendo este último resultado a tres dígitos usando redondeo, se obtiene

R =−−

.011

106

Entonces R y b

∞ ∞= =106 59 2. y por tanto

( ) ( ) R

b ...

X X

X ...

R

b

∞

∞ ∞∞

∞

∞

= = ≤−

≤ = =1 10659 2

112 3

145 22 02 12 3 10659 2Cond A

Cond A. .

. . .

~

.

pero como ( )Cond A∞ ≈ 1, entonces se espera que R

b y

X X

X

∞

∞

∞

∞

−~

sean más o menos del

mismo tamaño, y ya que R

b

∞

∞

es grande, se espera que

X

~X X −

∞

∞

sea también grande. ♦

En situaciones como la observada en este ejemplo, se sugiere hacer un refinamiento iterativo sobre la solución calculada ~X o usar esta solución calculada como aproximación inicial en un método iterativo, con el propósito de tratar de mejorar la solución aproximada y lograr que el error residual relativo sea más pequeño. El método de refinamiento iterativo puede ser consultado en Kincaid, 1972, páginas 174-176.

La solución exacta del sistema en consideración es Xxx

=

=

1

2

101

. A qué se debe la diferencia

entre la solución exacta y la solución calculada? Observe que el error en el cálculo de ~x2 con respecto a x2 fue de sólo .01 (un error relativo de

1%) y este error fue multiplicado por un factor de aproximadamente −2000 al obtener ~x1 , debido

al orden en que se realizó la eliminación Gaussiana. Instrucción en DERIVE: RESUELVA_1(A,b): Simplifica en la solución exacta X del sistema AX b= . El vector b se entra como un vector fila. ◊ En el ejemplo anterior la eliminación Gaussiana condujo a una respuesta defectuosa de un sistema de ecuaciones lineales bien condicionado. Esto muestra la inestabilidad numérica del algoritmo de eliminación Gaussiana (consecuencia de la división por un número (pivote) pequeño). Hay, sin


embargo, situaciones en las cuales el algoritmo de eliminación Gaussiana es numéricamente estable. El siguiente teorema cuya demostración puede consultarse en Burden, 1985, páginas 366 y 367, se refiere a una de tales situaciones: Teorema 3.5 Si ( )A a i j n n

=×

es una matriz estrictamente dominante diagonalmente (E.D.D.) por

filas, es decir, si

a a para cada ii i i jjj i

n

n > ==≠

∑1

12, ,...,

entonces A es invertible (no-singular). Además, se puede realizar eliminación Gaussiana sin intercambio de filas en cualquier sistema AX b= para obtener su única solución, y los cálculos son estables con respecto al crecimiento de los errores de redondeo. ∇ Nótese que como consecuencia del teorema anterior se tiene que: Si ( )A a i j n n

=×

es E.D.D. por

filas, entonces A tiene factorización LU , es decir, A LU= , con L triangular inferior con unos en su diagonal principal y U triangular superior (escalonada). Observe que la matriz de coeficientes del ejemplo 3.3 anterior, no es E.D.D. por filas. El teorema 3.5 también es válido para matrices reales, simétricas y definidas positivas (véase Burden, 1985, página 368). Una matriz A n n∈ ×R , simétrica, se dice definida positiva si satisface

una cualquiera de las siguientes condiciones (las cuales son equivalentes): i) X AXT > 0 para todo X Xn∈ ≠R , 0 . ii) Todos los valores propios de A son positivos. iii) Todos los pivotes obtenidos en la eliminación Gaussiana sobre A, sin intercambio de filas, son

positivos. iv) Todas las submatrices principales de A tienen determinante positivo.

(Las submatrices principales de la matriz ( )A a i j n n=

× son las matrices

Aa a

a a

n k

k

k kk

=

=11 1

1

12L

M M M

L

, k , ,..., )

∇ Nótese nuevamente que: Si A n n∈ ×R es simétrica y definida positiva, entonces A tiene

factorización A LU= , con L triangular inferior con sus componentes sobre la diagonal principal iguales a uno y U triangular superior (ver más adelante factorización de Choleski). Observe que la matriz de coeficientes del ejemplo 3.3 anterior, no es simétrica. 3.4 ESTRATEGIAS DE PIVOTEO


El ejemplo 3.3 anterior, muestra una de las dificultades que pueden surgir al aplicar el método de

eliminación Gaussiana cuando el pivote ( )a j jj−1 es "pequeño" comparado con algunos elementos

( )ai tj−1 para j i t n ≤ ≤, .

Para tratar de evitar tales dificultades, se introduce en el método de eliminación Gaussiana una estrategia llamada de pivoteo, la cual consiste en seleccionar el pivote de acuerdo con un cierto criterio. Nosotros usaremos dos estrategias: la estrategia de pivoteo máximo por columna o pivoteo parcial y la estrategia de pivoteo escalado de fila o escalamiento. 3.4.1 Pivoteo máximo por columna o pivoteo parcial: Esta estrategia difiere de eliminación

Gaussiana simple, únicamente en la escogencia del pivote ( )a j jj−1 , la cual se hace ahora, así:

Para j n= −12 1, ,..., , se determina el menor entero k k n, j ≤ ≤ , tal que

( ) ( ) ( ) a y a a j 1 j 1

i n

j 1k j k j

j i jMax− −

≤ ≤

−≠ =0

es decir, seleccionamos el primer elemento diferente de cero sobre la columna j-ésima a partir de

la j-ésima fila y que tenga mayor valor absoluto (para j = 1, ( ) ( )a a ak j k kj 1− = ≡1

01 ).

Si tal k no existe, el sistema no tiene solución única y el proceso se puede terminar. Si tal k existe y k j≠ , entonces hacemos intercambio de las ecuaciones j-ésima y k-ésima:

( ) ( )E Ejj

kj− −↔1 1

y continuamos con la eliminación Gaussiana. ∇ Ilustremos esta estrategia para resolver el sistema

E x x

E x x1 1 2

2 1 2

03 58 9 59 2

5 31 6 10 47 0

:

:

. . .

. . .

+ =− =

que es el mismo del ejemplo 3.3, usando aritmética con redondeo a tres dígitos. Como para j = 1, se tiene que

Max a a Max a11 21 2103 5 31 5 31 0, ,= = = ≠. . .

entonces k j= ≠ =2 1 , así que intercambiamos E E1 2y y continuamos con la eliminación

( )A b:

:

:

:M =

−

→

−

. . .

. . .

. . .

. . .

03 58 9 59 2

5 31 610 47 0

5 31 6 10 47 0

03 58 9 59 212P

( )E m21 21

3035 31

5 65 10 5 31 610 47 00 58 9 58 9

..

. . . .. .

= × −

→−

,

::


Por sustitución regresiva, obtenemos

~x258 958 9

100= =..

. , ( )~ ..

.x1 =+

= =47 0 610 100

5 315315 31

10 0. . .

.

Observe que en este caso ~ ~~Xxx

1

2=

es la solución exacta del sistema dado. ♦

Instrucción en DERIVE: SWAP(A, i, j): Intercambia las filas (o elementos) i y j de la matriz A (de un vector). ◊ Nota: En el procedimiento de pivoteo máximo por columna (pivoteo parcial) cada multiplicador mi j es tal que

( )

( )m

ai j

i jj

= ≤

−

−

1

1a

j jj 1

y aunque esta estrategia permite resolver satisfactoriamente muchos sistemas de ecuaciones lineales, hay casos donde fracasa, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.4 Consideremos el sistema

E x x

E x x1 1 2

2 1 2

30 0 58900 59200

5 31 6 10 47 0

:

:

.

. . .

+ =

− =

el cual es un sistema equivalente al del ejemplo 3.3 (los coeficientes de la primera ecuación en el sistema del ejemplo 3.3, han sido multiplicados por 103 ). El pivoteo máximo por columna con aritmética de redondeo a tres dígitos, nos lleva a los siguientes resultados:

( )( )

A b::

::

,M =

−

→

− −

=30 0 58900 59200

5 31 6 10 47 030 0 58900 59200

0 10400 10500

21 215 3130 0

177.. . .

...

.E m

y por sustitución regresiva ~ .x2 101= y ~ .x1 10 0= − , que es la misma solución que se obtiene si usamos eliminación Gaussiana simple. En casos como el de este ejemplo, donde un pivote es mucho más "pequeño" que alguno de los coeficientes de la ecuación que él encabeza, se recomienda la técnica conocida como pivoteo escalado de fila o escalamiento, la cual es nuestra segunda estrategia. 3.4.2 Pivoteo escalado de fila: Esta técnica sólo difiere de la eliminación Gaussiana simple, al igual que el pivoteo parcial, en la escogencia del pivote.

Esta vez el pivote ( )a j jj−1 se escoge como se indica a continuación:

Para j = −1,2,...,n 1, hacemos lo siguiente: a) Para i j, j 1,...,n= + , calculamos


( ) S a : Factor de escala

l ni

j i lj

Max=≤ ≤

−1

Si Si = 0 , entonces el sistema no tiene solución única y el proceso se puede terminar.

b) Para i j, j 1,...,n= + , calculamos

( )

a

S

i jj

i

−1

c) Encontramos el menor entero k con j k n≤ ≤ tal que

( )( ) ( )

a 0 y i nk j

j k jj

k j

i jj

i

a

SMax

a

S−

−

≤ ≤

−

≠ =1

1 1

Si tal k no existe, entonces el sistema no tiene solución única y el proceso se puede terminar.

Si tal k existe y k j≠ , entonces hacemos intercambio de las ecuaciones j-ésima y k-ésima:

( ) ( )E Ejj

kj− −↔1 1

y continuamos con la eliminación Gaussiana. ∇

Apliquemos esta estrategia para resolver el sistema del ejemplo 3.4, usando aritmética con redondeo a tres dígitos. Para j = 1: a) S Max Max1 11 12 30 0 58900 58900 0= = = ≠ a , a , , y.

S Max Max2 21 22 5 31 6 10 610 0= = = ≠ a , a , . . .

b) Ahora,

a

S11

1

30 058900

=. , y

a

S21

2

5 31610

=..

c) Maxa

S

a

SMax

a

S11

1

21

2

21

2

30 058900

5 316 0

5 316 0

0, ,

=

= = ≠. .

...

, así que k j= ≠ =2 1 y por tanto

intercambiamos las ecuaciones E1 2 y E y continuamos con la eliminación Gaussiana:

( )A b:

:

: .

:M =

−

→

−

30 0 58900 59200

5 31 6 10 47 0

5 31 6 10 47 0

30 0 58900 5920012

.

. . .

. .

.P


( )E m21 2130 05 31

5 65 5 31 610 47 00 58900 58900

..

. . . .

=

→−

,

::

Por sustitución regresiva

~ .x2 100= , ( )~ . . .

..

..x1

47 0 6 10 100

5 3153 15 31

10 0=+

= =

Observe que en este caso ~ ~

~Xxx

1

2=

=

10 0100

..

es la solución exacta del sistema. ♦

3.5 FACTORIZACIÓN TRIANGULAR Consideremos un sistema AX b= , con A no-singular y b ≠ 0 . Con respecto a la matriz A, se sabe que existen matrices P de permutación, L triangular inferior con sus componentes sobre la diagonal principal iguales a uno y U triangular superior (escalonada) tales que PA LU= . Una forma eficiente computacionalmente de encontrar P, L y U, usando eliminación Gaussiana, se muestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 3.5 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando eliminación Gaussiana con pivoteo parcial y obtenga una factorización PA LU= para la matriz A de coeficientes, asociada con este método:

− + − = −

− − = −

+ =

x x x

x x x

x

1 2 3

1 2 3

1 2

2 3 2

3 3 4

3

x

Empezamos introduciendo un vector ( )p p p p T= 1 2 3, , el cual inicializamos con p i ii = =, , ,12 3 y donde se almacenarán los intercambios necesarios en el proceso de eliminación Gaussiana con pivoteo parcial (el número de componentes del vector p coincide con el orden n del sistema a resolver):

( ) ( ) ( )p A bT Max

T

= =− − −

− − −

→− − −

− − −

= =12 31 2 3 23 3 1 41 1 0 3

3 3 1 41 2 3 21 1 0 3

13 1 3 2 1 3, , ,:::

:::

, , , , ,

pM

m m

E

21 31

21 31

13

13

13

13

3 3 1

13

1103

103

13

213

133

= −

=

−

→

− − −

−

− −

,

, E

: 4

:

:

(Observe que cada multiplicador mi j es almacenado en la posición correspondiente ( )i j, en la matriz de trabajo)


( )MaxT

12 2 2 3 1

3 3 1 4

13

213

133

13

1103

103

, , p , ,

:

:

:

= = →

− − −

−

− −

(Observe que la permutación se hace para las filas 2 y 3 completas, es decir, incluyendo los multiplicadores)

E

m

32

32

12

12

3 3 1 4

13

213

133

13

12

72

112

=

→

− − −

−

− −

:

:

:

La eficiencia en el método indicado se debe a que en la misma matriz de trabajo se almacenan los multiplicadores que van a conformar la matriz L (en el ejemplo son los números que se encuentran dentro de paréntesis), lo que significa un ahorro de memoria, y como los intercambios necesarios afectan simultáneamente a las matrices L y U, se evita tener que volver a la matriz original a realizar los intercambios ya observados y repetir la eliminación Gaussiana con pivoteo parcial. De esta manera, al terminar el proceso de eliminación podemos leer en la matriz final la parte estrictamente triangular inferior de L (son los números entre paréntesis) y la matriz triangular superior U (que es la parte triangular superior de la matriz final), y en el vector p final quedan almacenados los intercambios realizados que se usan para producir la matriz de permutación P. Para el ejemplo 3.5,

L =

−

1 0 013

1 0

13

12

1

, U =

− −

−

3 3 1

0 213

0 072

, y como ( )p PT

=

=2 310 1 00 0 11 0 0

, , entonces ,

(Verifique que PA LU= ) . Para obtener la solución del sistema original, usamos sustitución regresiva en el sistema reducido

UX

c

=−

−

4133112

124 34

y obtenemos

x3 2117

4021

= =, x y x12321

=


así que la solución (exacta) del sistema dado es XT

=

2321

4021

117

, , .

Cómo se resuelve el sistema AX b= a partir de la factorización PA LU= obtenida? ♦ 3.5.1 Algunas aplicaciones de la factorización PA LU= : La factorización PA LU= es utilizada eficientemente en aquellos casos donde se trabaja repetídamente con la misma matriz A. Dos de esos casos se presentan a continuación. 1) Resolver varios sistemas AX b= con la misma matriz de coeficientes A, ya que en P, L y U está

almacenado todo el proceso de eliminación Gaussiana. El algoritmo se basa en la siguiente equivalencia

AX b PAX Pb= ⇔ = ⇔ =LUX Pb ⇔ = −UX L Pb1 ⇔ =UX c y c L Pb= −1 ⇔ =UX c y Lc Pb= ⇔ = =Lc Pb y UX c

Los pasos a seguir son:

Paso 1. Calcular Pb . Paso 2. Resolver, para c, Lc Pb= por sustitución progresiva. Paso 3. Resolver, para X, UX c= por sustitución regresiva.

Como ejercicio, resuelva el sistema del ejemplo anterior, usando este algoritmo. 2) Encontrar la matriz inversa A −1 de una matriz invertible A, resolviendo los n-sistemas

( )AX e j nj= =, , ,...,12

donde ( ) ( )e j T n= ∈0,...,0,1,0,...,0 R .

↑ posición j

La solución X del sistema ( )AX e j nj= =, ,2,...,1 , produce la correspondiente columna j-ésima

de la matriz A −1 . Como ejercicio, compare el número de operaciones para encontrar A −1 usando el método de Gauss-Jordan, con el número de operaciones resolviendo los n-sistemas indicados antes. ∇ Ejercicio 3.3 Calcule la inversa de la matriz A de coeficientes del sistema del ejemplo 3.5, usando el método de Gauss-Jordan y también usando la factorización PA LU= . ♦ 3.6 SISTEMAS TRIDIAGONALES Un caso muy importante de sistemas de ecuaciones lineales, que requiere un tratamiento especial, es el de los sistemas tridiagonales. Tales sistemas aparecen en diversas aplicaciones, como por ejemplo al utilizar métodos de diferencias finitas en la solución de problemas con valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias y, como veremos más adelante, en el problema de la interpolación segmentaria cúbica.


Un sistema tridiagonal es de la forma

d x c x b

a x d x c x b

x d x c x b

x d x c x b

x d x bn n n n n n n

n n n n n

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2 3 2

3 2 3 3 3 4 3

1 2 1 1 1 1

1

+ =

+ + =

+ + =

+ + =

+ =

− − − − − −

−

a

a

a

M

La matriz de coeficientes del sistema es

A

d ca d c

a d c

a d c

a dn n n

n n

=

− − −

1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

0 0 00

0

0 0

L

M M

L

la cual se dice una matriz TRIDIAGONAL (caso especial de las llamadas matrices banda). En general, una matriz ( )A a i j n n

=×

se dice TRIDIAGONAL si a 0i j = para i j− > 1 ,

i, j 1,2,...,n.= Suponiendo que la matriz A de coeficientes del sistema tridiagonal es E.D.D. por filas, podemos usar eliminación Gaussiana simple para resolver el sistema (recuerde que la eliminación Gaussiana simple es adecuada para resolver sistemas con matriz de coeficientes E.D.D. por filas). Otra forma de resolver un sistema tridiagonal con matriz de coeficientes A E.D.D. por filas es a partir de la factorización directa A LU= (encontrando directamente las componentes de las matrices L y U, es decir, sin usar eliminación Gaussiana), donde L es triangular inferior con todos sus elementos diagonales iguales a uno y U es triangular superior. Para encontrar tales matrices L y U, partimos de que ellas deben ser de la forma

L

n

n

=

−

1 0 0 0 01 0 0 0

0 1 0 0

0 1 0

0 0 1

2

3

1

LL

LM O

L

γ

γ

γ

γ

, U

cc

c

cn n

n

=

− −

αα

α

α

α

1 1

2 2

3 3

1 1

0 0 00 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

LL

LM O

L

Como


LU =

+

+

+

+

− − − − − −

− −

αγ α γ α

γ α γ α

γ α γ α

γ α γ α

1 1

2 1 2 1 2 2

3 2 3 2 3 3

1 2 1 2 1 1

1 1

0 0 00 0

0 0

0

0 0

cc c

c c

c c

cn n n n n n

n n n n n

L

M M

L

=

d ca d c

a d c

a d ca d

A

n n n

n n

1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

O O O

− − −

=

igualando componente a componente las matrices LU y A, se tiene que

α

γ α

γ α

1 1

1

1

2

=

= =

+ = =

−

−

d

a i n

c d

i i i

i i i i

, ,3,...,

, i 2,3,...,n

y resolviendo para γ αi i y , obtenemos

para i 2,3,...,n

α

γα

α γ

1 1

1

1

=

=

= −

=−

−

d

a

d c

ii

i

i i i i

( α i ≠ 0 , porque en U todos los elementos diagonales son distintos de cero). Así que un algoritmo para determinar L y U, en el caso que nos ocupa es el siguiente: Paso 1: Haga α1 1= d . Paso 2: Para i n= 23, ,..., , haga

γα

α γ

ii

i

i i i i

a

d c

=

= −−

−

1

1


Una vez encontradas L y U se resuelve el sistema AX b= , resolviendo para c, Lc b= y luego resolviendo para X, UX c= . ∇ Ejemplo 3.6 Resolver el siguiente sistema tridiagonal usando aritmética (decimal) con redondeo a tres dígitos y la factorización A LU= .

x

x

. . .

. . . .

. . .

.

5 25 35

35 8 4 77

25 5 5

2 2 25

1 2

1 2 3

2 3 4

3 4

x x

x x

x x x

x

+ =

+ + =

+ + = −

− = −

Es claro que el sistema es tridiagonal E.D.D. por filas (ya que . . . .5 25 8 75> > , , 1 75 2 1> >. , ) . A partir del sistema dado se tiene que

d

c

a

1 2 3 4

1 2 3

2 3 4

5 8 10 2 0

25 4 5

35 25 10

= = = = −

= = =

= = =

, d , d , d

, c , c

, a , a

. . . .

. . .

. . . y las matrices L y U son de la forma

L =

=

1 0 0 01 0 0

0 1 0

0 0 1

25 0 00 4 0

0 0 5

0 0 0

2

3

4

1

2

3

4

γγ

γ

αα

αα

, U

..

.

Usando el algoritmo ya descrito, se obtiene

( )( )

( )( )

( )( )

α

γ

α

γ

α

γ

α

1

2

2

3

3

4

4

5355

7

8 7 25 625

25625

4

10 4 4 84

1084

119

2 0 119 5 2 60

=

= =

= − =

= =

= − =

= =

= − − = −

...

.

. . . .

..

.

. . . .

..

.

. . . . Luego

L =

1 0 0 0

7 1 0 00 4 1 0

0 0 119 1

..

.

y U =

−

. .

. .. .

.

5 25 0 0

0 625 4 00 0 84 5

0 0 0 2 60 Ahora, resolvemos el sistema


Lc = ⇔

=−

−

b

cc

cc

1 0 0 0

7 1 0 00 4 1 00 0 119 1

35

775

2 25

1

2

3

4

..

.

.

...

por sustitución progresiva, y se obtiene

c1 2 3 435 525 71 141= = = − = − , c , c , c. . . .

Enseguida resolvemos el sitema

UX = ⇔

−

=−−

c

xxx

x

. .. .

. ..

..

..

5 25 0 00 625 4 0

0 0 84 50 0 0 2 60

35525

71141

1

2

3

4

por sustitución regresiva, y obtenemos

x4 3 2 1542 117 159 096= = − = = − , x , x , x. . . .

Luego la solución (aproximada) obtenida para el sistema dado, es ( )~ , , ,X T= − −. . . .096 159 117 542 .


3.7 FACTORIZACÍON DE CHOLESKI Se puede probar (véase Kincaid 1972, página 133) que si A es una matriz real, simétrica y definida positiva, entonces A tiene una única factorización de la forma A LLT= en la cual L es una matriz triangular inferior con sus elementos en la diagonal principal todos positivos (no necesariamente con unos en su diagonal principal). Esta factorización se conoce como factorización de Choleski (recuerde que si A es definida positiva, entonces se puede realizar eliminación Gaussiana sobre A sin intercambio de filas y todos los pivotes que resultan son positivos). Se puede demostrar que si A n n∈ ×R y tiene factorización de Choleski, entonces A es definida positiva (ejercicio!). Para ilustrar cómo se obtiene la factorización directa de Choleski, es decir, sin usar eliminación Gaussiana, supongamos que la matriz A es de orden 4. Entonces

ca)

ll l

l l l

l l l l

L

l l l ll l l

l l

l

L

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

A (simétriT

11

21 22

31 32 33

41 42 43 44

11 21 31 41

22 32 42

33 43

44

11 21 31 41

21 22 32 42

31 32 33 43

41 42 43 44

0 0 00 0

0

0

0 0

0 0 0

=

1 2444 3444 1 2444 3444 1 24444 34444

Como l l a1111 11= , entonces escogemos l a11 11= , lo que requiere que a11 0> .

l l a2111 21= , entonces lal21

21

1111 0= ≠, l .

l l a212

222

22+ = , escogemos l a l22 22 212= − . Observe que a22 debe ser mayor o igual que cero.

l l a3111 31= , luego lal31

31

11= .

l l l l a31 21 32 22 32+ = , luego la l l

ll32

32 31 21

2222 0=

−≠, , así que a l22 21

2 0> ≥ , esto es a22 0> .

l l l a312

322

332

33+ + = , escogemos ( )l a l l33 33 312

322= − + , a33 0≥ .

En general, para encontrar la fila i de L, ( )i ≥ 3 , asumiendo que ya se conocen las primeras i −1

filas de L, procedemos así:

De l l ai i 111 1= , obtenemos lali

i 1

1

11

= .

l l l l ai i i 1 21 2 22 2+ = , así que la l l

li i i

22 1 21

22=

−.

l l l l l l ai i i i 1 31 2 32 3 33 3+ + = , así que


( )l

a l l l l

li i i i

33 1 31 2 32

33=

− +, l33 0≠ , ( )a l l33 31

2322 0> + ≥ , así que a33 0> .

(Fila i-ésima de L) × (Columna j-ésima de LT ), j < i: l l l l l l ai j i j i j j j i j1 1 2 2+ + + =... , entonces para cada i n= 3,..., :

l , j 2,...,i i j

i j i k j kk

j

j j

a l l

l=

−

= −=

−

∑1

1

1

(Fila i-ésima de L)×(Columna i-ésima de LT ): l l l ai i i i i i12

22 2+ + + =... , escogemos

l i i i i i kk

i

a l= −=

−

∑ 2

1

1

Algoritmo 3.3 (Factorización directa de Choleski) Para factorizar una matriz ( )A a i j n n

=×

real,

simétrica y definida positiva en la forma A LLT= , donde L es triangular inferior. Entrada: La dimensión n de la matriz A, los elementos a i j ni j, , 1≤ ≤ (basta almacenar la parte

triangular inferior de A, por ser A simétrica). Salida: Los elementos l i n j ii j, ,1 1≤ ≤ ≤ ≤ de la matriz L.

Paso 1: Tomar l a11 11= .

Paso 2: Para i 2,...,n= , tomar lali

i 1

1

11= (primera columna de L).

Paso 3: Tomar l a l22 22 212= − .

Paso 4: Para i 3,...,n= , seguir los pasos 5 y 6:

Paso 5: Para j 2,...,i 1= − , tomar

l

a l l

li j

i j i k j kk

j

j j=

−

=

−

∑1

1

Paso 6: Tome l a li i i i i kk

i

= −

=

−

∑ 2

1

112

.


Paso 7: Salida: "Las componentes li j de la matriz L para i = =1,2,...,n, j 1,2,...,i ".

Terminar. Ejemplo 3.7 Diga si la siguiente matriz es simétrica y definida positiva, y si lo es, encuentre la factorización directa de Choleski:

A =−

− −−

2 1 01 2 10 1 2

Es claro que la matriz A es simétrica, ya que A AT = . Para ver si la matriz A es definida positiva, realicemos eliminación Gaussiana sobre la matriz A:

A

=−

− −

−

→

−

−

−

→

−

−

−

−

2 1 01 2 1

0 1 2

2 1 0

032

1

0 1 2

2 1 0

032

1

0 043

21 321

223

E E

Como no hubo necesidad de intercambio de filas y todos los pivotes, 2, 32

, 43

, resultaron

positivos, la matriz dada es definida positiva y por lo tanto tiene factorización de Choleski.

Sea Lll ll l l

=

11

21 22

31 32 33

0 00 tal que LL AT = , entonces

ll ll l l

l l ll l

l

11

21 22

31 32 33

11 21 31

22 32

33

0 00 0

0 0

2 1 01 2 10 1 2

=−

− −−

De acuerdo con el algoritmo 3.3, empezamos calculando l11. l112 2= , entonces l11 2= .

l l2111 1= − , entonces ll2111

1 1

2

22

= − = − = − .

l l3111 0= , entonces l31 0= .

l l212

222 2+ = , entonces l l22 21

22 212

32

3

2

62

= − = − = = = .

l l l l31 21 32 22 1+ = − , entonces ( )( )

ll l

l3231 21

22

1 1 0 1

62

2

6

2 66

63

=− −

=− − −

= − = − = − .

l l l312

322

332 2+ + = , entonces


( )l l l33 312

3222= − + = − = − = = =2

69

223

43

2

3

2 33

Así que

L = −

−

2 0 02

26

20

06

32 3

3

es tal que LL AT = . ♦ Ejercicio 3.4 Encuentre, si es posible, la factorización directa de Choleski para la siguiente matriz

A =−

−

4 1 1 1

1 3 1 11 1 2 01 1 0 2

♦

3.8 MÉTODOS ITERATIVOS Como ya se mencionó al comienzo de este capítulo, en los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se parte de una aproximación inicial a la solución, la cual se va "mejorando" sucesivamente aplicando cierto algoritmo. Un método iterativo puede ser convergente o divergente, y aunque el método iterativo converja, en general, sólo podemos esperar la obtención de una solución aproximada, por efecto de los errores de truncamiento y/o redondeo. Entre las ventajas de los métodos iterativos, comparados con los directos, están la simplicidad y uniformidad de las operaciones que se realizan, ya que se usa repetídamente un proceso sencillo; y su relativa insensibilidad al crecimiento de los errores de redondeo, es decir, usualmente los métodos iterativos son estables. Las matrices asociadas con los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en densas y esparcidas. Las matrices densas tienen pocos elementos nulos y su orden es relativamente pequeño ( )≤ 100 ; para sistemas con matrices densas se recomienda usar métodos directos. Las

matrices esparcidas tienen pocos elementos no nulos y surgen, por ejemplo, al resolver ecuaciones diferenciales por métodos de diferencias finitas; su orden puede ser muy grande. Los métodos iterativos son recomendados para resolver sistemas con matrices esparcidas. Los métodos iterativos que estudiaremos son generalizaciones del método de iteración de punto fijo: Dado un sistema AX b= , o equivalentemente,

( )AX b

F X

− =123 0 , donde A no-singular y b ≠ 0 , lo

transformamos en un sistema equivalente ( )

X BX cG X

= +123 para alguna matriz B y algún vector c.

Se construye entonces la sucesión de vectores ( ) X k

k a partir de la fórmula de iteración


( ) ( ) X , k 1,2,... k kBX c= + =−1

y se espera que ( ) X k

k "converja" a la única solución X del sistema AX b= ( )⇔ = +X BX c ,

donde la convergencia se entiende en el siguiente sentido.

Definición 3.5 Sea . una norma vectorial en Rn . Decimos que la sucesión ( ) X k

k de

vectores de Rn converge al vector X n∈R , según la norma vectorial . dada, si ( )lim X

k

k

→∞− = X .0 ∇

Recuerde que ( )lim Xk

k

→∞− = X 0 significa que, dado ε > 0 , existe N ∈ =N 0,1,2,... tal que si

k N≥ , entonces ( ) X .− <X k ε Puede probarse que si una sucesión ( ) X k

k de vectores de Rn

converge al vector X n∈R según una norma vectorial . dada, entonces también converge al

vector X según cualquier norma vectorial en Rn , por tal razón diremos simplemente que ( ) X k

k

converge al vector X en lugar de ( ) X k

k converge al vector X según la norma . dada.

Digamos que ( ) X k

k converge al vector X . Si usamos la norma vectorial .

∞, entonces

( )lim Xk

k

→∞ ∞− = X ,

0 y si ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X x x x x x xi n

T k kik

nk

T= =

1 1,... ,..., ,... ,..., y X , esto último significa

que: dado ε > 0 , existe N∈N tal que si k N≥ , entonces ( )x xi ik− < ε para todo i 1,2,...,n= (ya

que ( ) ( ) X x ) . i n

− = −∞ ≤ ≤

X Max xki i

k

1

Un primer método construido siguiendo la idea anterior es el siguiente: 3.8.1 Método iterativo de Jacobi o de desplazamientos simultáneos: Dado un sistema lineal de ecuaciones

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

x a x a x a x b

a x a x a x a x b

i i n n

i i n n

i i i i i i n n i

n n n i i n n n n

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

+ + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + =

... ...

... ...

a ... ...

... ...

M

M

Si ai i ≠ 0 para todo i n= 12, ,..., , entonces despejando xi de la i-ésima ecuación, obtenemos el sistema equivalente


xa

aba

nii j

i ijj i

n

ji

i i= −

+ =

=≠

∑1

12 x , i , ,...,

Si ( )B bi j n n=

× con

b

a

aj

i j

i j

i i

=

− ≠

==

, i

i, j ,2,...,n 0, i j

1

y ( )c c c cnT= 1 2, ,..., con c

bai

i

i i= =, i 1,2,...,n , entonces el sistema AX b= dado es equivalente al

sistema X BX c= + . Así que la sucesión ( ) X k

k de vectores, correspondiente a este método, se

genera a partir de la fórmula de iteración

( ) ( )X BX ck k= + =−1 , k 1,2,...

donde, conocido ( ) ( ) ( ) ( )X x x xk kik

nk

T− − − −=

11

1 1 1,..., ,..., , se calcula la aproximación siguiente

( ) ( ) ( ) ( )X x x xk kik

nk

T=

1 ,..., ,..., , mediante la fórmula

( )

( )

x , i 1,2,...,n ik

i i j jk

jj i

n

i i

b a x

a=

−

=

−

=≠

∑ 1

1

(3.12)

que es llamada fórmula (escalar) de iteración del método de Jacobi. Escogida alguna norma vectorial (por ejemplo . ∞ ), alguna tolerancia ε > 0 y un número

máximo de iteraciones N, se termina el proceso iterativo, indicado en la fórmula (3.12), cuando se satisfaga alguno de los siguientes criterios de aproximación:

i) ( )R k < ε , siendo ( ) ( )R AX bk k= − ,

ii) ( ) ( )X Xk k− <−1 ε ,

iii)

( ) ( )

( )

X

X k

k kX−<

−1

ε

o en su defecto, cuando se alcance el número máximo de iteraciones N .


Algoritmo 3.4 (Método de Jacobi) Para encontrar una solución aproximada

~X de un sistema

AX b= , con ( )A ai j n n n n= ∈× ×R invertible, b ≠ 0 , y a 0 , i 1,2,...,ni i ≠ = .

Entrada: El orden n del sistema; las componentes (no nulas) a , i, j 1,2,...,ni j = de la matriz A; las

componentes b , i 1,...,ni = del vector de términos independientes; las componentes

x0 , i 1,2,...,ni = de una aproximación inicial ( )X X0 0= ; una tolerancia Tol y un número máximo de iteraciones N.

Salida: Una solución aproximada ( )~X x , x ,...,x1 2 n= T o un mensaje. Paso 1: Tomar k = 1. Paso 2: Mientras que k N≤ , seguir los pasos 3-6:

Paso 3: Para i 1,...,n= , tomar

x

b a x

ai

i i j jjj i

n

i i=

−=≠

∑ 01

Paso 4: Si X X Tol− <0 , entonces: salida: "Una solución aproximada es

( )~X x ,x ,...,x1 2 n= T ". Terminar.

Paso 5: Tomar k k= + 1.

Paso 6: Para i 1,...,n= , tomar x xi i0 = .

Paso 7: Salida: "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia".

Terminar.

ANALISIS DE CONVERGENCIA Para entrar en el análisis de la convergencia del método de Jacobi, empezamos descomponiendo la matriz A en la forma

A = − −D L U

donde D es la matriz diagonal cuya diagonal es la diagonal principal de A (es decir,

( )D diag a nn= 11,a ,...,a ) ,22 − L es la matriz triangular inferior obtenida de la parte triangular

estrictamente inferior de A, y − U es la matriz triangular superior obtenida de la parte triangular estrictamente superior de A. Entonces


( )( )( )

( )

AX b D L U X b

DX L U X b

DX L U X b

X D L U X D b

= ⇔ − − =

⇔ − + =

⇔ = + +

⇔ = + +− −1 1

lo que nos conduce a la fórmula vectorial de iteración del método de Jacobi

( ) ( ) ( ) X , k 1,2,... k kD L U X D b= + + =− − −1 1 1

que se usa para efectos teóricos, mientras que la fórmula (3.12) se usa para los cálculos numéricos. La matriz ( )B D L UJ = +−1 se llama matriz de iteración del método de Jacobi.

Veamos un caso en el cual la sucesión ( ) X k

k, generada por el esquema iterativo

( ) ( )X BX ck k= +−1 , converge.

Teorema 3.6 Si B <1 para alguna norma matricial inducida, entonces la sucesión ( ) X k

k,

generada por la fórmula de iteración ( ) ( )X BX c , k 1,2,...k k 1= + =−

converge a la única solución X del sistema X BX c= + , cualquiera sea la aproximación inicial ( )X 0 , y se tienen las siguientes cotas para el error de truncamiento ( ) X − X k :

i) ( ) ( )X X B Xk k− ≤ − ≥ X , k0 1

ii) ( ) ( ) ( )X XB

BXk

k

− ≤−

− ≥1

11 0 X , k

iii) ( ) ( ) ( )X XB

BXk k k− ≤

−− ≥−

111 X , k

Demostración: Para demostrar que el sistema X BX c= + tiene sólo una solución, basta probar que el sistema homogéneo X BX= , es decir, ( )I B X− = 0 , tiene solución única X = 0 , ya que si

( )I B X− = 0 tiene solución única, entonces I B− es invertible y entonces ( )I B X c− = tiene solución

única, y como ( )I B X c− = es equivalente a X BX c= + , entonces este último sistema tiene solución única. Veamos entonces que el sistema X BX= tiene solución única X = 0 : Si X es solución de X BX= , entonces

0 ≤ = ≤X BX B X


Si 0 1< <B y X ≠ 0 , entonces B X X< , lo cual implicaría que X X< , lo cual es un absurdo. Luego X = 0 .

Si B = 0 , entonces B = 0 y se tendría ( )X ck = para todo k = 12, ,... , y ( ) X k

k converge a c,

que es la única solución de X c= . Ahora,

( ) ( )( )X X B X X , k 1,2,...k k 1− = − =−

y usando inducción sobre k se tiene que

( ) ( ) ( ) ( ) X B X B X ... B X 0 1 2 2 0≤ − ≤ − ≤ − ≤ ≤ −− −X X X Xk k k k (3.13)

Como Bk → 0 cuando k → ∞ (pues 0 1≤ <B ), entonces ( )X X k− → 0 cuando k → ∞ , es

decir, ( ) X k

k converge a X .

De (3.13), obtenemos

i) ( ) ( )X X B X Xk k− ≤ − 0

De otro lado,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X X X X − = − + − ≤ − + −X X X X X X0 1 1 0 1 1 0

( ) ( ) ( )≤ − + −B X X X X 0 1 0

(La última desigualdad se tiene por la relación (3.13)) Así que

( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 0− − ≤ −B X X X X

y como 0 1≤ <B , entonces

( ) ( ) ( ) X X − ≤−

−XB

X0 1 011

(3.14)

y entonces multiplicando a ambos lados de (3.14) por B k , obtenemos

( ) ( ) ( ) ( ) X

usando )

X X − ≤↑

− ≤−

−X B XB

BXk k

k

i

0 1 0

1

de donde se obtiene

ii) ( ) ( ) ( )X XB

BXk

k

− ≤−

−1

1 0 X


Finalmente,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X X X X − = − + − ≤ − + −− − −X X X X X Xk k k k k k k1 1 1

( ) ( ) ( )≤ − + −− − B X X X Xk k k1 1

así que

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1− − ≤ −− − B X X X Xk k k

y como 0 1≤ <B , entonces

( ) ( ) ( ) X X − ≤−

−− −XB

Xk k k1 111

(3.15)

y entonces multiplicando a ambos lados de (3.15) por B , obtenemos

( ) ( ) ( ) ( ) X X X − ≤ ≤−

−−− −X B X

B

BXk k k k1 1

1

lo que implica

iii) ( ) ( ) ( )X XB

BXk k k− ≤

−− −

11 X ∇

Compare este teorema con el teorema 2.1, de punto fijo.

Nota: La desigualdad ii) ( ) ( ) ( )X XB

BXk

k

− ≤−

−1

1 0 X , en el teorema 3.6 anterior, válida

para B ,< 1 nos dice que entre más "pequeña" sea B , más "rápida" será la convergencia del

método iterativo. Las cotas para el error de truncamiento ( ) X − X k , dadas en el teorema 3.6,

permiten analizar la calidad de una solución aproximada ( )X k . A continuación probaremos que la matriz ( )B bJ i j n n

=×

, de iteración del metodo de Jacobi, tiene la

propiedad BJ ∞< 1 si la matriz ( )A ai j n n

=×

, de coeficientes del sistema AX b= , es E.D.D. por

filas: Recordemos que en la matriz ( )B bJ i j n n

=×

,

b

a

a , i j

i, j 1,2,... 0 , i j

,ni j

i j

i i

=

− ≠

==

Ahora, si A es E.D.D. por filas, entonces para todo i n= 12, ,..., , se tiene


a ai i i jjj i

n

>=≠

∑1

luego a

a

a

ai j

i ijj i

ni j

i ijj i

n

=≠

=≠

∑ ∑= − <1 1

1 , i n= 12, ,...,

de donde

Maxa

ai j

i ijj i

n

11

1 i n

≤ ≤

=≠

− <∑

Pero

B b i n

j 1 i n

j=1j i

n

J i j

ni j

i iMax Max

a

a∞ ≤ ≤=

≤ ≤

≠

= = −∑ ∑1 1 (pues bi i = 0 )

así que B J ∞

< 1 . ∇ Aplicando el teorema 3.6 a la situación anterior, obtenemos el siguiente teorema: Teorema 3.7 Si la matriz A en un sistema AX b= es E.D.D. por filas, entonces el método iterativo

de Jacobi converge a la única solución X del sistema AX b= , cualquiera sea ( )X 0 , y se tienen las

cotas para el error ( ) X −∞

X k , dadas en el teorema 3.6. ∇

Se dispone, además, del siguiente resultado cuya demostración puede consultarse en Burden, 1985, páginas 469 y 470:

Teorema 3.8 Para cualquier ( )X n0 ∈R , la sucesión ( ) X k

k definida por la fórmula de iteración

( ) ( )X BX c kk k= + = ≠−1 12 0, , ,..., c , converge a la única solución X del sistema X BX c= + si y

sólo si ( )ρ B < 1. ∇ Como una aplicación particular del teorema 3.8 se tiene que: El método iterativo de Jacobi converge a la única solución X del sistema X B X cJ= + si y sólo si ( )ρ BJ < 1. Ejemplo 3.8 Use el método iterativo de Jacobi para resolver el sistema

2 1

3 0

3 3 5 4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

− + = −

+ + =

+ + =

Lo primero que observamos es que el método de Jacobi es aplicable a este sistema, ya que la matriz de coeficientes del sistema dado tiene todas sus componentes diagonales no nulas. Veamos si el método de Jacobi converge o nó, en este caso.


Empecemos observando que la matriz A de coeficientes del sistema no es E.D.D. por filas (ya que 2 1 1≤ − + ), así que para el estudio de la convergencia del método de Jacobi debemos

encontrar la matriz de iteración BJ .

Una forma de obtener BJ es despejando x , x y x1 2 3 de la primera, segunda y tercera ecuación

del sistema, respectivamente, y escribiendo el sistema resultante en forma matricial, lo que nos da

x

x

x

X B

x

x

x

X cJ

1

2

3

1

2

3

012

12

1 0 335

35

0

12045

=

−

− −

− −

+

−

1 2444 3444 123

Como BJ ∞ = >4 1 ( BJ 1

72

1= > ) no podemos concluir sobre la convergencia del método de

Jacobi (a partir de las normas . .∞ , 1), así que debemos estudiar el radio espectral ( )ρ BJ , de

la matriz de iteración BJ .

Como

( ) det B IJ − =

− −

− − −

− − −

= − + +λ

λ

λ

λ

λ λ

12

12

1 335

35

85

35

3

entonces la ecuación característica de la matriz BJ es − + + =λ λ3 85

35

0 , cuyas raíces son

, y λ λ λ1 2 31 142195 421954= − ≈ ≈ −. .

y como ( ) ρ B Max J ≈ − − = > , , 1 142195 421954 142195 1. . .

entonces el método iterativo de Jacobi no converge (diverge), según el teorema 3.8. Instrucciones en DERIVE: BJ( A ): Simplifica en la matriz de iteración, BJ , del método de Jacobi.

CHARPOLY( M, w): Simplifica en el polinomio característico ( )p wM de la matriz M.

EIGENVALUES( M, w ): Simplifica en los valores propios w w wn1 2, ,..., de la matriz M. ◊ En situaciones como la del ejemplo 3.8, se recomienda reordenar las ecuaciones del sistema dado, de modo que la matriz de coeficientes del sistema reordenado sea lo más cercana posible a una matriz E.D.D. por filas (colocando primero las ecuaciones que tienen un coeficiente dominante y luego las restantes). En el caso del ejemplo, la reordenación más conveniente para el sistema es


2 1

3 3 5 4

3 0

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

− + = −

+ + =

+ + =

Observe que la matriz de coeficientes de este sistema reordenado tampoco es E.D.D. por filas. Las fórmulas escalares de iteración para el método de Jacobi son ahora

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

xx x

xx x

x x

kk k

kk k

k k

12

13

1

21

13

1

11

21

12

4 3 53

12

3

=− + −

=− −

=

=− −

− −

− −

− −

,

, , ,...

,

k

x3k

cuya forma vectorial es

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x

x

x

XB

x

x

x

Xc

k

k

k

k J

k

k

k

k

1

2

3

11

21

31

1

012

12

1 053

13

13

0

1243

0

=

−

− −

− −

+

−

−

−

−

−123

1 2444 34441 24 34

123

, k = 12, ,...

Como B J ∞

= >83

1 ( BJ 1

136

1= > ), entonces nada se puede afirmar sobre la convergencia del

método de Jacobi (a partir de las normas B BJ J∞,

1), por tanto debemos encontrar ( )ρ BJ . La

ecuación característica de BJ es

− + + =λ λ3 29

19

0 cuyas raíces son

, λ λ λ1 2 3631096 315548 276567 315548 276567≈ ≈ − + ≈ − −. . . . .i , i y como

( )

ρ B Max i i

Max

J ≈ − + − −

≈ = <

, ,

,

. . . . .

. . .

631096 315548 276567 315548 276567

631096 419595 631096 1


entonces, según el teorema 3.8, el método iterativo de Jacobi converge a la única solución X del sistema reordenado, cualquiera sea la aproximación inicial ( )X 0 .

Iterando con el método de Jacobi, tomando como aproximación inicial ( ) ( )X T0 0 0 0= , , , y usando

como criterio de aproximación ( ) ( )X Xk k− <−

∞

1 001

. , obtenemos

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

X , , , X , , ,...,

X , , , X , ,

T T

T T

1 2

15 16

5 13333 0 16667 18333 27778

99798 19990 99842 99873 19994 99901

= − = −

= − = −

. . . . .

. . . . . .

Como ( ) ( ) X

16 15 7 5 4 001− ≈ − <∞

X E. . y k = 16 es el primer entero positivo para el cual

( ) ( ) X ,

k kX− <−

∞

1 001. entonces

( ) ( ) X , , X16 99873 19994 99901= − = ≈. . .

~TX

Instrucción en DERIVE: JACOBI(A, b, ( )X 0 , N): aproXima las primeras N iteraciones en el método de Jacobi aplicado al

sistema AX b= , con aproximación inicial ( )X 0 . Para el ejemplo, aproXime la expresión

JACOBI( [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]2 1 1 3 3 5 1 1 3 1 4 0 0 0 0 16, , , , , , , , , , , , , , ,− − ). ◊

Cuál es la calidad de la solución aproximada obtenida ( )X 16 ?

Como no se pueden aplicar las cotas para el error de truncamiento ( )X X16 − , dadas en el

teorema 3.6 (ya que no se satisface la condición BJ <1 para las normas calculadas

B BJ J∞,

1), entonces vamos a usar las cotas para el error relativo

( )X X

X

16 −∞

∞

, dadas en el

teorema 3.3:

( )

( )

( )

( )( )R

b Cond A

X X

XCond A

R

b

16 16 16

1∞

∞ ∞

∞

∞∞

∞

∞

≤−

≤

En esta desigualdad ( ) ( )R AX b16 16= − , con

A =−

2 1 13 3 53 3 9

y b =−

140

Si hacemos los cálculos indicados, obtenemos


( )

5 10 16 10 011 05 5 106 5

16

2× < × ≤−

≤ < = ×− − ∞

∞

−. . .... ...X X

X

Extendiendo de manera natural, los conceptos de cifras significativas y cifras decimales exactas para vectores, dados en el capítulo 1 para escalares, podemos concluir, a partir de la última

desigualdad, que ( ) ( )XT16 99873 19994 99901= −. . ., , aproxima a la solución exacta X del sistema

dado con una precisión de por lo menos dos cifras significativas (y no más de cinco). Se puede

verificar que la solución exacta del sistema dado es ( )X 1, 2, 1= − T . ♦

Ejemplo 3.9 Use el método iterativo de Jacobi para resolver el sistema

2 10 11

3 8 11

10 2 6

11 3 25

1 2 3

2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

x x x

x x x

x x x

x x x x

− + = −

− + = −

− + =

− + − + =

Observe que el método de Jacobi es aplicable a este sistema, pero nuevamente como en el ejemplo anterior, la matriz de coeficientes del sistema dado no es E.D.D. por filas, así que para estudiar la convergencia del método de Jacobi debemos encontrar la matriz de iteración BJ .

Se ve fácilmente que la matriz de iteración del método de Jacobi es, en este caso, la siguiente matriz

BJ =

−

−

−

−

012

5 0

0 013

83

512

0 0

13

113

13

0

Como B J ∞

= >112

1 ( BJ 11> ), entonces todavía no podemos concluir acerca de la

convergencia del método de Jacobi ( apartir de las normas B BJ J∞,

1) . Encontremos

entonces el radio espectral de la matriz de iteración BJ .

Se puede ver que la ecuación característica de la matriz BJ es

λ λ λ4 262918

3118

240 0− + + =

cuyas raíces son

λ λ λ λ1 3 45 3 01292 3 11967 5 10674= ≈ − ≈ ≈ −, , y 2 . . . por tanto

( ) ρ BJ ≈ >5 10674 1.


lo que implica que el método de Jacobi diverge, en este caso.

Sin embargo, si reordenamos las ecuaciones del sistema en la forma

10 2 6

11 3 252 10 11

3 8 11

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3

2 3 4

x x x

x x xx x x

x x x

x

− + =

− + − + =− + = −

− + = −

obtenemos un sistema equivalente AX b= donde A sí es E.D.D. por filas, así que, según el teorema 3.7, el método iterativo de Jacobi converge a la única solución del sistema, cualquiera sea

la aproximación inicial ( )X 0 , y se tienen cotas para el error de truncamiento ( )X Xk −∞

.

La forma matricial del método de Jacobi, para el sistema reordenado, es

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x

x

x

x

XB

x

x

x

x

X

k

k

k

k

k J

k

k

k

k

k

1

2

3

4

11

21

31

41

1

01

102

100

111

01

11311

210

110

0 0

038

18

0

6102511

=

−

−

−

−

+−

−

−

−

−

−123

1 244444 344444124 34

1110118

−

c123

Observe que B J ∞

= = <48

12

1 ( BJ 1

2340

1= < ) .

Investigue cuántas iteraciones k serán necesarias en el método de Jacobi (usando la norma

.∞ ), para que ( )X k aproxime a la solución exacta X del sistema dado, con por lo menos tres

cifras significativas, tomando como aproximación inicial ( ) ( )X T0 0 0 0 0= , , , ? (ejercicio!) Los resultados obtenidos en las iteraciones aplicando el método de Jacobi, empezando con

( ) ( )X T0 0 0 0 0= , , , y usando como criterio de aproximación ( ) ( )X Xk k− <−

∞

1 001

. , son

( ) ( )( ) ( )

X

X

T

T

1

2

60000 2 2727 11000 13750

10473 2 6023 99273 2 3648

= − −

= − −

. . . .

. . . .

, , ,

, , ,

M ( ) ( )( ) ( )

X , , ,

X , , ,

8

9

11040 2 9958 10210 2 6262

11038 2 9965 10212 2 6261

= − −

= − − = ≈

. . . .

. . . .~

T

T X X

Sólo fueron necesarias k = 9 iteraciones para alcanzar la tolerancia dada. Con cuántas cifras

decimales exactas aproxima ( )X 9 a X ? (ejercicio) ♦


3.8.2 Método iterativo de Gauss-Seidel o de desplazamientos sucesivos: Una posible mejora

en el algoritmo de Jacobi puede ser la siguiente: para calcular ( )xik se usan las componentes de

( )X k−1 , pero como ( ) ( ) ( )x , x ,..., x1k

2k

i 1k− ya han sido calculadas y supuestamente son mejores

aproximaciones de las componentes x , x ,..., x1 2 i 1− de la solución exacta que ( ) ( )x ,..., x1k 1

i 1k 1−−

−

(asumiendo convergencia), parece más recomendable calcular ( )xik usando los valores

( ) ( ) ( )x x xk kik

1 2 1, ,..., − calculados recientemente. Esta técnica se conoce como método iterativo de Gauss-Seidel o de desplazamientos sucesivos.

Se inicia el proceso iterativo con una aproximación inicial ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X x x x xi n

T0

10

20 0 0=

, ,..., ,..., . A partir

de este vector se obtiene la primera aproximación ( ) ( ) ( ) ( ) ( )XT

1 =

x ,x ,..., x ,...,x1

121

i1

n1 , mediante las

siguientes fórmulas (suponemos que a odo ii i ≠ =0 1 para t ,2,...,n ):

( )

( )

x

b a x

a

j jj

n

11

1 10

2

11=

−=∑

, ( )

( ) ( )

x

b a x a x

a

j jj

n

21

2 21 11

20

3

22=

− −=∑

y en general, para i 2,..., n 1= − , se calcula

( )

( ) ( )

x

b a x a x

ai

i i j jj

i

i j jj i

n

i i

1

1

1

10

1=

− −=

−

= +∑ ∑

y

( )

( )

x

b a x

an

n n j jj

n

n n

1

1

1

1

=

−=

−

∑

El paso genérico es:

Conocida la aproximación ( ) ( ) ( ) ( )X x ,..., x ,..., xk 11k 1

ik 1

nk 1

T− − − −=

, se obtiene la aproximación siguiente

( ) ( ) ( ) ( )X x ,..., x ,..., xk1k

ik

nk

T=

, usando las fórmulas

( )

( )

x 1

1 11

2

11

kj j

k

j

n

b a x

a=

− −

=∑

para i 2,3,..., n 1= − ,


( )

( ) ( )

x ik

i i j jk

i j jk

j i

n

j

i

i i

b a x a x

a=

− − −

= +=

−

∑∑ 1

11

1

(3.16)

y

( )

( )

x nk

n n j jk

j

n

n n

b a x

a=

−=

−

∑1

1

que son llamadas fórmulas escalares de iteración del método de Gauss-Seidel. Se termina el proceso iterativo con alguno de los criterios de aproximación mencionados anteriormente. Algoritmo 3.5 (Método de Gauss-Seidel) Para encontrar una solución aproximada

~X de un

sistema AX b= , ( )A ai j n n n n= ∈× ×R invertible, b ≠ 0 y ai i ≠ 0 para todo i 1,2,...,n .=

Entrada: El orden n del sistema; las componentes no nulas a , i,j 1,2,...,ni j = de la matriz A; las

componentes b , i 1,2,...,ni = del vector de términos independientes; las componentes

x0 , i 1,2,...,ni = de una aproximación inicial ( )X X0 0= ; una tolerancia Tol, y un número máximo de iteraciones N.

Salida: Una solución aproximada ( )~X x , x ,..., x1 2 nT= o un mensaje.

Paso 1: Tomar k = 1. Paso 2: Mientras que k N≤ , seguir los pasos 3-8:

Paso 3: Tomar x

b a x

a

j jj

n

1

1 12

11

0

=

−=∑

.

Paso 4: Para i 2,..., n 1= − , tomar

xi

i i j jj

i

i j jj i

n

i i

b a x a x

a=

− −=

−

= +∑ ∑

1

1

1

0

Paso 5: Tomar x

b a x

an

n n j jj

n

n n=

−=

−

∑1

1

.


Paso 6: Si X X Tol− <0 , entonces salida: "Una solución aproximada del sistema es

( )~X x , x ,..., x1 2 nT= ". Terminar.

Paso 7: Tomar k k= + 1. Paso 8: Para i 1,2,..., n= , tomar x xi i0 = .

Paso 9: Salida: "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia". Terminar. ANÁLISIS DE CONVERGENCIA Al igual que en el método de Jacobi, con el propósito de analizar la convergencia del método de Gauss-Seidel, veamos cuál es la fórmula vectorial de iteración del método de Gauss-Seidel

( ) ( )X BX ck k= +−1 , k = 12, ,... Multiplicando a ambos lados de la ecuación (3.16) por ai i y asociando los k-ésimos términos iterados, obtenemos

( ) ( ) ( )a x a x bi j jk

j

i

i j jk

j i

n

i=

−

= +∑ ∑= − +

1

1

1

(3.17)

Si D es la matriz diagonal cuya diagonal es la diagonal de A, − L es la matriz triangular inferior formada por la parte estrictamente inferior de A y − U es la matriz triangular superior formada por la parte estrictamente superior de A, como en el método de Jacobi, entonces al poner a variar i de 1 a n en la ecuación (3.17), obtenemos el sistema

( ) ( ) ( )D L X UX bk k− = +−1 o equivalentemente

( ) ( ) ( ) ( ) X D L U

B

X D L b, k 1,2,... k 1

G

k 1 1= − + − =− − −

1 24 34

siempre que la matriz D L− (triangular inferior) sea invertible, o sea si ai i ≠ 0 para cada i 1,2,..., n= . La fórmula anterior se conoce como fórmula vectorial de iteración del método de Gauss-Seidel,

y la matriz ( )B D L UG = − −1 se llama matriz de iteración del método de Gauss-Seidel.

Al igual que en el método de Jacobi, se tiene para el método de Gauss-Seidel el siguiente resultado, el cual puede ser consultado en Kincaid, 1972, páginas 189 y 190. Teorema 3.9 Si la matriz A de coeficientes de un sistema AX b= es E.D.D. por filas, entonces el método iterativo de Gauss-Seidel converge a la única solución X del sistema AX b= , para cualquier elección de ( )X 0 . ∇


Recuérdese que según el teorema 3.6: Si B G < 1 para alguna norma matricial inducida,

entonces la sucesión ( ) X k

k, k 0,1,...= , obtenida en el método de Gauss-Seidel, converge a la

única solución X del sistema X B X cG= + para cualquier ( )X n0 ∈R , y se tienen las cotas para el

error de truncamiento ( )X X k− , dadas en el teorema 3.6. ∇

También se tiene, de acuerdo con el teorema 3.8, que: Para cualquier ( )X n0 ∈R , la sucesión ( ) X k

k, con

( ) ( )X B X c, k 1,2,..., c 0kG

k 1= + = ≠− converge a la única solución X del sistema ( )X B X c AX bG= + ⇔ = si y sólo si ( )ρ BG < 1. ∇

Ejemplo 3.10 Apliquemos el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema

2 1

3 0

3 3 5 4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

− + = −

+ + =

+ + =

Este sistema es el mismo del ejemplo 3.8. Como la matriz de coeficientes no es E.D.D. por filas, nada podemos decir todavía acerca de la convergencia del método de Gauss-Seidel, así que debemos encontrar la matriz de iteración del método de Gauss-Seidel, BG . Una forma de encontrarla es la siguiente:

Las fórmulas escalares de iteración del método de Gauss-Seidel para el sistema dado, son

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

x

x k

x

12

13

1

2 1 31

31 2

12

3 12

4 3 3

5

kk k

k k k

kk k

x x

x x

x x

=− + −

= − − =

=− −

− −

−

,

, , ,...

,

Reemplazando ( )x k1 en la fórmula de iteración para ( )x k

2 , obtenemos la siguiente expresión para ( )x k2 , en términos de ( ) ( )x k k

21

31− − y x :

( )( ) ( )

x22

13

11 52

kk kx x

=− −− −

Ahora se reemplazan ( )x k1 y la última expresión obtenida para ( )x k

2 , en la fórmula de iteración para ( )x k3 , con lo cual se obtiene

( )( )

x33

14 95

kkx

=+ −

Así que, finalmente, se tiene el siguiente esquema de iteración


( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

x

x k

x

12

13

1

22

13

1

33

1

12

1 52

12

4 95

kk k

kk k

kk

x x

x x

x

=− + −

=− −

=

=+

− −

− −

−

,

, , ,...

,

el cual escrito en forma vectorial es

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

k

x

x

x

XB

x

x

x

Xc

k

k

k

k G

k

k

k

k

1

2

3

11

21

31

1

012

12

012

52

0 095

121245

12

=

−

− −

+

−

=

−

−

−

−

123 1 244 344124 34

123

, , ,...

que constituye la fórmula vectorial de iteración del método de Gauss-Seidel para el sistema dado.

Otra forma de obtener la matriz de iteración BG , es a partir de su fórmula ( )B D L UG = − −1 .

Como D L− =

2 0 01 1 03 3 5

, entonces ( )D L− = −

−

−1

12

0 0

12

0

035

15

1

, y como U =−−

0 1 10 0 30 0 0

, entonces

( )B D L UG = − =

−

− −

−1

012

12

012

52

0 095

Como B

G ∞= >3 1 ( B

1G > 1 ), todavía no podemos concluir acerca de la convergencia del

método de Gauss-Seidel; pero como ( )ρ B MaxG = −

= > , , 012

95

95

1, entonces el método de

Gauss-Seidel diverge (recuerde que si una matriz es triangular superior o inferior, entonces los valores propios de tal matriz son los números que aparecen en su diagonal principal). Observe que el número cero es siempre un valor propio de la matriz de iteración BG , así que,

en particular, BG siempre es singular (no invertible).



BG(A): Simplifica en la matriz de iteración, BG , del método de Gauss-Seidel. ◊

Una reordenación del sistema dado, de modo que la matriz de coeficientes del sistema resultante, sea lo más cercana posible a una matriz E.D.D. por filas, es

2 1

3 3 5 4

3 0

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

− + = −

+ + =

+ + =

Las fórmulas escalares de iteración del método de Gauss-Seidel para encontrar una aproximación de la solución de este sistema reordenado, son

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

xx x

xx x

xx x

kk k

kk k

kk k

12

13

1

21 3

1

31 2

12

4 3 53

12

3

=− + −

=− −

=

=− −

− −

−

,

, , ,...

,

k

Dado que

( ) D ,

13

y

− =

− = −

−

=

−

−

−L D L U

2 0 0

3 3 01 1 3

12

0 0

12

0

019

13

0 1 1

0 0 50 0 0

1

entonces

( )B D L UG = − =

−

− −

−1

012

12

012

76

0 059

Como B

G ∞> 1 ( B

1G > 1), todavía no podemos concluir sobre la convergencia del método de

Gauss-Seidel, pero como ( )ρ B MaxG = −

= < , , 012

59

59

1 , entonces el método de Gauss-

Seidel converge a la única solución del sistema dado, cualquiera sea la aproximación inicial.

Si usamos el método de Gauss-Seidel con aproximación inicial ( ) ( )X T0 0 0 0= , , y criterio de

aproximación ( ) ( ) X ,

k kX− <−

∞

1 001. se obtienen los siguientes resultados:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

X

X X X

T T

T T

1 2

12 13

50000 18333 44444 63889 14352 69136

99858 19988 99914 99898 19996 99952

= − − = −

= − = − = ≈

. . . . . .

. . . . . .~

, , , X , , ,...

, , , X , ,


Aquí k = 13 es el menor número de iteraciones para el cual se satisface ( ) ( ) X

k kX− <−

∞

1 001. .

Al igual que en el ejemplo 3.8, nos podemos preguntar por la calidad de la solución aproximada obtenida ( )X 13 (ejercicio!). ♦ Instrucción en DERIVE: G_SEIDEL( A b, , ( )X 0 , N ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de Gauss-Seidel

aplicado al sistema AX b= , tomando como aproximación inicial ( )X 0 . Para el ejemplo, aproXime la expresión G_SEIDEL( [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]2 1 1 3 3 5 1 1 3 1 4 0 0 0 0 13, , , , , , , , , , , , , , ,− − ). ◊ Ejemplo 3.11 Si aplicamos el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema

2 10 11

3 8 11

10 2 6

11 3 25

1 2 3

2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

x x x

x x x

x x x

x x x x

− + = −

− + = −

− + =

− + − + =

(que es el mismo sistema del ejemplo 3.9), encontramos que la matriz de coeficientes de este sistema no es E.D.D. por filas, así que para estudiar la convergencia del método de Gauss-Seidel debemos considerar la matriz de iteración BG .

Se puede ver que

( ) B

G D L U= − =

−

−

− −

−

−1

012

5 0

0 013

83

052

1516

43

023

112

283

y como B

G ∞> 1 ( B

1G > 1 ), entonces por ahora nada podemos afirmar acerca de la

convergencia del método de Gauss-Seidel; pero se puede ver que la ecuación característica de la matriz de iteración BG , es

λ λ λ4 3 262118

434318

0− + =

cuyas raíces son λ1 2 0, = (es decir, λ = 0 es raíz doble), λ λ3 424 7523 9 74768≈ ≈. ., . Por lo tanto ( )ρ BG >1, lo que implica que el método de Gauss-Seidel diverge.

Si reordenamos el sistema de modo que la matriz de coeficientes del nuevo sistema equivalente sea lo más cercana posible a una matriz E.D.D. por filas, obtenemos el sistema


x

10 2 6

11 3 25

2 10 11

3 8 11

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3

2 3 4

x x x

x x x

x x x

x x x

− + =

− + − + =

− + = −

− + = −

cuya matriz de coeficientes es E.D.D. por filas. Así que el método de Gauss-Seidel converge a la única solución del sistema dado, cualquiera sea la aproximación inicial y se tienen cotas para el

error de truncamiento ( )X Xk − , según el teorema 3.9. Si iteramos con el método de Gauss-

Seidel, empezando con ( ) ( )X T0 0 0 0 0= , , , y usando como criterio de aproximación

( ) ( ) X

k kX− <−

∞

1 001. , se obtienen los siguientes resultados:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

X , , ,

X , , ,

X , , ,

1

2

5

60000 2 3273 98727 2 3711

10302 2 9233 10137 2 5980

11038 2 9964 10211 2 6263

= − −

= − −

= − − = ≈

. . . .

. . . .

. . . .~

T

T

TX X

M

♦ Si comparamos los resultados de los ejemplos 3.8 y 3.9, obtenidos por el método de Jacobi, con los obtenidos en los ejemplos 3.10 y 3.11 por el método de Gauss-Seidel, vemos que el método de Gauss-Seidel es de convergencia más rápida; esto es lo que generalmente ocurre cuando ambos métodos convergen. Anotamos que hay sistemas lineales para los cuales un método converge y el otro diverge. 3.8.3 Método SOR (Successive Over-Relaxation): Este método fue ideado para acelerar la convergencia del método de Gauss-Seidel. La idea del método es que para producir un nuevo

valor ( )xik se ponderan los valores ( )xi

k actual, obtenido por Gauss-Seidel, y ( )x ik−1 anterior, como

se indica a continuación:

Dada una aproximación inicial ( )X 0 y calculada la aproximación

( ) ( ) ( ) ( ) ( )X kT

− − − − −=

1 x ,x ,...,x ,...,x1k 1

2k 1

ik 1

nk 1

, se calcula la aproximación siguiente

( ) ( ) ( ) ( ) ( )X xkT

=

1

k2k

ik

nk,x ,...,x ,...,x , de acuerdo con las fórmulas siguientes:

( ) ( ) ( )

( )

x 1 11

1 11

2

111k k

j jk

j

n

w x w

b a x

a= − +

−

−

−

=∑

para i = −2,...,n 1 :


( ) ( ) ( )

( ) ( )

x ik

ik

i i j jk

i j jk

j i

n

j

i

i iw x w

b a x a x

a= − +

− −

−

−

= +=

−

∑∑1 1

1

11

1

(3.18)

y

( ) ( ) ( )

( )

x nk

nk

n n j jk

j

n

n nw x w

b a x

a= − +

−

− =

−

∑1 1 1

1

donde w es un parámetro, llamado de aceleración. Más adelante mostraremos que la variación de w debe ser 0 2< <w , para que el método pueda converger. Las fórmulas anteriores son llamadas fórmulas escalares de iteración del método SOR. Para 0 1< <w el método se denomina de sub-relajación y se puede usar para obtener convergencia en algunos sistemas para los cuales el método de Gauss-Seidel no es convergente. Para 1 2< <w el método se denomina de sobre-relajación y se puede usar para acelerar la convergencia en algunos sistemas que son convergentes por el método de Gauss-Seidel. Observe que si w = 1, el método se convierte en el método de Gauss-Seidel. La escogencia del valor óptimo de w se hace de modo que ( )ρ Bw sea mínimo, donde Bw es la

matriz de iteración del método SOR. Se puede obtener, siguiendo la misma idea que se usó en el método de Gauss-Seidel, la fórmula vectorial de iteración del método SOR:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) X k

w

kD w L w D wU

B

X w D wL b = − − + + −− − −1 1 11

1 244444 344444 (3.19)

donde D, − L y − U son matrices tales que A D L U= − − , como en los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. Dada la dificultad de obtener el w óptimo, a menudo se trabaja experimentando con distintos valores de w. La variación del parámetro w, con 0 2< <w , se debe al siguiente resultado: Si aii ≠ 0 para cada i n= 12, ,..., , entonces ( )ρ Bw ≥ − w 1 .

En efecto:


( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

det det

det det

B D wL w D wU

D wL w D wU

w = − − +

= − − +

−

−

1

1

1

1

Pero

( )[ ] ( )detdet detD

D wLD wL

− =−

=−1 1 1

y

( )[ ] ( )[ ] ( )det det detD1 1 1− + = − = −w D wU w D w n

así que

( ) ( ) ( ) detdetD

detDB w wwn n= − = −

11 1

De otro lado, como ( )det B ...w = λ λ λ1 2 n donde λ λ λ1 2, ,..., n son los valores propios de la matriz Bw , entonces

( )[ ] ( ) ( )ρ λ λ λ λ λ λB B w wwn

n n wn n≥ = = = − = −1 2 1 2 1 1... ... det

y por tanto ( )ρ Bw ≥ − w 1 . ∇

Como consecuencia del resultado anterior, si w − ≥1 1 , es decir, si w ≥ 2 o w ≤ 0 , entonces

( )ρ Bw ≥1 y entonces el método SOR diverge, según el teorema 3.8. Luego sólo si 0 2< <w

( w − <1 1 ), es posible que ( )ρ Bw < 1 y así el método SOR posiblemente sea convergente.

En el siguiente teorema, cuya prueba puede consultarse en Ortega, 1990, página 123, se establecen condiciones suficientes para la convergencia del método SOR: Teorema 3.10 Si A es una matriz real, simétrica y definida positiva, entonces el método SOR converge a la única solución X del sistema AX b= para cualquier elección de la aproximación

inicial ( )X n0 ∈R y cualquier valor de w con 0 2< <w . ∇ También se tiene, como en los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel, que: Si B w < 1 para alguna norma matricial inducida, entonces el método SOR converge a la única

solución X del sistema X B X c ,w= + c ≠ 0, cualquiera sea la aproximación inicial ( )X n0 ∈R , y se

tienen las cotas para el error de truncamiento ( )X X k− , dadas en el teorema 3.6. ∇

Para cualquier ( )X n0 ∈R , el método SOR converge a la única solución X del sistema X B X c ,w= + c ≠ 0 si y sólo si ( )ρ Bw < 1 . ∇

Algoritmo 3.6 (Método SOR) Para encontrar una solución aproximada ~X de un sistema AX b=

con A invertible, b ≠ 0 y ai i ≠ 0 para todo i = 1,2,...,n , dado un valor del parámetro w con 0 2< <w :


Entrada: El orden n del sistema; las componentes no nulas a , i, j 1,2,...,ni j = de la matriz A; las

componentes b , i 1,2,..., ni = del vector de términos independientes b; las componentes

x0 , i 1,2,..., ni = de una aproximación inicial ( )X X0 0= ; un valor del parámetro w; una tolerancia Tol, y un número máximo de iteraciones N.

Salida: Una solución aproximada ( )~X x ,..., x1 nT= o un mensaje.

Paso 1: Tomar k = 1. Paso 2: Mientras k N≤ , seguir los pasos 3-8:

Paso 3: Tomar ( )x w x w

b a x

a

jj

n

1 1

1 12

111 0

0

= − +

−

=∑ j

Paso 4: Para i 2,..., n 1= − , tomar

( )x w x w

b a x a x

ai i

i i j j i j jj i

n

j

i

i i= − +

− −

= +=

−

∑∑1 0

011

1

Paso 5: Tomar ( )x w x w

b a x

an n

n n j jj

n

n n= − +

−

=

−

∑1 0 1

1

Paso 6: Si X − <X Tol0 , entonces salida: "Una solución aproximada es

( )~, ,...,X x x xn

T= 1 2 ". Terminar.

Paso 7: Tomar k k= + 1 .

Paso 8: Para i 1,2,..., n= , tomar x xi i0 = . Paso 9: Salida: "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia". Terminar. Ejemplo 3.12 Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales


4 3 1

3 4 1

4 1

1 2

1 2 3

2 3

x x

x x x

x x

+ =

+ − =

− + =

Como la matriz de coeficientes de este sistema es simétrica y definida positiva (verifíquelo!), entonces el método SOR converge a la única solución del sistema dado, cualquiera sea la aproximación inicial y cualquiera sea w con 0 2< <w , según el teorema 3.10.

Si usamos ( ) ( )X T0 0 0 0= , , y criterio de aproximación ( ) ( ) X

k kX− <−

∞

1 001. , se obtienen los

siguientes resultados para distintos valores de w, siendo las fórmulas escalares de iteración del método SOR, en este caso, las siguientes:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

x w x wx

x w x wx x

x w x wx

w

k kk

k kk k

k kk

1 11 2

1

2 21 1 3

1

3 31 2

11 3

4

11 3

4

11

4

12 0 2

= − +−

= − +− +

= − ++

= < <

−−

−−

−

, , ,..., k

Como el método de Gauss-Seidel converge, en este caso, podemos pensar en utilizar el método SOR para acelerar la convergencia del método de Gauss-Seidel; así que tomaremos valores de w con 1 2≤ <w . Para w = 10. (Gauss-Seidel):

( ) ( )

( ) ( )

, ,

, ,

X

X X

T

T

1 2

13 3

25000 6 2500 10 26563

11546 10 33237 33309

= ×

= × ≈

−

−

. . .

. . .

M

Para w = 12. :

( ) ( )

( ) ( )

X , ,

X , ,

1 2

9 4

30000 3 0000 10 30900

3 5372 10 33310 33329

= ×

= × ≈

−

−

. . .

. . .

T

TX

M

Para w = 125. :

( ) ( )

( ) ( )

X , ,

X , ,

1 2

8 5

31250 19531 10 31860

6 4330 10 33331 33333

= ×

= × ≈

−

−

. . .

. . .

T

TX

M

Para w = 13. :


( ) ( )

( ) ( )

X , ,

X , ,

1 3

6 3

32500 8 1250 10 32764

12411 10 33427 33335

= ×

= − × ≈

−

−

. . .

. . .

T

TX

M

Para w = 14. :

( ) ( )

( ) ( )

X , ,

X , ,

1 2

8 4

35000 17500 10 34388

9 7704 10 33286 33315

= − ×

= × ≈

−

−

. . .

. . .

T

TX

M

Observando los resultados anteriores, se puede concluir que, para este ejemplo, el valor óptimo del parámetro w debe estar cerca de 1.3, y para este valor de w la convergencia del método SOR es más rápida. ♦ Instrucciones en DERIVE: BW(A,w): Simplifica en la matriz de iteración, Bw , del método SOR.

SOR(A,b,w, ( )X 0 ,N): aproXima las primeras N iteraciones en el método SOR aplicado al sistema

AX b= , para el valor dado de w y tomando aproximación inicial ( )X 0 . Para el ejemplo, aproXime la expresión SOR( [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]4 3 0 3 4 1 0 1 4 1 1 1 13 0 0 0 6, , , , , , , , , , , , , , , ,− − . ). ◊

Ejemplo 3.13 Si aplicamos el método SOR para resolver el sistema de ecuaciones lineales

10 2 6

11 3 25

2 10 11

3 8 11

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3

2 3 4

x x x

x x x x

x x x

x x x

− + =− + − + =

− + = −− + = −

con ( ) ( )X T0 0 0 0 0= , , , y criterio de aproximación ( ) ( ) X

k kX− <−

∞

1 001. , se obtienen los siguientes

resultados: Para w = 15. :

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

X

X

X X

T

T

T

1

2

13

90000 3 5318 13902 4 3098

13968 3 4072 86286 19859

11041 2 9965 10210 2 6260

= − −

= − −

= − − ≈

. . . .

. . . .

. . . .

, , ,

, , ,

, , ,

M

Para w = 18. :


( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

X

X

X X

T

T

T

1

2

42

10800 4 2676 16006 5 7158

15604 3 4762 63554 39176

11040 2 9967 10207 2 6262

, , ,

, , ,

, , ,

= − −

= − −

= − − ≈

. . . .

. . . .

. . . .

M

Analice la convergencia del método SOR en cada uno de los casos anteriores. ♦ 3.9 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS NO-LINEALES Consideremos un sistema no-lineal

( )( )

( )

f x , x ,..., x 0

f x , x ,..., x 0

f x , x ,..., x 0

1 1 2 n

2 1 2 n

n 1 2 n

=

=

=

M

donde para cada i = 1,2,...,n ,

( ) ( )f

X x x X yi i i

n

n i

: ,

,..., f1

D R D R→ ⊆

= → = y alguna fi es no-lineal.

Si hacemos F

ff

fn

≡

1

2

M y ( )X x , x ,..., x1 2 n= , el sistema anterior puede ser escrito en la forma vectorial

( )F X = 0 con F n n: ,D R D R→ ⊆ .

El problema de hallar las soluciones reales de un sistema no-lineal es mucho más difícil que el problema de hallar las raíces reales de una sola ecuación no-lineal (en una variable), y mucho más que el problema de resolver un sistema lineal de ecuaciones. Aunque estudiaremos ciertos métodos que convergen a una solución, no existe un criterio general para saber cuántas soluciones tiene un sistema no-lineal dado, e incluso es posible que el sistema no tenga solución, como ocurre con el siguiente sistema

xy =

=

10 y

Un posible método (directo) para resolver sistemas no-lineales de ecuaciones puede ser el de reducción de variables. Por ejemplo, para el sistema


E x yE

12 2

2

10

:: xy

+ ==

es claro que sus soluciones son ( )10, , ( )01, , ( )−10, y ( )0 1,− ; que son los puntos de intersección, en

el plano xy , de la circunferencia unitaria x y2 2 1+ = con los ejes coordenados x = 0 y y = 0 . Ver la FIGURA 3.1.

FIGURA 3.1

Una manera de resolver el sistema, en este caso, es la siguiente:

Despejando x de la ecuación E1 , obtenemos ′ = ± −E y121: x , y sustituyendo en la ecuación E2 ,

obtenemos ′ ± −

=E y y2

21 0: . Si resolvemos la ecuación ′E2 para y, obtenemos y = 0 , y = 1 o

y = −1. Sustituyendo en la ecuación ′E1 , los valores de y obtenidos, tenemos que: si y = 0 , entonces x = = −1 1 o x , lo que produce las soluciones ( ) ( )1,0 y 1,0− ; y si y = 1 o y = −1 ,

entonces x = 0 , lo que produce las soluciones ( ) ( )0,1 y , 1 .0 − ♦

En general, este método no es fácil de aplicar, pues la eliminación de variables puede ser muy difícil ó incluso imposible de realizar. Estudiaremos los métodos iterativos de Punto Fijo y Newton-Raphson para aproximar soluciones reales de sistemas no-lineales. 3.9.1 Iteración de Punto Fijo para sistemas no-lineales: Dado un sistema no-lineal de n-ecuaciones con n-incógnitas, ( )F X = 0 ( F n n: , D R D R→ ⊆ ), el método de Punto Fijo para

resolver este sistema consiste en transformar dicho sistema en otro equivalente (por lo menos en forma local) del tipo ( )X G X= para alguna función G n: ′ →D R , ′ ⊆D D .

Por ejemplo, si tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas


( )( )

( ) ,

, con F

f x y

f x yF X

f

f1

2

1

2

0

00

=

=

= ≡

lo escribimos en la forma equivalente

( )( ) ( )

x g x y

y g x yX G X

g

g

=

=

= ≡

1

2

1

2

,

, con G

(despejando, por ejemplo, si es posible, x de ( )f x,y 01 = e y de ( )f x,y 02 = ).

La iteración vectorial de punto fijo correspondiente

( ) ( )( )X G Xk k= =−1 , k 1,2,...

se convierte en

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

x

k

k =

=

=

− −

− −

g x y

y g x y

k k

k k k

11 1

21 1

12

, ,

, ,....

, ,

que no es otra cosa que la iteración de Jacobi para sistemas no-lineales. Otra forma de iteración vectorial de punto fijo es

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

x

k

k =

=

=

− −

−

g x y

y g x y

k k

k k k

11 1

21

12

, ,

, ,....

, ,

que usa el valor ya calculado ( )x k , y que no es otra cosa que el método de Gauss-Seidel para sistemas no-lineales. El siguiente teorema general, cuya demostración puede ser consultada en Ortega, 1990, página

153, da condiciones suficientes (no necesarias) para la convergencia de la sucesión ( ) X k

k

generada por la fórmula de iteración de Punto Fijo ( ) ( )( )X G Xk k= =−1 , k 1,2,...

Teorema 3.11 Sea ( ) D R= ∈ ≤ ≤ =x , x ,...., x a , ,2,...,1 2 n

ni i ix b i n1 para alguna colección de

constantes reales a b ni i, , , ,..., i = 12 . Supongamos que G n n: R R→ con Gg

gn

≡

1

M , es tal que

( )G D D⊆ , es decir, para todo X ∈D , ( )G X ∈D ; y que para cada j n= 12, ,..., , g j y sus primeras


derivadas parciales ( )∂

∂

g X

xnj

i, , ,..., i = 12 , son continuas en D . Entonces G tiene un punto fijo en

D . Si, además, existe una constante M, con 0 1≤ <M , tal que para cada i 1,2,...,n=

( )∂

∂

g X

xMn

j

i≤ , siempre que X ∈D ,

entonces G tiene un único punto fijo P ∈D y la sucesión ( ) X k

k definida por la iteración

( ) ( )( )X G Xk k= =−1 , k 1,2,...

converge al punto fijo P , cualquiera sea la escogencia de ( )X 0 ∈D , y se tiene la siguiente cota de error

( ) ( ) ( )X PM

MX Xk

k

− ≤−

−∞ ∞ 1

1 0 ∇

Ejemplo 3.14 Consideremos el siguiente sistema no-lineal

( )( )( )( )

,

,

x x y f x y x x y

xy x y f x y xy x y

2 21

2 2

22

2

10 8 0 10 8

10 8 0 10 8

− + + = = − + +

+ − + = = + − +

Las gráficas de x x y2 210 8 0− + + = y xy x y2 10 8 0+ − + = , en un mismo plano coordenado, se muestran en la FIGURA 3.2. Observando la FIGURA 3.2 vemos que el sistema dado tiene únicamente dos soluciones reales. Para encontrar estas soluciones por el método de Punto Fijo, empezamos por transformar el sistema dado en otro equivalente de la forma ( )X G X= . Uno de esos sistemas es

( )

( )

,

,

xx y

g x yx y

yxy x

g x yxy x

=+ +

=+ +

=+ +

=+ +

2 2

1

2 2

2

2

2

810

810

810

810

(Para obtener el sistema equivalente se despejaron las variables x e y de las ecuaciones

( )f x y1 0, = y ( )f x,y 02 = , respectivamente, de aquellas posiciones donde éllas eran dominantes, de acuerdo con la solución buscada).

Observe que Ggg

≡

1

2 es tal que: g1 2 y g son continuas en todo R 2 , porque son polinómicas.

( ) ( )∂

∂

∂

∂

g X

xx X

xy1

2210

110

= =+

, g2 son continuas en todo R2 .


( ) ( )∂∂

∂∂

g X

yy X

yxy1 2

10210

= =, g2 son continuas en todo R 2 .

FIGURA 3.2 Ahora,

0 15 0 2 252 2≤ ≤ ⇒ ≤ ≤x y x y, ,. .

⇒ ≤ + ≤0 4 52 2x y .

⇒ 08

104 5 8

1012 510

125 152 2

≤+ +

≤+

= = ≤x y . .

. .

También, ( )( )0 x,y 15 0 xy x 15 2 25 15 4 8752≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ + =. . . . .

⇒ 08

104 875 8

1012 875

1012875 15

2

≤+ +

≤+

= = ≤xy x . .

. .

Luego si ( ) D R= ∈ ≤ ≤x y x y, ,2 0 15. , entonces ( )G D D⊆ , así que G satisface las hipótesis

del teorema 3.11 en D , y por lo tanto G tiene por lo menos un punto fijo en D . Ahora, si X ∈D ,

( ) ∂

∂

g X

xx1

5155

3= ≤ =.

.

( ) ∂

∂

g X

yy1

53= ≤ .


( )

∂

∂

g X

xy2

2 110

3 2510

325=+

≤ =.

.

( )∂

∂

g X

yxy2 2

104 510

45= ≤ =.

.

Escogiendo M de modo que M2

45= . , es decir, escogiendo M= .90 tendremos que 0 1≤ <M , y

para cada X ∈D ,

( )∂

∂

g X

xMj ≤2

y ( )∂

∂

g X

yM

jj ≤ =2

12, ,

En consecuencia, G tiene un único punto fijo P ∈D y cualquiera sea ( )X 0 ∈D , la sucesión ( ) X k

k, con ( ) ( )( )X G Xk k= =−1 , k 1,2,... converge a P.

Si al sistema dado le aplicamos la iteración funcional de Punto Fijo

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )x

x yx g x yk

k k

k k k=+ +

=

− −

− −

12

12

11 1

8

10,

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )yx y x

y g x yk

k k k

k k k=+ +

=

− − −

− −

1 12

1

21 1

8

10,

empezando con ( ) ( )X 0 5 5= . ., y criterio de aproximación ( ) ( ) X

k kX− <−

∞

1 001. , obtenemos los


k ( )x k

( )y k

( ) ( )X Xk k− −

∞

1

0 .5 .5 1 .85 .8625 .3625 2 .946641 .948232 .096641 3 .979527 .979781 .032886 4 .991944 .991984 .012417 5 .996799 .996805 4 855 10 3. × −

6 .998723 .998724 1924 10 3. × −

7 .999490 .999490 7 67 10 4. × −

TABLA 3.1

Luego ( )P ≈ . .999490 999490, .



FIXED_POINT( ( ) ( )[ ] [ ] [ ]g x y g x y x y x y N1 2 0 0, , , , , , , , ): aproXima las primeras N iteraciones en el método

de Punto Fijo aplicado al sistema no-lineal ( )( )

x g x y

y g x y

=

=

1

2

,

,, tomando como aproximación inicial el

punto ( )x y0 0, . Para el ejemplo, aproXime la expresión

FIXED_POINT( [ ] [ ]x y xy xx y

2 2 2810

810

0 5 0 5 7+ + + +

, , , , , ,. . ). ◊

Usando la cota de error dada por el teorema 3.11 con M = .90 , obtenemos

( ) ( ) ( )

X P779

1 93625 173− ≤

−≈

∞

.

.. .

la cual no indica la precisión real de ( )X 7 con respecto a P, pues como el lector puede verificar

fácilmente, ( )P = 11, y realmente ( )X P7 45 1 10− ≈ ×∞

−

..

Si usamos las fórmulas de iteración del método de Gauss-Seidel

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )x

x yx g x yk

k k

k k k=+ +

=

− −

− −

12

12

11 1

8

10,

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )yx y x

y g x yk

k k k

k k k=+ +

=

−

−

12

21

8

10,

con ( ) ( )X 0 5 5= . ., y criterio de aproximación ( ) ( ) X

k kX− <−

∞

1 001. , se obtienen los resultados de

la TABLA 3.2 siguiente.

k ( )x k ( )y k ( ) ( )X X

k k− −

∞

1

0 .5 .5 1 .85 .90625 .40625 2 .954379 .973820 .104379 3 .985916 .992089 .031537 4 .995627 .997556 9 711 10 3. × −

5 .998639 .999240 3 012 10 3. × −

6 .999576 .999763 9 37 10 4. × −

TABLA 3.2

Observe que ( )X P6 44 24 10− ≈ ×∞

−

. , lo que asegura una precisión en la aproximación de P de

tres cifras decimales exactas. Como ejercicio haga un análisis similar para encontrar una aproximación de la otra solución del sistema dado. ♦


3.9.2 Método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales: Consideremos un sistema no-lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

( )( ) ( )

,

, , con F

f x y

f x yF x y

f

f1

2

1

2

0

00

=

=

= ≡

y sea ( )α α α= 1 2, una raíz de ( )F X = 0 con ( )X x y= , .

Supongamos que conocemos una aproximación ( ) ( ) ( )( )X x yk k k= , de α . Para generar la

aproximación siguiente ( ) ( ) ( )( )X x , yk 1 k 1 k 1+ + += , mediante el método de Newton-Raphson,

procedemos como se indica a continuación: Si las funciones ( )f x y1 , y ( )f x y2 , y todas sus derivadas parciales de orden menor o igual que dos

son continuas en una vecindad de ( )X k , entonces para ( ) ( )( )x yk k+ +1 1, en esa vecindad se tiene

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

f , , ,

,

, ,

11 1

11 1 1 1

12 2

12

1 12

1

12 2

12

12

2

x y f x y x xfx

x y y yfy

x y

x xf

xx x y y

fx y

y yf

y

k k k k k k k k k k k k

k k k k k k

k k

+ + + +

+ + +

+

= + − + −

+ −

+ − −

+ −

∂∂

∂∂

∂

∂ξ η

∂∂ ∂

ξ η

∂

∂ξ η,

con ξ entre ( )x k y ( )x k+1 , y η entre ( )y k y ( )y k+1 .

Si suponemos que ( ) ( )( )f x yk k1

1 1 0+ + ≈, y que el residuo

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

R f x y x xf

xx x y y

fx y

y yf

y

k k k k k k k k

k k

2 11 1 1

212

1 12

1

1 2 212

12

2

0

, , ,

,

+ + + + +

+

= −

+ − −

+ −

≈

∂

∂ξ η

∂∂ ∂

∂

∂ξ η

obtenemos

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 11 1 1 1≈ + − + −+ +f x y x x

fx

x y y yfy

x yk k k k k k k k k k, , ,∂∂

∂∂

(3.20)

Al trabajar, de manera similar, con ( )f x y2 , obtenemos

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 2

1 2 1 2≈ + − + −+ +f x y x xfx

x y y yfy

x yk k k k k k k k k k, , ,∂∂

∂∂

(3.21)


Si las cuasi-igualdades (3.20) y (3.21) las manejamos como igualdades y las escribimos en forma matricial, obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en las dos incógnitas

( ) ( )x k k+ +1 1, y :

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

, ,

, ,

,

,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

fx

x yfy

x y

fx

x yfy

x y

J X

x x

y y

X X

f x y

f x y

F X

k k k k

k k k k

k

k k

k k

k k

k k

k k

k

1 1

2 2

1

1

1

1

2

−

−

−

= −

+

+

+1 2444444 3444444 1 244 344

1 244 344

La matriz ( )( )J X k , en la ecuación anterior, se denomina matriz Jacobiana del sistema .

Despejando ( )( )

xy

k

k

+

+

1

1, siempre que ( )( )J X k

−1

exista, obtenemos

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( ) xy

xy

J X F Xk

k

k

kk k

+

+

−

=

−

1

1

1

o sea

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) X , k 0,1,...k k k kX J X F X+−

= −

=11

la cual es la fórmula vectorial de iteración del método de Newton-Raphson para el sistema no-lineal ( )F X = 0 (compare esta fórmula con la fórmula de iteracion del método de Newton-Raphson

obtenida en el capítulo 2).

Para implementar este método no es necesario, ni conveniente calcular ( )( )J X k

−1; se recomienda

el siguiente algoritmo :

Dada una aproximación inicial ( )X 0 , una tolerancia ε > 0 , y un número máximo de iteraciones N; para k N= 0 1, ,..., , hacemos:

Paso 1: Definimos ( ) ( ) ( )Z X Xk k k+ += −1 1

Paso 2: Resolvemos, para ( )Z k+1 , el sistema lineal

( )( ) ( ) ( )( )J X Z F Xk k k+ = −1

Paso 3: calculamos ( ) ( ) ( )X Z Xk k k+ += +1 1 .

Paso 4: Si ( ) ( ) ( )Z X Xk k k+ += − <1 1 ε para alguna norma vectorial . , entonces ( )X k+1 es una

aproximación de una solución del sistema ( )F X = 0 . De lo contrario se vuelve a iterar. Ejemplo 3.15 Si usamos el método de Newton-Raphson para resolver el siguiente sistema de ecuaciones no-lineales


x x y

xy x y

2 2

2

10 8 0

10 8 0

− + + =

+ − + =

que es el mismo del ejemplo 3.14, obtenemos los resultados que aparecen en las TABLAS 3.3 y

3.4, donde se usó como criterio de aproximación ( ) ( )X Xk k− <−

∞

1 001

. .

k ( )x k ( )y k ( ) ( ) X

k kX− −

∞

1

0 .5 .5 1 .937685 .939169 .439169 2 .998694 .998388 .061009 3 .999999 .999999 1611 10 3. × −

4 100000. 100000. 10 10 6. × −

TABLA 3.3

Instrucción en DERIVE: NEWTONS( ( ) ( )[ ] [ ] [ ]f x y f x y x y x y N1 2 0 0, , , , , , , , ): aproXima las primeras N iteraciones del método de

Newton-Raphson aplicado al sistema no-lineal ( )( )

f x y

f x y1

2

0

0

,

,

=

=

, tomando como aproximación inicial el

punto ( )x y0 0, . Para el ejemplo, aproXime la expresión

NEWTONS( [ ] [ ] [ ]x x y xy x y x y2 2 210 8 10 8 0 5 0 5 4− + + + − +, , , , , ,. . ). ◊

De acuerdo con los resultados de la TABLA 3.3, se tiene que ( ) ( ) ( )X X4 100000 100000 11= ≈ =. ., , .

k ( )x k ( )y k ( ) ( ) X

k kX− −

∞

1

0 2 0. 3 0. 1 219444. 3 02778. .19444 2 219345. 3 02048. 7 3 10 3. × − 3 219344. 3 02047. 2 0 10 5. × −

TABLA 3.4

De acuerdo con los resultados que aparecen en la TABLA 3.4, se tiene que ( ) ( )X 3 219344 3 02047= . ., es una aproximación de la otra solución del sistema dado.

Veamos como se calcula la primera iteración ( ) ( )X 1 219444 3 02778= . ., , que aparece en la TABLA 3.4, usando el método de Newton-Raphson: Primero que todo, sean ( ) ( )f x y x x y x y xy x y1

2 22

210 8 10 8, , f ,= − + + = + − + . Entonces

( ) ( )∂∂

∂∂

fx

x y xfy

x y y1 12 10 2, , ,= − =


( ) ( )∂∂

∂∂

fx

x y yfy

x y xy2 2 21 2 10, , ,= + = −

Es claro que las funciones ( ) ( )f x y x y1 2, , , f y sus derivadas parciales de orden menor o igual que

dos son continuas en todo R2 , por ser polinómicas.

Para calcular la primera iteración ( ) ( )( )X x

y1

1

1=

, siguiendo los pasos en el algoritmo anterior,

procedemos así:

Definimos ( ) ( ) ( )Z X X1 1 0= − ( k = 0 ), y resolvemos el sistema lineal

( )( ) ( ) ( )( )J X Z F X0 1 0= − En este sistema

( )( )( )( )( )( )F X

f X

f X

0 10

20

=

siendo ( )( ) ( ) ( )( ) ( )f X f X f10

1 20

22 0 10 2 0 0 2= = = = −. . . ., 3 0 , f , 3.

y

( )( )( ) ( )

( ) ( )J X

fx

fy

fx

fy

0

1 1

2 2

2 0 3 0 2 0 3 0

2 0 3 0 2 0 3 0

6 6

10 2=

=−

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

. . . .

. . . .

, ,

, ,

Luego el sistema a resolver es

( )

( ) −

=

−

6 610 2

12

11

21

z

z

La solución única de este sistema es ( )

( ) z

z11

21

172

2 610 6

12

136

71

=

−−

− −

−

=

Entonces

( ) ( ) ( )X Z X1 1 0 136

71

23

136

79109

2194443 02778

= + =

+

=

≈

.

.

Procediendo de manera similar se obtienen ( ) ( )X 2 3 y X . ♦ Ejemplo 3.15 Consideremos el sistema no-lineal


x y x

x y y

2 2

2 2

0

0

+ − =

− − =

Las gráficas de las ecuaciones x y x2 2 0+ − = y x y y2 2 0− − = ( ( )f x y x y x1

2 2, = + − ,

( )f x y x y y22 2, = − − ), se muestran en la FIGURA 3.3 siguiente.

FIGURA 3.3 Por simple inspección sobre el sistema dado, u observando la FIGURA 3.3, se ve que ( )0,0 es una solución del sistema, y que el sistema dado solamente tiene dos soluciones reales. Si usamos el método de Newton-Raphson para encontrar la solución no nula del sistema dado, con

criterio de aproximación ( ) ( )X Xk k− <−

∞

−1 310

, se obtiene como solución aproximada

( ) ( )X 4 771845 419643= . ., tomando como aproximación inicial ( ) ( )X 0 10 5= . ., ; si tomamos

aproximación inicial ( ) ( )X 0 10 10= . ., , se obtiene la solución aproximada ( ) ( )X 4 771845 419644= . ., ,

y si tomamos aproximación inicial ( ) ( )X 0 5 5= . ., , obtenemos la solución aproximada ( ) ( )X 5 771845 419643= . ., . ♦

Como una aplicación del método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales, tenemos el método de Bairstow para encontrar ceros complejos de funciones polinómicas, método al cual nos referiremos a continuación. 3.10 CEROS COMPLEJOS DE POLINOMIOS: MÉTODO DE BAIRSTOW


Para hallar una raíz compleja de una ecuación polinómica con coeficientes reales puede utilizarse el método de Newton-Raphson con una aproximación inicial compleja y aritmética compleja. Otra forma de enfocar el problema de las raíces complejas de una ecuación polinómica con coeficientes reales se basa en el hecho de que si z a bi= + es un cero complejo de multiplicidad m de un polinomio ( )p x , entonces su conjugado z a bi= − es también un cero de multiplicidad m de ( )p x y

( )x ax a bm2 2 22− + + es un factor de ( )p x . Es decir, las raíces complejas de ecuaciones

polinómicas con coeficientes reales se producen en pares conjugados y por ésto, se debe buscar un factor cuadrático, más que lineal, del polinomio. Esta es la base del método de Bairstow, el cual nos permitirá encontrar raíces reales o complejas de una ecuación polinómica con coeficientes reales, realizando únicamente aritmética real. A continuación describimos este método: Dado un polinomio con coeficientes reales

( )p x a a x a x= + + + + ≠ ≥0 1 22 2... a x , a 0, nn

nn (3.22)

El algoritmo de la división de Euclides nos permite expresarlo en la forma

( ) ( ) ( ) ( )p x x ux v q x r x u s = − − + − +2 (3.23)

donde u y v son constantes reales, ( )q x es un polinomio de grado n − 2 con coeficientes

reales, ( )q x b b x b xn

n= + + + −−

0 1 22... (3.24)

y ( )r x u s− + es un residuo lineal con coeficientes reales r y s. Las expresiones ( )x ux v y r x u s2 − − − + han sido escritas así para simplificar los cálculos posteriores. El objetivo es encontrar u y v tales que x ux v2 − − sea un factor cuadrático de ( )p x . Al sustituir (3.24) en (3.23), se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )p x x ux v q x r x u s= − − + − +2

( )( ) ( )= − − + + + + + + − +−−

−−x ux v b b x b x b x b x r x u sn

nn

n20 1 2

23

32

2... (3.25)

( ) ( ) ( )= − − + + − − + + − − +vb ru s ub vb r x b ub vb x0 0 1 0 1 22 ...

( ) ( )+ − − + − +− − −−

− −−

−b ub vb x b ub x b xn n nn

n nn

nn

4 3 22

3 21

2 Igualando (3.22) y (3.25), obtenemos


a

a

a

a a

n n

n n n

n n n n

n n n n

b

a b uba b ub vb

a b ub vb

b ub vb

b ub vb

r ub vbs ur vb

=

= −= − −

= − −

= − −

= − −

= − −= − −

−

− − −

− − − −

− − − −

2

1 3 2

2 4 3 2

3 5 4 3

3 1 2 3

2 0 1 2

1 0 1

0 0

M

igualdades que pueden escribirse en la forma

b ab a ub

b a ub vb

b a ub vb

a ub vb

a ub vb

r a ub vb

a ur vb

n n

n n n

n n n n

n n n n

−

− − −

− − − −

− − − −

== +

= + +

= + +

= + +

= + +

= + +

= + +

2

3 1 2

4 2 3 2

5 3 4 3

1 3 2 3

0 2 1 2

1 0 1

0 0

b

b

s

M

(3.26)

Para que x u x v2 − − sea un factor de ( )p x , como queremos, es necesario que r = 0 y s = 0 , pero

r y s son funciones no-lineales de u y v (observe que b0 y b1 son funciones de u y v). Debemos entonces resolver el sistema no-lineal

( ) ( )( )

( ) ( )( )

r u v f u v

s u v f u v

, ,

, ,

= =

= =

0 0

0 0

1

2

(3.27)

para las incógnitas u y v. Usando el método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales, si

Jr rs su v

u v=

donde r su v u v, r , s , son las derivadas parciales de r y s con respecto a u y v, respectivamente, entonces en la k-ésima iteración (para determinar u y v), tenemos


( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )( )( )( )( )( )

uv

X

uv

X

J Xr X

s X

F X

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

+

+

+

−

=

−

1

1

1

1

124 34 1231 24 34

(3.28)

Aparentemente no se dispone de las derivadas parciales de r y s, por no conocerse una relación explícita para r y s; sin embargo, si usamos la relación de recurrencia para a b u v rj j, , , , y s dada en (3.26) y derivamos parcialmente con respecto a u, obtenemos

( )bn u− =2 0 , pues b an n− =2 con an constante, y

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

b b

b b u b

b b u b v b

b b u b v b

b u b v b

r ur v b

n u n

n u n n u

n u n n u n u

u u u

u u u

u u u

− −

− − −

− − − −

=

= +

= + +

= + +

= + +

= + +

3 2

4 3 3

5 4 4 3

0 1 1 2

0 0 1

0

r

s

M

(3.29)

Si definimos ( )c bk k u

= −2 , k n= − −1 2,n 2,..., , c ru1 = y c su0 = , las relaciones en (3.29) pueden

escribirse como sigue

c b

c b uc

c b uc vc

b uc vc

b uc vc

r uc vc

n n

n n n

n n n n

o

− −

− − −

− − − −

=

= +

= + +

= + +

= + +

= + +

1 2

2 3 1

3 4 2 1

2 1 3 4

1 2 3

0 1 2

c

c

c

M (3.30)

de modo que

( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )J X

r X r X

s X s X

k uk

vk

uk

vk

=

se convierte en


( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )J X

c r X

c s X

kk

vk

kv

k=

1

0

donde ( ) ( )c k k1 0 y c son los valores de c1 0 y c , obtenidos en las ecuaciones (3.30) en la iteración

k-ésima.

Para obtener expresiones para ( )( ) ( )( )r X Xvk

vk y s , derivamos parcialmente las mismas

relaciones en (3.26) pero con respecto a v, con lo cual obtenemos

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

b b

b u b b b u b

b u b b v b b u b v b

b u b b v b b u b v b

u b b v b b u b v b

ur b v b b ur v b

n v n

n v n v n n n v

n v n v n n v n n v n v

v v v v v

v v v v v

v v v v v

− −

− − − − −

− − − − − − −

=

= + = +

= + + = + +

= + + = + +

= + + = + +

= + + = + +

4 2

5 4 3 3 4

6 5 4 4 4 5 4

0 1 2 2 2 1 2

0 1 1 1 0 1

0 0 0 0

r

s

M

(3.31)

Si definimos ( )d bk k v

= −3 , k n= − −1 3,n 2,..., , d rv2 = y d sv1 = , entonces las ecuaciones (3.31) se

convierten en

d b

d b ud

d b ud vd

b ud vd

b ud vd

b ud vd

n n

n n n

n n n n

− −

− − −

− − − −

== += + +

= + += + += + +

1 2

2 3 1

3 4 2 1

3 2 4 5

2 1 3 4

1 0 2 3

d

d

d

M

(3.32)

de modo que

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) J X

c d

c dk

k k

k k=

1 2

0 1

Si observamos las ecuaciones (3.30) y (3.32), vemos que ellas producen los mismos valores para

k n= − −1 1, n 2,..., , es decir, d ck k= , k n= − −1 1, n 2,..., ; por tanto (3.32) es redundante, y ( )( )J X k

puede calcularse como


( )( )( ) ( )

( ) ( ) J Xc c

c c

kk k

k k=

1 2

0 1

Resumimos la discusión precedente en el siguiente algoritmo: Algoritmo 3.7 (Método de Bairstow) Para encontrar un factor cuadrático x ux v2 − − de un polinomio con coeficientes reales

( )p x a a x a x= + + + + ≠ ≥0 1 22 2... a x , a 0, nn

nn

Entrada: El grado n del polinomio ( )p x ; los coeficientes a n0 ,a ,...,a1 del polinomio ( )p x ; unas

aproximaciones iniciales u0 0, v de u y v, respectivamente; una tolerancia Tol, y un

número máximo de iteraciones N. Salida: Un factor cuadrático aproximado x ux v2 − − del polinomio ( )p x o un mensaje. Paso 1: Hacer

b a

c

c a

n n

n

n n

=

=

=−

0

1

(observe que se cambió la notación de subíndices)

Paso 2: Tomar i = 1. Paso 3: Mientras que i N≤ seguir los pasos 4-10:

Paso 4: Hacer b a u bn n n− −= +1 1 0 .

Paso 5: Para k n= − −2,n 3,...,0 , hacer

b a u b v bc b u c v c

k k k k

k k k k

= + += + +

+ +

+ + +

0 1 0 2

1 0 1 0 2

(con este cambio de subíndices b r y b s1 0= = )

Paso 6: Hacer J c c c= −0 2 12 (aquí J es igual a −

det )

c cc c

1 2

0 1.

Paso 7: Hacer

u uc b c b

J

v vc b c b

J

1 01 1 2 0

1 01 0 0 1

= +−

= +−

(Se está usando la regla de Cramer para resolver el sistema)


Paso 8: Si b r b s 1 0= < = <Tol y Tol , entonces : salida: "Un factor cuadrático

aproximado del polinomio dado, y los correspondientes valores de r y s son: x u x v2

1 1− − = =; r b , s b1 0 ". Terminar.

Paso 9: Tomar i i= + 1. Paso 10: Hacer u u

v v0 1

0 1

=

=

Paso 11: Salida: "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia".

Terminar. Ejemplo 3.16 Encontrar todas las raíces de la ecuación x x x x4 3 24 7 5 2 0− + − − = , usando el método de Bairstow.

Solución: Con un programa diseñado siguiendo el algoritmo 3.7 anterior, se obtienen los siguientes resultados: Para las aproximaciones iniciales u0 3= y v 0 4= − , y una tolerancia Tol = −10 10 , se obtiene en la séptima iteración que u = = −2 2756822037 3 6273650847. . y v y los valores de r y s

correspondientes son r = − × = − ×− −5 7853028 10 11423154 1016 15. . y s . Las raíces del factor cuadrático aproximado x ux v2 − − obtenido, son complejas conjugadas con parte real 11378411018. y parte imaginaria 15273122509. , y si usamos Deflación se obtiene el polinomio reducido de grado dos

( ) q x x x= − −2 17243177963 5513644073. .

cuyas raíces son x1 22 0000000000 2756822037= = −. . y x . ♦

Instrucción en DERIVE: BAIRSTOW( ( )p x x u v N, , , ,0 0 ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de Bairstow aplicado al polinomio ( )p x para obtener valores aproximados uN y vN de los coeficientes u y v de

un factor cuadrático x ux v2 − − del polinomio ( )p x , tomando como aproximaciones iniciales u0 y

v 0 . Para este ejemplo, aproXime la expresión BAIRSTOW(x x x x x4 3 24 7 5 2 3 4 7− + − − −, , , , ). ◊ Ejemplo 3.17 Encontrar todas las raíces de la ecuación

( ) p x x x x x x x x= − + − + − + − =7 6 5 4 3 228 322 1960 6769 13132 13068 5040 0

usando el método de Bairstow.


Solución: Si aplicamos el método de Bairstow con Deflación para hallar todas las raíces de la ecuación polinómica dada, se obtienen los resultados que aparecen a continuación, usando como tolerancia Tol = −10 10 : Para los valores iniciales u0 02 3= = y v , se obtiene en la octava iteración u = 4 0000000000. , v = −3 0000000000. y los valores de r y s correspondientes son r = − × = − ×− −18927082 10 3 6550318 1011 11. . y s . Las dos raíces del factor cuadrático aproximado

obtenido son 3.00000000000, 1.0000000000 y el polinomio reducido ( )q x5 , de grado cinco, es

( )q x x x x x x55 4 3 224 223 996 2116 1680= − + − + − .

Si aplicamos Deflación, es decir, aplicamos el método de Bairstow al polinomio reducido ( )q x5 , se obtiene para los valores iniciales u0 03 5= = y v , en la décima iteración los valores de

u = 8 00000000000. , v = −12 0000000000. , r = × −14388490 10 13. y s = × −9 1660013 10 13. . Las raíces del factor cuadrático aproximado correspondiente son 6.0000000000 y 2.00000000000, y el polinomio reducido, de grado tres, es ( )q x x x x3

3 216 83 140= − + − .

Al aplicar nuevamente Deflación, para los valores iniciales u0 08 30= = y v , se obtiene en la

séptima iteración u = 9 0000000000. , v = −20 0000000000. , r = × −8 6330942 10 13. y s = × −8 3950624 10 12. . Las raíces del factor cuadrático correspondiente son 5.00000000000 y 4.0000000000, y el polinomio reducido de grado uno es ( )q x x1 7= − , que nos lleva a obtener

como última raíz aproximada de la ecuación polinómica original el valor 7.0 . Las raíces exactas de la ecuación polinómica dada, son 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. ♦ TALLER 3. 1. Use el método de eliminación Gaussiana simple (sin pivoteo) con sustitución regresiva y

aritmética exacta para resolver, si es posible, los sistemas lineales AX b= siguientes, y encuentre matrices P de permutación, L triangular inferior con sus elementos diagonales iguales a 1 y U escalonada (triangular superior) tales que PA LU= .

a) x

x

1 2 3

1 2 3

1 2

3 23 3 1

3

− + =− + = −

+ =

x xx x x

x

b)

x

x

x x

x

1 2 3

1 2 3 4

1 2

1 2 3 4

12

4

2 5

2

12

5

− + =

− − + =+ =

− + + =

x x

x x x

x x x

2. Use el algoritmo 3.2 y aritmética de precisión sencilla en un computador para resolver, si es

posible, los siguientes sistemas de ecuaciones


a)

14

15

16

9

13

14

15

8

12

2 8

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x

+ + =

+ + =

+ + =

x

b)

x

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

12

13

14

16

12

13

14

15

17

13

14

15

16

18

14

15

16

17

19

+ + + =

+ + + =

+ + + =

+ + + =

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

3. Resuelva los siguientes sistemas AX b= por Eliminación Gaussiana sin pivoteo. Chequee si A

tiene factorización LU con L triangular inferior con sus elementos diagonales iguales a 1 y U escalonada (triangular superior).

a) A =−−

−

=

1 1 11 2 2

2 1 1

10

1

, b b) A =

−

−

4 3 2 13 4 3 22 3 4 3

1 2 3 4

111

1

, b =

4. Dados los cuatro sistemas de ecuaciones lineales ( )AX b= 1 , ( )AX b= 2 , ( )AX b= 3 y ( )AX b= 4 , donde

( ) ( ) ( ) ( )A =−

−− −

= −

=

=−

=−

2 3 11 1 11 1 3

210

645

013

100

1 2 3 4 , b

, b , b

, b

a) Resuelva los sistemas lineales aplicando eliminación Gaussiana a la matriz aumentada ( ) ( ) ( ) ( )( )A M b b b b1 2 3 4 , y luego haciendo sustitución regresiva.

b) Resuelva los sistemas lineales usando eliminación Gaussiana para obtener matrices P, L y U

tales que PA LU= , y luego siguiendo los pasos siguientes:

Paso1: Calcular ( )Pb , i 1,2,3,4 .i =

Paso 2: Resolver, para ( )c i , ( ) ( )Lc Pbi i= =, i 1,2,3,4 , por sustitución progresiva.

Paso 3: Resolver, para ( )X i , ( ) ( )UX ci i= =, i 1,2,3,4 , por sustitución regresiva.

c) Resuelva los sistemas lineales aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz aumentada de a).

d) Resuelva los sistemas lineales encontrando la inversa de la matriz A y calculando los

productos ( )A b , i 1,2,3,4 .1 i− =

e) Cuál método de los anteriores parece ser más fácil? Cuál método de los anteriores requiere más operaciones?


5. Encontrar X X

∞ y

2 para cada uno de los siguientes vectores:

a) XT

= −

332

, 4,0, b) ( )X 2,1, 3,4T= −

c) ( )XT

= senk,cosk,2k , para un entero positivo fijo k.

6. a) Verificar que la función

.

1 definida en Rn por

x X ii

n

11

==∑

es una norma vectorial.

b) Encontrar

X1 para cada uno de los vectores dados en el ejercicio 5.

7. Demuestre que para todo X n∈R ,

X X X 2 1∞

≤ ≤

y que las igualdades pueden ocurrir, aún para vectores no nulos.

8. Demuestre que para todo X n∈R ,

X n X1

≤∞

y

X n X2

≤∞

9. a) Encuentre A A A

2 1, y

∞ para cada una de las siguientes matrices

A =

1 24 3

, A = −− −

1 0 01 0 11 1 2

b) Calcule el radio espectral ( )ρ A para cada una de las matrices dadas en a).

10. Demuestre que si A es simétrica, entonces ( )A A2

= ρ .

11. Calcule ( ) ( )Cond A A y Cond∞ ∗ para cada una de las matrices dadas en el ejercicio 9.a). 12. Sea A n n∈ ×R . Demuestre que ( ) ( )Cond A Cond A= α para cualquier escalar α ∈R, α ≠ 0 .


13. a) Considere el sistema lineal AX b= dado por

1 1

1 101

2

2 011

2. .

=

xx

y calcule su solución exacta X .

b) Considere ahora el sistema perturbado ( )A A X b+ =δ dado por

1 1

1 1011

2

2 011

2. .

=

xx

y calcule su solución exacta ~

X .

c) Calcule X

X

−∞

∞

~X

y compárela con la cota de error obtenida a partir del teorema 3.4. Es la

matriz A mal condicionada?

14. Considere el sistema

. . .

. . .

780 563 217

913 659 2541 2

1 2

x x

x x

+ =

+ =

Calcule el vector error residual R AX b= −~

, para las dos soluciones aproximadas

( ) ( )~ . . ~ . .X XT T1 2341 087 999 1001= − = −, y , y concluya, a partir únicamente del tamaño de estos

errores residuales, cuál es la mejor aproximación de la solución del sistema. Verifique que la

solución exacta del sistema es ( )X 1, 1 .T= −

15. El sistema x y

x y

+ =+ =

0

999999 1.

tiene solución exacta x = = −10 106 6, y . Encuentre la solución exacta del sistema

x y

x y

+ =+ =

0

1000001 1.

Comente ampliamente los resultados. 16. Considere las matrices


A , B

=−

−

=

−−

1 1

1 100001

1 1

1 100001. . Muestre que ( ) ( )Cond A B y Cond∗ ∗≈ ≈ ×1 4 105 . Muestre, sin embargo, que

( ) ( )Cond A Cond B 2 2= . Concluya que ( )Cond∗ . no es un buen número de condición para

matrices no simétricas. Es A mal condicionada o bien condicionada?

17. La matriz de Hilbert ( ) ( )H hni j n n

=×

definida por hi ji j =+ −

≤ ≤1

1, 1 i, j n es un importante

ejemplo en el álgebra lineal numérica.

a) Encuentre la matriz ( )H 4 , demuestre que

( )[ ] H 41

16 120 240 140120 1200 2700 1680

240 2700 6480 4200

140 1680 4200 2800

−=

− −− −

− −

− −

y calcule ( )( )Cond H∞4 .

b) Resuelva el sistema lineal

( )H

x

xx

x

4

1

2

3

4

1

00

1

=

usando aritmética con redondeo a tres dígitos y compare el error real en la aproximación

calculada con la cota de error dada en el teorema 3.3. Es la matriz ( )H 4 mal condicionada?

18. Considere el sistema lineal

2

x

x x x

x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

23

13

1

2 0

6 2 2 2

+ + =

+ − =

+ + = −

y verifique que su solución es x1 2 32 6 3 8 5 0= = − = −. . ., x , x .

a) Usando aritmética de punto flotante decimal con redondeo a cuatro dígitos, resuelva el

sistema anterior por el método de eliminación Gaussiana sin pivoteo. b) Repita la parte a), usando pivoteo parcial y pivoteo escalado de fila. c) Cuál de las tres soluciones calculadas en a) y b) es la mejor? Explique.


19. a) Muestre todos los pasos intermedios, ésto es, los multiplicadores, los factores de escala Si ,

y el vector de intercambios p, al aplicar el pivoteo escalado de fila sobre la matriz siguiente:

A =−− −

−

1 2 33 5 1

2 4 2

b) Use la información de la parte a) para encontrar matrices P, L y U, correspondientes al método de pivoteo escalado de fila, tales que PA LU= .

c) Use la factorización PA LU= , para calcular det A .

20. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, usando aritmética de

computador en precisión simple y eliminación Gaussiana con: i) sin pivoteo, ii) pivoteo parcial, iii) pivoteo escalado de fila.

a)

. . . .

. . . .

. . . .

2641 1735 8642 7521

8641 4243 0711 2501

9411 0175 1463 6310

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

+ + = −

− − + =

+ + =

b)

x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

12

13

2

12

13

14

1

13

14

15

0

+ + =

+ + = −

+ + =

x x

x x x

x x x

c)

x1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

12

13

14

15

1

12

13

14

15

16

1

13

14

15

16

17

1

14

15

16

17

18

1

14

15

16

17

19

1

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

En cada caso estime el número de condición, relativo a la norma

.

∞ , de la matriz de

coeficientes y concluya sobre el bien o mal condicionamiento de esta matriz, y si es posible, sobre la bondad de la solución calculada.

21. Determine cuáles de las siguientes matrices son i) simétricas, ii) singulares, iii) estrictamente dominantes diagonalmente (E.D.D.) por filas,


iv) definidas positivas.

a) 2 1

1 3

b) −

−

2 1

1 3

c)

2 1 00 3 21 2 4

d)

2 1 01 4 20 2 2

−−

22. Defina la matriz tridiagonal de orden n

An =

−

− −− −

−

2 1 0 0

1 2 1 00 1 2 1

0 1 2

L

M ML

a) Encuentre una fórmula general para A LUn = , con L triangular inferior con sus elementos diagonales iguales a uno y U triangular superior.

b) Use la factorización obtenida en a) para resolver el sistema A X bn n= donde

( )bn = 1,1,...,1T

, para n 3, 4, 5, 6 .=

c) Con base en la respuesta obtenida en a), muestre que la matriz A n es invertible. 23. Pruebe que si A LLT= con L n n∈ ×R no singular, entonces A es simétrica y definida positiva.

24. Usando el método de Choleski, encuentre la factorización A LLT= para las siguientes matrices:

a) A =−

− −−

2 25 3 0 4 53 0 5 0 10 04 5 10 0 34 0

. . .. . .. . .

b) A =

− −− −

− −− −

15 18 15 3

18 24 18 415 18 18 3

3 4 3 1

25. Considere la matriz A =

2 3

1 4. Verifique que la matriz A no es estrictamente dominante

diagonalmente (por filas), pero que los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel, para resolver cualquier sistema AX b= , convergen.

26. Demuestre que para la matriz

A = −

−

1

1 01 1 0

1 2 3

las iteraciones de Jacobi convergen y las de Gauss-Seidel divergen.



2 42 4

2 4

x y zy z

y z

+ + =+ + =

+ + =

x

x

a) Muestre que la matriz de coeficientes del sistema no es estrictamente dominante diagonalmente (por filas).

b) Partiendo de ( ) ( )X T0 8 8 8= . . ., , , muestre que las iteraciones de Jacobi oscilan entre los

valores ( ) ( )121212 8 8 8. . . . . ., , y , , .T T

c) Muestre que las iteraciones de Gauss-Seidel convergen a la solución ( )X T= 1,1,1 ,

calculando iteraciones hasta que ( ) ( ) X .

k kX− <−

∞

−1 310

28. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones, explique si los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen o no. En los casos donde haya convergencia calcule las

iteraciones hasta que ( ) ( ) X

k kX− <−

∞

−1 310 .

a) 2 1

6 3

2 1

1 2

1 2

2 3

x xx

x x

x

+ =+ =

+ =

b)

2 3 13 2 12

3 3 0

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x xx x x

x x x

+ − = −− + + =

+ − =

c) − + + =

− + =

+ − = −

x x xx x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 04 6

2 3 2

x

d)

2 1

1

2 2

1 2 3

1 2

1 2 3

x x x

x

x x

+ − =

+ = −

− + =

x

x e)

x x

x

1 2 4

1 2 3

1 3 4

1 2 3

2 0

3 4 23 1

2 1

+ + =

− + =− + = −

+ − =

x

x x xx x

x x x

29. Para cada uno de los sistemas del ejercicio 28, si la matriz de coeficientes no es estrictamente

dominante diagonalmente (por filas), reordénelo de modo que el nuevo sistema equivalente tenga matriz de coeficientes lo más cercana posible a ser estrictamente dominante diagonalmente (por filas) y estudie la convergencia o divergencia de los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel para estos sistemas reordenados. En los casos donde haya

convergencia calcule las iteraciones hasta que ( ) ( ) X

k kX− <−

∞

−1 310 .

30. Para cada uno de los sistemas reordenados del ejercicio 30, use el método SOR con w = 12. ,

w = ..8


31. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones no-lineales usando el método de Punto Fijo y

el método de Newton-Raphson. En los casos donde haya convergencia del método, calcule

las iteraciones hasta que ( ) ( ) X

k kX− <−

∞

−1 310 . En cada caso haga una gráfica que ilustre

cuántas soluciones reales tiene el sistema.

a) x y

x y

2 2

3

4

0

+ =

− =

b)

x2 2 4

1

− =

+ =

−

y

e xyx c)

4 0

4 1

2 2

2

x y

xy x

− =

− =

32. Use el método de Newton-Raphson para aproximar un punto crítico de la función

( ) ( )f x y x xy y, = + + +4 21

33. Considere el polinomio

( ) p x x x x x x= − − + − +3 7 5 8 25 4 3 2

a) Haga una gráfica que ilustre cuántas raíces reales tiene la ecuación ( )p x = 0 . b) Aplique el algoritmo 3.7 (método de Bairstow) con punto inicial ( ) ( )u ,v 3,10 0 = y

Tol = −10 3 . Una vez que haya encontrado un factor cuadrático x ux v2 − − , use Deflación para encontrar todas las raíces de la ecuación ( )p x = 0 .

CAPÍTULO 4. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL Y AJUSTEPOLINOMIAL

INTRODUCCIÓN

En este capítulo trataremos básicamente dos problemas, el primero de los cuales es elsiguiente:

Problema 1: Dados n +1 puntos de R2

( ) ( ) ( )nn1100 y,x,...,y,x,y,x

en los cuales n10 x,...,x,x son números distintos, se quiere encontrar un polinomio ( )p xn degrado menor o igual que n tal que

( ) p x y , k 0,1,...,n n k k= =

Probaremos que un tal polinomio ( )p xn siempre existe y además es único. A tal polinomiose le denomina polinomio de interpolación, polinomio interpolante o polinomio decolocación para los puntos (datos) dados. En este contexto los números n10 x,...,x,x sonllamados nodos. Cuando n =1, es decir, sólo tenemos dos puntos, el polinomio deinterpolación correspondiente se denomina también polinomio de interpolación lineal.

El caso de mayor interés para nosotros es aquel en el cual ( )y f xk k= siendo f una ciertafunción de la que posiblemente no se conoce una fórmula explícita, o bien es muycomplicada para evaluarla, derivarla, integrarla, hallarle ceros, etc. En este caso el polinomiode interpolación ( )p xn puede usarse como aproximación de la función f y, en particular, paraaproximar valores de la función f en puntos intermedios entre los nodos n10 x,...,x,x . Nosreferiremos a esta manera de aproximar una función dada, mediante un polinomio deinterpolación, como interpolación polinomial; cuando usemos sólo dos nodos, nosreferiremos a la correspondiente interpolación como interpolación lineal. En este contextoel polinomio de interpolación ( )p xn se dirá el polinomio que interpola a la función f en losnodos n10 x,...,x,x .

El otro problema a tratar es:

Problema 2: Dados n +1 puntos de R2

( ) ( ) ( )nn1100 y,x,...,y,x,y,x

en los cuales n10 x,...,x,x son números distintos, y dado un entero no-negativo m, conm n< , se trata de encontrar un polinomio

( )p x a a x a xm mm= + + +0 1 ...


__________________________________________________________________________________

tal que la suma de cuadrados

( )( ) p x ym k kk

n

−=∑ 2

0

sea mínima.

El criterio mediante el cual se elige el polinomio ( )p xm es conocido como criterio de los

mínimos cuadrados. Probaremos que tal polinomio ( )p xm existe y es único; se ledenomina polinomio de ajuste según mínimos cuadrados para los datos dados. Nóteseque esta vez, a diferencia de lo que ocurre con el polinomio de colocación, ( )p xm k no

necesariamente es igual a yk para todo k n= 01, ,..., . El polinomio ( )p xm lo que da es unajuste razonable a los datos dados.

Este tipo de aproximación mediante el polinomio de ajuste ( )p xm se conoce como ajuste

polinomial. Aunque el ajuste polinomial según mínimos cuadrados es el caso más usado,también consideraremos el caso de ajuste exponencial, logarítmico y de potencia segúnmínimos cuadrados.

4.1 INTERPOLACIÓN POLINOMIAL

Teorema 4.1 (existencia y unicidad del polinomio interpolante) Dados los n +1 puntos( ) ( ) ( )nn1100 y,x,...,y,x,y,x de R2 , con n10 x,...,x,x números distintos, existe un únicopolinomio

( )p x a a x a x ... a xn 0 1 22

nn= + + + +

de grado menor o igual que n, que interpola los puntos dados, es decir, tal que

( ) p x y , k 0,1,...,nn k k= =

Demostración: Existe un único polinomio

( )p x a a x a x a xn nn= + + + +0 1 2

2 ...tal que

( ) p x y , k 0,1,...,nn k k= =

si y sólo si existen números reales únicos a a a an0 1 2, , ,..., tales que

a a x a x a x y

a a x a x a x y

a a x a x a x y

nn

nn

n n n nn

n

0 1 0 2 02

0 0

0 1 1 2 12

1 1

0 1 22

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

...

...

...

!

Capítulo 4. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL Y AJUSTE POLINOMIAL 185__________________________________________________________________________________

El sistema anterior, de n +1 ecuaciones lineales en las n +1 incógnitas a a a an0 1 2, , ,..., ,escrito en forma matricial es

11

1

0 02

0

1 12

1

2

0

1

0

1

x x xx x x

x x xA

aa

aX

yy

yb

n

n

n n nn

n n

"

"

! ! ! !

"# $%%%%%% &%%%%%%

!

#$% &%

!

#$% &%

=

Ahora bien, como

( ) det A j i n

= = −≤ < ≤∏

11

1

0 02

0

1 12

1

2

0

x x xx x x

x x x

x x

n

n

n n nn

i j

"

"

! ! ! !

"

entonces det A ≠ 0 (porque si i j≠ , entonces x xi j≠ ), y por tanto el sistema en consideracióntiene solución única. Esto prueba la existencia de un único polinomio interpolante de gradomenor o igual que n para los n +1 datos dados. ∇∇∇∇

Una forma de encontrar el polinomio interpolante para los puntos ( ) ( ) ( )nn1100 y,x,...,y,x,y,xes resolviendo directamente el sistema AX b= que aparece en la prueba del teoremaanterior; pero este procedimiento no se acostumbra porque, por lo general, la matriz decoeficientes de este sistema resulta mal condicionada, lo que puede ocurrir si dos abscisasestán relativamente cerca. Lo que resta de esta sección lo dedicaremos a otras formas deencontrar el polinomio interpolante.

4.1.1 Forma de Lagrange del polinomio interpolante: Supongamos, para ilustración delmétodo de Lagrange, que se tienen los puntos ( ) ( ) ( )221100 y,x ,y,x ,y,x con x0 1 2, x y xnúmeros distintos y queremos encontrar el polinomio interpolante de grado menor o igual quedos

( ) p2 0 1 22x a a x a x= + +

para dichos puntos.

Como ( )p x yk k2 012= =, , , k , entonces


__________________________________________________________________________________

( )

( )

( )

p x a a x a x y

p x a a x a x y

p x a a x a x y

2 0 0 1 0 2 02

0

2 1 0 1 1 2 12

1

2 2 0 1 2 2 22

2

= + + =

= + + =

= + + =

que es un sistema de tres ecuaciones lineales cuyas incógnitas son a , a y a .0 1 2

Veamos que el determinante de la matriz de coeficientes de este sistema es, como ya sedijo, ( )( )( )x x x x x x1 0 2 0 2 1− − − . En efecto:

( )( )

( )( ) ( )( )( )

∆ = = − −− −

= − − ++

= − − +−

= − − − ≠

111

100

10 10 1

10 10 0

0

0 02

1 12

2 22

0 02

1 0 12

02

2 0 22

02

1 0 2 0

0 02

1 0

2 0

1 0 2 0

0 02

1 0

2 1

1 0 2 0 2 1

x xx xx x

x xx x x xx x x x

x x x xx x

x xx x

x x x xx x

x xx x

x x x x x x

(Así que el sistema tiene solución única).

De acuerdo con la regla de Cramer

a

0

0 0 02

1 1 12

2 2 22

=

y x xy x xy x x

∆de donde

( ) ∆ ⋅ = = − − − + −

a

y x xy x xy x x

y x x x x y x x x x y x x x x0

0 0 02

1 1 12

2 2 22

0 1 22

2 12

1 0 22

2 02

2 0 12

1 02

(Desarrollando el determinante por los cofactores de la primera columna)

Análogamente,

( ) y∆ ⋅ = = − − + − − −

a

y xy xy x

x x y x x y x x1

0 02

1 12

2 22

0 22

12

1 22

02

2 12

02

111

(Desarrollando el determinante por los cofactores de la segunda columna)

y


( ) ( ) ( ) y∆ ⋅ = = − − − + −ax yx yx y

x x y x x y x x2

0 0

1 1

2 2

0 2 1 1 2 0 2 1 0

111

(Desarrollando el determinante por los cofactores de la tercera columna)

Por tanto

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

∆ ∆ ∆ ∆⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

= − − − + −

+ − − + + − + − − +

+ − − − + −

= − − + + − − − + +

+ −

p x a a x a x

y x x x x y x x x x y x x x x

y x x x x y x x x x y x x x x x

y x x y x x y x x x

x x y x x x x x x x x y x x x x x x

x x y x

2 0 1 22

0 1 2 2 1 1 0 2 2 0 2 0 1 1 0

0 2 1 2 1 1 2 0 2 0 2 1 0 1 0

0 2 1 1 2 0 2 1 02

2 1 0 1 2 2 12

2 0 1 0 2 2 02

1 0 2 2( ) ( )[ ]− − + +x x x x x x x1 0 1 1 02

Total que( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

∆ ⋅ = − − − + − − −

+ − − −

p x y x x x x x x y x x x x x x

y x x x x x x2 0 2 1 1 2 1 0 2 0 2

2 1 0 0 1

y entonces

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( ) p2 0

1 2

0 1 0 21

0 2

1 0 1 22

0 1

2 0 2 1x y

x x x xx x x x

yx x x x

x x x xy

x x x xx x x x

=− −− −

+− −− −

+− −− −

Si definimos los polinomios de grado dos

( ) ( )( )( )( ) L0

1 2

0 1 0 2x

x x x xx x x x

=− −− −

( ) ( )( )( )( ) L1

0 2

1 0 1 2x

x x x xx x x x

=− −− −

( ) ( )( )( )( ) L2

0 1

2 0 2 1x

x x x xx x x x

=− −− −

entonces

( ) ( ) ( ) ( ) xLyxLyxLyxp 2211002 ++=

Observe que

( ) L x 1 si k j

0 si k j , j 0,1,2, k 0,1,2j k =

=

≠

= =

y que, como era de esperarse, ( )p x yk k2 012= =, , , k .


__________________________________________________________________________________

Los polinomios ( ) ( ) ( )xL y xL ,xL 210 , se denominan polinomios fundamentales de

Lagrange y el polinomio ( )p x2 , obtenido de la manera anterior, se denomina polinomio de

interpolación de Lagrange o forma de Lagrange del polinomio interpolante para losdatos dados.

En general se tiene que:

Dados n +1 puntos ( ) ( ) ( )nn1100 y,x,...,y,x,y,x con n10 x,...,x,x números distintos, elpolinomio de interpolación de Lagrange o la forma de Lagrange del polinomiointerpolante para los datos dados es el polinomio

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xLyxLy...xLy...xLyxLyxp n

0jjjnnjj1100n ∑

=

=+++++=

donde

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) L

x x x x ... x x x x ... x x

x x x x ... x x x x ... x x , j 0,1,...,n 0 1 j 1 j 1 n

j 0 j 1 j j 1 j j 1 j nj

k

j kkk j

n

xx xx x

=− − − − −

− − − − −=

−

−=− +

− + =≠

∏0

Los polinomios ( )L xj , anteriores, se denominan polinomios fundamentales de Lagrange.Nótese que si se trata de n +1 puntos, tales polinomios son de grado n.

Observe que

( ) L x 1 si k j

0 si k j , j 0,1,2,...,n, k 0,1,2,...,nj k =

=

≠

= =

y que para cada k 0,1,...,n,=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p ... ...n k k k k k k n n k

k

x y L x y L x y L x y L x

y

= + + + + +

=

0 0 1 1

0 0 1 0#$& #$& #$& #$&

En el caso en que ( )y f x nk k= =, , ,..., k 01 , la expresión para el polinomio de interpolación deLagrange se convierte en

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x f x L x f x L x f x L x f x L xn j j n n= + + + + +0 0 1 1 ... ...

Caso particular: Calculemos el polinomio de interpolación lineal, correspondiente a lospuntos ( ) ( )x ,y , x ,y con x0 0 1 1 0 1≠ x , usando la forma de Lagrange:

En este caso, el polinomio de interpolación de Lagrange es


( ) ( ) ( )xLyxLyxp 11001 +=siendo

( ) ( ) L y L 01

0 11

0

1 0x x x

x xx x x

x x=

−−

=−−

es decir,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

p1 0 0 1 1 01

0 11

0

1 0

0 1 1 0

1 0

0 1 0 1 1 0

1 0

0 1 0 0 0 0 0 1 1 0

1 0

0 1 0 1 0 0

1 0

x y L x y L x y x xx x

y x xx x

y x x y x xx x

y x y x y x y xx x

y x y x y x y x y x y xx x

y x x y y x xx x

= + =−−

+−−

=− + −

−=

− + −−

=− + − + −

−

=− + − −

−Luego

( ) ( )( ) ( ) p = y

1 01 0

1 00x

y yx x

x x+−−

−

Nótese que ( )y p x= 1 es la ecuación de la recta determinada por los puntos

( ) ( )x y x y0 0 1 1, , y . ∇∇∇∇

Ejemplo 4.1 Supongamos que queremos aproximar la función ( )f x = cosx sobre el intervalo

−

π π2 2

, mediante un polinomio de interpolación. Una forma razonable de hacerlo es

mediante un polinomio de interpolación de Lagrange de grado menor o igual que dos, ( )p x2 ,

usando como nodos los números x0 1 220

2= − = =π π, x y x .

Como( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xLxfxLxfxLxfxp 2211002 ++=

y

( ) ( ) ( ) f , f y fx x x0 1 220 0 1

20= −

= = = =

=cos cos cosπ π

entonces ( ) ( )p x L x2 1= , donde

( ) ( )( )( )( ) L1

0 2

1 0 1 2

22

2 222 2

2 2

4

4

1 4xx x x x

x x x x

x x xx=

− −− −

=+

−

−

=−

−= −

π π

π π

π

π π

Total que el polinomio de interpolación de Lagrange para la función ( )f x x= cos en los nodos

x0 1 220

2= − = =π π, x y x , es


__________________________________________________________________________________

( )p x x2 221 4= −

π

Observe que ( )p p2 2 220

20 1−

= =

=π π y p , como era de esperarse

La FIGURA 4.1 siguiente, muestra las gráficas de y x= cos y del polinomio interpolante

obtenido ( )y p x x= = −2 221 4

π.

FIGURA 4.1

Si usamos el polinomio interpolante de Lagrange, ( )p x2 , para aproximar

f π π4 4

22

71=

= ≈cos . , obtenemos

cos π ππ

π4 4

1 44

1 14

34

752 2

2≈

= −

= − = =p .

Instrucción en DERIVE: Dados los n +1 datos [ ] [ ] [ ][ ]M x y x y x yn n:= 0 0 1 1, , , ,..., , :

POLY_INTERPOLATE(M x, ): Simplifica o aproXima en el polinomio interpolante de gradomenor o igual que n, ( )p xn , para los n +1 datos dados en la matriz M. Para el ejemplo

anterior, Simplifique la expresión POLY_INTERPOLATE( [ ]

π

π− x,0,

2,1,0,0,

2). ◊◊◊◊


Nota: Con el propósito de comparar el polinomio ( )p x2 , obtenido en el ejemplo anterior, con

el polinomio de Taylor de grado dos para ( )f x x= cos , alrededor de cero (polinomio deMaclaurin), calculamos este último a continuación:Como

( ) ( )f x x= = =cos cos, f 0 0 1

( ) ( )′ = − ′ = − =f x x fsen sen, 0 0 0

( ) ( )′′ = − ′′ = − = −f x x fcos cos, 0 0 1

entonces el polinomio de Maclaurin, ya mencionado, es ( ) p x x= −12

2.

Si usamos el polinomio de Maclaurin ( )p x para aproximar el valor f π π4 4=

cos ,

obtenemos

cos π ππ

4 41 4

269

2

≈

= −

≈ p .

Nótese que, en este caso, la aproximación que da el polinomio de Maclaurin para cos π4

es

mejor que la que da el polinomio de interpolación. Como ejercicio compare los valores

p2 2 2π π

y p con el valor exacto cos π2

. ♦

En relación con el ejemplo anterior, tenemos que los otros dos polinomios fundamentales de

Lagrange de grado dos para f usando los nodos x0 1 220

2= − = =π π, x y x , son

( ) ( )( )( )( ) ( )

L01 2

0 1 0 2

2

2 222

2

2

2

2 1xx x x x

x x x x

x x x xx x=

− −− −

=−

−

−

=−

= −

π

π π

π

π π π

y

( ) ( )( )( )( ) L2

0 1

2 0 2 1

2

2 222

2

2

2

2 1xx x x x

x x x x

x x x xx x=

− −− −

=+

=+

= +

π

π π

π

π π π

Observe que

( ) ( ) ( ) L0 1 2 22

22

222 1 1 4 2 1 1x L x L x x x x x x+ + = − + − + + =

π π π π π


__________________________________________________________________________________

Instrucción en DERIVE: Dados los n +1 datos [ ] [ ] [ ][ ]M x y x y x yn n:= 0 0 1 1, , , ,..., , :LAGRANGE_POLY(M): Simplifica o aproXima en el polinomio de interpolación de Lagrangepara los datos dados en la matriz M.

LAGRANGE_POLYS(M ): Simplifica o aproXima en los n +1 polinomios fundamentales deLagrange de grado n, ( )L x j nj , , ,...,= 01 , para los datos dados en la matriz M, y vienen en la

expresión ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ]L x L x L xn0 1, ,..., . Para el ejemplo anterior, Simplifique la expresión

LAGRANGE_POLYS( [ ]−

π π2

0 0 12

0, , , , , ). ◊◊◊◊

En general, los polinomios fundamentales de Lagrange ( )L x nj , , ,..., j = 01 , correspondientes an +1 puntos dados, tienen la propiedad

( ) para todo xL xjj

n

=∑ =

0

1

A continuación nos referiremos al error involucrado en la interpolación polinomial.

Si ( )p xn es el polinomio que interpola a una función f en los números distintos x x xn0 1, ,..., , y

si x es un punto intermedio entre dichos números, entonces el error al aproximar ( )f xmediante ( )p xn es

( ) ( ) ( ) E x f x p xn= −

En relación con este error se tiene el siguiente resultado cuya demostración puede serconsultada en Burden, 1985, páginas 103 y 104:

Teorema 4.2 Sea f una función definida en un intervalo [ ]a b, y sea ( )p xn el polinomio queinterpola a f en los números distintos x x xn0 1, ,..., de dicho intervalo. Si f tiene sus primerasn +1 derivadas continuas en [ ]a b, , entonces para cada [ ]x a b∈ , , el error ( ) ( ) ( )E x f x p xn= −puede expresarse en la forma

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) E xx x x x x x

nf xn n=

− − −+

+0 1 1

1...!

ξ

donde ( )ξ x es un número que depende de x y ( ) ( )ξ x a b∈ , . ∇∇∇∇

Esta fórmula para el error es un resultado teórico importante, pues los polinomios deinterpolación se usan por ejemplo, para deducir fórmulas de integración numérica y a partirde dicha fórmula de error se pueden obtener cotas para el error en la integración; sinembargo, en la práctica la fórmula del error en la interpolación es de uso muy restringidopues sólo se puede aplicar a funciones que tengan derivadas fácilmente acotables.


En relación con el ejemplo 4.1 tenemos que, si x ∈ −

π π2 2

, , entonces el error al aproximar

( )f x x= cos mediante el polinomio de interpolación ( )p x x2 221 4= −

π, obtenido usando los

nodos x0 1 220

2= − = =π π, x y x , es

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) E con xx x x x x x

f x x=− − −

′′′ ∈ −

0 1 2

3 2 2!,ξ ξ π π

es decir,

( )( )

( )( ) ( )E xx x x

f x=+

− −

′′′ ∈ −

π π

ξ ξ π π20

26 2 2

con x ,

Como( ) ( ) ( ) ( ) f x x f x x f x x y f x x= ′ = − ′′ = − ′′′ =cos , sen , cos sen

entonces

( )( ) ( )( ) ( ) para toda ′′′ = ≤ ∈ −

f x x xξ ξ ξ π πsen ,12 2

y por tanto

( ) E x para todo xx x≤ −

∈ −

16 4 2 2

22π π π,

En particular, para x = π4

, se tiene que

E π π π π π π π4

16 4 16 4 24

316 128

242 2 2 3

≤ −

=

= ≈ .

Observe que el error real es

E π π π4 4 4

12

34

0432=

−

= − ≈cos p .

que está por debajo de la cota teórica de error, ya calculada. ♦

Ejercicio 4.1 Use el polinomio interpolante de Lagrange para la función ( )f x x= cos con

nodos x0 1 220

2= − = =π π, x y x , para estimar

i) cos xdx0

2π

∫ ii) ′

f π4 ♦


__________________________________________________________________________________

Ejemplo 4.2 Use los polinomios interpolantes de Lagrange de grados uno, dos y tres, másapropiados, para aproximar ( )f 2 5. , si ( )f 2 0 5103757. .= , ( )f 2 2 5207843. .= ,

( )f 2 4 5104147. .= , ( )f 2 6 4813306. .= y ( )f 2 8 4359160. .= .

Solución: Como [ ]2 5 2 4 2 6. . .∈ , , entonces el polinomio de interpolación de Lagrange degrado uno, más apropiado, es el que se obtiene tomando los nodos x0 12 4 2 6= =. . y x , yaque éstos son los dos nodos más cercanos a 2.5.

Así que( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p1 0 0 1 1x f x L x f x L x= +

( ) ( )=

−−

+−−

f x x xx x

f x x xx x0

1

0 11

0

1 0

y entonces

( )

( )

p

1 2 5 5104147 2 5 2 62 4 2 6

4813306 2 5 2 42 6 2 4

2552074 24066534958727 2 5

. .. .

. ..

. .

. .. .

. .

= −−

+ −−

= += ≈ f

Para el caso de grado dos, hay dos polinomios interpolantes igualmente apropiados:

Un primer polinomio se obtiene tomando los nodos x0 1 22 2 2 4 2 6= = =. . ., x y x , lo que nosda

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( )( )

p x f x L x f x L x f x L x

f xx x x x

x x x xf x

x x x xx x x x

f xx x x x

x x x x

2 0 0 1 1 2 2

01 2

0 1 0 21

0 2

1 0 1 22

0 1

2 0 2 1

= + +

=− −− −

+− −− −

+− −− −

y entonces

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

p2 2 5 52078432 5 2 4 2 5 2 62 2 2 4 2 2 2 6

51041472 5 2 2 2 5 2 62 4 2 2 2 4 2 6

48133062 5 2 2 2 5 2 42 6 2 2 2 6 2 4

. .. . . .

. . . ..

. . . .

. . . .

.. . . .

. . . .

=− −− −

+− −− −

+− −− −

( )

= − + += − += ≈

. . .

. .

. .

06509804 3828110 180499006509804 56331004982120 2 5

f

El otro polinomio interpolante se obtiene tomando x0 22 4 2 6 2 8= = =. . ., x y x1 , y se tieneque


( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

p2 2 5 51041472 5 2 6 2 5 2 82 4 2 6 2 4 2 8

48133062 5 2 4 2 5 2 82 6 2 4 2 6 2 8

43591602 5 2 4 2 5 2 62 8 2 4 2 8 2 6

. .. . . .

. . . ..

. . . .

. . . .

.. . . .

. . . .

=− −− −

+− −− −

+− −− −

( )

= + −= −= ≈

. . .

. .

. .

1914055 3609980 054489505524035 054489504979140 2 5f

Para grado tres el polinomio interpolante, más apropiado, se obtiene tomando los nodosx0 2 2= . , x1 2 4= . , x2 2 6= . y x3 2 8= . , ya que [ ]2 5 2 2 2 8. . .∈ , y 2.2, 2.4, 2.6 y 2.8 son losnodos más cercanos a 2.5. Así que

( ) ( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )

p3 01 2 3

0 1 0 2 0 31

0 2 3

1 0 1 2 1 3

20 1 3

2 0 2 1 2 33

0 1 2

3 0 3 1 3 2

x f xx x x x x x

x x x x x xf x

x x x x x xx x x x x x

f xx x x x x x

x x x x x xf x

x x x x x xx x x x x x

=− − −− − −

+− − −− − −

+− − −− − −

+− − −− − −

y entonces

( ) ( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

p3 2 5 52078432 5 2 4 2 5 2 6 2 5 2 82 2 2 4 2 2 2 6 2 2 2 8

51041472 5 2 2 2 5 2 6 2 5 2 82 4 2 2 2 4 2 6 2 4 2 8

48133062 5 2 2 2 5 2 4 2 5 2 82 6 2 2 2 6 2 4 2 6 2 8

43591602 5 2 2 2 5 2 4 2 5 2 62 8 2 2 2 8

. .. . . . . .

. . . . . ..

. . . . . .

. . . . . .

.. . . . . .

. . . . . ..

. . . . . .

. . .

=− − −− − −

+− − −− − −

+− − −− − −

+− − −− −

( )( )2 4 2 8 2 6. . .−

( )

= − + + −= −= ≈

. . . .

. .

. .

03254902 2871083 2707485 027244755578568 05979774980630 2 5f

Cuál es la aproximación obtenida, mediante el polinomio de interpolación, usando los nodosx0 2 0= . , x1 2 2= . , x2 2 4= . y x3 2 6= . ? (ejercicio)

Cuál de todas las aproximaciones calculadas es la mejor ?

Como la cota para el error en la interpolación requiere conocer hasta la cuarta derivada de lafunción f (la función de donde provienen los datos), y no disponemos de esa información,pues no conocemos una fórmula explícita para f, no podemos decidir cuál de lasaproximaciones calculadas es la mejor. Sin embargo, de dos aproximaciones calculadas queutilicen el mismo número de nodos, se espera que sea mejor la que use los nodos máscercanos al dato a interpolar. ♦

Ejemplo 4.3 Suponga que se quiere construir una tabla para la función logaritmo natural,desde x =1 hasta x =10 , de tal manera que la interpolación lineal usando dos nodosconsecutivos de la tabla, tenga una precisión de seis cifras decimales exactas. Determine eltamaño de paso h más grande posible para dicha tabla.

Solución: Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que los nodos x0,x ,...,x1 n en elintervalo [1,10] están igualmente espaciados. Entonces el tamaño de paso es


__________________________________________________________________________________

h , k 0,1,...,n con x y x= − = − = =+x xk k n1 01 1 10

Por lo tanto x 1, x 1 h, x 1 2h,..., x 1 ..., x 1 nh 100 1 2 k n= = + = + = + = + =kh,

y entonces para x con x x xk k≤ ≤ +1 , se tiene que el error en la interpolación lineal, usandolos nodos xk k y x +1 , es

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )E x f x p x

f xx x x xk k= − =

′′− − +

ξ

2 1!para algún ( ) ( )ξ x x xk k∈ +, 1 .

Como ( )f x = lnx , entonces ( ) ( )′ = ′′ = −f xx

f xx

1 12, , y entonces para [ ]x x xk k∈ +, 1 , se tiene

( ) [ ] ( ) [ ] ( )( )

[ ] [ ] ( )( )1kk1kx,kxx2

1kx,kxx

1kk1kx,kxx1kx,kxx

xxxxMáxx1Máx

21

xxxxMáxxfMáx21xE

++∈+∈

++∈+∈

−−

=

−−′′≤

Si( ) ( )( ) ( )g x x x x x x x x x x xk k k k k k= − − = − + ++ + +1

21 1

entonces

( ) ( )′ = − + = ⇔ =+

++g x x x x x x x

k kk k2 0

211

Como ( ) ( )g x g xk k= = +0 1 , y

g x x x x x x x x x x x x h h hk k k kk

k kk

k k k k+

=

+−

+−

=

−

−

= −

= − ≠+ + +

++ +1 1 1

11 1

2

2 2 2 2 2 2 2 40

entonces

[ ] ( )( ) 1n,...,1,0k ,4

hxxxxMáx2

1kk1kx,kxx

−==−− ++∈

Por otro lado, como

[ ] ( )1n1,...,0,k ,

x1

x1Máx 2

k2

1kx,kxx−==

+∈

entonces para [ ]x x xk k∈ +, 1 , se tiene que

( )( )

E xx

h nk

≤ = −12

14

01 12

2, , ,..., k


Finalmente, como [ ]x nk ∈ =110 01, , , ,..., k , entonces

( ) [ ]E x h h≤ = ∈12

11 4 8

1102

2 2 para todo x ,

Para encontrar el tamaño de paso h más grande para la tabla, basta entonces resolver ladesigualdad

h27

85 10≤ × − (porque se quieren 6 cifras decimales exactas)

lo que nos da h ≤ × =−2 10 0023 . .

De acuerdo con este resultado, el tamaño de paso más grande para construir la tabla esh = .002 . Así que si se toma, por ejemplo, el tamaño de paso h = .001 para construir latabla, la interpolación lineal correspondiente (para dos nodos consecutivos), será exacta enpor lo menos seis cifras decimales. Es claro que una tabla con estas características debe serescrita con por lo menos siete cifras decimales. ♦

Otra forma de obtener el polinomio interpolante de grado menor o igual que n para unafunción f, a partir de n +1 datos conocidos, ( )( ) ( )( ) ( )( )nn1100 xf,x,...,xf,x,xf,x , es la siguiente:

4.1.2 Forma de Newton del polinomio interpolante: Dados n +1 puntos( ) ( ) ( )nn1100 y,x,...,y,x,y,x con n10 x,...,x,x números distintos y ( )y f x nk k= =, , ,..., k 01 paraalguna función f definida en algún intervalo [a,b] que contiene a los nodos distintos

n10 x,...,x,x . El polinomio ( )p xn de grado menor o igual que n que interpola a f en los datosdados, puede expresarse en la forma

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) p x b b x x b x x x x ... b x x x x ... x xn 0 1 0 2 0 1 n 0 1 n 1= + − + − − + + − − − −

para ciertas constantes n10 b,...,b,b .

Cómo determinar los coeficientes n10 b,...,b,b ?

Puesto que ( ) ( ) n,...,1,0k ,xfyxp kkkn === , entonces

( ) ( )p x b f xn 0 0 0= = , así que

( )b f x0 0=

( ) ( ) ( )p x b b x x f xn 1 0 1 1 0 1= + − = , así que

( ) ( )b

f x f xx x11 0

1 0=

−−

( ) ( ) ( )( ) ( )p x b b x x b x x x x f xn 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 2= + − + − − = , así que


__________________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) b2

2 01 0

1 02 0

2 0 2 1=

− −−−

−

− −

f x f xf x f x

x xx x

x x x x

y después de realizar algunas manipulaciones algebraicas se tiene que

( ) ( ) ( ) ( ) b2

2 1

2 1

1 0

1 0

2 0=

−−

−−−

−

f x f xx x

f x f xx x

x x

Los otros coeficientes n43 b,...,b,b se pueden obtener consecutivamente, siguiendo elmétodo anterior.

Para facilitar la escritura de los coeficientes n10 b,...,b,b , del polinomio interpolante obtenidode esta manera, se introduce la siguiente notación de diferencia dividida hacia adelante(progresiva) de Newton.

Definición 4.1 Dados n +1 puntos ( )( ) ( )( ) ( )( )x ,f x , x ,f x ,..., x ,f x0 0 1 1 n n con n10 x,...,x,xnúmeros distintos y f alguna función, definimos:

a) La diferencia dividida cero de f con respecto a xk es

[ ] ( ) f x f x , k 0,1,2,...,nk k= =

(Así que, con respecto al polinomio interpolante ( )p xn , se tiene que [ ]b f x0 0= )

b) La diferencia dividida uno de f con respecto a xk y 1kx + es

[ ] [ ] [ ] f x ,xf x f x

x x , k 0,1,...,n 1k k 1

k 1 k

k 1 k+

+

+=

−−

= −

Observe que las diferencias divididas uno dependen de las diferencias divididas cero yque, mientras hay n +1 diferencias divididas cero, hay n diferencias divididas uno.

(También observe que [ ] [ ] [ ]b f x xf x f x

x x1 0 11 0

1 0= =

−−

, )

c) La diferencia dividida dos de f con respecto a x xk k k, + +1 2 y x es

[ ] [ ] [ ] f x ,x ,xf x ,x f x ,x

x x , k 0,1,...,n 2 k k 1 k 2

k 1 k 2 k k 1

k 2 k+ +

+ + +

+=

−−

= −

Observe que las diferencias divididas dos dependen de las diferencias divididas uno yque, mientras hay n diferencias divididas uno, hay n −1 diferencias divididas dos.


(También observe que [ ] [ ] [ ]b2 0 1 21 2 0 1

2 0f x ,x ,x

f x ,x f x ,xx x

= =−−

)

d) En general, conocidas las ( )n i n i− − + = − +1 1 2 diferencias divididas i −1 de f conrespecto a [ ] ( )1in,...,1,0k ,x,...,x,xf ,x,...,x,x 1ik1kk1ik1kk −−=−++−++ , se definen lasn i− +1 diferencias divididas i de f con respecto a ik1kk x,...,x,x ++ , así

[ ] [ ] [ ] f x ,x ,...,xf x ,x ,...,x f x ,x ,...,x

x x, k 0,1,...,nk k 1 k

k 1 k 2 k k k 1 k 1

k k+ +

+ + + + + −

+=

−−

= −ii i

ii ∇∇∇∇

Con esta notación de diferencia dividida se tiene que [ ]b fi = =x ,x ,...,x , i 0,1,...,n0 1 i y así elpolinomio interpolante toma la forma

( ) [ ] [ ] ( ) [ ]( )( )[ ]( )( ) ( )

p x f x f x ,x x x f x ,x ,x x x x x ...

f x ,x ,...,x x x x x ... x xn 0 0 1 0 0 1 2 0 1

0 1 n 0 1 n 1

= + − + − − +

+ − − − −

Esta forma del polinomio interpolante se conoce como fórmula de diferencia dividida(progresiva) interpolante de Newton o forma progresiva de Newton del polinomiointerpolante, y se usa en los cálculos numéricos cuando se interpola en un punto x que estámás cerca de x0 que de xn (suponemos ordenados los nodos n10 x,...,x,x ) . Si el punto xen el cual vamos a interpolar está más cerca de xn que de x0 se usa la fórmula de

diferencia dividida (regresiva) interpolante de Newton:

( ) [ ] [ ] ( ) [ ]( )( )[ ]( )( ) ( )

p x f x f x ,x x x f x ,x ,x x x x x ...

f x ,x ,...,x x x x x ... x xn n n n n n 2 n 1 n n n 1

0 1 n n n 1 1

= + − + − − +

+ − − −− − − −

−

1

Es muy importante tener en cuenta que el polinomio progresivo y el polinomio regresivo deNewton son el mismo polinomio (siempre y cuando se usen los mismos datos); lo que ocurrees que en la fórmula progresiva el dato que más "pesa" es [ ]f x0 , mientras que en la

regresiva el que más "pesa" es [ ]f xn .

En el caso en que el dato a interpolar esté más cerca del nodo central (o los nodoscentrales), se recomiendan otras diferencias divididas llamadas centradas, que noestudiaremos aquí.

La forma de Newton del polinomio interpolante es más ventajosa que la forma de Lagrange,pues el cálculo de los coeficientes en la forma de Newton va usando la información anterior,lo que no sucede con la forma de Lagrange.

Observe que dados n +1 datos ( )( ) ( )( ) ( )( )nn1100 xf,x,...,xf,x,xf,x , la forma progresiva deNewton del polinomio interpolante tiene la propiedad


__________________________________________________________________________________

( ) ( ) [ ]( )( ) ( ) p ii i i ix p x f x x x x x x x x x n = + − − − =− −1 0 1 0 1 1 2 3, ,..., ... , , ,...,

Una propiedad análoga se tiene para la forma regresiva del polinomio interpolante deNewton.

La TABLA 4.1 siguiente, muestra las diferencias divididas que hay que calcular paradeterminar los coeficientes del polinomio interpolante de Newton.

K xk

Diferenciasdivididas 0

( ) [ ] f x f xk k=


[ ] f x xk k, +1

… Diferencias divididasn

[ ] f x ,...,x0 n

0 x0 [ ] f x b0 0= [ ] f x ,x b0 1 1= … [ ] f x ,...,x b0 n n=

1 x1 [ ] f x1 [ ] f x ,x1 2 …

2 x2 [ ] f x2 [ ] f x ,x2 3 …

3 x3 [ ] f x3 !

! ! !

n −1 xn−1 [ ] f xn−1 [ ] f x ,xn 1 n−

n xn [ ] f xn

TABLA 4.1

Observe que en la misma tabla pueden leerse los coeficientes para la forma progresiva ypara la forma regresiva de Newton del polinomio interpolante.

En el caso particular n =1, la forma de Newton del polinomio interpolante es

( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x f x f x ,x x x f xf x f x

x xx x1 0 0 1 0 0

1 0

1 00= + − = +

−−

−

que coincide con la fórmula deducida para ( )p x1 en el caso de la forma de Lagrange del

polinomio interpolante. Recuerde que el polinomio de interpolación es único.

Con respecto al error en la interpolación al usar la forma de Newton, tenemos:


Dada una función f definida en [ ]x ,x0 1 . Si f es continua en [ ]x ,x0 1 y ′f existe en ( )x ,x0 1 ,

entonces el teorema del valor medio implica que existe ( )x x ,x0 1∈ tal que ( ) [ ]′ =f x f x ,x0 1 .

En general, se tiene el siguiente resultado cuya demostración puede ser consultada enBurden, 1985, páginas 117 y 118:

Teorema 4.3 Si f es una función de valor real definida sobre el intervalo [ ]a,b , n veces

continuamente diferenciable en [ ]a,b y x x xn0 1, ,..., son números distintos en [ ]a b, ,

entonces existe [ ]ξ ∈ a b, tal que

[ ]( ) ( )

f x x xf

nn

n

0 1, ,...,!

=ξ

∇∇∇∇

Usando esta fórmula se puede llegar a una expresión para estimar el error al aproximar unafunción f mediante el polinomio interpolante de Newton, ( )p xn , a partir de los puntosx x x xn0 1, ,..., , , como se indica a continuación:

De la fórmula del error ( )E x , dada al estudiar la forma de Lagrange del polinomiointerpolante, tenemos que

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

f x p xx x x x x x

nf x

E x

nn n= +

− − −+

+0 1 1

1...!

ξ# $%%%%%%% &%%%%%%%

(4.1)

donde ( )ξ x es un número que depende de ( ) ( )x y x a bξ ∈ , .

De otro lado, usando la forma de Newton del polinomio interpolante de grado menor o igualque n +1 para f en los nodos x x x xn0 1, ,..., , , tenemos que

( ) ( ) ( ) [ ]( )( ) ( ) f x p x p x f x x x x x x x x x xn n n n= = + − − −+1 0 1 0 1, ,..., , ... (4.2)

Igualando las ecuaciones (4.1) y (4.2), concluimos que

( ) ( ) ( ) [ ]( )( ) ( ) E x f x p x f x x x x x x x x x xn n n= − = − − −0 1 0 1, ,..., , ... (4.3)

donde para calcular [ ]f x x x xn0 1, ,..., , usamos ( ) ( )p x f xn ≈ . ∇∇∇∇

La ecuación (4.3) nos da una fórmula alternativa para estimar el error al usar un polinomiointerpolante.

Ejemplo 4.4 Considere la siguiente tabla de datos


__________________________________________________________________________________

x ( )f x

2 0. .51037572 2. .52078432 4. .51041472 6. .48133062 8. .4359160

TABLA 4.2

Si queremos obtener una aproximación de ( )f 21. usando todos los datos dados, debemoselegir la forma progresiva del polinomio interpolante de Newton con todos los datos dados, yuna escogencia adecuada para los nodos es x0 2 0= . , x1 2 2= . , x2 2 4= . , x3 2 6= . yx4 2 8= . , ya que x = 2 1. está más cerca de x0 que de x4 .

Veamos qué resultados obtenemos si usamos los polinomios interpolantes de Newton másapropiados de grados uno, dos, tres y cuatro, para aproximar ( )f 21. .

Empezamos calculando las diferencias divididas que se muestran en la TABLA 4.3 siguiente,donde el valor correspondiente a la diferencia dividida cuatro es 8 34125 10 3

4. × =− b (que noaparece en la tabla).

k xk ( ) [ ]f x f xk k= Diferenciasdivididas 1



0 2.0 .5103757 0= b .052043 1= b − =.2597275 2b .04299367 3= b

1 2.2 .5207843 −.051848 −.2339313 .049666672 2.4 .5104147 −.1454205 −.20413133 2.6 .4813306 −.2270734 2.8 .4359160

TABLA 4.3

Instrucción en DERIVE: Dados los n +1 puntos ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ]M x f x x f x x f xn n:= 0 0 1 1, , , ,..., , :

DIFERENCIAS_DIV(M ): aproXima o Simplifica en las n +1 diferencias divididas progresivasde Newton, [ ] [ ] [ ][ ]f x f x x f x x xn0 0 1 0 1, , ,..., , ,..., , correspondientes a los n +1 puntos dados en lamatriz M. Para este ejemplo, tome la matriz

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]M: . . . . . . . . . .= 2 0 0 5103757 2 2 0 5207843 2 4 0 5104147 2 6 0 4813306 2 8 0 4359160, , , , , , , , , yaproXime la expresión DIFERENCIAS_DIV(M). ◊◊◊◊

Entonces( ) [ ] [ ] ( )

( )p x f x f x x x x

x1 0 0 1 0

5103757 052043 2 0

= + −

= + −

,

. . .

así que( ) ( )

( )p

f1 21 5103757 052043 21 2 0

5155800 21

. . . . .

. .

= + −

= ≈


Si usamos el polinomio más apropiado de grado dos

( ) [ ] [ ] ( ) [ ]( )( )( ) [ ]( )( )

p x f x

x x x x2 0

0 1

= + − + − −

= + − −

f x ,x x x f x ,x ,x x x x x

p x f x ,x ,x0 1 0 0 1 2 0 1

1 0 1 2

obtenemos

( ) ( ) ( )( )

( )

p p

f

2 121 21 2597275 21 2 0 2 1 2 25155800 0025972755181773 21

. . . . . . .

. .

. .

= − − −

= += ≈

Si usamos el polinomio más apropiado de grado tres

( ) [ ] [ ] ( ) [ ]( )( )[ ]( )( )( )( ) [ ]( )( )( )

p , ,x ,

,x ,x ,

,x ,x ,

1

1 2

0 1 2

3 0 0 1 0 0 2 0 1

0 3 0 1 2

2 3 0 1 2

x f x f x x x x f x x x x x x

f x x x x x x x x

p x f x x x x x x x x

= + − + − −

+ − − −

= + − − −

entonces( ) ( ) ( )( )( )

( )

p p

f

3 24

2 1 21 04299367 21 2 0 2 1 2 2 2 1 2 4

5181773 1289810 105183063 21

. . . . . . . . .

. .

. .

= + − − −

= + ×= ≈

−

Finalmente, si usamos el polinomio de grado cuatro

( ) [ ] [ ] ( ) [ ]( )( )[ ]( )( )( )[ ]( )( )( )( )( ) [ ]( )( )( )( )

p x f x f x ,x x x f x ,x ,x x x x x

f x ,x ,x ,x x x x x x x

f x ,x ,x ,x ,x x x x x x x x x

p x f x ,x ,x ,x ,x x x x x x x x x

4 0 0 1 0 0 1 2 0 1

0 1 2 3 0 1 2

0 1 2 3 4 0 1 2 3

3 0 1 2 3 4 0 1 2 3

= + − + − −

+ − − −

+ − − − −

= + − − − −

obtenemos

( ) ( ) ( )( )( )( )

( )

p

4 33

3

21 21 8 341125 10 21 2 0 2 1 2 2 2 1 2 4 21 2 6

5183063 1251169 105182938 21

. . . . . . . . . . .

. .

. .

= + × − − − −

= − ×= ≈

−

−

p

f

Si estamos interesados en aproximar ( )f 2 7. mediante el polinomio interpolante másapropiado de grado menor o igual que tres, a partir de los datos dados en la TABLA 4.3,debemos usar la forma regresiva de Newton del polinomio interpolante con los nodosx4 2 8= . , x3 2 6= . , x2 2 4= . y x1 2 2= . , lo que nos da en este caso

( ) ( ) ( )( )( )( )( )

p x x x x

x x x3 4359160 227073 2 8 2041313 2 8 2 6

04966667 2 8 2 6 2 4

= − − − − −

+ − − −

. . . . . .

. . . .

así que


__________________________________________________________________________________

( ) ( ) ( )( )( )( )( )

p3

3 4

4

2 7 4359160 227073 2 7 2 8 2041313 2 7 2 8 2 7 2 6

04966667 2 7 2 8 2 7 2 6 2 7 2 4

4359160 0227073 2 041313 10 1490000 10

4606646 1490000 104605156

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

. .

.

= − − − − −

+ − − −

= + + × − ×

= − ×=

− −

−

Como un ejercicio encuentre el polinomio interpolante regresivo de grado menor o igual quecuatro para los datos dados, ( )p x4 , y úselo para estimar ( )f 2 7. . También estime ( )f 2 7.

usando el polinomio ( )p x4 y compare los valores ( )p4 2 7. y ( )p4 2 7. . Aproxime también

( )f 2 5. usando ( ) ( )52p y 52p 44 .. . ♦

Un algoritmo para encontrar los coeficientes n10 b,...,b,b de la forma de Newton del polinomiointerpolante es el siguiente.

Algoritmo 4.1 (Diferencias divididas progresivas) Para obtener los coeficientesn10 b,...,b,b de la forma de Newton del polinomio interpolante usando diferencias divididas

progresivas, conocidos n +1 puntos ( )( ) ( )( ) ( )( )nn1100 xf,x,...,xf,x,xf,x con n10 x,...,x,xnúmeros distintos:

Entrada: Los números n10 x,...,x,x , los valores ( ) ( ) ( )n10 xf,...,xf,xf .

Salida: Los coeficientes n10 b,...,b,b de la forma progresiva de Newton del polinomiointerpolante

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) pn n nx b b x x b x x x x b x x x x x x= + − + − − + + − − − −0 1 0 2 0 1 0 1 1... ...

Paso 1: Tomar ( )b f x0 0= .

Paso 2: Para i n=12, ,..., , hacer:

( ) ( ) ( )Para k = tomar

f =

01

1

, ,..., ,n i

xf x f x

x xkk k

k i k

−−−

+

+

( )b f xi = 0

Paso 3: Salida: "Los coeficientes del polinomio interpolante progresivo de Newton sonb b bn0 1, ,..., ". Terminar.

Ejercicio 4.2 La siguiente tabla corresponde a la función ( )f x ex= :


x 0 .5 1.0 2.0( )f x 1.00000 1.64872 2.71828 7.38906

a) Aproxime ( )f .25 usando interpolación lineal con x0 10 5= = y x . .

b) Aproxime ( )f .75 usando interpolación lineal con x0 15 10= =. . y x .

c) Aproxime ( )f .25 y ( )f .75 usando interpolación de grado menor o igual que dos conx0 1 20 10 2 0= = =, x y x. . .

d) Cuál de las aproximaciones calculadas es la mejor? Por qué?

e) Aproxime ( )f .25 usando el polinomio de interpolación de Newton de grado menor o igualque tres para los datos dados. ♦

Ejercicio 4.3 La siguiente tabla corresponde a la función ( )f x x= sen :

x .30 .32 .33 .35( )f x .29552 .31457 .32404 .34290

a) Encuentre una aproximación de ( )sen .34 , usando el polinomio de interpolación deLagrange de grado menor o igual que tres para los datos dados.

b) Encuentre una aproximación de ( )sen .34 , usando el polinomio de interpolación deNewton más apropiado de grado menor o igual que tres.

c) Encuentre una cota para el error en cada aproximación. Cuál de las aproximacionescalculadas en a) y b) es mejor? ♦

Hasta aquí se han construido polinomios de grado menor o igual n para interpolar entre n +1puntos dados. Como cuando n aumenta el polinomio interpolante ( )p xn tiene másoscilaciones y ocurre a menudo que no aproxima bien a la función f, esto sugiere que seintente la interpolación pero localmente, es decir, por subintervalos.

La idea es que el intervalo que se tiene para interpolar los datos se descompone en una seriede subintervalos y se usan aproximaciones separadas para cada subintervalo, sujetas a quelas aproximaciones deben coincidir, en algún sentido, en los extremos de los subintervalos.Este proceso de aproximación sobre subintervalos se conoce como interpolaciónsegmentaria o por segmentos.


__________________________________________________________________________________

4.2 INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA CÚBICA (CUBIC SPLINES)

Dados n +1 puntos ( )( ) ( )( ) ( )( )nn1100 xf,x,...,xf,x,xf,x con n10 x,...,x,x números distintos y falguna función de valor real definida en un intervalo [a,b] que contiene a los nodos

n10 x,...,x,x , se trata de aproximar la función f por segmentos o tramos, como se indica acontinuación. Aquí se supone que

x 0 1< < <x xn...

Una primera forma es aproximar la función f en cada subintervalo [ ] 1n,...,1,0k ,x,x 1kk −=+ ,mediante un polinomio lineal, lo que se conoce como interpolación segmentaria lineal.Una segunda posibilidad es aproximar la función f en cada subintervalo[ ] 1n,...,1,0k ,x,x 1kk −=+ , mediante un polinomio cuadrático, lo que se conoce comointerpolación segmentaria cuadrática, esta vez imponiendo algunas condiciones sobre elcomportamiento de los polinomios aproximantes en cada segmento.

Finalmente tenemos la interpolación segmentaria cúbica, que es la más usada, la cualconsiste en lo siguiente:

Se aproxima la función f en cada subintervalo [ ]x xk k, +1 mediante un polinomio de gradomenor o igual que tres, el cual suponemos de la forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p k 32 3 01 1k

k k k k k k k kx p x a b x x c x x d x x n≡ = + − + − + − = −, , ,...,

FIGURA 4.2

Son n polinomios de grado menor o igual que tres y cada uno con cuatro coeficientesincógnitas, así que tenemos un total de 4n incógnitas por determinar.

Las condiciones que deben satisfacer tales polinomios son:

i) ( ) ( )( ) ( )

p x f x n

p x f xk k k

n n n

= = −

=

−

k, , ,...,0 1 1

1

(Condiciones de interpolación. Estas condiciones producen n +1 ecuaciones)


ii) ( ) ( )p x p x nk k k k+ + += = −1 1 1 01 2 k, , ,...,

(Condiciones de continuidad en los nodos interiores. Estas condiciones producen n −1ecuaciones)

iii) ( ) ( )′ = ′ = −+ + +p x p x nk k k k1 1 1 01 2 k, , ,...,

(Condiciones de derivabilidad en los nodos interiores. Estas condiciones producen n −1ecuaciones)

iv) ( ) ( )′′ = ′′ = −+ + +p x p x nk k k k1 1 1 01 2 k, , ,...,

(Condiciones de continuidad de la primera derivada en los nodos interiores: se conservala concavidad en la vecindad del nodo interior, a no ser que la segunda derivada sea ceroen el nodo interior. Estas condiciones dan lugar a n −1 ecuaciones)

Hasta aquí tenemos ( )n n n+ + − = −1 3 1 4 2 condiciones.

v) Se satisface uno de los siguientes pares de condiciones de frontera:

a) ( ) ( )′′ = ′′ =−p x p xn n0 0 10 0 y

b) ( ) ( ) ( ) ( )′ = ′ ′ = ′−p x f x p x f xn n n0 0 0 1 y

Las condiciones dadas en a) se llaman de frontera libre (no dependen de condicionesadicionales sobre la función f ).

Observe que en el caso a), basta tener una lista de datos ( )x yk k, con n10 x,...,x,x númerosdistintos para poder realizar la interpolación segmentaria cúbica.

Las condiciones dadas en b) se llaman de frontera sujeta, requieren que se conozca( )′f x0 y ( )′f xn , y fijan al polinomio ( ) [ ]p x x x0 0 1, , x ∈ , en el punto extremo x0 , y al polinomio

( ) [ ]p x x xn n n− −∈1 1, , x , en el punto extremo xn ; como en este caso se usa más informaciónacerca de la función f las aproximaciones obtenidas suelen ser mas exactas. Si no sedispone de esta información sobre f se usarán las condiciones de frontera libre o unasbuenas aproximaciones para ( ) ( )′ ′f x f xn0 y .

Si definimos

[ ]( ) ( ) [ ]

T

x si x

: x x

T x p x x xn

k k k

0

1

,

, ,

→

→ = ∈ +

R


__________________________________________________________________________________

y ( ) 1n,...,1,0k ,xpk −= , satisfaciendo las condiciones i)-v), entonces T se dice un Trazador

o adaptador cúbico para f en [ ] x,x n0 . Si el Trazador cúbico satisface las condiciones v),a), se llama natural, y si satisface las condiciones v), b) se llama de frontera sujeta. ∇∇∇∇

Nota: Si no se da una tabla de datos correspondiente a una cierta función f, ni condicionesde frontera, se entiende que un Trazador cúbico es una función como se definió antes, perosatisfaciendo las condiciones ii), iii) y iv).

Una forma de construir un Trazador cúbico para una función f en [ ]x xn0, es la siguiente:

De acuerdo con la condición i)

( ) ( ) ( ) ( ) p k y pk k k k n n nx a f x n x f x= = = − =−, , ,...,01 1 1

y si aplicamos la condición ii), tenemos para k n= −01 2, ,..., ,

( ) ( )( ) ( ) ( )

a

k k k k k

k k k k k k k k k k

p x p x

a b x x c x x d x x

+ + + +

+ + +

= =

= + − + − + −

1 1 1 1

1 12

13

Si notamos 1n,...,1,0k ,xxh k1kk −=−= + , usamos que ( )a f xk k= , para k n= −01 1, ,..., y

definimos ( )a f xn n= , entonces

a kk k k k k k k ka b h c h d h n+ = + + + = −12 3 01 1, , ,..., (4.4)

(ya que ( ) ( )a f x p x a b h c h d hn n n n n n n n n n n= = = + + +− − − − − − − −1 1 1 1 1 12

1 13 )

De otro lado ( )′ = −p x bk k k para k = 0,1,...,n 1, y si aplicamos la condición iii), obtenemos

( ) ( ) b kk k k k k k k k k kp x p x b c h d h n+ + + += ′ = ′ = + + = −1 1 1 122 3 01 2, , ,...,

Si definimos ( )b p xn n n= ′ −1 , entonces

b kk k k k k kb c h d h n+ = + + = −122 3 01 1, , ,..., (4.5)

( ya que ( )′ = + +− − − − − −p x b c h d hn n n n n n n1 1 1 1 1 122 3 )

Ahora,( ) ( ) k′′ = + − = −p x c d x x nk k k k2 6 01 1, , ,...,

entonces( ) k′′ = = −p x c nk k k2 01 1, , ,...,


y si aplicamos la condición iv), obtenemos( ) ( ) 2 2 61 1 1 1c p x p x c d hk k k k k k k k+ + + += ′′ = ′′ = +

o sea c kk k k kc d h n+ = + = −1 3 01 2, , ,...,

Si definimos ( )′′ =−p x cn n n1 2 , entonces

c kk k k kc d h n+ = + = −1 3 01 1, , ,..., (4.6)

( ya que ( )′′ = + = = +− − − − − − −p x c d h c c d hn n n n n n n n n n1 1 1 1 1 1 12 6 2 3 o sea c )

Despejando kd de la ecuación (4.6), obtenemos

d kkk k

k

c ch

n=−

= −+1

30 1 1, , ,..., (4.7)

y sustituyendo en las ecuaciones (4.4) y (4.5), obtenemos

ak k k k k kk k

kka b h c h c c

hh+

+= + + +−

12 1 3

3

o sea

( ) a kk k k kk

k ka b h h c c n+ += + + + = −1

2

132 0 1 1, , ,..., (4.8)

y

bk k k kk k

kkb c h c c

hh+

+= + +−

11 22 33

es decir,

( ) b kk k k k kb h c c n+ += + + = −1 1 01 1, , ,..., (4.9)

Despejando bk en (4.8), obtenemos

( ) b kk k k

k

kk k

a ah

h c c n=−

− + = −++

113

2 0 1 1, , ,..., (4.10)

y aumentando el índice en uno en la ecuación (4.10), se tiene que

( ) bkk k

k

kk k

a ah

h c c++ +

+

++ +=

−− +1

2 1

1

11 23

2

y sustituyendo en (4.9), se tiene que


__________________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) a ah

h c c a ah

h c c h c ck k

k

kk k

k k

k

kk k k k k

+ +

+

++ +

++ +

−− + =

−− + + +2 1

1

11 2

11 13

23

2

o sea

( ) ( ) a ah

a ah

h c c h c ck k

k

k k

k

kk k

kk k

+ +

+

++

++ +

−−

−= + + +2 1

1

11

11 23

23

2

lo que nos lleva finalmente a que

( ) ( ) ( ) h

para k

k k k k k k kk

k kk

k kc h h c h ch

a ah

a a

n

+ + + = − − −

= −

+ + + ++

+ + +2 3 3

0 1 2

1 1 1 21

2 1 1

, ,..., (4.11)

En este sistema final las incógnitas son c nk, , ,..., k = 01 , ya que ( ) n,...,1,0k ,xfa kk == , yh x xk k k= −+1 , 1n,...,1,0k −= , son conocidos.

Este sistema es de n −1 ecuaciones con n +1 incógnitas, pero si usamos las condicionesde frontera se introducen dos nuevas ecuaciones, con lo cual obtenemos un sistema den +1 ecuaciones con n +1 incógnitas. La pregunta que surge es si este sistema tienesolución y si la tiene saber si es única. La respuesta la dá el siguiente teorema.

Teorema 4.4 Si f es una función de valor real definida en un intervalo [a,b], entonces f tieneun único Trazador cúbico natural T en [a,b], o sea un trazador cúbico T que satisface lascondiciones ( ) ( )′′ = ′′ =T a T b0 0 y .

Demostración: Haciendo a x x x bn= < < < =0 1 ... y usando las condiciones de fronteralibre

( ) ( ) ( ) ( ) y 2 20 0 1c p a T a c p b T bn n= ′′ = ′′ = ′′ = ′′−

obtenemos c0 0= y cn = 0 .

Estas dos ecuaciones junto con las ecuaciones en (4.11) nos producen un sistema linealAX b= de n +1 ecuaciones con n +1 incógnitas, donde

( )( )

( )

A , X

=

++

+

=

− − − −

−

1 0 0 0 02 0 0

0 2 0

00 20 0 0 1

0 0 1 1

1 1 2 2

2 2 1 1

0

1

2

1

"

! !

"

" "

!

h h h hh h h h

h h h h

ccc

ccn n n n

n

n


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

b

ha a

ha a

ha a

ha a

ha a

ha a

nn n

nn n

=

− − −

− − −

− − −

−

−−

− −

03 3

3 3

3 3

0

12 1

01 0

23 2

12 1

11

21 2

!

Como se ve la matriz A de coeficientes de este sistema es tridiagonal estrictamentedominante diagonalmente por filas, en consecuencia el sistema dado tiene solución únicapara n10 c,...,c,c .

Conocidos los valores de n10 c,...,c,c , podemos obtener los valores 1n10 b,...b,b − usando lasecuaciones (4.10) y los valores de 1n10 d,...d,d − usando las ecuaciones (4.7), con lo cual seobtiene el único Trazador cúbico ( )T x . ∇∇∇∇

También se tiene el siguiente resultado:

Teorema 4.5 Si f está definida en [a,b], entonces f tiene un único Trazador cúbico T en [a,b],que satisface ( ) ( ) ( ) ( )′ = ′ ′ = ′T a f a f b y T b .

En este caso los valores de n10 c,...,c,c se determinan encontrando la única solución delsistema tridiagonal AX b ,= donde

( )( )

( )

A X

=

++

+

=

− − − −

− −

−

2 0 0 02 0 0

0 2 0

00 20 0 2

0 0

0 0 1 1

1 1 2 2

2 2 1 1

1 1

0

1

2

1

h hh h h h

h h h h

h h h hh h

ccc

ccn n n n

n n

n

n

"

! !

"

" "

!,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

b

ha a f a

ha a

ha a

ha a

ha a

f bh

a an

n nn

n n

nn n

=

− − ′

− − −

− − −

′ − −

−−

−− −

−−

3 3

3 3

3 3

3 3

01 0

12 1

01 0

11

21 2

11

!


__________________________________________________________________________________

que tiene, como en el teorema anterior, matriz de coeficientes estrictamente dominantediagonalmente por filas. ∇∇∇∇

Conocidos los puntos ( )( ) ( )( ) ( )( )nn1100 xf,x,...,xf,x,xf,x , un algoritmo para encontrar un

Trazador cúbico para f en [ ]x xn0, , debe empezar por hacer: ( ) n,...,1,0k ,xfa kk == ,

calcular 1n,...,1,0k ,xxh k1kk −=−= + , resolver el sistema AX b= correspondiente y obtener 1n,...,1,0k ,d y c ,b ,a kkkk −= .

Recuerde que para cada 1n,...,1,0k −= ,

( ) ( ) ( ) ( )p x a b x x c x x d x xk k k k k k k k= + − + − + −2 3

es el polinomio interpolante para f en [ ]x xk k, +1 .

Ejemplo 4.5 Dada la función f definida por ( )f x xe ex x= −3 2 y la tabla siguiente:

k xk ( )f xk

0 1.00 2.7182821 1.05 3.2862992 1.07 3.5276093 1.10 3.905416

TABLA 4.4

Encontrar el Trazador cúbico natural T para f en [1.0,1.10] y usarlo para estimar ( )f 103. .

Solución: Como los nodos 3210 x y x ,x ,x no están igualmente espaciados, debemosempezar encontrando h0 1 2, h y h :

De acuerdo con los datos de la tabla, se tiene que

h , h , h 0 1 0 1 2 1 2 3 205 02 03= − = = − = = − =x x x x x x. . .

Ahora, como ( ) ( )′′ = = ′′ = =p x c p x c0 0 0 2 3 32 0 2 0 y , entonces c0 30 0= = y c , así quedebemos resolver el siguiente sistema:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

−−−=++

−−−=++

=

0c

2862993527609302352760939054163

033c03c052c02

7182822286299305328629935276093

023 c02c072c05

0 c

3

321

210

0

...

...

...

...

...

...

La solución de este sistema es


c , c , c , c0 1 2 30 13 22529 13 19694 0= = = =. .

Usando las ecuaciones (4.10), obtenemos

b , b , b0 1 21113992 1180118 12 32963= = =. . .

y usando las ecuaciones (4.7), obtenemos

d , d , d0 1 288 16863 4725490 146 6327= = − = −. . .

y comoa0 1 22 718282 3 286299 3 527609= = =. . ., a , a

(ya que ( ) n,...,1,0k ,xfa kk == ), entonces el Trazador cúbico natural T para f en [ ]x x0 3, es

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

T x ,x

x T x p x a b x x c x x d x x ,

si x x ,x , k 0,1,2

0 3

k k k k k k2

k k3

k k 1

: →

→ = = + − + − + −

∈ =+

R

siendo

( ) ( ) ( ) ( )p x x x x02 32 718282 1113992 100 0 100 88 16863 100= + − + − + −. . . . . . ,

( ) ( ) ( ) ( )p x x x x12 33 286299 1180118 105 13 22529 105 4725490 105= + − + − − −. . . . . . . ,

( ) ( ) ( ) ( )p x x x x22 33 527609 12 32963 107 13 19694 107 146 6327 107= + − + − − −. . . . . . .

Como [ ]x = ∈103 10105. . ., , entonces

( ) ( ) ( )( ) ( )

f

.

103 103 103

2 718282 1113992 103 100 88 16863 103 1003 054860

03

. . .

. . . . . . .

.

≈ =

= + − + −

=

T p

Instrucción en DERIVE: Dados los n +1 puntos [ ] [ ] [ ][ ]M x y x y x yn n:= 0 0 1 1, , , ,..., , :TRAZADOR(M ): Simplifica o aproXima en el Trazador cúbico natural correspondiente a losdatos dados en la matriz M. El resultado es la matriz ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ]x p x x p x x p xn, , , ,..., ,0 1 1− .

Después de aproximar el TRAZADOR(M ), se puede graficar el resultado, entrando losnúmeros xk y xk+1 , correspondientes a los extremos del dominio del polinomio ( )p xk , paracada k, cuando DERIVE le solicite los valores Min y Max. Para el ejemplo anterior, tome lamatriz [ ] [ ] [ ] [ ][ ]M:= 10 2 718282 105 3 286299 107 3 527609 110 3 905416. . . . . . . ., , , , , , , y aproXime laexpresión TRAZADOR (M ). ◊◊◊◊


__________________________________________________________________________________

Como ejercicio use el polinomio interpolante de Newton para f en los datos dados en elejemplo 4.5, para estimar ( )f 103. y compare el resultado con el obtenido usando el Trazadorcúbico natural. ♦

Dados cuatro o menos puntos, sabemos que existe un único polinomio de grado tres omenor que interpola a los datos dados, así que usaremos Trazadores cúbicos cuandotengamos cinco o más puntos.

Ejemplo 4.6 Determine todos los valores de a, b, c, d y e para los cuales la siguiente funciónes un Trazador cúbico

( )( ) ( ) ( ]( ) [ ]( ) ( ) [ )

+∞∈−+−

∈−

∞−∈−+−

=

,3x ,3xe2xd

3,1x ,2xc

1,x ,1xb2xa

xT 32

2

32

Además, determine los valores de los parámetros de modo que el trazador interpole lasiguiente tabla

x 0 1.0 4.0y 26.0 7.0 25.0

Solución: Para que ( )T x sea un trazador cúbico en ( )−∞ +∞, , debe satisfacer:

i) ( )T x debe ser continua en todo punto de ( )−∞ +∞, , y como lo es en ( )−∞,1 , (1,3) y ( )3,+∞ ,

por ser polinómica en cada uno de estos intervalos, debemos imponer condiciones paraque sea continua en los números 1 y 3. Debe tenerse que

( ) ( ) ( )lim T x T lim T xx x→ − → +

= =1 1

1 y ( ) ( ) ( )lim T x T lim T xx x→ − → +

= =3 3

1

es decir,

( ) ( ) ( ) ( )a b T c1 2 1 1 1 1 22 3 2− + − = = − y ( ) ( ) ( ) ( )c T d e3 2 3 3 2 3 32 2 3− = = − + −

o sea que debe tenerse a c= y c d= .

ii) ( )T x debe ser derivable en todo punto de ( )−∞ +∞, , y como lo es en ( )−∞,1 , (1,3) y

( )3,+∞ , por ser polinómica en cada uno de estos intervalos, debemos imponercondiciones para que sea derivable en los números 1 y 3, lo cual se tiene si

( ) ( )′ = ′− +T T1 1 y ( ) ( )′ = ′− +T T3 3es decir, si

( ) ( ) ( )2 1 2 3 1 1 2 1 22a b c− + − = − y ( ) ( ) ( )2 3 2 2 3 2 3 3 3 2c d e− = − + −


o sea, si − = −2 2a c y 2 2c d= , o equivalentemente si a c= y c d ,= que como vemosson las mismas condiciones obtenidas en i).

iii) ( )T x debe tener primera derivada continua en todo punto de ( )−∞ +∞, , y como la derivada

es continua en ( )−∞,1 , (1,3) y ( )3,+∞ , por ser polinómica en cada uno de estos intervalos,sólo hay que considerar los casos x =1 y x = 3 , es decir, debe tenerse( ) ( )′′ = + − =T a b c1 2 6 1 1 2 y ( ) ( )′′ = + − =T d e c3 2 6 3 3 2 , o sea a c= y c d= .

Hasta aquí, sin condiciones de interpolar una tabla de datos dada, los coeficientes a, b, c, d ye del Trazador cúbico ( )T x , deben satisfacer a c d= = y b, e arbitrarios.

Para que el Trazador cúbico interpole la tabla de datos dada, los parámetros a, b, c, d y edeben satisfacer las siguientes ecuaciones

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

T a b

T a b c

T d e

0 0 2 0 1 26

1 1 2 1 1 1 2 7

4 4 2 4 3 25

2 3

2 3 2

2 3

= − + − =

= − + − = − =

= − + − =

lo que nos conduce al siguiente sistema lineal

4 267

4 25

a ba c

d e

− == =+ =

cuya solución es

a c= = = = −7 2 3, b y e

Pero de las condiciones obtenidas antes, se tiene que a c d= = , así que en definitiva elTrazador cúbico que interpola la tabla de datos dada es

( )( ) ( ) ( ]( ) [ ]( ) ( ) [ )

T

, x ,

, ,

, x ,

x

x x

x x

x x

=

− + − ∈ −∞

− ∈

− − − ∈ +∞

7 2 2 1 1

7 2 13

7 2 3 3 3

2 3

2

2 3

Es el Trazador cúbico obtenido un Trazador cúbico natural?

Como ( )′′ = ≠T 1 14 0 , entonces el Trazador cúbico obtenido no es natural. ♦


__________________________________________________________________________________

4.3 AJUSTE DE UN POLINOMIO POR MÍNIMOS CUADRADOS (REGRESIÓNPOLINOMIAL)

Hasta ahora hemos estudiado el problema de aproximar una función ( )y f x= por unpolinomio interpolante a partir de una serie de datos conocidos

( )( ) ( )( ) ( )( )nn1100 xf,x,...,xf,x,xf,x .

En esta parte se estudiará el siguiente problema:

Supongamos que existe una relación funcional ( )y f x= entre dos cantidades x e y, con f

desconocida y se conocen valores yk que aproximan a ( )f xk , es decir,

( ) n,...,1,0k ,yxf kkk =∈+=con ∈ k desconocido.

Se trata de recuperar la función f a partir de los datos aproximados n,...,1,0k ,yk = .

Este problema se conoce como un problema de "ajuste de datos" o "ajuste de curvas"(caso discreto). Trabajaremos básicamente el caso en el que f es una función polinómica.

Si f es una función polinómica, digamos ( ) ( )f x p xm= , entonces el problema se convierte en:Dados 1n + puntos ( ) ( ) ( )nn1100 y,x,...,y,x,y,x con n10 x,...,x,x números reales distintos, setrata de encontrar un polinomio

( ) nm con ,xa...xaaxp mm10m <+++=

que "mejor se ajuste" a los datos. Lo de "mejor ajuste" se entenderá en el sentido de que

( )( )p x ym k kk

n

−

=

∑ 2

0

12

sea mínimo, es decir, que

( )( )p x ym k kk

n

−=∑ 2

0

sea mínimo.

Este criterio de mejor ajuste, como ya se mencionó antes, se conoce como mínimoscuadrados, y el método para obtener los polinomios que mejor se ajustan según mínimoscuadrados se llama Regresión polinomial.

4.3.1 Regresión polinomial: Supongamos que se conocen los datos( ) ( ) ( )nn1100 y,x,...,y,x,y,x , con n10 x,...,x,x números distintos y se desea encontrar unpolinomio


( )p x a a x a x nm mm= + + + <0 1 ... , con m

tal que

( ) ( )( ) ( ) S a a a p x y a a x a x a x ym m k kk

n

k k m km

kk

n

0 12

00 1 2

2 2

0

, ,..., ...= − = + + + + −= =∑ ∑

sea mínima.

El grado m del polinomio ( )p xm se puede escoger previamente con base en algún resultadoteórico, alguna expectativa o por la aplicación que se le pretenda dar al polinomio. Encualquier caso estamos "libres" de elegir el grado que parezca mejor. En muchos casos elgrado será uno y el polinomio obtenido se llamará la recta que mejor se ajusta o la recta demínimos cuadrados para la tabla de datos.

Volviendo a la función ( )m10 a,...,a,aS , una condición necesaria para la existencia de unmínimo relativo de esta función es que las derivadas parciales de ( )m10 a,...,a,aS conrespecto a a mj, , ,..., j = 01 sean cero.

Resultan entonces las siguientes m +1 ecuaciones lineales en las incógnitas a a am0 1, ,..., :

( )∂∂

S a0

0 1 22

0

2 0= + + + + − ==∑ a a x a x a x yk k m k

mk

k

n

...

( )( )∂∂

S a1

0 1 22

0

2 0= + + + + − ==∑ a a x a x a x y xk k m k

mk k

k

n

...

( )( )

( )( )

( )( )

∂∂

∂∂

∂∂

S a

S a

S a

20 1 2

2 2

0

0 1 22

0

0 1 22

0

2 0

2 0

2 0

= + + + + − =

= + + + + − =

= + + + + − =

=

=

=

∑

∑

∑

a a x a x a x y x

a a x a x a x y x

a a x a x a x y x

k k m km

k kk

n

jk k m k

mk k

j

k

n

mk k m k

mk k

m

k

n

...

...

...

! !

! !

Si en las ecuaciones anteriores cancelamos el 2, desarrollamos los paréntesis y usamos que

( )a n ak

n

00

01=∑ = + , obtenemos


__________________________________________________________________________________

( )

n a x a x a y

x a x a x a x y

x a x

kk

n

km

k

n

m kk

n

kk

n

kk

n

km

k

n

m k kk

n

kj

k

n

kj

k

n

+ +

+ +

=

+

+ +

=

+

= = =

= =

+

= =

=

+

=

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

1 00

10 0

00

2

01

1

0 0

00

1

0

...

...

!

+ +

=

+

+ +

=

+

= =

=

+

= = =

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

a x a x y

x a x a x a x y

km j

k

n

m kj

kk

n

km

k

n

km

k

n

km

k

n

m km

kk

n

10 0

00

1

01

2

0 0

...

...

!

Este es un sistema de m +1 ecuaciones lineales en las m +1 incógnitas m10 a,...,a,a , quese llama sistema de ECUACIONES NORMALES. Este sistema de ecuaciones normales sepuede escribir en forma simplificada como sigue:

ja x x y mii

m

ki j

k

n

kj

kk

n

=

+

= =∑ ∑ ∑= =

0 0 0

01, , ,...,

Estas ecuaciones se pueden reproducir a partir de

( ) pm k k m km

kx a a x a x y= + + + =0 1 ...

multiplicando a ambos lados por x mkj , , ,..., j = 01 ,

a0 11x a x a x x yk

jk

jm k

m jkj

k+ + + =+ +...

y luego sumando sobre k

a , j00

11

0 0 0

0 1x a x a x x y mkj

k

n

kj

k

n

m km j

k

n

kj

kk

m

=

+

=

+

= =∑ ∑ ∑ ∑+ + + = =... , ,...,

La matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones normales es simétrica y no singular,siempre que las x nk, , ,..., k = 01 , sean distintas, por lo tanto el sistema tiene solución única.Aunque la matriz puede estar mal condicionada cuando m es grande.


Para ver que la matriz A de coeficientes del sistema de ecuaciones normales es no-singular,mostraremos que la matriz

B =

11

1

0 02

0

1 12

1

2

x x xx x x

x x x

m

m

n n nm

"

"

! ! ! !

"

es tal que B B AT = y B tiene todas sus columnas linealmente independientes.

En efecto:

( ) ( ) ( ) ( )

B Bx x xx x x

x x x

x x xx x x

x x x

Tn

n

m mnm

m n

m

m

n n nm

n m

=

+ × ++ × +

1 1 111

1

0 1

02

12 2

0 1 1 1

0 02

0

1 12

1

21 1

"

"

"

! ! !

"

"

"

! ! ! !

"

( ) ( )

B B

n x x x

x x x x

x x x x

x x x x

AT

kk

n

kk

n

km

k

n

kk

n

kk

n

kk

n

km

k

n

kk

n

kk

n

kk

n

km

k

n

km

k

n

km

k

n

km

k

n

km

k

n

m m

=

+

=

= = =

= = =

+

=

= = =

+

=

=

+

=

+

= = + × +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

10

2

0 0

0

2

0

3

0

1

0

2

0

3

0

4

0

2

0

0

1

0

2

0

2

0 1 1

"

"

"

! ! ! !

"

Ahora, las columnas de B son

X X X X con x distintos y m0 1

0

12

02

12

2

0

10 1

11

1

=

=

=

=

<! ! ! !

, , ,..., , ,...,

xx

x

xx

x

xx

x

x x n

n n

m

m

m

nm

n

Sean R∈m10 c,...,c,c tales que c X c X c Xm m0 0 1 1 0+ + + =... y veamos quec c cm0 1 0= = = =... .

Como


__________________________________________________________________________________

=

++++

++++++++

=

++

+

+

=++++

0

00

xc...xcxcc

xc...xcxccxc...xcxcc

x

xx

c...

x

xx

c

x

xx

c

1

11

cXc...XcXcXc

mnm

2n2n10

m1m

212110

m0m

202010

mn

m1

m0

m

2n

21

20

2

n

1

0

10mm221100

!!

!!!!

entoncesc c x c x c x

c c x c x c x

c c x c x c x

mm

mm

n n m nm

0 1 0 2 02

0

0 1 1 2 12

1

0 1 22

0

0

0

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

...

...

...

! (4.12)

y si ( )q x c c x c x c xm mm= + + + +0 1 2

2 ... con m < n y no todos los coeficientes nulos,

entonces el sistema (4.12) dice que la ecuación polinómica ( )q xm = 0 tiene por lo menos n

raíces distintas ( )x x xn0 1, ,...., m < n , lo cual es imposible.

Así que c c cm0 1 0= = = =... y entonces las columnas de la matriz B son linealmente

independientes, y usando el hecho de que rango de B BT =rango de B, entonces la matrizA B BT= es invertible, lo que implica que el sistema de ecuaciones normales tiene soluciónúnica. De este modo se garantiza la existencia de un único polinomio de ajuste segúnmínimos cuadrados, si x x xn0 1, ,..., son todos distintos. ∇∇∇∇

En el caso particular en que m =1, ( )p x a a x1 0 1= + es la recta de mínimos cuadrados

donde a0 1 y a se obtienen resolviendo el sistema lineal de dos ecuaciones con dosincógnitas

n+1

x a x a y

x a x a x y

kk

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

n

k kk

n

0

00

1

01

0

1

00

2

01

0

= = =

= = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

+

=

+

=

#$% &%

(No se recomienda usar la regla de Cramer para resolver el sistema anterior, porque la reglade Cramer es fuertemente inestable)


Una manera de medir el error para estimar la bondad del ajuste según mínimos cuadrados,es a través de:

i) El error ( )( )E p x ym k kk

n

= −=∑ 2

0

, o

ii) El error cuadrático medio ( )( )

21

n

0k

2kkm

SMR 1n

yxpE

+

−=∑= .

Ejemplo 4.7 Dada la tabla siguiente

k xk yk

0 0 −11 2 02 3 23 5 1

TABLA 4.51) Encuentre:

a) La recta de mínimos cuadrados para la tabla y su error E y SMRE .b) La parábola de mínimos cuadrados para la misma tabla y su error E y SMRE .

2) Cuál será el polinomio cúbico de mínimos cuadrados para dicha tabla? Cuál es su error Ey SMRE ?

Solución: Para dar respuesta a la pregunta 1) debemos resolver dos sistemas deecuaciones lineales:

Para la parte a) la recta es ( )p x a a x1 0 1= + donde a0 1 y a se obtienen resolviendo elsistema

x a x a y

x a x a x y

kk

kk

kk

kk

kk

k kk

0

0

3

01

0

3

10

3

1

0

3

02

0

3

10

3

= = =

= = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

+

=

+

=

(4.13)

Para la parte b) la parábola es ( )p x b b x b x2 0 1 22= + + donde b b0 1 2, y b se determinan

resolviendo el sistema


__________________________________________________________________________________

x b x b x b y

x b x b x b x y

x b x b x

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

k kk

kk

kk

kk

0

0

3

01

0

3

12

0

3

20

3

1

0

3

02

0

3

13

0

3

20

3

2

0

3

03

0

3

14

0

3

= = = =

= = = =

= = =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

+

+

=

+

+

=

+

+

=

=∑b x yk kk

22

0

3

(4.14)

Una manera conveniente de disponer todas las sumatorias necesarias para los dos sistemases como se muestra en la siguiente tabla

k xk xk2 xk

3 xk4 yk x yk k x yk k

2

0 0 0 0 0 -1 0 01 2 4 8 16 0 0 02 3 9 27 81 2 6 183 5 25 125 625 1 5 25

k=∑

0

3

10 38 160 722 2 11 43

TABLA 4.6

De modo que los sistemas (4.13) y (4.14) son

4 10 210 38 11

0 1

0 1

a aa a

+ =+ =

(4.13')

4 10 38 210 38 160 1138 160 722 43

0 1 2

0 1 2

0 1 2

b b bb b bb b b

+ + =+ + =+ + =

(4.14')

La solución del sistema (4.13') es a0 11726

613

= − =, a , y la solución del sistema (4.14') es

b0 1 21513

10178

16

= − = = −, b y b . Luego la recta de mínimos cuadrados para los datos dados

es ( )p x x11726

613

= − + , y el polinomio cuadrático de mínimos cuadrados para los datos dados

es ( )p x x x2215

1310178

16

= − + − .


La TABLA 4.7 siguiente, muestra los valores de ( )p xk1 y ( )p xk2 , k = 012 3, , , , llamados datos

suavizados, y las diferencias ( )y p xk k− 1 , ( )y p xk k− 2 .

xk 0 2 3 5

yk −1 0 2 1

( )p xk1 − .654 .269 .731 1.65

( )y p xk k− 1 − .346 − .269 1.27 − .65

( )p xk2 −115. .769 1.23 1.15

( )y p xk k− 2 .15 − .769 .77 − .15

TABLA 4.7

El error para la recta de mínimos cuadrados es

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E = − = − + − + + − ≈=∑ p x yk kk

12

0

32 2 2 2346 269 127 65 2 23. . . . .

y el error cuadrático medio es

.

( )( )747

4232

4

yxpE

21

21

3

0k

2kk1

SMR .. ≈

≈

−

=∑=

Análogamente, para la parábola de mínimos cuadrados se obtiene que

( )( )( )( )

555 4

yxpE y 231yxpE

3

0k

21

3

0k

2kk2

SMR2

kk2 .. ≈

−

=≈−=∑∑

=

=

Para la respuesta a la pregunta 2), recordemos que hay un único polinomio de grado menoro igual que tres que pasa por los cuatro puntos dados y es el polinomio de interpolación, asíque el polinomio cúbico de mínimos cuadrados debe ser este polinomio. El polinomio deinterpolación para los datos dados es

( )p x x x x32 310 2 1 11

64

15= − − + −. .

que se puede obtener usando, por ejemplo, diferencias divididas. Es claro que el errorE = 0 y el error ERMS = 0 .


__________________________________________________________________________________

Un dibujo de los puntos dados, la recta, la parábola y el polinomio cúbico según mínimoscuadrados, se muestra en la FIGURA 4.3 siguiente. ♦

FIGURA 4.3

4.3.2 Regresión exponencial, logarítmica y de potencia: Aunque la regresión polinomiales la más usada, también hay casos de interés en los cuales la relación funcional entre lasvariables x y y es de alguno de los tipos siguientes:

y = +a b x (ln Regresión logarítmica ) (4.15)

y ( Regresión exponencial )= aebx (4.16)

( ) y Regresión de potencia= axb (4.17)

Estos problemas se tratan como un problema de ajuste lineal, así: En el caso (4.15), linealentre las variables ln x e y; en el caso (4.16), como y ae y a bxbx= ⇔ = +ln ln , se trata comoun caso lineal entre las variables x y lny ; en el caso (4.17), como y ax y a b xb= ⇔ = +ln ln ln ,se trata como un caso lineal entre las variables ln x y ln y .

Las soluciones para a y b en el caso (4.15), para lna y b en los casos (4.16) y (4.17),pueden encontrarse modificando apropiadamente las ecuaciones obtenidas en el caso deregresión lineal. Debe tenerse en cuenta que la aproximación obtenida de esta manera noes la aproximación de mínimos cuadrados del problema inicial y que, incluso, estaaproximación puede, en algunos casos, diferir significativamente de la aproximación demínimos cuadrados del problema original.

Ejemplo 4.8 Encuentre la recta logarítmica y a b x= + ln para la siguiente tabla


k xk yk

0 29 1.61 50 23.52 74 38.03 103 46.44 118 48.9

TABLA 4.8

y úsela para estimar el valor de y cuando x = 80 .

Solución: Para encontrar los valores de a y b , hacemos z xk k= =ln , , , , , k 012 3 4 , yresolvemos el siguiente sistema

50

4

0

4

0

42

0

4

0

4

a z b y

z a z b z y

kk

kk

kk

kk

k kk

+

=

+

=

= =

= = =

∑ ∑

∑ ∑ ∑

Para calcular los coeficientes a y b , modificamos los datos dados como se indica en laTABLA 4.9. Los datos suavizados, que aparecen en la última columna de la TABLA 4.9, seobtienen una vez que se conoce la recta logarítmica, que en este caso es

y = − +111123688 34 019025. . lnx

k xk z xk k= ln zk2 yk z yk k Datos suavizados

0 29 3.367296 11.338682 1.6 5.387674 3.4284331 50 3.912023 15.303924 23.5 91.932541 21.9595202 74 4.304065 18.524976 38.0 163.55447 35.296413 103 4.634729 21.480713 46.4 215.051426 46.5452734 118 4.770685 22.759435 48.9 233.286497 51.170352

k=∑

0

4

374 20.988798 89.40773 158.4 709.212608 ERMS ≈ 1907944.

TABLA 4.9

De acuerdo con la TABLA 4.9 el sistema a resolver es

5 20 988798 158 420 988798 89 40773 709 212608

a ba b+ =+ =

. .

. . .

La solución del sistema esab= −=

11112368834 019025

.

.


__________________________________________________________________________________

así que la recta logarítmica es y = − +111123688 34 019025. . lnx . Si x = 80 , entoncesy = − + =111123688 34 019025 80 37 835394. . .ln . ♦

Ejercicio 4.4 Encuentre la curva y aebx= usando mínimos cuadrados para la TABLA 4.10siguiente. Úsela para calcular el valor de y cuando x =16 . Cuál es el error E?

xk 6.9 12.9 19.8 26.7 35.1

yk 21.4 15.7 12.1 8.5 5.2

TABLA 4.10

Ejercicio 4.5 Encuentre la curva y axb= usando mínimos cuadrados para la TABLA 4.11siguiente y úsela para calcular el valor de y cuando x = 36. Cuál es el error ?

xk 28 30 33 35 38

yk −2410 −3033 −3895 −4491 −5717

TABLA 4.11

TALLER 4.

1. Use la forma de Lagrange del polinomio interpolante para encontrar los polinomiosinterpolantes más apropiados de grados uno, dos y tres para aproximar ( )f .2 , a partir delos siguientes datos

x −.2 .1 .3 .7( )f x −.163746 .110517 .404958 1.40963

2. Use la forma de Lagrange del polinomio interpolante y todos los datos de la tabla siguiente,para aproximar ( )f 125. . La función que se está aproximando es ( )f x ex= −2 1 . Use estainformación para encontrar una cota teórica para el error en esta aproximación.

x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4( )f x 1.00000 1.23368 1.55271 1.99372 2.61170

3. Suponga que se desea construir una tabla de valores para la función ( )f x = senx , en el

dominio 02

,π

, con tamaño de paso h. Si se usa interpolación lineal con cada dos datos

consecutivos de la tabla, y suponemos que el error total, incluyendo el efecto de loserrores de redondeo en las entradas de la tabla, es a lo más de 10 6− . Cuál es el valor


más grande posible para h, y cuántas cifras decimales se deben usar para los datos de latabla?

4. Demuestre que

( )L xjj

n

=∑ =

0

1 para toda x

donde cada ( )L xj es el polinomio fundamental de Lagrange de grado n, correspondientea n +1 números n10 x,...,x,x .

Sugerencia: Considere la forma de Lagrange del polinomio interpolante de grado menoro igual que n para la función ( )f x ≡1.

5. Sea ( ) ( )w x x xkk

n

= −=∏

0

. Demuestre que el polinomio interpolante de grado menor o igual

que n para una función f en los nodos n10 x,...,x,x , puede escribirse como

( ) ( ) ( )( ) ( ) pn

k

k kk

n

x w xf x

x x w x=

− ′=∑

0

6. Para la función ( )f xx

x=+

− ≤ ≤11

5 52 , , genere el polinomio interpolante ( )p xn usando

n +1 nodos igualmente espaciados en el intervalo [ ]−5 5, . Calcule ( )p xn para distintos

valores de n y grafíquelos junto con la función f. Es cierto que

[ ]( ) ( )Max x p x

x n∈ −

− → →∞5 5

0,

f cuando n ?

7. Encuentre un polinomio que tome los siguientes valores

x 1 2 0 3y 3 2 −4 5

8. Encuentre las formas de Lagrange y de Newton del polinomio interpolante para lossiguientes datos

x −2 0 1( )f x 0 1 −1

Escriba ambos polinomios en la forma a bx cx+ + 2 para verificar que éllos son idénticos.


__________________________________________________________________________________

9. Use la forma deLagrange y la forma de Newton del polinomio interpolante para encontrarlos polinomios interpolantes más apropiados de grado dos, para aproximar ( ) ( )f .4 y f 6. apartir de los siguientes datos, y calcule la aproximación en cada caso

x .1 .3 .5 .7 1.0( )f x 11.052 4.4995 3.2974 2.8768 2.7183

10. Demuestre que si ( )n10 z,...,z,z es una permutación de ( )n10 x,...,x,x , entonces

[ ] [ ]f z ,z ,...,z f x ,x ,...,x0 1 n 0 1 n= .

Sugerencia: Use la unicidad del polinomio interpolante.

11. Los siguientes datos son tomados de un polinomio de grado menor o igual que cinco.Cuál es dicho polinomio y cuál es su grado?

x −2 −1 0 1 2 3y −5 1 1 1 7 25

12. Verifique que el polinomio ( ) ( ) ( ) ( )( )p x x x x x x x= − + + + − + −2 1 1 2 1 1 interpola losprimeros cuatro puntos de la tabla siguiente:

x −1 0 1 2 3y 2 1 2 −7 10

Adicionando únicamente un término al polinomio ( )p x , encuentre un polinomio queinterpole la tabla completa.

13. Encuentre el polinomio de menor grado que pasa por los puntos ( )12, , ( )21, , ( )312, y

( )7146, .

14. Un vehículo que viaja en una carretera recta es cronometrado en algunos puntos. Losdatos de las observaciones se dan en la siguiente tabla donde el tiempo está dado ensegundos y la distancia en metros

Tiempo 0 3 5 8Distancia 0 225 383 623

Encuentre el polinomio que interpola estos datos y úselo para aproximar la distancia, lavelocidad y la aceleración del vehículo a los seis segundos.


15. Determine todos los valores de a, b y c tales que

( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]

∈−+−+−+

∈−+=

1,2x ,1xd1xc1xba

0,1x ,9xx3 xT

32

3

es un Trazador cúbico con nodos 0, 1, 2.

Ahora, determine el valor de d tal que

( )[ ]′′∫ T x dx2

0

2

sea mínima. Finalmente, encuentre el valor de d que haga de T un Trazador cúbiconatural en [ ]0 2, , y explique por qué este valor es distinto del obtenido previamente.

16. Determine si el Trazador cúbico natural que interpola la siguiente tabla

xk 0 1 2 3yk 1 1 0 10

es o no la función

( )[ ]

( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]

T x

1 x x , x 0,1

1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 , x 1,2

4 x 2 9 x 2 3 x 2 , x 2,3

3

2 3

2 3

=

+ − ∈

− − − − + − ∈

− + − − − ∈

17. Determine si la siguiente función es un Trazador cúbico natural

( )( ) ( ) [ ]

[ ]( ) ( ) ( ) [ ]

T

x

x

x

x

x x

x x

x x x

=

+ + + ∈ −

+ + ∈

+ − + − − − ∈

2 1 1 10

3 5 3 0 1

11 11 1 3 1 1 12

3

2

2 3

, ,

, ,

, ,

18. Cuáles propiedades de un Trazador cúbico natural posee la siguiente función y cuálesno?

( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]

T xx x

x x x=

+ + + ∈ −

+ − + − ∈

x

1 1 10

4 1 1 0 1

3

3

, ,

, ,


__________________________________________________________________________________

19. Determine los coeficientes a, b, c y d tales que la función

( )( ][ ][ )

S

x

a x

x

x

x

bx cx dx

x

=

− ∈ −∞ −

+ + + ∈ −

− ∈ +∞

1 2 3

3 4

157 32 4

2 3

, ,

, ,

, ,

es un Trazador cúbico natural para el intervalo [ ]−3 4, .

20. Se pueden definir a y b de modo que la función

( )( ) ( ) ( ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ )

T

x

x

x

x

x a x

x x

x b x

=

− + − ∈ −∞

− − − ∈

− + − ∈ +∞

2 1 2

2 3 2 3

3 2 3

3 2

3 2

3 2

, ,

, ,

, ,

sea un Trazador cúbico natural en ( )−∞ +∞, ? Por qué sí o por qué no?

21. Qué valores de a, b, c y d hacen de la siguiente función un Trazador cúbico?

( ) [ ][ ]

T x x

a xx

bx cx dx=

∈ −

+ + + ∈

3

2 3

10

0 1

, ,

, ,

22. Construya la aproximación de mínimos cuadrados de la forma y axb= para la siguientetabla, y calcule su error E.

xk 4.0 4.2 4.5 4.7

yk 102.56 113.18 130.11 142.05

23. Encuentre la curva y aebx= que mejor se ajusta según mínimos cuadrados a la siguientetabla de datos y calcule su error ERMS .

xk 1.0 2.0 2.5 3.0

yk −1108. −8190. −222 6. −605 1.


__________________________________________________________________________________

4.1.3 Algunos hechos importantes acerca de las diferencias divididas de Newton: las siguientes son algunas de las propiedades más importantes de las diferencias divididas de Newton: 1. Si es una permutación de ( n10 z,,z,z K ) ( )n10 x,,x,x K , entonces

[ ] [ ]n10n10 x,,x,xfz,,z,zf KK =

CASO PARTICULAR: [ ] [ ]0110 x,xfx,xf = ( Esta propiedad es consecuencia de la unicidad del polinomio interpolante para los nodos ). n10 x,,x,x K

2. Si es n-veces continuamente diferenciable en f [ ]b,a (es decir, ) y

son números distintos en [ b,aCf n∈ ]

n10 x,,x,x K [ ]b,a , entonces existe ( )b,a∈ξ tal que

[ ]( ) ( )

!nfx,,x,xf

n

110ξ

=K

CASO PARTICULAR: [ ] ( ) ( )ξ′=ξ′

= f!1

fx,xf 10 para algún ξ entre y (teorema

del valor medio).

0x 1x

3. Si es un número intermedio entre los nodos , entonces el error al

aproximar mediante el polinomio de interpolación x n10 x,,x,x K

( )xf ( )xpn para en los nodos dados es:

f

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )n10n10n xxxxxxx,x,,x,xfxpxfx −−−=−=∈ KK

4. Sea , con conteniendo a los números . Entonces [ b,aCf n∈ ] ][ b,a n10 x,,x,x K

[ ]( ) ( ) [ ]

444 3444 21KK

K0

0n21xveces1n

0000

n

n10xx,x,xx,,x,xf

!nxf

x,,x,xflim+

→≡=

CASO PARTICULAR: [ ] ( ) ( ),

xxxfxf

x,xf01

0110 −

−=

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]00001

01xx10xx

x,xfxfxx

xfxflimx,xflim

0101

≡′=−−

=→→

Se definen las siguientes diferencias divididas con repetición:

Capítulo 4. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL Y AJUSTE POLINOMIAL 207

__________________________________________________________________________________

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ]( ) ( )

1k ,!kxf

x,,x,xf

!2xf

x,x,xf

xfx,xf

0k

xveces1k000

0000

000

0

≥=

′′=

′=

+444 3444 21

K

M ∇

Esta definición extendida de diferencia dividida con repetición, es válida siempre que tenga derivada continua en , del orden correspondiente. Tenga cuidado para .

f0x 2k ≥

4.1.4 Interpolación de Hermite: Esta interpolación se refiere a la interpolación de una función f y algunas de sus derivadas en un mismo conjunto de nodos. Como primer ejemplo, supongamos que queremos encontrar un polinomio, de menor grado

posible, que satisfaga ( ) ( ) 21p,10p == y 321p =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′ (observe que se tienen 3 nodos

distintos). Como hay 3 condiciones, podemos pensar en resolver el problema mediante un polinomio

( es el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales). Digamos ( ) 2xp ∏∈ 2∏

( ) ( ) ( ) 22 xcxba0xc0xbaxp ++=−+−+=

donde a, b, c son coeficientes reales por determinar. Como , entonces las condiciones impuestas conducen a: ( ) xc2bxp +=′

( ) 1a0p == ,

( ) 2cba1p =++= , entonces 1cb =+ ,

3cb21c2b

21p =+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛′

De acuerdo con las ecuaciones 1cb =+ y 3cb =+ , se concluye que no existe un polinomio de grado menor o igual que dos que resuelva el problema planteado. Intentamos con un polinomio ( ) 3xp ∏∈ . Digamos

( ) ( ) 232 dx3cx2bxp ,dxcxbxaxp ++=′+++= Las condiciones impuestas conducen a:


__________________________________________________________________________________

( ) 1a0p == ,

( ) 2dcba1p =+++= , de donde se tiene que 1dcb =++ ,

3d43cb

21d3

21c2b

21p

2

=++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛′

Como el sistema

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=++

3d43cb

1dcb

tiene infinitas soluciones: 9cb,8d =+−= , entonces el problema planteado tiene infinitas

soluciones ( ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−→⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

24100

11113

4311

1111).

Como un segundo ejemplo, supongamos que queremos encontrar un polinomio de menor grado posible que interpole a f y

( )xpf ′ en dos nodos distintos y , es decir, tal

polinomio debe satisfacer las cuatro condiciones siguientes 0x 1x

( )xp

( ) ( ii xfxp = ) y ( ) ( ) 1,0i,xfxp ii =′=′ Como hay 4 condiciones (4 ecuaciones), es razonable pensar que un tal polinomio puede ser de grado 3, es decir,

( )xp( ) 3xp ∏∈ . Digamos que ( )xp es de la forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

20

200 xxxxdxxcxxbaxp −−+−+−+=

Esta forma de expresar el polinomio ( )xp se plantea para simplificar los cálculos de los coeficientes a, b, c y d. Como ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20100 xxdxxxxd2xxc2bxp −+−−+−+=′ , las cuatro condiciones sobre conducen a: ( )xp

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

20011

0000

xfxxcxxbaxp3

xfbxp2;xfaxp1

=−+−+=

′==′==

conocidos a y b se calcule c.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )12

01011 xfxxdxxc2bxp4 ′=−+−+=′

conocidos a, b y c se calcula d.


__________________________________________________________________________________

Como se observa este problema tiene solución única, independientemente de los valores ( ) ( ) ( ) ( )1010 xfyxf,xf,xf ′′ .

Estudiaremos únicamente un caso especial para el cual un problema, del tipo anterior, tiene siempre solución única, problema que es conocido como Interpolación de Hermite. En este tipo de problemas, se suponen las siguientes condiciones de interpolación sobre el polinomio buscado : ( )xp Siempre que se prescriba o establezca la condición ( ) ( )i

j xp para un cierto nodo , (donde

denota el valor de la derivada de orden j del polinomio en el nodo ), también se deben establecer las condiciones

ix( ) ( i

j xp ) ( )xp ix

( ) ( ) ( ) ( )iii

1j xp ,xp, ,xp ′− K Si denota el número de condiciones prescritas o establecidas sobre en el nodo , para cada , es decir, si se dan las condiciones

ik ( )xp ixn , ,1 ,0i ...=

( ) ( ) ( ) ni01kj0,cxp ijii

j ≤≤−≤≤= ( * ) (Observe que puede variar con ), entonces el número total de condiciones sobre el polinomio , que denotaremos por

ik i( )xp 1m + es tal que:

n10 kkk1m +++=+ K

El siguiente teorema garantiza existencia y unicidad de un polinomio (de grado menor o igual que m) que satisface las condiciones ( * ) , tal polinomio se llamará polinomio de interpolación de Hermite.

( ) mxp ∏∈

Teorema: Existe un único polinomio ( ) mxp ∏∈ (de grado menor o igual que m) que satisface las condiciones de interpolación de Hermite ( * ). Demostración: Si , entonces ( ) mxp ∏∈ ( )xp tiene 1m + coeficientes (por ser de grado menor o igual que m) y como el número de condiciones impuestas sobre (en (*)) es también , entonces tales condiciones generan un sistema de

( )xp1m + 1m + ecuaciones lineales

con incógnitas, y deseamos asegurar que la matriz de coeficientes de este sistema es invertible, para lo cual es suficiente probar que el sistema homogéneo asociado

1m +0AU =

tiene solución única . 0U = El problema homogéneo asociado, consiste en encontrar ( ) mxp ∏∈ tal que

( ) ( ) ni0 ,1kj0 ,0xp iij ≤≤−≤≤=

Como para todo j con ( ) ( ) 0xp i

j = 1kj0 i −≤≤ , entonces el polinomio tiene en un cero de multiplicidad mayor o igual que (según teorema que dice: si

( )xp ix

ik


__________________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0αp y 0αpαpαp k1k ≠===′= −... , entonces α es una raíz de multiplicidad k de la ecuación ) y por lo tanto ( ) 0xf = ( )xp debe ser un múltiplo del polinomio dado por

( )xq

( ) ( )∏=

−=n

0i

ki

ixxxq

(según teorema del factor: si es una raíz de ix ( ) 0xp = , entonces ( )ixx − es un factor de ) ( )xp

Observe, sin embargo, que es de grado ( )xq 1m + ( ), mientras que es

de grado a lo más m. Concluimos entonces que

∑=

=+n

0iik1m ( )xp

( ) ( ) 0xqxp == , así que todos los coeficientes del polinomio son cero, y entonces el sistema ( )xp 0AU = tiene solución única

. ∇ 0U = Veamos como se encuentra el polinomio de interpolación de Hermite, mediante unos ejemplos. Ejemplo 1: Supongamos que queremos encontrar el polinomio ( )xp que satisface

y ( ) ( ) 10i000 cxp,cxp == ( ) 010 cxp =′ . Solución: Puesto que las condiciones son de interpolación de Hermite (es decir, del tipo (*)), con ( 2 es el número de condiciones sobre el nodo y 1 es el número de condiciones sobre el nodo ), entonces existe un único polinomio que satisface las condiciones dadas. Consideremos la siguiente tabla de diferencias divididas extendidas:

3121m =+=+ 0x

1x ( ) 2xp ∏∈

iz D.D.0 ( )izp D.D.1 D.D.2

00 xz = ( )000 zpc = [ ] 1010 cz,zp = [ ] 20210 cz,z,zp =

01 xz = ( )100 zpc = [ ]21 z,zp

12 xz = ( )210 zpc = NOTA: En esta tabla se repite el nodo tantas veces como condiciones hayan impuestas sobre ese nodo. Cada uno de los cálculos que aparecen en la tabla se realiza usando la definición de diferencia dividida con o sin repetición, según sea el caso.

ix

[ ] [ ] ( ) 1000010 cxpx,xpz,zp =′== ( definición)

[ ] [ ] ( ) ( )01

0010

01

011021 xx

ccxx

xpxpx,xpz,zp

−

−=

−−

==


__________________________________________________________________________________

[ ] [ ] [ ]( ) 20

01

102

01

0001

01

1001

0010

02

1021210 c

xxc

xx

ccxx

cxxcc

zzz,zpz,zp

z,z,zp2z0z

≡−

−−

−=

−

−−

−

=−−

=≠↑

El polinomio

( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( )102100100 zxzxz,z,zpzxz,zpzpxp −−+−+=

es decir, ( ) ( ) ( )202001000 xxcxxccxp −+−+=

satisface las condiciones dadas. En efecto: ( ) 000 cxp =

( ) ( ) ( )( ) ([ ]

10

01100001011000

201200110001

c

xxcccxxcc

xxcxxccxp

=

−−−+−+=

−+−+=

)

( ) ( ) ( ) 10002010 cxp,xxc2cxp =′−+=′ En conclusión es el polinomio de interpolación de Hermite para las condiciones dadas. ( )xp Ejemplo 2: Use el método de diferencias divididas extendidas de Newton para obtener el polinomio de Hermite que interpola la siguiente tabla:

ix ( )ixf ( )ixf ′ ( )ixf ′′0 2 3 1 6 7 8

Solución: Como número de condiciones sobre el nodo== 2k 0 1x0 = , y número de condiciones sobre el nodo

== 3k1

2x1 = , entonces en la tabla se repite el nodo 1x0 = dos veces y el nodo tres veces. Así que se construye la siguiente tabla de diferencias divididas:

2x1 =

iz D.D.0 D.D.1 D.D:2 D.D.3 D.D.4

1z0 = 2 [ ] 12,1,1f =[ ] 31,1f = [ ] 12,2,1,1f = [ ] 12,2,2,1,1f −= 1z1 = 2 [ ] 42,1f = [ ] 32,2,1f = [ ] 12,2,2,1f =

2z2 = 6 [ ] 72,2f = [ ] 42,2,2f = 2z3 = 6 [ ] 72,2f = 2z4 = 6

En esta tabla los cálculos se realizan como se indica a continuación:


__________________________________________________________________________________

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) 7!12f2,2fz,zf;3

!11f1,1fz,zf 3210 =

′===

′==

[ ] [ ] ( ) 7!12f2,2fz,zf 43 =

′==

[ ] [ ] ( ) 428

!22f2,2,2fz,z,zf 432 ==

′′==

Luego el polinomio ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22223210210100

2x1x2x1x21x1x32

zxzxzxzx1zxzxzx2zxzx1zx32xp

−−−−−+−−+=

−−−−−+−−−+−−+−+=

satisface las condiciones dadas. En efecto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6152212221221212322p;21p 2222 =+=−−−−−+−+−+==

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2x1x22x1x22x1x41x21x23xp 222 −−−−−−−−+−+−+=′

( ) ( ) ( ) ( ) 722312212232p ;31p 2 =++=−+−+=′=′

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )22

1x8

1x22x1x42x1x42x22x41x41x42xp −−−−−−−−−−−+−+−+=′′−

444 3444 21

( ) ( ) ( ) 812212822p 2 =−−−+=′′ Ejercicio: Encuentre el polinomio de interpolación de Hermite cuando todas las condiciones se dan en un único nodo , es decir, para las condiciones 0x ♦ ( ) ( ) kj0 ,cxp j00

i ≤≤=

4.1.5 Interpolación trigonométrica y serie finita de Fourier: A continuación describiremos un tipo de interpolación donde las funciones básicas utilizadas no son los polinomios algebraicos en una variable real, sino los polinomios llamados trigonométricos. Definición: Un polinomio trigonométrico de grado a lo más n es cualquier función de la forma

( ) ( ) ( )[ ]∑=

++=n

1kkk

0 kxsenbkxcosa2

axp ∇

Como se observa, es una función periódica de período , es decir, para todo

( )xp π2 ( ) ( )π2xpxp +=R∈x .

El problema de interés esta vez es: Dada una función f periódica de período y N puntos π2 ( )( )jj xf,x con

1N,,1,0j ,jNπ2x j −== ... , nodos igualmente espaciados en el intervalo [ ]π2,0 , se quiere

"aproximar " la función f en el intervalo [ ]π2,0 , en el sentido de los mínimos cuadrados


__________________________________________________________________________________

continuos, mediante un polinomio trigonométrico ( )xp de modo que ( ) ( )jj xfxp = para cada

, es decir, se quiere que 1N,,1,0j −= ... ( )xp interpole la función f en los nodos igualmente

espaciados 1N,,1,0j ,jNπ2x j −== ... .

En esta figura, el tamaño de paso es Nπ2h = .

Se puede demostrar, ver por ejemplo Kincaid, 1991, página 413 y 414 que: Existe un único polinomio trigonométrico de grado menor o igual que 1N − de la forma

( ) ( ) ( )[ ]∑−

=

++=1N

1kkk

0 kxsenbkxcosa2

axp

que interpola a f en los N nodos igualmente espaciados 1N,,1,0j ,jNπ2x j −== ... . Tal

polinomio tiene coeficientes

( )

( ) ( )

( ) ( ) 1N,,2,1k ,xksenxfN1b

1N,,2,1k ,xkcosxfN1a

,xfN1

2a

j

1N

0jjk

1N

0jjjk

1N

0jj

0

−==

−==

=

∑

∑

∑

−

=

−

=

−

=

...

...

( ) ( ) ( )[∑−

=

++=1N

1kkk

0 kxsenbkxcosa2

axp ] satisfaciendo las condiciones anteriores se dirá el

polinomio trigonométrico de interpolación para los datos ( )( )jj xf,x , 1N,,1,0j −= ... , o serie finita (discreta) de Fourier para f. Ejemplo 1 Considere la función ( ) xxf = , [ ]π,πx −∈ y extendida periódicamente por la relación para todo ( ) xfπ2xf =+ ( ) R∈x . La gráfica de esta función es como se indica:


__________________________________________________________________________________

Aproximemos f en el intervalo mediante el polinomio trigonométrico correspondiente

a . En este caso

[ π2,0 ]3N =

3π2

Nπ2h == , y entonces los nodos son: 00

3π2x0 == ,

3π21

3π2x1 == y

3π42

3π2x 2 == .

De acuerdo con la definición de f, se tiene que ( ) ( ) 00fxf 0 == , ( )3π2

3π2fxf 1 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= y

( )3π2

3π4π2

3π4fxf 2 =−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= . Entonces el polinomio trigonométrico interpolante para f en

este caso es:

( ) ( ) ( )[ ]∑=

++=2

1kkk

0 kxsenbkxcosa2

axp

con

( ) ( )9π4

3π2

3π20

31xf

31xf

N1

2a 2

0jj

1N

0jj

0 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=== ∑∑=

−

=


__________________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

==

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

==

∑∑

∑∑

=

−

=

=

−

=

023

3π2

23

3π20

31

3π4sen

3π2

3π2sen

3π20sen0

31

xsenxf31x1senxf

N1b

9π2

21

3π2

21

3π20

31

3π4cos

3π2

3π2cos

3π20cos0

31

xcosxf31x1cosxf

N1a

2

0jjj

1N

0jjj1

2

0jjj

1N

0jjj1

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

==

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

==

∑∑

∑∑

=

−

=

=

−

=

023

3π2

23

3π20

31

3π8sen

3π2

3π4sen

3π20sen0

31

x2senxf31x2senxf

N1b

9π2

21

3π2

21

3π20

31

3π8cos

3π2

3π4cos

3π20cos0

31

x2cosxf31x2cosxf

N1a

2

0jjj

1N

0jjj2

2

0jjj

1N

0jjj2

Luego el polinomio trigonométrico de interpolación buscado es

( ) ( ) ( )x2cos9π2xcos

9π2

9π4xp −−=

Como ejercicio compruebe que este polinomio satisface las condiciones de interpolación para la función ( ) xxf = , [ ]π,πx −∈ . La gráfica de la función extendida de f en el dominio [ ] junto con la del polinomio π2,0 ( )xp , aparecen en la siguiente figura:


__________________________________________________________________________________

El problema planteado al comienzo de esta parte también puede resolverse usando variable compleja como sigue: Definición: Un polinomio exponencial de grado a lo más n es cualquier función de la forma

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∑∑∑∑====

+=+===n

0kk

n

0k

kk

n

0k

kxik

n

0k

xkik kxsenikxcoscxsenixcoscececxq ∇

( Fórmula de Euler, ( ) ( ) :xisenxcose xi += 1i2 −= , RC ∈+=∈ b,a/iback

( ) ( ) ( ) :kxisenkxcose xki += Fórmula de De Moivre). Observe que es un polinomio en la variable compleja ( )xq ( ) (xisenxcosez ix +== ) . Usando polinomios exponenciales, el problema planteado (interpolación trigonométrica) puede ser transformado en el problema de encontrar un polinomio exponencial

( ) ( ) ∑−

=

−− =+++=

1N

0k

xkik

x1Ni1N

ix10 ecec...eccxq

con coeficientes complejos tales que kc ( ) ( ) 1N,,1,0j ,xfxq jj −== ... , con

1N,,1,0j,jNπ2x j −== ... (nodos igualmente espaciados en el intervalo [ ]π2,0 ).

Se puede demostrar que el polinomio exponencial de grado a lo más que mejor aproxima a una función f ( periódica) en los puntos , según Mínimos Cuadrados, es

1N −π2 jx

( ) ( )x1Ni1N

xi10

1N

0k

xkik ec...eccecxq −

−

−

=

+++== ∑

con coeficientes ( ) 1N,,1,0k,exfN1c

1N

0k

xkijk

j −== ∑−

=

−... y este polinomio interpola a la

función f en los nodos 1N,,1,0j,jNπ2x j −== ... , es decir,

( ) ( ) 1N,,1,0j,xfxq jj −== ...

Si consideramos el mismo ejemplo anterior: 3N = , 0x0 = , 3π2x1 = ,

3π4x2 = y , ( ) 0xf 0 =

( )3π2xf 1 = , ( )

3π2xf 2 = . Encontremos el polinomio exponencial que

interpola a f en los nodos .

( ) ∑=

=2

0k

xkikecxq

2,1,0j,x j =

Debemos calcular los coeficientes 2,1,0k,ck = , como sigue:


__________________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=++=== ∑∑=

−

=

−

3π2

3π20

31xfxfxf

31xf

31exf

N1c 210

2

0jj

1N

0j

x0ij0

j

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++=

++===

−−−

−−−

=

−−−

=∑∑

3π4i

3π2i0i

xi2

xi1

xi0

2

0j

xij

x1i1N

0jj1

e3π2e

3π2e0

31

exfexfexf31exf

31exf

N1c 210jj

9π2

23

23i

3π

3π

31

23i

21

3π2

23i

21

3π2

31

3π4isen

3π4cos

3π2

3π2isen

3π2cos

3π2

31c1

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

9π2

23

23i

3π

3π

31

23i

21

3π2

23i

21

3π2

31

3π8isen

3π8cos

3π2

3π4isen

3π4cos

3π2

31

e3π2e

3π2e0

31

exfexfexf31

exf31exf

N1c

3π4i2

3π2i20i2

xi22

xi21

xi20

xi22

0jj

1N

0j

x2ij2

210

jj

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++=

++=

==

−−−

−−−

−

=

−

=

− ∑∑

Luego el polinomio exponencial buscado es:

( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( )

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ −−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

+−+−=

−−= −

x2sen9π2xsen

9π2ix2cos

9π2xcos

9π2

9π4

x2senix2cos9π2xsenixcos

9π2

9π4

e9π2e

9π2

9π4xq

xp

xi2xi

4444444 34444444 21


__________________________________________________________________________________

Observe que la parte real del polinomio ( )xq es el polinomio trigonométrico obtenido anteriormente.

( )xp

El polinomio exponencial y su correspondiente polinomio trigonométrico

coinciden en todos los nodos

( )xq ( )xp

1N,,1,0j,jNπ2x j −== ... , es decir,

( ) ( ) ( ) 1N,,1,0j,xfxpxq jjj −=== ... , pero no necesariamente se tiene que

para puntos . ( ) ( )xqxp = jxx ≠

La gráfica, en el intervalo [ , tanto de la función ]π2,0 ( ) [ ]π,πx,xxf −∈= extendida periódicamente junto con la parte real e imaginaria del polinomio exponencial , se muestra en el siguiente dibujo:

( )xq

CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA

INTRODUCCIÓN

En este capítulo estudiaremos algunos métodos numéricos para estimar el valor de unaintegral definida

( ) I = ∫ f x dxa

b

Integral en la cual el intervalo de integración [ ]a b, es finito, y f es una función de una

variable real y valor real continua en [ ]a b, .

Según el teorema fundamental del Cálculo, para una función f con las característicasindicadas antes, existe una antiderivada F de f en [ ]a b, , es decir, ( ) ( )xfxF =′ para todo

[ ]b,ax ∈ , y

( ) ( ) ( ) f x dx F b F aa

b

∫ = −

El problema para usar los métodos analíticos de integración es que, es posible que F no sepueda expresar en términos de funciones elementales, o aunque F se conozcaexplícitamente, ésta no se pueda evaluar fácilmente.

Ejemplos de tales integrales son:

1 3

0

1

−∫ x dx 1

1 50

1

+∫ xdx

e

xdx

x

1

2

∫ e dxx−∫2

1

5

lnx

xdx

+∫ 11

2

xtanxdx0

4π

∫ 1

2

3

lnxdx∫ ( )sen x dx2

0

2π

∫

( )cos x dx2

0

2π

∫ 1 33

0

1

+∫ x dx sen xdx0

2π

∫ x x dx+∫ 23

0

1

( )9 21

3

0

1

−∫ x dx tanxdx0

1

∫ sen x

xdx

0

1

∫ 1

1 20

+∫ sen xdx

π

Lo anterior motiva el uso de los métodos de integración numérica que estudiaremos en loque sigue; los primeros que consideraremos se basan en la aproximación de la función fmediante polinomios interpolantes.


__________________________________________________________________________________

5.1 ALGUNAS FÓRMULAS CERRADAS DE NEWTON-COTES

Supongamos que queremos estimar el valor de

( ) I = ∫ f x dxa

b

donde la función f es continua en el intervalo finito [ ]a b, .

Una manera de hacer ésto se indica a continuación:

Empezamos dividiendo el intervalo [ ]a b, en N subintervalos de igual longitud,

[ ] [ ] [ ] [ ]N1N1kk2110 x,x,...,x,x,...,x,x,x,x −+ , donde los N+1 puntos N10 x,...,x,x de la partición se

obtienen a partir de la fórmulax a kh Nk = + =, , ,..., k 01

siendo hb a

N= −

. Nos referiremos a h como el tamaño de paso.

Nótese que x a bN0 = =, x , y que h x xk k= −+1 , cualquiera sea 1N,...,1,0k −= .

Ahora bien, si ( ) ( ) ( )p x f x L xN j j

j

N

==∑

0

es el polinomio de interpolación de Lagrange para la

función f en los nodos N10 x,...,x,x , entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∑∫∑∫∫==

==≈b

a

j

N

0jj

b

a

j

N

0jj

b

a

N

b

a

dxxLxfdxxLxfdxxpdxxf

De esta forma se obtiene una fórmula del tipo

( ) ( ) xfAdxxf N

0jjj

b

a

∑∫=

≈

donde

( ) N,...,1,0j ,dxxLAb

a

jj == ∫

Una fórmula del tipo anterior, para aproximar el valor de ( )f x dxa

b

∫ , es llamada una fórmula de

cuadratura (cerrada) de Newton-Cotes.

En muchos casos, en lugar de aproximar la función f en el intervalo completo [ ]a b, por un

sólo polinomio interpolante, usando todos los nodos N10 x,...,x,x , más bien la aproximamos

Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 233__________________________________________________________________________________

por tramos mediante polinomios interpolantes usando dos, tres o más nodos consecutivos.Estudiaremos solamente tres de estos últimos tipos de aproximaciones: La regla de los

Trapecios, la regla de Simpson 1

3

y la regla de Simpson 3

8

.

5.1.1 Regla de los Trapecios: Corresponde ésta al caso en que la función f se aproxima en

cada subintervalo [ ]x xk k, +1 , 1N,...,1,0k −= , mediante el polinomio de interpolación lineal de

Lagrange, ( )p xk , usando los nodos xk y xk+1 .

FIGURA 5.2

Como el polinomio de interpolación de Lagrange es

( ) ( ) ( ) pk kk

k kk

k

k k

x f xx x

x xf x

x x

x x=

−−

+−−

+

++

+

1

11

1

entonces

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )

dx

f x dx p x dx

f xx x

x xf x

x x

x x

f xx x

x xdx f x

x x

x xdx

f xx x

x xf x

x x

x x

f xx x

x

x

k

x

x

kk

k kk

k

k kx

x

kk

k kx

x

kk

k kx

x

kk

k kk

k

k kx

x

kk

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

+ +

+

+ +

+

∫ ∫

∫

∫ ∫

≈

=−−

+−−

=−−

+−−

=−−

+−

−

=−

+

++

+

+

++

+

+

++

+

++

1 1

1

1 1

1

1

11

1

1

11

1

12

11

2

1

11

2 2

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

k

k kk

k k

k k

k kk k

x xf x

x x

x x

x xf x f x

2

1

12

1

11

2 2

2

+

+

+

++

−−

−−

= −+

ancho altura promedio

! "# $# ! "## $##


__________________________________________________________________________________

Pero h x xk k= −+1 , así que

( ) ( ) ( )[ ] f x dxh

f x f xx

x

k k

k

k+

∫ ≈ + +

1

2 1

y entonces

( ) ( ) ( ) ( )[ ]I f x dx f x dxh

f x f xa

b

x

x

k

N

k

N

k k

k

k

= = ≈ +∫ ∫∑ ∑+

=

−

=

−

+

1

0

1

0

1

12

es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) f x dxh

f a f b f xa

b

kk

N

∫ ∑≈ + +

=

−

22

1

1

Si N >1, la fórmula anterior se conoce como regla compuesta de los Trapecios. En elcaso N =1, caso en el cual h b a= − , dicha fórmula se reduce a

( ) ( ) ( )[ ] f x dxb a

f a f ba

b

∫ ≈ − +2

fórmula que se conoce como regla simple de los Trapecios.

Algoritmo 5.1 (Regla de los Trapecios) Para aproximar la integral ( )I f x dxa

b

= ∫ , usando la

regla de los Trapecios:

Entrada: f(x) , los extremos a y b de la integral, un entero positivo N.

Salida: Una aproximación AI de I.

Paso 1: Tomar hb a

N= −

.

Paso 2: Tomar ( ) ( )AIO f a f b= + .

AI = 0 (Inicialización de la suma para los puntos ) 1N,...,2,1k ,xk −=

Paso 3: Para 1N,...,2,1k −= , seguir los pasos 4 y 5:

Paso 4: Tomar x a kh= +

Paso 5: Tomar ( )AI AI f x= +

Paso 6: Tomar ( )

AIh AIO AI

=+ 2

2.


Paso 7: Salida: "Un valor aproximado de la integral para N subintervalos es AI".Terminar.

Error de fórmula en la regla de los Trapecios: Recordando la fórmula para el error en lainterpolación, tenemos que si ( )p xk es el polinomio de interpolación lineal de Lagrange para

la función f en los nodos xk y xk+1 , entonces para [ ]x x xk k∈ +, 1 , el error al aproximar ( )xf

mediante ( )p xk , es

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )E x f x p xx x x x

f xkk k

k= − =− −

′′+1

2!ξ

y entonces

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )E x

xk+1

dx f x dx p x dxx x x x

f x dxx x

x

k

x

xk k

k

x

x

k k

k

k

k

k

k

∫ ∫ ∫ ∫= − =− −

′′

+ + ++

1 1 1

1

2!ξ

donde ( )ξk x es un número que depende de x y ( ) ( )ξk k kx x x∈ +, 1 .

Luego el error en la aproximación obtenida al usar la regla de los Trapecios en el intervalo

[ ]x xk k, +1 , que se denomina error local, es

( )( )( )( )∫+

+−−ξ′′=1k

k

x

x

1kkkk dxxxxxxf2

1E

Como ( ) ( )( )g x x x x xk k= − − +1 no cambia de signo en el intervalo [ ]x xk k, +1 , entonces por el

teorema del valor medio ponderado para integrales, se tiene que

( )( )( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Ek k k k

x

x

kk k k k

x

x

k k kk k

k k

k k k k

f x x x x x dx

f xx x

xx x x

f x xx x

x xx x x x

k

k

k

k

= ′′ − −

=′′

− + +

=′′ −

− +−

+ −

+

+ +

++

++ +

+

+

∫1

2

2 3 2

2 3 2

1

3

1

2

1

13 3

1

12 2

1 1

1

1

ξ

ξ

ξ

para algún ( )ξk k kx x∈ +, 1 .

Factorizando, agrupando y teniendo en cuenta que h x xk k= −+1 , obtenemos

( ) E k kh

f= − ′′3

12ξ

para algún ( )ξk k kx x∈ +, 1 .


__________________________________________________________________________________

Teorema del valor medio ponderado para integrales: Si f es una función continua en

[ ]a b, , g es una función integrable en [ ]a b, y ( )g x no cambia de signo en [ ]a b, , entonces

existe ( )c a b∈ , tal que

( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f c g x dxa

b

a

b

∫ ∫=

Cuando en el teorema anterior ( )g x ≡1, éste se convierte en el teorema del valor medio para

integrales. ∇∇∇∇

La demostración del teorema del valor medio ponderado para integrales puede serconsultada en Kincaid, 1972, páginas 12 y 13.

El error total al aplicar la regla de los Trapecios, es decir, el error que se comete al aplicar laregla de los Trapecios sobre todo el intervalo [ ]a b, , es

( ) ( ) ( ) E T k

k

N

k

k

N

k

k

N

k k kEh

fh

f x x= = − ′′

= − ′′ ∈

=

−

=

−

=

−

+∑ ∑ ∑0

1 3

0

1 3

0

1

112 12

ξ ξ ξ, ,

( )( ) ( )ξ′′−−=ξ′′−

∗=

−=↑

f12

abhfN

12

h 2

N

abh

3

para algún ( )ξ ∈ a b,

( )∗ la igualdad se debe a la aplicación del teorema del valor intermedio a la función ′′f , que

suponemos continua en el intervalo [ ]a b, .

La fórmula anterior del error en la regla de los Trapecios indica que si f es una función lineal,entonces la regla de los Trapecios es exacta, es decir, Ek = 0 para todo k N= −01 1, ,..., , ya

que si ( )f x cx d= + , entonces ( ) ( )′ ≡ ′′ ≡f x c y f x 0 para todo [ ]x a b∈ , .

Volviendo a la fórmula para el error total, ET , tenemos que si

( ) ′′ ≤f x L para toda [ ]x a b∈ ,

entonces

( ) ( ) E T

hN f

hNL h

b aL= ′′ ≤ =

−3 32

12 12 12ξ (recuerde que h

b a

N= −

)

El resultado anterior se indica escribiendo ( )E O hT =2

, de acuerdo con la siguiente definición:

Definición 5.1 (Notación O-grande) Supongamos que ( )lim F x Lx→

= ∈0

R . Se dice que ( )F x

converge a L cuando x→ 0 con rapidez de convergencia ( )( )O G x , si existe una constante

positiva K, independiente de x, tal que


( )( )

F

G

x L

xK

−≤

para x suficientemente pequeño. Si este es el caso escribimos ( ) ( )( )F x L O G x= + . ∇∇∇∇

En el caso de la regla simple de los Trapecios, tenemos que h b a= − y

( )Eh

fT = − ′′3

12ξ , para algún ( )ξ ∈ a b,

así que ( )E O hT = 3 , en este caso.

5.1.2 Regla de Simpson 1

3

: En este caso se aproxima la función f en cada subintervalo

[ ]x xk k, +2 , k N= −0 2 2, ,..., , mediante un polinomio de interpolación de Lagrange de grado

menor o igual que dos, usando los nodos x x xk k k, ,+ +1 2 . Observe que, en este caso, el

número de subintervalos N debe ser par, N ≥ 2 .

FIGURA 5.3

Como el polinomio de interpolación de Lagrange de grado menor o igual que dos, usando losnodos xk , xk+1 y xk+2 , es

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )( )

pk kk k

k k k kk

k k

k k k k

kk k

k k k k

x f xx x x x

x x x xf x

x x x x

x x x x

f xx x x x

x x x x

=− −− −

+− −− −

+− −− −

+ +

+ ++

+

+ + +

++

+ + +

1 2

1 21

2

1 1 2

21

2 2 1

entonces


__________________________________________________________________________________

( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

f x dx p x dx

f x

x x x x

xx x

xx x x

f x

x x x x

xx x

xx x x

f x

x x x x

xx x

xx x x

x

x

k

x

x

k

k k k kk k k k

k

k k k kk k k k

k

k k k kk k k k

k

k

k

k+ +

∫ ∫≈

=− −

− + +

+− −

− + +

+− −

− + +

+ ++ + + +

+

+ + ++ +

+

+ + ++ +

2 2

1 2

3

1 2

2

1 2

1

1 1 2

3

2

2

2

2

2 2 1

3

1

2

1

3 2

3 2

3 2

+

x

x

k

k 2

Evaluando, agrupando y teniendo en cuenta que 1k2kk1k xxxxh −++ −=−= , obtenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]


f x dx x xf x f x f x

hf x f x f x

hf x f x f x

x

x

k kk k k

k k k

k k k

k

k+

∫ ≈ −+ +

=+ +

= + +

++ +

+ +

+ +

2

21 2

1 2

1 2

4

6

24

6

34

! "# $# ! "#### $####

Luego

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

I = = + + +

≈ + + + + + + + + +

∫ ∫ ∫∫−

− −

f x dx f x dx f x dx f x dx

hf x f x f x f x f x f x f x f x f x

a

b

x

x

x

x

x

x

N N N

N

N

0

2

22

4

34 4 40 1 2 2 3 4 2 1

...

...

es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dxh

f a f b f x f xa

b

k

k

N

k

k

N

∫ ∑ ∑≈ + + +

+=

−

=

−

34 22 1

0

2

2

2

1

2

2

Si N m= 2 , con m un entero, m ≥ 2 , la fórmula anterior se conoce como regla compuesta de

Simpson 1

3

. Lo de 1

3 viene de que en la fórmula obtenida, h aparece multiplicada por

1

3.

En el caso particular N = 2 , se tiene que hb a

= −2

, y la fórmula anterior se reduce a


( ) ( ) ( ) f x dxb a

f a fa b

f ba

b

∫ ≈ − + +

+

6

42

fórmula que se conoce como regla simple de Simpson 1

3

.

Algoritmo 5.2 (Regla de Simpson 1

3

) Para aproximar la integral ( )I f x dx

a

b

= ∫ , usando la

regla de Simpson 1

3

:

Entrada: ( )f x , los extremos a y b de la integral, un entero positivo par N m= 2 .

Salida: Una aproximación AI de I.

Paso 1: Tomar hb a

m

b a

N= − = −

2 .

Paso 2: Tomar ( ) ( )AIO f a f b= +

AI1 0= (Inicialización de la suma para los nodos x k2 1+ ,

1m2

2N,...,1,0k −=−= )

AI2 0= (Inicialización de la suma para los nodos x k2 ,

1m2

2N,...,2,1k −=−= )

AI = 0

Paso 3: Para 1m2,...,2,1i −= , seguir los pasos 4 y 5:

Paso 4: Tomar x a ih= + .

Paso 5: Si i es impar ( i k= +2 1), entonces tomar ( )AI AI f x1 1= + , de lo contrario

( )i k= 2 tomar ( )AI AI f x2 2= + .

Paso 6: Tomar ( )

AIh AIO AI AI

=+ +4 1 2 2

3.

Paso 7: Salida: "Un valor aproximado de la integral para N m= 2 subintervalos es AI".Terminar.


__________________________________________________________________________________

Error de fórmula en la regla de Simpson 1

3

: Como el término ( )( )( )x x x x x xk k k− − −+ +1 2

que aparece en la formula de error al interpolar por un polinomio de interpolación deLagrange (de grado menor o igual que 2) usando los nodos xk k k, x , x ,+ +1 2 cambia de signo

en el intervalo [ ]x xk k, +2 , no podemos obtener una fórmula para el error al aplicar la regla de

Simpson 1

3

usando el teorema del valor medio ponderado para integrales; sin embargo se

puede demostrar, ver Kincaid, 1972, páginas 447 y 448, que el error al emplear la regla de

Simpson 1

3

en el intervalo [ ]x xk k, +2 , llamado error local, está dada por

( ) ( ) Ekiv

kh

f= −5

90ξ

donde ( ) 2N2,...,0,=k ,x,x y N

abh 2kkk −∈ξ−= + .

Entonces el error al aplicar la regla de Simpson 1

3

sobre todo el intervalo [ ]a b, , es decir, el

error total, ET , es

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) b,a ,f180

abhf

180

Nh

f12

2N

90

hf

90

h

x,x , f90

hEEE

iv4iv5

iv52

2N

0pp2

iv5

1p2p2p2

2

2N

0pp2

iv52

2N

0pp2

2N,..,2,0kkT

∈ξξ−−=ξ

−=

ξ

+−−=ξ−=

∈ξ

ξ−=

∗==

∑

∑∑∑−

=

+

−

=

−

=−=

( (*) La igualdad se debe al cambio de variable k p= 2 : si k = 0 , entonces p = 0 , y si

k N= −2 , entonces pN 2

2= −

)

Esto implica que la regla de Simpson 1

3

es exacta cuando se aplica a polinomios de grado

menor o igual que 3, que es un grado más de lo que era de esperarse, ya que estamosaproximando la función f por medio de polinomios de grado menor o igual que dos.

Si ( ) ( ) [ ] f da x a,biv

x L para to≤ ∈ , entonces


( ) ( ) E f Tivh N h

NL hb a

L = ≤ = −5 54

90 2 180 180ξ

así que ( )E O hT = 4 .

En el caso N = 2 ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E con Tiv ivh

fb a

f a b= − = −−

∈5 5

90 2880ξ ξ ξ, ,

(recuerde que hb a

N= −

), así que ( )E O hT = 5 .

5.1.3 Regla de Simpson 3

8

: De la misma forma que se obtuvieron las regla de los

Trapecios y la regla de Simpson 1

3

, se puede interpolar la función f en cada subintervalo

[ ]x xk k, +3 , k N= −0 3 3, ,..., (lo que requiere que N sea un entero positivo múltiplo de 3, es

decir, N m= 3 , m un entero positivo), mediante un polinomio de interpolación de Lagrange de

grado menor o igual que tres, ( )p xk , usando los nodos xk k k k, x , x , x+ + +1 2 3 .

FIGURA 5.4Entonces

( ) ( ) f x dx p x dxx

x

k

x

x

k

k

k

k+ +

∫ ∫≈3 3


__________________________________________________________________________________

y se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]


f x dx x xf x f x f x f x

hf x f x f x f x

x

x

k kk k k k

k k k k

k

k+

∫ ≈ −+ + +

= + + +

++ + +

+ + +

3

31 2 3

1 2 3

3 3

8

3

83 3

! "# $# ! "####### $#######

Así que

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]

f x dx f x dx f x dx f x dx

hf x f x f x f x f x f x f x f x

f x f x f x f x

a

b

x

x

x

x

x

x

N N N N

N

N

∫ ∫ ∫ ∫= + + +

≈ + + + + + + + +

+ + + +

−

− − −

0

3

3

6

3

3

83 3 3 3

3 3

0 1 2 3 3 4 5 6

3 2 1

...

...

es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dxh

f a f b f x f x f xa

b

kk

N

k kk

N

k

N

∫ ∑ ∑∑≈ + + + +

+=

−

+=

−

=

−

3

83 3 23 1

0

3

3

3 2 31

3

3

0

3

3

Si N m= ≥3 2, , m m un entero, la fórmula anterior se conoce como regla compuesta de

Simpson 3

8

.

En el caso N = 3 , caso en el cual hb a

= −3

, dicha fórmula se reduce a

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x dxb a

f a fa b

fa b

f b

b af a f

a bf

a bf b

a

b

∫ ≈−

+ +

+ +

+

= − + +

+ +

+

3

243

2

33

2

3

83

2

33

2

3

fórmula que se conoce como regla simple de Simpson 3

8

.

Al igual que en el caso de la regla de Simpson 1

3

, se puede demostrar que el error al

aproximar el valor de la integral ( )f x dxa

b

∫ por medio de la regla de Simpson 3

8

en el

intervalo [ ]x xk k, +3 , es decir, el error local, es


( )( ) ( ) 3N,...,3,0k ,x,x ,N

abh , fh

80

3E 3kkkk

iv5k −=∈ξ−=ξ−= +

y entonces el error total es

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E

para algú n

Tiv

pp

N

iv

iv iv

h f hN

f

hN

f hb a

f a b

= − = − − +

= − = − − ∈

=

−

∑3

80

3

80

3

31

80 80

53

0

3

35

5 4

ξ ξ

ξ ξ ξ ,

Si ( ) ( ) [ ] f toda x a,biv

x L para ≤ ∈ , entonces

( ) ( ) E f Tiv

hb a

hb a

L= − ≤ −4 4

80 80ξ

así que ( )E O hT =4 , como en la regla de Simpson

1

3

.

Si N = 3 , entonces hb a

= −3

y

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E

para algú n a,b

Tiv

iv iv

h f

b af

b af

= −

= − −

= −−

∈

3

80

3

80 3 6480

5

5 5

ξ

ξ ξ ξ

así que ( )E O hT = 5 , en este caso.

Ejemplo 5.1 Use las reglas de los Trapecios, Simpson 1

3

y Simpson

3

8

simples y

compuestas con N = 6 , para estimar

I xdx= ∫ sen2

0

3

π

Cuál es una cota para el error en la estimación, en cada caso ? (desprecie los errores deredondeo)

Solución: En este ejemplo ( )f x x= sen2 , que es una función continua en todo R , por tanto

se satisfacen todas las hipótesis para que se puedan aplicar las reglas de integraciónnuméricas vistas.


__________________________________________________________________________________

CASO SIMPLE: En este caso N =1 para la regla de los Trapecios, N = 2 para la regla de

Simpson 1

3

y N = 3 para la regla de Simpson

3

8

.

i) Según la regla de los Trapecios:

( ) ( )[ ] I sen

= ≈ − +

= +

=

∫ 2

0

3

2 2

2

60

3

3926991

xdxb a

f a f b

π

π πsen sen

.

ii) Según la regla de Simpson 1

3

:

( ) ( ) ( )I xdxb a

f a fa b

f b= ≈ − + +

+

= +

+

=

∫ sen sen sen sen2

0

32 2 2

64

2 180 4

6 3

3054326

π

π π π

.

iii) Según la regla de Simpson 3

8

:

( ) ( ) ( )

( )

I xdxb a

f a fa b

fa b

f b= ≈−

+ +

+ +

+

= +

+

+

=

∫ sen

sen sen sen sen

2

0

3

2 2 2 2

3

243

2

33

2

3

240 3

93

2

9 3

3063656

π

π π π π

.

Cuál de estas aproximaciones es la mejor ?

Estudiemos el error para cada caso.

i) Regla de los Trapecios: En este caso

( ) E con hTh

f b a= − ′′ ∈

= − =3

120

3 3ξ ξ π π

, ,

Como ( )f x x= sen2 , entonces


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

,

, f

′ = = ′′ =

′′′ = − = −

f x x x x f x x

f x x x xiv

2 2 2 2

4 2 8 2

sen cos sen cos

sen cos

luego

( ) ( ) para todo x′′ = < ∈

f x x2 2 2 03

cos ,π

y entonces

( ) E Th

f= ′′ ≤

≈ < = × −3

3

1

12

3

122 19 5 5 10ξ

π

. .

lo que no garantiza que el valor obtenido aproxime al valor exacto con alguna cifra decimalexacta.

ii) Regla de Simpson 1

3

: En este caso

( ) ( ) ETivh

f= −5

90ξ para algún ξ π π∈

= − =03 2 6

, , hb a

y como

( ) ( ) ( ) f para todo x iv

x x= − < ∈

8 2 8 03

cos ,π

entonces

( ) ( ) E f Tivh

= ≤

≈ × < ×− −5

5

3 3

90

6

908 3 5 10 5 10ξ

π

.

lo que asegura una precisión de por lo menos dos cifras decimales exactas en la

aproximación obtenida aplicando la regla simple de Simpson 1

3

.

iii) Regla de Simpson 3

8

: En este caso

( ) ( ) ETivh

f= −3

80

5

ξ para algún ξπ π∈

= − =03 3 9

, , hb a

entonces

( ) ( ) E f Tivh

= ≤

≈ × < ×− −3

80

39

808 16 10 5 10

5

5

3 3ξ

π

.

lo que garantiza una precisión de por lo menos dos cifras decimales exactas en la

aproximación obtenida usando la regla de Simpson 3

8

.


__________________________________________________________________________________

Según estas estimaciones de error, se espera que la mejor aproximación sea la obtenida por

la regla de Simpson 3

8

, pero para dar una respuesta definitiva debemos conocer el valor

exacto de la integral dada.

CASO COMPUESTO CON N = 6 : Si N = 6 , entonces hb a

N= − = π

18 y los puntos de la

partición son

x0 1 2 3 4 5 6018 9 6

2

9

5

18 3= = = = = = =, x , x , x , x , x , x

π π π π π π

Entonces tenemos:

i) Regla de los Trapecios: Según esta regla

( ) ( )[ ]I xdxh

f x f xk kk

= ≈ +∫ ∑ +=

sen2

0

3

10

5

2

π

( )= +

+

+

+

+

+

π π π π π π π

360

32

18 9 6

2

9

5

18f f f f f f f

= .3092953En este caso el error es

( ) ( )Eh

Nf fT = − ′′ = −

′′ ∈

3

3

12

18

126ξ

π

ξ ξ π para algú n 0,

3

y como

( ) para toda x 0,3

′′ ≤ ∈

f x 2π

entonces

( )( ) E T ≤

=

≈ × < ×− −

ππ18

126 2

185 3 10 5 10

3

33 2.

lo que garantiza una precisión de por lo menos una cifra decimal exacta en la aproximacióncalculada.

ii) Regla de Simpson 1

3

: Según esta regla

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

I xdxh

f x f x f x

hx f x f x f x f x f x f x

k k kk

= ≈ + +

= + + + + + +

=

∫ ∑ + +=

sen, ,

2

0

31 2

0 2 4

0 6 1 3 5 2 4

34

34 2

3070743

π

f

.


El error en la aproximación es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Eh

Nfh

fh

fTiv iv iv= − = − = −

5 5 5

180 1806

30ξ ξ ξ para algún ξ

π∈

03

,

y como

h = π18

y ( ) ( ) f para toda x 0,3

ivx ≤ ∈

8π

entonces

E T ≤

≈ × < ×− −

π18

308 4 3 10 5 10

5

5 5.

lo que garantiza una precisión de por lo menos cuatro cifras decimales exactas en laaproximación calculada.

iii) Regla de Simpson 3

8

: En este caso

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

I

f

= ≈ + + +

= + + + + + +

=

∫ ∑ + + +=

sen,

2

0

3

1 2 30 3

0 6 1 4 2 5 3

3

83 3

3

83 3 2

3070510

xdxh

f x f x f x f x

hx f x f x f x f x f x f x

k k k kk

π

.

El error en la aproximación para este caso es

( ) ( ) ( ) ( )Eh

Nf fTiv iv= − = −

5

5

80

18

806ξ

π

ξ para algún ξπ∈

03

,

y entonces

( )( ) E T ≤

≈ × < ×− −

π18

806 8 9 7 10 5 10

5

5 4.

lo que garantiza una precisión de por lo menos tres cifras decimales exactas en laaproximación calculada.

De estas tres ultimas aproximaciones, se espera que la mejor sea la dada por la regla de

Simpson 1

3

, que es la que tiene menor cota de error.

Como el valor exacto de I xdx= = −

= − =∫ sen sen ...2

0

3

6

1

4

2

3 6

3

8307092424

π

π π π . , entonces

el error absoluto real en las aproximaciones obtenidas, para el caso de las reglascompuestas, es:


__________________________________________________________________________________

sen 2

0

333092953 21 10xdx− = ×∫ −. .

π

... , para la regla de los Trapecios.

sen ,2

0

353070743 18 10xdx− = ×∫ −. .

π

... para la regla de Simpson 1

3

.

sen ,2

0

353070510 4 1 10xdx− = ×∫ −. .

π

... para la regla de Simpson 3

8

.

Instrucciones en DERIVE:

TRAPECIO( ( )f x x a b N, , , , ): Usa la regla de los Trapecios con N subintervalos para aproXimar

el valor de la integral ( )f x dxa

b

∫ .

SIMPSON( ( )f x x a b N, , , , ): Usa la regla de Simpson 1

3

con N subintervalos (N debe ser un

entero positivo PAR) para aproXimar el valor de la integral ( )f x dxa

b

∫ .

Para el ejemplo anterior, aproXime las expresiones TRAPECIO( ( )sinx x2

03

6, , , ,π

);

SIMPSON( ( )sinx x2

03

6, , , ,π

). ◊◊◊◊

Los valores obtenidos por las reglas de los Trapecios, Simpson 1

3

y Simpson 3

8

, para

valores de N =12 18 24 36, , y se muestran en la TABLA 5.1 siguiente.

NRegla de los

TrapeciosRegla de

Simpson1

3

Regla de

Simpson3

8

6 .3092953 .3070743 .307051012 .3076423 .3070913 .307089918 .3073367 .3070922 .307091924 .3072298 .3070924 .307092336 .3071535 .3070924 .3070924

TABLA 5.1


Se recomienda usar la regla de Simpson 1

3

con h ≈ .05 . Si el número de subintervalos

es impar se pueden combinar las reglas de Simpson 1

3

y Simpson 3

8

, mejor que usar la

regla de los Trapecios.

Para el ejemplo, observe que si N =18 , entonces

hb a

N= − =

−= ≈

ππ3

0

18 54058 . ♦

Una propiedad muy importante de las fórmulas de integración (cerradas) de Newton-Coteses la estabilidad con respecto a los errores de redondeo.

Por ejemplo, supongamos que aplicamos la regla de Simpson 1

3

con N m= 2

subintervalos a una función f en [ ]a b, , y determinemos una cota para el error de redondeo

acumulado ocasionado por la aplicación de dicha regla.

Si el valor calculado de ( )f xk se nota por ( )~f xk , es decir,

( ) ( )f x f xk k k= + ∈~, para k N m= =01 2, ,...,

donde ∈ k denota el error de redondeo correspondiente a ( )f xk , entonces al aplicar la regla

de Simpson 1

3

a la función f debemos calcular la expresión

( ) ( ) ( ) ( ) h

f x f x f x f xm kk

m

kk

m

34 20 2 2 1

0

1

21

1

+ + +

+=

−

=

−

∑ ∑

Por lo tanto el error de redondeo acumulado ER , al usar la regla de Simpson 1

3

, es

ER m kk

m

kk

mh

= ∈ + ∈ + ∈ + ∈

+=

−

=

−

∑ ∑34 20 2 2 1

0

1

21

1

así que

E R m k

k

m

k

k

mh

= ∈ + ∈ + ∈ + ∈

+=

−

=

−

∑ ∑34 20 2 2 1

0

1

2

1

1

y entonces

∈+∈+∈+∈≤ ∑∑−

=

−

=+ 24

3

hE

1m

1km2k2

1m

0k1k20R


__________________________________________________________________________________

Ahora bien, si los errores de redondeo están acotados uniformemente por ∈ , es decir ∈ ≤∈k para todo m2N,...,1,0k == , entonces

( )[ ] E Rh

m mh

m mh≤ ∈+ ∈+ − ∈+ ∈ = ∈= ∈3

4 2 13

6 2

pero hb a

N

b a

m= − = −

2, así que 2mh b a= − , y por lo tanto

( ) E R b a≤ − ∈

Luego una cota para el valor de ER es ( )b a− ∈ , que es una cota independiente de h, lo que

implica que el procedimiento de la regla de Simpson 1

3

es estable cuando h tiende a

cero. ∇∇∇∇

Ejemplo 5.2 Use la regla de Simpson 1

3

con N = 6 para estimar la longitud L del arco de

la curva y x= cos comprendida entre los puntos −

π π2

02

0, , y .

Solución: Como y x= cos , dy

dxx= −sen , entonces

L x= +

−

∫ 1 2

2

2

sen dxπ

π

(Integral elíptica de segunda clase)

Es claro que la función ( )f x x x= + = −1 2 11

22 2sen cos es continua en el intervalo finito

−

π π2 2

, . Así que podemos aplicar la regla de Simpson 1

3

para aproximar el valor de L.

Si N = 6 , entonces hb a

N= − = π

6, y entonces los puntos xk de la partición y los valores

( ) ( )f x xk k= +1 2sen correspondientes, son los que se dan en la TABLA 5.2 siguiente:

k 0 1 2 3 4 5 6

xk− π

2− π

3− π

6 0π6

π3

π2

( )f xk 27

2

5

2 15

2

7

2 2

TABLA 5.2


Por consiguiente

( ) ( ) ( ) ( )L xh

f x f x f x f xkk

kk

= + ≈ + + +

−

+= =

∫ ∑ ∑13

4 22

2

2

0 6 2 10

2

21

2

senπ

π

dx

= + + + +

+ +

π18

2 2 47

21

7

22

5

2

5

2

= 3 819403.

De acuerdo con la fórmula de error en la aplicación de la regla de Simpson 1

3

, se tiene

que

E hb a

M MT ≤ − =

44

180 6 180

π π

siendo M una constante tal que ( )( ) Mxf iv ≤ para toda x ∈ −

π π2 2

, . Se puede verificar que el

menor valor para M es 7, así que

ET ≤

≈ ≤ × −π π6 180

7 009 5 104

2 .

lo que asegura una precisión de por lo menos una cifra decimal exacta en la aproximación

obtenida. En situaciones como la del ejemplo, donde la función ( )f x x= +1 2sen tiene

derivada difícil de calcular, podemos estimar el error teniendo en cuenta que

( )E O hT = ≈

≈ < = × −44

1

6075 5 5 10

π. .

Si N = 60 , entonces h = ≈π60

05 . y la aproximación obtenida es L ≈ 3 820198. con

ET ≤ × ≤ ×− −9 1 10 5 107 6. , lo que asegura una precisión de por lo menos cinco cifras

decimales exactas en la aproximación obtenida. ♦

Ejemplo 5.3 Determine los valores de N y h necesarios (de acuerdo con la teoría) paraaproximar

exsenxdx1

3

∫de manera que el error en la aplicación de la regla de Simpson

1

3

no sea mayor que 10 4−

y determine la aproximación (desprecie los errores de redondeo).


__________________________________________________________________________________

Solución: Sabemos que el error en la aplicación de la regla compuesta de Simpson 1

3

es

( ) ( ) ( ) EN

2f , donde 1,3 y h

ivT

h b a

N N= − ∈ = − =

5

90

2ξ ξ

De acuerdo con esta fórmula, debemos empezar por conocer una cota para ( ) ( )f xiv

en el

intervalo [ ]13, , siendo ( )f x ex= senx .

Como

( ) ( )′ = + = +f x e e ex x xsenx cosx senx cosx

( ) ( ) ( )′′ = + + − =f x e e ex x xsenx cosx cosx senx cosx2

( ) ( )′′′ = − = −f x e e ex x x2 2 2cosx senx cosx senx

y( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x e x x e x x e x e xiv x x x x= − + − − = − = −2 2 2 2 4cos sen sen cos sen sen

entonces ( ) ( ) ( )f x e x e x e x xv x x x= − − = − +4 4 4sen cos sen cos , así que

( ) ( )[ ]

f x x x x x

x

v = ⇔ + = ⇔ = −

⇒ = ≈ ∈

0 0

3

42 356 13

sen cos sen cos

, π

.

Ahora,

( ) f ...iv

e sen3

44

3

429 84

3

4π ππ

= −

= − .

( ) ( ) f sen ...iv

e1 4 1 9 1491= − = − .

( ) ( ) f sen ...iv

e3 4 3 11333= − = − .

luego en x =3

4

π ocurre el mínimo de ( ) ( )f x e

iv x= −4 senx en el intervalo [ ]13, , pero

( ) ( ) [ ]f x eiv x= − < ∈4 0senx para toda x 1,3 , así que el máximo de

( ) ( ) f iv x en el intervalo

[ ]13, ocurre en x =3

4

π, es decir,

( ) ( ) [ ] f para todo xiv xx e x e= ≤

≈ < ∈4 4

3

429 84 30 13

3

4sen sen ,π π

.


Así que finalmente,

( ) E Th

NN

N≤ =

5

5

18030

2

6

y entonces debemos encontrar N, tal que 32

610

44

N≤ − . La solución de esta desigualdad es

N >15 y como N debe ser par, entonces el menor valor de N es N =16 .

Si N =16 , entonces h = =2

16125 . y la regla de Simpson

1

3

da

e xdxx sen1

3

10 95011∫ ≈ .

Como E T ≤ < ×− −10 5 104 4 , entonces (despreciando los errores de redondeo) la

aproximación calculada tiene una precisión de por lo menos tres cifras decimales exactas,que son 9,5 y 0.

Si integramos por partes, obtenemos e xdxx sen ...1

3

10 95017∫ = . , así que la aproximación

calculada es bastante buena. ♦

5.2 INTEGRACIÓN DE ROMBERG

La integración de Romberg es un método numérico para obtener una estimación del valor deuna integral definida con base en dos o más aplicaciones de una fórmula como la de losTrapecios (o Simpson) empleando diferentes tamaños de paso, pero que es mejorada alcombinarse con el proceso de extrapolación de Richardson. Para estudiar la extrapolaciónde Richardson se puede consultar Burden, 1985, páginas 167-173.

El procedimiento de Romberg para aproximar ( )f x dxa

b

∫ , consiste en lo siguiente:

Aplicamos la regla de los Trapecios sucesivamente para tamaños de paso hk variables, así:

h b a1 = − ( )m1 1= subintervalo , hh b a

21

2 2= = −

(m2 2= subintervalos), hh b a

32

22 2= = −

( )m 2 subintervalos32 = ,..., h

h b ak

kk

= = −−−

112 2

(mkk= −2 1

subintervalos),

..., hh b a

NN

N= = −−

−1

12 2 (mN

N= −2 1 subintervalos) donde N es algún entero positivo.

Al reemplazar h hk por en la regla de los Trapecios, obtenemos


__________________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x dxh

f a f b f a ihh

fa

bk

k

i

ki

i

k k

∫ ∑ ∑= + + +

− ′′

=

−

=

−− −

22

121

2 1 3

0

2 11 1

ξ

donde ξ i es tal que ( )a ih a i hk i k+ < < + +ξ 1 .

Si denotamos

( ) ( ) ( )Rh

f a f b f a ihkk

k

i

k

,1

1

2 1

22

1

= + + +

=

−−

∑

entonces al variar k N=12, ,..., , obtenemos las aproximaciones mediante la regla de losTrapecios

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]Rh

f a f bb a

f a f b111

2 2, = + = − +

( ) ( ) ( )[ ]Rh

f a f b f a h2 12

222, = + + +

( ) ( )= − + + + −

b af a f b f a

b a

42

2

( ) ( )[ ] ( ) ( )= − + + − + −

1

2 2

1

2

b af a f b b a f a b a

es decir,

R R h f a h2 1 11 1 11

2

1

2, ,= + +

Ahora,

( ) ( ) ( )Rh

f a f b f a ihi

3 13

31

3

22, = + + +

=

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] = + + + + + + +h

f a f b f a h f a h f a h33 3 32

2 2 3

( ) ( ) ( )= − + + + −

+ + −

+ +

−

b af a f b f a

b af a

b af a

b a

82

4 2

3

4

( ) ( )= − + + + −

+ − + −

+ + −

1

2 42

2 2

1

2 2

3

2 2

b af a f b f a

b a b af a

b af a

b a

es decir,

R R h f ah

f ah

3 1 2 1 22 21

2 2

3

2, ,= + +

+ +

En general, se puede demostrar que


R R h f ai

hk k k k

i

k

, ,1 11 1 1

1

21

2

2 1

2

2

= + + −

− − −

=

−

∑ , k = 2 3, ,...,N

Para ilustrar esta primera parte del procedimiento, aproximemos la integral

( )13 10986128

1

3

xdx∫ = =ln ... .

mediante los números de Romberg ( )3=N 32,1,=k con R 1,k :

R113 1

2

1

1

1

3

4

31333333, = − +

= ≈ .

( )R2 11

2

4

33 1

1

2

1

2

7

3

7

61166667, = + −

=

= ≈ .

R 3 11

2

7

6

3 1

2

2

3

2

5

1

2

7

6

16

15

1

2

67

30

67

601116667, = + − +

= +

= = ≈ .

Se observa que las aproximaciones Rk,1 van acercándose al valor exacto de la integral, pero

con lentitud. Para acelerar la convergencia, usamos ahora extrapolación de Richardson yun resultado que nos muestra otra forma para el error en la aplicación de la fórmula de losTrapecios:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

error

f x dxh

f a f b f a ih

R

hf b f a

b a hf

a

bk

k

i

k

k k ivk

k

∫ ∑= + + +

− ′ − ′ +

−

=

−−

22

12 7201

2 1

1

2 41

,

! "###### $######! "####### $#######

ξ

para algún ξk con a bk< <ξ , N,...,2,1k = .

Combinando la ecuación

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )f x dx Rh

f b f ab a h

fa

b

kk k iv

k= − ′ − ′ +−

∫ −− −

−111

21

4

112 720, ξ

con la ecuación

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )f x dx Rh

f b f ab a h

fa

b

kk k iv

k∫ = − ′ − ′ +−

,1

2 4

12 720ξ

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )= − ′ − ′ +−−R

hf b f a

b a hfk

k k ivk,1

12 4

48 720ξ , ya que h

hk

k= −1

2


__________________________________________________________________________________

o sea con la ecuación

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )4 412

4

72011

2 4

f x dx Rh

f b f ab a h

fa

b

kk k iv

k∫ = − ′ − ′ +−−

, ξ

podemos eliminar el término que contiene a ( ) ( )′ − ′f b f a , para obtener

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]3 4720

41 114

14

1f x dx R R

b ah f h f

a

b

k k kiv

k kiv

k∫ = − + − −− − −, , ξ ξ

Luego

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]f x dxR R b a

h f h fa

bk k

kiv

k kiv

k∫ =−

+ − −−− −

4

3 216041 11 4

14

1, , ξ ξ

( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−

+ − −−−

4

3 21604 161 11 4 4

1

R R b ah f h fk k

kiv

k kiv

k, , ξ ξ , ya que h hk k− =1 2 .

( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−

+ − −−−

4

3 54041 11 4

1

R Rh

b af fk k

kiv

kiv

k, , ξ ξ

y asumiendo que ( )fiv

está acotada en [ ]a b, , entonces

( ) ( )f x dxR R

O h Na

bk k

k∫ =−

+ =−4

32 31 11 4, , , , ,..., k

Para continuar con el procedimiento de Romberg, definimos:

R para =kk kR R

k N,, , , ,...,21 114

32 3=

− −

Se puede demostrar que las aproximaciones Rk,2 , k N= 2 3, ,..., corresponden a las

aproximaciones obtenidas por la Regla de Simpson 1

3

con h hk= .

Para el ejemplo, tenemos

RR R

2 22 1 114

3

47

6

4

3

3

10

91111111,

, ,=−

=

−

= ≈ .

RR R

3 23 1 2 14

3

467

60

7

6

3

198

1801100000,

, ,=−

=

−

= = .

Aplicando sucesivamente el proceso de extrapolación de Richardson, obtenemos


R para cada i = 1,2,...,N y j = 2,...,i ji

ji j i j

j

R R,

, ,=−

−

−− − −−

4

4 1

11 1 1

1

con error asociado de orden ( )O hij2 .

Recuerde que

R kk k k k

i

R h f ai

h N

k

, , , , ,...,1 11 1 1

1

21

2

2 1

22 3

2

= + + −

=− − −

=

−

∑

y que

( ) ( )[ ] R 11 2, = − +b a

f a f b

El orden en que se calculan los Ri j, es (por filas):

N,N3,N2,N1,N

3,32,31,3

2,21,2

1,1

RRRR

RRR

RR

R

→→→→↓

↓→→

↓↓→

↓

%

&

donde para calcular R2 2, necesitamos conocer R11, y R2 1, ; para calcular R3 2, necesitamos

conocer R2 1, y R3 1, ; para calcular R3 3, necesitamos conocer R2 2, y R3 2, ; etc. Así que el uso

mas eficiente de esta tabla se logra realizando los cálculos por filas de modo que con aplicaruna sola vez más la regla de los Trapecios (para calcular Rk,1) se pueda calcular la siguiente

fila.

Es decir, el orden en que se calculan los elementos es R11, , R2 1, , R2 2, , R3 1, , R3 2, , R3 3, ..., .

Se puede demostrar, ver Ralston, 1965, páginas 121-124, que los términos de la diagonalconvergen al valor exacto de la integral siempre y cuando los valores Rk,1 converjan a este

número. Se espera, en general, que la sucesión Rk k k, converja mucho más rápido que la

sucesión Rk k,1 .

El procedimiento de Romberg se termina cuando, prefijada alguna tolerancia ε > 0, se

satisfaga que R k k k kR, ,− − <1 ε y se toma Rk k, como la aproximación al valor de la integral.


__________________________________________________________________________________

Para el ejemplo, tenemos:

RR R

3 3

3 13 2 2 2

3 1

4

4 1

16198

180

10

9

15

176

10

10

915

1584 100

1350

1484

13501099259,

, ,=−

−=

−

=−

= − = ≈−

−.

con3

3,32,3 105005 000741 RR −×=<=− ..

Como

33

1

33 105005 000647 dxx

1R −×=<≈− ∫ ..,

entonces el valor calculado R3 3 1099259, = . , aproxima al valor exacto de la integral con una

precisión de dos cifras decimales exactas ( 0 y 9) .

Algoritmo 5.3 (Método de Romberg) Para encontrar un valor aproximado de ( )I f x dxa

b

= ∫usando el método de integración de Romberg:

Entrada: ( )f x , los extremos a y b, y un entero positivo N.

Salida: Los números de Romberg R IN n NN11 2 1 2 2 1 2, , , , , ,, , , ..., , , ..., R R R R R ≈ .

Paso 1: Tomar h b a ,= −

( ) ( )[ ]2

bfafhR 11

+=,

Paso 2: Salida: R11, .

Paso 3: Para N,...,3,2i = , seguir los pasos 4-8:

Paso 4: Tomar ( )( )R R h f a k hk

i

2 1 11

1

21

25

2

, , .= + + −

=

−

∑ (aproximación usando regla de los

Trapecios)

Paso 5: Para j = 2,...,i , tomar

RR R

j

jj j

j2

12 1 1 1

1

4

4 1,

, ,=−

−

−− −− (Extrapolación de Richardson)


Paso 6: Salida: Los números de Romberg i2,...,1,j ,R j2, = .

Paso 7: Tomar hh

=2

(cambiar la longitud del subintervalo).

Paso 8: Para i,...,2,1j = tomar R Rj j1 2, ,= .

Paso 9: Terminar

Este algoritmo sólo utiliza dos vectores en memoria para calcular los números de Romberg.

5.3 MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

Vimos en la sección 5.1 que la fórmula de los Trapecios es exacta para todos los polinomios

de grado menor o igual que uno y que las reglas de Simpson 1

3

3

8

y son exactas para

polinomios de grado menor o igual que tres. Otra forma de deducir fórmulas de integraciónnumérica que sean exactas para todos los polinomios de hasta cierto grado, se estudia acontinuación:

Supongamos que queremos obtener una fórmula de integración numérica del tipo

( ) ( ) ( ) ( )

FORMULA ERROR TOTAL

f x dx Af a Bf b E fa

b

T∫ = + +! "## $## !"$ (5.1)

de modo que dicha fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual queuno, es decir, tal que el error ( )E fT = 0 cuando ( )f x sea un polinomio de grado menor o igual

que uno.

Cómo se determinan los coeficientes A y B?

Para generar ecuaciones que permitan determinar los coeficientes A y B, observe que: Si

( )f x a a x con a= + ∈0 1 0 1,a R , entonces


__________________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

E f E a a x f x dx Af a Bf b

a a x dx A a a a B a a b

a dx A B a xdx A a B b

a E a E x

T T

a

b

a

b

a

b

a

b

T T

= + = − −

= + − + − +

= − −

+ − −

= +

∫

∫

∫ ∫

0 1

0 1 0 1 0 1

0 1

0 1

1 1 1

1

. . . .

es decir,( ) ( ) ( )xEa1EaxaaE T1T010T +=+

Así que

( )E a a xT 0 1 0+ = para todo a a0 1, ∈ R si y sólo si ( )ET 1 0= y ( )E xT = 0

es decir, la fórmula buscada es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual queuno si y sólo si la fórmula es exacta para las funciones polinómicas básicas de grado menoro igual que uno: ( )f x0 1≡ y ( )f x x1 = . De acuerdo con lo anterior, para determinar los

coeficientes A y B, en la fórmula buscada, basta sustituir ( )f x por 1 y ( )f x por x en la

ecuación (5.1) con ( )E fT = 0 .

Haciendo dichas sustituciones, obtenemos

( )E 1T = − ⋅ − ⋅ =∫1 1 1 0dx A Ba

b

( )E xT

= − ⋅ − ⋅ =∫ xdx A a B ba

b

0

es decir, se obtiene el sistema lineal de dos ecuaciones en las dos incógnitas A, B:

A

aA

+ = −

+ = −

B b a

bBb a2 2

2

Como este sistema tiene solución única A Bb a

= = −2

, entonces la fórmula obtenida es

( ) ( ) ( )[ ] f x dxb a

f a f ba

b

∫ ≈ − +2

que es la ya conocida regla simple de los Trapecios para f en [a,b] (verifique que esta fórmulano es exacta para todos los polinomios de grado dos!).


El trabajo realizado antes en el intervalo [ ]a b, puede hacerse, sin pérdida de generalidad, en

el intervalo [ ]01, , pues la función lineal

[ ] [ ]( ) ( )

t

λ

λ

: 0 1, ,→

→ = − +

a b

t b a t a

es uno a uno y sobre, además ( ) ( )λ λ0 1= =a b, ( ( ) ( )λ λ− −= =1 10 1a b, ). Vea la FIGURA 5.5

como ayuda para construir la función ( )x t= λ .

( )x a

b a

tx a b a t

−−

= ⇒ − = −1

FIGURA 5.5

Si en la integral

( ) f x dxa

b

∫

hacemos el cambio de variable ( )x b a t a= − + , entonces ( )dx b a dt= − y

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) f x dx f b a t a b a dt b a f b a t a dta

b

∫ ∫ ∫= − + − = − − +0

1

0

1

En general, la función lineal

[ ] [ ]( ) ( )

t

λ

λ

: c d a b

tb a

d ct c a

, ,→

→ = −−

− +

es uno a uno y sobre, y además ( ) ( )λ λc a y d b= = ( ( ) ( )λ λ− −= =1 1a c b d, ). Si en la integral

( ) f x dxa

b

∫


__________________________________________________________________________________

hacemos el cambio de variable

( ) x = −−

− +b a

d ct c a

obtenemos

( ) ( )( ) ( ) f x dxb a

d cf t dt

b a

d cf

b a

d ct c a dt

a

b

c

d

c

d

∫ ∫ ∫= −−

= −−

−−

− +

λ

Observe que como λ es lineal en t, si ( )f x es polinomial, entonces ( )( )f tλ es también

polinomial en t y del mismo grado. Por consiguiente, la exactitud de una fórmula no se alteraal hacer el cambio de variable indicado antes, es decir, si una fórmula de integraciónnumérica es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que m en la variable xen [ ]a b, , también lo será para todos los polinomios correspondientes en la variable t en [ ]c d,

y recíprocamente.

Como ejemplo, supongamos que queremos determinar los coeficientes A, B y C de modoque la fórmula

( ) ( ) ( )### $### "!

fórmula

1

0

1Cf2

1Bf0Afdxxf +

+≈∫

sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que dos.

Siguiendo la misma idea del ejemplo anterior se tiene que: la fórmula buscada será exacta

para todos los polinomios ( )f x a a x a x= + +0 1 22 , de grado menor o igual que dos, si y sólo si

la fórmula es exacta para las funciones polinómicas básicas de grado menor o igual que dos

1 2, , x x .

Luego para determinar los coeficientes A, B y C basta resolver el sistema lineal

1 1 1 1 1

1

2

1

21

1

3

1

41

0

1

0

1

2

0

1

= = ⋅ + ⋅ + ⋅

= = + ⋅

= = + ⋅

∫

∫

∫

dx A B C

xdx B C

x dx B C

es decir, debemos resolver el sistema lineal de tres ecuaciones en las tres incógnitas A, B, C:


A

+ + =

+ =

+ =

B C

B C

B C

1

1

2

1

21

4

1

3

La solución de este sistema es A = = =1

6

4

6

1

6, B y C .

Así que la fórmula obtenida es

( ) ( ) ( ) f x dx f f f0

11

60

4

6

1

2

1

61∫ ≈ +

+

que es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que dos. Comoejercicio verifique si esta fórmula es exacta para todos los polinomios de gradomenor o igual que tres. Es exacta esta fórmula para todos los polinomios de gradomenor o igual que cuatro?

Si usamos el cambio de variable ( )x b a t a= − + , obtenemos

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x dx b a f b a t a dt

b a f a fa b

f b

b af a f

a bf b

a

b

= − − +

≈ − + +

+

= − + +

+

∫∫0

1

1

6

4

6 2

1

6

64

2

que coincide con la regla simple de Simpson 1

3

aplicada a la función f en el

intervalo [ ]a b, .

El método ilustrado en los ejemplos anteriores para encontrar fórmulas de integraciónnumérica se conoce como método de los coeficientes indeterminados.

5.4 MÉTODO DE CUADRATURA GAUSSIANA

En las fórmulas de integración numérica o de cuadratura estudiadas hasta aquí paraaproximar el valor de


__________________________________________________________________________________

( ) I = ∫ f x dxa

b

se ha usado siempre una partición regular a x x x bn= < < < =0 1 ... del intervalo [ ]a b, ,

es decir, los puntos n10 x,...,x,x se han dado igualmente espaciados. Si se quita estacondición, pueden diseñarse fórmulas de integración numérica más precisasescogiendo adecuadamente los puntos n10 x,...,x,x . Una de estas fórmulas es lacuadratura Gaussiana, que se puede presentar en los siguientes términos:

La cuadratura Gaussiana consiste en obtener los valores de los puntos n21 x,...,x,x

en el intervalo [ ]−11, (podemos trabajar en [ ]−11, en vez de trabajar en [ ]a b, y luego

usar un cambio de variable como se hizo en la sección anterior) y los coeficientes

n21 A,...,A,A tales que la fórmula

( ) ( )f x dx A f xj j

j

n

FORMULA

− =∫ ∑≈1

1

1! "# $#

(5.2)

sea exacta para todos los polinomios de grado tan alto como sea posible. Esta idea sedebe a Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Este proceso involucra la determinación de 2n incógnitas, n21 A,...,A,A y n21 x,...,x,x ,donde, en principio, n21 x,...,x,x sólo están restringidos a que la función f estédefinida en n21 x,...,x,x y [ ]1,1x,...,x,x n21 −∈ .

Los coeficientes A j y los puntos n21 x,...,x,x son determinados de modo que el error

( ) ( ) ( ) En j j

j

n

f f x dx A f x= − =− =∫ ∑1

1

1

0 (5.3)

para todos los polinomios ( )f x de grado tan alto como sea posible.

Para derivar ecuaciones que permitan obtener los coeficientes n21 A,...,A,A y lospuntos n21 x,...,x,x , notemos, como en el caso del método de los coeficientes

indeterminados, que si ( )f x a a x a x a xmm= + + + +0 1 2

2 ... , entonces


( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )mnm

2n2n1n0

mxnE

n

1j

mjj

1

1

mm

2xnE

n

1j

2jj

1

1

22

xnE

n

1jjj

1

1

1

1nE

n

1jj

1

1

0

n

1j

mjm

2j2j10j

1

1

mm

2210

mm

2210nn

xEaxEaxEa1Ea

xAdxxa

xAdxxaxAxdxa1Adx1a

xaxaxaaAdxxaxaxaa

xaxaxaaEfE

++++=

−+

+

−+

−+

⋅−=

++++−++++=

++++=

=−

=−=−=−

=−

∑∫

∑∫∑∫∑∫

∑∫

...

...

......

...

#### $#### "!

### $### "!### $### "!### $### "!

Por consiguiente: El error ( )E a a x a x a xn mm

0 1 22 0+ + + + =... para todos los polinomios

de grado menor o igual que m si y sólo si ( ) m,...,2,1,0i todo para 0xE in == .

Volviendo al tema de cómo determinar los coeficientes n,...,2,1j ,A j = , y los puntos

de la partición n,...,2,1j ,x j = , tenemos los siguientes casos particulares:

CASO 1: n =1. En este caso

( ) ( ) ( )

( ) ( )

E1

1

1

1

1

1

1

1 1

f f x dx A f x

f x dx A f x

j jj

= −

= −

− =

−

∫ ∑

∫

Así que queremos encontrar A1 1 y x tales que ( )E f1 0= para todos los polinomios

( )f x de grado tan alto como sea posible.

Como hay dos incógnitas por determinar, consideraremos al menos dos ecuaciones,una para ( )f x ≡1 y otra para ( )f x x= , lo que nos lleva a

y 1 1 0 01

1

1

1

1

1 1dx A xdx A x− −∫ ∫− ⋅ = − =

es decir, resulta el siguiente sistema no-lineal de dos ecuaciones en las dos incógnitasA1 1 y x :

2 0

01

1 1

− ==

A

x A


__________________________________________________________________________________

Como la única solución de este sistema es A1 2 0= = y x1 , entonces la fórmulaobtenida es

( ) ( ) f x dx f−∫ ≈1

1

2 0

que es llamada regla del punto medio, y es exacta para todos los polinomios degrado menor o igual que uno, como la regla de los Trapecios. (Verifique que la regladel punto medio no es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual quedos!).

CASO 2: n = 2 . En este caso

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

E f f x dx A f x

f x dx A f x A f x

j jj

2

1

1

1

2

1

1

1 1 2 2

= −

= − −

− =

−

∫ ∑

∫

Así que, esta vez, debemos encontrar A1 2 1 2, , A x y x tales que ( )E f2 0= para todos los

polinomios ( )f x de grado tan alto como sea posible. Consideramos entonces cuatro

ecuaciones, una para cada una de las funciones polinómicas básicas de grado menor oigual que tres 3,2,1,0i ,x i = , con lo que obtenemos

1 1 1 0

0

0

0

1

1

1 2

1

1

1 1 2 2

2

1

1

1 12

2 22

3

1

1

1 13

2 23

−

−

−

−

∫

∫

∫

∫

− ⋅ − ⋅ =

− − =

− − =

− − =

dx A A

xdx A x A x

x dx A x A x

x dx A x A x

es decir,

A

A1 2

1 1 2 2

1 12

2 22

1 13

2 23

2

0

2

3

0

+ =+ =

+ =

+ =

A

x A x

A x A x

A x A x


Este sistema resultante es no-lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, y se

puede verificar que la solución de este sistema es A A1 2 1 213

3

3

3= = = − =, , x x , así

que la fórmula obtenida es

( ) f x dx f f−∫ ≈ −

+

1

13

3

3

3

que es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que tres, como en la

regla de Simpson 1

3

. (Verifique que la fórmula anterior no es exacta para todos

los polinomios de grado cuatro).En general, para n tenemos, como ya mencionamos antes, 2n incógnitas n21 A,...,A,A ,

n21 x,...,x,x , y queremos que ( ) 12n1,...,0,i para 0xE in −== , lo que nos conduce al

siguiente sistema no-lineal de 2n ecuaciones con 2n incógnitas

i

iA x x dx

x

i

n

in

j ji

j

ni

i

= −

+

−∑ ∫= =

+

== −

+= −

1 1

1 1

1

1

1

0 13 2 1

2

10 2 2 2

, , ,...,

, , ,...,

La solución de estos sistemas se ve que no es fácil, y precisamente por la dificultadque se presenta al trabajar con estos sistemas no-lineales, hay otra teoría más general,pero que no presentaremos aquí. En dicha teoría se puede demostrar que el error

( )E fn viene dado por

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) E n

n n

fn

n n

f

n=

+

+2

2 1 2 2

2 1 4

2

2!

! !

ξ

para algún ( )1,1−∈ξ .

La TABLA 5.3 siguiente, muestra los valores de los puntos n21 x,...,x,x y los valoresde los coeficientes n21 A,...,A,A , correspondientes a los valores de 5,4,3,2,1n = parala fórmula de cuadratura llamada de Gauss-Legendre

( ) ( ) f x dx A f xj j

j

n

− =∫ ∑≈1

1

1

nCoeficientes A jj n, ,...,=1

Nodos x jj n, ,...,=1

Error de fórmula


__________________________________________________________________________________

1 A1 2= x1 0= ( )≈ ′′f ξ

2A

A1

2

1

1

==

x

x1

2

5773502692

5773502692

= −=

.

. ( ) ( )≈ f4 ξ

3A

A

A

1

2

3

5555555556

8888888889

5555555556

===

.

.

.

x

x

x

1

2

3

7745966692

0 0

7745966692

= −==

.

.

.

( ) ( )≈ f6 ξ

4

A

A

A

A

1

2

3

4

3478546451

6521451549

6521451549

3478546451

====

.

.

.

.

x

x

x

x

1

2

3

4

8611363116

3399810436

3399810436

8611363116

= −= −==

.

.

.

.

( ) ( )≈ f8 ξ

5

A

A

A

A

A

1

2

3

4

5

2369268851

4786286705

5688888889

4786286705

2369268851

=====

.

.

.

.

.

x

x

x

x

x

1

2

3

4

5

9061798459

5384693101

0 0

5384693101

9061798459

= −= −===

.

.

.

.

.

( ) ( )≈ f10 ξ

TABLA 5.3

Si se desea consultar la teoría sobre Cuadratura Gaussiana se puede ver Kincaid,1972, páginas 456-465.

Ejemplo 5.4 Use el método de cuadratura Gaussiana con n = 2 y n = 3 para estimar

sen2

0

3

xdx

π

∫

Solución: Para usar los datos de la TABLA 5.3, primero hacemos el cambio devariable

[ ]

( ) ( ) ( )

t

λ π

λ

ππ

: − →

→ =+

+ = + =

11 03

31 1

16

1

, ,

t t t x

con el cual

( )sen sen2

0

32

1

1

6 61xdx t dt

π

π π∫ ∫= +

−


i) Si n = 2 , entonces

( ) ( ) sen sen sen 2

0

32 2

6 65773502692 1

65773502692 1

308208655

xdx

π

π π π∫ ≈ − +

+ +

=

. .

.

Compare este resultado con el obtenido usando la regla de Simpson 1

3

.

ii) Si n = 3 , entonces

( )

( )

( )

sen sen

sen

sen

.

2

0

32

2

2

65555555556

67745966692 1

88888888896

0 1

55555555566

7745966692 1

307081826

xdx

π

π π

π

π

∫ ≈ − +

+ +

+ +

=

. .

.

. .

.

El valor exacto de la integral dada es

sen ...2

0

3

3070924246xdx

π

∫ =. ♦

TALLER 5.

1. a) Use las reglas de los Trapecios, Simpson 1

3

y Simpson

3

8

con seis

subintervalos para obtener valores aproximados de cada una de las siguientesintegrales

i) e

xdx

x−

∫1

2

ii) 1

2

3

lnxdx∫ iii) e dxx−∫

2

0

1

iv) e dxx2

0

1

∫


__________________________________________________________________________________

v) ln x

xdx

11

2

+∫ vi) sen x

xdx

0

1

∫ vii) sen xdx0

2π

∫ viii) ( )sen x dx2

0

1

∫

b) Para cada uno de los valores obtenidos en a) encuentre cotas para el error en laaproximación calculada y estime, a partir de esas cotas, con cuántas cifrasdecimales exactas aproxima dicho valor al valor exacto. Desprecie los erroresde redondeo.

2. Si ( )f x dx0

0 8

2.

∫ = y nos dan la tabla siguiente

xk 0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .8

( ) f xk 5 8 6 3 0 −3 −3 5

Emplee la regla de Simpson 1

3

para estimar ( )f .7 .

3. La siguiente tabla muestra valores aproximados de una función f y loscorrespondientes errores de redondeo

x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6

( )~f x 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675

Error en ( )f x 2 10 6× − − × −2 10 6 − × −.9 10 6 − × −.9 10 6 2 10 6× −

Use todos los datos de la tabla anterior y la regla de Simpson 1

3

para aproximar

el valor de ( )f x dx18

2 6

.

.

∫ , y calcule el error de redondeo total al aplicar dicha regla.

4. a) Determine el menor número de subintervalos N necesarios para obtener una

aproximación de ln.

xdx1

2 5

∫ , con una precisión de por lo menos cinco cifras

decimales exactas, usando la regla de los Trapecios y la regla de Simpson

3

1 .


Calcule la aproximación correspondiente, en cada caso. Desprecie los erroresde redondeo.

b) Responda la pregunta planteada en a) para cada una de las integrales en elproblema 1. a).

5. a) Utilice el método de los coeficientes indeterminados para generar una fórmulade integración numérica del tipo

( ) ( )f x dx A f xj jj

n

0

1

1∫ ∑≈

=

que sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que cuatro.

b) Verifique que la fórmula obtenida en a) es exacta para todos los polinomios degrado menor o igual que cinco, y que no es exacta para todos los polinomios degrado menor o igual que seis.

c) Aproxime ln2 por medio de la fórmula obtenida en a). Cuál es el error que secomete en la aproximación?

Nota: ln21

xdx

1

2

= ∫ .

6. Use la regla de Simpson

3

1 con N = 6 y un cambio adecuado de variable para

estimar x

xdx

2

51

1+

+∞

∫ .

7. Use las reglas de los Trapecios y Simpson

3

1 con N =10 para aproximar la cuarta

parte de la longitud de la elipse x y2 2

4 11+ = . Concluya, a partir de las cotas

teóricas para el error total, cuál es la calidad de la aproximación obtenida en cadacaso.


__________________________________________________________________________________

8. Use el método de Romberg con N = 2 para aproximar cada una de las integrales delejercicio 1. a).

9. Use el método de cuadratura Gaussiana con n = 2 y n = 3 para aproximar cada unade las integrales del ejercicio 1. a).

10. Encuentre una fórmula de cuadratura del tipo indicado

( ) ( )#$#"!

fórmula

2

0jj

1

1

xfcdxxf ∑∫=−

≈

que sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. Estas fórmulas sonconocidas como fórmulas de cuadratura de Chebyshev.

11. a) Encuentre una fórmula del tipo

( ) ( )#$#"!

fórmula

n

0jjj

1

1

xfAdxxxf ∑∫=−

≈

con n =1 que sea exacta para todos los polinomios ( )f x de grado menor o

igual que tres.

b) Repita con n = 2 , haciendo la fórmula exacta para todos los polinomios ( )f x de

grado menor o igual que cinco.

12. Determine los coeficientes A0 1 2, A y A que hacen que la fórmula

( ) ( ) ( ) ( )#### $#### "!

fórmula

210

2

0

2fA1fA0fAdxxf ++≈∫

sea exacta para todos los polinomio de grado menor o igual que tres.

13. a) Verifique que la siguiente fórmula de cuadratura Gaussiana es exacta paratodos los polinomios de grado menor o igual que cinco.


( ) ( )##### $##### "!

fórmula

1

15

3f

9

50f

9

8

5

3f

9

5dxxf

++

−≈∫

−

b) Muestre cómo puede ser usada la fórmula dada en a) para calcular ( )f x dxa

b

∫ , y

aplique este resultado para evaluar cada una de las siguientes integrales

i) xdx0

2

π

∫ senx

xdx

0

4

∫

CAPÍTULO 6. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE PROBLEMAS DEVALOR INICIAL PARA ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS

INTRODUCCIÓN

Este capítulo se dedicará al estudio de algunos métodos numéricos para encontrar unaaproximación discreta de la solución ( )y t de un problema de valor inicial (P.V.I.) de primer

orden, con solución única, del tipo

( )( )

=

≤≤=

inicial) (condición yty

Ttt ,y,tfdt

dy

00

0 (6.1)

Los métodos numéricos que estudiaremos se podrán aplicar a sistemas de ecuacionesdiferenciales de primer orden con condiciones iniciales, con solución única, de la forma

( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

===

=

≤≤=

=

inicial condición yty ,...,yty,yty

,y,...,y,y,tfdt

dy

Ttt ,y,...,y,y,tfdt

dy

,y,...,y,y,tfdt

dy

0,n0n0,2020,101

n21nn

0n2122

n2111

! (6.2)

En este caso se aplicará el método a cada ecuación del sistema.

Los métodos numéricos que veremos también se podrán aplicar a problemas generales den-ésimo orden con condición inicial, de solución única, de la forma

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

==′=

≤≤′=≡

−

−

inicial condición yty ,...,yty ,yty

Ttt ,y,...,y,y,tfdt

ydy

0,n01n

0,200,10

01n

n

nn

(6.3)

Esta vez, para aplicar el método numérico, empezamos transformando el P.V.I. dado en unsistema equivalente del tipo (6.2), introduciendo las variables y y1 = , y y2 = ′ , y y3 = ′′ ,

, ( )y yd y

dtn

nn

n= ≡−

−

−1

1

1. Derivando miembro a miembro cada una de estas últimas ecuaciones

con respecto a t, obtenemos el sistema equivalente


__________________________________________________________________________________

( )( ) ( ) ( ) ( )

====′

=′≤≤=′

=′

inicial condición yty,...,yty,yty

,y,...,y,y,tfy

,yy

Ttt ,yy

,yy

0,n0n0,2020,101

n21n

43

032

21

!

Existencia de solución: Será que todo P.V.I. de la forma (6.1) tiene una solución?

La respuesta es no, hay que imponer algunas condiciones sobre la función ( )f t y, , y aún

satisfechas tales condiciones, es posible que la solución exista solamente en una vecindadde t0 . Como ejemplo, consideremos el P.V.I.

( )′ =

=

yt

y

1

1 1

La solución general de la ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) ′ =yt

1, es ( )y t t c= +ln , c

constante arbitraria. Para la condición inicial dada la solución del P.V.I. es ( )y t t= +ln 1 ,

pero no hay solución para una condición inicial en t = 0.

Para el P.V.I.

( )′ = +

=

y y

y

1

0 0

2

( )y t tant= es la solución, pero no está definida para t = ± ±π π2

3

2, ,... . Así que la solución

es válida únicamente para −

π π2 2

, o cualquier intervalo contenido allí y que contenga al

número 0.

Con respecto a la existencia se tiene el siguiente teorema:

Teorema 6.1 Si ( )f t y, es continua en el rectángulo

( ) R = ≤ ≤ + − ≤t y t t t a y y b, / ,0 0 0

entonces existe un intervalo t t t0 0≤ ≤ + α en el cual existe una solución ( )y t del P.V.I.

( )( )′ =

=

y f t y

y t y

,

0 0

(Un resultado análogo se tiene para t t≤ 0 ). ∇∇∇∇

Capítulo 6. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE P.V.I. PARA E.D.O. 275__________________________________________________________________________________

Unicidad de la solución: Puede que, aunque ( )f t y, sea continua, el P.V.I. (6.1) tenga más

de una solución. Un ejemplo es el P.V.I.

( )′ =

=

y y

y

1

3

0 0

para el cual ( )y t1 0≡ y ( )y t t2

3

22

3=

son soluciones.

Para asegurar que el P.V.I. (6.1) tiene una única solución en una vecindad de t t= 0 , se

requiere algo más que la continuidad de la función ( )f t y, . Una de las formas más usuales de

presentar el teorema que garantice existencia y unicidad de solución del P.V.I. (6.1), es lasiguiente.

Teorema 6.2 Si ( )f t y, y ( )∂∂f t y

y

, son continuas en un rectángulo

( ) R t y t t t a y y b= ≤ ≤ + − ≤, / ,0 0 0

entonces existe un intervalo t t t0 0≤ ≤ + α en el cual existe una única solución ( )y t del

P.V.I.

( )( )′ =

=

y f t y

y t y

,

0 0 (6.4)

(Un resultado análogo se tiene para t t≤ 0 ). ∇∇∇∇

Para la demostración del teorema 6.2, se transforma el P.V.I. (6.4) en otro problemaequivalente, como se indica a continuación:

Supongamos que existe una función ( )y t que satisface (6.4), es decir,

( )( )dy

dtf t y t= , y ( )y t y0 0=

Entonces integrando a ambos lados de la E.D.O. dada, se tiene

( ) ( )( )dy s

dsds f s y s ds

t

t

t

t

0 0

∫ ∫= ,

o sea

( ) ( ) ( )( )y t y t f s y s dst

t

= + ∫0

0

, (6.5)


__________________________________________________________________________________

Recíprocamente, si ( )ty satisface (6.5) y es continua, entonces derivando en (6.5), con

respecto a t, obtenemos ( )( )dy

dtf t y t= , . Además es claro que ( )y t y0 0= .

Por lo tanto, ( )ty es una solución del P.V.I. (6.4) si y sólo si ( )ty es una solución continua de

la ecuación integral (6.5).

Ahora, un método para probar que la ecuación integral (6.5) tiene una única solución, es elmétodo de aproximaciones sucesivas o iteraciones de Picard (Emilio Picard, matemáticofrancés (1856-1941)), el cual describimos a continuación:

Se inicia el método con una solución tentativa (aproximación inicial) de (6.5). La elecciónmás simple es

( )y t y0 0=

la cual satisface la condición inicial.

Ahora se calcula

( ) ( )( )y t y f s y s dst

t

1 0 0

0

= + ∫ ,

Si ( )y t y1 0= , entonces ( )y t y= 0 es una solución de (6.5). Si nó, se utiliza ( )y t1 como la

siguiente aproximación, y se calcula

( ) ( )( )y t y f s y s dst

t

2 0 1

0

= + ∫ ,

En general, calculada ( )y tn−1 , si ella no es solución de (6.5), se calcula la siguiente

aproximación

( ) ( )( ) y ,n n

t

t

t y f s y s ds= + −∫0 1

0

Las funciones ( )tyn son llamadas aproximaciones o iteraciones de Picard.

Se completa la prueba del teorema, demostrando que la sucesión ( ) y tn n converge

uniformemente, en un determinado intervalo, a una solución ( )y t de (6.5), y luego se

demuestra la unicidad de la solución. ∇∇∇∇

Ejemplo 6.1 Para ilustrar el método iterativo de Picard, consideremos el siguiente P.V.I.

( )′ =

=

y y

y 0 1

en el cual ( )f t y y, = .


La ecuación integral equivalente, correspondiente al P.V.I. dado, es

( ) ( )y t y s dst

= + ∫10

Iniciamos las iteraciones tomando ( )y t0 1= . Entonces

( ) ( ) ( )y t y s ds ds t y tt t

1 0

0 0

01 1 1 1= + = + = + ≠∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )y t y s ds s ds tt

y tt t

2 1

0 0

2

11 1 1 12

= + = + + = + + ≠∫ ∫

( ) ( ) ( )y t y s ds ss

ds tt t

tt t

y tt t

3 2

0

2

0

2 3 2 3

21 1 12

12 2 3

12 3

= + = + + +

= + + +

×= + + + ≠∫ ∫ ! !

y en general,

( ) ( ) ( )y t y s ds ss s

nds t

t t t

nn n

t nt n

= + = + + + + +−

= + + + + +−

−

∫ ∫1 1 12 1

12 31

0

2 1

0

2 3

!...

! ! !...

!

Sabemos que ...!

...!

+++++=n

t

2

tt1e

n2t , así que ( )lim y t e

nn

t

→∞= , lo que indica que las

iteraciones de Picard convergen a la función ( )y t et= que es, claramente, la solución del

P.V.I. dado. ♦

Con base en algunos detalles adicionales en la prueba del teorema anterior, dicho teoremapuede ser expresado en los siguientes términos:

Teorema 6.3 Si ( )f t y, y ( )∂∂f t y

y

, son continuas en el rectángulo

( ) R t y t t t a y y b= ≤ ≤ + − ≤, ,/ 0 0 0

entonces el P.V.I.

( )( )′ =

=

y f t y

y t y

,

0 0

tiene una única solución ( )y t en el intervalo t t t0 0≤ ≤ + α , donde α =

Min ab

M, siendo

( )( )y,tfMáxM

Ry,t ∈= . ∇∇∇∇


__________________________________________________________________________________

Nota: Si en el teorema 6.3 se quita la condición ( )∂∂f t y

y

, continua, entonces sólo se puede

concluir la existencia de solución en el intervalo indicado.

Ejemplo 6.2 Considere el P.V.I.

( )( )′ = +

=

y y t

y

2 2

0 0

cos

y usemos el teorema 6.3 para demostrar que este P.V.I tiene una única solución en el

intervalo 01

2,

. En efecto:

Sea ( )R t y t y b= ≤ ≤ ≤

, / ,01

2 , entonces ( ) ( )f t y y t, cos= +2 2 y

( )∂∂f t y

yy

,= 2 son

continuas en R .

Como ( )

( )( ) ( )M Max f t y Max y t b

t y R t y R= = + = +

∈ ∈, ,, cos2 2 2 1 , entonces para que

1

2

1

2 1 2= =

+

α Minb

b, se requiere que

b

b1

1

22+≥ , pero dado que el máximo de la función

b

b1 2+ es

1

2 y ocurre en 1b = , entonces el P.V.I. dado tiene solución única para

2

1t0 ≤≤ , y

aún más, en este intervalo ( )y t ≤ 1 ( porque b 1= ). ♦

El siguiente teorema es de tipo diferente al del teorema 6.3, y nos permite concluir existencia

y unicidad de una solución de un P.V.I. de la forma (6.1) en un intervalo prescrito [ ]a b, .

Teorema 6.4 Si ( )f t y, es continua en la franja

( ) +∞<<∞−+≤≤= y ,attt/y,t 00D

y satisface una desigualdad

( ) ( )f t y f t y L y y, ,1 2 1 2− ≤ − (6.6)

para todo ( ) ( )t y t y, , ,1 2 ∈ D y alguna constante L, entonces el P.V.I.

( )( )′ =

=

y f t y

y t y

,

0 0

tiene una única solución ( )y t en el intervalo [ ]t t a0 0, + . ∇∇∇∇


Si la función ( )f t y, satisface la desigualdad (6.6), decimos que ( )f t y, satisface una

condición de Lipschitz en la segunda variable y en D, y la constante L se llama constante

de Lipschitz para la función ( )f t y, . ∇∇∇∇

La condición de Lipschitz se sigue si ( )∂∂f t y

y

, existe y está acotada en D. En general, se

tiene que: Si ( )∂∂f t y

y

, está definida en un conjunto convexo D ⊆ R 2 y si existe una

constante L > 0 tal que ( )∂∂f t y

yL

,≤ para todo ( )t y, ∈ D , entonces ( )f t y, satisface una

condición de Lipschitz en D para la variable y con constante de Lipschitz L .

En efecto:

Fijemos t y sean cualesquiera ( ) ( )t y t y, , ,1 2 ∈ D . Entonces aplicando el teorema del valor

medio a la función ( )f t y, en la variable y, existe y3 entre y1 2 y y (aquí se necesita que D

sea convexo para garantizar la existencia de y3 entre y1 2 y y ) tal que

( ) ( ) ( )2121

321 yyLyy

y

y,tfy,tfy,tf −≤−

∂∂

=−

Luego ( )f t y, satisface una condición de Lipschitz en la variable y con constante de Lipschitz

L . ∇∇∇∇

D ⊆ R 2 se dice convexo si siempre que ( ) ( )t y t y1 1 2 2, , , ∈ D , el punto

( ) ( )( )1 11 2 1 2− + − + ∈λ λ λ λ t yt y, D para 0 1≤ ≤λ , es decir, el segmento de recta que une

los puntos ( ) ( )t y t y1 1 2 2, , , ∈ D está totalmente contenido en D. ∇∇∇∇

Las demostraciones de los teoremas anteriores, pueden consultarse en un texto sobre teoríade ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ejemplo 6.3 El P.V.I.

( )

y

dy

dt ty t et= +

=

2

1 0

2

tiene solución única en el intervalo [ ]12, .

En efecto: Sea ( ) D = ≤ ≤ − ∞ < < +∞ / t y t y, ,1 2 . Entonces ( )f t yt

y t et, = +2 2 es

continua en D, y como


__________________________________________________________________________________

( ) ( )

( )

f

y y

t y f t yt

y t et

y t e

ty y

ty y

t t, ,1 2 12

22

1 2 1 2 1 2

2 2

2 22

− = + − −

= − = − ≤ − , para todo ( ) ( )t y t y, , ,1 2 ∈ D .

entonces ( )f t y, satisface la condición de Lipschitz con constante de Lipschitz L = 2 .

Observe que esta vez fue fácil verificar la condición de Lipschitz.

Como el dominio ( ) D = ≤ ≤ − ∞ < < +∞ / t y t y, ,1 2 es un conjunto convexo de R 2 , otra

forma de concluir sobre la condición de Lipschitz en la segunda variable y en D es

estudiando ( ) D en y

y,tf

∂∂

.

Como ( )

t

2

y

y,tf =∂

∂ está definida en D y

( )L2

1

2

t

2

y

y,tf ==≤=

∂∂

para todo ( )t y, ∈ D

entonces ( )f t y, satisface una condición de Lipschitz en la variable y con constante de

Lipschitz L = 2 .

Cuál es la única solución del P.V.I. dado?

dy

dt ty t e

dy

dt ty t et t=

+ ⇔ + −

=2 22 2 : ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden

con coeficientes variables.

( ) ( )µ t e e e tt

xdx

t

t

= = = = =−

− −∫ −

2

2 22

2 1 tln ln es un factor integrante para la E.D.O. dada.

Multiplicando a ambos lados de dicha E.D.O. por 12t

, obtenemos

1 2 12 3 2t

dy

dt ty e

d

dt ty et t− = ⇔

=

Luego12t

y e dxxt

= ∫o sea

12t

y e ct= + , c constante arbitraria

Por tanto la solución general de la E.D.O. dy

dt ty t et= +

2 2 , es


( )y t e ct= +2 c, constante arbitraria

Como ( ) ( )y e c1 1 02 1= + = , entonces c e= − , y así ( ) ( )y t t e et= −2 es la única solución del

P.V.I. dado. ♦


( )′ = ≤ ≤

=

y y t

y

2 0 1

0 0

1

2 ,

tiene soluciones ( ) ( )y t t t120≡ = y y2 (Verifíquelo). Por qué no contradice este hecho el

teorema 6.4? ♦


( )

y 0

′ = − ≤ ≤=

−y y e tt100 101 0 1

1

,

tiene solución ( )y t e t= − (Verifíquelo). El problema perturbado

( )

y 0

′ = − ≤ ≤= +

−y y e tt100 101 0 1

1

,

ε

en el cual sólo se ha modificado la condición inicial en ε , tiene solución ( )y t e t t;ε ε= +− e100

(Verifíquelo). Es claro que la solución del problema perturbado y del problema originalpueden diferir mucho, aún para valores pequeños de ε. ♦

Los métodos numéricos que estudiaremos nos permitirán obtener valores aproximados de lasolución ( )y t de un P.V.I. de la forma

( )( )

=≤≤=′

00

0

yty

Ttt ,y,tfy (6.7)

en puntos igualmente espaciados. Es decir, un método numérico de los que estudiaremosnos permitirá obtener una aproximación discreta de la solución del P.V.I. dado (método devariable discreta), ésto es, tomaremos valores t t t Tm0 1, ,..., = igualmente espaciados,

digamos que m,...,1,0k ,hktt 0k =+= , y calcularemos, con la ayuda del método numérico,

un valor Yk , el cual va a ser considerado como una aproximación del valor de la solución

exacta ( )y t en tk , es decir, ( )Y y t mk k≈ =, , ,..., k 01 . Luego lo que realmente obtendremos

será una tabla de valores de la forma


__________________________________________________________________________________

0t 1t 2t ... t Tm =

Y0 Y1 Y2 ... Ym

TABLA 6.1

Para una tabla como la anterior podremos hacer una interpolación segmentaria cúbica u otrotipo de aproximación para obtener una solución aproximada continua del P.V.I. dado.

En este contexto los números m,...,1,0k ,hktt 0k =+= , se llamarán puntos de red, y el

número h se llamará tamaño de paso.

En lo que sigue la solución única del P.V.I. (6.7) la notaremos ( )ty φ= .

Nuestro primer paso en un método numérico es determinar 1Y a partir de ( ) 00 Yt =φ(condición inicial) y de ( ) ( )( ) ( )00000 y,tft,tft =φ=φ′ (obtenida de la ecuación diferencial

( )y,tfdt

dy = ); conocido 1Y determinamos 2Y y así sucesivamente. Para determinar 2Y

podemos usar el mismo método que lleva de Y0 a Y1 o podemos aplicar un método

diferente en el cual se use el conocimiento de Y0 y Y1 .

Los métodos numéricos que sólo requieren del conocimiento de Yk para determinar Yk+1 , es

decir, Yk+1 depende únicamente de Yk , y el conocimiento de los valores aproximados

Y Y Yk k− −1 2 0, ,..., no se usa, se conocen como métodos de un escalón, de un paso o de

arranque. Si para calcular Yk+1 se usan dos o más valores previamente calculados,

digamos por ejemplo Yk , Yk−1 , Yk−2 , el método se dice método de varios escalones,

multipaso o prolongado.

Es claro que si se va a usar un método prolongado que comprenda Yk y Yk−1 , debe usarse

un método de arranque en el primer paso para determinar 1Y , y entonces se usa el método

prolongado para determinar Y Y2 3, ,... .

Observe la FIGURA 6.1 siguiente, donde aparece la gráfica de la solución exacta ( )y t= φ de

un P.V.I. del tipo (6.7) y los puntos ( )t Y mk k, , , ,..., k = 01 .


FIGURA 6.1

Una solución aproximada obtenida por un método numérico puede no darnos una buenainformación acerca del comportamiento de la solución exacta. Por una parte se tiene elproblema de la convergencia del método: A medida que la distancia entre los puntost m0 1, ,..., t t tiende a cero, los valores de la solución numérica Y Y Ym0 1, ,..., se aproximan a

los correspondientes valores de la solución exacta? También está el problema de laconsistencia y la estabilidad del método numérico.

Estos temas no serán tratados aquí, pero pueden ser consultados en Kincaid, 1972, capítulo8.

Aquí nos preocuparemos del error de fórmula asociado con el método numérico usado paracalcular los valores Y Y Ym0 1, ,..., .

Antes de estudiar algún método numérico consideremos las siguientes notaciones.

Notación: La solución exacta del P.V.I., con solución única,

( )( )

=

≤≤=

00

0

yty

Ttt ,y,tfdt

dy

se denotará por ( )y t= φ , como ya se había indicado.

Para un método numérico dado, los símbolos ( )Y Y f t Yk k k k, , ′ = denotarán los valores

aproximados (obtenidos mediante la aplicación del método numérico) de la solución exacta ysu derivada, respectivamente, en el punto de red tk , es decir, ( )Y tk k≈ φ , y


__________________________________________________________________________________

( ) ( )( ) ( )′ = ≈ = ′Y f t Y f t t tk k k k k k, ,φ φ . Es claro que ( )φ t Y0 0= , pero en general,

( )φ t Yk k≠ ≥, k 1, del mismo modo ( ) ( )′ = ′ =φ t Y f t Y0 0 0 0, , pero en general ( )′ ≠ ′ ≥φ t Yk k , k 1.

En cualquiera de los métodos numéricos que estudiaremos, usaremos siempre un mismoespaciamiento o tamaño de paso h sobre el eje t, así que

t t kh mk = + =0 0 1, , ,..., k

6.1 MÉTODO DE EULER O DE LA RECTA TANGENTE

Este es un método de un paso para obtener valores aproximados de la solución ( )ty φ= de

un P.V.I., con solución única,

( )( )

=

≤≤=

00

0

yty

Ttt ,y,tfdt

dy

y hace uso de la recta tangente.

Como se conocen t0 , ( )Y t0 0= φ y ( ) ( )( ) ( ) ′ = ′ = =Y t f t t f t Y0 0 0 0 0 0φ φ, , , también se conoce la

pendiente de la recta tangente a la curva solución ( )y t= φ en t0 , y obtenemos un valor

aproximado Y1 de ( )φ t1 moviéndonos a lo largo de dicha recta tangente desde t0 hacia t1(ver la FIGURA 6.2).

Como

( )Y Y

t tt1 0

1 00

−−

= ′φ

entonces despejando Y1 de la ecuación anterior, se obtiene

( ) ( )( ) ( )

Y Y t t t

Y t t f t Y

1 0 1 0 0

0 1 0 0 0

= + − ′

= + −

φ

,

Una vez determinado Y1 , podemos calcular ( )′ =Y f t Y1 1 1, que es un valor aproximado de

( ) ( )( )′ =φ φt f t t1 1 1, : pendiente de la recta tangente a la curva solución exacta en el punto t1 .

Usando esta aproximación de la pendiente, obtenemos

Y Y

t tY2 1

2 11

−−

= ′

y despejando Y2 , obtenemos

( )( ) ( )

Y2 1 2 1 1

1 2 1 1 1

= + − ′

= + −

Y t t Y

Y t t f t Y,


FIGURA 6.2

En general, conocido ( )Y tk k≈ φ , obtenemos ( )Y tk k+ +≈1 1φ mediante la fórmula

( ) ( ) Yk k k k k kY t t f t Y+ += + −1 1 ,

y como el tamaño de paso h entre los puntos de red t t tm0 1, ,..., es uniforme, entonces

t t hk k+ = +1 , y obtenemos la fórmula de Euler:

( )

( )( )

tyyY

1m,...,1,0k ,Y,thfYY

000

kkk1+k

==

−=+=

Algoritmo 6.1 (Euler) Para encontrar una aproximación discreta de la solución del P.V.I., consolución única,

( )( ) ( )( )

==≤≤=′

000

0

tyyty

Ttt ,y,tfy

en m+1 números igualmente espaciados a partir del número inicial t0 :

Entrada: La función ( )f t y, , los valores iniciales t0 y y0 , un entero m y el tamaño de paso h.

Salida: Aproximación Y de la solución ( )y t en los m+1 puntos t t t h t t mhm0 1 0 0, ,...,= + = + .

Paso 1: Hacer t t y= =0 0, Y .


__________________________________________________________________________________

Salida: ( )t Y, .

Paso 2: Para k m= 12, ,..., , seguir los pasos 3 y 4:

Paso 3: Hacer ( )Y Y hf t Y= + , (calcula Yk )

t t kh= + (Calcula tk )

Paso 4: Salida: ( )t Y, .

Paso 5: Terminar.

Ejemplo 6.6 Consideremos el P.V.I. con solución única

( )

=

≤≤+=

01y

2t1 ,etyt

2

dt

dy t2

Usando la fórmula de Euler con tamaño de paso h = .1, determinemos un valor aproximadode la solución ( )y t= φ en t = 12. .

Solución: Como h = .1, entonces t0 1 210 11 12= = =. . ., t , t , así que necesitamos calcular

Y2 . En este ejemplo ( )f t yt

y t et, = +2 2 , por lo tanto

( ) ( )Y t0 0 1 0= = =φ φ

( )( )

( )( )

Y Y hf t

f

1 0 0 0

0 1 10 0

1 2 718282

2718282 11

= +

= +

=

= ≈

,Y

,

. .

. .

. .φ

( )( )

( )

Y Y hf t Y

f

2 1 1 1

2718282 1 11 2718282

6847556 12

= +

= +

= ≈

,

,

. . . .

. .φ

Como la solución exacta del P.V.I. dado es ( ) ( )φ t t e et= −2 , entonces el valor exacto de

( )φ 12. es ( ) ( ) ( )φ 12 12 86664252 12. . ..= − =e e , con lo cual el error real en la aproximación

calculada es

( ) φ 12 8666425 6847556 18188692. . . .− = − =Y

lo que no asegura alguna cifra decimal exacta de precisión en la aproximación de ( )φ 12. .


Si reducimos el tamaño de paso a la mitad, es decir, tomamos h = .05 , entonces paraaproximar ( )φ 12. , debemos tomar t0 1 2 3 4100 105 110 115 120= = = = =. . . . ., t , t , t , t , así que

debemos calcular Y4 .

Y0 0=

( )( )

( )

Y Y hf t Y

f

1 0 0 0

0 05 100 0

1359141 105

= +

= +

= ≈

,

,

. .

. .φ

( )( )

( )

Y Y hf t Y

f

2 1 1 1

1359141 05 105 1359141

3063863 110

= +

= +

= ≈

,

,

. . . .

. .φ

( )( )

( )

Y Y hf t Y

f

3 2 2 2

3063863 05 110 3063863

5159917 115

= +

= +

= ≈

,

,

. . . .

. .φ

( )( )

( )

Y Y hf t Y

f

4 3 3 3

5159917 05 115 5159917

7696960 120

= +

= +

= ≈

,

,

. . . .

. .φ

Obsérvese que el error real es ahora . . .8666425 7696960 0969466− = , que esaproximadamente igual a la mitad del error en t = 12. , con h = .1, así que el valor obtenido

disminuyendo el tamaño de paso, h, es una mejor aproximación del valor exacto ( )φ 12. . Si

se sigue disminuyendo el tamaño de paso se obtienen mejores resultados. Hasta dónde sepuede disminuir el tamaño de paso de modo que los resultados numéricos obtenidos todavíasean útiles? La respuesta a esta pregunta la da el estudio de la región de estabilidadabsoluta del método de Euler, pero este tema no será estudiado aquí. Hay otrosprocedimientos que darán resultados mas satisfactorios sin usar un tamaño de paso muypequeño.

Si usamos tamaño de paso h =.05 , los valores aproximados de la solución exacta en los

puntos de red

t5 6 7 8 9 10 11 13125 130 135 140 145 150 155 160 165= = = = = = = = =. . . . . . . . ., t , t , t , t , t , t , t , t12

t , t , t , t , t , t , t1914 15 16 17 18 20170 175 180 185 190 195 2 00= = = = = = =. . . . . . .

se dan en la TABLA 6.2. La gráfica de la FIGURA 6.3, muestra la curva

( ) ( )y t t e et= −2 , solución del problema de valor inicial del ejemplo 6.1, y los puntos

( )t ,Y , k 0,1,...,20k k = correspondientes a las aproximaciones calculadas por el método de

Euler con h t= ≤ ≤ para . . .05 10 2 0 .


__________________________________________________________________________________

k tk Yk ( )y tk Error

5 1.25 1.0728858 1.2063456 .13345986 1.30 1.4313997 1.6072151 .17581547 1.35 1.8515629 2.0760894 .22452658 1.40 2.3402236 2.6203596 .28013609 1.45 2.9047920 3.2480107 .343218710 1.50 3.5532824 3.9676663 .414383911 1.55 4.2943579 4.7886350 .494277112 1.60 5.1373786 5.7209615 .583582913 1.65 6.0924530 6.7754803 .683027314 1.70 7.1704927 7.9638735 .793380815 1.75 8.3832717 9.2987326 .915460916 1.80 9.7434894 10.7936247 1.050135317 1.85 11.2648372 12.4631628 1.198325618 1.90 12.9620715 14.3230815 1.361010019 1.95 14.8510897 16.3903179 1.539228220 2.00 16.9490133 18.6830971 1.7340838

TABLA 6.2

En esta tabla el error k-ésimo es ( )y t Yk k− . ♦


EULER( ( )f t y t y t y h m, , , , , , ,0 0 ): aproXima los valores Y Y Ym0 1, ,..., obtenidos al aplicar el

método de Euler al P.V.I. ( )

( )

dy

dtf t y

y t y

=

=

,

0 0

, con m pasos de tamaño h. Si se grafica la matriz

resultante al aplicar el método de Euler, se visualiza un conjunto de puntos que aproxima lacurva solución del P.V.I. dado. Para el ejemplo anterior, aproXime la expresión

EULER(2

1 0 0 05 202

ty t t t y+ exp( ), , , , , ,. ). ◊◊◊◊

Otra forma de deducir la fórmula del método de Euler par encontrar una aproximación de lasolución ( )y t= φ del P.V.I. con solución única

( )( )

=

≤≤=

00

0

yty

Ttt ,y,tfdt

dy

es usando el desarrollo en serie de Taylor para la función ( )y t= φ .

Supongamos que la función ( )y t= φ tiene un desarrollo en serie de Taylor alrededor del

punto tk , entonces


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) φ φ φ φ φ φ ξt h

t

t h th

th

nt

h

nk

k

k k k

nn

k

nn

k+ = + ′ + ′′ + + ++

+

++

1

2 11

2 1"#$ %$ !...

! !

o bien

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) φ φ φ φ φ φ ξt t hf t t

ht

h

nt

h

nk k k k k

nn

k

nn

k+

++= + + ′′ + + +

+1

2 11

2 1,

!...

! !

con ξk algún número entre t t hk k k y t + = +1 .

FIGURA 6.3

Si la serie de Taylor se termina después de los dos primeros términos, y ( )φ tk+1 , ( )φ tk se

reemplazan por sus valores aproximados Yk+1 y Yk , respectivamente, se obtiene

nuevamente la fórmula de Euler

( )Y Y hf t Yk k k k+ = +1 ,

Si se conservan más términos de la serie de Taylor se obtiene una fórmula más precisa.

También podemos obtener la formula de Euler integrando a ambos lados de la ecuación

( ) ( )( )′ =φ φt f t t, con respecto a t entre tk y tk+1


__________________________________________________________________________________

( ) ( )( )′ =+ +

∫ ∫φ φt dt f t t dtt

t

t

t

k

k

k

k1 1

,

lo que nos da

( ) ( ) ( )( )

( )

φ φ φt t f t t dtk k

t

t

k

k

+ − =

∗

+

∫1

1

,

" #$ %$$

y aproximamos la integral ( )∗ reemplazando ( )( )f t t,φ por su valor en t tk= , ( )( )f t tk k,φ . La

FIGURA 6.4 muestra la situación gráfica correspondiente a la aproximación de la integral.

FIGURA 6.4

Entonces

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )

φ φ φ

φ φ

t t f t t t t

t hf t t

k k k k k k

k k k

+ +≈ + −

= +

1 1,

,

y reemplazando ( )φ tk+1 y ( )φ tk por sus valores aproximados Y Yk k+1 y , respectivamente,

obtenemos

( )Y Y hf t Yk k k k+ = +1 ,

Error en la fórmula de Euler: Supongamos que la solución ( )y t= φ del P.V.I. con solución

única

( )( )

=

≤≤=

00

0

yty

Ttt ,y,tfdt

dy

tiene segunda derivada continua en el intervalo de interés, lo cual es equivalente a que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t yf t y

tf t y

f t y

yf t yt y, ,

,, ,

,,

∂∂

∂∂

≡ ≡ son continuas en la región de interés, pues

( ) ( )( ) ′ =φ φt f t t,

y entonces


( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

′′ = + ′

= +

φ φ φ φ

φ φ φ

t f t t f t t t

f t t f t t f t t

t y

t y

, ,

, , ,

Usando la fórmula de Taylor con residuo para ( )φ t alrededor de tk , obtenemos

( ) ( ) ( )( )( )

( )φ φ φ

φ

φ ξt h

t

t h t

f t t

hk

k

k k

k k

k+ = + ′ + ′′

+1

2

2"#$ %$ "#%

,!

donde ξk es algún número entre tk y t t hk k+ = +1 , y entonces

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )

φ φ φ φ ξ

φ φ φ ξ

t Y t hf t th

Y hf t Y

t Y h f t t f t Yh

k k k k k k k k k

k k k k k k k

+ +− = + + ′′

− +

= − + − + ′′

1 1

2

2

2

2

, ,

, ,

Si suponemos que en el paso k-ésimo ( )Y tk k= φ (para poder cuantificar el cambio al pasar

de tk a tk+1), entonces el error local debido a la aplicación de la fórmula de Euler en el paso

de tk a tk+1, es

( ) ( ) , k = 0,1,...,m 1 ∈ = − = ′′ −+ + +k k k kt Yh

1 1 1

2

2φ φ ξ

El error acumulado (total) ET debido a la aplicación de la fórmula de Euler desde 0t hasta

Ttm = , es decir, la acumulación de todos los errores locales al aplicar la fórmula de Euler en

todo el intervalo [ ]t t Tm0, = , es

( )( )

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

E con

con

con

T k

k

m

k

k

mh h

m t T

h T t

mm t T

hT t

t T

= ∈ = ′′ =∗

′′ ∈

=−

′′ ∈

=−

′′

∈

+=

−

=

−

∑ ∑1

0

1 2

0

1 2

0

00

00

2 2

2

2

φ ξ φ ξ ξ

φ ξ ξ

φ ξ ξ

,

,

,

(La explicación de la igualdad ( )∗ se debe a la aplicación del teorema del valor intermedio

para funciones continuas)

Si [ ]

( )M Max tt t tm

= ′′∈ 0,

φ (recuerde que estamos asumiendo que ( )′′φ t es continua en [ ]t tm0, ),

entonces ∈ ≤+k hM

12

2 y M

2

tThE 0

T−

≤ para cualquier tamaño de paso h, es decir,

( )∈ =+k O h12 , y ( )E O hT = .

El problema es estimar M; sin embargo observe que M no depende de h, así que si h sereduce a la mitad, la cota del error total se reduce también a la mitad, es por esto que


__________________________________________________________________________________

reduciendo el tamaño de paso h, se reduce el error total (recuerde que t Tm = y m es el

número de pasos necesarios para alcanzar el valor T iniciando en t0 , es decir, mT t

h=

− 0 ).

En general se tiene que: si el error local en un método numérico es ( )O hn+1 , entonces el

error total es ( )O hn , ya que si

k independiente de h∈ ≤ =+k

nCh m con C 1 12, , ,...,

entonces

E Ch mChT kk

m

kk

mn

k

mn= ∈ ≤ ∈ ≤ =

= =

+

=

+∑ ∑ ∑1 1

1

1

1

pero mt t

h

T t

mm=

−=

−0 0 , así que

( ) E hT t

mmC h T t CT

n n≤−

= −00

lo que significa que ( )E O hTn= . ∇∇∇∇

Otro tipo de error que está presente en los cálculos numéricos es el error de redondeo y sedebe, como ya se ha mencionado antes, a la limitación en la precisión de la herramienta decálculo. El error de redondeo local en un método numérico es el error en cada etapadebido a la herramienta de cálculo y el error de redondeo global o total es la acumulaciónde los errores locales. El error total es la suma del error global debido a la fórmula y el errorde redondeo global.

Si el error total debido a la fórmula (error de truncamiento total) en un método numérico es

( )E O hTn= , el método numérico se dice de orden n.

De acuerdo con esta definición el método de Euler es de orden uno.

Apliquemos el método de Euler a cada una de los problemas de valor inicial de los ejemplos6.7 y 6.8.

Ejemplo 6.7 Para el P.V.I., con solución única,

( )

y

′ = + ≤ ≤

=

−y t e ttsen , 0 1

0 0


los resultados obtenidos al aplicar el método de Euler con h =.1 , para resolver el P.V.I. dado

en el intervalo [ ]01, , se muestran en la TABLA 6.3 siguiente.


0 0 0 0 01 .1 .1000000 .1001584 1584 10 4. × −

2 .2 .2004671 .2012027 7 356 10 4. × −

3 .3 .3022071 .3038453 16382 10 3. × −

4 .4 .4058409 .4086190 2 7781 10 3. × −

5 .5 .5118148 .5158868 4 072 10 3. × −

6 .6 .6204104 .6258527 5 4423 10 3. × −

7 .7 .7317558 .7385725 6 8167 10 3. × −

8 .8 .8458361 .8539643 8 1282 10 3. × −

9 .9 .9625046 .9718204 9 3158 10 3. × −

10 1.0 1.0814943 1.0918183 .0103240TABLA 6.3

El error k-ésimo que aparece en la TABLA 6.3 corresponde al error total, es decir, a la sumadel error debido a la fórmula y el error de redondeo. La solución exacta del problema de

valor inicial dado es ( )y t t e t= − − +−cos 2 . La gráfica de la solución exacta y los puntos

( )t Yk k, obtenidos al aplicar el método de Euler se muestran en la FIGURA 6.5 siguiente. ♦

FIGURA 6.5

Ejemplo 6.8 El P.V.I. dado es

( )( )

,

y 1

′ = + ≤ ≤

= −

yt

y y t1

1 3

2

2


__________________________________________________________________________________

y se pide aproximar su solución exacta ( )y tt

t=

−2

1 2 en el intervalo [ ]13, , usando el método

de Euler con tamaño de paso h =.2 .

Los resultados de los cálculos se muestran en la TABLA 6.4 siguiente, y la FIGURA 6.6muestra la gráfica de la solución exacta y los puntos ( )t Yk k, correspondientes a las

aproximaciones calculadas. ♦

k tk Yk

0 1.0 −2 0.1 1.2 −16.2 1.4 −144.3 1.6 −13494857.4 1.8 −12905325.5 `2.0 −12488723.6 2.2 −12177913.7 2.4 −11936800.8 2.6 −11744140.9 2.8 −11586575.10 3.0 −11455268.

TABLA 6.4

FIGURA 6.6


6.2 UN MÉTODO DE EULER MEJORADO

Considere el P.V.I. bien planteado

( )( )

t,y

y

′ =

=

y f

t y0 0

Suponiendo que ( )y t= φ es la solución exacta de este P.V.I. se tiene que ( ) ( )( )′ =φ φt f t t, e

integrando a ambos lados con respecto a t, desde tk a tk+1, obtenemos

( ) ( ) ( )( )( )

φ φ φt t f t t dtk k

t

t

k

k

+

∗

= ++

∫1

1

,

" #$ %$$

Si aproximamos ahora la integral (∗ ) de manera más exacta a la aproximación que se hizo enel método de Euler, aproximando el integrando por la media aritmética de sus valores en losextremos del intervalo (regla de los Trapecios, ver la FIGURA 6.7), es decir, por

( )( ) ( )( ) 1

21 1f t t f t tk k k k, ,φ φ+ + +

obtenemos

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) φ φ φ φt tt t

f t t f t tk kk k

k k k k++

+ +≈ +−

+11

1 12, ,

FIGURA 6.7


__________________________________________________________________________________

Reemplazando ( )φ tk por Yk y ( )φ tk k+ +1 1 por Y , en la relación anterior, y escribiendo el

resultado como una ecuación, obtenemos

( ) ( )[ ]Y Yh

f t Y f t Yk k k k k k+ + += + +1 1 12, , (6.8)

Como la incógnita Yk+1 aparece como uno de los argumentos en el segundo miembro de la

ecuación (6.8) (en este caso el método se dice implícito), lo que hará, por lo general, difícilde resolver esta ecuación para Yk+1 , reemplazamos Yk+1 en el segundo miembro de la

ecuación (6.8) por el valor que se obtuvo usando la fórmula de Euler sencilla (el método seconvierte en explícito), con lo que obtenemos

( ) ( )( )[ ]( )( )

tyyY

1m0,1,...,=k , Y,thfY,tfY,tf2

hYY

000

kkk1kkkk1k

==

−+++= ++ (6.9)

o equivalentemente

( )

( ) ( )[ ]( )( )

tyyY

Y,tfY,tf2

hYY

1m,...,1,0k

Y,thfYY

000

1k1kkkk1k

kkk1k

==

++=

−=+=

∗+++

∗+

(6.10)

La ecuación (6.9) o la ecuación (6.10) dan una fórmula para calcular ( )Y tk k+ +≈1 1φ en

términos de los datos en tk , y se conoce como fórmula de Euler mejorada o método

predictor-corrector de Euler.

Es mejorada, respecto a la fórmula de Euler sencilla, porque se puede demostrar que el

error local de fórmula es, en este caso, ( )O h3 como en la regla de los Trapecios, mientras

que en el de Euler es ( )O h2 , y el error total de fórmula es ( )O h2 , mientras que en Euler es

( )O h . De acuerdo con lo anterior, la fórmula de Euler-mejorada es de orden dos.

Observe que en la fórmula de Euler mejorada se obtiene una mayor exactitud a expensas deun trabajo de cálculo mayor, ya que para ir de tk a tk+1 hay que evaluar dos veces la función

( )f t y, .

Ejemplo 6.9 Consideremos el mismo P.V.I del ejemplo 6.6

( )

=

≤≤+=′

01y

2t1 ,etyt

2y t2


y usemos el método de Euler mejorado para aproximar ( )φ 12. , donde ( )y t= φ es solución

exacta del P.V.I. dado.

Si h =.1, entonces t0 1 210 11 12= = =. . ., t y t , así que debemos calcular Y2 .

( ) ( )Y y t y0 0 1 0= = =

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

φ≈=++=++=

==+=+=

∗

∗

113423778 2718282 ,11f0 ,01f2

10Y,tfY,tf

2

hYY

2718282 e1 0 ,01f1 0Y,thfYY

110001

0001

......

....

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

Y Y hf t Y f

Y Yh

f t Y f t Y f f

2 1 1 1

2 1 1 1 2 2

3423778 1 11 3423778 7681324

23423778

1

211 3423778 12 7681324

8583146 12 8666425

∗

∗

= + = + =

= + + = + +

= ≈ =

, ,

, , , ,

. . . . .

..

. . . .

. . .φ

El error real es ( )y Y12 8 3279 10 5 1023 2. .− = × < ×− − , lo que asegura una precisión de la

primera cifra decimal exacta en la aproximación obtenida (8).

Para h = .05 , se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 6.5.

De acuerdo con los resultados que aparecen en la TABLA 6.5, el valor calculadoY4 8642907=. aproxima al valor exacto ( )y 12 8666425. .= con dos cifras decimales exactas.

La FIGURA 6.8 muestra la gráfica de la solución del P.V.I. del ejemplo 6.9, junto con lospuntos ( )t Yk k, correspondientes a las aproximaciones obtenidas usando el método de Euler

mejorado, y que aparecen en la TABLA 6.5.

Compare los resultados obtenidos por el método de Euler mejorado con los obtenidos por elmétodo de Euler. Se observa alguna relación en los cálculos numéricos con respecto a losresultados teóricos esperados? ♦

Ejemplo 6.10 Para el P.V.I.

( ) sent ,

y

′ = + ≤ ≤=

−y e tt 0 1

0 0

si usamos el método de Euler mejorado con tamaño de paso h =.1 para resolver este P.V.I.,

en el intervalo indicado, se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 6.6. La

gráfica de la solución exacta de este P.V.I., ( )y t e t= − − +−cost 2 , junto con los puntos


__________________________________________________________________________________

( )t Yk k, corespondientes a las aproximaciones calculadas que aparecen en la TABLA 6.6, se

muestran en la FIGURA 6.9.


0 1.00 0 0 01 1.05 .1531932 .1536546 4 614 10 4. × −

2 1.10 .3449150 .3459199 10049 10 3. × −

3 1.15 .5801485 .5817824 16339 10 3. × −

4 1.20 .8642907 .8666425 2 3518 10 3. × −

5 1.25 1.2031831 1.2063455 3 1624 10 3. × −

6 1.30 1.6031459 1.6072151 4 0692 10 3. × −

7 1.35 2.0710137 2.0760894 5 0757 10 3. × −

8 1.40 2.6141742 2.6203596 6 1854 10 3. × −

9 1.45 3.2406089 3.2480107 7 4018 10 3. × −

10 1.50 3.9589377 3.9676663 8 7286 10 3. × −

11 1.55 4.7784656 4.7886350 .010169412 1.60 5.7092339 5.7209615 .011727613 1.65 6.7620734 6.7754803 .013406914 1.70 7.9486627 7.9638735 .015210815 1.75 9.2815897 9.2987326 .017144316 1.80 10.7744178 10.7936247 .019206917 1.85 12.4417567 12.4631628 .021406118 1.90 14.2993372 14.3230815 .023744319 1.95 16.3640929 16.3903179 .029086120 2.00 18.6542453 18.6830971 .0288518

TABLA 6.5


( )( )

,

y

′ = + ≤ ≤

= −

yt

y y t1

1 3

1 2

2

al usar el método de Euler mejorado con tamaño de paso h =.2 para resolver este P.V.I. en

el intervalo indicado, se obtienen los resultados que aparecen en la TABLA 6.7 .

La FIGURA 6.10 muestra la gráfica de la solución exacta de este P.V.I., junto con los puntos

( )t Yk k, , correspondientes a las aproximaciones obtenidas al aplicar el método de Euler

mejorado y que aparecen en la TABLA 6.7. ♦


FIGURA 6.8

k tk Yk

0 0 01 .1 .10023352 .2 .20133713 .3 .30402404 .4 .40882795 .5 .51611266 .6 .62608317 .7 .73879608 .8 .85417049 .9 .991999410 1.0 1.0919618

TABLA 6.6

6.3 MÉTODO DE LOS TRES PRIMEROS TÉRMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR

Si ( )y t= φ es la solución exacta del P.V.I. con solución única

( )( )

=≤≤=′

00

0

yty

Ttt ,y,tfy


__________________________________________________________________________________

y suponemos que ( )φ t tiene al menos las tres primeras derivadas continuas en el

intervalo de interés [ ]t T0, (equivalentemente ( )f t y, tiene segundas derivadas parciales

continuas), entonces usando la serie de Taylor con residuo para ( )φ t alrededor de tk ,

obtenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ φ φ φ ξt h t h th

th

k k k k k+ = + ′ + ′′ + ′′′2 3

2 3! ! (6.11)

donde t t h tk k k k< < + = +ξ 1 .

FIGURA 6.9

k tk Yk

0 1.0 00000002.−1 1.2 72000001.−2 1.4 56127251.−3 1.6 45953851.−4 1.8 38890511.−5 2.0 33704381.−6 2.2 29736481.−7 2.4 26603341.−8 2.6 24066931.−9 2.8 21971731.−10 3.0 20211931.−

TABLA 6.7

Como ( ) ( )( )′ =φ φt f t t, , entonces ( ) ( )( ) ( )( ) ( )′′ = + ′φ φ φ φt f t t f t t tt y, , , y por tanto


( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

′′ = + ′

= +

φ φ φ φ

φ φ φ

t f t t f t t t

f t t f t t f t t

k t k k y k k k

t k k y k k k k

, ,

, , ,

FIGURA 6.10

Reemplazando en la ecuación (6.11), ( )φ tk por su valor aproximado Yk , ( )′φ tk por su valor

aproximado ( )f t Y Yk k k, = ′ y ( )′′φ tk por su valor aproximado ( ) ( ) ( )f t Y f t Y f t Y Yt k k y k k k k k, , ,+ = ′′

y despreciando el término de error ( )hk

3

3!′′′φ ξ , obtenemos la siguiente fórmula para el valor

Yk+1 aproximación de ( ) ( )φ φt h tk k+ = +1 :

( )( )

tyyY

1m0,1,...,k ,Y2

hYhYY

000

k

2

kk1k

==

−=′′+′+=+ (6.12)

que se conoce como fórmula de los tres primeros términos de la serie de Taylor.

El error local en la fórmula (6.12) es

( ) ( ) con t t , k = 0,1,...,m 1 k k+1∈ = − = ′′′ < < −+ + +k k k k kt Y h1 1 131

6φ φ ξ ξ,


__________________________________________________________________________________

por lo tanto el error local es proporcional a h3 , como lo es para la fórmula de Euler mejorada,

es decir, ( )∈ = =k3O h , k 1,2,...,m . Entonces el error total debido a la fórmula (6.12) es

( )O h2 , así que este método es de orden dos.

Nota: La fórmula de los tres primeros términos de la serie de Taylor requiere el cálculo de

( )f t yt , y ( )f t yy , , y después la evaluación de estas funciones y de ( )f t y, en el punto ( )t Yk k, ,

cosa que en algunos problemas puede ser difícil o bastante tedioso de calcular. Si este es elcaso, puede ser mejor usar una fórmula con precisión comparable, como la fórmula de Eulermejorada, que no requiere de ( )f t yt , ni de ( )f t yy , .

Ejemplo 6.12 Si aplicamos el método de los tres primeros términos de la serie de Taylorpara obtener valores aproximados de la solución del P.V.I.

( )

dy

dt ty t e t

y

t= + ≤ ≤

=

21 2

1 0

2 ,

con tamaño de paso h =.1, se obtienen los resultados que aparecen en la TABLA 6.8

siguiente.

k tk Yk

0 1.0 01 1.1 .33978522 1.2 .85214343 1.3 1.58176954 1.4 2.58099665 1.5 3.91098466 1.6 5.64308107 1.7 7.86038168 1.8 10.65951459 1.9 14.152682110 2.0 18.4699945

TABLA 6.8


TAYLOR3( ( )f t y t y t y h m, , , , , , ,0 0 ): aproXima los valores Y Y Ym0 1, ,..., obtenidos al aplicar el

método de los tres primeros términos de la serie de Taylor al P.V.I. ( )

( )

dy

dtf t y

y t y

=

=

,

0 0

con m pasos

de tamaño h. Para el ejemplo anterior, aproXime la expresión

TAYLOR3( ( )21 0 0 1 102

ty t t t y+ exp , , , , , ,. ). ◊◊◊◊


Compare el valor obtenido ( )Y2 8521434 12= ≈. .φ , utilizando el método de los tres primeros

términos de la serie de Taylor, con el correspondiente valor obtenido por el método de Eulermejorado.

Veamos cuál es la fórmula de avance del método de los tres primeros términos de la serie deTaylor para este ejemplo.

Como ( )f t yt

y t et, = +2 2 , entonces ( )f t y

ty t e tet

t t, = − + +22

22 , ( )f t y

ty , =2 , así que la fórmula

de avance en el método de los tres primeros términos de la serie de Taylor, para este caso,es

Y Y hYh

Y

Y

k k k k+ = + ′ + ′′ =

= =

1

2

0

201 9

0 1

, , ,...,

,

k

h .

con

( )′ = = +Y f t Yt

Y t ek k kk

k ktk,

2 2

( ) ( ) ( )′′ = +

= − + + + ′

Y f t Y f t Y f t Y

tY t e t e

tY

k t k k y k k k k

kk k

tk

t

kk

k k

, , ,

22

22

2 ♦

Como ejercicio aplique la fórmula de los tres primeros términos de la serie de Taylor paraobtener valores aproximados de la solución exacta en cada uno de los P.V.I. dados en losejemplos anteriores.

Si se toman más términos en la serie de Taylor de la función ( )φ t alrededor del punto tk , se

obtienen fórmulas de mayor precisión. Es posible desarrollar fórmulas con la precisión de lasfórmulas de tres o más términos de la serie de Taylor, en las que no aparezcan derivadasparciales de ( )f t y, . El desarrollo de estas fórmulas lo inició Carl Runge (1.856-1.927) y lo

continuó G. Kutta (1.867-1.944), matemáticos aplicados alemanes.

6.4 MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

El método de Runge-Kutta se fundamenta en el método de la serie de Taylor, buscando laexactitud de este método pero sin tener que calcular derivadas parciales de la función

( )f t y, .

Existen métodos de Runge-Kutta de diferentes ordenes, el orden lo define el orden de laderivada en el término de la serie de Taylor donde ésta se corte.

Consideremos el P.V.I.( )

( )

=≤≤=′

00

0

yty

Ttt ,y,tfy


__________________________________________________________________________________

con solución única ( )y t= φ .

La fórmula de los tres primeros términos de la serie de Taylor es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

Y Y hYh

Y

Y hf t Yh

f t Y f t Y f t Y

Y h f t Yh

f t Y f t Y f t Y

k k k k

k k k t k k y k k k k

k k k t k k y k k k k

+ = + ′ + ′′

= + + +

= + + +

1

2

2

2

2

2

, , , ,

, , , ,

(6.13)

y consideremos la fórmula

( ) ( )( ) Y Y h af t Y bf t Y t Yk k k k k k k k+ = + + + +1 , , ,α β h hf (6.14)

donde a, b, y α β son constantes arbitrarias.

Se puede ver que la fórmula (6.14) es una generalización del método de Euler mejorado.

La ecuación (6.14) la podemos expresar en la forma

( )( )

Y Y aK bKhf t Y

hf t h Y Kk k

k k

k k+ = + +

=

= + +

1 1 2

1

2 1

con K

K

,

,α β (6.15)

que se conoce como fórmula general de Runge-Kutta de segundo orden.

El propósito es encontrar valores de las constantes a, b, y α β tales que la fórmula (6.15)

tenga la exactitud del método de los tres primeros términos de la serie de Taylor (fórmula(6.13)) sin tener que calcular derivadas de orden superior de la función ( )φ t .

Para esto procedemos así:

En la fórmula (6.15), en la parte que corresponde a K2 , hacemos el desarrollo en serie de

Taylor de orden dos para una función de dos variables, así

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

K hf t h Y K

h f t Y hf t Y K f t Y

h f t y h K f t y K f t y

k k

k k t k k y k k

t t t y y y

2 1

1

2 21

2121

22

= + +

= + +

+ + +

α β

α β

α α β β

,

, , ,

, , ,

para algún t entre t hk k y t + α y algún y entre Y Kk k y Y + β 1 .

Sustituyendo K1 y K2 en (6.15), obtenemos


[ ]Y Y ahf bh f hf hff h f h ff h f fk k t y t t t y y y+ = + + + + + + +

12 2 2 2 2 21

22α β α αβ β

y agrupando términos, llegamos a

( ) ( ) ( ) Yk k t y t t t y y yY a b hf bh f ffbh

f ff f f+ = + + + + + + +12

32 2 2

22α β α αβ β (6.16)

( f y sus derivadas parciales de primer orden evaluadas en el punto ( )t Yk k, ; f ft t t y, y fy y

evaluadas en el punto ( )t y, ) .

Comparando la ecuación (6.13) con la ecuación (6.16), término a término, hasta h2 ,obtenemos el siguiente sistema no-lineal de ecuaciones en las variables a, b, y α β :

a b+ =

=

=

1

1

21

2

b

b

α

β

sistema que tiene infinitas soluciones: a bb b

= − = = ∈ ≠11

2

1

20, , , y b bα β R .

Recordando la fórmula para el error local en el método de los tres primeros términos de laserie de Taylor y observando el residuo en la serie de Taylor en la ecuación (6.16), se tiene

que el error local en la fórmula general de Runge-Kutta de segundo orden es ( )O h3 y

entonces el error total debido a la fórmula es ( )O h2 .

Casos particulares:

1) Si b =1

2, entonces a =

1

2, α β= =1 , y obtenemos

( ) ( ) Y Y K K Y t Y hf t h Y Kk k k k k k k+ = + + = + + + +1 1 2 11

2

1

2

1

2 hf , ,

o sea

( ) ( )( ) ( )( )

tyyY

1m,...,1,0k , Y,thfY,tfY,tf2

hYY

000

kkk1kkkk1k

==

−=+++= ++

que es el método de Euler mejorado.

2) Si b = 1, entonces a = 0 , α β= =1

2, y entonces

Y Y K Y hf t h Y Kk k k k k+ = + = + + +

1 2 11

1

2

1

2,

o sea


__________________________________________________________________________________

( )

( )( )

tyyY

1m,...,1,0k , Y,thf2

1Y,h

2

1thfYY

000

kkkkk1k

==

−=

+++=+

que se conoce como método de Euler modificado o del punto medio.

3) Si b =3

4, entonces a =

1

4, α β= =

2

3, y entonces

( )

( ) ( )

Y Y K K

Y hf t Y hf t h Y K

Y hf t Y hf t h Y hf t Y

k k

k k k k k

k k k k k k k

+ = + +

= + + + +

= + + + +

1 1 2

1

1

4

3

4

1

4

3

4

2

3

2

3

1

4

3

4

2

3

2

3

, ,

, , ,

o sea

( ) ( )

( )( )

tyyY

1m,...,1,0k ,Y,thf3

2Y,h

3

2tf3Y,tf

4

hYY

000

kkkkkkk1k

==

−=

++++=+

que se conoce como método de Heun.

Los anteriores métodos están clasificados como métodos de Runge-Kutta de orden dos,que es el orden de su error total de fórmula.

Ejemplo 6.13 Si al P.V.I.

( ) ,

y

dy

dt ty t e tt= + ≤ ≤

=

21 2

1 0

2

le aplicamos el método de Heun con h =.05 , para aproximar la solución ( )ty φ= de este

P.V.I., obtenemos los resultados que se muestran en la TABLA 6.9.

Compare los resultados obtenidos por el método de Heun, para este ejemplo, con loscorrespondientes resultados obtenidos usando el método de Euler mejorado.

En la FIGURA 6.11 aparece la gráfica de la solución exacta ( ) ( )y t t e et= −2 del P.V.I. dado

en este ejemplo, junto con los puntos ( )t Yk k, correspondientes a las aproximaciones

calculadas usando el método de Heun, y que aparecen en la TABLA 6.9. ♦

Ejemplo 6.14 Si al P.V.I.

( )( )

y

′ = + ≤ ≤

= −

yt

y y t1

1 3

1 2

2 ,


le aplicamos el método de Heun para calcular valores aproximados de la solución exacta deeste P.V.I. con tamaño de paso h =.2 , obtenemos los resultados que aparecen en la TABLA

6.10. ♦


0 1.00 0 0 01 1.05 .1530888 .1536546 .00056582 1.10 .3446870 .3459199 .00123293 1.15 .5797752 .5817824 .00200724 1.20 .8637476 .8666425 .00289495 1.25 1.2024431 1.20633456 .00390256 1.30 1.6021788 1.6072150 .00503627 1.35 2.0697864 2.0760894 .00630308 1.40 2.6126498 2.6203597 .00770999 1.45 3.2387469 3.2480106 .009263710 1.50 3.9566938 3.9676664 .010972611 1.55 4.7757914 4.7886353 .012843912 1.60 5.7060762 5.7209616 .014885413 1.65 6.7583744 6.7754803 .017105814 1.70 7.9443594 7.9638734 .019514015 1.75 9.2766136 9.2987328 .022119216 1.80 10.7686946 10.7936249 .024930317 1.85 12.4352056 12.4631624 .027956818 1.90 14.2918711 14.3230820 .031210919 1.95 16.3556171 16.3903179 .034700920 2.00 18.6446577 18.6830978 .0384402

TABLA 6.9

k tk Yk

0 1.0 −2 0.1 1.2 −17317647.2 1.4 −15731911.3 1.6 −14700834.4 1.8 −13980664.5 2.0 −13450418.6 2.2 −13044170.7 2.4 −12723171.8 2.6 −12463225.9 2.8 −12248473.10 3.0 −12068097.

TABLA 6.10


__________________________________________________________________________________

Procediendo de manera similar al caso de los métodos de Runge-Kutta de orden dos, seobtendrá una fórmula de Runge-Kutta de orden tres (3), tomando la fórmula de los cuatroprimeros términos de la serie de Taylor

Y Y hYh

Yh

Yk k k k k+ = + ′ + ′′ + ′′′1

2 3

2 3! !

y considerando la fórmula general de Runge-Kutta de orden tres

( )( )( )

Y Y aK bK cK

K hf t Y

K hf t h Y K

K hf t h Y K

k k

k k

k k

k k

+ = + + +

=

= + +

= + +

1 1 2 3

1

2 1

3 2

con

,

,

,

α β

γ δ

FIGURA 6.11

Una de las fórmulas de Runge-Kutta de tercer orden viene dada por


( )( )

( )( )( )

tyyY

K2Y,hthfK

1m,...,1,0k , K2

1Y,h

2

1thfK

Y,thfK

con KK4K6

1YY

000

2kk3

1kk2

kk1

321k1k

==

++=

−=

++=

=

+++=+

La fórmula clásica de Runge-Kutta y que más se utiliza es equivalente a la fórmula de loscinco primeros términos de la serie de Taylor, o sea un método de Runge-Kutta de ordencuatro, y viene dada así

( )

( )

( )( )( )

tyyY

KY,hthfK

K2

1Y,h

2

1thfK

1m,...,1,0k

K2

1Y,h

2

1thfK

Y,thfK

con KK2K2K6

1YY

000

3kk4

2kk3

1kk2

kk1

4321k1k

==

++=

++=

−=

++=

=

++++=+

Este método tiene error local de fórmula de orden ( )O h5 y error total de orden ( )O h4 ,

siempre y cuando la solución ( )φ t del P.V.I. dado tenga las primeras cinco derivadas

continuas.

Algoritmo 6.2 (Runge-Kutta de orden cuatro) Para encontrar una aproximación discreta dela solución del P.V.I., con solución única

( )( )

t

y t

0

0

′ = ≤ ≤

=

y f t y t T

y

, ,

0

en m +1 números igualmente espaciados en el intervalo [ ]t T0, :

Entrada: La función ( )f t y, , los valores iniciales t0 0, y , el tamaño de paso h, y un entero m.

Salida: Aproximación Y de la solución ( )y t en los m +1 números

t t t h t t mh Tm0 1 0 0, ,...,= + = + = .

Paso 1: Hacer t t y= =0 0, Y .


__________________________________________________________________________________

Salida: ( )t Y, .

Paso 2: Para k m= 12, ,..., seguir los pasos 3-5:

Paso 3: Tomar

( )

( )

K hf t Y

K hf t h Y K

K hf t h Y K

K hf t h Y K

1

2 1

3 2

4 3

1

2

1

2

1

2

1

2

=

= + +

= + +

= + +

, ,

, ,

,

,

,

.

Paso 4: Tomar ( )Y Y K K K K= + + + +1

62 21 2 3 4 (calcula Yk )

t t kh= + (Calcula tk )

Paso 4: Salida: ( )t Y, .

Paso 5: Terminar.

Ejemplo 6.15 Usando el método de Runge-Kutta de orden cuatro para encontrar unaaproximación de la solución del P.V.I., con solución única

( ) ,

y

dy

dt ty t e tt= + ≤ ≤

=

21 2

1 0

2

con tamaño de paso h = .1, obtenemos los resultados que se muestran en la TABLA 6.11siguiente.


0 1.0 0 0 01 1.1 .3459103 .3459199 9 6 10 6. × −

2 1.2 .8666217 .8666425 2 08 10 5. × −

3 1.3 1.6071813 1.6072151 3 38 10 5. × −

4 1.4 2.6203113 2.6203596 4 83 10 5. × −

5 1.5 3.9676019 3.9676663 6 44 10 5. × −

6 1.6 5.7208793 5.7209615 8 22 10 5. × −

7 1.7 7.9637718 7.9638735 1017 10 4. × −

8 1.8 10.7935018 10.7936247 1229 10 4. × −

9 1.9 14.3229357 14.3230815 1458 10 4. × −

10 2.0 18.6829266 18.6830971 1705 10 4. × −

TABLA 6.11



RK( ( )[ ] [ ] [ ]f t y t y t y h m, , , , , , ,0 0 ): aproXima los valores Y Y Ym0 1, ,..., obtenidos al aplicar el

método de Runge-Kutta de cuarto orden al P.V.I. ( )

( )

dy

dtf t y

y t y

=

=

,

0 0

en m pasos de tamaño h.

Para el ejemplo anterior, aproXime la expresión RK( ( ) [ ] [ ]210 0 1 102

ty t t t y+

exp , , , , , ,. ). ◊◊◊◊

Veamos cómo se calcula la primera aproximación Y1 , aplicando el método de Runge-Kutta

de cuarto orden, al P.V.I. anterior.

( )Y Y K K K K1 0 1 2 3 41

62 2= + + + +

dondeY0 0=

( ) ( )K hf t Y f1 0 0 1 10 0 27182818= = =, ,. . .

K hf t h Y K f2 0 0 11

2

1

21 105

27182818

23409444= + +

=

=, ,. ..

.

K hf t h Y K f3 0 0 21

2

1

21 105

3409444

23475269= + +

=

=, . ..

.,

( ) ( )K hf t h Y K f4 0 0 3 1 11 3475269 4266908= + + = =, ,. . . .

Así que

( )( ) ( )( )( )Y1 01

62718281 2 3409444 2 3475269 4266908 3459103= + + + + =. . . . .

De acuerdo con los resultados de la TABLA 6.11, Y2 8666217= . aproxima al valor exacto

( )y 12 8666425. .= con una precisión de cuatro cifras decimales exactas.

Una gráfica de la solución exacta del P.V.I. dado, junto con los puntos ( )t Yk k,

correspondientes a las aproximaciones calculadas usando el método de Runge-Kutta deorden cuatro que aparecen en la TABLA 6.11, se muestran en la FIGURA 6.12. ♦


( )( )

,

y

′ = + ≤ ≤

= −

yt

y y t1

1 3

1 2

2


__________________________________________________________________________________

el método de Runge-Kutta de orden cuatro con h = .2 , produce los resultados que semuestran en la TABLA 6.12.

Una gráfica de la solución exacta ( )y tt

t=

−2

1 2 del P.V.I. del ejemplo 6.16, junto con los

puntos ( )t Yk k, correspondientes a las aproximaciones calculadas que aparecen en la

TABLA 6.12, se muestran en la FIGURA 6.13. ♦

FIGURA 6.12

k tk Yk

0 1.0 −2 0.1 1.2 −17142452.2 1.4 −15555229.


3 1.6 −14545197.4 1.8 −13845945.5 2.0 −13333159.6 2.2 −12941027.7 2.4 −12631448.8 2.6 −12380836.9 2.8 −12173809.10 3.0 −11999905.

TABLA 6.12

FIGURA 6.13

Ejemplo 6.17 Use el método de Runge-Kutta de orden cuatro para aproximar lasolución exacta del P.V.I.

( ) ( )

t lnt ,

y ,

2 32 2 1 15

1 1 1 0

′′ − ′ + = ≤ ≤= ′ =

y ty y t t

y

.

tomando h =.05 .

Solución: Empezamos despejando ′′y en la ecuación diferencial dada

t2 32 2′′ − ′ + =y ty y t tln


__________________________________________________________________________________

lo que nos da

t′′ = ′ − + ≠yt

yt

y t t2 2

02

ln ,

Ahora transformamos el P.V.I. dado en el siguiente sistema de ecuacionesdiferenciales de primer orden con condición inicial, introduciendo las variablesy y y1 2= = ′, y :

( ) ( )

y y

′ =≤ ≤

′ = − + +

= =

y y

t

yt

yt

y t t

1 2

2 2 1 2

1 2

1 15

2 2

1 1 1 0

,

ln ,

,

.

(6.17)

Este sistema es de la forma

( )

( )

( ) ( )

,

t

y y

0

′ =

≤ ≤

′ =

= =

y f t y y

t T

y f t y y

t y t y

1 1 1 2

2 2 1 2

1 0 10 2 0 2 0

, ,

, , ,

,, ,

con

( ) ( ) f f y , y1,0 2,01 1 2 2 2 1 2 2 1 22 2

1 0t y y y t y yt

yt

y t t ,, , , , , ln= = − + + = =

Ahora aplicamos el método de Runge-Kutta de orden cuatro a cada una de lasecuaciones del sistema, así:

Para ( )( )′ = =y y f t y y1 2 1 1 2 , , :

( )Y01

1= , que es la condición inicial para la función incógnita y1

Para ( )( )′ = − + + =yt

yt

y t t f t y y2 2 1 2 2 1 22 2

ln , , :

( )Y02

0= , que es la condición inicial para la función incógnita y2


En esta notación el superíndice hace referencia al subíndice de la función incógnita,es decir, superíndice 1 para la función incógnita y1 , y superíndice 2 para la función

incógnita y2 .

Para calcular la primera aproximación

( )Y11

, para la función incógnita y1

y( )Y12

, para la función incógnita y2

procedemos así:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

K hf t Y Y f

K hf t Y Y f

11

1 0 01

02

1

12

2 0 01

02

2 2

05 10 10 0 05 0 0

05 10 10 0 052

1010

2

100 10 10 1

=

= = =

=

= = − + +

= −

, , , ,

, , , , ln

. . . .

. . . ..

..

. . .

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

K hf th

YK

YK

f

K hf th

YK

YK

f

21

1 0 01 1

1

02 1

2

13

22

2 0 01 1

1

02 1

2

2

2 2 205 1025 10 05 2 5 10

2 2 205 1025 10 05 098793992

= + + +

= − = − ×

= + + +

= − = −

−, , , ,

, , , ,

. . . . .

. . . . .

( ) ( )( )

( )( )

( )K hf th

YK

YK

f31

1 0 01 2

1

02 2

2

1

3

2 2 205 1025 99875 049396996

2 4698498 10

= + + +

= −

= − × −

, , , , . . . .

.

( ) ( )( )

( )( )

( )K hf th

YK

YK

f32

2 0 01 2

1

02 2

2

22 2 205 1025 99875 049396996

09861618555

= + + +

= −

= −

, , , , . . . .

.


__________________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

K hf t Y K Y K f

K hf t Y K Y K f

41

1 1 01

31

02

32

1

3

42

2 1 01

31

02

32

2

05 105 9975301502 09861618555

4 930809278 10

05 105 9975301502 09861618555

09730945925

= + +

= −

= − ×

= + +

= −

= −

−

, , , ,

, , , ,

. . . .

.

. . . .

.

Entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

9975215819

109308092784104698498221052206

101

KK2K2K6

1YY

333

14

13

12

11

10

11

.

....

=

×−×−+×−++=

++++=

−−−

y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

Y Y K K K K12

02

12

22

32

421

62 2

01

61 2 098793992 2 099861618555 09730945925

09868830239

= + + + +

= + − + − + − −

= −

. . . .

.

Si aplicamos el método de Runge-Kutta de cuarto orden al P.V.I. dado, se obtienenlos resultados que se muestran en la TABLA 6.13 siguiente.

k tk ( )Yk1 ( )Yk

2

0 1.0 1.0 01 1.05 .9975216 −.09868830

2 1.10 .9901789 −.1945121

3 1.15 .9781239 −.2871223

4 1.20 .9615257 −.3761856

5 1.25 .9405698 −.4613824

6 1.30 .9154570 −.5424067

7 1.35 .8864035 −.6189642

8 1.40 .8536397 −.6907718

9 1.45 .8174100 −.7575566

10 1.50 .7779722 −.8190555

TABLA 6.13

Las aproximaciones de la solución exacta


( ) y t tt

t t= + −7

4 2

3

4

33ln

del P.V.I. dado, corresponden a los valores ( )Yk1

que aparecen listados en la terceracolumna de la TABLA 6.13.

Instrucciones en DERIVE:

RK( ( ) ( )[ ] [ ] [ ]f t y y f t y y t y y t y y h m1 1 2 2 1 2 1 2 0 10 2 0, , , , , , , , , , , , ,, , ): aproXima a una matriz de 3

columnas y m +1 filas, donde cada fila es de la forma ( ) ( )t Y Yk k k, ,1 2

, siendo

( ) ( )Y y tk k1

1≈ y ( ) ( )Y y tk k2

2≈ los valores obtenidos al aplicar el método de Ringe-Kutta

de cuarto orden al sistema

( )( )

( ) ( )

′ =

′ =

= =

y f t y y

y f t y y

y t y t y

1 1 1 2

2 2 1 2

1 0 10 2 0 2 0

, ,

, ,

,, , y

con m pasos de tamaño h. Para el ejemplo anterior, aproXime la expresión

[ ] [ ]

+− 10,050,0,1,1,z,y,t,tlnty

t

2z

t

2,zRK

2. . Si desea graficar los puntos

( )t Yk k,1

y/o los puntos ( )t Yk k,2

, correspondientes a las aproximaciones obtenidas, la siguiente

instrucción puede ser utilizada:

EXTRACT_2_COLUMNS(M, j, l): Simplifica en una matriz formada por lascolumnas j y l de la matriz M. ◊◊◊◊

Es claro que cualquiera de los métodos estudiados se puede aplicar para un sistema deecuaciones diferenciales de primer orden del tipo (6.2). Como ejemplo veamos comose escribiría el método de Runge-Kutta de cuarto orden para el sistema (6.17):

( ) ( )

y y

′ =≤ ≤

′ = − + +

= =

y y

t

yt

yt

y t t

1 2

2 2 1 2

1 2

1 15

2 2

1 1 1 0

,

ln ,

,

.

Este sistema se puede escribir en forma vectorial como sigue


__________________________________________________________________________________

( )( )

′′

= − + +

≤ ≤

=

y

y

y

ty

ty t t

t

y

y

1

2

2

2 1 2

1

2

2 2 1 15

1

1

1

0

ln, .

( )

( )

=

≤≤⇔

′

0

11

51t1 ,t,

Y

YFY .=

y entonces la forma vectorial del método de Runge-Kutta de cuarto orden paraaproximar la solución del P.V.I. vectorial del ejemplo 6.17, es

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

+

+

+

+

=

+

+

+

%#"%#"%#"%#"%#"%#"

4

24

14

3

23

13

2

22

12

1

21

11

k

2k

1k

1k

21k

11k

K

K

K

K2

K

K2

K

K

6

1

Y

Y

Y

Y

KKKKYY

donde

( )( )

( ) ( )

++−==kk

2k

k

1k2

k

2k

kk1 tlntYt

2Y

t

2Y

h,th YFK

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+

++

+

+

+

+

+

−

+

=

++=

h2

1tlnh

2

1tK

2

1Y

h2

1t

2K

2

1Y

h2

1t

2

K2

1Y

h

2

1,h

2

1th

kk2

12

k

k

11

1k2

k

21

2k

1kk2 KYFK

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+

++

+

+

+

+

+

−

+

=

++=

h2

1tlnh

2

1tK

2

1Y

h2

1t

2K

2

1Y

h2

1t

2

K2

1Y

h

2

1,h

2

1th

kk2

22

k

k

12

1k2

k

22

2k

2kk3 KYFK


( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

+++++

+++

−

+=

++=

htlnhtKYht

2KY

ht

2KY

h

,hth

kk2

32

kk

13

1k2

k

23

2k

3kk4 KYFK

♦

Como ejercicio use la forma vectorial del método de Runge-Kutta de orden cuatropara calcular las aproximaciones de la solución exacta del P.V.I. del ejemplo 6.17.

TALLER 6.

1. Use el teorema 6.1 para demostrar que el P.V.I.

( )′ =

=

y tany

y 0 0

tiene una solución en el intervalo t ≤ π4

.

2. Use cada uno de los teoremas 6.1, 6.2, 6.3 y 6.4 para predecir dónde tiene soluciónel siguiente P.V.I., y luego resuélvalo explícitamente para comparar la teoría conlos hechos:

( )′ =

=

y y

y

2

0 1

3. Demuestre que el P.V.I.

( )′ = +

=

y y

y

1

0 0

2

tiene una solución en el intervalo [ ]−11, . Pruebe que este ejemplo no satisface la

hipótesis del teorema 6.4. Explique por qué este ejemplo no contradice al teorema6.4.


__________________________________________________________________________________

4. Encuentre un intervalo para el cual se pueda asegurar que el P.V.I.

( )′ =

=

y y

y

sec

0 0

tiene una única solución.

5. Use el teorema 6.4 para demostrar que cada uno de los siguientes P.V.I. tienensolución única en el intervalo [ ]01, :

i) ( )′ =

=

y y t

y

cos

0 1 ii) ( )

( )′ = +

=

y t ty

y

1

0 0

sen

6. Verifique que ( )y tt

1

2

4= − y ( )y t t2 1= − son soluciones del P.V.I.

( )2 4

2 1

2′ = + −

= −

y t y t

y

Por qué no contradice este hecho al teorema 6.2?

7. Para cada una de las funciones ( )f t y, siguientes

i) ( )f t y t y, = +2 1 ii) ( )f t y tan y, = −1

iii) ( )f t y ty, = iv) ( )f t y tyt

y, = − +

4

a) Satisface f una condición de Lipschitz en la segunda variable y en el dominio

( ) / D = ≤ ≤ − ∞ < < ∞t y t y, , ?0 1

b) Determine si el P.V.I.( )

( )

y

′ = ≤ ≤

=

y f t y t, , 0 1

0 1


tiene solución única.8. a) Demuestre que cada uno de los siguientes problemas de valor inicial tiene

solución única

a) ( )

y

′ = ≤ ≤=

y y t tcos , 0 1

0 1b)

( )( )

y

′ = + ≤ ≤

=

y t ty t1 0 1

0 0

sen ,

b) Use dos pasos de los métodos de Euler, Euler mejorado, Heun, Taylor de ordendos y método de Runge-Kutta de orden cuatro para aproximar ( )y 0 2. .

9. Considere el P.V.I.

( )

y

′ = − ≤ ≤=

y y t10 0 2

0 1

,

el cual tiene solución exacta ( )y t e t= −10 . Qué pasa cuando el método de Euler se

aplica a este problema con tamaño de paso h = .1?

10. Encuentre valores aproximados de la solución de cada uno de los siguientesproblemas de valor inicial, usando el método de los tres primeros términos de laserie de Taylor y el método de Runge-Kutta de orden cuatro con tamaño de pasoh = =. .5 25 y h . Haga una gráfica que muestre los puntos ( )t Yk k, correspondientes

a las aproximaciones calculadas y la gráfica de la solución exacta. Discuta susresultados.

a) ( )

y

′ = − ≤ ≤=

y y t2 0 4

0 1

, con solución exacta ( )y t

t=

+1

1

b) ( )

y

′ = − + ≤ ≤=

y y t t2 0 4

0 1

cos , con solución exacta ( )y t t t= +sen cos

c) ( )

y

′ = − ≤ ≤=

y y t t2 0 4

0 1

sen , con solución exacta ( )y t t t= +sen cos


__________________________________________________________________________________

11. Un proyectil de masa m = 0 11. Kgrs. se lanza verticalmente hacia arriba desde elsuelo con una velocidad inicial ( )v m seg0 8= ./ . y se va frenando debido a la fuerza

de la gravedad F mgg = − y a la resistencia del aire F kvr = − 2 , donde

g m seg= 9 8 2. ./ . y k kg m= 0 002. ./ .

a) Demuestre que la ecuación diferencial para la velocidad ( )tv del proyectil encada instante t es

( ) ( )( )( )( )

+−

−−=′

bajando está proyectil el mientras ,tvkmg

subiendo está proyectil el mientras ,tvkmgtvm

2

2

b) Demuestre que el problema de valor inicial

( ) ( )( )

=

≤≤−−=′

080v

Tt0 ,tvtvm

kgv

.

correspondiente a la situación descrita en el enunciado tiene solución única enel intervalo [ ]T,0 , siendo T el tiempo que tarda el proyectil en caer.

c) Utilice el método de Runge-Kutta de cuarto orden para estimar la velocidad delproyectil en cada uno de los instantes .1, .2, .3,..., 1.0 segundos, tomandotamaño de paso 1h .= .

d) Estime el tiempo para el cual el proyectil alcanza la altura máxima y empieza acaer.

e) Estime la altura máxima alcanzada por el proyectil.

12. a) Convierta cada uno de los siguientes problemas de valor inicial en un sistemade ecuaciones diferenciales de primer orden con condición inicial

i) ( ) ( ) ( )

y

′′′ + ′′ + ′ + = − − ≤ ≤= ′ = ′′ = −

y y y y t t t

y y

4 5 2 4 2 0 1

0 1 0 0 0 1

sen cos ,

, ,

ii)

( ) ( )

y

′′ + ′ + = ≤ ≤= ′ = −

y ty t y e t

y

t2 0 1

0 1 0 1

2 ,

,


b) Use el método de Euler, el método de los tres priemros términos de la serie deTaylor y el método de Runge-Kutta de cuarto orden para aproximar la solución

( )y t de cada uno de los P.V.I. dados en i) y ii), usando tamaño de paso h = .1 .

13. Considere el problema de valor inicial

( )

y

′ = ≤ ≤=

−y e tt2

0 1

0 0

,

a) Demuestre que el P.V.I. dado tiene solución única.

b) Verifique que ( )y t e dsst

= −∫2

0

es la solución del P.V.I. dado.

c) Use la regla de integración numérica de los Trapecios con h = .25 para

aproximar la solución ( )y t , dada en b), en los puntos

t1 2 3 425 50 75 10= = = =. . . ., , t t y t .

d) Use el método de los tres primeros términos de la serie de Taylor con tamañode paso h = .25 para aproximar la solución ( )y t , dada en b), en los puntos

t1 0 25= . , t2 0 50= . , t3 0 75= . , y t4 10= . .

e) Encuentre el polinomio interpolante de Newton (diferencias divididas) para la

función ( )f x e x= − 2

en [0,10]. usando como nodos 0, .25, .50, .75, 1.0 y úselo

para aproximar e dxx−∫2

0

1 0.

.

f) Compare los resultados obtenidos en c), d) y e).

Capítulo 6. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE P.V.I. Y P.V.F. PARA E.D.O. 323 __________________________________________________________________________________

PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA (P.V.F.) Hasta aquí se han considerado problemas de valor inicial (P.V.I.) para ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.), es decir, problemas de E.D.O. donde se especifican condiciones sobre la solución de la ecuación diferencial en un mismo punto llamado punto inicial (condiciones iniciales). Ahora se considerarán E.D.O. donde se imponen condiciones sobre la solución desconocida es más de un punto. Tales problemas son llamados problemas de valores en la frontera (P.V.F.) o problemas de contorno. Se considerará únicamente el caso de un P.V.F. de segundo orden con dos puntos, de la forma general:

(1) ( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

==<∈′=′′

.F.CfronteradesCondicione:βby ,αayba b,at,y,y,tfy

La frontera en este caso es el conjunto b,a . ¿Qué puede decirse de la existencia y unicidad de solución para un P.V.F. del tipo (1)? Veamos algunos ejemplos:

1) ( ) ( )⎩⎨⎧

===′′

11y,10yyy

La solución general de la ecuación diferencial yy =′′ es ( ) tt eBeAty −+= , A y B constantes arbitrarias.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=′′==

±=⇔=−⇔=⇔=′′=′′=− y.y de resparticcula soluciones son ety ,ety queasí

;1λ0e1λeeλyyqueasí,eλty,etyt

2t

1

tλ2tλtλ2tλ2tλ

Tratamos ahora de encontrar valores de A y B de modo que se satisfagan las condiciones de frontera:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=

=+=− 1eBeA1y

1BA0y11

Este sistema tiene solución única e1

eB ,e1

1A+

=+

= , así que

( ) tt ee1

eee1

1ty −

++

+= es solución en [ ]1,0 del P.V.F. dado. ¿Existirá otra

solución?

2) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=′′

42πy,20y

yy

324 MÉTODOS NUMÉRICOS __________________________________________________________________________________

La solución general de la ecuación diferencial yy −=′′ es ( ) ( ) (tsenBtcosAty + )= , A y B constantes arbitrarias. ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (tsenitcosety,tsenitcosety,iλ01λ ti

2ti

12 −==+==±=⇒=+ − )

son soluciones particulares complejas de la ecuación diferencial ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tytsen

i2ty

;tytcos2

tyty ;yy 2

11

21 ====+

−=′′ son soluciones

particulares reales de la ecuación diferencial yy −=′′ )

Determinemos A y B, si es posible, para que se satisfagan la condiciones de frontera

( ) 4B2πy ,2A0y ==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛== . Luego ( ) ( ) ( )tsen4tcos2ty1 += es solución en

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2π,0 del P.V.F. dado. ¿Existirá otra solución?

3) ( ) ( )⎩⎨⎧

==−=′′

4πy,20yyy

La solución general de la ecuación diferencial yy −=′′ es ( ) ( ) tsenBtcosAty + ( )= , A y B constantes arbitrarias. Para que se satisfagan las condiciones de frontera debe tenerse

y , lo cual es imposible. Así que el P.V.F. dado no tiene solución. ( ) 2A0y == ( ) 4Aπy =−=

4) ( ) ( )⎩⎨⎧

==−=′′

βπy,α0yyy

La solución general de la ecuación diferencial yy −=′′ es ( ) ( ) tsenBtcosAty + ( )= , A y B constantes arbitrarias. Para que se satisfagan las condiciones de frontera debe tenerse que y ( ) αA0y == ( ) βAπy =−= ; así que para que este P.V.F. tenga solución debe ser , y si esto ocurre, βα −= ( ) ( ) ( )tsenBtcosαty += , B constante arbitraria, es solución en del P.V.F. dado. [ π,0 ]

Los ejemplos anteriores muestran diversas posibilidades en cuanto a existencia y unicidad de solución de un P.V.F. del tipo (1). Usaremos el siguiente teorema de existencia y unicidad. Teorema 6.5 Supongamos que la función ( )z,y,tf y las derivadas parciales

( ) ( ) ( ) ( z,y,tfz

z,y,tf,z,y,tfy

z,y,tf zy ∂∂

=∂∂

= ) son continuas en la región

( ) +∞<<∞−≤≤= z,y,bta/z,y,tR Si además, para todo ( ) 0z,y,tfy > ( ) R∈z,y,t , y existe una constante tal que 0M >

( ) Mz,y,tfz ≤ para todo ( , entonces el P.V.F. ) R∈z,y,t


( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

==

′≡′=′′

βby ,αayyzy,y,tfy

tiene solución única con ( )ty [ ]b,at∈ . Ejemplo 6.18 Para el P.V.F.

( ) ( )⎩⎨⎧

===′′

11y ,10yyy

se tiene que ( ) ( ) ( ) 0z,y,tfy

,1z,y,tfy

,yz,y,tf =∂∂

=∂∂

= que son continuas en

. ( ) ∞+<<∞−≤≤= z,y,1t0/z,y,tR

Además, ( ) 01z,y,tfy

>=∂∂ para todo ( ) R∈z,y,t y ( ) M0z,y,tf

z≤=

∂∂ para todo

(cualquiera sea ). Así que el P.V.F. dado tiene solución única en [ ]. ( ) R∈z,y,t 0M ≥ 1,0

Tal solución es ( ) [ ]1,0t,ee1

1ee1

1ty tt ∈+

++

= − .

Estudiaremos algunos métodos numéricos para “aproximar“ la solución de un P.V.F. de la forma

( )ty

( 1 ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

==

′=′′

βby,αayy,y,tfy

con solución única en [ ]. b,a 6.5 MÉTODO SHOOTING O DEL DISPARO Considere el P.V.F. de dos puntos general

( 1 ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

==

′=′′

βby,αayy,y,tfy

con solución única . ( ) [ ]b,at,ty ∈

Una manera de calcular la solución ( )ty de este P.V.F. es relacionando este problema con un P.V.I. del tipo

( 2 ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

=′=

′=′′

zay,αayy,y,tfy


donde z es un valor propuesto, esperando que si ( )tyz es la solución del P.V.I. ( 2 ) se cumpla que , de esta manera ( ) βbyz = ( )ty z sería la solución del P.V.F. ( 1 ) . Observar la siguiente figura:

Si el valor propuesto no satisface la condición z ( ) βbyz = , proponemos un nuevo valor y resolvemos el correspondiente P.V.I.

z

La idea general es definir una función

( ) ( ) βbyzφ z −= y encontrar z de modo que . El problema visto de esta manera se convierte en un problema de búsqueda de la raíz de una ecuación, ecuación que en general es no-lineal.

( ) 0zφ =

Este método para resolver el P.V.F. ( 1 ) se conoce como MÉTODO SHOOTING o DEL DISPARO.

Estudiaremos el siguiente caso especial: CASO LINEAL: Consideramos el P.V.F. de dos puntos lineal:

(3) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )⎩⎨⎧

==

′≡++′=′′

βby,αayy,y,tftrytqytpy

donde suponemos que y ( ) ( )tq,tp ( )tr son continuas en [ ]b,a (lo que garantiza, en

particular, que ( ) ( )[ ]

( ) tpMáxMtpz,y,tfz b,at

yz∈

′≡↑

=≤=∂∂ . Si ( ) 0tq > , entonces el

P.V.F. (3) tiene solución única en , según teorema de existencia y unicidad). [ b,a ] El método Shooting, para este caso, consiste en proponer dos valores de , es decir, consideramos los siguientes dos P.V.I. asociados con el P.V.F. dado:

z

( a ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=′=++′=′′

.I.Czay ,αaytrytqytpy

1


( b ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=′=++′=′′

.I.Czay ,αaytrytqytpy

2

Si es la solución del P.V.I. ( a ) y ( )ty1 ( )ty2 es la solución del P.V.I. ( b ), entonces la combinación lineal:

( ) ( ) ( ) ( )tyλ1tyλtg 21 −+= donde λ es un parámetro real, es también solución de la ecuación diferencial del P.V.F. dado, porque:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( )trtyλ1tyλtqtyλ1tyλtptrtytqtytpλ1trtytqtytpλ

tyλ1tyλtg

tg21

tg21

2211

21

+−++′−+′=++′−+++′=

′′−+′′=′′

′4444 34444 214444 34444 21

Además, la solución toma los siguientes valores en la frontera del intervalo [ ] : ( )tg b,a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ααλ1αλayλ1ayλag 21 =−+=−+= ( ) ( ) ( ) ( )byλ1byλbg 21 −+=

La pregunta inmediata es, existirá tal que λ ( ) βbg = ? Es decir, la función resolverá el P.V.F. dado para algún valor de ? Para responder esta pregunta basta resolver la ecuación:

( )tgλ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )byβbybyλβbyλ1byλβbg 22121 −=−⇔=−+⇔= Resolviendo la ecuación anterior, siempre que ( ) ( ) 0byby 21 ≠− , se obtiene

( )( ) ( ) byby

byβλ

21

2

−−

=

Por lo tanto, si ( ) ( ) 0byby 21 ≠− , la solución única del P.V.F. dado es

( ) ( ) ( ) ( )tyλ1tyλtg 21 −+= con ( )

( ) ( )bybybyβλ21

2

−−

=

Para el caso , se tiene que ( ) ( ) 0byby 21 =− ( )ty2 o ( )ty1 es, en sí misma, una solución del P.V.F. dado, pues ( ) 0byβ 2 =− , siempre que el P.V.F. ( 3 ) tenga solución (usando teoría de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden). Para aplicar este método Shooting, usando el computador procedemos como sigue: Consideramos dos P.V.I. asociados con el P.V.F. dado, que pueden ser


a) b) ( ) ( ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

=′=++′=′′

0ay ,αaytrytqytpy ( ) ( ) (

( ) ( )⎩⎨⎧

=′=++′=′′

1ay ,αaytrytqytpy )

Aplicamos un método numérico, como por ejemplo Runge-Kutta de orden cuatro, para aproximar la solución del P.V.I. a) y ( )ty1 ( )ty2 del P.V.I. b), en los puntos igualmente espaciados:

m

abh con tb,,thka,,tha,ta mk10−

===+=+= ......

Digamos que tales valores aproximados son , es decir, k,2k,1 Y,Y

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≈=

≈

k2k,2

k1k,1

tyYm,,1,0k

tyY

...

En particular,

( ) ( )( ) (bytyY

bytyY

2m2m,2

1m1m,1

=≈ )=≈

Si , entonces definimos m,2m,1 YY ≠m,2m,1

m,2

YYYβ

λ−

−= y calculamos los valores

( ) ( )kk,2k,1k tyYλ1YλY ≈−+=

siendo la solución del P.V.F. dado. ( )ty Si , tomamos como valores aproximados de m,2m,1 YY ≈ ( )kty a los valores ( o ). k,1Y k,2Y Ejemplo 6.19 Usemos el método del disparo en el caso lineal para aproximar la solución

del siguiente P.V.F. en los puntos ( )ty 10,,1,0k,hktk ...== con 10101h .== :

( ) ( )⎩⎨⎧

===′′

11y ,10yyy

(La única solución del P.V.F. dado es ( ) [ ]1,0t ,ee1

eee1

1ty tt ∈+

++

= − ).

Solución: Para aplicar el método Shooting, planteamos los siguientes dos P.V.I. asociados con el P.V.F dado:

a) b) ( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=′==′′

00y ,10yyy

( )⎩⎨⎧

=′==′′

10y,10yyy


Observe que estos dos P.V.I. tienen solución única ( ) tt1 e

21e

21ty −+= para el P.V.I. a) y

para el P.V.I. b). ( ) t2 ety =

( , ( ) tt eBeAty −+= ( ) 1BA0y =+= , ( ) tt eBeAty −−=′ , ( ) 0BA0y =−=′ , entonces

B21A == , lo que produce ( ) tt

1 e21e

21ty −+= que es la solución del P.V.I. a). Para el

P.V.I. b) se tiene que ( ) 1BA0y =+= , ( ) 1BA0y =−=′ , entonces 1A = , , así que

es la solución del P.V.I. b)).

0B =

( ) t2 ety =

Si aplicamos el método de Runge-Kutta de orden cuatro para aproximar la solución de cada uno de los dos P.V.I., se obtiene:

( ) ( )( ) ( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

====

=′=′

⇒⎭⎬⎫′=

=

)b .I.V.P el para 10y,10y)a .I.V.P el para 00y,10y

yyyy

yyyy

21

21

12

21

2

1

(La instrucción en DERIVE para el P.V.I. a) es [ ] [ ] [ ]( )10,10,0,1,0,z,y,t,y,zRK .

k kt ( )k1k,1 tyY ≈ ( )k2k,2 tyY ≈

0 0 1 1 1 0.1 1.00500 1.10517 2 0.2 1.02006 1.22140 3 0.3 1.04533 1.34985 4 0.4 1.08107 1.49182 5 0.5 1.12762 1.64872 6 0.6 1.18546 1.82211 7 0.7 1.25516 2.01375 8 0.8 1.33743 2.22553 9 0.9 1.43308 2.45960 10 1.0 ( )1y543071 1≈. ( )1y182772 2≈.

Observamos que 718272Yy543071Y 10,210,1 .. ≈≈ , y como , entonces calculamos

2,1010,1 Y Y ≠

( )( ) ( ) 462101

7182725430417182721

bybybyβ

λ21

2 ...

.=

−−

=−

−=

así que λ462101λ ≈= . , con lo cual

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1,0t,ty4621011ty462101tg 21 ∈−+≈ .. es decir,

( ) ( ) ( )tyty462100ty462101 21 ≈− .. : solución del P.V.I. dado.


Los valores que aparecen en la siguiente tabla se calcularon con base en la fórmula: kY

( ) 10,,1,0k,tyY462100Y462101Y kk,2k,1k ..... =≈−= Haciendo los cálculos indicados, se obtiene:

k kt kY ( )kty ( ) kk Yty −

0 0 1 1 0 1 0.1 0.958711 0.958715 610x4 − 2 0.2 0.927020 0.927025 610x5 − 3 0.3 0.904611 0.904614 610x3 − 4 0.4 0.891262 0.891256 610x6 − 5 0.5 0.886819 0.886818 610− 6 0.6 0.891264 0.891256 610x8 − 7 0.7 0.904615 0.904614 610− 8 0.8 0.927038 0.927025 510x31 −. 9 0.9 0.958725 0.958715 510− 10 10 1.00001 1 510−

( [ ]( ) ( ) [ ]( 2COL**#λ12COL*#λ −+ ) produce los valores , y luego

produce: kY

( )( ) ≈10,1,0,t,tyTABLE .

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0101

10

***#

tyt kk

..

y se hace # * * * COL [ 2 ], y luego se hace la resta con la columna que produce los valores

). kY En la siguiente gráfica aparece la gráfica de la solución

( ) [ 1,0t ,ee1

eee1

1ty tt ∈+

++

= − ] del P.V.F. dado junto con los puntos

correspondientes a los valores obtenidos mediante la aplicación del método del disparo.

( )kk Y,t

kY


6.6 MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS Supongamos que queremos aproximar la solución ( )ty de un P.V.F. de dos puntos general

( )( ) ( )⎩

⎨⎧

==

′=′′

βby,αayy,y,tfy

Una forma de hacerlo es aproximando las derivadas ( )ty′ y ( )ty ′′ a partir de expresiones como las siguientes:

1) ( ) ( ) ( ) ( ) ξξ′′−−+

=′ ,y2h

htyhtyty entre t y ht +

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ′′−−−

=′ ,y2h

hhtytyty entre t y ht −

3) ( ) ( ) ( ) ( ) ξξ′′′−−−+

=′ ,y6

hh2

htyhtyty2

entre ht − y ht +

4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ−−+−+

=′′ ,y12h

hhtyty2htyty iv

2

2entre ht − y ht +

Veamos como se obtienen las expresiones 3) y 4) (las demás se dejan como ejercicio). Por teorema de Taylor aplicado a la función ( )ty , asumiendo ( )ty analítica en , se obtiene:

[ b,a ]

5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ht y t entre ,y!3

hty!2

htyhtyhty 1

error o residuo

1

32+ξξ′′′+′′+′+=+

43421

6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t y ht entre ,y!3

hty!2

htyhtyhty 2

error o residuo

2

32−ξξ′′′−′′+′−=−

43421


Restando miembro a miembro las ecuaciones 5) y 6) se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

444 3444 21ξ′′′

ξ′′′+ξ′′′+′=−−+y2

21

3yy

!3htyh2htyhty

(la igualdad ( ) ( ) ( )ξ′′′=ξ′′′+ξ′′′ y2yy 21 se obtiene aplicando el Teorema del valor intermedio, asumiendo continuidad de ( ) [ ]b,at ,ty ∈′′′ ). Despejando en la ecuación anterior, se obtiene: ( )ty′

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]b,a,y6

hh2

htyhtyty2

∈ξξ′′′−−−+

=′

Como es continua en , entonces existe tal que ( )ty ′′′ [ b,a ] 0M > ( ) Mty ≤′′′ para todo

, así que [ b,at∈ ]

( ) ( ) ( )6Mh

h2htyhtyty 2≤

−−+−′ para todo [ ]b,at∈

lo cual se indica escribiendo

( ) ( ) ( ) ( ) hOh2

htyhtyty 2+−−+

=′

Para obtener (4), usamos:

7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ht y t entre ,y!4

hty!3

hty!2

htyhtyhty 11iv

432+ττ+′′′+′′+′+=+

8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t y ht entre ,y!4

hty!3

hty!2

htyhtyhty 22iv

432−ττ+′′′−′′+′−=−

Sumando miembro a miembro las ecuaciones 7) y 8), se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

4444 34444 21

τ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

τ+τ+′′+=−++iv

y2

2iv

1iv

42 yy

!4htyhty2htyhty

y despejando , se obtiene ( )ty ′′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]b,a ,y12h

hhtyty2htyty iv

2

2∈ττ−

−+−+=′′


Esta vez, como en 3),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) hOh

htyty2htyty 22

+−+−+

=′′

En lo que sigue usaremos las expresiones

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2h

htyty2hty,h2

htyhty ++−−−−+

para aproximar ( ) ( )tyyty ′′′ , respectivamente, y diremos que son aproximaciones de

orden dos o de orden ( )2hO . Ahora sí, para aproximar la solución ( )ty del P.V.F.

9) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

β=α=

′=′′

by,ayy,y,tfy

en el intervalo , usando el método de diferencias finitas, empezamos discretizando el intervalo mediante

[ b,a ]][ b,a 2N + puntos igualmente espaciados en [ ]b,a :

bt,,hiat, ,h2at,hat,at 1Ni210 =+=+=+== +...... , con 1Nabh

+−

= el tamaño

de paso.

Enseguida se discretiza el problema continuo 9), discretizando las funciones

, como sigue: ( ) ( )tyyty ′′′

10) [ ]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

β=

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+−

α=

+

−++−

1N

1i1iii1ii1i2

0

y

Ni1 ,h2yy

,y,tfyy2yh1

y

En esta discretización se tiene en cuenta que ( ) ( ) α=== aytyy 00 , ( )ii tyy ≈ ,

( ) ( ) β=== ++ bytyy 1N1N . La aproximación de la solución ( )ty del P.V.F. 9) varía dependiendo de la solución del problema discreto 10), la cual, a su vez, depende de la forma de la función f.


Consideraremos solamente, el caso en el cual ( )y,y,tf ′ es una función lineal de las variables y , es decir, consideramos solamente P.V.F. del tipo: y y′

( ) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

β=α=++′=′′

by ,aytrytqytpy

La discretización de este P.V.F., usando diferencias finitas de los tipos 3) y 4), es:

[ ]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

β=

≤≤++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=+−

α=

+

−++−

1N

iii1i1i

i1ii1i2

0

y

Ni1 ,ryqh2yy

pyy2yh1

y

donde , y ( )ii tpp = ( ii tqq = ) ( )ii trr = . Multiplicando por a ambos lados de la ecuación 2h−

[ ] Ni1 ,ryqh2yy

pyy2yh1

iii1i1i

i1ii1i2≤≤++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=+− −+

+− , y agrupando términos

semejantes, se obtiene el siguiente sistema lineal de ecuaciones:

( * ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

β=

≤≤−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

α=

+

+−

1N

i2

1iiii2

1ii

0

y

Ni1,rhyp2h1yqh2yp

2h1

y

Introduciendo las notaciones i1i p2h1a −−=− , , i

2i qh2d += ii p

2h1c += , , el

sistema ( * ) toma la forma siguiente:

i2

i rhb −=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

β=

≤≤=++

α=

+

+−−

1N

i1iiii1i1i

0

yNi1,bycydya

y

( o 1211100 bycydya1i =++= : α−=+ 012111 abycyd , ya que ; α=0y . 2322211 bycydya2i =++= :

En general: 1Ni2,bycydya i1iiii1i1i −≤≤=++ +−− o N1NNNN1N1N bycydya Ni =++= +−− : β−=+−− NNNN1N1N cbydya , ya que ) β=+1Ny


Sistema que en forma matricial es:

43421321

M

444444444 3444444444 21L

MOOM

O

L

b

cbb

bb

ab

Y

yy

yyy

A

da00cda0

0cda000cda000cd

NN

1N

3

2

01

N

1N

3

2

1

N1N

1N1N2N

332

221

11

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

β−

α−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−−

El sistema final es un sistema tridiagonal para el cual hay algorítmos especiales para resolverlo, como por ejemplo, a través de la factorización de la matriz de coeficientes A, porque este sistema, para h pequeño, casi siempre resulta con matriz de coeficientes estrictamente dominante diagonalmente por filas.

UL

Resolviendo este sistema se obtiene una aproximación discreta de la resolución ( )ty del P.V. F.

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

β=α=++′=′′

by ,aytrytqytpy

Este método de “solución” se conoce como método de diferencias finitas. Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones sobre las funciones ( ) ( ) ( )tr y tq , tp y ciertas condiciones de frontera, el método de diferencias finitas es convergente, es decir, ( ) 0yty ii →− cuando . 0h →

Ejemplo 6.20 Considere el P.V.F.

( ) ( )⎩⎨⎧

==++′=′′

21y,10ytyy2y

a) Demuestre que el P.V.F. dado tiene solución única en [ ]1,0 .

Demostración: ( ) tyz2z,y,tfSea ++= . Entonces

( ) ( ) ( ) 2z,y,tf,1z,y,tf,z,y,tf zy == son continuas en ( ) ∞+<<−∞≤≤= z,y,1t0/z,y,tR


además para todo ( ) 01z,y,tfy >= ( ) R∈z,y,t , y ( ) M22z,y,tfz =≤=

para todo . ( ) R∈z,y,t Luego el P.V.F. dado tiene solución única ( ) [ ]1,0t,ty ∈ .

b) Use el método de Diferencias finitas de orden ( )2hO (diferencias finitas centradas)

con tamaño de paso 41h = , para obtener valores aproximados de

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛43y,

21y,

41y .

Solución: Empezamos discretizando el intervalo [ ] [ ]1,0b,a = . Como 41h = , entonces

1ty43h3t,

21h20t,

41h0t,t0a 43210 ====+==+===

Debemos aproximar ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛43y,

21y,

41y ya que ( ) ( ) 21yy10y == .

Discretizamos la E.D.O tyy2y ++′=′′ , tomando centro en 3i1,ti ≤≤ , y se obtiene:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

≤≤++−

=+−

==

−++−

21yy

3i1,tyh2yy

2h

yy2y10yy

4

ii1i1i

21ii1i

0

Como 41h = , entonces el sistema toma la forma:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

≤≤++−

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

+−

=

−++−

2y

3i1,ty

41

yy

41

yy2y1y

4

ii1i1i

21ii1i

0


es decir:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≤≤++−=+−

=

−++−

2y3i1,tyyy4yy2y16

1y

4

ii1i1i1ii1i

0

y agrupando términos semejantes, se obtiene:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≤≤=+−

=

+−

2y3i1,ty12y33y20

1y

4

i1ii1i

0

Escribiendo las ecuaciones para cada i , se obtiene:

( )4

7912041y12y33ty12y33y20:1i 211210 −=−=+−⇔=+−=

es decir, 4

79y12y33 21 =−

21y12y33y20ty12y33y20:2i 3212321 −=−+−⇔=+−=

es decir, 21y12y33y20 321 −=−+−

( )

493212

43y33y20ty12y33y20:3i 323

2432 −=−=−⇔=+−=

es decir,

4

93y33y20 32 =−+−

Luego el sistema lineal a resolver es:

43421321444 3444 21

b4

93 2

14

79

Y

yyy

filas por E.D.D esA

3320012332001233

3

2

1

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

cuya única solución es:

( )( )( ) ⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≈

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

43y

21y

41y

3588719701079638752199108075830

80388109237

12181315

2679626557

yyy

3

2

1

.

.

.


ECUACIÓN DE LAPLACE (BIDIMENSIOSNAL) La ecuación de Laplace en dos variables es una ecuación diferencial parcial elíptica (Forma general: ( )yxyyyxxx ,,,y,xfCBA φφφ=φ+φ+φ , con A, B y C constantes, si

, la ecuación se dice elíptica; si , la ecuación se dice

parabólica; si , la ecuación se dice hiperbólica) donde no aparece la variable t:

0CA4B2 <− 0CA4B2 =−

0CA4B2 >−

(1) ( )0Uo0U o0yyUxxU 2 =∆=∇=+ siendo U una función en las variables y , es decir, x y ( )y,xU . Al estudiar procesos estacionarios (procesos que se estabilizan o estacionan cuando

, o sea que ya no cambian con el tiempo) de distinta naturaleza física (por ejemplo: oscilaciones, vibraciones, conducción del calor, difusión y otros) se obtiene, por lo general, ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico, y la ecuación más frecuente de este tipo es la ecuación de Laplace:

+∞→t

0U2 =∇ Una función se dice armónica en una región T del plano , si U junto con sus derivadas parciales de orden menor o igual que 2 son continuas en T y

( y,xU ) yx( )y,xU satisface la

ecuación de Laplace. PROBLEMA DE DIRICHLET: Un problema que ocurre en el estudio del color, electricidad y muchas otras ramas de la física es el problema de Dirichlet. En la versión bidimensional se

dan una región abierta en y una función Ω 2R ( )y,xg definida sobre la frontera deΩ , , y se busca una función Ω∂ ( )y,xU que sea continua sobre la clausura de

Ω∂∪Ω=ΩΩ , , y satisfaga la ecuación de Laplace en Ω y sea igual a en la frontera de Ω . Esto se sintetiza escribiendo:

( y,xg )

(2) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ΩΩ∂∪Ω=Ω

Ω∂∈∀=ΩΩ∈∀=+

declausura sobrecontinuaes y,xU y,xy,xgy,xU

deabiertoconjunto ,y,x0yyUxxU 2R

(Principio del valor máximo: Los valores máximo y mínimo de ( )y,xU se alcanzan en

) Ω∂ Si está sujeta a algunas restricciones y si Ω ( )y,xg es continua en Ω∂ , entonces se puede probar que el problema (2) tiene solución única. En el problema (2), se trata de encontrar ( )y,xU para todo ( ) Ω∈y,x (en el interior de ), conociendo el comportamiento de

Ω( )y,xU en la frontera de ( )Ω∂Ω .

Para ilustrar el método numérico que vamos a estudiar para aproximar la solución del problema (2) , considérese el P.V.F. siguiente:

( )y,xU


( ) ( )⎩⎨⎧

Ω∂=Ω=+

eny,xgy,xU en0yyUxxU

)3(

siendo ( ) ( ) ( ) abiertounitariocuadrado:1y0,1x0/y,x1,0x1,0 <<<<==Ω

( ) [ ] [ ]( )1,0x1,0

1x0y1y,1x0y0y,1y0y1x,1y0y0x/y,x

∂=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≤=≤≤=≤≤=≤≤=

=Ω∂

La función de frontera es arbitraria, por el momento. ( y,xg )

)Para aplicar el método de diferencias finitas para aproximar la función en ( y,xU Ω , empezamos discretizando el cuadrado Ω , mediante los puntos de malla (o de red):

( ) ( )1M

1k,1N

1hcon,kj,hiy,x ii +=

+==

N y M enteros positivos. En este caso el tamaño de paso en x puede ser diferente al tamaño de paso en . y Una discretización del rectángulo [ ] [ ]1,01,0 × es como se muestra en la siguiente gráfica, donde se utiliza para indicar que en el punto de malla con coordenadas j,iU

( ) ( jk,ihy,x ji = ) , se va a aproximar la función desconocida ( )y,xU .

En lo que sigue, consideraremos el estudio para el caso particular:

, es decir ( ) ( ) 1Nj,i0,hj,hiy,x ii +≤≤=1N

1kh+

== , N entero positivo cualquiera.


El propósito es encontrar valores aproximados de ( )ji y,xU para cada uno de los puntos

( )ji y,x interiores de la malla. Si tomamos como caso particular 3N = , se necesita aproximar ( )ji y,xU para cada uno de

los ( )2N99 = puntos interiores de la malla (en el caso general, se aproxima ( )ji y,xU en cada uno de los NM puntos interiores de la malla). Tomaremos como notación para representar el valor aproximado de j,iU ( )ji y,xU . En

este caso, los valores 4j,i0,U,U,U,U 4,i0,ij,4j,0 ≤≤ son conocidos (condiciones de frontera). Ahora discretizamos la E.D.P.:

( 1 ) 0yyUxxU =+ mediante diferencias finitas del tipo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

hOh

hxfxf2hxfxf +++−−

=′′

Tomando como centro el punto ( ) ( )hj,hiy,x ii = , y las diferencias finitas del tipo indicado, obtuvimos la siguiente discretización de la E.D. parcial:

[ ] [ ] 0UU2Uh1UU2U

h1

1j,ij,i1j,i2j,1ij,ij,1i2=+−++− +−+−

(Recuerde que en situación general sería:


[ ] [ ]1M

1k,1N

1h,0UU2Uk1UU2U

h1

1j,ij,i1j,i2j,1ij,ij,1i2 +=

+==+−++− +−+− )

Multiplicando por y agrupando términos semejantes, se obtiene: 2h−

3j,i1,0UUUU4U 1j,i1j,ij,1ij,ij,1i ≤≤=−−−+− +−+−

(En el caso general ( )Mj1,Ni1 ≤≤≤≤ la cual se conoce como Fórmula de diferencias finitas de cinco puntos.

Para ordenar las ecuaciones correspondientes ( 9 ecuaciones: una para cada punto interior de la malla ), usaremos el siguiente orden llamado natural:

[ ]3,33,23,12,32,22,11,31,21,1 U,U,U,U,U,U,U,U,UU =

(ver la discretización del rectángulo [ ] [ ]1,01,0 × , hecha en página anterior) En cada una de las ecuaciones, los valores conocidos se colocarán al lado derecho de la ecuación. Los resultados son como sigue: Punto (1, 1): 0UUUU4U 2,10,1,21,11,0 =−−−+− , la cual escrita en el orden natural es

UUUUU4 1,00,12,11,21,1 +=−− (1ª ) Punto (2,1): 0UUUU4U 2,20,21,31,21,1 =−−−+− , la cual escrita en el orden natural es

UUUU4U 0,22,21,31,21,1 =−−+− (2ª) Punto (3,1): 0UUUU4U 2,30,31,41,31,2 =−−−+− , la cual escrita en el orden natural es


UUUU4U 1,40,32,31,31,2 +=−+− ( 3ª ) Continuando de esta manera se obtienen las siguientes 6 ecuaciones, que presentamos en el orden natural: Punto (1,2); UUUU4U 2,03,12,22,11,1 =−−+− (4ª ) Punto (2,2): 0UUU4UU 3,22,32,22,11,2 =−−+−− (5ª ) Punto (3,2): UUU4UU 2,43,32,32,21,3 =−+−− (6ª ) Punto (1,3): UUUU4U 4,13,03,23,12,1 +=−+− (7ª ) Punto (2,3): UUU4UU 4,23,33,23,12,2 =−+−− (8ª ) Punto (3,3): UUU4UU 3,44,33,33,22,3 +=+−− (9ª ) Nota: Téngase en cuenta que ( )jij,i y,xgU = es conocido para

4i0y4j,0j;4j0y4i,0i ≤≤==≤≤== (En el caso general ) 1Mj,0j,1Ni,0i +==+==

La matriz de coeficientes del sistema resultante es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΤΙ−Ι−ΤΙ−

Ι−Τ≡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−−−−

−−−−−−−

−−−−−

−−

O

O

4 10 10 0 0 0 0 14 10 10 0 0 0 0 14 0 0 10 0 0 10 0 4 10 10 0

0 10 14 10 10 0 0 10 14 0 0 10 0 0 10 0 4 10 0 0 0 0 10 14 10 0 0 0 0 10 14

El sistema tridiagonal por bloques resultante, se resuelve usando un método iterativo, por ejemplo Gauss-Seidel (observe que el sistema no es E.D.D. por filas). Para el ejemplo, solamente hay 33 elementos no nulos de un total de 81 ( ) ( )( )337334 =+ . En general,

hay a lo más elementos no nulos de un total de 2N5 22 NN × . Observe el tamaño de los sistemas que resultan cuando Naumenta, por ejemplo, 10N = ).


ECUACIÓN DE POISSON: La forma típica de la Ecuación de Poisson en dos variables, es:

( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω∂=

Ω=+

en y,xgy,xU

en y,xfUU4 yyxx

Se puede resolver este problema (4), transformándolo en dos problemas más simples, como sigue:

( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω∂=

Ω=+

en y,xgy,xU

en 0UUa yyxx y ( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω∂=

Ω=+

en 0y,xU

en y,xfUUb yyxx

Después de resolver (a) y (b), la solución del problema de Poisson es

, siendo ( ) ( ) ( y,xUy,xUy,xU 21 += ) ( )y,xU1 y ( )y,xU2 las soluciones de los problemas a) y b), respectivamente. Estos dos problemas más simples tienen la ventaja de que cada uno tiene una parte homogénea. Ejemplo 6.21: Consideremos el problema de Poisson:

( ) ( ) ( )( ) [ ] [ ]( )⎪⎩

⎪⎨⎧

∂=Ω∂−=

=<<=Ω=+

1,0x1,0enyxy,xU

1,0x1,01y,x0/y,xenyUU yyxx

Usando una partición uniforme de Ω con 41h = , calcule valores aproximados para ( )y,xU

en cada punto interior de la malla. Solución: Los puntos interiores de la partición son: , , , , , , , y . 1p 2p 3p 4p 5p 6p 7p 8p 9p


Las coordenadas de los puntos interiores son: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

41,

41p1 , ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=41,

21p2 , ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=41,

43p3 ,

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=21,

41p4 , ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=21,

21p5 , ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=21,

43p6 , ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=43,

41p7 , ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=43,

21p8 y ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=43,

43p9 .

La formula de diferencias finitas, nos conduce a:

[ ] [ ] 3j,i1,yUU2Uh1UU2U

h1

j1j,ij,i1j,i2j,1ij,ij,1i2≤≤=+−++− +−+−

y como ,41h = entonces 16

h12= , con lo cual, al multiplicar por

161h2 −=− , se obtiene la

siguiente fórmula de diferencias de cinco puntos:

3j,i1,y161UUUU4U j1j,i1j,ij,1ij,ij,1i ≤≤−=−−−+− +−+−

Reemplazando en esta fórmula para cada punto, se obtienen las ecuaciones correspondientes:

1j1,i == ( ) 12,10,11,21,11,01 y161UUUU4U:1,1p −=−−−+− ,

pero 41

410

41,0UU 1,0 −=−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 410

410,

41UU 0,1 =−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 41y1 = , con lo cual la

ecuación resultante, usando el orden natural es:

641

41

41

41

161UUU4 2,11,21,1 −=+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−− (1ª ecuación )

1j 2,i == ( ) 12,20,21,31,21,12 y161UUUU4U:1,2p −=−−−+− ,

pero 210

210,

21UU 0,2 =−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 41y1 = . Luego la ecuación resultante es:

6431

641

21UUU4U 2,21,31,21,1 =−=−−+− (2ª ecuación )

1j 3,i == ( ) 12,30,31,41,31,23 y161UUUU4U:1,3p −=−−−+− ,

pero 43

411

41,1UU 1,4 =−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ,

430

430,

43UU 0,3 =−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ,

4

11 =y . Luego la

ecuación resultante es:

6495

641

43

43UU4U 2,31,31,2 =−+=−+− (3ª ecuación )


2j 1,i == ( ) 23,11,12,22,12,04 y161UUUU4U:2,1p −=−−−+− ,

pero 21

210

21,0UU 2,0 −=−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 2

12 =y . Luego la ecuación resultante es:

3217

21

321UUU4U 3,12,22,11,1 −=−−=−−+− (4ª ecuación )

2j 2,i == ( ) 23,21,22,32,22,15 y161UUUU4U:2,2p −=−−−+− . Luego la


321UUU4UU 3,22,32,22,11,2 −=−−+−− (5ª ecuación )

2j 3,i == ( ) 23,31,32,42,32,26 y161UUUU4U:2,3p −=−−−+− ,

pero 21

211

21,1UU 2,4 =−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= . Luego la ecuación resultante es:

3215

21

321UU4UU 3,32,32,21,3 =+−=−+−− (6ª ecuación)

3j 1,i == ( ) 34,12,13,23,13,07 y161UUUU4U:3,1p −=−−−+− ,

pero 43

430

43,0UU 3,0 −=−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 431

411,

41UU 4,1 −=−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 43y3 = . Luego la


6499

43

43

43

161UU4U 3,23,12,1 −=−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−+− (7ª ecuación)

3j 2,i == ( ) 34,22,23,33,23,18 y161UUUU4U:3,2p −=−−−+− ,

pero 211

211,

21UU 4,2 −=−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= . Luego la ecuación resultante es:

6435

21

43

161UU4UU 3,33,23,12,2 −=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−+−− (8ª ecuación )

3j 3,i == ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−−−+−43

161UUUU4U:3,3p 4,32,33,43,33,29 ,


pero 41

431

43,1UU 3,4 =−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 411

431,

43UU 4,3 −=−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= . Luego la ecuación

resultante es:

643

41

41

43

161U4UU 3,33,22,3 −=−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=+−− (9ª ecuación )

Luego el sistema lineal a resolver es:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−−−−

−−−−−−−

−−−−−

−−

64364356499

32153213217

64956431641

UUUUUUUUU

4 10 10 0 0 0 0 14 10 10 0 0 0 0 14 0 0 10 0 0 10 0 4 10 10 0 0 10 14 10 10 0 0 10 14 0 0 10 0 0 10 0 4 10 0 0 0 0 10 14 10 0 0 0 0 10 14

3,3

3,2

3,1

2,3

2,2

2,1

1,3

1,2

1,1

La solución única de este sistema es:

( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≈

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−

≈

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

43,43U43,21U43,41U21,43U21,21U21,41U41,43U41,21U41,41U

02706.028404.052706.022656.0 03515.027734.048409.0 22935.0 15904.0

358497179250935841889

2565725692567135841735

1792411358457

UUUUUUUUU

3,3

3,2

3,1

2,3

2,2

2,1

1,3

1,2

1,1

MÉTODOS NUMÉRICOS Iván F. Asmar Ch.

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 1

TALLER Nº 1

Problema 1. Suponga que se desea calcular 2ln a partir de las serie de Maclaurin para la función

( ) ( )1+= xlnxf . Determine el menor número de términos que deben tomarse en dicha serie para

obtener una aproximación de 2ln con un error menor que 810 − . Haga lo mismo para ( )51.ln y ( )11.ln ,y analice los resultados.

Solución: Empezamos encontrando la serie de Maclaurin para la función ( ) ( )1+= xlnxf . Recuerdeque la serie de Maclaurin es la serie de Taylor cuando se toma como centro del desarrollo el número 0.Así que tal serie de Maclaurin es

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

=+=0

01k

kk

k

xfxlnxf

!

Como ( ) ( )1+= xlnxf , entonces ( ) ( ) 01100 ==+= lnlnf , ( ) ( ) 101

1=′

+=′ f ,

xxf ;

( )( )

( ) 101

12 −=′′

+−=′′ f ,

xxf ; ( )

( )( ) 20

12

3 =′′′+

=′′′ f ,x

xf ; ( )( ) ( )( )( )

( )( ) !30132

4 −=+

−= iviv f ,x

xf ,

... , ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )!!110

11

1 11 −−=+−

−= −− kf ,x

kxf kk

k

kk

Luego

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ]

( )( )

( ) ( ) ( )( )

44 344 2144444 344444 210

111

32

1

1

1

1

0

11

32

1111101

;

!!...

!!

,!!

!!

xR

nn

xnp

nn

k

kk

k

kk

k

kk

n

n

xf

n

xxxx

x ,k

x

k

xk

k

xfxlnxf

++−+−+−=

−∈−=−−==+=

++−

∞

=

−∞

=

−∞

=∑∑∑

ξ

siendo ξ algún número entre 0 y x.

Pero ( ) ( ) ( )( ) 1

1

11

++

+−=

n

nn nf

ξξ

!, así que

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 11

11

1110

1

1

1

1 ++−=

++−=

+

+

+

+ n

x

n

xnxR

n

n

nn

n

nn

ξξ !!

;

con ξ algún número entre 0 y x.

CASOS PARTICULARES:

a) Si 1=x , entonces ( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )444 3444 214444 34444 21

01

1

1

1

1

1

11

11

11

31

21

11

112

;

....lnln

nn R

n

n

p

n

k

k

nnk ++−+

−+−+−=

−=+= +

−∞

=

−

∑ξ

con ξ algún número entre 0 y 1.

ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD


Nos piden encontrar el menor valor de n tal que

( ) ( )( )

81 10

11

1

110;1 −+ <

++−=

nR

nn

nξ

siendo ξ algún número entre 0 y 1.

Empezamos independizando el residuo ( o error) ( )01;Rn de ξ , como sigue:

( ) ( )( ) 1

11

111101 1 +

<++

−= + nnR

n

nn

ξ; , cualquiera sea ( )10,∈ξ

Ahora sí resolvemos para n, la desigualdad 8101

1 −<+n

. La solución de esta desigualdad es

1108 −>n . Así que el menor número de términos que hay que sumar para aproximar 2ln con la

precisión pedida es, de acuerdo con esta teoría, 810=N . No intente calcular esta suma!

b) El caso ( )51.ln se deja como ejercicio. Veamos el caso de aproximar ( )11.ln . En este caso

10.=x , y se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )01010101

1101

110

1110111

1

1

1

1

1 ;...

.ln.ln nnk

k

k

k

k

k

k

kk Rp

kkk+=−=

−=−== ∑∑∑∞

=

−∞

=

−∞

=

−

Esta vez ( ) ( )( )

( )( ) ( ) 11

1

1 1011

1

111

101

1

11010++

+

+ ++−=

+

+−=

nn

n

n

n

nn

nnR

`;.

ξξ, con ξ algún

número entre 0 y 10. .

Como queremos que el error sea menor que 810 − , basta encontrar n tal que ( )

81

10101

1 −+

<+ nn

, ya

que

( ) ( )( ) ( ) ( ) 111 101

1101

1

1

11010

+++ +<

++−=

nnn

nn

nnR

ξ;. , cualquiera sea ( )100 .,∈ξ .

Puesto que

( ) ( ) 7811010110101

1 8181 ≥⇔≥+⇔>+⇔<

++−

+ nnnn

nn

entonces

( ) ( ) ( ) 50953101809010500000010007569

101

110117

1

17 ... ≈=−=≈ ∑

=

−

kk

k

kpln



La instrucción en DERIVE para calcular la suma ( )∑=

−−7

1

1

101

1k

k

k

k es

( )

− −

71101 1

,,, kk

SUM k

k

, la

cual aproXima en 509531018090. , trabajando con precisión 10 dígitos (Options-Precision:10).

Observe que ( ) 899 101051014150953101809011 −−− <×<×=− ...ln ... , como era de esperarse.

Tiene otra forma mejor para calcular 2ln ?

Observe la instrucción en DERIVE: ( )( ) SimplifynaxxlnTAYLOR :,,,1+ para distintos valores de ay de n.

Problema 2. Considere la ecuación en diferencias

( ) ...n xxx nnn ,,, 322 21 =+= −−

a) Verifique que si se dan las condiciones iniciales 10 =x y 311 −=x , entonces

( ) ...n xn

n ,,, 1031 =−= es solución de la ecuación en diferencias dada y satisface las

condiciones iniciales dadas.

Verificación: Veamos primero que la sucesión ( ) n

n31 − es solución de la ecuación en diferencias

dada.

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]( ) [ ] ,...,,

,...,,

,...,,

3232312

32131312

323131231

2

2

21

=−−=

=+−−=

=

−+−=−

−

−

−−

n

n

n

n

n

nnn

Por otro lado, ( ) ( )3223243321312

−=−=+−=− , así que

( ) ( ) [ ]( ) ( )( ) ( ) ( )V n

n

n

n

n

nn

,...,,

,...,,

,...,,

323131

3232431

323231231

22

2

2

=−−=

=−−=

=−−=−

−

−

−

Con lo anterior se concluye que la sucesión ( ) n

n31− es solución de la ecuación en diferencias

dada.

Como ( ) 1310

0 =−=x y ( ) 31311

1 −=−=x , entonces la sucesión ( ) n

n31 − satisface las

condiciones iniciales dadas. Concluimos que la sucesión ( ) ,...,, 1031 =− n n

n es la solución de



la ecuación en diferencias ( ) ,...,, 322 21 =+= −− n xxx nnn con condiciones iniciales 10 =x y

311 −=x . (se puede verificar que este problema es de solución única!).

b) Utilice aritmética finita para calcular 2010 ,...,,, =n xn usando tanto la fórmula ( )n

nx 31−= como

la fórmula ( )212 −− += nnn xxx , con las condiciones iniciales dadas en a). Explique los resultados y

concluya acerca de la estabilidad numérica de la fórmula ( )212 −− += nnn xxx .

Solución: Para los cálculos numéricos usamos las siguientes instrucciones en DERIVE:

( ) :,,,,

− 20031 nnVECTOR

naproXima los primeros 21 términos de la sucesión ( ) n

n31 − .

Los resultados obtenidos son (en precisión 6 dígitos):

Como ( )

( )77

20

20

1051015131

00195355031−− ×<×=

−

−−....

., lo que asegura que 001953550.

aproxima al valor exacto ( ) 20

2031 x=− con todas sus primeras 6 cifras significativas.

En DERIVE la instrucción ( )[ ] [ ] [ ]( )203112 ,,,,,, −+ baabbITERATES aproXima en la primera

columna los primeros 21 términos de la sucesión nnx con ( )212 −− += nnn xxx y condiciones iniciales

10 =x y 311 −=x .

( )nn 31 −



Note que 27653520 .−=∗x aproxima con ninguna cifra significativa al valor exacto ( ) 20

2031 x=− .

Observe el comportamiento de los términos nx que aparecen en esta última tabla.

Es claro que la fórmula ( ) ,...,, 322 21 =+= −− n xxx nnn es inestable numéricamente, para las

condiciones iniciales 10 =x y 311 −=x .

Problema 3. Las funciones de Bessel nJ satisfacen la siguiente fórmula de recurrencia

( ) ( ) ( ) ( ) ,...,, 3212 211 =−−= −−

− n xJxJxnxJ nnn

Empiece con ( ) 7651976866010 .=J y ( ) 4400505857011 .=J y use la fórmula de recurrencia anterior

para calcular ( ) ,...,, 321 =n J n . Se puede creer en los resultados obtenidos?

Nota: Se sabe que las funciones de Bessel nJ pueden definirse mediante la fórmula

( ) ( )∫ −=π

θθθπ 0

1dnxsenxJ n cos

Solución: Si hacemos uso del DERIVE para calcular los números ( ) 20321 ,...,,, =n J n , a partir de lafórmula de recurrencia dada, utilizamos la instrucción

( )[ ] [ ] [ ]( )2024400505857076519768660112 ,,.,.,,,,,, nbanabnbITERATES +−−

1+nn xx



la cual al aproXimarse en precisión de 10 dígitos, permite obtener los valores que aparecen en lasiguiente matriz, donde los números de la primera columna corresponden a los valores

( ) 202101 ,...,,,, =n J n (la fórmula de recurrencia es ( ) ( ) ( ) ( ) ,...,n ,JJnJ nnn 3211121 21 =−−= −− ).

Como se observa en la matriz de resultados, ( ) 1220 1041696926731 ×−= .J . Podrá ser este resultado

una aproximación razonable del valor exacto de ( )120J ? Veamos:

Se sabe que

( ) ( )∫ −=π

θθθπ 0

1dnxsenxJ n cos

así que

( ) ( )

( )

11

11

1

1

0

0

0

==≤

−≤

−=

∫

∫

∫

ππ

θπ

θθθπ

θθθπ

π

π

π

d

dnxsen

dnxsenxJ n

cos

cos

En particualr, ( ) 11 ≤nJ para todo n, y por tanto los valores obtenidos para ( )1nJ y que aparecen en la

matriz siguiente (obtenidos a partir de la fórmula de recurrencia) no son correctos, por lo menos a partirde 12=n .

( ) ( ) 211 1 ++ nJJ nn



Si se está interesado en obtener valores apropiados de las funciones de Bessel, en DERIVE cargue elarchivo BESSEL.MTH (Transfer+Merge:BESSEL.MTH) y aproXime la expresión ( )120,_ JBESSEL , se

obtiene 25108735030083 −×. (muy lento para este cálculo). Compare este valor con el valor ( )120J que

aparece en la matriz anterior.

También puede aproXimar la expresión ( )[ ]( )200101 ,,n,,,nSERIES_j_BESSEL,nVECTOR ycompare los resultados con los que aparecen en la matriz anterior.



TALLER 2a

Suponga que un objeto de masa m se deja caer desde una altura 0S y que la altura del objeto, con

respecto al suelo, a los t segundos viene dada por

( )

−−+=

−m

tk

ek

gmt

k

mgStS 1

2

2

0

donde piesS 3000 = , Slugs.m 250= , 21732s

piesg .−= y pieslb.k ×= 10 .

Obtenga, con una precisión dentro de s.010 , el tiempo que tarda ese objeto en llegar al suelo.

Solución: Como la altura del objeto a los t segundos está dada por

( )

−−+=

−m

tk

ek

gmt

k

mgStS 1

2

2

0 , la solución del problema consiste en hallar el tiempo para el cual el

objeto está en el piso, es decir, el valor de t para el cual ( ) 0=tS , con un error menor que s210− . De

acuerdo con los datos del problema se quiere encontrar el valor de t tal que

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

0110

173225010

1732250300 250

10

2

2

=

−

−−

−+=

−.. t

e.

..t

.

..tS

lo cual es equivalente a resolver la ecuación

016

321716

321740

3217300 5

2

=−+−− t

et

Sea entonces ( )t

ettS 52

163217

403217

168017 −

−−= . Para resolver la ecuación ( ) 0=tS , empezamos

graficando la función ( )tSy = . La gráfica es como se muestra en la siguiente figura. De acuerdo con

esta gráfica, la raíz de interés es la positiva [ ]76,∈α , ya que la raíz negativa no tiene significado físicoen nuestro problema.

Ahora hacemos una tabla de valores para la función ( )tSy = en el intervalo [ ]76, con tamaño de paso

10.h = , para identificar un intervalo de longitud 10. donde se encuentra la raíz α .

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE UNA ECUACIÓN NO-LINEAL EN UNA VARIABLE

2 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín

La tabla de valores obtenida usando DERIVE es

Como la función S es continua en el intervalo [ ]1606 .,. y ( ) ( ) 01606 <.S.S , entonces [ ]1606 .,.∈α .

Ahora podemos aplicar los métodos numéricos vistos para aproximar la raíz [ ]1606 .,.∈α . Veamos:

1. MÉTODO DE BISECCIÓN: Como la función S es continua en el intervalo [ ]1606 .,. y

( ) ( ) 01606 <.S.S , entonces se puede aplicar el método de Bisección a la función S en el intervalo

[ ]1606 .,. para aproximar la raíz α . Como nos piden aproximar la raíz α con una precisión dentro de

s210− , esto quiere decir que el error nt−α debe ser menor que 210− , siendo nt el término n-ésimo

de la sucesión generada por el método de Bisección aplicado a la función S en el intervalo [ ]1606 .,. .

( )t S t



Hallemos el número de iteraciones necesarias, de acuerdo con la teoría, para que 210−<− ntα .

Como nnnn...ab

t2

102

06162

=−=−≤−α , basta resolver para n la desigualdad 2102

10 −<n

., pero

4102102

10 2 ≥⇔>⇔< − n. nn

así que 4t es tal que 24 10−<− tα .

Para calcular 4t , tenemos: a.a == 061 , b.b == 161 , entonces 0562

16062

111 .

..bat =+=

+= .

Como ( ) ...383056 ..S −= y ( ) ( ) 005606 <.S.S , entonces la raíz buscada α se encuentra en el

intervalo [ ]05606 .,. , y hacemos 0612 .aa == y 05612 .tb == , con lo cual

02562

056062

222 .

..bat =+=

+= . Si utilizamos el DERIVE para calcular las 4 iteraciones,

simplemente aproximamos la instrucción ( )( )41606 ,.,.,t,tSBISECCION , con lo cual obtenemos:

Luego 0062564 .t =≈α , y 006256. aproxima a la raíz α con un error absoluto menor que s210− .

2. MÉTODO DE PUNTO FIJO: Empezamos transformando la ecuación ( ) 0=tS en otra equivalente

del tipo ( )tgt = para alguna función g.

( )

t

tt

et

etettS

52

52

52

25

643440085

163217

168017

4032170

163217

403217

168017

−

−−

−=⇔

−=⇔=−−=

Luego una función de iteración de punto fijo es ( )t

etg 52

25

643440085 −

−= . Veamos s i la función g

satisface todas las hipótesis del teorema de punto fijo en el intervalo [ ]1606 .. , .

La gráfica de la funciones ( )tgy = y ty = , aparecen en la siguiente figura:

nt



De acuerdo con la gráfica se observa que la función g es una función apropiada para la aplicación delmétodo de Punto Fijo. Veamos que efectivamente la función g satisface todas las hipótesis del teorema

de punto fijo en el intervalo [ ]1606 .. , :

La función g es continua y creciente en el intervalo [ ]1606 .. , , pues g es derivable en [ ]1606 .. , y

( ) 052

>=′− t

etg para todo [ ]1606 .. ,t ∈ , y como ( ) ...g 003606 .. = y ( ) ...g 012616 .. = , entonces

( ) [ ]1606 .. ,tg ∈ para todo [ ]1606 .. ,t ∈ . Por lo tanto la función g tiene por lo menos un punto fijo en el

intervalo [ ]1606 .. , .

Ahora, la función g′ es decreciente en el intervalo [ ]1606 .. , , ya que ( ) 052 5

2

<−=′′− t

etg para todo

[ ]1606 .. ,t ∈ , y como ( ) ...g 09006 .. =′ y ( ) ...g 08016 .. =′ , entonces ( ) 110 <=≤′ Ktg . para todo

[ ]1606 .. ,t ∈ . En consecuencia, la función g tiene un único punto fijo [ ]1606 .. ,∈α , la sucesión de

iteración de punto fijo nnt con

( ) ...n ,etgtnt

nn ,,2125

643440085 1

52

1 =−==−−

−

converge a α , cualquiera sea [ ]16060 .. ,t ∈ , y se tiene además cotas para el error nt−α , como

11606 00 ≥−−≤− n ,t,tMáxKt nn ..α .

Para aproximar la raíz α con la precisión pedida, es decir , con un error 210−<− ntα , utilizando el

método de Punto Fijo, debemos encontrar el cuántas iteraciones se requieren para esto.



Teniendo en cuenta la cota para el error 11606 00 ≥−−≤− n ,t,tMáxKt nn ..α , bastará

resolver para n la desigualdad ( ) 210056160605610 −<−− ..... ,Máxn (aquí se escogió

0562

16060 .

..=

+=t y 10.=K ). Como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ...

ln

lnnlnlnnnn 690

1020

201020101005010 2 ...

...... =>⇔<⇔<⇔< −

entonces ( ) 00788625

643440085 056

52

01 ..

=−==−

etgt aproximará la raíz α con la precisión pedida.

Si quiere usar el DERIVE para calcular 1t , basta aproximar la instrucción

( )( )1056 ,.,,_ ttgFIJOPUNTO .

3. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON: Recordemos que la ecuación a resolver es

( )

016

321740

321716

8017 52

=−−−

4444 34444 21tS

tet

y la raíz buscada [ ]1606 .,.∈α .

Como ( )t

etS 52

403217 −

=′ , ( )t

etS 52

1003217 −

−=′′ son continuas en el intervalo [ ]1606 .. , . Por otro lado

( ) 0<′′ tS para todo [ ]1606 .. ,t ∈ , así que S ′ es decreciente en [ ]1606 .. , , y ya que [ ] ...S 17306 .. −=′ ,

( ) ...S 47316 .. −=′ , entonces ( ) 0≠′ tS para todo [ ]1606 .. ,t ∈ . Concluimos que se puede aplicar el

método de Newton-Raphson a la función S en el intervalo [ ]1606 .. , para aproximar la raíz α (la es raízα es simple, observe la gráfica de la función S).

La fórmula de iteración del método de Newton-Raphson es

( )( )

( )...n ,

e

te

tS

tStt

n

n

t

n

t

n

nnn ,,21

16434

52321740085

1

1

52

152

1

11 =

−

+−=′

−=−

−

−

−

−−

Se puede ver que el método de Newton-Raphson converge a la raíz α , cualquiera sea [ ]16060 .,.∈t(observando la gráfica de la función S, se ve que se mantiene la concavidad de la gráfica de S en el

intervalo [ ]1606 .. , ). Iterando con el método de Newton-Raphson aplicado a la función S con

aproximación inicial 160 .=t (se escoge 160 .=t teniendo en cuenta la concavidad de la gráfica de la

función S en el intervalo [ ]1606 .. , ) y calculando los valores ( )ntS , obtenemos (para los cálculos se usó elDERIVE con precisión 20 dígitos):



Cuál de las aproximaciones calculadas aproxima a la raíz α con un error nt−α menor que 210− ?

Para responder esta pregunta basta observar la concavidad de la gráfica de la función S cerca de la raíz

α , tener en cuenta que ( ) 810681724003726 −×−= ..S y que ( ) 1>>′ αS .

Como ( ) ( ) 282 101064003726 −− <×== ...StS .. y 2 es el menor entero positivo tal que

( ) 210−<ntS , entonces (de acuerdo con lo dicho antes) ( ) 222 10−<<− tStα . Así que

0037262 .=t aproxima a la raíz α con un error menor que 210− .

( )nn t S t



TALLER Nº 2b

Problema 1. Considere la ecuación 0=+ xlnsenx .

a) Verifique que la ecuación dada tiene una única raíz α .

Solución: Dominio de ( ) xlnsenxxf += es ( )+∞,0 . Como xlnsenxxlnsenx −=⇔=+ 0 ,

podemos dibujar en un mismo plano coordenado las gráficas de senxy = y xlny −= . Obtenemos:

De acuerdo con la gráfica es claro que la ecuación dada tiene una única raíz α y [ ]1,0∈α . La gráfica

de xxxf lnsen)( += , es como se indica a continuación:

y = sen x

y = -ln x

α

α

xxy lnsen +=

( Plot - Overlay - Plot )



b) Encuentre un intervalo [ ]ba, de longitud 10. tal que [ ]ba,∈α .

Solución: Haciendo una tabla de valores para la función ( ) xlnsenxxf += en el intervalo [ ]1,10. con

tamaño de paso 10.=h , se obtiene:

La instrucción en DERIVE para obtener esta tabla de valores es:[ ]( ) approX:,,,x,xlnxsin,xvector 10 1 10 ..+ .

c) ¿Se puede utilizar el método de Bisección en el intervalo [ ]60 ,50 .. para aproximar la raíz α?

Solución: Sí, ya se verificó que f es continua en [ ]60 ,50 .. y 0)60()50( <.. ff .

d) Aplique el método de Bisección en el intervalo [ ]60 ,50 .. , calcule 15 iteraciones y tome a 15x comoaproximación de α . ¿Cuál es la calidad de esta aproximación?

Solución: La instrucción en DERIVE para calcular las iteraciones en el método de Bisección es:( ) approX xxlnxsinBISECCION :,,,, 156050 ..+ .

Al utilizar esta instrucción, se obtiene α≈= 578713.015x (aproximación a 6 dígitos significativos).

Como 6615151515 10510...063

210

25060

2−− ×<×==

−=

−≤− .

...abxα , entonces 15x aproxima a α

con por lo menos 5 cifras decimales exactas, que son 1 7 ,8 ,7 ,5 y .

e) Aplique el método de Punto Fijo para aproximar la raíz α con una precisión de por lo menos 5 cifrasdecimales exactas.

Solución: Como [ ]

( )xlnsenxxlnsenxxlnsenx,,x

−=⇔−=⇔=+ −

−⊆∈

1

226050

0ππ

.., entonces una

función de iteración de punto fijo es ( ) ( ) ( )xlnsenxlnsenxg 11 −− −=−= .

Como ( ) xlnsenxxf += es continua en [ ]60 ,50 .. y

0)60()50( <.. ff , entonces [ ]60 ,50 ..∈α

( )xfx



Al hacer las gráficas de xy = y ( ) ( )xlnsenxlnseny 11 −− −=−= , obtenemos:

(En DERIVE xsen 1− se entra como asinx )

Se ve que no existe intervalo [ ]ba, que contenga a α , donde la función

( ) ( ) ( )xlnsenxlnsenxg 11 −− −=−= satisfaga todos las hipótesis del T.P.F., ya que ( ) 1>′ αg .

Cambiamos de función de iteración: Como 0 ,0 >=⇔−=⇔=+ − xexsenxxlnxlnsenx senx ; sea

entonces ( ) senxexg −= ( en DERIVE ( ) ( )xsinexp:xg −= ). Las gráficas de xy = y senxey −= son

α )xln(seny −= −1

xy =

( ) 1>α'g

α

senxey −=

xy =

ox >



De acuerdo con la gráfica, se espera que la función senxexg −=)( satisfaga todas las hipótesis del

teorema de punto fijo en [ ]60,50 .. . Veamos:

g es continua en [ ]60,50 .. .

g es decreciente es [ ]60,50 .. ( ya que ( ) [ ]60,50 , 0 ..∈∀<−= − xxcosex'g senx ), y como

( ) [ ]( ) [ ]

∈=∉=

60,5056856306060,50619138050........

g

g

entonces no se satisface ( ) [ ]60,50 ..∈xg para todo [ ]60,50 ..∈x .

Qué hacer? Podemos cambiar el intervalo [ ]60,50 .. a un nuevo intervalo, por ejemplo [ ]7050 .. , . Es

claro que [ ] [ ]60507050 .,... ⊇∈ ,α . Como

( ) [ ]( ) [ ]

∈=∈=

70505250730706050619138050

........

,g

,g

entonces ( ) [ ]7050 .. ,xg ∈ para todo [ ]7050 .. ,x ∈ ( ya se sabe que g es decreciente en [ ]7050 .. , ).

Conclusión: g tiene por lo menos un punto fijo [ ]70,50 ..∈α .

)(' xg existe para todo ( )70,50 ..∈x .

'g es creciente en [ ]70,50 .. (la gráfica de g es cóncava hacia arriba en [ ]70,50 .. ,

( ) ( ) 02 >+=′′ − senxxcosexg senx para todo [ ]70,50 ..∈x ), y como

( )( )

−=′−=′

401598070543345050....

g

g

entonces ( ) 1550 <=≤ Kxg .' para todo ( )70,50 ..∈x .

Conclusión: g tiene un único punto fijo [ ]70,50 ..∈α , la sucesión nnx con

( ) ( ) ...21 ,11 ,,nexgx nxsen

nn === −−−

converge a α cualquiera sea [ ]70,500 ..∈x , y se tienen cotas para el error nx−α . En particular, se

tiene que:

( ) ( ) 110550607050605501010

00 ≥∀=

−−=−−≤− n , ,MáxxbaxMáxKx nnnn ......., 4342143421

..

α



Como queremos aproximar a α con una precisión de por lo menos 5 cifras decimales exactas, debemosencontrar el menor entero positivo N tal que

( ) ( ) ( )( )

( ) ...ln

nln

nn

516550105

105550105105505

56

..

...

=×

≥⇒

×≤⇔×≤−

−−

(En DERIVE la desigualdad anterior se puede resolver con soLve y luego approX)

Luego 17=N es tal que 617 105 −×≤− xα . Calculamos 17x usando DERIVE y obtenemos

α≈= 578713017 .x .

La instrucción en DERIVE para obtener el resultado anterior es( )( ) approXxsinxexpFIJOPUNTO :,,,_ 1760.− .

f) Aplique el método de Newton-Raphson (si es posible) para aproximar la raíz α , tomando como

criterio de aproximación ( ) 66 105105 −− ×<×< 1-nnn x-x xf o .

Solución: Como ( ) xlnsenxxf += tiene sus dos primeras derivadas continuas en [ ]6050 .,. y

0)(' ≠xf para todo [ ]6050 .,.∈x ( 01

cos)(' >+=x

xxf para todo [ ]6050 .,.∈x , aún más,

( ) ...f 87250 ..' = y ( ) ...f 49260 ..' = , así que 2)(' >xf para todo [ ]6050 .,.∈x , y entonces

2)(' >αf ), entonces se puede aplicar el método de Newton-Raphson en el intervalo [ ]6050 .,. paraaproximar la raíz α .

Tomando 5.00 =x , obtenemos:

n nx )( nxf 1−− nn xx

0 50. 2137210.−1 0.574271 01143100.− 0.074...2 0.578700 510501813 −×− . 0.0044...3 0.578713 610729851 −×− . 510...291 −×.4 0.578713 610729851 −×− . 710...067 −×.

Luego α≈= 57871303 .x .

La instrucción en DERIVE para obtener las iteraciones en el método de Newton–Raphson es( ) approXxxlnxsinNEWTON :,,, 450.+ . Aproximando la expresión anterior se obtienen los resultados

que aparecen en la segunda columna de la tabla anterior.

Problema 2. Aproxime todas las raíces de la ecuación



( )0243638082 234 =−−−+ 444444 3444444 21

xpxxxx ....

usando el método de Newton-Raphson y Deflación.

Solución: Empezamos gratificando el polinomio ( ) 243638082 234 ....: −−−+= xxxxxp .

La apariencia de la gráfica (en la escala 1=x , 1=y ) parece indicar que la ecuación dada tiene unaraíz doble y dos raíces simples. Sin embargo, un cambio de escala en x a 10. y en y a 10. (en

DERIVE Scale: 10 10 .:.: yx→←

, o un Zoom con F9, both) nos muestra que no se trata de una raíz

doble, sino de dos raíces simples cercanas entre sí. También, haciendo una tabla de valores para elpolinomio )(xp en el intervalo [ ]1,2 −− con tamaño de paso 1.0=h , obtenemos que

[ ] [ ]51616171 21 .,..,. −−∈−−∈ αα , , [ ]1113 −−∈ ,.α . La tabla de valores obtenida es:

x )(xp

p es continua en [ ]1,2 −− , y ( ) ( ) 06171 <−− .. pp ,

entonces existe [ ]61711 .,. −−∈α tal que 0)( 1 =αp

( ) ( ) 05161 <−− .. pp , entonces existe [ ]51612 .,. −−∈αtal que 0)( 2 =αp

( ) ( ) 00111 <−− .. pp , entonces existe [ ]01113 .,. −−∈αtal que 0)( 3 =αp

( )xpy=

x



Por otro lado p es continua en [ ]5141 .,. y ( ) ( ) 05141 <.. pp , entonces existe [ ]51414 .,.∈α tal que

0)( 4 =αp .

En conclusión se tiene que la ecuación polinómica dada tiene todas sus 4 raíces reales simples. Esclaro, que existen intervalos adecuados donde la función p satisface la hipótesis general del método de

Newton-Raphson para aproximar cada una de las raíces 1α , 2α , 3α y 4α .

Teniendo en cuenta los valores ( )1α'p , ( )2α'p , ( )3α'p y ( )4α'p , empezamos

aproximando 4α , con 510 .=x . Iterando con el método de Newton-Raphson hasta que se estabilicen

los 6 dígitos, obtenemos 14 499691 x=≈ .α . La instrucción en DERIVE para estos cálculos es

NEWTON ( )( ) approXxxp :,.,, 551 .

Si aplicamos Deflación, hacemos la división de )(xp por 499691.−x . La correspondiente instrucción

en DERIVE es QUOTIENT ( )( ) approXxxp :., 499691− . El resultado de tal operación es el polinomio

cociente ( ) 800422068206299694 233 ... +++= xxxxq ( ( ) ( ) ( ) ( )499691499691 .. pxqxxp +−= ).

En DERIVE la instrucción ( )( ) approXxxpREMAINDER :., 499691− , permite obtener el residuo en

la división de ( )xp por 499691.−x ; tal residuo es ( ) 410316152499691 −×−= ..p .

Enseguida graficamos el polinomio ( )xq3 obtenido, junto con el polinomio original ( )xp , y observamos

que la gráfica de ( )xqy 3= pasa por las raíces 1α , 2α y 3α de ( ) 0=xp .

Aplicamos ahora, el método de Newton-Raphson al polinomio )(3 xq :

NEWTON ( ) approXxxqx

:,.,,

− 501

0

3 . Se obtiene 33 088131 x=−≈ .α .

Aplicamos nuevamente deflación, es decir, dividimos el polinomio )(3 xq por )08813.1(−−x :

QUOTIENT ( )( ) approXxxq :., 0881313 + ; obtenemos ( ) 57360221156322 .. ++= xxxq

( ( ) ( ) ( ) ( )44 344 21

610461852

088131088131 323

−×

−++=

.

.. qxqxxq )

Graficando )(2 xq , observamos que la gráfica de este polinomio )(2 xq pasa por las raíces 1α y 2α de

0)( =xp .

Finalmente, aproximamos las raíces 1α y 2α de 0)( =xp , resolviendo la ecuación cuadrática

0)(2 =xq .

En DERIVE la instrucción soLve aplicada a ( ) 57360221156322 .. ++= xxxq , permite obtener

6759411 .−≈α y 5356112 .−≈α ( ( ) 410434752675941 −×−=− ..p y

( ) 410425482535611 −×−=− ..p ).



TALLER 3a

Problema 1. Use el método directo que considere más apropiado para resolver el siguiente sistemautilizando aritmética finita:

=++=+−−

−=++

6310014630017509411025010071104243086410

75210864201735026410

321

321

321

....

....

....

xxx

xxx

xxx

Solución: Se observa que la matriz de coeficientes del sistema no es estrictamente dominantediagonalmente por filas, ni tampoco es simétrica, así que se sugiere una estrategia de pivoteo, y como loscoeficientes del sistema son más o menos del mismo orden de magnitud 110− , 210− , se recomienda la

estrategia de pivoteo parcial. Para hacer uso del DERIVE, trabajamos con precisión 4 dígitos (Options-Precision:4) y entramos la matriz aumentada del sistema:

[ ] [ ][[ ]]63100146300175094110

2501007110424308641075210864201735026410.,.,.,.

,.,.,.,.,.,.,.,. −−=:AU

La expresión anterior al entrar en la ventana de Álgebra toma la forma

a) Para 1=j (primera columna), escogemos el pivote como sigue:

jk ,a,,Máx =≠=≠==−↑

13094110941108641026410 13.... , entonces debemos

intercambiar las filas 1 y 3. La instrucción en DERIVE para intercambiar tales filas es SWAP(AU,1,3).Una vez simplificada esta expresión continuamos con la eliminación:

−− →

−−−

−

75210864201735026410829402054040820063100146300175094110

752108642017350264102501007110424308641063100146300175094110

9411086410

21

...........

............

.

.E

−− →

−−

9291082310168500829402054040820063100146300175094110

75210864201735026410829402054040820063100146300175094110

9411026410

13

..........

...........

.

.E

Para la eliminación en DERIVE, se ejecuta la instrucción PIVOT(#_,1,1), donde #_ es el número queidentifica (en la ventana de Álgebra) a la matriz sobre la cual se hace la eliminación. Esta instrucciónhace ceros debajo de la posición ( )1,1 , es decir, elimina los coeficientes de 1x en cada una de lasecuaciones 2 y 3.

Para 2=j (segunda columna), escogemos el pivote como sigue:

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES


jk ,a,Máx ==≠==− ∗

↑

20408201685040820 22... , así que no necesitamos hacer

intercambio y continuamos con la eliminación:

−− →

−−

−

586609079000829402054040820063100146300175094110

9291082310168500829402054040820063100146300175094110

4082016850

32

.........

..........

..

E

Para la eliminación en DERIVE se ejecuta la instrucción PIVOT(#_,2,2): approX.

Por sustitución regresiva, obtenemos:

646109079058660

3 ...~ −=

−=x ,

( )3562

40820646102054082940

2 ..

...~ −=−

−−=x ,

( ) ( )81480

94100356201750646101463063100

1 ..

.....~ =−−−−

=x

Luego la solución aproximada obtenida es ( )TX 64610,3562,81480 ...~

−−= .

Qué se puede decir acerca de la precisión de esta solución aproximada X~

?

Para intentar responder esta pregunta, utilizaremos las cotas para el error relativo X

XX~−

, dadas en

la teoría:

( ) ( )∞

∞∞

∞

∞

∞∞

∞ ≤−

≤b

RACond

X

XX

ACondb

R~

1

( )∞

−∞∞ = 1AAACond , y la instrucción en DERIVE para calcular este número de condición es

COND_INF(A), siendo A la matriz de coeficientes del sistema dado. Para este caso,

( ) 17566 ≈= ._ AINFCOND , así que la matriz A está bien condicionada (el sistema bAX = dado, estábien condicionado).

Calculemos el vector error residual correspondiente a la solución aproximada X~

, bXAR −= ~, y

recordemos que para evitar la pérdida de cifras significativas, trabajamos en doble precisión, o sea 8dígitos (Options-Precision:8). Antes de cambiar la precisión, entramos los vectores X

~ y b como vectores

fila:

[ ] X,,XA~...: =−−= 64610356281480 y [ ]6310025010,75210 ...: ,b −=

Ahora sí, Options-Precision:8, y calculamos bXAA −. (el . para indicar la multiplicación de la matriz A

por el vector XA), el resultado obtenido es [ ]544 1038500665 ,1055590144 ,1058516301 −−− ××−× ... .

Volvemos a precisión de 4 dígitos (Options-Precision:4) y aproximamos el resultado de bXAA −. , para



obtener ( )T,,R 544 103855105554106301 −−− ××−×= ... , así que 4105554 −∞

×= .R ,

75210.=∞

b , y entonces

344

55 105004091075210

105554756675661

75210105554109648105 −

−

∞

∞−

−− ×<=×≤−

≤×=×<× ..

..

~

....

X

XX

Conclusión: La solución aproximada ( )TX 64610,3562,81480 ...~

−−= aproxima a la solución exactaX del sistema dado con por lo menos tres cifras significativas y no más de cuatro. La solución exacta del

sistema es ( )TX 6460 ,3562,81470 ... −−= . La instrucción en DERIVE para obtener la solución

exacta de un sistema bAX = con solución única es RESUELVA_1(A,b): Simplify.

Problema 2. Considere el siguiente sistema lineal

=−+

=+++

−=+−=++

02

4 4

3 3 22 4

432

4321

321

421

xxx

xxxx

xxx

xxx

Lo primero que observamos es que el sistema dado está ordenado en la forma más apropiada paraaplicar los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel, ya que la matriz de coeficientes de este sistemaes lo más parecida a una matriz estrictamente dominante diagonalmente por filas.

a) ANÁLISIS DE CONVERGENCIA PARA EL MÉTODO DE JACOBI

1) La matriz de coeficientes del sistema dado es

−

−=

211 01 41 10 1312 01 4

A

que no es estrictamente dominante diagonalmente por filas, porque

43424144 112 aaaa ++=+≤= . Luego no se puede concluir todavía sobre la convergencia

del método de Jacobi. Debemos encontrar la matriz de iteración del método de Jacobi

( )ULDBJ += −1 :

Usando DERIVE, entramos la matriz de coeficientes[ ] [ ] [ ] [ ][ ]2110141101312014 −−= ,,,,,,,,,,,,,,,:A , y luego simplificamos la instrucción BJ(A) con lo

cual obtenemos la matriz de iteración



−−−

−−

=

0 21

21

0

410

41

41

0 31

0 31

210

410

JB

2) En DERIVE, la instrucción NORMA_INF( JB ) simplifica en 11 ≥=∞JB , así que no podemos

concluir todavía, a partir de esta norma matricial, sobre la convergencia del método de Jacobi. En

DERIVE, la instrucción ( )`JBINFNORMA _ simplifica en 11

1≥=JB , y tampoco podemos concluir

sobre convergencia, todavía.

3) Debemos calcular el radio espectral de la matriz de iteración JB , ( )JBρ . Esta vez, empezamos

encontrando el polinomio característico de la matriz JB . En DERIVE, la instrucción

CHARPOLY( JB ,w) simplifica en el polinomio característico de JB : 96

342896 24 −++ www.

Trabajando con ( ) 342896 24 −++= wwwwp , encontramos que los valores propios de la matriz

JB son 33461001 .−≈w , 24471702 .≈w y iw 61612600449461043 .., ±≈ . Como

( )( )4343 6177630 ,, . ww ABSDERIVE en ninstrucció≈ , entonces ( ) 16177630 <≈ .JBρ . Por

tanto el método de Jacobi converge converge a la única solución X del sistema dado, cualquiera sea

la aproximación inicial ( ) 40 R∈X . Iterando con el método de Jacobi, tomando aproximación inicial( ) ( )TX 0,0,0,00 = y criterio de aproximación ( ) ( ) 31 105 −

∞

− ×<− kk XX , se obtiene

( ) ( ) XX T ≈−= 8380940 ,5610290 ,117801 ,200239013 ....

(ya que ( ) ( ) 31213 105003754580 −

∞×<≈− .XX y 13=k es el menor entero positivo que

satisface ( ) ( ) 31 105 −

∞

− ×<− kk XX ). La instrucción en DERIVE para calcular las iteraciones es

[ ] [ ]( )

−

NXb 0

A 1500000432 ,,,,,,,,, 4342143421JACOBI : approX.

Cuál es la precisión de la solución aproximada ( )13X ?

Para esto, analicemos las cotas para el error relativo

( )

∞

∞−

X

XX 13

:



( )

( )

( )

( )( )

444 3444 21444 3444 21245 1050500080

4007390

8164

1313

81641

4007390

1083105

13

1

−−− ×=<=

∞

∞∞

∞

∞

=×<×

∞∞

∞ ≤−

≤

......

..

.....

b

RACond

X

XX

ACondb

R

Luego ( )13X aproxima a la solución exacta X del sistema dado con una precisión de por lo menos susdos primeras cifras significativas y no más de cuatro.

b) ANÁLISIS DE CONVERGENCIA PARA EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

1) Ya vimos que la matriz A de coeficientes del sistema dado no es estrictamente dominantediagonalmente por filas, así que no se puede concluir todavía sobre convergencia del método de

Gauss-Seidel. Debemos encontrar la matriz de iteración ( ) ULDB SG1−

− −= del método de Gauss-Seidel:

En DERIVE, la instrucción BG(A) simplifica en la matriz de iteración

−

−−

−−

−−

=−

81

81 0 0

121

121

121 0

61

31

121

0

21

0 41

0

SGB

2) En DERIVE, la instrucción NORMA_INF( SGB − ) simplifica en 143

<=∞−SGB , así que el

método de Gauss-Seidel converge a la única solución X del sistema dado, cualquiera sea la

aproximación inicial ( )0X y se tienen cotas para el error ( )∞

− kXX (observe que

NORMA_INF( `SGB − ) simplifica en 1

87

1<=−SGB , así que también podemos concluir sobre la

convergencia del método de Gauss-Seidel a partir de esta norma matricial, pero ya que

1SGSG BB −∞− < , usaremos la norma ∞

. para los cálculos posteriores).

3) Aunque ya tenemos conclusión sobre la convergencia del método de Gauss-Seidel, calculemos( )SGB −ρ .

En DERIVE la instrucción EIGENVALUES( SGB − , w) simplifica en los valores propios de la matriz

SGB − , que son 01 =w , 41

2 −=w y 241

3 −=w ( 01 =w es valor propio de multiplicidad 2, ya que el

polinomio característico de SGB − es ( )

9612896 22 ++

↓

www).



Como ( ) 141

<=−SGBρ , el método de Gauss-Seidel converge a la única solución X del sistema dado,

cualquiera sea la aproximación inicial ( )0X .

Ya que disponemos de cotas teóricas para el error ( )∞

− kXX , encontremos el menor número de

iteraciones k, de acuerdo con la teoría, para que al aplicar el método de Gauss-Seidel con

aproximación inicial ( ) ( )TX 0,0,0,00 = , se obtenga una aproximación de la solución exacta X delsistema dado, con una precisión de por lo menos tres cifras significativas.

Como

( ) kk

SG

k

BX

XX

=≤

−

∞−

∞

∞

43

, bastará resolver para k la desigualdad 310543 −×<

k

.

La solución de esta desigualdad es, ( )

...ln

lnk 418

43105 3

.=

×

>−

, así que

( )3105 −

∞

∞ ×<−

X

XX k

para todo 19≥k . Calculando ( )19X , usando el método de Gauss-Seidel con aproximación inicial( ) ( )TX 0,0,0,00 = , se obtiene ( ) ( ) XX T ≈−= 840 ,560 ,121 ,2019 .... . En DERIVE, las iteraciones

en el método de Gauss-Seidel se obtienen con la instrucción[ ] [ ]( )19,0,0,0,0,0,4,3,2, −AG_SEIDEL .

Cuál es la solución exacta X del sistema dado?

En DERIVE, la instrucción RESUELVA_1(A,b) con [ ]0432 ,,,: −=b simplifica en la solución exactaT

X

−=

2521

,2514

,2528

,51

del sistema dado.

Si observa las iteraciones en los dos métodos, puede ver el tipo de convergencia para el método deJacobi y compararla con la convergencia para el método de Gauss-Seidel.

¿Cuántas iteraciones serán necesarias, de acuerdo con la teoría, para que al aplicar el método de

Gauss-Seidel con aproximación inicial ( ) ( )TX 0,0,0,00 = , se obtenga una aproximación de lasolución exacta X del sistema dado con una precisión de por lo menos sus tres primeras cifrasdecimales exactas?



TALLER Nº 3b

Problema 1. Considere el sistema lineal

=++

=++−

=−+=++

8422

423

33724

431

432

321

421

xx x

x x x

xxx

x x x

La matriz de coeficientes de este sistema dado es

−−

=

4202231001312014

A

la cual es simétrica (ya que AAT = ), y además, al realizar E.G. sobre A, sin intercambio de filas, seobtiene

−−

=

2928

000

1120

1129

00

211

4110

2014

U

así que A es una matriz definida positiva. Luego el método SOR converge a la única solución X delsistema dado, cualquiera sea la aproximación inicial y cualquiera sea el valor de w con 20 << w . Enparticular, el método de Gauss–Seidel converge. Como el método de Gauss–Seidel es convergente,podemos intentar acelerar la convergencia mediante el método SOR, escogiendo valores de w con

21 << w .

Si iteramos con el método SOR para distintos valores de w, tomando TX )0,0,0,0()0( = y criterio de

aproximación 31 105 −

∞

− ×<− )()( kk XX , obtenemos:

w 011 .= ( Gauss-Seidel ): La instrucción en DERIVE para realizar las iteraciones en el método de

Gauss-Seidel es: [ ] [ ]( )150000018437 ,,,,,.,,,,,ASOR . Aproximando esta expresión se obtieneque

31011 10500320010 −

∞×<=− .)()( XX

Así que( ) ( ) XX

T ≈= 996993000415100183100185111 .,.,.,. .

111 .=w : En este caso, la instrucción en DERIVE para aproximar las iteraciones es

[ ] [ ]( )150000118437 ,,,,,.,,,,,A SOR . Aproximando esta expresión, se obtiene que

SOLUCIÓN NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES


389 105004219270 −

∞×<=− .)()( XX

Así que( ) ( ) XX T ≈= 99823000308100191000919 .,.,.,. .

511 .=w : En este caso, la instrucción en DERIVE es [ ] [ ]( )150000518437 ,,,,,.,,,,,ASOR .Aproximando esta expresión , se obtiene que

31213 105002426740 −

∞×<=− .)()( XX

Así que( ) ( ) XX T ≈= 997921000265100021100188113 .,.,.,. .

Podemos intentar estimar el valor óptimo de w (es decir, el que produce mayor rapidez de convergencia

en el método SOR), encontrando la parábola que interpola los puntos ( )11 Nw , , ( )22 Nw , , ( )33 Nw , ,

donde kN indica el menor numero de iteraciones en el método SOR, para el valor dado kw , que fueronnecesarias para que se satisficiera el criterio de aproximación dado, es decir, interpolamos los puntos( ) ( ) ( )13519111101 ,.,.,,. y .

En DERIVE, la instrucción [ ] [ ] [ ][ ]( )wEINTERPOLATPOLY ,,.,,.,,._ 13519111101 , simplifica en

el polinomio ( ) 97w146w60wp 2 +−= .

Encontramos ahora el valor de opw para el cual la parábola ( )wp alcanza el valor mínimo (si existe en el

intervalo [ )2,1 ). En este caso: ( ) ....' 216611201460146120 ==⇔=−= wwwp . Luego concluimos, de

acuerdo con estos resultados, que el valor optimo de w estará cerca de 21. . Si iteramos con el método

SOR para el valor 21.=w y criterio de aproximación ( ) ( ) 31 105 −

∞

− ×<− kk XX , obtenemos que



( ) ( ) 378 105001923070 −

∞×<=− .XX

Así que( ) ( ) ( )TT XX 1111001351998069099952509987808 ,,,.,.,.,. =≈=

Observe la convergencia en el caso de 21.=w .

Problema 2.. Utilicemos el método de Punto Fijo y el método de Newton-Raphson (si es posible) pararesolver el sistema no lineal

=+=−

− 1422

xye

yxx

( ) ( )( )

−+=−−=

== − 1

40

2

221

2

1

xyey,xf

yxy,xf ,

f

fFcon,XF

x

Solución: Empezamos graficando las ecuaciones 422 =− yx y 1=+− xye x (que son los trazas en el

plano xy de las superficies ( )yxfz ,1= y ( )yxfz ,2= ) en un mismo plano coordenado. En DERIVE

editamos las expresiones 422 =− yx y ( ) 1=+− xyxexp y luego ejecutamos Plot-(Overlay)-Plot.Haciendo esto, se obtiene la siguiente gráfica:

1. MÉTODO DE PUNTO FIJO: Transformamos el sistema ( ) 0=XF en otro equivalente del tipo

( )XGX = .

Observando las posiciones dominantes de las variables x y y , de acuerdo con la solución buscada,obtenemos el siguiente sistema:

≠−

=⇒=+

≥+=⇒=−−

− 01

1

044 222

xx

eyxye

xyxyxx

x ,

,

422 =− yx

1=+− xye x

α De acuerdo con la gráfica, elsistema dado tiene una únicasolución ( ) ( )0402 X=≈ .,α



Luego uno de los sistemas ( )XGX = es:

( )( )( )

−=−=

+=+=−−

x

eyxg

x

ey

yyxgyxxx 11

44

2

21

2

,

,

( ) ( )yxgyxg ,,, 21 son continuas en ( ) :/, 02 >∈= xRyxD Semiplano derecho (abierto)

01 =∂∂

x

g;

2

1

4 y

y

y

g

+=

∂∂

;x

e

x

e

xx

g xx −−

++−=∂

∂22

2 1; 02 =

∂∂

y

g

son continuas en D .

Podemos aplicar el método de Punto Fijo para aproximar la raíz α . Si tomamos, aproximación inicial( ) ( )4020 .,=X y criterio de aproximación ( ) ( ) 41 105 −

∞

− ×<− kk XX , obtenemos:

( ) ( ) 4434 10510030982 −−

∞×<×=− .XX , así que ( ) ( ) α≈= 42573400447724 .,.X

La instrucción en DERIVE para iterar con el método de Punto Fijo es:

( ) ( )( )[ ] [ ] [ ]( ) approXyxxxEXPySQRTPOINTFIXED :,.,,,,/,_ 1040214 2 −−+

2. MÉTODO DE NEWTON_RAPHSON: Primero que todo escriba el sistema dado en la forma:

( )( )

==

00

2

1

yxf

yxf

,,

En este caso, ( ) 4221 −−= yxyxf , ; ( ) 12 −−= − xyeyxf x, .

xx

f21 =

∂∂

; yy

f21 −=

∂∂

; yex

f x −−=∂∂ −2 ; x

x

f−=

∂∂ 2

∂∂

∂=−=

∂∂∂

=∂∂

=∂∂

∂∂∂

==∂∂

∂

−=

∂∂

=∂∂ −

xy

f

yx

f

y

fe

x

f

xy

f

yx

f

y

f

x

f 22

22

22

2x

22

21

21

2

21

2

21

2

10022 ;;;;;

( )yxf ,1 , ( )yxf ,2 y todas las derivadas parciales de orden 2≤ de ( )yxf ,1 y ( )yxf ,2 son continuas

en todo 2R . Podemos explicar el método de Newton_Raphson para aproximar la solución α .

Tomando ( ) ( )4020 .,=X y criterio de aproximación ( ) ( ) 41 105 −

∞

− ×<− kk XX , obtenemos:

( ) ( ) 4623 10510273275 −−

∞×<×=− .XX



Así que ( ) ( ) α≈= 42575700448123 .,.X .

La instrucción en DERIVE para iterar con el método de Newton-Rapshon es en este caso:

[ ] [ ] [ ]( ) approXyxxyeyxNEWTONS x :,.,,,,, 14021422 −+−− −

Problema 3 Considere el polinomio ( ) 28573 2345 +−+−−= xxxxxxp .

a) Haga una gráfica que ilustre cuantas raíces reales tiene la ecuación ( ) 0=xp .

Solución: La gráfica del polinomio ( ) 28573 2345 +−+−−= xxxxxxp es como se indica en lafigura siguiente:

b) Aplique el método de Bairstow y Deflación para aproximar todas las raíces de la ecuación ( ) 0=xp .

Use como criterio de aproximación ( ) ( ) 31 10 −− <− kk uu y ( ) ( ) 31 10 −− <− kk vv , es decir,

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 311 10 −

∞

−− <− kkkk vuvu ,,

Solución: Teniendo en cuenta que 11 −≈α , 02 ≈α y 33 ≈α , podemos escoger valores iniciales de uy v , como sigue:

( )( ) 03330 0022 ==⇒−−≡−=−− vuvuxxxxxx ,

La instrucción en DERIVE para aproximar u y v en el método de Bairstow es:

( )( ) approXxxpBAIRSTOW :,,,, 1003

Aproximando esta expresión, obtenemos ( ) ( ) 3534 1010987377 −−

∞<×=− .XX , así que

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )vuvuX ,,.,. ≈=−= 444 7250570199473

( )xpy =

3α2α1α De acuerdo con la gráfica, la ecuación( ) 0=xp tiene tres raíces reales y dos

complejas no-reales



Luego un factor cuadrático aproximado de ( )xp es 72505701994732 .. +− xx . Las raíces de

072505701994732 =+− .. xx son 24544702 .≈α , 9540223 .=α .

Usamos Deflación, y obtenemos

( ) 7581621383615984023 23 ... +++= xxxxq

La instrucción en DERIVE para obtener el cociente en la división de ( )xp por el factor aproximado

72505701994732 .. +− xx es

( )( ) approXxxxpQUOTIENT :.., 72505701994732 +−

Al graficar este polinomio ( )xq , vemos que 1α es raíz de ( ) 0=xq . Si aplicamos nuevamente, el

método de Bairstow, pero al polinomio ( )xq con aproximación inicial 10 =u , 00 =v , obtenemos( ) ( ) 3534 1010333313 −−

∞<×=− .XX . Así que ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )vuvuX ,,.,. ≈=−= 444 77027903274410

( La correspondiente instrucción en DERIVE es ( )( ) approXxxqBAIRSTOW :,,,, 1001 ).

Luego un nuevo factor cuadrático aproximado de ( )xq es: 77027903274412 .. +− xx . Las raíces de

077027903274412 =+− .. xx son: i665460054 ., ±≈α .

Aplicando nuevamente Deflación pero al polinomio ( )xq

( ( )( ) approXxxqQUOTIENT :.., 770279032744102 +− ), se obtiene en 598423 .+x , y la raíz de

0598423 =+ .x es 86613301 .−≈α .



TALLER Nº 4

Problema 1. Use la forma de Newton del polinomio interpolante para encontrar los polinomios

interpolantes más apropiados de grado uno y dos para aproximar ( )40.f a partir de los datos de la

siguiente tabla, y calcule la aproximación en cada caso. Si la función que se está aproximando es

( )x

exfx

= , analice la calidad de las aproximaciones y concluya, si es posible, cuál es la mejor

aproximación.

kx 10. 30. 50. 70. 01.

( )kxf 05211. 49954. 29743. 87682. 71832.

Solución: grado uno (interpolación lineal): Como 40. equidista de 30. y 50. , hay dos posibilidadesigualmente apropiadas:

a) Con 300 .=x , 501 .=x y la forma progresiva: Utilizando DERIVE, empezamos construyendo la

matriz [ ] [ ][ ]29743504995430 .,.,.,.:=M y aproximamos la instrucción DIFERENCIAS_DIV(M), con

lo cual obtenemos los coeficientes [ ]30.f y [ ]5030 .,.f del polinomio interpolante:

( ) [ ] [ ]( ) ( ) ( ) [ ]5030300105649954505030301 .,......,.. ∈≈−−=−+= xxfxxffxp para

Así que ( ) ( ) 8984534040 1 ... =≈ pf (debe darse como respuesta ( ) 8985340 .. ≈f debido a la

precisión de los datos en la tabla dada).

b) Con 300 .=x , 501 .=x y la forma regresiva: Utilizando DERIVE, intercambiamos las filas en la

matriz M anterior y aproximamos la instrucción DIFERENCIS_DIV(nueva matriz), con lo cual

obtenemos [ ]0105629743 .,. − , así que el polinomio interpolante es ahora

( ) [ ] [ ]( ) ( ) ( ) [ ]5030500105629743505030501 .,......,.. ∈≈−−=−+= xxfxxffxp para

Así que ( ) ( ) 8984534040 1 ... =≈ pf (igual que en el caso anterior debe darse como respuesta

( ) 8985340 .. ≈f ). Observe que ( ) ( )4040 11 .. pp = , como era de esperarse.

Como ( ) ...72956340 .. =f , en este caso el error real en la aproximación obtenida es

( ) ( ) ( ) ...16880404040 1 .... −=−= pfE

Grado dos: Hay dos posibilidades igualmente apropiadas:

a) Tomando los nodos 30. , 50. y 70. y la forma progresiva de Newton ( 40. está más cerca de 30.que de 70. ). Trabajamos ahora con la matriz [ ] [ ] [ ][ ]876827029743504995430 .,.,.,.,.,.:=M . En

DERIVE la instrucción DIFERENCIAS_DIV(M) aproxima en el vector

[ ] [ ] [ ]

− !"!#$!"!#$"#$

705030503030

7687590105649954.,.,..,..

.,.,.fff

.

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL


Así que el polinomio interpolante de grado dos es, en este caso

( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ]703050307687593001056499542 .,....... ∈≈−−+−−= xxfxxxxp para

y entonces ( ) ( ) 800762534040 2 ... =≈ pf (debe darse como respuesta ( ) 8008340 .. ≈f ).

El error real es, en este caso, ( ) ( ) ( ) ...07120404040 2 .... −=−= pfE .

b) Tomando los nodos 10. , 30. , 50. y la forma regresiva de Newton ( 40. está más cerca de 50. que

de 10. ). Trabajamos ahora con la matriz [ ] [ ][ ][ ]052111049954302974350 .,..,.,.,.:=M . En

DERIVE la instrucción DIFERENCIAS_DIV(M) aproxima en el vector

[ ] [ ] [ ]

− "#$!"!#$"#$

503010503050

88660105629743.,.,..,..

.,.,.fff

.

Así que el polinomio interpolante de grado dos para estos nodos es

( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ]5010305088665001056297432 .,....... ∈≈−−+−−= xxfxxxxp para

y entonces ( ) ( ) 2296534040 2 ... =≈ pf (realmente ( ) 2297340 .. ≈f ).

El error real, en este caso, es ( ) ( ) ( ) ...4990404040 2 .... =−= pfE .

En la siguiente tabla aparecen todas las diferencias divididas necesarias en los cálculos anteriores:

kxD.D.0

( ) [ ]kk xfxf =D.D.1

[ ]1+kk xxf ,D.D.2

[ ]21 ++ kkk xxxf ,,

10. 05211. 762532.− 8866.30. 49954. 01056.− 768759.50. 29743. 1032.−70. 87682.01. 71832.

Cuál de todas las aproximaciones calculadas es la mejor?

De acuerdo con los tres resultados obtenidos, y comparando los errores reales, es claro que la mejor

aproximación la dá ( ) 80076253402 .. =p . Sin embargo, observe que al comparar ( )401 .p y ( )402 .p ,

es mejor resultado ( )401 .p (interpolación lineal), y al comparar ( )402 .p y ( )402 .p , es mejor

aproximación ( )402 .p . Finalmente, al comparar ( ) ( )4040 11 .. pp = con ( )402 .p es mejor aproximación

( )402 .p .

Cuál es su conclusión, respecto a la calidad de la aproximación al comparar una interpolación lineal conuna cuadrática?


Universidad Nacional de Colombia - Sede

La gráfica de los polinomios ( )xpy 1= , ( )xpy 2= , ( )xpy 2%%%= y la función ( )x

exfx

= junto con los

puntos dados es como se indica en la figura siguiente:

ANÁLISIS TEÓRICO DEL ERROR EN LA INTERPOLACIÓN

1. Para [ ]5030 .,.∈x , el error al aproximar ( )xf mediante ( )xp1 es

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )5030 50302

1.,.,.. ∈′′−−= xxfxxxE ξξ algún para

Como ( )

+−=′′

32

221

xxxexf x es decreciente y positiva en el intervalo [ ]5030 .,. (Vea la siguiente

gráfica), entonces ( ) ( ) 7549227430 <≈′′≤′′ ..fxf para todo [ ]5030 .,.∈x .

( )xfy ′′=

( )xpy 2=

( )xpy 2=

( )xpy 1=

x

ey

x

=

Medellín 3


4 U

Luego

( ) ( )( ) ( ) [ ]50303050302

1.,.... ∈′′−−≤ xfxxxE paratodo ,

En particular,

( ) ( )( ) ( ) 110550...37030504030402

140 −×=<=′′−−≤ ..fE ......

desigualdad que no garantiza alguna cifra decimal exacta de precisión en la aproximación de ( )40.fmediante ( )401 .p .

2. Para [ ]7030 .,.∈x , el error al aproximar ( )xf mediante ( )xp2 es

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )70307050303

1.,....

!∈′′′−−−= xxfxxxxE ξξ algún para

Como ( )

−+−=′′′

432

6631

xxxxexf x es creciente y negativa en el intervalo [ ]7030 .,. (vea la figura

siguiente), entonces ( ) ( ) 42274030 .. ≈′′′≤′′′ fxf para todo [ ]7030 .,.∈x

( )xfy ′′′=

niversidad Nacional de Colombia - Sede Medellín



Luego

( ) ( )( )( ) ( ) [ ]7030300750306

1.,.... ∈′′′−−−≤ xfxxxxE todo para

En particular

( ) ( )( )( ) ( ) 110550...370300740504030406

140 −×<=′′′−−−≤ = . .fE .......

que no garantiza de error que no garantiza alguna cifra decimal exacta de precisión en la aproximación

de ( )40.f mediante ( )402 .p .

Problema 2. Encuentre el Trazador cúbico natural que interpola la tabla siguiente:

x 1− 0 1 2( )xfy = 0 3 11 24

Solución: De acuerdo con la teoría, sabemos que dada una tabla de datos ( )kk yx , , nk ,...,1,0= ,

existe un único Trazador cúbico natural )(xT que interpola dicha tabla. Para este caso, tal Trazador es

de la forma

( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

[ ]

( ) ( ) ( )( )

[ ]

( ) ( ) ( )( )

[ ]

∈−+−+−+

∈−+−+−+

−∈−−+−−+−−+

=

2,1 ,111

1,0 ,000

0,1 ,111

2

1

0

32

2222

31

2111

30

2000

xxdxcxba

xxdxcxba

xxdxcxba

xT

xp

xp

xp

!!!!!!! "!!!!!!! #$

!!!!!!! "!!!!!!! #$

!!!!!!!!! "!!!!!!!!! #$

con ( ) 000 == xfa , ( ) 311 == xfa , ( ) 1122 == xfa y 210 , , bbb , 210 , , ccc , 210 , , ddd son

constantes por determinar.

Utilizando el DERIVE, tal Trazador cúbico natural se obtiene mediante la instrucción:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]24,2,11,1,3,0,0,1−TRAZADOR ). Al simplificar esta instrucción, obtenemos

+++−

+++++

426

353

353

23

2

23

xxxxxxxxxxx

, es decir, ( )[ ]

[ ][ ]

∈+++−

∈++−∈+++

=2,1 ,426

1,0 ,353

0,1 ,353

23

2

23

xxxxxxx

xxxxxT .

Utilizando el DERIVE, se puede graficar el Trazador ( )xT con la instrucciones Plot (Overlay) Plot, de la

misma manera que se grafica una función ( )xf , y entrando los dominios correspondientes a cada

polinomio ( ) 2 ,1 ,0 , =kxpk , cuando pida los valores minX y maxX .

La gráfica obtenida es



Como ejercicio verifique que, efectivamente, ( )xT satisface todas las condiciones de un Trazador

cúbico natural en el intervalo [ ]2,1−

( )xTy =


Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín

TALLER Nº 5

Problema 1. Use la regla de los Trapecios y Simpson

3

1 con 10 subintervalos para aproximar la

cuarta parte de la longitud del arco de la elipse:

14

22

=+ yx

Solución: La elipse es como se indica en la siguiente figura:

Como 14

22

=+ yx, entonces 2

2

42

1

41 xxy −=−= ;

dxdy

la longitud del arco de la curva, usando coordenadas cartesian

(xdx

xxL ∫ ∫ −

+=

−−+=

2

0

2

0

22

2 441

421

Como +∞=−−

−→ 2

2

2 4

316

xxlim

x (L es una integral impropia),

Trapecios, ni la regla de Simpson

3

1 para aproximar el valo

1

1

( )22 4242

2

2

1

xx

xx

−−=

−

−= y por tanto

as, es

) dxxxdx

x ∫ −−=

2

02

2

2 4

316

2

1

no se pueden aplicar las reglas de los

r de L ( ( ) ?2 =f ); y ya que el único punto

24

2xy −=

INTEGRACIÓN NUMÉRICA


de discontinuidad de la función f definida por ( )2

2

4

316

2

1

xxxf

−−= para [ ]2,0∈x , está en 2=x

(pendiente infinita!), un intento de aproximar L es calculando dxxx

∫−

−−ε2

02

2

4

316

2

1 con 0>ε pequeño.

Haciendo los cálculos de esta integral para distintos valores de ε , aplicando las reglas de los Trapecios y

Simpson

3

1 con 10=N , se obtienen los resultados que aparecen en la siguiente tabla:

ε−= 2b Trapecios Simpson

3

1

91. 107302. 093742.991. 570332. 454332.

9991. 662093. 188093.99991. 081117. 468045.

Las instrucciones en DERIVE para los cálculos anteriores, son:

( )( )10,,,, baxxfTrapecio ; ( )( )10,,,, baxxfSimpson : approX.

Estos resultados indican que no es una estrategia apropiada la que se intentó para aproximar la longitud

L (Por qué? Observe que ( ) +∞→bf cuando −→ 2b ).

Otra forma de resolver el problema planteado es parametrizando la elipse:

112

114

2222

=

+

⇔=+ yxyx

Una parametrización de la cuarta parte de la longitud de la elipse indicada en el dibujo es

20 ,

2 π≤≤

==

ttytx

sen

cos

En este caso la longitud L viene dada por

( ) ( )

( )!!! "!!! #$

clase segunda de elíptica integral

dttdttdttt

dtttdtttdtdtdy

dtdxL

∫∫∫

∫∫∫

−=−=+−=

+=+−=

+

=

2

0

22

0

22

0

22

2

0

222

0

222

0

22

4

3123414

42

πππ

πππ

coscoscoscos

cossencossen



Si ( ) ttf 2

4

312 cos−= , entonces f es continua en el intervalo finito

20

π, , así que se pueden aplicar

las reglas de los Trapecios y Simpson

3

1 para aproximar la longitud L.

Si 10=N , entonces el tamaño de paso es 20

π=−=N

abh , así que los puntos de la partición en el

intervalo

20

π, son: 00 =x ,

201

π=x , 20

22

π=x , 20

33

π=x , 20

44

π=x , 20

55

π=x , 20

66

π=x ,

20

77

π=x , 20

88

π=x , 20

99

π=x y 220

1010

ππ ==x .

Al aplicar la regla de los Trapecios, se obtiene:

( )

( )

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+≈

102

0 422112

20

9

20

8

20

7

20

6

20

5

20

4

20

3

20

2

20 2

20

2

,,,,.π

ππππ

ππππππ

ttfTrapecio

ffff

fffffffhL

Al aplicar la regla de Simpson

3

1, se obtiene:

( )

( )

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+≈

102

0 422112

20

8

20

6

20

4

20

22

20

9

20

7

20

5

20

3

204

20

3

,,,,.π

ππππ

ππππππ

ttfSimpson

ffff

fffffffhL

En DERIVE para producir la tabla de valores de la función ( ) ttf 2

4

312 cos−= , ejecutamos la

instrucción

−

2020

4

312 2 ππ

,,,,cos, tttVECTOR :approX.

(Con DERIVE: Calculus-Integrate:approX, aplicado a la integral en consideración, produce el valoraproximado 422112.≈L )



ANÁLISIS TEÓRICO DEL ERROR EN LA APROXIMACIÓN

I. Regla de los Trapecios: El error total al aplicar la regla de los Trapecios para aproximar el valorde la longitud del arco L de la elipse es

( ) ( )ξξ fabhfNhET ′′−−=′′−=1212

23

con

∈

20

πξ ,

es decir, el error al aproximar L mediante la regla de los Trapecios con 10=N , es

( )ξ

ππ fET ′′

−=

122

20

2

con

∈

20

πξ , (20

π=h )

Como ( ) ttf 2

4

312 cos−= , entonces ( )

( ) 13

3

13

32

2

2

32

2

+−

+=′′

tt

t

ttfsen

sen

sen

cos. La gráfica de la función

( )tfy ′′= es como se indica en la siguiente figura:

De acuerdo con la gráfica se tiene que ( ) ( ) 30

20

=′′=′′

∈

ftfMaxt π

,

, así que

2

2

105050...0096032420

−×=<=

≤ .ET .

ππ

lo que garantiza, despreciando errores de redondeo, que el número 422112. aproxima al valor exacto de

L con una precisión de por lo menos una cifra decimal exacta.


Universidad Nacional de Colombia - Sede Medel

II. Regla de Simpson

3

1: El error total al aplicar la regla de Simpson

3

1 para aproximar el

valor de la longitud del arco L de la elipse es

( )( ) ( )( )ξξ ivivT fabhfNhE

1802904

5 −−=−= con

∈

20

πξ ,

es decir,

( )( )ξππ ivT fE

36020

4

−= con

∈

20

πξ ,

Como ( ) ttf 2

4

312 cos−= , y

( )( )tf iv es una función muy complicada, pero su gráfica es como se

indica en figura siguiente:

entonces( )( ) ( )( ) 390

20

==

∈

iviv

tftfMax

π,

, así que

4

23936020

=

≤ ππ

TE

lo que garantiza, despreciando los errores de redon

exacto de L con una precisión de por lo menos tres cif

Otros resultados obtenidos utilizando las reglas de los

de N son

( ) ( )tfy iv=

lín 5

44 10510...07 −− ×<×.

deo, que el número 422112. aproxima al valor

ras decimales exactas (4, 2, 2).

Trapecios y Simpson

3

1 para distintos valores



N Trapecios Simpson

3

1

10 422112. 422112.20 422112. 422112.6 422112. 422152.4 422102. 422832.

Problema 2. a) Utilice el método de los coeficientes indeterminados para generar una fórmula deintegración numérica del tipo

( ) ( )∑∫=

≈n

jjj xfAdxxf

1

1

0

que sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que cuatro.

Solución: De acuerdo con ele método de los coeficientes indeterminados, la fórmula buscada es del tipo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ++++≈1

014321410 !!!!!!!!!! "!!!!!!!!!! #$

FormulafEfDfCfBfAdxxf ///

donde DyCBA ,, son coeficientes por determinar. Ahora bien, la fórmula buscada será exacta para

todos los polinomios de grado 4≤ si y solamente si es exacta para las funciones polinómicas básicas de

grado 4≤ : 4321 xyxxx ,,, .

Luego las siguientes ecuaciones permitirán determinar los coeficientes EyDCBA ,,, :

( )( )

==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⇔= ∫↑

≡

1

0

1111111011

dxEDCBAExf

T

( )( )

==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⇔= ∫↑

=

1

02

11

4

3

2

1

4

100 xdxEDCBAxE

xxfT

( )( )

==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⇔= ∫↑

=

1

0

22

3

11

16

9

4

1

16

100

2

dxxEDCBAxE

xxf

T

( )( )

==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⇔= ∫↑

=

1

0

33

4

11

64

27

8

1

64

100

3

dxxEDCBAxE

xxf

T

( )( )

==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⇔= ∫↑

=

1

0

44

5

11

256

81

16

1

256

100

4

dxxEDCBAxE

xxf

T

El sistema lineal resultante de 5 ecuaciones en las 5 incógnitas EyDCBA ,,, tiene solución única.



Para trabajar en DERIVE, primero defina ( ) 1=:xf , y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )14321410 fEfDfCfBfAFORMULA ++++= ///: .

Si simplifica la formula para cada una de las funciones polinómicas básicas de grado 4≤ : ( ) 1=:xf ;

( ) xxf =: ; ( ) 2xxf =: ; ( ) 3xxf =: : ( ) 4xxf =: , se obtiene la expresión del lado izquierdo de cada

una de las ecuaciones listadas antes.

Se resuelve el sistema lineal resultante en la instrucción:

[ ]( )51

41

31

211 ,,,,,_ MIRESUELVA : Simplify, siendo M la matriz de coeficientes del sistema.

Tal solución es:

90

7=A , 90

32

45

16 ==B , 90

12

15

2 ==C , 90

32

45

16 ==D , 90

7=E .

Luego la fórmula obtenida es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ++++≈1

0

143

21

41 732123207

90

1 fffffdxxf

que es exacta para todos los polinomios de grado 4≤ .

b) Verifique que la fórmula obtenida es exacta para todos los polinomios de grado 5.Solución: Como la fórmula obtenida es exacta para todos los polinomios de grado 4≤ , entonces paraverificar que la fórmula es exacta para todos los polinomios de grado 5 es suficiente verificar que la

formula es exacta para el polinomio básico de grado 5, 5x :

( ) ( ) ( )555551

0

5

1024

15360

90

117

4

332

2

112

4

13207

90

1

6

1 xFÓRMULAdxx =

=

+

+

+

+==∫

La fórmula NO es exacta para todos los polinomios de grado 6, pues

( )61

0

6

384

55

7

1 xFÓRMULAdxx =≠=∫

c) Aproxime 2ln , usando la fórmula obtenida en a) y calcule el error que se comete en la aproximación:

Solución: Como ∫=2

1

12 dx

xln , y la formula obtenida esta definida para integrales en el intervalo [ ]10, ,

empezamos definiendo el siguiente cambio de variable dtdxtx =+= ,1 , con lo cual

....69317460306300

4367

11

17

14

31

321

2

11

121

4

11

3210

17

90

1

1

1

1

112

1

0

2

1

==

++

++

++

++

+=

+≈

+== ∫∫ t

FÓRMULAdtt

dxx

ln



El error real es tal que

55 105106826300

43672 −− ×<×=−= ....ln real Error , lo que asegura que

6300

4367 aproxima a 2ln

con sus primeras 4 cifras decimales exactas, que son 6, 9, 3 y 1.



TALLER N°°°°6

Problema 1. Un proyectil de masa kgm 110.= se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con

una velocidad inicial ( ) segmv 80 = y se va frenando debido a la fuerza de la gravedad y a la resistencia

del aire que suponemos proporcional al cuadrado de la velocidad en cada instante t ( 289 segmg .= ,

constante de proporcionalidad mkgk 0020.= )

a) Demuestre que la ecuación diferencial para la velocidad ( )tv del proyectil, en cada instante t , es:

( ) ( )( )( )( )

+−

−−=′

bajando está proyectil el mientras ,

subiendo está proyectil el mientras ,

2

2

tvkmg

tvkmgtvm

Demostración: Sea ( )tx la posición del proyectil, respecto al nivel del suelo, en el instante t . Entonces

.

De acuerdo con la 2ª ley de Newton: ( ) ( )tvmtxmFFF rgTOTAL ′=′′=+= siendo m la masa del

proyectil y ( )tx ′′ la aceleración del proyectil, Entonces:

( ) ( )[ ]2tvkmgtvm −−=′ ó

( ) ( )[ ] Mtttvmkgtv ≤≤−−=′ 0,2

!

Siendo Mt el tiempo donde se alcanza la altura máxima.

( )

( )[ ]2tvkmgFFF rgTOTAL

tvm

+−=+=⇑′

( ) ( )[ ] Ttttvmkgtv M ≤≤+−=′∴ ,2

"

T tiempo que tarda el proyectil.

Las ecuaciones ! y " se pueden recoger en una sola ecuación, como sigue:

( ) .mx 00 =( ) ( )tvtx =′ es la velocidad del proyectil en el

instante t, ( ) ( ) segmvx 800 ==′ .

Las fuerzas que actúan sobre el proyectil son:mgFg −= (fuerza de gravedad, contraria a la

dirección del movimiento cuando el proyectil vasubiendo. Dirección positiva hacia arriba).

( )( )2tvkFr −= (Fuerza debida a la resistencia

del aire, contraria a la dirección del movimiento entodo instante t .

SOLUCION NUMERICA DE P.V.I. PARA E.D.O.


Mientras el proyectil está subiendo ( ) 0≥tv para todo t con Mtt ≤≤0 , ( )tx es creciente, es decir,

( ) ( ) 0≥=′ tvtx ; cuando el proyectil está bajando ( ) 0≤tv para todo t con TttM ≤≤ , ( )tx es

decreciente, es decir, ( ) ( ) 0≤=′ tvtx .

Para el caso ! ( )( ) 1=tvtv

, ( ) 0>tv ; para el caso " ( )( ) 1−=tvtv

, ( ) 0<tv .

Luego las E.D. ! y " se pueden recoger en el modelo:

( ) ( ) ( )tvtvmkgtv −−=′

La función ( ) ( )tvtv es claramente continua en [ ]T,0 , en particular, es continua en Mtt ≡

( ( ) ( ) ( ) ( )MMtttvtvtvtvlim

M

==→

0 )

b) Demuestre que el problema de valor inicial

( ) ( )( )

=

≤≤−−=′

80

0

v

Tt ,tvtvmkgv

correspondiente a la situación descrita en el enunciado del problema tiene solución única en el intervalo

[ ]T,0 .

Demostración: Para este problema de valor inicial tenemos que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tvtvtvtvtvtvmkgvtf

55

189

110

002089 −−=−−=−−= .

...,

que es continua en ( ) 8≤≤≤= vTtovtD ,/, ( D es un conjunto convexo; 8≤v , pues

físicamente la velocidad máxima que alcanza el proyectil es su velocidad inicial ).

( ) ( )55

2 tvv

vtf −=∂

∂ , ( Verifíquelo! ) que esta definida en D , y como

( ) ( ) Ltvv

vtf ==≤−=∂

∂55

168

55

2

55

2,, para todo ( ) Dvt ∈,

entonces el problema de valor inicial dado tiene solución única en el intervalo [ ]T,0 .

c) Utilice el método de Runge-Kutta de orden 4 para estimar la velocidad del proyectil en cada uno delos instantes 015040302010 ......... ,,,,,, segundos, tomando como tamaño de paso 10.=h .

Solución: Haciendo los cálculos de las aproximaciones en el método de Runge-Kutta utilizando elDERIVE (precisión 6 dígitos), se obtiene


Universidad Nacional de Colombia

KK V t

Los resultados que aparecen en la tab

d) Estime el tiempo para el cual el pr

Solución: De acuerdo con los re

( ) 0135820080 <−≈ ..v , entonces e

máxima, es decir , existe [ 070 ,.∈Mt

Para estimar el tiempo Mt en el cual o

El polinomio de interpolación lineal

obtener a partir de los puntos ( 070 .,.

( ) 771 .=tp

(una instrucción en DER

[[(POLYNEWTON .,._ 84454070

Nos interesa encontrar t tal que 1p7861450.≈Mt , que es un valor a

resultado?

e) Estime la altura máxima alcanzad

Solución: Bastaría estimar ( 78610.x

( 78610.x

Considerando la tabla de valores:

( ) 10210 ,,,,k ,tvV ...=≈( )∗

- Sede Medellín 3

la anterior se obtienen en DERIVE, aproximando la expresión

oyectil alcanza la altura máxima y empieza a caer.

sultados de la tabla anterior, como ( ) 0844542070 >≈ ..v y

n el intervalo de tiempo [ ]8070 .,. el proyectil alcanza su altura

]8. tal que ( ) 0=Mtv .

curre ( ) 0=tv , usamos por ejemplo, interpolación lineal inversa.

para aproximar la velocidad en el intervalo [ ]8070 .,. , se puede

)844542 y ( )135820080 .,. − . Tal polinomio es:

( ) [ ]80708036290707 .,.. ∈≈− t ,tvt

IVE para obtener el polinomio anterior es

] [ ] ] ) approX:.,., 1358200802 − ).

( ) 0=t . Si resolvemos ( ) 01 =tp para t ( soLve ), se obtiene

proximado de t para el cual ( ) 0=tv . Se puede mejorar este

a por el proyectil.

)45 . Como tenemos información de ( ) ( )txtv ′= , podemos usar

) ( ) ( ) ( )∫ ∫=′=−7861450

0

7861450

0

045. .

dttvdttxx

KK

SOLUCION NUMERICA DE P.V.I. PARA E.D.O.

4

[ ]80707861450 .,.. ∈≈t

( )KKK tvV t ≈

• ( ) approXMDATATRAPECIO :_ : Usa la regla de los trapecios para integrar los puntos de la

matriz M ( por cada dos datos consecutivos [ ]kk yx , , [ ]11 ++ kk yx , hace pasar el correspondiente

polinomio de interpolación lineal ). En este caso se obtiene el valor 08651.3 , así que

( ) ≈≈ 08651.376145.0x altura máxima alcanzada por el proyectil.

• ( ) approXMDATASIMPSON :_ : Usa la regla de Simpson

3

1 para integrar los puntos de la

matriz M ( por cada tres puntos consecutivos [ ]kk yx , , [ ]11 ++ kk yx , , [ ]22 ++ kk yx , hace pasar el

correspondiente polinomio de interpolación de grado 2≤ ). En este caso se obtiene el valor≈07710.3 altura máxima alcanzada por el proyectil.

• ( ) approXDATAINT :_ ∗ ; En este caso ( )∗ es la matriz de resultados obtenida al aplicar el

método de Runge_Kutta, y al aproximar esta instrucción obtenemos una tabla de valores que

permiten aproximar a una antiderivada ( )tx de ( )tv , teniendo el valor 0 en el punto ( )00 Vt , . Para

tal aproximación usa la regla de los Trapecios. Si hacemos tales cálculos obtenemos los resultadosque aparecen en la tabla siguiente:

kk X t

Haciendo, por ejemplo, in

obtenemos ( ) 354390.=txpor el proyectil.

( ) 1010 ...,,,, =≈ ktxX kk

M

terpo

29 +t

En situaciones como estas, donde los puntos de lapartición no están igualmente espaciados (ver último puntoen la tabla) se pueden usar varias instrucciones enDERIVE para aproximar la integral a partir de los puntosdados.

Algunas de ellas son:

lación li

80205. .

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín

neal usando los puntos [ ]05013.3,7.0 y [ ]08557.3,8.0 ,

Así que ( ) ≈≈ 08066.3786145.0x altura máxima alcanzada



Nota: la E.D. !: ( ) ( )[ ]2tvmkgtv −−=′ , Mtt ≤≤0 , se puede resolver por separación de variables :

∫ ∫−=+

dtdvv 2

110

002089

1

...

De donde

ctvtan +−=

−

77

11

7

115 1 , c constante arbitraria.

Como ( ) 80 =v , entonces

= −

77

118

7

115 1tanc . Luego la solución del P.V.I. correspondiente viene

definida implícitamente en la ecuación

+−=

−−

77

118tan

7

115

77

11tan

7

115 11 tv ,

y entonces encontrar t para el cual ( ) 0=tv da como solución

786139.077

118tan

7

115 1 ≈

== −ct .

Compare con el resultado obtenido anteriormente.

MÉTODOS NUMÉRICOS


EJERCICIOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD

1. Una máquina automática guarda los números de la siguiente manera:

a) Usa base diez.b) Ocupa sendas posiciones (de memoria) para el signo del exponente, su valor, y el signo del

número, y cuatro posiciones para la mantisa normalizada.

i. Dar el número positivo más pequeño que guarda la máquina.ii. Dar el número positivo más grande que guarda la máquina.iii. Dar el número que le sigue a:

+ 0 + 8 9 5 9

iv. Listar los cuatro primeros números positivos que distingue la máquina.v. Listar los cuatro últimos números positivos que distingue la máquina.vi. ¿ Cuántos números distintos de cero distingue la máquina?vii. En la forma ( )0,a (intervalo de underflow) y ( )b,+∞ (intervalo de overflow), dar a y b .viii. Responder las siguientes preguntas:

¿ En el conjunto de los números reales R hay un primer número positivo?¿ R tiene un número finito de elementos?¿En R cada número tiene un consecutivo?¿En R cada número tiene expansión decimal finita?

2. Se define xsenh como 2

xx eexsenh

−−= . Se pide:

a) Dibujar xe y xe− .b) Dar una fórmula apropiada para xsenh , que sea más conveniente desde el punto de vista

numérico, cuando x es pequeño. Discuta. Justifique.

3. Considere la serie numérica ∑∞

=1

1

n n y su sucesión de sumas parciales ,...,n ,S nn 21= asociada:

∑=

=+++=n

kn kn

...:S1

11211

Sabemos que ∑∞

=1

1

n n diverge a ∞+ . Si se calculan términos de nS en la máquina hipotética del

problema 1, se pide dar una cota para detener el proceso antes de que la máquina se detenga poroverflow.

4. Sea N un entero positivo y 1≠∈ x ,x R . Llame:

( ) NNN xx...xx:xG +++++= −121

y

MÉTODOS NUMÉRICOS


x

x:Q

N

N −−

=+

11 1

Se sabe que ( ) ( )xQxG NN = , para todo 1≠∈ x ,x R .

Para 1−r pequeño, ¿Cuál expresión prefiere para cálculos numéricos de ( )rGN y ( )rQN ?

Discuta. Justifique.

5. La sucesión ...,6

1,...,61,

61,1

12 −n puede generarse mediante la fórmula de recurrencia:

,...3,2 ,637

21 =−= −− nxxx nnn con 61

1 10 == xx y

Tomando 166637

166061

.. ≡≡ y , analizar la estabilidad numérica de la fórmula para calcular la

sucesión. ¿Puede dar una explicación razonable del comportamiento de los cálculos ?

6. Considere la ecuación de segundo grado 02 =++ cxbxa en el caso 1=a ; 11111.=b y

21211.=c . Resolverla usando la fórmula usual.

¿Tiene completa confianza en su respuesta numérica? Discuta. Justifique.

Calcule el error relativo en su respuesta, usando como valor exacto el que da DERIVE con 20 cifrasdecimales en aritmética aproximada.

Dé una forma segura de calcular sus raíces, para el caso particular y el caso general. Recalcule.

7. Representar los números 210 2 210 43 ,,− en una máquina que usa 5=t dígitos de precisióny redondea (round-off). Calcular los errores relativos y absolutos que comete en cada una de estasrepresentaciones. Analizar los resultados.

8. Calcular ( ) 2020 101101 −+ − en calculadora, computador y manualmente, analizar sus resultados.

9. Escribir en programa de computador o calculadora que calcule

01010 .x.x ∗∗−

25000 veces y acumule los resultados parciales de esta operación. Cambie el nivel de precisión dela aritmética de la máquina y de las constantes que aparecen en la expresión. Analizar losresultados (para varios valores de x).

10. Dado k entero positivo se tiene la fórmula de recurrencia.

( ) ( ) xmcosxlncosxcosxmcos 121 −−=+ para 121 −= k,...,,m .

Calcular 10cos con cien pasos y 10.x = rad. Calcular el error relativo en cada paso. Analizar los

resultados. Tomar otros valores de x ( )200 .≤< x .

MÉTODOS NUMÉRICOS


EJERCICIOS SOBRE SOLUCIÓN NUMÉRICA DE UNA ECUACIÓNNO-LINEAL EN UNA VARIABLE

1. Un medicamento administrado a un paciente produce una concentración en el torrente sanguíneo

dada por ( ) mlmgAtetct

/3−

= , t horas después de que le fueron inyectadas A unidades del

medicamento. La concentración máxima segura de medicamento es de mlmg /1 . Donde seanecesario, utilice un método numérico apropiado para responder las siguientes preguntas:

a) Qué cantidad de medicamento debe ser inyectada para alcanzar la concentración máxima seguray cuándo ocurrirá este máximo?

b) Una dosis adicional de este fármaco le será administrada al paciente después de que laconcentración decaiga a mlmg /250. . Determine, con un error máximo de un minuto, cuándodebe ser proporcionada la segunda inyección.

c) Suponiendo que la concentración de las inyecciones consecutivas es aditiva y que el 75% de ladosis inyectada originalmente se administra en la segunda inyección, ¿cuándo se presenta elmomento para la tercera inyección?

2. Usar un procedimiento iterativo para calcular una aproximación de la menor raíz positiva de laecuación 02 =− xxsenπ . Calcular tres iteraciones.

3. Considerar la ecuación 2+

=x

xxtan , 2−≠x .

Usar el método de Bisección para estimar la menor raíz positiva de la ecuación, con los resultadosde la tercera iteración. Dar una cota para el error que se comete.

4. Aplicar el método de Newton-Raphson a la ecuación 012

22 =−+

xxSenπ

, tomando 21

0 =x .

Calcular dos iteraciones para establecer un valor aproximado de la raíz positiva.

5. Para la función ( ) 22 −+= − xexf x , obtener aproximaciones a todos sus ceros, usando el métodode Bisección, con la cuarta iteración. Tabular sus cálculos.

6. El Principio de Arquímedes establece que el empuje a que está sometido un cuerpo sumergido en unlíquido es igual al peso del fluido desplazado.

Al plantear esta condición de equilibrio para una esfera de radio 1 cm y densidad 750.=γ gm/cm3 ,

se consigue la ecuación 033 23 =+− hh , donde h es la altura de la parte de la esfera que estásumergida.Se pide aplicar el método de Newton-Raphson-Horner para estimar un valor aproximado de h,

usando dos iteraciones. Tomar 10 =h (valor inicial).

MÉTODOS NUMÉRICOS


7. Considerar la ecuación ( ) app yny =− −1 para 10 << p y 0>> yn . Resolver esta ecuación

para los valores 1470 35 100 .=== ayn y, .

8. Considerar la ecuación

03 =− xe x (1)

a) Estudiar gráficamente la ecuación (1). ¿Cuántas raíces tiene la ecuación dada en [ ]40, ?

b) Justificar que se puede aplicar Bisección a ( ) xexf x 3−= en [ ]10, . Hallar una aproximación

a la raíz en [ ]10, , con tres iteraciones. Dar la cota de error.

c) Tomando 41

0 =x , calcular diez iteraciones por el método de Newton-Raphson, aplicado a f.

d) Considerar la sucesión nnx generada por las iteraciones del método de Newton-Raphson.

Demostrar que si Lxnn →

∞→, entonces L es una raíz de ( ) 0=xf .

e) Las funciones ( ) ( ) xlnlnxgexg x +== 3 31

21 y , ¿tienen alguna relación con el cálculo de

las raíces de la ecuación (1)?

f) Calcular ( ) 10111 ,...,n,xgx nn == − ; ( ) 10112 ,...,n,xgx nn == − , para cada una de las

siguientes aproximaciones iniciales: 2500 .=x , 4000 .=x , 5000 .=x , 010 .=x y 020 .=x .

Estudiar los resultados.

9. Considerar la ecuación 0=− xtanx . Aplicar el método de Newton-Raphson parra calcular dos

iteraciones que busquen aproximar la menor raíz positiva de la ecuación. Tomar 60π

=x . Usar

aritmética aproximada truncando en la cuarta cifra decimal. Hacer una gráfica aproximada delocalización de la raíz buscada.

10. Combinar los métodos de Bisección y Newton-Raphson para hallar una aproximación de la menor

raíz positiva de 0432 3 =−− xx .

11. Considere la función ( ) xexh x −= −1 .

a) Probar que h tiene un único cero, determínelo y dé su multiplicidad.b) Usar el método de Newton-Raphson para aproximar el cero de h con tres iteraciones. Dar la

velocidad de convergencia del método escogido.

12. Considerar la ecuación 01062 =+− xx .

Al aplicar el procedimiento de Newton-Raphson, ¿qué resultados se consiguen? ¿Tendría elpolinomio raíces reales?

MÉTODOS NUMÉRICOS


13. Considerar la sucesión

+=+

nnn x

axx

21

1 , ,...,,n 210= , donde 0>a .

a) Pruebe que si la sucesión converge lo hace a a . (Nota: Para 0>a y 00 >x , la sucesión

siempre converge a a ).b) Calcular el orden de convergencia de la sucesión asumiendo que es convergente.

14. Probar que la función ( ) 1−−= xexf x tiene un cero de multiplicidad dos en 0=x .

15. Demostrar que la función ( ) 2

21

1 xxexf x −−−= tiene uno y sólo un cero, que es 0=x , dar su

multiplicidad. Calcular f en valores cercanos a cero. Analizar estos resultados. Si la raíz 0=α , dela ecuación dada, fuera desconocida, cuál método numérico utilizaría para calcularla?


432 3 += xx (2)

a) Demostrar que la función ( ) 432 3 −−= xxxf tiene un único cero real α en ( )21, .b) ¿Se puede usar Bisección para hallar una aproximación a α ?c) Convertir el problema de calcular la raíz α de la ecuación (2) en un problema de Punto Fijo en el

intervalo [ ]21, . Ensayar por lo menos cuatro funciones de iteración en [ ]21, .

d) Demostrar que la función ( ) 32

43 += xxg es una función de iteración para el problema. Para

esta función g, demuestre que:

i. ( ) 25271 33 <≤≤< xg para todo [ ]21,x ∈ .

ii. ( )33 98

12001

≤≤ x'g para todo [ ]21,x ∈

iii. La función g satisface las hipótesis del teorema de punto fijo en [ ]21, . Concluir. Calculartres iteraciones del método de Punto Fijo.

17. Considerar la ecuación 03 =− xe x . Estudiar la posibilidad de calcular la menor raíz positiva por el

método de Punto Fijo, con las funciones de iteración ( ) xexg31

1 = ó ( ) xlnlnxg += 32 en [ ]10, .

Si es del caso, para 2g estudiar el intervalo [ ]80,40 .. .

MÉTODOS NUMÉRICOS



054 23 =+− xx (3)

a) Mostrar que ( ) 521 3 += xxg es una función de iteración posible para el problema (3), en el

intervalo cerrado [ ]21, .

b) Para la función g, en el intervalo [ ]21, , examinar cuáles hipótesis del teorema fundamental depunto fijo satisface. Justificar sus afirmaciones. Sacar conclusiones.

c) Decidir si la sucesión ( )nn xgx =+1 , ,...,,n 210= converge o no; si lo hace, a qué valor

converge? ¿Depende la convergencia de nnx del valor inicial 0x escogido en [1,2]?.Justificar sus afirmaciones.

d) Tomar 23

0 =x , y calcular 1x y 2x a partir de la fórmula en c).

19. Considerar la ecuación 0183 =−+ xx .

a) Demostrar analíticamente que la ecuación dada tiene una única raíz real.

b) Comprobar que la función ( ) 3 18 xxg −= es una función de iteración de punto fijo para laecuación propuesta.

c) Determinar un intervalo cerrado [ ]b,a donde la función g satisfaga todas las hipótesis delTeorema Fundamental de Punto Fijo y verificar analíticamente sus afirmaciones.(Ayuda: Para a y b sirven números enteros).

d) Para un 0x escogido en el interior del intervalo determinado, analizar si la sucesión de iteración

de punto fijo converge o no. Justificar sus conclusiones.

20. Se dispone de una lámina rectangular 10 cm x 16 cm, para construir una caja rectangular sin tapa,cortando un cuadrado de igual tamaño en cada una de las esquinas. Estimar un posible valor para ellado del cuadrado de tal forma que el volumen de la caja sea de 100 cm 3 .

21. Las gráficas de las funciones ( ) xexf =1 y ( ) 22 100xxf = se cortan en algún punto con abscisa α ,

con [ ]10,∈α .

a) Mostrar que ( ) 2

101

x

exg = es una función de iteración de punto fijo para el cálculo de α .

b) Verificar que la función g satisface las hipótesis del teorema de Punto Fijo (existencia yunicidad).

c) Dejar claramente indicadas las operaciones correspondientes a las dos siguientes iteraciones delmétodo de Punto Fijo aplicado a la función g, tomando 00 =x .

d) La escogencia de la aproximación inicial 0x en el intervalo [ ]10, influye en la convergencia odivergencia del proceso iterativo de punto fijo? Justificar su respuesta.

MÉTODOS NUMÉRICOS


22. Encontrar valores aproximados de las coordenadas del punto situado en el primer cuadrante donde

se cortan las gráficas de las ecuaciones 422 =+ yx y xey = .

Para ello, usar la técnica de Punto Fijo, tomando como función de iteración a ( ) ( )2421

xlnxg −= en

el intervalo [ ]10, . Verificar que g es una función de iteración de punto fijo posible para resolver elproblema planteado y que, además, cumple las hipótesis del teorema de punto fijo en dicho intervalo.Concluya sobre la convergencia de la sucesión nnx generada por el método de Punto Fijo, y decir

hacia dónde converge. Calcular dos iteraciones, tomando 21

0 =x .

23. Hallar una aproximación de la menor raíz positiva de la ecuación 02 =− xx x . Usar dos iteracionescon la técnica de punto fijo. Dar explícitamente un intervalo en el cual la función de iteración gescogida, satisface las hipótesis del teorema de punto fijo (probarlas!).

24. Usar el método de punto fijo para determinar una aproximación de la raíz positiva de

( ) 01 1 =−− − xtanx , después de tres iteraciones. Verificar que su función de iteración cumple todaslas condiciones del teorema de punto Fijo, en el intervalo elegido por usted.

25. Considerar la ecuación polinómica 0104 23 =−+ xx .

Usar la técnica de punto fijo para determinar una aproximación de su raíz positiva. Determinar unintervalo apropiado y una función de iteración que satisfagan todas las hipótesis del teorema depunto Fijo. Calcular cinco iteraciones.

26. Considerar la función ( )

+=

x

axxg

21

, con 0>x .

a) Si la función g tiene un punto fijo, ¿cuál sería?b) Construir un intervalo donde la función g satisfaga las hipótesis del teorema de punto fijo.c) Para distintos valores de a, calcular varias iteraciones en el método de Punto Fijo.

27. Usar el método de Punto Fijo para calcular una aproximación de la raíz positiva más pequeña de la

ecuación 0=−− xcose x .

28. Demostrar que la ecuación 02 =+ xxsen π tiene una única raíz en [ ]23

21 , , y utilice el método

de Punto Fijo para aproximar dicha raíz con una precisión de por lo menos sus tres primeras cifrasdecimales exactas.

29. El polinomio 01823 =−+ λλ es el polinomio característico de una matriz A. Demostrar que

( ) 1>Aρ , siendo ( ) Aë/ëMáxA matriz la de o propi valor =ρ .

MÉTODOS NUMÉRICOS


SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES YNO-LINEALES

1. Para un sistema de ecuaciones lineales 3 3× sometido a procesos iterativos se obtuvieron:

Para el método de Jacobi:

Matriz de iteración de Jacobi:

=

020100100

JB

Vector de términos constantes independientes:

−=

53

31

0 Jb

Para el método de Gauss-Seidel:

Matriz de iteración de Gauss-Seidel:

−

−=−

61

161

85

41

31

21

0 0

0

SGB

Vector de términos independientes:

−

−=−

121

61

163

SGb

Se pide:

a) Decidir sobre la convergencia o divergencia de cada uno de los métodos iterativos de Jacobi yGauss-Seidel para tal sistema.

b) Calcular 1JB ,

∞JB , 1SGB − ,

∞− SGB , ( )JBρ y ( )SGB −ρ .

c) Tomando como aproximación inicial a ( )

=

111

0X , calcular ( )1X , en ambos procesos iterativos.

2. Considerar el sistema

=++

=++=++

1642

9 41542

321

321

321

xxx

xxx

xxx

a) Reorganizarlo de tal manera que la matriz del sistema sea E.D.D. o lo más parecido a una matrizde esta forma.

MÉTODOS NUMÉRICOS


b) Obtener paso a paso, en aritmética exacta, las matrices de iteración de los métodos de Jacobi yGauss-Seidel. Además, dar las fórmulas matriciales de iteración para ambos métodos.

3. Considerar el siguiente sistema lineal:

−=−+=+−−

−=+−

19425 2

14 4

zyx

zyx

zyx

a) Para el sistema dado, obtener la matriz de iteración del método de Jacobi ( JB ) y el vector de

términos independientes ( Jb ). Concluir si el proceso iterativo de Jacobi converge o no.Justificar. Utilice aritmética exacta.

b) Para el sistema dado, obtener la matriz de iteración de Gauss-Seidel ( SGB − ) y el vector de

términos independientes ( SGb − ). Concluir si el proceso iterativo de Gauss-Seidel converge o no.

Utilice aritmética exacta.

4. Usar un procedimiento iterativo para aproximar soluciones a sistemas lineales y en el caso delsistema

−=−+−=−+

=++−

642 3

18 5

zyx

zyx

zyx

calcular dos iteraciones, tomando ( ) ( )T,,X 0000 = . Examinar la convergencia o divergencia delprocedimiento iterativo que usted escogió. Conclusión y justificación.

Si cree que es conveniente reorganizar el sistema antes de efectuar cálculos, hágalo. Justificar sudecisión.

5. Para el sistema lineal siguiente:

−=−+−=−−

=+−

3244 32 523

zyx

zyx

zyx

Si alguno de los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel resulta convergente para el sistemadado, calcule dos iteraciones. Dar la matriz de iteración para los métodos iterativos de Jacobi yGauss-Seidel. Justificar la convergencia. Dejar indicadas las sustituciones numéricas antes derealizar cálculos.

6. Considerar el sistema de ecuaciones lineales

MÉTODOS NUMÉRICOS


=−+=+++

−=+−=++

0 2 4 4

3 3 2 2 4

432

4321

321

421

xxx

xxxx

xxx

xxx

a) Escriba las fórmulas de iteración y la matriz de iteración de los métodos iterativos de Jacobi yGauss-Seidel para resolver el sistema dado.

b) Determine, utilizando el procedimiento adecuado, la convergencia o divergencia de los métodositerativos de Jacobi y Gauss-Seidel para el sistema dado. Si alguno de los métodos es

convergente, calcule 10 iteraciones tomando como aproximación inicial ( ) 00 =X y calcule( ) ( )

∞− 910 XX . Concluya, si le es posible, con cuántas cifras decimales exactas aproxima

( )10X a la solución exacta X del sistema dado.


=−=+−

=−+−

1 414

1 4

21

32

321

xx

xx

xxx

a) Dar una reorganización del sistema para que tanto el método iterativo de Jacobi como el deGauss-Seidel sean convergentes. Justificar por qué está seguro de la convergencia.

b) Para el sistema reorganizado, dar las matrices de iteración de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel.

c) Justificar la convergencia de ambos procesos iterativos mediante un criterio diferente al usadoen a).

d) Tomando ( ) ( )T,,X 0000 = , dejar claramente indicadas las operaciones para calcular lasiguiente iteración en cada uno de los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.

8. Reorganizar el sistema

=−−=+−=−+−

2 302724

zx

zy

zyx

para que sea E.D.D. o lo más parecido posible. Para los procesos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel estudiar convergencia o divergencia. Justificar sus respuestas. Calcular dos iteraciones.Utilice aritmética exacta para los cálculos.


=++=++

=++

164 29 4

1542

321

321

321

xxx

xxx

xxx

MÉTODOS NUMÉRICOS


a) Reorganizar el sistema dado de tal manera que la matriz del sistema resultante sea EDD o lomás parecido a esta forma.

b) Obtener paso a paso, con aritmética exacta, las matrices de iteración de los métodos de Jacobiy Gauss-Seidel. Además, dar las fórmulas matriciales de iteración para ambos métodos.

10. Para resolver un cierto sistema 3 3× se obtuvo para Jacobi la matriz de iteración

=

043400300

JB

a) Calcular el polinomio característico de JB , y con él, sus valores propios. Dar el radio espectral

de la matriz JB .b) Las iteraciones de Jacobi convergen? Justificar su respuesta.

11. Para resolver un cierto sistema 3 3× se obtuvo para Gauss-Seidel la matriz de iteración

−−

−=−

916

13

23

12

1

0 0 0

0

SGB

y como vector de términos independientes

=−

111

SGb

a) Tomando ( ) [ ]T,,X 0010 = , calcular ( )1X y ( )2X . Dejar indicadas las operaciones matricialesantes de efectuar operaciones.

b) ¿Las iteraciones de Gauss-Seidel convergen? Justificar.


=++=++

=++

5 353

5 3

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Reordene el sistema dado, si es necesario, de modo que los procesos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel resulten convergentes, y encuentre la matriz de iteración para cada uno de estos métodos.

Calcular dos iteraciones para cada uno de los métodos, tomando ( ) ( )T,,X 0000 = . Dejar verclaramente las sustituciones numéricas antes de simplificar.


MÉTODOS NUMÉRICOS


=+=+

85103 2

yx

yx

a) Demostrar que el sistema dado no tiene solución.b) Con ayuda de un programa de computador, calcular iteraciones para los métodos iterativos de

Jacobi y Gauss-Seidel. Examinar los resultados numéricos.

14. Demostrar que para todo nX R∈ , se cumple que:

a) 12

XXX ≤≤∞

b) ∞

≤ XnX1

c) ∞

≤ XnX2

15. La matriz de un sistema lineal de n-ecuaciones con n-incógnitas es:

−−−

−−−−

−

21121

121121

12

OOO

Obtener las matrices de iteración para los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel. ¿Seránestos procesos iterativos convergentes? De serlo, ¿a dónde convergirán?

Hacer cálculos con un sistema 44 × cuya solución sea conocida por usted.

16. Considerar el sistema de ecuaciones

=+=−+−=−+=+−=+−

3 0 2

2152217421753

yx

twz

tyx

wzy

tzx

a) Mostrar que el sistema tiene solución única.b) Obtener la matriz de iteración de cada uno de los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.c) Decidir sobre la convergencia o divergencia de los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.

MÉTODOS NUMÉRICOS


d) Calcular un número apropiado de iteraciones (de acuerdo con sus posibilidades de cálculo) paraambos métodos, analizar los resultados.

17. Considerar el siguiente sistema lineal

=+−=+−

=+

5 24373

zy

zyx

zx

Para el sistema tal como está propuesto:

a) Obtener la matriz de iteración para los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel. Decidir sobrela convergencia o divergencia de estos métodos iterativos. Justificar teóricamente(analíticamente) todas sus conclusiones.

b) Reorganizar el sistema dado, si es necesario, de tal forma que el nuevo sistema resulte E.D.D. olo más parecido posible. Decidir sobre la convergencia o divergencia de los nuevos procesositerativos que se obtendrían para Jacobi y Gauss-Seidel.

18. Escoja uno de los sistemas de ecuaciones lineales propuestos en los ejercicios anteriores y medianteun programa de computador (escrito por usted, o comercial, o DERIVE), calcular iteraciones con losmétodos iterativos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR. En el caso del método SOR, usar, 10.w = ,

9120 .w,,.w == L ; incluso ensaye con 2≥w . Analizar los resultados numéricos obtenidos.

19. Dado el sistema no-lineal de ecuaciones

=+

=−− 1

422

yxe

yxx

a) Haga una gráfica que ilustre cuántas soluciones reales tiene el sistema dado.b) Para una de las soluciones reales, tome como aproximación inicial un punto inicial apropiado de

coordenadas enteras ( ) ( ) ( )( )Ty,xX 000 = y realice todos los pasos necesarios para obtener la

aproximación ( ) ( ) ( )( )Ty,xX 111 = , utilizando el método de Newton-Raphson y el método de PuntoFijo.

c) Obtenga una aproximación ( ) ( ) ( )( )Tkkk y,xX = por medio del computador, iterando hasta que( ) ( ) 31 10−

∞

− <− kk XX , utilizando el método de Newton-Raphson y el método de Punto Fijo.

20. Resolver el siguiente sistema no-lineal

=−=−

00

hysenxcosy

hycossenxx

usando como aproximación inicial el punto ( )T92,20 .. y el método de Newton-Raphson.

MÉTODOS NUMÉRICOS


21. Usar el método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales y el método de Punto Fijo paracalcular una aproximación de la solución del sistema

22.

=+

=+

1

9922

22

yx

yx

Tome como ( ) ( )TX 1,10 = y calcule dos iteraciones. Dejar indicadas las operaciones antes derealizar cálculos.

23. Aplicar el método de Newton-Raphson y el método de Punto Fijo al siguiente sistema

=+−−+

=+−−

096189

086 22

22

xyyx

xyx

Tome como punto inicial el punto ( )4,4 y calcule dos iteraciones. Utilice aritmética exacta para loscálculos.

24. Considerar el siguiente sistema de ecuaciones no-lineales

=+=++

=−+

132

0222

22

zy

zyx

zyx

a) Usar el método de Newton-Raphson y el método de Punto Fijo para calcular dos iteracionestomando ( )0,0,1 como punto de partida.

b) Muestre que ( )0,0,1± son soluciónes del sistema dado.c) Usar un programa de computador para realizar los cálculos, tomando varios puntos de partida.

25. Utilizar el Método de Newton-Raphson y el método de Punto Fijo para calcular varias iteraciones, enlos siguientes sistemas:

a)

=++

=+

02

21 3 2

23

zyx

yx

b)

=−

=−+

0

12

22

xseny

yxx

c)

=−−

=−+

0

022

22

xyx

yyx

MÉTODOS NUMÉRICOS


EJERCICIOS SOBRE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL

1. Considere la siguiente tabla, donde 10 xx ≠ :

x 0x 1x

y 0y 1y

Deducir la fórmula para el polinomio de Lagrange de grado a lo más uno que Interpola la tabla.

2. Considere la siguiente tabla

x 0 1 2 4y 1 1 2 5

¿Cuántos polinomios de grado a lo más tres interpolan la tabla? Justificar su respuesta.

Calcular el polinomio de Newton de grado a lo más tres que interpola la tabla. Hágalo de dosmaneras: Paso a paso (constructivamente) y mediante la tabla de diferencias divididas.

3. Considere la tabla:x 0x 1x

y ( )0xf ( )1xf

Deducir la fórmula para el polinomio de Lagrange de grado uno que interpole la tabla dada.

4. Considere la tabla:

x 0 1 2 4( )xfy = 1 1 2 5

Obtener el polinomio de Newton de grado a lo más tres que interpole la tabla dada.

5. Considere la función ( ) xxf 221

= para ( )∞∞−∈ ,x .

a) Calcular el polinomio ( )xp que interpola a ( )xf en los nodos 00 =x , 11 =x , 22 =x y

33 =x .

b) Calcular el error relativo que se comete al aproximar ( )23f mediante ( )2

3p .

6. El polinomio de Newton ( ) ( )691

22 −−= xxxxp interpola la tabla x vs. y

MÉTODOS NUMÉRICOS


0x 1x 2x

x 0 6 15y 0 12 15

0y 1y 2y

Se agrega como cuarto nodo a 303 =x y 03 =y . Se pide calcular el polinomio de Newton ( )xp3

que interpola la nueva tabla.

Los cuatro puntos de la tabla se obtuvieron de la semicircunferencia de la figura siguiente (radio 15).

Usar la fórmula simple de Simpson ( )31 para aproximar el área del semicírculo, con ayuda de los

polinomios ( )xp2 y ( )xp3 . Estudiar la calidad de esta aproximación y concluír. Calcular los erroresrelativos.

7. Considere una tabla de 4 entradas, en la que 3210 xx,x,x y son números distintos:

x 0x 1x 2x 3x

y 0y 1y 2y 3y

Llame ( ) 3210 ,,,k,fxfy kkk === .

a) Plantear una expresión para el polinomio de grado cero ( )xp0 que interpola la primera columna

de la tabla. Verificar que ( ) [ ] 00000 cxffyxp ==== .

b) Escriba una expresión para el polinomio de grado a lo más uno, ( )xp1 que interpola las dos

primeras columnas de la tabla, construido a partir de ( )xp0 .

Verificar que ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 10101

011001001 c:f:

xx

ffx,xfxxx,xfxpxp ==

−−

=−+= donde

c) Con la misma idea obtener ( )xp2 a partir de ( )xp1 .

Verificar que ( ) ( ) ( )( )1001212 xxxxfxpxp −−+= ,donde

MÉTODOS NUMÉRICOS


[ ] [ ] [ ] 201221002

1021 c:f:x,x,xf:xx

x,xfx,xf===

−−

Usted notará que la expresión de 012f no aparece explícita sino que se debe construir.

d) Con la misma metodología obtener ( )xp3 a partir de ( )xp2 .

Verificar que ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )21001231001223 xxxxxxfxxxxfxpxp −−−+−−+= , donde

[ ] [ ] [ ] 30123321003

210321 c:f:x,x,x,xf:xx

x,x,xfx,x,xf===

−−

Para efectos de simplificar aún más la escritura se sugiere introducir la notación ijji x:xx =− .

Usted notará que le aparece 231303

13030120301033 xxx

xxfxfff:c

−−−=

Concéntrese y sea paciente para construir 3c . Por ejemplo, avanzando

( ) ( )01011212232301

01

0112

12

1223

23

2303 xfxfxfx

x

ffx

x

ffx

x

ffff ++=

−+

−+

−=− , etc.

Pero recuerde que también puede retroceder, empezando con la expresión que se dio de 3c .

8. Considere la siguiente tabla, que tiene como elementos

x ( )xf ( )xf ′ ( )xf ′′1 2 32 6 7 8

Construir la tabla de diferencias divididas. Recordar que debe repetir la fila para 1=x , y para 2=xse plantean tres filas. Además, debe usar la definición de diferencia dividida con repetición.

Dar el polinomio de Hermite que ajusta los valores de la tabla dada.

Respuesta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 212121132 −−−−−+−+−+= xxxxxxxp

9. Considere la siguiente tabla:

x ( )xf ( )x'f

0 2 9−1 4− 42 44

Usar el método de diferencias divididas con repetición para calcular un polinomio de grado 4 queajuste los valores de la tabla. Verificar que su respuesta satisface lo esperado.

MÉTODOS NUMÉRICOS


10. Ampliando la tabla del problema 9 con ( ) 23 =f , obtener un polinomio que ajuste la nueva tabla.Verificar su respuesta.

11. Considere la siguiente tabla:

k kx kf kf ′ kf ′′

0 0 1 2− 61 1 1 0 8−

Usar el método de diferencias divididas con repetición para obtener el Polinomio de Hermite de grado5 correspondiente que interpola la tabla. Verificar.

12. Lo mismo que en el problema 11, pero para la siguiente tabla:

x ( )xfy = ( )xfy ′=′ ( )xfy ′′=′′0 11 2 33 1 2 34 2 5 6

13. Usando la Técnica de Hermite, calcular el Trazador Cúbico Sujeto que interpola la tabla:

x y y′

1− 6− 0 0 9 2 6 1−

Verificar su respuesta.

14. Usando la técnica de Hermite, calcular el Trazador Cúbico Natural que interpola la tabla:

x y

1− 6− 0 9 2 6


15. Calcular el polinomio que interpola la tabla siguiente:

x y y′ y ′′1− 1

0 1− 0 0 2 7

MÉTODOS NUMÉRICOS


16. Calcular el polinomio que interpola la tabla siguiente:

x y y′ y ′′-1 -1 4 -6 1 3 4 6

17. Considerar la función ( )xT definida como sigue:

( )

≤≤+−+−

≤≤+−

≤≤+−+

=

43 271109343

31 28287

10 26222

23

2

23

x,xxx

x,xx

x,xxx

xT

Explicar cuáles propiedades cumple y cuáles no cumple ( )xT para ser un Trazador Cúbico naturalde la siguiente tabla:

x 0 1 3 4y 26 7 7 187

18. Considere la tabla siguiente, en la cual 0x , 1x , 2x , 3x y 4x son números distintos:

x 0x 1x 2x 3x 4x

y 0y 1y 2y 3y 4y

Con precisión, expresar todas las propiedades que debe tener el Spline Cúbico ( )xT natural, queinterpole la tabla dada.

19. Considerar la siguiente función:

( ) [ ][ ]

∈+−+−

−∈+−−=

10 7112714

01 711523

2

,x,xxx

,x,xxxS

a) Inspeccionar si ( )xS satisface o nó la siguiente tabla: x vs. y :

x y

1− 13 0 7 1 9

b) Determinar si la función ( )xS es un Trazador Cúbico natural para la tabla dada en a). Precisarcuáles condiciones se cumplen y cuáles no. Analice y concluya.

MÉTODOS NUMÉRICOS


20. Calcular el Trazador Cúbico natural que interpola la siguiente tabla, x contra y :

x y

0 02 2−3 0

Explicar cada uno de los pasos dados para hallar el Trazador.

21. Calcular el Trazador Cúbico ( )xS para la tabla siguiente x vs. y:

x 1− 1 2y 0 2 0

que satisfaga ( ) 10 −=′S y ( ) 02 =′′S . Verificar que sus cálculos sean correctos.

22. Calcular el Trazador (Spline) Cúbico natural T que interpola la tabla x vs. y:

x 0 1 3 4y 1− 1 37 67

Usar aritmética exacta para los cálculos. Graficar x vs. ( )xT , x vs. ( )xT ′ , y x vs. ( )xT ′′ .

23. Calcular el Trazador cúbico que interpola la tabla

x 0 1 3 4y -1 0 26 60y′ 39y ′′ 0

24. Considerar la tabla siguiente en la cual xo <x1< x2 < x3 < x4 :

x 0x 1x 2x 3x 4x

( )xfy = 0y 1y 2y 3y 4y

Llame ( )xT el Trazador (Spline Cúbico) que interpola la tabla dada. Mirando a ( )xT como una

función, precisar su dominio TD , su Codominio y la regla para calcular ( )xT con TDx ∈ .

Cuántos coeficientes no conocidos le aparecen en la regla para calcular ( )T x ?

Enuncie las condiciones que le va a imponer a ( )xT , que permitirán el cálculo de lo no conocido en

( )xT . Tiene tantas condiciones como incógnitas?

MÉTODOS NUMÉRICOS


Explique dos maneras usuales de completar las condiciones (Trazador sujeto, Trazador natural).Dar explícitamente a ( )xT ′ y ( )xT ′′ .

Hacer gráficas ilustrativas de x vs. ( )xT , x vs. ( )xT ′ y x vs. ( )xT ′′ . Completar en los casossiguientes:

( )xT es polinomial de grado ___?____ a trozos.

( )xT ′ es polinomial de grado ___?___ a trozos.

( )xT ′′ es polinomial de grado ___?____ a trozos.

25. Continuación problema 24.

Para obtener el Trazador cúbico que interpola la tabla dada, se seguirá la siguiente estrategia: Como( )xT ′′ es lineal a trozos, dando por conocida su ecuación, podremos integrar dos veces para

obtener ( )xT . Simultáneamente, usamos las condiciones sobre ( )xT ′ y ( )xT para obtener las

constantes de integración consiguiendo al final un sistema de 1+n ecuaciones con 1+nincógnitas.

Para los datos ( ) ( ) ( )nn y,x,...,y,x,y,x 1100 desarrolle la idea general anterior así:Llame

( ) ( ) ( ) 1100 nn zxT,...,zxT,zxT =′′=′′=′′ (1)

se desconocen los números nz,...,z,z 10 .

Escriba la ecuación de la recta que pasa por ( ) ( ) 110 11 −=++ n,...,,i,z,xz,x iiii y en un plano

yx . Para [ ]1+∈ ii x,xx , considere la función ( )xpi′′ .

Para [ ]1+∈ ii x,xx integre dos veces entre xxi y . Verificar que obtiene:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) iiiiiiii

ii

i

iiiii yhzxxhzxx

h

zxx

h

zxxx'pxp +−−+−+−+−= +

+ 231

31

61

21

61

61

.......(2)

donde iii xxh −= +1 .

Calcule ( )1+ii xp , despeje ( )ii xp′ y sustitúyalo en (2), obteniendo para 1210 −= n,...,,,i :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iiiii

ii

i

ii

i

iiiiiiiii yhzxx

h

zxx

h

zxx

h

yyxxhzxxhzxp +−−+−+−

−+−−−= +

+++

231

3111 6

161

61

61

61

La ecuación anterior se puede escribir en la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iiiii

iiiii

ii

i

ii

i

ii

i

ii yhzxx

h

yxxhzxx

hz

h

yxx

h

zxx

h

zxp +−−−−+−

−+−+−= +++

+211313

1 61

61

661

61

para [ ] 1101 −=∈ + n,...,,i,x,xx ii .

MÉTODOS NUMÉRICOS


Donde sea conveniente cambie ix por su igual ii hx −+1 , para conseguir la expresión

( ) ( ) ( ) ( ) ( )111313

1 6661

61

++++

+ −

−+−

−+−+−= i

i

iiii

ii

i

ii

i

ii

i

ii xx

h

yhzxx

hz

h

yxx

h

zxx

h

zxp (3)

para [ ] 1101 −=∈ + n,...,,i,x,xx ii .

De las condiciones impuestas aún no se ha usado la existencia de la primera derivada en los nodosinteriores 121 −nx...,,x,x .

Use que ( ) ( ) 1211 −=′=′− n,...,,i,xpxp iiii para obtener que

( ) ( ) ( ) 121 66

2 11

11111 −=−−−=+++ −−

++−−− n,...,,i,yyh

yyh

zhzhhzh iii

iii

iiiiiii

Para 121 −= n,...,,i , llame ( )iii hh:u += −12 , ( )iii

i yyh

:b −= +16

, 1−−= iii bb:v .

Darle valores a 121 −= n,...,,i para conseguir el sistema de 1−n ecuaciones lineales en las

1+n incógnitas nz,...,z,z 10 siguiente:

=++

=++=++=++

−−−−−− 111122

3433322

2322211

1211100

nnnnnnn vzhzuzh

vzhzuzh

vzhzuzh

vzhzuzh

M

En el caso del Trazador Cúbico natural, dar el sistema lineal de 1−n ecuaciones con incógnitas

121 −nz,...,z,z . Pruebe que la matriz de coeficientes del sistema es E.D.D. por filas. Observar queel sistema es tridiagonal.

¿Qué haría usted para definir el Trazador una vez conseguidos 121 −nz,...,z,z ?

En el caso del Trazador sujeto, se dan como datos nyy ′′ 0 y . De la ecuación donde se tiene ( )xpi′

para [ ] 110 1 −=∈ + n,...,,i,x,xx ii , obtener:

001000 62 ybzhzh ′−=+ y nnnnnn ybzhzh ′+−=+ −−−− 62 1111

Escribir el sistema lineal de 1+n ecuaciones con las 1+n incógnitas nz,...,z,z 10 . Observe que el

sistema es tridiagonal y la matriz de coeficientes es E.D.D. por filas (probarlo!).

¿Cómo calcular el Trazador sujeto ( )xT ?

MÉTODOS NUMÉRICOS


26. Considere la ecuación 09 =− − xx

a) Graficar xy = y xy −= 9 . En qué intervalo parecen cortarse. Cómo se interpreta esto para laecuación dada?

b) Defina ( ) xxxf −−= 9 . Construya la tabla de valores de la funcióm f para los números

1 21 0 210 === xx,x y , y para estos datos haga lo siguiente:

i. Obtenga el polinomio de interpolación de Newton para la tabla.ii. Use fórmulas del problema (6) para obtener el Trazador cúbico natural que intepola la tabla.

iii. Use las aproximaciones polinomiales, obtenidas en i. y ii. para estimar la raíz de ( ) 0=xf .

En caso necesario, use DERIVE o su calculadora para ayudarse en los cálculos y en la comparacióny discusión de resultados. Las soluciones son:

Para la parte i.: ( ) ( )21

98

37

12 −−+−= xxxxp

Para la parte ii. : ( )( )

∈−+−

∈−+

=1

21

1211

36651

913

21

0 13671

913

3

3

,x,xx

,x,xx

xT

27. Para la siguiente tabla

x 1− 0 1 2( )xfy = 0 3 11 24

Calcular el Trazador cúbico natural que interpola la tabla. Seguir los lineamientos del problema 25.Verificar su respuesta.

28. Considerar la tabla

x 2− 0( )xfy = 1 1−

( )xfy ′= 2

( )xfy ′′= 1

Usar la técnica de Hermite para obtener el polinomio que interpola la tabla dada.

Si la tabla se completa con ( ) ( ) 11 21 −=′= ff y , calcular el polinomio que cumple con todos losdatos.

28. Los datos de la siguiente tabla corresponden a una cierta función f .

MÉTODOS NUMÉRICOS


x ( )xfy = ( )x'f'y =1− 4 2−

1 4 2 11 12

Analizar si la función ( )xT definida mediante:

( )

≤≤+

≤≤−+=

21 3

1133

2

x,x

x,xxT

es o no el Trazador cúbico sujeto que interpola la tabla dada de la función f. Indicar cuálespropiedades satisface y cuáles no.

29. Considerar la siguiente función T:

( )

≤≤−++−

≤≤−−++−=

10 61

21

21

02 21

2121

32

32

x,xxx

x,xxxxT

a) Calcular ( )x'T , ( )xT ′′ . Graficar a ( )xT , ( )x'T y ( )xT ′′ .b) Estudiar si T es el Trazador cúbico natural de la siguiente tabla:

x 2− 0 1( )xfy = 1 1− 2

29. Calcular el trazador cúbico que ajusta la tabla:

x 0 1 3y 0 2 2'y 0 6


30. Discutir el problema de encontrar un polinomio ( )xp de grado menor o igual que tres, que tome los

valores ( ) 00 =p , ( ) 11 =p y ( ) 221 =′p . Utilizar dos métodos.

31. Discutir el problema de encontrar un polinomio ( )xp de grado menor o igual que dos que tome los

siguientes valores: ( ) 00 =p , ( ) 11 =p y ( ) 221 =′p . Utilizar dos métodos.

32. ¿Qué condición se debe imponer a los nodos 0x y 1x para que el problema de interpolación

( ) ( ) 10 20 ,i,cxp,cxp iiii ==′′= se resuelva con un polinomio cúbico ( )xp , para cualquier

escogencia de los valores 20 ii c,c ?.

TALLER SOBRE INTEGRACIÓN NUMÉRICA

1. a) Calcular un valor aproximado para la longitud de la curva ( ) 3xxf = desde 0x = hasta

1x = . Hacer un gráfico de la función f. Usar: Regla trapezoidal y Simpson 31 .

b) Hacer un cambio de variable que lleve su intervalo de integración al intervalo de laCuadratura Gausssiana. Consultar en una tabla de Cuadratura Gaussiana loscoeficientes y los nodos, para 1n = , 2n = y 3n = . Calcular, comparar los resultados.

c) Calcular el valor exacto de la longitud de arco. De ser necesario, usar tablas deintegración. Comparar. Calcular errores relativos.

2. Lo mismo que en el problema 1. pero para la función ( ) xexf −= .Con relación al literal c), si considera que el valor exacto no lo puede obtener, hallar los tresprimeros términos de la serie de Taylor para el integrando, alrededor de 2

10x = . Calcular

y comparar.

3. Formular la integral que da el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar laregión bajo la curva ( )xfy = , alrededor del eje x, y para cada una de las siguientes

funciones: ( ) [ ]10x ,xxf 3 ,∈= y ( ) [ ]10x ,exf x ,∈= − .Proceder en la misma forma que en el problema 1.

4. Calcular un valor numérico para 2ln , usando una integral.

5. Para ( )∫b

a

dxxf deducir: 1) La fórmula trapezoidal simple, y 2) la fórmula para el término de

error de esta aproximación.

6. Usar el método de coeficientes indeterminados para deducir la fórmula de Simpson 31 que

aproxima ( )∫b

a

dxxf .

7. Expresar ( )∫b

a

dxxf como una integral en [ ]10, , usando un cambio de variable lineal (sin

cambiar su valor).

8. De una cierta cantidad física ( )tQ , se obtuvo en el laboratorio la siguiente información:

t 0 0.5 1.0 1.5 2.0( )tQ 3 2 2.5 2.8 2.9

i. Escoger un método para aproximar ( )∫2

0

dttQ . Dar la fórmula general de método

seleccionado.


2

ii. Hallar un valor aproximado para ( )∫2

0

dttQ , usando el método definido en i. Que use los

cinco datos dados en la tabla.

iii. Exhibir con claridad el paso que corresponde a la situación numérica en la fórmula.

9. Mostrar que ∫∫−

+

+

=1

1

1

0

dxx12

x1sendt

tsent

.

10. Mostrar que

( )

∫∫−

+−

−

π=

π

1

1

81x

1

0

2t

dx2

e

2

1dte

2

1

22

.

11. Mostrar que ( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫−

++−−=1

121

21

b

a

dtabtabfab21

dxxf .

12. Calcular el término de error E para que

( ) ( ) ( )[ ] Ebfaf2

abdxxf

b

a

++−

=∫Precisar la fórmula para E, y dar una cota para el error absoluto, correspondiente a E.Suponer que f(x) tiene sus dos primeras derivadas continuas en [ ]ba, .

13. Usar la regla de Simpson 31 para calcular una aproximación de ∫

+∞

+2

5

2dx

x1

x.

14. Deducir la fórmula trapezoidal simple para aproximar ( )∫b

a

dxxf . Dividir el intervalo [ ]ba, en

N subintervalos, aplicar regla trapezoidal simple en cada uno de los subintervalos, totalizar,buscar regularidades. Compare lo obtenido por usted con lo que presenta el texto de suconfianza.

15. Deducir la fórmula simple de Simpson 31 para aproximar ( )∫

−

1

1

dxxf , exigiendo que la fórmula

( ) ( ) ( )1Cf0Bf1Af ++− sea exacta para polinomios hasta de grado 2. Cómo extiende la

fórmula anterior para que sea aplicable para aproximar ( )∫b

a

dxxf ? Continuar con las mismas

ideas del problema 14.


3

16. Plantear el sistema de ecuaciones que permite determinar las constantes A, B c y C tales

que la fórmula ( ) ( ) ( )1CfcBf0Af ++ es exacta para calcular ( )∫1

0

dxxf , cuando f(x) es un

polinomio hasta de grado 3. Verificar que los coeficientes y nodos de la regla de Simpson

31 satisfacen el sistema. Existirán otras soluciones?

17. Plantear el sistema de ecuaciones que permite determinar las constantes A, B, c, C, d y D

tales que la fórmula ( ) ( ) ( ) ( )1DfdCfcBf0Af +++ es exacta para calcular ( )∫1

0

dxxf , cuando

f(x) es un polinomio hasta de grado 5.

18. Hallar un coeficiente C y nodos 210 x y x ,x para que la fórmula ( ) ( ) ( )[ ]210 xfxfxfC ++

sea exacta para calcular ( )∫−

1

1

dxxf cuando f(x) es un polinomio cuadrático. Verificar, con

algunos casos particulares, que la fórmula obtenida funciona.

19. Usar el método de coeficientes indeterminados para encontrar las abscisas 21 x y x y los

pesos 1w y 2w tales que la fórmula ( ) ( ) ( )2211

1

1

xfwxfwdxxf +≅∫−

sea exacta para todos

los polinomios de grado a lo más tres.

20. Usar una fórmula de Cuadratura Gaussiana para estimar el valor de

( ) ( )∫π

θθπ

=0

0 dxsen1

xJ cos en 1x = . ( ( )xJ0 : Función de Bessel de orden cero). Compare

su respuesta con la conseguida en tablas para ( )1J0 (*) en calculadora o en DERIVE.(*) Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas, M. R. Spiegel.

21. Usar la fórmula simple de Simpson 31 (únicamente) para aproximar la integral:

( )∫ ∫ −2

0

2

x2

2 dydxy4

¿ Es exacto el valor calculado? Justificar.

22. Usar solamente la regla simple de Simpson 31 para calcular un valor aproximado de

( )dydxy4x2

0

x4

0

22

221

∫ ∫−

+

¿Es aceptable la aproximación? Justificar su respuesta.


4

23. Calcular los coeficientes A, B y C tales que la fórmula de Cuadratura:

( ) ( ) ( )1Cf21

Bf0Afdxxf1

0

+

+≅∫ (1)

sea exacta para polinomios de grado menor o igual que dos. Verificar que la fórmulaobtenida también resulta exacta para polinomios de grado tres. Obtenga la fórmula

equivalente de (1) para ( )∫b

a

dxxf .

24. En algunas aplicaciones aparece la función H(x) definida por:

( ) [ )10x para , dsenx1x1

1xH

2

0

222

,∈θθ−−

= ∫

π

Usar la regla de Simpson 31 para obtener una aproximación de H(x) y

21H . Para

21H

consultar en tablas el valor y comparar.

25. Considerar la integral ∫π

0

2 dxxsen .

i) Usar las fórmulas simple de los Trapecios y Simpson 31 y Cuadratura Gaussiana de 4

nodos para hallar valores aproximados de la integral. ii) Calcular el valor exacto de la integral. iii) Calcular los errores relativos. Analizar.

26. Considerar la integral ∫2

0

dxxarctan .

i) Usar las fórmulas simple de los Trapecios y Simpson 31 y Cuadratura Gaussiana de 4

nodos para hallar valores aproximados de la integral. ii) Calcular el valor exacto de la integral (Usar tablas, calculadoras, DERIVE). iii) Calcular los errores relativos. Analizar.

27. Obtener un valor aproximado de la integral

( )∫ ∫−

−3

1

2

1

2 dxdyy3x2


5

Usar únicamente la regla de Simpson 31 . Dar el valor exacto del error que se comete en la

aproximación. Justificar.

28. Obtener un valor aproximado de la integral

( )∫ ∫ −2

0

4

2

22 dxdy17yx

Usar únicamente la regla de Simpson 31 . Dar el valor exacto del error que se comete en la

aproximación. Justificar.

29. Construir una regla de integración de la forma

( ) ( )

++

−≅∫

−21

fA0fA21

fAdxxf 210

1

1

que sea exacta para todos los polinomios hasta de grado menor o igual que dos.

30. Considerar la integral doble

∫ ∫ −2

0

1

0

2 dxdyx1y

¿En qué orden aplicar las reglas trapezoidal y Simpson 31 ? Calcular el error relativo.

31. Calcular una aproximación al volumen de la octava parte de una esfera de radio uno. Usarfórmula de Simpson

31 , únicamente. Calcular el error relativo.

32. Considerar la integral impropia:

dtt

1sen

t

1

122∫

+∞

i. Convertir la integral dada en ( )∫1

0

2 dxxsen .

ii. Calcular una aproximación de la integral dada usando la regla de Simpson 31 , y a partir

de los cuatro primeros términos de la expansión en serie de Taylor de ( )2xsen .Comparar con los resultados de su calculadora y de un paquete computacional comoDERIVE.

33. Usar la regla de Simpson 31 para calcular ∫

1

0

xdx

x

e.


6

34. Mostrar que ∫

π2

0

xdxtan es divergente. ¿Qué valores darían la regla de Simpson 31 y la

Cuadratura de Gauss para dos puntos?

35. Muestre que ∫1

0x

dx es convergente. Obtener una aproximación con el método de

Cuadratura Gaussiana para dos puntos. ¿La regla de Simpson 31 le da algún resultado

numérico? Si es posible, en ambos casos calcular el error relativo.

36. Considerar la integral impropia

( )∫ −

3

021x

dx

i. Analizar la convergencia o divergencia de la integral dada. ii. Analizar el resultado numérico que se consigue aplicándole la regla simple de Simpson

31 .

37. Considerar la integral

∫ +4

0

dtt1

Obtener aproximaciones con distintas fórmulas de cuadratura y su calculadora. Calcularlatambién exactamente. Calcular los errores relativos.

38. Probar que los coeficientes y nodos de la regla de Simpson 31 forman la única solución al

sistema no-lineal conseguido en el problema 16.

MÉTODOS NUMÉRICOS

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín1

EJERCICIOS SOBRE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y PROBLEMASDE VALOR EN LA FRONTERA

1. Considere la función polinómica ( ) 123410 +++++= xxxxxxp con [ ]10,x ∈ .

a) Para 10 ≤≤ ξ , obtenga una cota superior para ( )( )ξ3p .

b) Pruebe que ( ) ( )321 xOxxxp +++= cuando 0→x .

2. Demostrar que ( )32

21

1 hOhhcos +−= cuando 0→h .

3. Usar expansiones en serie de Taylor para demostrar que

( ) ( ) ( ) ( )2

2hO

h

htxhtxt'x +

−−+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

2hO

h

htxtxhtxt''x +−+−+=

4. Demostrar que el P.V.I.

( )

=++=

001

x

tcosxx'x

tiene solución única en cualquier intervalo que contenga 0=t . Realizar la prueba de dos formas.

5. Considere el P.V.I.( )( )

( )

=++=

1011

x

xt'x

a) Dar la fórmula de avance de t a ht + para el Método de Euler. Con un paso 10.h = , calcularaproximaciones para ( ) ( )20 10 .x.x y .

b) Dar la fórmula de avance de t a ht + para un método de Taylor que use los tres primerostérminos. Con un paso de 10.h = , calcular una aproximación para ( )10.x y ( )20.x .

6. Considerar el P.V.I.

( ) ( )( )

=+=

002

x

ettxt'x t

Se pide:

a) Dar la fórmula de avance de t a ht + para un método de Taylor que utilice los cinco (5)primeros términos de la expansión en serie de Taylor de ( )tx alrededor de t .

MÉTODOS NUMÉRICOS

2 Universidad Nacional de Colombia - Sede

b) Calcular ( ) ( )t'''x,t''x y ( )( )tx 4 .

c) Calcular ( ) ( ) ( )0 0 0 xxx ′′′′′′ ,, y ( )( )04x .

d) Calcular una aproximación de ( )10.x usando la fórmula en a).

e) Calcular aproximaciones para ( )10.x′ , ( ) ( )10 10 .x.x ′′′′′ , y ( )( )104 .x .

f) Callcular una aproximación de ( )20.x , usando la fórmula en a).


( )

=+=00

1 2

y

y'y

a) Determinar si el P.V.I. tiene solución y si es única. (Justificar).b) Hallar la solución exacta del P.V.I. Dar un intervalo abierto donde la solución satisface el P.V.I.

dado.c) Deducir la fórmula de avance de kY a 1+kY , para el método de Euler.

d) Usar el método de Euler para obtener una aproximación de ( )40.y , con tamaño de paso h = 0 2. .En ambos pasos dejar explícitas e indicadas las sustituciones numéricas. Usar aritmética exacta.

e) Calcular el error relativo de la aproximación para ( )40.y .

8. Para el P.V.I. del problema 7, escribir la expansión en serie de Taylor de ( )ty alrededor de 0 (cero),tomando únicamente los tres primeros términos. Usar lo anterior para obtener la fórmula de avanceexplícita del método de Taylor de los tres primeros términos.


( )

=−−+=

31

2

x

xsenttcos'x

Usar expansión en serie de Taylor para x, tomando solamente los cuatro primeros términos, para darla fórmula de avance de 1− a h+−1 .

10. Considerar el P.V.I.( ) ( ) ( )( )

( )

=++=

1011

y

tytt'y

a) Justificar que el P.V.I. tiene solución única.b) Calcular la solución exacta del P.V.I.c) Escribir la fórmula de avance de t a ht + para el método de Euler. Usar tamaño de paso

10.h = para calcular una aproximación de ( )20.y . Calcular el error relativo.

11. Para el P.V.I. enunciado en 10:

MÉTODOS NUMÉRICOS


a) Dar la fórmula de avance de t a ht + para un método de Taylor que use los tres primerostérminos. Con un tamaño de paso de 10.h = , calcular un valor aproximado de ( )20.y .

b) Calcular el error relativo para la aproximación obtenida en a).

12. Considerar el P.V.I.( ) ( )

( )

=+=′

32y

yxlnxy

Determinar valores de a, b, c y d, tales que un teorema de existencia y unicidad, aplicado al

rectángulo ( ) dycbxaRy,xR ≤≤≤≤∈= 2 y , garantice existencia y unicidad de lasolución. Justificar.


( ) ( )( )

=+=

ey

tyet'y t

1

a) Con un tamaño de paso h, para el método de Euler, obtener la fórmula de avance de kt a 1+kt .

b) Con un tamaño de paso h, para el método de Taylor de los tres primeros términos, obtener lafórmula de avance de kt a 1+kt .

c) Aproximar ( )10.y en los casos a) y b).


( )

==

10y

tcostyt'y

Usar un tamaño de paso 10.=h para calcular dos pasos por medio de los métodos de Euler, Taylorde los tres primeros términos, Runge-Kutta de orden dos, Taylor de los cinco primeros términos yRunge-Kutta de orden cuatro. Consignar los resultados en una tabla. Calcular los errores relativospara cada una de las aproximaciones obtenidas.

15. Convertir el P.V.I.( ) ( )

( )

==

10x

tcostxt'x

en un sistema de E.E.D.D. de primer orden autónomo. Representar el sistema en forma vectorial.Para un tamaño de paso 10.=h , calcular dos pasos, por medio del método Runge-Kutta, de cuartoorden. Para ambos resultados, calcular el error relativo.

16. Considerar la ecuación diferencial ( ) ( )xfx'y x == 221

, con condición inicial ( ) 00 =y .

MÉTODOS NUMÉRICOS


a) Obtener el polinomio que interpola a ( )x'y en 10 10 == xx , , 22 =x y 33 =x . Usarlo para

calcular

21

y ,

23

y y

25

y .

b) Lo mismo que en a), pero interpolando el trazador sujeto para la tabla x vs. ( )x'y .c) En a) y b), comparar con los valores exactos.d) Estudiar los resultados.

17. Considerar el P.V.I.( )( )

==102

y

yxx'y

a) Mostrar que ( ) 2xexy = es la solución exacta del P.V.I. dado.

b) Hallar los cuatro primeros términos para la expansión en serie de Taylor para ( )xy , alrededor decero.

c) Usar la regla Trapezoidal para mostrar que ( )21

1h

hy−

≅ , con hh 0,≥ "pequeño".

d) Halle los cuatro primeros términos de la expansión en serie de Taylor de 21

1h−

, alrededor de

cero.

e) Dibujar, usando DERIVE, por ejemplo, ( ) 2xexf = y ( )21

1x

xg−

= . Calcular ( ) ( )xgxf , en

020010 .. == xx , , 10 080 .. == xx , , con DERIVE, aritmética mixta y 30 dígitos.f) Analizar los resultados. Formular conclusiones.


( )( )

==′

00

2

y

exy x

a) Mostrar que la función ( ) dtexyx

t∫=0

2

es la solución del P.V.I. dado.

b) Usar la regla Trapezoidal para mostrar que ( ) hhehhhy h 021 2

,, ≥+≅ "pequeño".

c) Calcular (con DERIVE, por ejemplo), ( ) ( )010 10 .. yy , y ( )0010.y ; ( ) 2

21

21 hehhhg +=: , en

los mismos valores.d) Analizar los resultados. Sacar conclusiones.


==

0)()()('

au

tftu

con f una función continua.

MÉTODOS NUMÉRICOS


a) Mostrar que ( ) ( )dssftut

a∫= es la solución al P.V.I. dado.

b) Aplicar el método Runge-Kutta 4 para aproximar ( )htu + , suponiendo que se conoce ( )tu .

c) Cómo le resultó ( ) ( )tuhtu −+ ? Justifique que ( ) ( ) ( )dssftuhtuht

t∫+

=−+ .

d) Analizar sus resultados.


( )

=−=

10'

w

ww θθθ

a) Mostrar que el P.V.I. tiene una única solución. Encontrar tal solución.b) Escribir la expansión en serie de Taylor para ( )θw , alrededor de cero.

c) Al resolver b), posiblemente observó que ( ) ( ) ( )( )θθθ 4www =′′′=′′ , etc. Cómo concluye que

( ) ( ) 0==′′′=′′ ...ww θθ ?d) Qué método numérico resultó en b)? Cuál es el error relativo para cada aproximación calculada

mediante este método?

21. Considerar el P.V.I.( ) ( ) ( )( )

( )

=++=

1011

y

tytt'y

a) Convertir el P.V.I. dado en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden autónomo.b) Expresar el sistema conseguido en a) en forma vectorial.c) Usando el método Runge-Kutta de orden cuatro (4) para sistemas autónomos, obtener una

aproximación de ( )10.y . Dejar claramente indicado el proceso de cálculo numérico.

22. Convertir el P.V.I.( ) ( )( )

( )

==

00 xtx

tx,tft'x

en un sistema de E.E.D.D. de primer orden autónomo. Representar el sistema en forma vectorial.Para un tamaño de paso h, dar la fórmula de avance del método Runge-Kutta, cuarto orden.

23. Hallar una aproximación en 250.t = de la solución del siguiente problema de valor inicial:

( ) ( ) 001006 2

2

===−− 'yyydt

dy

dt

yd;;

Use el método de Runge-Kutta 4. Calcule el error relativo en el cálculo realizado.

MÉTODOS NUMÉRICOS



( ) ( ) ( )( )( )

==

=+−

0010

2

'w

w

ew'ww''w θθθθθ

a) Convertir el P.V.I. dado en un sistema equivalente de ecuaciones diferenciales de primer ordenautónomo.

b) Expresar el sistema obtenido en a) en forma vectorial. Usar el método numérico Runge-Kutta cuatro(con tamaño de paso 10. ) para:i. Calcular una aproximación de ( )10.w .

ii. Calcular una aproximación de ( )20.w .

25. En forma ideal, el movimiento de un péndulo está descrito por el P.V.I.

( ) ( )

=′=

=+

00

2

2

0 0

0

v

senL

g

dt

d

θθθ

θθ

;

a) Convertir el P.V.I. en un sistema equivalente de dos ecuaciones diferenciales de primer orden condos incógnitas.

b) Expresar lo conseguido en a) en forma vectorial.c) Convertir el P.V.I. en un sistema equivalente de tres ecuaciones diferenciales de primer orden con

tres incógnitas, autónomo, y expresarlo en forma vectorial.d) Utilizando la respuesta en c), escribir la fórmula de avance para Runge-Kutta cuatro de ( )tθ a

( )tt ∆θ + .

26. Un modelo matemático para un circuito electrónico está dado por el P.V.I.

( )

( ) ( )

=′=

=++

00 00

1024506502

2

QQ

tsentQdt

dQ

dt

Qd

;

.

Realizar lo mismo que en el problema 25, c), d).

27. Usar un método aproximado para calcular ( )10.θ y ( )20.θ , sabiéndose que

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=′=

−=′′

00 106

θθ

θπθθ

,

tsentt

MÉTODOS NUMÉRICOS


28. La vibración de un resorte sometido a amortiguamiento y fuerza externa está modelada por el P.V.I.

( ) ( ) ( )( ) ( )

=′=−=++′′

0000183

2

yy

ttytyty

;

'

Usar el método Runge-Kutta cuatro para calcular valores aproximados de la posición ( )2y , la

velocidad ( )2y′ y la aceleración ( )2y ′′ del péndulo (usar un tamaño de paso 2=h ).

29. El movimiento de un péndulo está dado por el P.V.I.

( ) ( ) ( )( ) ( )

===+′−′′

00100

'θθθθθ

;

tsentt

Usar Runge-Kutta cuatro para calcular la posición angular ( )10.θ , la velocidad angular ( )10.'θ y la

aceleración angular ( )10.θ ′′ del péndulo. (Usar tamaño de paso 10.=h ).

30. Considerar la ecuación diferencial con condiciones iniciales

( ) ( ) ( )

=′=′′==−−′−′′+′′′

1000002

yyy

tyytyty

;

Calcular ( )20.y y ( )40.y usando un procedimiento vectorial Runge-Kutta cuatro para sistemas deecuaciones diferenciales de primer orden autónomas.

31. Considerar el P.V.I.( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=′′=′==′+′′−′′′

4121112 xxx

ttxtxttx

;;

a) Convertir el P.V.I. en un sistema equivalente de E.E.D.D. de primer orden, autónomo.b) Expresar el sistema obtenido en a) en forma vectorial. Definir cada uno de los términos que aquí

aparecen.c) Dar la fórmula de avance de t a ht + , en forma vectorial, para el método de Runge-Kutta cuatro.

Definir cada uno de los términos de esta fórmula.


( ) ( ) ( )

=′=′′==−′−′′+′′′

10 0002 y,yy

tyytyty

a) Convertir el P.V.I. en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente que seaautónomo. Expresar dicho sistema en forma vectorial.

b) Usar Runge-Kutta cuatro con tamaño de paso 20.h = para calcular un valor aproximado de( )40.y .

MÉTODOS NUMÉRICOS


33. Considerar el P.V.F.( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( )

==∈−+=′′

012 00120 1232

w,w

,x,xxxwxw

a) Usar expansión en serie de Taylor para probar que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

2hO

h

htwtwhtwtw +−+−+=′′

b) Si 3=h , dar los valores de los nodos. Discretizar la ecuación diferencial en un ix apropiado,

expresando los valores posibles de i .c) Explicar, paso a paso, la construcción del sistema tridiagonal 33× que permite calcular la

función desconocida ( )tw en los nodos interiores. Resolver el sistema resultante.

34. Considerar el P.V.F.

( ) ( )

( ) ( )

==

−=+′′

04 004

348

27845

y,y

tsentcostytyππ

Escribir el sistema matricial que permite calcular valores aproximados de ( )1y , ( )2y y ( )3y . Usar elmétodo de diferencias finitas y aritmética exacta.

35. Considerar el P.V.F.( )

( ) ( )

===+′′

11 000

z,z

ztz

Usar el método de diferencias finitas para resolver el P.V.F., tomando como tamaño de paso a 41

=h .

Explicar paso a paso la construcción del sistema tridiagonal asociado con la aplicación del método.

36. Considerar el P.V.F.( ) ( )

( ) ( )

===+′+′′

01 102

θθθθθ

,

xxxx

Responda las mismas preguntas formuladas en el problema 35, con 20.h = .


( )

( ) ( )

−==

=

−−′′

13 215

1

z,z

tzt

tz

MÉTODOS NUMÉRICOS


Para un tamaño de paso 50.t =∆ , dar los valores de los nodos. Discretizar la ecuación diferencialen un it apropiado, dando los posibles valores de i .

Obtener, paso a paso, el sistema tridiagonal 33× que permite calcular a z en los nodos interiores.Resolver dicho sistema.

38. Para el P.V.F.

( ) ( )( ) ( )

==−=′′

674 3022

4

y,y

xxyxxy

usar el método de diferencias finitas para calcular valores aproximados de ( )1y , ( )2y y ( )3y (use

tamaño de paso 1=h ).

39. En el P.V.F.

( ) ( ) ( )( ) ( )

==−−−=+′−′′

83 0114332

2

y,y

xxxyxyxy

Calcular aproximaciones de ( )0y , ( )1y y ( )2y . Usar el método de diferencias finitas. Verificar que

( ) 12 −= xxy es solución del P.V.F. Calcular los errores relativos (si es posible).

40. Calcular valores aproximados de ( )1x , ( )2x y ( )3x , sabiendo que x satisface el P.V.F.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

==

=−′

−′′

04 102

2

2

x,x

ttxttxtcostx

π


( ) ( )

( ) ( )

==

−=+′′

04 004

348

27845

y,y

tsentcostytyππ

Escribir el sistema matricial que permite calcular valores aproximados de ( )1y , ( )2y y ( )3y ; usar elmétodo de diferencias finitas.


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

===+′+′′

01 002244 2

y,y

xcosxyxyxy πππ

MÉTODOS NUMÉRICOS


Usar el método de diferencias finitas para calcular valores aproximados de ( )41y , ( )2

1y y ( )43y .


( ) ( )( ) ( )

==−=

674 3022 4

y,y

xxyxx"y

Calcular valores aproximados de ( )1y , ( )2y y ( )3y .

Verificar que ( ) 33 xxf += satisface el P.V.F. dado. Investigar un teorema que tenga relación conexistencia y unicidad de P.V.F. y aplicarlo.Calcular los errores relativos en las aproximaciones obtenidas.

44. Para el P.V.F.

[ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]

×−=

×=+

1010 9

1010 022 ,,,yxy,xu

,,,uu yyxx

cuadrado del frontera la en

cuadrado del interior el en

Calcular los valores aproximados de ( )y,xu en los puntos

31

31

, ,

31

32

, ,

32

31

, y

32

32

, .

Usar tamaño de paso 31

en ambos ejes.

45. Considerar el problema de Dirichlet

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] [ ]

×∂−=

×=+

1010327

1010023 ,,y,x,yxxy,xu

,,y,x,uu yyxx

en

en

Tomar tamaño de paso 31

en ambos ejes, precisar los nodos de la malla resultante y calcular valores

aproximados para ( )y,xu en los nodos donde no se tienen.

46. Considerar el problema de Dirichlet

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] [ ]

×∂=

×=+

1010

10100

,,y,x,y,xgy,xu

,,y,x,uu yyxx

en

en

Para los casos xygxgyxg ==−= 321 2 ,, , hallar valores aproximados de ( )41

41 ,u ,

( )41

42 ,u , ( )4

14

3 ,u , ( )42

41 ,u , ( )4

24

2 ,u , ( )42

43 ,u , ( )4

34

1 ,u , ( )43

42 ,u , ( )4

34

3 ,u .

47. Considerar el siguiente sistema de E.E.D.D. de primer orden:

MÉTODOS NUMÉRICOS


( ) ( )

==

++=

−+=

45040

2

4

y,x

eyx'y

eyx'xt

t

a) Representarlo en forma vectorial no autónoma.b) Representarlo en forma vectorial autónoma.

48. Convertir el P.V.I.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

−====′+′′+++′′′

423272

32

"y,'y,y

tlnyytsenytcosytsen

en un sistema no autónomo de E.E.D.D. de primer orden. Expresarlo en forma vectorial.

49. En los siguientes P.V.I. calcular el (los) datos pedidos con el método indicado.

a) ( ) ( )

=′=+=+

00 109002900 2

y,y

ty"y; ( ) ?.yKR.h ≅−−= 20420 ;;

b) ( )

==+

1002 2

y

yx'y; fórmula de avance para el método de Euler; solución exacta

11

2 +=

xy .

c) ( ) ( )

==−−=++

00'y;10yet2ey'y"y

22 tt; ( ) ?yKRh ≅−−= 141 ;;

50. Una caja rectangular hermética (de dimensiones unitarias) con peso específico 43

se sumerge en un

líquido de peso específico unitario, bajo la acción de una fuerza externa ( ) 1043 2 ≤≤+= t,ttf ,

(movimiento y fuerza tienen dirección vertical).

Se pide :

a) Obtener el P.V.I. que describe el hundimiento de la caja, sabiéndose que en 0=t , posición yvelocidad son nulos.

b) Usar Runge–Kutta cuatro para calcular aproximaciones de posición, la velocidad y la aceleración dela caja, en pasos de una décima.

c) Obtener la solución exacta del P.V.I.d) Calcular los errores relativos correspondientes a las aproximaciones calculadas (si es posible).

Graficar.

MÉTODOS NUMÉRICOS


51. Para cada uno de los siguientes P.V.F. calcular valores aproximados de la variable en los nodosinteriores:

a) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

===+−−

1201 2

πx,x

ttxtsent'xtcost"x

;

4π

=h

b) ( ) ( )

===−−120

4

πx,x

txe'xtcos"x t

; 4π

=h

c) ( ) ( )

===+

01002164 2

y,y

tcosy"y πππ;

41

=h

Aquí verificar que tsenty π24= es solución. Calcular los errores relativos (si es posible).

d) ( ) ( )

==+=+

0,0028244 2

πyy

xcosxxcos'yx"y;

4π

=h , solución exacta xsenxy 2= .

e) ( )

( ) ( )

==−=−0211

2122y,y

x'y"yx;

41

=h , solución exacta ( )32 xy −= .

52. A través de una tubería cilíndrica fluye vapor de agua a alta temperatura y presión. La distribución detemperatura está modelada por el P.V.F.

( ) ( )

===+

20250010

u,u

'u"ur

Los valores 1=r y 2=r corresponden al radio interior y exterior de la tubería, respectivamente.

Calcular valores aproximados de la temperatura tomando un paso 10.r =∆ .

53. Considerar el problema de Dirichlet:

( ) ( ) ( ) [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) [ ] [ ]

×∂∈=

×=∂∂

+∂∂

1010

1010 02

2

2

2

,,y,x,y,xgy,xu

,,Inty,x,y,x,y

uy,x

x

u

con

encon

Para las funciones ( )y,xg dadas, tomar un tamaño de paso adecuado (igual por ambos ejes) con

sus posibilidades de cálculo, y calcular los valores de u en los nodos interiores de la malla:

a) ( ) 33 yxyxy,xg −=

MÉTODOS NUMÉRICOS


b) ( ) yxyy,xg 23 3−=

c) ( ) xcoseyseney,xg yx +=

d) ( ) yhcosxsenyhsenxcosy,xg +=

e) ( ) xcoseycosey,xg yx −− +=

54. Expresar los siguientes P.V.I. como sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.

a) Autónomos.

b) No autónomos.

i. ( )

( ) ( )

=′=

=+′+′′

01000 xtx,xtx

x,tfxkxbxg

w

ii.

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

====−=

−−−=

D'y,Cy,B'y,Ay

yyk"ym

yykyk"ym

0000 2211

21222

2121111

55. Probar que cuando la fórmula Runge–Kutta de cuarto orden se aplica al P.V.I.

( )

==

00 xtx

x'x λ

La fórmula de avance es ( ) ( )txhhhhhtx

++++≅+ 443322

241

61

21

1 λλλλ y que el error

es ( )5hO , en un paso.

56. Usar Runge–Kutta cuatro para resolver aproximadamente el P.V.I.

( )( )

=−+=′

31x

txcosex tx

Usar 10.h = . Hacerlo con un programa de computador. Calcular varios pasos. Estar atento aloverflow.

57. En la solución de los P.V.F. del problema 53, organizar el sistema de ecuaciones resultante de talforma que la matriz del sistema luzca tridiagonal por bloques; observar con atención la estructura de losbloques.

MÉTODOS NUMÉRICOS


58. Una masa está colocada sobre un resorte que está sometido a fuerza externa y amortiguamiento. Suposición ( )ty satisface el P.V.I.

( ) ( )

==≤≤−=++

000060183 2

'y,y

t,ty'y"y

Se pide:

a) Tomar tamaño de paso 10.h = en el método Runge–Kutta cuatro y calcular posición, velocidad yaceleración de la masa, para 601010 ,...,,k,k.tk == . Graficar.

b) Obtener la solución exacta del P.V.I. Graficar ( )ty , ( )ty′ y ( )ty ′′ .c) Comparar los resultados exactos con los cálculos aproximados. Analizar.


( )( ) ( )

==<<−+=

012001201232

w,w

x,xxw"w

Mediante un programa de computador. Calcular valores aproximados de( ) 1011921 .h,,...,,k,hkw == . Graficar x vs. ( )xw .

asmar_unnacmedellin

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