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CONJUNTOS DE LOS NUMEROS REALES La aritmética como el algebra se basan en conjuntos numéricos con los que se realizan operaciones, tales como suma, resta, Multiplicación , división y de relación ( unión, intersección, diferencia , diferencia simétrica, complemento, > , < etc). La aritmética se centra en operaciones con números como :2+4 4*2 3-4 30/3Mientras el algebra se fundamenta con números sin especificar, y estos se designan con símbolos o letras (variables) tales como:x+y a*b y-z b/cEl concepto de conjunto tiene mucha aplicación en matemáticas, de una manera informal decimos que es una colección de objetos y los objetos de un conjunto se les conoce como elementos de dicho conjunto; para describir un conjunto con palabras o símbolos se le enmarca entre llaves enumerando todo los elementos del conjuntos, llamado notación por extensión .Por ejemplo:

Otra modo de describir un conjunto es por comprensión, que consiste en darle una cualidad al conjunto por medio de una variable que sirve para representar cualquier elemento del conjunto dado y una barra (/) representa la palabra “tal que” .Por ejemplo:

Y se lee el conjunto de las x tal x es un numero natural menor que 5

La humanidad aprendió a contar antes de aprender a escribir con los conjuntos de los números entero positivos llamado los naturales, lo utilizamos para contar nuestros juguetes, nuestros amigos ete. El conjunto de los números naturales se representan con N= {1,2,3,4,5,…….} El conjunto de los números enteros se representan con Z = {….-4, -3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…….} el conjunto de los números enteros está conformado por los negativos junto con el cero y los naturales. A cada entero positivo podemos tener n entero negativo, Por ejemplo el entero negativo -4 se lee menos cuatro y al sumar el positivo con el negativo produce cero como resultado. El conjunto de los números negativos se puede escribir como sigue. . La Unión de estos dos conjuntos + el cero forma los números enteros =Z que se pueden representar en una recta numérica la recta numérica consiste en asociar números a los puntos de una recta; para realizar tal asociación , primero se traza una recta horizontal y se selecciona un punto sobre la recta que representa el numero 0 y a este se le denomina origen, Después se eligen unidades sucesivas a la derecha del origen con los números positivos y a la izquierda con los números negativos y en los extremo se le marca el símbolo infinito “ ” a esta representación de la figura se le llama recta numérica. Y a todos los números enteros y no enteros sobre la recta como se muestra en la figura se le llama números reales= R -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 | | | | | | | | | ´

Algunos de los subconjuntos del conjunto de los números enteros más importantes son:Conjunto de los números naturales. N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …….} = enteros positivosConjunto de los números enteros negativos. Z- = {-1, -2, -3, -4, -5, -6, …….}Conjunto de los números enteros pares = {x/ x = 2n ; n є Z }Conjunto de los números enteros impares = {x/ x = 2n + 1; n є Z }.El conjunto de los números racionales =Q, son los que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros a/b tal que su resultado se un decimal finito o infinito periódico ( un numero periodico es aquel que se

repite); pero b no puede ser cero. Ejemplo: , , , , donde los

dígitos 2 y 7 se repiten en ese mismo orden , , el 2 etc. Todo entero es un numero racional,

pues cualquier entero puede representarse como el cociente de dos entero colocándolo como denominador la

unidad; esto es, 6 puede representarse como . Por tanto si todo elemento de un conjunto Z es también elemento

de un conjunto Q, entonces Z es un subconjunto de Q y lo expresamos como Z Q el símbolo se lee “ no es un subconjunto de “. Y el símbolo indica que un elemento especifico pertenece a un conjunto. Asi por ejemplo 2Z , que se lee 2 es elemento de conjunto Z ( los enteros ). El símbolo se lee que “ no es elemento de “. Por consiguiente 3/2 Z se lee “ 3/2 no es elemento de Z. Por lo tantoTodo número racional a/b puede también ser representado mediante una expresión decimal.Ejemplo: a. 1/2 = 0,5 b. 7/3 = 2,333…. c. 157/495 = 0,31717…La representación decimal de un numero racional o termina o se repite.Los decimales finitos y los infinitos periódicos se pueden expresar de la forma a/bEjemplo:

2

Decimal finito: a. 0.25 = 25/100 = 5/20 = 1/4 b. 1,3 = 13/10 c. 4.005= 4004/1000 = 2002/500 =1001/250Decimal infinito periódico

b. 1,222…. = 11/9 (suponga que x = 1,22… y luego calcule 10x y 10x – x,) c. 2,1717… = 215/99 (suponga que x=2,1717… encuentre 100x y 100x-x) d. 0.8222… = 37/45 (suponga que x=0,8222…, calcule 10x y 100x – 10x)

Los siguientes son números racionales -3/5 8 2.5 0 0.666… pues se pueden escribir -3/5 8/1 25/10 0/1 2/3

La raíz cuadrada de números cuadrados perfecto son números racionales. √25, √36, √9

El conjunto de los números irracionales = Q* son números decimales infinitos no periódico es decir cuya representación decimal no termina y no es repetitivas y no puede expresarse como el cociente de dos enteros a/b con a y b enteros y b diferente de cero Un ejemplo de estos números es la , el numero

etc. Son números irracionales:Los decimales no periódicos como: a. 0.101001000… b. 4,358898944……Las raíces no exactas de números racionales √7 √37 √2Algunos números especiales como π = 3.14159……. e = 2.718281....... .La representación decimal de un número irracional nunca termina y nunca se repite. Es decir, son decimales infinitos no periódicos

La unión del conjunto de los números racionales y el de los números irracionales es el conjunto de los números reales cono se ve en el diagrama por lo tanto: El conjunto de todos los números reales se denota mediante el símbolo R. R = Q U I

Cuando se usa la palabra número sin calificativo, quiere decir “numero real”.

Todos los números reales tienen una representación decimal. Ejemplo 9 = 9.0000Un número real se puede representar de diferentes formas. Ejemplo el número cinco se puede representar con los símbolos: 5, V, 5.000…., (√5)2, √25 y así sucesivamente.

TALLER1. Determine cuales de los siguientes números son racionales y cuales son irracionales a. 2/15 b. -9,13 c.-23 d. 15 e. √17 f. -√25

g. -4.1212….. h.4.123123412345123456… i. 2,714285714285… J. -3.010010001…..

2. Escribe cinco representaciones distintas de cada uno de los siguientes números. a. 5 b. -12 c. 2.75 d. 0 e. ½

3

3. encuentra una fracción para cada uno de los siguientes númerosa. 0.333… b 0.43 c. -8 d. 2,7 e. 2,166… f. 5.40g. 0.009 h. 14

4. Escribe cada uno de los siguientes números en notación decimal. a. 11/20 b. 28/15 c. 2/3 d. 1/7

5. Mediante un diagrama diferente al anterior establezca la relación de contenencia entre los conjuntos

numéricos.Para cada punto de la recta numérica hay exactamente un número real. Dibujamos la recta, luego escogemos un punto de referencia 0 arbitrario, al que llamamos origen, el cual corresponde al número real 0. Dada una unidad conveniente de medición, cada número positivo x se representa por un punto en la recta a una distancia de x unidades a la derecha del origen. Cada número negativo –x, se representa mediante un punto a x unidades a la izquierda del origen. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 | | | | | | | | |

Los números reales están ordenados. Desde el punto geométrico decimos que a es menor que b y escribimos a < b, si a está a la izquierda de b en la recta numérica.

| | | | | | | | | a b a < b ó b > a

El símbolo a ≤ b (ó b ≥ a ), quiere decir que a < b ó a = b y se lee como “a es menor que o igual a b". -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 | | | | | | | | |

En la anterior figura se observa que: -4 < 0; 1 < 3; 0 > -2; -1 > -4 Valor Absoluto El valor absoluto de un número a, denotado por │a│, es su distancia medida a partir del número 0 en la recta numérica. 0_______│a│=a | | | | | | | | |

La distancia siempre es positiva o cero, de modo que tenemos │a│ ≥ 0 para cada número a.

Ejemplo : Como 2 se encuentra a dos unidades del 0, entonces el valor absoluto de 2 que se escribe│2│es igual a 2 .

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 | | | | | | | | |

Otro ejemplo, como -3 se encuentra a tres unidades del 0, entonces │-3│ = 3.

El valor absoluto de 0 es cero, así │0│= 0

│4│ = 4 ya que la distancia que hay del número cuatro hasta el cero, es de cuatro unidades -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 | | | | | | | | |

│-4│ = 4 ya que la distancia que hay del número menos cuatro hasta el cero, es de cuatro unidades.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 | | | | | | | | |

Algebraicamente definimos valor absoluto de la siguiente manera: Si a es un número real. entonces el valor absoluto de a es

a si a ≥ 0│a│=

Cuatro unidades

Cuatro unidades

a unidades

dos unidades

4

-a si a<0 Ejemplo: a. │4│= 4 b. │-16│= -( -16 ) = 16 c. │√2 - 5│= - (√2 – 5 ) = 5 - √2 d.│0│= 0Mas ejemplo de valor absoluto:a. │-4/3│ = 4/3 b.│-2.5│ = 2. c. – │6│ = -6 d. – │ │-14│ │ = -14

e. │–│-26││=2

Propiedades del valor absoluto.1. │a│≥ 0 el valor absoluto de un numero es siempre positivo o cero. Ej. │-14│=142. │a│=│-a│ Un numero y su negativo tienen el mismo valor absoluto.│3│=│-3│= 3 3. │a*b│=│a│*│b│El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos. Ej. │4*3│=│4│*│3│= 124. │a/b│= │a│/│b│ El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos. Ej. │14/7│=│14│/│7│= 14/7 = 25. │a+b│≤ │a│+│b│El valor absoluto de la suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos. Ej. a. │2+5│= │2│+│5│= 7 b. │-8+3│< │-8│+│3│

│-5│ < 8+ 3 6. │a-b│ ≥ ││a│-│b││ El valor absoluto de la diferencia es mayor o igual que el valor absoluto de la diferencia de los valores absoluto. Ej. a. │7-9│ = ││7│-│9││

│-2│ = │7-9│ b. │-3-(-18)│ > ││-3│-│-18││

│15│ > │3-18│

Distancia Entre Puntos de La Recta de Los Números Reales.

Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b en la recta numérica es d(a,b) = │a-b│ |____│a - b│____| | | | | | | | | |

a b |____│b - a│____|

Ejemplo. 1. Determine la distancia entre los puntos -2 y 4

d(-2,4) = │4 – (-2)│ = │4+2│= │6│ = 6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | | | | | | | | |

2. Determine la distancia entre los puntos -16 y 9

d( 9, -16) = │-16 – 9│ = │-25│= 25

TALLER

1. Represente en la recta numérica los siguientes puntos

a. 3/10 b. 0.25 c. -2/3 d. √8 e. √9 f. -√4

2. Escriba el símbolo correcto ( <, > o = ) en el espacio correspondiente.

a. 3 _____ 7/2 b. -4 ______ - 7/2 c. 3.5 _____ 7/2

d. 2/3 ____0.67 e. │0.65│_____ │-13/20│ f. 4/3 _____1/2

3. Diga de cada desigualdad si es verdadera o falsa

Seis unidades

5

a. -6< - 10 b. √2 > 1.41 c. 10/11 < 12/13 d. -1/2 < -1

e. –π > -3 f. 8 ≤ 9 g. 1.1 > 1.111…. h. 6 ≥ √36

4. Escriba cada enunciado en término de desigualdades.

a. x es negativa

b. y es menor que 6

c. z es mayor que o igual a π

d. x es menor que 2/5 y es mayor que -7

e. m es positiva

f. y es mayor que 2

4. Evalúe cada una de las expresiones

a. │103│ b. │– 25│ c. │√5 – 5│ d. │10 – π│ e. ││-6│-│-9││

f. │-4/24│ g. │(-1/3)*(15)│ h.│-10/3│ i. │-2.8│ j. – │-6│ k. – │7│ l.│ – │-8│ │

5. Determine la distancia entre los números dados

a. -2 y 13b. 4/3 y 11 c. 17/8 y -3/10 d. -3.7 y -1.8

OPERACIONES CON LOS NUMEROS REALESPodemos identificar cuatro operaciones fundamentales con los números reales, estas son: Suma, Resta, Multiplicación y División. SUMA: Para sumar dos números con igual signo (ambos positivos o ambos negativos), se suman y al resultado se le asigna el mismo signo de los sumandos.Ejemplo 1: -3 - 4 = -7 Ejemplo 2: 4 + 5 = 9 Ejercicios:# 2 Hallar Las suma de los siguientes números:1) 3+8 =2) -4-8 =3) 6+6 =4) -8-2-7 =5) 1+2+4+6 =6) 0+9 =

7) 4+8 =8) -6-6 =9) -8-2 =10) 1+2 =11) +20+9=

RESTA: Para sumar dos números con diferentes signo, se resta del número mayor al número menor, y al resultado se le asigna el signo del mayor numero.

Ejemplo 3: 12 – 5 = 7 Ejemplo 4: - 8 + 6 = -2

Ejercicios:# 3 Hallar Las resta de los siguientes números

6

1) 3-8 =2) -4+8=3) 6-6=

4) -8+2=5) 1-2= 8) 0-9=

Ley de los signos: Esta ley solamente se aplica en las operaciones de multiplicación, destrucción de signos de agrupación como paréntesis, corchetes, llaves y a la división . Nunca se aplica ni a suma ni a resta

Signos Iguales generan un resultado positivo, es decir: mas por mas o menos por menos da positivo

Signos Contrarios generan un resultado negativo, es decir:

PARA DESTRUIR SIGNOS DE AGRUPACIÓN como paréntesis ( ), corchete, llave { }, APLICAMOS LA LEY DE LOS SIGNOS Ejemplos:

a) ( - 4) = - 4 se le aplicó la ley de los signos , observe que si el numero no aparece precedido con signo, se tomo positivo (+) , también signos de agrupaciones como ( ) etc + (- 4) = - 4

b) -(-3) = +3 c) – (+7) = -7 d) + (+6)= +6

Ejercicios:a) -(-6)= b) +(-5)= c) (4)= d) (-8)=

Otro ejemplo:(+ )(+ ) = +

(+3) - ( - 5) = 3 + 5 ya que a ambas cantidades se les aplicó la ley de los signos: (-)(-) = +

Lo anterior, 3 + 5 = +8, es una suma de dos números con el mismo signo, que comúnmente se puede expresa como 8. Los números positivos no requieren el signo más (+) cuando no están precedidos de otra cantidad. Por ejemplo +3 se puede escribir 3 allí se entiende que es positivo

Más ejemplo:(-4) - ( - 5) = - 4 + 5 ya que a ambas cantidades se les aplicó la ley de los signos así: (-)(-) = +

(- 4) - ( - 5) = - 4 + 5 = 1 (+ )(- ) = - Lo anterior, - 4 + 5 = 1, se convirtió en una resta de dos números, recordar que en este caso, se resta del mayor valor absoluto el menor, y al resultado se le asigna el signo del mayor valor absoluto. Más ejemplo:a) -(5)-(3)+(4)-(-6) = -5-3+4+6 = -8+10 = 2 b) 6-5-4 = 6 -9 = - 3

Ejerciciosa) 5 - (+3)=

b) (-7)- (-5)=

c) (+11)+ (-7)=

d) -14- (-20)=

e) 20 - (+15)=

f) 5 + (+3) =

(+)(+) = + ( - )( - ) =

( + )( - ) = - ( - )( + ) = -

7

g) (-5) + 3 + 8=

h) (-6) + (-5) + (-9)=

i) (-15)-(+16)+ (-13)=

j) (-24) -(-13) + (-9)=

k) 1 + (+l)+(+7)=

l) (-15)+(-9)-(+8)=

m) 11 - (+2) + (-9)=

n) (-7) - (-5) =

o) (-11)+ (-7) =

p) -14- (-20) =

q) 20 - (-15) =

r) (+4)-(5)-(-2) =

s) (+3)-(+6)=

t) (+2)-(-7)=

u) (-8)-(-2)=

v) (-6)+(4)=

w) (-1) + (-3) =

Multiplicación : En ambos casos se realiza la operación respectiva entre sus valores absolutos aplicando la ley de los signos al producto y al cociente.Formas de representar una multiplicación:Siendo a y b dos números, positivos o negativos, podemos expresar la multiplicación así:(a)(b) = ab = axb = a.b = (a)b = a(b).

(2)(3)= (2)3 =2(3) = 6

Como puede verse, entre los signos de agrupación no deben existir signos “+ “ y/o “–“ , por ejemplo:Ejemplo 5(-5)(-3) = + 15 que comúnmente se expresa como 15, ya que los números positivos no requieren el signo más (+) cuando no están precedidos de otra cantidad. Ejemplo 6(2)-(-3) No corresponde a una multiplicación porque entre ambos paréntesis existe un signo que en este caso indica una suma. (Recordemos que para destruir signos de agrupación, aplicamos la ley de los signos),así tenemos que: (2) - ( - 3) = 2 + 3= 5 Ejemplos de multiplicación (para la multiplicación debe aplicar la ley de signos)

Ejemplo 7: (8)(-3) = -24 Ejemplo 8: (-7)(-4) = 28

Ejemplo 10: -5(-3) = 15 Ejemplo 11: (+3)(+4) = 12

Ejemplo 12: 3 (-2) = -6 Ejemplo 13: (-2)(- 7)(-2) = - 28

Ejemplo 14: (-6)(+3) = - 18 Ejemplo 15: (-2)(+3)(-4) = 24

Cuando hay una operación dentro de un signo de agrupación, se debe efectuar primero la operación encerada y luego destrucción del signo de agrupación. Así:Ejemplo:a) - (5-8)= -(-3) = 3 a) 2(8-6)-(6+2)= 2(2)-(8)= 4-8 =- 4

Ejercicios # 4 . Efectuar las operaciones indicadas

b) (+3)(+6) =a) (+2)(-7) =b) (-8)(-2) =c) (-6)(4) =d) (-7)(2)(-3) =e) (+6) (-7) =f) (-8)(+5) =g) (-9) ( -8) =h) (-7) 2 - ( -10) ( +1)=i) (-1) (-3)(-4) -2 ( +8) =j) -3(+4)-(-3)(-4)(-2) =k) (-4)(-5)+(2-2+8)(2)=l) 5(-1-2)+(1+2-6)(-3)=m) (3-6)(5+1)=n) (1)(3-3)=o) 4(6)-(4)(-3)p) (-4-2)(-1)-(2)(-3)q) (-7) (-) 2 - ( -1) ( +1)=r) (0)(1+5)-(-2)(-6)=s) –(-3)(-1-2)-(-2-4)(1+5)=t) (-3) (-2) 2 - ( -1) ( +10)=u) (-7) (-) (-2) - ( -1-3) ( +1)(5)=v) -4(-) 2 - ( -1) ( +9)=w) (-5)- (-2) 4 + ( -8) ( +1)=x) (1) (-5) 2 - ( -16)- ( +6)=y) (-7+9) (-) - ( -1) ( +1)=

z) (-6) (-1) -5 ( -1) ( -2)=

5..EjerciciosSuprime los signos de agrupación y resuelve

a. (+8-7)+(-3+4)-(+3+2)-(-3+0)+(5-2)-(2-6)+(-1+5)b. (-1-7)-(-1-5)+(2-4)+(+1+6)-(4+3)-(6-2)c. -6+(-3+4+2-5)-2-(-2+1-4+5)+3=

d. (-2+1-3)+(4-3+1)-(7-1+3)-1=f. 8+6-3-(4-5-2+1) +2-3-(2-1+4)=

e. 6+(-3+1-2)-1+(4-1-1)-1+6= No olvide: Cuando hay signos de agrupación encerrado en otros, se debe efectuar primero la operación en el más interno. Ejemplo:7-{[(-5)+(-1) ]-[(-4)+(-3)]} = 7-{[-5-1]-[-4-3]}= 7-{[-6]-[-7]}= 7-{-6+7}= 7- {+1}= 7-1= 6

2° ejemplo propuesto:[ - (5 – (8 – 4) + (3-7) -2 ) + 3] = [ -(5 – (4) + (-4) – 2) + 3] = [ -(5 – 4 – 4 -2) + 3] = [ -(-5)+ 3] = [ 5 + 3 ] = [ 8 ] = 8.

6. Ejerciciosf. (+8)+(-3)-(+8)-(-30)+(-2)-(-6)+(-15) =g. (-17)-(-15)+(-4)+(+16)-(+3)-(-2) =

Suprime los signos de agrupación y resuelveh. -6+(-3+4+2-5)-2-(-2+1-4+5)+3=i. (-2+1-3)+(4-3+1)-(7-1+3)-1=j. 8+{6-[3-(4-5-2+1) +2]-3}-(2-1+4)=

k. {[6+(-3+1-2)-1+(4-1-1)]-16}=7) Realizar las siguientes operaciones

h) [(-9) + 5]- (7 + 8)=

i) (15+ 17)-[(-12)+ (-3)]=

i) [16-(+5)]-[(-12)-(-18)=

k) [9 + (+5)]-[(-9) + (-7)]=

i) 12-[(-14)+ (+2)-(+24)]=

m) 15-(-7) + 8-[(-18) + 42]= n) [(-9) - (-3)] - [(- 4) - (-5)] - [(+6) + (+2)] =

8. Calcula el valor de los siguientes polinomios.

a) 100-[(-4)+ 7]=

b) 12+ {[(-5)+ 2]-(3+ 4)}=

c) (14-7)+ {[13-(-2)]-[7+ (-6)]}=

d) {(19 - 23) - [15 + (- 8)]} - {[(-16) + (-2)] - [(-18) - (-5)]}=

e) -8 + {[(9) +( -7)] + (7 + 2)-{[(-15) + (+2)]-[9 + (-7)]}}=

9. Resuelvea. (-2) ( +4) ( 8-5) -4 ( 3-7) ( +5) ( 1-2)=

b. (1-5+1) [-8-(-5) + ( -1) ] [3-(+2) – ( -3)]=

c. 13 - { (-2) [ (8-4+1-7) ( 4+3-8)] -5 }=

d. =

e. =

Calcula el valor de los siguientes polinomios aritméticos.

a) (-1) {[(-5) + (4)] - {2 [(- 6) + 8] + (- 4)}}=

b) 4 [ ( 5 + 7)-(6 + 2 ) ] + { - [ - 4 ] } =

c) - { [2-(7-9) + 6 }+8-6) }=

d) {{-6+ 2)+ 5}+ {(-8 + 4)+ (-2)}=

e) 3 - {- (- 4 + 5) + 2} {(-1 + 5) + (-5)}=

f) 4 - (- 5 +7) - {4 + (9 - 4) + (- 2 + 1)} +(- 2) 3 =

g) 5 + (- 9 - 1) - (3 )( 2) + (- 2) (-1)(3)=

3. Si a = -1, b = 2 , c = 3 y d = -4 , halla el valor numérico delas siguientes expresiones.

a. -2a-{-c + a - 1 } - { a + c-3}=

b. 2a + [a-(a- b)]=

c. - [- {- (a - b) + c} - (a + b + c) + a + b + c]=

d. [-{-[-(a-b)-c + (-a-c)-b-(-a-c)]-b} + a-b]=

e. -2b-{-d + a - 1 } - { d + c-3}=

f. 2a + [d-(c- b)]=

g. - [- {- (a - b) + d} - (a + b + c) + a + d + c]=

h. [-{-[-(d-b)-d + (-a-d)-b-(-a-c)]-b} + a-b]=

i. -[-a + {-d + (b)-(d+c)-[-(-a) + b}]=Formas de representar una División:La división: La división de dos números a y b, se representa así:

a b , a b o , a / b donde a recibe el nombre de dividendo y b el de divisor.

La expresión también se le denomina fracción, siendo a el numerador y b el denominador.

NOTA 2 La división por cero carece de sentido, por lo tanto

Siendo a y b dos números, positivos o negativos, podemos expresar la división así:

El signo negativo de una fracción (división) puede presentarse así:

Ejemplo 16El resultado que se obtiene al dividir dos número se llama cociente

a)

Explicación: El resultado que se obtiene al dividir 8 entre -2 da como cociente -4 porque el valor que se obtiene debe ser que al multiplicado -4 por -2 de cómo resultado 8.

b) (-28)/(4) = -7.

c) = - 2 - 20 = -22

Ejercicios # 10a) (+30) (+6)=b) (+21)/(-7)=c) (-16)/(-2)=d) (-60) (5)=

e) =

f) =

g) =

h) =

Propiedades De Los Números Reales.

1. Cerrada o Interna. Cuando se suman o multiplican dos números reales, el resultado siempre es un número real. Es decir, Si a y b Є R entonces, a +b Є R y (a).(b) Є R.Ejemplo. a. (-5) + (-8) = -13 b. (-3/4 ) + (2/5) = -7/20 c. (1.38) + ( -6)= - 4.62 d. 4(-19) = -76 e. (-7/2)(-3/4) = 21/8 f. ( 4.23) (-1.2) = - 5.076

2. Conmutativa. Cuando se suman o se multiplican dos números no importa el orden. Es decir, Si a y b Є R entonces, a + b = b + a y (a).(b) = (b).(a)Ejemplo. ( -4) + ( -3 ) = ( -3 ) + ( -4 ) ( - 5 ) ( - 6 ) = ( - 6 ) ( - 5 ) - 7 = - 7 30 = 30

3. Asociativa. Cuando se suman o se multiplican tres números, no importa cuales dos se sumen o se multiplique primero. Es decir, si a , b y c Є R, entonces,

( a+b ) + c = a + ( b + c ) ;[(a).(b)] (c) = (a). [(b).(c)]

Ejemplo. ( - 2 ) + ( 4) + ( - 8 ) = [ ( - 2 ) + ( 4 ) ] + ( - 8 ) = ( - 2 ) + [ ( 4 ) + ( - 8 ) ] = ( 2 ) + ( - 8 ) = ( - 2 ) + ( - 4 )

= -6 -6( - 5 ).( -3) .( 2 ) = [ ( - 5 ) . ( -3 ) ] . ( 2 ) = ( - 5 ) + [ ( -3 ) . ( 2 ) ] = ( 15 ) .( 2 ) = ( - 5 ) . ( -6 )

= -30 = 304. Distributiva. Cuando se multiplica un número por una suma de dos números reales se obtiene el mismo resultado al multiplicar el número por cada uno los términos y luego sumar los resultados. Es decir, para todo numero a, b, c Є R , se cumple que

( a ).( b +c ) = ( a ).( b ) + ( a ).( c ).Ejemplo. 8.( -2 + 4 ) = 8 .( -2 ) + 8 .( 4 )

8. ( 2 ) = ( -16 ) + ( 32) -16 = 16

5. Identidad para la Suma. Numero sumado con el cero da el mismo numero. El cero es el elemento idéntico de la suma. Por lo tanto para toda a Є R, a + 0 = 0 + a = aEjemplo. -15 + 0 = -15 0 + ( - 3.15 ) = - 3.15 4/3 + 0 = 4/3

Identidad para el Producto. El uno es el elemento idéntico para la multiplicación., es decir, para toda a Є R, a . ( 1 ) = ( 1 ). a = a

Ejemplo. ( 9 ). ( 1 ) = 9 ( 1 ). ( 2.9 ) = 2.9 ( 7/2 ). ( 1 ) = 7/2

6. Inverso Aditivo. Para cada numero real a, hay uno y solo un inverso aditivo –a, tal que. a + ( -a ) = 0

Ejemplo. 17 + ( - 17 ) = 0 (-5/2) + ( 5/2 ) = 0

El inverso aditivo de un número es su opuesto sobre la recta numérica con respecto al 0.El inverso aditivo de 5 es - 5. (Leemos -5 como el inverso aditivo de 5 ). El inverso aditivo de -7 es 7.Para encontrar rápidamente el inverso aditivo de un número real, simplemente cambia su signo.

Inverso Multiplicativo. Para cada número real a distinto de cero, hay uno y solo un inverso multiplicativo 1/a tal que ( a ).( 1/a ) = 1

Ejemplo. ( 3 ). ( 1/3) = 1 ( 8/3 ) . ( 3/8 ) = 1

Para determinar el reciproco de un numero, dividimos 1 por ese número. El reciproco de 4 es 1/4 o 0.25pues ( 4 ). ( 1/4 ) = 1 . Si el numero está escrito como una fracción, podemos encontrar el reciproco

invirtiendo la fracción. Así, el reciproco de -2/3 es -3/2 ya que ( - 2/3 ) ( - 3/2 ) = 1. Observa que el reciproco de un numero negativo también es negativo.

Nota.Cualquier conjunto que cumpla las seis propiedades anteriores, llamara campo. En especial el conjunto de los números reales forma un campo.

Si a y b Є R, restar estos números significa sumar uno de ellos con el inverso aditivo del otro. .o sea a - b = a + ( - b ).

Dividir estos dos números significara multiplicar uno de ellos por el inverso multiplicativo del otro. o sea a/b = a ( 1/b )

EJERCICIOS

1. Halle, si es posible el inverso aditivo y el inverso multiplicativo de cada uno de los siguientes números.a. 4 b. 2/5 c. – 1/3 d. 0 e. – 2.3

2. Encuentra el producto de cualquier numero distinto de cero y el reciproco de su inverso.

3. El reciproco de un número racional distinto de cero. ¿ Es racional o es irracional?. Explique.

4. ¿Cuál sería el reciproco de 40%?

5. Encuentre el numero que al multiplicarlo por el reciproco de -1/8 da como resultado un producto igual al valor absoluto de -2.

6. Encuentra el reciproco de cada numeroa. │-8│ b. │7 - 19│/ -6 c. -│25│/│-9│ d. -│-1/2│

7. ¿Son reciproco los números 0.025 y - 40?

8. Utiliza la propiedad conmutativa de la multiplicación para escribir una expresión equivalente a (4x) . (7y)

9. Utiliza la propiedad asociativa para escribir una expresión equivalente a

( 3x + 5z ) + 2y.

10. Utiliza la propiedad asociativa de la multiplicación para escribir una expresión equivalente para ( x . 2y ) . 8z

11. Aplique la propiedad distributiva en cada uno de los casos.

a. 6 ( x – y + z ) b. – 3 ( k -2t + w ) c. 12 ( a/2 + b/3 + c/4 ) d. – ( r – t )

e. – ( - 4x + 3y ) f. 6 ( - 3x – y/z – z/6 )

12. Sean a, b, y c números reales tales que a> 0 , b<0 y c < 0 Determine el signo para cada expresión.

a. - a b. – b c. b c d. a – b e. c – a

f. a + bc g. ab + ac h. – a b c

1.1 OPERACIONES CON FRACCIONARIOS:Se efectúa teniendo en cuenta los siguientes procedimientos:

1.1.1 Suma y resta de fracciones:

Ejemplos: a)

b)

c)

La suma o diferencia de dos fracciones con el mismo denominador, es igual a una fracción que tiene por numerador la suma de los numeradores y por denominador el denominador común..

Ejemplos: a) ,

b)

c)

EJERCICIOS.Resuelve las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) +

1.1.2 Multiplicación de fracciones:

El producto de dos fracciones es otra fracción que resulta de multiplicar los numeradores entre si y los denominadores entre si.

Ejemplos: a) ( )(- ) = -

b) ( )( ) =

c)

EJERCICIOS.Realice las siguientes operaciones:

a) =

b)

c)

1.1.3 División de fracciones:

El cociente de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera y el denominador de la segunda y el denominador es el producto del denominador de la primera y el numerador de la segunda.Ejemplos:

a)

b)

EJERCICIOS.Realiza las siguientes operaciones:

a) =

b)

c)

c)

2. Efectuar las siguientes operaciones:

a) + b)

c) d)

3. Calcular la diferencia, suma, producto y cociente de cada uno de los Pares de números relacionado.

a) ( ) b) ( )

c) ( ) d)

4.Hallar el resultado simplificado de las siguientes expresiones.

a. e.

b. f.

c. g.

d. h.

4. Pasar al lenguaje matemático y luego calcular:a. La tercera parte de 81b. Las dos quintas partes de 351c. El doble de 1500d. La mitad de 128e. La cuarta parte, del triple, de ocho quinceavosf. El cuádruplo, del doble, de 5000

5. ¿Por qué fracción hay que multiplicar a 63 para obtener 27

6. Cuál es el número cuyos es 56?

7. Simplifica las siguientes fracciones

a. b ) c)

7. Completa la siguiente tabla:

Fracciones Reducidas a común denominador Ordenar de menor a mayor

8. Qué parte de la figura está coloreada?

h.

9. Representa gráficamente cada uno de los siguientes racionales:

10. Encuentra el resultado de

a.

b.

c. =

d.

e.

f.

Problemas1. ¿Qué hora es cuando el reloj señala los 5/4 de la mitad del cuádruplo de las 6 a.m?2. Tenía $200 y gasté los 3/5 de ellos. ¿Cuánto me quedan?3. ¿Cuánto pierdo cuando vendo por los 3/5 de los 7/8 de lo que me ha costado $8000?4. El ácido sulfúrico contiene en peso 2 partes de hidrógeno, 32 partes de azufre y 64 partes de oxígeno.

¿Qué fracción de ácido sulfúrico es el azufre?5. Si 10 partes de alcohol se mezclan con 14 partes de agua. ¿Qué parte de la mezcla es el alcohol?6. ¿Qué fracción del día representa un segundo?7. Un artículo que costó $3699 y se vende por los 2/3 del costo. Hallar cuánto se pierde.8. Lalo tiene que recorrer 75 Km, un día recorre los 3/5 de ellos y al otro día 1/3 del resto. ¿Cuánto le falta

por recorrer?9. Quike tiene que hacer 30 problemas, un día resuelve los 3/10 y el día siguiente los 4/7 del resto. ¿Cuántos

problemas le faltan por solucionar?

POTENCIA.

Un producto de números idéntico se expresa mediante una notación exponencial. Ejemplo 3 . 3 . 3 . 3 . 3 se escribe como 35 .

Exponente entero positivo

La notación exponencial an , donde n es un entero mayor que 1, significa a . a . a . a . a ……..a . a│_____ n factores ___ │

El número a se denomina base y n es el exponente.

Ejemplo. ( - 2)3 = ( - 2 ) . ( - 2 ) . ( - 2 ) = - 8 ( 1/ 3 )2 = ( 1 / 3 ) . ( 1 / 3 ) = 1 / 9

- 34 = - [( 3 ) . ( 3 ) . ( 3 ) . ( 3 )] = - 81

La notación exponencial a1 significa a Ejemplo. 51 = 5

Exponente ceroLa notación exponencial a0 significa 1, siempre que a sea diferente de cero.( a≠0) Ejemplo. a. 70 = 1 b. ( 1/5 )0 = 1 c. ( - 8 )0 = 1

En general, si a≠0 es un numero real y n es un entero positivo, entonces a0 = 1

Exponente entero negativoPara todo número real a distinto de 0 y todo entero n, a-n significa 1/ an

Ejemplo. 5-2 = 1/52 o 1/ 25 b. ( - 4 )-3 = 1/ ( - 4 )3 o 1/( - 64 )

Observamos que an y a-n son recíprocos.

Propiedades de los exponentes

Para a y b Є R ; m y n Є Z, se cumple:

1. Para multiplicar dos potencias del mismo número, sume los exponentes.Ejemplo. . 23 . 24 = 2 3+4 = 27

En general, am . an = am + n

2. Para dividir dos potencias del mismo número, reste los exponentesEjemplo. 35 / 32 = 35 – 2 = 33

En general, am / an = am - n

3. Para elevar una potencia a otra nueva potencia, multiplique los exponentes.Ejemplo. (24 )2 = 24*2 = 28

En general, ( am )n = am.n

4. Para elevar un producto a una potencia, eleve cada factor a la potencia.Ejemplo. (2 * 3 )4 = 24 * 34

En general, ( a * b )n = an * bn

5. Para elevar un cociente a una potencia, eleve tanto el numerador y el denominador a la potencia.Ejemplo. ( 7/2 )3 = 73 / 23

En general, ( a / b )n = an / bn 6. Para elevar una fracción a una potencia negativa, invierta la fracción y cambie el signo del exponente.

Ejemplo. ( 2/3 )-3 = ( 3 / 2 )3

En general, ( a / b ) – n = ( b / a )n

7. Para pasar un número elevado a una potencia desde el numerador al denominador o viceversa, cambie el signo del exponente.

Ejemplo. 3-2 / 4-3 = 43 / 32 En general, a-n / b-m = bm / an

Aplicaciones.Simplifique

a. x4 . x6 = x10 b. c4 / c7 = c4 – 7 = c- 3 = 1 / c3

c. ( b2 )4 = b8 d. (4 x )2 = 42 . x2 = 16 x2

e. ( x / 3 )5 = x5 / 35 = x5 / 243f. ( 3 a4 b3 ) . ( 2 a b5 )2 = ( 3 a4 b3 ) . ( 2 a2 b10 ) = 12 a6 b13

g. ( a / b )4 . ( a b2 / c2 )3 = (a4 / b4 ) . ( a3 b6 / c6 ) = a7 b6 / b4 c6 = a7 b2 / c6

h. 4 a b-4 / 2 a-3 b2 = 4 a. a3 / 2 b2 b4 = 2 a4 / b6

EJERCICIOS

1. Resolvera. ( 4/3 )2 b. ( - 8 )3 c. – 83 d. ( - 5 )4 e. – 54

f. ( - 7 )0 g. 10 h. y0 i. x0 j. ( x/3 )3 k. 5-3

l. ( 1/7 )-2 m. ( - 4 )-3 n. ( - 3/5 )-5 ñ. ( 42 )( 4 ) o. (32)4

p. 83 / 62 q, ( 52 )( 34) r. 43 + 73 s. 82 / 24 t. -92 - 27

2. Evalúe cada expresión.a. 52 . ( 1/5 )3 b. 107 / 104 c. 3 / 3-2 d. 4-3 / 2-8 e. 3-2/ 9f. ( 1 / 4 )-2 g. ( 3/2 )-2. ( 9/16) h. (1 / 2 )4 . ( 5/2 )-2

3. Simplifique la expresión y elimine todos los exponentes negativos.

a. x9x-5 b. ( 12x2y4 ).( 1/2x5y ) c. x9 ( 2x )4 / x3 d. ( 3y2 ), ( 4y5 )e. ( 6y )3 f. x9 ( 2x )4 / x3 g. a-3b4 / a-5b5 h. b4 (1/3 b2 ) . ( 12b-8 )i. ( a.b )3. ( 2b )-2. (4 a )4 j. ( 2s3t-1 ) . ( 1/4 s6 ) ( 16 t4 ) k. ( 6y3 )4 / 2y5

l. ( x2y3 )4. ( xy4 )-3 / x2y m. ( c4 d3 / c d2 ). ( d2 / c3 )3 . n. x3. x4 ñ. c4 /c5

o. (b4)5 p. (2x )3 q. ( x / 2 )4 r. y2 y-5 s. ( 2 a3b2 )( 4ab2 )3 t. ( x / y )3 ( y2x

4. Resuelva aplicando las leyes de los exponentesa.

b.

c.

d.

e.