aritmetica - raz.matematico 2012 final 3° y 4° sec
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Domingo F. Sarmiento Aritmétic
a
CEP “SANTA MARÍA DE LA
PROVIDENCIA”
Verano
2012
3ero. – 4to de Sec.
Clase # 1 – RAZ. MATEMÁTICO
INDUCCIÓN
Ejemplo 1
Hallar la suma de las cifras del resultado de:
RESOLUCIÓN:
Analizando por partes, tenemos :
7 = 9 0 791 00)59 9...9 99(
7949 99 90 0 00 2559 99 9
7939 99 00 0 2559 99
7929 90 02 559 9
7919 02 559
2
cifras 10 0
2
2
2
2
R esultado S um a de c ifras
C antid ad d e cifras "9"
Ejemplo 2
¿Cuántos puntos de contacto habrá en la
figura 20?
F ig.1 F ig.2 F ig.3 F ig.20
RESOLUCIÓN
F ig. 1 2
21
)1(3
3 p un to s d e co n tacto = 3 1 =
F ig. 2 2
32
+ 2 )1(3
9 p un to s d e co n tacto = 3 3 =
F ig. 3 2
43
+ 2 + 3 )1(3
1 8 p u n to s de co ntacto = 3 6 =
F ig. 20
2
2120
+ 2 + 3 + ... ..+ 2 0) = 63 0 1(3
PROBLEMAS EN CLASE
1) Hallar la suma de las cifras del resultado de:
a) 3n b) 3n + 1 c) 3n - 1 d) 3(n + 2) e) 3(n 1)
2) Hallar la suma de las cifras del resultado de:
a) 81 b) 100 c) 64 d) 49 e) 121
3) Hallar la suma de las cifras del resultado de la siguiente expresión :
a) 11 b) 9 c) 10 d) 12 e) 8
4) ¿Cuántos triángulos habrá en la figura de posición 20?
F ig. 1 F ig. 2 F ig. 3
a) 190 b) 240 c) 420d) 200 e) 210
5) ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "INGRESO"?
O
SS
EEE
RRRR
GGG
NN
I
a) 16 b) 24 c) 14 d) 20 e) 30
6) Calcular la suma de las cifras del resultado de M :
1
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1 2 3 28 29 30
a) 300 b) 100 c) 450 d) 900 e) 200
7) Calcular "M" y dar como respuesta la suma de sus cifras.
a) 18n b) 27n c) 36nd) 45n e) 54n
8) Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar :
a) 127 b) 128 c) 129 d) 130 e) 125
9) De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "YESSICA"?
AAAAAAAAAAAAA
CCCCCCCCCCC
IIIIIIIII
SSSSSSS
SSSSS
EEE
Y
a) 696 b) 781 c) 821d) 729 e) 700
AHORA TÚ:
1. Hallar la suma de las cifras del resultado.
E = 333 … 33 x 12
200 cifras
a) 2100 b) 1820 c) 1760
d) 1560 e) 1800
2. Dar como respuesta la suma de las cifras de:
M = (666 … 66)2
600 cifras
a) 7200 b) 5400 c) 4800
d) 3600 e) 6400
3. Dar como respuesta la suma de las cifras de:
E = (999 … 995)2
40 cifras
a) 352 b) 328 c) 358
d) 348 e) 344
4. Calcular la suma de las cifras del resultado de:
M = 999 … 98 x 999 … 92
20 cifras 20 cifras
a) 172 b) 174 c) 176
d) 178 e) 180
5. Calcule la suma de cifras del resultado de:A = (333 … 333)2 + (999 … 99)2
52 cifras 52 cifras
a) 465 b) 466 c) 468
d) 469 e) 490
6. Calcular la suma de las cifras de:
Sabiendo que es el menor # de 6 cifras significativas diferentes.
a) 9 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
7. ¿De cuántas formas distintas se puede leer “SEBASTIAN” en el siguiente arreglo?.
NNNNNNNNN
AAAAAAAA
IIIIIII
TTTTTT
SSSSS
AAAA
BBB
EE
S
a) 259 b) 255 c) 256
d) 257 e) 258
8. Si : M = 9 x 888 … 88
1997 cifras
Hallar la suma de las cifras de: “M”
a) 1997 b) 8856 c) 17973
d) 4273 e) 888
9. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencia?.
a) 1305
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b) 5130c) 2610d) 4652e) N.A.
CLASE # 1 – aritmética
conjuntos
1. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 15}.
Indicar verdadero (V) o Falso (F), según
corresponda:
i) 7 A ( ) iii) {10} A ( )
ii) 9 A ( ) iv) {15} A ( )
a) VVFF b) VFFV c) VVFF
d) VFFF e) N.A.
2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}.
Indicar (V) o (F), según corresponda:
i) {7} A ( ) iv) {9} A ( )
ii) 9 A ( ) v) A ( )
iii) 7 A ( ) vi) 10 A ( )
a) VFVFVF b) VFFVVF c) VVVFFF
d) VVFFFV e) N.A.
3. Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}.
¿Cuántas proposiciones son falsas?
i) {b} M iv) {{b}, p} M
ii) b M v) {{b}, {m}} M
iii) {{m}} M vi) m M
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Hallar la suma de elementos de cada
conjunto:
A = {x/x N; 6 < x < 12}
B = {x + 4/ x Z ; 5 < x < 10}
C = {x2 + 1/ x Z; 3 < x < 8}
a) 40; 41 y 50 d) 47; 45 y 129
b) 43; 49 y 100 e) N.A.
c) 45, 46 y 130
5. Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a +
b”:
A = {7- a ; b + 4; 5}
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
6. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto
que posee 5 elementos?
a) 30 b) 31 c) 32
d) 33 e) 34
7. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios,
hallar “a2 + b2”
A = {a + b; 12} ; B = {4; a -
b}
a) 79 b) 80 c) 81
d) 82 e) 83
8. Dado: A = {5; {7}; 9; {2}}. Indicar (V)
o (F) según corresponda:
i) {5} A ( ) iii) {9} A (
)
ii) {7} A ( ) iv) {5; {2}} A (
)
a) FVVF b) FVFV c) FVVV
d) VFFV e) VVFF
9. Dado: A = {x/x N; 5 < x < 12} .
Indicar (V) o (F) según corresponda:
i) {7; 8; 11} A ( ) iii) {8; 10} A (
)
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ii) 5 A ( ) iv) n(A) = 6 (
)
a) VFVF b) VFVV c)
VFFV
d) FVVF e) FFVV
10. ¿Cuán
tos subconjuntos tiene cada uno de los
siguientes conjuntos?
A = {c, o, l, e, g, i, o} ; B = {j, o, r, g, e,
l}
a) 64 y 32 b) 128 y 64 c) 64 y 64
d) 32 y 64 e) 128 y 32
AHORA TÚ :
1. Dado el conjunto A = {{3; 8}; {5; 7};
8}; ¿Cuántas de las siguientes
proposiciones son correctas?
i) {5; 7} A ( ) iv) {} A
( )
ii) {5; 7} A ( ) v) 3 A
( )
iii) {7} A ( ) vi) {8} A (
)
a) 3 b) 4 c) 5
d) 2 e) 1
2. Hallar la suma de elementos de “A”, si:
A = {x2 + 2 / x Z; -4 < x < 3}
a) 18 b) 29 c) 31
d) 45 e) 22
3. Si los conjuntos “A” y “B” son iguales,
hallar:
m + p (“m” y “p” N)
A = {10; m2 - 3} ; B = {13; p2 - 15}
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 12
4. Hallar Si un conjunto tiene 15
subconjuntos propios, ¿Cuántos elementos
tiene el conjunto?
a) 2 b) 4 c) 5
d) 6 e) N.A.
5. Calcular la suma de los elementos del
conjunto:
A = {x/x N; 7 < 2x + 1 < 15}
a) 12 b) 15 c) 17
d) 18 e) 20
6. Dado el conjunto A = {x2 + 1 / x Z; - 3
x 3}
a. ¿Cuántos subconjuntos tiene “A”?
b. Hallar la suma de elementos de “A”
a) 16 y 10 b) 16 y 18 c) 32 y 16
d) 32 y 18 e) 4 y 16
7. Dados los conjuntos “A” y “B”
subconjuntos del universo “U”
A = {x2 / x N; 1 < x < 6}
B = {x + 2 / x N; 4 < x < 10}
C = {x/x N ; 1 x 10}
Hallar: n(A) + n(B)
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
8. Dado el conjunto A = {k, a, r, i, n, a}
¿Cuántos subconjuntos de “A” tienen dos o
más elementos?
a) 25 b) 27 c) 32
d) 31 e) 26
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Clase # 2 – RAZ. MATEMÁTICO
JUEGOS DE INGENIO
TRANSMISIONES: H : Horario ; AH : Antihorario
A B
H
A H
C o m o A es m ás gran de q u e B , E n to n ces :
A d a m en o s vu eltas qu e B
A m bo s reco rren la m ism a can tid ad d e d ien tes
H H
A B
A B
H A H
H
H
H
L as rued as u b icad as en u n m ism o eje giran a la m ism a velo cida d y en el m ism o sen tido
Ejemplo:
Si la rueda A da 4 vueltas. ¿Cuántas vueltas
dará la rueda B?
4 0 d ien tes
2 0 d ien tes
AB
# d e d ien tes d e A : n A# d e d ien tes d e B : n# d e vu elta s d e A : V# d e vu elta s d e B : V
B
A
B
BBAAVnVn
Reemplazando:
CERILLOS:
Ejemplo:
¿Cuántos palitos hay que mover como
mínimo para obtener una verdadera
igualdad?
Resolución:
Respuesta: 1 palito
RELACIÓN DE TIEMPO:
Ejemplo:
Si el mañana del pasado mañana es Lunes.
¿Qué día será el anteayer del mañana del
pasado mañana de hace 2 días?
Resolución :
Considerando :
A : Ayer (-1)
AA : Anteayer (-2)
M : Mañana (1)
PM : Pasado Mañana (2)
H : Hoy (0)
Luego :
A A A A A A H M P M M P M
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
Entonces cuando decimos el mañana (1) del
pasado mañana (2) es Lunes, nos referimos
a que: 1 + 2 = 3 es Lunes.
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
H o y
V i S a D o L u
Nos preguntan: El anteayer (-2), del mañana
(1), del pasado mañana (2), de hace 2 días (-
2), nos referimos a que: -2 + 1 + 2 - 2 = - 1
es ...........
- 1 0
H o y
J u eves V iern es
A
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Respuesta: Jueves
PROBLEMAS EN CLASE
1) ¿Cuántas ruedas giran en sentido antihorario?
a) 2 b) 4 c) 3d) 5 e) 6
2) ¿Cuántas ruedas giran en sentido opuesto a la rueda A?
A
a) 4 b) 5 c) 3d) 2 e) 6
3) La figura muestra los engranajes : A, B, C, ..., Z de 8; 12; 16 ; .... ; 64 dientes respectivamente; si "A" da 72 vueltas por minuto.
¿Cuántas vueltas dará Z en media hora?
A B C Z
a) 9 b) 45 c) 270d) 10 e) 300
4) Si la rueda "A" da 48 vueltas. ¿Cuántas vueltas más que "D" da "C"?
4 0 d ien tes
6 0 d ien tes
3 0 d ien tes
8 0 d ien tes
A B CD
a) 16 b) 8 c) 12d) 10 e) 7
5) ¿Cuántas cerillas hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6) ¿Cuántos palitos hay que quitar como
mínimo para obtener sólo 3 cuadrados del
mismo tamaño que los originales? (No dejar
cabo suelto)
a) 4 b) 3 c) 6d) 2 e) 5
7) El otro día en los jardines del parque
escuché a dos personas la siguiente
conversación: "Ten en cuenta que mi madre
es la suegra de tu padre".
¿Qué parentesco une a las 2 personas?
a) Padre - hijo. b) Tío - sobrino. c) Hermanos. d) Abuelo - nieto. e) Padrino - ahijado.
8) En una reunión se encuentran presentes
un abuelo, una abuela, 2 padres, 2 madres, 2
esposos, 2 esposas, una tía, 1 nuera, 1 nieto,
una nieta, un cuñado y una cuñada.
¿Cuántas personas como mínimo se
encuentran presentes en la reunión?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5
9) Si dentro de tres días ocurrirá que el mañana del antes de ayer del ayer del pasado mañana de ayer será jueves.
¿Qué día fue el pasado mañana del mañana del ayer de hace 3 días?
a) Martes b) Juevesc) Miércoles d) Domingoe) Lunes
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A B
A B
A B
10) La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi : a) Tía b) Hija c) Hermana d) Sobrina e) Madre
AHORA TÚ:
1) Si "A" gira en sentido antihorario, ¿en qué sentido giran "B" y "C" respectivamente?
A
B
C
a) Horario - Antihorario. b) Horario - Horario. c) Antihorario - Horario. d) Antihorario - Antihorario. e) No se mueven.
2) Si la rueda "A" da 20 vueltas.
¿Cuántas vueltas da la rueda "E"?
6 4 3 5 4
A B C D E
a) 25 b) 30 c) 28 d) 40 e) 35
3) ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para que la igualdad incorrecta que se da a continuación, se convierta en una igualdad verdadera?
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
4) ¿Cuántos palitos debemos retirar como mínimo para dejar 6 en la figura?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 17
5) Si el mañana del pasado mañana del ayer
de mañana de hace 3 días es miércoles.
¿Qué día será el ayer del pasado mañana del
mañana de pasado mañana?
a) Lunes b) Miércolesc) Sábado d) Domingoe) Martes
6) El señor Lazo tiene dos hijos únicamente, éstos a su vez son padres de Juan y Marco, respectivamente. ¿Quién es el único sobrino del padre del
primo hermano del hijo del padre de Marco?
a) Juan b) El Sr. Lazoc) Mario d) Marcoe) Iván
CLASE # 2 – aritmética
Representación gráfica
AUB
A B
A - B
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A B
A B
A B
AB
M Q
M Q
A B
PROBLEMAS EN CLASE
1. ¿Qué operación, representa cada una de
las regiones sombreadas?
a)
Rpta.: _____________
b)
Rpta.: _____________
c)
Rpta.: _____________
d)
Rpta.: _____________
e)
Rpta.: _____________
1. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = {2; 4; 6; 8}
C = {1; 3; 4; 5; 6}
Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
a) A C = {1; 3; 5; 6} ( )
b) B – A = {6; 8} ( )
c) B C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ( )
d) A – C = {2; 5} ( )
e) B C = {4; 6; 8} ( )
a) FVFVV b) FVVFF c) FVVVF
d) FVFFF e) FVVVV
2. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 3; 5; 6}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
a) A’ = {6; 7; 8} ( )
b) B’ = {7; 8} ( )
c) A’ B = {6; 7} ( )
d) B’ – A = {4; 7; 8} ( )
e) A’ U = {6; 7; 8} ( )
a) VFVVF b) VFFFV c) VFFFF
d) VFFVF e) VFVFV
3. Si: A = {a, b, e, d}
B = {x/x es una vocal}
Hallar: A B
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A B
21
4 5 9
7
8
M Q
R
A B C
a) {a, e} b) {a, i}
c) {a, o}
d) {a, u} e) {a}
4. Si: A = {a, b, m, t}
B = {x/x es una vocal de la palabra martes}
Hallar: B – A
a) {a, e} b) {a, i}
c) {a, o}
d) {a, u} e) {a}
5. Si: U = {x/x N; 0 < x < 10}
A = {x/x N; 4 < x < 9}
B = {x/x N; 3 < x < 8}
Hallar: A’ – B’
a) {1} b) {2} c) {3}
d) {4} e) {5}
6. Dados los diagramas de Venn
Hallar: A B
a) {4; 5; 7; 8} d) {4; 5; 9; 7}
b) {4; 5; 2; 1} e) {4; 5; 9}
c) {4; 5; 9; 7; 8}
AHORA TÚ :
1. ¿Qué operación representa la región
sombreada?
a) M Q d) (Q R) (M Q)
b) (M Q) R e) (Q R) M
c) (M R) (Q - R)
2. ¿Qué operación representa la región
sombreada?
a) (A B) C d) (A C) B
b) (B C) A e) (A - B) (B C)
c) (A B) C
3. Dado los conjuntos:
A = {1; 2; 5; 8; 10}
B = {2; 3; 6; 8}
C = {x/x A, x < 7}
Hallar el cardinal de (B C) A
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.A.
4. Dados los conjuntos:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
A = {2x / x N; 2 < x < 8}
B = {x + 2 / x N; 2 < x < 8}
Hallar la suma de los elementos de A’ B’
a) 12 b) 14 c) 10
d) 8 e) 7
5. Si: n(A) = 13
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n(B) = 15
n(A B) = 23
Hallar: n(A B)
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
6. Dados los conjuntos A, B, se sabe que :
n(A B) = 18
n(A - B) = 7
n(A B) = 13
Hallar: n(A) + n(B)
a) 25 b) 20 c) 21
d) 23 e) 17
CLASE # 3
REPASO – PREPÁRATE PARA TU
PRÁCTICA
1) Hallar la suma de las cifras del resultado
de:
a) 90 b) 270 c) 187
d) 810 e) 190
2) Hallar la suma de las cifras del resultado
de:
a) 520 b) 320 c) 290
d) 480 e) 310
3) ¿De cuántas maneras diferentes se podrá
leer la palabra "CALLADO"?
OOOOOO
DDDDD
AAAA
LLL
AA
C
a) 52 b) 48 c) 44
d) 50 e) 49
4) ¿En qué sentido se moverán los
engranajes 30; 52; 71? (Horario : H ;
Antihorario : A)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
a) H , H , H b) A , H , H
c) A , A , A d) A , A , H
e) H , A , H
5) En la siguiente operación :
¿Cuántos palitos se deben mover como
mínimo para obtener 132?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
6) En la figura mostrada hay 22 palitos del
mismo tamaño y forma. Si cambiamos de
posición 2 palitos.
¿Cuál es el máximo número de cuadrados
que resultan en la figura?
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a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
7) Sean los conjuntos:
A = {a, b}
B = {a, b, {a}, {b}}
Hallar el cardinal de P(A) B
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8) Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios.
Hallar: A B
A = {a + b; 12}
B = {b – 4; 2a - b}
a) {12; 5} b) {12; 7} c) {12; 3}
d) {12} e) {8}
9) Dados los conjuntos:
A = {x + 2 / x N; 2 < x < 10}
B = {3x / x N; x 2}
¿Cuántos subconjuntos tiene A - B?
a) 4 b) 8 c) 16
d) 32 e) 64
10) Hallar la suma de elementos del
conjunto:
A = {3a2 + 5 / a Z; 1 < a < 6}
a) 172 b) 182 c) 148
d) 156 e) 192
11) Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 12}.
Indicar (V) o (F), según corresponda, si P(A)
representa el conjunto potencia de A.
i) {B} P(A) ( )
ii) {10; 12} P(A) ( )
iii) 10 P(A) ( )
iv) P(A) ( )
v) P(A) ( )
a) VVFVF b) FVVFV c) FVFVV
d) VFFVV e) VVFVV
12) En la sección de 3ro. “B” hay 25
alumnos, se sabe que a 12 alumnos les gusta
el curso de historia y los 18 el curso de
lenguaje. Si a todos les gusta al menos uno
de los dos cursos mencionados, ¿a cuántos
les gusta sólo historia o sólo lenguaje?
a) 15 b) 12 c) 18
d) 23 e) 20
CLASE # 4 – raz.matemático
ANALOGíAS Y DISTRIBUCIONES
Ejemplos:
1. ¿Qué número falta?
9 (20) 48 (12) 56 ( ) 4
Solución.-
#central = (Diferencia de extremos) x 4
1º Fila : 9 - 4 = 5 5 x 4 = 20
2º Fila : 7 - 5 = 3 3 x 4 = 12
3º Fila : 6 - 4 = 2 2 x 4 = 8
11
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R pt a : 8
Ejemplo:
1. ¿Qué número falta?
2
20
5
?
4
8
Solución:
Se relacionan los opuestos por el vértice:
5 x 8 = 40 2 x 20 = 404 x ? = 40 ? = 10
R pt a : 10
PROBLEMAS EN CLASE
I. Encontrar el número que falta en cada caso, en las siguientes analogías.
1. 4 (24) 33 (18) 32 ( ) 1
a) 6 b) 4 c) 7d) 5 e) 2
2. 2 (14) 107 (28) 145 ( ) 30
a) 40 b) 32 c) 20
d) 48 e) 35
3. 5 (3) 410 (5) 525 ( ) 2
a) 6 b) 5 c) 9d) 3 e) 4
4. 20 (12) 1521 (6) 1416 ( ) 12
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
5. B (H) DE (Ñ) CG ( ) C
a) S b) T c) Ud) Z e) Y
6. 2 4 13 6 114 5 x
a) 15 b) 13 c) 12
d) 16 e) 10
7. 15 13 8x 20 726 2 8
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
8. 8 6 86 4 74 4 x
a) 3 b) 12 c) 17
d) 5 e) 4
III. Hallar el valor de «x» cada caso:
9.
3 5
6
9
2 6
4
8
4 7
11
X
a) 15 b) 18 c) 21
d) 19 e) 17
10.
12
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5
3
7
4 8
8
4
9
17 4
12
x
5
7 8
a) 6 b) 3 c) 7d) 5 e) 4
11.
12 24
x 15
3 8
6 46 x
5 24 7
3 8
a) 28 – 2 b) 27 - 3c) 26 - 2d) 29 - 1 e) 27 - 1
12.
12 7
4 9 6 0
x 15
5 8
a) 72 b) 82 c) 90d) 98 e) 102
13.
1
0
4
2
3
53
9
4
1
6
5
4
11
15
2
12
131 x
- 2
a) -5 b) 4 c) 6d) 5 e) -4
AHORA TÚ:
* En las siguientes analogías y
distribuciones, hallar el número o letra que
falta.
1) 3 (7) 2
5 (22) 3
6 ( ) 7
a) 28 b) 33 c) 31d) 27 e) 29
2) 2 (72) 3
4 (1600) 5
5 ( ) 8
a) 8000 b) 7000 c) 4000
d) 5000 e) 6000
3) 3 4 3
5 2 3
6 x 8
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
4) 5 2 25
2 4 16
x 3 27
a) 6 b) 7 c) 8d) 3 e) 5
5) 6 5 31
4 x 13
5 7 18
a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 6
6)
4 23 5
7
5 28 12
8
8 x 20
9
a) 48 b) 54 c) 50d) 53 e) 52
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7)
4 3
10
12
5 6
16
2 3
2 6
x
3 2
a) 13 b) 15 c) 17d) 10 e) 12
8) 6 (30) 95 (26) 84 ( ) 11
a) 32 b) 30 c) 28d) 24 e) 25
9)
20 5
3 1
36 3
8 4
90 x
5 5
a) 6 b) 10 c) 8d) 12 e) 9
10) 10 (3) 1112 (7) 2225 ( ) 17
a) 13 b) 14 c) 16d) 15 e) 17
CLASE # 4 – aritmética
Numeración
I.I. CONCEPTOS BÁSICOSCONCEPTOS BÁSICOS
1. Número .- Es un ente abstracto, carente
de definición, sólo se tiene una idea de él.
2. Numeral .- Es la figura o símbolo que
representa o da la idea del número, por
ejemplo, para el número cinco.
IIIII; V ; 3 + 2; 22 + 1; cinco; five; 5
3. Sistema Numeración .- Es un conjunto
de símbolos y leyes que nos permiten
representar y expresar correctamente los
números. Tenemos diversos sistemas de
numeración, entre los cuales destaca el
sistema de numeración decimal o décuplo.
4. Sistema de Numeración Decimal .- Es
el sistema cuyo principio fundamental es
que la formación de sus unidades va de
diez en diez.
5. Base de un sistema de numeración :
Es el número de unidades de un orden
cualquiera que forma una unidad de un
orden inmediato superior. También se
define como aquella que nos indica el
número de cifras disponibles en un sistema
de numeración, para escribir o representar
cualquier número.
Se representa: 33(7) y se lee: 3 grupos de 7
y 3 unidades simples en base 7 ó tres de la
base 7.
Como vera usted, querido alumno, la base se coloca en la parte inferior de la derecha del número como subíndice y si en caso no aparece se asumirá que está en base 10 (ver sistema de numeración decimal).
Condiciones de la base:
a) Debe ser entero: b Zb) Debe ser positivo: b Z+
c) Debe ser mayor o igual a dos: b 2
6. Principios Fundamentales o Reglas
Convencionales de los Sistemas de
Numeración:
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Toda cifra de un numeral es
necesariamente menor que su base y
además es un entero no negativo.
Cifra: {0; 1; 2; 3; …; (b - 1)}
Consecuencia:
Cifra máxima = Base -1 Cifra < Base
Ejemplos:
- Hallar el mayor numeral de 3 cifras del
sistema de b = 10 : 999
- Hallar el menor numeral de 4 cifras
diferentes de b = 10 : 1023
- Hallar el mayor numeral de 5 cifras
diferentes de
b = 9 : 87654(9)
- Hallar el menor numeral de 4 cifras
significativas de
b = 2 : 1111(2)
Cifra significativa es aquella cifra
diferente de cero (0)
Existen infinitos sistemas de
numeración,
7. Descomposición Polinómica de un
numeral del sistema decimal:
“Cualquier número se puede descomponer
como la suma de los valores relativos de
sus cifras”. Así por ejemplo:
1234 = 1 unidad de millar + 2 centenas +
3 decenas + 4 unidades.
En unidades simples, sería:
1234 = 1000 + 200 + 30 + 4
= 1 x 103 + 2 x 102 + 3 x 10 + 4
PROBLEMAS EN CLASE
1) Indicar verdadero (V) o Falso (F) según
corresponda.
I. Existen solo 10 sistemas de numeración.
II. En el sistema de base 5, se utilizan 5
cifras diferentes.
III. En el sistema de base 7, no existe la
cifra 7.
a) FFV b) FVV c) FVV
d) VVV e) VFF
2) Completar:
En el sistema octal, existe ……….... cifras
diferentes y la mayor es ………..
a) 8 y 8 b) 7 y 8 c) 7 y 7
d) 8 y 7 e) 7 y 6
3) ¿Cómo se expresa en base 7 un número
formado por 48 unidades?
a) 65(7) b) 66(7) c) 56(7)
d) 34(7) e) 44(7)
4) ¿Cómo se expresa el menor número de 4
cifras diferentes de la base 7?
a) 1234(7) b) 1320(7) c) 1203(7)
d) 1023(7) e) 1032(7)
5) Si: N = 2 x 83 + 4 x 82 + 3 x 8 + 5,
¿Cómo se escribe el número “N” en base 8?
a) 2135(8) b) 2243(8) c) 2435(8)
d) 2433(8) e) N.A.
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6) A un número de 2 cifras se le agregan
dos ceros a la derecha, aumentándose el
número en 4752. Calcular el número
original.
Rpta.: ______________
7) Si a un número de 3 cifras se le agrega
un 5 al comienzo y otro 5 al final, el número
obtenido es 147 veces el número original.
Dar como respuesta la suma de las cifras de
dicho número.
Rpta.: ______________
8) Hallar: (x . y), si:
xy(4)+ yx(5)+ xx(6)+ yy(7 )=66
Rpta.: ______________
9) Hallar el valor de: (a + b + n),
Si: ababn = 15
Rpta.: ______________
10) Hallar “a”, si 25a=a75(8)
Rpta.: ______________
11) Si las cifras: “a”, “b” y “c” son
diferentes entre sí y además:
aa(2)+bb(3 )+cc(4)=bx . Hallar “x”
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a a
b b b
L
4 postes
a a a
3 partes
2 cortes2 partes
3 cortes3 partes
4 cortes4 partes
Rpta.: ______________
AHORA TÚ:
1. Si a un número de 3 cifras se le agrega
la suma de sus cifras se obtiene 432. Hallar
la suma de la cifras del número.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
2. Hallar el mayor número de 3 cifras que
al restarle 459 dé como resultado la suma
de sus cifras.
a) 539 b) 519 c) 499
d) 479 e) 509
3. Hallar “a” para que se cumpla:
a11(7)=37a(8)a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 4
4. Si “a” , “b” y c son cifras diferentes
entre sí, hallar “m + p”, si se cumple:
abc(4)+bc(3)+c(2)=mp
a) 10 b) 11 c) 12
d) 14 e) 15
5. Calcular “a + b + c” si se cumple:
56d=abcd(8 )
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
CLASE # 5 – raz. Matemático
Cortes y postes
Por inducción elemental se puede obtener una relación entre el número de cortes que se debe aplicar a una soga y el número de partes iguales en que quedará dividida.
En general : # cortes = partes – 1
Una relación parecida se establece por analogía cuando se colocan partes o estacas a lo largo de un camino, por ejemplo:
En cualquier caso se cumple:
#partes =
Longitud TotalLongitu Unitaria
Cuando los cortes se hacen sobre una “longitud cerrada” como por ejemplo una circunferencia la relación entre cortes y partes es aún más sencilla.
soga
1 corte 2
2 cortes 3
#postes = #partes +
1
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#cortes = # partes
PROBLEMAS EN CLASE
1. Un tronco de árbol es seccionado en trozos de 11cm de largo c/u para leña; para esto se ha efectuado 20 cortes. ¿Cuál fue la longitud inicial del tronco?a) 231 cm b) 217 c) 242
d) 253 e) 180
2. Un carpintero cobra S/. 15 por dividir un tronco de árbol en 4 partes dando cortes paralelos. ¿Cuánto tendremos qué pagarle sin necesitamos que corte el árbol en 5 partes?a) S/. 25 b) 22 c) 20
d) 30 e) 16
3. Se desea efectuar cortes de 5 metros de longitud de arco en un aro de 45 metros de longitud de circunferencia. ¿Cuántos cortes podremos efectuar?a) 6 b) 9 c) 8
d) 7 e) 10
4. A lo largo de un pasaje se desea plantar árboles cada 6 metros de tal modo que aparezca un árbol en cada extremo del pasaje que además tiene 138 metros de longitud. ¿Cuántos árboles se requieren para tal fin?a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 48
5. Se desea plantar postes cada 15m a lo largo de una avenida de 645 m. si senos ha cobrado S/. 308 por el total de mano de obra. ¿Cuánto nos han cobrado por plantar cada poste sabiendo que pusieron uno al inicio y otro al final de la avenida?a) S/. 5 b) 7 c) 8
d) 10 e) 9
6. Se tiene un terreno rectangular cuyo perímetro es 60m. ¿Cuántos postes deberían colocarse cada 3 metros, si uno de estos miden 2 metros de longitud?a) 20 b) 19 c) 21
d) 40 e) 23
7. En una pista de salto con vallas hay 15 de estas separadas por una distancia de 4m ¿Cuál es la longitud entre la primera y la última valla?a) 52 m b) 56 c) 60
d) 64 e) 68
8. Se elevaron 28 postes a lo largo de una avenida cada 3 metros. Si cada poste mide 1,5 metros. ¿Cuál es la distancia que hay entre el primer y último poste?a) 82 m b) 54 c) 81
d) 84 e) 104
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9. En una varilla de madera de 196 cm de longitud se colocaron 28 clavos. Si los hay al inicio y al final de la varilla. ¿Cada cuántos centímetros se colocaron dichos clavos?a) 5 m b) 8 c) 9
d) 12 e) 7
10. Un hombre cercó un jardín en forma rectangular y utilizó 40 estacas. Puso 14 por cada uno de los lados más largos del jardín. ¿Cuánto puso en cada lado más corto?a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 12
AHORA TÚ:
1. Un joyero nos cobra S/. 25 por partir una
barra de oro en dos pedazos. ¿Cuánto
tendré que pagar si deseo partirla en seis
pedazos?
a) S/. 125 b) 75 c) 50
d) 150 e) 175
2. Un sastre tiene una tela de 40 metros
de longitud, la misma que necesita cortarla
en retazos de dos metros cada uno.
Sabiendo que en cada corte se demora 8
segundos. ¿Qué tiempo emplearía como
mínimo para cortar toda la tela?
a) 1 min 32 seg d) 4 min
b) 3 min. e) 2min. 32 seg.
d) 2 min. 36 seg.
3. Calcular el número de estacas de 8
metros de altura que se requieren para
plantarlas en una línea recta de 300
metros, si se sabe que entre estaca y
estaca la longitud debe ser de 4 m.
a) 74 b) 72 c) 68
d) 76 e) 75
4. Un comerciante tiene una pieza de paño de 60 metros de longitud que quiere cortar en trozos de 1 me3tro. Necesita 5 segundos para hacer cada corte. ¿Cuánto tarda en cortar toda la pieza?a) 295 seg. b) 300 c) 285
d) 305 e) 290
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TRANSFORMACIÓN DE SIST. DE NUMERACIÓN
De base 10 a una base diferente de 10
Divisiones sucesivas
EJERCICIOS
De una base diferente de 10 a base 10De una base diferente de 10 a otra diferente de 10
Descompo-sición polinómica Descom-posición PolinómicaDivisiones Sucesivas
QUE PUEDE SER
Por medio de la
usando utilizando
5. En un terreno rectangular de 60 metros
de ancho y 80 metros de largo, se plantan
árboles en el perímetro y en las diagonales,
espaciados 10 metros. ¿Cuántos árboles
hay?
a) 45 b) 46 c) 47
d) 48 e) 50
6. Se instalan 25 postes alineados y separados entre sí por una distancia de 25 metros uno de otro. ¿Cuál es la distancia entre el primer y el último poste?a) 1000 m b) 625 c) 650
d) 600 e) 576
clase # 5 ARITMÉTICA
TRANSFORMACIÓN DE SISTEMA DE NUMERACIÓN
I.I. MAPA CONCEPTUALMAPA CONCEPTUAL
II.II. CONCEPTOS BÁSICOSCONCEPTOS BÁSICOS
Consiste en transformar un número de
cierto sistema de numeración a otro
sistema de numeración, pero sin dejar de
poseer estos números, la misma cantidad
de unidades.
Se presentan 3 casos:
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1. De una base diferente de 10 a la base
10: Para este caso, se utiliza el
procedimiento de descomposición
polinómica, efectuando la operaciones
indicadas.
Ejemplos:
abcn = a . n2 + b . n + c
123(4) = 1 . 42 + 2 . 4 + 3 = 27
876(9) = 8 . 92 + 7 . 9 + 6 = 717
También se puede utilizar el “Método de
Ruffini”
8 7 6
9 72 711
8 79 717
2. De base 10 a una base diferente de 10:
Se utiliza el método de divisiones sucesivas,
que consiste en dividir el número dado
entre la base “n” a la cual se desea
convertir, si el cociente es mayor que “n” se
dividirá nuevamente y así en forma
sucesiva hasta que se llegue a una división
donde el cociente sea menor que “n”.
Luego, se toma el último cociente y los
residuos de todas las divisiones, desde el
último residuo hacia el primero y ese será
el número escrito en base “n”.
Ejemplo: Convertir: 100 a base 3
100 3
1 33 3
0 11 3
2 3 3
0 1
Luego:
100 = 10201(3)
3. De una base diferente de 10 a otra
diferente de 10: Se utilizan en este caso, los
2 métodos vistos anteriormente, es decir:
1º Llevamos el número del sistema
diferente de 10 a base 10 por
descomposición polinómica.
2º Luego llevamos el número hallado en el
sistema decimal a la base que nos piden
por divisiones sucesivas.
Ejemplo: Convertir: 543(6) a base 4
543(6) = 5 . 62 + 4 . 6 + 3 = 207
207 4
3 51 4
3 12 4
0 3
Luego :
543(6) = 207 = 3033(4)
4. Propiedad : Si un numeral que
representa la misma cantidad de unidades
simples en dos sistemas de numeración
diferentes, deberá cumplirse que donde
tenga mayor representación aparente le
corresponde una menor base y viceversa..
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N =
PAVO−
(x )=RATON+
(Y )
+ −
Entonces: x > y
PROBLEMAS EN CLASE
1. Completar:
a. 136(7) = …………………….. (9)
b. 255(9) = …………………….. (6)
c. 1110(2) = …………………….. (5)
d. 846(12) = …………………….. (7)
2. Expresar en el sistema senario el
menor número de 3 cifras diferentes de la
base 8.
Rpta.: _____________
3. Dada la igualdad: a51(7 )=10b4(n)
¿Cuál(es) de las afirmaciones es verdadera?
I. n < 7
II. n > 4
III. n < 4
Rpta.: _____________
4. Hallar “a + b + c”, si se cumple:
abc(7 ) = 246(8)
Rpta.: _____________
5. Hallar “a . b . c . d”, si se cumple:
abcd(6) = 605(9)
Rpta.: _____________
6. Hallar “a + b + c”, si se cumple:
abc(7 ) = 1230(5)
Rpta.: _______________
7. Si se cumple: 201(3) = abcde(n )
Hallar: a + b + c + d + e + n
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Rpta.: _______________
8. Si el número (a+1 )(a−1)(a−2) está
expresado en base 4, expresarlo en base 6
y dar la suma de sus cifras.
Rpta.: _______________
9. Dada la igualdad:
(a−2)(b+1)(c−2 )(8 ) = 256(9)
Expresar “a . b . c” en base 4.
Rpta.: _______________
10. Si se cumple 3ab(7)=5cd(n )
Hallar: n
Rpta.: _______________
Ahora tÚ:
1. El Si se cumple:
1312(101(n ) )= 1312
Hallar: n
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. Si se cumple:
abc(8 )=1036(n )
Hallar: a + b + n
a) 15 b) 18 c) 20
d) 24 e) 26
3. Si se cumple:
2abc(7 )=3254(n )
Hallar: a + b + c + n
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
4. Hallar “a + b + c + d + e + n”, si se
cumple:
211(3) = abcde(n )
a) 4 b) 5 c) 6
23
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d) 8 e) 10
5. Hallar “a + b + c”, si se cumple:
121(n) = 8ab
a) 34 b) 32 c) 27
d) 21 e) 17
CLASE # 6 - REPASO –
PREPÁRATE PARA TU PRÁCTICA
1)
2 4
8 6
8
3 5
9 7
8
4 5
7 6
?
a) 8 b) 6 c) 7
d) 5 e) 4
2)
2 13 3
8
3 20 1
7
4 ? 6
9
a) 24 b) 28 c) 26
d) 30 e) 32
3)
A
C
B
F
C
?
D E F
L
E G
a) R b) P c) Q
d) S e) T
4) Se va a electrificar una avenida de 3km de
largo, con la condición que en uno de sus
lados, los postes se colocarán cada 30 metros
y en el otro lado cada 20 metros. Si los postes
empezaron a colocarse desde que empieza la
avenida. ¿Cuántos postes se necesitan en
total?
a) 250 b) 248 c) 252
d) 254 e) N.A.
5) Un sastre para cortar una cinta de tela de
20 metros de largo, cobra S/. 10 por cada
corte que hace, si cada corte lo hace cada 4
metros. ¿Cuánto cobrará por toda la cinta?
a) S/. 50 b) 60 c) 40
d) 30 e) N.A.
6) Para cercar un terreno en forma de
triángulo equilátero se utilizaron 60 estacas
colocadas cada 4 metros y empezando en un
vértice del triángulo. ¿Cuál es la longitud de
cada lado del terreno?
a) 120 b) 80 c) 76
d) 84 e) 96
7) Hallar un número de 3 cifras que sea igual
a 36 veces la suma de sus cifras. Dar la
mayor de sus cifras.
a) 2 b) 7 c) 3
d) 8 e) 4
24
Domingo F. Sarmiento Aritmétic
a
CEP “SANTA MARÍA DE LA
PROVIDENCIA”
Verano
2012
3ero. – 4to de Sec.
8) Calcular la suma de las cifra de un número
capicúa de tres cifras que sea igual a 23
veces la suma de sus cifras diferentes.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
9) Hallar “a + b + c” si se cumple:
aaaa(5)=bc 2
a) 5 b) 7 c) 8
d) 6 e) 10
10) Hallar “a + b + c + d + e”, si:
ababab(5)=9cde
a) 32 b) 16 c) 20
d) 21 e) 25
11) Si se cumple:
4 abb(n)=mmmm(6)
Hallar: a + b + m + n
a) 8 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
12) Hallar “a + b + c”, si se cumple:
abc(a)= 2553(c) = 1611(a) = 1205(b)
a) 9 b) 10 c) 12
d) 13 e) 14
25