aritmetica

SEGMENTOS

CONJUNTOSNOCIN DE CONJUNTOS

Se tiene por conjunto como un concepto no definido,sin emargo, intuitivamente lo asociamos a los trminos: reunin, coleccin, agrupacin, clase.Es por elli que un conjunto nos d la idea de la reunin de varios seres u objeto, reales o imaginarios, alguna caracterstica comn.Cada uno de los seres u objetos que integran un conjunto se les llama "elementos".

NOTACIN

Por convencin un conjunto es denotado con letras maysculas y sus elementos con letras minsculas, nmeros u otros smbolos, separados por punto y coma, adems de agruparse a todos ellos mediante llaves.

DETERMINACIN DE UN CONJUNTO

1. POR COMPRENSIN O EN FORMA CONSTRUCTIVAUn conjunto queda determinado por comprensin cuando se indica una o ms caractersticas de los elementos del conjunto.Ejemplos:

A = {x/x es una vocal}

B = {x/x Z ( Z+, x 5}

2. POR EXTENCIN EN FORMA TABULAR

Un conjunto queda determinado por extensin cuando se menciona a cada uno de sus elementos .De los ejemplos anteriores:

A = {a, e, i, o, u}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. INCLUSIN(()

Se dice que el conjunto A est incluido en el conjunto B , si todos los elementos de A, pertenecen a B.

Notacin A ( B

Se lee:

- A est incluido en B.- A es subconjunto de B.

A ( B ( ( x ( A ( X ( B

Se lee A est incluido en B si solo si para todo elemento X del conjunto A implica que X pertenece a B.

NOTACIN: B ( A

Se lee:

-B incluye a A.

-B es superconjunto de A.

2. IGUALDADSe dice que dos conjuntos A y B son iguales, si tienen los mismos elementos, es decir:

A = B ( A ( B ^ B ( A

Se lee A es igual a B, si solo si A est incluido en B y B incluido en A.

CONJUNTOS NOTABLES

1. Conjunto vacoLlamado tambin conjunto nulo, es aquel conjunto que carece de elementos. Convencionalmente se le considera incluido en cualquier otro conjunto.Si A es vaco.Notacin: A = ( o A = { }

2. Conjunto Unitario

Llamado tambin SINGLETON es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo:

A = {0}

B = {5; 5; 5}

3. Conjunto Universal

Es un conjunto referencial que sirve para el estudio de una situacin en particular. Por ejemplo, si nos interesa estudiar a los estudiantes de las diferentes universidades, entonces el conjunto de universitarios ser el conjunto universal. Se representa por U o .

NMERO DE SUBCONJUNTOS

Sea el conjunto A

El nmero subconjuntos de A est dado por 2n, donde n representa el nmero de elementos del conjunto A.

Ejemplos:

* A = {1; 2}, N(A)=2 elementos

Subconjunto de A: {1}; {2}; {1;2};

(Nmero de subconjuntos de A = 22 = 4

* B = {1; 2; 3}, n(B) = 3 elementos

Subconjuntos de B:

{1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}, {1; 2; 3};

(Nmero subconjunto de B = 23 = 8

1) Nmero de subconjuntos de A = 2n(A)2) Nmero de subconjuntos propios de A =2n(A) - 14. Conjunto potencia

Notacin: P(A)Se lee:( "Conjunto potencia de A"

El P(A) es aquel conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.

Ejemplo:

Sea A = {2; 4; 6}

P(A) = {; {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6}; {2; 4; 6}}

OBSERVACIN:n[P(A)]=8=23

En general:

n[P(A)]=2n(A)

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados los conjuntos A y B, entonces:1. Unin (():A ( B = {x/x ( A ( x ( B}

A - B ( B - A2. Unin (():

A ( B = {x/x ( A ( x ( B}

A ( B = B ( A

3. Diferencia:

A - B = {x/x ( A ( x ( B}

A ( B = B ( A

OBSERVACINDefinimos:

A ( B: Diferencia simtrica, tal que:A ( B: (A (B) (A ( B)

A ( B: (A B) ( (B A)

A ( B = B ( A

4. ComplementoNotacin:A, ; AC, CA: Complemento del conjunto A con respecto al universo.A = {x/x ( A}

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS1) (A - B) = A ( B2) (A) = A (Propiedad involutiva)

LEYES DE MORGAN1) (A ( B) = A ( B

2) (A ( B) = A ( B

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Hallar el cardinal del conjunto:B = {x ( Z / -8 < 2x < 6}a) 4b) 5c) 6

d) 7e) 8

2. Hallar la suma de los elementos de A si:

A = {x/x ( Z+; 7x 2x + 100}a) 210b) 200c) 180

d) 220e) 160

3. Dado el conjunto:

{x/x ( N, 3 < 1 u de 3er ordenEn base 8:8 u de 1er orden < > 1 u de 2do orden

8 u de 2do orden < > 1 u de 3er orden

Tambin la base nos indica de cuanto en cuanto se agrupan una cantidad, para formar las rdenes de un numeral.

Ejemplos:

En base 10: Agrupacin de 10 en 10

19

(Est escrito en base

10 o decimal)

En base 8: Agrupacin de 8 en 8

23(Est escrito en base

8 u octonario)

OBSERVACIN: La base siempre es un entero positivo mayor que la unidad, es decir:

Base ( Z+ > 1PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

1. En el sistema de base n se pueden utilizar n cifras diferentes

Ejemplos:En base 10:cifras: 0; 1; 2; ; 9En base 8:cifras: 0; 1; 2; ; 7

En base n:cifras: 0; 1; 2; ; (n - 1)

SignificativaOBSERVACIONES Toda cifra siempre es menor que la base

La cifra mxima es igual a uno menos que la base

Se llama cifra significativa a toda cifra diferentes de cero

1. Toda cifra dentro de un numeral tiene dos clases de valores

a) Valor absoluto

Es el que tiene por el smbolo que lo representa

b) Valor relativo

Es el que tiene de acuerdo a su posicin

Ejemplo: Sea el numeral 8452

VA(8) = 8VR(8) = 8.10

VA(4) = 4VR(4) = 4.10

VA(5) = 5VR(5) = 5.101VA(2) = 2VR(2) = 2

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIN

basesistemacifras

2binario0; 1

3terniario0; 1; 2

4cuaternario0, 1; 2; 3

5quinario0, 1; 2; 3; 4

6senario0; 1; 2; 3; 4; 5

7heptanario0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

8octanario0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

9nonario0; 1; 2; 3, 4; 5; 6; 7; 8

10decimal0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

11undecimal0, 1; 2, 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10)

12duocecimal0; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11)

REPRESENTACIN LITERAL DE NUMERALES

EJEMPLOS:

* = 10; 11; 12; ; 99

* = 100; 101; 102; ; 999

* = 100(7); (101(7); 666(7)Nmeros capicas

Son aquellas cuyas cifras equidistantes son iguales

Ejemplos:

De 2 cifras:

De 3 cifras:

De 4 cifras:

DESCOMPOSICIN POLINMICA

La descomposicin polinmica de un numerales la suma de los valores relativos de sus cifras.

Ejemplos:

8345 = 8.10 + 3.10 + 4.10 + 5

= 0.10 + b.10 + c

= a.10 + b.10 + c.10 + d

345(9) = 3.9 + 4.9 + 5

= a.8 + b.8 + c.8 + d

En bloques:

CAMBIOS DE BASE

Caso 1: De base ( 10 a base 10

Mtodo: Por descomposicin polinmica

Ejemplo:

432(5) = a base 10

432(5) = 4.5 + 3.5 + 2

432(5) = 100 + 15 + 2

432(5) = 117

Caso 2: De base 10 a base ( 10

Mtodo: Por divisiones sucesivas

Ejemplo:

Convertir 745 a base 6

( 745 = 3241(8)Caso 3: De base ( 10 a otra base ( 10

Ejemplo:

432(6) = a base 7

Procedimiento: B(6) ( B(10) ( B(7)1) 432(6) = 4.6 + 3.6 + 2 = 164

2) 164 a base 7

( 432(6) = 323(7)

PROPIEDADES

1. Si dos numerales son equivalentes, se cumple que a mayor valor aparente de un numeral, le corresponde menor base; y viceversa.

Ejemplo: Si:

OBSERVACIN

Como aparentemente el primer numeral es mayor que el segundo, se cumple: x < y

2. Se cumple:

Ejemplos:

* 999 = 10 - 1* 666(7) = 7 - 1 = 342

9999 = 104 1 6666(7) = 1 = 2400

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar el valor de x en: 421(x) = 133(9)a) 6b) 5c) 4

d) 7e) 8

2. Dado los numerales: 51(a); ;

el mayor de ellos en el sistema decimal es:

a) 28b) 30c) 31

d) 34e) 35

3. Expresar el nmero 420(g5) en base 8

a) 146(8)b) 152(8)c) 156(8)d) 160(8)e) 162(8)4. El cudruplo de un nmero es de la forma , pero si a dicho nmero se le multiplica por 3 y luego se le divide entre 2, se obtiene . Hallar ba.

a) 12b) 14c) 15

d) 20e) 21

5. Hallar un nmero de 3 cifras que termine en 8, tal que si se le suprime esta cifra el nmero resultante es 4/41 del nmero original. Dar la cifra de centenas de dicho nmero.

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

6. Se sabe que los numerales y estn bien escritos. Hallar , expresado en base 10.

a) 106b) 156c) 161

d) 162e) 141

7. Hallar a si 1040(a) =

a) 4b) 5c) 6

d) 7e) 8

8. Convertir al sistema notario el mayor nmero que se escribe con tres dgitos en el sistema heptanario.

a) 342(9)b) 324(9)c) 423(9)d) 420(9)e) 240(9)9. Hallar: a + b si = 161.

a) 7b) 8c) 6

d) 9e) 5

10. Hallar a en

a) 4b) 9c) 5

d) 1e) 3

11. Sabiendo que = 1106(n), calcular el valor de (a+b+n)

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

12. Sabiendo que:

entonces (x + y + z + n) es igual a:

a) 10b) 11c) 12

d) 13e) 14

13. Hallar: a + b si:

a) 6b) 7c) 8

d) 9e) 10

14. Hallar un nmero de dos cifras que sea igual a 8 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta el producto de dichas cifras.

a) 12b) 5c) 16

d) 8e) 14

15. Hallar (a + b + c, si: + a + b = 988

a) 14b) 16c) 18

d) 20e) 15

16. Si: , hallar m .n

a) 20b) 12c) 15

d) 16e) 25

17. Si a un nmero de tres cifras que empieza en 2, se le suprime esta cifra, el nmero resultante es 1/9 del nmeros original, hallar la suma de las cifras de dicho nmero.

a) 7b) 8c) 9

d) 10e) 12

18. Una persona en el ao y en el ao tuvo (a + b) aos. Averige la edad que sta persona tuvo en el ao 2000.

a) 55b) 32c) 46

d) 72e) 81

19. Si se cumple que:

a) 4b) 8c) 7

d) 2e) 10

20. Para adivinar la edad de Rafael y Miriam se pide que multiplique la edad de Rafael por 2 se sume 5 al resultado y todo lo multiplique por 50, luego agregue la edad de Miriam y finalmente reste 365. si el resultado obtenido fue 2210 Cul es la suma de las edades de Rafael y Miriam?

a) 42b) 45c) 48

d) 50e) 54TAREA

1. Represente Correctamente (reconstruya)

a54 + 2.55 + c.53 + 4

a)

b)

c)

d) 1a230(5)e) 24ac4(5)2. Si los siguientes numerales estn bien representados:

calcular: (a + b + c)

a) 6b) 5c) 4

d) 7e) 8

3. Si:

N = 2(17)4 + 2(17)3 + 26 + 4(17)

como se escribe el nmero N en base 17.

Sugerencia: Reconstruya

a) 22405b) 20425c) 22095

d) 22059e) 22459

4. Si:

567(n) =

hallar: n + x

a) 12b) 13c) 9

d) 11e) 10

5. Hallar (a + b), si:

a) 4b) 5c) 6

d) 7e) 86. Si:

a) 12b) 8c) 17

d) 5e) 10

7. Si:

= 58(9)hallar:

a) 2306b) 2304c) 2204

d) 2308e) 1304

8. Si:

hallar a

a) 3b) 4c) 5

d) 2e) 1

9. Represente de manera adecuada (Reconstruya)

10000a + 1000b + 100c + 10d + a

a)

b)

c)

d)

e)

10. Cuntos nmeros de 2 cifras, son tales que son numricamente iguales a cuatro veces la suma de sus propias cifras?

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5CONTEO DE NMEROS

PROGRESIN ARITMTICA

Es una sucesin de nmeros en el cual cada trmino es igual al anterior ms una cantidad constante llamada razn.

Ejemplos:

14; 20; 26; 32;

\/\/\/

666

42; 39; 36; 33;

\/\/\/

-3-3-3

En general:

P.A. :t1;t2;t3;; tn

\/\/

rr

Donde:

t1: Primer trmino

tn: Ultimo trmino

r: Razn de la P.A.

TRMINO DE LUGAR k

Se cumple:

tk = t1 + (k 1)r

Ejemplo:

Sea la P.A.:

18;25;52;

77

Se obtiene:

t21 = 18 + 20(7) = 158

t34 = 18 + 33(7) = 249

NUMEROS DE TERMINOS

Se cumple:

Ejemplos:

Sea la P.A.

15;24;33;;375

99

Sea la P.A.

12;19;26;;439

\/\/

77

CASO PARTICULAR

Si los nmeros son consecutivos (r = 1)

Se cumple:

#t = (tn t1) + 1

Ejemplos:

*

*

EJERCICIO

Cuntos tipos de imprenta se utilizan para enumerar las 468 pginas de un libro?

Resolucin

Luego; total: 9 + 180 + 1107 = 1296 cifras o tipos de imprenta.

CANTIDAD DE CIFRAS EN UNA SERIE NATURAL

Sea: 1; 2; 3; ...; N: # de k cifras

Se cumple:

Cant. cifras = (N 1)

Ejemplo:

Cuntas cifras se utilizan para la enumeracin de las 468 pginas de un libro?

Resolucin:

1_; 2; 3; ..; 468

((

Nmeros de 3 cifras

Cant. cifras = (468 + 1)3 - 111

Cant. cifras = 1296

MTODO COMBINATORIO

La cantidad de nmeros que existen est determinado por el producto de las cantidades de valores que pueden adoptar las variables independientes contenidas en el numeral dado.

Ejemplo 1

Cuntos nmeros de 5 cifras existen en el sistema decimal?

Resolucin

Ejemplo 2:

Cuntos nmeros de 3 cifras existen en el sistema de base 8?

Resolucin

Cuntos nmeros capicas de 4 cifras existen en el sistema decimal?


1. Hallar el vigsimo trmino de la siguiente serie:

8; 15; 22; 29; .

a) 134b) 141c) 148

d) 155e) 127

2. El segundo y quinto trmino de una progresin aritmtica son 20 y 44 respectivamente. Hallar el trigsimo trmino.

a) 228b) 236c) 244

d) 252e) 260

3. La suma del primer y quinto trmino de una progresin aritmtica es 92 y la suma del cuarto con el dcimo trmino es 252. Hallar la razn.

a) 8b) 10c) 12

d) 16e) 20

4. Tres trminos consecutivos de una progresin aritmtica son 12(5); y 34(5). Hallar a + b

a) 13b) 20c) 10

d) 17e) 25

5. Cuntos trminos tiene la siguiente P.A.?

32m; 40m; 46m; ..; 200ma) 17b) 18c) 19

d) 20e) 21

6. Cuntos nmeros de tres cifras existen en el sistema quinario?

a) 80b) 100c) 120

d) 125e) 150

7. Cuntos nmeros de dos cifras del sistema decimal tiene sus dos cifras impares?

a) 20b) 25c) 30

d) 45e) 50

8. Cuntos nmeros de cuatros cifras existen en el sistema de base 6 tal que la primera y ltima cifra sean impares?

a) 108b) 216c) 324

d) 288e) 360

9. Cuntos nmeros capicas de 4 cifras existen en el sistema ternario?

a) 6b) 9c) 12

d) 15e) 18

10. Cuntos nmeros capicas de tres cifras existen en el sistema decimal?

a) 90b) 100c) 110

d) 810e) 90011. Cuntos nmeros de tres cifras existen en el sistema octavario tal que la primera cifra sea el doble de la ltima?

a) 24b) 28c) 32

d) 36e) 40

12. Cuntos nmeros pares en el sistema decimal se expresan como numerales capicas de tres cifras cuya central sea impar?

a) 10b) 15c) 20

d) 25e) 30

13. Cuntos nmeros de cuatro cifras de la forma existen?

a) 12b) 20c) 24

d) 15e) 16

14. Cuntos nmeros de cinco cifras del sistema terciario no usan la cifra cero?

a) 16b) 27c) 32

d) 36e) 45

15. Cuntos nmeros de la forma existen?

a) 12b) 16c) 20

d) 24e) 25

16. En una P.A. de 15 trminos la suma de los trminos es 360. Cul es el valor del trmino central?

a) 20b) 22c) 24

d) 26e) 28

17. Cuntas cifras se emplean para escribir los nmeros enteros del 1 al 100?

a) 180b) 189c) 192

d) 195e) 198

18. Cuntos tipos de imprenta se utilizan para numerar las 200 pginas e un libro?

a) 492b) 494c) 496

d) 498e) 500

19. Cuntas cifras se emplean para escribir la siguiente serie:

30; 33; 36; ., 2238

a) 2600b) 2321c) 2315

d) 2478e) 2610

20. Dada la siguiente progresin aritmtica: 111: .. : 514

la cual tiene trminos y su razn es r, hallar: b + r

a) 15b) 16c) 17

d) 18e) 19TAREA

1. Cuntos nmeros de 3 cifras significativas existen en base 8?

a) 243b) 143c) 553

d) 343e) 443

2. Cuntos nmeros de 4 cifras inician su escritura en cifra par y la culminan en cifra impar?

a) 2480b) 1000c) 1500

d) 1560e) 2000

3. En la siguiente secuencia

00001; 00002; 00003; ; 10000, cuntos ceros innecesarios se han escrito?

a) 11106b) 11006c) 11116

d) 10116e) 11316

4. Cuntos nmeros de cuatro cifras utilizan la cifra tres en su escritura?

a) 3170b) 3168c) 3174

d) 3172e) 3176

5. Cuntos nmeros pares capicas de 4 cifras existen en el sistema decimal?

a) 1600b) 50c) 40

d) 745e) 366. Cuntos tipos de imprenta se utilizan para numerar las 128 hojas de un libro?

a) 276b) 560c) 176

d) 760e) 660

7. Hallar (a + b) si para escribir todos los nmeros enteros consecutivos desde hasta se han empleado cifras

a) 14b) 13c) 12

d) 11e) 108. Cuntos nmeros de 4 cifras del sistema quinario utilizan alguna cifra en su escritura?

a) 108b) 208c) 308

d) 408e) 98

9. Cuntos nmeros de 3 cifras del sistema decimal poseen solamente 2 cifras impares en su escritura?

a) 320b) 330c) 340

d) 350e) 360

10. Cuntos tipos de imprenta se emplearon para imprimir la siguiente secuencia?

10077; 10078; 10079; ; 100300?

a) 1319b) 1320c) 1321

d) 1322e) 1323OPERACIN BINARIA

Es aquella operacin matemtica que relaciona dos elementos de un conjunto para obtener un nuevo elemento.

Una operacin binaria es CERRADA cuando en el resultado obtenido es un elemento del conjunto en el cual se defini la operacin, en caso contrario se llamar ABIERTA.

I. II. La ley asociativa depende de la conmutativa, si no es conmutativa, no es asociativa.

III. El elemento neutro es nico, es un nmero, no depende de variables.

IV. Si existe elemento neutro, entonces existe elemento inverso.

V. La ley distributiva compara dos operadores y debe comprobarse por la izquierda y por la derecha

Estas leyes pueden generalizarse para cualquier operador; as:

1. Si: a * b = b * a ( La operacin (*) es conmutativa

2. Si: a * n = n * a = a ( Existe elemento neutro y es n

3. Si: a * (b * c) = a * b) * c ( La operacin es asociativa

4. Si: a . a-1 = n ( Existe elemento inverso de a y es a-1

5. Si: a # (b * c) = a # b) ( Es distributiva

OPERADORES MATEMTICOS DEFINIDOS EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA

Sea: M = {a; b; c; d}

Con su operador matemtico (() y su tabla respectiva:

(abcd

aabcd

bcdab

cbcda

ddabc

Luego, se pide calcular x en cada uno de los siguientes casos:

I. (b (c) ( x = (b ( d) ( a

Rpta.: .

II. (a (x) ( c = (d ( b) ( c

Rpta.: .

III. (x (c) ( (b ( a)

Rpta.: .

PROPIEDADES

Sea el conjunto:

A = (m; n; p; q)

Con su operador (() y su tabla:

(mnpq

mnpqm

npqmn

pqmnp

qmnpq

I. Propiedad ConmutativaSi: m ( n = n ( m

( m; n ( A ( Se cumple la propiedad conmutativa

Ejemplos aplicativos

Diga Ud. en cada caso si cumple la propiedad conmutativa:

I) a * b = a + 2b + 3

II) p ( q = q - p + 2

III) m # n = m + n - m

(abcde

abcdea

bcdeab

cdeabc

deabcd

eabcdE

II. Propiedad Asociativa

Si: (m ( n) ( p = m ( (n ( p)

(m; n; p ( A ( se cumple la propiedad asociativa.III. Existencia del Elemento Neutro (e)

Si: m ( e = m = e ( m

( m ( A ( e2 es el elemento neutro.

Obsrvese la forma prctica de encontrar e en tablas.

(abcd

abcda

bcdab

cdabc

dabcd

IV. Existencia del Elemento Inverso (e)

Si: m ( m-1 = e

( m-1 es el elemento inverso de mPROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una operacin est definida mediante la tabla adjunta Cul es el resultado de efectuar (A ( B) ( C?

(ABC

AABC

BBAC

CCCA

a) Ab) Bc) C

d) No existee) A o B2. Dada la tabla:

(abcd

abcda

bcdab

cda bc

dabcD

Calcular x si:

[(a ( b) ( c] ( (b ( x) = (a ( c)

a) Ab) Bc) C

d) No existee) A o B3. De acuerdo a la tabla:

?abcd

aabcb

bbadc

cabad

ddcba

Diga Ud. si se cumple las siguientes afirmaciones:

()a? a = a

()(a ? a) ? b = c

()se cumple la ley conmutativa

a) VVVb) FVVc) VFFd) FVFe) FFF4. Dado el conjunto A = {0; 1; 2; 3}

S0123

00123

11230

22301

33014

I. El elemento neutro es el 0

II. ( x ( A, existe su inverso

III. S es cerrado

Es(son) correcto(s):

a) Slo Ib) Slo IIc) Slo IIId) I y IIe) II y III5. Con los elementos del conjunto

A = {a; b; c; d; e} se define la operacin (*) obtenindose la tabla adjunta.

*abcdE

aabcbE

bbcdeA

ccdeaB

ddeabC

eeabcd

Se afirma que:

I. La operacin * es conmutativa

II. El elemento neutro es b

III. La operacin * es cerrada

IV. La operacin * es asociativa

V. (a * b) * c = (d * e) * a

De estas afirmaciones es(son) verdadera(s)

a) Slo Ib) Slo IVc) II y III

d) I, III y IVe) Todas6. Sea la operacin ( definida en el conjunto:

A = {a; b; c }, mediante la tabla adjunta

(abc

acab

babc

cbca

Es(son) correcta(s):

I) La operacin ( es conmutativa

II) La operacin (es asociativa

III) La operacin ( definida en A admite la existencia de un elemento neutro en A.

a) Slo Ib) Slo IIc) Slo III

d) I y IIIe) Todas7. Dada la tabla:

*123

1123

2231

3312

Calcular:

P = [(2-1 * 3-1)-1 * 2-1]-1a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 58. Si la operacin ( es conmutativa y tiene neutro 4, calcular:

E = [(4 ( 3) ( (2 ( 1)] ( 5

Sabiendo que:

*235

1342

5

5134

4

31

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 59. Definamos en el conjunto de los nmeros enteros, la operacin ( mediante a * b = 2(a + b). indicar cul(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s):

I. ( es conmutativa

II. ( es asociativa

III. ( tiene elemento neutro


d) I y IVe) II y III10. Dada la operacin binaria

a # b = a + b + a + b

calcular el elemento neutro

a) 1b) 1/2c) 0

d) -1e) -211. En el conjunto solucin A = {0; 1, 2} se define la operacin # tal que:

1 # 0 = 12 # 0 = 20 # 0 = 0

1 # 1 = 22 # 1 = 30 # 1 = 1

1 # 2 = 32 # 2 = 10 # 2 = 2

decir cul(es) de la(s) siguiente(s) afirmacin(es) es(son) verdadera(s)

I. # es conmutativa

II. El inverso de 2 es 0

III. El elemento neutro es el 1


d) I y IIe) I, II y III12. Sea # la operacin definida en el conjunto A = {(; (; (} mediante la siguiente tabla:

#(((

((((

((((

((((

I. La operacin # se cumple x # x = x, ( x ( A

II. La operacin # es conmutativa

III. EL conjunto A tiene el elemento identidad es(son) correcta(s)

a) I y IIb) II y IIIc) I y III

d) I y IIe) Slo I13. De acuerdo a la tabla del operador ( definido en el conjunto: A {1; 2; 3}

(123

1312

2123

3231

() ( es conmutativa

() El elemento neutro es 2

() El inverso de 2 es 2

a) VVFb) FFFc) VFVd) FVVe) VVV14. En el conjunto A = {1; 2; 3; 4} se define la operacin ( mediante la tabla

(1234

11234

22413

33142

44321

Decir si es verdadero o falso

() El conjunto es cerrado para la operacin (

() ( es conmutativa

() El 1 es el elemento identidad

a) VVFb) VFVc) VVV

d) FVVe) FFF15. En R define: a (b = 2a + b; a # b = a + b

Entonces calcular la suma de los valores x que satisfacen: 1 # (x ( 1) = 1 # 3

a) 1b) 2c) 3

d) -1e) -216. Se definen las operaciones binarias:

a b = a + b + 1; a b = a b 1

hallar el valor de:

[(1 1) (2 2)] [0 0]

a) 0b) -1c) -2

d) -3e) -417. Se define: a ( b = a - b + a + b

Se afirma

I. a ( a = 2a

II. a ( b = b ( a

III. (a 1) ( a = 0

es(son) verdadera(s)

a) Slo Ib) I y IIIc) Slo III

d) Slo IIe) Todas18. Si:

(: R x R ( es una operacin definida por:

a ( b = 2a + 2b + ab

resolver la ecuacin

[x ( (2 ( 1)] + [1 ( 2] = 14

a) 1b) 2c) 3d) -2e) -119. En R definimos la operacin:

a ( b = a - b + 2ab

cuntas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

() a ( 0 = 0 ( a = a

() ( es conmutativa

() x ( (-x) = 0

() (1 ( 2) ( 3 = 1 ( (2 ( 3)

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 420. Sea la operacin (#), definida en los reales por:

a # b =

TAREA1. Si el conjunto A = {0; 1; 3} y definimos la operacin (#) por:

#123

0013

1130

3301

De las siguientes proposiciones, determinar el valor de verdad o falsedad

() 3 # 1 = 1 # 3

() (1 # 0) # 3 = 1 # (0 # 3)

() (3 # x) # 0 = 1 ( x # 1 = 3

a) VVFb) FFFc) VFVd) VVVe) VFF

2. Dada la siguiente tabla:

*abcd

abdca

bcadb

cdbac

dacbd

Calcular x en: (a * b) * (c * x) = d * c

a) ab) bc) c

d) de) e

3. Se define la operacin ( en el conjunto A = {a; b; c; d}, mediante la siguiente tabla de doble entrada

(abcd

acdab

bdabc

cabcd

dbcda

Entonces podemos afirmar que:

I.La operacin es conmutativa

II.Tiene elemento neutro

III.a-1 ( b-1 = x ( c ( x = b

a) Slo Ib) Slo IIc) Slo IIId) I y IIe) Todas

4. Dadas las siguientes tablas

(abcde

acdeab

bdeabc

ceabcd

Dabcde

Ebcdea

abcde

abcdea

bcdeab

cdeabc

deabcd

eabcde

Hallar x

( a ( c) (d ( x) = (c d) ( e

a) ab) bc) cd) de) e

5. En la siguiente tabla es falso:

(abcd

aabaa

bcbbd

cdacb

dbcda

I.No es conmutativa

II.El elemento neutro es c

III.a ( (b ( d) = (d ( c) ( d

IV.La operacin ( es cerrada

a) I y IIb) Slo IIc) II y III

d) II; III y IVe) Ninguna es falsa

6. Dada la siguiente tabla de doble entrada y de mdulo 4, definamos la operacin (() en el conjunto A = {1; 2; 3; 4}

(1234

11234

22413

33142

44321

Calcular x, si:

[(2-1 ( 3)-1 ( x] ( [(4-1 ( 2) ( 3]-1 = 1

a) 0b) 1c) 2

d) 3e) 4

7. En A = {a; b; c; d} se define mediante la tabla la operacin ((abcd

adabc

babcd

cbcda

dcdab

8. Dada la tabla:

#2357

25237

37352

52573

73725

Calcular el valor de:

P =

a) 2/3b) 3/5c) 5/7

d)7/3e) 5/3

9. Dada la tabla:

*1234

14123

21234

32341

43412

Calcular el valor de:

P = {(2 * 1) * (3 * 4)}(2*2)a) 1b) 4c) 9

d) 16e) 0

10. En A = {1; 0; 1; -2}

(-2-101

-2-101-2

-101-2-1

01-2-10

1-2-101

Si:

(x-1 ( 1)-1 ( (-2 ( 0)-1 = (-1)-1entonces x es:a) 0b) 1c) -1

d) -2e) 2000No se puede determinar

ADICIN

Es una operacin binaria donde dados dos elementos a y b llamados sumandos, se le hace corresponder un tercer elemento S llamado suma.

A + B = S .DondeA y B : Sumandos

S : Sumasuma de trminos en progresin aritmtica

(serie aritmtica)

Sea la serie aritmtica:

Sn = a1 + a2 + 33 + + an

\ /\ /

rr

Se cumple: Sn =

Donde

a1 : Primer trmino

an : ltimo trmino

n : nmero de trminos

Ejemplo:

Hallar:

S = 14 + 20 + 36 + + 500

\ /\ /

66

1) # trminos = + 1 = 82

2) S = 82 = 21074

SUMATORIAS NOTABLES

1. Sumatoria de los n primeros nmeros naturales

Ejemplo:

1 + 2 + 3 + + 80 = = 3240

2. Sumatoria de los n primeros nmeros impares

2 + 4 + 6 + + 2n = n(n + 1) .Ejemplo:

2 + 4 + 6 +. + 40 = 20(21) = 420

OBSERVACIN: 2n = 40 ( n = 20

3. Sumatoria de los n primeros nmeros impares.

1 + 3 + 5 + + 2n 1 = n .

Ejemplo:

1 + 3 + 5 + + 39 = 2020OBSERVACIN: 2n 1 = 39 ( n = 20

4. Sumatoria de los n primeros cuadrados perfectos

Ejemplo:

= 2870

5. Sumatoria de los n primeros cubos perfectos

Ejemplo:

= 3025

6. Sumatoria de potencias sucesivas de un nmero

Ejemplo:

1 + 10 + 102 + 103 + + 1020 =

7. Sumatoria de los n primeros productos binarios de nmeros consecutivos

Ejemplo:

1.2 + 2.3 + 3.4 + + 20(21) = = 3080


1. Si:

A = 1 + 2 + 3 + + 40

B = 2 + 4 + 6 + + 60

Calcular: A + B

a) 1680b) 1720c) 1750

d) 1800e) 1850

2. Hallar la suma de las cifras de A si:

A = 1 + 2 + 3 + + 10

a) 10b) 12c) 14

d) 16e) 18

3. Si: x + y + z = 18, calcular:

+ +

a) 1898b) 1998c) 1788

d) 1798e) 2098

4. Si: , calcular : a + b + x

a) 8b) 9c) 10

d) 11e) 12

5. Si:

= 55

Calcular:

1 + 2 + 3 + + x

a) 204b) 285c) 385

d) 506e) 650

6. Se ordena 153 bolas convenientemente logrando conformar un tringulo equiltero cuntas bolas deben ubicarse en la base?

a) 21b) 20c) 22

d) 24e) 17

7. Si: , calcular: a + b + c + x

a) 21b) 22c) 23

d) 24e) 25

8. Hallar el valor de x si:

1 + 2 + 3 + 4 + + x = 105

a) 12b) 14c) 15

d) 20e) 21

9. Hallar el valor de S en:

S = 100(2) + 100(3) + 100(4) + + 100(11)a) 504b) 505c) 506

d) 510e) 511

10. Hallar la suma de las cifras de A, si:

A = 101 + 102 + 103 + + 180

a) 12b) 11c) 10

d) 9e) 8

11. Hallar a.b.c. si:

a) 24b) 48c) 96

d) 72e) 126

12. Calcular:

S = 1 + 8 + 27 + 64 + + 1000

a) 3025b) 2500c) 3600

d) 3725e) 3825

13. Calcular la suma de los 30 primeros trminos de la siguiente progresin aritmtica si tiene 50 trminos:

10; ..; 304

a) 2820b) 2890c) 2910

d) 2980e) 3020

14. La suma de 49 nmeros consecutivos termina en dos. En qu cifra terminar el menor de los 49 nmeros?

a) 2b) 4c) 6

d) 8e) 9

15. En la siguiente operacin:

Calcular: b + c - a

a) 3b) 4c) 5

d) 7e) 8

16. Dada la siguiente suma:

Calcular: a + b + c

a) 8b) 10c) 11

d) 13e) 15

17. La suma del mayor nmero par de 3 cifras diferentes y el menor nmero de 3 cifras impares diferentes es:

a) 1121b) 1122c) 1123

d) 1120e) 1119

18. (a + b + c) = 484

Hallar: + 111

a) 2468b) 25553c) 2553

d) 12567e) 2335

19. Sumar: 4 + 11 + 30 + 67 + . + 8003

a) 28720b) 42180c) 43250

d) 16150e) 44160

20. Si:

Hallar: a + x + y + z

a) 16b) 15c) 14

d) 17e) 18

A

B

U

U

B

A

U

B

A

U

B

A

U

A

Elemento inverso

Elemento neutro

Asociativa

Distributiva

Conmutativa

Clausura

Operacin Binaria

3

2

3

1647237

1

4

2

745612462063

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aritmetica

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