aritmetica 2011 - 2da. parte.doc

7/23/2019 ARITMETICA 2011 - 2da. Parte.doc

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ARITMTICA - 2da. Parte

Academia Raimondi, enseanza de calidadwww.antorai.com.pe

1


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Siempre los primeros, deando !"ella

T#T$%& '( %A &)RA

ARITMTICA - 2da. Parte('ICI*+ 211'erec!os Reserados

A$T&R(S/ 0imi ranco Carera Paredes/ !ar3 P4rez Rado/ Rol3 Pa"car Cr"z/ Re3ner 5alle6os Saldiar

'IA5RAMACI*+ 7 ART(C(+TR& '( C*MP$T& ACA'(MIA RAIM&+'I/ ran8lin lores 5"isado (-mail9 :ran8;ores6m


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La ACA'(MIA A+T&+I& RAIM&+'I, institucin educativaespecializada en preparacin preuniversitaria, y, a su vez, comprometidacon la formacin integral de los estudiantes con miras a postular a centros

de estudios superiores, cumple con poner a vuestro alcance la presentepublicacin del curso deARITMTICA - 2da. Parte, en la que se brindainformacin necesaria para alcanzar un nivel de preparacin ptimo y paracimentar los primeros peldaos de los prximos estudios universitarios delpostulante, constituyndose as en una insustituible herramienta deestudios.

ste compendio es el resultado del aporte de nuestros docentes,quienes a lo largo de su amplia y fructfera experiencia, han contribuidopermanentemente a la formacin de nuestros estudiantes, no solobrindando conocimientos necesarios para enfrentar un examen de

admisin a un centro superior de estudios, sino present!ndolos ba"o elesquema m!s adecuado para que puedan ser asimilados de manera !gil yefectiva.

La experiencia cotidiana y permanente a lo largo de numerosos ciclosde preparacin en nuestra institucin, ha sido plasmada en este materialdid!ctico para bene#cio de todos nuestros estudiantes.

$ara la elaboracin e impresin del presente aporte bibliogr!#co se hacontado con la invalorable participacin de nuestros %epartamentos de&mputo, 'mpresiones, &ompaginacin, (evisin y &ontrol de &alidad.

sta es una razn m!s que explica los contundentes xitos obtenidospor la ACA'(MIA A+T&+I& RAIM&+'Ien los numerosos ex!menes deadmisin a las distintas universidades de la regin y del pas.

$or estos y otros mritos, la Comisi@n de (al"aci@n +acionalnosha cali#cado como la )*+( *$(- $(/0'1(-'2('3 de maneraconsecutiva desde el ao 4556 hasta la fecha. %el mismo modo, laencuestadora Per"ana de &pini@n PLlicanos ha conferido el ttulo dela )&%*' % *7( $(8(0&'3 en la ciudad de &usco, a partir del

ao 4559, galardn que ostentamos hasta el da de hoy.

Nctor Paredes A"casime'irector


B


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+KM(R&S PRIM&S $!g.:

MC' 7 MCM $!g.: 2B

RAO&+(S 7 PR&P&RCI&+(S $!g.: G2

PR&M('I&S $!g.: 1

PR&P&RCI&+A%I'A' 7 R(PART& $!g.:


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I+TR&'$CCI*+9n este captulo estudiaremos los n;meros primos que desde la antigauss, 8ermat, uler, ?,etc.@siendo el matem!tico >riego uclides el primero en descubrir los n;merosprimos y el reto actual de los matem!ticos es encontrar la frmula quepermita encontrar todos los n;meros primos lo cual no a sido posible hasta elmomento pero hoy en da se ha encontrado n;meros primos m!s grandesgracias a la memoria de las grandes s;per computadoras, siendo los ;ltimosn;meros primos : 6AABBC

4 6que tiene D554 cifras =en el ao 6AC6@. 46C5564 6que tiene D966 cifras =en el ao 6ACA@.

E9AFBB4 6que tiene 49EC6D cifras =en el ao 6AAF@.

DAC49AB4 6que tiene m!s de dos millones de cifras =en el ao 6AAA@.

$ara esto es necesario recordar que 'iisor de un n;mero es cualquier valorque lo divide en partes enteras como por e"emplo los divisores del n;mero F5son: 6G 4G FG 9G EG 65G 45 y F5.

'iisor Propio9s todo aquel divisor del n;mero menor que dicho n;mero,tomando el e"emplo anterior diremos que los divisores de F5 son:

Clasicaci@n de los nLmeros se6Ln s"s diisores9

+KM(R&S PRIM&S

Llamados tambin n;meros primos absolutosG n;mero primo es aqueln;mero que tiene dos divisores ;nicamente: la unidad y el mismo. $ore"emplo:


G

6 4 F 9 E 65 45 F5

'iisores

4

6 4

B

6 B

9

6 9

................


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TA)%A '( +KM(R&S PRIM&S M(+&R(S Q$( 2

4 B 9 C 66 6B 6C 6A 4B4A B6 BC F6 FB FC 9B 9A D6

DC C6 CB CA EB EA AC 656 65B

65C 65A 66B 64C 6B6 6BC 6BA 6FA 69669C 6DB 6DC 6CA 6E6 6A6 6AB 6AC 6AA

&)S(RACI*+9 0o existe frmula para hallar los n;meros primos. La serie de los n;meros primos es in#nita. l ;nico n;mero primo par es el 4 , entonces los dem!s son impares. -i )$3 es un n;mero primo mayor que 4 cumple ser F 6

o

.

-i )$3 es un n;mero primo mayor que B cumple ser D 6o

.

0;meros simples son:0;meros primos

6G 4G BG 9G ....6 FF4 F FB

+KM(R&S C&MP$(ST&S

-e llama n;mero compuesto a todo n;mero que tenga m!s de dos divisores.sta serie es m!s abundante e in#nita. &omo por e"emplo:

+KM(R&S PRIM&S (+TR( S# & PRIM&S R(%ATI&S F P(SI H

-e dice que dos o m!s n;meros son primos entre s, solo si tienen un ;nicodivisor com;n que siempre es la unidad.

(emplo9+Lmero 'iisores69 6 G BG 9G 696D 6 G 4G FG E G 6D


D

6 4 B D

................F

6 4 F


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ARITMTICA - 2da. Parte&omo vemos en el e"emplo el ;nico divisor com;n que tienen los n;meros 69y 6D es la unidad por consiguiente estos n;meros son primos entre s oprimos relativos.+&TA:l n;mero uno +& es primo +Icompuesto, porque slo tiene un solo divisorque es el mismo es un n;mero SIMP%(.

R(5%A PARA '(T(RMI+AR %A PRIMA%I'A' '( $+ +KM(R&(+T(R& P&SITI&

$rimero se extrae la raz cuadrada aproximadamente del n;mero 0.

Luego se toma todos los n;meros primos menores a esta raz cuadrada de0.

n seguida se comprueba si estos n;meros primos lo dividen al n;mero 0.

-i ning;n n;mero primo lo divide en cantidad entera y exacta al n;mero 0se dice que ste n;mero es $rimo.

-i alg;n n;mero primo lo divide al n;mero 0, se dice que ste n;mero es&ompuesto.

(emplo9%eterminar si 6FA es un n;mero primo.

6FA 64,4

Los n;meros primos menores a esta raz cuadrada son : 4G BG 9GCG66 64,4 %ividimos 6FA entre todos ellos:

6FA 4

CF6

6FA B

FA4

6FA 9

4AF

6FA C

464

6FA 66

6BD

&omo vemos que ninguno lo divide exactamente, entonces podemos decirque 1G es "n nLmero primo

(ST$'I& '( %&S 'IISIS&R(S '( $+ +KM(R&

'(SC&MP&SICI*+ CA+*+ICA '( $+ +KM(R& & '(SC&MP&SICI*+'(% +KM(R& (+ S$S ACT&R(S PRIM&S

FT(&R(MA $+'AM(+TA% '( %A ARITMTICA & T(&R(MA '( 5A$SSHAcademia Raimondi, enseanza de calidad

www.antorai.com.pe


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2odo n;mero entero mayor que uno se puede descomponer como el productode sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos y dichadescomposicin es ;nica.

(emplo9

TA)%A '( 'IIS&R(S '( (% +KM(R& 19

$rimero hallamos todas la potencias consecutivas del 4 y luego estosresultados colocamos a la cabeza de la tabla:

n seguida hallamos las potencias del B y del 9 empezando con elexponente 6 y colocamos estos resultados en columna.

Luego multiplicamos todos los factores del B con los factores del 9 ycolocamos en seguida =tambin en columna@.


6E55 4

A55 4

F95 4

449 B

C9 B

49 9

9 9

6

B 4 46E55 4 B 9

5 6 4 B4 4 4 4

6 4 F E

B B D 64 4F

A A 6E BD C4

9 9 65 45 F5

49 49 95 655 455

69 69 B5 D5 645

C9 C9 695 B55 D55

F9 F9 A5 6E5 BD5

449 449 F95 A55 6E55

$otencias del 4

$otencias del B

$otencias del 9

8actores que resultan de lacombinacin del productode los factores del B conlos del 9.

=

%ivisores del n;mero 6E55


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ARITMTICA - 2da. Partentonces los divisores del n;mero 6E55 son todos los valores que est!n

a la derecha de la lnea vertical.

CA+TI'A' '( %&S 'IISIS&R(S '( $+ +KM(R&

$ara hallar la cantidad de los divisores de un n;mero = =0@&% @ primero sedescompone a los n;meros en sus factores primos.

0Ha .b

=0@&% H = I 6@= I 6@

(emplo: Jallando la cantidad de divisores del n;mero 45.445 4 .9

=45@&% H =4 I6@=6 I 6@H B . 4H D

CA+TI'A' '( 'IIS&R(S C&MP$(ST&S '( $+ +KM(R&9

$ara hallar la cantidad de divisores compuestos de un n;mero 0, se resuelvecon la frmula:

(emplo9Jallar la cantidad de divisores compuestos del n;mero F55.

Sol"ci@n9$rimero descomponemos el n;mero F55:

F 4F55 4 .9

$ara hallar la cantidad de divisores primos bastar! #"arnos en las bases de ladescomposicinG entonces los divisores primos del F55 son 4 y 9G por lotanto tiene dos divisores primos.

ntonces aplicamos en la frmula:

=0@ primos compuestos&% &% &% 6



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compuestos

compuestos

compuestos

compuestos

=F 6@=4 6@ 4 &% 6

9 . B B &%

69 B &%

64 &%

=

=

=

=

S$MA '( %&S 'IISIS&R(S '( $+ +KM(R&

$ara hallar la cantidad de los divisores de un n;mero = =0@-% @ primero sedescompone a los n;meros en sus factores primos.

0Ha .b

(emplo: Jallando la suma de los divisores del n;mero 45.445 H 4 .9

4 6 6 6

=45@4 6 9 6

-%4 6 9 6

C . DF4

=

=

=

PR&'$CT& '( %&S 'IISIS&R(S '( $+ +KM(R&

$ara hallar el producto de los divisores de un n;mero = =0@$% @G primero se

necesita hallar la cantidad de los divisores del n;mero =0@&% G la frmula quenos permite encontrar el producto de divisores es:

&%=0@$% 0

(emplo:Jallando el producto de los divisores del n;mero 45.&omo =45@&% D , entonces reemplazamos en la frmula.


6 6a 6 b 6-%=0@

a 6 b 6

=

1


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D=45@

B

$% H 45

45

S$MA '( %AS I+(RSAS '( %&S 'IISIS&R(S '( $+ +KM(R&

$ara hallar la suma de las inversas de los divisores de un n;mero = =0@-'% @,

primero se tiene que hallar la suma de los divisores del n;mero =0@-% G lafrmula que nos permite a encontrar la suma de las inversas de los divisoresdel n;mero es:

=0@-%

-'% 0

(emplo: Jallando la suma de las inversas de los divisores de 45.&omo =0@-% F4, entonces este resultado reemplazamos en la

frmula:

=0@F4

-'%454,6

=

=

I+'ICA'&R '( $+ +KM(R& & $+CI*+ ($%(R

Llamado tambin 8uncin uler ) =0@ , nos indica cuantos n;merosmenores o iguales a un n;mero +son primos entre s con l.

$rimero se descompone al n;mero en sus factores primos:

0Ha .b

Luego se aplica la siguiente frmula:6 60 a .=a [email protected] .=b 6@ =

(emplo9 Jallar cuantos n;mero menores que 955 son primos entre s conl.

Sol"ci@n9


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B 40 955 9 .4=

B 6 4 6=0@ 9 =9 [email protected] =4 6@ =

=0@ 49.F.4.6=

=0@ 455=

ntonces el n;mero 955 tiene 455 n;meros menores que l que son primosentre s con l.

CA+TI'A' '( &RMAS P&SI)%(S (+ Q$( $+ +KM(R& K S( P$('((UPR(SAR C&M& (% PR&'$CT& '( '&S +KM(R&S (+T(R&S.

La cantidad de formas posibles en que un n;mero 0 se puede expresar comoel producto de dos n;meros enteros, se da por la frmula:

=0@ =0@&%

0 de formas G si &% es par4

=0@

=0@

&% 60 de formas G si &% es impar.

4

=

(emplo9%e cuantas formas diferentes F5 se puede expresar como elproducto de dos n;meros enteros.

Sol"ci@n9$rimero hallamos la cantidad de divisores de F5:

BF5 4 .9

=F5@&% =B 6@=6 6@ E =

Luego reemplazamos en la frmula:

=F5@&% E0 de formas F4 4

= =

C&MP%(M(+T&S T(*RIC&S

+KM(R& P(R(CT&9


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ARITMTICA - 2da. Partes aquel n;mero que es igual a la suma de sus divisores propios.

(emplo9

l n;mero D es perfecto por que la suma de sus divisores propios es D:

+KM(R& '((CT$&S&9

s aquel n;mero cuya suma de divisores propios es menor que el n;mero.

(emplo9

l n;mero F es un n;mero defectuoso porque sus divisores propios son: 6 y4G y la suma de estos divisores es: 6 4 B= G y este resultado es menor que F.

+KM(R& A)$+'A+T(9

s aquel n;mero cuya suma de divisores propios es mayor que el n;mero.

(emplo9l n;mero 64 es un n;mero abundante porque sus divisores propios son: 6G4G BG FG DG y la suma de estos divisores es: 6 4 B F D 6D = y este resultado

es mayor que 64.

+KM(R&S AMI5&S9

%os n;meros son amigos cuando la suma de los divisores propios de uno esigual al otro n;mero y viceversa:

(emplo9Los n;meros 4EF y 445 son n;meros amigos porque:

+Lmeros

'iisorespropios %a s"ma de los diisorespropios

4EF 6G 4G FG C6G 6F4 445

4456G 4G FG 9G 65G 66G 45G 44G FFG

99G 6654EF


1B

D

6 4 B D%ivisores propios6 FF4 F FB


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Siempre los primeros, deando !"ella+KM(R&S SAT$RA'&S9

-on aquellos n;meros con la mayor cantidad posible de divisores quecualquier otro n;mero menor que l.

(emplo9

l n;mero 4F es un n;mero saturado por que la cantidad de divisores quetiene es E y ning;n otro n;mero menor que l tiene m!s divisores que dichovalor.

(emplo9l n;mero BD5 es un n;mero saturado por que la cantidad de divisores quetiene es 4F y ning;n otro n;mero menor que l tiene m!s divisores que dichovalor.

PR&)%(MAS R(S$(%T&S

1. -i x64 tiene Ddivisores compuestos. &alcule x.a@ F b@ 9 c@ Dd@ E e@ C

Sol"ci@n9

-ea: xx 40 64 4 B=

4x x0 4 B

=%escomposicincannica@

0% 4x 6 x 6

$% 4G &% DB

-e sabe: $ &0% % % 6

(eemplazando: 4x 6 x 6 4 DB 6 DD = =

4x 6 x 6 66 D =

$or identi#cacin de factores: x = 9 Rpta.

2. Jallar )x3 si:x0 D 6D4 tiene F5 divisores

a@ 4 b@ B c@ Fd@ 9 e@ 6

Sol"ci@n9x0 D 6D4

xF0 4 B 4 B 6 6 x Fx 60 4 B 4 B = x 6 Fx 60 4 B =


0% x 6 6 Fx 6 6

0% x 4 Fx 4

0% 4 x 4 4x 6

%ato: 0% F5

(eemplazando:4 x 4 4x 6 F5 =

x 4 4x 6 F 9 =

$or identi#cacin de factores

x = 4 Rpta.


1G


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B. -i M 4 M0 6B 6B= tieneC9 divisores compuestos. Jallar )M3a@ 4 b@ B c@ Fd@ 9 e@ D

Sol"ci@n9M 4 M0 6B 6B=

M 4 M0 6B 6B 6B

M M0 6B 6DA 6 6B 6DE = M B 6 60 6B 4 B C


0% M 6 B 6 6 6 6 6

0% 6D M 6

$% F

&% C9

-e sabe: $ &0% % % 6

6D M 6 F C9 6=6D M 6 E5=M 6 9=

M=

FRpta.

G. Jallar el valor de )n3sabiendo que: n69 C9 tiene

6Cn BF divisores.a@ 66 b@ 64 c@ 6Bd@ 6F e@ 69

Sol"ci@n9

nn 40 69 C9 B 9 B 9 =

n n 6 40 B 9 B 9 n 6 n 40 B 9 =


0% n 6 6 n 4 6

0% n 4 n B

%ato: 0% 6Cn BF

'gualando: n 4 n B 6Cn BF =

4n 9n D 6Cn BF =4n 64n 4E=

n n 64 6F 4=

$or identi#cacin de factores: n = 6F Rpta.

. N&u!ntos ceros debetener 0 4555...55, para que el

resultado tenga ED divisoresOa@ F b@ 9 c@ Dd@ C e@ E

Sol"ci@n9

-ea:PnP cifras

0 45555. . . .556 FF4 F FB

nn0 4 65 4 4 9 = 6 n n0 4 4 9

n 6 n0 4 9=


%ato: 0% 9D

0% n 6 6 n 6 9D =

n 4 n 6 E C =

$or identi#cacin de factores n = D Rpta.

. &alcular la cantidad dedivisores de n6E , si: n6D tiene 4E

divisores menos que n45 .a@ 4C b@ BD c@ F9d@ DB e@ 9F

Sol"ci@n9


1


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nn F60 6D 4=

Fn60 4


06% Fn 6

nn 440 45 4 9=

nn 440 45 4 9=

4n n40 4 9


04% 4n 6 n 6

%ato: 0 04 6% % 4E=

(eemplazando: 4n 6 n 6 Fn 6 4E =

44n Bn 6 Fn 6 4E =

44n n 4E=

n 4n 6 F C=

$or identi#cacin de factores: n F

Fn F 4 F EB0 6E 6E 4 B 4 B= = =

B0% F 6 E 6 F9 =

B0% = F9 Rpta.


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. Jallar )n3 para que eln;mero nA 64 tenga BB divisoresm!s que: 4FFEa@ F b@ 9 c@ D

d@ C e@ ESol"ci@n9

nn 4 460 A 64 B 4 B =

4 4n n60 B 4 B

4n n 460 4 B

=


06% 4n 6 n B ...=6@

F 4 64FFE 4 B 6C

4FFE% F 6 4 6 6 6 B5 =

%ato:

0 4FFE6% % BB

06% B5 BB DB =

n ='@: 4n 6 n B DB =

4n 6 n B A C =

$or identi#cacin de factores:

n = F Rpta.

1.-abiendo que nB9 tiene aFdivisores. N&u!ntos divisores tendr!O

n a BB BBa@ 4BE b@ 4C4 c@4AEd@ 4AF e@ 4AD

Sol"ci@n9

nnB9 9 C

n n nB9 9 C =%escomposicincannica@

nB9% n 6 n 6

n4

B9% n 6

%ato: nB9

% aF

'gualando: 4n 6 aF=

n C G a D

4C 6 DF=

(eemplazando:

n a

C D D

BB BB

BB BB BB BB 6

=

= =

D B 66 B4

9 D D 4 B 66 =%escomposicincannica@

% 9 6 D 6 D 6

% D C C = 4AF Rpta.

11.N&u!l es el menor n;mero por elque se debe multiplicar a DFE para

obtener F5 divisoresOa@ 9 b@ C c@ Ed@ 6D e@ 64

Sol"ci@n9-ea )n3 el menor n;merodem!s: 0 DFE n

%ato: 0% F5

B F0 4 B n

Caso FIH9

0% F5 E 9 C 6 F 6= =

B F F C F0 4 B 4 4 B =


1


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Siempre los primeros, deando !"ella )n3

n 6D

B F 6 B0 4 B 4 B

n 9F

Caso FIIH9

0% F5 F 9 4 B 6 F 6 6 6= =

B F 60 4 B 9

n mnimon = 9 Rpta.

PR&)%(MAS PR&P$(ST&S

1. &u!ntos divisores tiene D55.a@ D b@ 64 c@ 4Fd@ 6E e@ 69

2. &u!ntos divisores primos tiene495.a@ 5 b@ 6 c@ 4d@ B e@ F

B. &u!ntos divisores compuestostiene el n;mero 6455.a@ B5 b@ 4D c@ 4Ed@ B9 e@ 4C

G. &u!ntos divisores m;ltiplos de 9tiene el n;mero D555.a@ F5 b@ B9 c@ 4Fd@ 49 e@ B5

. &u!ntos divisores impares tiene eln;mero 9D555.a@ F b@ C4 c@ DFd@ B4 e@ E

. &u!ntos divisores tiene 6E555 queno sean m;ltiplos de D.a@ E b@ 64 c@ B4

d@ 4E e@ D5


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ARITMTICA - 2da. Parted@ 4555 e@ F55

12.&u!ntos n;meros menores a4F55 son $-' con el:a@ BD b@ E55 c@ C45d@ B45 e@ DF5

1B.Jallar la cantidad de divisores,de la suma de los divisores de F45.a@ F5 b@ 9D c@ 6Fd@ 4D e@ 4E

1G.Jallar el valor de )n3 si el n;mero455 x 646ntiene 6B4 divisores.a@ A b@ C c@ 9d@ D e@ 65

1.&u!ntas veces es necesariomultiplicar a 46 por 44 para que elproducto tenga BA9 divisorescompuestos.a@ 66 b@ C c@ 9d@ 65 e@ A

1.&alcular el valor de )S3 si eln;mero

x x 6 x 4 x B x F0 4 4 4 4 4= , tiene45 divisores no primos.a@ E b@ 64 c@ 66d@ 65 e@ A1


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Siempre los primeros, deando !"ella2B.&u!ntos divisores tiene eln;mero 6EDF.a@ A b@ AD c@ Ed@ 65 e@ 64

2G.&u!ntos divisores absolutos tieneel n;mero 4DA6A4.a@ 4 b@ B c@ 9d@ D e@ 62.&u!ntos divisores compuestostiene 4B55.a@ 6F b@ 69 c@ 6Dd@ 6C e@ 6B

2.&u!ntos divisores de dos cifrasm;ltiplos de F tiene el n;mero A55.

a@ B b@ C c@ Dd@ F e@ 9

2


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B.Jallar )n3, si n n 6* 6E 65=

tieneB95 divisores m;ltiplos de F9.a@ 4 b@ B c@F

d@ 9 e@ D

G.Jallar =a I c@, si: abc cba es unn;mero que tiene 4F divisores.a@ E b@ A c@ 65d@ 66 e@ 69

G1.N&u!ntos n;meros capic;as de Bcifras menores que B55 existen tales

que son primosOa@ F b@ 9 c@ Dd@ C e@ E

G2.N&u!ntos n;meros de la forma

=Fa B@=Bb@=Fa B@ son primos

absolutos, siendo a y b dgitosO

a@ 6 b@ 4 c@ Bd@ F e@ 9

GB.N&u!ntos n;meros de la forma

B5x son primosO

a@ ninguno b@ 6 c@ 4d@ B e@ F

GG.-i ab es un n;mero primoabsoluto, mayor que F5. N&u!ntosdivisores tiene el n;mero ababab55Oa@ 645 b@ 649

c@ 64Ed@ 6B4 e@ 6BA

G.-i: b0 4 BV C , tiene F5divisores m;ltiplos de A y B5divisores pares, hallar [email protected]@ 65 b@ A c@ Ed@ C e@ D

TAR(A '&MICI%IARIA

G.l n;mero B9ABC55descomponer en forma cannica ydar como respuesta la suma de losexponentes de cada factor primo.a@ E b@ 65 c@ 64d@ 66 e@ A

G


22/102

Siempre los primeros, deando !"ella1. [email protected]@ 9CD b@ 4EE c@EDFd@ 9E5 e@ ED52.Jallar la suma de las inversas delos divisores de la suma de losdivisores de F5.a@ 4,F b@ 4,6 c@4,Cd@ 4,E e@ 4,D

B.%eterminar el valor de )n3 si sesabe que el n;mero n$ 9 B

tienecomo suma de sus divisores a 46EF.a@ 4 b@ B c@ F

d@ 9 e@ D

G.Jallar cu!ntos divisores imparestiene el n;mero 64T =factorial de [email protected]@ 6FE b@ 4F5 c@EA5d@ C4 e@ 445

.Jallar PnP si el n;meron n 60 45 69= tiene EFC divisores

m;ltiplos de 9.a@ F b@ D c@ Ed@ 9 e@ C

.Jallar )n3 si el n;meron n 6* B9 49= tiene FE divisores.

a@ 4 b@ B c@ Fd@ 9 e@ D


23/102

ARITMTICA - 2da. Parte.Jallar el promedio armnico detodos los divisores del n;mero 955.a@ 9,6 b@ 9,4 c@9d@ 9,9 e@ 9,E

.l convertirse 455T l sistema debase 6F, Nen cu!ntos ceros terminaOa@ B4 b@ BB c@ BFd@ B9 e@ BD

MVUIM& C&MK+ 'IIS&RFM.C.'.H

-e llama m!ximo com;n divisor de dos o m!s n;meros al mayor de losdivisores comunes a esos n;meros.

-e designa por las iniciales *.&.%. %.s el m!ximo com;n divisor de los n;meros a, b y c, se escribir!:

*.&.%.=a,b,c@ %=a,b,c@H%

(emplo:

Jallar el *.&.%. de los n;meros 4F y CE:-e escriben los divisores de cada n;mero.

%ivisores de 4F: 6G 4G BG FG DG EG 64 y 4F.%ivisores de CE: 6G 4G BG DG 6BG 4DG BA y CE.

Los divisores comunes de ambos grupos de divisores son: 6G 4G B y D.


2B


24/102

Siempre los primeros, deando !"ellaLuego el *.&.%. es el divisor mayor com;n encontrado, es decir *.&.%. =4FGCE@HD %HD

MT&'&S PARA ?A%%AR (% M.C.'.

6.W %escomposicin de los n;meros en sus factores primos.4.W %escomposicin de los n;meros en forma simult!nea.B.W $or divisiones sucesivas o lgoritmo de uclides.

1.- '(SC&MP&SICI*+ '( %&S +KM(R&S (+ S$S ACT&R(S PRIM&S.

&uando los n;meros son muy grandes y mentalmente no se puededeterminar porque n;meros ser! divisible y nos resulta sumamente laboriosose recurre a descomponer pacientemente cada uno de los n;meros en forma

cannica =2eorema fundamental de la aritmtica@.

Re6la.$ara hallar el *.&.%. de dos o m!s n;meros, se les descompone ensus factores primos y se multiplican los factores comunes afectados de susmenores exponentes.(emplo.Jallar el *.&.%. de los n;meros 4945G C45 y 9F5.

4945

64D5

DB5B69659

B9C6

44

4BB9C

??..

C45

BD5

6E5

A5F96996

44

44BB9

??.

9F5

4C5

6B9

F96996

44

BBB9


2G

B 4

F 4

4 B

4 4

4945 4 B 9 C

C45 4 B 9

9F5 4 B 9

*.&.%. 4 B 9 6E5

Luego *.&.%.=4945G C45G 9F5@ 6E5

=

=

=

= =

=


25/102


2.- '(SC&MP&SICI*+ SIM$%TV+(A '( %&S +KM(R&S.

l mtodo consiste en dividir todos los n;meros al mismo tiempo por unfactor com;n, los cocientes nuevamente se dividen por un factor com;n y assucesivamente hasta que nos queden cocientes o n;meros primos entre s.Luego el *.&.%. de los n;meros ser! el producto de los factores comunes.

(emplo.Jallar el *.&.%. de los n;meros 66F5G CE5 y AD5.

66F5

9C5

4E9A96A

XXX

XX

CE5BA

56A9D96B

XXX

XX

AD5

FE

54F5

E56D

44B

9

4

Luego : *.&.%.=66F5G CE5G AD5@ 4 4 B 9

*.&.%.=66F5G CE5G AD5@ 4 B 9*.&.%.=66F5G CE5G AD5@ D5

=

=

=

B.- M.C.'. '( '&S +KM(R&S P&R 'IISI&+(S S$C(SIAS.l siguiente teorema es la base para determinar el *.&.%. de dos n;meros,cuya forma esquem!tica lleva el nombre de )lgoritmo de uclides3.

Teorema.- =2eorema 8undamental@. -i no es m;ltiplo de U =Yb@ , losdivisores comunes del par de n;meros y U son los mismos que los del parde n;meros U y ( y los del par de n;meros U y (Z, siendo ( v (Z los restos pordefecto y por exceso de la divisin entera : U.

'[email protected] n efecto: se tienen los tres pares de n;meros , UG U, (G U

y (Z. -eg;n =-i un n;mero divide a otros dos, divide a su suma, a sudiferencia y a su producto@, todo divisor com;n del primer par, lo es de losotros dos, y recprocamente todo divisor com;n del segundo o del tercer parlo es del primero, luego los tres pares de n;meros tienen los mismosdivisores comunes.

Corolario 1D.- l *.&.%. de dos n;meros no divisibles el uno por el otro, esel mismo que el del menor y el resto por defecto o por exceso de su divisin.


2


26/102

Siempre los primeros, deando !"ella-i los tres pares de n;meros , UG U, (G U y (Z tienen los mismos divisorescomunes, el mayor divisor com;n de cada par ser! el mismo en los trespares.

*.&.%. = , U @H *.&.%. = U, ( @H *.&.%.=U, ([ @

Corolario 2D.-La condicin necesaria y su#ciente para que dos n;meros nodivisibles el uno por el otro, sean primos entre si, es que lo sea el menor concualquiera de los restos por defecto o por exceso.La condicin es necesaria, pues si y U son primos entre s, *.&.%.= , U @H6, y como.

*.&.%. = U, ( @H *.&.%. = U, ([ @H *.&.%.=, U @, se veri#car!.

*.&.%. = U, ( @ 6 U y ( primos entre s.

*.&.%. = U, ([@ 6 U y ([primos entre s.

= =

= =

La condicin es su#ciente, pues si cualquiera de los pares U, (G U, (Z sonprimos entre s como:

*.&.%. = U, ( @ 6*.&.%. = , U @ y U son primos entre s.

*.&.%. = U, ([@ 6= =

=

= =

T(&R(MA '( ($C%I'(S.l corolario 6 de teorema mencionado anteriormente, nos indica claramente

el procedimiento a seguir para hallar el *.&.%. de dos n;meros naturales yU, YU.

n primer lugar se divide entre UG si el resto es cero, H Uo , *.&.%.=,b@ U

.-i el resto no es cero, como *.&.%.=, U@ H*.&.%.=U,(6@, se dividir! U entre (6.si el resto de esta divisin es cero *.&.%.=, U@ H*.&.%.=U,(6@H(6.-i la divisin de U entre (6no da resto cero y da resto (4, como *.&.%.=U,(6@H*.&.%.=(6,(4@. *.&.%.=,U@H*.&.%.=U,(6@H*.&.%.=(6,(4@.

-e divide (6entre (4y as sucesivamente, hasta llegar a un resto ( n H 5,cosa que seguramente ocurrir!, pues como cada reto es menor que eldivisor, la sucesin de restos (6, (4, (B, (nX6y (n va disminuyendo. -i:

n n 4 n 6 n 6( 5, *.&.%.=,U@ *.&.%.=U,(@ . . . *.&.%.=( ,( @ (= = = =

7 la forma de proceder es la que indica a continuacin, y se denominalgoritmo de uclides.


2


27/102

ARITMTICA - 2da. Parte&ocient

es 6q 4q Bq

. .. n

q

U 6( 4(. .. n 6

(

n 6*.&.%.=,U@ (

(estos 6( 4( B(. .

.n( 5

n los cocientes sucesivos se colocan los cocientes enteros:

6 4 B nq , q , q , . . . ,q

s la parte superior para evitar la prdida de espacio que se produciracolocando cada cociente deba"o del divisor.

(emplo.Jallar el *.&.%. de los n;meros 6664 y 496 por el lgoritmo de

uclides.

&ocientes

F 4 B66

6 4

H6664UH49

665E

B9

B 4 6*.&.%.=,U@ 6

(estos 65E B9 B 4 6 5

PR&PI('A'(S '(% M.C.'. '( '&S +KM(R&S.

1. l *.&.%. de dos n;meros divisibles entre si es el menor de ellos.

(emplo9a@ *.&.%.=F5,6455@ F5b@ *.&.%.=4, D@ 4

c@0 0

*.&.%.= 0, @9 9

d@ -i U, *.&.%.=, U@ U=

o

e@ *.&.%.=BCT, 96T@ BCT

2. 2odo divisor com;n de dos n;meros, es divisor del *.&.%. de estos.

(emplo. *.&.%.=645, E5@ F5 . Los divisores comunes 4G FG 9G EG 65 y45. dividen a F5.

B. -i se multiplican o dividen dos n;meros por un mismo n;mero, su*.&.%. queda multiplicado o dividido por dicho n;mero.

(emplo.-i H 645, U H E5. : *.&.%. =645, E5@ F5


2


28/102


aH *.&.%.=B, BU@ 645

H U

*.&.%.= , @ E9 9

=

G. Los cocientes de dividir dos n;meros por su *.&.%. son primos entre

s.

(emplo. *.&.%.=FE, DD@ Dntonces: FE : D H E y DD : D H 66Luego: E y 66 son primos entre s.

5. l *.&.%. de dos n;meros de los cuales uno de ellos est! contenido enel otro, es el menor.(emplo. *.&.%.=69, 695@ 69 *.&.%.=64T, 69T@ 64T=

. l *.&.%. de dos n;meros de la forma:n m=x 6@ y =x 6@ es igual a *.&.%.=n, m@x 6

M#+IM& C&MK+ MK%TIP%&FM.C.M.H

-e llama mnimo com;n m;ltiplo de dos o as n;meros al menor m;ltiplocom;n de esos n;meros.

%e designa por las iniciales *.&.*. *.

s el mnimo com;n m;ltiplo de los n;meros a, b y c, se escribir!:

*.&.*.=a, b, c@ *.&.*.=a, b, c@ *

(emplo.Jallar el *.&.*. de D y E.

*;ltiplos de D: 64G 6EG 4FG B5G BDG F4G FEG 9FG . . .*;ltiplos de E : 6DG 4FG B4G F5G FEG 9DG DFG C4G . . .*;ltiplos com;nes: 4FG FEG . . .

l menor de los m;ltiplos comunes es 4F, luego:

*.&.*.=D, E@ 4F * 4F=


2


29/102

ARITMTICA - 2da. ParteMT&'&S PARA ?A%%AR (% M.C.M.

6. $or descomposicin independiente de los n;meros en sus factores primos.4. $or descomposicin simultanea o al mismo tiempo de los n;meros.B. por el mtodo del *.&.%.

1. P&R '(SC&MP&SICI*+ '( %&S +KM(R&S (+ S$S ACT&R(SPRIM&S.

La descomposicin de los n;meros en sus factores primos, combinada con lacondicin de divisibilidad, nos permite obtener por un procedimiento r!pidoel *.&.*. de dos o varios n;meros, aplicando la siguiente regla.

Re6la. l *.&.*. de varios n;meros, ser! el producto de todos los factoresprimos comunes y no comunes afectados a sus mayores exponentes.

(emplo9Jallar el *.&.*. de 9F5, D55 y C45.

4 B

B 4

F 4

4 4

F B 4

9F5 4 B 9

D55 4 B 9

C45 4 B 9

64D5 4 B 9 C

*.&.*. 4 B 9 C C9D55

=

=

=

=

= =

2. P&R '(SC&MP&SICI*+ SIM$%TA+(A & A% MISM& TI(MP& '( %&S+KM(R&S.

ste mtodo es a;n m!s r!pido que el anterior, y consiste en dividir cadauno de los n;meros dados por su menor divisorG lo propio se hace con loscocientes hasta obtener que todos los cocientes sean 6. l *.&.*. es elproducto de todos los divisores primos.

&omo e"emplo hallemos y comprobemos el *.&.*. con los n;merosanteriores.

9F5

4C5

XXXX

D55

B55

XXXX

C45

BD5

XXXX

64D5

DB5B69

4444


2


30/102

Siempre los primeros, deando !"ella6B9

6B9

6B9

F9699666

XXXXXXX

695

C9C9494949966

XXXXXXX

6E5

A5F96999666

XXXXXXX

B69B69659B9B9CC6

BBB99C

F B 4*.&.*.=9F5, D55, C45, 64D5@ 4 B 9 C*.&.*.=9F5, D55, C45, 64D5@ C9D55

=

=

B. P&R (% MT&'& '(% M.C.'.Teorema. =2eorema fundamental@. l *.&.*. de dos n;meros, es el cocientede dividir su producto por su *.&.%.

U*.&.*.=, U@ *

*.&.%.

= =

Re6la. $ara hallar el *.&.*. de dos n;meros se divide uno de ellos =conpreferencia el menor@, por el *.&.%. de dichos n;meros y el cociente demultiplicar por el otro.

-i *.&.*.=, U@ * , este n;mero afecta las siguientes formas:6ra. = , U @ : *.&.%. G4da. = : *.&.%. @ . U GBra. = U : *.&.%. @ . .

s conveniente saber elegir de ellas la m!s apropiada para demostrar laspropiedades.

PR&PI('A'(S '(% M.C.M. '( '&S +KM(R&S.

6. 2odo m;ltiplo de dos n;meros lo es de su *.&.*. y recprocamente, todom;ltiplo del *.&.*. lo es de los n;meros.

4. -i los dos n;meros dados son primos entre s, el *.&.*. es su producto.$ues si y U son primos entre s, *.&.%. H 6, y eligiendo la primera forma:

*.&.*.=, U@ = U@ :6 U=

(emplo. *.&.*. = E, 46 @ H E 46 H 6DE


B


31/102

ARITMTICA - 2da. ParteB. l *.&.*. de dos n;meros de los cuales uno contiene al otro, es el mayorde ellos.

(emplo.*.&.*. =B5, 645@ H 645 *.&.*. =ET, 6BT@ H 6BT

F. l producto del *.&.%. de dos n;meros por el *.&.*. es siempre igual alproducto de los n;meros.

(emplo.4

4 4

*.&.%. =45, BD@ F45 4 9

*.&.*.=45, BD@ 6E5BD 4 B

=

=

Luego: *.&.*. *.&.%. F 6E5 45 BD =

9. l *.&.*. de dos n;meros es igual al producto de su *.&.%. por loscocientes obtenidos al dividir los n;meros por su *.&.%., es decir*.&.*. *.&.%. q q[ siendo q y qZ los cocientes primos entre s, : *.&.%. y U : *.&.%.

(emplo.45

q 9F *.&.*. =45, BD@ F 9 A 6E5

BDq[ A

F

= =

= =

=

D. -i dos n;meros se multiplican por otro, su *.&.*. queda multiplicado poreste otro.

(emplo.

*.&.*.=, U@ ** = : %@ . U

*.&.%.=, U@ %=

=

=

*.&.%.=n, Un@ *.&.%. n*.&.*.=n, Un@ =n : %n@ .Un \= : %@ .U ]. n * . n

= =

Consec"encia. -i dos n;meros se dividen por un factor com;n su *.&.*.queda dividido por dicho factor.


B1


32/102

Siempre los primeros, deando !"ellaC. Los cocientes de dividir el *.&.*. de dos n;meros por cada uno de ellos,

son primos entre s.

PR&)%(MAS R(S$(%T&S

1. N&u!ntos divisores comunestienen los n;meros: 95F5G DC45 y64D55Oa@ 6D b@ 45 c@ B4d@ F5 e@ 4F

Sol"ci@n9$ara calcular la cantidad de divisorescomunes de 95F5G DC45 y 64D55, sesiguen los dos pasos siguientes:

6.W-e halla el *.&.%.4.W-e halla la cantidad de divisoresdel *.&.%.

s decir:95F5 DC45 64D55 4

4945 BBD5 DB55 4

64D5 6DE5 B695 4

DB5 EF5 69C9 B *.&.%.465 4E5 949 9

F4 9D 659 C

D E 69

B 6 6 6*.&.%. 4 B 9 C *.&.%.^% B 6 6 6 6 6 6 6

*.&.%.^% F 4 4 4 = B4 Rpta.

2. N&u!l es el menor n;mero quetiene como divisores a: FEG A5 y ADO%ar como respuesta la cifra demayor orden del n;mero calculado.a@ 6 b@ 4 c@ Fd@ B e@ 9

Sol"ci@n9

$ara calcular el menor n;mero quecontenga a FEG A5 y AD, basta concalcular el *.&.*. de dichosn;meros.

FE A5 AD 4

4F F9 FE B

E 69 6D 4

F 69 E 4*.&.*.

4 69 F 4

6 69 4 4

6 69 6 69

6 6 6

*.&.*. 4 B 4 4 4 4 69

*.&.*. 6FF5

0os piden la cifra de mayor orden: 6 Rpta.

B. &alcular el *.&.%. de , U y &F B 46 644 BU F4 4F

4 4& BD DBa@ 4AD F4 b@ B9F F4 c@ FD F4d@ B4C F4 e@ 465E F4

Sol"ci@n9%escomponiendo cannicamentecada n;mero:

BF 4 D C F B C B 4 4 B C =

B4 B 66 9 4U 4 B C B 4 4 B C =

44 4 4 F D 4& 4 B B C 4 B C =


B2


33/102


F 9 4*.&.%. ,U,& 4 B C

44 B*.&.%. ,U,& 4 B 4 B C

*.&.%. ,U,&=

465E F4 Rpta.

G. -iendo: n 64 69

nU 69 64dem!s: *.&.%. ,U 6D45

Jallar el valor de )n3 n 6a@ 4 b@ B c@ Fd@ 9 e@ D

Sol"ci@n9

%escomponiendo cannicamente yU

n4 4 n 6 n 4 B B 9 4 B 9= =

n4 4n n 6U B 9 4 B 4 B 9= =

4 n 6 n 6*.&.%. ,U 4 B 9 45 B = = %el dato:

n 645 B 6D45 =

n 6 FB E6 B= =

n 6 F n= =

B Rpta.

. Jallar )n3 en los n;meros:n

n

F9 D5

U D5 F9

=

=

$ara que se cumpla:*.&.*. ,U 64 *.&.%. ,U

a@ 6 b@ 4 c@ Bd@ F e@ 9

Sol"ci@n9%escomponiendo cannicamente yU

n4 4 4n n 4 n 6 B 9 4 B 9 4 B 9 = =

n4 4 4 4n 6 n 6U 4 B 9 B 9 4 B 9 = =

Luego:

4 n 4 n 6*.&.%. ,U 4 B 9 =

4n 4n 6 n 6*.&.*. ,U 4 B 9 =

%el dato:4n 4n 6 n 6 4 n 4 n 64 B 9 64 4 B 9

=

4n 4n 6 n 6 4 n 4 n 64 B 9 64 4 B 9 =

4n 4n 6 n 6 F n B n 64 B 9 4 B 9 = Luego:4n F n 4

=

4n 6 n B n 4= =4 Rpta.

. Jallar dos n;meros cuyo *.&.%.es 64, sabiendo adem!s que loscocientes sucesivos para hallar el*.&.%. por divisiones sucesivasfueron: 6G 4G 4G BG B.a@ DC4 y 66FF b@ 6FF y AFEc@ ECB y AFE d@ DC4 y AFEe@ 9D9 y BFD

Sol"ci@n9-ean y U los n;meros, tal que YU, donde:

*.&.%. ,U 64&ompletando el algoritmo deuclides de derecha a izquierda.

6 4 4 B B U 4CD 645 BD 64

4CD 645 BD 64 5

U 4 4CD 645 DC4 = 6 DC4 4CD AFE =

DC4 y AFE Rpta.


BB


34/102



35/102


x 4 y 6 5 6Dd = ?=6@

x 6 xy 49d= ?=4@

%e =6@ se observa que: x 4>%e =4@ se deduce que:

o

x 6 xy 49 xy C9= =

x C y 9 Luego: x y = 64 Rpta.

1.La suma de dos n;meros es AC4y al determinar el *.&.%. por ellgoritmo de uclides se obtienen los

restos B5G CG aG bG 5 donde ladiferencia entre a y b es 6. Jallar elmayor de los n;meros si los dosprimeros cocientes son iguales.a@ E69 b@ DBC c@F4Ad@ B4F e@ 69C

Sol"ci@n9%el enunciado: U AC4

=

?=@

dem!s: q q Bq Fq 9q

U B5 C a bB5 C a b 5

Luego: U B5q C ?=6@ qU B5 ?=4@(eemplazando =4@ en =@:

qU B5 U AC4 =

U q 6 AF4=%e =6@:

B5q C q 6 AF4 =

B5q C q 6 69C D =

q 6 D q 9= =

U B5q C 69C =

AC4 69C = E69 Rpta.

11.Jallar dos n;meros primos entres, que se diferencian en C unidades

y que adem!s su *.&.*. es BB5. %arcomo respuesta la suma de cifras delmenor de dichos n;meros.a@ F b@ 9 c@ Dd@ C e@ E

Sol"ci@n9-i y U son )primos entre si3 =$-'@,entonces:

*.&.%. ,U 6

*.&.*. ,U U

Luego, del enunciado: 44 U C

U BB5 U 69

=

=

=

=

0os piden la suma de cifras de U, esdecir:

6 9 = D Rpta.

12.l cociente de dos n;meros es6B, si el *.&.*. de y U es B64.&alcular la suma de dichos n;meros.a@ BFD b@ B9F c@BBDd@ B9D e@ BB4

Sol"ci@n9-i )3 es m;ltiplo de U3 =YU@,entonces:

*.&.%. ,U U menor

*.&.*. ,U mayor

Luego, del enunciado:

o B646B U U 4FU 6B B64

=

= =

0os piden: U=

BBD Rpta.


B


36/102


1B.La suma de dos n;meros es 44Fy su *.&.%. es 4E. Jallar la diferenciade dichos n;meros =una de [email protected]@ 64F b@ EF c@ 664d@ 9D e@ 4E

Sol"ci@n9-ean y U dos n;meros, siendo

U y adem!s: *.&.%. ,U d ,entonces:

6 4 dq U dq =

=siendo 6q y 4q )primos entre si3@n el problema:

U 44F=

?=6@ d 4E 6 4Eq G 4U 4Eq(eemplazando en =6@:

6 44Eq 4Eq 44F=

6 4q q E

+ = 6 4q q

C 6

9 B

-e presentan 4 soluciones: 4E C 6AD

U 4E 6 4E

= =

= =

U 6DE =

4E 9 6F5

U 4E B EF

= =

= =

U = 9D Rpta.

1G.l producto de dos n;meros es4655 y su *.&.%. es 65. Jallar ladiferencia de dichos n;meros.

a@ E5 b@ C5 c@ D5d@ 95 e@ F5

Sol"ci@n9

%el enunciado: U 4655= ?=6@

d 65

-abemos que: 6 dq

4U dq

Luego: 6 65q 4U 65q

(eemplazando en =6@: 6 465q 65q 4655

6 4q q 46

= 6 4q q

46 6

C B-e presentan 4 soluciones:

65 46 465

U 65 6 65

= =

= =

U 455 =

65 C C5

U 65 B B5

= =

= =

U = F5 Rpta.

1.La razn de dos n;meros y U esF9Q45, si el *.&.*. =,U@HA55. Jallar)3.a@ 4C9 b@ 449 c@455d@ B49 e@ 6C9

Sol"ci@n9

-ean y U dos n;meros, luego:*.&.%. ,U d

*.&.*. ,U m

dem!s: 6 4 dq U dq =

-e cumple: 6 4m dq q

n el problema:6

4

dq F9 F9U 45 dq 45

=

&omo 6q y 4q son )$-'3, entonces:

66

44

q Aq Aq Fq F

=

=

=

6 4m dq q

A55 d A F

d 498inalmente: 49 A = 449 Rpta.


B


37/102


1.La suma de n;meros es 9F5 y su*.&.%. es F9. Jallar la diferencia dedichos n;meros.a@ F99 b@ 645 c@656d@ 449 e@ 649

Sol"ci@n9 U 9F5= se sabe que:

mcd F9U mcd U F9= =

= =

F9= @ 9F5=

= @ 64= , como alfa y beta debende ser primos entre si elegimos lossiguientes valores para ambos.

66 y C

6 y 9

=

=

luego se tiene dos

respuestas U F9 =66 6@ F95 U F9 =C 4@ 449 = =

= =

449 Rpta.


1. Jallar el *.&.%. de B6E9 y 4FB6a@ 9 b@ 6 c@ 6Bd@ 6EC e@ 6C

2. Jallar el *.&.*. de 64EEG 65B9a@ 6BBB5E5 b@ ADD5 c@B9FC6d@ 9CAD5 e@ 4EAE5

B. -e tiene B barras de metal de9F5: FE5 y BD5 mt. de longitudrespectivamente, si se quierepartirlos en pedazos de igualtamao, Ncu!l es el m!ximo delongitud que pueda tener cadapedazoOa@ 4E b@ B5 c@ F9d@ F5 e@ D5

G. -e tiene B barriles de leche decapacidades 955G C95 y BC5 litrosrespectivamente. -e quiererepartirlos en botellones pequeosde igual capacidad. Jallar ladiferencia entre el menor n;mero debotellas que resulten y la capacidadde cada una de estas.a@ 6FE b@ 694 c@ 6CF

d@ 6EF e@ 654

. -e tiene recipientes con D96, 696A y 6 6FC litros de vino. Jallarcuantos envases iguales se usarancomo mnimo para envasar el vinode tal manera que no sobre nada.a@ 65C b@ CF c@ B6d@ 46C e@ 6FC

. n una carrera donde participan Bciclistas el primero logra dar lavuelta en D5 seg.G el segundo en E5seg. y el tercero en 95 seg. -i parten

"untos luego de cu!nto tiempollegar!n "untos a la meta.a@ 45 min. b@ 65 hrs. c@ 45hrs.d@ 645 min. e@ 6DF555 seg.


38/102


. Jallar el *.&.%. de BFE5 y 4F5 porel lgoritmo de uclides, y responderla suma de los cocientes sucesivos.a@ 64 b@ 6F c@ 69d@ 45 e@ 6D

. Jallar el *.&.%. de FB5 y 9C5 porel algoritmo de uclides y responderel tercer cociente.a@ 64 b@ 6F c@ 69d@ 6E e@ B

1. Jallar el mayor de dos n;meroscuyo *.&.%. es F y los cocientessucesivos al encontrar dicho *.&.%.

por el lgoritmo de uclides son 6G 6G4G y Ba@ EF b@ F5 c@ DEd@ F9 e@ CE

11. Jallar la diferencia de 4 n;meroscuyo *.&.%. es 4 y los cocientesobtenidos al encontrar dicho *.&.%.por el lgoritmo de uclides son: 4G6G B y 4.

a@ B4 b@ 6E c@ F5d@ 95 e@ D5

12. Jallar el menor de dos n;meroscuya suma es 6EF y los cocientessucesivos al encontrar su *.&.%. porel algoritmo de uclides son: BG 9 y4.a@ 645 b@ 6F5 c@ E5d@ FF e@ EE

1B. Jallar la suma de los cocientespor exceso al Jallar el *.&.%. por elalgoritmo de uclides de 4CB y 6B6a@ FD b@ FF c@ F4d@ F9 e@ FB

1G. Jallar LI2 si en el c!lculo del

*.&.%. de LL y 22 se hallaron

los siguientes cocientes sucesivos: 6G6 y F =L y 2 son $-_@a@ 64 b@ 6F c@ E

d@ 69 e@ 6B1. l calcular el *.&.%. de los

n;meros abbc y cbba por el

algoritmo de uclides, los cocientesfueron: 4G 4G 6G 6 y 4. Jallar a x b x c,si [email protected]@ F9E b@ DA4 c@ F4d@ AD e@ BD

1. -i el *.&.%. de dos n;meros es E yla suma de las mismas es AD. Jallarel mayora@ F5 b@ AD c@ 9Dd@ 6 e@ E5

1


39/102

ARITMTICA - 2da. Parte2. -i 0 H 4x . BB . 9Cy $ H 49 . By . CM Gadem!s el *.&.%.=0G$@H6FF. JallarPxIyP.a@ 9 b@ D c@ Cd@ E e@ A

21. -i:*.&.%. =BGBU@HB y *.&.*. [email protected] la diferencia de y U.a@ 6 b@ 4 c@ Bd@ F e@ 9

22. &u!l es el menor n;mero que aldividirlo entre FG BG D y C siemprede"a 4 de residuo. %ar comorespuesta la suma de sus cifras:

a@ 64 b@ 6F c@ 6Dd@ 69 e@ 6B

2B. &u!l es el menor n;mero que aldividirlo entre 9G CG 65 y 64 siemprede"a B de residuo, dar comorespuesta la suma de sus cifrasa@ 6B b@ 64 c@ 66d@ 6C e@ A

2G. -i el *.&.%. de 4 n;meros es A yel *.&.*. es 494, hallar a diferenciade ellos.a@ EF b@ DB c@ 4Cd@ EF e@ 69

2. Jallar el *.&.%. de BQF y DQA.a@ 6EQ69 b@ BQBD c@ BQF

d@ BQ6F e@ FQA

2. Jallar el *.&.*. de BQF y DQA.a@ DQF b@ 4QB c@FQBd@ BQF e@ D2


40/102

Siempre los primeros, deando !"ellalitros respectivamente. -e quiererepartirlos en botellones de igualcapacidad cada una. N&u!l es lacantidad de botellones queresultaran despus de repartirloOa@ 695 b@ 46 c@ 44d@ 4B e@ 4E

BG. /na persona va a la piscina cadaB das, al gimnasio cada 9 das y alcampo cada C das. -i el 9 de agosto,realiz las B actividades. N&u!l es lafecha m!s prxima en que volver! arealizar las B actividadesOa@ 6A 0ov. b@ 6D 0ov. c@ 450ov.

d@ 69 0ov. e@ 6E 0ov.

B.2res ciclistas parten de un mismopunto de una pista circular de B D55m de circunferencia, con velocidadesde D5, F9 y F5 mQmin.respectivamente y terminan lacarrera cuando los tres llegaron almismo tiempo al punto de partida.N&u!ntas veces en el transcurso de

la carrera se encontraron con & sincontar el #nalOa@ 6 b@ 4 c@ Bd@ F e@ m!s de F

B. -e dispone de un terreno deforma rectangular de dimensiones deFE5 mt. por C4 mt. y se deseasembrar, ntegramente con !rbolesequidistantes a lo largo y ancho del

terreno, de modo que haya uno encada vrtice. N&u!ntos !rboles ser!nnecesariosOa@ E5 b@ EA c@ EEd@ EF e@ E4

B


41/102


GB. Jallar el menor de dos n;meroscuyo *.&.*. es 9D5 y los cocientessucesivos al encontrar su *.&.%. porel algoritmo de uclides son: 9G 6G 4y 4.a@ 6F b@ 6A c@ 4Fd@ FE e@ CE

GG. l hallar el mcd de dos n;merospor algoritmo de uclides loscocientes sucesivos son 6G FG 6G 6 i 4.-i la suma de los dos n;meros esB9C, cu!l es el mayor, dividido entredos.a@ 6AD b@ FA c@ AE

d@ CE e@ FE

G. Jallar )aIbIc3G sabiendo que loscocientes sucesivos al calcular el*.&.%. por el algoritmo de uclides

de los n;meros: a=a F@a y=a F@bc

fueron: 6G 6G 6 y B.a@ 66 b@ 6B c@ 6Cd@ 46 e@ 44

G. Jallar el *.&.*. de dos n;meros$-' los cocientes sucesivos por elalgoritmo de uclides son6G6G6G6G6G6G4a@ C6F b@ 9D5 c@ BFd@ 6456 e@ 46

G


42/102

Siempre los primeros, deando !"ella U H =4494X 6@

a@ C b@ A c@ 65d@ B e@ E


43/102



44/102

Siempre los primeros, deando !"ella` (azn aritmtica o por diferencia` (azn geomtrica o por cociente

RAO*+ ARITMTICA & P&R 'I(R(+CIA9

s cuando se comparan dos cantidades mediante la operacin de lasustraccin y consiste en determinar en cu!nto excede una de las cantidadesa la otra.

(emplo9&antidad de canicas de 8hary: 46&antidad de canicas de +imi: Cntonces diremos que el n;mero de canicas de 8hary excede al de +imi en6F.

arazn aritmtica valor de la razn

antecedente consecuente 46 C 6F =DFFFFFFFFFFCFFFFFFFFFFE DFFFFCFFFFE6FFF4FFFB

RAO*+ 5(&MTRICA & P&R C&CI(+T(9s cuando se comparan dos cantidades mediante la operacin de la divisiny consiste en determinar cu!ntas veces una de las cantidades contiene a laotra cantidad."emplo:&antidad de canicas de 8hary : 46

&antidad de canicas de +imi : Cl n;mero de canicas de 8hary es tres veces el n;mero de canicas que tiene+imi.

PR&PI('A'(S '( %AS RAO&+(S ARITMTICAS & P&R 'I(R(+CIAS

&omo la razn aritmtica o por diferencia de dos cantidades no es m!sque la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de lasrazones aritmticas ser!n las propiedades de toda resta o diferencia:

-i al antecedente de una razn aritmtica se le suma o se le resta unn;mero, la razn queda aumentada o disminuida en ese n;mero.


GG

antecedente

consecuente

46 B

C =

valor de la razn

razn geomtrica


45/102


=a 0 b r 0 =a 0 b r 0

-i al consecuente de una razn aritmtica se le suma o resta un n;mero,la razn queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundoen el mismo n;mero.

=a b 0 r 0 =a b 0 r 0

-i al antecedente y consecuente de una razn aritmtica se suma o restaun mismo n;mero, la razn no vara.

=a 0 b 0 r =a 0 b 0 r

PR&PI('A'(S '( %AS RAO&+(S 5(&MTRICAS & P&R C&CI(+T(S

&omo la razn geomtrica o por cociente de dos cantidades no es m!s queuna divisin indicada o un quebrado, las propiedades de las razonesgeomtricas ser!n las propiedades de los quebrados:

-i el antecedente de una razn geomtrica se multiplica o divide por unn;mero, la razn queda multiplicada o dividida por ese n;mero.

a 0r 0

b

=

a 0r 0

b

=

-i el consecuente de una razn geomtrica se multiplica o divide por unn;mero, la razn queda dividida en el primer caso y multiplicada en elsegundo por ese mismo n;mero.

ar 0

b 0=

ar 0

b 0=

-i al antecedente y al consecuente de una razn geomtrica se multiplicao divide por un mismo n;mero, la razn, no vara.

a 0 rb 0

=

a 0 rb 0

=

&seraci@n9&uando no se indique la razn, se asumir! que es una razngeomtrica.

PR&P&RCI*+9


G


46/102


&uando se tiene la i6"aldad de dos razones del mismo tipo =ambasaritmticas o ambas geomtricas@.&uando 4 razones tienen el mismo valor, se dice que guardan la mismaproporcin o que dichas razones son equivalentes, por lo tanto, al igualarlasse forma lo que se denomina una proporcin.

xisten dos tipos de proporcin: ('2*2'& y >*2('&.

PR&P&RCI*+ ARITMTICA & (Q$I'I(R(+CIA

s la igualdad de dos razones aritmticas equivalentes.xisten:

Proporci@n discreta9 &uando todos los trminos de la proporcinaritmtica son diferentes entre s.

a b c d=

n esta ecuacin aparece un trmino especial:

d es la cuarta diferencial de aG b y c.

dem!s )a y d3 se llaman trminos extremos y )b y c3 se llaman trminosmedios.

Proporci@n contin"a9 &uando los trminos medios de la proporcin

aritmtica son iguales.a b b c

=

n esta ecuacin aparecen dos trminos especiales:

b es media diferencial de a y c

c es tercera diferencial de a y b

PR&P&RCI*+ 5(&MTRICA & (Q$IC&CI(+T(

s la igualdad de dos razones geomtricas equivalentes.xisten:

Proporci@n discreta9 &uando todos los trminos de la proporcingeomtrica son diferentes entre s.


G


47/102

ARITMTICA - 2da. Partea c

b d

n esta ecuacin aparece un trmino especial:

d es la cuarta proporcional de aG b y c.

dem!s )a y d3 se llaman trminos extremos y )b y c3 se llaman trminosmedios.

Proporci@n contin"a9 &uando los trminos medios de la proporcingeomtrica son iguales.

a b

b c

n sta ecuacin aparecen dos trminos especiales:

b es media proporcional de a y c

c es tercera proporcional de a y b

PR&PI('A'(S PARA $+A PR&P&RCI*+

$ara la proporcin: a c b d se cumple que:

a b c d

b d

=

a cb a d c

a b c d

b d

=

a cb a d c

a c a cb d b d

= =

a b c da b c d

=

PR&PI('A'(S PARA $+A S(RI( '( RAO&+(S 5(&MTRICAS(Q$IA%(+T(S

xiste una serie de razones geomtricas equivalentes cuando se igualanvarias razones geomtricas como:

6 4 B n

6 4 B n

a a a a .... M =razn@b b b b

= = = =


G


48/102


I.- La suma de los antecedentes sobre la suma de los consecuentes+&hacevariar la razn, es decir, la razn permanece constante:

6 4 B n6 4 B n

a a a .... a M = razn @b b b ... b

=

II.- l producto de los antecedentes sobre el producto de los consecuenteshace variar la razn. La razn se eleva a la cantidad de razones que seutilizan:

n6 4 B n

6 4 B n

a a a .... a M =razn@

b b b ... b

=

PR&)%(MAS R(S$(%T&S

1. La suma de dos n;meros es F95 yla relacin entre ellos es como C es aE. Jallar el n;mero menor.a@ BD5 b@ 4F5 c@B55d@ 465 e@ F55

Sol"ci@n9

-ean los n;meros )a3 y )b3 queest!n en la relacin:a Cb E

por proporcionalidad se tiene

a CMb EM

entonces a#rmamos que:

a CM y b EM=

(eemplazando en la condicin:a b F95CM EM F9569M F95M B5

=

=

=

=

&omo pide hallar el menor:a CM C=B5@= = 465 Rpta.

2. Las edades de +imi y 8hary estanen la relacin de 66 es a 65, si haceA aos las edades estaban en larelacin como E es C. N&u!l ser! laedad de 8hary cuando su hi"o tenga

45 aos, si decide tenerlo cuando+imi tenga B9 aosOa@ BD b@ FE c@ 95d@ C5 e@ 94

Sol"ci@n9

dad de +imi H dad de 8hary H U 66 66M

U 65 U 65M

=

ntonces se tiene quedad de + imi 66M

dad de + imi 65M

Jace A aos la relacin fue:66M A E65M A C

=


G


49/102

ARITMTICA - 2da. Parte%espe"ando la ecuacinC=66M A@ E=65M A@CCM DB E5M C4BM AM B

=

=

=

=

Luego las edades son:dad de + imi H H66MH66=B@HBB aosdad de 8hary H UH65MH65=B@H B5 aosLuego cuando +imi tenga B9 aoshabr!n pasado 4 aos entonces naceel hi"o de 8hary,ntonces la edad de 8hary cuando suhi"o cumpla 45 aos ser!:

dad de 8hary I 4 aos I 45

B5 I 4 I 45 H 94aos Rpta.

B. melia tuvo su hi"o a los 6E aos,ahora su edad es a la de su hi"ocomo E es a 9. N&u!ntos aos tieneel hi"oOa@ BD b@ 4F c@ B5d@ 45 e@ F5

Sol"ci@n9%el enunciado se tiene que:

0aci hi"o %entro de PnP aos

melia 6E nI6E

Ji"o 5 n

Luego:n 6E E

n 9

=

plicando propiedad deproporciones:

n 6E n E 9

n 9

=

6E B nH

n 9 B5 aos Rpta.

G. n una #esta se observ que porcada E mu"eres haba 9 hombres.dem!s el n;mero de mu"eresexcede al n;mero de hombres en 46.N&u!l ser! la nueva relacin dehombres a mu"eres si se retiran 6Fpare"asOa@ 4:B b@ 4:9 c@F:Cd@ 6:4 e@ B:9

Sol"ci@n9* : ^ de mu"eres1 : ^ de 1aronesLuego de los datos:* E

*HEM G JH9M1 9

? = ' @* J 46= ? = '' @(eemplazando = ' @ en = '' @:EM 9M 46 MHC= * EM *H9D1 9M 1HB9

-i se retiran 6F pare"as =6F varones y6F mu"eres@Ruedan: 1 B9 6F 46

=

* 9D 6F F4 =ntonces la nueva relacin es:

6

6

J 46 6* F4 4

= = 6: 4 Rpta.

. n un estadio colmado, concapacidad para F9 555espectadores, la relacin de hinchasdel equipo local a la de los visitanteses de 9 a B. Luego de los goles delequipo visitante, la decepcin hace

abandonar a los hinchas del equipolocal y slo a ellos, cambiando larelacin en orden inverso, -i slohaban en el estadio hinchas deambos equipos. N&u!ntosabandonaron el estadio antes del#nalO


G


50/102

Siempre los primeros, deando !"ellaa@ 6C 955 b@ 6F 955 c@6D 555d@ 6E 555 e@ 69 555

Sol"ci@n9L : ^de hinchas del equipo de local1 : ^de hinchas del equipovisitante.Luego, de los datos:L 1 F9 555= ? = ' @L 9

LH9M G 1HBM1 B

? = '' @

(eemplazando = '' @ en = ' @9M BM F9 555 MH9 D49

=

L 9M LH4E 649

1 BM 1H6D EC9

%espus de los goles del equipovisitante se retiran )n3 hinchas delequipo local m!s ninguno del equipovisitante, de esta manera la relacinse invierte, es decir:

B4E 649 n nH6D EC9 9

= 6E 555 Rpta.

. n una gran"a hay )n3 aves entrepatos y gallinas. -i el n;mero depatos es a )n3 como C es a 64 y ladiferencia entre el n;mero de patosy el n;mero de gallinas es 6D. N&u!lser! el n;mero de patos quedeber!n sacri#carse para que larelacin sea AQ65 =de patos agallinas@Oa@ 6E b@ 4C c@ 45

d@ 69 e@ 4F

Sol"ci@n9$ : ^ de patos> : ^ de gallinasLuego, de los datos:` $ > n

=

? = ' @

`$ C

$HCM G nH64Mn 64

? = '' @

%e = ' @ y = '' @CM > 64M >H9M= dem!s:

$ > 6D=

CM 9M 6D MHE= $H9D y >HF5

-ea )x3 el n;mero de pollos que sesacri#can para que a razn sea AQ65,es decir:$ x A 9D x A

> 65 F5 65

= =

9D x BD xH=

45Rpta.


51/102

ARITMTICA - 2da. Parte&omo yo observo que todos puedenbailar, entonces se debe cumplir:6FM 4 6 6BM =

M Bctualmente el ^ de nias es:

DM CM=

BARpta.

. La media aritmtica de )a3 y F5es BB,9 y la media geomtrica de )a3y )b3 es 6E. 'ndicar el valor de )b3.a@ 65 b@ 66 c@ 64d@ 6B e@ 6C

Sol"ci@n9a F5

BB,94a F5 DC

a 4C

=

=

=

4C

ab 6E

=

4Cb B4F b H 64 Rpta.

. 4 n;meros est!n en la relacin de

D a 66 y su diferencia es 45. %como respuesta la suma de ellos.a@ D9 b@ DE c@ DBd@ D5 e@ FE

Sol"ci@n9a DMb 66M66M DM 45

9M 45M F

=

=

=

a 4Fb FF=

=

a b 4F FF= = DE Rpta.1.4 n;meros est!n en la relacinde F a 66, si la suma de ellos es69D5. %e cmo respuesta el menor:

a@ FC4 b@ E6D c@FBDd@ C64 e@ F6D

Sol"ci@n9a FMb 66MFM 66M 69D5

69M 69D5M 65F

=

=

=

a = F6D Rpta.

11.La diferencia de 4 n;meros es6F5 y su razn es BQ4. %etermine elmenor de ellos.

a@ 645 b@ 4B5 c@4E5d@ B54 e@ 6EF

Sol"ci@n9a b 6F5

BM 4M 6F5M 6F5

=

=

=

b 4=6F5@= 4E5 Rpta.

12.-i el valor de la razn aritmticay geomtrica de 4 n;meros es 9.N&u!l es la suma de dichos n;merosO

a@B5E

b@45B

c@694

d@ E e@ 69

Sol"ci@n9a 9M

b 6M9M 6M 9

9M

F

=

=

9a b D

F

= =

69

4 Rpta.


1


52/102

Siempre los primeros, deando !"ella1B.n un corral, el n;mero de patosexcede al n;mero de pavos en C9.dem!s se observa que por cada Epatos hay 9 pavos. N&u!l es eln;mero de patos y pavos que hay enel corralOa@ 6A45 b@ B49 c@ A55d@ CF5 e@ BC9

Sol"ci@n9$at EM$av 9MEM 9M C9

BM C9M 49

=

=

=

$at $av EM 9M=

$at $av 6BM=

$at $av 6B=49@=

$at $av = B49 Rpta.

1G. una #esta concurrieron 455personas entre varones y mu"eresasistieron B varones por cada 4mu"eres, luego de F horas por cada 4

varones hay una mu"er. N&u!ntaspare"as se retiraronOa@ 65 b@ 69 c@ 45d@ F5 e@ 49

Sol"ci@n9Antes91 BM* 4M

BM 4M 455

9M 455M F5

=

=

=

1 645* E5==

'esp"4s9645 x 4E5 x 6

=

645 x 6D5 4x=

x = F5 Rpta.1.%e un grupo de C5 personas seobserva que la cantidad de varonesque fuman es a la cantidad demu"eres que no fuman como 4 es a9, y la cantidad de varones que nofuman es la cantidad de mu"eres quefuman como B es a F. %eterminecu!ntas personas fuman.a@ FE b@ B9 c@ BEd@ F9 e@ B5

Sol"ci@n9

8

08

1 4M* 9M

y08

8

1 BM* FM

$rimero traba"emos con el total.

4M 9M BM FM C5

6FM C5M 9

=

=

=

hora slo las personas que fuman.

8 81 *

4M FM DM D=9@= = =B5 Rpta.

1.n una #nca el n;mero de

!rboles es al n;mero de 4m . dedicha #nca como F es a 9. -i despusde podar 6C9 !rboles, la nuevarelacin es de B a 9. %eterminarcu!ntos !rboles haba inicialmente.a@ D55 b@ C55 c@EC9d@ 949 e@ DC9

Sol"ci@n9

Antes9

4

!rboles FM9M^ m

=

'esp"4s9


2


53/102

ARITMTICA - 2da. ParteFM 6C9

9

B

M 9FM 6C9 BM

M 6C9 =

=

!rboles H F=6C9@ H C55 Rpta.

1


54/102


a b c 655 = . %etermine: )c3

a@ 449 b@ 46D c@649d@ F449 e@ 4549

Sol"ci@n9a b c

M49 BD E6

= =

$or propiedad:

a b c 655

49M BDM E6M 655

9 M D M A M 655

45

=

=

=

6

M 6559

M 49(eemplazando: c E6=49@ c = 4549 Rpta.

21.n una serie de razonesgeomtricas equivalentes, los

antecedentes son: 4G BG C y 66. lproducto de los consecuentes esBCF44. Jallar la suma de losconsecuentes:a@ FD b@ FE c@ DFd@ DA e@ C4

Sol"ci@n94 B C 66

Ma b c d

= = =

$ropiedad $roducto:

F4 B C 66 Mabcd

FD4

=

6

BCF44

F

E6

M

6M

B

=

=

$ropiedad -uma:4 B C 66 6a b c d B

=

4B 6a b c d B

a b c d = DA Rpta.

22.Los antecedentes de variasrazones geomtricas equivalentesson: 4G BG F y 9, el producto delprimer antecedente y los B ;ltimosconsecuentes es F66D5. La suma delos consecuentes es:a@ AE b@ AF c@ A9d@ AD e@ AC

Sol"ci@n94 B F 9

Ma b c d

= = =

/semos el dato:4bcd F66D5bcd 459E5

=

=

hora por propiedad producto en las

B ;ltimas razones, se tendr!:


G


55/102

ARITMTICA - 2da. ParteBB F 9 M

bcd

D5

=

6

459E5

B

BFB

M

6M

C

=

=

hora por propiedad suma:

4 B F 9 6a b c d C

=

6F 6a b c d C

a b c d = AE Rpta.


1. Jallar la media diferencial de

9 y A9a@ 95 b@ F5 c@ B5d@ 45 e@ 65

2. Jallar la tercera diferencial deB y Aa@ 6D b@ 6F c@ 69d@ 6E e@ 45

B. Jallar la cuarta diferencial de

9, C y 66a@ 65 b@ 64 c@ 6Bd@ 66 e@ A

G. Jallar la cuarta proporcionalde D, 4 y Aa@ B b@ D c@ Fd@ E e@ A

. Jallar la media proporcional

de C y 4Ea@ 6D b@ 69 c@ 6Fd@ 6B e@ 66

. Jallar la tercera proporcionalde F y 64a@ BE b@ BD c@ F5d@ E5 e@ 6D


56/102

Siempre los primeros, deando !"ella11. /no de los trminos medios deuna proporcin continua, es mediaproporcional de B y 9 y uno de losextremos es la media aritmtica deestos mismos n;meros, el valor delotro extremo de la proporcin es:a@ 9Q4 b@ DQB c@6FQ9d@ 69QF e@ AQF

12. La tercera proporcional entre AQFy BQE es:a@ 6DQA b@ AQF c@6Q6Dd@ 6D e@ F

1B. La razn de un n;mero y sureciproco es DF. hallar dicho n;mero.a@ 9 b@ F c@ Ed@ A e@ 66

1G. %os n;meros est!n en la mismarelacin como B es a 4, si la suma delos n;meros es D5. l n;mero mayores:a@ BD b@ 4F c@ F4

d@ D e@ 95

1. %os n;meros est!n en la mismarazn de F es a D, si la suma de losn;meros es 95. l n;mero menor es:a@ B5 b@ 6F c@ 45d@ E e@ 6D

1. La diferencia de dos n;meros es4FF y est!n en relacin de C a B.

N&u!l es el mayor de los n;merosOa@ F4C b@ 6EB c@49Cd@ 694 e@ ADB

1


57/102


2B. -i:666 4444 BBBBB

aaa bbbb ccccc

= = =

dem!s: 4 4 4a Fb Ac BA4 =

.Jallar: )aIbIc3

a@ D b@ 65 c@ 64d@ 69 e@ 6D

2G. n la siguiente serie de razones

equivalentes: U & %m n p q

= = , la

suma de los antecedentes es 64 y lasuma de los consecuentes es C9N&u!l es el valor de

m Un &p %q

.

a@ 4D b@ 49 c@ B5d@ E5 e@ F5

2. Los antecedentes de variasrazones equivalentes son B, F, 9 y Dsi la suma de los dos primerosconsecuentes es 4E. Jallar los dos;ltimos.a@ 45 y 4F b@ B5 y 4D c@ F5 y6Ed@ D5 y 45 e@ 45 y B5

2. -e tiene que:

bbbb cccc ddd65 b

cccc dddd eee= = =

dem!sb

&4

. Jallar ) be cd 3

a@ 5 b@ 4 c@ Fd@ D e@ E

2


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Siempre los primeros, deando !"ellaBG. Jallar la cuarta proporcional deF5, 45 y D5a@ 45 b@ 69 c@ F9d@ B9 e@ B5

B. Jallar la media geomtrica de Ay 6Da@ 64 b@ 6D c@ 6Fd@ 6E e@ 44

B. Jallar la tercia geomtrica de C y46a@ DB b@ D5 c@ F5d@ E5 e@ 6D

B


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ARITMTICA - 2da. Partea@ 6D5 b@ 4D5 c@BD5d@ AD5 e@ FD5

G. , U y & son confeccionadores depolos. La produccin de los

confeccionadores y U est!n enrelacin de 64 a C y la produccin deU y & est!n en relacin de 46 a 6D./n determinado da confeccion 45polos m!s que &. N&u!ntos polosconfeccion U ese daOa@ 6F b@ BD c@ 46d@ FE e@ 45

Geomtrica

continua, el producto de los Ftrminos es 64AD y el producto delos antecedentes es 4F. Jallar latercia proporcional.a@ D b@ A c@ Ed@ 65 e@ 64

G. La suma de tres n;meros 6F495, el 6ro es al 4do como 66 es a By la diferencia del 6ro y 4do es D55.

ntonces el doble producto delmayor y menor es:a@ 9 AF5 555 b@ D 555555c@ 995 555 d@ F E55 955e@ 9 555 555

G. n un nido de infantes la relacinentre el n;mero de nios y nias esde F a B. -i despus de 4 horas E

nios son recogidos por su mama y ala vez llegan 9 nias. ntonces lanueva relacin ser! de 4 a C.N&u!ntas nias quedan en el nidoOa@ 65 b@ 64 c@ 6Fd@ 69 e@ 6D

. n una proporcin geomtricadiscreta, la diferencia entre losmedios es 6F. Jallar uno de lostrminos medios si se sabe que elproducto de los cuatro trminos de laproporcin es 4D56.a@ B b@ D c@ 6Fd@ E e@ 64

1. n una proporcin >eomtrica derazn CQE la suma de sus trminos es9E9 y la diferencia de losconsecuentes es 9D hallar el mayorde los antecedentes.a@ 6D6 b@ 664 c@64E

d@ 6EF e@ 655

2.a c 49b d A

= y b d 69=

,

b d B= . Jallar: a a c c .a@ B95 b@ F95 c@695d@ 495 e@ B45

B. l corredor da a U una venta"a

de 45 metros en una carrera de 655m.G en otra carrera de 655 m. elcorredor U da a & B5 m. de venta"aNRue venta"a deber! dar a & enuna carrera de 655 m.Oa@ 45 b@ B5 c@ FFd@ D4 e@ 9D

G. -i * (B D C A

= = , y

* ( 495 = . Jallar la suma de

las cifras ) ( 3.a@ 665 b@ 645 c@6F5d@ 6E5 e@ 6D5

. -i:B4 b c Fb c F e

= = .

Jallar )e3 siF

e

.



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Siempre los primeros, deando !"ellaa@ 6 b@ 4 c@ Bd@ F e@ E

. -i 9, b, 45, d y eG forman unaserie de razones equivalentescontinuas calcular )e3a@ 95 b@ D5 c@ C5d@ E5 e@ A5


61/102

ARITMTICA - 2da. Parted@ FE44 e@ DD9D

. %os n;meros son entre si como Ces a 6B si al menor se le suma 6F5,para que el valor de la razn no sealtere, el valor del otro n;mero debequintuplicarse. Jallar el mayor de losdos n;meros.a@ 99 b@ F9 c@ D9d@ E9 e@ A9


62/102

Siempre los primeros, deando !"ellaedad de Uethy suman CE NJallar susedadesOa@ D y 64 b@ 6E y 6F c@ F y65d@ A y E e@ 9 y 65

. La suma de dos cantidadesinversas es a la suma de lascantidades como B es a F. si una deellas es el triple de la otra. Jallar lamayor.a@ 4 b@ 4QB c@ BQ4d@ AQF e@ C

1. n una conferencia deprofesores, antes del receso eln;mero de varones es al n;mero demu"eres como A es a 9G si despus

del receso hay E varones y F mu"eresmenos, con lo cual la razn devarones a mu"eres es CQF. N&u!ntosvarones haba antes del recesoOa@ 45 b@ 49 c@ BDd@ B9 e@ F5

2. n una proporcin geomtricacontinua, los trminos extremos sonentre si como F es a A. -i la suma delos trminos de la primera razn es

F5 Nhallar la suma de losconsecuentesOa@ F9 b@ 95 c@ D5d@ C5 e@ E5

B. -e tiene una proporcinaritmtica continua, donde la sumade sus cuatro trminos es 455 y ladiferencia de sus extremos es 4E.Jallar los extremos.a@ DF y BD b@ 95 y BD c@ F y Ed@ A y 6D e@ D5 y C5

G. n una reunin de camaraderapor cada 9 hombres adultos queentran ingresan D nios y por cada Bmu"eres adultas que entran ingresanE nias. -i en total ingresaron 9C4nios y el n;mero de hombres es aln;mero de mu"eres como C es a F.

N&u!ntos hombres asistieron a dichareuninOa@ 645 b@ 465 c@B45d@ F65 e@ 955

. Jallar la razn de una proporcingeomtrica continua, sabiendo quela suma de sus trminos extremos esa su diferencia como 49 es a 4F.a@ 9 b@ D c@ Cd@ E e@ A

. l producto de los trminosextremos de una proporcingeomtrica es BD y la suma de lostrminos medios es 64. N&u!l es ladiferencia entre los trminos mediosO

a@ 6 b@ 4 c@ Bd@ 5 e@ F


63/102

ARITMTICA - 2da. Partea@ 45 b@ F5 c@ D5d@ E5 e@ 65

. n una proporcin >eomtricacontinua la suma de sus trminosextremos es BF y su diferencia es

6D. Jallar la media proporcional.a@ 6F b@ 6D c@ 66d@ 65 e@ 69

1. n una proporcin geomtricacontinua la suma de sus extremos es45 y su diferencia es 6D. N&u!l es sumedia geomtricaOa@ 9 b@ D c@ Cd@ E e@ A

2. /n "ugador le da venta"a a otroU F5 carambolas para 655 y U le daventa"a a otro & D5 carambolas para655. N&uantas carambolas debe dar a & en un partido de 655Oa@ 4D b@ 9D c@ CDd@ ED e@ 65D

B. Jallar B n;meros que est!n en lamisma relacin de 4,B y 9 y la sumade a c CC5= . %ar como respuesta eln;mero mayor.

a@ 945 b@ 995 c@D45d@ CB5 e@ 9B5

G. Las edades de tres personas sonproporcionales FG C y A. %entro de 9aos la suma de sus dades ser!

6B9 aos N&u!ntos aos tendr! elmayor dentro de 6E aosOa@ 9F b@ C4 c@ D5d@ FE e@ 95

. Jallar el valor de ) a b c

3. -i

se sabe que:4a G DG 4C y c son antecedentes y BGbG c y a son los consecuentesrespectivos de una serie de razonesgeomtricas equivalentes.a@ 65 b@ 6E c@ 6Fd@ 45 e@ 4F

. -iA 69 BB 46a b c d

= = y

cX a bX d D= entonces el valor de

)ac3, es:a@ BD b@ BE c@ 4Bd@ 4D e@ BB

eomtrica continua de trminos yrazn enteros. La suma de losextremos menos la suma de losmedios es 4F9. Jallar la media>eomtrica.a@ D5 b@ 45 c@ F5d@ E5 e@ 645

%ado un grupo de datos se conoce como su promedio a una sola cantidadrepresentativa de dichos datos.xisten B tipos de promedios.

I. Promedio aritm4tico o Media aritm4tica F *a H9


B


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l promedio aritmtico de varias cantidades viene a ser la suma de todaslas cantidades, ste resultado dividido entre el total de cantidades.

$ara )n3 cantidades se cumple :

6 4 na a .... a*a n

=

$ara dos n;meros a y b se cumple:a b

*a4

=

+ota9l promedio est!ndar para cualquier tipo de cantidades es el promedioaritmtico.

II. Promedio 6eom4trico o Media 5eom4trica F*g H

l promedio geomtrico de varias cantidades es la raz )n3 X sima delproducto de estas cantidades.

$ara varias )n3 cantidades se cumple:n

6 4 n*g a a .... a

$ara dos n;meros a y b se cumple:

*g a b

III. Promedio arm@nico o Media arm@nica F*h H

l promedio armnico de varias cantidades es la inversa del promedioaritmtico de las inversas de las cantidades.

$ara ) n3 cantidades se cumple:

6 4 n

n

*h 6 6 6....a a a

=

$ara dos n;meros a y b se cumple:4ab

*ha b


G


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ARITMTICA - 2da. PartePR&PI('A'(S

1. l mayor de los promedios aritmtico, geomtrico y armnico para dos om!s cantidades diferentes es el promedio aritmtico y el menor de ellos es elpromedio armnico.

*a *g *h>

2. -lo para dos n;meros, el producto de su media aritmtica por su mediaarmnica es la media geomtrica al cuadrado.

4*a *h *g=

B. La diferencia de cuadrados la media aritmtica y la media geomtricaresulta igual cociente del cuadrado de la diferencia de las dos cantidadesentre cuatro.

44 4 =a b@*a *g

F

=

G. l promedio aritmtico de una sucesin aritmtica es igual al promedioaritmtico de primer y ;ltimo trmino.(emplo: Jallar el promedio de: DG 65G 6FG 6EG 44G 4DG B5.

Sol"ci@n9D B5

*a=DG65G6FG6EG44G4DGB5@ 6E4

= =

. l promedio geomtrico de una sucesin geomtrica es igual al promediogeomtrico del primero y ;ltimo trmino.

(emplo9Jallar el promedio de: 4G FG EG 6DG B4G DFG 64E.

Sol"ci@n9 *g=4GFGEG6DGB4GDFG64E@ 4 64E 6D =

PR&)%(MAS R(S$(%T&S

1. 'ndicar el valor veritativo de lassiguientes proposiciones:'. La media aritmtica de: CG 65G 6BG

6DG ?.G A6 es FA''. La media geomtrica de: 4G DG 6EG

9FG ?.G 644 B es 6 F9E

'''. La media armnica de: 6G 6Q4G 6QBG

6QFG ?G6QBD es f5,59F

a@ 118 b@ 181 c@ 111d@ 811 e@ 188

Sol"ci@n9



66/102

Siempre los primeros, deando !"ella$ropiedades:=6@-ea la progresin aritmtica derazn )r3

aG aIrG aI4rG aIBrG .... G aInr

Luego la * de dichos trminos

ser!:er6 2rminoIltimo trmino

*4

a a nr*

4

=

=4@ -ea la progresin geomtrica derazn )r3

{ }

4 n

aG arG ar G ... G arLuego la *> de dichos trminos

ser!:

er*> 6 2rmino ltimo trmino

n*> a.ar

nalizando las proposiciones:'@ Los n;meros: CG 65G 6BG 6DG ?G A6

forman una progresin aritmticade razn B, luego la mediaaritmtica de dichos trminosser!:

C A6* * FA

4

= =

''@ Los n;meros:4 B 664 G 4.B G 4.B G 4.B G ... G 4.B , forman

una progresin geomtrica de raznB, luego la media geomtrica dedichos trminos ser!:

64*> 4.4.B *>H 6 F9E

'''@ La media armnica de: 6, 6Q4, 6QBG6QFG ? G 6QBD ser!:

BD*J

6 6 6 6 6....

6 6 6 66 4 B F BD

=

BD*J6 4 B F .... BD

fBD 4*J *J 5,59FBD.BC BC

4

= = =

-e puede observar que las tresproposiciones son verdaderas.

2. La media aritmtica de 9Bn;meros impares consecutivos es

D9. Jallar la media geomtrica entreel menor y el mayor de dichosn;meros.a@ 6B B b@ A B c@ BA

d@ 66 B e@ 4D

Sol"ci@n9-ea )x3 el menor de los 9B n;merosimpares consecutivos, luego la

media aritmtica ser!:

x x 4 x F ... x 65F* D9

9B

= =

&omo forman una progresinaritmtica de razn 4, entoncesaplicando la propiedad =6@ delproblema, tenemos:

x x 65F* D9 xH6B

4

= =

*enor: x 6B*ayor: x 65F 66C

=

La media geomtrica pedida ser!:

*> 6B 66C =

BA Rpta.

B. $ara tres n;meros a, b y c secumple:



67/102


*h a,b F

*h b,c D

*h a,c E

Jallar la media armnica de a, b y c

a@ 645QBC b@ A5QBC c@ 6E5QBCd@ C4Q6B e@ 455QBC

Sol"ci@n9%el enunciado:

4 6 6 6F

6 6 a b 4a b

= =

4 6 6 6D

6 6 b c B

b c

= =

4 6 6 6E

6 6 a c Fa c

= =

-um!ndolos resulta:6 6 6 6 6 6

4a b c 4 B F

=

6 6 6 6Ba b c 4F

= ? = ' @

Luego, se pide calcular:

B*h a,b,c

6 6 6a b c

=

(eemplazando de ='@:

B*h a,b,c

6B4F

= = C46B

Rpta.

G. N&u!l es el promedio armnico de

los n;merosO L5,9G 5,6DG 5,5EBG 5,59G . . . G 5,55A

a@ 66 b@666

c@BFF

d@6FF

e@6566

Sol"ci@n9Jallamos primero para cada uno sufraccin generatriz

6 6 6 6 6G G G G . . . G

4 D 64 45 665

6 6 6 6 6G G G G . . . G6 4 4 B B F F 9 65 66 Luego seg;n frmula de mediaarmnica

6 4 B n

n*h

6 6 6 6. . .

a a a a

=

(eemplazando65

*h

6 4 4 B B F F 9 . . . 65 66 -eg;n la frmula de sumatoria para

la forma:- 6 4 4 B B F F 9 . . . n =n 6@

n=n 6@=n 4@-

B

=

(eemplazando en65

*h65=65 6@=65 4@

B

=

65*h

65 66 64B

=

65*h =

B

65 66 64

6FF

F

=

6FF

Rpta.. Jallar dos n;meros sabiendo que

su mayor promedio es E y su menorpromedio es DBQE. %ar comorespuesta la diferencia de dichosn;meros.a@ 4 b@ B c@ Fd@ 9 e@ C,9

Sol"ci@n9Academia Raimondi, enseanza de calidad

www.antorai.com.pe


68/102

Siempre los primeros, deando !"ella-ean los n;meros y U` *ayor promedio $

U$ E

4

= = ? = ' @

` *enor promedio $J

4U DB$J U E

=

? = '' @

%e = ' @: U 6D=

? = ''' @n = '' @: U DB ? = '1 @(esolviendo: A y U C$iden: U = 4 Rpta.

. -ean y U dos n;meros enteros,si el producto de la media aritmtica

con su media armnica es igual a 64veces su media geomtrica,entonces el menor valor de U ,es:a@ BD b@ 49 c@ 6Ed@ 4F e@ 4D

Sol"ci@n9%ados los n;meros y U*a .*h 64 .*g

$or propiedad: 4=*g@ *a *h

4*g 64*g

*g 64 U 64 =

U 6FF

6FF .6 C4 .4 FE .B BD .F 4F .D 6E .E 6D .A 64 .64 HU

=

-e puede observar que: U esmnimo, cuando U

mnimo

IU H6 4 B 4F Rpta.


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ARITMTICA - 2da. Parte1. Jallar el promedio aritmtico de:A. 64G 49G B9 y 4F

Rpta94F). 6DG 44G B4G F5 y 95

Rpta9B4C. FFG B4G 99G BAG DE y9D Rpta9FA

2. Jallar el promedio geomtrico de:A. A y BD

Rpta96E). 64G B4G y BD

Rpta94FC. DG AG 6D y 4F

Rpta964

B. Jallar el promedio armnico de:A. B y D

Rpta9F). EG D y 4F

Rpta9AC. DG D y D

Rpta9D'. 65G 64G 45 y B5

Rpta969

G. $amela obtuvo punta"es de EC, EBy EE en sus primeras tres notas dematem!ticas este semestre. -irecibe un A5 en la cuarta nota,entonces su promedio.a@ -e incrementa en Fb@ -e incrementa en Bc@ -e incrementa en 4d@ -e incrementa en 6e@ 0o cambiara

. %ados los n;meros 64G 6E y 4C,calcular el error que se comete altomar el promedio aritmtico comopromedio geomtrico.a@ 6,9 b@ 6 c@ 5,9d@ 4 e@ 5,B

. l promedio de y 65 es 69, elpromedio de & y 69 es 65 y elpromedio de G 65G UG B9G & y 69 es45. Jallar el valor de U &

.a@ F5 b@ 95 c@99d@ D5 e@ F9

eomtrica de dosn;meros es F y la media armnica,es B4Q6C N&u!l es el menor de losn;merosOa@ 6D b@ 6 c@ F



70/102

Siempre los primeros, deando !"ellad@ E e@ A

12. La mgde dos n;meros es 65

D y la m.hes 4F. &u!l es el mayor

de los n;meros.

a@ B5 b@ B9 c@ BCd@ E e@ 49

1B. -i

m.a m.h de y U es 6AD

y m.a m.g es 4F9 N&u!l es la

diferencia entre y U Oa@ 45 b@ 6A c@ 4Bd@ 46 e@ 44

1G. -ean a y b dos n;merosenteros positivos diferentes mayoresque la unidad que cumplen:

m.a yU m.h yU

BQ4H C4A

Jallar m.a= y U@

a@ 65 b@ 69 c@ 6Fd@ 6E e@ 45

1. La m.a G m.g 7 m.h de 4n;meros est!n representados por Bn;meros enteros positivos, adem!s

se cumple:mg Fm.a B649 =

Jallar la diferencia de los n;meros.a@ 45 b@ B5 c@ F5d@ E5 e@ A5

1. l promedio aritmtico de 95n;meros es 6D si a 45 de ellos seles aumenta C unidades y a los

restantes se les quita B unidades elnuevo promedio aritmtico es:a@ 6D b@ 6C c@ 6Fd@ 69 e@ 6E1


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ARITMTICA - 2da. Parte21. -i las medias aritmtica ygeomtrica de dos n;meros )m3 y)n3 son F y 9. hallar la *h =mG [email protected]@ B b@ B,4 c@ B,Fd@ D e@ D,F

22. /n ciclista recorre una pistacuya forma es de un tri!nguloequil!tero con velocidades de F mQsGD mQs y 64 mQs cada ladorespectivamente. &u!l es lavelocidad promedio del recorridototal.a@ E b@ D c@ 65d@ C e@ D,B2B. La media >eomtrica de dosn;meros es D 4 y se sabe que su

media armnica y su mediaaritmtica son 4 n;merosconsecutivos. Jallar el mayor de losn;meros.a@ 6D b@ 6C c@ 64d@ 6F e@ 69

2G. -i la media geomtrica de dos

n;meros es 65 D y su mediaaritmtica y media armnica son dosn;meros enteros consecutivos.Jallar el menor de los n;meros,

D 4.FFa@ 6E b@ 6A c@ 65d@ 45 e@ B5

2. n qu relacin est!n la mediaaritmtica y la media armnica de 4n;meros sabiendo que la mediaaritmtica es a la media geomtricacomo 9 es a B.a@ 4DQ9 b@ 9QA c@49QAd@ 6DQB e@ FAQC

2. Jallar la media aritmtica de 4n;meros enteros sabiendo que sumedia armnica es al cuadrado de sugeomtrica como 4 es a 9.a@ 6,9 b@ 4,9 c@F,9d@ E,9 e@ 6,D

2


72/102

Siempre los primeros, deando !"ellaes la suma de los n;merosrestantesO

a@ B55 b@ C5 c@ F55d@ D55 e@ 955

TAR(A '&MICI%IARIA

B2. l promedio aritmtico de 9

n;meros pares consecutivos es 4F.Jallar el promedio >eomtrico de la9ta parte del menor y la sptimaparte del mayor.a@ D b@ F c@ 4d@ 9 e@ EBB. l promedio >eomtrico de 45n;meros es E y el promediogeomtrico de otros 45 n;meros es6E N&u!l es el promedio >eomtrico

de los F5 n;merosOa@ 65 b@ 64 c@ 6Bd@ 6F e@ 69BG. l promedio >eomtrico de 65n;meros naturales distintos es B y elpromedio >eomtrico de otros 65n;meros naturales tambin distintoses 64. Jallar el promedio >eomtricode los 45 n;meros.a@ D b@ E c@ 65

d@ A e@ C

B. -ean a y b dos n;meros si elproducto de la media aritmtica consu media armnica es igual al doblede su media geomtricaG entoncesel menor valor de a b es:a@ D b@ 9 c@ Fd@ E e@ A

B. l promedio aritmtico de lasedades de F hombres es FE.0ingunode ellos es menor de F9 aos Ncu!les la m!xima edad que podra teneruno de ellosOa@ 9D b@ 9C c@ 95d@ FA e@ FD

B


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ARITMTICA - 2da. ParteG2. l doble de la media aritmticade 4 n;meros es igual al cuadradode la media geomtrica m!s 6. -iuno de los n;meros es 645 el otron;mero es:a@ B b@ 6 c@ 9d@ A e@ 655

GB. La media aritmtica de F5n;meros es E5 si quitamos 9 de ellosaumenta en EF, Ncu!l es la mediaaritmtica de los n;meroseliminadosO

a@ 95 b@ 96 c@ 94d@ DF e@ D5

GG. La diferencia de dos n;meroses C y la suma de su mediageomtrica y su media aritmtica es4F,9 Jallar la diferencia entre lamedia aritmtica y la mediageomtrica.a@ 5,9 b@ 6,5 c@D,9d@ C,E e@ A,9

n ste captulo trataremos sobre los tipos de relacin que existen entre lasdiferentes magnitudes y para ello necesitamos conocer qu es la magnitud.

Ma6nit"d9-e conoce como magnitud a todo ob"et

aritmetica 2011 - 2da. parte.doc

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