arcotangente hiperbolica definicion
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Arcotangente hiperbólica.José de Jesús García Ruvalcaba.
UABC
Recordatorio. Tangente hiperbólica.
La tangente hiperbólica es:
tanh𝑥 =sinh 𝑥
cosh 𝑥=𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
Su imagen es −1,1
Es estrictamente creciente, por lo tanto es inyectiva.
Tangente hiperbólica.
tanh: −∞,+∞ → −1,1
Es biyectiva.
Su inversa es:
arctanh: −1,1 → −∞,+∞
Gráfica de la arcotangentehiperbólica.
arctanh: −1,1 → −∞,+∞
Es una función impar; y estrictamente creciente.
Fórmula explícita para la arcotangentehiperbólica.
𝑦 = arctanh𝑥
−1 < 𝑥 < 1
𝑥 = tanh𝑦
𝑥 =𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦
Hay que despejar 𝑦
Continuación.
𝑥 =𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦
𝑥 𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦 = 𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
𝑥𝑒𝑦 + 𝑥𝑒−𝑦 = 𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
𝑥𝑒𝑦 − 𝑒𝑦 = −𝑥𝑒−𝑦 − 𝑒−𝑦
𝑥 − 1 𝑒𝑦 = −𝑥 − 1 𝑒−𝑦
Continuación.
𝑥 − 1 𝑒𝑦 = −𝑥 − 1 𝑒−𝑦
𝑥 − 1 𝑒2𝑦 = −𝑥 − 1
𝑒2𝑦 =−𝑥 − 1
𝑥 − 1
𝑒2𝑦 =𝑥 + 1
−𝑥 + 1
𝑒2𝑦 =1 + 𝑥
1 − 𝑥
Conclusión.
𝑒2𝑦 =1 + 𝑥
1 − 𝑥
2𝑦 = log1 + 𝑥
1 − 𝑥
𝑦 =1
2log
1 + 𝑥
1 − 𝑥
arctanh 𝑥 =1
2log
1 + 𝑥
1 − 𝑥
Para 𝑥 ∈ −1,1
Después de la conclusión.
arctanh 𝑥 =1
2log
1 + 𝑥
1 − 𝑥
arctanh𝑥 =1
2log 1 + 𝑥 − log 1 − 𝑥
Se puede separar de esta manera debido a que
−1 < 𝑥 < 1
implica que
1 + 𝑥 > 0
y1 − 𝑥 > 0
Para resumir.
arctanh: −1,1 → −∞,+∞
arctanh 𝑥 =1
2log
1 + 𝑥
1 − 𝑥
arctanh 𝑥 =1
2log 1 + 𝑥 − log 1 − 𝑥