Supercies

M. Eugenia Rosado MaraDepartamento de Matemtica Aplicada

Escuela Tcnica Superior de Arquitectura, UPMAvda. Juan de Herrera 4, 28040-Madrid, Spain

E-mail: eugenia.rosado@upm.es

ndice

1 Representacin analtica de supercies 21.1 Representacin explcita o de Monge . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Estudio local de una supercie 72.1 Plano tangente y recta normal en un punto de una supercie. 72.2 Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Clculo de la expresin analtica de la primera formafundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Curvatura normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Teorema de Meusnier (1779) . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 Vector curvatura normal, vector curvatura tangencial

y clculo de la curvatura normal. . . . . . . . . . . . . 182.5 Naturaleza de los puntos de una supercie . . . . . . . . . . . 202.6 Curvaturas de una supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6.1 Direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6.2 Curvaturas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.3 Curvatura de Gauss y curvatura media . . . . . . . . . 23

2.7 Lneas de curvatura y lneas asintticas . . . . . . . . . . . . . 262.8 Indicatriz de Dupin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.9 Frmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

3 Supercies regladas 343.1 Curvatura total de las supercies regladas . . . . . . . . . . . 363.2 Clasicacin de las supercies regladas . . . . . . . . . . . . . 383.3 Puntos singulares de una supercie reglada . . . . . . . . . . . 39

3.3.1 Puntos centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.2 Arista de retroceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Bibliografa 47

1 Representacin analtica de supercies

Denicin. Se dice que un subconjunto S R3 es una supercie parame-trizada si existe un dominio D R2 y una aplicacin

~r : D R2 ! R3;~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) ;

tal que Im~r = S.A la aplicacin ~r la denominamos representacin paramtrica de S.Denicin. Se dice que un punto P 2 S con !OP = ~r(u; v), es un punto

regular para la parametrizacin ~r si se verica: ~ru(u; v) ^ ~rv(u; v) 6= ~0 paratodo (u; v) 2 D, siendo

~ru(u; v) = (xu(u; v); yu(u; v); zu(u; v)) ;

~rv(u; v) = (xv(u; v); yv(u; v); zv(u; v)) :

La notacin que utilizamos es: xu(u; v) = @x@u(u; v).La condicin ~ru(u; v) ^ ~rv(u; v) 6= ~0 signica que los vectores ~ru(u; v),

~rv(u; v) son linealmente independientes; esto es,

rg

xu(u; v) yu(u; v) zu(u; v)xv(u; v) yv(u; v) zv(u; v)

= 2:

Si tenemos una aplicacin diferenciable,

~r : D R2 ! R3;~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) ;

2

con Im~r = S R3 diremos que un punto P 2 S con !OP = ~r (u0; v0), es unpunto singular de S si ~ru(u0; v0) ^ ~rv(u0; v0) = ~0.Los puntos singulares pueden aparecer por la naturaleza de la supercie

o por la eleccin de la parametrizacin.

Ejemplo 1 Consideramos la semiesfera superior de radio r y centrada enel origen; esto es, la semiesfera de ecuacin cartesiana:

x2 + y2 + z2 = r2; con z 0:Consideramos la siguiente parametrizacin:

~r : [0; 2) (0; =2) ! R3;~r(; ) = (a cos sin ; a sin sin ; a cos ) ;

donde mide la longitud y la latitud. Se tiene:

~r(; ) = (a sin sin ; a cos sin ; 0) ;~r(; ) = (a cos cos ; a sin cos ; a sin ) ;

y

~r(; ) ^ ~r(; ) =a2 cos sin2 ; a2 sin sin2 ; a2 sin cos

= a2 sin (cos sin ; sin sin ; cos ) :Por tanto, ~r(; ) ^ ~r(; ) = ~0 si y slo si sin = 0; esto es, si y slo si = 0. Luego, la parametrizacin que tenemos es regular.

Ejemplo 2 Consideramos el semicono circular de ecuacin cartesiana:

x2 + y2 z2 = 0; con z 0:Podemos considerar la siguiente parametrizacin:

~r : [0; 2) [0;+1) ! R3;~r(; t) = (t cos; t sin; t) :

Se tiene:

~r(; t) = (t sin; t cos; 0) ;~rt(; t) = (cos; sin; 1) ;

3

y~r(; t) ^ ~rt(; t) =t cos; t sin; t sin2 t cos2

= (t cos; t sin; t) :

Por tanto, ~r(; t) ^ ~rt(; t) = ~0 si y slo si t = 0. En el punto P = (0; 0; 0)es un punto singular y no podemos denir el plano tangente al cono en dichopunto. Ntese tambin que el punto P es un punto mltiple para dichaparametrizacin ya que:

~r(; 0) =!OP; 8 2 [0; 2):

Ejemplo 3 Supercie de revolucin. Consideramos la supecie generadaal girar alrededor del eje OZ la curva de ecuacin z = f(x), donde f esuna funcin continua con derivadas continuas de todo orden, contenida en elplano y = 0.Primero parametrizamos la curva que tenemos. En este caso una para-

metrizacin de la curva con ecuacin z = f(x) es: ~s(u) = (u; 0; f(u)), conu 2 R. La matriz del giro de ngulo alrededor del eje OZ es:0@ cos sin 0sin cos 0

0 0 1

1A :Al girar la curva dada alrededor del eje OZ obtenemos:0@ cos sin 0sin cos 0

0 0 1

1A0@ u0f(u)

1A =0@ u cosu sin

f(u)

1A , con 2 [0; 2):Por tanto, una representacin paramtrica de dicha supercie viene dada por:

~r : (0;+1) [0; 2) ! R3;~r(u; ) = (u cos; u sin; f(u)) :

Se tiene:

~ru(u; ) = (cos; sin; f0(u)) ;

~r(u; ) = (u sin; u cos; 0) :

4

Por tanto,

~ru(u; ) ^ ~r(u; ) = (uf 0(u) cos; uf 0(u) sin; u) 6= ~0pues u 6= 0. Luego el punto P con coordenadas (0; 0; f(0)) es un puntosingular. Ntese que el punto P es un punto mltiple para dicha parame-trizacin ya que:

~r(u; ) = (0; 0; f(0)) para todo 2 [0; 2):

Ejemplo 4 Toro. Supercie generada al girar alrededor del eje OZ unacircunferencia de centro (0; b; 0) y radio a con a < b. Vase la siguientegura:

Por ejemplo, consideremos la circunferencia de centro C = (0; 2; 0) y radio 1.

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

y

z

5

Parametrizamos primero dicha circunferencia. Un punto de la circunferenciaes de la forma: (0; 2 + cos; sin) con 2 [0; 2). Al girarlo alrededor deleje OZ obtenemos:0@ cos sin 0sin cos 0

0 0 1

1A0@ 02 + cossin

1A =0@ sin (cos+ 2)cos (cos+ 2)

sin

1A ,con 2 [0; 2). Hemos obtenido la siguiente parametrizacin del toro:

~r : [0; 2) [0; 2) ! R3;~r(; ) = ( sin (cos+ 2) ; cos (cos+ 2) ; sin) :

Esto es,

x(; ) = sin (cos+ 2) ;y(; ) = cos (cos+ 2) ;

z(; ) = sin:

Teniendo en cuenta: cos =p1 sin2 obtenemos:

x2 + y2 = (cos+ 2)2 = cos2 + 4 cos+ 4

= 1 sin2 + 4p1 sin2 + 4

= 5 z2 + 4p1 z2:

Por tanto, x2 + y2 + z2 52 = 16 1 z2

es la ecuacin implcita del toro.

1.1 Representacin explcita o de Monge

Una supercie S puede venir dada por una ecuacin F (x; y; z) = 0 donde Fes una funcin diferenciable con derivadas parciales continuas de todo orden;esto es,

S =(x; y; z) 2 R3 j F (x; y; z) = 0 :

Si Fz(x0; y0; z0) 6= 0 por el Teorema de la funcin implcita sabemos que existeun entorno del punto P = (x0; y0; z0) de manera que en ese entorno podemos

6

ver la supercie como la grca de una funcin f(x; y), con (x; y) 2 D. Estoes, tenemos una representacin paramtrica de la supercie de la siguienteforma:

~r : D R2 ! R3;~r(x; y) = (x; y; f(x; y)) :

Dicha representacin, en la que los parmetros son precisamenta las coorde-nadas cartesianas, se denomina carta de Monge o representacin explcita deS.

2 Estudio local de una supercie

Sea una supercie S R3 con representacin paramtrica regular

~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) ; con (u; v) 2 D R2,

de clase mayor o igual a 3 y sea P 2 S con !OP = ~r(u; v).

2.1 Plano tangente y recta normal en un punto de unasupercie.

Denicin. Decimos que un vector ~w 2 R3 es tangente a la supercie S enP si es tangente en P a una curva contenida en S.Sea C una curva contenida en la supercie; C S. Por tanto, una

representacin paramtrica de C es:

~(t) = ~r(u(t); v(t)) = (x(u(t); v(t)); y(u(t); v(t)); z(u(t); v(t))) :

Utilizando la regla de la cadena obtenemos:

~ 0(t) = ~ru(u(t); v(t))u0(t) + ~rv(u(t); v(t))v0(t):

Por tanto, cualquier vector tangente a la supercie S se escribe como com-binacin lineal de los vectores ~ru(u; v), ~rv(u; v).NOTA: Si el punto P es regular los vectores ~ru(u; v), ~rv(u; v) son lineal-

mente independientes y forman una base del plano tangente a S en P .

7

Fijados los parmetros v = v0 (resp. u = u0), a las curvas con parame-trizaciones

~r(u; v0) = (x(u; v0); y(u; v0); z(u; v0)) ; u 2 I;(resp. ~r(u0; v) = (x(u0; v); y(u0; v); z(u0; v)) ; v 2 J),

las denominamos curvas paramtricas o coordenadas.Denicin. El plano tangente a S en P es el plano que contiene a P y

est generado por los vectores ~ru(u; v), ~rv(u; v).La ecuacin cartesiana del plano tangente a S en P es

det(!PX; ~ru(u; v); ~rv(u; v)) = 0:

Denicin. La recta normal a la supercie en P es la recta ortogonal alplano tangente a S en P .El vector director de la recta normal en P es:

~ru(u; v) ^ ~rv(u; v):Denicin. Llamamos vector normal unitario a la supercie S en el puntoP al vector:

~N(u; v) =~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k :

Ntese que la ecuacin cartesiana del plano tangente a S en el punto P decoordenadas (a; b; c) con ~N(u; v) = (N1; N2; N3) es

N1(x a) +N2(y b) +N3(z c) = 0:Si la supercie S viene dada por una ecuacin implcita F (x; y; z) = 0,

con F 2 C1(R3), sabemos que el vector gradiente de F es ortogonal a lassupercies de nivel de F . Por tanto, el vector rF es un vector ortogonal alplano tangente de la supercie. Por tanto, en este caso, la ecuacin del planotangente en P se puede escribir como sigue:

0 = rF (a; b; c) !PX= rF (a; b; c) (x a; y b; z c)= Fx(a; b; c) (x a) + Fy(a; b; c) (y b) + Fz(a; b; c) (z c) :

Ejemplo. Vamos a hallar la ecuacin del plano tangente de la supercie conecuacin implcita z = x2 y2 en el punto (1; 1; 0).

8

El vector gradiente de F (x; y; z) = zf(x; y) es: rF (x; y; z) = (2x; 2y; z).Por tanto, la ecuacin del plano tangente a la supercie z = x2 y2 en elpunto (1; 1; 0) es:

0 = rF (1; 1; 0) (x+ 1; y 1; z)= (2; 2; 1) (x+ 1; y 1; z)= 2(x+ 1) + 2(y 1) + z.

2.2 Primera forma fundamental

Denicin. Llamamos primera forma fundamental de S en P a la formabilineal simtrica denida positiva IP asociada al producto escalar inducidoen el plano tangente a S en P por el producto escalar en R3.

2.2.1 Clculo de la expresin analtica de la primera forma fun-damental

Cualquier vector ~w 2 TPS se escribe de la siguiente manera:~w = h(u; v) ~ru(u; v) + k(u; v) ~rv(u; v);

siendo h; k 2 C1(D). Por simplicidad, escribiremos: ~w = h ~ru + k ~rv.Tenemos:

~w1 ~w2 = (h1~ru + k1~rv) (h2~ru + k2~rv)= h1h2~ru ~ru + (h1k2 + h2k1)~ru ~rv + k1k2~rv ~rv= (h1; k1)

E FF G

h2k2

;

donde

E = ~ru ~ru = x2u + y2u + z2u > 0;F = ~ru ~rv = xuxv + yuyv + zuzv;G = ~rv ~rv = x2v + y2v + z2v > 0:

Esto es,

IP : TPS TPS ! R;IP (~w1; ~w2) = (h1; k1)

E FF G

h2k2

;

9

siendo (h1; k1) (resp. (h2; k2)) las coordenadas de ~w1 (resp. ~w2) en la base(~ru; ~rv) de TPS. Ntese que IP es denida positiva pues teniendo en cuentalas expresiones de los vectores ~ru; ~rv y haciendo algunos clculos se obtiene:

traza

E FF G

= E +G > 0;

det

E FF G

= EG F 2 = k~ru ^ ~rvk2 > 0:

2.2.2 Aplicaciones

1. Clculo de la longitud de una curva contenida en la supercie.

Vamos a calcular la distancia entre dos puntos P = ~r(u0; v0) y Q =~r(u1; v1) de la supercie. Consideramos una curva en la supercie Scon parametrizacin

~(t) = ~r(u(t); v(t)) = (x(u(t); v(t)); y(u(t); v(t)); z(u(t); v(t)))

tal que en t0 estemos en el punto P y en t1 estemos en el punto Q, estoes,

P = ~(t0) = ~r(u(t0); v(t0));

Q = ~(t1) = ~r(u(t1); v(t1)):

Llamamos L la longitud de curva entre los puntos P y Q. Se tiene:

L =

Z t1t0

k~ 0(t)k dt:

Como:

k~ 0(t)k2 = (~ruu0(t) + ~rvv0(t)) (~ruu0(t) + ~rvv0(t))= (u0(t))2 ~ru ~ru + 2u0(t)v0(t)~ru ~rv + (v0(t))2 ~rv ~rv= E (u0(t))2 + 2Fu0(t)v0(t) +G (v0(t))2

= I~r(t)(~0(t); ~ 0(t));

se tiene:

L =

Z t1t0

I~(t)(~

0(t); ~ 0(t))1=2

dt:

10

2. Clculo del ngulo que forman en P dos curvas C1 y C2 contenidas enla supercie.

Sea ~w1 el vector tangente a C1 en P y sea ~w2 el vector tangente a C2en P . El ngulo que forman las dos curvas C1; C2 es el ngulo queforman sus respectivos vectores tangentes en P . Por tanto,

cos =~w1 ~w2

k~w1k k~w2k =IP (~w1; ~w2)

IP (~w1; ~w1)1=2IP (~w2; ~w2)1=2:

Las curvas C1 y C2 son ortogonales si = =2; esto es, si IP (~w1; ~w2) =0.

Si C1 y C2 son las curvas coordenadas; esto es, ~w1 = (1; 0) y ~w2 = (0; 1),entonces,

cos =FpEG

:

Por tanto, las curvas coordenadas son ortogonales si y slo si F = 0.

3. Clculo del rea de una regin de la supercie.

Consideramos la regin de la supercie limitada por las curvas coor-denadas

~r(u0; v); ~r(u0 +u; v); ~r(u; v0); ~r(u; v0 +v):

El incremento de rea A de la regin viene dada por el producto delas longitudes de sus lados por el seno del ngulo que forman, esto es,

A = k~ru(u0; v0)k k~rv(u0; v0)k sinuv= k~ru(u0; v0) ^ ~rv(u0; v0)kuv=

pEG F 2uv:

Por tanto, el rea de la regin puede calcularse mediante la siguienteintegral:

A =

Z Z

pEG F 2dudv:

11

Ejemplos

1. Esfera. Consideramos la siguiente parametrizacin de la esfera de radio1 y centro el origen de coordenadas:

~r(; ) = (cos cos ; cos sin ; sin) ; (; ) 2 (=2; =2)[0; 2):

Se pide:

(a) Expresin de la primera forma fundamental.Se tiene:

~r(; ) = ( sin cos ; sin sin ; cos) ;~r(; ) = ( cos sin ; cos cos ; 0) :

Por tanto,

E(; ) = ~r(; ) ~r(; ) = sin2 cos2 + sin2

+ cos2 = 1;

F (; ) = ~r(; ) ~r(; ) = sin cos cos sin sin sin cos cos = 0;G(; ) = ~r(; ) ~r(; ) = cos2

sin2 + cos2

= cos2 :

La matriz asociada a la primera forma fundamental en un puntoarbitario P = ~r(; ) de la supercie es:

1 00 cos2

Como F = 0 las curvas coordenadas ~r(0; ) (paralelo) y ~r(; 0)(meridiano) son ortogonales entre si.

(b) La longitud de la curva parmetro = 0.La curva parmetro = 0 (meridiano = 0) tiene la siguienteparametrizacin:

~r() = ~r(; 0) = (cos cos 0; cos sin 0; sin) ; 2 [0; 2):

Se tiene:

~r 0() = ~ru(; 0) = 1 ~ru(; 0) + 0 ~r(; 0);

12

por tanto (1; 0) son las coordenadas del vector tangente ~r 0() enla base f~r(; 0); ~r(; 0)g y

I~r()(~r0(); ~r 0()) = (1; 0)

1 00 cos2

10

= 1:

Por tanto,

L =

Z =2=2

1dt = :

(c) La longitud de la curva parmetro = 0.La curva parmetro = 0 (paralelo = 0) tiene la siguienteparametrizacin:

~r() = ~r(0; ) = (cos0 cos ; cos0 sin ; sin0) ; 2 [=2; =2]:Se tiene:

~r 0() = ~r(0; ) = 0 ~r(0; ) + 1 ~r(0; );por tanto (0; 1) son las coordenadas del vector tangente ~r 0() enla base f~r(0; ); ~r(u0; )g y

I~r()(~r0(); ~r 0()) = (0; 1)

1 00 cos2 0

01

= cos2 0:

Por tanto,

L =

Z 20

cos2 0dt = 2 cos2 0:

2. Se considera la supercie formada por las rectas que se apoyan en lahlice de ecuacin ~(u) = (cosu; sinu; u), u 0, paralelas al planoz = 0 y que se apoyan en el eje OZ. Vase la siguiente grca:

13

(a) Vamos a hallar una parametrizacin de dicha supercie.Un punto X de la supercie satisface la siguiente ecuacin:

!OX =

!OP 0 +

!P 0P

donde P 0 es el punto del eje OZ y P , P 0 estn en la recta quese apoya en la hlice y en el eje OZ y que es paralela al planoz = 0. Por tanto si P es el punto de la hlice con coordenadas(cosu; sinu; u), las coordenadas de P 0 son (0; 0; u). se tiene:

~r(u; ) = (0; 0; u) + (cosu; sinu; 0)

= ( cosu; sinu; u) , con u 0 y 2 [0; 1].

(b) Veamos que ~r(u; ) es una parametrizacin regular. Se tiene:

~ru(u; ) = ( sinu; cosu; 1) ;~r(u; ) = (cosu; sinu; 0) ;

~ru(u; ) ^ ~r(u; ) = ( sinu; cosu; ) ;k~ru(u; ) ^ ~r(u; )k =

p1 + 2 6= 0;

por tanto, la parametrizacin es regular.

(c) Primera forma fundamental. Se tiene:

E(u; ) = ~ru(u; ) ~ru(u; ) = ( sinu; cosu; 1) ( sinu; cosu; 1)= 1 + ;

F (u; ) = ~ru(u; ) ~r(u; ) = ( sinu; cosu; 1) (cosu; sinu; 0)= 0;

G(u; ) = ~r(u; ) ~r(u; ) = ( sinu; cosu; 1) (cosu; sinu; 0)= :

Por tanto,

IP : TPS TPS ! R;IP (~w1; ~w2) = (a1; b1)

1 + 00

a2b2

;

con ~w1 = (a1; b1) y ~w2 = (a2; b2).

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2.3 Segunda forma fundamental

En el estudio de curvas, la curvatura meda la tasa de variacin de la rectatangente en el entorno de un punto de la curva. Extendemos esta idea alestudio de supercies. Vamos a medir la distancia entre la supercie y elplano tangente a la supercie en un punto P 2 S, en puntos de la supercieprximos al punto P . Para ello vamos a estudiar cmo vara el campo normalunitario ~N en un entorno del punto P .Sea una supercie S R3 con representacin paramtrica regular

~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) , con (u; v) 2 D R2,

de clase mayor o igual a 3. El campo normal unitario ~N asigna a cada puntoP de la supercie, con

!OP = ~r(u; v), su vector normal unitario; esto es,

~N : D ! R3; ~N(u; v) = ~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k :

Usaremos la notacin ~N(u; v), ~NP indistintamente. Y denotaremos D ~NP (~w)a la derivada direccional de la aplicacin ~N en el punto P y en la direccindel vector unitario ~w tangente a la supercie en el punto P .Derivando la identidad ~NP ~NP = 1 en la direccin de un vector unitario

~w tangente a la supercie en el punto P , obtenemos:

0 = 2D ~NP (~w) ~NP ; con ~w 2 TPS, k~wk = 1:

De donde se concluye que el vector D ~NP (~w) es ortogonal al vector normal~NP , luego,

D ~NP (~w) 2 TPS;esto es, ImD ~NP = TPS.Denicin. Llamamos segunda forma fundamental de S en P a la forma

cuadrtica IIP denida en TPS de la siguiente manera:

IIP : TPS ! R; IIP (~w) = D ~NP (~w) ~w:Vamos a calcular la expresin analtica de la segunda forma fundamental enla base f~ru(u; v); ~rv(u; v)g de TPS. Cualquier vector ~w 2 TPS se escribe dela siguiente manera:

~w = h(u; v) ~ru(u; v) + k(u; v) ~rv(u; v);

15

yD ~NP (~w) = r ~NP ~w=

~Nu(u; v); ~Nv(u; v)

(h(u; v); k(u; v))

= h(u; v) ~Nu(u; v) + k(u; v) ~Nv(u; v):

Por simplicidad, escribiremos: ~w = h ~ru + k ~rv y D ~NP (~w) = h ~Nu + k ~Nv.Tenemos:

IIP (~w) = D ~NP (~w) ~w=

h ~Nu + k ~Nv

(h ~ru + k ~rv)

= h2 ~Nu ~ru hk~Nu ~rv + ~Nv ~ru

k2 ~Nv ~rv

= Lh2 + 2Mhk +Nk2;

donde

L = ~ru ~Nu = ~ruu ~N;2M =

~ru ~Nv + ~rv ~Nu

= 2~ruv ~N;

N = ~rv ~Nv = ~rvv ~N:

Las frmulas anteriores se obtienen teniendo en cuenta: ~ru ~N = 0 y ~rv ~N = 0,pues ~ru; ~rv 2 TPS. Por tanto, derivando estas igualdades tenemos:

0 = @@u

~ru ~N

= ~ruu ~N + ~ru ~Nu

0 = @@v

~ru ~N

= ~ruv ~N + ~ru ~Nv

0 = @@u

~rv ~N

= ~rvu ~N + ~rv ~Nu

0 = @@v

~rv ~N

= ~rvv ~N + ~rv ~Nv

=)~ru ~Nu = ~ruu ~N;~ru ~Nv + ~rv ~Nu

= 2~ruv ~N;

~rv ~Nv = ~rvv ~N:

Ejemplo Hallar la segunda forma fundamental del toro con parametrizacin:

~r : [0; 2) [0; 2) ! R3;~r(; ) = ((cos+ 2) cos ; (cos+ 2) sin ; sin) :

16

Solucin. Se tiene:

~r(; ) = ( sin cos ; sin sin ; cos) ;~r(; ) = ( (cos+ 2) sin ; (cos+ 2) cos ; 0) ;

~r(; ) ^ ~r(; )= ( cos (cos+ 2) cos ; cos (cos+ 2) sin ; sin (cos+ 2)) ;

k~r(; ) ^ ~r(; )k = cos+ 2;luego

~N(; ) =~r(; ) ^ ~r(; )k~r(; ) ^ ~r(; )k = ( cos cos ; cos sin ; sin) :

Y

~r(; ) = ( cos cos ; cos sin ; sin) ;~r(; ) = (sin sin ; sin cos ; 0) ;~r(; ) = ( (cos+ 2) cos ; (cos+ 2) sin ; 0) ;

por tanto,

L(; ) = ~r(; ) ~N(; ) = 1;M(; ) = ~r(; ) ~N(; ) = 0;N(; ) = ~r(; ) ~N(; ) = cos (cos+ 2) :

Luego,IIP (h; k) = h

2 + cos (cos+ 2) k2:

2.4 Curvatura normal

Se tiene el siguiente resultado:

2.4.1 Teorema de Meusnier (1779)

Sea C una curva sobre una supericie S y sea P un punto de la curva. Entoncesla curvatura k de C en P y la curvatura kN de la seccin normal de lasupercie con el plano que contiene al punto P y tiene como vectores

17

directores el vector normal a la supercie y el vector tangente a en P ,satisfacen la siguiente relacin:

kN = k cos

donde es el ngulo que forma el plano osculador de en P y e plano .Se denomina curvatura normal en un punto P de la supercie en la di-

reccin de la curva C con parametrizacin natural ~(s) a

kN(s) = ~k(s) ~NP = k(s)~n(s) ~NP :Nota. Todas las curvas sobre la supercie que tienen la misma recta

tangente en el punto P , tienen la misma curvatura normal en P .

2.4.2 Vector curvatura normal, vector curvatura tangencial y cl-culo de la curvatura normal.

Sea S una supercie con parametrizacin ~r(u; v) y sea C una curva contenidaen la supercie con parametrizacin natural:

~(s) = ~r(u (s) ; v (s)), con s 2 I R,y sea P un punto arbitrario de la curva; esto es,

!OP = ~(s).

Se tiene:

~t(s) = ~ 0(s);~k(s) = ~t 0(s) = k(s)~n(s); vector curvatura de C en P:

Descomponemos el vector curvatura de la siguiente manera:

~k(s) = ~kN(s) + ~kg(s) donde

(~kN(s) =

~k(s) ~NP

~NP ;

~kg(s) = ~k(s) ~kN(s):Llamamos vector curvatura normal a la proyeccin del vector curvatura sobreel vector curvatura normal ~NP de la supercie; esto es,

~kN(s) =~k(s) ~NP

~NP :

Y llamamos vector curvatura tangencial o geodsica al vector ~kg(s). Derivandola identidad ~t(s) ~NP = 0 obtenemos:

0 = ~t 0(s) ~NP + ~t(s) d~NPds

= kN(s) + ~t(s) d~NPds

;

18

donde d ~NP=ds es la derivada del campo ~N en el punto P en la direccin delvector ~r 0(s); esto es,

d ~NPds

= D ~NP (~0(s))

con~ 0(s) = ~ru(u (s) ; v (s))u0(s) + ~rv(u (s) ; v (s))v0(s):

Por tanto,

kN(s) = d~NPds

~t(s)= D ~NP (~ 0(s)) ~ 0(s) = IIP (~ 0(s)) :

Si~(t) = ~r(u (t) ; v (t)), con t 2 J R,

es una parametrizacin arbitraria de la curva C, entonces, el vector ~ 0(t) noes unitario y se verica la siguiente igualdad:

kN(t) =IIP

~ 0(t)

IP

~ 0(t); ~ 0(t)

:Obsrvese que kN(t) slo depende de la direccin del vector tangente a lacurva en el punto P .Se puede hablar de curvatura normal a una supercie en un punto P en

la direccin de un vector ~w 2 TPS; esto es,

kN (~w) =IIP (~w)

IP (~w; ~w):

Nota. Si las coordenadas del vector ~w 2 TPS en la base f~ru(u; v); ~rv(u; v)gde TPS son (h(u; v); k(u; v)) entonces usaremos tambin la notacin:

kN (h; k) =IIP ((h; k))

IP ((h; k));

donde h = h(u; v), k = k(u; v).

19

2.5 Naturaleza de los puntos de una supercie

Vamos a estudiar la posicin de la supercie con respecto a su plano tangente.El vector ~kN(u; v) = kN(u; v) ~NP tiene la direccin del vector normal a lasupercie en el punto P con

!OP = ~r(u; v) y su sentido depende del signo de

la curvatura normal. Teniendo en cuenta la primera forma fundamental esdenida positiva, el signo de la curvatura normal depende nicamente de lasegunda forma fundamental. La matriz de la segunda forma fundamental es:

L MM N

y su determinante es: = LN M2. Se tiene:

> 0 Entonces IIP es denida (o positiva o negativa). Por lo tanto no hayninguna direccin en la que kN se anule (todos los autovalores de lamatriz de IIP tienen el mismo signo). La curvatura normal tiene signoconstante en un entorno del punto P . En un entorno de P la supercieest en uno de los semiespacios que determina el plano tangente a S enP . El punto P se dice que es un punto elptico.

= 0 Y suponemos que L;M;N no se anulan simultneamente. Por tanto, = LN M2 = 0 nos indica que la matriz de IIP tiene un autovalor = 0; esto es, existe una direccin a lo largo de la cual kN = 0. Eneste caso el punto de contacto de la supercie con el plano tangente sedice que es un punto parablico.

< 0 Entonces IIP es indenida. Por lo tanto la matriz de IIP tiene unautovalor positivo y otro negativo; esto es, existe una direccin a lolargo de la cual kN > 0 y otra a lo largo de la cual kN < 0. El planotangente a S en P interseca a la supercie en dos direcciones. El puntoP se dice que es un punto hiperblico.

Ejemplo Clasicar los puntos del toro con parametrizacin:

~r : [0; 2) [0; 2) ! R3;~r(; ) = ((cos+ 2) cos ; (cos+ 2) sin ; sin) :

20

Solucin. Teniendo en cuenta que la matriz de la segunda forma funda-mental de S en un punto P , con

!OP = ~r(; ), es:

1 00 cos (cos+ 2)

se tiene:

= det

1 00 cos (cos+ 2)

= cos (cos+ 2) :

Como cos+ 2 > 0, el signo de depende del signo de cos.Si 2 [0; =2) [ (3=2; 2], entonces > 0 y los puntos son elpticos.Si 2 f=2; 3=2g, entonces = 0 y los puntos son parablicos.Si 2 (=2; 3=2) entonces < 0 y los puntos son hiperblicos.

2.6 Curvaturas de una supercie

De todas las direcciones del plano tangente a la supercie S en un punto P ,es interesante determinar aquellas en las que la curvatura normal en el puntoalcanza sus valores extremos.

2.6.1 Direcciones principales

Denicin. Se llaman direcciones principales de S en P a las direcciones delplano tangente a S en P en las que la curvatura normal toma sus valoresextremos. A las curvaturas coorespondientes las denominaremos curvaturasprincipales.Vamos a hallar las direcciones principales de una supercie S en un punto

P con curvatura normal:

kN ((h; k)) =IIP ((h; k))

IP ((h; k))=Lh2 + 2Mhk +Nk2

Eh2 + 2Fhk +Gk2:

En las direcciones ~v = (h; k) 2 TPS principales se debe cumplir:

0 =@kN@h

(h; k) =2

IP ((h; k))((Lh+Mk) kN (Eh+ Fk)) ;

0 =@kN@k

(h; k) =2

IP ((h; k))((Mh+Nk) kN (Fh+Gk)) :

21

Por tanto las direcciones principales (h; k) 2 TPS deben satisfacer el siguientesistema de ecuaciones:

(L kNE)h+ (M kNF ) k = 0;(M kNF )h+ (N kNG) k = 0: (1)

El sistema (1) se puede escribir de la siguiente forma:Lh+Mk = kN (Eh+ Fk) ;Mh+Nk = kN (Fh+Gk) :

Por tanto,

kN =Lh+Mk

Eh+ Fk=Mh+Nk

Fh+Gk;

equivalentemente,

0 = (FN GM) k2 (GLNE)hk + (EM FL)h2

esto es,

0 =

k2 hk h2E F GL M N

Tomando la direccin (1; = h=k) tenemos:

0 = (FN GM)2 (GLNE)+ (EM FL) :Si FN GM 6= 0, las soluciones 1; 2 de esta ecuacin de segundo gradoen nos da las dos direcciones principales: (1; 1), (1; 2). Se demuestra quelos vectores (1; 1), (1; 2) son ortogonales; esto es,

IP ((1; 1); (1; 2)) = E + F (1 + 2) +G12

= E + FGLNEFN GM +G

EM FLFN GM

= 0:

Denicin. Un punto P 2 S se dice umbilical si las formas fundamentalesen l son proporcionales; equivalentemente, si

kN =L

E=M

F=N

G:

En los puntos umbilicales todas las direcciones se pueden considerar princi-pales. Un caso particular de punto umbilical es un punto plano, en el quese anula la segunda forma fundamental y, por tanto, kN = 0 en cualquierdireccin.

22

2.6.2 Curvaturas principales

Vamos a hallar las curvaturas principales de una supercie S en un punto P .Tomando la direccin (1; ) la ecuacin

kN (h; k) =Lh+Mk

Eh+ Fk=Mh+Nk

Fh+Gk;

se escribe:

kN (1; ) =L+M

E + F=M +N

F +G()

(L+M) kN (E + F) = 0(M +N) kN (F +G) = 0

y eliminando en el sistema anterior obtenemos:EG F 2 k2N (EN +GL 2FM) kN + LN M2 = 0

esto es, E FF G k2N E MF N

+ L FM G kN + L MM N

= 0cuyas soluciones k1, k2 son las curvaturas principales.El discriminante de la ecuacin anterior es siempre mayor o igual que

cero, y por tanto, las soluciones de dicha ecuacin siempre son reales.

2.6.3 Curvatura de Gauss y curvatura media

Denicin. Se denomina curvatura de Gauss o total de una supercie S enun punto P 2 S al producto de las curvaturas principales; esto es,

K = k1k2 =LN M2EG F 2 :

Teniendo en cuenta EGF 2 > 0 se deduce que el signo de la curvatura totaldepende del signo de LN M2. Se tiene:1. Un punto P de la supercie es elptico si y slo si K > 0.

2. Un punto P de la supercie es parablico si y slo si K = 0.

3. Un punto P de la supercie es hiperblico si y slo si K < 0.

Denicin. Se denomina curvatura media de una supercie S en un puntoP 2 S a la media aritmtica de las curvaturas principales; esto es,

km =k1 + k22

=1

2

EN +GL 2FMEG F 2 :

23

Ejemplo Se considera la siguiente parametrizacin del toro:

~r : [0; 2) [0; 2) ! R3;~r(; ) = ((cos+ 2) cos ; (cos+ 2) sin ; sin) :

Se pide:

1. Curvatura normal en el punto P de coordenadas (2; 0; 1).

2. Direcciones principales en el punto P .

3. Curvaturas principales en el punto P .

4. Curvatura de Gauss en el punto P .

5. Curvatura media en el punto P .

Solucin.El punto P se alcanza para los valores de los parmetros = =2 y = 0.

Tenemos:

~r(; ) = ( sin cos ; sin sin ; cos) ;~r(; ) = ( (cos+ 2) sin ; (cos+ 2) cos ; 0) ;

y

~N(; ) =~r(; ) ^ ~r(; )k~r(; ) ^ ~r(; )k = ( cos cos ; cos sin ; sin) :

Por tanto,

E(; ) = ~r(; ) ~r(; ) = 1;F (; ) = ~r(; ) ~r(; ) = 0;G(; ) = ~r(; ) ~r(; ) = (cos+ 2)2 ;

y

L(; ) = ~r(; ) ~N(; ) = 1;M(; ) = ~r(; ) ~N(; ) = 0;N(; ) = ~r(; ) ~N(; ) = cos (cos+ 2) :

24

Por tanto, la matriz de la primera forma fundamental de S en un puntoP es:

E (=2; 0) F (=2; 0)F (=2; 0) G (=2; 0)

=

1 00 4

y la matriz de la segunda forma fundamental de S en un punto P es:

L (=2; 0) M (=2; 0)M (=2; 0) N (=2; 0)

=

1 00 0

:

La curvatura normal en la direccin del vector ~w 2 TPS con coordenadas(h; k) es:

kN(h; k) =IIP (h; k)

IP (h; k)=

h2

h2 + 4k2:

Las direcciones principales (1; ) en P son las soluciones de la ecuacin:

0 =

2 11 0 41 0 0

= 4 =) = 0.Si tomamos el vector de coordenadas (; 1), entonces la ecuacin se escribe:

0 =

1 21 0 41 0 0

= 4 =) = 0.Por tanto, las direcciones principales son las de los vectores de coordenadas(1; 0) y (0; 1).Las curvaturas principales son:

kN(1; 0) =IIP (1; 0)

IP (1; 0)= 1;

kN(0; 1) =IIP (0; 1)

IP (0; 1)= 0:

Si consideramos la ecuacin de las curvaturas principales: 1 00 4 k2N 1 00 0

+ 1 00 4 kN + 1 00 0

= 0obtenemos:

4 (kN 1) kN = 0 =)kN = 1kN = 0

La curvatura de Gauss es el producto de las curvaturas principales: k1k2 = 0y la curvatura media es (k1 + k2) =2 = 1=2.

25

2.7 Lneas de curvatura y lneas asintticas

Denicin. Una curva C contenida en una supercie S se denomina lneade curvatura si la direccin del vector tangente en cada uno de sus puntoscoincide con la direccin principal en ese punto.Vase el siguiente grco en el que se muestran las lneas de curvatura en

el punto (0; 0; 0) de la supercie con ecuacin z = x2 y2:

Sea S una supercie con parametrizacin ~r(u; v) y sea C una curva con-tenida en la supercie con parametrizacin:

~(t) = ~r(u (t) ; v (t)), con t 2 I R,y sea P un punto arbitrario de la curva; esto es,

!OP = ~(t). La curva C es

una lnea de curvatura si las coordenadas (u0 (t) ; v0(t)) del vector ~ 0(t) enla base f~ru(u (t) ; v (t)), ~rv(u (t) ; v (t))g de TPS son solucin de la siguienteecuacin diferencial:

0 = (FN GM) (v0(t))2 (GLNE)u0 (t) v0(t) + (EM FL) (u0 (t))2

esto es,

0 =

(v0(t))2 u0 (t) v0(t) (u0 (t))2E F GL M N

Denicin. Una direccin se denomina asinttica respecto a un punto P deS si se anula en ella la segunda forma fundamental en P ; esto es, la direccindel vector ~w = (h; k) es asinttica si

IIP (h; k) = 0:

26

Denicin. Una curva C contenida en una supercie S se denominalnea asinttica si la direccin del vector tangente en cada uno de sus puntoscoincide con una direccin asinttica.La curva C es una lnea asinttica si las coordenadas (u0 (t) ; v0(t)) del

vector ~ 0(t) en la base f~ru(u (t) ; v (t)), ~rv(u (t) ; v (t))g de TPS son solucinde la siguiente ecuacin diferencial:

0 = L (u0(t))2 + 2Mu0(t)v0(t) +N (v0(t))2 :

Ejemplo Se considera la supercie con parametrizacin:

~r : R2 ! R3; ~r(u; v) = u; v; u2 v2 :Se pide:

1. Clasicar los puntos de la supercie.

2. Curvatura normal y curvaturas principales en el punto P de coorde-nadas (0; 0; 0).

3. Lneas de curvatura en el punto P .

4. Lneas asintticas en el punto P .

Solucin. Tenemos:

~ru(u; v) = (1; 0; 2u) ;

~rv(u; v) = (0; 1; 2v) ;~N(u; v) =

~ru(u; v) ^ ~ru(u; v)k~ru(u; v) ^ ~ru(u; v)k =

1p4u2 + 4v2 + 1

(2u; 2v; 1)~ruu(u; v) = (0; 0; 2) ;

~ruv(u; v) = (0; 0; 0) ;

~rvv(u; v) = (0; 0; 2) :

27

Por tanto,

E(u; v) = ~ru(u; v) ~ru(u; v) = 1 + 4u2;F (u; v) = ~ru(u; v) ~rv(u; v) = 4uv;G(u; v) = ~rv(u; v) ~rv(u; v) = 1 + 4v2;L(u; v) = ~ruu(u; v) ~N(u; v) = 2p

4u2 + 4v2 + 1;

M(u; v) = ~ruv(u; v) ~N(u; v) = 0;N(u; v) = ~rvv(u; v) ~N(u; v) = 2p

4u2 + 4v2 + 1:

La matriz de la segunda forma fundamental en un punto arbitrario P de lasupercie es:

1 + 4u2 4uv4uv 1 + 4v2

:

La matriz de la segunda forma fundamental en un punto arbitrario P de lasupercie es:

2p4u2+4v2+1

0

0 2p4u2+4v2+1

!:

El determinante L(u; v)N(u; v) M(u; v)2 < 0, por tanto, todos los puntosde la supercie son puntos hiperblicos.La curvatura normal en el punto P = ~r(0; 0) en la direccin de un vector

(h; k) es:

kN(h; k) =2h2 2k2h2 + k2

Si suponemos (h; k) = (cos; sin) tenemos:

kN(cos; sin) = 2cos2 sin2 = 2 cos 2:

Por tanto, kN toma el valor mximo 2 para = 0; , en la direccin de losvectores (1; 0) y (1; 0), y kN toma el valor mnimo 2 para = =2; 3=2,en la direccin de los vectores (0; 1) y (0;1).Para 2 (=4; =4) [ (3=4; 5=4), la curvatura normal es positiva.Para 2 (=4; 3=4) [ (5=4; 7=4), la curvatura normal es negativa.Para = =4; 3=4, la curvatura normal es cero. Por tanto, las direc-

ciones asintticas son:

(cos=4; sin =4) = (p2=2;

p2=2);

(cos 3=4; sin 3=4) = (p2=2;

p2=2):

28

La ecuacin diferencial de las lneas de curvatura en P es:

0 =

(v0(t))2 u0(t)v0(t) (u0(t))21 0 12 0 2

= 4u0(t)v0(t)Esto es, u0(t) = 0 v0(t) = 0. Por tanto, las lneas de curvatura son u(t) = u0 v(t) = v0, con u0 y v0 constantes. Como estamos en el punto P = ~r(0; 0),tenemos u(0) = 0 y v(0) = 0, por tanto, las lneas de curvatura son:

~r(0; v) =0; v; v2 ;

~r(u; 0) =u; 0; u2

:

La ecuacin diferencial de las lneas asintticas en P es:

0 = 2 (u0(t))2 2 (v0(t))2 =) 0 = u0(t) + v0(t) 0 = u0(t) v0(t)Integrando obtenemos: u(t) = v(t) + k. Como u(0) = v(0) = 0, se tiene:u = v. Las lneas asintticas son:

~r(u; u) = (u; u; 0)

~r(u;u) = (u; u; 0)

2.8 Indicatriz de Dupin

Vamos a estudiar la curvatura normal de una supercie en un punto P dela supercie. Supongamos que en un entorno del punto P tenemos unaparametrizacin de Monge de la supercie de la forma:

~r(u; v) = (u; v; f(u; v)) ;

con fu(u; v) = fv(u; v) = 0. En este caso se tiene:

~ru(u; v) = (1; 0; 0) ;

~rv(u; v) = (0; 1; 0) ;

~N(u; v) = (0; 0; 1) :

Estamos suponiendo que la supercie est situada de manera que el punto Psea el origen de coordenadas y el plano tangente a la supercie en el puntoP sea el plano z = 0. Se tiene: E = 1;, F = 0, G = 0 y

kN(h; k) =Lh2 + 2Mhk +Nk2

h2 + k2:

29

Tomamos h2 + k2 = 1 (la curvatura normal sobre un vector unitario); estoes, h = cos , k = sin , entonces:

kN() = L cos2 + 2M cos sin +N sin2 :

Tomamos jkN()j = 1=r2 x1 = r cos , x2 = r sin , entonces:

1 = Lx21 + 2Mx1x2 +Nx22:

La ecuacin anterior determina una seccin cnica en el plano tangente quese denomina Indicatriz de Dupin.Si P es elptico (LN M2 > 0), la indicatriz es una elipse.

Si P es hiperblico (LN M2 < 0), la indicatriz consiste en un par dehiprbolas conjugadas. A lo largo de una de las hiprbolas kN > 0 y a lolargo de la otra kN < 0. Las asntotas de las hiprbolas corresponden a lasdirecciones en las que kN = 0.Si P es parablico (LN M2 = 0, L2 +M2 + N2 6= 0), la indicatriz es unpar de rectas paralelas.Si la indicatriz existe y no es una circunferencia, entonces kN toma sus

valores extremos en dos direcciones ortogonales que son las direcciones de losejes de la indicatriz.En los puntos elpticos en los que kN = constante 6= 0, todas las direc-

ciones se dicen principales. En los puntos planos kN = 0, tambin todas lasdirecciones son principales.

Ejemplo 1 Vamos a calcular la curvatura normal de la esfera de radio r ycentrada en el origen; esto es, la esfera de ecuacin cartesiana:

x2 + y2 + z2 = r2:

Podemos considerar la siguiente parametrizacin:

~r : [0; 2) (0; ) ! R3;~r(; ) = (a cos sin ; a sin sin ; a cos ) :

Se tiene:

~r(; ) = (a sin sin ; a cos sin ; 0) ;~r(; ) = (a cos cos ; a sin cos ; a sin ) ;

30

y~r(; ) ^ ~r(; ) =a2 cos sin2 ; a2 sin sin2 ; a2 sin cos ;

k~r(; ) ^ ~r(; )k2 = a4 cos2 sin4 + a4 sin2 sin4 + a4 sin2 cos2 = a4 sin4

cos2 + sin2

+ a4 sin2 cos2

= a4 sin4 + a4 sin2 cos2

= a4 sin2 sin2 + cos2

= a4 sin2 ;

Por tanto,

~N(; ) =~r(; ) ^ ~r(; )k~r(; ) ^ ~r(; )k = ( cos sin ; sin sin ; cos ) :

Y

~r(; ) = (a cos sin ; a sin sin ; 0) ;~r(; ) = (a sin cos ; a cos cos ; 0) ;~r(; ) = (a cos sin ; a sin sin ; a cos ) ;

luego

E(; ) = ~r(; ) ~r(; ) = a2 sin2 sin2 + a2 cos2 sin2 = a2 sin2 ;

F (; ) = ~r(; ) ~r(; ) = 0;G(; ) = ~r(; ) ~r(; ) = a2 cos2 cos2 + a2 sin2 cos2 + a2 sin2

= a2;

L(; ) = ~r(; ) ~N(; ) = a cos2 sin2 + a sin2 sin2 = a sin2 ;M(; ) = ~r(; ) ~N(; ) = 0;N(; ) = ~r(; ) ~N(; ) = a cos2 sin2 + a sin2 sin2 + a cos2

= a sin2 + a cos2 = a:

Por tanto,

kN((h; k)) =Lh2 + 2Mhk +Nk2

Eh2 + 2Fhk +Gk2=

a sin2 h2 + ak2

a2 sin2 h2 + a2k2=1

a:

Luego la curvatura normal es constante en cada punto de la supercie y encada direccin del plano tangente. La indicatriz de Dupin en cada punto dela esfera es:

a2 = x2 + y2:

31

Ejemplo 2 Vamos a hallar la indicatriz de Dupin de la supercie conecuacin cartesiana z = x2 y2 en el punto P de coordenadas (0; 0; 0).La supercie es:

Una parametrizacin de dicha supercie es:

~r(u; v) =u; v; u2 v2

que es una parametrizacin de Monge con f(u; v) = u2 v2. Tenemos:

E(u; v) = ~ru(u; v) ~ru(u; v) = 1 + 4u2;F (u; v) = ~ru(u; v) ~rv(u; v) = 4uv;G(u; v) = ~rv(u; v) ~rv(u; v) = 1 + 4v2;L(u; v) = ~ruu(u; v) ~N(u; v) = 2p

4u2 + 4v2 + 1;

M(u; v) = ~ruv(u; v) ~N(u; v) = 0;N(u; v) = ~rvv(u; v) ~N(u; v) = 2p

4u2 + 4v2 + 1:

En el punto P tenemos

E(0; 0) = 1; F (0; 0) = 0; G(0; 0) = 1;

L(0; 0) = 2; M(0; 0) = 0; N(0; 0) = 2:

32

Por tanto,

kN () =2 cos2 2 sin2 cos2 + sin2

= 2 cos2 2 sin2 :

Tomando jkN () j = 1=r2 y x = r cos y y = r sin entonces la ecuacinanterior se escribe:

1 = 2x2 2y2:Luego la indicatriz de Dupin es el par de hiprbolas de ecuaciones 1 = 2x22y2 y 1 = 2x2 2y2. El valor mximo de la curvatura es k1 = 2 y sealcanza en la direccin (cos 0; sin 0) = (1; 0) y el valor mnimo de la curvaturaes k2 = 2 y se alcanza en la direccin (cos=2; sin =2) = (0; 1). Lasdirecciones asintticas de la supercie en el punto P son las direcciones delas asntotas de la indicatriz de Dupin; esto es, las direcciones de las rectasde ecuaciones x = y y x = y. Las lneas asintticas de la supercie en elpunto P son:

~r(u; u) = (u; u; 0) ;

~r(u;u) = (u; u; 0) :

2.9 Frmula de Euler

Vamos a expresar la curvatura normal en una direccin que forme un ngulo con respecto a una de las direcciones principales en funcin de ese ngulo y de las curvaturas principales.Consideramos una representacin paramtrica regular en las que las lneas

de curvatura sean las lneas paramtricas; esto es, ~r(u0; v) y ~r(u; v0) son laslneas de curvatura en el punto ~r(u0; v0). Por tanto, las direcciones (1; 0),(0; 1) son las direcciones principales. Y las curvaturas principales son:

k1 =IIP ((1; 0))

IP ((1; 0))=L

E; k1 =

IIP ((0; 1))

IIP ((0; 1))=N

G:

El coeciente F = 0 es cero pues las lneas de curvatura son ortogonales.La ecuacin de las direcciones principales es:

0 =

(v0(t))2 u0(t)v0(t) (u0(t))2E F GL M N

:33

Como (1; 0) es una direccin principal y F = 0, se tiene:

0 =

0 0 1E 0 GL M N

= EMy como (0; 1) es una direccin principal y F = 0, se tiene:

0 =

1 0 0E 0 GL M N

= GMComo GE 6= 0 pues la primera forma fundamental es denida positiva, en-tonces de las dos ecuaciones anteriores se deduce: M = 0. Por tanto, lacurvatura normal en la direccin de un vector (h; k) es:

kN(h; k) =IIP ((h; k))

IP ((h; k))=Lh2 +Nk2

Eh2 +Gk2

=L

E

Eh2

Eh2 +Gk2+N

G

Gk2

Eh2 +Gk2

y teniendo en cuenta que el ngulo que forma el el vector (h; k) y el vector(1; 0) satisface:

cos2 =IP ((h; k); (1; 0))

IP ((h; k)) IP ((1; 0))=

Eh2

Eh2 +Gk2;

sin2 = 1 cos2 = Gk2

Eh2 +Gk2;

se deduce:kN(h; k) = k1 cos

2 + k2 sin2

que es la frmula de Euler.

3 Supercies regladas

Denicin. Una supercie S se dice reglada si por cada punto P 2 S existeuna recta contenida en la supercie y que contiene al punto P .Toda supercie reglada S puede venir determinada por una curva C y un

vector ~wP asociado a cada punto P de la curva. La supercie est formada

34

por las rectas rP , con P 2 C, que contienen al punto P y tienen vectordirector ~wP . Por tanto, un punto X de la supercie satisface:

!OX =

!OP + t~wP con P 2 C, t 2 R:

Si consideramos una parametrizacin ~(u), u 2 I, de la curva C, un puntoarbitrario X de la recta que contiene al punto P 2 C con !OP = ~(u0) ytiene la direccin del vector ~wP se escribe de la siguiente forma:

!OX = ~(u0) + t~wP ; t 2 R:

Por tanto, una parametrizacin de la supercie es la siguiente:

~r(u; t) = ~(u) + t~w(u); (u; t) 2 I R:Para cada u0 2 I obtenemos una recta con parametrizacin:

~r(u0; t) = ~(u0) + t~w(u0); t 2 R:A dicha recta la llamamos generatriz de la supercie reglada.Para cada t0 2 R obtenemos una curva con parametrizacin:

~r(u; t0) = ~(u) + t0 ~w(u); u 2 I:A dicha curva la llamamos directriz de la supercie reglada.

Ejemplo Vamos a obtener una representacin paramtrica regular de lasupercie formada por las rectas que se apoyan en la elipse de ecuacionescartesianas: 4x2+2y2 = 3, z = 0 y que son paralelas a la recta de ecuacionesx+ y + z = 1 y x 2y = 0.Una parametrizacin de la elipse es:

~(s) =p

32cos s;

p3p2sin s; 0

; s 2 [0; 2):

La recta de ecuaciones x+y+z = 1 y x2y = 0 tiene la direccin del vector~w = (2; 1;3). Por tanto, una parametrizacin de dicha supercie es:~r(s; t) = ~(s) + t~w

=p

32cos s;

p3p2sin s; 0

+ t (2; 1;3)

=2t+

p32cos s; t+

p3p2sin s; 3t

; (s; t) 2 [0; 2) R:

35

La ecuacin implcita de la supercie es:

4(x+ 23z)2 + (y + 1

3z)2 = 3:

Denicin. Una supercie reglada S se dice desarrollable, si el planotangente a la supercie en cada punto de una generatriz es el mismo. Encaso contrario se dice que la supercie S no es desarrollable.Denicin. Una supercie reglada S se dice que es cnica si todas sus

generatrices contienen a un mismo punto Q al que se denomina vrtice de lasupercie.Una parametrizacin de una supercie cnica con vrtice Q es:

~r(u; t) =!OQ+ t

~(u)!OQ

; (u; t) 2 D R2;

siendo ~(u) una parametrizacin de una curva C contenida en la supercie.Las generatrices de dicha supercie tienen la direccin del vector ~w(u) =~(u)!OQ. Se tiene: ~w 0(u) = ~ 0(u).

Denicin. Una supercie reglada S se dice que es cilndrica si el vectorasociado a cada punto P de la supercie es proporcional a un vector jo ~w.Una parametrizacin de una supercie cilndrica es:

~r(u; t) = ~(u) + t~w; (u; t) 2 D R2;

siendo ~(u) una parametrizacin de una curva C contenida en la supercie.Se tiene: ~w 0 = ~0.Denicin. Una supercie reglada S se dice que es desarrollable tangen-

cial si cada punto de la curva directriz C con representacin paramtrica~(u) tiene asociado el vector tangente a la curva en dicho punto.

Una parametrizacin de una supercie desarrollable tangencial es:

~r(u; t) = ~(u) + t~ 0(u); (u; t) 2 D R2;

siendo ~(u) una parametrizacin de la curva directriz C.

3.1 Curvatura total de las supercies regladas

Vamos a comprobar que la curvatura de Gauss o total de una superciereglada es siempre menor o igual que cero.

36

Sea S una supercie reglada con parametrizacin:

~r(u; t) = ~(u) + t~w(u); (u; t) 2 D:Supongamos adems que todos los puntos de la supercie son regulares; estoes, ~ru(u; t) ^ ~rt(u; t) 6= ~0, para todo (u; t) 2 D. Se tiene:

~ru(u; t) = ~0(u) + t~w 0(u);

~rt(u; t) = ~w(u);

~N(u; t) =1

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)

=1

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k (~0(u) + t~w 0(u)) ^ ~w(u);

~ruu(u; t) = ~00(u) + t~w 00(u);

~rut(u; t) = ~w0(u);

~rtt(u; t) = ~0:

Por tanto, el determinante de la matriz de la segunda forma fundamental enun punto arbitrario P con

!OP = ~r(u; t) es: ~ruu(u; t) ~N(u; t) ~rut(u; t) ~N(u; t)~rut(u; t) ~N(u; t) ~0 ~N(u; t)

= ~rut(u; t) ~N(u; t)2 0:Teniendo en cuenta las expresiones de ~rut(u; t) y ~N(u; t) obtenemos:

~rut(u; t) ~N(u; t) = ~w 0(u) 1k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k ((~0(u) + t~w 0(u)) ^ ~w(u))

=1

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k [~w0(u); ~ 0(u) + t~w 0(u); ~w(u)]

=1

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k [~w0(u); ~ 0(u); ~w(u)] :

Por tanto, ~ruu(u; t) ~N(u; t) ~rut(u; t) ~N(u; t)~rut(u; t) ~N(u; t) ~0 ~N(u; t) = [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)]2k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k2 :

Teniendo en cuenta

det

E(u; t) F (u; t)F (u; t) G(u; t)

= k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k2 ;

det

L(u; t) M(u; t)M(u; t) N(u; t)

= [~

0(u); ~w(u); ~w 0(u)]2

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k2;

37

la curvatura total de una supercie reglada es:

KT (u; t) = [~0(u); ~w(u); ~w 0(u)]2

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k4 0:

Por tanto, los puntos de las supercies regladas son hiperblicos, parablicoso planos.Llamamos parmetro de distribucin y lo denotamos p(u) al valor del

producto mixto:p(u) = [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)] :

Si p(u) = 0 entonces KT (u; t) = 0 y el punto P con!OP = ~r(u; t) es un

punto parablico o plano. Una de las curvaturas principales es cero y portanto, las lneas asintticas son lneas de curvatura.Si p(u) 6= 0 entonces KT (u; t) < 0 y el punto P con !OP = ~r(u; t) es un

punto hiperblico. Una de las curvaturas principales es negativa y la otra espositiva.

3.2 Clasicacin de las supercies regladas

1. Si p(u) = [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)] = 0 para todo valor del parmetro ula supercie es desarrollable. Se tienen los siguientes casos:

(a) Si ~w 0(u) = ~0 entonces ~w(u) = ~w es un vector constante y lasupercie es una supercie cilndrica. En este caso, se tiene:

~ru(u; t) ^ ~rt(u; t) = (~ 0(u) + t~w 0(u)) ^ ~w(u)= ~ 0(u) ^ ~w:

Si ~ 0(u)^ ~w 6= ~0 (esto es, los vectores ~ 0(u) y ~w no son paralelos)entonces el vector normal es

~N(u; t) =~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k =

~ 0(u) ^ ~wk~ 0(u) ^ ~wk :

Ntese que es constante a lo largo de cada generatriz ya que nodepende del parmetro t.

38

(b) Si ~ 0(u) = ~0 entonces ~(u) es constante; esto es, consiste en unnico punto. La supercie es una supercie cnica. En este caso,se tiene:

~ru(u; t) ^ ~rt(u; t) = (~ 0(u) + t~w 0(u)) ^ ~w(u)= t~w 0(u) ^ ~w(u):

Si ~w 0(u) ^ ~w(u) 6= ~0 (esto es, los vectores ~w 0(u) y ~w(u) no sonparalelos) entonces el vector normal es

~N(u; t) =t~w 0(u) ^ ~w(u)kt~w 0(u) ^ ~w(u)k =

~w 0(u) ^ ~w(u)k~w 0(u) ^ ~w(u)k :

Ntese que es constante a lo largo de cada generatriz ya que nodepende del parmetro t.

(c) Si ~w 0(u) 6= ~0, ~ 0(u) 6= ~0 entonces la condicin p(u) = [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)] =0 nos indica que los vectores ~w 0(u), ~ 0(u) y ~w(u) son coplanarios.Se tiene:

~ru(u; t) ^ ~rt(u; t) = ~ 0(u) ^ ~w(u) + t~w 0(u) ^ ~w(u):

Como ~w 0(u), ~ 0(u) y ~w(u) son coplanarios los vectores ~ 0(u) ^~w(u) y ~w 0(u)^ ~w(u) son paralelos y por tanto, ~ru(u; t)^~rt(u; t) esproporcional al vector ~w 0(u)^ ~w(u) que no depende del parmetrot. Luego, el plano tangente es el mismo en todos los puntos de lageneratriz. Veremos ms adelante que en este caso la supercie esuna supercie desarrollable tangencial.

2. Si p(u) 6= 0 para todo valor del parmetro u la supercie es no desar-rollable o alabeada.

3.3 Puntos singulares de una supercie reglada

Los puntos singulares de una supercie con parametrizacin ~r(u; t) = ~(u)+t~w(u) son aquellos puntos P con

!OP = ~r(u; t), que verican:

~ru(u; t) ^ ~rt(u; t) = (~ 0(u) + t~w 0(u)) ^ ~w(u) = ~0:

39

Vamos a hallar los valores del parmetro t para los cuales se cumple la condi-cin anterior. Para ello, multiplicamos escalarmente la expresin anteriorpor ~w 0(u) ^ ~w(u), suponiendo ~w 0(u) ^ ~w(u) 6= ~0. Se tiene:

0 = (~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)) (~w 0(u) ^ ~w(u))= ((~ 0(u) + t~w 0(u)) ^ ~w(u)) (~w 0(u) ^ ~w(u))= (~ 0(u) ^ ~w(u)) (~w 0(u) ^ ~w(u)) + t k~w 0(u) ^ ~w(u)k2 ;

de donde, se obtiene:

t = (~0(u) ^ ~w(u)) (~w 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2 ;

Por tanto, los puntos singulares de la supercie se encuentran en la curvacon parametrizacin:

~(u) = ~(u) (~0(u) ^ ~w(u)) (~w 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2 ~w(u);

que llamamos lnea de estriccin. Llamamos puntos centrales a los puntosregulares de la lnea de estriccin. Ntese que en la lnea de estriccin ademsde los puntos singulares se encuentran los puntos de la supercie tales que elvector ~w 0(u) ^ ~w(u) es ortogonal al vector ~ru(u; t) ^ ~rt(u; t).

3.3.1 Puntos centrales

Veamos que en una supercie reglada no desarrollable la curvatura de Gaussalcanza su valor mximo en los puntos centrales. Supongamos p(u) 6= 0,teniendo en cuenta la expresin de la curvatura de Gauss:

KT (u; t) = [~0(u); ~w(u); ~w 0(u)]2

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k4< 0;

se deduce que el valor absoluto de la curvatura de Gauss, jKT (u; t)j, es mx-imo cuando el valor de

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k2

es mnimo. Llamamos ~v(u; t) = ~ru(u; t) ^ ~rt(u; t). Teniendo en cuenta lasiguiente expresin:

~ru(u; t) ^ ~rt(u; t) = ~ 0(u) ^ ~w(u) + t~w 0(u) ^ ~w(u);

40

se tiene:

0 =d

dtk~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k2

=d

dt(~v(u; t) ~v(u; t)) = 2 d

dt~v(u; t) ~v(u; t)

= 2 (~w 0(u) ^ ~w(u)) (~ 0(u) ^ ~w(u) + t~w 0(u) ^ ~w(u))= 2

(~w 0(u) ^ ~w(u)) (~ 0(u) ^ ~w(u)) + t k~w 0(u) ^ ~w(u)k2

:

Por tanto, el valor mximo de k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k2 se alcanza para el siguientevalor de t:

t = (~w0(u) ^ ~w(u)) (~ 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2 ;

que coincide con el valor del parmetro t de los puntos centrales de la super-cie. Por tanto, en los puntos centrales el valor absoluto de la curvatura deGauss es mximo.

3.3.2 Arista de retroceso

Si la supercie es desarrollable entonces los vectores ~ 0(u), ~w(u), ~w 0(u) soncoplanarios y el vector ~w 0(u)^ ~w(u) no es ortogonal al vector ~ru(u; t)^~rt(u; t).Por tanto, todos los puntos de la lnea de estriccin son puntos singulares yen este caso, a la curva con parametrizacin:

~(u) = ~(u) (~w0(u) ^ ~w(u)) (~ 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2 ~w(u);

la llamaremos arista de retroceso. A lo largo de la arista de retroceso lasupercie se desdobla en dos hojas.Como ~w 0(u), ~ 0(u) y ~w(u) son coplanarios, el vector ~ 0(u) se puede

escribir como combinacin lineal de los vectores ~w 0(u) y ~w(u):

~ 0(u) = (u)~w(u) + (u)~w 0(u):

Por tanto,

~ 0(u) ^ ~w(u) = ((u)~w(u) + (u)~w 0(u)) ^ ~w(u)= (u)~w 0(u) ^ ~w(u):

41

Multiplicando escalarmente la expresin anterior por el vector ~w 0(u)^ ~w(u)obtenemos:

(~ 0(u) ^ ~w(u)) (~w 0(u) ^ ~w(u)) = (u) k~w 0(u) ^ ~w(u)k2 ;

de donde

(u) =(~ 0(u) ^ ~w(u)) (~w 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2 ;

y la arista de retroceso se puede parametrizar como sigue:

~(u) = ~(u) (u)~w(u):

Por tanto, ~(u) = ~(u) + (u)~w(u) y podemos parametrizar la supercie enfuncin de la arista de restroceso como sigue:

~r(u; t) = ~(u) + (u)~w(u) + t~w(u)

= ~(u) + ((u) + t) ~w(u):

Derivando ~(u) = ~(u)(u)~w(u) y teniendo en cuenta ~ 0(u) = (u)~w(u)+(u)~w 0(u), se tiene:

~ 0(u) = ~ 0(u) 0(u)~w(u) (u)~w 0(u)= (u)~w(u) + (u)~w 0(u) 0(u)~w(u) (u)~w 0(u)= ((u) 0(u)) ~w(u):

Por tanto:

1. Si (u) = 0(u) entonces ~ 0(u) = ~0 y la supercie es una superciecnica.

2. Si (u) 6= 0(u), el vector ~w(u) es proporcional a ~ 0(u) y a superciees una superce desarrollable tangencial y puede parametrizarse comosigue:

~r(u; t) = ~(u) +t

(u) 0(u)~ 0(u); (u; t) 2 I R;

en funcin de su arista de retroceso.

42

3.4 Ejemplos y ejercicios

Ejemplo 1 Dar una parametrizacin de la supercie engendrada porlas rectas tangentes a la curva ~(u) = (eu; eu; u).El vector director de la recta generatriz que se apoya en el punto ~(u) de

la curva directriz es:~ 0(u) = (eu;eu; 1):

Por tanto, una parametrizacin de la supercie es:

~r(u; t) = ~(u) + t~ 0(u)

= (eu + teu; eu teu; u+ t):Dicha supercie es una supercie desarrollable tangencial con arista de retro-ceso ~(u).

Ejemplo 2 Vamos a clasicar la supercie con parametrizacin:

~r(u; v) =u+ v cosu; u2 + v sinu; u3

:

La parametrizacin anterior es lineal en el parmetro v. Por tanto, lapodemos escribir como sigue:

~r(u; v) =u; u2; u3

+ v (cosu; sinu; 0)

= ~(u) + v ~w(u);

con

~(u) =u; u2; u3

;

~w(u) = (cosu; sinu; 0) :

Tenemos:

~ 0(u) =1; 2u; 3u2

;

~w 0(u) = ( sinu; cosu; 0) :Por tanto, el parmetro de distribucin es:

p(u) = [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)]

= det

0@ 1 2u 3u2cosu sinu 0 sinu cosu 0

1A= 3u2 6= 0 si u 6= 0.

43

La supercie es una supercie alabeada.Los puntos singulares de la supercie son los que satisfacen la siguiente

condicin:

~0 = ~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)=

1 v sinu; 2u+ v cosu; 3u2 ^ (cosu; sinu; 0)

=3u2 sinu; 3u2 cosu; sinu 2u cosu v ;

esto es, 8

Ejemplo 3 Obtener una parametrizacin de la supercie formada porsegmentos que se apoyan en el arco de circunferencia x2 + y2 = 1, z = 0, delprimer octante y el segmento de la recta x+ y = 1, z = 0 del primer octante.Primero vamos a obtener parametrizaciones del arco de circunferencia y

del segmento respectivamente. El arco de circunferencia lo parametrizamoscomo sigue:

1 : [0; =2] ! R3;1() = (cos; sin; 0):

Parametrizamos el segmento con el mismo parmetro con el que hemos para-metrizado el arco de circunferencia. Teniendo en cuenta el siguiente dibujo:

obtenemos:1 r = 1

cos+ sin;

por tanto, podemos parametrizar el segmento como sigue:

2 : [0; =2] ! R3;2() =

cos

cos+ sin; 1 cos

cos+ sin; 4

:

Consideramos ahora el vector director de la recta que se apoya en el arco decircunferencia y en el segmento:

w() = 2() 1()=

cos

cos+ sin cos; 1 cos

cos+ sin sin; 4

:

Por tanto, una parametrizacin de la supercie considerada es:

~r(; t) = 1() + tw()

= (cos; sin; 0) + t

cos

cos+ sin cos; 1 cos

cos+ sin sin; 4

;

con 2 [0; =2] y t 2 [0; 1].

45

Ejercicio 1 Parametrizar la supercie formada por rectas forman unngulo de 45o con el eje OZ y que se apoyan en la elipse de ecuacionesx2

4+ y

2

3= 1, z = 0 y en la circunferencia contenida en el plano z = 20, de

ecuacin x2 + y2 = 1. Vase la siguiente gura:

Ejercicio 2 Parametrizar la supercie formada por rectas que se apoyanen el segmento de ecuacin x+y = 1, contenido en el plano z = 4, y en el arcode circunferencia del primer cuadrante del plano z = 0, de la circunferenciacentrada en el origen y de radio unidad Vase la siguiente gura:

46

4 Bibliografa

1. A. F. Costa, M. Gamboa, A. M. Porto, Ejercicios de Geometra Difer-encial de curvas y supercies, Sanz y Torres, 1998.

2. Manfredo P. do Carmo, Dierential geometry of curves and surfaces,Englewood Clis, New Jersey: Prentice Hall, 1976.

3. Dirk J. Struik, Lectures on Classical Dierential Geometry, Dover Pub-lications, Inc., N.Y., 1961.

47