Estadstica

La Estadstica trata del recuento, ordenacin y clasificacin de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Un estudio estadstico consta de las siguientes fases: Recogida de datos.Organizacin y representacin de datos. Anlisis de datos.Obtencin de conclusiones.

Conceptos de Estadstica

Poblacin

Una poblacin es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadstico.

Individuo

Un individuo o unidad estadstica es cada uno de los elementos que componen la poblacin.

Muestra

Una muestra es un conjunto representativo de la poblacin de referencia, el nmero de individuos de una muestra es menor que el de la poblacin.

Muestreo

El muestreo es la reunin de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporcin reducida y representativa de la poblacin.

Valor

Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadstico.Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.

Dato

Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadstico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

1Variable estadstica

Definicin de variable

Una variable estadstica es cada una de las caractersticas o cualidades que poseen los individuos de una poblacin.

Tipos de variable estadsticas

Variable cualitativa

Las variables cualitativas se refieren a caractersticas o cualidades que no pueden ser medidas con nmeros. Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominal

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numricas que no admiten uncriterio de orden. Por ejemplo:

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no nmericas, en las que existe unorden. Por ejemplo:

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente. Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1, 2, 3, ...Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un nmero, por tanto se pueden realizar operaciones aritmticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discreta

Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores especficos. Por ejemplo:

El nmero de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable continua

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos nmeros.Por ejemplo:

La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

En la prctica medimos la altura con dos decimales, pero tambin se podra dar con tres decimales.

Tablas de estadstica

Distribucin de frecuencias

La distribucin de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenacin en forma de tabla de los datos estadsticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Frecuencia absoluta

Tipos de frecuencias

La frecuencia absoluta es el nmero de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadstico.

Se representa por fi.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al nmero total de datos, que se representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega (sigma mayscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y elnmero total de datos.

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Se representa por Fi.

Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el nmero total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

Ejemplo

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas mximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31,34, 33, 33, 29, 29.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

xiRecuentofiFiniNi

27I110.0320.032

28II230.0650.097

29

690.1940.290

30

7160.2260.0516

31

8240.2580.774

32III3270.0970.871

33III3300.0970.968

34I1310.0321

311

Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.

Distribucin de frecuencias agrupadas

La distribucin de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si lasvariables toman un nmero grande de valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Lmites de la clase

Cada clase est delimitada por el lmite inferior de la clase y el lmite superior de la clase.

Amplitud de la clase

La amplitud de la clase es la diferencia entre el lmite superior e inferior de la clase.

Marca de clase

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo elintervalo para el clculo de algunos parmetros.

Construccin de una tabla de datos agrupados

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27,47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1 se localizan los valores menor y mayor de la distribucin. En este caso son 3 y 48.

2 Se restan y se busca un nmero entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el nmero de intervalos de queramos poner.

Es conveniente que el nmero de intervalos oscile entre 6 y 15.

En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el nmero hasta 50 : 5 = 10 intervalos.

Se forman los intervalos teniendo presente que el lmite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el lmite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

cifiFiniNi

[0, 5)2.5110.0250.025

[5, 10)7.5120.0250.050

[10, 15)12.5350.0750.125

[15, 20)17.5380.0750.200

[20, 25)22.53110.0750.2775

[25, 30)27.56170.1500.425

[30, 35)32.57240.1750.600

[35, 40)37.510340.2500.850

[40, 45)42.54380.1000.950

[45, 50)47.52400.0501

401

Diagrama de barras

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Ejemplo

Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguneo ha dado el siguiente resultado:

Grupo sanguneofi

A6

B4

AB1

09

20

Polgonos de frecuencia

Un polgono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.

Tambin se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y unindolos mediante segmentos.

Ejemplo

Las temperaturas en un da de otoo de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

HoraTemperatura

67

912

1214

1511

1812

2110

248

Diagrama de sectores

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

Los datos se representan en un crculo, de modo que el ngulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ngulos.

Ejemplo

En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natacin, 4 juegan al ftbol y el resto no practica ningn deporte.

Alumnosngulo

Baloncesto12124

Natacin336

Ftbol9108

Sin deporte672

Total30360

Histograma

Un histograma es una representacin grfica de una variable en forma de barras.

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran nmero de datos, y que se han agrupado en clases.

En el eje abscisas se construyen unos rectngulos que tienen

por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo. La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Polgono de frecuencia

Para construir el polgono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectngulo.

10Ejemplo

El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:

cifiFi

[50, 60)5588

[60, 70)651018

[70, 80)751634

[80, 90)851448

[90, 100)951058

[100, 110)110563

[110, 120)115265

65

11Histograma y polgono de frecuencias acumuladas

Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene elhistograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente polgono.

Histogramas con intervalos de amplitud diferente

Para costruir un histogramas con intervalo de amplitud diferente tenemos que calcular lasalturas de los rectngulos del histograma.

hi es la altura del intervalo

fi es la frecuencia del intervalo

ai es la amplitud del intervalo

Ejemplo

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas pr un grupo de 50 alumnos.

fihi

[0, 5)153

[5, 7)2010

[7, 9)126

[9, 10)33

50

Parmetros estadsticos

Definicin de parmetro estadstico

Un parmetro estadstico es un nmero que se obtiene a partir de los datos de una distribucin estadstica.

Los parmetros estadsticos sirven para sintetizar la informacin dada por una tabla o por una grfica.

Tipos de parmetros estadsticos

Hay tres tipos parmetros estadsticos: De centralizacin.De posicin De dispersin.

Medidas de centralizacin

Nos indican en torno a qu valor (centro) se distribuyen los datos. La medidas de centralizacin son:Media aritmtica

La media es el valor promedio de la distribucin.

Mediana

La mediana es la puntacin de la escala que separa la mitad superior de la distribucin y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.

Moda

La moda es el valor que ms se repite en una distribucin.

Medidas de posicin

Las medidas de posicin dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nmero de individuos.

Para calcular las medidas de posicin es necesario que los datos estn ordenados de menor a mayor.

La medidas de posicin son:

Cuartiles

Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.

Deciles

Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales. PercentilesLos percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.

Medidas de dispersin

Las medidas de dispersin nos informan sobre cunto se alejan del centro los valores de la distribucin.

Las medidas de dispersin son:

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribucin estadstica.

Desviacin media

La desviacin media es la media aritmtica de los valores absolutos de las desviacionesrespecto a la media.

Varianza

La varianza es la media aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la media. Desviacin tpicaLa desviacin tpica es la raz cuadrada de la varianza.

Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo.Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Hallar la moda de la distribucin: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5Mo= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la mxima, la distribucin es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda. 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia mxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

Clculo de la moda para datos agrupados

1 Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li es el lmite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal. fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal. ai es la amplitud de la clase.Tambin se utiliza otra frmula de la moda que da un valor aproximado de sta:

Ejemplo

Calcular la moda de una distribucin estadstica que viene dada por la siguiente tabla:

fi

[60, 63)5

[63, 66)18

[66, 69)42

[69, 72)27

[72, 75)8

100

2 Los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La frmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

Ejemplo

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.

fihi

[0, 5)153

[5, 7)2010

[7, 9)126

[9, 10)33

50

Mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando stos estn ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar slo para variables cuantitativas.

Clculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Si la serie tiene un nmero impar de medidas la mediana es la puntuacin central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3 Si la serie tiene un nmero par de puntuaciones la mediana es la media entre las dospuntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Clculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .

Li-1 es el lmite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo

Calcular la mediana de una distribucin estadstica que viene dada por la siguiente tabla:

fiFi

[60, 63)55

[63, 66)1823

[66, 69)4265

[69, 72)2792

[72, 75)8100

100

100 / 2 = 50

Clase modal: [66, 69)

Media aritmtica

Definicin de media aritmtica

La media aritmtica es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre elnmero total de datos.

es el smbolo de la media aritmtica.

Ejemplo

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Media aritmtica para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresin de la media es:

20Ejemplo de media aritmtica

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuacin media.

xifixi fi

[10, 20)15115

[20, 30)258200

[30,40)3510350

[40, 50)459405

[50, 60558440

[60,70)654260

[70, 80)752150

421 820

Propiedades de la media aritmtica

1 La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribucin respecto a la mediade la misma igual a cero.

Las suma de las desviaciones de los nmeros 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmtica 7.6 es igual a0:

8 7.6 + 3 7.6 + 5 7.6 + 12 7.6 + 10 7.6 =

= 0. 4 4.6 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

2 La media aritmtica de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un nmero cualquiera se hace mnima cuando dicho nmero coincide con la media aritmtica.

21

3 Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo nmero, la media aritmtica quedaaumentada en dicho nmero.

4 Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo nmero la media aritmticaqueda multiplicada por dicho nmero.

Observaciones sobre la media aritmtica 1 La media se puede hallar slo para variables cuantitativas.2 La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

3 La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribucin con los siguientes pesos:

65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.

La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralizacin poco representativa de la distribucin.

4 La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

xifi

[60, 63)61.55

[63, 66)64.518

[66, 69)67.542

[69, 72)70.527

[72, )8

100

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de ltimo intervalo.

Cuartiles

Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenadosen cuatro partes iguales.

Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos. Q2 coincide con la mediana.Clculo de los cuartiles

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresin .Nmero impar de datos

2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

Nmero par de datos

2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

Clculo de los cuartiles para datos agrupados

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra ,en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el lmite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

Ejemplo de cuartiles

Calcular los cuartiles de la distribucin de la tabla:

fiFi

[50, 60)88

[60, 70)1018

[70, 80)1634

[80, 90)1448

[90, 100)1058

[100, 110)563

[110, 120)265

65

Clculo del primer cuartil

Clculo del segundo cuartil

Clculo del tercer cuartil

Deciles

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

D5 coincide con la mediana.

Clculo de los deciles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el lmite inferior de la clase donde se encuentra la mediana. N es la suma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

Ejemplo de deciles

Calcular los deciles de la distribucin de la tabla:

fiFi

[50, 60)88

[60, 70)1018

[70, 80)1634

[80, 90)1448

[90, 100)1058

[100, 110)563

[110, 120)265

65

Clculo del primer decil

Clculo del segundo decil

Clculo del tercer decil

Clculo del cuarto decil

Clculo del quinto decil

Clculo del sexto decil

Clculo del sptimo decil

Clculo del octavo decil

Clculo del noveno decil

Percentiles

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. P50 coincide con la mediana.Clculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra ,en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el lmite inferior de la clase donde se encuentra la mediana. N es la suma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

Ejercicio de percentiles

Calcular el percentil 35 y 60 de la distribucin de la tabla:

fiFi

[50, 60)88

[60, 70)1018

[70, 80)1634

[80, 90)1448

[90, 100)1058

[100, 110)563

[110, 120)265

65

Percentil 35

Percentil 60

Desviacin respecto a la media

La desviacin respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadstica y la media aritmtica.

30Di = x - x

Desviacin media

La desviacin media es la media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviacin media se representa por

Ejemplo

Calcular la desviacin media de la distribucin: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviacin media para datos agrupados

es:

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresin de la desviacin media

Ejemplo

Calcular la desviacin media de la distribucin:

xifixi fi|x - x||x - x| fi

[10, 15)12.5337.59.28627.858

[15, 20)17.5587.54.28621.43

[20, 25)22.57157.50.7144.998

[25, 30)27.541105.71422.856

[30, 35)32.526510.17421.428

21457.598.57

Varianza

La varianza es la media aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribucin estadstica.

La varianza se representa por .

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el clculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

31

Varianza para datos agrupados

Ejemplos de varianza

Calcular la varianza de la distribucin: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la varianza de la distribucin de la tabla:

xifixi fixi2 fi

[10, 20)15115225

[20, 30)2582005000

[30,40)351035012 250

[40, 50)45940518 225

[50, 6055844024 200

[60,70)65426016 900

[70, 80)75215011 250

421 82088 050

Propiedades de la varianza

1 La varianza ser siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un nmero la varianza no vara.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un nmero la varianza quedamultiplicada por el cuadrado de dicho nmero.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamao:

Si las muestras tienen distinto tamao:

Observaciones sobre la varianza

1 La varianza, al igual que la media, es un ndice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco ser posible hallar la varianza.

3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones estn elevadas al cuadrado.

Desviacin tpica

La desviacin tpica es la raz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviacin. La desviacin tpica se representa por .

Desviacin tpica para datos agrupados

Para simplificar el clculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviacin tpica para datos agrupados

Ejemplos de desviacin tpica

Calcular la desviacin tpica de la distribucin: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la desviacin tpica de la distribucin de la tabla:

xifixi fixi2 fi

[10, 20)15115225

[20, 30)2582005000

[30,40)351035012 250

[40, 50)45940518 225

[50, 60)55844024 200

[60,70)65426016 900

[70, 80)75215011 250

421 82088 050

Propiedades de la desviacin tpica

1 La desviacin tpica ser siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un nmero la desviacin tpica no vara.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un nmero la desviacin tpica quedamultiplicada por dicho nmero.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivasdesviaciones tpicas se puede calcular la desviacin tpica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamao:

Si las muestras tienen distinto tamao:

Observaciones sobre la varianza

1 La desviacin tpica, al igual que la media y la varianza, es un ndice muy sensible a las puntuaciones extremas.2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco ser posible hallar la desviacin tpica. 3 Cuanta ms pequea sea la desviacin tpica mayor ser la concentracin de datos alrededorde la media.

Coeficiente de variacin

El coeficiente de variacin es la relacin entre la desviacin tpica de una muestra y su media.

El coeficiente de variacin se suele expresar en porcentajes:

El coeficiente de variacin permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas.

Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre s. La mayor dispersin corresponder al valor del coeficiente de variacin mayor.Ejemplo

Una distribucin tiene x = 140 y = 28.28 y otra x = 150 y = 25C. ul de las dos presenta mayor dispersin?

La primera distribucin presenta mayor dispersin.

Puntuaciones tpicas

Puntuaciones diferenciales

Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmtica.

xi = Xi X

Puntuaciones tpicas

Las puntuaciones tpicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre ladesviacin tpica. Este proceso se llama tipificacin. Las puntuaciones tpicas se representan por z.

Observaciones sobre puntuaciones tpicas

La media aritmtica de las puntuaciones tpicas es 0. La desviacin tpica de las puntuaciones tpicas es 1.Las puntuaciones tpicas son adimensionales, es decir, son independientes de las unidades utilizadas.

Las puntuaciones tpicas se utilizan para comparar las puntuaciones obtenidas en distintas distribuciones.

Ejemplo

En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y 54.4 kg. Las desviaciones tpicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de Jos es de 70 kg y el de Ana es 65 kg. Cul de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse ms grueso?

Jos es ms grueso respecto de su grupo el Pilar respecto al suyo.