apuntesdeclasesintryformulacionorlpr

Prof. Lorena Pradenas, Dr. Sc.

INVESTIGACIINVESTIGACIÓÓN DE OPERACIONESN DE OPERACIONES

CienciaProporciona técnicas

matemáticas y algoritmicasArte

Depende de creatividad yhabilidad

Determinar el mejor (optimo) CURSO de ACCION de un problema DECISIÓN en condiciones de RECURSOS ESCASOS

PROGRAMACIÓN MATEMATICA PERMITE MODELAR Y ANALIZAR PROBLEMAS DE DECISIÓN


PROBLEMAS DE DECISIONPROBLEMAS DE DECISION

OBJETIVOS(Costos, Beneficios)

VARIABLES

OPTIMIZAR

• Concepción Física y operacional más adecuada para un problema de decisión INTUICIÓN, EXPERIENCIA, PRACTICA, CREATIVIDAD.

• Definir límites físicos (cap., rest.) de la formulación seleccionada para representar la situación real.ESPIRITU OBSERVADOR, ANALITICO.

• Definir modelo adecuado y somerterlo a pruebas (análisis de sensibilidad).

FORMACIFORMACIÓÓN MATEMATICA Y ESPIRITU ANALN MATEMATICA Y ESPIRITU ANALÍÍTICOTICO


MODELOS DE I.O.MODELOS DE I.O.

MODELO

Abstracción del sistema real.Soporte para analizar un problema de decisión

Situación Real

Situaciónpropuesta

MODELO

UN MODELO REQUIERE

OBJETIVOS f (variables de decisión)

RESTRICCIONES f (variables de decisión)


EJEMPLOEJEMPLO

Determinar la cantidad a producir en una empresa productiva.

Factores

Departamento de Producción: Número de horas máquina disponibles, secuencia de operación en cada máquina, cantidad que debe existir en inventarios, cantidad de productos defectuosos, etc.

Departamento de Materiales: Stock de materiales disponibles, velocidad de reparto de material comprado, limitación de almacenamiento, etc.

Departamento de Marketing: Ventas pronosticadas, capacidad de producción, competencia (efectos), etc.


MODELO DE PRODUCCIMODELO DE PRODUCCIÓÓNN

Considerando todos los factores

Suponiendo

VariablesAsignación de horas maquinaAsignación de horas trabajoVelocidad de Inspección

Restricciones

Capacidad de maquinaLimite de horas de trabajoLimite para producción en inventarioLimite en tiempo de personalLimite de almacenamiento


MODELOS DE I.O. (tipos)MODELOS DE I.O. (tipos)

h Modelos MatemáticosModelos de simulación

Modelos Heurísticos

h Supone que variables, parámetros y Restricciones.SON CUANTIFICABLES.

IMITAN el comportamiento del sistema en un periodo de tiempo.

Procedimientos de búsqueda desde un punto de solución a otro con el fin de mejorar el objetivo. (aprox.)

OPTIMO: Mejor solución para un problema respecto del modelo utilizado.


SOLUCISOLUCIÓÓN DE PROBLEMA DE DECISIONN DE PROBLEMA DE DECISION(PROCEDIMIENTOS)(PROCEDIMIENTOS)

Definición del problema.(objetivos, restricciones, ...)

Construcción del modelo(elegir el modelo)

Solución del modelo(obtener solución optima con técnicas de optimización)

Validación del modelo(análisis de sensibilidad)

Implementación de resultados finales.


DISPONIBILIDAD DE DATOS

AFECTAN DIRECTAMENTE

EL MODELO

EN MODELOS DE I.O. EN PASOS O

ITERACIONES

SOLUCIONES OBTENIDAS

Utilizar Computador


FORMULACIFORMULACIÓÓN DE PROBLEMAS N DE PROBLEMAS DE DECISIDE DECISIÓÓNN

PASOS:

Determinar tipo de problema maximización o minimización

Definir las variables de decisión

Construir función objetivo

Construir restricciones

Incluir no negatividad (si necesario)


PROBLEMAPROBLEMA

Considere el problema de cargar un camión con

cantidades de N ITEMES cada UNIDAD DEL

ITEM I tiene un peso de wi y un retorno de ri (i =

1,..., n) la capacidad máxima de carga es W.

Formule como un problema de decisión que

permita obtener la carga de mayor beneficio

que no exceda la capacidad máxima del camión.


PROBLEMA DE MPROBLEMA DE MÁÁXIMOXIMO

Xi : Número de Unidades del Item i a Cargar i=1,...,N

MAX ∑=

N

iii xr

1Función Objetivo

∑=

≤N

iii wxw

1

Restricción

0≥iX y Enteros i=1,...,N


RESTRICCIRESTRICCIÓÓN DE NO NEGATIVIDADN DE NO NEGATIVIDAD

MAX : ∑=

N

iii xr

1

s.a.: ∑=

≤N

iii wxw

1

0≥iX y Enteros

MODELO: LINEAL ENTERO


PROBLEMA DE TRANSPORTE CLPROBLEMA DE TRANSPORTE CLÁÁSICOSICO

La E.B.C. (Empresa Brasileña de Café) procesa semillas de café

en m plantas. El café es entonces transportado todas las

semanas para n almacenes en las mayores ciudades del país

para venderlo, distribuirlo y exportarlo. Supongamos que el

costo de la unidad transportada desde la planta i hasta el

almacén j es cij la capacidad de producción de la planta i es ai y

la demanda del almacén j es bj. Deseamos encontrar el modelo

de transporte que minimice los costos totales de transporte.

Este es el conocido problema de transporte clásico.


1

2

m

1

2

n

PLANTAPLANTA ALMACALMACÉÉNN

b1

b2

bn

a1

a2

am

iii

iii


PROBLEMA DE TRANSPORTEPROBLEMA DE TRANSPORTE

Min1=

∑i

m

1=∑j

n

cij xij

1=∑j

n

xij ja≤ , i = 1, 2, ..., m

1=∑i

m

xij jb≥ , j = 1, 2, ..., n

xij o≥ ; i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n


EJEMPLO 2.2EJEMPLO 2.2

x1 : NÚMERO DE DIAS QUE OPERA A

x2 : NÚMERO DE DIAS QUE OPERA B

Problema de Programación lineal

Información de costo

Variable de Decisión

Probl. Mínimo

Función Objetivo

MINIMIZA Z = 4200 x1 x2+ 3000


Restricciones

Se DISPONE DE CAPACIDAD

7021203212024

21

21

21

≥+≥+≥+

xxxxxx P.C.

Fotocopia

Imp.

Restricciones de no negatividad

,x1 x2 0≥


PROBLEMA COMPAPROBLEMA COMPAÑÍÑÍA WINDOR GLASSA WINDOR GLASS

La Compañía Windor Glass produce artículos de vidrio de alta calidad, incluyendo ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1; los marcos de madera se fabrican en la 3 se producen en vidrio y se ensamblan los productos.

Debido a que las ganancias se han reducido la gerencia general decidió reorganizar la línea de producción. Se discontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de productos nuevos que han tenido demanda. Uno de los productos propuestos (producto 1) es una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio. El otro (producto 2) es


Una ventana grande (4x6 pies) para vidrio doble con marco de madera. EL departamento de mercadotecnia ha sacado por conclusión que la compañía puede vender todo lo que pueda producir de cualquiera de los productos. Sin embargo, como ambos productos compiten por la misma capacidad de producción en la planta 3, no es obvio que mezcla de los dos productos sería la más redituable. Por todo esto, la gerencia pidió al departamento de investigación de operaciones que estudiara el caso.

Después de hacer algunas investigaciones, el departamento de I. De O. Determinó:


El porcentaje de la capacidad de producción en cada planta estará disponible para estos productos.

El porcentaje de esta capacidad que requiere cada unidad producida por minutos y

La ganancia unitaria por cada producto. Esta información se resume en la tabla.

Como cualquiera que sea la capacidad utilizada por uno de los productos en la planta 3, el otro ya no puede aprovecharla, de inmediato el departamento de I. De O. Reconoció éste como un problema de programación lineal clásico de mezcla de productos y emprendió la tarea de formular y resolver el problema.


PROBLEMA COMPAPROBLEMA COMPAÑÍÑÍA A ““WINDOR GLASSWINDOR GLASS””

PLANTA 1: Marcos y molduras de aluminio.

PLANTA 2: Marcos de madera.

PLANTA 3: Produce vidrios, ensamblan productos.

Productos NuevosProducto 1

Producto 2

Después del estudio :Capacidad usada por unidad de tasa de producción


Planta Producto Cap. Disponible1 2

1 1 0 42 0 2 123 3 2 18

GananciaUnitaria 3 US$ 5US$

Variable

X1 : Cantidad/Mínima de producto 1 producida

X2 : Cantidad/Mínimo de producto 2 producida

Z : Ganancia/Mínima


Objetivo : Seleccionar valores de X1 y X2 que

maximice : z= 3X1 + 5X2

Restricciones :

Producción 1: usa 1% de capacidad Planta 1 y se dispone de 4%

41 ≤x

Producción 2: (igualmente) Planta 2

122 2≤x

Para la planta 3:

1823 21 ≤+ xx


Max.: 21 53 xx +

s.a. :1x 4≤

22x 12≤

21 33 xx + 18≤

0,0 21 ≥⟩ xx

Restricción de no negatividad

0, 21 ≥≥ xx


Problema 2.6

Artículos de Vidrio

Existen 3 Plantas

Nueva producción: 2 productos.

FORMULACIÓN COMO P. L.

21 53 xxZ += :max

s.a. : 1x 4≤

22 x 12≤

21 23 xx + 18≤

0,0 21 ≥⟩ xx

MÉTODO GRÁFICOMáximo dos variables


SOLUCION GRÁFICA DE PROBLEMAS DE P. L.

(Máximo 2 variables)

41 =x

1x

62 =x

4

62x

1. Identificar valores de y permitidos1x 2x

⇒⟩0),( 21 xx 1er. CUADRANTE

6,4 21 ≤≤ xx


6

44 =x

1x

62 =x

4

6

1823 21 =+ xx

9

Región de Valores permisibles

R.F.

Ahora es necesario ubicar dentro de esta región el punto que maximiza el valor de z.

Por prueba y error seleccionar

21

21

53205310

xxzxxz

+==+==

Solo una familia de curvas es necesario


z =20

z =10

(2,6)2x

1x

Máximo Z

36)6(5)2(353 21 =+=+= xxz

Fabrica PRODUCTO 1 y 2 a una TASA de 2 y 6 por minuto respectivamente con una ganancia de 36 unidades.


MODELO DE P.L.

MINIMIZAR nnxcxcxcZ ++= 2211

s.a.:11212111 ... bxaxaxa nn ≥+++

22222121 ... bxaxaxa nn ≥+++...

mnmnmm bxaxaxa ≥+++ ...2211

0,...,0,0 21 ≥≥≥ nxxx

m RECUERSOS LIMITADOS, n ACTIVIDADES COMPE.


Pasos para formular un problema de P.L.

Determinar tipo de problemaDef. variable de decisiónEstablecer función objetivoEstablecer RestriccionesRestricciones de no negatividad

apuntesdeclasesintryformulacionorlpr

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