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1 Funciones reales

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Función es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento deun conjunto A un único elemento del conjunto B, es decir, ∀x ∈ A∃!y ∈B | y = f (x).

Anotamos

f :A→ B

x 7→ f (x) = y

Al elemento y se le llama imagen de x según f .El conjunto A se denomina dominio de f , anotamos dom f .El conjunto B se denomina codominio de f , anotamos cod f .El conjunto f (A) se denomina recorrido o rango de f , anotamos rec f .Nota: Una función real es una función que está definida en R ×R o

en un subconjunto de éste, es decir, f : A ⊂ R → R.

Tipos de funciones

a) La función f : A → B se dice inyectiva ⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ A | x1 6=x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2). Significa que elementos distintos del dominiotienen imágenes distintas.

b) La función f : A → B se dice epiyectiva⇐⇒ ∀y ∈ B∃x ∈ A | y =f (x). Significa que el codominio de f es igual al recorrido de f .

c) La función f : A → B se dce biyectiva si es inyectiva y epiyectivasimultáneamente.

d) La función inversa de f , anotamos f−1, existe sólo si f es una fun-ción biyectiva.

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1. Indique cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) funcionesreales.

1

1. FUNCIONES REALES

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

2. Dadas las siguientes relaciones en R, identifique las que represen-tan funciones reales.

A1 = {(x, y) | y = x}A2 = {(x, y) | y = 5x− 2}A3 = {(x, y) | y < (x/4)− 8}A4 = {(x, y) | y = −(3/4)x− 5}A5 = {(x, y) | y2 = x}A6 = {(x, y) | y < x}A7 = {(x, y) | y ≥ 2x + 3}A8 = {(x, y) | y = (x + 4)/5}A9 = {(x, y) | y = −3}A10 = {(x, y) | y = (x− 1)2}

A11 = {(x, y) | y =√x + 3}

A12 = {(x, y) | x = 4}A13 = {(x, y) | y =

√9− x}

A14 = {(x, y) | y2 = 9x2}A15 = {(x, y) | y = x2 + 2}A16 = {(x, y) | x2 + y2 = 16}A17 = {(x, y) | y = |x| − 2}A18 = {(x, y) | y = 6/x}A19 = {(x, y) | y = x2 − 5x + 6}A20 = {(x, y) | x = y2 − 5y+ 6}

2

Ejercicios propuestos

3. Considere las funciones reales definidas por

f (x) = x2 − 1

g(x) = 2− 3x

h(x) = −√

16− x2

p(x) = |x− 4|

r(x) =

{

(x + 2)2 si x < 0

(x− 2)2 si x ≥ 0

Determine:

a) f (−2)b) g(2/3)

c) h(√12)

d) p(√16)

e) f (−4)− g(2)

f ) 4h(0) + f (3)

g) g(1− x)

h) f (√x + 1)

i) f (h(4))

j) p(−2)− 3p(2)

k) f (g(h(√7)))

l) h( f (g(1)))

m) r(4)

n) r(1)− r(−1)

4. Dadas las funciones reales:

f1(x) = x2

f2(x) = x3

f3(x) =√x

f4(x) = 3√x

f5(x) = 1/x

f6(x) = 1/x2

f7(x) = x2 − 2

f8(x) = 3x− 1

f9(x) = |x|f10(x) = (x− 2)2

a) Construya una tabla de valores y grafique cada una de ellas.

b) Por inspección visual del gráfico, obtenga el dominio y rango.

c) En cada caso, determine la función inversa, si existe.

5. Obtenga dominio, recorrido y gráfico de las funciones identificadasen 2.

6. Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones:

a) y = 2x + 1

b) y = 3x−2

c) y = 3x+12x−10

d) y = x−1x2−5x+6

e) y =√x− 1

f ) y =√9− x

g) y =√2x + 1

h) y =√4− x2

i) y =√x2 + 2x− 3

j) y =√

x+1x−2

k) y = 6√x

l) f (t) = 5√t−1

m) y = 3√x + 1

n) y = log(x + 5)

7. Determine para cuál(es) valor(es) de x las siguientes funciones realesno están definidas o están indeterminadas.

3

1. FUNCIONES REALES

a) f (x) = 3x−2x+1

b) f (x) = x+3x2−9

c) f (x) = 4x2−252x+5

d) f (x) = (x−1)3x3−1

e) f (x) = x2−4x2+6x+8

f ) f (x) = 3+√x

x−9

8. Considere las siguientes funciones definidas en intervalos:

f (x) =

{

−x si x ≤ 0√x si x > 0

g(x) =

{√x + 2 si x ≥ −2

−(x + 2) si x < −2

a) Determine el dominio y recorrido de f y g.

b) ¿Existe algún valor de x para que las funciónes f y g se indefi-nan o indeterminen?

c) Grafique la función f .

Soluciones

1. 1b, 1e, 1f , 1g y 1h son funciones. 1a, 1c y 1d son relaciones.

2. Son funciones reales: A1, A2, A4, A8, A9, A10, A11, A13, A15,A17, A18, A19.

3. a) 3

b) 0

c) −2

d) 0

e) 19

f ) −8

g) 3x− 1

h) x

i) −1

j) 0

k) 120

l) −4

m) 4

n) 0

4.

f1(x) = x2 f2(x) = x3

Dominio: R Dominio: R

Recorrido: R+ ⋃{0} Recorrido: R

Función inversa: No tiene Función inversa: y = 3√x

4


f3(x) =√x f4(x) = 3

√x

Dominio: R+ ⋃{0} Dominio: R

Recorrido: R+ ⋃{0} Recorrido: R

Función inversa: y = x2 Función inversa: y = x3

f5(x) = 1/x f6(x) = 1/x2

Dominio: R− {0} Dominio: R− {0}Recorrido: R− {0} Recorrido: R+

Función inversa: y = 1/x Función inversa: No tienef7(x) = x2 − 2 f8(x) = 3x− 1


Recorrido: {y | y > −2} Recorrido: R

Función inversa: No tiene Función inversa: y = x+13

5

1. FUNCIONES REALES

f9(x) = |x| f10(x) = (x− 2)2


Recorrido: R+ ⋃{0} Recorrido: R+ ⋃{0}Función inversa: No tiene Función inversa: No tiene

5.

A1 : y = x A2 : y = 5x− 2

Dominio: R Dominio:RRecorrido: R Recorrido: R

A4 : y = −(3/4)x− 5 A8 : (x + 4)/5


Recorrido: R Recorrido: R

6


A9 : y = −3 A10 : y = (x− 1)2


Recorrido: {−3} Recorrido: R+ ⋃{0}A11 : y = x1/2 + 3 A13 : y = (9− x)1/2

Dominio: R+ ⋃{0} Dominio: {x ∈ R | x ≤ 9}Recorrido: {y ∈ R | y ≥ 3} Recorrido: {x ∈ R | x ≥ 0}

A15 : y = x2 + 2 A17 : y = |x| − 2


Recorrido: {y ∈ R | y ≥ 2} Recorrido: {y ∈ R | y ≥ −2}

7

1. FUNCIONES REALES

A18 : y = 6/x A19 : y = x2 − 5x + 6

Dominio: R− {0} Dominio: R

Recorrido: R− {0} Recorrido: {y ∈ R | y ≥ −14}

6. Se especifica primero el dominio y luego el recorrido.

a) R; R

b) R− {2}; R− {0}c) R− {5}; R− {3/2}d) R− {2, 3};

]−∞;−5, 8284] ⋃[−0, 1715,∞[

e) [1,∞[; R+0

f ) ]−∞, 9]; R+0

g) [−1/2,∞[; R+0

h) [−2, 2]; [0, 2]i) ]−∞,−3] ⋃[1,∞[; R+

0

j) ] − ∞,−1] ⋃]2,∞[; R+0 −

{1}k) R+; R+

l) ]1,∞[; R+

m) R; R

n) ]− 5,∞[; R

7. Valores de indefinición e indeterminación

Indefinida: a0 , con a 6= 0 Indeterminada: 00a x = −1b x = 3 x = −3c x = −5

2d x = 1e x = −4 x = −2f x = 9

8.

a)

Función Dominio Recorridof R R

g R R

b) No existen dichos valores, pues ambas funciones tienen domi-nio real.

8

Ejercicios suplementarios

c)

f g

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1. Dadas las funciones reales definidas por

f (x) = x2 − 1 g(x) = 2− 3x h(x) = −√

16− x2

Obtenga el o los valores de x si

a) f (x) = 99

b) h(x) = −√15

c) g(x) = 2x

d) f (x) = g(x)− 3

2. Dadas las funciones reales definidas por

f (x) =

3x + 9 si x < −2x2 − 1 si − 2 ≤ x ≤ 2

9− 3x si x > 2

g(x) =

−7 si x < −32− x2 si − 3 ≤ x ≤ 13√x si x > 1

a) Calcule

1) f (0)

2) f (−4)3) g(1)

4) f (g(−2))5) g( f (−2))6)

g(−5)+3 f (5)3g(8)+ f (−10/3)

b) Grafique ambas funciones e indique dominio y rango.

3. Determine el dominio de las siguientes funciones reales

a) y = 2x− 1

b) y =√x2 + x

c) y = 5

d) y = 3x−2

e) y = 1x2− 3x3

f ) y = x+53x+2

4. Dadas las siguientes funciones definidas por intervalos

f (x) =

{

x2 si x ≤ 0x3 si x > 0

g(x) =

−x si x < 0

x si 0 ≤ x ≤ 3

3 si x > 3

h(x) =

x2 − 4

x + 2si x 6= −2

−4 si x = −2q(x) =

x2 − 4

x + 2si x 6= −2

0 si x = −2Grafíquelas e indique dominio y recorrido de cada una de ellas.

9

1. FUNCIONES REALES

Soluciones

1. a) x = −10 y x = 20

b) x = −1 y x = 1

c) x = 2/5

d) x = 0 y x = −3

2. a) 1) −1 2) −3 3) 1 4) 3 5) 3√3 6) −5

b)

f (x) g(x)


Recorrido: ]−∞, 3] Recorrido: [−7,∞]

3. a) R

b) ]0,∞[

c) R

d) R− {2}

e) R− {0}

f ) R− {−2/3}

10


4.

f (x) g(x)


Recorrido: [0,∞[ Recorrido: [0,∞[h(x) q(x)


Recorrido: R Recorrido: R− {4}

11

2 Función Polinómica

Una función real de la forma p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n sedenomina polinomio en x de grado n.

Características:

Los elementos {ai}ni=0 ∈ R, con an 6= 0, se denominan coeficientesdel polinomio.

n indica el grado del polinimio y n ∈ N0.

dom p(x) = R.

rec p(x) = R.

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1. Considere los polinomios

p(x) = 3x4 + 4x3 − 2x2 +√

5x− 1/2

q(x) = 2x3− 4x + 3/5

a) Determine el grado de p(x) y q(x)

b) En p(x), determine el valor de cada uno de los coeficientes.

c) ¿Cuál es el coeficiente de x2 en el polinomio q(x)?

d) En el polinomio p(x), ¿cuál es el exponente de la variable en eltérmino −1/2?

e) Término constante de q(x)

2. Explique por qué las siguientes funciones NO son polinómicas enx:

a) f (x) = 5x2 − 7x−3

b) y = 1/x + x3

c) g(x) = 2+√x

d) y = (2− x)−1

e) y = 4+ x + 3y2

f ) y = x3 + 2x2 − x2/3

3. Dados los siguientes polinomios

p1(x) = −10− 3x + x2

p2(x) = x3 − x2 − 5x− 4

p3(x) = −2x4 − x3 − x2 − x− 5

p4(x) = −6

Determine:

a) grado y recorrido

b) p1(−4) + p3(0)

c) 2p4(−1)− (p4(2))2

12


4. Complete las siguientes proposiciones.

a) Un polinomio de grado cero se representa gráficamente me-diante .

b) Una recta cualquiera, no perpendicular al eje x, es un polino-mio de grado .

c) Una función cuadrática es un polinomio de gradoy su representación gráfica es .

d) El polinomio p(x) = 2x3− 26 es de grado y corta al ejey en el punto .

e) El dominio de cualquier función polinómica es .

f ) El rango de los polinomios de grado impar es y el ran-go de los de grado par es .

5. Escriba el conjunto de los ceros o raíces de los polinomios:

a) p(x) = x2 + 2x− 24

b) q(x) = x(x− 2)(x + 2)(x + 5)

c) r(x) = (x2 − 9)(x2 + 6x− 7)

Soluciones

1. a) Grado de p(x) = 4; Grado de q(x) = 3.

b) a4 = 3; a3 = 4; a2 = −2; a0 = −1/2;c) 0

d) 0

e) 3/5

2. En todos los casos, salvo en e), aparecen exponentes de x no natu-rales o cero. En e) el polinomio es en dos variables.

3. a)

Polinomio Grado Recorridop1(x) 2 Subconjunto propio de R

p2(x) 3 R

p3(x) 4 Subconjunto propio de R

p4(x) 0 {−6}b) 13

c) −48

4. a) Una recta paralela al eje x.

b) Uno o cero o sin grado.

c) Dos; una parábola.

d) Tres; (0,−26).

e) R.

f ) R si el grado es impar yun subconjunto propio deR para grado par.

5. a) cp : −6, 4b) cq : 0,−2, 2,−5c) cr : −7,−3, 1, 3

13

3 Polinomio de grado 1

El polinomio de grado 1 corresponde al modelo lineal; éste tiene laforma p(x) = a0 + a1x, con a1 6= 0. En general, se anota Y = mx + n.Geometricamente representa una línea recta en el plano que tiene pen-diente m y corta al eje y en el punto (0, n).

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1. Asocie a cada ecuación su gráfica correspondiente.

a) y = 2x

b) y = −x

c) y = 0, 5x− 2

d) y = −0, 3x + 3

2. Indica en la figura las rectas:

a) x− 3y+ 1 = 0

b) x + 1 = 0

c) y+ 1 = 0

d) 4x + 3y+ 6 = 0

14

Ejercicios de geometría analítica básica

3. Escriba la ecuación de la recta que:

a) Pasa por el origen y es paralela a la recta y = −2x + 1.

b) Pasa por (−1, 4) y es perpendicular a la recta 5x + 4y = 0.

c) Pasa por el origen y es perpendicular a la rectax

3− y

5= 1.

4. Determine los valores de las constantes k y k′ tales que las rectaskx + 6y− 1 = 0; x + 2y+ k′ = 0:

a) Sean paralelas.

b) Coincidentes.

c) Se corten en el punto (8;−2, 5).

5. Calcule la distancia:

a) Entre los puntos (3, 10) y (−1, 5).b) Del punto (5,−7) a la recta y− 2 = 7

8(x + 6).

c) Entre las rectas x + 3y− 14 = 0; y = −13x + 2.

6. Dadas las rectas 4x − ky = 0 y x + 3y− 2 = 0, determine el valorde k:

a) Para que sean perpendiculares.

b) Para que sean paralelas.

Encuentre el punto de intersección en el primer caso, y la distanciaentre las rectas, en el segundo.

7. Sea L : y = 0, 5x + 2:

a) Halle la recta L′ perpendicular a L que pasa por el origen.

b) Determine el punto P en que se cortan L y L′.

c) Calcule la distancia de P al origen.

d) ¿Es P el punto de L que más cerca está del origen?

15

3. POLINOMIO DE GRADO 1

Soluciones

1. a) L1 b) L3 c) L2 d) L4

2. a) L2 b) L3 c) L1 d) L1

3. a) y = −2xb) 4x− 5y+ 24 = 0

c) 3x + 5y = 0

4. a) k = 3, k′ = −1/3b) k = 3

c) k = 2 , k′ = −3

5. a)√41 b) 14,017 c) 2,53

6. a) k = 4/3. El punto de intersección es (0, 2; 0, 6)

b) k = −12. La distancia entre ellas es 0,632.

7. a) y = −2x. b)

(

−4

5,8

5

)

c) 1,789 d) Sí.

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1. Dado el gráfico

Determine:

a) Distancia AB.

b) Pendiente de AB.

c) Ecuación de la recta AB.

d) Ecuación de la recta paralela a AB que pasa por el origen.

e) Punto medio de AB.

16


f ) Ecuación de la recta perpendicular a AB que intercepta al ejex en el valor 15.

g) ¿El punto (-15,-24) pertenece a AB?

2. Dados los puntos R(−2, 5) y S(3,−7), determine:

a) Distancia entre R y S.

b) Pendiente de RS.

c) Punto medio de RS.

d) Ecuación general de la recta RS.

e) Ecuación principal de la recta RS.

f ) Ecuación general de la recta perpendicular a RS que pasa porel punto medio de RS.

g) Puntos de intersección de RS con los ejes coordenados.

h) Valor de k para que (8, k) pertenezca a RS.

3. Determine la pendiente de las siguientes rectas.

a)x− 3

5=

y− 6

2

b)3

5x = y− 2

c)x + 4

y− 2= 7

4. Problemas.

a) ¿Cuál es la intersección del gráfico de la recta 2x − 6y = −4con el eje de las abcisas?

b) ¿Cuál es la pendiente de la recta 6y+ 2x = 3 ?

c) ¿En cuál cuadrante se intersectan las rectas x = 5y; y = 2?

d) Si a 6= 0, ¿en qué punto la función y = ax + b intersecta al ejede las ordenadas?

e) Determine la intersección con el eje de las abcisas de la rectaque pasa por los puntos (−1, 1) y (3, 9).

f ) Si (m, 4) es un punto de la recta 3x− 2y = 7 , ¿cuál es el valorde m?

g) Si la gráfica de la ecuación x + y − 8 + 4k = 0 pasa por elorigen, ¿cuál es el valor de k?

h) En la ecuación x(k− 3) = 2, ¿para qué valor de k se tiene quex = 1?

i) Obtener el valor de k en la recta 3kx+ 5y+ k− 2 = 0 para queella pase por el punto (−1, 4).

j) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,−1)y es perpendicular a la recta 2x− 3y+ 7 = 0

k) Determine un punto de la recta que pasa por (6, 12) y (0,−6)que tenga ambas componentes iguales.

l) Dados los puntos A(3, 0) ; B(7, 0) y C(5, 4) calcule el área deltriángulo ABC.

17


m) ¿Cuál es el valor de k si las rectas 2x + ky = 3y y 3x + 6y = 4son paralelas?

n) Encontrar un punto en y = 4x − 1 tal que la ordenada sea eldoble de la abcisa.

ñ) Si los puntos P(2,−3) ; Q(4, 3) y R

(

5,k

2

)

son colineales, cal-

cule el valor de k.

o) En el sistema

Px− 5y = 4

3x + 5y = 14

¿Cuál es el valor de P para que el valor de x sea 3 veces el valorde y?

p) Dadas las rectas:

L1 : 2x + y+ 1 = 0

L2 : 6x = By+ 6

determine el valor de B para que L1 y L2 sean paralelas.

q) En el sistema:

3x + 2y = 7

kx− y = 3

Encuentre un valor de k para que no tenga solución.

r) Si (n, 8) representa el conjunto solución del sistema

x− y = −53x + y = 1

entonces n =?.

Soluciones

1. a) 13

b) 12/5

c) 5y− 12x− 60 = 0

d) 5y− 12x = 0

e) (−5/2, 6)

f ) 12y+ 5x− 75 = 0

g) Sí.

2. a) 13

b) −12/5c) (1/2, −1)d) 5y+ 12x− 1 = 0

e) y = −125 x + 1

5

f ) 24y− 10x + 29 = 0

g) (0, 1/5) y (1/12, 0)

h) −19

3. a) 2/5

b) 3/5

c) 1/7

18

Aplicaciones del modelo lineal

4. a) (2, 0)

b) −1/3c) Primer cua-

drante

d) (0, b)

e) (−3/2, 0)f ) m = 5

g) k = 2

h) k = 5

i) k = 9

j) y = −32x + 2

k) (3, 3)

l) 8u2

m) k = 7

n) (1/2, 1/2)

ñ) k = 12

o) P = 3

p) B = −3q) k = −3/2r) n = 3

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Ejemplo

1. Existe una función que relaciona el volumen de sangre de un indi-

viduo con su peso, la cual esta dada por f (x) =1

14x, donde x es el

peso del individuo, medido en kilos, y f (x) es la cantidad de sangreen el cuerpo, medido en litros.

a) Grafique la función.

b) ¿Cuántos litros de sangre tienen los siguientes pacientes, si suspesos respectivos son: 58, 46 y 62.

c) Determine el peso de los siguientes pacientes si se sabe queposeen:

I) 3 litros de sangre.

II) 2.500 cc

III) 36 dl

IV) 4.500 ml

Solución:

a) La gráfica de esta función corresponde a una recta, cuya pen-diente es 1/14, (es decir, por cada 14 kilos hay un litro de san-gre) y pasa por el origen.

b) Evaluando en la función el respectivo peso, se tiene:

f (58) =1

14· 58 =

29

7= 4,14 litros.

f (46) =1

14· 46 =

23

7= 3,29 litros.

f (62) =1

14· 62 =

31

7= 4,43 litros.

19


c) Para establecer el peso del paciente conocido su volumen desangre, medido en litros, se debe determinar f−1(x) y luegoevaluar en la función encontrada los valores respectivos.

y =1

14x

x = 14y

Luego la función inversa es: f−1(x) = 14x

I) f−1(3) = 14 · 3 kilos.II) Antes de evaluar se debe transformar 2.500cc a litros.

2.500cc equivalen a 2,5 litros.Ahora evaluamos en la función: f−1(2, 5) = 14 · 2, 5 = 35kilos.

III) Recuerde transformar 36 dl a litros.36 dl equivalen a 3,6 litros.Evaluando: f−1(3, 6) = 14 · 3, 6 = 50, 4 kilos.

IV) Al transformar 4.500 ml a litros, se obtiene 4,5 litros. Re-emplazando: f−1(4, 5) = 14 · 4, 5 = 63 kilos.

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1. Se sabe que los grillos chirrían con mayor frecuencia a mayorestemperaturas y con menor frecuencia a menores temperaturas. Porconsiguiente, el número de chirridos es una función de la tempera-tura. Los siguientes datos se reunieron y fueron registrados en unatabla.

Temperatura ◦C 6 8 10 12 14Número de chirrillos por minuto 11 29 47 65 83

Si al ubicar los datos en una gráfica, sigue un modelo lineal, deter-mine:

a) Ecuación de la recta que describe el fenómeno.

b) ¿Cuál será el número aproximado de chirridos por minutocuando la temperatura es de 18◦C?

c) ¿Cuál es el aumento de chirridos por minuto emitidos por ungrillo entre los 13◦C y los 25◦C de temperatura?

d) Si el número de chirridos que emite un grillo es de 155 porminuto, ¿cuál será la temperatura?

2. Si la relación entre concentración de plomo y hemoglobina vienedada por: f (x) = 15− 0, 1x, donde x es la concentración de plomoy f (x) es la hemoglobina probable. ¿Cuál es la concentración dehemoglobina si la concentración de plomo es de 20mg/100ml?

3. La fórmula C = 5/9(F− 32), donde F ≥ −459, 67, expresa la tem-peratura en grados celsius (◦C) como función de la temperaturaFahrenheit F.

20


a) Encuentre una fórmula para la función inversa e interprétela.

b) Si la temperatura del cuerpo oscila entre 37.2◦C y 37.8◦C. ¿Cuáles su valor en grados Farenheit?

c) ¿Para qué valor ambas temperaturas son iguales?

4. Un niño que presenta un cuadro de intoxicación, es internado deurgencia en la unidad de tratamiento intensivo, para ser sometidoa un lavado gástrico. El volumen de lavado gástrico debe ser de 15ml por kilo de peso del paciente. Si el niño pesa 25 kilos. ¿Cuál debeser el volumen de lavado gástrico?, ¿y para un paciente que pesa rkilos?

5. Existe una función que relaciona la cantidad de grasa comomáximoque debe consumir diariamente una persona conociendo su peso en

kilos, ésta es: G(p) =p

1, 5, donde p es el peso del individuomedido

en kilos, y G(p) es la cantidad diaria de grasa, medida en gramos.Determine:

a) ¿Cuál es la cantidad diaria de grasa que debe consumir comomáximo una persona cuyo peso es 45 kilos?

b) Si una persona puede consumir como máximo 50 gramos degrasa diarios, ¿cuál es su peso?

6. Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto me-dicamento para disminuir la frecuencia cardiaca en adultos y se ob-tuvieron los siguientes resultados:

Dosis administrada en mg 0,5 0,75 1 1,25Disminución en la frecuenciacardiaca (latidos/m)

9,05 10,075 11,1 12,125

Suponiendo que los datos siguen un modelo lineal, determine:

a) La función que representa el problema.

b) Interprete la pendiente de la recta.

c) Si se administran 2mg, ¿cuál es la disminución en la frecuenciacardiaca?

d) ¿Para qué dosis la frecuencia cardiaca disminuye en 10 lati-dos/m?

7. Se ha comprobado en un tipo particular de pacientes que la rela-ción entre el riesgo coronario R, y el nivel de colesterol C, cuandoéste último está por encima de 210 es lineal. Sabiendo que el riesgocoronario a un nivel de colesterol de 210 es 0,81 y a un nivel de 231es 0,85:

a) Encuentre la ecuación que relaciona R en función de C.

b) Interprete la pendiente de la función lineal encontrada en 7a).

c) ¿Qué riesgo coronario corresponde a un nivel de colesterol de260?

21


d) ¿Para qué nivel de colesterol el riesgo es de 1?

8. Una ley de Gay-Lussac establece que al calentar un gas, a volumenconstante y lejos de su punto de licuación la relación entre su pre-sión P y su temperatura T en ◦C es lineal: P = P0

(

T273 + 1

)

, dondeP0 es la presión del gas a 0◦C.

a) Dibuje la gráfica de P en función de T, considerando P0 = 100.

b) Interprete la pendiente y el coeficiente de posición.

c) ¿Qué ocurre con la presión de un gas a la temperatura de−273◦

C que se conoce como cero absoluto de temperatura?

Soluciones

1. a) N(t) = 9t− 43.

b) 199 veces por minuto.

c) Aumentan en 108 chirridos por minuto.

d) 26◦C.

2. 13mg/100ml.

3. a) F = (9/5)C + 32 y expresa la temperatura en grados Fahren-heit como función de la temperatura en grados Celsius.

b) 98,96 F y 100,04 F.

c) Para −40, las temperaturas son iguales.

4. El volumen de lavado gástrico es de 375 ml, para el niño y para unpaciente de r kilos es de 15r ml.

5. a) 30 gramos de grasa.

b) 75 kilos.

6. a) f (x) = 7 + 4,1x, donde x es la dosis administrada y f (x) ladisminución de la frecuencia cardiaca.

b) Por cada mg de medicamento la frecuencia cardiaca disminu-ye en 4,1 latidos/min.

c) La frecuencia cardiaca disminuye en 15,2 latidos/min.

d) 0,7317 mg.

7. a) R = 0, 0019C + 0, 41

b) Por cada unidad de colesterol, el riesgo cardiaco aumenta en0,001524.

c) El riesgo es de 0,847.

d) Para un nivel de colesterol de 310,5263, hay un riesgo corona-rio de 1, es decir, un 100% de problemas coronarios.

22

Problemas suplementarios

8. a)

b) La pendiente es igual a 100/273, es decir, por cada 273◦la pre-sión aumenta en 100. El coeficiente de posición es 100, es decir,cuando la temperatura es de cero grado la presión del gas esde 100.

c) La presión es cero.

!"! #$%&'()*+ +,-'()(./*$0%+

1. En pacientes con enfisema pulmonar, se estudia el número de añosque el paciente ha fumado y la evaluación médica con respecto aldaño sufrido por los pulmones (Medido en una escala de 1 a 100ptos). Los pacientes son clasificados según la edad de éstos en: me-nores de 40 años y 40 o más años.

Algunos antecedentes relativos al estudio, indican que el daño su-frido por los pulmones es de 25 ptos, para los pacientes que llevanfumando 20 años, en cualquiera de los grupos etareos. Además sesabe que para un paciente con 40 o más años, que lleva 28 años fu-mando, el daño pulmonar tiene un puntaje de 30. Para un pacientemenor a 40 años, que lleva 28 años fumando, el daño pulmonar esde 28 ptos.

Según lo anterior determine:

a) Gráfica de análisis, correspondiente a la situación descrita y laexpresión matemática adecuada al caso.

Responda 1b) y 1c) considerando el grupo de pacientes con 40o más años.

b) Si al aumentar el número de años que ha fumado un paciente.Aumenta o disminuye el daño en los pulmones?, A qué razón?

c) ¿Cuál es el daño pulmonar para un paciente que lleva fuman-do 42 años?

d) Lo mismo que en 1b), pero considerando a los paciente conmenos de 40 años.

Nota: Los datos usados no son completamente reales.

2. Se investiga la capacidad vital en niños de distintas edades, clasifi-cando entre niños nacidos en parto normal y parto con problemas.

En general la capacidad vital de un niño de 4 años que nació enparto normal es de 0,79 y es de 0,78 para un niño que nació en un

23


parto con problemas. Independiente del tipo de parto, se sabe queexiste aproximadamente un aumento de 0,1 en la capacidad vital,al aumentar en un año la edad del niño.

Según lo anterior determine:

a) Gráfica de análisis, correspondiente a la situación descrita y laexpresión matemática adecuada al caso.

b) ¿A qué razón aumenta la capacidad vital por año de edad, enel grupo de niños que nacieron en un parto normal? Lo mismopara el caso de partos con problemas.

c) ¿En qué edad tienen la misma capacidad vital los dos gruposde niños?

d) ¿Cuál es el capacidad vital de un niño de 5 años que nació enparto normal? Conteste la pregunta considerando que el niñonació en un parto con problemas.

Nota: Los datos usados no son completamente reales.

3. Una investigadora hace un experimento para probar su hipótesisacerca de la niacina y el retinol, que son dos nutrientes. Desea ali-mentar uno de sus grupos de ratas de laboratorio con una dieta quecontenga exactamente 32 unidades de niacina y 22.000 de retinol,por día. Tiene dos a limentos comerciales en pastillas. El alimentoA contiene 0,12 unidades de niacina y 100 de retinol por gramo. Elalimento B contiene 0,20 unidades de niacina y 50 de retinol porgramo. ¿Cuántos gramos de cada alimento debe dar a este grupode ratas cada día? (Solución: 200 g de A y 40 g de B)

4. En la medida en que el aire (sin humedad) sube, se expande y en-fría. Si la temperatura a nivel de la tierra es de 20◦C y a 1 km dealtura es 10◦C

a) Escriba la relación entre la altura y temperatura, si se suponeque entre ellas existe una relación lineal.

b) Haga el gráfico.

c) Determine la temperatura a 3 km de altura.

5. A dos pacientes, uno de sexo femenino y el otro de sexo mascu-lino, se les administra simultáneamente 500 mg y 250 mg, respec-tivamente de claritromicina. Si el medicamento es absorbido por lamujer a razón de 30 mg/hr y por el hombre a 80 mg/hr, ¿En quéinstante la concentración del fármaco es la misma en ambos pacien-tes?

Soluciones

1. Sean Y el daño pulmonar (en puntos de 1 a 100), x el número deaños fumando

a) Para pacientes con menos de 40 años: Y = 38x + 176/8.

Para pacientes con cuarenta o más años: Y = 58x + 100/8

b) Aumenta, a razón de 0,625 puntos por año fumando.

24

Problemas suplementarios

c) Si lleva fumando 42 años, el daño pulmonar será de 38, 75 pun-tos.

d) Aumenta, a razón de 0,375 puntos por año fumando.

2. Sean Y la capacidad vital, x la edad en años.

a) Para niños nacidos en parto normal, Y = 0, 1x + 0, 39.

Figura 3.1: Capacidad vital

Para niños nacidos en parto con problemas, Y = 0, 1x + 0, 38(Véase figura 3.1)

b) Independiente del tipo de parto la capacidad vital aumenta en0, 1 por cada año de vida.

c) A ninguna edad (rectas paralelas).

d) Para parto normal: 0, 89Para parto con problemas: 0, 88

3. 200grs. de A y 40 grs. de B.

4. Sean A la altura y T la temperatura.

a) T = −10A+ 20

25


Figura 3.2: Temperatura en función de la altura

b) (Véase figura 3.2)

c) −10

5. A las 5 horas las concentraciones serán iguales.

26

4 Polinomio de grado 2

!"! #$%&'(% &$)*+,-'&)

1. Para las siguientes funciones cuadráticas

f1(x) = 2− x2

f2(x) = −3x2

f3(x) = 2x2 − 3x

f4(x) = −x2 + x

f5(x) = −x2 + 2x + 12

f6(x) = x2 − 7x + 10

f7(x) = x2 + x− 6

f8(x) = −x2 + 5x− 6

f9(x) = −x2 − x− 1

f10(x) = 2x2 − 6x + 3

f11(x) = −2x2 − 2x + 6

f12(x) = x2 + 2x− 24

f13(x) = x2 − 6x + 9

f14(x) = −x2 + 2x− 1

f15(x) = x2 − 5x + 7

f16(x) = x2 − 5x + 2

Determine:

a) Hacia dónde dirige sus ramas.

b) Si tiene máximo o mínimo.

c) Intersección con el eje y.

d) Ceros (si son reales).

e) Coordenadas del vértice.

f ) Dominio y rango.

g) Gráfico.

h) Intervalo de números reales cuyas imágenes son positivas.

i) Intervalo de números reales cuyasimágenes son negativas.

27


Soluciones

Función

Máx.

Mín.

Int.ejey

Ceros

Vértice

Dom

Rec

Imágenes

positivas.

Imágenes

negativas

f 1(x

)Máx.

(0,2

)x1

=√2;

x2

=−√2

(0,2

)R

]−∞,2

]]−√2,√2[

]−∞,−√2[∪

]√2,

∞[

f 2(x

)Máx.

(0,0

)x1

=0;

x2

=0

(0,0

)R

]−∞,0

]∅

]−∞,0

[∪]0,∞

[

f 3(x

)Mín.

(0,0

)x1

=0;

x2

=3/2

(

3 4,−9 8

)

R]−

9/8,

∞]

]−∞,0

[∪]3/2,

∞[

]0,3/2[

f 4(x

)Máx.

(0,0

)x1

=0;

x2

=1

(

1 2,1 4

)

R]−

∞,1 4]

]0,1

[]−

∞,0

[∪]1,∞

[

f 5(x

)Máx.

(0,12)

x1

=−2,605;

x2

=4,605

(1,13)

R]−

∞,13]

]−2,605;4,605[

]−∞;−

2,605[∪

]4,605;∞

[

f 6(x

)M

ín.

(0,1

0)

x1

=2;

x2

=5

(

7 2,−

9 4

)

R[

−9 4,∞

[

]−∞

,2[∪

]5,∞

[]2

,5[

f 7(x

)M

ín.

(0,−

6)

x1

=2;

x2

=−

3

(

−1 2,−

25 4

)

R]

−25 4

,∞[

∪]−

∞,−

3[

]2,∞

[]−

3,2[

f 8(x

)Máx.

(0,−

6)

x1

=2;

x2

=3

(

5 2,1 4

)

R

]

−∞,1 4

]

]2,3

[]−

∞,2

[∪]3,∞

[

f 9(x

)Máx.

(0,−

1)

Nocorta.

(

−1 2,−

3 4

)

R]

−∞,−

3 4

]

∅R

28

Función cuadrática

Función

Máx.

Mín

.In

t.ej

ey

Cer

os

Vértice

Dom

Rec

Imágenes

positivas.

Imágenes

negativas

f 10(x

)M

ín.

(0,3

)x

1=

3+√

32

;

x2

=3−√

32

(

3 2,−

3 2

)

R[

−3 2,∞

[

]−∞

;0,6

3[∪

]2,3

7;∞

[]0

,3;2

,37[

f 11(x

)M

áx.

(0,6

)x

1=

−1+√

132

;x

2=

−1−√

132

(

−1 2,

13 2

)

R

]

−∞

,13 2

]

]−2,

3;1,

3[

]−∞

;−2,

3[∪

]1,3

;∞[

f 12(x

)M

ín.

(0,−

24)

x1

=4;

x2

=−

6(−

1,−

25)

R]−

25,∞

]]−

∞,−

6[∪

]4,∞

[]−

6,4[

f 13(x

)M

ín.

(0,9

)x

1=

3;x

2=

3(3

,0)

R[0

,∞[

R−{3}

∅

f 14(x

)M

áx.

(0,−

1)

x1

=1;

x2

=1

(1,0

)R

]−∞

,0]

∅R−{1}

f 15(x

)M

ín.

(0,7

)N

oco

rta.

(

5 2,

3 4

)

R[

3 4,∞

[

R∅

f 16(x

)M

ín.

(0,2

)x

1=

5+√

172

;x

2=

5−√

172

(

5 2,−

17 4

)

R

[

−17 4

,∞[

]−∞

;0,4

4[∪

]4,5

6;∞

[]0

,44;

4,56

[

29


Gráficos

f1 f2

f3 f4

f5 f6

30

Función cuadrática

f7 f8

f9 f10

f11 f12

31


f13 f14

f15 f16

32

Aplicaciones

!"! #$%&'('&)*+,

Ejemplo

Suponga que el peso en gramos de un tumor cerebral, en el tiempo t,está dado por y = −0, 2t2 + 6t donde t está medido en semanas.

Según el enunciado conteste las siguientes preguntas.

1. Grafique la curva que representa el crecimiento del tumor.

2. ¿Cuánto pesa el tumor a la quinta semana?

3. ¿Cuál es la variación del peso del tumor entre la cuarta y quintasemana?

4. ¿En qué semana alcanza su máximo peso?

5. ¿Cuántos gramos, como máximo, puede llegar a pesar el tumor?

6. Si cuando el tumor alcanza su máximo peso, el paciente es inter-nado de urgencia en la UTI, y es sometido a un tratamiento paradisminuir el peso del tumor. ¿Cuánto tiempo demora en desapare-cer el tumor después de aplicado el tratamiento?

Solución La curva a graficar corresponde a una parábola, luego debe-mos conocer:

Concavidad. En este caso a < 0, lo cual nos indica que la parábola escóncava hacia abajo, y posee un punto máximo.

Intersección con los ejes coordenados.

Intersección eje x. Para determinar la intersección con el eje x, de-bemos resolver la siguiente ecuación:

−0, 2t2 + 6t = 0

t(−0, 2t+ 6) = 0

t = 0 ∨ 0, 2t+ 6 = 0

t = 0 ∨ t = 30

Es decir, en t = 0 semanas el tumor pesó 0 gramos y tambiéna las 30 semanas.

Intersección eje y. Para hallar la intersección con el eje y, debemosevaluar la función en t = 0:

f (0) = −0, 2 · (0)2 + 6 · 0 = 0.

Es decir, en la semana 0 el peso en gramos del tumor es de 0grs.

Coordenadas del vértice. V(h, k) donde

h = − b

2a=

6

2 · 0, 2 = 15 k = f (h) = f (15) = 45.

Luego las coordenadas del vértice son: V(15,45).

33


Recorrido

1. Como a < 0 entonces el recorrido serán todos los valores de y,que sean menores o igual a 45. Lo que significa que en cualquierinstante, el peso del tumor es menor o igual a 45 gramos.

Ahora podemos bosquejar la gráfica

Observación: El Recorrido tiene sentido según el contexto en [0, 45].

2. f (5) = −0, 2(5)2 + 6 · 5 = 25 gramos.

Esto significa que a la quinta semana el tumor alcanza un peso de25 gramos.

3. Debemos calcular f (5)− f (4)

f (5) = −0, 2 · (5)2 + 6 · 5 = 25 gramos

f (4) = −0, 2 · (4)2 + 6 · 4 = 20, 8 gramos

f (5)− f (4) = 25 gramos− 20, 8 gramos = 4, 2gramos.

Podemos concluir que el tumor aumentó 4,2 gramos entre la cuartay quinta semana.

4. La abscisa del vértice indica, cuando alcanza su máximo peso. Lue-go en la semana número 15, el tumor alcanza su máximo peso.

5. La ordenada del vértice nos indica, el peso máximo del tumor. Porlo tanto, lo máximo que puede llegar a pesar el tumor es 45 gramos.

6. 15 semanas.

Ejercicios

1. Al nacer un bebé perderá peso normalmente durante unos pocosdías, después comenzará a ganarlos. Unmodelo para el pesomediode los bebés durante las 2 primeras semanas de vida es: P(t) =0, 015t2− 0, 18t+ 3, 3, con P(t) medido en kilos y tmedido en días.

a) Determine la porción del gráfico que representa el problema.

b) ¿Cuánto pesa el bebé al nacer?

c) ¿Cuándo el bebé alcanza su mínimo peso?

d) ¿Cuántos kilos pierde?

e) ¿Cuál es ese mínimo peso?

34

Aplicaciones

f ) Indique el intervalo de tiempo en el cual el bebé comienza aaumentar de peso.

g) ¿Cuánto pesa el bebé a las 2 semanas?

h) ¿Cuántos kilos aumenta desde que nace hasta las 2 semanas?

2. En una reacción química la cantidad Q (en gramos) de una sustan-cia producida en t horas viene dada porQ(t) = 16t− t2, 0 < t ≤ 16.

a) Grafique la porción de la función acorde con el problema.

b) ¿Cuántos gramos de sustancias se han producido, a la mediahora?

c) ¿En qué instante la cantidad de sustancia producida es máxi-ma?

d) ¿Cuál es el valor de esa cantidad máxima de sustancia produ-cida?

e) ¿Cuál es la cantidad promedio de sustancia producida entre lamedia y 2 horas?

3. La siguiente función y = 0, 1875x2− 18x+ 670 representa el núme-ro de accidentes automovilísticos que se producen durante el día,donde x es la velocidad a la cual viaje el automóvil, 48 ≤ x ≤ 100.Determine:

a) Porción del gráfico que representa al problema.

b) El número de accidentes que se producen si el automóvil viajaa una velocidad de 100 km/horas.

c) Si en un día se producen 500 accidentes, ¿a qué velocidad via-jaban los automóviles?

d) ¿A qué velocidad debe viajar para que el número de accidentessea mínimo?

e) ¿Cuál sería el número de accidentes mínimo?

4. La gran arteria del cuerpo humano “la aorta” es un tubo aproxima-damente tan grande como la base de un pulgar humano medio. Elcorazón bombea la sangre a través de ella de manera tan potenteque las partículas de sangre próximas al centro se mueven a velo-cidades de unos 50 cm/seg. Por otra parte, la sangre es un líquidoviscoso, y cerca de la pared de la arteria la sangre tiende a pegar-se a la pared, y su velocidad ahí es prácticamente cero. La relaciónprecisa entre la velocidad s y la distancia r al centro viene dada porla fórmula

s(r) =P

4ηL

(

R2 − r2)

donde P es la diferencia de presión entre los extremos de la arte-ria, η es la viscosidad de la sangre y L la longitud de la arteria. Escostumbre medir R, r y L en centímetros (cm), P en dinas/cm2, demodo que s se mide en cm/seg. Un valor típico para R en el cuerpo

humano es R = 0,2 cm, y un valor realista para la constanteP

4ηLes 500. Sustituyendo estos valores, se obtiene el siguiente modelo:s(r) = 20− 500r2, en base a éste, determine:

35


a) Porción del gráfico acorde al enunciado.

b) ¿Cuál es la velocidad de la sangre a 0.1 cm del centro de laarteria?

c) ¿Para qué valor de r, la velocidad de la sangre es cero?

d) ¿Cuál es la velocidad de la sangre en el centro de la arteria?

e) ¿Para qué valor de r, la velocidad de la sangre es máxima?

f ) ¿Cuál es esa velocidad?

5. Un águila asciende desde su nido que se encuentra a una altura de525 metros a 10 metros por segundo. Una bala es lanzada de modoque su altura en función del tiempo es h(t) = 10+ 200t− 5t2

a) Realice un gráfico que represente el problema.

b) ¿En qué intervalo de tiempo la altura de la bala es mayor quela altura del águila?

c) ¿Se encuentran la bala y el águila? En caso afirmativo, indiquecuando.

d) ¿Cuál fue la máxima altura que alcanzó la bala?

e) ¿Desde qué altura fue lanzada la bala?

f ) ¿Cuánto se demora en caer al suelo la bala?

g) ¿Cuánto tiempo se demora el águila en alcanzar la máximaaltura de la bala?

Soluciones

1. a)

b) 3,3 kilos.

c) Al sexto día.

d) 0,54 kilos.

e) 2,76 kilos.

f ) (6, 14].

g) 3,72 kilos.

h) 0,42 kilos.

36

Aplicaciones

2. a)

b) 7, 75 grs.

c) A las 8 horas.

d) 64 grs.

e) 20, 25 grs/hora.

3. a)

b) 745 accidentes.

c) 85, 38 km/hora.

d) 48 km/hora.

e) 238 accidentes.

4. a)

b) 15 cm/seg.

c) 0,2 cm.

37


d) 20 cm/seg.

e) 0 cm.

f ) 20 cm/seg.

5. a)

b) La bala adelanta al águila en el intervalo (2, 94; 35, 06).

c) 2, 94 seg.

d) 2010 metros.

e) 10 metros.

f ) 40 seg.

g) 148, 5 seg.

38

5 Ejercicios de potencias y logaritmos

1. Exprese en la forma más simple, usando las propiedades de poten-cias:

a) 0, 12530 · 830

b) 2431/20 · 2430,15

c) 5m+2+5m+5

5m+4

d)p−4−q−4p−2+q−2

e) 2560,16 · 2560,09

f ) 2n+4−2n+1

2n+3

g) a−2−b−2a−1−b−1

h)x−2−y−2x−4−y−4

2. Resolver:

a) 9x+2 = 240+ 9x

b) 3x+1 = 4x+1

c) 3x+2 + 9x+1 = 810

d)2x+y = 6464x−y = 0, 212

e) 4x − 4x−1 = 24

f ) 2x+1 + 4x = 80

g) e2x − 3ex + 2 = 0

h)zx = y2x

2z = 2 · 4xx + y+ z = 16si x 6= 0

3. Expresar en notación científica:

a) 85643

b) 845300

c) 32, 00012

d) 0, 000072

e) 3008, 003

f ) 0, 00413

g) El diámetro de la órbita de la Tierra es 299.000.000 km.

h) El diámetro de una molécula grande es 0, 00000017 cm.

i) El número de Avogadro (número de moléculas en 22, 4 litrosde gas en condiciones normales) es 602.000.000.000.000.000.000.000

j) La carga del electrón es 0, 00000000000000000016 coulombs.

4. Expresar en notación ordinaria:

a) 6, 67 · 105 + 3, 21 · 102 + 5, 013 · 104

b) −110,7·10124,1·1010

c) 9, 6 · 10−4 − 1, 25 · 10−2

d) 2, 5 · 10−2 · 3, 2 · 103

5. Escribir en notación logarítmica:

a) 35 = 243

b) 0, 24 = 0, 0016

c) 10−5 = 0, 00001

d) 170 = 1

e) (1/4)2 = 0, 0625

f ) e0,69315 = 2

39

5. EJERCICIOS DE POTENCIAS Y LOGARITMOS

6. Escribir en notación exponencial:

a) log3 27 = 3

b) log 10 = 1

c) ln 10 = 2, 3026

d) log0,5 4 = −2e) ln 3 = 1, 09861

f ) log 28 = 1, 4472

7. Calcular el valor de:

a) log5 25

b) log√3 9

c) log3 3√3

d) log0,125 8

e) log√2 8

f ) log25 5

g) log4√2

h) log0,7543

i) log2√3

√12

j) log 127

√3

8. Encontrar el valor de x si:

a) logx 2 = 18

b) logx√3 = 1

2

c) log 0, 1 = x

d) log2(x2 − 1) = log2 8

e) log51125 = x

f ) logx 25 = 2

g) log2 x = 6

h) ln e = x

i) log(x2 + 64) = 2

j) log x2 = −4

9. Desarrolle:

a) log ab2

c

b) lnx2√y

z5 4√v

c) logq+r5

d) log mn2r3

e) log√pq

r3

f ) log xlog x

10. Expresar empleando un solo logaritmo:

a) 2 log a+ log b

b) 5 logm− 13 logm

c) 12 log x− 2

3 log y+ log z

d) log 1a − 2 log b+ log a2 − log 1

b

e)log alog b

11. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 2 log x = log 121

b) loga x = − loga b

c) a+ ln x = ln(a+ x)

d)1+ 10x

1− 10x= a

e) e2+ln x = x + 2

f ) xlog x = 1000x2

g) log x + 15log x = 8

h) 3x = 6

i) 22x+3 − 6x−1 = 0

j) ln(2x− 1) = 7

k)logx 100− logy 10 = 0

log x + log y = 1

40

l) log x− 5 log 3 = −2m) log x + log(x + 4) = a

n)log(7− x3)

log(1− x)= 3

ñ) log xx−1 = a

o) xlog x = 100x

p) log2

√

x

2x− 3= 0

q) x√x = (

√x)x

r) 7x+3 = 5

s) e3(x−2) = 12

t) ex = 4e8x

Soluciones

1. a) 1

b) 3

c) 12625

d)q2−p2(pq)2

e) 4

f ) 74

g) a+bab

h) 1x2+y2

2. a) 12

b) −1c) 2

d) x = 2; y = 4

e) 52

f ) 3

g) x1 = 0; x2 = ln 2

h)x1 = 4

x2 =55

9

y1 = 3

y2 = −11

3

z1 = 9

z2 =121

9

3. a) 8, 5643 · 104

b) 8, 543 · 105

c) 3, 600012 · 10d) 7, 2 · 10−5

e) 3, 008003 · 103

f ) 4, 13 · 10−3

g) 2, 99 · 108

h) 1, 7 · 10−7

i) 6, 02 · 1023

j) 1, 6 · 10−19

4. a) 717, 45

b) −2700c) −0, 0115d) 80

5. a) log3 243 = 5

b) log0,2 0, 0016 = 4

c) log 0, 00001 = 5

d) log17 1 = 0

e) log1/4 0, 0625 = 2

f ) ln 2 = 0, 69315

6. a) 33 = 27

b) 101 = 10

c) e2,3026 = 10

d) 0, 5−2 = 4

e) e1,09861 = 3

f ) 101,4472 = 28

7. a) 2

b) 4

c) 32

d) −1e) 6

f ) 12

g) 14

h) −1i) 1

j) −16

41

5. EJERCICIOS DE POTENCIAS Y LOGARITMOS

8. a) 256

b) 3

c) −1d) ±3e) −3

f ) 5

g) 64

h) 1

i) ±6j) ±0, 01

9. a) log a+ 2 log b− log c

b) 2 ln x + 12 ln y − 5 ln z −

14 ln v

c) log(q+ r)− log 5

d) logm− 2 log n− 3 log 3

e) 12 log p+ 1

2 log q− 3 log r

f ) log2 x

10. a) log a2b

b) logm5

3√n

c) logx√x

3√

y2

d) log ab

e) logb a

11. a) 11

b) 1/b

c)a

ea − 1

d) loga− 1

a+ 1

e)2

e2 − 1f ) x1 = 1000; x2 = 0, 1

g) x1 = 1000; x2 = 100000

h) 1, 6309

i) 9, 5475

j)e7 + 1

2

k) x = 3√100; y = 3

√10

l) 2, 43

m) −2+√4+ 10a

n) −1

ñ)10a

10a − 1

o) x1 = 100; x2 = 0, 1

p) x = −3q) x1 = 0; x2 = 1; x3 = 4

r) −2, 1729s) 1, 7689

t) −0, 1980

42

6 Modelo exponencial y logarítmico

!"! #$%&'$ &()$*&*+,-'

Gráficas del modelo exponencial

En su expresión básica posee la siguiente estructura

y = bx con b > 0, b 6= 1.

A continuación se muestran las posibles gráficas de la función expo-nencial. Se distinguen dos casos

1. b > 1

Ejemplo y = 2x, b = 2-

Dominio El recorrido de esta función es R, puesto que no hay res-tricciones para los posibles valores que puede tomar x.

Recorrido Para determinar el recorrido, se debe despejar x, en lafunción, luego resulta

y = 2x

log(y) = log(2x)

log(y) = x log(2)

x =log(y)

log(2)

Como y corresponde al argumento de un logaritmo, éste debeser positivo, es decir, y > 0, para que exista tal número. Luego,el recorrido de la función es R+.

Intersección eje y Basta evaluar la función en x = 0

f (0) = 20 = 1.

Luego la función corta al eje y en el punto (0, 1).

Intersección eje x ¿Para qué valor de x, su imagen es cero?

f (x) = 0 =⇒ 0 = 2x,

no existe tal valor para x, pues rec f = {y | y > 0}. Luego, sepuede concluir que la curva no corta al eje y.

Asíntota horizontal Es la recta y = 0.

Calcularemos algunas imágenes para la gráfica de la función

x y = 2x

−5 0, 03−0, 7 0, 61−0, 3 0, 810 11, 5 2, 822 42, 5 5, 653 8

43

6. MODELO EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICO

2. 0 < b < 1

Ejemplo y =

(

12

)x

, b =12.

El análisis es análogo al anterior

Dominio R.

Recorrido

y =

(

1

2

)x

log(y) = log

[(

1

2

)x]

log(y) = x log

(

1

2

)

x =log(y)

log(

12

) ∈ R ⇐⇒ y > 0

Entonces rec f = R+.

Intersección eje y Basta evaluar en la función x = 0

f (0) =

(

1

2

)0

= 1.

Luego, la función corta al eje y en el punto (0, 1).

Intersección eje x ¿Para qué valor de x su imagen es cero?

f (x) = 0 =⇒(

1

2

)x

= 0,

no existe tal valor para x en R. Luego, se puede concluir quela curva no corta al eje x.

Asíntota horizontal Es la recta y = 0.

Evaluaremos algunos valores en la función, para su gráfica

x y = 2x

−5 32−0, 7 1, 62−0, 3 1, 230 11, 5 0, 352 0, 252, 5 0, 173 0, 125

44

Modelo exponencial

En resumen, la función y = bx

b > 1 0 < b < 1

En general, de acuerdo con los gráficos podemos concluir, lo siguiente

1. Dominio de la función: R.

2. Recorrido de la función: R+.

3. La curva corta al eje y en: (0, 1).

4. La curva es creciente cuando b > 1.

5. La curva es decreciente cuando 0 < b < 1.

6. Posee asíntota horizontal, que corresponde al eje x.

Ejemplos de gráficas del modelo exponencial

De acuerdo al modelo básico de la función exponencial, grafique:

1. y = exa) La base es mayor que

1, luego la curva es cre-ciente.

b) Dom: R.

c) Rec: R+.

d) Intersección eje x:P(0, 1)

e) Asíntota: es la recta y =0

2. y = −ex Es la curva simétrica de y =ex, con respecto al eje x (y =− f (x)). Luego

a) Dom: R.

b) Rec: R−.

c) Intersección eje y:P(0, −1).

d) Asíntota: Es la rectay = 0.

45


3. y = e−x Es la curva simétrica de y =ex con respecto al eje y (y =f (−x)). Luego

a) Dom: R.

b) Rec: R+.

c) Intersección eje y:P(0, 1)


4. y = −e−x Es la curva simétrica de y =ex con respecto al origen (y =− f (−x)). Luego

a) Dom: R.

b) Rec: R−.

c) Intersección eje x:P(0,−1)


5. 3ex

La curva básica y = ex es am-plificada por 3. Luego

a) Dom: R.

b) Rec: R+


d) Asíntota: Es la rectax = 0.

6. y = 1+ 2ex

La curva básica y = ex es am-plificada y trasladada. Luego

a) Dom: R.

b) Rec: {y | y > 1}

c) Intersección eje yP(0, 3).


46

Modelo exponencial

7. y = 1− 2ex

La curva básica y = ex, esamplificada, invertida y tras-ladada. Luego

a) Dom: R.

b) Rec: {y | y < 1}.

c) Intersección eje y:P(0,−1)

d) Intersección eje x0 = 1 − 2ex ⇔12 = ex ⇔ x =

ln(

12

)

⇒ x = −0, 69.Q(−0, 69, 0).

e) Asíntota: Es la rectay = 1.

8. y = 1+ 2e−x La curva básica y = ex es am-plificada, invertida y trasla-dada. Luego

a) Dom: R.

b) Rec: {y | y > 1}.



9. y = 13

(

12

)x+ 2 La curva básica y = (1/2)x,

comprimida y trasladada.Luego

a) Dom: R.

b) Rec: R+

c) Intersección eje y:P(0, 7/3)


Aplicación del modelo exponencial

En un estudio de ayuno, el peso de un voluntario bajó de 90 Kg a 60Kg en 60 días. Si el peso es eliminado de forma exponencial.

a) Encuentre la función que represente al problema.

b) Grafique la función.

47


c) ¿Cuál era el peso del voluntario al mes después de haber iniciadoel tratamiento?

d) Por cuanto tiempo es conveniente realizar el estudio de ayuno, sinperjudicar la salud del voluntario, si lo mínimo que puede llegar apesar es 50 kg.

Solución

a) Si el peso se elimina de forma exponencial, sigue el modelo de de-caimiento N(t) = N0e

−kt.

t está medido en días.

N0, el peso inicial del voluntario, medido en kilos.

N(t), el peso del voluntario, después de t días de iniciado elexperimento.

k es la constante de eliminación.

Según los datos mencionados en el problema se tiene:

t = 60 días.

N(60) = 60 kg.

N0 = 90 kg.

k = ?

Evaluando en la función, se obtiene

N(60) = 90e−60k

60 = 90e−60k

k =ln 2

3−60 = 0, 006757

Luego, la función es N(t) = 90e−0,006757t

b) El gráfico muestra la función N(t) = 90e−0,006757t

c) Como el tiempo esta medido en días, se debe efectuar la respectivatransformación.

N(30) = 90e−0,006757t

= 73, 486 kilos

Por lo tanto, después de un mes de tratamiento el peso del volun-tario era de 73, 486 kilos.

48

Modelo logarítmico

d) Reemplazando en la función

50 = 90e−0,006757t

t =ln 5

9

−0, 006757 = 86, 98 días

Luego, el tratamiento se debe realizar a lo más por 3 meses aproxi-madamente, para no causar daño a la salud del voluntario.

!"! #$%&'$ '$()*+,-./$

Gráficas del modelo logarítmico

La función logarítmica corresponde a la función inversa de la expo-nencial y su expresión básica posee la siguiente estructura

y = logb x con b > 0, b 6= 1

Al realizar la gráfica de esta función se distinguen dos casos

1. b > 1

Ejemplo y = log x, b = 10 (logaritmo decimal)

Dominio R+.

Recorrido R.

Intersección eje y No corta al eje y

Intersección eje x ¿Para qué valor de x su imagen es cero?

f (x) = 0⇒ 0 = log x ⇔ 100 = x ⇔ x = 1

Asíntota vertical Es la recta x = 0.

Calcularemos algunas imágenes, para la gráfica de la función, parab=10

x y = log x0, 5 −0, 31 01, 5 0, 172 0, 32, 5 0, 393 0, 47

49


2. 0 < b < 1

Ejemplo y = log 110x, b = 1

10 .

El análisis es análogo al anterior.

Dominio R+.

Recorrido R.

Intersección eje y No lo corta.

Intersección eje x ¿Para qué valor de x, su imagen es cero?

f (x) = 0⇒ log 110x = 0⇔ x = 1

Luego, la función corta al eje x en el punto P(1,0).

Asíntota vertical Es la recta x = 0.

Calcularemos algunas imágenes, para la gráfica de la función

x y = log 110x

0, 5 0, 31 01, 5 −0, 172 −0, 32, 5 −0, 393 −0, 47

En resumen, la función y = logb x

b > 1 0 < b < 1

En general, de acuerdo con los gráficos podemos concluir lo siguiente

1. Dominio de la función: R+.

2. Recorrido de la función: R.

3. La curva corta al eje x en: P(1, 0).

50

Modelo logarítmico

4. La curva es creciente, cuando: b > 1.

5. La curva es decreciente, cuando: 0 < b < 1.

6. La curva se acerca infinitamente al eje y sin llegar a cortarlo, es de-cir la gráfica posee asíntota vertical, y que en este caso, la asíntotacorresponde al eje y, sucede debido a que x no puede tomar el valor0 (Dom: R+).

Ejemplos de gráficas del modelo logarítmico

1. y = log(3x)

La curva básica y = log xcomprimida horizontalmen-te en un factor de 3. Luego

a) Es creciente, por serb = 10.

b) Dom: {x ∈ R | 3x >

0} = {x | x > 0}.

c) Rec: R.

d) Asíntota vertical: Es larecta x = 0.

e) Intersección eje x0 = log(3x) ⇔ 100 =3x ⇔ 3x = 1 ⇔x = 1/3. La curva cor-ta al eje x en el punto(1/3, 0).

2. y = − log(3x) La curva y = log 3x, inverti-da con respecto al eje x. Lue-go

a) Dom: {x ∈ R | 3x >

0} = {x | x > 0}.

b) Rec: R.

c) Asíntota vertical: x =0.

d) Intersección eje x:P(1/3, 0).

51


3. y = log 12(x− 2)

La curva y = log 12(x − 2),

trasladada la derecha. Luego

a) Es decreciente, por serb = 1/2.

b) Dom: {x ∈ R | x − 2 >

0} = {x | x > 2}.

c) Asíntota vertical: Es larecta x = 2.

d) Intersección eje x0 = log 1

2(x − 2) ⇔

(1/2)0 = x − 2 ⇔ x =3. La curva corta al ejex en el punto (1/3, 0).

4. y = log(x) +1

2

La curva básica y = log x,trasladada hacia arriba. Lue-go

a) Dom: {x ∈ R | x > 0}.

b) Asíntota vertical: Es larecta x = 0.

c) Intersección eje x0 = log(x) + 1

2 ⇔10−

12 = x ⇔ x = 0, 32.

La curva corta al eje xen el punto P(0, 32; 0).

5. y = log 12(x + 2) + 1

La curva y = log 12x, trasla-

dada hacia arriba y hacia laizquierda. Luego

a) Dom: {x ∈ R | x + 2 >

0} = {x | x > −2}.

b) Asíntota vertical: Es larecta x = −2.

c) Intersección eje x0 = log 1

2(x + 2) + 1 ⇔

(

12

)−1= x + 2 ⇔ x =

0. La curva pasa por elorigen P(0, 0).

52

Modelo logarítmico

6. y = − log(2x− 1)La curva básica y = log x in-vertida en x y trasladada a laizquierda. Luego

a) Dom: {x ∈ R | x >

1/2}.

b) Asíntota vertical: Es larecta x = 1/2.

c) Intersección eje x0 = − log(2x − 1) ⇔100 = 2x− 1 ⇔ x = 1.La curva corta al eje xen el punto (1, 0).

7. y = ln(1− 2x)La curva básica y = ln x in-vertida en y y trasladada a laderecha. Luego

a) Dom: {x ∈ R | 3x >

0} = {x | x > 0}.

b) Asíntota vertical: Es larecta x = 1/2.

c) Intersección eje x0 = ln(1− 2x) ⇔ e0 =1− 2x ⇔ 1 = 1− 2x ⇔x = 0. La curva pasapor el origen P(0, 0).

8. y = ln(3− 4x)

La curva básica y = ln x,trasladada a la derecha. Lue-go

a) Dom: {x ∈ R | x <34}.

b) Asíntota vertical: Es larecta x = 3

4 .

c) Intersección eje x0 = − ln(3 − 4x) ⇔1 = 3 − 4x ⇔ x = 1

2 .La curva corta al eje xen el punto P(1/2, 0).

d) Intersección eje y:P(0;−1, 09).

53


9. y = 34 ln(2− x) + 3

La curva básica y = ln x,alargada horizontalmente en3/4, invertida en y, traslada-da a la derecha y hacia arri-ba. Luego

a) Dom: {x ∈ R | x < 2}.

b) Asíntota vertical: Es larecta x = 2.

c) Intersección eje x0 = 3

4 ln(2− x) + 3 ⇔e−4 = 2 − x ⇔ x =1, 98. La curva cortaal eje x en el puntoP(1, 98; 0).

d) Intersección eje y:P(0; 3, 51).

Aplicación del modelo logarítmico

Para determinar el pH en soluciones de tampones* se utiliza la ecua-ción de Henderson-Hasselbach

pH = pka+ log[sal]

[ácido]

donde pka = − log(ka) y ka es la constante de ionización del ácido.De acuerdo a dicha ecuación, calcule el pH de un tampón formado

por 0, 03 moles de ácido propiónico y 0, 02 moles de propinato de sodio,sabiendo que la constante de ionización del ácido es 1, 34 · 10−5.

Solución Se tiene que

ka = 1, 34 · 10−5.[Ácido] = 0, 03 moles.

[Sal] = 0, 02 moles.

pka =?

pH =?

Se debe determinar pka.Se sabe que

ka = 1, 34 · 10−5 ⇒ − log(ka) = − log(1, 34 · 10−5) = 4, 87.

Reemplazando en la ecuación, se tiene

pH = 4, 87+ log

(

0, 02

0, 03

)

= 4, 69.

Por lo tanto, el pH es 4, 69.

*Los tampones son soluciones formadas por ácidos o bases débiles, y su sal. Paramayor información consulta a un profesor de química.

54

Ejercicios

!"! #$%&'('()*

1. Haga el esquema de cada una de las siguientes funciones.

a) y = f (x) = 2x

b) u = g(z) = (1/4)z

c) v = h(w) = 3−w

d) s = f (t) = (1/5)˘t

e) z = f (t) = 5 · 34t

f ) t = h(u) = 4(1/3)−2u

g) w = f (R) = 10R

h) y = f (x) = e2x

i) y = f (m) = e−3m

j) [H+] = f (pH) = 10−pH

2. Dada la función exponencial y = cabx, a ∈ R+, x ∈ R, c ∈ R,haga el esquema que resulta al reemplazar en ella las siguientescombinaciones de valores de los parámetros a y b:

a) a > 1, b ∈ R+, a ∈ R.

b) 0 < a < 1, b ∈ R+, a ∈ Q.

c) a > 1, b ∈ R−, a ∈ R.

d) 0 < a < 1, b ∈ R−, a ∈ Q.

e) ¿Cuántos tipos de curvas se obtienen?

f ) ¿Cuáles son las características de dichas curvas? (dominio, ran-go, etc)

3. Haga un esquema de las siguientes funciones

a) y = f (x) = log2 x.

b) u = f (t) = log1/3 t.

c) u = g(w) = logw.

d) p = h(r) = ln r.

e) pH = f ([H+]) = − log[H+].

f ) pOH = f ([OH−]) = − log[OH−].

4. Para la función logarítmica y = loga x, a ∈ R+, haga el esquemaque resulta de reemplazar en ella para el parámetro a, los valores

a) a > 1, a ∈ R

b) 0 < a < 1, a ∈ Q.

c) ¿Cuántos tipos de curvas se obtienen?

d) ¿Cuáles son las características de dicha curva?

55


Soluciones

1.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

56

Ejercicios

i) j)

2. Modelo exponencial y = cabx

a > 1, b ∈ R+ 0 < a < 1, b ∈ R+

a > 1, b ∈ R− 0 < a < 1, b ∈ R−

Se obtienen básicamente dos curvas, cuyas características son simi-lares a los problema anteriores. Ver cuadro resumen respectivo.

57


3.

a) b)

c) d)

e) f)

4.

a > 1 0 < a < 1

58


!"! #$%&'('()* +&)+,%*-)*

1. Grafique las siguientes curvas, y en cada caso indique

Dominio.

Recorrido.

Intersección ejes coordenados.

Ecuación de asíntotas.

a) f (t) =(

14

)t+ 2.

b) f (r) = −(

14

)r− 2.

c) f (s) = 12

(

14

)−s+ 4.

d) f (x) = −2(

14

)−x+ 2.

e) h(u) = 32x − 1.

f ) g(t) = −2 · 33t − 1.

g) q(s) = 3−s + 1.

h) h(r) = −3r − 1.

i) p(t) = −3−t − 1.

j) g(u) = 123−2x − 1.

k) y = 2+ log1/2(1− 2x).

l) y = log1/2(3x + 2).

m) y = −1+ log1/2(4− 3x).

n) y = 10 log1/2(2x− 1).

ñ) y = 1− log(2− 3x).

o) y = −2 log(5− x)− 2.

p) y = 2+ log(1− 2x).

q) y = −2 log(x− 2)− 4.

r) y = −1+ log(4− 3x).

s) y = −2 log(10+ x).

Soluciones

a)

Dom: R.Rec: {y | y > 2}.Intersección eje x: No locorta.Intersección eje y: (3, 0).Asíntotas: y = 2.

59


b)

Dom: R.Rec: {y | y < −2}.Intersección eje x: no locorta.Intersección eje y: (0,−3).Asíntotas: y = −2.

c)

Dom: R.Rec: {y | y > 4}.Intersección eje x: no locorta.Intersección eje y: (0, 9/2).Asíntotas: y = 4.

d)

Dom: R.Rec: {y | y < 2}.Intersección eje x: (0, 0).Intersección eje y: (0, 0).Asíntotas: y = 2.

e)

Dom: R.Rec: {y | y > −1}.Intersección eje x: (0, 0).Intersección eje y: (0, 0).Asíntotas: y = −1.

60


f)

Dom: R.Rec: {y | y < −1}.Intersección eje x: No locorta.Intersección eje y: (0,−3).Asíntotas: y = −1.

g)

Dom: R.Rec: {y | y > 1}.Intersección eje x: No locorta.Intersección eje y: (0, 2).Asíntotas: y = 1.

h)


i)


61


j)

Dom: R.Rec: {y | y > −1}.Intersección eje x:(−0, 31; 0).Intersección eje y:(0,−1/2).Asíntotas: y = −1.

k)

Dom: {x | x < 1/2}.Rec: R.Intersección eje x:(−1, 5; 0).Intersección eje y: (0, 2).Asíntotas: x = 1/2.

l)

Dom: {x | x > −2/3}.Rec: R.Intersección eje x:(−1/3; 0).Intersección eje y: (0,−1).Asíntotas: x = −2/3.

m)

Dom: {x | x < 4/3}.Rec: R.Intersección eje x: (1, 16; 0).Intersección eje y: (0,−3).Asíntotas: x = 4/3.

62


n)

Dom: {x | x > 1/2}.Rec: R.Intersección eje x: (1, 0).Intersección eje y: no locorta.Asíntotas: x = 1/2.

ñ)

Dom: {x | x < 2/3}.Rec: R.Intersección eje x:(−8/3; 0).Intersección eje y: (0; 0, 69).Asíntotas: x = 2/3.

o)

Dom: {x | x < 5}.Rec: R.Intersección eje x: (4, 9; 0).Intersección eje y:(0;−3, 39).Asíntotas: x = 5.

p)

Dom: {x | x < 1/2}.Rec: R.Intersección eje x: (4, 9; 0).Intersección eje y: (0; 2).Asíntotas: x = 1/2.

63


q)

Dom: {x | x > 2}.Rec: R.Intersección eje x: (2, 01; 0).Intersección eje y: no locorta.Asíntotas: x = 2.

r)

Dom: {x | x < 4/3}.Rec: R.Intersección eje x: (−2, 0).Intersección eje y:(0;−0, 39).Asíntotas: x = 4/3.

s)

Dom: {x | x > −10}.Rec: R.Intersección eje x: (−9, 0).Intersección eje y: (0,−2).Asíntotas: x = −10.

!"! #$%&'('&)*+, -+% .)-+%) +/$)*+*'&(%

1. Asumiendo que el crecimiento de una población de bacterias esproporcional al número N(t) de bacterias presente en cada instan-te t, es posible obtener un modelo exponencial de la forma N(t) =N0e

kt, donde N0 es la cantidad inicial de bacterias y k una constantepositiva.

a) Haga un esquema del tamaño poblacional en función del tiem-po de acuerdo al modelo indicado. Interprete y discuta el es-quema del punto anterior. ¿Está de acuerdo con que sería unbuen modelo de una situación real?

b) Si el número inicial de bacterias se duplica en 8 horas, ¿quénúmero de ellas cabría esperar al cabo de 24 horas?

c) Si al cabo de 3 horas hay 20.749 bacterias, ¿cuál fue el númeroinicial de la colonia en estudio?

64

Aplicaciones del modelo exponencial

2. El número de bacterias N(t) de un cultivo en un tiempo t vienedado por N(t) = N0e

5t donde N0 corresponde a la cantidad inicialde bacterias y t al tiempo en segundos.

a) ¿Cuántas bacterias habría en el instante t = 0?

b) ¿Al cabo de cuánto tiempo el número de bacterias se ha dupli-cado?

c) ¿Después de cuánto tiempo, la cantidad de bacterias será eltriple de la cantidad inicial?

3. Asumiendo que la velocidad de desintegración de un elemento ra-dioactivo es proporcional a la cantidad Q(t) de sustancia existenteen el instante t, es posible obtener un modelo exponencial de la for-ma: Q(t) = Q0e

−kt, donde Q0 es la cantidad inicial de sustanciaradioactiva y k una constante positiva.

a) Haga un esquema de la relación indicada Q(t) = f (t). Inter-prete y discuta el esquema del punto anterior. ¿Es un buenmodelo de una situación real?

b) Se llama vida media de una sustancia radioactiva, al tiemponecesario para que la cantidad inicial de sustancia se reduzca ala mitad. Encuentre la expresión matemática de la vida mediade una sustancia radioactiva.

c) ¿Es constante la vida media de una sustancia radioactiva? ¿Dequé depende?

d) Aparte de ser el tiempo necesario para que la cantidad inicialde sustancia radioactiva se reduzca a la mitad, ¿qué otro sig-nificado se le puede atribuir a la vida media de una sustanciaradioactiva?

4. El radio se descompone según el modelo Q(t) = Q0e−0,038t, donde

Q0 corresponde a la cantidad inicial de radio y Q(t) es la cantidadno desintegrada en un tiempo t (en siglos).

a) Encuentre en cuánto tiempo se habrá descompuesto la mitadde la cantidad original de radio (a este tiempo se le llama vidamedia del radio).

b) Haga el gráfico de la función si Q0 = 10 grs.

5. Dado que la vida media de una sustancia radioactiva es 10 minutosy usted dispone de una muestra de 5 gramos

a) Determine el valor de la constante específica de desintegraciónk (recuerde que el modelo es Q(t) = Q0e

−kt).

b) ¿Qué parte de lamuestra permanecerá sin descomponerse des-pués de 15 minutos?

6. Suponga que un material radioactivo es pesado en los tiempos t1 =2 horas y t2 = 5 horas y sus respectivos pesos son 25 y 10 gramos.

a) Determine el valor de la constante de desintegración k.

b) Calcule la vida media de la sustancia.

c) ¿Cuánto material habrá en el instante t = 0?

65


d) Grafique la curva de desintegración de la sustancia.

e) Obtenga el tiempo de desintegración para el cual el materialque permanece corresponde a un cuarto del material inicial.

7. Para probar el funcionamiento de la glándula tiroidea, se introduceyodo radioactivo I131 en el cuerpo, y su acumulación y desintegra-ción en la glándula se monitorea. La vida media del I131 es t1/2 = 8días.

a) ¿Qué fracción de una dosis de I131 se desintegra cada día?

b) Si la máxima cantidad permitida de I131 en el organismo es de5 unidades, ¿cuánto tiempo después de suministrar una do-sis de 4 unidades se pueden administrar otras 4 unidades sinpeligro para el paciente?

c) Si la máxima cantidad de I131 son 5 unidades, ¿cuál es la dosismáxima que se puede administrar cada 24 horas, si la dosisinicial fue de 5 unidades?

8. Según la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad a que se en-fría un cuerpo al aire libre, es proporcional a la diferencia entre latemperatura de la sustancia y la del aire. Este enunciado conducea un modelo exponencial de la forma T(t) = H + (T0 − H)e−kt,donde T(t) es la temperatura del cuerpo en el instante t, H la tem-peratura del medio ambiente o habitación en la cual se encuentrael cuerpo; T0 es la temperatura inicial del cuerpo y k una constantepositiva.

a) Haga un esquema de la temperatura del cuerpo en función deltiempo. Analice e interprete físicamente el esquema. ¿Está deacuerdo con lo que sucede en la realidad?

b) Si la temperatura del aire es de 25◦C y el cuerpo se enfría de120◦C a 50◦C en 20 minutos, ¿cuándo la temperatura del cuer-po será de 30◦C?

9. Si un paciente no sigue un tratamiento adecuado, cuando una colo-nia de staphylococcus fecalis llega a 106 unidades, hay un 95% deprobabilidad de presentar una infección renal. Se sabe que la colo-nia se duplica cada 24 horas, determine

a) La función que represente la situación práctica.

b) Gráfica de la función.

c) ¿Cuántas bacterias habrá después de 2 horas de haber sido de-tectada la infección?

d) ¿En cuanto aumentó el número de bacterias entre las 2 y 3 ho-ras, de detectada la infección?

e) ¿En qué instante el número de bacterias llega a 1, 2 · 107?f ) Si el número de bacterias llega a 10 10 la vida del paciente está

en peligro. ¿Cuánto tiempo tiene el paciente como máximo,para someterse a un tratamiento, antes de que sea demasiadotarde?

66

Aplicaciones del modelo exponencial

10. Durante unas excavaciones un grupo de arqueólogos, encontró unhueso de dinosaurio que contenía sólo el 17% del carbono 14 deltejido viviente. ¿Hace cuantos años murió estimativamente el dino-saurio, Si la vida media del carbono 14(C14), es aproximadamentede 5.600 años?

Soluciones

1. a)

Es un buen modelo para la fase inicial del crecimiento de lacolonia, pero no considera las muertes producidas, las limita-ciones del espacio disponible, ni la disminución del alimento,lo cual sin duda impone límites al tamaño que la colonia pue-de alcanzar.

b) 8 veces el número inicial.

c) Aproximadamente 16.000.

2. a) No.

b) 0, 1386 seg.

c) 0, 219 seg.

3. a)

Describe adecuadamente el fenómeno de la desintegración ra-diactiva.

b) Vida media = t1/2 = ln 2k = 0, 693/k.

c) No es una constante universal, depende de la constante de de-sintegración k de la respectiva sustancia.

d) La vida media es independiente de la cantidad inicial de lasustancia radiactiva, es decir, transcurre una vida media al pa-sar de Q0 a Q0/2, de Q0/2 a Q0/4, de Q0/4 a Q0/8 y así suce-sivamente.

67


4. a) 18, 24 siglos.

b) Q(t) = 10e−0,038t

5. a) k = 0, 0693.

b) 1, 768 gramos.

6. a) k = 0, 3054.

b) 2, 2696 horas.

c) 46, 04 gramos.

d) Q(t) = 46, 04e−0,3054t

e) 4, 539 horas.

7. a) Aproximadamente el 8,3% de la dosis.

b) Deben transcurrir 16 días, esto es, dos vidas medias.

c) La dosis máxima a administrar cada 24 horas, es de 0, 415 uni-dades.

68

Aplicaciones del modelo logarítmico

8. a)

Aun cuando el modelo pronostica que el cuerpo no alcanzarála temperatura H del medio ambiente (lo hará asintóticamen-te), aquel resulta ser una aproximación adecuada para descri-bir el fenómeno de enfriamiento indicado.

b) En aproximadamente 44 minutos.

9. a) N(t) = N0 · e0,02888t

b) El siguiente gráfico representa la función N(t) = N0 · e0,02888t

c) Después de 2 horas el número de bacterias es aproximadamen-te 1.059.4601 bacterias.

d) Entre las 2 y 3 horas, el aumento de bacterias fue de 31.043unidades.

e) Después de aproximadamente 86 horas, la colonia de bacteriasllegará a 1, 2 · 107.

f ) El paciente cuenta con aproximadamente 319 horas, lo queequivale a 13 días, para someterse a un tratamiento antes quelas consecuencias de la infección sea perjudicial para su salud.

10. Aproximadamente 14.406 años.

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1. Existen datos empíricos sustanciales para demostrar que si x e ymiden los tamaños de dos órganos de un animal en particular, en-tonces x e y están relacionados por una ecuación alométrica de laforma: ln y− k ln x = ln c, donde k y c son constantes positivas quedependen únicamente del tipo de partes u órganos que son medi-dos y son constantes entre los animales que pertenecen a la especie.Resuelva esta ecuación para x, y, k y c.

69


2. Unmodelo frecuentemente usado en estudios de epidemias es: ln(1−y)− ln y = c− rt, donde y es la parte de la población que padeceuna enfermedad específica al tiempo t. Resuelva la ecuación para yen términos de las constantes C y r.

3. El modelo empírico de Ehrenberg ln(w) = ln(2, 4) + 1, 8h relacionala estatura h, en metros, con el peso promedio w, en kilogramos,para niños de 5 a 13 años de edad.

a) ExpreseW como función de h, que no contenga logaritmo.

b) Estime el peso promedio de un niño de 8 años de 1,5 m dealtura.

4. El oído humano percibe un rango enorme de intensidades sonorasI (medidas en watts/m2), entre un umbral I0 = 10?12 y sonidos delorden de billones de veces más intensos. Las autoridades públicasen todo el mundo utilizan la denominada escala dB, o decibelios,para cuantificar lasmedidas de sonido. La escala de decibeliosmidela intensidad de sonido en todo el rango de las diferentes frecuen-cias audibles (diferentes tonos), y posteriormente utiliza un sistemade ponderación teniendo en cuenta el hecho de que el oído humanotiene una sensibilidad diferente a cada frecuencia de sonido. Ge-neralmente oímos mejor a frecuencias medias (rango vocal) que abajas o altas frecuencias. Así el nivel de intensidad viene dado pordB = 10 log(I/I0) decibelios, donde I0 corresponde a la intensidadde un sonido justo debajo del sonido más ínfimo que una personapueda oír (como el sonido de un alfiler que cae al pasto) y vienedado por I0 = 10−12.

a) Si la intensidad del sonido emitido por un jet durante su des-pegue fue de 100 watts/m2, calcule el nivel de intensidad endecibelios.

b) Calcule la intensidad de una conversación común que tiene unnivel de intensidad de 65 dB.

c) Expresa la intensidad I de un sonido en función de su nivel endecibelios dB.

d) Si el sonido viajando dentro del metro es de 100dB, calcule laintensidad del sonido.

e) Complete la siguiente tabla en la que se listan los niveles deintensidad en decibeles de algunos sonidos comunes.

Fuente de sonido Intensidad I (watts/m2) dB

Perforación del tímpano 104

Despegue de un jet 102

Umbral de dolor 100

Concierto de rock 120Tráfico callejero intenso 10−5

Murmullo 20Umbral auditivo 10−12

f ) En una tienda se vende un equipo musical que tiene “2.600watts/m2”. ¿A qué nivel de sonido en decibeles corresponde?

70


g) Si otro equipo musical tuviese 5.200 watts/m2 de salida, ¿co-rrespondería al doble del nivel de intensidad de sonido delequipo del ejercicio anterior?

h) ¿Cuál es el nivel de intensidad de un sonido, en decibelios,cuya intensidad es de 3000I0?

i) ¿Cuál es el aumento en intensidad entre un sonido de tic-tacde un reloj de 20 dB y el sonido de una conversación normal a70 dB?

j) ¿Cuál es la intensidad de la bocina de un automóvil si el nivelde intensidad es de 100 dB y I0 = 1?

5. Dada la fórmula pH = − log[H+], calcule el pH de una solución si[H+] es

a) 3, 8 · 10−6

b) 7, 2 · 10−3c) 6, 4 · 10−4

d) 9, 1 · 10−5

Encuentre la concentración de protones de

e) La sangre arterial si el pH es 7, 4.

f ) La sangre venosa si el pH es 7, 37.

g) La saliva si el pH es 6, 3.

h) El jugo gástrico si el pH es 1, 5.

i) La orina si el pH es 4, 4

j) ¿Cuántas veces es la concentración de protones en la sangrearterial con respecto a la concentración de protones en la ori-na?

k) ¿Cuál solución tiene una concentración más alta de protones,una con pH = 7, 2 o una con pH = 6, 5?

6. Dada la fórmula pH = pK+ log[sal]

[ácido] , determine el pH si

a) pK = 7, 4; [sal] = 0, 45; [ácido] = 0, 036

b) pK = 4, 21; [sal] = 0, 72; [ácido] = 0, 017

7. Dos pacientes A y B, padecen trastornos con producción excesivade ácido en el cuerpo. El laboratorio notifica la acidez de la sangredel individuo A en términos de [H+] y la acidez de la sangre delindividuo B en términos de pH. El sujeto A tiene una [H+] arterialde 6, 510˘8 y el sujeto B un pH arterial de 7, 3.

a) Determine el pH del sujeto A.

b) ¿Qué paciente tiene más alta de [H+] en la sangre?

8. La ecuación de Nernst se emplea para calcular el potencial de equi-librio de un ion a una determinada diferencia de concentración através de una membrana, asumiendo que la membrana es permea-ble a dicho ion. Por definición, el potencial de equilibrio se calculapara un ion a la vez, así

E = −2, 3RT

zFlog

(

CiCe

)

,

donde

71


E es el potencial de equilibrio.2, 3RT

Fes una constante (60mV a 37◦C)

z es la carga sobre el ion (+1 para Na+; +2 para Ca2+; −1 paraCl−).

Ci es la concentración intracelular (mM/L).

Ce es la concentración extracelular (mM/L).

Determine la concentración extracelular si E = 129 mV,2, 3RT

F=

60 mV, z = 2, Ci = 10−7 mM/L.

9. Los terremotos son medidos en la escala de Richter, expresados entérminos de una magnitud variable R. La intensidad I de las vibra-ciones que produce un terremoto es una función exponencial conbase b = 10 de la escala de Richter de magnitud R.

a) Demuestre que lamagnitud R satisface la ecuación R = log(I/I0),donde I0 es la intensidad de las vibraciones normales de la tie-rra que corresponden a R0 = 0

b) Considerando la escala Richter, ¿cuánto más grande es la in-tensidad de un terremoto grado 7,8 a uno de grado 4,2?

Soluciones

1. x = k

√

y

cy; y = cxk; k =

ln(y/c)

ln x; c =

y

xk.

2. y =1

ec−rt + 1.

3. a) w = 2, 4 e1,8h kilogramos.

b) 35, 711 kilogramos.

4. a) 140 dB.

b) 3, 16 · 10−6 watts/m2.

c) I = I0 · 10dB10 10 watts/m2.

d) 10−2 watts/m2.

e)

Fuente de sonido Intensidad I (watts/m2) dB

Perforación del tímpano 104 160

Despegue de un jet 102 140

Umbral de dolor 100 120

Concierto de rock 100 120

Tráfico callejero intenso 10−5 70

Murmullo 10−10 20

Umbral auditivo 10−12 0

f ) 154, 14 dB.

g) No, ya que no es una escala lineal. El nivel de intensidad co-rrespondiente sería 157, 16 dB.

72


h) 34, 77 dB.

i) La intensidad aumenta en 9, 99 · 10−6 watts/m2.

j) 1010 watts/m2.

5. a) 5, 42.

b) 2, 14.

c) 3, 19.

d) 4, 04.

e) 3, 98 · 10−8.f ) 4, 27 · 10−8.g) 5, 01 · 10−7.h) 3, 16 · 10−2.i) 3, 98 · 10−5.j) La concentración de protones en la orina es 1000 veces mayor

que la concentración de protones en la sangre.

k) La concentración de pH = 6, 5 es más alta.

6. a) 8, 49.

b) 5, 83.

7. a) pH = 7, 18

b) El individuo A tiene un pH sanguíneo menor, que refleja unacondiciónmás alta [H+] y ácida.

8. Ce = 1, 99 · 10−3 mM/L.

9. b) La intensidad es 3980, 07 veces mayor.

73

7 Modelo potencial e hiperbólico

!"! #$%&'(')&

Modelo básico: y = xk, donde k ∈ Q − {0, 1}. Al analizar 1 < k,0 < k < 1, k < 0 se distinguen 9 casos, con respecto al modelo básico,que se describen a continuación.

y = xk k = par/impar k = impar/impar k = impar/par

k > 1

y = x2/1 = x2

Dom: R.Rec: R+ ∪ {0}

y = x3/1 = x3

Dom: R.Rec: R

y = x3/2 =√x3

Dom: R+ ∪ {0}.Rec: R+ ∪ {0}

0 < k < 1

y = x2/3 =3√x2

Dom: R.Rec: R+ ∪ {0}

y = x1/3 = 3√x

Dom: R.Rec: R

y = x1/2 =√x

Dom: R+ ∪ {0}.Rec: R+ ∪ {0}

k < 0

y = x−2/1 = x−2

Dom: R− {0}.Rec: R+

y = x−3/1 = x−3

Dom: R− {0}.Rec: R− {0}

y = x−1/2

Dom: R+.Rec: R+

Nota El caso par/par no es trascendente, ya que al simplificar obtene-mos uno de los casos anteriores.

Ahora ilustraremos situaciones generales, con respecto a los casos an-teriores.

74

Definición

1. k > 1k = Par/Impar

1. y = x2

2. y = x4

3. y = x6

k = Impar/Impar

1. y = x3

2. y = x5

3. y = x7

k = Impar/Par

1. y = x3/2

2. y = x5/2

3. y = x7/2

75

7. MODELO POTENCIAL E HIPERBÓLICO

2. 0 < k < 1k = Par/Impar

1. y = x2/3

2. y = x2/5

3. y = x2/7

k = Impar/Impar

1. y = x1/3

2. y = x1/5

3. y = x1/7

k = Impar/Par

1. y = x1/2

2. y = x1/4

3. y = x1/6

76

Definición

3. k < 0k = Par/Impar

1. y = x−2

2. y = x−4

3. y = x−6

k = Impar/Impar

1. y = x−3

2. y = x−5

3. y = x−7

k = Impar/Par

1. y = x−3/2

2. y = x−5/2

3. y = x−7/2

77


Ejemplos de gráficas

De acuerdo al modelo básico de la función potencial, grafique

1. y = x2 + 1

Es la curva y = x2, trasladada unaunidad hacia arriba. Luego

a) Dom: R.

b) Rec: {y | y ≥ 1}.

c) Intersección eje y: P(0, 1)

d) Intersección eje x: no lo corta

2. y = 2+ (x + 1)2

Es la curva y = x2, trasladada unaunidad la izquierda y dos unidadeshacia arriba. Luego

a) Dom: R.

b) Rec: {y | y ≥ 2}.



3. y = 1+ x−2 Es la curva y = x−2, trasladada unaunidad hacia arriba. Luego

a) Dom: R− {0}.

b) Rec: {y | y > 1}.

c) Intersección eje y: no lo corta


e) Asíntota vertical: es la rectax = 0

f) Asíntota horizontal: es la rectay = 1

78

Definición

4. y = 2+ (x− 1)3Es la curva y = x3, trasladada unaunidad hacia la derecha y dos uni-dades hacia arriba. Luego

a) Dom: R.

b) Rec: R.


d) Intersección eje x:

0 = 2+ (x + 1)3

−2 = (x− 1)3

3√−2 = x− 1

x ≈ −0, 26

5. y = (2− x)1/3 + 1

Es la curva simétrica de y = x1/3,con respecto al eje y, trasladada dosunidades hacia la derecha y una uni-dad hacia arriba.

a) Dom: R.

b) Rec: R.

c) Intersección eje y: y = (2 −0)1/3 + 1 = 2, 26, P(0, 2, 26)


0 = (2− x)1/3 + 1

−1 = (2− x)

x = 3

Q(3, 0)

6. y = 5− (1− 3x)1/2

La curva básica y = x1/2, comprimi-da horizontalmente en 3,invertidaen ambos ejes, trasladada a la dere-cha y hacia arriba. Luego

a) Dom: {x | x ≤ 1/3}.

b) Rec: R.


d) Intersección eje x: Q(−8, 0)

79


7. y = (2− x)−1/2 + 3La curva básica y = x−1/2,invertidaen y, trasladada hacia la derecha yhacia arriba. Luego

a) Dom: {x | x < 2}.

b) Rec: {y | y > 3}.

c) Intersección eje y: y = (2 −0)−1/2 + 3 ≈ 3, 71, P(0; 3, 71)

d) Intersección eje x: No lo corta.

e) Asíntota vertical: Es la rectax = 2.

f) Asíntota horizontal: Es la rectay = 3.

8. y = 2+ (x− 1)3

Es la curva y = x2/3, alargada verti-calmente en un factor de 2 y trasla-dada tres unidades hacia la derechay dos unidades hacia abajo. Luego

a) Dom: R.

b) Rec: {y | y ≥ −2}.

c) Intersección eje y: y = 2(3 −0)2/3 − 2 ≈ 2, 16, P(0; 2, 16)


0 = 2+ (3− x)2/3

1 = 3

√

(3− 2)2

1 = (3− x)2

x1 = 2 y x2 = 4

Q(2, 0) y R(4, 0)

!"! #$%&'('&)*+,

1. Durante un programa nacional para inmunizar a la población con-tra el sarampión, los funcionarios del ministerio de salud, encon-traron que los costos de inoculación del x% de la población era

aproximadamente de f (x) =150x

200− xmillones de dólares.

a) Grafique la función y especifique qué porción del gráfico esimportante para la situación práctica en consideración.

b) ¿Cuál es el costo para inocular al 75% de la población?

c) Si sólo se cuenta con 10 millones de dólares, ¿qué porcentajede la población se lograría inmunizar?

d) ¿Cuánto dinero se requiere para inmunizar al 100% de la po-blación?

80

Aplicaciones

Solución

a) El siguiente gráfico, corresponde a la función

En la práctica la porción del gráfico a considerar es

De acuerdo al problema, x representa al porcentaje de la po-blación, luego el porcentaje máximo a considerar es 100%. Porlo tanto el dominio de la función se restringe a: x ∈ [0, 100].

b) Basta evaluar x = 75 en la función, es decir

x = 75⇒ f (x) =150 · 75200− 75

= 90

Por lo tanto se necesitan 90 millones de dólares, para inocularal 75% de la población.

c) Se desea conocer que porcentaje de la población se puede ino-cular si se cuenta con 10 millones de dólares, es decir

f (x) = 10⇒ 150x

200− x= 10⇒ x = 12, 5

81


Luego con 10 millones de dólares, se puede inocular al 12,5%de la población.

d) Basta evaluar x = 100 en la función, es decir

x = 100⇒ f (x) =150 · 100200− 100

= 150

Por lo tanto se necesitan 150 millones de dólares, para inmu-nizar a toda la población.

2. La cantidad de calcio que permanece en la sangre, después de t díasde inyectar calcio al torrente sanguíneo, está dada por C(t) = t−3/2,para t ≥ 0, 5, donde C está medido en gramos. Determine

a) Gráfico de la función.

b) ¿Cuántos gramos de calcio permanecen en la sangre despuésde 18 horas?

c) ¿En qué instante, la concentración de calcio en la sangre alcan-zará 0, 2 gramos?

Solución

a) La gráfica de C(t) = t−3/2 se muestra a continuación

b) Como el tiempo está medido en días, se tiene que transformarlas 18 horas a su equivalente en días, y luego reemplazar éstevalor en la función.

Horas Días24 118 x

Resolviendo la proporción, resulta x = 18/24 = 3/4 = 0, 75días.Evaluando t = 0, 75 en la función, se obtiene

C(0, 75) = 0, 75−3/2 = 1, 539

Así, la cantidad de calcio que permanece en la sangre despuésde 0, 75 días es de aproximadamente 1, 54 gramos.

82

Ejercicios

c) Se pide C(t) = 0, 2

0, 2 =−3/2⇔ 0, 2 = 1/t3/2 ⇔ t3/2 = 5⇔ t =3√25 = 2, 92

Por lo tanto después de aproximadamente 3 días la cantidadde calcio que permanece en la sangre es de 0, 2 gramos.

!"! #$%&'('()*

1. Haga un esquema en R×R de las siguientes funciones

a) y = f (x) = x2.

b) u = g(z) = 2z2.

c) A = f (a) = a2, a lado de un cuadrado.

d) A = f (r) = πr2, r radio de una circunferencia.

e) s = f (t) = at2/2, a cte (aceleración), t tiempo.

f ) y = f (x) = x3.

g) w = f (z) = 3z3.

h) V = f (a) = a3, a arista de un cubo.

i) V = f (r) = 43πr3, r radio de una esfera.

2. Dada una función potencial y = f (x) = axb , x ∈ R, y ∈ R, realiceel esquema que resulta al reemplazar en ella los siguientes valorespara los parámetros a y b.

a) a = 1, b = 4

b) a = π, b = 2

c) a = 3, b = 3

d) a = 4π/3, b = 3

e) a = 1, b = 6

f ) a = 1, b = 7

g) ¿Qué relación ha encontrado usted entre la expresión y = f (x) =axb, x ∈ R, y ∈ R y todas aquellas presentadas en esta pre-gunta?

3. De la misma forma como abordó el ejercicio anterior, asuma para ay b los siguientes valores

a) a = 1, b = −1

b) a = 4, b = 0

c) a = 3, b = −2

d) a = 2, b = −3

e) ¿En qué se parecen y/o en qué se diferencian éstas curvas, res-pecto de las obtenidas en el problema anterior?

4. Haga el esquema sólo para el primer cuadrante de la función po-tencial y = f (x) = axb, x ∈ R, y ∈ R en los siguientes casos.

a) a ∈ R, b ∈ Z+

83


b) a ∈ R, b ∈ Z−

c) a ∈ R, b = 0

5. Para cada una de las siguientes funciones hiperbólicas, haga el es-quema respectivo

a) u = f (z) = 3/z

b) v = f (w) =5w+ 2

w

c) u = f (R) =R

4R+ 3d) s = f (t) = 1/(2t+ 5)

e) u = h(s) =3s− 4

s

f ) z = g(x) =x

2x− 3g) y = f (p) = 1/(3p− 1)

84

Ejercicios

Soluciones

1.

Letra

Dom

inio

Recorrido

Crecimiento

Decrecimiento

Intersecciónejes

Simetrías

Asíntotas

a)R

R+∪{0}

(0,∞

)(−

∞,0

)(0,0

)Ejey

Notien

eb)

RR

+∪{0}

(0,∞

)(−

∞,0

)(0,0

)Ejey

Notien

ec)

RR

+∪{0}

(0,∞

)(−

∞,0

)(0,0

)Ejey

Notien

ed)

RR

+∪{0}

(0,∞

)(−

∞,0

)(0,0

)Ejey

Notien

ee)

RR

+∪{0}

(0,∞

)(−

∞,0

)(0,0

)Ejey

Notien

ef)

RR

R−{0}

No

(0,0

)Orige

nNotien

eg)

RR

R−{0}

No

(0,0

)Orige

nNotien

eh)

RR

R−{0}

No

(0,0

)Orige

nNotien

ei)

RR

R−{0}

No

(0,0

)Orige

nNotien

e

85


a)b)

c)

d)e)

f)

86

Ejercicios

g)h)

i)

87


2.

a)b)

c)

d)e)

f)

88

Ejercicios

3.

Letra

Dom

inio

Recorrido

Crecimiento

Decrecimiento

Intersecciónejes

Simetrías

Asíntotas

Gráfico

a)R−{0}

R−{0}

No

R−{0}

No

Origen

x=0;

y=0

b)R

{4}

No

No

(0,4

)No

Notiene

89


c)R−{0}

R+

(−∞,0

)(0,∞

)No

Ejey

x=

0;y

=0

d)R−{0}

R−{0}

No

R−{0}

No

Origen

x=

0;y

=0

e)Todas

lascu

rvas

corresponden

almodelopotencial.Siel

exponen

tees

par

(positivooneg

ativo)lascu

rvas

sonsimétricasco

nresp

ecto

alejey,sies

impar

(positivooneg

ativo),lascu

rvas

sonsimétricasco

nresp

ecto

alorigen

.Siel

exponen

tees

unnúmeroen

tero

neg

ativo,

entoncesla

curv

apresenta

asíntotasverticalesyhorizo

ntales(losejes

coord

enad

os).Siel

exponen

tees

cero,la

curv

aes

unalínea

paralelaal

ejex.

90

Ejercicios

4.

a∈

R+,b∈

Z+

a∈

R+,b∈

Z−

a∈

R+,b

=0

5.

a)b)

c)d)

91


e)f)

g)

92

Aplicaciones del modelo potencial e hiperbólico

!"! #$%&'('&)*+, -+% .)-+%) $)/+*'&(% + 0&$+123%&')

1. El número de individuos P(t) de una población animal, viene dadoen función del tiempo t por P(t) = 10000− A/(1 + 0, 5t), t ≥ 0,donde A es una constante. Sabiendo que inicialmente hay 1.000 in-dividuos en la población, determine

a) El valor de la constante A.

b) Gráfico de la función que representa el problema.

c) El número de animales dentro de 10 años.

d) De acuerdo al gráfico, ¿cuál es la cantidadmáxima de animalesen la población?

2. En el marco de un proyecto cuyo objetivo fue proteger una varie-dad de garza en curso de extinción, se comenzó liberando ciertacantidad de ejemplares en un área protegida. Según los expertos, elnúmero N de garzas que se encontrarán en el área, en función deltiempo t transcurrido desde que se liberaron las garzas, viene dadopor la función N(t) = 800− 750/(1+ t), t ≥ 0, con t medido enaños. Determine

a) ¿Cuántos ejemplares fueron liberados al inicio del proyecto?

b) Porción del gráfico que representa el problema.

c) Número de garzas después de 9 años.

d) ¿Al cabo de cuanto tiempo el número de garzas será de 500ejemplares?

e) De acuerdo al gráfico, a medida que transcurre el tiempo, ¿elcrecimiento de la población de garzas tiene un límite? Y si lotiene ¿cuál es?

3. El flujo de sangre a través de un vaso sanguíneo o de una seriede vasos sanguíneos es determinado por los siguientes factores: di-ferencia de presión entre los extremos del vaso y resistencia delvaso al flujo de sangre. La diferencia de presión es la fuerza parael flujo de sangre y la resistencia es un impedimento al flujo. Laecuación para el flujo sanguíneo se expresa de la siguiente maneraQ = ∆P/R, donde

Q flujo (ml/min).

∆P diferencia de presión (mmHg).

R resistencia (mmHg/(ml/min)).

Suponga que se mide el flujo sanguíneo renal en un paciente colo-cando un medidor de flujo sobre la arteria renal izquierda. Simul-táneamente, se introducen sondas en arteria renal izquierda y venarenal derecha para medir la presión. Las sondas miden una presiónarterial renal de 100 mmHg y presión venosa renal de 10 mmHg.Determine

a) Gráfica de la función acorde al problema.

b) Si la resistencia vascular del riñón izquierdo es de 0,18mmHg/(ml/min),¿cuál es el flujo sanguíneo renal?

93


c) Si el flujo sanguíneo renal cuantificado es de 300 ml/min, ¿cuáles la resistencia vascular del riñón izquierdo del paciente?

d) Al observar el gráfico, ¿qué ocurre con el flujo sanguíneo renalsi la resistencia se hace cada vez mayor?. Y ¿qué ocurre con elflujo sanguíneo renal si la resistencia es casi nula?

4. Cuando se introduce una solución de aceitilcolina en el músculodel corazón de una rana, disminuye la fuerza con la que el músculose contrae. Los datos de los experimentos de A. J. Clark se pueden

aproximadamente por el siguiente modelo R(x) =100x

b+ x, donde x

es la concentración de aceitilcolina, (en las unidades apropiadas),b es una constante positiva que depende de la rana en particular yR(x), es la respuesta del músculo a la aceitilcolina, expresada comoun porcentaje del efecto máximo posible de la droga.

a) Suponga que b = 20. Encuentre la respuesta del músculo cuan-do x = 60.

b) Determine el valor de b si R(50) = 60, es decir, si una concen-tración de x = 50 unidades produce un 60 % de respuesta.

5. La frecuencia cardiaca se relaciona con la longitud del ciclo de la si-guiente manera Frecuencia cardiaca = 1/longitud del ciclo, dondela frecuencia cardiaca está medida en latidos/min y la longitud delciclo es el tiempo entre una onda y otra en minutos. Determine

a) Gráfica de la función, que representa el problema.

b) Si la longitud del ciclo es de 0.8 seg, ¿cuál es la frecuencia car-diaca?

c) Si la frecuencia cardiaca es de 90 latidos/min, ¿cuál es la lon-gitud del ciclo?

d) Al observar el gráfico, ¿qué ocurre con la frecuencia cardiacacuando la longitud del ciclo aumenta considerablemente?, y¿qué ocurre con la frecuencia cardiaca cuando la longitud delciclo es cada vez más pequeña?

6. La velocidad del flujo sanguíneo es la tasa de desplazamiento desangre por unidad de tiempo. Los vasos sanguíneos del sistemacardiovascular varían en términos de diámetro y área de seccióntransversal. Estas diferencias de diámetro y área, por su parte, tie-nen efectos profundos sobre la velocidad de flujo. La relación entrevelocidad, flujo y área de sección transversal (que depende del ra-dio o diámetro del vaso) es la siguiente v = Q/A, donde

v velocidad del flujo sanguíneo (cm/seg).

Q flujo (ml/seg).

A área de sección transversal (cm2) (A = πr2, donde r es el radiode un solo vaso sanguíneo o el radio total de un grupo de vasossanguíneos).

Si el flujo cardiaco de un paciente es de 5,5 l/min, determine

a) Gráfico de la función acorde al problema.

94


b) Área de sección transversal para la aorta del paciente cuyo diá-metro es de 20mm.

c) ¿Cuál es la velocidad de flujo sanguíneo en la aorta?

d) Si la velocidad de flujo es de 2,2 cm/seg. ¿cuál es el área desección transversal que permite tal velocidad?

e) De acuerdo al gráfico, ¿qué ocurre con la velocidad de flujosanguíneo cuando el área de sección transversal aumenta con-siderablemente?, y ¿qué ocurre con la velocidad de flujo san-guíneo cuando el área de sección transversal disminuye consi-derablemente?

Soluciones

1. a) A = 9000

b)

c) 8500 animales.

d) 10000 animales.

2. a) 50 ejemplares de garzas.

95


b)

c) 725 ejemplares de garzas.

d) Un año y medio.

e) Sí tiene límite y éste es de 800 ejemplares de garzas.

3. a)

b) 500 ml/min.

c) 0, 3 mmHg/(ml/min).

d) Si la resistencia aumenta, el flujo renal es casi nulo, y si la re-sistencia es cercana a cero y flujo renal aumenta considerable-mente.

4. a) La respuesta del músculo es de 75% cuando la concentraciónde acetilcolina es de 60.

b) El valor de b es aproximadamente 33, 3 unidades.

96


5. a)

b) 1, 25 latidos/min.

c) 1/90 seg.

d) Al aumentar a valores extremos la longitud del ciclo (más de 1segundo), la frecuencia cardiaca disminuye a valores cercanosa cero y si la longitud del ciclo es muy pequeña (0, 001 segun-dos) la frecuencia cardiaca aumenta considerablemente.

6. a)

b) 100π.

c) 17, 50 cm/seg.

d) 2500 cm2.

e) Al aumentar el área de sección transversal, para un flujo de 5, 5l/seg, la velocidad disminuye a valores cercanos a cero y cuan-do el área de sección transversal es muy pequeña (0, 1 cm2) lavelocidad aumenta considerablemente.

97

8 Modelo de crecimiento logístico

El modelo exponencial N(t) = N0ekt para crecimiento de poblacio-

nes no siempre representa situaciones que ocurren en la realidad, ya queproyecta un crecimiento cada vez más rápido e indefinido en el futuro.

En la mayoría de los casos (incluyendo el de la población mundial) lacantidad de espacio y recursos limitados forzarán eventualmente a dis-minuir la razón de crecimiento. Esto sugiere otro modelo para el creci-miento de la población llamado modelo logístico.

La expresión que representa este modelo es:

N(t) =m

1 +(

mp0− 1

)

e−mkt

con p0 la población inicial y m la población máxima.

!"! #$%&'('()*

1. El número de individuos en una población de cierta especie en unambiente limitado, se puede modelar por

P(t) =100,000

100+ 900e−t, donde t se mide en años.

a) Determine el número inicial y el número máximo de indivi-duos en esta población.

b) Dibuje la porción del gráfico de acuerdo al contexto.

c) Estime en cuánto tiempo la población tendrá 900 individuos.

2. La poblaciónmundial (enmiles demillones) t años después de 1960viene dada por el modelo

N(t) =40

1+ Ce−kt,

donde C y k son constantes positivas.

Considerando que la población mundial fue aproximadamente de3 mil millones en 1960 y de 10 mil millones en 1985.

a) Hallar C y k.


c) ¿Al cabo de cuánto tiempo la población llegará a ser de 20 milmillones de habitantes?

d) ¿Cuál es la población máxima ?

3. Suponga que la población de conejos, en cierta isla, se comporta deacuerdo al modelo

R(t) =300

0, 05+(

300n0− 0, 05

)

e−0,55t

donde n0 es la población inicial de conejos y t es el tiempo medidoen años desde el instante en que se obtuvo esa población inicial.Considerando que la población inicial es de 50 conejos, determine:

98

Ejercicios

a) Gráfico de que muestre la situación descrita.

b) ¿Cuál es la población 12 años después?

c) ¿En qué instante el crecimiento de la población de conejos co-mienza hacer más lento?

d) Después de un largo período de tiempo, ¿cuál será el tamañode la población de conejos?

4. La población de una especie de ave está limitada por el hábitat ne-cesario para la anidación. El comportamiento de esta población sepuede modelar por

s(t) =5600

0, 5+ e−0,44t,

con tmedido en años.

a) Determine la población inicial.


c) Después de un largo período de tiempo, ¿cuál será el tamañode la población de aves?

d) ¿En qué instante el tamaño de la población será la mitad de lapoblación esperada a lo largo del tiempo?

5. Un ecologista mide el número de salmones en un criadero. El nú-mero de peces fue de 100 inicialmente y de 200 después de dosmeses. Si la capacidad total es de 1.800 peces, determine

a) Formule la ecuación del modelo logístico.

b) Representación gráfica de la situación descrita.

c) ¿Cuál será la población después de 4 meses?

d) ¿En qué instante la población será de 1000 peces?

e) Después de un largo tiempo, ¿cuál es la capacidad máxima depeces en el criadero?

f ) ¿En qué instante la población de peces comienza a crecer máslento?

6. En cierta comunidad se propaga un tipo de epidemia. El númerode personas infectadas, t semanas después de su brote se puedemodelar por

f (t) =B

1+ Ce−kt,

donde B es el número de residentes en la comunidad que son pro-pensos a contraer la enfermedad. Supongamos que en dicha comu-nidad B es 100.000 personas. Si 1/5 de los residentes propensos es-taba infectado al principio y 1/2 de ellos se había infectado al finalde la cuarta semana

a) Calcule el valor de C y k.

b) Formule la ecuación del modelo que representa el problema.

c) Grafique la función.

99

8. MODELO DE CRECIMIENTO LOGÍSTICO

d) ¿Qué porcentaje de residentes propensos a la enfermedad sehabrá infectado después de la octava semana?

e) Después de un largo tiempo, ¿cuántas personas serán conta-giadas?

f ) ¿En que instante contraerán la gripe la mitad de la población?

Soluciones

1. a) Número inicial= 100 individuos.Número máximo= 1000 individuos.

b)

c) En 4,39 años.

2. a) C=37/3K= 0,0565.

b)

c) A los 44,4655 años la población tendrá 20 mil millones de ha-bitantes.

d) 40 mil millones de habitantes.

3. a)

100

Ejercicios

b) Después de 12 años hay 5164,0276 conejos.

c) A los 8,6893.

d) 6000 conejos.

4. a) 3,733 aves.

b)

c) 11200 aves.

d) A los 1, 575 años.

5. a) f (t) =1,800

1+ 17e−0,3768t

b)

c) 377,752 salmones.

d) A los 8,1113 meses.

e) 1.800 salmones.

f ) 7,5191 meses.

6. a) C=4 y k=0,3465.

b) f (t) =100,000

1+ 4e−0,3465t

c)

101

8. MODELO DE CRECIMIENTO LOGÍSTICO

d) 80% de las personas.

e) 100.000 personas.

f ) A las 4 semanas.

102

9 Modelo trigonométrico

!"! #$%&'('()*

1. Dadas las siguientes funciones

a) f (x) = 5 sen(2x)

b) g(t) = −5 sen(t/2)

c) h(s) = 1+ 2 sen s

d) s(v) = −2 cos(πv/2)

e) p(t) = 3 sen(t/6)

f ) n(x) = 3+ 2 sen(2x)

g) m(s) = sen(s− π/3)

h) k(t) = 3 sen(

16(t− π)

)

+ 2

i) r(x) = −1+ 12 sen

(

3π − 12x

)

j) t(x) = 1− 12 sen(2x)

k) m(s) = 1− cos(

π

3 − s)

l) k(r) = −2 cos(

16(r− π)

)

+ 2

m) r(x) = −1+ 12 cos

(

32π − 1

2x)

Determine

Amplitud.

Período.

Puntos máximos y mínimos dentro del período.

Gráfico.

2. Dadas las siguientes gráficas, postule su función

a) b)

103

9. MODELO TRIGONOMÉTRICO

c) d)

e) f)

Soluciones

1.

Ampl. Per. Máx y Mín. Gráfico

a) 5 π Máx:(

π

4 , 5)

.Mín:

( 3π

4 ,−5)

b) 5 4π Máx: (3π, 5).Mín: (π,−5)

104

Ejercicios

c) 2 2π Máx:(

π

2 , 3)

.Mín:

(3π

2 ,−1)

d) 2 4 Máx:(2, 2). Mín:(0,−2) , (4, 2)

e) 3 12π Máx: (3π, 3).Mín: (9π,−3)

f) 2 π Máx:(

π

4 , 5)

.Mín:

(3π

4 , 1)

105


g) 1 2π Máx:( 5π

6 , 5)

.

Mín:(

11π

2 ,−1)

h) 3 12π Máx: (4π, 5).Mín: (10π,−1)

i) 12 4π Máx:

(

9π,−12

)

.

Mín:(

7π,−32

)

j) 12 π Máx:

( 3π

4 , 1)

.

Mín:(

π

4 ,12

)

106

Aplicaciones del modelo

k) 1 2π Máx:(8π

6 , 2)

.Mín:

(2π

6 , 0)

l) 2 12π Máx: (7π, 4).Mín: (π, 0)

m) 12 4π Máx:

(

3π,−12

)

,(

7π,−12

)

.

Mín:(

5π,−32

)

2. a) t(x) = 1+ sen(3x)

b) s(x) = 2+ cos(3x)

c) r(x) = 1+ sen(−2x + π)

d) h(x) = 1− 3 sen(x)

e) g(x) = 3− 2 sen(5x)

f ) f (x) = −1− 2cos(

x2

)

!"! #$%&'('&)*+, -+% .)-+%)

Ejemplo

La marea de Horcón subió a media noche. El nivel del agua duran-te la marea alta fue de 9,9 pies, más tarde, en la marea baja, fue de 0, 1pies. Supóngase que la siguiente marea alta fuera exactamente 12 horas

107


después y que la altura del agua estuviera dada por una curva de seno ocoseno. Hallar una expresión para averiguar el nivel del agua en Horcónen función del tiempo.

Solución La expresión pedida corresponde a una función trigonomé-trica, de la forma

f (x) = A sen(Bt) + C o g(x) = A cos(Bt) + C

donde |A| es la amplitud, B indica el número de veces que cabe B en 2π

y C indica corrimiento vertical.Primero determinaremos la amplitud y el período y luego realizare-

mos un esquema del enunciado para poder establecer la función pedida.

Amplitud =valormáximo− valor mínimo

2

=9, 9− 0, 1

2= 4, 9

Periodo = P =2π

B

De acuerdo al problema, el período es de 12 horas, luego

P =2π

B⇒ B =

2π

12=

π

6

luego la función es

f (x) = 5+ 4, 9 cos(

π

6x)

!"! #$%&'('()* +&)+,%*-)*

1. Para una persona en reposo la velocidad (V), del aire que fluye du-rante un ciclo respiratorio está dado por: V(t) = 0, 85 sen(πt/3);donde t se mide en segundos y V(t) en L/seg.

a) Grafique la función e indique la porción del gráfico acorde conel enunciado.

b) ¿Cuál es la velocidad para el tiempo cero?

c) ¿Para qué valor de t la velocidad es de 0, 425 L/seg?

d) ¿En qué instante la velocidad es máxima?

108


e) ¿Cuál es el valor de esa velocidad máxima?

f ) ¿Cuál es la duración del ciclo respiratorio?

2. Un espirograma es un instrumento que registra en un gráfico elvolumen de aire (V) en los pulmones de una persona en función deltiempo. El trazado típico de este gráfico esta dado según la funciónV(t) = 3 + 1

20 sen(

160πt− π

2

)

, en que el tiempo está medido enminutos y el volumen en litros.

a) Dibuje la porción del gráfico que tiene relación con el proble-ma.

b) ¿Cuál es el volumen para el tiempo cero?

c) ¿Cuál es el volumen para el tiempo igual a 3/320 minutos?

d) ¿Para qué valor de t el volumen es de 3, 025 litros?

e) ¿En qué instante el volumen es máximo?

f ) ¿Cuál es el valor de ese volumen máximo?

g) ¿En qué instante el volumen es mínimo?

h) ¿Cuál es ese volumen mínimo?

3. El ciclo respiratorio de cierto animal, se puede modelar por la si-guiente fórmula

v(t) = 1, 2− 0, 2 cos(

πt

3

)

,

con v en litros y t en segundos.

a) Dibuje la porción del gráfico acorde con el problema.

b) ¿Cada cuánto tiempo inspira aire?

c) ¿Cuál es el volumen máximo de aire en sus pulmones?

d) ¿Cuál es el volumen mínimo de aire en sus pulmones?

e) ¿En qué fase de la respiración se encuentra cuando t = 12?

4. Un paciente en reposo inspira y expira 0,5 litros de aire cada 4 se-gundos. Al final de una espiración, le quedan todavía 2,25 litros deaire de reserva en los pulmones, t segundos después de una expi-ración, es

V(t) = 2, 5− 0, 25 cos(

πt

2

)

.

a) Dibuje la porción del gráfico que tiene relación con el enuncia-do.

b) ¿Cuál es el volumen para el tiempo cero?

c) ¿En qué instante el volumen es máximo?

d) ¿Cuál es el valor de ese volumen máximo?

e) ¿En qué instante el volumen es mínimo?

f ) ¿Cuál es ese volumen mínimo?

109


Soluciones

1. a)

Gráfico de v(t) = 0, 85 sen(πt/3)

Porción del gráfico acorde al enunciado.

b) 0 l/seg

c) t1 = 0, 5 seg; t2 = 2, 5 seg.

d) t = 1, 5 seg.

e) 0, 85 l/seg.

f ) 3 seg.

2. a)

b) 59/20 = 2, 95 litros.

c) 3 litros.

d) t1 = 1/240 min; t2 = 1/120 min.

e) t = 1/160 min.

f ) 3, 05 litros.

g) t1 = 0 min; t2 = 1/80 min.

110


h) f rac5920 = 2, 95 litros.

3. a)

b) Inspira aire cada 6 segundos.

c) 1, 4 litros.

d) 1 litro.

e) Cuando t = 12, está al final de una expiración e iniciando unainspiración.

4. a)

b) 2, 25 litros.

c) Cuando t = 2 seg.

d) 2, 75 litros.

e) Cuando t = 0 seg y t = 4 seg. El volumen mínimo es 2, 25litros.

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