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Lic. Javier Alvarez Noyola

FUNCIONES DE PRIMER GRADO

Definición.- La palabra función fue utilizada por el matemático alemán Gottfried Wilhelm

Leibnitz ( 1646 – 1716 ), la mente más universal de su época. Dominó toda la filosofía y toda la

ciencia de su tiempo. Descubrió simultáneamente con Newton el cálculo diferencial. Desarrollo

notablemente el Análisis Combinatorio. Mantuvo durante toda su vida la idea de una matemática

simbólica universal.

La relación de correspondencia se presenta a menudo en la vida diaria, en las siguientes

ilustraciones damos unos ejemplos.

El costo de producir cierto artículo dependerá del número de artículos que se producen.

El valor de una maquinaria en libros, depende del tiempo de uso.

Los ingresos de una persona, depende del tipo de trabajo que desarrolle.

Lo que cobran por hacer uso de un estacionamiento, depende del tiempo en que el

vehículo permanecerá estacionado.

Podemos observar en los ejemplos anteriores que una situación dependerá de otra para

poder realizar.

Ejercicio:

La empresa de calzado “Visconti” fabrica 4 tipos de calzado diferentes, y tienen los

siguientes precios: $220.00, $260.00, $280.00 y $300,00 según sea del modelo. La cantidad que se

ofrece por mes es el siguiente 1,600 pares para el primer modelo, 2,500 pares para el segundo

modelo, 3,800 pares para el tercer modelo y para el último 4,600 pares, se busca hacer una relación

comparativa precio, cantidad ofrecida.

Precio del artículo

$

Cantidad ofertada

Por mes

220 1,600

260 2,500

280 3,800

300 4,600

En esta tabla se observa que el precio del calzado depende del número de pares ofrecidos.

Ejercicio:

El departamento de Recursos Humanos de la empresa “El buen vestir” fabricante de ropa

casual, seleccionó a 3 personas: Leticia, Mariana y Angélica, para ocupar los puestos de Gerente en

los departamentos: Costos, Finanzas y ventas. A cada una de las personas le corresponde un puesto:

Personas

Seleccionadas

Departamentos

A ocupar

Leticia Costos

Mariana Finanzas

Angélica ventas


Una relación es llamada función, si a cada elemento del primer conjunto le corresponde

exactamente uno del segundo conjunto.

Al primer conjunto se le llama dominio de la función, y al segundo se le llama rango o

conjunto de las imágenes.

A los elementos del dominio la conoceremos como variable “x” también llamada variable

independiente. Y a los del rango que conoceremos como la variable “y” también conocida como la

variable dependiente.

REPRESENTACION DE UNA FUNCION

Ejercicio:

En un supermercado de la ciudad están ofreciendo jugos “Del valle” con una presentación

de su empaque de 200 ml. Sabemos que si el precio es de $3.50 se venden 9,000 jugos, pero si el

precio es de $4.50 se venderán 8,000 jugos esto en un mes determinado. Se desea obtener:

a).- El modelo matemático

b).- Si el precio es de $5.50 ¿Cuántos jugos se venderán?

c).- Si se desea vender 10,000 jugos ¿Cuál será el precio?

d).- Graficar la función.

Representación de los datos Precio

$

Ventas

Unidades

3.50 9,000

4.50 8,000

Si el precio aumenta con una diferencia de un peso ( 3.50 – 4.50 ) las ventas disminuyen en

1,000 jugos ( 9,000 – 8,000 ) y la razón será:

000,11

000,1

m

La función lineal es: y = mx + b

Para esto el modelo matemático será: ventas = mp + b

Donde p es el precio del producto.

Ahora vamos a sustituir para encontrar el valor de b

Ventas = mp + b

8,000 = -1,000 (3.50) + b

8,000 = -4,500 + b

8,000 + 4,500 = b

b = 12,500

Sustituyendo para encontrar el modelo matemático este será:

Ventas = -1,000p + 12,500


b).- Si el precio es de $5.50 ¿Qué cantidad de jugos se venderán?

Ventas = -1,000 (p) + 12,500

Ventas = -1,000 (5.50) + 12,500

Ventas = -5,500 +12,500

Ventas = 7,000 jugos

c).- Si las ventas son de 10,000 jugos a que precio se puede ofrecer?

Ventas = -1,000 (p) + 12,500

10,000 = -1,000 (p) + 12,500

10,000 - 12,500 = -1,000 (p)

-2,500 = -1,000 (p)

50.2000,1

500,2p

d).- Gráfica:

0

10,000

8,000

6,000

4,000

2,000

1,000

3,000

5,000

7,000

9,000

1 2 3 4 5 6

V E

N T

A S

P R E C I O

Jugos Del Valle

Ejercicio:

Una agencia de renta de automóviles, tiene una tarifa para un auto compacto de $500.00 el

día de renta y $2.50 el kilómetro recorrido, se desea encontrar:

a).- ¿Cuál es la función que exprese la renta diaria?

b).- Si una persona renta el auto para irse a la ciudad de México, D.F. ( 400 Km. ) ¿Cuál es

el costo de la renta?

c).- Si el costo de la renta fue de $1,900.00 ¿Cuántos kilómetros recorrió el automóvil?

d).- dibujar una gráfica que represente el costo de renta diaria.

Solución:

a).- El costo diario es de $500.00 esto representa a la ordenada al origen es decir b = 500 y

los $2.50 por cada kilómetro que recorre, la razón será:

50.21

50.2 m

La función y = mx + b

y = 2.50(x) + 500

b).- Si x = 400


y = 2.50(x) + 500 y = 2.50 (400) + 500

y = 1,000 + 500

y = 1,500

c).- Si y = 1,900

y = 2.50(x) + 500

1,900 = 2.50 (x) + 500

1,900 - 500 = 2.50 (x)

1,400 = 2.50 (x)

Kmx 56050.2

400,1

d).- Gráfica

0

2,000

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

100 200 300 400 600 700

H E R T Z

Cost

o d

e l

a r

en

ta

Kilometros

y = 2.50 (x) + 500

Ejercicio:

El departamento de policía de la ciudad, estudia el proyecto de comprar una patrulla. Se

estima que el costo del automóvil con equipo es de $300,000 y se han estimado también un costo de

operación de $25,000 por mes. Determinar:

a).- La función matemática que exprese el costo total.

b).- Cuál es el costo total si su vida útil es de dos años.

c).- Si se han gastado $450,000 Cuánto tiempo se ha usado la unidad.

d).- Elaborar la gráfica de la función Costo Total.

Solución:

a).- y = mx + b

y = 25,000(x) + 300,000

b) x = 24 meses

y = 25,000 (24) + 300,000

y = 600,000 + 300,000

y = 900,000


c).- y = 450,000

450,000 = 25,000 (x) + 300,000

450,000 - 300,000 = 25,000x

150,000 = 25,000x

mesesx 6000,25

000,150

d).- Gráfica

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

900,000

1’000,000

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Cost

o

M e s e s

Departamento de Policía

y = 25,000 (x) + 300,000


1.- Mencione cuando menos 3 ejemplos de funciones lineales, que se encuentren en la vida

cotidiana.

2.- En una gran ciudad el servicio de taxi cuesta el banderazo (inicio de la corrida) $15.00,

además cobra $0.60 el kilómetro recorrido. Si una persona toma el taxi en el centro de esa ciudad y

pide al chofer lo traslade al parque zoológico, el cual tiene una distancia de 25 kilómetros, ¿Cuánto

tiene que pagar el usuario por esa dejada?

3.- Una empresa produce artículos de plástico, si se toma un artículo de los que produce

pues está interesada en determinar la función que exprese el costo total anual, como una función

del número de unidades producidas. Los contadores indican que los gastos fijos al año corresponden

a $50,000, han estimado también que los gatos en materia prima por cada unidad producida la

cantidad de $75.00 y los gastos de mano de obra por unidad es de $20.00, en el departamento de

ensamble $15.00 y en el departamento de embarques $7.00. Obtener:

a).- La expresión Costo Total.

b).- Si se producen 3,200 artículos anuales ¿Cuál es el Costo Total?

c).- Si el costo anual es de $158,000 ¿Cuántas artículos se produjeron?

4.- Una agencia de renta de autos suburban las alquila a razón de $750.00 el día más $2.50

el kilómetro recorrido. Obtener:

a).- La función que exprese el costo diario de renta.

b).- Cuál es el valor si se recorren 600 kilómetros.

c).- Al liquidar la cuanta se cobra $4,500 ¿Cuántos kilómetros recorrió?

d).- Graficar.

5.- Se sabe el que sueldo semanal de un vendedor es en función al número de artículos

vendidos, es decir si vende 20 artículos su sueldo es de $300,00 y si vende 15 artículos su sueldo

será de $250.00 por semana. Obtener:

a).- La expresión función sueldo semanal.

b).- Cuál es el sueldo base del vendedor.

c).- Si vende 25 artículos cual es su sueldo.

d).- Si en cierta semana recibió de sueldo $400.00 ¿Cuántos artículos vendió?

e).- Graficar.

6.- La Señorita Leticia compro una colección de discos compactos de los años ‘70s

mediante un pago inicial de $39.00 y 4 pagos iguales mensuales por la misma cantidad. Si envía por

correo sus pagos, cobrándole el 2.2% de la cantidad a enviar más $0.40

a).- Cuanto paga Leticia cada mes

b).- Obtenga una expresión que represente el cobro por el servicio postal.

c).- ¿Cuánto le costo la colección?


( Ecuaciones de la recta )

En el tema anterior se menciona el concepto de pendiente, representada por el símbolo “m”.

Como se recordará en la pendiente nos representa la inclinación de la recta. Si tenemos dos puntos

de coordenadas ( 1, 2 ), ( 2, 4 )

x""en Cambio

y""en cambiom

El cambio en 12"" yyy y el cambio en

12"" xxx

21224

12

12

xx

yym

Es decir: Por cada unidad de cambio en x, el valor de “y” cambia en 2 unidades para este

ejemplo en particular “m” también es llamada razón constante del cambio.

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5

Valor "x"

Valo

r "y

"

Cambio en "y"

12

12

xx

yym


y = mx + b

Ejercicio:

Una persona invierte $75,000 a una tasa de interés del 30% durante los próximos 4 años.

Expresar la cantidad acumulada a través del tiempo, grafique, ¿Cuánto dinero recibirá al final de los

4 años?

Cantidad inicial 75,000. Esta es la ordenada al origen b = 75,000

La cantidad ganada por los intereses 75,000 x 0.30 = m = 22,500 (la pendiente)

y = mx + b

y = 22,500 (x) + 75,000

0

25,000

50,000

100,000

75,000

125,000

150,000

175,000

200,000

225,000

250,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ecuación de la recta en forma simplificada

Inte

rés

má

s cap

ita

l

T i e m p o

Representando la ordenada al origen: 75,000 y la pendiente

1

500,22

en x

yen Cambio

Cambiom

Sustituyendo:

y = 22,500 (x) + 75,000

y = 22,500 (4) + 75,000

y = 165,000


Ejercicio:

La empresa IEM fabricante de motores para varias capacidades ha observado que en el

departamento de producción tienen una devanadora de las bobinas para los motores. El

departamento de Contabilidad realizó una revisión de sus activos y observo que esta devanadora en

esta fecha tiene un valor en libros de $23’500.000.00, esta devanadora tiene 4 años de uso, hace dos

años el valor en libros era de $28’000,000.00, determinar:

a).- La ecuación que describa la depreciación de la devanadora.

b).- ¿Qué valor tenía la devanadora cuando se adquirió?

c).- ¿Cuántos años debe depreciarse para que la devanadora adquiera un valor de $0.00?

Solución:

Cuando la devanadora tenía 4 años de uso.

x = 4

y = 23’500,000 )000,500'23 ,4(oP

Cuando la devanadora tenía 2 años de uso.

x = 2

y = 28’000,000 )000,000'28 ,2(1P

12

12

xx

yym

24

000,000'28000,500'23

m

m = -2’250,000

Los $2’250,000 es el valor que se deprecia cada año

b) ¿Qué valor tenía la devanadora cuando se adquirió?

)( 11 xxmyy

Si m = -2’250,000 y el valor de p (4, 23’500,000)

y - 23’500,000 = -2’250,000 ( x – 4 )

y - 23’500,000 = -2’250,000 ( – 4 )

y = 23’500,000 + 9’000,000

y = 32’500,000

Es el valor de b

c).- ¿Cuántos años debe depreciarse para que la devanadora adquiera un valor de $0.00?

y = mx + b

y = 0

0 = -2’250,000(x) + 32’500,000

añosx 14000,250'2

000,500'32


)( 1112

12 xxyyxx

yy

La aplicación que veremos se relaciona con la demanda de un artículo. Y se llama demanda

al número de unidades que los consumidores solicitan de un producto y que teóricamente depende

del precio.

Ejercicio:

Una tienda de electrónica a nivel nacional, esta ofreciendo un modular marca aiwa, cuando

este equipo tenia un precio de $4,500.00 se vendieron 150 equipos, pero cuando se ofrecieron a un

precio de $3,500 se vendieron 250 equipos. Determinar la ecuación de la demanda, suponiendo que

esta es lineal.

Solución:

1p = 4,500; q = 150;

1p (4,500, 150)

2p = 3,500; q = 250;

2p (3,500, 250)

Sustituyendo;

)( 1112

12 xxyyxx

yy

p = x; y q = y

)500,4(150500,4500,3

150250

pq

)500,4(150000,1

100

pq

10

4500

10

1150

pq

15045010

1

pq

60010

1

Pq


1.- Una empresa esta ofreciendo un producto a un precio de $120.00 y vendió 80 artículos

y cuando ofreció el producto a $180.00 solamente vendió 50 artículos. Obtener la ecuación de la

demanda, suponiendo que es lineal. Buscar el precio del artículo cuando la demanda es de 30

artículos.

2.- La fabrica de calzado “Creaciones Tres Rosas”, desea colocar al mercado 50,000 pares

cuando el precio del zapato es de $370.00 por par, otra opción es colocar al mercado 35,000 pares

de zapatos cuando estos tienen un costo de $450.00. Elaborar la ecuación de la demanda,

suponiendo que esta es lineal. Si el precio de los zapatos es de $300.00 ¿Cuántos pares venderá?

3.- Un torno tiene un valor en libros de $60,000 a dos años de su adquisición; y un valor en

libros de $37,500.00 después de transcurridos 5 años desde que se adquirió.

a).- ¿Cuál es el valor de adquisición del torno?

b).- ¿A qué tasa anual se está depreciando el torno?

c).- ¿Después de cuantos años. El valor en libros será $0.00?

4.- Se invierten $14,600.00 a una tasa de interés del 27% anual, durante 5 años. Exprese la

cantidad acumulada a través del tiempo. Dibuje la expresión ¿Cuánto se recibe al término del plazo?


FUNCION INGRESO Y COSTO TOTAL

a).- función ingreso total El ingreso es todo el efectivo que entra a un cierto negocio y se obtiene multiplicando el

precio unitario por el número de artículos vendidos es decir:

R = Px

Donde: x = número de artículos vendidos.

P = Precio por unidad.

R = Ingreso total.

Ejercicio:

Un negocio de venta de computadoras está ofreciendo una computadora actualizada por un

precio de $15,000.00, IVA incluido, obtener:

a).- La función de Ingreso Total.

b).- Si se venden 14 computadoras. ¿Cuál es el Ingreso Total?

c).- Si el Ingreso Total es de $375,000 ¿Cuántas computadoras se vendieron?

d).- realizar la gráfica de Ingreso Total

Solución:

a).- R = Px

R = 15,000 (x)

b).- R = 15,000 (14)

R = 210,000

c).- 375,000 = 15,000 (x)

25

000,15

000,375

x

x

0

50,000

100,000

150,000

200,000

250,000

300,000

350,000

400,000

450,000

500,000

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36

V e

n t

a s

$

Número de computadoras

Ingreso Total

R = 15,000 (x)


b).- Función Costo Total.

El Costo Total es la suma de dos tipos de costos; Costos Variables llamados también

Costos Directos, estos costos son variables porque cambian según la producción o sea un número de

unidades producidas. Y los Costos Fijos, estos costos no cambian, es decir no dependen de las

unidades producidas. El costo total se obtiene multiplicando el costo variable por el número de

unidades fabricadas más los costos fijos. En otras palabras:

fvt CxCC

tC = Costo Total.

vC = Costo Variable.

fC = Costo Fijo.

x = Unidades fabricadas

Ejercicio:

Una fabrica de televisores, esta fabricando un modelo de televisor portátil, los gastos están

distribuidos de la siguiente manera: los costos variables son de $450.00 por unidad, los costos fijos

son de: $300,000 se desea obtener:

a).- ¿Cuál es la función de Costo Total?

b).- Si se fabrican 600 televisores ¿Cuál será el Costo Total?

c).- ¿Cuál sería el número de televisores fabricados si se obtiene un costo total de

$975,000?

d).- Graficar la función Costo Total.

Solución:

a).- fvt CxCC

tC = 450(x) + 300,000

b).- tC = 450 ( 600 ) + 300,000

tC = $570,000

c).- fvt CxCC

975,000 = 450 (x) + 300,000

975,000 - 300,000 = 450x

675,000 = 450x

500,1450

000,675x televisores


0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

900,000

1’000,000

Cost

o T

ota

l125 250 375 500 625 750 875 1000 1125 1250 1375 1500

Número de Televisores

C o s t o T o t a l

c).- Punto de equilibrio entre Ingreso y Costo Total.

Sabemos que el Ingreso Total está dado por R = Px

Y el Costo Total fvt CxCC

El objeto de este tema es tener una Producción y una venta para lograr que el ingreso total

sea igual al Costo Total, a esto se le llama punto de equilibrio de la empresa, es decir el volumen de

las ventas donde la empresa no obtiene pérdidas ni ganancias. En consecuencia el punto de

equilibrio se logra cuando el Ingreso Total es igual al Costo Total.

Ejercicio:

Una empresa fabricante de llantas de automóvil, esta fabricando un nuevo modelo de llanta

para autos chicos rin 13, el costo unitario de cada llanta es de $350.00 y los costos fijos es de

$300,000. El precio de la llanta al público es de $550.00, se desea obtener:

a).- La función Costo Total e Ingreso Total.

b).- Si se producen y se venden 2,500 llantas determinar, Costo Total e Ingreso.

c).- ¿Para qué número de llantas se tiene equilibrio, ¿Cuál es el Ingreso y Costo Total?

d).- ¿Cuál deberá ser el volumen de las ventas para obtener ganancia?

e).- ¿Cuál deberá ser el volumen de las ventas para obtener pérdida?

f).- Dibujar la gráfica.

Solución

a).- La función Costo Total e Ingreso Total.

fvt CxCC PxR

000,300350 xCt R = 550x

b).- Si se producen y se venden 2,500 llantas determinar, Costo Total e Ingreso.

000,300)500,2(350 tC R = 550(2,500)

000,300000,875 tC R = 1’375,000

000,175'1tC

c).- ¿Para qué número de llantas se tiene equilibrio, ¿Cuál es el Ingreso y Costo Total?


tCR

550x = 350x + 300,000

550x - 350x = 300,000

200x = 300,000

200

000,300x

x = 1,500

Cuando se fabriquen y se vendan 1,500 llantas se tiene el equilibrio.

d).- ¿Cuál deberá ser el volumen de las ventas para obtener ganancia?

RCt

550(1,500) =

$825,000

Si x > 1,500 se tiene una ganancia (utilidad +)

e).- ¿Cuál deberá ser el volumen de las ventas para obtener pérdida?

Si x < 1,500 se tiene una pérdida (utilidad -)

tCRU

La utilidad es la diferencia entre el Ingreso Total y el Costo Total.

fv

fv

fv

CxCPU

CxCPxU

CxCPxU

)(

)(

El punto de equilibrio se logra cuando tCR entonces la utilidad es cero ( U = 0 )

v

f

CP

Cx


Ejercicio:

Una empresa fabricante de llantas de automóvil, esta fabricando un nuevo modelo de llanta

para autos chicos rin 13, el costo unitario de cada llanta es de $350.00 y los costos fijos es de

$300,000. El precio de la llanta al público es de $550.00, se desea obtener:

a).- La función de Utilidad.

b).- Usando la fórmula v

f

CP

Cx

¿Cuál es el número de llantas para lograr el equilibrio?

c).- Si se fabrican y se venden 900 ó 2,500 llantas ¿Cuál es la utilidad?

d).- Realizar la Gráfica.

Solución:

a).- tv CxCPU )(

U = (550-350)x - 300,000

U = 200x - 300,000

b).- v

f

CP

Cx

350550

000,300

x

x = 1,500

Este valor coincide con el punto de equilibrio.

c).- U = 200x - 300,000

U = 200(900) - 300,000 = -120,000 (pérdida)

U = 200(2,500) - 300,000 = 200,000 (ganancia).


La función oferta relaciona el precio de mercado a las cantidades que los abastecedores se

inclinan para producir y vender. Las funciones de oferta implican que lo que tengan en existencia en

la tienda depende del precio que la gente esta dispuesto a pagar. La función demanda es una

relación matemática que expresa la forma en la cual la cantidad demandada de un artículo varía con

el precio a él cargado. La relación entre dos variables [Cantidad demandada y el precio por unidad].

Por lo general es inversa. La función demanda es una función decreciente que depende del precio.

Es decir, si el precio aumenta la demanda baja. Si la función demanda es función lineal.

Ejercicio:

Una tienda de departamento esta vendiendo unas vajillas para las amas de casa y las ofrece

de la siguiente forma la representaremos en la siguiente tabla:

Precio

P

$

Demanda

q

Vajillas

300 295

350 290

400 285

Obtener:

a).- La ecuación de la función que representa a la demanda.

b).- ¿Si el precio es de $250.00 cual es la demanda esperada?

c).- Si se espera una demanda de 225 vajillas ¿Cuál es el precio al que se venderá?

Solución:

a).- La ecuación de la función que representa a la demanda.

P

$ dq

300 295

350 290

400 285

50

5

300350

295290

en x cambio

yen

cambio

m

La pendiente es: 50

5m

La ecuación de la recta será: bpqd

50

5 para calcular el valor de b se tomará cualquier

punto proporcionado. Tomaremos los datos centrales que son: (350, 290)

bpqd

50

5

b )350(29050

5

290 = - 35 + b

290 + 35 = b

b = 325


Luego la ecuación queda:

32550

5 pqd

b).- ¿Si el precio es de $250.00 cual es la demanda esperada?

325)250(50

5 dq

300dq

c).- Si se espera una demanda de 225 vajillas ¿Cuál es el precio al que se venderá?

32550

5 pqd

225 = -50

5 p + 325

225 - 325 = -50

5 p

-100 = -50

5 p

-100(50) = -5p

-5,000 = -5p

5

000,5p

p = 1,000

El precio de $1,000 se venderá 225 vajillas.


Una función de oferta relaciona el precio de mercado a las cantidades que los abastecedores

se inclinan a producir y vender. Las funciones de oferta implican lo que se tenga en existencia en la

tienda depende del precio que la gente este dispuesta a pagar. Al contrario de la naturaleza inversa

del precio y la demanda en funciones de demanda, la cantidad de abastecedores está dispuestos a

ofrecer, por lo general, varía directamente con el precio de mercado. permaneciendo todo lo demás

igual, a un alto precio de mercado corresponde una intención por parte del abastecedor de producir

y vender más; y al menor precio que la gente esta dispuesta a pagar, corresponde al menor incentivo

para producir y vender. Al igual que las funciones de demanda, las funciones de oferta se pueden

aproximar, algunas veces, empleando funciones lineales.

bapqo

Ejercicio:

Una tienda de autoservicio está ofreciendo en su departamento de ferretería un juego de

destornilladores y esta representado en la siguiente tabla que representa la oferta de los

destornilladores, se desea obtener:

a).- La función que represente la oferta.

b).- Si el precio es de $200.00 ¿Cuántos destornilladores se ofrecerán?

c).- Si se desean ofrecer 1,450 destornilladores ¿Cuál será el precio ofertado?

Precio

P

Oferta

oq

90 50

270 2150

150 750

a).- La función que represente la oferta.

Solución:

P oq

90 50

180 2,100

270 2,150

-120 - 1.400

150 750

30

350

120

400,1

2

30

350

180

100,2

1

cuarta saca se

sexta saca Se

m

m

Como 21 mm entonces se trata de una función lineal y como

3

35m la función queda:

bpqo 3

35


Ahora buscaremos “b” utilizando los valores (90, 50).

bpqo 3

35

b 90503

35

50 = 35(30) + b

50 = 1,050 + b

50 - 1,050 = b

b = -1,000

Y la función queda de la siguiente manera:

000,13

35 pqo

b).- Si el precio es de $200.00 ¿Cuántos destornilladores se ofrecerán?

700,12003

35 oq

oq 2,333 – 1,000

oq 1,333 destornilladores.

c).- Si se desean ofrecer 1,450 destornilladores ¿Cuál será el precio ofertado?

000,13

35 pqo

000,1450,13

35 p

p3

35000,1450,1

P3

35450,2

p35

350,7

p = 210


Se desea que la cantidad de artículos que se ofrecen y se venden deberán ser iguales, si esto

sucede se le llama punto de equilibrio, entonces surge una pregunta ¿Qué precio debe ser para

lograr el equilibrio?

Este precio se encuentra cuando la oferta es igual a la demanda.

qd = qo

Ejercicio:

Supongamos que una empresa tiene un artículo en venta y las funciones resultantes son las

siguientes:

3003

5 pqd Demanda

1003

35 pqo Oferta.

Obtener:

a).- ¿Para qué precio se tiene equilibrio?.

b).- ¿Cuánto es la oferta y demanda en el punto de equilibrio?

c).- Dibujar una gráfica.

Solución:

a).- ¿Para qué precio se tiene equilibrio?.

1003003

35

3

5 pp

3001003

35

3

5 pp

4003

40 p

-40p = -1,200

400

200,1

p

p = 30

Con el precio de $30.00 se logra el punto de equilibrio.

b).- ¿Cuánto es la oferta y demanda en el punto de equilibrio?

do qq

30050

300)30(

300)(

3

5

3

5

p

250 artículos


1.- Un grupo de ingenieros está interesado en formar una compañía para producir detectores

de humo. Están en una etapa de diseño y estiman que los costos variables por unidad, incluyendo

materia prima, mano de obra y costos de mercado, son de $22.50. Los costos fijos con la formación,

operación y administración de la compañía y la adquisición de equipo y maquinaria, hacen un total

de $250,000. Estimar que precio de venta será de $30.00 por detector.

a).- Determínese el número de detectores de humo que se deben vender a fin de la firma

esté en equilibrio con la inversión.

b).- Los datos preliminares de mercado indican que la firma puede esperar unas ventas de

aproximadamente 30,000 detectores de humo durante la vida del proyecto si se les fija a los

detectores un precio de $30.00. Determinar las unidades esperadas en este nivel de producción.

2.- Una firma elabora un producto que vende a un precio de $25.00 por unidad. Los costos

variables se estiman en $18.75 por unidad y los costos fijos en $50,000.

a).- Determinar el nivel de producción de equilibrio.

b).- Calcúlese el costo y los ingresos totales en el punto de equilibrio.

c).- ¿Cuál será la utilidad si la demanda es de 7,500 unidades.

3.- Una organización caritativa local esta planeando un vuelo exclusivo y una semana de

vacaciones en el caribe. La empresa va a llevar a cabo recabar fondos. Para ello ha tratado de

obtener un paquete con la línea aérea comercial, en el cual le cargará a la organización un costo fijo

de $10,000 dólares más $300.00 dólares por persona. Los $300.00 dólares cubre el costo del vuelo,

traslado, alimentos, y propinas. La organización está planeando fijar un precio al paquete de

$450.00 dólares por persona.

a).- Determínese el número de personas que se necesitan para obtener el equilibrio en la

empresa.

b).- La meta de la organización es obtener ganancia neta de $10,000 dólares. ¿Cuántas

personas deben participar para lograr esta meta?

4.- Las siguientes tablas representan las funciones demanda y oferta respectivamente en un

cierto producto.

Demanda Oferta

Precio Demanda

dq

Precio Oferta

oq

5 320 5 205

3 336 3 195

a).- Determinar la ecuación que represente la demanda

b).- Determinar la ecuación que represente la oferta.

c).- Si el precio es de $25.00 ¿Cuál es la demanda y la oferta?

d).- ¿En que precio se logra el equilibrio?

e).- ¿Cuál es la oferta y la demanda en el precio de equilibrio?

f).- ¿Para que precios se obtiene escasez?

g).- ¿Para que precio se obtiene abundancia?

h).- Graficar.


Un sistema de ecuaciones es un conjunto que consiste de más de una ecuación. En muchas

aplicaciones, dentro de los negocios y la economía, se debe tratar como sistema de ecuaciones. Por

tal motivo, a menudo se analizarán las interacciones que ocurren en las ecuaciones.

En la práctica hay problemas cuya solución requiere del planteo de un sistema de

ecuaciones:

Ejercicio:

La compañía mueblería del centro produce muebles de madera de dos tipos diferentes, para

eso utiliza en uno de ellos madera de pino con las siguientes necesidades 9 tablas de ( 0.75in x 8in x

8ft ); y 3 hojas de triplay de ( 4ft x 8ft ), y para el otro tipo de mueble utiliza 6 tablas y 4 hojas de

triplay de las mismas dimensiones. Los costos de la madera, para le primer mueble es de $285.00 y

para el segundo mueble $260.00. ¿Cuánto cuesta cada tabla y cada hoja de triplay.

Solución:

Tipo de mueble No. De tablas

Madera.

x

No. De hojas

Triplay.

y

Costo del

material

Mueble 1 9 3 285.00

Mueble 2 6 4 260.00

Los costos del primer mueble:

(No. De tablas) (precio de cada tabla) + (No. De triplay) (Precio de cada triplay)

285 = 9x + 3y

Los costos para el segundo mueble:

260 = 6x + 4y

Las ecuaciones resultantes ser:

(1) 9x + 3y = 285

(2) 6x + 4y = 260

El grado de las dos ecuaciones es uno, por lo tanto ambas gráficas son lineales. Para

resolver un sistema de ecuaciones, se puede utilizar diferentes métodos como son:

1.- Método gráfico.

2.- Método de suma y resta.

3.- Método de sustitución.

4.- Método de igualación.

5.- Método de Gauss Jordán.


1.- Método gráfico.- Consiste en graficar en el mismo plano las dos ecuaciones, con la

técnica de las abscisas y ordenada al origen:

Para obtener la ordenada

9x +3y = 285

Si x = 0, entonces y =

Sustituyendo:

9 (0) + 3y = 285

3y = 285

3

285y

y = 95 abscisa al origen.

Si y = 0 entonces x =

Sustituyendo:

9(x) + 3(0) = 285

9x = 285

9

285x

x = 31.66 ordenada al origen.

En la segunda ecuación:

Para x = 0 entonces y = 65

Para y = 0 entonces x = 43.33

Realizar la gráfica

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Mad

era e

n t

rip

lay

Madera en tablas

y

x

(20, 35)

El punto donde se cruzan las dos rectas (intersección) es la solución del problema. Así que

el precio de cada tabla es de $20.00 y el del triplay es de $35.00


2.- Método suma o resta.

Tiene su funcionamiento en una de las propiedades de la igualdad: para tener coeficientes

iguales y de signo diferente para una de las incógnitas podemos multiplicar y/o dividir una o las dos

ecuaciones que resulte trabajaremos con el mismo ejercicio.

1.- 9x + 3y = 285

2.- 6x + 4y = 260

La primera ecuación la número 1 la multiplicaremos por (-4) y la segunda ecuación la

multiplicaremos por (3) y así tendremos:

1.- -36x - 12y = -1,140

2.- 16x + 12y = 780

-18x = - 360

Despejamos x:

18

360

x = 20

El valor de x se substituye en cualquiera de las dos ecuaciones y así tendremos:

2.- 6x + 4y = 260

2.- 6(20) + 4y = 260

120 + 4y = 260

4y = 260 -120

4y = 140

354

140 y

3.- Método por sustitución.

9x + 3y = 285

6x + 4y = 260

Despejaremos x en la primera ecuación:

9x + 3y = 285

9

3285

32859

yx

yx

Ahora tomaremos la segunda ecuación:

6x + 4y = 260

2604)(69

3285

y

y

260423

3285

y

y

26043

6570

y

y

Multiplicamos por 3

570 - 6y + 12y = 780

6y = 780 - 570

6y = 210

356

210 y


El valor de y se substituye:

209

180

9

)35(3285

9

3285

yx

4.- Método por igualación. Despejaremos cualquiera de las incógnitas en la 2ª, ecuación y

así tenemos.

9x + 3y = 285

6x + 4y = 260

Despejaremos y en la primer y segunda ecuación:

9x + 3y = 285

3y = 285 - 9x

3

9285 xy

y = 95 - 3x

Tomamos la 2ª. Ecuación

6x + 4y = 260

4y = 260 - 6x

4

6260 xy

Igualamos

95 - 3x = 4

6260 x

Multiplicamos por 4

380 - 12x = 260 - 6x

Simplificando

-12x + 6x = 260 - 380

-6x = -120

6

120x

x = 20


Al tratar con problemas de producción, pues existen empresas que al producir sus productos

hacen más de uno diferente, pues pueden producir 4 o más.

Ejercicio:

Una empresa fabricante de artículos electrónicos produce 3 productos principalmente en sus

planes de producción y son: estéreos, grabadoras y videocaseteras. La compañía cuenta con tres

departamentos que son: producción, ensamble y acabado, producir un estéreo requiere de 3 horas en

el departamento de producción, 5 horas en el departamento de ensamble y 4 horas en el

departamento de acabado; la grabadora, requiere 4 horas en producción, 3 horas en ensamble y 2

horas en acabado, y la videocasetera necesita de 2 horas en producción, 4 horas en ensamble y 3

horas en acabado. Las horas disponibles por semana en cada departamento son: Producción 470

horas, ensamble 690 horas y acabado 520 horas.

¿Cuál es el número de horas de cada artículo que agotaría las horas disponibles en cada

departamento?

Horas necesarias por unidad

Artículo Producción ensamble acabado

Estéreo 3 5 4

Grabadora 4 3 2

Videograb. 2 4 3

H. Disponib. 470 690 520

Simbolizaremos:

E = Número de estéreos.

G = Número de grabadoras.

V = Número de videograbadoras

Ecuación:

Producción 3E + 4G + 2V = 470 (1)

Ensamblado 5E + 3G + 4V = 690 (2)

Acabado 4E + 2G + 3V = 520 (3)

La ecuación la haremos por el método suma o resta, para encontrar los valores,

multiplicaremos la primera ecuación por (-2) y obtendremos:

-6E - 8G - 4V = - 940 (1) multiplicado por –2

5E + 3G + 4V = 690 (2)

- E - 5G = - 250 (4)

Ahora multiplicaremos la primera ecuación por (-3) y la tercera por (2) y sumaremos.


-9E - 12G - 6V = - 1,140 (1) multiplicada por (-3)

8E + 4G + 6V = 1,040 (3) multiplicada por ( 2)

- E - 8G -o- = - 370 (5)

Ahora tenemos dos ecuaciones que son la 4 y la 5

E + 5G = 250 (4)

-E - 8G = -370 (5)

- 3G = -120

403

120

G Grabadoras

Sustituyendo el valor de G en las ecuaciones 4 y 5

E + 5G = 250

E + 5(40) = 250

E + 200 = 250

E = 250 - 200

E = 50 Estéreos

Ahora tomaremos la primera ecuación y sustituimos los valores ya encontrados:

3E + 4G + 2V = 470 (1)

3(50) + 4(40) + 2V = 470 (1)

150 + 160 + 2v = 470

2V = 470 - 150 – 160

2v = 470 - 310

2v = 160

802

160 V Videograbadoras.

Resultado:

Se pueden producir 40 Grabadoras.

50 Estéreos.

80 Videograbadoras.


1.- La empresa Café Festivo vende dos tipos de café, El café Córdova a un precio de $52.00

el kilo y el café caracolillo a $48.00 el kilo, el propietario hará una mezcla de las dos variedades por

50 kilos y vendieron el café a $49.00 el kilo, cuantos kilos de café de cada variedad deberán

mezclar para tener los mismos ingresos.

2.- Dos vasos de jugo de naranja y 3 cócteles de frutas cuestan $20.50, mientras que 4 vasos

de jugos y 2 cócteles cuestan $23.00 ¿Qué precio tiene el jugo y el cóctel de frutas?

3.- En una empresa trabajan 175 personas entre hombres y mujeres. Los hombres ganan

$42.00 diarios y las mujeres ganan $35.00. Sí la nómina diaria es de $6,825.00 ¿Cuántos hombres y

cuántas mujeres trabajan en la empresa?

4.- Una persona vendió 70 boletos para una audición, los boletos costaron $300.00 y

$200.00. Si el total de sus ventas fue de $18,500.00 ¿cuantos boletos vendió de cada uno de los

precios?

5.- Una empresa fabrica 2 productos, A y B. Cada producto tiene que ser procesado por 2

máquinas, I y II, el artículo A requiere una hora de procesamiento de la máquina I y una hora y

media de la máquina II. Y Cada artículo B requiere 3 horas en la máquina I y 2 horas en la máquina

II, si la máquina I esta disponible 300 horas al mes y la máquina II 250 horas al mes. ¿Cuántas

unidades de cada tipo podrá fabricar al mes, si utiliza el tiempo total que dispone en las dos

máquinas.

6.- La nutrióloga del hospital está planeando el desayuno. Se sirven tres alimentos

diferentes que deben cubrir las necesidades mínimas de tres vitaminas. Se resume al contenido

vitamínico por onza de cada alimento en la siguiente tabla:

Contenido vitamínico por alimento

Tipo de alimento Vitamina E Vitamina B-12 Vitamina A

Alimento 1 5 mg. 2 mg. 1 mg.



Nece. diarias 29 mg. 20 mg. 21 mg.

¿Cuál será el número de vitaminas de cada alimento de debe incluir en la dieta?

7.- Una compañía mueblería produce 3 tipos de muebles: El americano, el europeo y el

oriental, cada tipo de mueble requiere madera, aluminio y plástico en el almacén hay 400 unidades

de madera 600 de plástico y 1,500 de aluminio se desea agotar las existencias del almacén. Cuantos

muebles de cada uno se deben producir para lograr el objetivo?

Mueble Madera Aluminio Plástico

Americano 1 2 1

Europeo 1 3 1

Oriental 1 5 2

funciones de primer grado - noyola.mxnoyola.mx/matematicas/fundamentos/funciones.pdf · funciones...

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