apuntes del docente factorizaciÓn

8/4/2019 APUNTES DEL DOCENTE FACTORIZACIN

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UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDER

UNIDAD 4FACTORIZACIN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

FACTORIZACION

Factorizar una expresin algebraica consiste en escribirla como un producto.

Cuando realizamos las multiplicaciones:

1. 2x(x2 3x + 2) = 2x

3 6x

2+ 4x

2. (x + 7)(x + 5) = x2

+ 12x + 35

Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresionesa factorizar, es decir, la factorizacin es el proceso inversode la multiplicacin.

CASOS DE FACTORIZACIN

1. FACTOR COMUN

1.1 Factor comn monomio: Con este mtodo buscamos el factor comn de todos y cada unode los trminos del monomio. Es decir, cuando tenemos una expresin de dos o ms expresionesalgebraicas y se presenta un trmino comn; se debe sacar como factor comn.

Ejemplo 1: cul es el factor comn monomio en 12x + 18y 24z?

Entre los coeficientes es el 6, o sea, 62x + 63y 6 4z = 6(2x + 3y 4z)

Ejemplo 2: Cul es el factor comn monomio en: 5a2 15ab 10ac?El factor comn entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a (el de

menorgrado), por lo tanto

5a2 15ab 10ac = 5aa 5a3b 5a 2c = 5a(a 3b 2c)

Ejemplo 3: Cul es el factor comn en 6x2y 30xy2+ 12x2y2 ?El factor comn es 6xy porque

6x2y 30xy

2+ 12x

2y

2= 6xy(x 5y + 2xy)

1.2 Factor comn polinomio: Es el polinomio que aparece en cada trmino de la expresin.En este mtodo se busca el factor comn de todosy cada uno de los trminos de un polinomio.Pero el resultado ser otro polinomio.

Ejemplo 1: 5x2(x y) + 3x(x y) + 7(x y)

- Factor comn "(x y)", el otro factor ser lo que queda del polinomio. (5x2+ 3x + 7)

Entonces se obtiene como resultado: (x y) (5x2+ 3x+7)


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Ejemplo 2:Factoriza 2a (m 2n) b (m 2n) =

Existe un factor comn que es (m 2n) 2a (m 2n) b (m - 2n) = (m 2n) (2a b)

1.3 Factor comn por agrupacin de trminos:En este caso de factorizacin hacemos

uso de los dos mtodos anteriores.Ejemplo: 5x4y + 3x3y 9xy 15xy2:

Primero debemos agruparlo y factorizar los trminos que agrupamos: seria as:

1 5x4y 15xy

2= 5xy (x

3 3y)

2 3x3y 9xy = 3y (x

33y)

Y por ltimo si unimos los dos factores comunes monomios quedara as:

5xy (x33y) +3y (x

33y): Despus se aplica el factor comn polinomio.

Entonces el resultado ser el siguiente: (x33y) (5xy +3y)

2. FACTORIZACION DE TRINOMIOS

2.1 Trinomio cuadrado perfectoPara que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer trmino deben tener raz cuadrada y

el segundo trmino debe ser el doble producto de las bases de los dichos trminos.

Ejemplo:

Factorizar2

9 30 25x x

1 Halla la raz principal del primer trmino2

9x ; 3x 3x

2

Halla la raz principal del tercer trmino 25 con el signo del segundo trmino;

5

5luego la factorizacin de

229 30 25 3 5 3 5 3 5 x x x x x

2.2 Trinomio cuadrado perfecto por adicin o sustraccin:

En este caso se intenta transformar una expresin (binomio o trinomio), en otra igual en la que sepueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: 4224 910 nnmm

Resolvindolo queda:

22224224 44910 nmnmnnmm 224224

496 nmnnmm

2222 23 mnnm Aplicamos diferencia de cuadrados:

2 2 2 23 2 3 2m n mn m n mn


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2.3 Trinomio de la forma: 2n n x bx c

El trinomio de la forma2n n x bx c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante

el siguiente proceso:

Ejemplo 1:

Descomponer2

6 5x x

1 Hallar dos factores que den el primer trmino x x

2Hallar los divisores del tercer trmino, seccionando aquellos cuya suma sea 61 y 5 -1 y- 5Pero la suma debe ser +6 luego sern 5 1x x

2 6 5 5 1 x x x x Ejemplo 2:

Factorizar4 2 2

4 12 x x y y 1 Hallar dos factores del primer trmino, o sea x

4: x2 x2

2 Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser: 6y 2y 6y 2y

4y 3y 4y 3y12y y 12y y

Pero la suma debe ser +4, luego servirn 6y y 2y, es decir:

4 2 2 2 24 12 6 2 x x y y x y x y

2.4 Trinomio de la forma 2n nax bx c

Ejemplo:

Factorizar2

2 11 5x x

1 El primer trmino se descompone en dos factores 2x x

2 Se buscan los divisores del tercer trmino 5 1 -5 -1

3 Parcialmente la factorizacin sera (2x + 5) (x + 1)Pero no sirve pues da: 2x

2+ 7x + 5

Se reemplaza por (2x - 1) (x - 5)y en este caso nos da: 2x2 - 11x + 5

Por lo tanto, 22 11 5 5 2 1 x x x x Vale aclarar que este no es el nico mtodo. En la presentacin se aplica el mtodo que sugiereBaldor.

3. FACTORIZACION DE BINOMIOS


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3.1 Diferencia de dos cuadrados:

Ejemplo:

Factorizar2 2

9 16x y

Raz cuadrada del primer trmino2

9 3x x

Y raz cuadrada del segundo trmino 216 4y y

Luego la factorizacin de 2 29 16 3 4 3 4 x y x x

3.2 Cubo perfecto de un binomio

Ejemplo:FactorizarTodos los signos de los trminos son positivos

3 3a a : Raz cubica del primer trmino del cuatrinomio.

3 1 1 : Raz cubica del cuarto trmino del cuatrinomio.

22 313 aa Triplo del cuadrado de la raz cubica del primer trmino por la raz cubica del cuarto:Igual al segundo trmino del cuatrinomio.

aa 313 Triplo de la raz cubica del primer trmino del cuatrinomio por el cuadrado de la razcubica

del cuarto trmino: igual al tercer trmino del cuatrinomio.Por lo tanto:

13323 aaa Desarrollo de un cubo perfecto de binomios.

323 1133 aaaa

3.3 Suma o diferencia de cubos perfectos

3.3.1 Diferencia de cubos: 3 3 2 2a b a b a ab b

Ejemplo: 3 28 2 4 2 x x x x

3.3. 2 Suma de cubos: 3 3 2 2a b a b a ab b

Ejemplo: 3 227 1 3 1 9 3 1a a a a

FRACCIONES ALGEBRAICAS

DEFINICIONES

Fraccin algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la forma

3 23 3 1a a a


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( )

( )

p x

q xdonde el polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fraccin algebraica, con

q(x) 0.Ejemplos:

2

5 8 3

( ) ( 3) ( )3 2 3 2

2 3 3 4( ) ( ) ( 4, 2)

7 2 8

x

a x b xx x

x y xc d x x

x x

Simplificacin de fracciones algebraicas

Simplificar una fraccin algebraica es convertirla en una fraccin equivalente reducida a su mnimaexpresin, o sea,una fraccin algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y sudenominador se pueden dividir por un mismo factor.Una fraccin despus de simplificada se dice que es irreducible.

Para simplificar una fraccin cuyos trminos sean monomios se dividen el numerador y eldenominador por sus factores comunes hasta lograr que la fraccin sea irreducible.

Para simplificar una fraccin cuyos trminos sean polinomios se descomponen enfactores los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y eldenominador hasta lograr que la fraccin sea irreducible.

Ejemplos

Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

(a)3 3 2 3 2

5 2 3 2

24 8 3 8

21 7 3 7

a b a ab a

ab b ab b

(b)16x

12x7x2

2

Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fraccin dada, ya que:

)4x)(4x(16x

)3x)(4x(12x7x

2

2

Luego:2

2

7 12 ( 4)( 3) 3

16 ( 4)( 4) 4

x x x x x

x x x x

Mnimo comn mltiplo de expresiones algebraicas

La operacin de reducir las fracciones algebraicas al mnimo comn denominador consiste enconvertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que ste sea el menorposible.Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en susfactores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada casoel de mayor exponente

Ejemplo:


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Reducir al mnimo comn denominador

2 2 2

3 2 3, , ,

5 6 6 9 3 2 2

x x x

x x x x x x x

Al factorizar los denominadores obtenemos:2( 2)( 3) , ( 3) , ( 2)( 1), ( 2) x x x x x x ; m.c.m. = 2( 2)( 3) ( 1) x x x

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

En las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan enaritmtica para el clculo de fracciones numricas.

1. Suma y RestaReglas:

Se simplifican las fracciones, si es posible.

Se reducen las fracciones dadas al mnimo comn denominador

Se divide el denominador comn entre cada uno de los denominadores y cada cociente lomultiplicamos por su respectivo numerador.

Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por eldenominador comn.

Se reducen trminos semejantes en el numerador, si los hubiere.

Se simplifica la fraccin que resulte, si es posible.

Ejemplo:

5 9 7 2 8 5 (5 9 ) (7 2 ) (8 5 ) 4 6

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:

2)b3a2(

)b3a2(2

Entonces:5 9 7 2 8 5

22 3 2 3 2 3

a b a b a b

a b a b a b

2. MultiplicacinReglas:

Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible. Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto

resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores.

Ejemplo:2 3

2 3 2 2

5 6 7 21

9 2 8 7 7

m m m m m

m m m m m

Factoricemos y simplifiquemos


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2

2 2

( 3)( 2) ( 1) 7( 3)

( 3)( 3) ( 2 8) 7( 1)

( 3)( 2) ( 1)( 1) 7( 3) 1

( 3)( 3) ( 4)( 2) 7( 1)( 1) 4

m m m m m

m m m m m m

m m m m m m

m m m m m m m m

Entonces:2 3

2 3 2 2

5 6 7 21 1

9 2 8 7 7 4

m m m m m

m m m m m m

3. DivisinReglas:

Se multiplica el dividendo por el divisor invertido Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.

Ejemplo:2

2

2 4 6 12 2 4 15 45

5 15 15 45 5 15 6 12

x y xy y x y x y

x y x y x y xy y


2( 2 ) 15( 3 ) 1

5( 3 ) 6 ( 2 )

x y x y

x y y x y y

Entonces:2

2 4 6 12 1

5 15 15 45

x y xy y

x y x y y

4. Operaciones combinadas

Para resolver una expresin algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugaraquellas indicadas dentro de los parntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienenprioridad.

Ejemplo:2 2

2 2 2 2

3 3 6 6

2 2 2

x y x y x y

x xy y x y x xy y

Calculemos el cociente del parntesis y luego multipliquemos.

22

22

2 yxyxyx

)yx(6)yx(2

)yx()yx(3


2 2 2 2 2

3( ) 2( ) ( )( )

( ) 6( )

x y x y x y x y x y

x y x y x xy y x xy y


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Entonces:

2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 6 6

2 2 2

x y x y x y x y

x xy y x y x xy y x xy y

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