apuntes del docente desigualdades

8/4/2019 Apuntes Del Docente Desigualdades

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UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDER

UNIDAD 6

DESIGUALDADES

En unidades anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la solucinde ecuaciones lineales y cuadrticas. El estudio de las DESIGUALDADES es til, cuando el valoraproximado de una cantidad, interesa ms que su valor exacto.La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para elloutilizamos los smbolos:

>: Mayor que. : Mayor o igual que., mayor que; b y b > c, entonces a > c (Transitiva)Si a b, entonces (a c) > (b c)Si a < b, entonces (a c) < (b c).

3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bcSi a > b y c < 0, entonces ac < bc.

4. Si a > b y c > 0, entoncesc

b

c

a

Si a > b y c < 0, entoncesc

b

c

a

5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva)

6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd

7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces an> bn

8. Si a > b, entonces1 1

a b


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ING. EDGAR VARGAS RUIZ II- 20102

9.

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.Ejemplo 3 6 6 3 Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales

a. Desigualdades absolutas:o incondicionales, son semejantes a las identidades.

Son satisfechas por todos los nmeros Reales

Ejemplo:2ab

aba b

Su validez se establece por medio de una demostracin analtica (utilizando propiedades de las

desigualdades).b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, slo son satisfechas por algunos

nmeros Reales. Son desigualdades que poseen trminos desconocidos

Ejemplo: 2 6 0x

INTERVALOSLos intervalos son subconjuntos de los nmeros reales, determinados por las desigualdades, quese representan geomtricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, lasoperaciones entre conjuntos tambin se aplican a los intervalos. Veremos a continuacin lasdiferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.

CLASES DE INTERVALOS

Ejemplo

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Sean los intervalos A = [5, 5], B = ( , 8] y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones:

1. A C 2. B C 3. A C B Solucin:

1. A C = [5, ] Notacin intervalo A C =

/ 5x x Notacin de conjunto

2. B C = 2, 8 Notacin intervalo B C = / 2 8x x Notacin de conjunto

3. A C B = 2, 5 , 8 = , 8 Notacin intervalo

A C B = / 8x x Notacin de conjunto

INECUACIONESUna inecuacin es una desigualdad en la que hay una o ms cantidades desconocidas(incgnitas) y que slo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incgnitas. Lasinecuaciones tambin se conocen como desigualdades condicinales, como se mencionanteriormente.

Para resolver una inecuacin deben encontrarse los valores de las incgnitas que satisfagan lainecuacin.La resolucin de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades

anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solucin auna inecuacin se da mediante un intervalo).

Solucin de inecuacionesResolver una inecuacin consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antesexpuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solucin de unainecuacin recibe el nombre de conjunto solucin y puede expresarse de tres formas diferentes:en notacin de intervalo, en notacin de conjunto y en forma grfica. (Ver tabla de clases deintervalos)

CLASIFICACIN DE LAS INECUACIONESLas inecuaciones se clasifican atendiendo al nmero de incgnitas y al grado de la expresin

algebraica que aparece en ellas.Ejemplo:INECUACIN TIPO

2x-3 > x-5 1 grado; 1 incgnita

x-3 y 1 grado; 2 incgnita

x2-5x 4 2 grado; 1 incgnita

xy-3 > 0 2 grado; 2 incgnita

La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuacin porque tiene la incgnita xy

slo se verifica para cualquier valor dexmayor que 8. Para x = 8 se convertira

en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.

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INECUACIONES DE UNA VARIABLE

1. Inecuaciones Lineales o de Primer Grado

Las inecuaciones de 1er grado con una incgnita son las que responden a las siguientes formas

bsicas:ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b 0 ax + b 0

En la mayora de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:

1. Quitar los parntesis, si los hay.2. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuacin

por el m.c.m. de los denominadores.3. Pasar los trminos en x a un miembro (normalmente al primero) y los nmeros al otro.4. Reducir trminos semejantes, con lo que se llega a una ecuacin de forma bsica.5. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por 1, por lo que cambiar el

sentido de la desigualdad.6. Despejar la x (la incgnita).

7. Obtener la solucin en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.

Ejemplo 1: Resolver2

7

4

)7(5

3

2 xxx

12

)7(6

12

)355(3)2(4 xxx

4 8 15 105 42 6 5 55 x x x x

5 55 11x x S= x (-, 11)

Ejemplo 2: Resolver 2x 3 x 5

Pasando xal primer miembro y 3 al segundo se tiene:

2x x 3 5 Reduciendo trminos: x 8

S 8, x R / x 8

Ejemplo 3: Dada la siguiente inecuacin5

7 62 3

x x . Halle el conjunto solucin y

grafquelo.

Suprimiendo denominadores (m.c.m. = 6) se tiene: 42 3x 10x 36

Trasponiendo trminos: 3x 10x 36 36

8

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13x 78

Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:

13x 78 78

Dividiendo por 13: < o sea, < 613

x x

S ,6 x R / x

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Solucin de inecuaciones simultneas de primer grado

Una inecuacin simultnea es una inecuacin con desigualdad doble; Si a < x a x < b, es decir, el conjunto solucin es la interseccin de los dos conjuntos solucin:

bxxaxxS // Ejemplo:Hallar el conjunto solucin de 7246 x

Separando en dos desigualdades:4 2 6 4 2 7x x

4 6 2 4 7 2

8 9

4 4

x x

x x

2x 9

4x Sol:

92,

4x

2. INECUACIONES CUADRTICAS O DE SEGUNDO GRADOLas inecuaciones de 2 grado con una incgnita son las que se presentan segn alguna de lassiguientes formas bsicas:

2 2 2 20, 0, 0, 0ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

Procedimiento

Primer Paso: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las races de laecuacin de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrtica.

Segundo Paso:Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuacin.

Tercer Paso: Realice la interseccin o unin de los conjuntos solucin de acuerdo al caso

seleccionado.

Cuarto Paso:dar la solucin en forma de intervalos y graficarla.

Ejemplo

Dada la siguiente inecuacin 2 5 6 0x x . Halle el conjunto solucin y grafquelo.

Primer paso: Factorizar el polinomio dado 2

5 6 3 2 x x x x , quedando una inecuacinde la forma:

3 2 0x x

Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:

Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:

3 0x y 2 0x

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Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:

3 0x y 2 0x

Solucin Caso I:

SeaA

S el conjunto solucin de la inecuacin

3 0x y

B

S al conjunto solucin de la

inecuacin 2 0x , la solucin del Caso I viene dada por: I A BS S S

Solucin paraA

S

3 0

3

x

x

3, / 3AS x R x

Solucin paraB

S

2 0

2

x

x

2, / 2BS x R x

La solucin paraI

S es entonces:

I A BS S S 3, 2, 2,

IS 2, x R / x 2

Solucin Caso II:

Si llamamos CS al conjunto solucin de la inecuacin x 3 0 y DS al conjunto solucin de la

inecuacin x 2 0 , la solucin del Caso II viene dada por: II C DS S S

Solucin paraC

S :

x 3 0

x 3

cS , 3 x R / x 3

Solucin paraD

S :

x 2 0

x 2

dS , 2 x R / x 2

La solucin paraII

S es entonces:

II c dS S S , 3 , 2 , 3

IIS , 3 x R / x 3

2

(3

(


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Solucin General:

La solucin general ser la unin de IS y IIS , es decir:

G I IIS S S 2, , 3

El mtodo que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadrticas se llama mtodoanaltico. Existe un mtodo alternativo, el mtodo grfico, que tambin se conoce como elmtodo del Cementerio o mtodo de las cruces.El procedimiento para resolver inecuacionescuadrticas utilizando este mtodo consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrtico,encontrar las races reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera aintervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinarel signo de ste, es decir, se le asignar a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cadaintervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por ltimo, se seleccionan los intervalos para

los cuales se cumple la desigualdad.

Ejemplo 1

Dada la siguiente inecuacin 2 5 6 0x x , halle el conjunto solucin y grafique.

Se factoriza el polinomio 2 5 6 3 2 x x x x , quedando la inecuacin de la forma:

3 2 0x x

Las races que anulan 3 2x x son 3x y x 2 . (Valores crticos) Se ubican sobre larecta real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan

los signos.

Cuadro 1. Races ubicadas en la recta real.

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde elproducto de los dos binomios es positivo por ser la inecuacin > 0, por lo tanto la solucin vienedada por:

, 3 2,GS Ejemplo 2

-3

)-2

)

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Dada la siguiente inecuacin

2 21 1 8

2 3 3

x x , halle el conjunto solucin y grafique.

Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuacin y sereducen trminos semejantes, obteniendo:

2 2 15 0x x

Factorizando el polinomio resultante, se tiene 2 2 15 5 3 x x x x , resultando unainecuacin de la forma:

5 3 0x x

Las races de 5 3x x son 5x y 3x (valores crticos), las cuales se ubican sobre larecta real. Se le asignan valores arbitrarios a xen cada intervalo, y se determinan los signos de ladesigualdad.

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde elproducto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solucin viene dada por:

3,5 / 3 5GS x R x

Grficamente:

Casos especiales

1. Si al resolver la inecuacin se obtiene una expresin de la forma:

Solucin(ax + b)2 0

(ax + b)2 > 0 valor critico

(ax + b)2 0 x = b/a

(ax + b)2 < 0

Ejemplo:

-3

)5

)


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2 2 1 0x x

2 2 1 0x x Usando la frmula cuadrtica :2

2 2 4 2 01

2 2x

2

1 0x

Como un nmero elevado al cuadrado es siempre positivo la solucin es

2. Cuando no tiene races reales ( discriminante menor que cero ), le damos alpolinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solucin es El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solucin

(vacio).

2

2

2

2

1 0

1 01 0

1 0

Solucin

x x

x xx x

x x

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Pasos:1. Se descomponen en factores de primer o segundo grado.2. Se obtienen los ceros de cada factor representndolos en rectas distintas.3. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.4. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.

5. Se ve cuales de los intervalos son solucin de la inecuacin.

Ejemplo:

Resolver la inecuacin3x 4x 0

Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo(


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Los valores de la x que hacen negativo el producto son 2,02, .

3. INECUACIONES RACIONALES

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador soninecuaciones polinmicas.

Expresin general:son del tipoax b

0cx d

, o todas sus equivalentes

ax b0

cx d

, o

ax b0

cx d

,

etc. y de grados mayores que uno.

Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tenerpresente que el denominador no puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden serresueltos usando el mtodo analtico o el mtodo grfico.

Pasos:1 Hallamos las races del numerador y del denominador.2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las

races del denominador, independientemente del signo de la des igualdad,tienen que ser abiertas.

3 Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo4 La solucin est compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el

mismo signo que la fraccin polinmica.

Ejemplo:

1. Dada la siguiente inecuacin2

2

3 100

2

x x

x x

halle el conjunto solucin y grafique.

Factorizando los polinomios dados:

2 3 10 5 2 x x x x , 2 2 2 1 x x x x

Resultando una inecuacin de la forma:

5 20

2 1

x x

x x

Las races que anulan el numerador son 5x y 2x , y las que anulan el denominador son2x y 1x , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a xen

cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.

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Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde elcociente es negativo, debido a que la inecuacin original es < 0 (es negativa) por lo tanto lasolucin viene dada por:

GS 5, 2 1,2

Grficamente:

2. Resolverx 1

1x 1

x 11 0

x 1

, ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaramos

cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuacin x 1 x 1 y compara los resultados.

Para nuestro caso, operandox 1 x 1 x 1 2

1 0 0x 1 x 1 x 1

, y todo se reduce a

averiguar cul es el signo del denominador, cundo ste es negativo, y lo es en ,1 .

4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

RECORDEMOS:

El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numrica sin tener en cuenta el signo. Sudefinicin formal es:

para 0

para 0

a aa

a a

, a R

y significa que el valor absoluto de un nmero nunca es negativo.

Ejemplo: 555

-5

( )

-2 1

( )2


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Propiedades del valor absolutoLa solucin de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominiode algunas propiedades fundamentales que guen los procesos. A continuacin se dan laspropiedades que sern usadas en el tema en cuestin.

Sean , .a b R

1. 0a

2. 2a a

3. a a

4. 2 2a a

5. a b a b

6. , si b 0aa

b b

7. a b a b Desigualdad triangular

8. 0a b b a b a b

Desigualdades con valor absolutoSea , ,x y a R . Se tiene entonces:

1. sii a 0 x a x a x a a x a

2. sii x a x a x a

3. 2 2sii x y x y

Inecuaciones de primer grado con valor absolutoSon aquellas en las que parte de la inecuacin, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de

la misma.Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a losteoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos mtodos de resolucin deinecuaciones.

Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:Sean , , ,x a b c R .

-a a

] [

[ ]

-a a

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5,1 / 5 1S x R x

9, 3 / 9 < < 3S x R x

3 8 2

3 2 8

3 10

10

3

x

x

x

x

1) cbax y ax b c

c ax b c

ax b c

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 10 15x y grafique.

Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:

15 5 10 15

15 10 5 10 10 15 10

25 5 5

25 5 5

5 5 5

5 1

x

x

x

x

x

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 2 < 13

x y grafique.

1 < 2< 13

3 < < 13

3 3 < 3< 1 3

39 < < 3

x

x

x

x

2) cbax ax b c

ax b c ax b c

ax b c

Ejemplos:


3 8 2

3 2 8

3 6

6

3

2

x

x

x

x

x

[ ]

-5 1

( )

-9 -3

10, 2,3

10 3 -2

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2

) (2

45

)) ((

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 3 < 7x y grafique.

Otro ejemplo

Resolvamos la desigualdad 2 1 33

x

x

Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdadesequivalentes:

2 13

3

x

x

2 1 3 3x x

2 2

2 1 3 9x x

2 2

2 1 3 9 0x x

2 1 3 9 2 1 3 9 0 x x x x

10 5 8 0x x Elaborando un diagrama de signos tenemos

Signo de 10x + Signo de 5 8x +

Signo de 10 5 8x x +

Vemos que la solucin de la desigualdad es8

10,5

Problemas que se resuelven por medio de inecuacionesLas inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo:Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre elpeso dela camioneta vaca y el peso de la carga que lleve nodebe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajonesiguales, cunto puede pesar, como mximo, cada uno de ellospara poder llevarlos en ella?

En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simblico, llamamos x al peso de cada cajn

5 3>7

5 >7+3

5 >10

>10 5

>2

x

x

x

x

x

5 3< 7

5 < 7+3

5 < 4

< 4 5

x

x

x

x

4

, 2,5


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y planteamos la siguiente inecuacin:

Peso de la furgoneta peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875 4. X 415

Una forma de resolver la inecuacin es seguir los siguientes pasos:

Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4. x 415 - 875

Hacemos el clculo en el segundo miembro - 4. x - 460

Para despejar x, multiplicamos a ambos miembros por

1

4 (Cuidado: como multiplicamos por un nmero negativo,

debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x 4604

1

Hacemos el clculo x 115

Esto significa que el peso de cada cajn no podr superar los 115 kg. Adems, como se trata deun peso, x> 0.

Entonces, la solucin est formada por todos los nmeros reales pertenecientes al intervalo(0, 115]. Graficamos la solucin en la recta real:

UNIDAD 6

DESIGUALDADESEn unidades anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la solucinde ecuaciones lineales y cuadrticas. El estudio de las DESIGUALDADES es til, cuando el valoraproximado de una cantidad, interesa ms que su valor exacto.La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para elloutilizamos los smbolos:

>: Mayor que. : Mayor o igual que.

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, mayor que; b y b > c, entonces a > c (Transitiva)Si a b y c > 0, entonces ac > bc

Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.


b

c

a


b

c

a




8. Si a > b, entonces 1 1a b

9.

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.Ejemplo 3 6 6 3 Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionalesa. Desigualdades absolutas:o incondicionales, son semejantes a las identidades.


Ejemplo:2ab

aba b


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desigualdades).

b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, slo son satisfechas por algunos


Ejemplo: 2 6 0x



EjemploSean los intervalos A = [5, 5], B = ( , 8] y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones:


1. A C = [5, ] Notacin intervalo A C = / 5x x Notacin de conjunto

2. B C = 2, 8 Notacin intervalo B C = / 2 8x x Notacin de conjunto3. A C B = 2, 5 , 8 = , 8 Notacin intervalo


INECUACIONESUna inecuacin es una desigualdad en la que hay una o ms cantidades desconocidas(incgnitas) y que slo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incgnitas. Las

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inecuaciones tambin se conocen como desigualdades condicinales, como se mencionanteriormente.

Para resolver una inecuacin deben encontrarse los valores de las incgnitas que satisfagan lainecuacin.La resolucin de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdadesanteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solucin auna inecuacin se da mediante un intervalo).


CLASIFICACIN DE LAS INECUACIONESLas inecuaciones se clasifican atendiendo al nmero de incgnitas y al grado de la expresinalgebraica que aparece en ellas.Ejemplo:

INECUACIN TIPO

2x-3 > x-5 1 grado; 1 incgnitax-3 y 1 grado; 2 incgnita





Las inecuaciones de 1er grado con una incgnita son las que responden a las siguientes formasbsicas:

ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b 0 ax + b 0



por el m.c.m. de los denominadores.10. Pasar los trminos en x a un miembro (normalmente al primero) y los nmeros al otro.11. Reducir trminos semejantes, con lo que se llega a una ecuacin de forma bsica.


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12. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por 1, por lo que cambiar elsentido de la desigualdad.

13. Despejar la x (la incgnita).14. Obtener la solucin en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.


74

)7(53

2 xxx

12

)7(6

12

)355(3)2(4 xxx

4 8 15 105 42 6 5 55 x x x x

5 55 11x x S= x (-, 11)


Pasandoxal primer miembro y 3 al segundo se tiene:


S 8, x R / x 8


7 62 3


grafquelo.



13x 78


13x 78 78


x x

S ,6 x R / x

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Ejemplo 4: Resolver 2

x 3 x 1 x 1 3x

Efectuando las operaciones indicadas:

2 22 3 2 1 3 x x x x x

Suprimiendo x2 en ambos miembros y transponiendo:

2 2 3 1 3 x x x

x 4 S ,4 x R / xa x < b, es decir, el conjunto solucin es la interseccin de los dos conjuntos solucin:


Separando en dos desigualdades:4 2 6 4 2 7x x

5/4

4


22/48



4 6 2 4 7 2

8 9

4 4

x x

x x

2x 9

4

x Sol:9

2,

4

x


2 2 2 20, 0, 0, 0ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

Procedimiento

Primer Paso: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las races de la

ecuacin de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrtica.

Segundo Paso:Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuacin.Tercer Paso: Realice la interseccin o unin de los conjuntos solucin de acuerdo al caso

seleccionado.


Ejemplo


Primer paso: Factorizar el polinomio dado 2 5 6 3 2 x x x x , quedando una inecuacinde la forma:

3 2 0x x



3 0x y 2 0x


3 0x y 2 0x

Solucin Caso I:

Sea AS el conjunto solucin de la inecuacin 3 0x y BS al conjunto solucin de la


Solucin paraA

S

3 0

3

x

x

3, / 3AS x R x

Solucin paraB

S


23/48



2 0

2

x

x

2, / 2BS x R x

La solucin paraI

S es entonces:

I A BS S S 3, 2, 2,

IS 2, x R / x 2

Solucin Caso II:

Si llamamosC

S al conjunto solucin de la inecuacin x 3 0 y DS al conjunto solucin de la

inecuacin x 2 0

, la solucin del Caso II viene dada por: II C DS S S

Solucin paraC

S :

x 3 0

x 3

cS , 3 x R / x 3

Solucin paraD

S :

x 2 0

x 2

dS , 2 x R / x 2

La solucin paraII

S es entonces:

II c dS S S , 3 , 2 , 3

IIS , 3 x R / x 3

Solucin General:

La solucin general ser la unin deI

S y IIS , es decir:

G I IIS S S 2, , 3 El mtodo que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadrticas se llama mtodoanaltico. Existe un mtodo alternativo, el mtodo grfico, que tambin se conoce como elmtodo del Cementerio o mtodo de las cruces.El procedimiento para resolver inecuacionescuadrticas utilizando este mtodo consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrtico,encontrar las races reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera aintervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinarel signo de ste, es decir, se le asignar a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada

-3

)-2

)

2

(3

(


24/48



intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por ltimo, se seleccionan los intervalos paralos cuales se cumple la desigualdad.

Ejemplo 1



3 2 0x x

Las races que anulan 3 2x x son 3x y x 2 . (Valores crticos) Se ubican sobre larecta real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinanlos signos.


Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde elproducto de los dos binomios es positivo por ser la inecuacin > 0, por lo tanto la solucin viene

dada por: , 3 2,GS Ejemplo 2


2 21 1 8

2 3 3



2 2 15 0x x


5 3 0x x


25/48




3,5 / 3 5GS x R x

Grficamente:

Casos especiales


Solucin(ax + b)2 0


(ax + b)2 0 x = b/a(ax + b)2 < 0

Ejemplo:2 2 1 0x x


2 2 4 2 01

2 2x

2

1 0x


2. Cuando no tiene races reales ( discriminante menor que cero ), le damos alpolinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solucin es El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solucin

(vacio).

-3

)5

)


26/48



2

2

2

2

1 0

1 0

1 0

1 0

Solucin

x x

x x

x x

x x


Pasos:1. Se descomponen en factores de primer o segundo grado.2. Se obtienen los ceros de cada factor representndolos en rectas distintas.3. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.4. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.5. Se ve cuales de los intervalos son solucin de la inecuacin.

Ejemplo:

Resolver la inecuacin 3x 4x 0 Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo(


27/48



Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tenerpresente que el denominador no puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden serresueltos usando el mtodo analtico o el mtodo grfico.

Pasos:

1 Hallamos las races del numerador y del denominador.2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las

races del denominador, independientemente del signo de la des igualdad,tienen que ser abiertas.

3 Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo4 La solucin est compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el

mismo signo que la fraccin polinmica.

Ejemplo:


2

3 100

2

x x

x x



2 3 10 5 2 x x x x , 2 2 2 1 x x x x


5 20

2 1

x x

x x




GS 5, 2 1,2

Grficamente:


28/48



2. Resolverx 1

1

x 1

x 11 0

x 1




1 0 0x 1 x 1 x 1




RECORDEMOS:

El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numrica sin tener en cuenta el signo. Sudefinicin formal es:

para 0

para 0

a aa

a a

, a R


Ejemplo: 555 Propiedades del valor absoluto

La solucin de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominiode algunas propiedades fundamentales que guen los procesos. A continuacin se dan laspropiedades que sern usadas en el tema en cuestin.

Sean , .a b R

9. 0a

10. 2a a

11. a a

12. 2 2a a

13. a b a b

14. , si b 0aa

b b

15. a b a b

Desigualdad triangular

16. 0a b b a b a b

-5

( )

-2 1

( )2


29/48



5,1 / 5 1S x R x



2. sii x a x a x a

3. 2 2sii x y x y

Inecuaciones de primer grado con valor absolutoSon aquellas en las que parte de la inecuacin, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto dela misma.Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a losteoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos mtodos de resolucin deinecuaciones.

Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:

Sean , , ,x a b c R .

1) cbax y ax b c

c ax b c

ax b c

Ejemplos:



15 5 10 15

15 10 5 10 10 15 10

25 5 5

25 5 5

5 5 5

5 1

x

x

x

x

x


x y grafique.

[ ]

-5 1

-a a

] [

[ ]

-a a

30/48



9, 3 / 9 < < 3S x R x

2

) (2

4

5

)) ((

3 8 2

3 2 8

3 10

10

3

x

x

x

x

1 < 2< 13

3 < < 13

3 3 < 3< 1 33

9 < < 3

x

x

x

x

2) cbax ax b c

ax b c ax b c

ax b c

Ejemplos:


3 8 2

3 2 8

3 6

6

3

2

x

x

x

x

x


Otro ejemplo


x

x

Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdadesequivalentes:

2 13

3

x

x

2 1 3 3x x

( )

-9 -3

5 3>7

5 >7+3

5 >10

>10 5

>2

x

x

x

x

x

5 3< 7

5 < 7+3

5 < 4

< 4 5

x

x

x

x

10, 2,3

4

, 2,5

10 3 -2


31/48



2 2

2 1 3 9x x

2 2

2 1 3 9 0x x

2 1 3 9 2 1 3 9 0 x x x x

10 5 8 0x x Elaborando un diagrama de signos tenemos

Signo de 10x +

Signo de 5 8x +



10,5



En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simblico, llamamos x al peso de cada cajny planteamos la siguiente inecuacin:


875 4. X 415


Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4. x 415 - 875 Hacemos el clculo en el segundo miembro - 4. x - 460

Para despejar x, multiplicamos a ambos miembros por1

4

(Cuidado: como multiplicamos por un nmero negativo,

32/48




1


Esto significa que el peso de cada cajn no podr superar los 115 kg. Adems, como se trata deun peso, x> 0.


UNIDAD 6

DESIGUALDADES

En unidades anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la solucinde ecuaciones lineales y cuadrticas. El estudio de las DESIGUALDADES es til, cuando el valoraproximado de una cantidad, interesa ms que su valor exacto.La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para elloutilizamos los smbolos:

>: Mayor que.

: Mayor o igual que., mayor que; b y b > c, entonces a > c (Transitiva)Si a b y c > 0, entonces ac > bcSi a > b y c < 0, entonces ac < bc.


33/48




b

c

a


b

c

a




8. Si a > b, entonces1 1

a b

9.

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.Ejemplo 3 6 6 3 Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales

a. Desigualdades absolutas:o incondicionales, son semejantes a las identidades.


Ejemplo:2ab

aba b


desigualdades).

b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, slo son satisfechas por algunos


Ejemplo: 2 6 0x




34/48



EjemploSean los intervalos A = [5, 5], B = ( , 8] y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones:


1. A C = [5, ] Notacin intervalo A C = / 5x x Notacin de conjunto

2. B C = 2, 8 Notacin intervalo B C = / 2 8x x Notacin de conjunto

3. A C B = 2, 5 , 8 = , 8 Notacin intervalo


INECUACIONESUna inecuacin es una desigualdad en la que hay una o ms cantidades desconocidas(incgnitas) y que slo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incgnitas. Lasinecuaciones tambin se conocen como desigualdades condicinales, como se mencionanteriormente.

Para resolver una inecuacin deben encontrarse los valores de las incgnitas que satisfagan lainecuacin.La resolucin de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdadesanteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solucin auna inecuacin se da mediante un intervalo).




35/48




CLASIFICACIN DE LAS INECUACIONESLas inecuaciones se clasifican atendiendo al nmero de incgnitas y al grado de la expresinalgebraica que aparece en ellas.

Ejemplo:INECUACIN TIPO

2x-3 > x-5 1 grado; 1 incgnita

x-3 y 1 grado; 2 incgnita





Las inecuaciones de 1er grado con una incgnita son las que responden a las siguientes formasbsicas:ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b 0 ax + b 0



por el m.c.m. de los denominadores.17. Pasar los trminos en x a un miembro (normalmente al primero) y los nmeros al otro.18. Reducir trminos semejantes, con lo que se llega a una ecuacin de forma bsica.19. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por 1, por lo que cambiar el

sentido de la desigualdad.20. Despejar la x (la incgnita).21. Obtener la solucin en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.


7

4

)7(5

3

2 xxx

12

)7(6

12

)355(3)2(4 xxx

4 8 15 105 42 6 5 55 x x x x

5 55 11x x S= x (-, 11)


Pasando xal primer miembro y 3 al segundo se tiene:


36/48




S 8, x R / x 8


7 62 3


grafquelo.



13x 78


13x 78 78


x x

S ,6 x R / x

37/48



grafquelo.Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuacin para

obtener:

2 24 2 6 2 1 3 12 x x x 2 24 8 12 6 3 12 x x x

Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuacin, se obtiene:

4 6 3 8x

Despejando la variable x de la inecuacin, se obtiene:

5

4x

5 5, /4 4

S x R x

Solucin de inecuaciones simultneas de primer grado

Una inecuacin simultnea es una inecuacin con desigualdad doble; Si a < x a x < b, es decir, el conjunto solucin es la interseccin de los dos conjuntos solucin:


Separando en dos desigualdades:

4 2 6 4 2 7x x

4 6 2 4 7 2

8 9

4 4

x x

x x

2x 9

4x Sol:

92,

4x


2 2 2 2

0, 0, 0, 0ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c Procedimiento

Primer Paso: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las races de la

ecuacin de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrtica.

Segundo Paso:Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuacin.

Tercer Paso: Realice la interseccin o unin de los conjuntos solucin de acuerdo al caso

5/4


38/48



seleccionado.


Ejemplo


Primer paso: Factorizar el polinomio dado 2 5 6 3 2 x x x x , quedando una inecuacinde la forma:

3 2 0x x



3 0x y 2 0x


3 0x y 2 0x Solucin Caso I:

SeaA

S el conjunto solucin de la inecuacin 3 0x y BS al conjunto solucin de la


Solucin paraA

S

3 0

3

x

x

3, / 3AS x R x

Solucin paraB

S

2 0

2

x

x

2, / 2BS x R x

La solucin paraI

S es entonces:

I A BS S S 3, 2, 2,

IS 2, x R / x 2

Solucin Caso II:

Si llamamos CS al conjunto solucin de la inecuacin x 3 0 y DS al conjunto solucin de la

inecuacin x 2 0 , la solucin del Caso II viene dada por: II C DS S S

Solucin paraC

S :

2

(3

(


39/48



x 3 0

x 3

cS , 3 x R / x 3

Solucin paraD

S :

x 2 0

x 2

dS , 2 x R / x 2

La solucin paraII

S es entonces:

II c dS S S , 3 , 2 , 3

IIS , 3 x R / x 3

Solucin General:La solucin general ser la unin de

IS y IIS , es decir:

G I IIS S S 2, , 3

El mtodo que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadrticas se llama mtodoanaltico. Existe un mtodo alternativo, el mtodo grfico, que tambin se conoce como elmtodo del Cementerio o mtodo de las cruces.El procedimiento para resolver inecuacionescuadrticas utilizando este mtodo consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrtico,encontrar las races reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera aintervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinarel signo de ste, es decir, se le asignar a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada

intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por ltimo, se seleccionan los intervalos paralos cuales se cumple la desigualdad.

Ejemplo 1



3 2 0x x

Las races que anulan 3 2x x son 3x y x 2 . (Valores crticos) Se ubican sobre la

recta real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinanlos signos.

-3

)-2

)


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Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde elproducto de los dos binomios es positivo por ser la inecuacin > 0, por lo tanto la solucin vienedada por:

, 3 2,GS

Ejemplo 2


2 21 1 8

2 3 3



2 2 15 0x x


5 3 0x x



3,5 / 3 5GS x R x

41/48



Grficamente:

Casos especiales


Solucin(ax + b)2 0


(ax + b)2 0 x = b/a

(ax + b)2 < 0

Ejemplo:2 2 1 0x x


2 2 4 2 01

2 2x

2

1 0x


2. Cuando no tiene races reales ( discriminante menor que cero ), le damos al

polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solucin es El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solucin

(vacio).

2

2

2

2

1 0

1 0

1 0

1 0

Solucin

x x

x x

x x

x x


Pasos:1. Se descomponen en factores de primer o segundo grado.2. Se obtienen los ceros de cada factor representndolos en rectas distintas.3. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.4. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.5. Se ve cuales de los intervalos son solucin de la inecuacin.

-3

)

5

)


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Ejemplo:

Resolver la inecuacin 3x 4x 0 Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo

(


43/48




2

3 100

2

x x

x x



2 3 10 5 2 x x x x , 2 2 2 1 x x x x


5 20

2 1

x x

x x




GS 5, 2 1,2

Grficamente:

2. Resolverx 1

1

x 1

x 11 0

x 1




1 0 0x 1 x 1 x 1


-5

( )

-2 1

( )2


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RECORDEMOS:El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numrica sin tener en cuenta el signo. Su

definicin formal es:para 0

para 0

a aa

a a

, a R


Ejemplo: 555 Propiedades del valor absolutoLa solucin de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominiode algunas propiedades fundamentales que guen los procesos. A continuacin se dan laspropiedades que sern usadas en el tema en cuestin.

Sean , .a b R

17. 0a

18. 2a a

19. a a

20. 2 2a a

21. a b a b

22. , si b 0aa

b b

23. a b a b

Desigualdad triangular

24. 0a b b a b a b



2. sii x a x a x a

-a a

] [

[ ]

-a a

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5,1 / 5 1S x R x

9, 3 / 9 < < 3S x R x

3. 2 2sii x y x y

Inecuaciones de primer grado con valor absolutoSon aquellas en las que parte de la inecuacin, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto dela misma.Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a losteoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos mtodos de resolucin deinecuaciones.

Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:Sean , , ,x a b c R .

1) cbax y ax b c

c ax b c

ax b c

Ejemplos:



15 5 10 15

15 10 5 10 10 15 10

25 5 5

25 5 5

5 5 5

5 1

x

x

x

x

x


x y grafique.

1 < 2< 13

3 < < 13

3 3 < 3< 1 33

9 < < 3

x

x

x

x

2) cbax ax b c

ax b c ax b c

ax b c

[ ]

-5 1

( )

-9 -3

46/48



2

) (2

4

5

)) ((

3 8 2

3 2 8

3 10

10

3

x

x

x

x

Ejemplos:


3 8 2

3 2 8

3 6

6

3

2

x

x

x

x

x


Otro ejemplo


x

x

Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades

equivalentes:2 1

33

x

x

2 1 3 3x x

2 22 1 3 9x x

2 22 1 3 9 0x x

2 1 3 9 2 1 3 9 0 x x x x

10 5 8 0x x

Elaborando un diagrama de signos tenemos

Signo de 10x +

Signo de 5 8x +


5 3>7

5 >7+3

5 >10

>10 5

>2

x

x

x

x

x

5 3< 7

5 < 7+3

5 < 4

< 4 5

x

x

x

x

10, 2,3

4

, 2,5

10 3 -2


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10,5



En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simblico, llamamos x al peso de cada cajny planteamos la siguiente inecuacin:


875 4. X 415


Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4. x 415 - 875

Hacemos el clculo en el segundo miembro - 4. x - 460

Para despejar x, multiplicamos a ambos miembros por1

4

(Cuidado: como multiplicamos por un nmero negativo,


1


Esto significa que el peso de cada cajn no podr superar los 115 kg. Adems, como se trata de

un peso, x> 0.



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apuntes del docente desigualdades

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