apuntes de procesamiento digital de señales

8/10/2019 Apuntes de Procesamiento Digital de Señales

http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-de-procesamiento-digital-de-senales 1/128

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN DE AREQUIPA

FACULTAD DE INGENIERIA DE PRODUCCION Y SERVICIOS

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE INGENIERIA ELECTRONICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES

CURSO: PROCESAMIENTO DIGITAL

DE SEÑALES

AREQUIPA PERÚ

2 12

Apuntes de Aula

Wildor Ferrel Serruto



Curso: Procesamiento Digital de Señales Profesor: Wildor Ferrel Serruto

1

PPrroocceessaammiieennttoo DDiiggiittaall ddee SSeeññaalleess

11.. IInnttrroodduucccciióónn

DDeef f iinniicciióónn

El Procesamiento Digital de Señales (PDS) es la disciplina que estudia losfundamentos matemáticos y algorítmicos del tratamiento de señales y de lainformación que contienen las señales utilizando un sistema electrónico digital comopor ejemplo, un computador, un DSP, un FPGA. Procesamiento: Realización de operaciones de acuerdo a un algoritmo para

transformar los datos o extraer información de ellos. Digital: Sistema electrónico digital como un computador, un DSP, un FPGA. Señal: Magnitud variable por medio de la cual se transmite información.

Hacer procesamiento digital de señales significaProcesamiento Realizar operaciones o transformacionesDigital mediante un computador u otro circuito electrónico digitalde Señales sobre funciones del tiempo y/o del espacio.

CCllaassiif f iiccaacciióónn ddee llaass sseeññaalleess

Por el tipo de función y el tipo de variable

Señal analógica – Función continua de variable continua. Señal de tiempo discreto – Función continua de variable discreta. Señal digital – Función discreta de variable discreta.

Por el número de dimensiones:

Señal unidimensional – Ejemplo: señal de voz, t s

Señal bidimensional – Ejemplo: imagen, y x s ,

Señal multidimensional – Ejemplo: Señal de video en blanco y negro t y xv ,, , señal

de video a color t y xbt y x g t y xr t y xu ,,,,,,,,

FFuunnddaammeennttooss ddeell PPDDSS ((BBaasseess mmaatteemmááttiiccaass)) Modelado de señales analógicas:

o Transformada de Fourier, transformada de Laplace, filtros analógicos.Operaciones de convolución y correlación.

Modelado de señales y sistemas de tiempo discreto:o La Transformada Z, la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT),

la transformada discreta de Fourier (DFT).o Operaciones de convolución y correlación.o Estructuras básicas de sistemas de tiempo discreto.

Algoritmos de procesamiento digital de señales.

o Reducción o incremento de la tasa de muestreo.o Transformada rápida de Fourier (FFT).o Diseño de filtros digitales.




2

IImmpplleemmeennttaacciióónn ddeell PPDDSS

Por software, en computadores de propósito general (Ejemplo: en una PC) Por hardware (Ejemplo: con FPGAs) Por software más hardware específico para PDS (Ejemplo: con un DSP TMS320C)Un procesador digital de señal (DSP-Digital Signal Processor), es un dispositivo que

implementa hardware especializado para acelerar la ejecución de los algoritmos deprocesamiento digital de señales.

VVeennttaa j jaass

Inmunidad a ruido (mayor precisión). Implementación por software (mayor flexibilidad). Realización de funciones que no son posibles en procesamiento analógico de

señales

DDeessvveennttaa j jaa

En algunas aplicaciones la desventaja pueden ser el mayor costo y/o elprocesamiento lento.

CCoommppaarraacciióónn ddeell mmooddeellaaddoo ddee uunn ssiisstteemmaa ddee ttiieemmppoo ccoonnttiinnuuoo yy uunn

ssiisstteemmaa ddee ttiieemmppoo ddiissccrreettoo

Sistema de tiempo continuo

Ecuación diferencial

t d

t xd d

t d

t xd d t xd

t d

t yd c

t d

t yd ct y

M

M

N

N 101

Función de transferencia

N N

M M

sc sc

sd sd d

s X

sY

s H

1

10

1

Filtro

Analógico

x(t ) y(t )

x(t ) y(t )

t t




3

Respuesta a una señal de entrada

d t h xt y

Respuesta en frecuencia

Sistema de tiempo discreto

Ecuación en diferencias lineales con coeficientes constantes M n xbn xbn xb N n yan yan y M N 11 101

Función de transferencia

N

N

M

M

z a z a

z b z bb

z X

z Y z H

1

1

1

10

1

Respuesta a una señal de entrada

mmnhm xn y

0

H j

Filtro

Digital

x[n] y[n]

0 n

x[n]

0n

y[n]




4


CCoommppeetteenncciiaass eessppeeccí í f f iiccaass ddeell ccuurrssoo

Capacidad de analizar y especificar los parámetros fundamentales de unsistema de procesamiento digital de señales.

Capacidad de analizar e identificar los principales componentes de un sistemade procesamiento digital de señales.

Capacidad de aplicar el modelamiento matemático y algorítmico alprocesamiento de señales.

Comprensión y dominio de los conceptos básicos sobre las señales de tiempodiscreto, los sistemas de tiempo discreto, las transformadas relacionadas y suaplicación en la resolución de problemas de procesamiento de señales.

CCoonnoocciimmiieennttooss pprreevviiooss Fundamentos de cálculo. Algebra de números complejos. Análisis de Fourier detiempo continuo. Filtros analógicos. Programación en MATLAB.

BBiibblliiooggrraaf f í í aa

[1] OPPENHEIM A. V., SCHAFER R.W. Segunda Edición.Tratamiento de Señales en Tiempo Discreto.Prentice Hall Iberia, Madrid, 2000

[2] PROAKIS J. G., MANOLAKIS D. G. Tercera Edición.Tratamiento Digital de Señales. Principios, algoritmos y aplicaciones.Prentice Hall, Madrid, 1998

[3] LI TAN.Digital Signal Processing. Fundamentals and Applications.Elsevier, DeVry University, Decatur, Georgia, 2008

[4] MARIÑO ACEBAL J. B. Segunda Edición.Tratamiento Digital de la Señal. Una introducción experimentalAlfaomega, México, 1999

0

H e j

2




5

22.. CCoonnvveerrssoorr IIddeeaall ddee TTiieemmppoo CCoonnttiinnuuoo aa

TTiieemmppoo DDiissccrreettoo

DDiiaaggrraammaa ddee BBllooqquueess ddee uunn ssiisstteemmaa ddee PPrroocceessaammiieennttoo DDiiggiittaall ddee SSeeññaalleess AAnnaallóóggiiccaass

PPrroocceessaammiieennttoo DDiiggiittaall ddee SSeeññaalleess AAnnaallóóggiiccaass

MMooddeelloo ddeell CCoonnvveerrssoorr CC//DD

DDoommiinniioo TTeemmppoorraall

n

T nt t s

t st xt x c s

C/D xc(t ) x[n]

T

D/C yc(t ) y[n]

T

Sistema de

Tiempo Discreto

xc(t ) x[n]

s(t )

Conversor de Tren de

Impulsos Ponderados a

Secuencia×

x s(t )

xc(t ) x[n]

T

yc(t ) y[n]

T

DSP DACADC

x sens(t ) Filtro

Antisola-

pamiento

yr (t )Filtro de

Recons-

trucción

x(t )

Sensor




6

nc s T nt t xt x

nc s T nt nT xt x

n s T nt n xt x

DDoommiinniioo FFrreeccuueenncciiaall

k T k

T jS

22

jS j X j X c s

2

1

k T

c s k j X T

j X 21

;T s 2

k sc s k j X

T j X 1

SSeeññaall ccoonn EEssppeeccttrroo nnoo LLiimmiittaaddoo

-S S 0

j X C

1

2S 0

j X S

S -S -2S




7

FFiillttrroo AAnnttiissoollaappaammiieennttoo

Ejemplo 1

La frecuencia de muestreo es 40 kHz. El filtro anti-solapamiento usado es un filtro deButterworth pasa-bajas con frecuencia de corte de 8 kHz. El nivel de solapamientoen la frecuencia de corte debe ser 1%. Determine el orden del filtro anti-solapamiento.

Para el filtro de Butterworth la magnitud de la respuesta en frecuencia es:

| |

El nivel de solapamiento en la frecuencia de corte es:

√

n 1 2 3 4Nivel de solapamiento (%) 34.30 8.82 2.21 0.55

C/D

xa(t ) x[n]

T

D/C

yc(t ) y[n]

T

Sistema de

Tiempo

Discreto

Filtro

Antisola-

pamiento

xc(t )

H aa ( j )

-S S 0

j H

1

C




8

33.. SSeeññaalleess ddee TTiieemmppoo DDiissccrreettoo

SSeeccuueenncciiaass bbáássiiccaass

Impulso unitario

Escalón unitario

Secuencia exponencial x n A n

n , ; A R A, ; , 0

0 1

1

Secuencia senoidal x n Asen n n 0 ,

n 0

x[n]

n 0

x[n]

1

n 0

[n]

0 n

x[n]

1

n 0

...

u[n]




10

c) La secuencia x n5 obtenida mediante el desplazamiento de x n1 a la

izquierda en 2 unidades de tiempo.

%************************************************ % Programa Matlab para el Ejercicio 1

%************************************************ % Reinicializar el ambiente clear; clf; % Generar las secuencias x1=[0 0 0 1 2 3 4 3 2 1 0 0 0]; x2=[0 0 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0]; % a) Adicion x3=x1+x2; % b) Multiplicacion x4=x1.*x2; % c) Dezplazamiento a la izquierda en 2 posiciones x5=zeros(1,13); nd=2; x5(1:13-nd)=x1(nd+1:13); %for m=1:13-nd % x5(m)=x1(m+2); %end; % Graficar x1,x2,x3 subplot(3,1,1);

stem([-6:6],x1); ylabel('x1'); xlabel('n'); subplot(3,1,2); stem([-6:6],x2); ylabel('x2'); xlabel('n'); subplot(3,1,3); stem([-6:6],x3); title('Adicion'); ylabel('x3'); xlabel('n'); pause;

% Graficar x1,x2,x4 subplot(3,1,3); stem([-6:6],x4);

n 0

x1[n]

1

2

3

4

0 n

x2[n]

1

2

3

4




11

title('Multiplicacion'); ylabel('x4'); xlabel('n'); pause; % Graficar x1,x5 subplot(2,1,1); stem([-6:6],x1);

ylabel('x1'); xlabel('n'); subplot(2,1,2); stem([-6:6],x5); title('Dezplazamiento'); ylabel('x5'); xlabel('n');

R R eellaacciioonneess iimmppoorrttaanntteess

La secuencia escalón unitario se expresa a través de la secuencia impulsounitario de la siguiente forma :

n

m mnu A su vez, la secuencia impulso unitario se expresa a través de la secuencia

escalón unitario en la forma :

1nunun

Toda secuencia puede ser expresada como una suma ponderada de impulsosunitarios :

m

mnm xn x

CCllaassiif f iiccaacciióónn ddee llaass sseeccuueenncciiaass ppoorr ssuu eexxtteennssiióónn Secuencia de extensión finita :

n x n n n y n x n n n1 1 2 20 0/ , / ,

Secuencia de extensión infinita :a) Secuencia derecha

n x n n n y n x n n n1 1 2 20 0/ , / ,

b) Secuencia izquierda n x n n n y n x n n n1 1 2 2

0 0/ , / ,

n n2

...

n1 n2

n n1

...




12

c) Secuencia bilateral n x n n n y n x n n n1 1 2 20 0/ , / ,

SSeeccuueenncciiaa ppeerriióóddiiccaa

n x es periódica n N n xn x N /

PPeerriiooddiicciiddaadd ddee llaa sseeccuueenncciiaa ccoosseennooiiddaall

En tiempo continuo, la función t 0cos es periódica para cualquier valor real de la

frecuencia. El periodo es:

0

2

T

En tiempo discreto, la relaciónn0cos = N n 0cos

se cumple si k N 20 , donde N y k son enteros

Por lo tanto, la secuencia n0cos es periódica si y sólo si

N

k

20

para algún N y k enteros; caso contrario, n0cos no es periódica.

Por ejemplo, la secuencia n4

3cos

es periódica con periodo 8 N . En cambio, la

secuencia n3cos no es periódica

La secuencia compleja n jCe 0 es periódica si N n je 0 = n je 0 .

Esto se cumple si k N 20 , donde N y k son enteros.

Las exponenciales complejas con frecuencias 0 y r 20 son iguales.

BBaa j jaass yy aallttaass f f rreeccuueenncciiaass

En tiempo continuo, la función t 0cos

oscila más rápidamente a medida queaumenta la frecuencia.En tiempo discreto, puesto que las secuencias n0cos y nr 2cos 0 son

iguales, las frecuencias 0 y r 20 son equivalentes.

Para la secuencia n0cos cuando la frecuencia aumenta de 0 a aumentan

también las oscilaciones. Sin embargo, cuando la frecuencia aumenta de a 2 lasoscilaciones se hacen más lentas.Las frecuencias en la vecindad de k 20 se llaman bajas frecuencias, mientras

que las frecuencias en la vecindad de k 20 se dice que son altas

frecuencias.

n

......




13

44.. SSiisstteemmaass ddee ttiieemmppoo ddiissccrreettoo

Un sistema de tiempo discreto es una transformación que hace corresponder acada secuencia de entrada una secuencia de salida.

y n T x n

Ejemplo. Sistema de diferencia regresiva y n x n x n 1

TTiippooss ddee ssiisstteemmaass

Sistema causal

La salida depende de valores pasados y/o del valor presente de la entrada.

Sistema no causal

La salida depende de valores futuros.Ejemplo. Sistema de diferencia progresiva:

y n x n x n 1

Sistema estable.

A toda secuencia limitada de entrada le corresponde una secuencia limitada de

salida. L x n L n L y n L n x x y y, ,

Sistema inestable

Por lo menos, a una secuencia limitada de entrada le corresponde una secuenciailimitada de salida.Ejemplo. Sistema acumulador :

y n x k k

n

T x n

y n

21-1-2 0 n

x[n]

-1 0 n

y[n]




14

Sistema lineal

Sistema que cumple con el principio de superposición. T ax n bx n aT x n bT x n1 2 1 2

Sistema invariante en el tiempo

Un desplazamiento en el tiempo de la secuencia de entrada produce el mismodesplazamiento de la secuencia de salida.

T x n y n T x n n y n nd d

R R eessppuueessttaa ddee uunn ssiisstteemmaa LLTTII

Respuesta de un sistema al impulso unitario h n T n

En un sistema LTI, la respuesta a una secuencia de entrada se expresa:

y n x m h n mm

Sistema FIR : h n tiene extensión finita

Sistema IIR : h n tiene extensión infinita

CCáállccuulloo ddee llaa ssaalliiddaa ppoorr ccoonnvvoolluucciióónn

m

mnhm xn y

Ejemplo 3

La secuencia x n es aplicada a la entrada de un sistema LTI. Encontrar la

secuencia de salida, si la respuesta del sistema al impulso unitario es h n .

CCoonnvvoolluucciióónn lliinneeaall

Es la operación efectuada sobre secuencias :

x n x n x m x n m

m

1 2 1 2

En sistemas LTI tenemos : y n x n h n

x n

h n

y n

1

x[n]

n 0

2 3

4

1

h[n]

n 0




15

Propiedades de la convolución

Conmutativa Asociativa Distributiva

Conexión en serie de sistemas LTI

Conexión en paralelo de sistemas LTI

CCoonnvvoolluucciióónn ppoorr bbllooqquueess

Método de solapamiento-suma

Definición de un bloque:

..,0

10,

cc

LnrLn xn x r

Secuencia de entrada expresada a través de los bloques rLn xn xr

r

0

Secuencia de salida:

nhn xn y * ; nhrLn xnhrLn xn yr

r

r

r **00

;

0r

r rLn yn y

Bloque de salida:

P L

r

P L

r nhn xn y *

1

Se observa que rLn y r se solapa con Lr n y r 11 , y que las muestras de

solapamiento se suman.

EEccuuaacciióónn eenn ddiif f eerreenncciiaass lliinneeaalleess ccoonn ccooeef f iicciieenntteess ccoonnssttaanntteess ((LLCCCCDDEE))

Muchos sistemas lineales e invariantes en el tiempo (sistemas LTI) se describenmediante la ecuación:

M

r

r

N

k

k r n xbk n ya00

Si hacemos a0 1

y n b x n b x n b x n M

a y n a y n N

M

N

0 1

1

1

1

...

...

≡ h n h n1 2 h n2 h n

1

≡

h n h n1 2 +

h n1

h n2




16

CCáállccuulloo ddee llaa ssaalliiddaa ppoorr rreeccuurrssiióónn

Ejemplo 4

Para el sistema descrito por 21212

2 n yn yn xn y

hallar la salida si nn x , si las condiciones iniciales son: 01 y , 02 y Solución:

000202

20 y

2

20021

2

21 y

102

220

2

22 y

2

2

2

21202

23 y

012

220

2

24 y

2

2

2

2020

2

25 y

n yn yn xn y 1212

22

212122 m ym ym xm y

21212

2 n yn yn xn y

000202

21222

2

23 y y x y

Dada la ecuación en diferencias:

N n yan ya

M n xbn xbn xbn y

N

M

...1

...1

1

10

(1)Despejamos N n y :

1...11

...1

11

10

N n ya

an y

a

an y

a

M n xa

bn x

a

bn x

a

b N n y

N

N

N N

N

M

N N (2)

Se calculan las muestras de salida a partir de las condiciones iniciales:

,1,,1,,,1,2, 000000

N n y N n y N n yn yn yn y

(2) Condiciones (1)




17

CCaauussaalliiddaadd ddee uunn ssiisstteemmaa LLTTII

0,0 nnh

EEssttaabbiilliiddaadd ddee uunn ssiisstteemmaa LLTTII

Un sistema LTI es estable

nnh

Suficiencia

Demostraremos que, si

n

nh entonces el sistema es estable

Sea n x acotada, Lxn x .

Luego,

k k nhk xn y =

=

k

k hk n x

k

k hk n x

k

k h Lx

k

k h Lxn y.

Si

n

nh entonces n y es acotada. En

consecuencia, el sistema es estable.

Necesidad

Demostraremos que, si

n

nh entonces el sistema no es estable.

Sea n x definida por:

0,0

0,

nh si

nh sin x nh

nh

n x es acotada, ya que 1n x .

La salida es:

k

k nhk xn y

Para 0n , tenemos:

k

k hk x y 0 =

k hk

k h

k h

=

k k h

k h 2

k

k h y 0

Si

n

nh , entonces

k

k h .

Esto significa que n y no es acotada. En consecuencia, el sistema no es estable.




18

Ejemplo 5

La secuencia

x nn

c c

1 0 10

0

, ,

, . .

es aplicada a la entrada de un sistema LTI con respuesta al impulso

h n n

c c

n

1

2 0

0

,

, . ..

a) Calcular analíticamente la secuencia de salida por convolución lineal. Sólolos gráficos obtenerlos con un programa en MATLAB.

b) Compruebe su resultado con la función conv del MATLAB y muestre losgráficos de las secuencias.

%**************************************************** % Programa para el Ejercicio 2 a) %**************************************************** % Reinicializar el ambiente clear; clf % Formar la secuencia de salida con 20 muestras y0_9=2-(1/2).^[0:9]; y10_19=((2^10)-1)*((1/2).^[10:19]); y=[y0_9 y10_19]; % Graficar la secuencia de salida stem([0:19],y);

title('Secuencia de salida'); ylabel('y[n]'); xlabel('n'); %***************************************************** % Programa para el Ejercicio 2 b) %***************************************************** % Reinicializar el ambiente clear; clf % Formar la secuencia de entrada x=[ones(1,10) zeros(1,10)];

% Formar la respuesta al impulso h=[(1/2).^[0:19]]; % Efectuar la convolucion yy=conv(x,h); % Tomar 20 muestras de la secuencia de saliday=yy(1:20); % Graficar x,h,y subplot(3,1,1); stem([0:19],x); grid; title('Secuencia de entrada'); ylabel('x[n]'); xlabel('n'); subplot(3,1,2);




19

stem([0:19],h); grid; title('Respuesta al impulso'); ylabel('h[n]'); xlabel('n'); subplot(3,1,3); stem([0:19],y);

grid; title('Secuencia de salida'); ylabel('y[n]'); xlabel('n');

Ejemplo 6

Escriba un programa en MATLAB para efectuar las siguientes tareas :

a) Generar una secuencia senoidal x n de 50 muestras con frecuencia 2 25

rad/muestra.b) Obtener una secuencia x n

1 adicionando a la secuencia inicial un ruido

aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo -0,25 a 0,25.c) Obtener la secuencia y n recursivamente filtrando la secuencia x n

1 con un

sistema promedio móvil de tamaño 5.%**************************************************** % Programa para el Ejercicio 3 %**************************************************** % Reinicializar el ambiente clear; clf % Formar la secuencia de entrada N=50; x=sin(2*pi*[0:N-1]/25);

% Formar la secuencia con ruido aditivo x1=x+0.5*(rand(1,N)-0.5); % Calcular la secuencia de salida para el sistema de% promedio movil de tamano 5 for n=1:N y(n)=mean(x1(max(n-4,1):n));

end; % Graficar las secuencias subplot(3,1,1);

stem([0:N-1],x); grid; ylabel('x[n]'); xlabel('n'); subplot(3,1,2); stem([0:N-1],x1); grid; ylabel('x1[n]'); xlabel('n'); subplot(3,1,3); stem([0:N-1],y); grid; ylabel('y[n]'); xlabel('n');




20

CCoorrrreellaacciióónn ccrruuzzaaddaa

Para las secuencias n x e n y , la secuencia

k xy nk yk xnr

k xy k ynk xnr

se llama correlación cruzada de

n x e

n y .La correlación cruzada de n y e n x es:

k yx nk xk ynr =

k

k xnk y

Se cumple que nr nr yx xy

.

Comparando la expresión de la convolución

k

k n yk xn yn x con

k xy nk yk xnr podemos escribir

n yn xnr xy

Autocorrelación

Para la secuencia n x la secuencia de autocorrelación es

k xx nk xk xnr

En MATLAB se usa la función xcorr: x=[ 4 2 1 0];

y=[-1 -1 1 1];

Rxy=xcorr(x,y)Ryx=xcorr(y,x)

Rxx=xcorr(x)

Ryy=xcorr(y)

Correlación de secuencias periódicas

Para las secuencias periódicas n x e n y la correlación cruzada se define en la

forma:

M

M k M xy nk yk x

M nr

12

1lim

La autocorrelación de n x será:

M

M k M xx nk xk x

M nr

12

1lim

Si las secuencias n x e n y tienen un mismo perido igual a N, el promedio en un

intervalo infinito es igual al promedio en un único intervalo mayor o igual al periodo,es decir, siendo M≥N:

1

0

1 M

k

xy nk yk x

M

nr

1

0

1 M

k

xx nk xk x

M

nr

Las secuencias

nr xy y

nr xx son periódicas y tienen el mismo periodo N.




21

Aplicación de la correlación en la determinación de la distancia de blancos

nw Dn xn s nr

sx tiene un pico en Dn

Aplicación de la correlación en la identificación de una señal periódica oculta enuna señal con ruido

Sea la secuencia n y de la forma:

nwn xn y

n x es una secuencia periódica con periodo desconocido N ,

nw es un ruido aleatorio.

Se desea determinar el periodo N.Para ello calculamos la autocorrelación de n y :

1

0

1 M

k yy nk yk y

M nr =

=

1

0

1 M

k

nk wnk xk wk x M

=

=

1

0

1 M

k

nk xk x M

+

1

0

1 M

k

nk wk x M

+

+

1

0

1 M

k

nk xk w M

+

1

0

1 M

k

nk wk w M

=

= nr nr nr nr wwwx xw xx

Ejemplo 7

Escriba un programa en MATLAB que realice las siguientes tareas:

a) Genere la señal []

con 500 muestras.

b) Forme la señal [] adicionando a [] un ruido aleatorio, uniformementedistribuido, con amplitud 1 y una media de 0.

c) Calcule

[] como la autocorrelación periódica de

[].

d) Halle [] como la autocorrelación periódica de [].e) A partir de [], determine el periodo de [].f) Forme un tren de impulsos [] con el periodo encontrado.g) Determine [] como la correlación cruzada periódica de [] con el tren

de impulsos.h) Determine [] como la auto-correlación periódica de [].




22

%******************************************** % Aplicacion de la correlacion en la% identificacion de una señal periódica % oculta en una señal con ruido %********************************************

close all; clear all; N=500; n=[0:N-1]; x=0.5*cos((pi/26)*n)+0.5*cos((pi/13)*n);w=2*(rand(1,N)-0.5); y=x+w; Rx=xcorr(x,'biased'); Ry=xcorr(y,'biased'); RRy=xcorr(Ry,'biased');

%Determinamos el periodo [max1,pos1] = max(RRy) [min2,pos2] = min(RRy(pos1+1:length(RRy))) [max3,pos3] = max(RRy(pos1+pos2+1:length(RRy))) periodo=pos2+pos3

% Formamos el tren de impulsos s=zeros(1,length(y)); m=1;

while m<length(y) s(m)=1; m=m+periodo;

end % Hallamos la correlación de y con el tren de impulsos Rys=periodo*xcorr(y,s, 'biased'); RRys=8*xcorr(Rys,'biased'); % Graficamos subplot(311); plot(n,x);grid; title('Secuencia original'); subplot(312); plot(n,y);grid; title('Secuencia con ruido'); subplot(313); stem(n,s);grid; title('Tren de impulsos'); pause;

NRx=length(Rx); nRx=[0:NRx-1]-((NRx-1)/2); subplot(311);




23

plot(nRx,Rx);grid; title('Rx - Autocorrellacion de x '); NRy=length(Ry); nRy=[0:NRy-1]-((NRy-1)/2); subplot(312);

plot(nRy,Ry);grid; title('Ry - Autocorrellacion de y '); NRRy=length(RRy); nRRy=[0:NRRy-1]-((NRRy-1)/2); Ninicio=((NRRy-1)/2)-((NRy-1)/2); Nfin=((NRRy-1)/2)+((NRy-1)/2); subplot(313); plot(nRy,RRy(Ninicio:Nfin));grid; title('RRy - Autocorrelacion de Ry'); pause;

subplot(311); plot(n,x);grid; title('Secuencia original'); subplot(312); NRys=length(Rys); Ninicio=(NRys-1)/2; plot(Rys(Ninicio:Ninicio+N-1));grid; title('Rys - Correlacion cruzada de y con el tren s');

subplot(313); NRRys=length(RRys); Ninicio=(NRRys-1)/2; plot(RRys(Ninicio:Ninicio+N-1));grid; title('RRys - Autocorrelacion de Rys');




24

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -1 -0.5

0 0.5

1 Secuencia original

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -2 -1 0 1 2 Secuencia con ruido

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0

0.5

1 Tren de impulsos

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -0.2 0

0.2 0.4 0.6 Rx - Autocorrellacion de x

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -0.2 0

0.2 0.4 0.6 Ry - Autocorrellacion de y

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -5

0 5

10 x 10 -3 RRy - Autocorrelacion de Ry

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -1 -0.5

0 0.5

1 Secuencia original

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -1

0

1 2

Rys - Correlacion cruzada de y con el tren s

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -0.5

0

0.5

1 RRys - Autocorrelacion de Rys




25

55.. LLaa TTrraannssf f oorrmmaaddaa ZZ

CCáállccuulloo ppoorr mmeeddiioo ddee ttrraannssf f oorrmmaaddaass

La secuencia exponencial compleja:

n z n x

se llama auto secuencia porque:

n y =

k

k n xk h =

k

k n z k h =

n

k

k z z k h

z H =

k

k z k h

n y = n z z H

z H es el autovalor, se llama función de transferencia del sistema y es la

transformada Z de la respuesta al impulso

El cálculo de la salida se puede hacer como sigue:

Transformadas usadas en el análisis y diseño de sistemas de tiempo discreto: Transformada Z Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) Transformada de Fourier discreta (DFT) Transformada rápida de Fourier (FFT)

Transformada Z directa :

n

n z n x z X

Transformada Z inversa :

C

ndz z z X

jn x

1

2

1

x [n]

h [n]

X

H

Y y [n]

x[n] X ( z )

H ( z )Y ( z )

h[n] y[n]

T n z

n z A




26

Ejemplo 8

3210 3210 z x z x z x z x z X

Se debe indicar la región de convergencia (RC).RC: Plano z completo excepto z = 0

Ejemplo 9

Hallar la transformada Z de la secuencia

Solución:

CCáállccuulloo ddee llaa ttrraannssf f oorrmmaaddaa ZZ iinnvveerrssaa

Inspección mas propiedades. Expansión en fracciones parciales. Expansión en serie de potencias.

x [n]

1

32

0

2

32102312

z z z z

321232

z z z z X

nun x

n

9

8

...

x [n]

0 n

n

n

n

z nu z X 9

8

0 9

8

n

n

n

z

0

1

9

8

n

n

z

1

1

0n

n

1

1

9

81

1

z 1

9

8 1 z

9

8: z RC

1

9

81

1

z

z X

Im{z}

Re{z}

RC

| 9

8




27

Inspección mas propiedades

Ejemplo 10

Encontrar la secuencia cuya transformada Z es :

2

1

21

:,1

z RC z

z X

Solución

1

1

2

11

1

z

z z X

a z az

nua n

,1

1

1

nu z

n

2

1

1

2

11

1

d nd z z X nn x

11

2

1

nun xn

Expansión en fracciones parciales

Ejemplo 11

Hallar la transformada z inversa de la función

||

mediante la expansión en fracciones parciales.

Solución |

[] [] [] []

Ejemplo 12

Hallar la respuesta al impulso del sistema causal con función de transferencia

Haga la expansión en fracciones parciales mediante la función residuez del MATLAB.

RC

Im z

Re z 22

1




28

SoluciónCorremos el programa

b =[1 -1 -6];

a =[1 -1.5 -1];

[R,P,K]=residuez(b,a)

En la ventana de comandos del matlab obtenemos:

R =-0.8000

-4.2000

P =

2.0000

-0.5000

K =

6

Luego,

Por tanto, [] [] [] [] Expansión en serie de potencias

Encontrar la secuencia cuya transformada Z es:

a z RC az

z X

:,1

1

1

Solución

33

3322

22

221

1

332211

1

1

11

z a

z a z a

z a

z a z a

z a

z a z a z a z a

az

A partir de la condición de la RC tenemos: 11

a z z a

1

33221

m

mm z a z a z a z a z X , mn

1n

nn z a z X

1nuan x n




29

PPrrooppiieeddaaddeess ddee llaa R R eeggiióónn ddee CCoonnvveerrggeenncciiaa

Secuencia derecha :

RC z z z Si RC z 00 Secuencia izquierda :

RC z z z Si RC z

00 La RC no puede contener polos

Secuencia derecha

Secuencia izquierda

Secuencia bilateral

RC pk

k p z RC max: Im{z}

Re{z}

RC n n1

...

k p z RC min:

n n2

...

Im{z}

Re{z}

RC

Im{z}

Re{z}

RC

n

... ...




30

FFuunncciióónn ddee TTrraannssf f eerreenncciiaa

Transformada Z de su respuesta impulsional nh Z z H

A partir de la LCCDE

N

N

M

M

z a z a z b z bb

z X z Y z H

1

1

1

10

1

Los polinomios del numerador y del denominador se representan B( z) y A( z)respectivamente

EEssttaabbiilliiddaadd

n z

n

n

z nhnh1

La RC de la función de transferencia de unsistema estable contiene a la circunferencia deradio unitario

CCaauussaalliiddaadd

La RC de la función de transferencia de un sistema causal es el exterior de unacircunferencia y contiene al punto z = .

Im{z}

Re{z}

RC

z A

z B z H

Im{z}

Re{z}

RC

1




31

Ejemplo 13

Un sistema LTI causal tiene función de transferencia :

21

1

5.15.31

43

z z

z z H

1) Determine manualmente la RC y la respuesta impulsional.¿Es estable el sistema?

2) Compruebe los resultados anteriores usando MATLABSolución

5.03

3

5.0131

13

5.15.31

43 3

4

11

1

3

4

21

1

z z

z z

z z

z

z z

z z H

Ceros :

Polos :

La RC es :

No es estable el sistema.

[] [] []

%************************************************ % Determinar el diagrama de polos y ceros% y la respuesta impulsional % de un sistema de tiempo discreto %************************************************ % Reinicializar el ambiente close all; clear all; % Funcion de Transferencia

Im{z}

Re{z}

RC

0.5 34/3




32

B = [3 -4 0 ]; A = [1 -3.5 1.5]; % Diagrama de polos y ceros ceros=roots(B) polos=roots(A)

zplane(B,A); grid; pause; % Respuesta impulsional [h,n]=impz(B,A); subplot(2,1,1); stem(n,h); grid; ylabel('h[n]'); xlabel('n'); title('Respuesta Impulsional segun impz'); % Respuesta impulsional analitica %n=[0:11]; hh=((1/2).^(n))+2*((3).^(n)); subplot(2,1,2); stem(n,hh); grid; ylabel('hh[n]'); xlabel('n'); title('Respuesta Impulsional analitica');

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Part

Imaginary Part




33

ceros =

0

1.3333

polos =

3.00000.5000

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4x 10 5

n

h[n]

Respuesta Impulsional segun impz

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4x 10 5

n

hh[n]

Respuesta Impulsional analitica




34

66.. TTrraannssf f oorrmmaaddaa ddee FFoouurriieerr ddee TTiieemmppoo

DDiissccrreettoo ((DDTTFFTT))

A partir de la Transformada Z

Esta es la DTFT directa

EExxiisstteenncciiaa ddee llaa DDTTFFTT

Condición suficiente:Si la secuencia es absolutamente sumable, la DTFT existe.

Es decir, si

n

n x , la DTFT existe.

LLaa DDTTFFTT iinnvveerrssaa

d ee X n x

n j j

2

1

Ejemplo 14

Determinar la DTFT de la secuencia impulso unitario nn x .Solución:

1

n

n j jene X

Ejemplo 15

Graficar la magnitud y la fase de la DTFT de la secuencia [] ()[]

SoluciónLa secuencia es absolutamente sumable, por tanto, la DTFT existe,

()

1

n 0

[n 1

0

X e j

je z

j z X e X

, j

e z

n

n j j en xe X

][

Im{z}

Re{z}1

ω




35

close all; clear all; w=[-2*pi:2*pi/200:2*pi]; j=sqrt(-1); X=1./(1-(1/2)*exp((-1)*j*w)); subplot(211);

plot(w/pi,abs(X));grid; title('Magnitud'); subplot(212); plot(w/pi,180*angle(X)/pi);grid; ylabel('°');title('Fase');

IInntteerrpprreettaacciióónn ddee llaa DDTTFFTT

Im{ Z }

Re{ Z }

|X ( Z )|

0 -

| H (e j )|

e j

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8

2 Magnitud

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -30 -20 -10

0 10 20 30

°

Fase




36

R R eessppuueessttaa eenn FFrreeccuueenncciiaa

Es la DTFT de la respuesta impulsional : je H

Magnitud de la Respuesta en Frecuencia : je H (Respuesta en amplitud o

ganancia del sistema)

Fase de la Respuesta en Frecuencia : je H (Respuesta en fase o

desplazamiento de fase del sistema)

A partir de la Función de Transferencia :

je z

j z H e H

SSiiggnniif f iiccaaddoo ddee llaa R R eessppuueessttaa eenn AAmmpplliittuudd yy llaa R R eessppuueessttaa eenn FFaassee..

Ejemplo 16

Dado el sistema de tiempo discreto causal con función de transferencia:

4-3-2-1-

-3-2-1

z0.6279z2.5235-z4.0820z3.1582-1

z0.0034z0.0147z0.0042

z H

Obtener experimentalmente el gráfico de la respuesta en amplitud y la respuesta enfase del sistema.

Solución

%************************************************ % Obtención Experimental de la Respuesta% en amplitud y la Respuesta en fase de un% Sistema de Tiempo Discreto %************************************************ % Reinicializar el ambiente close all; clear all;

H ( z ) x[n] y[n]




37

% Función de Transferencia B = [0.0000 0.0042 0.0147 0.0034 0.0000] A = [1.0000 -3.1582 4.0820 -2.5235 0.6279] % Respuesta impulsional [h,n]=impz(B,A);

stem(n,h); grid; ylabel('h[n]'); xlabel('n'); pause; % Obtención Experimental de la Respuesta en magnitud% y la Respuesta en Fase %N=length(n); N=1000; n=1:N-1; W=[0*pi:pi/800:pi]; % Vector de Frecuencias Nw=length(W) for m = 1:Nw x=sin(W(m)*n); % Secuencia de entrada y=filter(B,A,x); % Obtencion de la salida x=x(N-900:N-1);y=y(N-900:N-1); % Salida estable ganancia(m)= max(y)/max(x); xh = hilbert(x); yh = hilbert(y); fase(m)=wrapToPi( angle(yh(800)) - angle(xh(800)) );

end % Con freqz H=freqz(B,A,W); Hdecibelios=20*log10(abs(H)); % Graficos subplot(2,2,1); plot(W/pi,20*log10(ganancia)); grid;xlabel('w/pi'); ylabel('|H(e^jw)|,db'); title('Respuesta en amplitud obtenida experimentalmente');

subplot(2,2,3); plot(W/pi,Hdecibelios); grid;xlabel('w/pi'); ylabel('|H(e^jw)|,db'); title('Con la funcion freqz'); subplot(2,2,2); plot(W/pi,180*fase/pi); grid;xlabel('w/pi'); ylabel('<H(e^jw),°'); title('Respuesta en fase obtenida experimentalmente'); subplot(2,2,4); plot(W/pi,180*angle(H)/pi); grid;

xlabel('w/pi'); ylabel('<H(e^jw),°'); title('Con la funcion freqz');




38

Ejemplo 17

Para el sistema de promedio móvil de tamaño N 1) Determine analíticamente la respuesta en frecuencia.2) Grafique la magnitud y la fase para N=5.3) Compruebe los resultados anteriores usando MATLAB.

Solución

0 50 100 150 -0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

h[n]

n

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -80

-60

-40

-20

0

20

w/pi

|H(e j

w)|,db

Respuesta en amplitud obtenida experimentalmente

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -80

-60

-40

-20

0

20

w/pi

|H(e j

w)|,db

Con la funcion freqz

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -200

-100

0

100

200

w/pi

<H(e j w),°

Respuesta en fase obtenida experimentalmente

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -200

-100

0

100

200

w/pi

<H(e j w),°

Con la funcion freqz

n0

1/ N

N

h[n]




40

ylabel('|H(e^jw)|'); xlabel('w/pi'); % Graficar la fase de H(e^jw) subplot(2,2,4); plot(w/pi,angle(H)); grid; title('Fase (Comprobacion con freqz)');

ylabel('< H(e^jw)'); xlabel('w/pi');

FFiillttrrooss cclláássiiccooss

Filtro pasa bajas

0 -

| H (e j )|

Filtro pasa altas

0 -

| H (e j

)|

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Magnitud calculada analiticamente

|H(e j w)|

w/pi

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 Fase calculada analíticamente

< H(e j w)

w/pi

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Magnitud (Comprobacion con freqz)

|H(e j w)|

w/pi -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -3

-2 -1 0 1 2 3 Fase (Comprobacion con freqz)

< H(e j w)

w/pi




41

FFiillttrrooss IIddeeaalleess CClláássiiccooss

Filtro pasa bajas

[]

Filtro pasa altas

[] []

Ejemplo 18

1) Generar una secuencia senoidal x[n] de 80 muestras con frecuencia 2/25rad/muestra.2) Obtener una secuencia x1[n] adicionando a la secuencia inicial un ruido aleatoriouniformemente distribuido en el intervalo -0,25 a 0,25.3) Obtener la secuencia y[n] filtrando la secuencia x1[n] con un sistema promedio

móvil de tamaño 5 recursivamente usando la función filter.4) Lo mismo del punto 3 usando la función fft.

Filtro pasa banda

Filtro supresor de banda

0 -

| H (e j )|

0 -

| H (e j )|

0 -

H (e j )

c -c

0 -

H (e j )

c -c




42

%***************************************** % Filtrado con el Sistema de Promedio% Movil de Tamaño 5 %***************************************** % Reinicializar el ambiente close all; clear all;

% 1) Formar la secuencia de entrada N=80; n=[0:N-1]; x=sin(2*pi*n/25); % 2) Formar la secuencia con ruido aditivo x1=x+0.5*(rand(1,N)-0.5); % 3) Calcular la salida usando la función filterB=[1/5 1/5 1/5 1/5 1/5]; A=[1 0 0 0 0 ]; y1=filter(B,A,x1); % 4) Usando la función fft % El tamaño de h, x1 debe ser N+5-1=N+4 h=[1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 zeros(1,N-1)]; x2=[x1 zeros(1,4)]; H=fft(h); X2=fft(x2); Y2=H.*X2; y2=ifft(Y2); y2=real(y2);

% Graficar las secuencias subplot(4,1,1); stem(n,x); grid; ylabel('x[n]'); xlabel('n'); subplot(4,1,2); stem(n,x1); grid; ylabel('x1[n]'); xlabel('n'); subplot(4,1,3); stem(n,y1); grid; ylabel('y1[n]'); xlabel('n'); title('Salida obtenida empleando la funcion filter'); subplot(4,1,4); stem(n,y2(1:N));

grid; ylabel('y2[n]'); xlabel('n'); title('Salida obtenida empleando la funcion fft');

X

H

Y

x [n]

h [n]

y [n]

Tamaño=84

Tamaño=84

Tamaño=84




43

DDTTFFTT ccoonn f f uunncciioonneess iimmppuullssoo

Sea una DTFT representada en la forma:

00

je X

n x =

d ee X

n j j

2

1 =

=

d e

n j00

2

1 =

=

d ed e n jn j00

21

21 =

=n jn j

ee 00

2

1

2

1

=

=n jn j

ee 00

2

1

= n0cos1

n0cos

00

con periodo 2 n j

e 0

02

con periodo 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 -1

0 1

x[n]

n

0 10 20 30 40 50 60 70 80 -2 0

2 x1[n]

n

0 10 20 30 40 50 60 70 80 -2

0 2

y1[n]

n

Salida obtenida empleando la funcion filter

0 10 20 30 40 50 60 70 80 -2 0

2 y2[n]

n

Salida obtenida empleando la funcion fft

- 0 0 - 0

je X

1 1




44

77.. AAnnáálliissiiss eenn eell DDoommiinniioo TTrraannssf f oorrmmaaddoo

EEll rreettaarrddaaddoorr iiddeeaall

La respuesta al impulso del retardador ideal es:

d id nnnh Su respuesta en frecuencia es () cuya magnitud y la fase son: () ; () Se observa que la fase es función lineal de la frecuencia.

FFiillttrrooss cclláássiiccooss iiddeeaalleess ccoonn rreettaarrddoo

El filtro pasa-bajas ideal con retardo tiene respuesta en frecuencia:

() ||

y respuesta al impulso [] ( )

R R eettaarrddoo ddee ggrruuppoo

Es una medida de la linealidad de la fase:

{()}

Significado del retardo de grupo

nn sn x 0cos ; ?n y

j j j e H e X eY

j

e H j j j jee H eS eS

00

21

21

j j

e H j j je H j j j

ee H eS ee H eS

00

2

1

2

1

- 0

X e j

0 -0

H (e j )

x n

y n

0 -

H (e j )

0 -0

0

-0




45

Aproximamos je H en 0 :

00

je H

Aproximamos je H en 0 : 00

je H

00000000

21

21 j j j j j j j

ee H eS ee H eS eY

00000000

21

21 j j j j j j j j j

ee H eeS ee H eeS eY

00000000

21

021

0

j jn j j jn jee H en see H en sn y

00000 cos0

nn se H n y j

IInntteerrpprreettaacciióónn ggrrááf f iiccaa ddee llaa rreessppuueessttaa eenn f f rreeccuueenncciiaa

()

FFiillttrroo R R eessoonnaaddoorr DDiiggiittaall

Filtro pasabanda de banda estrecha. Se puede implementar con dos polos

conjugados complejos situados cerca de la circunferencia de radio uno.

Filtro resonador con ceros en el origen.

11

0

00 11

z er z er

b z H

j j

,

j j j j

j

eer eer

be H

00 11

0

Para que se cumpla 10 je H el coeficiente 0b debe ser

0

2

0 2cos211 r r r b .

A




46

La frecuencia de resonancia es

0

2

cos2

1arccos

r

r r

. El ancho de banda de 3 db

es r 12 .

Ejemplo 19

Hallar la función de transferencia de un resonador digital con ganancia pico unitariaa 50 Hz, un ancho de banda de 3 db de 6 Hz, sabiendo que la frecuencia demuestreo es 300 Hz.clf; clear;f0=50; deltaf=6; fs=300;w0=f0*2*pi/fsdeltaw=deltaf*2*pi/fsr=1-0.5*deltawb0=(1-r)*sqrt(1+r*r-2*r*cos(2*w0))B=[b0 0 0]j=sqrt(-1);

A=conv([1 (-1)*r*exp(j*w0)],[1 (-1)*r*exp((-1)*j*w0)])W=[0:0.5:150]*2*pi/fs;subplot(1,2,1);H=freqz(B,A,W);plot(W*fs/(2*pi),abs(H));grid;subplot(1,2,2);W=([45:0.1:55]*2*pi)/fs;H=freqz(B,A,W);plot(W*fs/(2*pi),abs(H));grid;

Filtro resonador con ceros en 1 z y 1 z .

11

11

000 11

11

z er z er

z z b z H

j j

,

j j j j

j j

eer eer

ebe H

00 11

1 2

0

Ejercicio 1. Para ambos tipos de resonador, graficar con MATLAB la magnitud y lafase en el intervalo de a ; para

30

, 8.0r y para

30

, 95.0r .

0 50 100 150 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2




47

FFiillttrroo R R aannuurraa

Filtro con uno o más cortes profundos en su respuesta en frecuencia.Para implementar un filtro ranura se pueden tomar dos ceros complejos conjugadossobre la circunferencia de radio uno.

11

000 11

z e z eb z H j j

Para reducir el ancho de banda del corte se pueden introducir dos polosconjugados complejos

11

11

000

00

11

11

z er z er

z e z eb z H

j j

j j

Ejemplo 20

Para el filtro ranura de dos ceros y dos polos, graficar con MATLAB la respuesta enamplitud en el intervalo de a para

40

, 85.0r . Solución

close all; clear all; w0=pi/4; r=0.85; j=sqrt(-1); b0=((1-r*exp(j*w0))*(1-r*exp((-1)*j*w0)))/...

((1-exp(j*w0))*(1-exp((-1)*j*w0))); B=b0*conv([1 (-1)*exp(j*w0)],[1 (-1)*exp((-1)*j*w0)]); A=conv([1 (-1)*r*exp(j*w0)],[1 (-1)*r*exp((-1)*j*w0)]); W=[0:pi/400:pi]; H=freqz(B,A,W); plot(W/pi,abs(H));grid; title('Respuesta en amplitud de un filtro ranura');

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Respuesta en amplitud de un filtro ranura




48

FFiillttrroo PPeeiinnee

Su respuesta en magnitud consiste en una serie de picos regularmente espaciados,cuya figura es semejante a la de un peine.

El sistema promedio móvil es un ejemplo sencillo de filtro peine.

M

k M

k n xn y0

1

1

M

k

k

M z z H

0

1

1 ,

1

1

1

1

1

1

z

z z H

M

M ,

2

2

2

1

1

1 M j

M

M

j e sen

sene H

.

Si reemplazamos z por L

z tenemos

L

M L

M L z

z z H

1

1 1

1

1 ,

L j

L

M

M

j

L

M

e sen

L sene H

2

2

2

1

1

1

Ejemplo 21

Para el filtro peine con y graficar con MATLAB la respuesta enmagnitud y en fase en el intervalo de a .Soluciónclose all; clear all; % Respuesta en frecuencia L=10; M=3; w=[0:(2*pi)/800:pi]; j=sqrt(-1); H=(1/(M+1)).*((sin(w.*(L*((M+1)/2))))./(sin(w.*(L/2))))...

.*exp(w.*((-1)*j*M*L*(1/2))); % Grafico de la magnitud de H(e^jw) subplot(2,1,1); plot(w/pi,abs(H)); grid; title('Respuesta en amplitud de un Filtro Peine');ylabel('|H(e^jw)|'); xlabel('w/pi'); % Grafico de la fase de H(e^jw) subplot(2,1,2); plot(w/pi,angle(H));

grid; title('Respuesta en fase de un Filtro Peine');ylabel('< H(e^jw)'); xlabel('w/pi');

http://es.wikipedia.org/wiki/Respuesta_en_frecuencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Respuesta_en_frecuencia




49

Ejercicio 2. Para el sistema con función de transferencia

4

16

4

1

1

1

z

z z H

1. Dibujar el diagrama de polos y ceros y determinar la ROC2. Hallar la respuesta impulsional3. Hallar y graficar la magnitud de la respuesta en frecuencia4. ¿Qué tipo de filtro es?

SSiisstteemmaa iinnvveerrssoo

Para un sistema LTI su sistema inverso es aquel que al conectársele en cascada dapor resultado un sistema identidad 1 z G z H

z H

z G 1

Ver ejemplo 5.4 y ejemplo 5.5 de Oppenheim

SSiisstteemmaa ppaassaa ttooddoo

Es el sistema cuya respuesta en frecuencia tiene magnitud constante igual a launidad.

1 je H

Ejemplo, 1

1

1

z a

a z z H ap

j

j

j

apea

aee H

1=

j

j j

ea

eae

1

1

En un sistema pasa-todo cada polo está emparejado con un cero conjugadorecíproco.

Si a es real: 1

1

1

z a

a z z H ap . Cero:a

z 1 . Polo: a z

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta en amplitud de un Filtro Peine

| H ( e j w ) |

w/pi

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-3

-2

-1

0

1

2

3Respuesta en fase de un Filtro Peine

<

H ( e j w )

w/pi




50

SSiisstteemmaa ddee f f aassee mmí í nniimmaa

Un sistema estable y causal se llama sistema de fase mínima si su sistema inversotambién es causal y estable. Los polos y los ceros de un sistema de fase mínimadeben estar dentro de la circunferencia unitaria.

DDeessccoommppoossiicciióónn eenn ppaassaa ttooddoo yy f f aassee mmí í nniimmaa

Un sistema estable y causal siempre se puede expresar como la conexión encascada de un sistema de fase mínima y un sistema pasa todo.

z H z H z H ap min

Ejemplo 22

Para el sistema:

11

1

7.012.01

21

z z

z z H

Hallar la descomposición en pasa todo y fase mínima

Im{z}

Re{z}

1

Im{z}

Re{z}

10.2 0.7 2

0.5

Im{z}

Re{z}

10.2 0.7 2




51

1

1

11

1

5.01

5.01

7.012.01

21

z

z

z z

z z H

= 1

1

11

1

5.01

21

7.012.01

5.01

z

z

z z

z

1

1

1

z a

a z z H ap ;

1

1

11

1

5.01

21

2

1

7.012.01

5.012

z

z

z z

z z H

1

1

11

1

5.01

5.0

7.012.01

5.012

z

z

z z

z z H

SSiisstteemmaa ccoonn f f aassee lliinneeaall

Un sistema LTI se dice que tiene fase lineal si:

je H = j jee H

Un sistema LTI es de fase lineal generalizada si: je H = j j

ee A

je A - Es una función real.

Para que un sistema causal de función de transferencia racional tenga fase linealgeneralizada su respuesta al impulso de tamaño N debe ser real, FIR, simétrica ( n N hnh 1 ) o anti-simétrica ( n N hnh

1 ).

N impar N par

nh simétrica Tipo I Tipo II

nh anti-simétrica Tipo III Tipo IV

Para el filtro de tipo II, tenemos

je H =

1

0

2

N

n

n jenh +

1

2

N

n

n j

N

enh ; n N m 1 ; m N n 1

x [n]

0 n

Tipo I

0 n

x [n]

Tipo II

0 n

x [n]

Tipo IV

x [n]

0 n

Tipo III




55

IInntteerrpprreettaacciióónn ggrrááf f iiccaa

Para 0k :

T c j j X

T e X

10 ;

T

, T

Para 1k :

T c j j X

T e X

21

1

Para 1k :

T c j j X

T e X

21

1

T j

S e X j X

..0 cc

e X T j X T T

T j

c

X jc

-M 0

1

M -S S

0-MT

X e j

-2 2

1

T

MT

je X 1

je X 0 je X 1

… …

0-M

j X S

-S S

1

T

M

… …




56

EEssttrruuccttuurraa ddeell ccoonnvveerrssoorr DD//CC iiddeeaall

j H e X j X r T j

c

Relación entre la señal reconstruida y la secuencia

j H en x j X r

n

Tn jc

t hnT t n xt x r n

c *

t

t sent h

T

T r

n

n senn xt x

T t

T t

n

c

x[n] Filtro dereconstrucción

j H r

xc(t ) x s(t )

T

Conversor de

secuencia en tren de

impulsos

ponderados

T

j H r

T

T




57

CCoonnvveerrssoorr DD//CC pprrááccttiiccoo

nT t pn xt xn

a

n

nT j

a e j P n x j X

n

nT ja en x j P j X

T ja e X j P j X

dt et p j P t j

T t j dt e j P

0

0

1 T e j P t j

j

11

T j

je j P

22221T T T T

j j j j

j eeee j P

22

2

T j

T

e

sen

j P

Retenedor de

orden cero

xa(t ) x[n]

j X a

j

e X T

0 n

x[n] xc(t )

xa(t )

t 0

0 t

p (t )

T

1




58

T ja e X j P j X

T j j

T

a e X e sen

j X T

222

T j j

T

T

a e X e sen

T j X T

2

2

2

j X e

sene X a

j

T

T

T

T j T

2

2

21

j H j X e sen j H e X j X r a

j

T

T

T r

T j

c

T 2

2

21

..0

2

2

2

cc

j X e sen j X T T a

j

T

T

c

T

..0

2

2

2

cc

e sen j H T T

j

T

T

rr

T

Retenedor de

orden cero

xa(t ) x[n]

j X a je X

T

Filtro de

reconstrucción j H rr

xc(t )

j X c

T j H rr




59

Ejemplo 23

Graficar la respuesta en amplitud del filtro de reconstrucción, conectado encascada con el retenedor de orden cero, para la frecuencia de muestreo de 8kHz.

..0

2

2

2

cc

e sen j H T T

j

T

T

rr

T

% Reinicializar el ambiente close all; clear all; % Hallamos la función Hrr fs=8000; T=1/fs; W=[(-1)*2*pi/T:(2*pi/T)/400:2*pi/T];

N=length(W); j=sqrt(-1); for i=1:1:N if abs(W(i))<pi/Tx=W(i)*T/2; Hrr(i)=(x/(sin(x)))*exp(j*x);

else Hrr(i)=0;

end

end % Graficamos la Magnitud de Hrr plot(W/(2*pi),abs(Hrr)); grid; title('Respuesta en Amplitud del Filtro');ylabel('|Hrr(jW)|'); xlabel('f');

-8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6 Respuesta en Amplitud del Filtro

|Hrr(jW)|

f




60

99.. CCaammbbiioo ddee llaa TTaassaa ddee MMuueessttrreeoo

R R eedduucccciióónn ddee llaa f f rreeccuueenncciiaa ddee mmuueessttrreeoo eenn uunn f f aaccttoorr eenntteerroo

Sistema compresor

nT xn x c

nMT xT n xn x ccd

nM xn x d

k T

k

c

j

j X T e X

21

r MT

r

c j

d j X MT

e X 21

kM ir , 10 M i ,k

1

0

2211 M

i k MT

kM i

cT

jd j X

M e X

1

0

21 M

i

j jd

M

i

e X M

e X

Si 2 M ,

2

2

2

2

1

j j jd e X e X e X

Ver Figura 4.21 y Figura 4.22 de Oppenheim

Sistema diezmador

je X

jd e X

Filtro pasabajas

Ganancia = 1

Corte =

/M




61

IInnccrreemmeennttoo ddee llaa f f rreeccuueenncciiaa ddee mmuueessttrreeoo eenn uunn f f aaccttoorr eenntteerroo

nT xn x c

L

T cci n xT n xn x

Sistema expansor

k e Lk nk xn x

n

n j

k

je e Lk nk xe X

k

n j

n

je e Lk nk xe X

k

Lk j je ek xe X

L j je e X e X

Ver Figura 4.25 de Oppenheim

Sistema interpolador

Filtro pasabajas

Ganancia = L

Corte = /L




62

CCaammbbiioo ddee llaa ttaassaa ddee mmuueessttrreeoo eenn uunn f f aaccttoorr nnoo eenntteerroo

PPrroocceessaammiieennttoo ddiiggiittaall ddee sseeññaalleess aannaallóóggiiccaass

T jr eY T jY ,

T T

T jT jr e X e H T jY

,T T

T

T c

T jr j X

T e H T jY

1,

T T

j X e H jY cT j

r ,T T

T

T

T j

eff

e H

j H

0 ,

Sistema de

tiempo discreto

je H

j X c

jY r

jeY

je X

Filtro pasa-bajasGanancia=LCorte=min(π/L, π/M)




63

Ejemplo 24

Dado el sistema

donde,

..0

1

cce H

c j

¿Cuál es la frecuencia mínima para que al muestrear la entrada no seproduzca solapamiento?

Si2

c , ¿Cuál es la frecuencia mínima de muestreo que asegura que

t xt y cr

?

Para2

c y una frecuencia de muestreo igual a 2000 Hz, graficar

je X ,

jeY , jY r , y hallar j H eff

j X c

je X

jeY jY r

je H

Sistema detiempo

X jc

-2 1000 0

1

2 1000




64

AApplliiccaacciióónn ddeell ddiieezzmmaaddoo eenn llaa ccoonnvveerrssiióónn AA//DD

Sistema de

tiempodiscreto

Filtro

antisolapa-miento

j H aa

- N 0

1

N M1 -M1

Filtro anti-solapamiento

simple

Filtro anti-solapamiento

exacto

Corte=/M

X jc

- N 0

1

N




66

1100.. CCuuaannttiizzaacciióónn Cuantización por redondeo:

Unipolar∆ - Tamaño de paso de cuantización

Bipolar:

,- ,- ,-




67

Potencia del ruido (varianza):

∫

Error RMS de cuantización: √ ; ;

D - Intervalo dinámico

L –

Número de niveles

Razón señal ruido de cuantización:

La SQNR mejora en 6 dB por cada bit adicional.

La SQNR se reduce si el intervalo dinámico excede la rms de la señal.

Ejemplo 25

Una señal varía en el intervalo -2.5V a +2.5V. ¿Cuál debe ser la cantidad de bits

para que el error rms de cuantización sea menor que 5mV?

D=5V;

√ √ ; √ √

; B=9 bits.

e f

00

e e




68

1111.. EEssttrruuccttuurraass ddee SSiisstteemmaass ddee TTiieemmppoo

DDiissccrreettoo

Forma directa I Forma directa II Forma serial Forma paralela

DirectaI, II

Serial Paralela

Inmunidad a los efectos dearitmética de precisión finita

Facilidad de cálculo

Símbolos

Ejemplo 26

Para el sistema con función de transferencia

dar la representación en la forma directa I, forma directa II, forma serial y formaparalela.Solución

y[n] = b0 x[n]+ b1 x[n-1]+ b2 x[n-2] - a1 y[n-1] – a2 y[n-2]

y[n] = 0.5 x[n]-0.5 x[n-2] – 1.3 y[n-1] – 0.36 y[n-2]

x 2[n]

x 1[n] x 1[n]+ x2[n]

a

z -1

x[n] x [n-1]

a x[n] a x [n]




69

Forma directa I

y[n] = 0.5 x[n]-0.5 x[n-2] – 1.3 y[n-1] – 0.36 y[n-2]

Forma directa II

236.013.1 nwnwn xnw

25.05.0 nwnwn y

x[n] y[n]

0.5

z -1

z -1

0

-0.5 z

-1

z -1

-1.3

-0.36

y[n] x[n]

y[n] x[n]0.5

z -1

z -1

0

-0.5 z

-1

z -1

-1.3

-0.36

y[n] x[n]0.5

0

-0.5 z

-1

z -1

-1.3

-0.36

w[n]




70

Forma serial

14.0 11 nwn xnw

15.05.0 111 nwnwn y 19.0 212 nwn ynw

122 nwnwn y

Forma paralela

n xn y 39.11

14.0 22 nwn xnw

nwn y22

1.2

19.033

nwn xnw

nwn y 33 21.0

n yn yn yn y 321

y1[n] x[n]0.5

-0.5 z

-1

-0.4

w1[n] y[n]1

1 z

-

-0.9

w2[n]

y[n]2.1

z -1

-0.4

w2[n]

-1.39

x[n]

y3[n]

-0.21

z -

-0.9

w3[n]

y2[n]




72

FFoorrmmaa sseerriiaall

21

21

1

1*1

1

1

1

1*1

1

1

0

111

111

N

k k k k

N

k k

M

k k k

M

k k

z d z d z c

z h z h z g

b z H

s N

k k k

k k

z a z a

z b z bb z H

1 2

21

1

22

11

01

1

n xn y 0

n ynwanwanw k k k k k k 121 21

21 21 nwbnwbnwn y k k k k k k n ybn y

s N 0

b0




73

FFoorrmmaa ppaarraalleellaa

221

1 1*

*

1 1

1 1

0 111

N

k k

k N

k k

k N

k k

k N M

k

k k

z d

B

z d

B

z c

A z C z H

N N N 21

s N

k k k

k k N M

k

k k

z a z a

z bb z C z H

1 2

21

1

110

0 1

n xnwanwanw k k k k k 21 21

110 nwbnwbn y k k k k k

s N

k k

N M

k k n yn xC n y

10

b01

b11

b02

b12

b03

b13




74

R R eepprreesseennttaacciióónn ddee ssiisstteemmaass ddee ttiieemmppoo ddiissccrreettoo eenn eell eessppaacciioo ddee

eessttaaddooss

Ejemplo 27

Para el sistema con función de transferencia,

Hallar la representación en el espacio de estados en la forma:,- , - ,- ,- , - ,- SoluciónLas ecuaciones de la forma directa II son:

,- ,- , - , -

,- ,- , - ,- ,- , - , - , - ,- , - , - ,- ,- , - , - ,- [ ,-, -] 0 1 [, -, -] 01 ,-

,- , - [, -, -],- 0 1; 01 , -;

En matlab escribimos: b=[0.5 0 -0.5]

a=[1 1.3 0.36]

[A,B,C,D]=tf2ss(b,a)




75

1122.. LLaa SSeerriiee ddee FFoouurriieerr DDiissccrreettaa Una secuencia periódica

n x~ con periodo N se puede expresar a través de la

serie de Fourier discreta (DFS):

1

0

12

~~ N

k

kn j

N

N ek X n x

La DFS es la descomposición de n x~ en una suma de N exponenciales

complejas armónicamente relacionadas. Los valores de los coeficientes de laDFS se calculan con la fórmula:

1

0

2~~ N

n

kn j N en xk X

Ejemplo 28

Hallar los coeficientes de la DFS de la secuencia periódica n x~ y expresar

esta secuencia como una serie de Fourier Discreta

Solución

,- ∑ ,-

,- ,- ,- ,- ,- ,- ,- ,-

,- ∑ ,-

,-

,-

,-

,-

,- . / . / ,- . / . /

,- ()

,- . / . / ,- ()

,- . / . / ,-

,-

n0

... ...

3

1

6




78

1133.. LLaa TTrraannssf f oorrmmaaddaa DDiissccrreettaa ddee FFoouurriieerr

((DDFFTT)) Dada una secuencia de extensión finita de longitud N

Para encontrar n x a partir de su DTFT, deben ser suficientes N muestras de

j

e X en las frecuencias 110 ...,,,

N .Puesto que la DTFT está dada por la expresión

je X =

n

n jen x

tenemos N ecuaciones con N incógnitas

0 je X =

12 000 1...210

N j j je N xe xe x x

…

1 N je X

=

12 111 1...210

N j j j N N N e N xe xe x x

Este sistema de ecuaciones tiene solución única si sólo si las frecuencias

110 ...,,, N son distintas.

Si escogemos k N

2, 1,...,1,0

N k , las N muestras de j

e X se llaman

Transformada Discreta de Fourier (DFT)

..,0

10,1

0

2

cc

N k en xk X

N

n

kn j N

y su transformada inversa es:

..,0

10,1

0

1

2

cc

N nek X n x

N

k

kn j N

N

Usando el factor Twiddle

..,0

10,1

0

cc

N k W n xk X

N

n

kn N

y su transformada inversa es:

n0N -1

n x




79

..,0

10,1

0

1

cc

N nW k X n x

N

k

kn N N

Operación n módulo N

0,Re

0,Re

n N N

nde siduo

n N

nde siduo

n N

La DFT y la DFS

Si definimos

r

N r n xn x~ , entonces

k X k X ~

, 10 N k .

Esto significa que k X corresponde a un periodo de la DFS de una secuencia

periódica n x~ obtenida por la repetición de

n x .

También, podemos escribir que, si N n xn x

~ , entonces

N k X k X ~

La DFT y la DTFT

..,0

10,2

cc

N k e X k X k

j

N

La DFT y la Transformada Z

..,0

10,2

cc

N k z X k X

k N

j

e z

DDeessppllaazzaammiieennttoo CCiirrccuullaarr

n0 4

n x

1 2 3

n0 4

53n x

1 2 3




83

Para la IDFT

220,22

012

12

M nek Y n y M

k

kn j

M N

Por cada muestra de n y

Operaciones Total

2M-1

+ 2M-2

Para toda la IDFT

Operaciones Total

(2M-1)2

+ (2M-2) (2M-1)

Total mediante DFT

Operaciones Total Aprox.

2M(2M-1) + (2M-1) + (2M-1) 8M2

+ 2(M-1) (2M-1) + (2M-2) (2M-1) 8(M-1)2

LLaa TTrraannssf f oorrmmaaddaa R R ááppiiddaa ddee FFoouurriieerr ((FFFFTT))

Mediante diezmado en el tiempo

1

0

2 N

n

nk N

jen xk X

, 10 N k

impar n

nk N

j

par n

nk N

jen xen xk X

22

1

0

1221

0

22

22

122

N N

r

r k N

j

r

r k N

jer xer xk X




85

Número de operaciones en cada etapa

Operaciones Total

N

+ N

Número de etapas: N 2log

Total Operaciones por FFT:

Operaciones Total

N N 2log

+ N N 2log

Estructura Mariposa




86

r N

r jr

N W eW

N

N

N

2

2

2

Número de operaciones:

Operaciones Total

(N/2) N 2

log

+ N N 2log

Complejidad del cálculo de la salida

Operaciones Total

M M

M 22log

2

23 2

M M 2log35

+ M M 2log23 2 M M 2log16

Ejemplo

Para N=256

Operaciones Cálculo por convolución Cálculo con FFT

M = 65536 M M 2log35

= 7424

+ (M-1)2 = 65025 M M 2log16

= 13824

CCáállccuulloo ddee llaa ssaalliiddaa mmeeddiiaannttee llaa DDFFTT

x[n] X [k ]

H [k ]Y [k ]

h[n] y[n]

1 32




87

FFiillttrraaddoo FFIIR R ppoorr ssoollaappaammiieennttoo yy ssuummaa ccoonn DDFFTT

n y 2

n y 3

n y1

P – 1 puntos

que se suman

P – 1 puntos

que se suman

L

n x1

L

n x2

L

n x3

P – 1

ceros

P – 1

ceros




88

FFiillttrraaddoo FFIIR R ppoorr ssoollaappaammiieennttoo yy aallmmaacceennaammiieennttoo ccoonn DDFFTT

L

n x1

L

n x2

L

n x3

n y 2

n y 3

n y1

P – 1

puntos

que se

desprecian

P – 1

ceros

P - 1

P – 1

puntos

que se

desprecian

P – 1

puntos

que sedesprecian




89

1155.. DDiisseeññoo ddee FFiillttrrooss DDiiggiittaalleess

El objetivo es determinar los coeficientes de la ecuación en diferencias deforma que el filtro cumpla un esquema de tolerancias

Al diseñar un filtro pasa bajas se puede exigir que la curva de la magnitud de larespuesta en frecuencia cumpla las especificaciones dadas en el esquema

⁄

⁄ ( ) ⁄

y n b x n b x n b x n M

a y n a y n N

M

N

0 1

1

1

1

...

...

| H (e j

)|

0 p r

1

1- p

1+ p

r

0

-r

- p

dBe H j

p r




92

FFiillttrroo ddee CChheebbyysshheevv

N

k

k

a

s s

K s H

1

0 p

| H a( j)|

1

1- p

impar N

par N

H

K

a

,1

,1

1

0

:

2

p

r

p

r

N

1

10

1

cosh

110110cosh

10

1,...,1,0;2

21 N k N

k N k

110 10 p

21 1

N N a11

21

N N b11

21

k pk pk senb ja s cos

| H (j)|, dB

0

- p

r

-r




93

Cálculo del Coeficiente K de la Función de Transferencia

IInnvvaarriiaannzzaa IImmppuullssiioonnaall

Se basa en el muestreo de la respuesta impulsional del filtro analógico

Paso 1

Al pasar de las especificaciones del filtro digital a las especificaciones del filtro

analógico basta hacer :

Relación entre los polos del filtro analógico y los polos del filtro digital

T nhT nh a

T

N

k k

k a

s s

A s H

1

N

k

t sk a t ue At h k

1

N

k

k

a

s s

K s H

1

0 p

| H a( j)|

1

1- p

impar N

par N

H

K

a

,1

,

1

1

0

:

2

impar N

par N j H a

,1

,1

1

20

impar N

par N

s

K H

N

k

k

a

,1

,1

10 2

1

impar N s

par N s

K N

k

k

N

k

k

,

,1

1

1

12




94

Los polos del filtro digital son :

En consecuencia, si el filtro analógico es estable, entonces el filtro digital serátambién estable.Como Ha( j) nunca es perfectamente limitada en frecuencia, se produce

superposición espectral. Por ello, este método no se aplica a filtros pasa altas nisupresores de banda.

Paso 3

N

k

nT sk a nT ue AT nT hT nh k

1

N

k

nT sk nue AT k

1

N

k T s

k

z e

AT z H

k 1 11

k k k S T jS T T sk eee p

ImRe

10Re k k p sSi

s A

s B s H

a

aa

z A

z B z H

Residuez()Residue()

N

k T s

k

z e

A

T z H k 1 11

N

k k

k a

s s

A

s H 1

N

k

t sk a t ue At h k

1

N

k

nT sk nue AT nh k

1




95

Ejemplo 31

A partir de un filtro analógico de Butterworth diseñar un filtro digital IIR pasabajas, por Invarianza Impulsional, con las especificaciones :

1 p 15r T

p

2.0

T r

3.0

N

k

k

N

C a

s s

s H

1

89.5 N

6 N

T C

703.0

75180

6,1

703.0 jeT

s 45180

5,2

703.0 jeT

s

0 0,2 0,3

-15

-1

dBe H j ,

0

j H a

p

r

p r




96

%**************************************************** % Diseño de un filtro digital a partir de un filtro % analogico de Butterworth por Invarianza Impulsional %**************************************************** % Reinicializar el ambiente clear;clf;

ap=1;ar=15; wp=0.2*pi; wr=0.3*pi; % PASO 1 T=1; Wp=wp/T; Wr=wr/T; % PASO 2

% Hallamos la orden del filtro N=(log10(((10^(ar/10))-1)/((10^(ap/10))-1)))... /(2*log10(Wr/Wp));

N=ceil(N); N=N % Hallamos la frecuencia de media potencia Wc=(Wp)/(((10^(ap/10))-1)^(1/(2*N))); % Hallamos los polos del filtro analogico theta= (pi*(N+1)+2*pi*[0:N-1])./(2*N); j=sqrt(-1);sk=Wc*cos(theta)+j*Wc*sin(theta); % Funcion de transferencia del filtro analogico

15180

4,3

703.0 jeT

s

61

6

...

703.0

s s s s

T s H a

6

6

1

1 ... s s

A

s s

A s H a

T j A 249.0144.06,1

T A 07.15,2

T j A 61.1927.04,3

16

6

11

1

1...

1 z z

A

z z

AT z H

524.0649.0

6,1

6,1 je z

T s

290.0535.05,2

5,2 je z T s

092.0499.04,3

4,3 je z T s




99

La transformación bilineal inversa es :

A cada polo y a cada cero de Ha( s) aplicamos esta transformación y

encontramos los polos y los ceros de H( z)

El coeficiente A se calcula de la condición :

Cálculo del coeficiente A al usar el Filtro Analógico de Chebyshev de tipo I

s

s

z T

T

2

2

1

1

N

k

k

N

k

k

p z

z z

A z H

1

1

00

j H e H a

j

impar N

par N

p

z

A H N

k

k

N

k k

,1

,1

1

1

1

1 2

1

1

impar N

par N H H a

,1

,1

1

01 2

01

00

a

a

j

H H

j H e H

impar N

z

p

par N

z

p

A

N

k

k

N

k

k

N

k

k

N

k

k

,

1

1

,

1

1

1

1

1

1

1

1

2




101

Los polos del filtro digital son :

Los ceros del filtro digital son :

T

j s

640.0091.03,2

T

j s

265.0219.04,1

N

k

k

a

s s

K s H

1

02.3 N

4 N

4

044.0

T K

4321

4

044.0

s s s s s s s s

T s H a

1

12

1

1

z

z sa

T

s H z H

1

1

1

1 2

1

12

z

z

z

z s

T T

1

11

1

1 222

z

z s z

s z

z s s

k T

T k T k

1

11222

z

s z s k T

k T

T

4

1

22

4

16

4

044.0

1

11

k

k T

k T

T

T

z

s z s z H

4

1 224

16

4

044.0

11

1111

k k

T k

T

T

T

s z s

z z z z z H

s

s z

T

T

2

2

1

1

k T

k T

k s

s

p

2

2

1

1

14,3,2,1

z




102

%****************************************** % Diseno de un filtro digital% a partir del filtro de Chebyshev I % por transformacion bilineal %******************************************

% Reinicializar el ambiente clear;clf; ap=1;ar=15; wp=0.2*pi; wr=0.3*pi; % PASO 1 Wp=2*tan(wp/2); Wr=2*tan(wr/2); % PASO 2 % Hallamos el orden del filtro N=acosh(sqrt((10^(ar/10)-1)... / (10^(ap/10)-1))) / acosh(Wr/Wp);

N=ceil(N); N=N % Hallamos los polos del filtro analogico epsilon=sqrt(10^(ap/10)-1); j=sqrt(-1); angulos=( pi*(N+1) + [0:N-1]*2*pi )./(2*N);

alfa=(epsilon^(-1)) + sqrt(1+epsilon^(-2)); aa=(1/2)*( (alfa^(1/N)) - (alfa^(-1/N)) ); bb=(1/2)*( (alfa^(1/N)) + (alfa^(-1/N)) ); sk=aa*Wp*cos(angulos)+j*bb*Wp*sin(angulos); % Hallamos la constante multiplicativa k preliminar if rem(N,2)==1 K=1;

else K=1/sqrt(1+epsilon^2);

end % PASO 3 % Hallamos los polos y zeros del filtro digital pk=(1+sk/2)./(1-sk/2); zk=-1*ones(1,N); A=K*prod(ones(1,N)-pk)/prod(ones(1,N)-zk); % PASO 4 % Coeficientes del filtro digital b=A*poly(zk); a=poly(pk);

a=real(a) b=real(b)




103

% GRAFICO W=[0:pi/50:0.45*pi]; H=freqz(b,a,W); Hdecibelios=20*log10(abs(H)); plot(W/pi,Hdecibelios);

grid; title('Respuesta en frecuencia'); ylabel('|H(e^jw)|, db'); xlabel('w/pi');

N = 4b = 0.0018 0.0073 0.0110 0.0073 0.0018a = 1.0000 -3.0543 3.8290 -2.2925 0.5507

y n = 0.0018*xn+0.0073*xn-1+0.0110*xn-2+

+0.0073*xn-3+0.0018*xn-4+

+3.0543*yn-1-3.8290*yn-2+

+2.2925*yn-3-0.5507*yn-4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0


| H ( e ^ j w ) | , d b

/pi




104

MMééttooddoo ddee EEnnvveennttaannaaddoo

Un filtro pasa bajas ideal tiene respuesta en frecuencia:

La respuesta impulsional es :0

H i (e j )

C - -C

1

n0

1/4

hi [n]

... ...

n

n sennh C

i

n0

1/4hi [n]

... ...

w [n]

n0

1

VentanaRectangular

n0

1/4h [n] nwnhnh i




107

Bessel de funciónes I N

N n I

n I

nw

.,21

10,

1

0

0

2

0

•

Ventana de Kaiser

,cos08,0cos5,042,01

14

1

12

N

n

N

nnw

•

Ventana de Blackman

w [n]

n0

1

N

w [n]

n0

1

N

=4

• Ventana de Hanning

10,cos

1

12

21

21

N nnw

N

n

• Ventana de Hamming

w [n]

n0

1

N

10,cos46,054,01

2

N nnw N

n

w [n]

n0

1

N




109

Ejemplo 33

Diseñar un filtro pasa-bajas que cumpla las especificaciones

1. Trazamos la magnitud de la respuesta en frecuencia ideal

2. Hallamos hi [n] :

3. Escogemos una ventana con error máximo inferior a las tolerancias :

Hanning, Hamming o Blackman4. Calculamos N:

%******************************************** % Diseño de un filtro digital por Enventanado %******************************************** % Reinicializar el ambiente clear;clf; % PASO 1 deltap=0.02;deltar=0.01;wp=0.2*pi; wr=0.3*pi; % PASO 2 wc=(wp+wr)/2;

% PASO 3 delta=min(deltar,deltap); deltadB=20*log10(delta)

|H i (e j

)|

1 + 0,02

1 - 0,02

0,01

0,3 0,2 0

0

|H i (e j

)|

0,2

1 - 0,02

1 + 0,02

0,01

0,3

n

n sennhi

25.02r pC

dB

pr

4001,0log20

01,0,min

;8 pr N 80 N

pr N

8




112

DDiif f eerreenncciiaass eennttrree FFiillttrrooss FFIIR R ee IIIIR R

Los filtros IIR producen en general distorsión de fase, es decir la fase no eslineal con la frecuencia.

Los filtros FIR son de fase lineal. El orden de un filtro IIR es mucho menor que el de un filtro FIR para una

misma aplicación.

Los filtros FIR son siempre estables.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -100

-80

-60

-40

-20

0

20


| H ( e ^ j w ) | , d b

w/pi

b =0.0000-0.00010.00000.00030.00080.00080.0000-0.0015-0.0028-0.00250.00000.00390.00660.00560.0000-0.0079-0.0131

-0.01080.00000.0147

0.02430.02020.0000

-0.0283-0.0483-0.04220.00000.07330.15750.22450.25000.22450.15750.07330.0000

-0.0422-0.0483-0.02830.00000.0202

0.02430.01470.0000-0.0108-0.0131-0.00790.00000.00560.00660.00390.0000-0.0025-0.0028-0.00150.00000.00080.0008

0.00030.0000-0.0001

0.0000




115

elseif A<=50beta=0.5842*((A-21)^(0.4))+0.07886*(A-21)

else beta=0.1102*(A-8.7)

end N=((A-8)/(2.285*deltaw))+1

N=ceil(N)if rem(N,2)==1N=N

else N=N+1

end alfa=(N-1)/2%PASO 4 wkaiser=kaiser(N,beta)w=wkaiser'n=0:N-1;

hi=(sin(wc*(n-alfa)))./(pi*(n-alfa))%hi(((N-1)/2)+1)=wc/pi; hi=(-1)*hihi(((N-1)/2)+1)=1-(wc/pi)h=hi.*w% Formamos los coeficientes de la Ecuación b=h;a=zeros(1,N);a(1)=1;% Graficamos la magnitud de la% respuesta en frecuencia

W=[0.2*pi:pi/400:pi];H=freqz(b,a,W);Hdecibelios=20*log10(abs(H));plot(W/pi,Hdecibelios);grid; title('Respuesta en frecuencia');ylabel('|H(e^jw)|, db'); xlabel('w/pi');

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Respuesta en frecuencia

| H ( e j w ) | , d b

w/pi




116

MMééttooddoo ddee mmuueessttrreeoo eenn f f rreeccuueenncciiaa

Se obtiene ,- muestreando la respuesta en frecuencia deseada en puntos

equiespaciados en el dominio de la frecuencia.

Ejemplo 34

Diseñar un filtro pasa-bajas con frecuencia de corte SoluciónTomamos 10 muestras ( ) dentro de un periodo de la respuesta en

frecuencia ideal: |,-| *+ ,-

Para que la respuesta al impulso ,- sea real, ,- debe ser conjugadasimétrica con respecto a .

,-

,- , ,- ,- ,- , ,- ,- ,- ,- ,- ,- ,-

Ahora calculamos la DFT inversa:clear;clf;j=sqrt(-1);H0=1;H1= exp((-1)*j*0.9*pi);H2= exp((-1)*j*1.8*pi);H3=0; H4=0; H5=0; H6=0; H7=0;H8=conj(H2);

H9=conj(H1);H=[H0 H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9];h=ifft(H)W=[0:2*pi/100:2*pi];H=freqz(h,1,W);plot(W/pi,abs(H));grid;

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4




118

%Diseño de filtro pasabajas N=20; wc=0.8*pi; gana1=zeros(1,(N/2)+1); for i=1:(N/2)

if 2*(i-1)*pi/N<wc gana1(i)=1; end; if 2*(i-1)*pi/N==wc

gana1(i)=0.5; end;

end; k=[0:N/2]; fase1=((-1)*(N-1)*k*pi)/N; m=(N/2)-1; for i=2:(N/2)

fase2(m)=fase1(i); gana2(m)=gana1(i); m=m-1;

end; fase=[fase1 (-1)*fase2]; magnitud=[gana1 gana2]; HH=magnitud.*exp(j*(fase)); h=ifft(HH)

W=[0:2*pi/2000:2*pi]; H=freqz(h,1,W); plot(W/pi,abs(H));grid;




119

FFiillttrroo AAddaappttaattiivvoo

Cancelación de ruido con filtro adaptativo

%----------------------------------

% Filtrado Adaptativo % Algoritmo LMS %---------------------------------- close all; clear all; [s, fs] = wavread('arch_voz.wav'); s=s'; N=length(s) t=0:1:N-1; t=t/fs; x=0.8*(rand(1,N)-0.5); n=filter([0 0 0 0 0 0.5],1,x); d=s+n; mu=0.01; Nw=31; w=zeros(1,Nw); y=zeros(1,N); e=y; for m=Nw+1:1:N-1 sum=0;

for i=1:1:Nw sum=sum+w(i)*x(m-i+1);

end

Señal yRuido

Ruido

ADC

ADCFiltro Adaptativo

Algoritmo LMS

+ DAC+

-

,- ,- ,-

,- ,-

,- ,-

,-,-

,-




120

y(m)=sum; e(m)=d(m)-y(m); for i=1:1:Nw w(i)=w(i)+2*mu*e(m)*x(m-i+1);

end

end subplot(2,1,1); plot(t,s);grid;title('Señal original'); subplot(2,1,2); plot(t,d);grid;title('Señal original + Ruido'); pause; subplot(2,1,1); plot(t,s);grid;title('Señal original'); subplot(2,1,2); plot(t,e);grid;title('Señal restaurada'); wavwrite(d,'arch_voz_ruid.wav'); wavwrite(e,'arch_voz_rest.wav');

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15 Señal original

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3 Señal original + Ruido

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2 Señal restaurada



PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES - TABLAS DE TRANSFORMADAS

121

Transformada Z




123

DTFT




125

apuntes de procesamiento digital de señales

Documents