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Fundamentos de Electrónica – Procesamiento de señales 5 -

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CAPÍTULO 5

PROCESAMIENTO DE SEÑALES

En los capítulos precedentes se han presentado dispositivos y elementos que permiten algunas formas de procesamiento de señales, tales como la rectificación, recorte, enclavamiento, amplificación e incluso generación. El proceso efectuado sobre las señales ha sido visualizado en el plano del tiempo (valores que asume la señal –ordenada- en función del tiempo -abcisa). El plano del tiempo resulta posible –y cómodo- de utilizar cuando se tiene pleno conocimiento de la señal original o de la entrada en tal dimensión (el tiempo). Para señales de información, en general complejas y no-periódicas, el trabajo en el plano del tiempo no resulta práctico, incluso imposible en la gran mayoría de las ocasiones. La presencia de elementos reactivos (capacidades e inductancias) de tipo parásito o intencional en los circuitos, resulta en procesamiento sobre las señales que es dependiente de la frecuencia de las mismas lo que nuevamente hace impráctico el trabajo en el plano del tiempo. Una forma viable de trabajo se encuentra a través de la representación de las señales, y de los de procesamiento, en el dominio o plano de la frecuencia. Para señales periódicas, conocidas en el dominio del tiempo, se logra su representación en el plano de la frecuencia a través de las Series de Fourier; para señales no periódicas, el concepto de conversión de uno a otro plano se extiende por la transformada de Fourier. El presente capítulo incluye una revisión de los conceptos de Series y Transformada de Fourier (supuestamente a modo de repaso), conceptos de respuesta a frecuencia de los sistemas de procesamiento, conceptos de procesos en el plano de la frecuencia y otros conducentes a lograr una visión global de los sistemas de modulación, tanto análoga como digital.

5 - Fundamentos de Electrónica – Procesamiento de señales

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5.1 SERIES DE FOURIER (S.F.) Una señal o función periódica ( )v t , con período fundamental 0T , puede ser expresada por medio de una sumatoria infinita de sinusoides de frecuencias armónicamente relacionadas; tal sumatoria, llamada Serie de Fourier, puede ser escrita en varias formas alternativas: 5.1.1 Forma ortogonal Una expresión posible

( ) 01 10 0

2 2cosn nn n

nt ntv t A A B senT Tπ π∞ ∞

= =

= + +

∑ ∑ (5.1)

( ) ( ) ( )0 0 01 1

cosn nn n

v t A A t B sen tω ω∞ ∞

= =

= + +∑ ∑ (5.2)

donde la constante 0A y los coeficientes y n nA B están dados por:

( )0

0

2

00

2

1T

T

A v t dtT

−

= ∫ (5.3)

( ) ( )0

0

2

00

2

2 cos

T

nT

A v t n t dtT

ω−

= ∫ (5.4)

( ) ( )0

0

2

00

2

2 sen

T

nT

B v t n t dtT

ω−

= ∫ (5.5)

5.1.2 Forma polar

( ) ( )0 01

cosn nn

v t C C n tω φ∞

=

= + −∑ (5.6)

donde 0 0C A= (5.7)

2 2n n nC A B= + (5.8)

( )arctann n nB Aφ = (5.9)


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El valor medio o componente continua es, naturalmente, el mismo que para la forma ortogonal. Cada componente o sinusoide armónica, que en la forma ortogonal se representa a través de un término coseno y un término seno, cada uno con su propia amplitud, recibe ahora una representación a través de un solo término, el que incluye la información de fase φ . Los coeficientes nC se denominan AMPLITUDES ESPECTRALES, esto es, iC es la amplitud de la COMPONENTE ESPECTRAL ( )0cosi iC i tω φ− . 5.1.3 Forma exponencial Esta forma resulta más adecuada para el análisis del procesamiento de señales en el plano de la frecuencia.

( ) 0jn tn

nv t V e ω

∞

=−∞

= ∑ (5.10)

donde

( )0

0

0

2

02

1T

jn tn

T

V v t eT

ω−

−

= ∫ (5.11)

Se demuestra (no acá) una propiedad muy útil:

nV y nV− son complejos conjugados entre sí, es decir, *

n nV V−= (5.12) éstos se relacionan con los coeficientes de las formas anteriores por: 0 0V C= (5.13)

2

njnn

CV e φ−= (5.14)


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5.1.4 Representación gráfica De acuerdo a las expresiones planteadas, las gráficas correspondientes –teniendo la frecuencia como eje de abcisa- son: a) Forma ortogonal: dos gráficos –uno para los términos coseno y otro para los términos

seno- consistentes en impulsos o líneas para valores enteros de n, esto es, en cada múltiplo entero de 0f (o de 0 02 fω π= ).

Figura 5.1: Representación gráfica forma ortogonal. b) Forma polar: un gráfico, el cual –si incluye la información de fase junto a cada línea-

permite la reconstrucción de la forma de onda en el plano del tiempo.

Figura 5.2: Representación gráfica forma polar.


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c) Forma exponencial: un gráfico doble, desde f = −∞ hasta f = +∞

Figura 5.3: Representación gráfica forma exponencial.

De acuerdo con (5.13), 0 0V C= , y según (5.12) junto con (5.14) se deduce que:

2

nn n

CV V−= = (5.15)

La última relación se aprecia entre los gráficos de la forma polar y de la forma exponencial: cada línea espectral de la gráfica polar se reemplaza por dos líneas de media amplitud en la gráfica exponencial, ubicadas simétricamente respecto de f=0. La forma exponencial origina un ESPECTRO BILATERAL, a diferencia de las otras dos formas, las que originan espectros unilaterales. Aprovechando que en el espectro bilateral cada semiplano es una imagen especular de su complemento, puede obviarse la doble representación, sólo con el propósito de simplificar el dibujo, recordando siempre que –aunque se dibuje sólo un semiplano (normalmente el de f positiva)- el otro semiplano existe y lo que ocurre en uno se replica especularmente en el otro.


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5.1.5 Ejemplos de Series de Fourier a. Secuencia de “impulsos”

Figura 5.4: Representación temporal de la secuencia de impulsos.

Secuencia periódica –desde t = −∞ hasta t = +∞ - de impulsos de “fuerza” I.

Vale la pena recordar que ( ) 0tδ = excepto en 0t = ; además, ( ) 1t dtδ∞

−∞

=∫ , constituyendo

la definición de la función impulso. La secuencia periódica (con período 0T ) es:

( ) ( )0k

v t I t kTδ∞

=−∞

= −∑ (5.16)

Aplicando las expresiones (5.1) a (5.14) se obtienen las constantes y coeficientes para las formas alternativas de Serie de Fourier de ( )v t :

( )0

0

2

00 0

2

T

T

I IA t dtT T

δ−

= =∫ (5.17)

( ) ( )0

0

2

00 0

2

2 2cos

T

nT

I IA t n t dtT T

δ ω−

= =∫ (5.18)

( ) ( )0

0

2

00

2

2 sen 0

T

nT

IB t n t dtT

δ ω−

= =∫ (5.19)


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0 0 0C A I T= = (5.20) 2 2

02n n nC A B I T= + = (5.21) ( )arctan 0n n nB Aφ = = (5.22)

0 0 0 0V C A I T= = = (5.23)

02 2

njn nn

C C IV eT

φ−= = = (5.24)

Finalmente resultando equivalentes las formas ortogonal y polar (dado que los 'nB s son nulos), se puede expresar:

( ) ( ) ( )0 010 0

2 cosk n

I Iv t I t kT n tT T

δ ω∞ ∞

=−∞ =

= − = +∑ ∑ (5.25)

( ) 0

0

jn t

n

Iv t eT

ω∞

=−∞

= ∑ (5.26)

Figura 5.5:

a) Gráfico de la S.F. forma ortogonal y polar b) Gráfico de la S.F. exponencial


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b. Secuencia de pulsos

Figura 5.6: Secuencia periódica (período de repetición 0T ) de duración finita τ y amplitud A.

Aplicando las ecuaciones (5.1) a (5.14) se obtiene:

( )0

2

02

0 0 00 0

1T

T

AA C V v t dtT T

τ

−

= = = =∫ (5.27)

( ) ( ) ( )02

02

00

0 0 0

sen2 22 cosT

Tn n n

n TAA C V v t n t dtT T n T

πττωπτ

−

= = = =∫ (5.28)

0 0n nB φ= =

Finalmente,

( ) ( )0

10 0 0

sen2n

n TA Av tT T n T

πττ τπτ

∞

=

= + ∑ (5.29)

(forma ortogonal)

( ) ( )00

10 0

sen jn t

n

n TAv t eT n T

ωπττπτ

∞

=

= ∑ (5.30)

(forma exponencial) La secuencia de pulsos del ejemplo b. puede representar a la secuencia de impulsos del ejemplo a. como su límite cuando 0τ → : haciendo el producto del “ancho del pulso” ( )τ por amplitud del pulso (A), constante e igual a I, se igualan las expresiones (5-25) y (5-26) con (5-30), puesto que en tal límite que se tiene:

( )0

00

lim 1sen n T

n Tτ

πτπτ→

=


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Figura 5.7: Función de muestreo

La figura muestra la graficación de Sa(x), conocida como “función de muestreo” o “función sampling”, correspondiente a:

( ) ( )sen xSa x

x=

A esta forma corresponde la “envolvente” de las componentes espectrales de la S.F. de la secuencia de pulsos: el término o expresión que representa la magnitud de las líneas espectrales, según (5-29) y (5-30) es

( ) ( ) ( )00

0

sen n TSa n T Sa x

n Tπτ

πτπτ

= ⇒

Para la graficación de la S.F. las magnitudes o amplitudes espectrales son positivas, esto es, según la curva de la fig. 5-7 una vez “rectificada”, como se muestra en la fig. 5-8.


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Figura 5.8: Representación espectral de la señal de muestreo.

La fig. 5-8 muestra la representación gráfica de la S.F., forma exponencial, de una secuencia de pulsos con periodicidad 0 01T f= , para el caso en que 0 1 4Tτ = , notándose que las magnitudes son nulas para todo n múltiplo de 4, esto es, cada vez que 0n Tπτ es múltiplo entero de π , puesto que ( ) 0sen nπ = .


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5.2 TRANSFORMADA DE FOURIER (T.F.) El concepto de la S.F. utilizado para lograr la representación en el plano de la frecuencia de una función periódica (en el tiempo), a través de una serie de componentes espectrales discretas, puede ser extendido para la representación de señales no-periódicas a través de la siguiente argumentación: una señal no-periódica puede ser interpretada como periódica pero con período de repetición tendiendo a infinito. Usando el mismo ejemplo b. anterior, con la extensión propuesta, la situación correspondiente a un pulso de ancho o duración τ centrado en t=0, otro pulso anterior en t=-∞ y otro pulso siguiente en t=+∞; el efecto sobre las expresiones se manifiesta en:

- Dado que 0T aparece en el denominador de los nA , , ,n nC V estas amplitudes –conservando su relación- se harán infinitesimales.

- La distancia espectral entre las componentes discretas de la S.F. se hace

infinitesimal, dado que 0 0 0T f→∞⇒ → ; la variable frecuencia de la S.F., discreta y con correspondencia uno a uno con los enteros, se vuelve continua; la serie (sumatoria) de componentes discretas se transforma en una señal continua.

Esta función continua se denomina TRANSFORMADA DE FOURIER. La transformada de Fourier puede representar tanto señales periódicas como no-periódicas; la Serie de Fourier, en cambio, permite la representación sólo de señales periódicas. La transformada de Fourier para señales de “un solo pulso”, función continua V(f), tiene la misma forma que la “envolvente” de las magnitudes discretas de la serie de Fourier para la señal periódica (de los mismos pulsos) Ls expresión (5-10) representa la S.F., forma exponencial, para una función periódica.

( ) 0jn tn

nv t V e ω

∞

=∞

= ∑ (5.31)

es ahora, para la señal no periódica

( ) ( ) 2j ftv t V f e dfπ∞

−∞

= ∫ (5.32)

Las amplitudes espectrales finitas nV de (5-10) son análogas a las amplitudes espectrales infinitesimales ( )V f df de (5.31).


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V(f) es la TRANSFORMADA DE FOURIER de v(t), llamada también DENSIDAD ESPECTRAL DE AMPLITUD de v(t). Así como los 'n sV de la S.F. se calculan según (5.11), la T.F., en correspondencia, está dada por:

( ) ( ) 2j ftV f v t e dtπ∞

−

−∞

= ∫

Notas útiles y destacables - Para señales de “un solo pulso”, La T.F. (función continua V(f)) tiene la misma forma

que la envolvente de magnitud de la S.F de una señal periódica del mismo pulso. - Para una señal periódica, la T.F. de tal función consiste en impulsos localizados en cada

frecuencia amónica de la señal. La magnitud de cada impulso es igual a la magnitud del coeficiente respectivo en la S.F. –forma exponencial.

Ejemplos de Transformada de Fourier


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Propiedades relevantes de la Transformada de Fourier a. Linealidad (superposición)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2

v t V f

a v t a v t a V f a V f

↔

+ ↔ +

b. Escalamiento

( ) 1 fv t Vαα α

↔

c. Retardo ( ) ( )0

0j tv t t e V fω−− ↔


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d. Traslación de frecuencia ( ) ( )0

0j te v t V f fω ↔ −

e. Modulación de amplitud

( ) ( ) ( ) ( )0 0 01 1cos2 2

v t t V f f V f fω ↔ + + −

f. Convolución en el tiempo

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2v v t d V f V fτ τ τ∞

−∞

− ↔∫

g. Diferenciación en el tiempo

( ) ( )2d v t j fV fdt

π↔

h. Integración en el tiempo

( ) ( )12

t

v d V fj f

τ τπ−∞

↔∫

5.3 RESPUESTA A FRECUENCIA DE LOS SISTEMAS LINEALES. Al plantear el tratamiento lineal de señales, mediante transistores (capítulo 3) o mediante sistemas integrados como el amplificador operacional (capítulo 4), se hizo abstracción de la frecuencia de la señal procesada. Todo sistema real presenta –además de resistores lineales y fuentes controladas incluidas en su modelo- elementos de tipo reactivo, principalmente capacitivos, tanto de tipo parásitos como intencionales. La presencia de elementos reactivos resulta en un comportamiento de los sistemas dependiente de la frecuencia de las señales, o en un procesamiento de éstas (magnitud y fase) que afecta en forma diferente a sus diferentes componentes espectrales. Para aclarar las ideas expuestas se puede utilizar un ejemplo básico (elemental) que muestra la diferencia entre dos sistemas, uno independiente de la frecuencia y otro dependiente de la misma, ambos muy simples:


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Fig 5.9: Sistema lineal independiente de la frecuencia

Fig 5.10: Sistema lineal dependiente de la frecuencia


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La figura 5.10 permite apreciar en forma gráfica la dependencia que muestra –respecto de la frecuencia- la “función de transferencia” del circuito RC elemental. A partir de la función de transferencia, expresada para la relación de amplitudes por:

02 2 2

11i

vv R Cω

=+

(5.33)

Dado que los sistemas reales son normalmente de mayor complejidad, mostrando un rango de variación en la relación de magnitudes y debido a que debe analizarse también (normalmente) el comportamiento en un amplio rango de frecuencias, la representación gráfica adopta dos convenciones: a. El eje de abcisas –frecuencia- se grafica en forma logarítmica, para incluir un rango

mayor de variación.

Una variación (incremento o decremento) de la frecuencia de 1 a 10 se denomina una DECADA. Una variación en razón de 1 a 2 es una OCTAVA, denominación derivada de la escala musical (La nota LA de la “octava central” es de frecuencia 440[Hz]; el LA de la octava superior es de frecuencia 880[Hz]).

b. Para la relación de amplitudes se utiliza la seudodimensión DECIBEL (o dB), en lugar del simple número adimensional.

La unidad dB se define para una relación de potencias como;

[ ]2

210log 10log a a

b b

V RPaG dBPb V R

= =

(5.34)

si a bR R=

[ ]2

210log 20loga a

b b

V VG dBV V

= =

(5.35)

Un gráfico generado con estas convenciones se denomina un gráfico de Bode de amplitudes (o un “Bode de Amplitudes”).


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La función de transferencia debe complementarse con la información de fase relativa entre 0v y iv , la cual es también dependiente de la frecuencia. Consecuentemente se genera un

segundo gráfico (“Bode de Fase”). En la gran mayoría de las aplicaciones analógicas, la información de fase es de menor relevancia que la de amplitudes, pudiendo ser normalmente obviada. Para un circuito simple como el de la figura 5.10, es fácil visualizar valores extremos de las ganancias a partir de la ecuación 5.33:

- Si 0ω = , [ ]0 1 0i

v dBv

= ⇒ .

- Si ω →∞ , [ ]( )0 1i

v dBv

→ ⇒ −∞

- Para todo 1RCω , 0 1i

vv

= .

- Para todo 1RCω , 0 1

i

vv RCω

= .

- Para 1RCω = , [ ]0 1 32i

v dBv

= ⇒ −

Se observa que la ganancia se mantiene (aprox) para 1 RCω , mientras que para

1 RCω muestra una disminución (o es inversamente) proporcional a la frecuencia. El punto significativo en que la ganancia disminuye a 1 2 veces de su máximo valor (correspondiente a 1 RCω = en este caso), se denomina FRECUENCIA DE CORTE ( cf ).

Figura 5.11: Diagrama de Bode


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Una forma muy expedita de tratar un Bode de amplitud es a través de asíntotas: - Una recta (horizontal) hasta la frecuencia de corte cf . - Una recta con pendiente -20 [dB/dec] a partir de la frecuencia de corte (-20[dB/dec] es

válido para un “polo” significativo en la función de respuesta o transferencia ). Sistemas complejos resultarán en expresiones complejas, no-simples de evaluar; si las frecuencias significativas (“polos”-denominador , y “ceros –numerador) de la expresión se encuentran suficientemente alejadas entre sí, sus efectos pueden ser analizados separadamente, y el resultado final obtenido por superposición de los efectos parciales. Con el propósito de ejemplificar lo planteado, considérese un circuito que muestra –en su respuesta o función de transferencia- la presencia de “dos polos” y un “cero”, todos separados entre sí en dos décadas.

Figura 5.12: Circuito de dos polos y un cero.

La función de transferencia, 0 iv v , se expresa por:

1 10

2 41 1 1

32 4

9 991 11 10 1 10

1 1101 1 10 1 10

j C j C

i j C j C j C

v R K Kv R K R K R

j RCj RC j RC j RC

ω ω

ω ω ω

ωω ω ω− −

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + +

= ⋅ ⋅ ⋅+ + +

(5.36)

Las frecuencias significativas (por inspección) se ubican en:

2

4

1 "cero"2 decadas

10 "polo"2 decadas

10 "polo"

a

b

c

RC

RC

RC

ω

ω

ω

= →

= →

= →


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Para 10 RCω = , entre aω y bω , [ ]30 10 60i

v dBv= = .

Figura 5.13: Diagrama de bode de circuito con dos polos y un cero.

La zona en que la ganancia se presenta (aprox.) constante se conoce como el “rango de frecuencias medias”. La diferencia entre los puntos de -3[dB] a ambos lados de la respuesta plana se denomina “Ancho de Banda”.

[ ]2

b aBW Hzω ωπ−

= (5.37)

La “frecuencia central” de la zona plana se define como la media geométrica entre los puntos de -3[dB].

0

0

b a

b a

f f f

ω ω ω

=

= (5.38)

Los circuitos amplificadores suelen presentar –idealmente- un ancho de banda suficientemente amplio para permitir igual amplificación de todas las componentes espectrales contenidas en la señal a procesar. Así, por ejemplo: - Un amplificador de voz (calidad telefónica) debe tener un BW que se extienda por lo

menos desde 300[Hz] a 3400[Hz]. - Un amplificador para un receptor de AM debe presentar una respuesta plana por lo

menos entre 50[Hz] y 7000[Hz]. - Un amplificador para recepción de FM debe extender su respuesta plana entre 30[Hz] y

15[KHz].


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- Un amplificador para “alta fidelidad” (e.g. CD, DAT) requiere respuesta plana entre 20[Hz] y 20[KHz].

- Un amplificador de video (con resolución “buena”) requiere respuesta plana desde C.C. hasta ~4[MHz].

- Un amplificador para señales electrocardiográficas debe tener respuesta entre 0.2[Hz] y 500[Hz] (app.)

Un ancho de banda insuficiente degrada la calidad de la señal procesada (e.g. pérdida de agudos o de bajos en señales de audio; pérdida de definición o resolución en señales de video). También un ancho de banda significativamente mayor que el necesario puede resultar –en muchos casos- en deterioro de la señal (e.g. interferencias). Cuando se requiere que el procesamiento de la señal sea especialmente selectivo respecto de la frecuencia, los circuitos que realizan la función de separar bandas específicas (parciales) de la señal reciben el nombre de FILTROS. Para los filtros, además de las definiciones anteriores de ancho de banda y frecuencia central, resulta particularmente útil la relación entre ambas, llamada FACTOR DE CALIDAD.

0 0

b a

f fQBW f f

= =−

(5.39)

Este parámetro encuentra límites prácticos en la realización de los filtros, dependiendo de la tecnología empleada: - Filtros pasivos - Filtros activos - Filtros mecánicos - Filtros de cristal (de cuarzo) - Filtros de onda acústica superficial (SAW) Otra clasificación de los filtros se refiere a la forma de su respuesta (según su Bode): - Pasabajos - Pasaaltos - Pasabanda - Eliminabajos - Eliminaaltos - Eliminabanda


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Figura 5.14: Forma de respuesta de filtros

La pendiente que presenta la respuesta de los filtros reales en las zonas de atenuación depende fundamentalmente de su orden o número de polos en la función. Un orden elevado representa un grado de complejidad también elevado en la configuración del filtro, resultando en límites prácticos para las pendientes.


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5.4 PROCESOS DE MODULACIÓN Cada vez que es necesario establecer un proceso o sistema de comunicación, esto es, la transmisión de una señal de información entre dos extremos (transmisor y receptor), dicha necesidad debe competir con múltiples otras por los escasos medios disponibles, sean éstos de tipo físico (alámbricos; por fibra óptica) o no-físico (espectro electromagnético). Existen diversas técnicas que pueden ser utilizadas para “multiplicar” la disponibilidad de los medios, conocidas como formas de MULTIPLEX. - Multiplex en espacio.

Consiste en ubicar los sistemas transmisor-receptor físicamente separados de otros pares similares, de modo que no se interfieran entre sí y puedan desarrollar su función independientemente. Un ejemplo de esta técnica lo constituye el sistema telefónico (combinado con otras técnicas): cada usuario que es a su vez transmisor y receptor, dispone de un par alámbrico exclusivo hasta la central pública de su sector.

- Multiplex en el tiempo Consiste en asignar periodos o intervalos para cada proceso o señal de comunicación; en los intervalos en que una señal no es transmitida, podrá destinarse el medio (físico o no) a otros procesos de comunicación. Este método de “hablar por turnos” puede parecer, al primer análisis, incómodo y poco eficiente; sin embargo, como se demuestra en el Teorema del Muestreo (o Teo. de Nyquist), con una periodicidad de asignación de intervalos o “turnos” suficientemente alta, el proceso puede ser imperceptible (“transparente”) para los usuarios, percibiéndolo como uno continuo, sin interrupciones.

- Multiplex en frecuencia Esta técnica, de uso imperativo en transmisión “inalámbrica” (por medios no-físicos), consiste en trasladar la señal de información (caracterizada por su T.F.) a otra posición dentro del espectro electromagnético; para su recuperación –en el extremo receptor- la señal debe ser retornada a su posición espectral original. Con este método se logran dos objetivos:

a. Trasladar el rango de frecuencias original a valores suficientemente altos de modo que las antenas necesarias sean físicamente realizables; de la teoría de campos electromagnéticos se deriva que, para un sistema de radiación eficiente, los elementos de antena deben tener dimensiones comparables a las longitudes de onda involucradas.


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b. Eligiendo diferentes posiciones dentro del espectro hasta las cuales trasladar diferentes señales de información, éste podrá permitir su utilización simultánea por un gran número de procesos. Este es el caso de los sistemas de difusión (radio AM, radio FM, TV, ...), donde cada información (emisora o canal) ocupa una ubicación definida dentro de una zona (banda) del espectro. En el caso de las emisoras de radio, la ubicación en el espectro es anunciada como parte de su característica distintiva: por ejemplo, las emisoras de la UTFSM en la V región son, en AM CB-145, correspondiendo a una portadora de 1450[MHz] (esto es, la información original comprendida entre 50[Hz] y 7[KHz], ha sido trasladada hasta la frecuencia de portadora indicada); en FM XBQ-37, 99.7[MHz], portadora a la que ha sido trasladada –y modulada en frecuencia- la información originalmente ubicada entre 30[Hz] y 15[KHz]. NOTA: Actualmente la concesión de FM opera en 101.1 [MHz].

5.4.1 Traslación en frecuencia Un método simple –tanto teórica como prácticamente- para trasladar espectralmente una señal, consiste en su multiplicación por una sinusoidal auxiliar, denominada “potadora”: ( ) ( )cosm mv t tω= : señal de información

( ) ( )cosc cv t tω= : señal portadora ( c mω ω ) el producto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

cos cos1 1cos cos2 2

c m c m

c m c m

v t v t v t t t

t t

ω ω

ω ω ω ω

= =

= + + − (5.40)

Siendo señales periódicas, es posible su representación tanto por su S.F. como por T.F.


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Figura 5.15: Traslación en frecuencia

Siendo la multiplicación un proceso lineal, es válido aplicar superposición, lo que extiende la validez del planteamiento para el caso general en que ( )mv t no es un tono sinusoidal puro sino una información compleja representada por su T.F.: cada componente espectral (infinitas) de la T.F. sufre igual proceso de traslación espectral. La situación se grafica en la misma figura 5.15 mediante líneas segmentadas. Producto de esta traslación la información es transmitida empleando antenas de dimensiones razonables (~ cλ ) y compartiendo el uso del espectro –recurso escaso- con otras transmisiones que emplean diferentes frecuencias portadoras. Para que la información sea útil al destinatario, ésta debe ser retornada a su posición espectral una vez que haya sido seleccionada de entre todas las presentes en la banda. La selección de la señal de interés entre sus vecinas en el espectro puede ser realizada mediante filtros de tipo pasabanda; como todo filtro real presenta pendiente de atenuación infinita, es necesario que exista una holgura espectral (separación) entre emisoras adyacentes.


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La figura 5.16 grafica las ideas anteriores:

Figura 5.16: Semiplano positivo del espectro compartido

Una vez aislada la emisora de interés, el retorno a la posición espectral original se puede efectuar también en forma (teóricamente) simple: una nueva multiplicación por la sinusoidal “portadora”. La señal seleccionada por e filtro es ( )v t : ( ) ( ) ( )cos cosc mv t t tω ω=

la nueva multiplicación produce:

( ) ( ) ( )( ) ( )cos cos cosr c m cv t t t tω ω ω=

( ) ( ) ( )

( ){ } ( )

( ) ( ) ( ){ }

2cos cos1 1 cos 2 cos21 cos cos 2 cos2

r c m

c m

m c m

v t t t

t t

t t t

ω ω

ω ω

ω ω ω

=

= +

= +

(5.41)

la representación en T.F. de ( )rv t es:


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Figura 5.17: Recuperación de una información

En la expresión (5.41) los términos corresponden a:

( ) ( ) ( ) ( )1 1cos cos 2 cos2 2r m c mv t t t tω ω ω= +

Señal original (en su posición

espectral original), atenuada al 50%.

Señal de inf. Multiplicada por sinusoidal de frec. 2fc: trasladada espectralmente hasta 2fc.

La figura 5.17 muestra también –mediante líneas segmentadas- el caso de una información compleja por su T.F. Se aprecia, de la misma figura, que un filtro pasabajos simple permite rescatar la información original, eliminando las componentes de “alta frecuencia”, es decir, aquellas que se ubican en torno a 2 cf . El sistema descrito constituye la base de las diversas formas de modulación de “onda continua” en amplitud, lo que incluye AM, SSB, DSB-SC.


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5.4.2 Teorema del Muestreo El Teorema del Muestreo, o Teo. de Nyquist, que constituye la base teórica del Multiplex en el Tiempo y de los procesos de digitalización de señales, puede ser explicado como una extensión del procesamiento de traslación en frecuencia descrito en 5.4.1. La señal auxiliar o portadora (que era una sinusoidal) se reemplaza por un tren o secuencia de impulsos, como la señal descrita en el punto 5.1.5.a. Dado que esta señal es su representación en S.F. (o en T.F., que es igual por ser periódica) está compuesta por una serie infinita de tonos sinusoidales de frecuencias 0, 0f , 0 0 02 , 3 , ... , , ... f f nf y que el proceso de multiplicación es lineal, al multiplicar una señal de información por dicho tren de impulsos, la señal original resultará trasladada espectralmente hasta cada una de las componentes espectrales de la T.F. del tren de impulsos, todas de igual magnitud. La figura 5.18 muestra los espectros (T.F.) correspondientes:

Figura 5.18: Muestreo Se aprecia que un filtro pasabajos podrá rescatar la información original, descartando los demás componentes espectrales de V(f), si existe una separación u holgura espectral; un filtro ideal (rectangular) podría realizar la función si no hay traslapo, esto es, si ( )0 m mf f f+ − ; para filtros reales (con pendiente finita) se requerirá que ( )0 m mf f f+ − > , lo que se expresa: 0 2 mf f>


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“una señal de información con contenido espectral limitado hasta mf puede ser recuperada a partir de muestras de ella, siempre que estas muestras no estén distanciadas en un intervalo mayor que ( )0 0 0 1T T f= ”. La figura 5.19 muestra el proceso en el plano del tiempo.

Figura 5.19: Muestreo en el tiempo. Las muestras resultantes utilizan sólo intervalos (muy pequeños), pudiendo destinarse el resto del tiempo, en el cual el medio de transmisión estaría “ocioso”, al transporte de otras señales de información, también mediante muestras de ellas adquiridas con los correspondientes requisitos de periodicidad. Además, esta aplicación de “multiplex temporal”, posible gracias al Teorema de Nyquist, otra especialmente interesante es la de almacenamiento (adquisición) digital; una señal variable continuamente en el tiempo, como ( )mv t , requiere –para su almacenamiento o grabación- de un medio de funcionamiento también continuo (e.g. cinta magnética). Gracias a que la señal original es reconstituible, o recuperable, desde sus muestras –eventos discretos- bastará con almacenar sólo dichas muestras , en un número finito para un período de observación también finito. Las muestras pueden ser almacenadas (o transmitidas) como tales: cualquier valor dentro de un rango continuo de variación, lo que es todavía una forma analógica, o como números aproximados (palabras digitales) expresados en base binaria –conjunto finito de valores posibles. La forma digital, que no describe el valor exacto de la muestra, sino la mejor aproximación posible con el conjunto finito de valores, introduce un “error de cuantización” (de


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aproximación, el que puede ser mantenido en niveles aceptables si el conjunto de valores es suficientemente amplio (lo que se logra con mayor número de bits en cada palabra digital).

procesamiento de seÑalesild208/apuntes/cap5.pdf · algunas formas de procesamiento de señales,...

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