procesamiento analogico de señales i
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
PROGRAMA DE ELECTRÓNICA
900001 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
ING. M.S.C. MARCOS GONZÁLEZ PIMENTEL (Director Modulo)
Diego Fernando Sendoya Acreditador
BOGOTÁ D.C. Enero de 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO
El presente módulo fue diseñado en el año 2008 por la Ingeniera Martha
Indira Cassaleth Garrido, Ingeniera electrónica, docente de la UNAD, CEAD de
Bucaramanga.
Este año, el ingeniero Marcos González Pimentel, tutor de la UNAD, estará
a cargo de la dirección y actualizaciones del módulo. El Ingeniero Marcos es,
Ingeniero Electrónico, Magíster en Ingeniería –Automatización Industrial de la
Universidad Nacional de Colombia. Docente desde 2001 e Investigador principal
en proyecto de innovación tecnológico, COLCIENCIAS.
El Ingeniero Diego Fernando Sendoya, Ingeniero Electrónico, Especialista
en Automatización Industrial y Magíster en Ingeniería de Control Industrial, apoya
el proceso de revisión del módulo para la acreditación de material didáctico
desarrollado en el 2010.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
INTRODUCCIÓN
Tanto en la Ingeniería Electrónica como en las áreas afines, tiene cada vez mayor
importancia el procesamiento de señales ya que esta presente en casi todas las
aplicaciones que manejamos a diario, desde los celulares, la transmisión de
señales equipos médicos y juegos, entre otros. En este modulo se vera la parte
fundamental del procesamiento de señales.
Al finalizar el curso, los estudiantes manejaran los conceptos básicos y
herramientas matemáticas fundamentales para el análisis y síntesis del
procesamiento de señales Analógicas, al igual que tendrán un mayor
entendimiento del lenguaje usado en este tema.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
ÍNDICE DE CONTENIDO
UNIDAD 1. SEÑALES Y SISTEMAS
CAPÍTULO 1. TÉRMINOS BÁSICOS.
Lección 1. Definición de señales y sistemas.
Lección 2. Clasificación de señales.
Lección 3. Funciones fundamentales.
Lección 4. Relación entre las funciones singulares.
Lección 5. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES.
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS.
Lección 6. Sistemas Lineales (SL).
Lección 8. Sistemas Invariantes en el Tiempo (SIT)
Lección 9. Sistemas Serie.
Lección 10. Sistemas Paralelo.
CAPÍTULO 3. SISTEMAS LINEALES
Lección 11. Función Delta de Dirac.
Lección 12. Propiedad de Desplazamiento
Lección 13. Propiedades de Impulso Unitario
Lección 15. Función de transferencia
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
UNIDAD 2. PROCESAMIENTO DE LAS SEÑALES.
CAPÍTULO 4. MUESTREO.
Lección 16. MUESTREO DE SEÑALES.
Lección 18. Conceptos básicos de Series de Fourier
Lección 19. Señales Analógicas periódicas.
Lección 20. Aliasing.
CAPÍTULO 5. CUANTIFICACIÓN.
Lección 21. Cuantificación uniforme.
Lección 22. Cuantificación logarítmica.
Lección 23. Cuantificación no uniforme.
Lección 24. Cuantificación vectorial.
Lección 25. Ruido de cuantificación.
CAPÍTULO 6. Análisis de Fourier .
Lección 26. Serie de Fourier en tiempo continuo.
Lección 27. REPRESENTACIÓN DE UNA SEÑAL CONTINUA.
Lección 28. CONVOLUCIÓN Y SUS PROPIEDADES
Lección 29. Convolución Discreta.
Lección 30. Calculo de la Convolución Discreta.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
LISTADO DE ECUACIONES.
Ecuación 1, Función Impulso. ............................................................................... 23
Ecuación 2, Función Impulso desplazada. ............................................................ 24
Ecuación 3, Propiedades de la función Impulso. ............................................. 24
Ecuación 4, Función Escalón Unitario. .................................................................. 25
Ecuación 5, Función Rampa. ................................................................................ 26
Ecuación 6, Relación entre las funciones Impulso Escalón. ................................. 26
Ecuación 7, Relación entre las funciones Escalón Rampa. .................................. 27
Ecuación 8, Función Exponencial Compleja. ........................................................ 27
Ecuación 9, Señal Exponencial Discreta. ............................................................. 34
Ecuación 10, Señal Exponencial, Forma de Euler. .............................................. 37
Ecuación 11, Señal Periódica. ........................................................................... 40
Ecuación 12, Periodo-Frecuencia. ........................................................................ 40
Ecuación 13, Frecuencia Angular. ......................................................................... 40
Ecuación 14, Funcion Par e Impar. ....................................................................... 41
Ecuación 15, Función Impulso. ............................................................................. 55
Ecuación 16, Serie de Fourier. .............................................................................. 63
Ecuación 17, Fase. .............................................................................................. 65
Ecuación 18, Ley A de Cuantificación. .................................................................. 72
Ecuación 19, Ley -µ de Cuantificación. ................................................................. 73
Ecuación 20, Error de Cuantificación. ................................................................... 78
Ecuación 21, Rango del error de cuantificación. ................................................... 79
Ecuación 22, Transformada Discreta de Fouier. ................................................... 84
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ecuación 23, Representación en Armónicos. ........................................................ 86
Ecuación 24, Representación en Sumatorias........................................................ 87
Ecuación 25, Coeficientes de Fourier. ................................................................... 87
Ecuación 26, Convolución. .................................................................................... 87
Ecuación 27, Convolución Función Delta. ............................................................. 88
Ecuación 28, Propiedades de Convolución. .......................................................... 88
Ecuación 29, Convolución Discreta. .................................................................... 102
Ecuación 30, Convolución Discreta, Función Impulso. ........................................ 102
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
LISTADO DE ILUSTRACIONES.
Ilustración 1. Modulación de señales, Toolbox de MatLab. ................................... 14
Ilustración 2.Procesamiento de imagen. ToolBox MatLab. ................................... 15
Ilustración 3. Procesamiento de señales de voz, ToolBox de MatLab. ................. 15
Ilustración 4. Estadísticas del volumen de un tanque de aromáticos ToolBox de MatLab. ........................................................................................................... 16
Ilustración 5. Señales ............................................................................................ 16
Ilustración 6.Esquema de un sistema simple. ....................................................... 17
Ilustración 7.Esquema de un sistema Transmisor-receptor. ........................... 17
Ilustración 8. Función Discreta en el Tiempo......................................................... 18
Ilustración 9. Señal Discreta en Amplitud .............................................................. 19
Ilustración 10. Señal Discreta ................................................................................ 20
Ilustración 11. Señalen tiempo continuo ................................................................ 21
Ilustración 12. Señal en tiempo discreto ................................................................ 22
Ilustración 13, Función Impulso. ............................................................................ 24
Ilustración 14, Función Escalón Unitario. .............................................................. 25
Ilustración 15, Función Rampa ............................................................................. 26
Ilustración 16, Señal Exponencial Creciente. ........................................................ 28
Ilustración 17, Señal Exponencial Decreciente. .................................................... 29
Ilustración 18, Señal Exponencial Decreciente, A negativo, a Positivo. ............... 29
Ilustración 19, Señal exponencial creciente, con valores A y a negativos. ............ 30
Ilustración 20, Señal Exponencial, componente Real. ......................................... 31
Ilustración 21, Señal Exponencial, componente Imaginaria. ................................ 31
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ilustración 22, Señal Exponencial Compleja, parte real. ....................................... 32
Ilustración 23, Señal Exponencial Compleja, Parte Imaginaria. ........................... 33
Ilustración 24, Señal Exponencial Compleja, Parte Real. ..................................... 33
Ilustración 25, Señal Exponencial Compleja, Parte Imaginaria. ............................ 34
Ilustración 26, Función Exponencial Discreta -Creciente. ..................................... 35
Ilustración 27, Función Exponencial Discreta - Decreciente. ................................ 35
Ilustración 28, Señal exponencial valores A (negativo) , a(positivo). ..................... 36
Ilustración 29, Señal exponencial valores A(negativo) , a(negativo). .................... 36
Ilustración 30, Señal exponenciales discretas ...................................................... 38
Ilustración 31, Señales Exponenciales discretas. .................................................. 39
Ilustración 32, a) Escalamiento en el tiempo, Señal original x(t). .......................... 42
Ilustración 33, b) Escalamiento en el tiempo, Señal Transformada 3*x(t). ............ 43
Ilustración 34, c) Escalamiento en el tiempo, Señal Transformada -3*x(t). ........... 43
Ilustración 35, d) Escalamiento en el tiempo, Señal Transformada -(1/3)*x(t)....... 44
Ilustración 36, Grafica de desplazamiento en el tiempo. ....................................... 45
Ilustración 37, Función y(t). ................................................................................... 46
Ilustración 38, Función y(1/2 t). ............................................................................. 46
Ilustración 39, Función y(2*t). ................................................................................ 47
Ilustración 40, Grafica de escalamiento en sistemas lineales ........................ 48
Ilustración 41, Figura 20. Principio de superposición ..................................... 49
Ilustración 42, Escalamiento en amplitud en el principio de superposición. 49
Ilustración 43, Sistema Invariante en el tiempo. ............................................... 50
Ilustración 44,. Sistemas LTI ............................................................................... 51
Ilustración 45,. Sistema LTI en Cascada ........................................................... 52
Ilustración 46, Sistema LTI en paralelo. ............................................................ 52
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ilustración 47, Función delta de Dirac ............................................................... 53
Ilustración 48, Función delta de Dirac. representación. .................................. 54
Ilustración 49, Impulso de Tiempo-Discreto ..................................................... 56
Ilustración 50, Representación física de un sistema de muestreo ......................... 61
Ilustración 51, Muestreo de señales. ..................................................................... 61
Ilustración 52, Teorema de Nyquist-Shannon. ...................................................... 62
Ilustración 53, Señales en el dominio del tiempo y sus correspondientes espectros. ........................................................................................................................ 65
Ilustración 54, Señales señoidales a diferentes frecuencias con sus espectros. .. 66
Ilustración 55, Aliasing. ......................................................................................... 68
Ilustración 56, Imágenes con y sin aliasing. .......................................................... 69
Ilustración 57, Grafica de cuantificación de señales. ............................................. 70
Ilustración 58, Cuantificación uniforme. ................................................................. 71
Ilustración 59, Grafica de cuantificación logarítmica. ............................................ 73
Ilustración 60, Cuantificación no uniforme. ............................................................ 74
Ilustración 61, Cuantificación vectorial. ................................................................. 75
Ilustración 62, Procesos de la conversión A/D. ..................................................... 76
Ilustración 63, Proceso de cuantificación. ............................................................. 77
Ilustración 64, Modelo matemático del ruido de cuantificación.............................. 78
Ilustración 65, Cuantificación de una sinusoide. .................................................... 80
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
UNIDAD 1. SEÑALES Y SISTEMAS
Tabla guía:
Nombre de la Unidad SEÑALES Y SISTEMAS Introducción Cada vez tiene mayor importancia el tratamiento de la
señal a nivel de ingenierías, dado a que el mundo está sumergido en señales. Los seres vivos producen y procesan señales desde el proceso de producción e interpretación del habla y, en general, de muchos sonidos, hasta la captura y proceso de las señales luminosas con nuestro sentido de la vista y nuestro sistema nervioso.
Por otra parte, en la era moderna, el hombre se ha dedicado, con intensidad exponencial, a construir nuevas señales, procesándolas, almacenándolas o transmitiéndolas, buscando, por ejemplo, mecanismos para la detección de fenómenos a distancia.
Este curso tiene como objetivo que los estudiantes manejen los conceptos básicos y herramientas matemáticas fundamentales para el análisis y síntesis de sistemas lineales, con enfoque especial de sistemas de comunicación. El curso está basado en dos unidades fundamentales en donde se tratan los temas fundamentales para el tratamiento de señales, los cuales serán fundamentales para el análisis de señales en tiempo discreto; las definiciones, clasificaciones y formas de representación de las señales en función de sus variables. Los estudiantes de este curso realizan ejercicios relacionados fuera de clase, así como trabajos prácticos; algunos de sus trabajos serán realizados por la herramienta computacional MATLAB.
Justificación Este curso tiene como objetivo que los estudiantes manejen los conceptos básicos y herramientas matemáticas fundamentales para el análisis y síntesis de sistemas lineales, con enfoque especial de sistemas de comunicación. El curso está basado en dos unidades fundamentales en donde se tratan los temas fundamentales para el tratamiento de señales, los cuales serán fundamentales para el análisis de señales en tiempo discreto; las definiciones, clasificaciones y formas de representación de las señales en función de sus
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
variables. Los estudiantes de este curso realizan ejercicios relacionados fuera de clase, así como trabajos prácticos; algunos de sus trabajos serán realizados por la herramienta computacional MATLAB.
Intencionalidades Formativas
Aportar al estudiante la teoría necesaria para la comprensión de los sistemas lineales y las señales. Ayudar a la comprensión y aplicación de las herramientas matemáticas desarrolladas para el tratamiento de señales y manipulación de los sistemas lineales.
Denominación de capítulos
1. Términos básicos. 2. Propiedades de los sistemas 3. Sistemas Lineales
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
CAPÍTULO 1. TÉRMINOS BÁSICOS.
Lección 1. Definición de señales y sistemas.
Una señal se define como una cantidad física que varia con el tiempo, el espacio o
cualquier otra variable o variables independientes; las cuales se pretenden utilizar
para transmitir información. Por ejemplo, la voz humana, un electrocardiograma,
un electroencefalograma, etc.. Por ejemplo: A continuación se observa algunos
ejemplos de procesamiento de señales aplicados a la las comunicaciones,
procesamiento digital de imágenes, procesamiento de señales de voz, etc, a
través del software MatLab.
Ilustración 1. Modulación de señales, Toolbox de MatLab.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ilustración 2.Procesamiento de imagen. ToolBox MatLab.
Ilustración 3. Procesamiento de señales de voz, ToolBox de MatLab.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ilustración 4. Estadísticas del volumen de un tanque de aromáticos ToolBox de MatLab.
Otro ejemplo, las funciones
pzpzpzxcttxb
ttxa
543),(.25)(.3)(.
−+==
=
Ilustración 5. Señales
En el inciso a y en el b. La señal varia con la variable independiente t (Tiempo),
en la c se observa una señal que depende de dos variables independientes z y p.
Las señales se procesan por medio de sistemas. Cuando una o más señales de
excitación se aplican a las entradas del sistema, este produce una o más señales
de respuesta en sus salidas. A continuación se describe el diagrama de bloques
de un sistema simple, en donde se relaciona la excitación a la entrada del sistema
y la respuesta como la salida del mismo.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ilustración 6.Esquema de un sistema simple.
Un ejemplo del sistema descrito anteriormente es el sistema de comunicaciones,
el transmisor es un dispositivo que produce una señal y el receptor es un
dispositivo que adquiere una señal, el canal es la trayectoria que la señal o el ruido
toman desde el transmisor o fuente de ruido hasta el receptor.
Ilustración 7.Esquema de un sistema Transmisor-receptor.
Lección 2. Clasificación de señales.
La primera clasificación que se realizara son las señales en tiempo continuo y en
tiempo discreto. Una señal x(t) es una señal continua o analógica, en el intervalo
t0, t1, sí está definida para todo el tiempo t en un intervalo t0, t1.
1) Señal discreta en el tiempo.
Sí la amplitud esta definida para diferentes instantes discretos de tiempo tn y toma
un valor único en ese tiempo tn. Ejemplo: los valores de cierre del dólar, son
únicos para cada día, pueden tomar cualquier valor en cada día. Estas señales se
pueden expresar como una función de la forma: x[n], donde n es un valor discreto,
x es una función continua de la variable n.
Ejemplo de señal discreta en el tiempo:
Entrada SISTEMA Salida
Excitación Respuesta
Transmisor
Señal de Información
Señal de información con ruido
Canal Receptor
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
X(n) = [1.1, 2, 2.5, pi, 2*pi, 2.8, 2.33, 3.3333,
4.66, 2/3]
Esto es: X(1) = 1.1
X(2) = 2
X(3) = 2.5
X(4) = pi
.
.
.
X(10) = 2/3
Note que los valores de n son discretos, pero X toma cualquier valor.
Ilustración 8. Función Discreta en el Tiempo
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
2) Señal discreta en amplitud.
Cuando la función solo puede tomar valores discretos de amplitud x. Ejemplo: la
cantidad de autos que circulan por la autopista, estos valores de x solo pueden ser
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….., son valores siempre enteros y por tanto discretos,
pero pueden variar en cualquier instante de tiempo.
Este ejemplo es de una función continua en el tiempo pero discreta en amplitud.
Estas señales se pueden expresar como una función de la forma: x[t], donde t es
un valor continuo y x es una función de valores discretos de la variable t.
Ilustración 9. Señal Discreta en Amplitud
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
3) Señal discreta.
Sí es discreta en tiempo y en amplitud, esto es: la señal toma valores discretos en
amplitud, pueden ser o no enteros, y valores discretos en tiempo. Por lo generillos
valores de tiempo están uniformemente espaciados un periodo Ts, llamado
periodo de muestreo.
Estas señales se expresan como una función de la forma: x[n], donde t es un
valor discreto y x es una función de valores discretos de la variable n.
Ejemplo de señal discreta:
X(n) = [1.5, 2, 2.5, 3, 6.5, 3, 2, 3.5, 4.5, 0.5].
La Señal es Discreta, los valores de la amplitud están definidos para 1,2,3,4,5,,,,10
(Ts = 1) y son discretos. Estos son enteros o decimales con 0.5. La discreción es
de 0,5.
Ilustración 10. Señal Discreta
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ejemplo: el marcador de los partidos de fútbol, estos valores de x solo pueden ser
x = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….., son valores siempre enteros y por tanto discretos,
varían solo en fechas discretas o instante de tiempo discretos. Este ejemplo es de
una función discreta en el tiempo y discreta en amplitud.
Una señal discreta se puede obtener al muestrear una señal continua.
A continuación se describe un ejemplo de señal continua.
0 2 4 6 8 10 12-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Señaloidal en tiempo continuo
t, tiempo
y(t)
Ilustración 11. Señalen tiempo continuo
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
0 20 40 60 80 100 120 140-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Señaloidal en tiempo discreto
t, tiempo
y(t)
Ilustración 12. Señal en tiempo discreto
Estos dos tipos de señales son muy importantes dentro del procesamiento de la
información; en estos momentos nos centraremos en las funciones de señales de
tiempo continuo.
Lección 3. Funciones fundamentales.
Estas funciones tienen la característica de ser el pilar fundamental para el
procesamiento de señales y el reconocimiento de sistemas, ya que sus conceptos
están inmersos dentro de los teoremas fundamentales del procesamiento de
señales.
1) Funciones complejas y senoides.
Las funciones matemáticas se usan para describir señales, por ejemplo señales
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
senoidales en tiempo continuo están descritas por:
)2cos()(0TtAtG π
=
El periodo fundamental To y la frecuencia cíclica fundamental fo son inversos
recíprocos simples uno del otro.
Funciones de Singularidad.
Las funciones de singularidad son un grupo de funciones que están relacionadas
con la función impulso. Aparte de la función impulso están la función escalón y la
función rampa.
2) Función Impulso
La función impulso es más un concepto matemático que una función, que se
define de la siguiente manera:
≠=
=0,00,
)(ttInfinito
tδ
1)(0
0
=∫+
−
dttδ
Ecuación 1, Función Impulso.
La función es cero para cualquier valor de t, excepto cero. Cuando la t es cero el
valor de la función es infinito. Por definición el área de esta función es igual a uno.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ilustración 13, Función Impulso.
La función impulso posee algunas propiedades que pueden resultar útiles.
ττδ ≠=− tt ,0)(
Ecuación 2, Función Impulso desplazada.
También es importante para posteriores desarrollos la propiedad de
desplazamiento o corrimiento.
)()()()()()()(
)()(
ττδτττδτδ
τδ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
fdttfdtftdttft
fdttft
=−=−=−
=−
∫∫∫
∫+
−
+
−
+
−
∞
∞−
Ecuación 3, Propiedades de la función Impulso.
3) Función Escalón Unitario
La función escalón unitario se define como la integral de la función impulso desde
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
el infinito negativo hasta el tiempo. la integral de la función impulso es 0 si el
tiempo t es menor que 0, y 1 si el tiempo t es mayor que se define exactamente el
escalón unitario.
><
=0,10,0
)(tParatPara
tu
Ecuación 4, Función Escalón Unitario.
El tipo de escalón unitario corresponde a una salida. El valor de la función en t =
0, es indefinido. Otros textos lo pueden definir como 1 ó 0. El escalón unitario está
asociado a la gráfica que se describe a continuación.
Ilustración 14, Función Escalón Unitario.
4) Función Rampa
La función rampa es la integral de la función escalón. Si se considera que se está
sumando toda el área bajo la función escalón a hasta un tiempo t.
Si t < 0 (cero), el valor de la integral será 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero),
entonces el valor será igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo t,
la cual también tiene el valor t, es decir:
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
><
=0,0,0
)(tParattPara
tramp
Ecuación 5, Función Rampa.
Ilustración 15, Función Rampa
Lección 4. Relación entre las funciones singulares.
1) Relación entre las funciones Impulso Escalón.
Tal como se puede fácilmente demostrar, la función escalón y la función impulso
están relacionados de la siguiente manera:
)()(
)()(
tudtdt
y
tdtu
=
∫∞−
=
δ
ττδ
Ecuación 6, Relación entre las funciones Impulso Escalón.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
2) Relación entre las Funciones Escalón Rampa.
Igualmente se demuestra que:
)()(
)()(
trampdtdtu
y
tdutramp
=
∫∞−
= ττ
Ecuación 7, Relación entre las funciones Escalón Rampa.
Funciones exponencial
Dada la importancia de las funciones exponenciales en el tratamiento de señales.
Dividiremos su estudio en exponenciales continuas y exponenciales discretas. Y
realizaremos ejercicios para observar los diferentes casos que encontramos
dentro del estudio de las mismas.
Las señales exponenciales compleja están definidas de la siguiente forma.
tjbaAetx )()( +=
Ecuación 8, Función Exponencial Compleja.
.
Donde A es la amplitud de la señal exponencial, a componente real y b
componente imaginario. Existen diferentes señales según los valores de a y b,
diferenciándose básicamente tres casos:
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Señales Exponenciales Reales
Para ellas se tiene en cuenta que A Real y positiva, a ≠ 0, b = 0. x(t) = Aeat.
Si a es positiva y A es positiva, entonces x(t) es una exponencial creciente.
Si a es positiva y A es negativa, entonces x(t) es una exponencial decreciente.
Si a es negativa y A es positiva, entonces x(t) es una exponencial decreciente.
Si a es negativa y A es negativa, entonces x(t) es una exponencial creciente.
Observemos el comportamiento de la exponencial para los siguientes ejemplos:
Ejemplo: A = 3, a = 0.5, b = 0.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
30
35
40x(t)=A*exp(a*t)
Señal Continua: A=3, a=0.5, b=0
Tiempo (seg)
x(t)
Ilustración 16, Señal Exponencial Creciente.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ejemplo: A = 3, a =- 0.5, b = 0.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
30
35
40x(t)=A*exp(-a*t)
Señal Continua: A=3, a= -0.5, b=0
Tiempo (seg)
x(t)
Ilustración 17, Señal Exponencial Decreciente.
Ejemplo: A = - 3, a = 0.5, b = 0.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0x(t)= -A*exp(a*t)
Señal Continua: A= -3, a=0.5, b=0
Tiempo (seg)
x(t)
Ilustración 18, Señal Exponencial Decreciente, A negativo, a Positivo.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ejemplo: A =- 3, a = - 0.5, b = 0.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0x(t)=-A*exp(-a*t)
Señal Continua: A= -3, a=-0.5, b=0
Tiempo (seg)
x(t)
Ilustración 19, Señal exponencial creciente, con valores A y a negativos.
Señales Exponenciales Complejas:
Para este tipo de señales se tiene la ecuación tjbaAetx )()( += , en donde A es
Real, b≠0 y a es estrictamente cero a=0. x(t) = Aejbt. Usando la relación de Euler
se puede escribir en términos de señales senoidales. x(t) = A[cos(bt) + j sen(bt)].
Esta señal, es muy usada para describir muchos procesos físicos, es periódica
con período b
T π2= . Tiene una parte Real xR(t) = Acos(bt) y una parte imaginaria
xI(t)=Asen(bt).
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ejemplo: A = - 3, a = 0, b = 0.3
0 20 40 60 80 100 120-3
-2
-1
0
1
2
3Parte real
Señal Continua: A=3, a=0, b=0.3
Tiempo (seg)
Rea
l x(t)
Ilustración 20, Señal Exponencial, componente Real.
0 20 40 60 80 100 120-3
-2
-1
0
1
2
3Parte imaginaria
Señal Continua: A=3, a=0, b=0.3
Tiempo (seg)
Imag
inar
ia x
(t)
Ilustración 21, Señal Exponencial, componente Imaginaria.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Señales Exponenciales Generales
Para éste caso se tiene que A es Real, a ≠ 0, b ≠ 0.
El caso más general de una exponencial compleja.
Si a >0, x(t) corresponde a senoidales multiplicadas por una exponencial
creciente. Si a <0, x(t) corresponde a senoidales multiplicadas por una
exponencial decreciente. Para ello, se utiliza relación de Euler de la siguiente
forma:
)] t b Sen( j ) t b [Cos(e *A x(t) at +=
Ejemplo: A = 3, a = 1, b = 4
0 100 200 300 400 500 600-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
20 Parte real
Señal Continua: A=3, a=1, b=4
Tiempo (seg)
Rea
l x(t)
Ilustración 22, Señal Exponencial Compleja, parte real.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
0 100 200 300 400 500 600-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
19 Parte imaginaria
Señal Continua: A=3, a=1, b=4
Tiempo (seg)
Imag
inar
ia x
(t)
Ilustración 23, Señal Exponencial Compleja, Parte Imaginaria.
Ejemplo: Graficar la señal con las siguientes condiciones A = 3, a =- 1, b = 4
0 100 200 300 400 500 600-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
-17 Parte real
Señal Continua: A=3, a= -1, b=4
Tiempo (seg)
Rea
l x(t)
Ilustración 24, Señal Exponencial Compleja, Parte Real.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
0 100 200 300 400 500 600-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
-17 Parte imaginaria
Señal Continua: A=3, a= -1, b=4
Tiempo (seg)
Imag
inar
ia x
(t)
Ilustración 25, Señal Exponencial Compleja, Parte Imaginaria.
Señales Exponenciales Discretas.
Las señales exponenciales discretas se representan matemáticamente como:
[ ] njbaAenx )( +=
Ecuación 9, Señal Exponencial Discreta.
Igualmente, según los valores de a y b, pueden diferenciarse tres casos:
a) Señales Exponenciales, Discretas, Reales:
Haciendo la asociación con el ejemplo en exponenciales continuas y conservando
los mismos valores, observaremos los diferentes casos de las exponenciales
A Real, a ≠ 0, b = 0.
Una expresión más general de x[n] sería x[n] = cn , donde c = (e a)
Si a > 0 (c > 1), entonces x[n] es una exponencial creciente.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Si a < 0 (c < 1), entonces x[n] es una exponencial decreciente.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
30
35
40x(n)=A*exp(a*n)
Señal Continua: A=3, a=0.5, b=0
Muestra (n)
x(n)
Ilustración 26, Función Exponencial Discreta -Creciente.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
30
35
40x(n)=A*exp(-a*n)
Señal Continua: A=3, a= -0.5, b=0
Muestra (n)
x(n)
Ilustración 27, Función Exponencial Discreta - Decreciente.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0x(n)= -A*exp(a*n)
Señal Continua: A= -3, a=0.5, b=0
Muestra (n)
x(n)
Ilustración 28, Señal exponencial valores A (negativo) , a(positivo).
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0x(n)=-A*exp(-a*n)
Señal Continua: A= -3, a=-0.5, b=0
Muestra (n)
x(n)
Ilustración 29, Señal exponencial valores A(negativo) , a(negativo).
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
b) Señales Exponenciales, Discretas, Complejas Se partirá de A Real, a = 0, b ≠ 0. Esta señal, es periódica con período N si Nb=
2πm, siendo N y m enteros, en caso contrario la señal es aperiódica. Usando la
relación de Euler se puede escribir en términos de señales senoidales:
x[n] = ACos( b n ) + j ASen( b n )
c) Señales Exponenciales, discreta, Generales
La forma general de una exponencial está dada por A Real, a ≠ 0, b ≠ 0
Utilizando la relación de Euler se puede escribir:
x[n] = Acn [ Cos( b n ) + j Sen( b n )]
Ecuación 10, Señal Exponencial, Forma de Euler.
Si a > 0 (c > 1), entonces x[n] es una senoidal creciente.
Si a < 0 (c < 1), entonces x[n] es una senoidal decreciente.
Ejemplo: Señal exponenciales discreta: Para de A = 3, a = 0, b = 0.3
x[n] = Acn [ Cos( b n ) + j Sen( b n )]:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-3
-2
-1
0
1
2
3Parte real
Señal Continua: A=3, a=0, b=0.3
Muestra (n)
Rea
l x(n
)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-3
-2
-1
0
1
2
3Parte imaginaria
Señal Continua: A=3, a=0, b=0.3
Muestra (n)
Imag
inar
ia x
(n)
Ilustración 30, Señal exponenciales discretas
Ejemplo: Graficar la señal exponencial discreta para los siguientes valores:
A = 3, a = -1, b = 4.
Observe que a diferencia del ejemplo anterior a presenta un valor diferente de
cero. A continuación se describe los resultados de esta graficación, la cual se
debe comprobar.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4x 10
-17 Parte real
Muestra (n)
Rea
l x(n
)
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5x 10
-31 Parte imaginaria
Muestra (n)
Imag
inar
ia x
(n)
Ilustración 31, Señales Exponenciales discretas.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Lección 5. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES.
1) PERIÓDICAS Y NO PERIÓDICAS.
Una señal continua es periódica con periodo T si existe un valor positivo T tal que
x(t + T) = x(t), para todo t
Ecuación 11, Señal Periódica.
Cualquier señal que no sea periódica se llama no periódica o a-periódica. El valor
más pequeño de T que satisface esta ecuación se llama periodo fundamental.
El recíproco del periodo fundamental es la frecuencia fundamental, se mide en
Hertz (ciclos por segundo) y describe qué tan seguido la señal periódica se repite.
TF 1=
Ecuación 12, Periodo-Frecuencia.
La frecuencia angular, medida en radianes por segundo, se define como
Nπω 2
=
Ecuación 13, Frecuencia Angular.
Una señal discreta x[n] es periódica si satisface la condición:
x[n] = x[n + N] para todos los enteros n, donde N es un número entero. El valor
más pequeño de N que satisface esta ecuación se llama periodo fundamental.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
2) SEÑALES PARES E IMPARES.
Una señal es par si se cumple que x(-t) = x(t) para todo t. Es impar si x(-t) = -x(t)
para todo t. Cualquier señal puede ser expresada como una suma de dos
señales, una de las cuales es par y la otra impar:
[ ]
[ ])()(21)(
)()(21)(
)()()(
txtxtx
txtxtx
dondetxtxtx
o
e
oe
−−=
−+=
+=
Ecuación 14, Funcion Par e Impar.
xe es la función par y xo la función impar.
Generalmente cuando se tienen varias señales multiplicándose se puede seguir
cuatro sencillas reglas, tal como se realiza al multiplicar números con signo
distinto:
a. Par * par = par
b. Par * impar = impar
c. Impar * par = impar
d. Impar * impar = par
3) Escalamiento en amplitud
El escalamiento en el tiempo es la transformación funcional mas sencilla, Esta
transformación presenta la siguiente notación:
y(t) = A*x(t)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Para cualquier valor de t, la transformación multiplica el valor producido de x(t) por
A. El siguiente ejemplo indica algunos escalamientos en amplitud, en la figura a)
se encuentra la señal original x(t), en la b) se encuentra la señal original
multiplicada por una constante con valor de 3, en c) se encuentra la señal original
escalada por un valor –3 y en la d) se muestra la señal original escalada por el
valor de - 1/3. Por tanto el escalamiento en amplitud es una transformación de la
variable dependiente y.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Funcion original, x(t)
tiempo, t
ampl
itud
(cm
)
Ilustración 32, a) Escalamiento en el tiempo, Señal original x(t).
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8Funcion original, y(t)=3*x(t)
tiempo, t
ampl
itud
(cm
)
Ilustración 33, b) Escalamiento en el tiempo, Señal Transformada 3*x(t).
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-8
-6
-4
-2
0
2
4
6Funcion original, y(t)=--3*x(t)
tiempo, t
ampl
itud
(cm
)
Ilustración 34, c) Escalamiento en el tiempo, Señal Transformada -3*x(t).
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1
-0.5
0
0.5Funcion original, y(t)=--(1/3)*x(t)
tiempo, t
ampl
itud
(cm
)
Ilustración 35, d) Escalamiento en el tiempo, Señal Transformada -(1/3)*x(t).
4) Desplazamiento en el tiempo
El desplazamiento en el tiempo atiende a la una de las transformaciones:
a. t→t − to
b. t→t + to
En donde to es una constante arbitraria. En el caso del inciso a, tiene el efecto de
desplazar la señal original to unidades a la derecha, en el caso del inciso b, tiene
el efecto de desplazar la señal original to unidades a la izquierda.
En el siguiente figura se ilustra una función y(t) desplazada en el tiempo.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10
0
10
20Funcion original, y(t)
Tiempo, t
Am
plit
ud
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10
0
10
20Funcion desplazada, y(t+1)
Tiempo, t
Am
plit
ud
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10
0
10
20Funcion desplazada, y(t-1)
Tiempo, t
Am
plit
ud
Ilustración 36, Grafica de desplazamiento en el tiempo.
5) ESCALAMIENTO EN EL TIEMPO.
El escalamiento en el tiempo atiende a la transformación funcional t→ t/a. Esta
transformación expande la función original horizontalmente (en t) por un factor a.
Si tenemos la transformación funcional t→ a.t, contrae la función original
horizontalmente (en t) en un factor a. Si a<0, la función también se invertirá en el
tiempo. La figura muestra una señal original x(t), y se pide obtener x(t/2) y x(2t).
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-15 -10 -5 0 5 10 15-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14Funcion original, y(t)
Tiempo, t
Am
plitu
d
Ilustración 37, Función y(t).
-15 -10 -5 0 5 10 15-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14Funcion escalada (t/2), y(t/2)
Tiempo, t
Am
plitu
d
Ilustración 38, Función y(1/2 t).
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-15 -10 -5 0 5 10 15-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14Funcion escalada (2*t), y(2*t)
Tiempo, t
Am
plitu
d
Ilustración 39, Función y(2*t).
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS.
Lección 6. Sistemas Lineales (SL).
Un sistema es lineal se obtiene cuando la entrada de un sistema dado es
escaldado por un valor, la salida del sistema es escalado por la misma cantidad.
La entrada del sistema lineal, X, produce una salida, Y. Si se escala en amplitud la
señal X por un valor α y es pasada a través del mismo sistema, la salida también
será escalada por el mismo valor α. Como se ilustra a continuación.
Ilustración 40, Grafica de escalamiento en sistemas lineales
Lección 7. Principio de Súper-posición. Un sistema lineal es aquel que satisface el principio de superposición. El principio
de superposición exige que si dos entradas son sumadas juntas y pasadas a
través del sistema lineal, la salida será equivalente a la suma de las dos entradas
evaluadas individualmente.
S.L X
Salida Entrada
Y
S.L α X α Y
S.L X1
Salida Entrada
Y1
S.L X2 Y2
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Por medio del principio de superposición se muestra:
Ilustración 41, Figura 20. Principio de superposición
Si esta afirmación se cumple se dice que el sistema es lineal.
1) Escalamiento en Amplitud.
La propiedad de escalamiento en amplitud también es válida para el principio de
superposición. Por lo tanto, si las entradas x y y son escaladas por factores α y β,
respectivamente, entonces la suma de estas entradas escaladas dará la suma de
las salidas escaladas individualmente.
Ilustración 42, Escalamiento en amplitud en el principio de superposición.
S.L X1+Y1 X2+Y2
S.L α X1
Salida Entrada
α Y1
S.L β X2 β Y2
S.L α X1+βX2 α Y1+βY2
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Lección 8. Sistemas Invariantes en el Tiempo (SIT)
Un sistema invariante en el tiempo (SIT) tiene la propiedad de que cierta entrada
siempre dará la misma salida, sin consideración alguna a cuando la entrada fue
aplicada al sistema.
Ilustración 43, Sistema Invariante en el tiempo.
En esta figura, x(t) y x(t−t0) son pasadas a través del sistema TI. Ya que el sistema
TI es invariante en el tiempo, las entradas x(t) y x(t−t0) producen la misma salida.
La única diferencia es que la salida debida a x(t−t0) es cambiada por el tiempo t0.
Si un sistema es invariante en el tiempo o de tiempo variado puede ser visto en la
ecuación diferencial (o ecuación en diferencia) descrita. Los sistemas invariantes
en el tiempo son modelados con ecuaciones de coeficientes constantes. Una
ecuación diferencial (o en diferencia) de coeficientes constantes significa que los
parámetros del sistema no van cambiando a través del tiempo y que la entrada
nos dará el mismo resultado ahora, así como después.
1) Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI). A los sistemas que son lineales y al mismo tiempo invariantes en el tiempo nos
referiremos a ellos como sistemas LTI . Como se muestra a continuación la señal
de salida es una versión escalada y desplazada en el tiempo de la señal de
entrada.
SIT X(t)
Salida Entrada
Y(t)
SIT X(t-to) Y(t-to)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ilustración 44,. Sistemas LTI
Los sistemas LTI son subconjuntos de los sistemas lineales, estos obedecen al
principio de superposición. En la siguiente figura se puede observar el efecto de
aplicar el tiempo invariante a la definición de sistema lineal del sistema anterior.
Aplicando el principio de superposición se tiene:
LTI X(t)
Salida Entrada
Y(t)
LTI αX(t-to) (Y(t-to)
LTI X1(t)
Salida Entrada
Y1(t)
LTI X2(t) Y2(t)
LTI αX1(t-t1)+ β X2(t-t2)
Salida Entrada
(Y1(t-t1)+ ( Y2(t-t2)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Lección 9. Sistemas Serie. Los Sistemas LTI pueden trabajar en Serie o Paralelo. Si dos o mas sistemas
están en serie uno con otro, el orden puede ser intercambiado sin que se vea
afectada la salida del sistema. Los sistemas en series también son llamados como
sistemas en cascada.
Ilustración 45,. Sistema LTI en Cascada
Lección 10. Sistemas Paralelo.
Si dos o mas sistemas LTI están en paralelo con otro, un sistema equivalente es
aquel que esta definido como la suma de estos sistemas individuales.
Ilustración 46, Sistema LTI en paralelo.
H1 H2
H1
H2
H1 + H2
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
CAPÍTULO 3. SISTEMAS LINEALES
Lección 11. Función Delta de Dirac.
La Función Delta de Dirac, conocida también como el impulso unitario o función
delta es una función infinítamente angosta, infinítamente alta, cuya integral tiene
un valor unitario. Tal vez la manera mas simple de visualizar esto es usar un pulso
rectangular que va de a-(ε/2) a a+(ε/2) con una altura de (1/ε) . Como se observa a
continuación.
Ilustración 47, Función delta de Dirac
Al momento de tomar su límite, lim0, se puede observar que su ancho tiende a ser
cero y su altura tiende a infinito conforme su área total permanece constante con
un valor de uno. La función del impulso usualmente se escribe como:
∫−∞∞δ(t) dt=1
por tanto la función se puede representar como:
ε/2
(1/ε)
-ε/2
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ilustración 48, Función delta de Dirac. representación.
En primera instancia se observara el comportamiento de la función Delta
multiplicada por otra función
f(t) δ(t) =f(0) δ(t)
Esta función es cero en todas partes excepto en el origen, así que básicamente
estamos eliminando el valor de la función de multiplicación al evaluarla en cero.
A primera vista esto no parece tener mayor importancia, porque ya sabemos que
el impulso evaluado en cero es infinito, y todo lo multiplicado por infinito da un
resultado infinito. Pero, ¿qué pasa si integramos el resultado de la multiplicación?
Lección 12. Propiedad de Desplazamiento
∫−∞∞f(t) δ(t) dt=∫−∞∞f(0) δ(t) dt= f(0) ∫−∞∞δ(t) dt= f(0)
1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Lo que se obtiene es una función evaluada en cero. Si hubiéramos usado δ(t−T)
en vez de δ(t), podríamos haber desplazado f(T). A esto es lo que llamaremos la
propiedad de desplazamiento de la función de Dirac, el cual se usa
frecuentemente para definir el impulso unitario.
Esta propiedad es muy útil al momento de desarrollar la idea de convolución la
cual es una de los fundamentos principales para el procesamiento de señales. Al
usar convolución y esta propiedad podemos representar una aproximación a
cualquier resultado de un sistema si se conoce la respuesta al impulso del sistema
y su señal de entrada..
Lección 13. Propiedades de Impulso Unitario
El impulso unitario se puede definir en forma funcional como
δ[t] =
Las propiedades del impulso unitario son:
unitario.escalón el es u(t) donde
(t)u dtd (t)
(-t) (t)
(t) 1 t)(
=
=
=
δ
δδ
δα
αδ
Ecuación 15, Función Impulso.
1, si t = 0
0 en otro caso
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Impulso de tiempo-discreto (muestreo unitario)
La extensión de la función impulso unitario al tiempo-discreto se convierte en una
trivialidad. Todo lo que realmente necesitamos es darnos cuenta que la integración
en tiempo-continuo equivale a una sumatoria en tiempo-discreto. Por lo tanto
buscaremos una señal que al sumarla sea cero y al mismo tiempo sea cero en
todas partes excepto en el origen.
Impulso de Tiempo-Discreto se define de la siguiente forma
δ[n] =
Ilustración 49, Impulso de Tiempo-Discreto
Al analizar una gráfica de tiempo-discreto de cualquier señal discreta, uno puede
notar que todas las señales discretas están compuestas de un conjunto de
muestras unitarias que están escalados y desplazados en el tiempo. Si dejamos
que el valor de una secuencia en cada entero k sea descrita por s[k] y la muestra
unitaria retrasado que ocurre en k sea escrito como δ[n−k], se puede escribir
1, si n = 0
0 en otro caso
1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
cualquier señal como la suma de impulsos unitarios retrasados que son escalados
por un valor de la señal, o por coeficientes de escalamiento.
s[n] = ∑∞ k=−∞… s[k] δ[n−k]
Esta ecuación es una propiedad que solo se aplica a señales de tiempo-discreto y
resulta ser una propiedad muy útil para estas señales.
Lección 14. La Respuesta de Impulso La respuesta de impulso es exactamente lo que su nombre implica- la respuesta
de un sistema LTI, como por ejemplo un filtro, cuando la señal de entrada del
sistema es un impulso unitario (o muestra unitaria). Un sistema puede ser
completamente descrito por su respuesta al impulso por las razones explicadas
previamente, ya que todas las señales pueden ser representadas por una
superposición de señales. Una respuesta al impulso da una descripción
equivalente a la dada por una función de transferencia, ya que existen
Transformadas de Laplace para cada una.
Lección 15. Función de transferencia En un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se definie la función de
transferencia como la transformada de Laplace de la salida dividida en la
transformada de Laplace de la entrada, bajo condiciones iniciales nulas.
La función de transferencia se expresa como
H(s)=Y(s) / X(s)
Si la función de entrada es una función impulsional; es decir,
L.T.I X(t)
Salida Entrada
Y(t)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
X(t)= δ (t) ⇒ X(s)= 1 y H(s)=Y(s)
Las raíces del numerador de H(s) se conoce como ceros y las raíces del
denominador se conoce como polos de la FT. La representación grafica de una
función de transferencia en el plano complejo s se le conoce como diagramas de
polos y ceros.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
UNIDAD 2. .
Nombre de la Unidad SEÑALES Y SISTEMAS Introducción Muchos equipos y dispositivos modernos requieren
procesar la señales analógicas que reciben y convertirlas
en señales digitales para poder funcionar.
Harry Nyquist propuso un teorema que ha tenido efectos profundos en la teoría de información así como el diseño práctico de técnicas de comunicaciones de datos que implican la digitalización de señales análogas. Nyquist fue un de los pioneros más importantes de la teoría de comunicación. En 1924, Nyquist publicó el artículo " Certain Factors Affecting Telegraph Speed." Él observó que la velocidad de una transmisión en el cable era proporcional a la anchura de las frecuencias usadas, hoy conocida como la ancho de banda del circuito. En 1928 Nyquist publicó uno segundo artículo importante “Certain Topics in Telegraph Transmisión Theory”. En ello, Nyquist postuló un teorema que propuso que muestras tomadas dos veces el valor de la frecuencia mayor de la señal puede representar la señal perfectamente. El teorema está basado sobre la asunción que la transmisión es en uno canal sin ruido. Este es un concepto muy importante, y utilizado en el campo de ingeniería de telecomunicaciones.
Justificación Este curso tiene como objetivo que los estudiantes manejen los conceptos básicos y herramientas matemáticas fundamentales para el análisis y síntesis de sistemas lineales, con enfoque especial de sistemas de comunicación. El curso está basado en dos unidades fundamentales en donde se tratan los temas fundamentales para el tratamiento de señales, los cuales serán fundamentales para el análisis de señales en tiempo discreto; las definiciones, clasificaciones y formas de representación de las señales en función de sus variables. Los estudiantes de este curso realizan ejercicios relacionados fuera de clase, así como trabajos prácticos; algunos de sus trabajos serán realizados por la herramienta computacional MATLAB.
Intencionalidades Formativas
Aportar al estudiante la teoría necesaria para la comprensión de los sistemas lineales y las señales. Ayudar a la comprensión y aplicación de las herramientas matemáticas desarrolladas para el tratamiento de señales
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
y manipulación de los sistemas lineales. Denominación de capítulos
1. Términos básicos. 2. Propiedades de los sistemas 3. Sistemas Lineales
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
CAPÍTULO 4. MUESTREO.
Lección 16. MUESTREO DE SEÑALES.
Para convertir una señal analógica en digital, se debe realizar una serie de pasos.
Es necesario primero realizar un muestreo o sampling de la señal, es decir, tomar
diferentes muestras de tensiones o voltajes en diferentes puntos de la onda
senoidal. La frecuencia a la que se realiza el muestreo se denomina razón, tasa o
también frecuencia de muestreo y se mide en kilohertz (kHz). Durante el proceso
de muestreo se asignan valores numéricos equivalentes a la tensión o voltaje
existente en diferentes puntos de la sinusoide, con la finalidad de realizar a
continuación el proceso de cuantización.
Ilustración 50, Representación física de un sistema de muestreo
En la siguiente figura se ofrece las formas de las tres señales principales:
S(t): Señal a muestrear , δ: Señal muestreadota, Sd(t): Señal muestreada
Ilustración 51, Muestreo de señales.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Lección 17. Teorema del muestreo (Teorema de Nyquist-Shannon).
El muestreo periódico de una señal analógica se realiza cuando tomamos
mediciones de la misma a intervalos iguales. Por ejemplo cuando se graba una
señal de audio a la PC mediante una placa de sonido, el conversor A/D de la PC
estará digitalizando la señal a una cierta frecuencia tal como 11, 22, ó 44 kHz,
denominada frecuencia de muestreo. Si la frecuencia de muestreo es muy baja, es
decir mediciones demasiado espaciadas, se perderán “detalles” de la señal
original. Mediante una simple demostración gráfica se puede ver. En las figuras A-
B-C-D hemos representado cuatros señales distintas (en línea azul) muestreadas
periódicamente a igual frecuencia (los círculos rojos denotan las “muestras”). En A
y B las señales aparecen correctamente representadas por las muestras, en C la
velocidad de muestreo parece insuficiente, y en D las muestras representan una señal como la de B, es decir la señal de D es un “alias” de la señal de B. Este
efecto se denomina en inglés “aliasing”.
Ilustración 52, Teorema de Nyquist-Shannon.
A.
B.
C.
D.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
El Teorema del Muestreo, o Teorema de Nyquist-Shannon, establece que la
frecuencia mínima de muestreo necesaria para evitar el “aliasing” debe ser.
fs > 2.BW
Con fs: frecuencia de muestreo, BW: ancho de banda de la señal a muestrear
BW = fmax - fmin
Para señales con fmin = 0, se puede expresar como
fs > 2 .fmax
Para demostrar el teorema se recurre a los conceptos básicos de series de Fourier
y trigonometría.
Lección 18. Conceptos básicos de Series de Fourier Una función s(t) periódica en el tiempo, con período T, puede ser representada por
una sumatoria de funciones senoidales del tipo
∑ +=
+++++++++=
)2cos()2cos(
...)32cos()22cos()2cos()(
1
1
3322110
kk
Nn
tfkCtfnC
tfCtfCtfCCtS
φπ
φπφπφπφπ
Ecuación 16, Serie de Fourier.
Para k = 0, 1, 2,...,n
Es decir una serie de componentes cosenoidales de amplitud Ck, fase φk y
frecuencia fk = k.f múltiplo de la frecuencia fundamental f=1/T (la de la función
representada). Es la conocida serie de Fourier.
La representación de estas amplitudes Ck sobre un diagrama Amplitud vs
frecuencia es lo que denominamos diagrama espectral o espectro de frecuencia
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
de la señal. La componente c0 es la componente de frecuencia 0 (componente de
continua). Se puede hablar así de una función S(f), con dominio 0, f, 2f, 3f...nf e
imagen c0, c1, c2, c3... cn.
Lección 19. Señales Analógicas periódicas.
La señal analógica, que se quiere muestrear, en caso de ser periódica tendrá un
espectro que será una suma de componentes senoidales de frecuencias
espaciadas a intervalos f=1/T o una integral de componentes senoidales de
frecuencias infinitamente próximas entre sí. Por ejemplo, el espectro de amplitud
de una señal s(t) cuadrada sigue una ley S(f)=1/f (pero con las componentes
pares c2, c4, c6... nulas). Este espectro es teóricamente infinito (ancho de banda
infinito). Las señales reales ocupan un ancho de banda finito. Por ejemplo una
señal de audio ocupa un rango de frecuencias entre unos 20Hz y 15 kHz.
Si una señal no es periódica, en vez de una sumatoria de componentes
espaciadas a intervalos 1/T, se tiene una integral (no periódica es período T
infinito, espaciamiento 1/T nulo). La forma de calcular la S(f) de una función no
periódica en el tiempo es mediante la Transformada de Fourier.
Aún así, si una señal es no periódica, sus componentes ocuparán una cierta
banda de frecuencias. Lo que realmente interesa es el espectro de la función
impulso repetitivo, ya que la señal obtenida como muestreo periódico de una señal
analógica equivale al producto de dicha señal analógica por la función impulso
repetitivo.
La función impulso (no repetitivo) d(t1) es aquella que vale 1 en t = t1 y 0 en t ≠ t1.
La función impulso repetitivo es dr(t)=d(0)+d(T)+d(2.T)+ d(3.T) .... es decir
impulsos espaciados T segundos en el tiempo, o lo que es lo mismo con
frecuencia de repetición f = 1/T.
Esta señal tiene un espectro
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Dr(f) = k.[d(0) + d(f) + d(2.f) + d(3.f)+.....], con k cte.
Es decir (sin considerar la fase)
dr(t)=k.(1+ cos(2.π.f.t)+ cos(2.π2.f.t)+ cos(2.π3.f.t)+....
Ecuación 17, Fase.
En las gráficas siguientes se representan en el dominio del tiempo (izquierda)
funciones impulso repetitivo de 10 y 20 Hz y sus espectros correspondientes
(derecha).
Ilustración 53, Señales en el dominio del tiempo y sus correspondientes espectros.
Ya se tienen los elementos para la demostración:
Por trigonometría se tienen que:
cos(a).cos(b) = ½ [cos (a+b) + cos(a-b)], Identidad trigonométrica.
Por ejemplo, al multiplicar una señal cosenoidal de amplitud 1 y 5 kHz por una
señal cosenoidal de amplitud 1 y 50kHz resultan dos componentes cosenoidales
de amplitud 0,5 y 45kHz y 0,5 y 55kHz.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ilustración 54, Señales señoidales a diferentes frecuencias con sus espectros.
Al muestrear la señal analógica s(t) obtenemos una señal s*(t) que equivale al
producto de la señal original por la función impulso repetitivo dr(t) .
s*(t)=s(t).dr(t)
Reemplazando en la anterior ecuación. s(t) por y dr(t) por (sin considerar la fase ni
el factor k en la se obtiene
s*(t)=s(t).dr(t)=[c0+c1.cos(2.π.fa.t)+ c2.cos(2.π.2.fa.t)+...+
cn.cos(2.π.n.fa.t)].[k.(1+ cos(2.π.fs.t)+ cos(2.π.2.fs.t)+ cos(2.π.3.fs.t)+....]
con fa frecuencia de la señal analógica y fs frecuencia de muestreo.
Aplicando distributiva y la identidad trigonométrica. se obtiene una serie de
componentes cosenoidales cuyas frecuencias serán
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
fs ±fa, fs±2.fa, fs ±3.fa.....2.fs ±fa, 2.fs ±2.fa, 2.fs ±3.fa, ... 3.fs ±fa, 3.fs ±2.fa, 3.fs±3.fa...
Agrupadas de la siguiente manera
(fs ±fa, fs±2.fa, fs±3.fa...)(2.fs±fa, 2.fs±2.fa, 2.fs±3.fa, ...)( 3.fs±fa, 3.fs±2.fa, 3.fs±3.fa...)...
Cada grupo reproduce el espectro de la señal s(t) y su “reflejo” sobre las
componentes fs, 2fs, 3fs.
El mismo análisis es válido para una señal no periódica.
Lección 20. Aliasing.
En las gráficas siguientes se ilustra la señal a muestrear y su espectro, la señal
muestreada a una frecuencia fs > fmax, y finalmente la señal muestreada a fs <
fmax, resultando el efecto de “aliasing”.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ilustración 55, Aliasing. file:///C:/WINDOWS/Archivos temporales de
Internet/Content.IE5/W5MRGDI3/TMuestreo[1].doc
http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=11349
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Una de las aplicaciones donde se puede apreciar más el concepto de aliasing es
en el procesamiento de imágenes. El aliasing ocurre cuando se intenta
representar una imagen pero que debido a la resolución resulta que éste sea
incapaz de representar la curva como tal, y por tanto dichas curvas se muestran
en pantalla dentadas al estar compuestas por cuadros menudos (los pixeles).
Como se puede observar en las siguientes imágenes
Sin Aliasing Con aliasing
Ilustración 56, Imágenes con y sin aliasing.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
CAPÍTULO 5. CUANTIFICACIÓN.
Una vez realizado el muestreo de la señal, se continúa con la cuantificación
(quantization) de la señal analógica. Para esta parte del proceso los valores
continuos de la sinusoide se convierten en series de valores numéricos decimales
discretos correspondientes a los diferentes niveles o variaciones de voltajes que
contiene la señal analógica origina.
Por tanto, la cuantificación representa el componente de muestreo de las
variaciones de valores de tensiones o voltajes tomados en diferentes puntos de la
onda sinusoidal, que permite medirlos y asignarles sus correspondientes valores
en el sistema numérico decimal, antes de convertir esos valores en sistema
numérico binario. Como muestra la siguiente figura.
Ilustración 57, Grafica de cuantificación de señales.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Sin embargo, en esta parte se realizará énfasis en el proceso de cuantificación de
la señal.
Cuantificación: La cuantificación es la conversión de una señal discreta en el
tiempo evaluada de forma continua a una señal discreta en el tiempo
discretamente evaluada. El valor de cada muestra de la señal se representa como
un valor elegido de entre un conjunto finito de posibles valores.
Se conoce como error de cuantificación (o ruido), a la diferencia entre la señal de
entrada (sin cuantificar) y la señal de salida (ya cuantificada), interesa que el ruido
sea lo más bajo posible. Para conseguir esto, se pueden usar distintas técnicas de
cuantificación
Lección 21. Cuantificación uniforme. En los cuantificadores uniformes (o lineales) la distancia entre los niveles de
reconstrucción es siempre la misma, como se observa en la siguiente figura: No
hacen ninguna suposición acerca de la naturaleza de la señal a cuantificar, de ahí
que no proporcionen los mejores resultados. Sin embargo, tienen como ventaja
que son los más fáciles y menos costosos de implementar. En la siguiente figura
se ve un ejemplo de cuantificación uniforme:
Ilustración 58, Cuantificación uniforme.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Lección 22. Cuantificación logarítmica.
Las señales de voz pueden tener un rango dinámico superior a los 60 dB, por lo
que para conseguir una alta calidad de voz se deben usar un elevado número de
niveles de reconstrucción. Sin embargo, interesa que la resolución del
cuantificador sea mayor en las partes de la señal de menor amplitud que en las de
mayor amplitud. Por tanto, en la cuantificación lineal se desperdician niveles de
reconstrucción y, consecuentemente, ancho de banda. Esto se puede mejorar
incrementando la distancia entre los niveles de reconstrucción conforme aumenta
la amplitud de la señal.
Un método sencillo para conseguir esto es haciendo pasar la señal por un
compresor logarítmico antes de la cuantificación. Esta señal comprimida puede ser
cuantificada uniformemente. A la salida del sistema, la señal pasa por un
expansor, que realiza la función inversa al compresor. A esta técnica se le llama
compresión. Su principal ventaja es que es muy fácil de implementar y funciona
razonáblemente bien con señales distintas a la de la voz. Para llevar a cabo la
compresión existen dos funciones muy utilizadas: Ley-A (utilizada principalmente
en Europa) y ley-µ(utilizada en EEUU).
1) Ley-A :
≤≤+
+
≤≤+
=
11)sgn(log1
)/(log1
10)sgn(log1
)(
max
maxmax
max
xx
Asix
AxxA
x
Axx
sixA
xA
xc
e
e
e
Ecuación 18, Ley A de Cuantificación.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
2) Ley-µ :
)sgn()1(log
)/1(log)( max
max xxx
xxce
e
µµ+
+=
Ecuación 19, Ley -µ de Cuantificación.
En la mayoría de los sistemas telefónicos, A se fija a 87.56 y µ a 255.
La siguiente figura muestra la gráfica de la ley-µ para distintos valores de µ:
Ilustración 59, Grafica de cuantificación logarítmica.
Lección 23. Cuantificación no uniforme.
El problema de la cuantificación uniforme es que conforme aumenta la amplitud de
la señal, también aumenta el error. Este problema lo resuelve el cuantificador
logarítmico de forma parcial. Sin embargo, si se conoce la función de la
distribución de probabilidad, podemos ajustar los niveles de recontrucción a la
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
distribución de forma que se minimice el error cuadrático medio. Esto significa que
la mayoría de los niveles de reconstrucción se den en la vecindad de las entradas
más frecuentes y, consecuentemente, se minimice el error (ruido).
La siguiente figura representa la cuantificación no uniforme
Ilustración 60, Cuantificación no uniforme.
En la práctica, se puede usar una estimación de la distribución para diseñar los
cuantificadores. Esta estimación se puede obtener a partir de los datos a
cuantificar de forma iterativa.
Lección 24. Cuantificación vectorial.
En los métodos anteriores, cada muestra se cuantificaba independientemente a
las muestras vecinas. Sin embargo, la teoría demuestra que ésta no es la mejor
forma de cuantificar los datos de entrada. Resulta más eficiente cuantificar los
datos en bloques de N muestras. El proceso es sencillamente una extensión de
los anteriores métodos escalares descritos anteriormente. En este tipo de
cuantificación, el bloque de N muestras se trata como un vector N-dimensional.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
En la siguiente figura se observa un ejemplo de cuantificación vectorial (VQ) en
dos dimensiones:
Ilustración 61, Cuantificación vectorial.
El plano XY está dividido en seis regiones distintas. El vector de entrada (con dos
componentes) se reemplaza se reemplaza por el centroide i (representa todos los
vectores de una determinada región i) de la región a la que pertenece.
La cuantificación vectorial ofrece mejores resultados que la cuantificación escalar,
sin embargo, es más sensible a los errores de transmisión y lleva consigo una
mayor complejidad computacional.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Lección 25. Ruido de cuantificación
Ilustración 62, Procesos de la conversión A/D.
Se define como error de cuantificación o ruido de cuantificación a la señal en
tiempo discreto y amplitud continua introducida por el proceso de cuantificación y
que resulta de igualar los niveles de las muestras de amplitud continua a los
niveles de cuantificación más próximos. Una vez cuantificadas las muestras
podrán ser codificadas ya que siempre se podrá establecer una correspondencia
biunívoca entre cada nivel de cuantificación y en número entero. Para el caso del
cuantificador ideal se trata del único error que introduce el proceso.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ilustración 63, Proceso de cuantificación. http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:FuncionTransferenciaCuantificador.svg
Función de transferencia del proceso de cuantificación. Un intervalo de valores de
entrada (escalón de cuantificación) se corresponde con un único valor de salida.
Así, por cada valor de entrada se obtiene un valor de salida y un error que, si se
resta al de salida, devolvería el valor de entrada. El error es máximo cuando el
valor de entrada es equidistante a sus dos niveles de cuantificación más próximos
(se dice entonces que se encuentra sobre el nivel de decisión). El error es cero
cuando el valor de entrada equivale a un nivel de cuantificación y, por tanto, al
nivel de salida. Se puede observar que la amplitud máxima del error es de medio
escalón de cuantificación (Δ = Escalón de cuantificación) mientras la señal de
entrada se encuentra dentro del rango de cuantificación.
El proceso de convertir una señal en tiempo discreto de amplitud continua (esto
es, en el proceso de muestreo la señal se ha dividido en el tiempo en un número
finito de muestras pero el valor de estas aún no ha sido limitado en precisión) en
una señal discreta en tiempo y amplitud (sus dos dimensiones), expresando cada
muestra por medio de una precisión finita y conocida (en contraposición a una
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
precisión infinita -en matemática- o indeterminada -en física-) consecuencia del
ajuste a un número finito y determinado de niveles, se denomina cuantificación. La
diferencia que resulta de restar la señal de entrada a la de salida es el error de
cuantificación, esto es, la medida en la que ha sido necesario cambiar el valor de
una muestra para igualarlo a su nivel de cuantificación más próximo. Esta
diferencia, entendida como una secuencia de muestras de tiempo discreto pero de
amplitud continua (al igual que la señal de entrada), puede ser interpretado en la
práctica como una señal indeseada añadida a la señal original (motivo por el que
se denomina ruido, aunque no siempre cumpla con todos los criterios necesarios
para ser considerado así y no distorsión), de modo que se cumple:
Ilustración 64, Modelo matemático del ruido de cuantificación.
De esta representación se puede extraer
)()()( nxnqxnqe −=
Ecuación 20, Error de Cuantificación.
donde
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
)(nx representa la secuencia de muestras de amplitud continua a la entrada del
cuantificador.
)(nxq Es la secuencia de muestras de amplitud discreta (cuantificadas) a la salida del
cuantificador .
)(neq representa a la secuencia de muestras de amplitud continua del error de
cuantificación.
El receptor/lector de )(nqx (o de su versión codificada posterior) no tiene la información
necesaria para identificar el componente de error )(neq que incluye y poder
recuperar )(nx . Es decir, la reconstrucción de las muestras originales de amplitud
continua (sin cuantificar) no es posible sólo a partir de las muestras cuantificadas: falta la
información necesaria para distinguir el error de la señal una vez estos se suman en la
cuantificación.
En la Figura es posible verificar que el error de cuantificación )(neq está siempre en el
rango -Δ/2 a Δ/2 mientras la señal analógica de entrada se encuentre dentro del rango del
cuantificador:
2)(
2∧
<<∧
− nqe
Ecuación 21, Rango del error de cuantificación.
Donde es el tamaño del escalón de cuantificación que viene dado por:
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
LR
=∧
donde es el rango del cuantificador y el número de niveles de cuantificación.
Ilustración 65, Cuantificación de una sinusoide.
La línea roja en la figura corresponde con las muestras (2000 en este ejemplo
para el ciclo completo por lo que produce la ilusión de ser continua) sin cuantificar
(muestras de entrada al cuantificador) de una señal original sinusoidal sin dither, la
verde representa esas mismas muestras de entrada cuantificadas (salida del
cuantificador ideal) y la azul muestra el error de cuantificación que resulta del
proceso de cuantificación.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
La relación señal a ruido de cuantificación (SQNR) es para este caso de sólo
24,74 dB con objeto de resaltar el error de cuantificación y su forma. Dicho de otro
modo, la amplitud de la sinusoidal original de entrada (línea roja) es de 7,5 niveles
de cuantificación (la máxima amplitud de una sinusoidal que puede cuantificar un
cuantificador por redondeo de 4 bits ya que el nivel de cuantificación de valor 0 no
puede estar centrado al haber un número par de niveles totales).
Con objeto de poner de manifiesto el ruido de cuantificación, a la señal de entrada
sinusoidal de este ejemplo no se le ha añadido Dither (un ruido analógico que se
añade intencionadamente a la señal de entrada antes de la conversión A/D). En la
práctica, y como consecuencia de la lógica y habitual práctica de añadir dither
(véase Ruido o distorsión: la necesidad de añadir dither), la figura notablemente
escalonada de una señal cuantificada como la ilustrada aquí adquiere el aspecto
de la Figura 42 color verde.
En el caso de que el error está limitado en magnitud [es decir, 2
)( ∧<neq ], el error
resultante se denomina ruido granular. Cuando la entrada cae fuera del rango de
cuantificación (recorte), )(neq es ilimitado y resulta en ruido de sobrecarga.
Teóricamente, la cuantificación de las señales analógicas resulta siempre en una
pérdida de información (incluso en su caso ideal). Éste es el resultado de la
ambigüedad introducida por la cuantificación. De hecho, la cuantificación es un
proceso no reversible, dado que a todas las muestras a un intervalo inferior a Δ/2
de un determinado nivel se les asignan el mismo valor. Sin embargo, discretizar
una señal en su otra dimensión (el tiempo) mediante el proceso de muestreo, no
es irreversible tal y como demuestra el teorema de muestreo y si se cumplen los
criterios que impone el propio teorema debido a la naturaleza periódica y, por
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
tanto, determinista de las señales que se someten a este proceso y a la limitación
del ancho de banda (límite superior a la frecuencia de los componentes que
componen la señal periódica).
Es decir, una onda periódica muestreada cumpliendo los criterios de Nyquist sólo
puede comportarse de un único modo entre dos muestras contiguas y este
comportamiento es totalmente deducible a partir de la serie completa de muestras
de amplitud continua de la señal. La discretización de la dimensión amplitud (la
cuantificación), es, por tanto, el único proceso que introduce un error teórico (en
procesos ideales) sobre la señal original en todo el procedimiento completo de
digitalización de una señal.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
CAPÍTULO 6. Análisis de Fourier .
Lección 26. Serie de Fourier en tiempo continuo.
Las técnicas de análisis de Fourier de tiempo continuo son ampliamente útiles
para analizar y conocer las propiedades de la señales y sistemas de tiempo
continuo. Por otro lado, las técnicas del análisis de Fourier de tiempo discreto son
de igual manera útiles en el estudio de señales y sistemas de tiempo discreto. El
origen del análisis de tiempo continuo se atribuye a las investigaciones realizadas
sobre los problemas de la física matemática en el siglo XVIII, mientras que las
herramientas para analizar señales de tiempo discreto tienen raíces diferentes.
Esto proporcionó un segundo entorno en el cual se realizó gran parte del trabajo
inicial sobre señales y sistemas de tiempo discreto.
En los años 40 y 50 se obtuvo un gran desarrollo en las técnicas de tiempo
discreto y en particular en el uso de las herramientas del análisis de Fourier. Este
impulso se debió al incremento en el uso y en la capacidad de las computadoras
digitales y el desarrollo de métodos de diseño de sistemas de datos muestreados.
Estos sistemas en general requieren del cálculo de numerosas transformadas de
Fourier. Por último, en los años 60 se desarrolló un algoritmo mejor conocido
como la transformada rápida de Fourier o FFT, el cual demostró ser totalmente
adecuado para una implementación digital eficiente y redujo considerablemente el
tiempo de computación para las transformadas. Con esta herramienta muchas
ideas interesantes pero poco prácticas se convirtieron en aplicaciones reales.
Existen varias similitudes entre las técnicas del análisis de Fourier de tiempo
discreto y de tiempo continuo, por ejemplo, las razones básicas de la utilidad de
representar señales en términos de exponenciales complejas son las mismas para
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
ambos análisis. En particular, si la entrada y la salida de un sistema linealmente
invariable en el tiempo de tiempo discreto son expresadas como combinaciones
lineales de exponenciales complejas, entonces los coeficientes de la
representación de la salida pueden ser expresados en términos de los coeficientes
de la combinación lineal que representa la entrada.
Por otro lado existen ciertas diferencias, la representación en serie de Fourier de
una señal periódica de tiempo discreto es una serie finita. De hecho, la FFT
depende de manera intrínseca de esta finitud y por consecuencia es un concepto
de tiempo discreto.
Consideraciones Teóricas para la FFT.
El algoritmo para la FFT explota las propiedades de simetría de la exponencial compleja
discreta en el tiempo para reducir el número de multiplicaciones. Para evaluar una
transformada discreta de Fourier con N muestras el algoritmo de la FFT encuentra su
eficiencia cuando N es una potencia de 2. Esta restricción no afecta el uso práctico de la
FFT ya que la longitud de h(n) puede ser incrementada a la siguiente potencia de 2
aumentando el número adecuado de ceros.
Debido a la naturaleza discreta del índice de tiempo para señales de tiempo discreto, el
escalamiento en tiempo y en frecuencia asume una forma diferente con respecto a la de
tiempo continuo. Sea x(n) una señal con espectro X(ω). Consideremos la transformada
Y(ω) de y(n).
∑∑∞
−∞=
−∞
−∞=
− −==n
nj
n
nj enxenyY ωωω )()()(
Ecuación 22, Transformada Discreta de Fouier.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
1
Sustituyendo m = -n en la ecuación se obtiene:
)()()( )( ωω ω −== ∑∞
−∞=
−− XemxYn
mj2
Esto es, aplicando la transformada de Fourier.
)()( ω−↔− Xnx
Aunque esta última ecuación es similar al caso de tiempo continuo, la deferencias surgen
cuando tratamos de escalar en tiempo y en frecuencia en lugar de invertir el eje de
tiempo.
El resultado que puede ser paralelo a la ecuación correspondiente al análisis de tiempo
continuo es el que se desarrolla a continuación:
kdemúltiploesnSixnx kn
k )()( =
kdemúltiploesnonSinxk 0)( =
Sea k un entero positivo.
En 1807, Fourier, establece en los trabajos presentados en el instituto de Francia que:
cualquier señal periódica puede ser representada por una serie de sumas trigonométricas
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
en senos y cosenos relacionadas armónicamente.
Los argumentos establecidos por Fourier eran imprecisos y en 1829 Dirichlet proporcionó
las condiciones precisas para que una señal periódica pueda ser representada por una
serie de Fourier.
Fourier obtuvo además, una representación para señales no periódicas, no como suma de
senoides relacionadas armónicamente, sino como integrales de senoides, las cuales no
todas están relacionadas armónicamente. Al igual que las series de Fourier, la integral de
Fourier, llamada Transformada de Fourier, es una de las herramientas más poderosas
para el análisis de sistemas LTI (Sistema Lineal Invariante en el Tiempo).
Lección 27. REPRESENTACIÓN DE UNA SEÑAL CONTINUA.
Una señal es periódica si para algún valor positivo T, diferente de cero, se verifica que:
x(t) = x ( t + T ) para toda t.
Para que una señal periódica pueda representarse por una serie de Fourier, debe
respetar las condiciones de Dirichlet:
• Que tenga un número finito de discontinuidades en el periodo T, en caso de ser
discontinua.
• El valor medio en el periodo T, sea finito.
• Que tenga un número finito de máximos positivos y negativos.
• Si se satisfacen estas condiciones, existe la serie de Fourier y puede escribirse en
la forma trigonométrica como:
...)32...3cos2coscos(2)(
32
13210
+++++++=
tsenbtsenbtsenbtatataatx
ωωωωωω
Ecuación 23, Representación en Armónicos.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Representándolo en términos de sumatoria:
)(.)cos(.2)(1
0 tksenbtkaatx kk
k ωω∑∞
=
++=
Ecuación 24, Representación en Sumatorias.
Los coeficientes ak y bk, se obtienen mediante el siguiente cálculo integral:
∫=T
k dttktxT
a )cos()(1 ω
∫=T
k dttksentxT
b )()(1 ω
Ecuación 25, Coeficientes de Fourier.
Lección 28. CONVOLUCIÓN Y SUS PROPIEDADES
1) Convolución de Señales
∫∞
∞−−== τττ dthxthtxty )()()(*)()(
Ecuación 26, Convolución.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Esta operación es muy usada en comunicaciones, análisis armónico, etc.,
permitiendo encontrar fácilmente muchos resultados importantes.
La integral del lado derecho, es decir la integral de convolución, se puede
interpretar como el área bajo la curva resultante del producto entre las funciones x(
) y h( t - ).
Para esta integral, se han realizado los siguientes cambios de variable:
Para x( t ) se hace el cambio de variable independiente, t = . Para h( t ) se hace
el cambio de variable independiente, t = , además se refleja y se desplaza la
señal t unidades.
El cálculo de la integral se puede realizar de dos maneras, analíticamente
(resolviendo las integrales planteadas) o gráficamente (calculando las áreas
respectivas a partir de los gráficos realizados para las señales).
La convolución con (t) se calcula valiéndose de la propiedad de separación de
la función (t), que permite escribir la función x(t) como la suma de infinitos pulso:
∫∞
∞−=−== )()()()(*)()( τττδδ xdttxttxty
Ecuación 27, Convolución Función Delta.
Además se puede verificar que:
[ ] )()()()(*)()()(*)()()(*)(
)()(*)(
2121
2121
TtfTtfTtTttfTTtTtTtTTtfTtTtf
TtfTttf
−++=−++−−=−−−−=−−
−=−
δδδδδ
δδ
Ecuación 28, Propiedades de Convolución.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Ejemplo de cálculo de convolución en tiempo continuo
Primero se definirá las señales x ( t ) y h ( t )
=casootroEn
ttth
,040,
)(
y
−
=casootroEn
ttx
,011,1
)(
A continuación se grafican las señales
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4h(t)=t, para 0<=t<=4)
Tiempo (seg)
h(t)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1x(t)=1, para -1<=t<=1
Tiempo (seg)
x(t)
Ahora se observan las dos graficas en el mimo plano, tratando de conservar el rojo
para h(t) y el color azul para x(t).
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Funciones
Tiempo (seg)
Ampl
itud(
t)
Se cambia la variable t por y se refleja h ( t ); es decir, obtener h(-t)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4h(-t))
Tiempo (seg)
h(-t)
Por tanto graficando las dos funciones en una sola grafica tendríamos
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Funciones x(t) y h(-t)
Tiempo (seg)
Ampl
itud)
Ahora se desplaza h ( - ), t unidades, consiguiendo h ( t - ) , o lo que es lo
mismo h ( - ( - t ) ) :
Luego se deben tomar en cuenta los diferentes intervalos de t para los cuales
cambia la expresión de x ( t ) · h ( t - ), resolviendo la integral de convolución
para cada intervalo.
Primero se considerará el intervalo entre - < t < -1, en el cual se tiene, para
cualquier valor de t:
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Funciones x(t) y h(t+2)
Tiempo (seg)
Ampl
itud(
t)
Resolviendo la integral se tendría
10)(
0)()()(*)()(
0)()(
−<<∞−=
=−==
=−
∫ ∞−
tParatY
dthXthtXtY
thXt
τττ
ττ
El segundo intervalo a considerar será - 1 < t < 1, en el cual se tiene, para
cualquier valor de t
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Funciones x(t) y h(t+0.5)
Tiempo (seg)
Ampl
itud(
t)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Funciones x(t) y h(-t)
Tiempo (seg)
Ampl
itud(
t)
Resultado
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Funciones x(t) y h(t-0.5)
Tiempo (seg)
Ampl
itud(
t)
112
)1()(
21
2)()(*)()(
01
)()(
2
1
2
<<−+
=
++=−==
<<−−
=−
∫−tParattY
ttdtthtXtY
valorparatparat
thX
tττ
ττττ
El siguiente intervalo a considerar sería 1 < t < 2, en donde:
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Funciones x(t) y h(t-t) para 1<t<2
Tiempo (seg)
Ampl
itud(
t)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Funciones x(t) y h(t-t) para 1<t<2
Tiempo (seg)
Ampl
itud(
t)
Resultado
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Como se puede observar la zona verde es el resultado de la operación.
212)(
2)()(*)()(
011
)()(
1
1
<<=
=−==
<<−−
=−
∫−tParattY
tdtthtXtY
valorparaparat
thX
ττ
ττττ
El cuarto intervalo a considerar sería 2 < t < 4, en el cual, para cualquier valor de t:
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Funciones x(t) y h(t-t) para 2<t<4
Tiempo (seg)
Ampl
itud(
t)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Funciones x(t) y h(t-t) para 2<t<4
Tiempo (seg)
Ampl
itud(
t)Resultado
422
4)(
24)()(*)()(
014
)()(
2
1
4
2
<<−+=
−+=−==
<<−−
=−
∫−tParatttY
ttdtthtXtY
valorparatparat
thX
tττ
ττττ
El último intervalo será 4< t < , en el cual se obtiene para cualquier valor de t
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Funciones x(t) y h(t-t) para 4<t<8
Tiempo (seg)
Ampl
itud(
t)
∞<<=
=−==
=−
∫∞
−
tParatY
dthXthtXtY
thX
t
40)(
0)()()(*)()(
0)()(
4τττ
ττ
Finalmente, resumiendo el resultado de x ( t ) * h ( t ) en un gráfico, se obtiene:
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5Resultado de la convolución de las Funciones x(t) y h(t) para todo t
Tiempo (seg)
Ampl
itud(
t)
Lección 29. Convolución Discreta.
El concepto de la convolución discreta es la misma que la de
convolución continua. Hay que tener en cuenta que la convolución es un
instrumento poderoso al determinar el resultado de un sistema después
de saber la una entrada arbitraria y la respuesta al impulso del sistema.
Puede muy práctico el calcular la convolución en forma gráfica para
reforzar los conceptos.
1) Suma De Convolución.
La suma de convolución provee una manera matemáticamante concisa
para expresar el resultado de un sistema LTI, basado en una entrada
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
arbitraria para una señal discreta y saber la respuesta del sistema. La
suma de convolución es expresada de la siguiente forma
[ ] [ ] [ ]∑∞
∞−
−= knhkxny
Ecuación 29, Convolución Discreta.
Como en el tiempo continuo la convolución es representado por el
símbolo *, y puede ser escrita como:
[ ] [ ] [ ]nhnxny *=
Ecuación 30, Convolución Discreta, Función Impulso.
Realizando una transformación de variables en la suma de convolución,
k=n−k, se puede demostrar fácilmente que la convolución es
conmutativa
[ ] [ ] [ ] [ ]nxnhnhnx ** =
La segunda propiedad de la convolución es que es asociativa:
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]nznhnxnznhnx **** =
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Y por último, la convolución es distributiva
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nznhnznxnznhnx *** +=+
Lección 30. Calculo de la Convolución Discreta.
El calculo de la convolución entre x(k) y h(k) supone la realización de los
siguientes pasos
a. Reflexión. Se refleja h(k) respecto de K00 para producir h(-k).
b. Desplazamiento. Se desplaza h(-k), n hacia la derecha(izquierda) si
n es positivo (negativo), para obtener h(n-k).
c. Multiplicación. Multiplicamos x(k) por h(n-k) para obtener la
secuencia producto.
d. Suma. Se suman todos los valores de la secuencia, es decir, todas
las respuestas impulsionales del sistema para obtener la respuesta
en el punto indicado.
Ejemplo
Sea la señal la respuesta impulsional de un sistema lineal e invariante en
el tiempo dada por:
Determine la respuesta al sistema si se tiene una señal de entrada x(n):
Solución:
Se empieza graficando las señales h(n) y x(n)
h(n)={ -1, 2, 1,-1}
x(n)={1, 2, 0,1}
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1
0
1
2 Señal x(n)
n
x[n]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1
0
1
2 Señal h(n)
n
h[n]
Ahora se empezará a calcular. Para n=0, y(0), recuerde los pasos
mencionados anteriormente (reflejar, multiplicar y sumar). Observe que en
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
la siguiente gráfica los valores que tienen contribución es en cero y uno, ya
que al multiplicar los otros valores se encontrará con ceros a ambos lados.
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal x(n)
n
x[n]
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal h(-k)
n
h[n]
Por tanto: y[0]=[(1*2) +(2*-1)] = 0;
Ahora se empezará a realizar los desplazamientos de la señal h.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-5 0 5 10-2
-1
0
1
2 Señal x(n)
n
x[n]
-5 0 5 10-2
-1
0
1
2 Señal h(-2-k)
n
h[n]
y[-2]=0, debido a que no coinciden ninguna de las componentes de las dos
señales.
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal x(n)
n
x[n]
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal h(-1-k)
n
h[n]
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
y[-1]=1*-1 = -1;
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal x(n)
n
x[n]
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal h(1-k)
n
h[n]
y[1]=[(1*1) +(2*2)+ (0*-1)] = 5;
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal x(n)
n
x[n]
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal h(2-k)
n
h[n]
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
y[2]=[(1*-1) +(2*1)+ (0*2)+( 1*-1)] = 0;
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal x(n)
n
x[n]
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal h(3-k)
n
h[n]
y[3]=[(1*0) +(2*-1)+ (0*1)+( 1*2) +( 0*-1)] = 0;
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal x(n)
n
x[n]
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal h(4-k)
n
h[n]
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
y[4]=[(1*0) +(2*0)+ (0*-1)+( 1*1) +( 0*2)+..] = 1;
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal x(n)
n
x[n]
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal h(5-k)
n
h[n]
y[5]=[(1*0) +(2*0)+ (0*0)+( 1*-1) +( 0*1)+..] = -1;
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal x(n)
n
x[n]
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal h(6-k)
n
h[n]
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
y[6]=[(1*0) +(2*0)+ (0*0)+( 1*0) +( 0*2)+..] = 0;
Desde este punto todas las contribuciones son ceros. Ahora
representemos cada respuesta impulsional y organicemos la ecuación final
y[n]:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-2
-1
0
1
2
3
4
5
6 Señal y(n)
n
y[n]
Ejercicio: Analice y verifique que y(n)=x(n)*h(n)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-5 0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
n
x[n]
-5 0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
n
h[n]
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-5 0 5 10 15 20 250
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
y[n]
Derivación de Señales
Esta operación, muy usada en el modelado de sistemas, la podemos interpretar
como la velocidad de cambio de la señal. Gráficamente representa su pendiente.
dttdxty )()( =
Para el modelado de muchos sistemas se usan ecuaciones diferenciales, definidas
como:
∑∑==
=M
kk
k
k
N
kk
k
k dttxdb
dttyda
00
)()(
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Algunos ejemplos de su utilización serían:
- Respuesta de un circuito RC.
- Movimiento de un vehículo sujeto a entradas de aceleración y fuerzas de
fricción.
A partir de una expresión para x(t) en función de señales elementales se puede
obtener su derivada mediante el uso de las siguientes relaciones:
dttrampdtu )()( =
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
2
4
6
8 Señal ramp[t]
t
ram
p[t]
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
2
4
6
8 Señal dramp[t]/dt
t
u[t]
dttudt )()( =δ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
2 Señal u[t]
t
u[t]
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
2 Señal d u[t]/dt
t
d[t]
Ejemplo: Sea la señal x1 (t) como se define a continuación.
)1()()(1 −−= tramptramptx
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
2 Señal ramp[t]
t
ram
p[t]
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
2 Señal ramp[t-1]
t
ram
p[t-1
]
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
2 Señal ramp[t]-ramp[t-1]
t
x1[t]
Obtenga x2(t). Calculada como:
dttxdtx )()( 1
2 =
)1()()(2 −−= tututx
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
2 Señal u[t]
t
u[t]
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
2 Señal u[t-1]
t
u[t-1
]
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
2 Señal u[t]-u[t-1]
t
x2[t]
En el caso de los sistemas discretos estas ecuaciones se conocen como
ecuaciones de diferencias, definidas como:
[ ] [ ]∑∑==
−=−M
kk
N
kk knxbknya
00
Igualmente las señales elementales discretas están relacionadas mediante las
siguientes ecuaciones de diferencias:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]1
1−−=
−−=nunun
nrampnrampnuδ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
1) Ejemplo:
[ ] [ ] [ ]1112 −−= nxnxnx
-2 0 2 4 6 8 10-2
0
2 Señal x1[n]
n
x1[n
]
-2 0 2 4 6 8 10-2
0
2 Señal x1[n-1])
n
x1[n
-1]
-2 0 2 4 6 8 10-2
0
2 Señal x2[n])
n
x2[n
]
Integración de Señales
∫∞−
=t
dxty ττ )()(
La integración de señales es una operación muy usada en comunicaciones,
análisis espectral, etc., representando gráficamente el área acumulada bajo la
curva que define la señal.
Las señales fundamentales, rampa y escalón, están relacionadas por medio de
las siguientes integrales:
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
∫ ∞−=
tdutramp ττ )()(
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
2 Señal u[t]
t
u[t]
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
2 Señal ramp(t)
t
ram
p[t]
∫ ∞−=
tdtu ττδ )()(
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
2 Señal d[t]
t
d[t]
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
0
1
2 Señal u[t]
t
u[t]
2) Ejemplo: La función x1(t) está definida por:
≤<≤<
≤<≤
=
85,253,30,2
0,0
)( 21
tparatparattparat
tpara
tx
Encuentre x(t) dado por
∫∞−
=t
dxtx ττ )()( 1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Integrando por intervalos tenemos:
≤<
≤<
≤<
≤
=
85,2
53,3
30,0,0
)( 3
2
tparat
tparattparat
tpara
tx
A continuación se puede observar su respuesta gráfica
-2 0 2 4 6 8 100
5
10
15
20
25 Señal x1[t]
t
x1[t]
-2 0 2 4 6 8 100
10
20
30
40
Señal Resultante
t
x[t]
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
Para las señales discretas, la integración no es más que una sumatoria:
[ ] [ ]∑−∞=
=n
kkxny
Igualmente las señales elementales discretas están relacionadas mediante las
siguientes sumatorias:
[ ] [ ]
[ ] [ ]∑
∑
−∞=
−∞=
=
=
n
k
n
k
kunramp
knu δ
3) Ejemplo: La señal x2 está expresada por:
[ ] [ ]∑−∞=
=n
kkxnx 12
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 299007 – PROCESAMIENTO ANALÓGICO DE SEÑALES
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2 Señal x1[n]
n
x1[n
]
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1002468
10121416
Señal x2[n])
n
x2[n
]