apuntes de matemáticas para 1o de ciencias químicas

Apuntes de Matemáticas para 1o deCiencias Químicas

Universidad de Cádiz.Departamento de Matemáticas1

1Prof: Jesús Beato Sirvent

Índice general

I Álgebra Lineal 111. Espacios Vectoriales 13

1.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Diagonalización real de matrices 192.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II Números complejos 253. Números complejos 27


III Análisis real de funciones de una variable real 354. Funciones reales de variable real 37


5. Cálculo de primitivas 435.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2.2. Por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2.3. Racionales con raíces reales simples . . . . . . . . . . . . . 485.2.4. Racionales con raíces reales múltiples . . . . . . . . . . . 485.2.5. Racionales con raíces complejas simples . . . . . . . . . . 485.2.6. Trigonométricas: cambio t = tg

(x2

). . . . . . . . . . . . 48

5.2.7. Trigonométricas: cambio t = tg(x) . . . . . . . . . . . . . 49

3

4 ÍNDICE GENERAL

5.2.8. Trigonométricas: tipo∫senm(x)cosn(x) dx . . . . . . . . 49

5.2.9. Trigonométricas: tipos∫sen(mx)cos(nx) dx;

∫sen(mx)sen(nx) dx;

∫cos(mx)cos(nx) dx . . . . . . 49

5.2.10. Irracionales: tipos√a2 − b2x2;

√a2 + b2x2;

√a2x2 − b2 . 50

5.2.11. Miscelánea de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6. Aplicaciones de la integración 556.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.2.1. Cálculo de áreas, longitudes y volúmenes . . . . . . . . . 586.2.2. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2.3. Funciones eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

IV Análisis real de funciones de varias variable real 677. Funciones de varias variables reales 69


7.2.1. Funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.2.2. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2.3. Coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas . . . . . 767.2.4. Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8. Derivadas parciales y direccionales. Gradiente 818.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.2.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2.2. Derivadas direccionales. Gradiente . . . . . . . . . . . . . 88

9. Diferenciabilidad 919.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.2.1. Planos tangentes y rectas normales . . . . . . . . . . . . . 93

10.Derivación de funciones compuestas e implícitas 9510.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10.2.1. Derivación de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . 9610.2.2. Derivación de funciones de�nidas implícitamente . . . . . 98

11.Extremos de funciones reales de varias variables 9911.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9911.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

ÍNDICE GENERAL 5

12.Integrales dobles y triples 10312.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10312.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

12.2.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.2.2. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

13.Integrales de línea 11113.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

V Soluciones 1231. Soluciones al capítulo 1 125

2. Soluciones al capítulo 2 133



5. Soluciones al capítulo 5 1715.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.2. Por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.3. Racionales con raíces reales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.4. Racionales con raíces reales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.5. Racionales con raíces complejas simples . . . . . . . . . . . . . . 1745.6. Trigonométricas: cambio t = tg

(x2

). . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.7. Trigonométricas: cambio t = tg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.8. Trigonométricas: tipo

∫senm(x)cosn(x) dx . . . . . . . . . . . . 179

5.9. Trigonométricas: tipo∫sen(mx)cos(nx) dx;∫

sen(mx)sen(nx) dx;∫cos(mx)cos(nx) dx . . . . . . . . . . . . 180

5.10. Irracionales: tipos√a2 − b2x2;

√a2 + b2x2;√

a2x2 − b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.11. Miscelánea de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6. Soluciones al capítulo 6 1876.1. Cálculo de áreas, longitudes y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . 1876.2. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.3. Funciones eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7. Soluciones al capítulo 7 1997.1. Funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.2. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.3. Coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas . . . . . . . . . 2037.4. Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6 ÍNDICE GENERAL

8. Soluciones al capítulo 8 2078.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.2. Derivadas direccionales. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

9. Soluciones al capítulo 9 2179.1. Planos tangentes y rectas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

10.Soluciones al capítulo 10 22110.1. Derivación de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . 22110.2. Derivación de funciones de�nidas implícitamente . . . . . . . . . 224

11.Soluciones al capítulo 11 227

12.Soluciones al capítulo 12 23112.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23112.2. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

13.Soluciones al capítulo 13 239

A. Ecuaciones rectangulares de algunas curvas planas 249A.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249A.2. Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249A.3. Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249A.4. Cisoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250A.5. Estrofoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250A.6. Lemniscata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

B. Ecuaciones polares de algunas curvas planas 251B.1. Cardioides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251B.2. Lemniscatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251B.3. Caracoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252B.4. Rosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252B.5. Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253B.6. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253B.7. Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253B.8. Espirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

C. Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas 255C.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255C.2. Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255C.3. Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255C.4. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256C.5. Folium de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

D. Ecuaciones rectangulares de algunas super�cies 257D.1. Cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

ÍNDICE GENERAL 7

E. Exámenes de años anteriores 259E.1. 10 de Febrero de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259E.2. 2 de Julio de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263E.3. 1 de Septiembre de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

8 ÍNDICE GENERAL

Introducción

apuntar:1 [...] 4. Tomar nota por escrito de alguna cosa. [...] 18. Insinuar otocar ligeramente algún tema. [...] 19. Sugerir al que habla alguna cosa para querecuerde lo olvidado o para que se corrija.

Estas tres acepciones del término apuntar dan signi�cado pleno al hecho dellamar Apuntes de Matemáticas a las páginas que tienes entre tus manos. Nopretenden ser un libro de Matemáticas, sino que tienen voluntad de servirte deguión de la asignatura. Desde luego, el estudio de la misma no debe limitarse arecordar los hechos contenidos en estas notas y en hacer los ejercicios propuestosen ellas, sino que debe completarse con la lectura y estudio en distintos libros,especialmente lo indicados en la bibliografía. Te animo desde ahora a que hagasuso de la Biblioteca para consultar, pues estoy convencido de que es la únicaforma de adquirir verdadero conocimiento, que es algo mucho más profundo quela simple adquisición de información.

La adaptación al modelo de crédito europeo ha supuesto bastantes novedadesdesde un punto de vista didáctico. Una de las consecuencias de esta adaptaciónha sido el descenso del número de horas de docencia directa por parte del pro-fesor. Este hecho ha provocado que la asignatura tiene, a partir de este curso,si cabe, un carácter práctico aún más acentuado que en los años anteriores. Poreso he incluido en estos apuntes las notas teóricas que hasta el curso pasado sedesarrollaban en clase. De esta forma, las clases impartidas por el profesor selimitarán, prácticamente a la exposición de ejemplos que aclaren los conceptosy pongan de mani�esto la aplicación de los distintos algoritmos que se trabajena lo largo del curso.

La estructura de estos apuntes es la siguiente: Cada tema empieza con unprontuario2, seguido de los enunciados de los ejercicios relativos al mismo. De-spués de desarrollar todos los temas de esta forma, hay una parte dedicada aproporcionar las soluciones de todos y cada uno de los ejercicios propuestos enlos apuntes. Además, algunos de estos ejercicios están completamente resuel-tos, a �n de que puedan servir de modelos de aplicación de algoritmos o dedesarrollos de conceptos. Por último, se encuentran los apéndices. En los cuatroprimeros se aportan las ecuaciones de algunas curvas y super�cies que se usarándurante el curso. En el quinto apéndice se encuentran los tres exámenes del

1Diccionario RAE. Vigésima edición.2Resumen o breve anotación de varias cosas a �n de tenerlas presentes cuando se necesiten

9

10 ÍNDICE GENERAL

curso pasado, completamente resueltos.Me gustaría ahora hacerte un comentario sobre la enseñanza y aprendizaje

de las Matemáticas. Creo que el aprendizaje de las Matemáticas se basa en dospilares fundamentales:

CONOCER+PENSARAdemás estos dos pilares no son independientes sino que están interrelaciona-

dos. A menudo, el pensar sobre un tema te hacer tener necesidad de ampliarconocimientos y esta adquisición de conocimientos te hace pensar mejor. Muchasveces las ideas que nos parecen más originales e inalcanzables, dejan de serlo allocalizarlas muchas veces en distintos contextos. Además, la mayoría de las oca-siones pensar se traduce en relacionar hechos y procedimientos que ya tenemosadquiridos. Evidentemente, aquellos ejercicios y/o problemas en los que sólo serequiere conocer algún hecho (de�nición, algoritmo, teorema,...) para aplicarlo,tienen un grado de di�cultad menor que aquellos en los que además se necesitapensar un poco.

El hecho de que la asignatura esté planteada de una forma eminentementepráctica y que pongamos el énfasis en la utilización de las Matemáticas comoherramienta para la Ciencia, no te debe hacer descuidar otros aspectos de lasMatemáticas, imprescindibles para el buen desarrollo de ésta y de cualquier dis-ciplina cientí�ca: el rigor en la expresión y en la escritura, la precisión, el detalley el razonamiento son piezas básicas para que una mente cientí�ca empiece afuncionar bien. No lo olvides: Todo lo que de rigurosamente científicotiene una disciplina, lo debe a su contenido matemático.

Por último, ten siempre presente que ½½estos apuntes están deseando ser tra-bajados por ti!!

Cualquier mejora que creas conveniente introducir en ellos, cualquier errataque detectes, no dudes en comentármelo. Entre todos, iremos mejorando lacalidad de los mismos y por tanto, la calidad de la enseñanza y aprendizaje delas Matemáticas de este nivel.

Cádiz, Noviembre de 2004.

Parte I

Álgebra Lineal

11

Capítulo 1

Espacios Vectoriales

1.1. ProntuarioDe�nición 1.1.1 Sea V un conjunto no vacío, en el que se han de�nido dosoperaciones:

Una ley de composición interna llamada suma, que representaremos por+:

+ : V × V → V

(u, v) 7→ u+ v

Una ley de composición externa sobre R, que representaremos por ·R:

·R : R× V → V

(λ, v) 7→ λ · v

Se dice que la terna (V,+, ·R) tiene estructura de espacio vectorial real (o sobreR), si se veri�can las ocho siguientes propiedades:

1. Propiedad conmutativa: u+ v = v + u; ∀ u, v ∈ V2. Propiedad asociativa: u+ (v + w) = (u+ v) + w; ∀ u, v, w ∈ V3. Existencia de elemento neutro: Existe θ ∈ V / u+ θ = u ∀ u ∈ V4. Existencia de elemento simétrico: para cada u ∈ V , existe un elemento,−u ∈ V , llamado simétrico de u y tal que u+ (−u) = θ.

5. λ(u+ v) = λu+ λv; ∀ λ ∈ R; u, v ∈ V6. (λ+ µ)u = λu+ µu; ∀ λ, µ ∈ R; u ∈ V7. λ(µu) = (λµ)u; ∀ λ ∈ R; u ∈ V

13

14 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES

8. 1 · u = u; ∀u ∈ VSi (V,+, ·R) tiene una estructura de espacio vectorial (e.v.), a sus elementosse les llama vectores y se representan por ~u. A los números reales se les llamaescalares.

De�nición 1.1.2 Sea (V,+, ·R) un e.v. y F ⊆ V . Se dice que F es un sube-spacio vectorial (s.e.v) de V si F tiene estructura de espacio vectorial con lasmismas operaciones de�nidas en V .

Teorema 1.1.1 (Caracterización de subespacios vectoriales) Sea (V,+, ·R)un e.v. y F ⊆ V . Entonces F es subespacio vectorial de V si y sólo si se cumplenlas dos siguientes condiciones:1. ~u+ ~v ∈ F ; ∀ u, v ∈ F2. λu ∈ F ∀ λ ∈ R; u ∈ F

Teorema 1.1.2 (Caracterización de subespacios vectoriales) Sea (V,+, ·R)un e.v. y F ⊆ V . Entonces F es subespacio vectorial de V si y sólo si se cumplela siguiente condición:

λu+ µv ∈ F ; ∀ λ, µ ∈ R u, v ∈ FDe�nición 1.1.3 Sea (V,+, ·R) un e.v. Se dice que un vector ~v ∈ V es com-binación lineal (c.l.) de los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} ⊆ V si existen escalares{λ1, λ2, . . . , λn} ⊆ R tales que:

~v = λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λn~un

De�nición 1.1.4 Sea (V,+, ·R) un e.v. y sean {~u1, ~u2, . . . , ~un} ⊆ V . Se diceque los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} forman un conjunto libre o son linealmenteindependientes (l.i.) si:

λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λn~un = ~θ ⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0

En caso contrario, es decir, si esta combinación lineal igualada a ~θ es posiblecon al menos uno de los escalares λi; i = 1, 2, . . . , n distinto de 0, se diceque los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} forman un conjunto ligado o son linealmentedependientes (l.d.)

Observación 1.1.1 Consideremos los vectores de Rn:

~u1 = (u11, u21, . . . , un1), ~u2 = (u12, u22, . . . , un2), . . . , ~up = (u1p, u2p, . . . , unp)

Sea A la matriz formada con las componentes de estos vectores (por columnas),esto es:

A =

u11 u12 · · · u1p

u21 u22 · · · u2p

......

......

un1 un2 · · · unp

1.1. PRONTUARIO 15

Entonces se tiene{~u1, ~u2, . . . , ~un} l.i.⇔ Rg(A) = p = no de vectores

Observación 1.1.2 El máximo número de vectores linealmente independientesen Rn es n.De�nición 1.1.5 Sea (V,+, ·R) un e.v. y sean {~u1, ~u2, . . . , ~un} ⊆ V . Se diceque los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} forman un sistema de generadores de V sicualquier vector de V se puede escribir como c.l. de dichos vectores.Observación 1.1.3 El mínimo número de vectores sistema de generadores enRn es n.De�nición 1.1.6 Sea (V,+, ·R) un e.v. y sean {~u1, ~u2, . . . , ~un} ⊆ V . Se diceque los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} forman una base de V si son linealmente inde-pendientes y forman un sistema de generadores.Teorema 1.1.3 En un e.v. todas las bases tiene igual número de vectores.De�nición 1.1.7 Se llama dimensión de un e.v. (V,+, ·R), y representaremospor dim(V ), al número de vectores de una cualquiera de sus bases.Observación 1.1.4 dim(Rn) = n

De�nición 1.1.8 Sea (V,+, ·R) un e.v. y sea B = {~u1, ~u2, . . . , ~un} ⊆ V unbase de V . Entonces cualquier vector de V se puede escribir como combinaciónlineal de los vectores de B, de forma única, es decir, para cada vector ~u ∈ Vexisten unos únicos {λ1, λ2, . . . , λn} tales que:

~u = λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λn~un

A los coe�cientes {λ1, λ2, . . . , λn} de esta c.l. se les llama coordenadas del vector~u en la base B y se representa ~u(λ1, λ2, . . . , λn)B

Observación 1.1.5 (Ecuaciones paramétricas e implícitas de un s.e.v.)Sea F ⊆ Rn un s.e.v. con dim(F ) = p. Sea B = {~u1 = (u11, u21, . . . , un1), ~u2 =(u12, u22, . . . , un2), . . . , ~up = (u1p, u2p, . . . , unp)} una base de F . Notemos por~x(x1, x2, . . . , xn) un vector genérico de F tal que ~x(λ1, λ2, . . . , λp)B. Entonces:(x1, x2, . . . , xn) = λ1(u11, u21, . . . , un1)+λ2(u12, u22, . . . , un2)+· · ·+λp(u1p, u2p, . . . , unp)

Igualando componentes llegamos a:x1 = λ1u11 + λ2u12 + · · ·+ λpu1p

x2 = λ1u21 + λ2u22 + · · ·+ λpu2p

......

...xn = λ1un1 + λ2un2 + · · ·+ λpunp

Este conjunto de ecuaciones se conoce como ecuaciones paramétricas del sube-spacio F . Obsérvese que el número de parámetros coincide con la dimensión delsubespacio. Eliminando estos parámetros llegamos a las ecuaciones implícitasindependientes del subespacio. Nótese de igual forma que:

no ecuaciones implcitas independientes = dim(Rn)− dim(F )


1.2. EjerciciosEjercicio 1.1 Consideremos el conjunto R3 con las siguientes operaciones:

(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′, 2(y + y′), 3z); ∀(x, y, z), (x′, y′, z′) ∈ R3

α(x, y, z) = (αx, αy, αz); ∀α ∈ R; ∀(x, y, z) ∈ R3

¾Es R3 con las operaciones así de�nidas un espacio vectorial?

Ejercicio 1.2 Consideremos el conjunto R2 con las siguientes operaciones:

(x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′); ∀(x, y), (x′, y′) ∈ R2

α(x, y) = (α2x, α2y); ∀α ∈ R; ∀(x, y) ∈ R2

Estudia si la terna (R2,+, .R) es espacio vectorial.

Ejercicio 1.3 Consideremos el conjunto R3 con las siguientes operaciones:

(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′ + 1, y + y′, z + z′); ∀(x, y, z), (x′, y′, z′) ∈ R3

α(x, y, z) = (αx, αy, αz); ∀α ∈ R; ∀(x, y, z) ∈ R3

¾Es R3 con las operaciones así de�nidas un espacio vectorial?

Ejercicio 1.4 Calcula a, b para que la matriz( −11 a

4 b

)sea combinación

lineal de las matrices(

2 15 3

)y(

5 −32 −1

)

Ejercicio 1.5 Estudia, en cada caso, si el sistema de vectores genera o no elespacio vectorial indicado:

R3, {(2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)}R3, {(1,−1, 0), (0, 6, 2), (1, 5, 2)}

Ejercicio 1.6 Analiza la dependencia o independencia lineal de los siguientessubconjuntos de vectores:

{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} ⊆ R3

{(1, 2,−1,−2), (2, 3, 0,−1), (1, 2, 1, 3), (1, 3,−1, 0)} ⊆ R4

{(1, 0, 0, 2, 5), (0, 1, 0, 3, 4), (0, 0, 1, 4, 7), (2,−3, 1, 2, 5)} ⊆ R5

{1− x2, 3− x2 + x3, 3x2 − 4x3} ⊆ R3[x]

Ejercicio 1.7 Estudia, según los distintos valores de a ∈ R, la dependencia oindependencia de los siguientes conjuntos de vectores:

{(2, a, 0), (5,−1, a), (1,−3, 1)} ⊆ R3

1.2. EJERCICIOS 17

{(3,−1, 2, 4), (3, a,−1, 2), (4, 2, 0, 1)} ⊆ R4

{(3,−1, 2, 4), (3, a,−1, 2), (4, 2, 0, 1), (7,−a, 5, 7)} ⊆ R4

{(a, 1, 0), (1− a, 1 + a, 2), (5a− 1, 1− 2a,−a− 2)} ⊆ R3

Ejercicio 1.8 Averigua si los siguientes conjuntos son subespacios vectorialesde R4:

A = {(3λ, λ, µ+ λ, µ) / λ, µ ∈ R}B = {(x1, x2, x3, x4) / x1.x2 = 0}C = {(x1, x2, x3, x4) / x1, x2 ∈ Z}D = {(x1, x2, x3, x4) / x1 + x2 = 0, x3 − x4 = 0}E = {(x1, x2, x3, x4) / x1 + 2x4 = 7}F = {(x1, x2, x3, x4) / x1 = 3λ, x2 = 2λ, x3 = λ, x4 = λ}

Ejercicio 1.9 Sean A = {(1, 1, 1), (0, 1, 0)} y B = {(2, 3, 2), (1, 0, 1)} subcon-juntos de R3. Comprueba que son equivalentes.

Ejercicio 1.10 Determina si son equivalentes A = {(1, 2,−1), (−1, 1, 0)} yB = {(1, a+ 3,−2), (2, 1, 1− a)}Ejercicio 1.11 Calcula a, b para que el vector (a, 1, b,−5) pertenezca al sube-spacio engendrado por {(2, 1, 0, 4), (−1, 1,−1, 1)}Ejercicio 1.12 Demuestra que el conjunto A = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 / x1 +x2 + x3 = 0, 3x2 − 2x3 + x4 = 0} es un subespacio vectorial de R4. Halla sudimensión, una base y unas ecuaciones paramétricas.

Ejercicio 1.13 Las ecuaciones paramétricas de un subespacio vectorial de R4

son:

x1 = λ− 3µx2 = −λ+ µx3 = 2λx4 = −4µ

Obtén las ecuaciones implícitas.

Ejercicio 1.14 Se considera el subespacio de R4 engendrado por los vectores{(1, 2, 0, 1), (−2, 0, 7, 2), (0,−1,−2,−2)}. Halla unas ecuaciones implícitas, unasparamétricas, una base y su dimensión.

Ejercicio 1.15 Se considera el subespacio de R4 engendrado por los vectores{ ~u1(1, 1,−1, 0), ~u2(2,−1, 1, 1)}. Halla unas ecuaciones implícitas, unas paramétri-cas, una base y su dimensión. ¾Pertenece el vector (1, 0, 0, 0) a dicho subespa-cio?. Demuestra que el subespacio engendrado por { ~u1, ~u2} es el mismo que elengendrado por {(3, 0, 0, 1), (4, 1, 1,−1)}


Ejercicio 1.16 Dado el espacio vectorial (R3,+, .R), se pide:

Comprueba que {(2, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} es base de R3.

Determina el subespacio generado por {(1, 0, 1), (0, 0, 1)} (una base, di-mensión, unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones implícitas)

Comprueba que el conjunto {(1, 1, 1), (1, 1, 0)} ⊆ R3 no es base.

Comprueba que el conjunto {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} ⊆ R3 no esbase.

Comprueba que el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)} ⊆ R3 es base (sellama base canónica).

Ejercicio 1.17 Sean ~u1(1, 2); ~u2(4, 3); ~v1(−1,−1); ~v2(2, 3).

Comprueba que los conjuntos B = { ~u1, ~u2}; B′ = {~v1, ~v2} son bases deR2.

Calcula el cambio de base de B a B′.

Calcula el cambio de base de B′ a B.

Halla las coordenadas del vector ~w(2, 3) en la base B.

Halla las coordenadas del vector ~w(2, 3) en la base B′.

Dado un vector ~v = ~u1 − 2 ~u2, encuentra las coordenadas de ~v en la baseB′.

Dado un vector ~t cuyas coordenadas en la base B′ son (−2, 1), encuentrasus coordenadas en la base B.

Ejercicio 1.18 Sea BC = {~e1, ~e2, ~e3, ~e4} la base canónica de R4. Se consideranlos conjuntos B1 = {~v1, ~v2, ~v3, ~v4} y B2 = { ~w1, ~w2, ~w3, ~w4} donde:

~v1 = −~e2 + 3~e4

~v2 = −~e1 + ~e2

~v3 = ~e1 − ~e3 + 2~e4

~v4 = −~e1 − ~e2 − ~e3 + ~e4

;

~w1 = 2~e1 − 2~e2 + ~e4

~w2 = ~e1 + ~e2 + ~e3

~w3 = 3~e1 + ~e3 − ~e4

~w4 = −2~e2 − ~e3 + ~e4

Prueba que B1, B2 son bases de R4.

Halla la matriz de cambio de base de B1 a B2.

Determina las coordenadas respecto de B1 del vector ~u ∈ R4 cuyas coor-denadas en B2 son (2, 1, 0,−1)

Capítulo 2

Diagonalización real dematrices

2.1. ProntuarioDe�nición 2.1.1 Sea A ∈ Mn×n(R) y λ ∈ R. Se dice que λ es un autovalorreal de A (o valor propio) si existe un vector ~u ∈ Rn; ~u 6= ~θ tal que:

A · ~u = λ · ~u

Nota 2.1.1 Para que tenga sentido el producto A~u, consideramos el vector ~ucomo vector columna, esto es:

~u =

u1

u2

...un

De�nición 2.1.2 Sea A ∈Mn×n(R) y ~u ∈ Rn. Se dice que ~u es un autovectorde A (o vector propio) si existe un escalar λ tal que:

A · ~u = λ · ~u

En este caso, se dice que ~u es un autovector de A asociado al autovalor A.

Teorema 2.1.1 Sea A ∈ Mn×n(R) y λ un autovalor de A. El conjunto de au-tovectores de A asociados a λ es un subespacio vectorial de Rn, que se denominasubespacio propio asociado al autovalor λ y se representa por V (λ)

Teorema 2.1.2 Autovectores correspondientes a distintos autovalores son lin-ealmente independientes.

19

20 CAPÍTULO 2. DIAGONALIZACIÓN REAL DE MATRICES

Teorema 2.1.3 (Cálculo de autovalores) Sea A ∈ Mn×n(R). Los autoval-ores de A son las soluciones de la ecuación:

0 = |A− λ · In|

donde In representa la matriz identidad de orden n. Esta ecuación es llamadaecuación característica de la matriz A.

Teorema 2.1.4 (Cálculo de autovectores) Sea A ∈Mn×n(R) y λ un auto-valor de A. Los autovectores de A asociados al autovector λ son las solucionesdel sistema de ecuaciones:

(A− λIn)X = ~θ

donde X representa la matriz de incógnitas, por columnas, esto es:

X =

x1

x2

...xn

El sistema anterior representa, por tanto, unas ecuaciones implícitas del sube-spacio vectorial V (λ)

De�nición 2.1.3 Sea A ∈ Mn×n(R). Se dice que A es diagonalizable sobre Rsi existe una matriz D ∈ Mn×n(R) diagonal y una matriz P ∈ Mn×n(R) con|P | 6= 0 tales que:

P−1 ·A · P = D

En este caso, a la matriz D se le llama forma diagonal de A y a la matriz P sele denomina matriz de paso entre A y su forma diagonal.

Teorema 2.1.5 Sea A ∈ Mn×n(R). La condición necesaria y su�ciente paraque A sea diagonalizable sobre R es que se cumplan las dos siguientes condi-ciones:

Todos los autovalores de A son reales.

Para cada autovalor λ de A se veri�ca:

dim(V (λ)) = multiplicidad(λ)

Corolario 2.1.6 Si una matriz tiene todos sus autovalores reales y distintos,es diagonalizable.

Teorema 2.1.7 (Cálculo de la forma diagonal) Sea A ∈ Mn×n(R) diago-nalizable sobre R. La forma diagonal D es la matriz diagonal que tiene en sudiagonal principal los autovalores de A, repetidos según su multiplicidad.

2.2. EJERCICIOS 21

Teorema 2.1.8 (Cálculo de una matriz de paso) Sea A ∈Mn×n(R) diag-onalizable sobre R. La matriz de paso P es un matriz que contiene, por colum-nas, los vectores de cada una de las bases de autovectores de los subespaciosV (λ) asociados a la matriz A, en el mismo orden en el que los correspondientesautovalores fueron colocados en la forma diagonal.

Teorema 2.1.9 Toda matriz A ∈Mn×n(R) simétrica es diagonalizable con unamatriz de paso ortogonal. Para ello, basta elegir bases ortonormales de cada unade las bases de los subespacios de autovectores asociados a A.

Teorema 2.1.10 Sea D = (dij)1≤i,j≤n ∈ Mn×n(R) una matriz diagonal. En-tonces:

Dm =

dm11 0 · · · 00 dm22 · · · 0...

......

...0 0 · · · dmnn

Teorema 2.1.11 Sea A ∈ Mn×n(R) diagonalizable con forma diagonal D ymatriz de paso P . Entonces:

Am = P ·Dm · P−1; ∀ m ∈ N

2.2. EjerciciosEjercicio 2.1 Halla los autovalores y autovectores correspondientes a las sigu-ientes matrices:

A =

1 0 00 1 −30 0 −2

B =

2 −1 25 −3 3−1 0 −2

C =(

2 43 13

)

Ejercicio 2.2 Diagonaliza sobre R las siguientes matrices, en caso de que seaposible:

A =(

3 45 2

)

B =(

2 11 2

)


C =

1 2 1−1 1 10 3 2

D =

3 1 0−4 1 04 −8 −2

E =

2 5 −64 6 −93 6 −8

F =

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

G =

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

Ejercicio 2.3 Se considera la matriz:

A =

1 0 −11 2 12 2 3

¾Es A semejante a una matriz diagonal real D?. En caso a�rmativo, encuentrauna matriz D con esta condición y una matriz de paso P entre A y D.

Ejercicio 2.4 Diagonaliza sobre R la matriz:

B =

3 1 −11 3 1−1 1 3

Ejercicio 2.5 Sea la matriz:

G =

1 2 −31 1 22 2 2

Se pide:

Halla su polinomio característico así como los autovalores.

Halla los subespacios de autovectores (bases, dimensiones, ecuaciones paramétri-cas e implícitas).

2.2. EJERCICIOS 23

Estudia su diagonalización sobre R.

Ejercicio 2.6 Sea la matriz:

H =

3 0 03 1 0−1 0 1

Se pide:

Halla su polinomio característico así como los autovalores.

Halla los subespacios de autovectores (bases, dimensiones, ecuaciones paramétri-cas e implícitas).

Estudia su diagonalización sobre R.

Ejercicio 2.7 Diagonaliza sobre R la matriz(a bb a

), siendo a, b ∈ R \ {0}

Ejercicio 2.8 Estudia para qué valores de a ∈ R la matriz A =

a 0 01 1 0a 1 a

es diagonalizable sobre R

Ejercicio 2.9 Determina para qué valores de a ∈ R son ortogonales los vectores{(a, a− 1, a,−1), (2a, a, 3, 1)}.

Ejercicio 2.10 Encuentra una base ortonormal para el espacio generado porlos vectores {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1)}

Ejercicio 2.11 Diagonaliza sobre R las siguientes matrices, a través de unamatriz de paso ortogonal.

A =(

2 44 8

)

B =

7 −2 1−2 10 −21 −2 7

C =

−1 1 01 −2 10 1 −1

Ejercicio 2.12 Halla una matriz real diagonal D que sea semejante a la matriz

A =

3 1 11 0 21 2 0

. Encuentra también una matriz P ortogonal tal que D =

P−1AP


Ejercicio 2.13 Estudia para qué valores de a ∈ R es diagonalizable sobre R lamatriz:

A =

a 1 11 a 11 1 a

Ejercicio 2.14 Se considera la matriz F =

1 0 00 1 0−2 −4 −1

. Halla una ma-

triz P tal que P−1FP sea diagonal y calcula Fn; ∀n ∈ N.

Ejercicio 2.15 Calcula la potencia n−ésima de cada una de las siguientes ma-trices:

A =(

2 21 1

)

B =

0 7 −6−1 4 00 2 −2

C =

2 0 43 −4 121 −2 5

Parte II

Números complejos

25

Capítulo 3

Números complejos

3.1. ProntuarioDe�nición 3.1.1 Se llama conjunto de los números complejos y se represen-ta por C al conjunto de los pares ordenados de números reales, dotado de lassiguientes operaciones:

1. Suma:(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d); ∀ (a, b), (c, d) ∈ C

2. Producto:

(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc); ∀ (a, b), (c, d) ∈ C

3. Producto por un número real:

λ · (a, b) = (λa, λb); ∀ (a, b) ∈ C ; ∀ λ ∈ R

Si z = (a, b) ∈ C, al número real a se le llama parte real del número complejoz y se representa por Re(z) y al número real b se le denomina parte imaginariadel número complejo z y se representa por Im(z). Al número complejo (0, 1) sele denomina unidad imaginaria y se representa por i. El número complejo (1, 0)se le denomina unidad real y se representa por 1.

Observación 3.1.1 Los números complejos con parte imaginaria 0 seidenti�can con los números reales, a saber:

(a, 0) = a · (1, 0) + 0 · (0, 1) = a · 1 + 0 · i = a

Los números complejos con parte real 0 se llaman imaginarios puros y seescriben:

(0, b) = 0 · (1, 0) + b · (0, 1) = 0 · 1 + b · i = bi

27

28 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEJOS

Cualquier número complejo (a, b) puede expresarse en la forma a + bi, asaber:

(a, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1) = a+ b · iEsta forma de escribir un número complejo se llama forma binómica.

Los números complejos no reales se llaman imaginarios.

Observación 3.1.2 La unidad imaginaria veri�ca:

i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1

por tanto√−1 = ±i

De�nición 3.1.2 Dos números complejos se llaman conjugados si tienen lamisma parte real y sus partes imaginarias son opuestas. El conjugado de z serepresenta por z.

De�nición 3.1.3 Se de�ne el módulo de un número complejo z como el númeroreal positivo que se obtiene como raíz cuadrada positiva del producto de esenúmero complejo por su conjugado. El módulo de z, se representa por |z|, esdecir:

|z| = +√z · z

Observación 3.1.3 Para efectuar la división de complejos en forma binómica,se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador:

z

w=z · ww · w =

z · w|w|2

Teorema 3.1.1 Se veri�ca:

i0 = 1; i1 = 1; i2 = −1; i3 = −i

Sean n,m ∈ N tales que n = 4m+ r; 0 ≤ r < 4. Entonces in = ir.

De�nición 3.1.4 Una vez �jado un sistema de referencia cartesiano en elplano, a cada número complejo z = a + bi le corresponde un único punto delplano, de coordenadas (a, b) que se denomina a�jo de z.

Observación 3.1.4 |z| es la longitud del segmento que une el origen conel a�jo de z.

|z − w| representa la distancia entre los a�jos de z y de w.

El a�jo de z es el simétrico respecto al eje horizontal del a�jo de z.

El a�jo de −z es el simétrico respecto al origen del a�jo de z.

3.1. PRONTUARIO 29

La suma de dos números complejos se puede interpretar grá�camente me-diante la llamada regla del paralelogramo: Si por cada a�jo trazamos unarecta paralela al segmento que une el origen con el otro a�jo, el punto decorte de estas dos rectas corresponde al a�jo de la suma de los dos númeroscomplejos considerados.

Multiplicar un número complejo por la unidad imaginaria corresponder agirar su a�jo 90o sobre el origen en sentido contrario a las agujas del reloj.

De�nición 3.1.5 Se llama argumento de un número complejo z y se representapor arg(z), al ángulo que forma el segmento que une el origen con el a�jo dez y el semieje horizontal positivo. A la única determinación de este ángulo enel intervalo [0, 2π) se le denomina argumento principal de z y se representa porArg(z).

De�nición 3.1.6 Se llama forma polar de un número complejo z a la carac-terizada por su módulo y su argumento. El complejo z se expresa en forma polarescribiendo:

z = |z|arg(z)

Observación 3.1.5 z = |z|2π−Arg(z)

−z = |z|π+Arg(z)

Teorema 3.1.2 (Operaciones con complejos en forma polar) Producto:

Mα ·Nβ = (M ·N)α+β

Cociente:Mα

Nβ=(M

N

)

α−β

Potenciación:(Mα)n = (Mn)n·α

Observación 3.1.6 Multiplicar un número complejo z por otro número com-plejo w, con |w| = 1, corresponde a girar el a�jo de z sobre el origen un ánguloigual a Arg(w) en sentido contrario a las agujas del reloj.

Teorema 3.1.3 (Relación entre la forma binómica y la forma polar) Seaz = a+ bi. Entonces:

|z| = +√a2 + b2

Arg(z) = arctg

(b

a

)

Sea z = Mα. Entonces:{

Re(z) = Mcos(α)Arg(z) = Msen(α)


De esta última expresión se deduce que:

z = Mα = M(cos(α) + isen(α))

Esta forma de expresar un número complejo se denomina forma trigonométrica.

Teorema 3.1.4 Se veri�ca:

eiα = cos(α) + isen(α)

por tanto, un número complejo z = Mα se puede expresar en la forma:

z = Meiα

Esta forma de expresar un número complejo se denomina forma exponencial.

De�nición 3.1.7 Sea z ∈ C. Se de�ne el logaritmo neperiano de z como:

ln(z) = ln(|z|) + iarg(z)

Se denomina determinación principal del logaritmo, a:

Ln(z) = ln(|z|) + iArg(z)

De�nición 3.1.8 Sean z, w ∈ C. Se de�ne:

zw = ewln(z)

Teorema 3.1.5 Sea z ∈ C y n ∈ N; n > 1. Existen exactamente n númeroscomplejos w0, w1, . . . , wn−1 que son raíces n−ésimas de z, es decir, wnk = z; ∀ k =0, 1, . . . , n− 1. De hecho:

{|wk| = n

√|z|; ∀ k = 0, 1, . . . , n

Arg(wk) = Arg(z)+k·2πn ; ∀ k = 0, 1, . . . , n

Teorema 3.1.6 Los vértices de las raíces n−ésimas de la unidad son los vér-tices de un n−ágono regular inscrito en la circunferencia de centro z = 0 y radior = 1.

Teorema 3.1.7 (Teorema fundamental del álgebra) Una ecuación polinómi-ca de grado n tienen exactamente n raíces complejas.

Teorema 3.1.8 Si un número complejo z es solución de una ecuación polinómi-ca con coe�cientes reales, el número complejo z es también solución de la mismaecuación.

Teorema 3.1.9 Toda ecuación polinómica de grado impar con coe�cientes realestiene al menos una solución real.

3.2. EJERCICIOS 31

3.2. EjerciciosEjercicio 3.1 Calcula:

(3− 2i)(2 + 3i)3− 4i

i13241

Ejercicio 3.2 Representa y expresa en forma trigonométrica lo números com-plejos:

5√

32

+52i

(5√

32

+52i

)−1

7

√5√

32

+52i

∣∣∣∣∣5√

32

+52i

∣∣∣∣∣

Ejercicio 3.3 Calcula a, b para que 3b− 2ai4− 3i

sea real y de módulo la unidad.

Ejercicio 3.4 ¾Cuál es el argumento principal de un complejo z en cada unode los siguientes casos?

z es un número real positivo

z es un número real negativo

z es un número imaginario puro.

Ejercicio 3.5 Si z es un complejo arbitrario, demuestra que los complejos u =z2 + 12z + i

y w =z2 + 12z − i son conjugados, y calcula ambos para z = 3− 5i

Ejercicio 3.6 Expresa en forma polar los complejos:

i

−1

3 + 3i

1 +√

3i

12√

3− 2i


Ejercicio 3.7 Expresa en forma binómica los números complejos:

2π2

2 3π4

5π4

1π6

Ejercicio 3.8 Resuelve en C las siguientes ecuaciones:

z2 − 3z + 9 = 0

z4 + 16 = 0

(1 + i)z3 − 2i = 0

(1 + i)z3 − zi = 0

z3 − (1 + i) = 0

Ejercicio 3.9 Calcula el valor de a y c en la ecuación z3 + az2 + cz + 5 = 0 si1 + 2i es una de sus raíces.

Ejercicio 3.10 Determina un número complejo z cuyo cuadrado sea igual a suconjugado.

Ejercicio 3.11 Halla dos números complejos tales que su suma sea 1 + 6i y sucociente sea imaginario puro, suponiendo que la parte real del que se toma comodivisor al calcular el cociente es −1.

Ejercicio 3.12 Calcula√i√

1 + i

4√−i3√−1 + i

6√

1−√3i

(√

3− i)10

Ejercicio 3.13 Usando la fórmula de De Moivre, calcula cos(3α), sen(3α) enfunción de sen(α), cos(α). A partir de esas fórmulas, expresa tg(3α) en funciónde tg(α). Repite el mismo ejercicio para el caso de un ángulo cos(4α), sen(4α), tg(4α).

Ejercicio 3.14 Calcula las raíces sextas de la unidad.

Ejercicio 3.15 Expresa en forma exponencial los números complejos:

3.2. EJERCICIOS 33

ei

5(cos(π

3

)+ isen

(π3

))

1 +√

3ie√2− e√

2i

Ejercicio 3.16 Halla el lugar geométrico descrito por el a�jo A de z sabiendoque el módulo de z + 1 es igual a 2.

Ejercicio 3.17 Determina analítica y geométricamente los conjuntos de com-plejos z = x+ iy, tales que:

Re(z) + Im(z) = 1

|z| ≤ 1

|z + 1| < |z − 1||z − i| ≤ |z + i||2z + 3| < 1

|z| ≤ |2z + i|zz = |z|2∣∣∣∣z − 3z + 2

∣∣∣∣ = 2

Ejercicio 3.18 Calcula el valor principal de:

ln(i)

ln(−i)ln(−1)

ln(3 + 3i)

logi(−2i)

Ejercicio 3.19 Calcula:

ii

(1− i√

2

)(1+i)

i1+i

(1 + i)(2+i)


Ejercicio 3.20 Halla el módulo y el argumento de z = ln(1 + i)i

Ejercicio 3.21 Determina analítica y geométricamente los siguientes conjun-tos:

{z ∈ C / |z + i| = 2}{z ∈ C / |z − 1 + 2i| ≤ 2}

{z ∈ C / Arg(z) =π

4}

{z ∈ C / Arg(z − i) =π

4}

{z ∈ C / 1 ≤ |z + 1| ≤ 2}{z ∈ C / |z + 2| = |z + 2i|}{z ∈ C / |z − 1 + i| ≤ 3} ∩ {z ∈ C / |z + 1| > |z − i|}

Parte III

Análisis real de funciones deuna variable real

35

Capítulo 4

Funciones reales de variablereal

4.1. ProntuarioDe�nición 4.1.1 Sea a ∈ R, ó a = +∞, óa = −∞. Una función f(x) se diceque es un in�nitésimo en a, si lım

x→af(x) = 0

De�nición 4.1.2 Dos in�nitésimos f(x) y g(x) en a se dicen equivalentes si:

lımx→a

f(x)g(x)

= 1

Nota 4.1.1 En los límites que presentan la indeterminación(

00

), puede susti-

tuirse un in�nitésimo por otro equivalente, si �gura en productos o en cocientes(nunca en sumas o restas)

Teorema 4.1.1 (In�nitésimos equivalentes) Se tiene:

sen(x) ∼ x (x→ 0)

tg(x) ∼ x (x→ 0)

1− cos(x) ∼ x2

2(x→ 0)

ln(1 + x) ∼ x(x→ 0)

ax − 1 ∼ xln(a) (x→ 0)

(1 + x)m − 1 ∼ mx (x→ 0)

37

38 CAPÍTULO 4. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Teorema 4.1.2 Sea P (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anx

n un polinomio concoe�cientes reales y sea a ∈ R. Entonces, P (x) se puede escribir en potenciasde (x− a), es decir:

P (x) = b0 + b1(x− a) + b2(x− a)2 + · · ·+ bn(x− a)n

donde:b0 = P (a); bk =

P k)(a)k!

; ∀ k = 1, 2, . . . , n

De�nición 4.1.3 Sea f : D ⊆ R → R, f n veces derivable en a ∈ D ∩ D′.Se llama polinomio de Taylor de grado n de la función f en el punto a, yrepresentamos por Pn,a[f ](x) al polinomio:

Pn,a[f ](x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)2!

(x− a)2 + · · ·+ fn)(a)n!

(x− a)n

Teorema 4.1.3 Se veri�can las siguientes propiedades:

f(a) = Pn,a[f ](a); f ′(a) = P ′n,a[f ](a); f ′′(a) = P ′′n,a[f ](a); fn)(a) =

Pn)n,a[f ](a)

lımx→a

[f(x)− Pn,a[f ](x)] = 0

De�nición 4.1.4 Sea f : D ⊆ R → R, f n veces derivable en a ∈ D ∩D′. Sellama resto del polinomio de Taylor de grado n de la función f en el punto a, yrepresentamos por Rn,a[f ](x), o término complementario a la expresión:

Rn,a[f ](x) = f(x)− Pn,a[f ](x)

Observación 4.1.1 En las condiciones anteriores

f(x) = Pn,a[f ](x) +Rn,a[f ](x)

A esta expresión se le denomina desarrollo de Taylor de grado n de la funciónf en el punto a.

Teorema 4.1.4 Sea f : (b, c)→ R, f n veces derivable en a ∈ (b, c). Se veri�ca:

lımx→a

Rn,a[f ](x)(x− a)n

= 0

Teorema 4.1.5 Sea f : (b, c)→ R, f n veces derivable en a ∈ (b, c). Se veri�-can las siguientes expresiones para el término complementario:

Expresión de Lagrange del término complementario:

Rn,a[f ](x) =fn+1)(t)(n+ 1)!

(x− a)n+1; t entre x y a

4.2. EJERCICIOS 39

Expresión de Cauchy del término complementario:

Rn,a[f ](x) =fn+1)(t)

n!(x− t)n(x− a); t entre x y a

Observación 4.1.2 En el caso particular de que estemos haciendo el estudiolocal en el punto x = 0, al desarrollo de Taylor resultante se le suele llamardesarrollo de Mc-Laurin.

Teorema 4.1.6 (Desarrollos de Mc-Laurin de las funciones elementales)Se tiene:

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ · · ·

sen(x) = x− x3

3!+x5

5!− · · · ± x2n−1

(2n− 1)!∓ · · ·

cos(x) = 1− x2

2!+x4

4!− · · · ± x2n

(2n)!∓ · · ·

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− · · ·+ (−1)n+1x

n

n+ · · ·

Teorema 4.1.7 Sea f : (a, b)→ R, f n veces derivable en x0 ∈ (a, b). Supong-amos que se veri�ca:

fk)(x0) = 0; ∀ k = 1, 2, . . . , n− 1; fn)(x0) 6= 0

Entonces:

Si n es par:

• fn)(x0) > 0⇒ f tiene un mínimo relativo en x0.• fn)(x0) < 0⇒ f tiene un máximo relativo en x0.

Si n es impar, entonces f no tiene en x0 ni máximo ni mínimo relativo.En este caso, f tiene en x0 un punto de in�exión.

4.2. EjerciciosEjercicio 4.1 Haciendo uso de in�nitésimos equivalentes, calcula:

lımx→0

1− cos(x)x3

lımx→1

sen(x2 − 1)x− 1

lımx→0

3x − 2x

x


lımx→0

xarctg(x

2

)

cos(x)sen2(x)

lımx→0

tg(x)− sen(x)x3

lımx→0

cotg(x)√|1− cos(x)|

lımx→0

(cos(x))cotg2(x)

lımx→0

(x+ e2x)1x

lımx→0

1xln

√1 + x

1− xEjercicio 4.2 Sea P (x) un polinomio de grado 4 tal que P (2) = −1; P ′(2) =0; P ′′(2) = 2; P ′′′(2) = −12; P IV )(2) = 24. Determina P (−1); P ′(0); P ′′(1)

Ejercicio 4.3 Desarrolla por Mac-Laurin f(x) =1

1 + x

Ejercicio 4.4 Dado el polinomio P (x) = 3x4 + 2x3 + 5x2 + 2x+ 4, desarróllaloen potencias de (x+ 1).

Ejercicio 4.5 Calcula el polinomio de Taylor de grado n = 3 en el punto x = 0de la función f(x) = ee

x .

Ejercicio 4.6 Calcula el polinomio de Taylor de grado n = 4 en el punto x = 0de la función f(x) = esen(x)

Ejercicio 4.7 Halla el polinomio de Taylor de grado 2n de f(x) = sen(x) enx =

π

2.

Ejercicio 4.8 Halla el polinomio de Taylor de grado 2n de f(x) = cos(x) enx = π.

Ejercicio 4.9 Halla el polinomio de Taylor de grado n de f(x) = ex en x = 1

Ejercicio 4.10 Halla el polinomio de Taylor de grado n de f(x) = ln(x) enx = 2

Ejercicio 4.11 Desarrolla por la fórmula de Mac-Laurin la función f(x) = ex.

Ejercicio 4.12 Obtén una cota del error que se comete al tomar como valordel número e la suma siguiente:

e = 1 +11!

+12!

+13!

4.2. EJERCICIOS 41

Ejercicio 4.13 Desarrolla por la fórmula de Mac-Laurin la función f(x) =ln(1 + x).

Ejercicio 4.14 Justi�ca la relación:

√1 + x ' 1 +

x

2− x2

8; 0 < x < 1

y acota el error cometido en la aproximación.

Ejercicio 4.15 Demuestra que si x > 0, entonces se tiene:

3√

1 + x < 1 +x

3− x2

9+x3

16

Ejercicio 4.16 Calcula e0,4 con un error menor que una milésima.

Ejercicio 4.17 Halla la fórmula de Mac-Laurin de la función f(x) = sen(x)hasta el grado 2n+ 1.

Ejercicio 4.18 Halla la fórmula de Mac-Laurin de la función f(x) = cos(x)hasta el grado 2n

Ejercicio 4.19 Calcula los máximos, los mínimos y los puntos de in�exión dela función f(x) = x5 − 5x4 + 10x3 − 10x2 + 5x− 1

Ejercicio 4.20 Halla los máximos, mínimos y puntos de in�exión de f(x) =x4 + 8x3 + 24x2 + 32x+ 16

Ejercicio 4.21 Calcula los siguientes límites, usando desarrollos de Taylor:

lımx→0

x− sen(x)x(1− cos(3x))

lımx→0

[1

sen2(x)− 1x2

]

lımx→0

x− ln(1 + x)

(1− cos(x

2

))

lımx→0

x− sen(x)x− tg(x)

lımx→0

x− sen(x)x3

lımx→0

ln(1 + x)− x1− cos

(x2

)


lımx→0

ln(1 + x2)x2

lımx→0

sen(x)ex − ax

lımx→0

ln(x+ 1)− sen(x) + 1− cos(x)tg(x)− x

lımx→0

tg(x) + 2sen(x)− 3xx4

Ejercicio 4.22 Halla el desarrollo de Mac-Laurin de la función f(x) = eax

hasta el término de orden 2. Calcula el valor de a para que esta aproximaciónde la función, evaluada en x = 1, valga 1

2.

Ejercicio 4.23 Obtén el desarrollo de Mac-Laurin correspondiente a la sextaderivada de la función:

f(x) =ex − e−x

2Nota: Esta función se llama seno hiperbólico y se suele representar por f(x) =sh(x).

Ejercicio 4.24 Utilizando el polinomio de Taylor de grado 2 en x = 1, de lafunción f(x) = xx, calcula una solución aproximada de la ecuación xx =

52

Capítulo 5

Cálculo de primitivas

5.1. ProntuarioDe�nición 5.1.1 Llamaremos primitiva de una función f a toda función Fcon el mismo dominio que f y tal que en todo punto x e su dominio s veri�caF ′(x) = f(x).Teorema 5.1.1 (Tabla de primitivas inmediatas) Se tiene:

∫k dx = kx+ C

∫xn dx =

xn+1

n+ 1+ C; n 6= −1

∫1xdx = ln(x) + C

∫ex dx = ex + C

∫ax dx =

ax

ln(a)+ C

∫sen(x) dx = −cos(x) + C

∫cos(x) dx = sen(x) + C

∫tg(x) dx = −ln(cos(x)) + C

∫cotg(x) dx = ln(sen(x)) + C

∫1

cos2(x)dx = tg(x) + C

∫1

sen2(x)dx = −cotg(x) + C

∫1

1 + x2dx = arctg(x) + C

∫1√

1− x2dx = arcsen(x) + C

∫ −1√1− x2

dx = arccos(x) + C∫

1a2 + x2

dx =1aarctg

(xa

)+ C

∫1√

a2 − x2dx = arcsen

(xa

)+ C

∫ −1√a2 − x2

dx = arccos(xa

)+ C

Existen dos integrales que aparecen frecuentemente y que se tratan como inmedi-atas: ∫

1√x2 − 1

dx = ln(x+√x2 − 1) + C

∫1√

x2 + 1dx = ln(x+

√x2 + 1) + C

43

44 CAPÍTULO 5. CÁLCULO DE PRIMITIVAS

Teorema 5.1.2 Se veri�can las siguientes propiedades:∫f(x) dx+

∫g(x) dx =

∫[f(x) + g(x)] dx

k ·∫f(x) dx =

∫kf(x) dx

Teorema 5.1.3 (Método de sustitución o cambio de variable) Se utilizapara integrales de la forma:

∫f(g(x)) · g′(x) dx

Se realiza el cambio:t = g(x)dt = g′(x) dx

luego al sustituir queda:∫f(g(x)) · g′(x) dx =

∫f(t) dt

Teorema 5.1.4 (Método de integración por partes) Se usa cuando el in-tegrando es un producto de un polinomio por una función trascendente o bienes producto de funciones trascendentes. Se utiliza la fórmula:

∫u dv = u · v −

∫v du

Teorema 5.1.5 (Integración de funciones racionales) Se trata de integrarfunciones del tipo: ∫

P (x)Q(x)

dx; P (x), Q(x) ∈ Z[x]

Distinguimos los siguientes casos:

1. grad(P (x)) ≥ grad(Q(x)). En este caso se debe hacer la división de P (x)÷Q(x), obteniendo así:

P (x)Q(x)

= C(x) +R(x)Q(x)

siendo C(x), R(x) el cociente y el resto respectivamente de la división an-terior. Por tanto, se veri�cará grad(R(x)) < grad(Q(x)) y estaríamos enel siguiente caso.

2. grad(P (x)) < grad(Q(x)). Hallamos las raíces de Q(x) y distinguimos lossiguientes casos a su vez:

5.1. PRONTUARIO 45

a) Q(x) sólo tiene raíces reales simples {α1, α2, . . . , αn}. En este caso,el integrando se descompone en fracciones simples, así:

P (x)Q(x)

=A1

x− α1+

A2

x− α2+ · · ·+ An

x− αnsiendo

∫Ak

x− αk dx = Akln|x− αk|; ∀ k = 1, 2, . . . , n

b) Q(x) sólo tiene raíces reales pero al menos una de ellas múltiple. Seaα una de éstas raíces de multiplicidad r. Entonces, para esta raíz αaparecen r fracciones en la descomposición en fracciones simples deP (x)Q(x)

, del tipo:

A1

x− α +A2

(x− α)2+ · · ·+ Ar

(x− α)r

siendo∫

Ak(x− α)k

dx =Ak

(−k + 1)(x− α)k−1); ∀ k = 2, 3, . . . , r

c) Q(x) tiene al menos dos raíces complejas conjugadas α ± βi. Seax2 + px+ q el polinomio de segundo grado que tiene como solucionesestas dos raíces complejas conjugadas. En primer lugar observamosque se puede escribir:

x+px+ q = (x− α)2 + β2

Asociada a estas dos raíces complejas conjugadas, la descomposiciónen fracciones simples de P (x)

Q(x)contiene un sumando del tipo:

Mx+N

x2 + px+ q

donde:∫

Mx+N

x2 + px+ qdx =

∫Mx+N

(x− α)2 + β2dx =

∫Mx−Mα+Mα+N

(x− α)2 + β2dx =

=∫

M(x− α)(x− α)2 + β2

dx+∫

Mα+N

(x− α)2 + β2dx = I1 + I2

donde en I1 se hace el cambio t = (x − α)2 + β2 y se obtiene unlogaritmo neperiano y en I2 se saca factor común β2 y se obtieneuna integral del tipo arco tangente que se resuelve con el cambio t =x− αβ

.


Teorema 5.1.6 (Integración de funciones trigonométricas) Distinguimoslos siguientes casos:∫

R(sen(x), cos(x)) dx. Se hace el cambio:

t = tg(x

2

)

dx =2dt

1 + t2

sen(x) =2t

1 + t2

cos(x) =1− t21 + t2

∫R(sen(x), cos(x)) dx, con R(−sen(x),−cos(x)) = R(sen(x), cos(x)).

Se hace el cambio:t = tg(x)

dx =dt

1 + t2

sen(x) =t√

1 + t2

cos(x) =1√

1 + t2

∫senm(x)cosn(x) dx. Distinguimos a su vez los siguientes casos:

• m impar positivo. Se aparta un seno y se hace el cambio t = cos(x).• n impar positivo. Se aparta un coseno y se hace el cambio t = sen(x).• m,n pares. Se usan las siguientes identidades:

sen(x)·cos(x) =sen(2x)

2; sen2(x) =

1− cos(2x)2

; cos2(x) =1 + cos(2x)

2∫sen(mx)cos(nx) dx;


∫cos(mx)cos(nx) dx.

Se usan las identidades trigonométricas:

sen(mx)cos(nx) =12

[sen((m+ n)x) + sen((m− n)x)]

sen(mx)sen(nx) =12

[cos((m+ n)x)− cos((m− n)x)]

cos(mx)cos(nx) = −12

[cos((m+ n)x) + cos((m− n)x)]

Teorema 5.1.7∫ √

a2 − b2x2 dx. Cambio:

t =a

bsen(t)⇒

√a2 − b2x2 = acos(t)

5.2. EJERCICIOS 47∫ √

a2 + b2x2 dx. Cambio:

t =a

btg(t)⇒

√a2 + b2x2 =

a

cos(t)

∫ √a2x2 − b2 dx. Cambio:

t =b

asec(t)⇒

√a2x2 − b2 = btg(t)

5.2. Ejercicios5.2.1. Cambio de variableEjercicio 5.1

∫5x4 + 6x

x5 + 3x2 + 1dx

∫4x

2−3x dx

∫x3

cos2(x4 + 2)dx

∫sen5(x)cos(x) dx

∫dx

x(ln(x))3dx

∫x− 1

1 + (x2 − 2x)2dx

∫ex√

4− (ex − 1)2dx

5.2.2. Por partes

Ejercicio 5.2∫

(x+ 1)sen(x− 2) dx

∫e2x+1sen(2x+ 1) dx

∫(x2 + 1)ex+1 dx

∫(x6 − 5x4 + 2x3 + 1)ln(x) dx


5.2.3. Racionales con raíces reales simples

Ejercicio 5.3∫x3 − 4x2 − 1

dx

∫3x4

x2 − 4dx

∫x2 − 3

x3 − 6x2 + 3x+ 10dx

∫dx

x3 + 3x2 − x− 3

5.2.4. Racionales con raíces reales múltiples

Ejercicio 5.4∫

x4 + 1x3 + x2 − 5x+ 3

dx

∫x3

x3 − 5x2 + 8x− 4dx

∫3x− 2

(x+ 1)2(x− 1)dx

∫1− 2x

(x+ 4)(x+ 2)2dx

5.2.5. Racionales con raíces complejas simples

Ejercicio 5.5∫

1(x2 + 4)x

dx

∫x− 2

x3 − x2 + x− 1dx

∫x− 3

x2 − 2x+ 4dx

∫2x− 1

x3 − 5x2 + 10x− 6dx

5.2.6. Trigonométricas: cambio t = tg(x

2

)

Ejercicio 5.6∫

dx

cos(x) + sen(x) + 3∫

dx

8− 4sen(x) + 7cos(x)

5.2. EJERCICIOS 49∫

dx

3 + 5cos(x)∫

dx

sen(x) + cos(x)

5.2.7. Trigonométricas: cambio t = tg(x)

Ejercicio 5.7∫

dx

9cos2(x)− sen2(x)∫

dx

sen2(x)cos4(x)∫

dx

1 + tg(x)

5.2.8. Trigonométricas: tipo∫senm(x)cosn(x) dx

Ejercicio 5.8∫sen5(x) dx

∫sen4(x)ctg3(x) dx

∫tg3(x)sec2(x) dx

∫sec2(x)cosec3(x)

dx

∫sen6(x) dx

∫cos4(2x) dx

∫sen2(x+ 1)cos2(x+ 1) dx

∫cos2(x)sen4(x) dx

5.2.9. Trigonométricas: tipos∫sen(mx)cos(nx) dx;


∫cos(mx)cos(nx) dx

Ejercicio 5.9∫sen(6x)cos(3x) dx

50 CAPÍTULO 5. CÁLCULO DE PRIMITIVAS∫cos(5x)cos(10x) dx

∫cos(6x)sen(x+ 1) dx

∫sen(4x+ 1)sen(4x− 1) dx

5.2.10. Irracionales: tipos√a2 − b2x2;

√a2 + b2x2;

√a2x2 − b2

Ejercicio 5.10∫

2√

4− 2x2 dx

∫x2√

4− 4x2 dx

∫dx

x√

3 + 2x2dx

∫ √2x2 − 8x

dx

5.2.11. Miscelánea de integrales

Ejercicio 5.11∫ln

(x− 1x+ 1

)dx

∫x− 1

x2 − x− 2dx

∫x− 3√2− x2

dx

∫dx

xsen2(ln(x))∫

x2

x3 + xdx

Ejercicio 5.12∫

dx

1 + 3cos2(x)∫sen(6x)cos(x) dx

∫x√

7 + x2 dx

∫(x3 + 2)ex−3 dx

5.2. EJERCICIOS 51∫sen2(ex)cos(ex)ex dx

Ejercicio 5.13∫

x+ 1x3 + x2 − 6x

dx

∫ √x+ 1 dx

∫cosec3(x)cos2(x) dx

∫5x2 + 8

x3 + 2x2 + 4xdx

∫(7 + cos(x))5sen(x) dx

Ejercicio 5.14∫

(x+ 1)sen(2x) dx

∫dx

sen2(x)cos2(x)∫

3sen(x) + 2cos(x)2sen(x) + 3cos(x)

dx

∫(x+ 1)arctg(x) dx

∫3x2 + 2x+ 2

x3 − 1dx

Ejercicio 5.15∫sen(3x)sen(−x) dx

∫sen(2x)

1 + sen2(x)dx

∫cos(x)

sen2(x) + 2sen(x) + 1dx

∫ √x+ 1 dx

∫dx

x[1 + (ln(x))2]dx

Ejercicio 5.16∫

1 + tg(x)1− tg(x)

dx

52 CAPÍTULO 5. CÁLCULO DE PRIMITIVAS∫cos(x)esen(x) dx

∫ln

(x+ 1x− 3

)dx

∫dx

sen8(x)∫

cos(x)cos2(sen(x))− 1

dx

Ejercicio 5.17∫sec6(x) dx

∫xsen(x2 + 1)cos(x2 − 1) dx

∫dx

x3 − 6x2 + 12x− 8∫

x2 − 4x+ 13√x3 − 6x2 + 3x

dx

∫e−x+1sen(x− 1) dx

Ejercicio 5.18∫

dx

(1 + sen(x))2

∫x√

2x2 − 4 dx

∫ √5x2 − 1

3xdx

∫7 dx

5 + cos(x)∫cotg5(x) dx

Ejercicio 5.19∫

x− 3x3 + 2x2 + 5x

dx

∫sen3(x)ln(cos(x)) dx

∫(x− 1)

√x− 1 dx


3x+ 15x2 + 7

dx

∫3cos(x)

5cos(x)− sen(x)dx

Ejercicio 5.20∫

cos(x)sen25(x)

dx

∫dx

cos(x)− 2sen(x) + 1∫ √

5− x2 dx

∫ √1 + cos(2x) dx

∫dx

x(x2 + x+ 1)

Ejercicio 5.21∫x2cos(x) dx

∫ex

e2x − 3exdx

∫dx

x2√

4 + x2

∫xsen2(x2 + 1)cos(x2 + 1) dx

∫5sen(x)− 5cos(x)2sen(x) + 4cos(x)

dx

Ejercicio 5.22∫xarctg(x+ 1) dx

∫x− 2

x3 − 5x2 + 16x− 30dx

∫x2ln

(x+ 1x− 2

)dx

∫x+√x√

xdx

∫(x3 + x2 + 1)ex−1 dx


Ejercicio 5.23∫x3sen(x− 3) dx

∫x− 2√x+ 1

dx

∫sen(ln(x))xcos3(ln(x))

dx

∫(sen2(x) + cos2(x)) dx

Capítulo 6

Aplicaciones de la integración

6.1. ProntuarioTeorema 6.1.1 Sean f, g dos funciones integrables en I = [a, b]. Se veri�canlas siguientes propiedades:

∫ b

a

f(x) dx =∫ c

a

f(x) dx+∫ b

c

f(x) dx; c ∈ (a, b)

∫ b

a

f(x) dx−∫ a

b

f(x) dx

∫ a

a

f(x) dx = 0

∫ b

a

(f(x)± g(x)) dx∫ b

a

f(x) dx± k∫ b

a

g(x) dx

f(x) ≥ 0; forall x ∈ I ⇒∫ b

a

f(x) dx ≥ 0

f(x) ≤ 0; forall x ∈ I ⇒∫ b

a

f(x) dx ≤ 0

f(x) ≥ g(x); ∀ x ∈ I ⇒∫ b

a

f(x) dx ≥ 0

Teorema 6.1.2 (Regla de Barrow) Sea f una función continua en I, y seaF una primitiva de f . Entonces:

∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a)

55

56 CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN

De�nición 6.1.1 Sea f : I → R continua. Se de�ne la función integral de fen I como:

F : I → R

x 7→ F (x) =∫ x

a

f(t) dt

Teorema 6.1.3 (Teorema fundamental del cálculo integral) Si F es lafunción integral de f en I, entonces F es una primitiva de f en I, esto es:

d

dx

(∫ x

a

f(t) dt)

= f(x)

Teorema 6.1.4 (Área) Sea f una función continua y positiva en I. Elárea que determina la función con el eje de abscisas entre las rectas x = a

y x = b coincide con∫ b

a

f(x) dx

Sea f una función continua en I. El área que determina la función con el

eje de abscisas entre las rectas x = a y x = b coincide con∫ b

a

|f(x)| dx

Sean f, g funciones continuas en I. El área que determinan dichas fun-

ciones coincide con∫ b

a

|f(x)− g(x)| dx

Teorema 6.1.5 (Volumen) Para calcular el volumen V de un sólido de rev-olución:

Si el eje de giro es el eje horizontal:

V = π

∫ b

a

R2(x) dx

donde R(x) es el radio de disco que gira para cada x en I.

Si el eje de giro es el eje vertical:

V = π

∫ b

a

R2(y) dy

donde R(y) es el radio de disco que gira para cada y en I.

Si el sólido tiene un agujero:

V = π

∫ b

a

[R2(x)− r2(x)] dx

donde R(x) y r(x) son, respectivamente, el radio externo e interno deldisco que gira, para cada x en I.

6.1. PRONTUARIO 57

Teorema 6.1.6 (Longitud de un arco) Si y = f(x) representa una curvasuave en I, la longitud de arco de f entre a y b viene dada por:

s =∫ b

a

√1 + [f ′(x)]2 dx

Teorema 6.1.7 (Área de una super�cie de revolución) Si y = f(x) tienederivada continua en I, entonces el área de la super�cie de revolución S formadaal girar la grá�ca de f alrededor de un eje horizontal o vertical es:

S = 2π∫ b

a

r(x)√

1 + [f ′(x)]2 dx

donde r(x) representa, para cada x en I, la distancia desde la grá�ca de f y eleje de revolución correspondiente.

Teorema 6.1.8 (Centroide) Sean f, g funciones continuas en I con f(x) ≥g(x) en I. El centro de masas, o centroide, de la lámina determinada por lasgrá�cas de f y g, viene dado por:

(x, y) =(My

m,Mx

m

)

con:Mx =

∫ b

a

f2(x)− g2(x)2

dx

My =∫ b

a

x[f(x)− g(x)] dx

m =∫ b

a

[f(x)− g(x)] dx

De�nición 6.1.2 Llamaremos integral impropia a aquellas en las que el inter-valo de itegración no está acotado y/o la función no está acotada en una cantidad�nita de puntos del intervalo de integración. Atendiendo a esta de�nición, lasintegrales impropias se clasi�can en:

Integrales impropias de 1a especie: intervalo de integración no acotado.

Integrales impropias de 2a especie: la función no está acotada.

Integrales impropias de 3a especie: son a la vez de 1a y de 2a especie.

Teorema 6.1.9 Se veri�ca:∫ +∞

a

f(x) dx = lımb→+∞

∫ b

a

f(x) dx

∫ b

a

f(x) dx = lımc→b−

∫ c

a

f(x) dx, siendo c un punto de I donde la funciónno está acotada.


De�nición 6.1.3 Se de�ne la función Gamma de Euler, o función eulerianade 1a especie y se representa por Γ como:

Γ : (0,+∞)→ R

Γ(p) =∫ +∞

0

xp−1e−x dx


Γ(1) = 1

Γ(p+ 1) = pΓ(p)

Γ(n+ 1) = n!; ∀ n ∈ N

Γ(

12

)=√π

De�nición 6.1.4 Se de�ne la función beta de Euler, o función euleriana de 2aespecie y se representa por β, como:

β : (0,+∞)× (0,+∞)→ R

β(p, q) =∫ 1

0

xp−1(1− x)q−1 dx


β(p, q) = β(q, p)

β(p, q) = 2∫ π

2

0

sen2p−1(θ)cos2q−1(θ) dθ

β(p, q) =Γ(p) · Γ(q)Γ(p+ q)

6.2. Ejercicios6.2.1. Cálculo de áreas, longitudes y volúmenesEjercicio 6.1 En cada uno de los siguientes apartados, haz un esbozo de laregión acotada por las grá�cas de las ecuaciones dadas y calcula el área de laregión:

y =1x2

; y = 0; x = 1; x = 5

y =1x2

; y = 4; x = 5

6.2. EJERCICIOS 59

y =x

(x2 + 1)2; y = 0; x = 1

y = 1− x

2; y = x− 2; y = 1

x = y2 − 2y; x = 0

x = y2 − 2y; y = 0; x = −1

y = x; y = x3

x = y2 + 1; x = y + 3

y = x2 − 8x+ 3; y = 3 + 8x− x2

y =√x− 1; y =

x− 12

√x+√y = 1; y = 0; x = 0

y = x4 − 2x2; y = 2x2

Ejercicio 6.2 En cada uno de los siguientes apartados, calcula el volumen delsólido generado al girar la región acotada por las ecuaciones dadas en torno dela recta indicada:

y = x; y = 0; x = 4

• el eje X• el eje Y• la recta x = 4

• la recta x = 6

y =√x; y = 2; x = 0

• el eje X• el eje Y• la recta y = 2

• la recta x = −1

x2

16+y2

9= 1

• el eje X (esferoide prolato)• el eje Y (esferoide oblato)

x2

a2+y2

b2= 1

• el eje X (esferoide prolato)


• el eje Y (esferoide oblato)

y =1

(x2 + 1)2; y = 0; x = 0; x = 1

• el eje Y

y =√

(x+ 1)3; y = 0; x = −1; x = 1

• el eje X

y = −x2 + 6x− 5; y = 0

• el eje X• el eje Y

y = x3 + 1; y = 2; x = 0

• el eje X

Ejercicio 6.3 En cada uno de los apartados siguientes, halla el centroide de laregión acotada por grá�cas de las ecuaciones dadas:

√x+√y =√a; x = 0; y = 0

y = x2; y = 2x+ 3

y = a2 − x2; y = 0

y = x23 ; y =

12x

Ejercicio 6.4 Escribe una integral que represente la longitud del arco del círculox2 + y2 = 4 desde (−√3, 1) hasta (

√3, 1), en el sentido de las agujas del reloj.

Ejercicio 6.5 Calcula la longitud de la grá�ca de y =16x3 +

12x

, desde x = 1hasta x = 3

Ejercicio 6.6 Calcula por integración el área de la super�cie de un cono cir-cular recto de altura 4 y radio 3.

Ejercicio 6.7 Un depósito de gasolina tiene forma de esferoide oblato generadopor la región acotada por la grá�ca de x2

16+y2

9= 1 al girar en torno el eje Y ,

donde x e y se miden en pies. Calcula la profundidad de la gasolina cuando eldepósito está lleno a un cuarto de su capacidad.

Ejercicio 6.8 Calcula el área de la región acotada por y = x√x+ 1 e y = 0.

Ejercicio 6.9 Se hace girar la región de�nida en el ejercicio anterior en tornoal eje X. Calcula el volumen del sólido resultante.

6.2. EJERCICIOS 61

Ejercicio 6.10 La región limitada por y = 2√x; y = 0; x = 3 se hace girar en

torno al eje X. Calcula el área de la super�cie del sólido resultante.

Ejercicio 6.11 Calcula la longitud de arco de la grá�ca de f(x) =45x

54 , desde

x = 0 hasta x = 4.

6.2.2. Integrales impropiasEjercicio 6.12 En cada uno de los siguientes apartados, determina si la inte-gral impropia dada converge o diverge. Calcula el valor de las que sea conver-gentes:

∫ 4

0

1√xdx

∫ 4

3

1√x− 3

dx

∫ 2

0

1(x− 1)

23dx

∫ 2

0

1(x− 1)2

dx

∫ +∞

0

e−x dx

∫ 0

−∞e2x dx

∫ 0

−∞xe−2x dx

∫ +∞

0

xe−x dx

∫ +∞

0

x2e−x dx

∫ +∞

0

(x− 1)e−x dx

∫ +∞

1

1x2

dx

∫ +∞

1

1√xdx


∫ +∞

0

e−xcos(x) dx

∫ +∞

0

e−axsen(bx) dx; a > 0

∫ +∞

−∞

11 + x2

dx

∫ +∞

0

x3

(x2 + 1)2dx

∫ +∞

0

1ex + e−x

dx

∫ +∞

0

ex

1 + exdx

∫ +∞

0

cos(πx) dx

∫ +∞

0

sen(x

2

)dx

∫ 1

0

1x2

dx

∫ 1

0

1xdx

∫ 8

0

13√

8− x dx

∫ e

0

ln(x) dx

∫ 1

0

xln(x) dx

∫ π2

0

sec(θ) dθ

∫ π2

0

tg(θ) dθ

∫ 2

0

1√4− x2

dx

∫ 4

2

1√x2 − 4

dx

6.2. EJERCICIOS 63

∫ 2

0

14− x2

dx

∫ 2

0

13√x− 1

dx

∫ 2

0

1(x− 1)

43dx

Ejercicio 6.13 Determina los valores de p para los cuales converge la integralsiguiente: ∫ +∞

1

1xp

dx

Ejercicio 6.14 Determina los valores de p para los cuales converge la integralsiguiente: ∫ 1

0

1xp

dx

Ejercicio 6.15 Comprueba que la siguiente integral converge para todo númeron ∈ N: ∫ +∞

0

xne−x dx

Ejercicio 6.16 Sea f(t) una función de�nida para todos los valores positivosde t. Se de�ne su transformada de Laplace como la función F (s) dada por:

F (s) =∫ +∞

0

e−stf(t) dt

si esa integral impropia converge. En cada uno de los siguientes apartados, hallala transformada de Laplace de cada función:

f(t) = 1

f(t) = t

f(t) = t2

f(t) = eat

f(t) = cos(at)

f(t) = sen(at)

Ejercicio 6.17 Dada la región acotada por las grá�cas de y =1x2

e y = 0

(x ≥ 1), calcula:

el área de la región.


el volumen del sólido generado al girar en torno el eje X.

el volumen del sólido generado al girar en torno al eje Y .

Ejercicio 6.18 Dada la región acotada por las grá�cas de y = e−x e y = 0(x ≥ 0), calcula:

el área de la región.

el volumen del sólido generado al girar en torno al eje Y .

Ejercicio 6.19 La región acotada por (x− 2)2 + y2 = 1 se hace girar en tornoal eje Y . Calcula el área de la super�cie del toro así obtenido.

Ejercicio 6.20 Una función f no negativa se llama función de densidad deprobabilidad si: ∫ +∞

−∞f(t) dt = 1

La probabilidad de que t esté entre a y b viene dada por:

P (a ≤ t ≤ b) =∫ b

a

f(t) dt

El valor esperado de t (esperanza) viene dado por:

E(t) =∫ +∞

−∞tf(t) dt

En cada uno de los siguientes apartados, prueba que la función no negativa quese da es una función de densidad de probabilidad, después calcula P (0 ≤ t ≤ 4)y por último calcula E(t).

f(t) =

{ 17e−

t7 si t ≥ 0

0 si t < 0

f(t) =

{ 25e−

2t5 si t ≥ 0

0 si t < 0

Ejercicio 6.21 Calcula el valor de la siguiente integral, muy usada en la teoríade electromagnestismo:

P = k

∫ +∞

1

1(a2 + x2)

32dx

6.2. EJERCICIOS 65

6.2.3. Funciones eulerianasEjercicio 6.22 Calcula Γ

(72

)y β

(52,

72

)

Ejercicio 6.23 Calcula∫ +∞

0

e−x3x2 dx

Ejercicio 6.24 Calcula∫ +∞

0

e−x2x2 dx

Ejercicio 6.25 Calcula∫ 8

0

x−12 (2− x 1

3 )14 dx


0

x(1− x4)−12 dx


0

dx√1− 4√x


0

x5 dx√1− x4


0

dx

x12 (2− x 1

3 )−14

Parte IV

Análisis real de funciones devarias variable real

67

Capítulo 7

Funciones de varias variablesreales

7.1. ProntuarioDe�nición 7.1.1 Sea f(x, y) una función real de dos variables reales. Se lla-ma curva de nivel al conjunto de puntos en los que la función toma un valorconstante. La curva de nivel formada por los puntos en los que la función tomael valor c ∈ R tiene de ecuación:

f(x, y) = c

De�nición 7.1.2 Se llama función vectorial a toda aplicación:

f : D ⊆ Rn → Rm; m > 1

f(x1, x2, . . . , xn) = (f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn))

de forma que se suele escribir la función f así:

f : D ⊆ Rn → Rm; f = (f1, f2, . . . , fm)

dondefi : D ⊆ Rn → R

se llaman funciones componentes de f .

Nota 7.1.1 En algunos contextos, llaman función vectorial a aquella en la quen = 1.

Observación 7.1.1 Una función f : D ⊆ Rn → Rm tiene n variables y mcomponentes.

Teorema 7.1.1 Sea f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) una función vectorial en el es-pacio. Se veri�can las siguientes propiedades:

69

70 CAPÍTULO 7. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES

1. Límite:lımt→a

f(t) =(

lımt→a

f1(t), lımt→a

f2(t), lımt→a

f3(t))

2. Una función vectorial f es continua en el punto t = a si existe lımt→a

f(t) yse cumple:

lımt→a

f(t) = f(a)

3. Una curva C en el espacio representada por la función f = (f1, f2, f3) sedice que es suave en el intervalo I = (a, b) si f ′1, f ′2, f ′3 son continuas en Iy f ′(t) 6= ~θ; ∀ t ∈ I.

4. Derivada: Si f1, f2, f3 son derivables en I, entonces la derivada de f vienedada por:

f ′(t) = (f ′1(t), f ′2(t), f ′3(t))

5. Integral: Si f1, f2, f3 son continuas en I, se tiene:∫f(t) dt =

(∫f1(t) dt,

∫f2(t) dt,

∫f3(t) dt

)

y análogamente:∫ b

a

f(t) dt =

(∫ b

a

f1(t) dt,∫ b

a

f2(t) dt,∫ b

a

f3(t) dt

)

De�nición 7.1.3 (Coordenadas cilíndricas) En un sistema de coordenadascilíndricas, un punto P de espacio se representa por una terna ordenada (r, θ, z),donde:

1. (r, θ) son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano XY ,0 ≤ θ ≤ 2π.

2. z es la tercera coordenada rectangular.

Teorema 7.1.2 Las siguientes identidades nos proporcionan el cambio decoordenadas cilíndricas a rectangulares:

• x = rcos(θ)

• y = rsen(θ)

• z = z

Las siguientes identidades nos proporcionan el cambio de coordenadas rect-angulares a cilíndricas:

• r = +√x2 + y2

• θ = arctg(yx

)

7.2. EJERCICIOS 71

• z = z

De�nición 7.1.4 (Coordenadas esféricas) En un sistema de coordenadasesféricas, un punto P de espacio se representa por una terna ordenada (ρ, θ, φ),donde:

1. ρ es la distancia orientada desde P hasta el origen, ρ ≥ 0

2. θ es el mismo ángulo usado en coordenadas cilíndricas, 0 ≤ θ ≤ 2π.

3. φ es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento OP , 0 ≤ φ ≤ π

Teorema 7.1.3 Las siguientes identidades nos proporcionan el cambio decoordenadas esféricas a rectangulares:

• x = ρsen(φ)cos(θ)

• y = ρsen(φ)sen(θ)

• z = ρcos(φ)

Las siguientes identidades nos proporcionan el cambio de coordenadas rect-angulares a cilíndricas:

• ρ = +√x2 + y2 + z2

• θ = arctg(yx

)

• φ = arccos

(z√

x2 + y2 + z2

)

7.2. Ejercicios7.2.1. Funciones escalaresEjercicio 7.1 En cada uno de los siguientes apartados, evalúa la función enlos puntos que se indican:

f(x, y) =x

y

• (3, 2)

• (30, 5)

• (x, 2)

• (−1, 4)

• (5, y)

• (5, t)

f(x, y) = xey


• (5, 0)

• (3, 2)

• (2,−1)

• (5, y)

• (x, 2)

• (t, t)

h(x, y, z) =xy

z

• (2, 3, 9)

• (1, 0, 1)

f(x, y) = xsen(y)

•(

2,π

4

)

• (3, 1)

f(x, y) =∫ y

x

(2t− 3)dt

• (0, 4)

• (1, 4)

Ejercicio 7.2 En cada uno de lo siguientes apartados, describe la región R quecorresponde, en el plano xy, al dominio de la función dada. Halla el recorridode la función.

f(x, y) =√

4− x2 − y2

f(x, y) = arcsen(x+ y)

z =x+ y

xy

f(x, y) = ln(4− x− y)

f(x, y) = exy

f(x, y) =1xy

Ejercicio 7.3 Describe las curvas de nivel para cada función y las curvas denivel para los valores de c que se indican:

f(x, y) =√

25− x2 − y2; c = 0, 1, 2, 3, 4, 5

f(x, y) = xy; c = ±1,±2, · · · ,±6

7.2. EJERCICIOS 73

f(x, y) =x

x2 + y2; c = ±1

2,±1,±3

2,±2

f(x, y) = ln(x− y); c = 0,±12,±1,±3

2,±2

f(x, y) = exy; c = 1, 2, 3, 4,12,

13,

14

Ejercicio 7.4 La temperatura T (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y)de una placa metálica circular de 10 pies de radio es:

T (x, y) = 600− 0, 75x2 − 0, 75y2

donde x e y se miden en pies. Dibuja algunas de las curvas isotermas.

Ejercicio 7.5 Las ley de los gases ideales establece que PV = kT , donde P esla presión, V el volumen, T la temperatura (en grados Kelvin) y k una constantede proporcionalidad. Un depósito contiene 2600 pulgadas cúbicas de nitrógenoa una presión de 20 libras por pulgada cuadrada y a una temperatura de 300grados Kelvin.

Determina k.

Expresa P como función de V y T y describe las curvas de nivel corre-spondientes.

Ejercicio 7.6 Un depósito de propano se ha construido adosando dos semies-feras a los extremos de un cilindro circular recto. Expresa su volumen V comofunción del radio r y de la longitud l del cilindro.

7.2.2. Funciones vectorialesEjercicio 7.7 En cada uno de los siguientes apartados, halla el dominio de lafunción vectorial dada:

r(t) =(

5t,−1t

)

r(t) = (√

4− t2, t2)

r(t) = (et, ln(t))

r(t) =(

1t− 3

,− 1t− 5

)

Ejercicio 7.8 Calcula ||r(t)||:r(t) = (sen(πt), cos(πt))

r(t) = (√t, 3t)


Ejercicio 7.9 Dibuja la curva representada por la función vectorial, indicandosu orientación:

r(t) = (3t, t− 1)

r(t) = (2cos(t), 2sen(t))

r(t) = (t, t2)

r(t) =(t,

1t

)

Ejercicio 7.10 En cada uno de los siguientes apartados, calcula el límite indi-cado:

lımt→3

(t,t2 − 9t2 − 3t

)

lımt→0

(1− cos(t)

t, t2)

lımt→3

(2t2, e−2t

)

Ejercicio 7.11 En cada uno de los siguientes apartados se pide:

1. Dibujar la curva plana representada por la función vectorial.

2. Dibujar los vectores r(t0), r′(t0) para el valor de t0 especi�cado. Colocarlo vectores de manera que el punto inicial de r(t0) esté en el origen y elpunto inicial de r′(t0) sea el punto �nal de r(t0).

r(t) = (t2, t); t0 = 2

r(t) = (cos(t), sen(t)); t0 =π

2

Ejercicio 7.12 Halla r′(t), r′′(t):

r(t) = (3t, t− 1)

r(t) = (acos(t), asen(t))

r(t) = (t− sen(t), 1− cos(t))Ejercicio 7.13 En cada uno de los siguientes apartados, halla:

1. r′(t)

2. Dt[r(t) · u(t)]

3. Dt[3r(t)− u(t)]

4. Dt[||r(t)||]

7.2. EJERCICIOS 75

r(t) = (3t, 4t); u(t) = (4t, t2)

r(t) = (sen(t), cos(t)); u(t) = (cos(t),−sen(t))

Ejercicio 7.14 En cada uno de los siguientes apartados, halla el intervalo ointervalos donde la función vectorial es suave:

r(t) = (t2, t3)

r(θ) = (2cos3(θ), 3sen3(θ))

r(θ) = (θ − 2sen(θ), 1− 2cos(θ))

r(t) =(

3t1 + t3

,3t2

1 + t3

)

Ejercicio 7.15 Halla las siguientes integrales inde�nidas:∫

(6t2, 3) dt

∫ (1t, et)dt

∫(4sen(t), 3cos(t)) dt

∫(te−t

2, t) dt

Ejercicio 7.16 Halla las siguientes integrales de�nidas:∫ 1

0

(6t,−3t) dt

∫ 1

0

(√t,√t+ 1) dt

∫ π2

0

(4cos(t), 3sen(t)) dt

∫ 3

0

(et, tet) dt

Ejercicio 7.17 Halla r(t) con las condiciones impuestas:

r′(t) = (4e2t, 3et); r(0) = (2, 0)

r′(t) = (2t,√t); r(0) = (1, 1)

r′′(t) = (−4cos(t),−3sen(t)); r′(0) = (0, 3); r(0) = (4, 0)


Ejercicio 7.18 En cada apartado, demuestra la propiedad enunciada. Supón,en cada caso, que r, u son funciones vectoriales derivables en t, f una funciónreal derivable en t y c un escalar.

Dt[cr(t)] = cr′(t)

Dt[r(t)± u(t)] = r′(t)± u′(t)Dt[f(t)r(t)] = f(t)r′(t) + f ′(t)r(t)

Dt[r(f(t))] = r′(f(t))f ′(t)

Si r(t) · r(t) = c→ r(t) · r′(t) = 0

7.2.3. Coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricasEjercicio 7.19 Pasa el punto dado, de coordenadas rectangulares a cilíndricas:

(0, 5, 1)

(1,√

3, 4)

(2,−2,−4)

Ejercicio 7.20 Pasa el punto dado, de coordenadas cilíndricas a rectangulares:

(5, 0, 2)(

3,π

3, 2)

(4,

7π6, 3)

Ejercicio 7.21 Pasa el punto dado, de coordenadas rectangulares a esféricas:

(4, 0, 0)

(−2, 2√

3, 4)

(√

3, 1, 2√

3)

Ejercicio 7.22 Pasa el punto dado, de coordenadas esféricas a rectangulares:(

4,π

6,π

4

)

(12,−π

4, 0)

(5,π

4,

3π4

)

Ejercicio 7.23 Pasa el punto dado, de coordenadas cilíndricas a esféricas:

7.2. EJERCICIOS 77(

4,π

4, 0)

(4,−π

6, 6)

(12, π, 5)

Ejercicio 7.24 Pasa el punto dado, de coordenadas esféricas a cilíndricas:(

10,π

6,π

2

)

(6,−π

6,π

3

)

(8,

7π6,π

6

)

Ejercicio 7.25 Halla una ecuación en coordenadas rectangulares para la ecuacióndada en coordenadas cilíndricas:

r = 2

θ =π

6

r = 2sen(θ)

r2 + z2 = 4

Ejercicio 7.26 Halla una ecuación en coordenadas rectangulares para la ecuacióndada en coordenadas esféricas:

ρ = 2

φ =π

6

ρ = 4cos(φ)

ρ = cosec(φ)

Ejercicio 7.27 Halla una ecuación de la super�cie dada, primero en coorde-nadas cilíndricas y después en coordenadas esféricas:

x2 + y2 + z2 = 16

x2 + y2 + z2 − 2z = 0

x2 + y2 = 4y

x2 − y2 = 9


7.2.4. Límites y continuidadEjercicio 7.28 Calcula el límite propuesto usando los límites:

lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = 5; lım(x,y)→(a,b)

g(x, y) = 3

lım(x,y)→(a,b)

[f(x, y)− g(x, y)]

lım(x,y)→(a,b)

[4f(x, y)g(x, y)

]

lım(x,y)→(a,b)

[f(x, y)g(x, y)]

lım(x,y)→(a,b)

[f(x, y)− g(x, y)

f(x, y)

]

Ejercicio 7.29 En cada apartado, calcula el límite que se indica y discute lacontinuidad de la función:

lım(x,y)→(2,1)

(x+ 3y2)

lım(x,y)→(2,4)

x+ y

x− y

lım(x,y)→(0,1)

arcsen(xy

)

1 + xy

lım(x,y)→(0,0)

exy

lım(x,y,z)→(1,2,5)

√x+ y + z

Ejercicio 7.30 En cada uno de los siguientes ejercicios, calcula el límite usan-do coordenadas polares (Ayuda: Haz x = rcos(θ); y = rsen(θ) y observa que(x, y)→ (0, 0) es equivalente a r → 0)

lım(x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)x2 + y2

lım(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2

lım(x,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2

lım(x,y)→(0,0)

x2y2

x2 + y2

Ejercicio 7.31 Discute la continuidad de las siguientes funciones:

7.2. EJERCICIOS 79

f(x, y, z) =1√

x2 + y2 + z2

f(x, y, z) =z

x2 + y2 − 4

f(x, y, z) =sen(z)ex + ey

f(x, y, z) = xysen(z)

Ejercicio 7.32 Discute la continuidad de la función compuesta f ◦ g en cadaapartado:

f(t) = t2; g(x, y) = 3x− 2y

f(t) =1t; g(x, y) = 3x− 2y

f(t) =1

4− t ; g(x, y) = x2 + y2

Capítulo 8

Derivadas parciales ydireccionales. Gradiente

8.1. ProntuarioDe�nición 8.1.1 Si z = f(x, y), se de�ne la derivada parcial de f respecto ax en un punto (a, b), y se representa por:

D1f(a, b) = fx(a, b) =∂f

∂x(a, b)

como el siguiente límite, si existe es �nito:

∂f

∂x(a, b) = lım

x→af(x, b)− f(a, b)

x− a = lımh→0

f(a+ h, b)− f(a, b)h

Análogamente, se de�ne la derivada parcial de f respecto a y en un punto (a, b),y se representa por:

D2f(a, b) = fy(a, b) =∂f

∂y(a, b)

como el siguiente límite, si existe y es �nito:

∂f

∂y(a, b) = lım

y→bf(a, y)− f(a, b)

y − b = lımh→0

f(a, b+ h)− f(a, b)h

Nota 8.1.1 Formalmente, las derivadas parciales se efectúan según las mismasreglas de derivación de las funciones de una variable, entendiendo como tal lavariable respecto de la que se está derivando y considerando las demás variablescomo constantes.

Nota 8.1.2 La forma de notar las derivadas segundas de una función de dosvariables es:

81

82CAPÍTULO 8. DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES. GRADIENTE

Derivar dos veces respecto a x:

∂

∂x

(∂f

∂x

)=∂2f

∂x2= fxx = D11f

Derivar dos veces respecto a y:

∂

∂y

(∂f

∂y

)=∂2f

∂y2= fyy = D22f

Derivar primero con respecto a x y a continuación con respecto a y:

∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x= fxy = D12f

Derivar primero con respecto a y y a continuación con respecto a x:

∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y= fyx = D21f

Teorema 8.1.1 (Teorema de Schwartz de igualdad de derivadas cruzadas)Si z = f(x, y) es tal que f, fx, fy, fxy, fyx son continuas en la región abierta R,entonces para cada (x, y) ∈ R, se tiene:

fxy(x, y) = fyx(x, y)

De�nición 8.1.2 Sea f : Rn → Rm. Se llama matriz jacobiana de f en elpunto (a, b), y se representa por J(f)(a, b), a la matriz:

J(f)(a, b) =

∂f1

∂x1(a, b)

∂f1

∂x2(a, b) · · · ∂f1

∂xn(a, b)

∂f2

∂x1(a, b)

∂f2

∂x2(a, b) · · · ∂f2

∂xn(a, b)

......

......

∂fm∂x1

(a, b)∂fm∂x2

(a, b) · · · ∂fm∂xn

(a, b)

Observación 8.1.1 Observemos que:

f : Rn → Rm ⇒ J(f)(a, b) ∈Mm×n(R)

Observación 8.1.2 (Interpretación geométrica de las derivadas parciales)Se tiene:

fx(a, b) representa la pendiente de la recta tangente a la curva interseccióndel plano y = b con la super�cie z = f(x, y) en el punto (a, b, f(a, b))

8.2. EJERCICIOS 83

fy(a, b) representa la pendiente de la recta tangente a la curva interseccióndel plano x = a con la super�cie z = f(x, y) en el punto (a, b, f(a, b))

De�nición 8.1.3 Una función f se dice diferenciable en (a, b) si:

lım(h,k)→(0,0)

[f(a+ h, b+ k)− f(a, b)]− [fx(a, b) · h+ fy(a, b) · k]√h2 + k2

= 0

Observación 8.1.3 En general, una función f : Rn → Rm es diferenciable siy solo si lo son cada una de sus funciones componentes

De�nición 8.1.4 Sea z = f(x, y) y ~u = (u1, u2) ∈ R2 con ||~u|| = 1. Se de�nela derivada direccional de f en (a, b) en la dirección del vector ~u y se representapor D~uf(a, b), como el siguiente límite si existe y es �nito:

D~uf(a, b) = lımh→0

f(a+ hu1, b+ hu2)− f(a, b)h

De�nición 8.1.5 Si z = f(x, y), entonces se de�ne el gradiente de f en unpunto (a, b) y se representa por ∇(f)(a, b) como:

∇f(a, b) = (fx(a, b), fy(a, b))

Teorema 8.1.2 Sea z = f(x, y) diferenciable y sea ~u = (u1, u2) ∈ R2 con||~u|| = 1. Entonces:

D~uf(a, b) = ∇f(a, b) · ~uTeorema 8.1.3 Sea f una función diferenciable en el punto (a, b). Entonces severi�can las siguientes propiedades:

Si ∇f(a, b) = ~θ, entonces D~uf(a, b) = 0, ∀ ~u.La dirección y sentido de máximo crecimiento de f viene dada por ∇f(a, b).El valor máximo de D~uf(a, b) es ||∇f(a, b)||La dirección y sentido de mínimo crecimiento de f viene dada por −∇f(a, b).El valor mínimo de D~uf(a, b) es −||∇f(a, b)||

Teorema 8.1.4 Si f es diferenciable en (a, b) y ∇f(a, b) 6= ~θ, entonces ∇f(a, b)es normal a la curva de nivel que pasa por (a, b)

8.2. Ejercicios8.2.1. Derivadas parcialesEjercicio 8.1 Calcula D1f(1, 0), D2f(1, 0), siendo f(x, y) = xx

xy

Ejercicio 8.2 Calcula, aplicando la de�nición, las derivadas parciales de primerorden de la función f(x, y) =

x+ y

x− y en el punto P (2, 3).


Ejercicio 8.3 Calcula utilizando las reglas prácticas de derivación parcial, lasderivadas de primer orden de las siguientes funciones:

f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2

f(x, y) =cos(x) + cos(y)cos(x)− cos(y)

f(x, y, z) = ex + ey + ez − exyz

g(x, y) = tg(x)− sen(y) + x2 − y2

h(x1, x2, · · · ,n ) =n∑

i=1

x2i

u(x, y, z, w) =1x

+ y + z2 + ln(w)

w(x, y, z) = sen

(x

(y − 1

sen(x)

))

Ejercicio 8.4 Sea f : R2 → R de�nida así:

f(x, y) =

{xytg

(yx

)si x 6= 0

0 si x = 0

Estudia en qué puntos f satisface la ecuación:

xD1f(x, y) + yD2f(x, y) = 2f(x, y)

Ejercicio 8.5 Calcula utilizando las reglas prácticas de derivación parcial, lasderivadas de primer orden de las siguientes funciones:

f(x, y, z) = xy + xz + yz

f(x, y, z) = x+ sen(xy) + ln(xz)

f(x, y) = exy +1xy

g(x, y) = arcsen

(y +

1x

)

h(x, y, z) = xyz

u(x, y, z) =x+ y + z

xyz

Ejercicio 8.6 En cada uno de los siguientes apartados, halla las derivadas par-ciales primeras con respecto a x y con respecto a y:

8.2. EJERCICIOS 85

f(x, y) = 2x− 3y + 5

f(x, y) = xy

z = x√y

z = x2e2y

z = ln(x2 + y2)

z = lnx+ y

x− yh(x, y) = e−(x2+y2)

h(x, y) =√x2 + y2

z = sen(2x− y)

z = eysen(xy)

f(x, y) = sen

∫ y

x

(t2 − 1) dt

Ejercicio 8.7 Evalúa fx, fy en el punto indicado

f(x, y) = arctg(yx

); (2,−2)

f(x, y) =xy

x− y ; (2,−2)

f(x, y) =4xy√x2 + y2

; (1, 0)

Ejercicio 8.8 Halla las derivadas primeras con respecto a x, y, z.

w =√x2 + y2 + z2

w =xy

x+ y + z

H(x, y, z) = sen(x+ 2y + 3z)

Ejercicio 8.9 Dada la función f(x, y) =x

y, calcula ∂2f

∂x2,∂2f

∂x∂y,∂2f

∂y∂x,∂2f

∂y2

Ejercicio 8.10 Calcula ∂2f

∂x2,∂2f

∂y2, siendo f(x, y) =

x2 + xy + y2

x+ yen el punto

P (1, 1)

Ejercicio 8.11 Halla las segundas derivadas parciales:

∂2z

∂x2,∂2z

∂y2,∂2z

∂y∂x,∂2z

∂x∂y


z = x2 − 2xy + 3y2

z = extg(y)

z = arctg(yx

)

z =√x2 + y2

Ejercicio 8.12 En los siguientes apartados, comprueba que:

∂2z

∂y∂x=

∂2z

∂x∂y

z = x3 + 3x2y

z = xsec(y)

z = xe−y2

Ejercicio 8.13 En los siguientes apartados, prueba que las derivadas parcialesmixtas fxyy, fyxy, fyyx son iguales:

f(x, y, z) = xyz

f(x, y, z) = x2 − 3xy + 4yz + z3

f(x, y, z) = e−xsen(yz)

f(x, y, z) =x

y + z

Ejercicio 8.14 Calcula la matriz jacobiana de la función f : R2 → R2 de�nidapor f(x, y) = (x+ y, x2 − y2), en cada punto P ∈ R2

Ejercicio 8.15 Comprueba que cada una de las siguientes funciones satisfacela ecuación de Laplace:

∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= 0

z = 5xy

z =12

(ey − e−y)sen(x)

z = exsen(y)

z = arctg(yx

)

Ejercicio 8.16 Comprueba que cada una de las siguientes funciones satisfacela ecuación de ondas:

∂2z

∂t2= c2

∂2z

∂x2

8.2. EJERCICIOS 87

z = sen(x− ct)z = sen(wct)sen(wx)

Ejercicio 8.17 Comprueba que cada una de las siguientes funciones satisfacela ecuación del calor:

∂z

∂t= c2

∂2z

∂x2

z = e−tcos(xc

)

z = e−tsen(xc

)

Ejercicio 8.18 Usa las de�niciones de derivadas parciales a través de límitespara hallar fx(x, y), fy(x, y):

f(x, y) = 2x+ 3y

f(x, y) =√x+ y

Ejercicio 8.19 En cada apartado, halla la pendiente de la recta tangente a lacurva intersección de la super�cie y del plano cuyas ecuaciones se dan:

Super�cie Plano Puntoz =

√49− x2 − y2 x = 2 (2, 3, 6)

z = 9x2 − y2 y = 3 (1, 3, 0)

Ejercicio 8.20 El alcance de un proyectil disparado con un ángulo de elevaciónθ sobre la horizontal y con una velocidad v0 es:

R =v2

0sen(2θ)32

Evalúa ∂R

∂v0y ∂R

∂θcuando v0 = 2000pies/seg y θ = 5o

Ejercicio 8.21 La temperatura en todo punto (x, y) de una placa metálica vienedada por:

T (x, y) = 500− 0, 6x2 − 1, 5y2

donde x e y se miden en pies. En el punto (2, 3) halla la razón de cambio de latemperatura respecto de la distancia al movernos sobre la placa en las direccionesde los ejes X e Y .

Ejercicio 8.22 Según la ley de los gases ideales, PV = kT , donde P es lapresión, V el volumen, T la temperatura y k una constante de proporcionalidad.Halla ∂P

∂Ty ∂V

∂P


Ejercicio 8.23 Consideremos la función de�nida por:

f(x, y) =

xy(x2 − y2)x2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Halla fx(x, y), fy(x, y); ∀(x, y) 6= (0, 0).

Usa las de�niciones de derivadas parciales para hallar fx(0, 0), fy(0, 0).

Usa las de�niciones de derivadas parciales fxy(0, 0), fyx(0, 0)

8.2.2. Derivadas direccionales. GradienteEjercicio 8.24 Halla el vector gradiente de las funciones reales de�nidas

por las ecuaciones siguientes, en cada punto en el que exista:

• f(x, y, z) = x2 + y2sen(xy)• f(x, y, z) = x2y3z4

• f(x, y, z) = ln(x2 + 2y2 − 3z2)• f(x, y, z) = xy

z

En cada uno de los casos anteriores, calcula (si existe) la derivada direc-cional de f en el punto (1, 1, 0) en la dirección de (1,−1, 2).

Ejercicio 8.25 Sea f : R2 → R diferenciable en un punto P ∈ R2. Supongamosque:

dvf(P ) = 1; Dwf(P ) = 2

siendo ~v =(

2√13,

3√13

)y ~w =

(1√2,

1√2

)

Calcula ∇f(P )

Representa el conjunto de todos los vectores ~u para los que Duf(P ) = 6

Calcula el máximo de la derivada direccional de f en P .

Ejercicio 8.26 Halla la derivada direccional de f(x, y, z) = x2−y2 +xyz2−xzen el punto (1, 2, 3) según la dirección del vector (1,−1, 0). ¾En qué dirección esmáxima? ¾Cuál es el valor de la derivada direccional máxima?

Ejercicio 8.27 Halla la derivada direccional de la función f de R3 en R de�ni-da por f(x, y, z) = (x2 − 2xy + z3) en el punto (1,−1, 2) según la dirección de(−1, 3, 1). ¾En qué dirección es máxima la derivada direccional?, ¾cuál es elvalor de ese máximo?

Ejercicio 8.28 Calcula, aplicando la de�nición, las derivadas direccionales dela función f(x, y) = x+ y + xy en el punto (0, 0). Calcula los valores concretos

para las direcciones ~u =(

35,

45

)y ~v =

(13,

2√

23

).

8.2. EJERCICIOS 89

Ejercicio 8.29 Dada la función f(x, y) = x2 + y2 y el punto P (2, 3):

Calcula, aplicando al de�nición, las derivadas de f en el punto P en lasdirecciones de los vectores ~u =

(35,

45

)y ~v =

(2√5,

1√5

)

Calcula, aplicando la de�nición las derivadas parciales de f en P .

Ejercicio 8.30 En cada uno de los siguientes apartados, halla la derivada di-reccional de la función en el punto P en la dirección de ~v.

f(x, y) = 3x− 4xy + 5y; P (1, 2); ~v =12

(1,√

3)

f(x, y) = xy; P (2, 3); ~v = (1, 1)

f(x, y) =√x2 + y2; P (3, 4); ~v = (3,−4)

f(x, y) = exsen(y); P(

1,π

2

); ~v = (−1, 0)

f(x, y, z) = xy + yz + xz; P (1, 1, 1); ~v = (2, 1,−1)

f(x, y, z) = xarctg(yz); P (4, 1, 1); ~v = (1, 2,−1)

Ejercicio 8.31 Halla la derivada direccional en un punto arbitrario (x, y) enla dirección ~u = (cos(θ), sen(θ)):

f(x, y) = x2 + y2; θ =π

4

f(x, y) = sen(2x− y); θ = −π3

Ejercicio 8.32 Halla la derivada direccional de la función en el punto P en ladirección del punto Q

f(x, y) = x2 + 4y2; P (3, 1); Q(1,−1)

f(x, y, z) = ln(x+ y + z); P (1, 0, 0); Q(4, 3, 1)

Ejercicio 8.33 En cada uno de los siguientes apartados, calcula el gradientede la función y el valor máximo de la derivada direccional en el punto indicado:

f(x, y) = x2 − 3xy + y2; P (4, 2)

f(x, y) = xtg(y); P(

2,π

4

)

f(x, y) = ln 3√x2 + y2; P (1, 2)

f(x, y) = ye−x2; P (0, 5)

f(x, y, z) =1√

1− x2 − y2 − z2; P (0, 0, 0)


Ejercicio 8.34 Halla un vector normal a la curva de nivel f(x, y) = c en elpunto P

f(x, y) = x2 + y2; c = 25; P (3, 4)

f(x, y) =x

x2 + y2; c =

12

; P (1, 1)

Ejercicio 8.35 En cada uno de los siguientes apartados, usa el vector gradientepara hallar un vector normal a la grá�ca de la ecuación en el punto indicado:

4x2 − y = 6; P (2, 10)

9x2 + 4y2 = 40; P (2,−1)

Ejercicio 8.36 La temperatura en el punto (x, y) de una placa viene dada por:

T (x, y) =x

x2 + y2

Halla la dirección de mayor crecimiento del calor desde el punto (3, 4)

Ejercicio 8.37 Se describe la super�cie de una montaña mediante la ecuación:

h(x, y) = 4000− 0, 001x2 − 0, 004y2

Supón que un alpinista está en el punto (500, 300, 3390). ¾En qué dirección debemoverse el alpinista para ascender lo más rápido posible?

Capítulo 9

Diferenciabilidad

9.1. ProntuarioDe�nición 9.1.1 Sea f : Rn → Rm. Se llama diferencial de f en un punto(a1, a2, . . . , an) y se representa por df(a1, a2, . . . , an) al producto:

df(a1, a2, . . . , an) = J(f)(a1, a2, . . . , an) ·

dx1

dx2

...dxn

Observación 9.1.1 En los casos particulares n = 2, 3; m = 1, se tiene, re-spectivamente:

df(a, b) = fx(a, b)dx+ fy(a, b)dy

df(a, b, c) = fx(a, b, c)dx+ fy(a, b, c)dy + fz(a, b, c)dz

De�nición 9.1.2 Sea F diferenciable en el punto P = (a, b, c) de la super�cieS dada por F (x, y, z) = 0, con ∇f(a, b, c) 6= θ.1. El plano que pasa por P y es normal a ∇f(a, b, c) se conoce como el plano

tangente a S en P .

2. La recta que pasa por P y tiene la dirección de ∇f(a, b, c) se conoce comola recta normal a S en P .

Teorema 9.1.1 Si F es diferenciable en (a, b, c), una ecuación del plano tan-gente a la super�cie dada por F (x, y, z) = 0 en (a, b, c) es:

Fx(a, b, c)(x− a) + Fy(a, b, c)(y − b) + Fz(a, b, c)(z − c) = 0

Si la super�cie viene dada de la forma z = f(x, y), la ecuación del plano tangenteen el punto (a, b, f(a, b)) es:

fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b)− (z − f(a, b)) = 0

91

92 CAPÍTULO 9. DIFERENCIABILIDAD

De�nición 9.1.3 Se de�ne el ángulo de inclinación de un plano como el ánguloθ, con 0 ≤ θ ≤ π

2entre el plano en cuestión y el plano XY .

Teorema 9.1.2 El ángulo de inclinación del plano tangente a una super�cieF (x, y, z) = 0 en un punto (a, b, c) viene dado por:

cos(θ) =|Fz(a, b, c)|||∇f(a, b, c)||

Si la super�cie viene dada de la forma z = f(x, y), se tiene:

cos(θ) =1√

[fx(a, b)]2 + [fy(a, b)]2 + 1

9.2. EjerciciosEjercicio 9.1 Sea f : R3 → R2 de�nida así:

f(x, y, z) = (x2 − y2 + ez, z3x)

Calcula df(x0, y0, z0)

Calcula D12f1(x0, y0, z0), D21f2(x0, y0, z0), D22f2(x0, y0, z0), D11f2(x0, y0, z0)

Ejercicio 9.2 Calcula la diferencial de la función:

f(x, y, z) =∫ sen(xsen(ysen(z)))

xy

ψ(t) dt

en el punto (0, 0, 0)

Ejercicio 9.3 Sean f(x, y) = x2 + y y g(x) =(x,

1x, x2

). Calcula la matriz

jacobiana de g ◦ f en el punto P (1, 1) y d(g ◦ f)(1, 1)

Ejercicio 9.4 Calcula la diferencial de la función f : R2 → R2 de�nida porf(x, y) = (x+ y, x2 − y2), en cada punto P ∈ R2

Ejercicio 9.5 Dada la función f(x, y) = x+ y + xy, calcula df(1, 1).

Ejercicio 9.6 Calcula df(1, 1, 1), siendo f : R3 → R2, dada por f(x, y, z) =(x2yz3, x+ y + z)

Ejercicio 9.7 En cada uno de los siguientes apartados, halla la diferencial to-tal:

z = 3x2y3

z =x2

y

9.2. EJERCICIOS 93

z =−1

x2 + y2

z = exsen(y)

z = xcos(y)− ycos(x)

z =12

(ex

2+y2 − e−(x2+y2))

w = 2z3ysen(x)

w = excos(y) + z

w =x+ y

z − 2y

w = x2yz2 + sen(yz)

9.2.1. Planos tangentes y rectas normalesEjercicio 9.8 En cada uno de los siguientes apartados, halla un vector normalunitario a la super�cie dada en el punto indicado:

x+ y + z = 4; (2, 0, 2)

z =√x2 + y2; (3, 4, 5)

x2y4 − z = 0; (1, 2, 16)

z − xsen(y) = 4;(

6,π

6, 7)

ln

(x

y − z)

= 0; (1, 4, 3)

Ejercicio 9.9 Halla una ecuación del plano tangente a la super�cie dada en elpunto indicado:

f(x, y) = 25− x2 − y2; (3, 1, 15)

f(x, y) =y

x; (1, 2, 2)

f(x, y) = x2 − y2; (5, 4, 9)

f(x, y) = ex(sen(y) + 1);(

0,π

2, 2)

f(x, y) = ln√x2 + y2; (3, 4, ln(5))

x2 + 4y2 + z2 = 36; (2,−2, 4)

xy2 + 3x− z2 = 4; (2, 1,−2)

94 CAPÍTULO 9. DIFERENCIABILIDAD

Ejercicio 9.10 Halla una ecuación del plano tangente y ecuaciones simétricasde la recta normal a la super�cie dada en el punto indicado:

x2 + y2 + z2 = 9; (1, 2, 2)

xy − z = 0; (−2,−3, 6)

z = arctg(yx

);(

1, 1,π

4

)

Ejercicio 9.11 Halla el ángulo de inclinación θ del plano tangente a la super-�cie dada en el punto indicado:

3x2 + 2y2 − z = 15; (2, 2, 5)

x2 − y2 + z = 0; (1, 2, 3)

Ejercicio 9.12 Encuentra el punto de la super�cie donde el plano tangente eshorizontal:

z = 3− x2 − y2 + 6y

z = 3x2 + 2y2 − 3x+ 4y − 5

Ejercicio 9.13 Demuestra, en cada caso, que el plano tangente a la super�ciecuadrática en el punto (x0, y0) puede escribirse en la forma indicada:

Elipsoide x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 con plano tangente xx0

a2+yy0

b2+zz0

c2= 1

Hiperboloide x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1 con plano tangente xx0

a2+yy0

b2− zz0

c2= 1

Capítulo 10

Derivación de funcionescompuestas e implícitas

10.1. ProntuarioTeorema 10.1.1 (Regla de la cadena)

f : Rn → Rmg : Rm → Rp

}⇒ J(g◦f)(a1, a2, . . . , an) = Jg(f(a1, a2, . . . , an))·Jf(a1, a2, . . . , an)

Teorema 10.1.2 Sea U ⊆ R2 abierto con (a, b) ∈ U . Sea F : R2 → R tal queF (a, b) = 0. Supongamos que Fx, Fy continuas en U con Fy(a, b) 6= 0. Entoncesexiste un intervalo I ⊆ R tal que a ∈ I y existe una única función g : I → Rcumpliendo:

F (x, g(x)) = 0; ∀ x ∈ Ig(a) = b

g es derivable en a

Además:

g′(a) = −∂F

∂x(a, b

∂F

∂y(a, b)

Teorema 10.1.3 Sea U ⊆ R3 abierto con (a, b, c) ∈ U . Sea F : R3 → R tal queF (a, b, c) = 0. Supongamos que Fx, Fy, Fz continuas en U con Fz(a, b, c) 6= 0.Entonces existe un intervalo B ⊆ R2 abierto tal que (a, b) ∈ B y existe unaúnica función g : B → R cumpliendo:

F (x, y, g(x, y)) = 0; ∀ (x, y) ∈ Bg(a, b) = c

95

96CAPÍTULO 10. DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS E IMPLÍCITAS

g es derivable en (a, b)

Además:

∂g

∂x(a, b) = −

∂F

∂x(a, b, c

∂F

∂z(a, b, c)

;∂g

∂y(a, b) = −

∂F

∂y(a, b, c

∂F

∂z(a, b, c)

10.2. Ejercicios10.2.1. Derivación de funciones compuestasEjercicio 10.1 Sean las funciones f : R3 → R2 y g : R2 → R2 de�nidas por:

f(x, y, z) =(sen(xy + z), (1 + x2)yz

); g(u, v) = (u+ ev, v + eu)

Calcula df(1,−1, 1).

Calcula dg(

0,12

)

Calcula d(g ◦ f)(1,−1, 1)

Ejercicio 10.2 Halla dw

dtusando la regla de la cadena:

w = x2 + y2; x = et; y = e−t

w = xsec(y); x = et; y = π − t

w = x2 + y2 + z2; x = etcos(t); y = etsen(t); z = et

Ejercicio 10.3 En cada uno de los siguientes apartados, halla ∂w

∂sy ∂w

∂tus-

ando la regla de la cadena apropiada y evaluar cada derivada parcial para losvalores de s y t que se especi�can:

w = x2 + y2; x = s+ t; y = s− t; s = 2; t = −1

w = x2 − y2; x = scos(t); y = ssen(t); s = 3; t =π

4

Ejercicio 10.4 En cada uno de los siguientes apartados, halla dw

dtprimero por

la regla de la cadena apropiada y después convirtiendo w en función de t antesde derivar

w = xy; x = 2sen(t); y = cos(t)

w = xy + yz + yz; x = t− 1; y = t2 − 1; z = t

10.2. EJERCICIOS 97

Ejercicio 10.5 En cada uno de los siguientes apartados, halla ∂w∂r

y ∂w∂θ

primeropor la regla de la cadena apropiada y después convirtiendo w en función de r, θantes de derivar.

w = x2 − 2xy + y2; x = r + θ; y = r − θ

w = arctg(yx

); x = rcos(θ); y = rsen(θ)

Ejercicio 10.6 Consideremos la función w = f(x, y), donde x = rcos(θ); y =rsen(θ). Probar que:

dw

dx=dw

drcos(θ)− dw

dθ

sen(θ)r

dw

dy=dw

drsen(θ) +

dw

dθ

cos(θ)r

Ejercicio 10.7 Sean f : R2 → R3 y g : R3 → R de�nidas por:

f(x, y) = (x, x+ y, y2); g(x, y, z) = x2 + y2 + z2

Calcula, utilizando la regla de la cadena, la matriz jacobiana de g◦f en el puntoP (2, 2). Efectúa después el cálculo directo y constata los resultados obtenidos.

Ejercicio 10.8 Sean las funciones f(x, y) = (ex+y, x − y, x2) y g(u, v, w) =(uw, sen(v + w)). Halla d(g ◦ f)(0, 0)

Ejercicio 10.9 Sean las funciones f : R3 → R2, g : R+×R→ R de�nidas por:

f(x, y, z) = (ex + y2, aez + y)

g(u, v) = v2 + ln(u)

en donde a ∈ RHalla la diferencial de la función compuesta F = g◦f en el punto (0, 0, 0).

Comprueba si D32F (x, y, z) = D23F (x, y, z)

Calcula el valor de a para que la derivada direccional máxima de F en(e, 0, 0) valga 1.

Ejercicio 10.10 Sean a = (2, 4), u = (1, 1) y v = (−1, 2). Se sabe que lafunción f : R2 → R es diferenciable en a y que f(a) = 2, Duf(a) = 5, Dvf(a) =4

Calcula ∇f(a)

Prueba que la función g(t) = f(t, t2) es derivable en el punto t = 2 ycalcular g′(2).

Calcula la derivada direccional de g ◦ f en a, según la dirección del vector(2, 1)

98CAPÍTULO 10. DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS E IMPLÍCITAS

10.2.2. Derivación de funciones de�nidas implícitamenteEjercicio 10.11 Halla por derivación implícita las primeras derivadas parcialesde z

x2 + y2 + z2 = 25

xz + yz + xy = 0

tg(x+ y) + tg(y + z) = 1

z = exsen(y + z)

Ejercicio 10.12 Halla por derivación implícita todas las primeras y segundasderivadas parciales de z

x2 + 2yz + z2 = 1

x+ sen(y + z) = 0

Ejercicio 10.13 Halla las primera derivadas de w usando la derivación im-plícita:

xyz + xzw − yzw + w2 = 5

x2 + y2 + z2 + 6xw − 8w2 = 5

Ejercicio 10.14 Sea h : R2 → R la función de�nida por:

h(x, y) = x2 + y3 + xy + x3 + ay; a ∈ R¾Para qué valores de a la ecuación h(x, y) = 0 de�ne y como función implícitade x en un entorno de (0, 0)? ¾De�ne la anterior ecuación a x como funciónimplícita de y en un entorno de (0, 0) para algún valor de a?

Ejercicio 10.15 Sea f : R2 → R de�nida así: f(x, y) = ycos(x). Prueba quef de�ne una función implícita diferenciable y = h(x) en un entorno de (0, 0).Halla dh(0)

Ejercicio 10.16 Se consideran las funciones f : R2 → R2 y g : R2 → Rde�nidas así:

f(x, y) = (y + cos(x), x+ ey)

g(t, u) = t+ u

Calcula diferencial de la función compuesta F = g ◦ f en (0, 0).

Calcula la derivada de F en el punto (0, 0) según el vector ~v = (2,−1).

Calcula el valor máximo de la derivada direccional de F en (0, 0).

Demuestra que la ecuación F (x, y) = 2 de�ne a y como función implícitadiferenciable de x en un entorno del punto (0, 0).

Calcula la derivada segunda de esa función implícita en x = 0.

Capítulo 11

Extremos de funciones realesde varias variables

11.1. ProntuarioTeorema 11.1.1 Si f : R2 → R tiene un extremo local en (a, b) ∈ int(D),entonces:

fx(a, b) = fy(a, b) = 0

De�nición 11.1.1 Sea f : R2 → R. Los puntos del conjunto {(x, y) ∈ R2 / fx(x, y) =fy(x, y) = 0} se llaman puntos críticos de f .

De�nición 11.1.2 Sea f : R2 → R. Se llama matriz hessiana de f en (a, b) yse representa por H(f)(a, b) a la matriz:

H(f)(a, b) =(fxx(a, b) fxy(a, b)fyx(a, b) fyy(a, b)

)

Al determinante de esta matriz hessiana de f en (a, b) se le llama hessiano def en (a, b).

Teorema 11.1.2 Sea (a, b) un punto crítico de f : R2 → R. Entonces:

|H(f)(a, b)| > 0 y fxx(a, b) > 0⇒ f tiene un mínimo local en (a, b).

|H(f)(a, b)| > 0 y fxx(a, b) < 0⇒ f tiene un máximo local en (a, b).

|H(f)(a, b)| < 0⇒ f tiene un punto de silla en (a, b).

|H(f)(a, b)| = 0⇒ el criterio no decide.

Teorema 11.1.3 Sea f, g : R2 → R con g(x, y) = 0 tales que f, g tienenderivadas segundas continuas y gy(x, y) 6= 0. Entonces si f tiene un extremo

99

100CAPÍTULO 11. EXTREMOS DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

local en (a, b) condicionado a g, existe un número real λ, llamado multiplicadorde Lagrange, tal que la función:

L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)

tiene un extremo local (del mismo tipo) local en (a, b). La función L se llamaLagrangiana.

Teorema 11.1.4 Sea (a, b, λ) un punto crítico de L y sea:

∆ =

∣∣∣∣∣∣

Lxx(a, b, λ) Lxy(a, b, λ) Lxλ(a, b, λ)Lyx(a, b, λ) Lyy(a, b, λ) Lyλ(a, b, λ)Lλx(a, b, λ) Lλy(a, b, λ) Lλλ(a, b, λ)

∣∣∣∣∣∣

Entonces:

∆ > 0⇒ (a, b) es un máximo de f condicionado a g.

∆ < 0⇒ (a, b) es un mínimo de f condicionado a g.

11.2. EjerciciosEjercicio 11.1 Halla el punto crítico de la función f(x, y) = xy+2x− ln(x2y)para x, y > 0. Comprueba que f alcanza en él un mínimo relativo.

Ejercicio 11.2 Halla los extremos relativos de la función f(x, y) = xy(3−x−y)

Ejercicio 11.3 Halla los extremos relativos de la función f(x, y) = 2x3 +xy2 +5x2 + y2

Ejercicio 11.4 Halla los extremos relativos de la función f(x, y) = x3 + y3 −3x− 12y + 20

Ejercicio 11.5 Halla los extremos relativos de la función f(x, y) = 2x3 +2y3−x2 − y2 − 2xy

Ejercicio 11.6 Halla los extremos relativos de f(x, y) = xy sujetos a la restric-ción x2 + y2 − 10 = 0

Ejercicio 11.7 Halla los extremos relativos de la función f(x, y) = x3−3axy+y3 según los valores de a.

Ejercicio 11.8 Halla los extremos relativos de f(x, y, z) = xln(x) + yln(y) +zln(z) con la condición x+ y + z = 1.

Ejercicio 11.9 Halla los extremos relativos de f(x, y, z) = x − 2y + 2z con lacondición x2 + y2 + z2 = 9.

Ejercicio 11.10 Halla los valores máximos y mínimo de f(x, y, z) = xy+yz+zx+ x+ y + z cuando (x, y, z) recorre la esfera x2 + y2 + z2 = 1

11.2. EJERCICIOS 101

Ejercicio 11.11 Obtén los puntos de la curva x2 + y = 1 cuya distancia alorigen sea máxima o mínima:

utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange.

reduciendo el problema a funciones de una variable.

Ejercicio 11.12 Una caja rectangular sin tapa ha de tener un volumen de 32unidades cúbicas. Calcula las dimensiones para que la super�cie total sea míni-ma.

Ejercicio 11.13 Halla tres números cuya suma sea 1000 y su producto máximo.

Ejercicio 11.14 Halla un vector de tres dimensiones, de módulo 8, tal que lasuma de sus componentes sea máxima.

Ejercicio 11.15 Halla un punto de la esfera x2 + y2 + z2 = 19 tal que el doblede su primera coordenada más el triple de la segunda, más el quíntuple de latercera sea máximo. Halla otro que sea mínimo.

Ejercicio 11.16 Determina, de entre todos los rectángulos de perímetro 2p, elde área máxima.

Ejercicio 11.17 De los rectángulos inscritos en la elipse de ecuación x2

a2+y2

b2=

1 con a, b > 0, determina los vértices del de área máxima por el método de losmultiplicadores de Lagrange.

102CAPÍTULO 11. EXTREMOS DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Capítulo 12

Integrales dobles y triples

12.1. ProntuarioDe�nición 12.1.1 Las integrales de la forma:

∫ b

a

[∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y) dy

]dx;

∫ d

c

[∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y) dx

]dy

se llaman integrales iteradas. Suelen omitirse los corchetes, escribiéndose:∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y) dydx;∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y) dxdy

Teorema 12.1.1 Si R se de�ne por a ≤ x ≤ b; y g1(x) ≤ y ≤ g2(x), siendog1, g2 continuas en [a, b], entonces el área de la región R viene dada por:

Area(R) =∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y) dydx

Si R se de�ne por c ≤ y ≤ d; y h1(y) ≤ x ≤ h2(y), siendo h1, h2 continuas en[c, d], entonces el área de la región R viene dada por:

Area(R) =∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y) dxdy

Teorema 12.1.2 (Teorema de Fubini) Sea z = f(x, y) continua en una regiónR. Entonces:

Si R se de�ne por a ≤ x ≤ b; y g1(x) ≤ y ≤ g2(x), siendo g1, g2 continuasen [a, b], entonces:

∫ ∫

R

f(x, y) dA =∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y) dydx

103

104 CAPÍTULO 12. INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES

Si R se de�ne por c ≤ y ≤ d; y h1(y) ≤ x ≤ h2(y), siendo h1, h2 continuasen [c, d], entonces:

∫ ∫

R

f(x, y) dA =∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y) dxdy

Observación 12.1.1∫ ∫

R

f(x, y) dA, con f(x, y) ≥ 0 representa el volumendel cuerpo encerrado entre la grá�ca de z = f(x, y) y el plano z = 0 de tal formaque la proyección de dicha super�cie z = f(x, y) sobre z = 0 es precisamente R.

Teorema 12.1.3 (Cambio a coordenadas polares) Sea R una región planaconstituida por los puntos:

{(x, y) = (rcos(θ), rsen(θ) / 0 ≤ g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ); θ1 ≤ θ ≤ θ2}donde 0 < (θ2 − θ1) ≤ 2π. Si g1, g2 son continuas en [θ1, θ2] y si f es continuaen R, se tiene:

∫ ∫

R

f(x, y) dA =∫ θ2

θ1

∫ g2(θ)

g1(θ)

f(rcos(θ), rsen(θ)) · r drdθ

De�nición 12.1.2 Si f y sus derivadas parciales primeras son continuas enuna región R cerrada del plano XY , entonces el área de la super�cie z = f(x, y)sobre R viene dada por:

Area =∫ ∫

R

dS =∫ ∫

R

√1 + [fx(x, y)]2 + [fy(x, y)]2 dA

De�nición 12.1.3 Sea f continua en una región sólida acotada Q. El volumende la región sólida Q se de�ne como:

V =∫ ∫ ∫

Q

dV

Teorema 12.1.4 Sea f continua en una región sólida Q de�nida por:

a ≤ x ≤ b; h1(x) ≤ y ≤ h2(x); g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)

donde h1, h2, g1, g2 son funciones continuas. Entonces:∫ ∫ ∫

Q

f(x, y, z) dV =∫ b

a

∫ h2(x)

h1(x)

∫ g2(x,y)

g1(x,y)

f(x, y, z) dzdydx

Teorema 12.1.5 (Cambio a coordenadas cilíndricas)∫ ∫ ∫

Q

f(x, y, z) dV =∫ ∫ ∫

Q′f(rcos(θ), rsen(θ), z)r drdθdz

Teorema 12.1.6 (Cambio a coordenadas esféricas)∫ ∫ ∫

Q

f(x, y, z) dV =∫ ∫ ∫

Q′f(ρsen(φ)cos(θ), ρsen(φ)sen(θ), ρcos(φ)) ρ2sen(φ) dρdφdθ


12.2. Ejercicios12.2.1. Integrales doblesEjercicio 12.1 En cada uno de los siguientes apartados, evalúa la integral it-erada que se indica:

∫ 1

0

∫ 2

0

(x+ y) dydx

∫ 1

0

∫ 2y

y

(1 + 2x2 + 2y2) dxdy

∫ 2

0

∫ 2y−y2

3y2−6y

3y dxdy

∫ π2

0

∫ 2cos(θ)

0

r drdθ

∫ π4

0

∫ cos(θ)

0

3r2sen(θ) drdθ

Ejercicio 12.2 En los siguientes apartados, dibuja la región R de integracióny cambia el orden de integración:

∫ 4

0

∫ y

0

f(x, y) dxdy

∫ 1

−1

∫ 1

x2f(x, y) dydx

Ejercicio 12.3 En cada uno de los siguientes apartados, dibuja la región Rcuya área viene dada por la integral iterada. A continuación, cambia el orden deintegración y prueba que ambos órdenes llevan al mismo resultado para el área.

∫ 1

0

∫ 2

0

dydx

∫ 1

0

∫ √1−y2

−√

1−y2dxdy

∫ 2

0

∫ 1

x2

dydx

∫ 2

−2

∫ 4−y2

0

dxdy


Ejercicio 12.4 En cada uno de los siguientes apartados, usa una integral iter-ada para hallar el área de la región acotada por las grá�cas de las ecuacionesdadas:

√x+√y = 2; x = 0; y = 0

2x− 3y = 0; x+ y = 5; y = 0

x2

a2+y2

b2= 1

Ejercicio 12.5 Evalúa las siguientes integrales iteradas. Observa que es nece-sario cambiar el orden de integración:

∫ 2

0

∫ 2

x

e−y2dydx

∫ 2

0

∫ 4

y2

√xsen(x) dxdy

Ejercicio 12.6 En cada uno de los siguientes apartados, dibuja la región R yevalúa la integral doble:

∫ 2

0

∫ 1

0

(1 + 2x+ 2y) dydx

∫ 6

0

∫ 3

y2

(x+ y) dxdy

∫ a

−a

∫ √a2−x2

−√a2−x2(x+ y) dydx

Ejercicio 12.7 Escribe la integral en los dos posibles órdenes de integración ycalcúlala en el que sea más conveniente.

∫ ∫

R

xy dA, siendo R: rectángulo con vértices (0, 0), (0, 5), (3, 5), (3, 0).∫ ∫

R

y

x2 + y2dA, siendo R: triángulo limitado por y = x; y = 2x; x = 2

∫ ∫

R

x dA, siendo R: sector de un círculo en el primer cuadrante acotado

por y =√

25− x2; 3x− 4y = 0; y = 0

Ejercicio 12.8 Usa una integral doble para calcular el volumen del sólido aco-tado por las grá�cas de las ecuaciones dadas:

z = xy; z = 0 y = x; x = 1 (primer octante)

z = 0; z = x2; x = 0; x = 2; y = 0; y = 4


x2 + z2 = 1; y2 + z2 = 1 (primer octante)

z = x+ y; x2 + y2 = 4 (primer octante)

Ejercicio 12.9 Usa la fórmula de Wallis como ayuda para calcular el volumendel sólido limitado por las grá�cas de las ecuaciones:

z = 4− x2 − y2; z = 0

z = x2 + y2; x2 + y2 = 4; z = 0

Ejercicio 12.10 Se llama valor medio de una función f(x, y) sobre una regiónR, de área A, al valor:

valor medio =1A

∫ ∫

R

f(x, y) dA

Calcula el valor medio de las siguientes funciones en la región indicadas:

f(x, y) = x y R: rectángulo con vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2), (0, 2)

f(x, y) = x2 + y2 y R: cuadrado con vértices (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)

Ejercicio 12.11 Se llama función de densidad conjunta de las variablesaleatorias x e y a una función f(x, y) que satisface las tres siguientes propiedades:

1. f(x, y) ≥ 0; ∀(x, y)

2.∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(x, y) dA = 1

3. P [(x, y) ∈ R] =∫ ∫

R

f(x, y) dA

Prueba que la función dada es una función de densidad conjunta y halla laprobabilidad pedida:

f(x, y) =

{ 127

(9− x− y) si 0 ≤ x ≤ 3, 3 ≤ y ≤ 6

0 en el resto

P [0 ≤ x ≤ 1, 4 ≤ y ≤ 6]

Ejercicio 12.12 En cada uno de los siguientes apartados, evalúa la integraldoble y dibuja un esbozo de la región R:

∫ 2π

0

∫ 6

0

3r2sen(θ) drdθ

∫ π2

0

∫ 3

2

√9− r2r drdθ


∫ π2

0

∫ 1+sen(θ)

0

θ drdθ

Ejercicio 12.13 En cada uno de los siguientes ejercicios, calcula la integraldoble cambiando a coordenadas polares:

∫ a

0

∫ √a2−y2

0

y dxdy

∫ 3

0

∫ √9−x2

0

arctg(yx

)dydx

∫ 2

0

∫ √2x−x2

0

xy dydx

Ejercicio 12.14 Usa coordenadas polares para evaluar la integral doble∫ ∫

R

f(x, y) dA:

f(x, y) = x+ y, siendo R : x2 + y2 ≤ 4; 0 ≤ x; 0 ≤ y

f(x, y) = arctg(yx

), siendo R : x2 + y2 ≤ 1; 0 ≤ x; 0 ≤ y

Ejercicio 12.15 Usa una integral doble en coordenadas polares para calcular elvolumen del sólido acotado por las grá�cas de las ecuaciones:

z = xy; x2 + y2 = 1 (primer octante)

z =√x2 + y2; z = 0; x2 + y2 = 25

Interior al hemisferio z =√

16− x2 − y2 y al cilindro x2 + y2 − 4x = 0

Ejercicio 12.16 La integral:

I =∫ +∞

−∞e−

x22 dx

es importante en el estudio de las distribuciones normales de probabilidad. Usacoordenadas polares para evaluar I, calculando la integral doble

I2 =(∫ +∞

−∞e−

x22 dx

)(∫ +∞

−∞e−

y2

2 dy

)=∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞e−

(x2+y2)2 dA

Ejercicio 12.17 Calcula el área de la super�cie dada por z = f(x, y) sobre laregión R (Ayuda: Algunas de las integrales serán más simples en coordenadaspolares)

f(x, y) = 2x+ 2y, siendo R: triángulo de vértices (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 2, 0)

f(x, y) = 8 + 2x+ 2y, siendo R = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 4}


f(x, y) = 2y+x2, siendo R: triángulo de vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0)

f(x, y) = 2+x32 , siendo R: cuadrángulo de vértices (0, 0, 0), (0, 4, 0), (3, 4, 0), (3, 0, 0)

f(x, y) = ln|sec(x)|, siendo R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π

4, 0 ≤ y ≤ tg(x)}

f(x, y) = 4− x2 − y2, siendo R = {(x, y) : 0 ≤ f(x, y)}

12.2.2. Integrales triplesEjercicio 12.18 En cada uno de los siguientes ejercicios, calcula la integraltriple:

∫ 3

0

∫ 2

0

∫ 1

0

(x+ y + z) dxdydz

∫ 1

0

∫ x

0

∫ xy

0

x dzdydx

∫ 4

1

∫ 1

0

∫ x

0

2ze−x2dydxdz

∫ 9

0

∫ y3

0

∫ √y2−9x2

y

z dzdxdy

∫ 2

0

∫ +√

4−x2

−√4−x2

∫ x2

0

x dzdydx

Ejercicio 12.19 Usa una integral triple para calcular el volumen del sólido lim-itado por las grá�cas de las ecuaciones dadas:

x = 4− y2; z = 0; z = x

x2 + y2 + z2 = r2

z = 4− x2; y = 4− x2 (primer octante)

Ejercicio 12.20 En los siguientes apartados, calcula la integral triple:∫ 4

0

∫ π2

0

∫ 2

0

rcos(θ) drdθdz

∫ π2

0

∫ 2cos2(θ)

0

∫ 4−r2

0

rsen(θ) dzdrdθ

∫ π

0

∫ π2

0

∫ 2

0

e−ρ3ρ2 dρdθdφ

∫ 2π

0

∫ π4

0

∫ cos(φ)

0

ρ2sen(φ) dρdθdφ


Ejercicio 12.21 En cada uno de los siguientes ejercicios, pasa la integral encoordenadas rectangulares a ambas, cilíndricas y esféricas y calcula la integralmás simple:

∫ 2

−2

∫ +√

4−x2

−√4−x2

∫ 4

x2+y2x dzdydx

∫ 2

0

∫ +√

4−x2

0

∫ √16−x2−y2

0

√x2 + y2 dzdydx

∫ a

−a

∫ +√a2−x2

−√a2−x2

∫ a+√a2−x2−y2

a

x dzdydx

∫ 1

0

∫ +√

1−x2

0

∫ √1−x2−y2

0

√x2 + y2 + z2 dzdydx

Capítulo 13

Integrales de línea

13.1. ProntuarioDe�nición 13.1.1 Sean M,N : R ⊆ R2 → R. La función F : R2 → R2

de�nida por:F (x, y) = (M(x, y), N(x, y))

se llama campo vectorial plano sobre R.

Sean M,N,P : Q ⊆ R3 → R. La función F : R3 → R3 de�nida por:F (x, y, z) = (M(x, y, z), N(x, y, z), P (x, y, z))

se llama campo vectorial espacial sobre Q.De�nición 13.1.2 Un campo vectorial F se dice que es conservativo si existealguna función real f tal que:

F = ∇fEn tal caso, la función f se denomina función potencial de F .Teorema 13.1.1 Supongamos que M,N tienen derivadas parciales primerascontinuas en un disco abierto R. El campo vectorial plano dado por F (x, y) =(M(x, y), N(x, y)) es conservativo si y sólo si:

∂N

∂x=∂M

∂y

De�nición 13.1.3 El rotacional de F (x, y, z) = (M(x, y, z), N(x, y, z), P (x, y, z))es:

Rot(F )(x, y, z) = ∇× F (x, y, z) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

M(x, y, z) N(x, y, z) P (x, y, z)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

111

112 CAPÍTULO 13. INTEGRALES DE LÍNEA

Teorema 13.1.2 Supongamos queM,N,P tienen derivadas parciales primerascontinuas en una esfera abierta Q. El campo vectorial espacial dado por F (x, y, z) =(M(x, y, z), N(x, y, z), P (x, y, z)) es conservativo si y sólo si Rot(F ) = ~θ

De�nición 13.1.4 La divergencia de F = (M,N) es:

div(F ) = ∇ · F =∂M

∂x+∂N

∂y

La divergencia de F = (M,N,P ) es:

div(F ) = ∇ · F =∂M

∂x+∂N

∂y+∂P

∂z

Teorema 13.1.3 Si las segundas derivadas de un campo vectorial espacial Fson continuas, se tiene:

div(Rot(F )) = 0

De�nición 13.1.5 (Integral de línea) Sea f continua en una región que con-tiene a la curva suave C. Si C viene dada por r(t) = (x(t), y(t)); t ∈ [a, b],entonces se de�ne la integral de línea de f sobre la curva C como:

∫

C

f(x, y) ds =∫ b

a

f(x(t), y(t))√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt

Si C viene dada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)); t ∈ [a, b], entonces se de�ne laintegral de línea de f sobre la curva C como:

∫

C

f(x, y, z) ds =∫ b

a

f(x(t), y(t), z(t))√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2 dt

Observación 13.1.1 En general, las dos de�niciones anteriores para camposplanos y espaciales, se pueden uni�car en una sola:

∫

C

f ds =∫ b

a

f(r(t))||r′(t)|| dt

De�nición 13.1.6 Sea F un campo vectorial continuo de�nido sobre una curvasuave C dada por r(t). La integral de línea de F sobre C se de�ne como:

∫

C

F · dr =∫ b

a

F (r(t)) · r′(t) dt

Observación 13.1.2 La integral de línea de un campo vectorial, se puede ex-presar en forma diferencial, de la siguiente forma:

F campo plano:∫CF · dr =

∫CM dx+N dy

F campo espacial:∫CF · dr =

∫CM dx+N dy + P dz

13.1. PRONTUARIO 113

Teorema 13.1.4 (Teorema fundamental de las integrales de línea) SeaC una curva suave a trozos situada en una región abierta R y dada por r(t) =(x(t), y(t)); t ∈ [a, b]. Si F (x, y) = (M(x, y), N(x, y)) es un campo plano con-servativo de�nido en R y M,N son continuas en R, entonces:

∫

C

F · dr =∫

C

∇f · dr = f(x(b), y(b))− f(x(a), y(a))

siendo f una función potencial de F , esto es: ∇f(x, y) = F (x, y)

Teorema 13.1.5 Si F = (M,N,P ) tiene derivadas primeras parciales contin-uas en una región abierta conexa R y C es una curva cualquiera suave a trozosen R, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. F es conservativo.

2.∫

C

F · dr es independiente del camino.

3.∫

C

F · dr = 0 para toda curva cerrada C en R.

Teorema 13.1.6 (Teorema de Green) Sea R una región simplemente conexacon frontera suave C a trozos, orientada en sentido contrario a las agujas delreloj, esto es, C se recorre una vez de manera tal que la región R queda siempre ala izquierda. Si M,N,My, Nx son continuas en una región abierta que contienea R, entonces:

∫

C

M dx+N dy =∫ ∫

R

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)dA

Teorema 13.1.7 Si R es una región plana limitada por una curva cerrada sim-ple suave a trozos C, entonces el área de R viene dada por:

Area(R) =12

∫

C

x dy − y dx

Teorema 13.1.8 Se veri�can las siguientes formas alternativas del teorema deGreen:

∫

C

F · r =∫ ∫

R

(Rot(F )) · ~k dA

∫

C

F ·N ds =∫ ∫

R

div(F ) dA, donde N(s) = (y′(s),−x′(s)) es el vectornormal hacia afuera unitario, donde s es el parámetro longitud de arco


13.2. EjerciciosEjercicio 13.1 En cada apartado, halla el campo vectorial gradiente de la fun-ción escalar dada, es decir, halla el campo vectorial conservativo que tiene comouna de sus funciones potenciales a la función dada:

f(x, y) = 5x2 + 3xy + 10y2

f(x, y) = sen(3x)cos(4y)

f(x, y, z) = z − yex

f(x, y, z) =y

z+z

x− xz

y

f(x, y) = xyln(x+ y)

f(x, y, z) = xarcsen(yz)

Ejercicio 13.2 En los siguientes apartados, averigua si el campo vectorial dadoes conservativo o no. En caso a�rmativo, halla una función potencial.

F (x, y) = (2xy, x2)

F (x, y) =1y2

(y,−2x)

F (x, y) = xex2(2y, x)

F (x, y) = (2xy3, 3y2x2)

F (x, y) =1

x2 + y2(x, y)

F (x, y) =(

2yx,−x

2

y2

)

F (x, y) = ex(cos(y), sen(y))

F (x, y) =1

(x2 + y2)2(2x, 2y)

F (x, y, z) = (sen(y),−xcos(y), 1)

F (x, y, z) = ez(y, x, 1)

F (x, y, z) = ez(y, x, xy)

F (x, y, z) = (3x2y2z, 2x3yz, x3y2)

F (x, y, z) =(

1y,− x

y2, 2z − 1

)


F (x, y, z) =(

x

x2 + y2,

y

x2 + y2, 1)

Ejercicio 13.3 En cada uno de los siguientes casos, calcula el rotacional delcampo vectorial dado:

F (x, y, z) =(arctg

(x

y

), ln√x2 + y2, 1

)

F (x, y, z) =(

yz

y − z ,xz

x− z ,xy

x− y)

F (x, y, z) = (sen(x− y), sen(y − z), sen(z − x))

F (x, y, z) =√x2 + y2 + z2(1, 1, 1)

Ejercicio 13.4 Halla rot(F ×G)

F (x, y, z) = (1, 2x, 3y); G(x, y, z) = (x, y, z)

F (x, y, z) = (x, 0,−x); G(x, y, z) = (x2, y, z2)

Ejercicio 13.5 Halla rot(rot(F ))

F (x, y, z) = (xyz, y, z)

F (x, y, z) = (x2z,−2xz, yz)

F (x, y, z) = (exsen(y),−excos(y), 0)

F (x, y, z) = e−xyz(1, 1, 1)

Ejercicio 13.6 Calcula div(rot(F ))

F (x, y, z) = (xyz, y, z)

F (x, y, z) = (xz,−2xz, yz)

Ejercicio 13.7 Demuestra las propiedades enunciadas, siendo F y G camposvectoriales y f una función escalar:

rot(F +G) = rot(F ) + rot(G)

rot(∇f) = ∇×∇fdiv(F +G) = div(F ) + div(G)

div(F ×G) = rot(F ) ·G− F · rot(G)

∇× [∇f + (∇× F )] = ∇× (∇× F )

∇× (fF ) = f(∇× F ) +∇f × Fdiv(fF ) = fdiv(F ) +∇f · F


Ejercicio 13.8 En los siguientes apartados, sean F (x, y, z) = (x, y, z) y f(x, y, z) =||F (x, y, z)||. Demuestra que se cumplen las siguientes a�rmaciones:

∇(ln(f)) =F

f2

∇(

1f

)= − F

f3

∇(fn) = nfn−2F ; ∀n ∈ NEjercicio 13.9 Calcula la integral de línea sobre el camino que se especi�ca encada uno de los siguientes apartados:

∫

C

(x− y) ds, siendo C : r(t) = (4t, 3t); t ∈ [0, 2]

∫

C

4xy ds, siendo C : r(t) = (t, 1− t); t ∈ [0, 1]

∫

C

(x2 + y2 + z2) ds, siendo C : r(t) = (sen(t), cos(t), 8t); t ∈[0,π

2

]

∫

C

8xyz ds, siendo C : r(t) = (3, 12t, 5t); t ∈ [0, 2]

Ejercicio 13.10 Calcula∫

C

(x2 +y2) ds a lo largo del camino indicado en cadauno de los siguientes apartados:

C: eje X desde x = 0 hasta x = 3

C: eje Y desde y = 1 hasta y = 10

C: la circunferencia x2 + y2 = 1, en sentido contrario a las agujas delreloj, desde (1, 0) hasta (0, 1)

C: la circunferencia x2 + y2 = 4, en sentido contrario a las agujas delreloj, desde (2, 0) hasta (0, 2)

Ejercicio 13.11 En cada uno de los siguientes apartados, evalúa∫

C

(x+4√y) ds

a lo largo del camino dado:

C: segmento que une (0, 0) con (1, 1).

C: segmento que une (0, 0) con (3, 9).

C: triángulo de vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1), recorrido en sentido contrarioa las agujas del reloj.

C: cuadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), recorrido en sentido con-trario a las agujas del reloj.


Ejercicio 13.12 En cada uno de los siguientes apartados, calcula∫

C

F · drdonde C viene representada por la parametrización r(t)

F (x, y) = (xy, y) siendo C : r(t) = (4t, t); t ∈ [0, 1]

F (x, y) = (xy, y) siendo C : r(t) = (4cos(t), 4sen(t)); t ∈[0,π

2

]

F (x, y) = (3x, 4y) siendo C : r(t) = (t,√

4− t2); t ∈ [−2, 2]

F (x, y, z) = (x2y, x− z, xyz) siendo C : r(t) = (t, t2, 2); t ∈ [0, 1]

F (x, y, z) = (x2, y2, z2) siendo C : r(t) = (sen(t), cos(t), t2); t ∈[0,π

2

]

Ejercicio 13.13 En cada uno de los siguientes apartados, evalúa∫

C

(2x− y) dx+ (x+ 3y) dy

a lo largo del camino dado:

C: eje X desde x = 0 hasta x = 5.

C: eje Y desde y = 0 hasta y = 2.

C: segmentos rectos de (0, 0) a (3, 0) y de (3, 0) a (3, 3).

C: segmentos rectos de (0, 0) a (0,−3) y de (0,−3) a (2,−3).

C: arco parabólico x = t; y = 2t2 desde (0, 0) hasta (2, 8).

C: arco elíptico x = 4sen(t); y = 3cos(t), desde (0, 3) hasta (4, 0).

Ejercicio 13.14 En cada uno de los siguientes apartados, prueba que el valorde∫

C

F · dr es el mismo para las parametrizaciones de C que se dan:

F (x, y) = (x2, xy)

• r1(t) = (t, t2); t ∈ [0, 1]

• r2(t) = (sen(t), sen2(t)); t ∈[0,π

2

]

F (x, y) = (x2 + xy2,−x)

• r1(t) = (t,√t); t ∈ [0, 4]

• r2(t) = (t2, t); t ∈ [0, 2]

F (x, y) = (y,−x)

• r1(t) = (√t+ 1,

√t); t ∈ [0, 3]


• r2(t) = (sec(t), tg(t)); t ∈[0,π

3

]

F (x, y) = (y,−x2)

• r1(t) = (2 + t, 3− t); t ∈ [0, 3]

• r2(t) = (2 + ln(t), 3− ln(t)); t ∈ [1, e3]

Ejercicio 13.15 En cada uno de los siguientes apartados, halla el valor de laintegral de línea

∫

C

F · dr. (Ayuda: Si la integral es independiente del camino,puede ser más fácil efectuar la integración por un camino alternativo)

F (x, y) = (2xy, x2)

• r1(t) = (t, t2); t ∈ [0, 1]

• r2(t) = (t, t3); t ∈ [0, 1]

F (x, y) = (yexy, xexy)

• r1(t) =(t,−3

2(t− 2)

); t ∈ [0, 2]

• Segmentos rectos de (0, 3) a (0, 0) y de (0, 0) a (2, 0).

F (x, y) = (y,−x)

• r1(t) = (t, t); t ∈ [0, 1]

• r2(t) = (t, t2); t ∈ [0, 1]

• r3(t) = (t, t3); t ∈ [0, 1]

F (x, y) = (xy2, 2x2y)

• r1(t) =(t,

1t

); t ∈ [1, 3]

• r2(t) =(t+ 1,−1

3(t− 3)

); t ∈ [0, 2]

∫

C

y2 dx+ 2xy dy

• Segmentos rectos que unen (0, 0) con (3, 4) y (3, 4) con (4, 4)

• Circunferencia de puntos diametralmente opuestos (−1, 0) y (1, 0)recorrida en el sentido de las agujas del reloj.

• Cuadrado de vértices (−1,−1), (−1, 1), (1, 1), (1,−1) recorrido en sen-tido de las agujas del reloj• Semicircunferencia superior de puntos diametralmente opuestos (−1, 0)y (1, 0) y segmento que une (1, 0) con (−1, 0), toda la curva recorridaen sentido contrario a las agujas del reloj


C

(2x− 3y + 1) dx− (3x+ y − 5) dy

• Triángulo de vértices (0, 0), (2, 3), (4, 1) recorrido en sentido contrarioa las agujas del reloj

• Semicircunferencia derecha de puntos diametralmente opuestos (0,−1)y (0, 1) recorrida en el sentido de las agujas del reloj.

• y = ex desde (0, 1) hasta (2, e2)

• Semicircunferencia derecha de puntos diametralmente opuestos (0,−1)y (0, 1) y segmento que une (0, 1) con (0,−1), toda la curva recorridaen sentido contrario a las agujas del reloj

∫

C

2xy dx+ (x2 + y2) dy

• Elipse: x2

25+y2

16= 1, desde (5, 0) hasta (0, 4).

• Parábola y = 4− x2, desde (2, 0) hasta (0, 4)∫

C

2xy dy + (x2 + y2) dx

• r1(t) = (t3, t2); t ∈ [0, 2]

• r2(t) = (2cos(t), 2sen(t)); t ∈[0,π

2

]

F (x, y, z) = (yz, xz, xy)

• r1(t) = (t, 2, t); t ∈ [0, 4]

• r2(t) = (t2, t, t2); t ∈ [0, 2]

F (x, y, z) = (1, z, y)

• r1(t) = (cos(t), sen(t), t2); t ∈ [0, π]

• r2(t) = (1− 2t, 0, π2t); t ∈ [0, 1]

F (x, y, z) = (2y + x, x2 − z, 2y − 4z)

• r1(t) = (t, t2, 1); t ∈ [0, 1]

• r2(t) = (t, t, (2t− 1)2); t ∈ [0, 1]

F (x, y, z) = (−y, x, 3xz2)

• r1(t) = (cos(t), sen(t), t); t ∈ [0, π]

• r2(t) = (1− 2t, 0, πt); t ∈ [0, 1]

F (x, y, z) = ez(y, x, xy)

• r1(t) = (4cos(t), 4sen(t), 3); t ∈ [0, π]


• r2(t) = (4− 8t, 0, 3); t ∈ [0, 1]

F (x, y, z) = (ysen(z), xsen(z), xycos(z))

• r1(t) = (t2, t2, 0); t ∈ [0, 2]

• r2(t) = (4t, 4t, 0); t ∈ [0, 1]

Ejercicio 13.16 En cada uno de los siguientes apartados, calcula la integralusando el teorema fundamental de las integrales de línea:

∫

C

(y, x) · dr, siendo C una curva suave desde (0, 0) hasta (3, 8).

∫

C

(2(x+ y), 2(x+ y)) · dr, siendo C una curva suave desde (−1, 1) hasta(3, 2).∫ ( 3π

2 ,π2 )

(0,−π)

cos(x)sen(y) dx+ sen(x)cos(y) dy

∫ (2√

3,2)

(1,1)

y dx− x dyx2 + y2

∫

C

exsen(y) dx + excos(y) dy, siendo C la cicloide x = θ − sen(θ); y =

1− cos(θ) desde (0, 0) hasta (2π, 0)∫

C

2x dx+ 2y dy(x2 + y2)2

, siendo C la circunferencia (x − 4)2 + (y − 5)2 = 9

recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj, desde (7, 5) hasta(1, 5).∫

C

(z + 2y) dx+ (2x− z) dy + (x− y) dz, siendo:

• C: segmento recto desde (0, 0, 0) hasta (1, 1, 1).• C: segmentos rectos desde (0, 0, 0) hasta (0, 0, 1) y después a (1, 1, 1)

∫ (π2 ,3,4)

(0,0,0)

−sen(x) dx+ z dy + y dz

∫ (3,4,0)

(0,0,0)

6x dx− 4z dy − (4y − 20z) dz

Ejercicio 13.17 Sea F (x, y) =(

y

x2 + y2,− x

x2 + y2

)

Demuestra que F es conservativo


Si r(t) = (cos(t), sen(t)) para t ∈ [0, π], calcula∫

C

F · dr

Si r(t) = (cos(t),−sen(t)) para t ∈ [0, 2π], calcula∫

C

F · dr

¾Por qué no contradicen estos resultados las propiedades de los campos conser-vativo en relación a las integrales de línea?

Ejercicio 13.18 En cada caso, usa el teorema de Green para calcular la inte-gral: ∫

C

(y − x) dx+ (2x− y) dy

por el camino dado:

C: frontera de la región situada entre las grá�cas de y = x e y = x2 − xC: x = 2cos(θ); y = sen(θ)

C: frontera de la región situada en el interior del rectángulo limitado porx = −5;x = 5; y = −3; y = 3 y el exterior del cuadrado limitado porx = −1;x = 1; y = −1; y = 1

frontera de la región situada entre las circunferencias x2 + y2 = 16 yx2 + y2 = 1

Ejercicio 13.19 En los siguientes apartados, usa el teorema de Green paracalcular la integral de línea:

∫

C

2xy dx+ (x+ y) dy, siendo C la frontera de la región situada entre lasgrá�cas de y = 0 e y = 4− x2

∫

C

y2 dx+xy dy, siendo C la frontera de la región situada entre las grá�casde y = 0, y =

√x y x = 4.

∫

C

(x2 − y2) dx+ 2xy dy, siendo C : x2 + y2 = a2

∫

C

2arctg(yx

)dx + ln(x2 + y2) dy, siendo C : x = 4 + 2cos(t); y =

4 + sen(t)

Ejercicio 13.20 En los siguientes apartados, usa una integral de línea parahallar el área del la región R:

R: región limitada por la grá�ca de x2 + y2 = a2

R: región limitada por las grá�cas de y = 2x+ 1; y = 4− x2

Parte V

Soluciones

123

Capítulo 1

Soluciones al capítulo 1

Ejercicio 1.1 Tenemos el conjunto R3 en el que se han de�nido dos opera-ciones, la primera interna y la segunda externa:

+ : (x, y, z)+(x′, y′, z′) = (x+x′, 2(y+y′), 3z); ∀(x, y, z), (x′, y′, z′) ∈ R3

·R : α(x, y, z) = (αx, αy, αz) ∀α ∈ R; ∀(x, y, z) ∈ R3

Se trata de comprobar si con estas dos operaciones, el conjunto R3 cumple lasocho propiedades que de�nen la estructura de espacio vectorial:

1. (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′, 2(y + y′), 3z), que es distinto, en generala: (x′, y′, z′) + (x, y, z) = (x′ + x, 2(y′ + y), 3z′). Luego no se cumple laprimera propiedad de la de�nición de espacio vectorial.

2. (x, y, z) + [(x′, y′, z′) + (x′′, y′′, z′′)] = (x, y, z) + (x′+x′′, 2(y′+ y′′), 3z′) =(x + x′ + x′′, 2(y + 2(y′ + y′′)), 3z) = (x + x′ + x′′, 2y + 4y′ + 4y′′, 3z).que es distinto, en general, a: [(x, y, z) + (x′ + y′ + z′)] + (x′′, y′′, z′′) =(x+x′, 2(y+y′), 3z)+(x′′, y′′, z′′) = (x+x′+x′′, 2(2(y+y′)+y′′), 3(3z)) =(x+ x′ + x′′, 4y + 4y′ + 2y′′, 9z) luego no se cumple la segunda propiedadde la de�nición de espacio vectorial.

3. Supongamos que existiese un elemento neutro (θ1, θ2, θ3), tal que (x, y, z)+(θ1, θ2, θ3) = (x, y, z); ∀(x, y, z) ∈ R3. Entonces, se tendría:

x+ θ1 = x2(y + θ2) = y

3z = z

⇒

θ1 = 0

θ2 = −12y

z = 0

La segunda ecuación nos indica que θ2 dependería de la segunda compo-nente del vector, y la tercera ecuación nos informa que la igualdad plantea-da sólo es posible si z = 0. Por tanto, no existe elemento neutro indepen-diente de cualquier elemento y válido para cualquier elemento, luego no secumple la propiedad 3.

125

126 CAPÍTULO 1. SOLUCIONES AL CAPÍTULO 1

4. Al no existir elemento neutro, esta propiedad carece de sentido

5. λ[(x, y, z) + (x′, y′, z′)] = λ(x + x′, 2(y + y′), 3z) = (λx + λx′, 2λy +2λy′, 3λz). Por otra parte: λ(x, y, z)+λ(x′, y′, z′) = (λx, λy, λz)+(λx′, λy′, λz′) =(λx + λx′, 2λy + 2λy′, 3λz), dando lugar a la misma expresión anterior.Por lo tanto, se cumple la quinta propiedad de la de�nición de espaciovectorial.

6. (λ+ µ)(x, y, z) = (λx+ µx, λy + µy, λz + µz). Por otra parte λ(x, y, z) +µ(x, y, z) = (λx, λy, λz) + (µx, µy, µz) = (λx + µx, 2λy + 2µy, 3λz), queen general es distinta de la expresión obtenida anteriormente. Por tanto,no se cumple la propiedad sexta de la de�nición de espacio vectorial.

7. (λµ)(x, y, z) = (λµx, λµy, λµz). Por otra parte, λ[µ(x, y, z)] = λ(µx, µy, µz) =(λµx, λµy, λµz), se cumple por tanto la propiedad séptima de la de�niciónde espacio vectorial.

8. 1 · (x, y, z) = (x, y, z), se cumple por tanto la propiedad octava de la de�ni-ción de espacio vectorial.

Al no cumplirse alguna de las propiedades de la de�nición de espacio vectorial,concluimos que el conjunto R3 con las dos operaciones de�nidas en él, no tieneestructura de espacio vectorial.

Nota: En este ejercicio, se podría haber concluido al comprobar que una de laspropiedades ya no se cumple. El hecho de ir comprobándolas todas aporta, ademásde manejo y soltura con estas estructuras, la comprensión de que unas propiedadespueden cumplirse y otras no.

Ejercicio 1.2 (R2,+, .R) no tiene estructura de espacio vectorial, pues no secumple la propiedad 6 de la de�nición de espacio vectorial.

Ejercicio 1.3 (R3,+, .R) no tiene estructura de espacio vectorial, pues no secumplen las propiedades 5 y 6 de la de�nición de espacio vectorial.

Ejercicio 1.4 a = 11; b = 9

Ejercicio 1.5 Es un s.g.

No es un s.g. Sólo se puede escribir como c.l. de los vectores dados, losdel conjunto {(x1, x2, x3) ∈ R3/− 2x1 − 2x2 + 6x3 = 0}.

Ejercicio 1.6 Son l.d.

Son l.d.

Son l.i.

127

Si planteamos directamente la de�nición de independencia lineal, ten-dríamos:

λ1(1− x2) + λ2(3− x2 + x3) + λ3(3x2 − 4x3) = θ1

lo cual nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:λ1 + 3λ2 = 0

−λ1 − λ2 + 3λ3 = 0λ2 − 4λ3 = 0

⇒

∣∣∣∣∣∣

1 3 0−1 −1 30 1 −4

∣∣∣∣∣∣6= 0

Por tanto, el sistema es compatible y determinado, de donde se concluyeque existen unas únicas soluciones para λ1, λ2, λ3 que dado que el sistemaes homogéneo, han de ser necesariamente: λ1 = λ2 = λ3 = 0. Por tanto,los tres vectores son linealmente independientes.

Ejercicio 1.7 Si a 6= −2, 1 ⇒ Los vectores son l.iSi a = −2 o a = 1 ⇒ Los vectores son l.d

Los vectores son l.i. ∀a ∈ RLos vectores son l.d. ∀a ∈ R

Si a 6= 0,+√

5,−√5 ⇒ Los vectores son l.i

Si a = 0 o a = +√

5 o a = −√5 ⇒ Los vectores son l.d

Ejercicio 1.8 A = {(3λ, λ, λ + µ, µ)/ λ, µ ∈ R} ⊂ R4.En primer lugar,observamos que tomando λ = µ = 0, se comprueba que (0, 0, 0, 0) ∈ A.Tomemos pues dos vectores de A: ~u = (3λ, λ, λ + µ, µ), ~v = (3λ′, λ′, λ′ +µ′, µ′) y dos números reales α, β y estudiemos si el vector α~u+β~v pertenecea A. En efecto: α~u+β~v = (3αλ+3βλ′, αλ+βλ′, αλ+αµ+βλ′+βµ′, αµ+βµ′) = (3λ′′, λ′′, λ′′+µ′′, µ′′) ∈ A, sin más que llamar λ′′ = αλ+βλ′; µ′′ =αµ+βµ′. Así queda probado que efectivamente A es un subespacio vectorialde R4.

B = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4/ x1 · x2 = 0}. En primer lugar comprobamosque (0, 0, 0, 0) ∈ B, ya que 0 · 0 = 0. Sin embargo B no es subespaciovectorial de R4, ya que se pueden tomar dos vectores de B cuya suma noestá en B. Por ejemplo: ~u = (1, 0, 1, 1) ∈ B; ~v = (0, 1, 1, 1) ∈ B ya que1 · 0 = 0; 0 · 1 = 0 respectivamente, y sin embargo ~u+ ~v = (1, 1, 2, 2) 6∈ Bya que 1 · 1 6= 0

C = {(x1, x2, x3, x4)/ x1, x2 ∈ Z}. Nuevamente comprobamos que el vectornulo (0, 0, 0, 0) ∈ C ya que sus dos primera componentes están en Z. Sinembargo, C no es subespacio vectorial de R4, ya que es fácil encontrar unvector de ~u ∈ C y un número real α, tales que α~u 6∈ C. En efecto, tomemos~u = (1, 0, 3, 2) ∈ C; α =

12∈ R. Entonces se tiene α~u =

(12, 0,

32, 1)6∈ C

ya que 126∈ Z

1Aquí θ representa el polinomio nulo


D = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 + x2 = 0; x3 − x4 = 0}. Es trivial que de nuevoel vector nulo pertenece a D. Tomemos ahora dos vectores arbitrarios pero�jos de D. Sean ~u = (x1, x2, x3, x4) ∈ D ⇒ x1 + x2 = 0; x3 − x4 = 0 y~u = (y1, y2, y3, y4) ∈ D ⇒ y1 + y2 = 0; y3 − y4 = 0. Tomemos tambiénα, β ∈ R. Estudiemos si la combinación lineal α~u + β~v pertenece a D.En efecto: α~u + β~v = (αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3, αx4 + βy4) conαx1 + βy1 + αx2 + βy2 = α(x1 + x2) + β(y1 + y2) = α · 0 + β · 0 = 0 yαx3 + βy3 − αx4 − βy4 = α(x3 − x4) + β(y3 − y4) = alpha · 0 + β · 0 = 0,de donde se deduce que D es subespacio vectorial de R4.

Es evidente que E no es subespacio vectorial de R4 ya que (0, 0, 0, 0) 6∈ Eya que 0 + 2 · 0 = 0 6= 7

F es subespacio vectorial de R4.

Ejercicio 1.9 Ambos son equivalentes pues comparten la misma ecuación im-plícita, a saber, x1 − x3 = 0

Ejercicio 1.10 a = 2

Ejercicio 1.11 a = −7; b = −3

Ejercicio 1.12 Consideremos el subconjunto de R4: A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 +x2+x3 = 0; 3x2−2x3+x4 = 0}. La comprobación de que en efecto este conjuntoconstituye un subespacio vectorial de R4 se deja al lector. (Ver ejercicio 1.8).El enunciado nos proporciona las ecuaciones implícitas de A, a saber:

{x1 + x2 + x3 = 0

3x2 − 2x3 + x4 = 0

Resolviendo el sistema proporcionado por estas ecuaciones implícitas, obten-emos las ecuaciones paramétricas y la dimensión. La matriz de los coe�cientesy ampliada del sistema es:

(A|B) =(

1 1 1 0 00 3 −2 −1 0

)

Trivialmente, se veri�ca que Rg(A) = Rg(B) = 2, de donde se deduce quedim(A) = 4 − 2 = 2 (usando la fórmula: dim(Rn) − Rg(A) = dim(F ), siendoF un subespacio vectorial de Rn y A la matriz de los coe�cientes del sistema deecuaciones implícitas). Además necesitamos dos parámetros: sean x3 = λ, x4 = µ.De ahí que el sistema se reduce a:

{x1 + x2 = −λ

3x2 = 2λ− µ ⇒

x1 = −53λ+

13µ

x2 =23λ− 1

3µ

129

Multiplicando por el factor adecuado para eliminar los denominadores, se tienenlas ecuaciones paramétricas:

x1 = −5λ+ µx2 = 2λ− µx3 = 3λx4 = 3µ

Y de aquí una base de A = {(−5, 2, 3, 0), (1,−1, 0, 3)}

Ejercicio 1.13 Ecuaciones implícitas:{

x1 + 3x2 + x3 = 04x2 + 2x3 + x4 = 0

Ejercicio 1.14 Consideremos el subespacio A generado por los vectores

{(1, 2, 0, 1), (−2, 0, 7, 2), (0,−1,−1,−2)}

Se tiene:

Rg(A) = Rg

1 2 0 1−2 0 7 20 −1 −1 −2

= 3⇒ dim(A) = Rg(A) = 3

De donde se deduce no ecuaciones implcitas independientes = 4−3 = 1 (estoyusando la fórmula no ecuaciones implcitas independientes de F = dim(Rn) −dim(F ) para un subespacio F de Rn). Además, el rango anterior nos informaque los tres vectores generadores de A son linealmente independientes, por loque forman una base de A. Por tanto las ecuaciones paramétricas de A son:

x1 = λ− 2µx2 = 2λ− δx3 = 7µ− 2δx4 = λ+ 2µ− 2δ

Eliminando los parámetros de este sistema llegamos a las ecuaciones implícitas.Como sabemos que necesitamos una de ellas, planteamos el siguiente determi-nante:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 1 −2 0x2 2 0 −1x3 0 7 2x4 1 2 2

∣∣∣∣∣∣∣∣= 13x1 − 6x2 + 4x3 − x4

Ejercicio 1.15 Ecuaciones implícitas{x1 − x2 − 3x4 = 0x2 + x3 = 0


Ecuaciones paramétricas:

x1 = λ+ 2µx2 = λ− µx3 = −λ+ µx4 = µ

dim(A) = 2

Una base de A : {(1, 1,−1, 0), (2,−1, 1, 1)}(1, 0, 0, 0) 6∈ ALos dos subespacios no son el mismo, pues (4, 1, 1,−1) ∈ B \A

Ejercicio 1.16 Es base de R3

• dim(A) = 2

• Base de A = {(1, 0, 1), (0, 0, 1)}• Ecuaciones paramétricas de A:

x1 = λx2 = 0x3 = λ+ µ

• Ecuaciones implícitas de A : x2 = 0

No es base, el número de vectores de una base de R3 es tres.

No es base, el número de vectores de una base de R3 es tres.

Es base de R3

Ejercicio 1.17 B,B′ son bases de R2.

M [B,B′] =(

1 −61 −1

)

M [B′, B] =

−1

565

−15

15

~w(2, 3) =(

65,

15

)

B

~w(2, 3) = (0, 1)B′

~v = (1,−2)B = (13, 3)B′

~t = (−2, 1)B′ =(

85,

35

)

131

Ejercicio 1.18 B1, B2 son bases de R4.

M [B1, B2] =

0 −1 −9 −13 1 10 1−1 0 3 02 1 14 2

~u =(

910,−12

5,

310,−23

10

)

Capítulo 2


Ejercicio 2.1 Matriz A:

• Polinomio característico: P (λ) = (1− λ)2(−2− λ)

• Autovalores: λ1 = 1; m1 = 2; λ2 = −2; m2 = 1

• V (λ1)

◦ Ecuaciones implícitas:{x3 = 0

◦ Ecuaciones paramétricas:

x1 = λx2 = µx3 = 0

◦ Base: {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}◦ dim(V (λ1)) = 2

• V (λ2)

◦ Ecuaciones implícitas:{

x1 = 0x2 − x3 = 0


x1 = 0x2 = λx3 = λ

◦ Base: {(0, 1, 1)}◦ dim(V (λ2)) = 1

133


Matriz B

• Polinomio característico: P (λ) = −λ3 − 3λ2 − 3λ− 1

• Autovalores: λ1 = −1; m1 = 3

• V (λ1)


5x1 − 2x2 + 3x3 = 0x1 + x3 = 0


x1 = λx2 = λx3 = −λ

◦ Base: {(1, 1,−1)}◦ dim(V (λ1)) = 1

Matriz C

• Polinomio característico: P (λ) = λ2 − 15λ+ 14

• Autovalores: λ1 = 1; m1 = 1; λ2 = 14; m2 = 1

• V (λ1)

◦ Ecuaciones implícitas:{x1 + 4x2 = 0

◦ Ecuaciones paramétricas:{x1 = −4λx2 = λ

◦ Base: {(−4, 1)}◦ dim(V (λ1)) = 1

• V (λ2)


3x1 − x2 = 0

◦ Ecuaciones paramétricas:{x1 = λx2 = 3λ

◦ Base: {(1, 3)}◦ dim(V (λ2)) = 1

135

Ejercicio 2.2 Matriz A

• Polinomio característico: P (λ) = λ2 − 5λ− 14


• V (λ1)

◦ Ecuaciones implícitas:{x1 − x2 = 0

◦ Ecuaciones paramétricas:{x1 = λx2 = λ

◦ Base: {(1, 1)}◦ dim(V (λ1)) = 1

• V (λ2)


5x1 + 4x2 = 0

◦ Ecuaciones paramétricas:{

x1 = λ

x2 = −54λ

◦ Base: {(4,−5)}◦ dim(V (λ2)) = 1

A es diagonalizable.

• Una matriz de paso: P =(

1 41 −5

)

• Una forma diagonal: D =(

7 00 −2

)

Matriz B

• Polinomio característico: P (λ) = λ2 − 4λ+ 3


• V (λ1)

◦ Ecuaciones implícitas:{x1 + x2 = 0


◦ Ecuaciones paramétricas:{x1 = λx2 = −λ

◦ Base: {(1,−1)}◦ dim(V (λ1)) = 1

• V (λ2)

◦ Ecuaciones implícitas:{x1 − x2 = 0

◦ Ecuaciones paramétricas:{x1 = λx2 = λ

◦ Base: {(1, 1)}◦ dim(V (λ2)) = 1

B es diagonalizable


1 1−1 1

)


1 00 3

)

Matriz C

• Polinomio característico: P (λ) = −λ3 + 4λ2 − 4λ


• V (λ1)

◦ Ecuaciones implícitas:{x1 + x2 − x3 = 0

x2 = 0


x1 = λx2 = 0x3 = λ

◦ Base: {(1, 0, 1)}◦ dim(V (λ1)) = 1 6= m1

C no es diagonalizable

137

Matriz D

• Polinomio característico: P (λ) = −(λ+ 2)(λ2 − 4λ+ 7)

• Autovalores: λ1 = −2; m1 = 1; λ2 = 2 +√

3i 6∈ R; m2 = 1; λ3 =2−√3i 6∈ R; m3 = 1 D no es diagonalizable

Matriz E

• Polinomio característico: P (λ) = 1− λ3

• Autovalores: λ1 = 1; m1 = 1; λ2 = −12

+√

32i 6∈ R; m2 = 1; λ3 =

−12−√

32i 6∈ R; m3 = 1 E no es diagonalizable

Matriz F

• Polinomio característico: P (λ) = λ4 − 4λ3 + 16λ− 16


• V (λ1)

◦ Ecuaciones implícitas:{x1 − x2 − x3 − x4 = 0


x1 = λ+ µ+ δx2 = λx3 = µx4 = δ

◦ Base: {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}◦ dim(V (λ1)) = 3

• V (λ2)

◦ Ecuaciones implícitas:

3x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 + 3x2 − x3 − x4 = 0x1 − x2 + 3x3 − x4 = 0


x1 = −λx2 = λx3 = λx4 = λ

◦ Base: {(−1, 1, 1, 1)}


◦ dim(V (λ2)) = 1

F es diagonalizable

◦ Una matriz de paso: P =

1 1 1 −11 0 0 10 1 0 10 0 1 1

◦ Una forma diagonal: D =

2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 −2

Matriz G

• Polinomio característico: P (λ) = λ3(λ− 4)


• V (λ1)

◦ Ecuaciones implícitas:{x1 + x2 + x3 + x4 = 0


x1 = −λ− µ− δx2 = λx3 = µx4 = δ

◦ Base: {(−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)}◦ dim(V (λ1)) = 3

• V (λ2)

◦ Ecuaciones implícitas:−3x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 − 3x2 + x3 + x4 = 0x1 + x2 − 3x3 + x4 = 0


x1 = λx2 = λx3 = λx4 = λ

◦ Base: {(1, 1, 1, 1)}◦ dim(V (λ2)) = 1

139

G es diagonalizable

◦ Una matriz de paso: P =

−1 −1 −1 11 0 0 10 1 0 10 0 1 1

◦ Una forma diagonal: D =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 4

Ejercicio 2.3 Matriz APolinomio característico: P (λ) = −λ3 + 6λ2 − 11λ+ 6

Autovalores: λ1 = 1; m1 = 1; λ2 = 2; m2 = 1; λ3 = 3; m3 = 1 Como Atiene todos sus autovalores reales y distintos, entonces A es semejante auna matriz diagonal, por ejemplo:

D =

1 0 00 2 00 0 3

V (λ1)

• Ecuaciones implícitas:{

x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0

• Ecuaciones paramétricas:

x1 = λx2 = −λx3 = 0

• Base: {(1,−1, 0)}• dim(V (λ1)) = 1

V (λ2)


x1 + x3 = 02x1 + 2x2 + x3 = 0


x1 = −λx2 =

12λ

x3 = λ


• Base: {(−2, 1, 2)}• dim(V (λ2)) = 1

V (λ3)


2x1 + x3 = 0x1 − x2 + x3 = 0


x1 = −12λ

x2 =12λ

x3 = λ

• Base: {(−1, 1, 2)}• dim(V (λ3)) = 1

Una matriz de paso entre A y D es:

P =

1 −2 −1−1 1 10 2 2

Ejercicio 2.4 Matriz B

Polinomio característico: P (λ) = −λ3 + 9λ2 − 24λ+ 16

Autovalores: λ1 = 4; m1 = 2; λ2 = 1; m2 = 1

V (λ1)

• Ecuaciones implícitas:{x1 − x2 + x3 = 0


x1 = λ− µx2 = λx3 = µ

• Base: {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}• dim(V (λ1)) = 2

V (λ2)

141


2x1 + x2 − x3 = 0x1 + 2x2 + x3 = 0


x1 = λx2 = −λx3 = λ

• Base: {(1,−1, 1)}• dim(V (λ2)) = 1

B es diagonalizable

• Una matriz de paso: P =

1 −1 11 0 −10 1 1

• Una forma diagonal: D =

4 0 00 4 00 0 1

Ejercicio 2.5 Matriz G

Polinomio característico: P (λ) = −λ3 + 4λ2 − 5λ+ 2


V (λ1)


2x2 − 3x3 = 0x1 + 2x3 = 0


x1 = −2λ

x2 =32λ

x3 = λ

• Base: {(−4, 3, 2)}• dim(V (λ1)) = 1

V (λ2)


• Ecuaciones implícitas:{x1 − x2 + 2x3 = 0

x1 + x2 = 0


x1 = −λx2 = λx3 = λ

• Base: {(−1, 1, 1)}• dim(V (λ2)) = 1

Como dim(V (λ1)) 6= m1, se tiene que G no es diagonalizable sobre R.

Ejercicio 2.6 Matriz H:

Polinomio característico: P (λ) = (3− λ)(λ− 1)2


V (λ1)

• Ecuaciones implícitas: {x1 = 0


x1 = 0x2 = λx3 = µ

• Base: {(0, 1, 0), (0, 0, 1)}• dim(V (λ1)) = 2

V (λ2)


3x1 − 2x2 = 0x1 + 2x3 = 0


x1 = −2λx2 = −3λx3 = λ

• Base: {(2, 3,−1)}

143

• dim(V (λ2)) = 1

H es diagonalizable


0 0 21 0 30 1 −1


1 0 00 1 00 0 3

Ejercicio 2.7 Matriz A =(a bb a

); a, b ∈ R \ {0}

Polinomio característico: P (λ) = (a− λ)2 − b2

Autovalores: λ1 = a+ b; m1 = 1; λ2 = a− b; m2 = 1

V (λ1)

• Ecuaciones implícitas:{x1 − x2 = 0

• Ecuaciones paramétricas:{x1 = λx2 = λ

• Base: {(1, 1)}• dim(V (λ1)) = 1

V (λ2)

• Ecuaciones implícitas:{x1 + x2 = 0

= 0

• Ecuaciones paramétricas:{x1 = −λx2 = λ

• Base: {(−1, 1)}• dim(V (λ2)) = 1




1 −11 1

)

• Una forma diagonal: D =(a+ b 0

0 a− b)


Polinomio característico: P (λ) = (a− λ)2(1− λ)

Autovalores: λ1 = a; m1 = 2; λ2 = 1; m2 = 1

V (λ1)

• Ecuaciones implícitas:{x1 + (1− a)x2 = 0ax1 + x2 = 0

Nos vemos ahora obligados a hacer la siguiente distinción◦ Si a = 0, entonces las ecuaciones paramétricas son:

x1 = 0x2 = 0x3 = λ

de donde se tendría dim(V (λ1)) = 1 6= m1 y por tanto A nosería diagonalizable.

◦ Si a 6= 0,entonces las ecuaciones paramétricas son:

x1 = 0x2 = 0x3 = λ

de donde se tendría dim(V (λ1)) = 1 6= m1 y por tanto A nosería diagonalizable.

En de�nitiva, A no es diagonalizable ∀a ∈ R

Ejercicio 2.9 a = −1 ó a =13

Ejercicio 2.10 Base ortonormal B = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)}


• Polinomio característico: P (λ) = λ2 − 10λ


• V (λ1)

145

◦ Ecuaciones implícitas:{x1 + 2x2 = 0

◦ Ecuaciones paramétricas:{x1 = −2λx2 = λ

◦ Base: {(−2, 1)}◦ dim(V (λ1)) = 1

• V (λ2)


2x1 − x2 = 0= 0

◦ Ecuaciones paramétricas:{x1 = λx2 = 2λ

◦ Base: {(1, 2)}◦ dim(V (λ2)) = 1

• Base ortonormal de V (λ1) ={(−2√

5,

1√5

)}

• Base ortonormal de V (λ2) ={(

1√5,

2√5

)}

Una matriz de paso ortogonal

P =

−2√

51√5

1√5

2√5

Una forma diagonal:D =

(0 00 10

)

Matriz B

• Polinomio característico: P (λ) = −λ3 + 24λ2 − 180λ+ 432


• V (λ1)

◦ Ecuaciones implícitas:{x1 − 2x2 + x3 = 0



x1 = 2λ− µx2 = λx3 = µ

◦ Base: {(2, 1, 0), (−1, 0, 1)}◦ dim(V (λ1)) = 2

• V (λ2)


x1 + x2 + x3 = 0x1 − 2x2 − 5x3 = 0


x1 = λx2 = −2λx3 = λ

◦ Base: {(1,−2, 1)}◦ dim(V (λ2)) = 1


2√5,

1√5, 0),

( −1√30,

2√30,

5√30

)}


1√6,−2√

6,

1√6

)}


P =

2√5

−1√30

1√6

1√5

2√30

−2√6

05√30

1√6

Una forma diagonal:

D =

6 0 00 6 00 0 12

Matriz C

• Polinomio característico: P (λ) = −λ3 − 4λ2 − 3λ

• Autovalores: λ1 = 0; m1 = 1; λ2 = −1; m2 = 1; λ3 = −3; m3 = 1

• V (λ1)

147

◦ Ecuaciones implícitas:{x1 − x2 = 0x2 − x3 = 0


x1 = λx2 = λx3 = λ

◦ Base: {(1, 1, 1)}◦ dim(V (λ1)) = 1

• V (λ2)


x2 = 0x1 − x2 + x3 = 0


x1 = −λx2 = 0x3 = λ

◦ Base: {(−1, 0, 1)}◦ dim(V (λ2)) = 1

• V (λ3)


2x1 + x2 = 0x2 + 2x3 = 0


x1 = −12λ

x2 = λ

x3 = −12λ

◦ Base: {(1,−2, 1)}◦ dim(V (λ3)) = 1

Base ortonormal de V (λ1) ={(

1√3,

1√3,

1√3

)}

Base ortonormal de V (λ2) ={(− 1√

2, 0,

1√2

)}



1√6,−2√

6,

1√6

)}


P =

1√3−1√

21√6

1√3

0−2√

61√3

1√2

1√6

Una forma diagonal:

D =

0 0 00 −1 00 0 −3


Polinomio característico: P (λ) = −λ3 + 3λ2 + 6λ− 8

Autovalores: λ1 = 1; m1 = 1; λ2 = −2; m2 = 1; λ3 = 4; m3 = 1

V (λ1)


2x1 + x2 + x3 = 0x1 − x2 + 2x3 = 0


x1 = −λx2 = λx3 = λ

• Base: {(−1, 1, 1)}• dim(V (λ1)) = 1

V (λ2)


x2 + x3 = 0x1 + 2x2 + 2x3 = 0


x1 = 0x2 = −λx3 = λ

149

• Base: {(0,−1, 1)}• dim(V (λ2)) = 1

V (λ3)


x1 − x2 − x3 = 0x1 + 2x2 − 4x3 = 0


x1 = 2λx2 = λx3 = λ

• Base: {(2, 1, 1)}• dim(V (λ3)) = 1

Base ortonormal de V (λ1) ={(− 1√

3,

1√3,

1√3

)}


0,− 1√2,

1√2

)}


2√6,

1√6,

1√6

)}


P =

−1√3

02√6

1√3−1√

21√6

1√3

1√2

1√6

Una forma diagonal:

D =

1 0 00 −2 00 0 4


Polinomio característico: P (λ) = −(λ− (a+ 2))(λ− (a− 1))2

Autovalores: λ1 = a− 1; m1 = 2; λ2 = a+ 2; m2 = 1

V (λ1)


• Ecuaciones implícitas:{x1 + x2 + x3 = 0


x1 = λ− µx2 = λx3 = µ

• Base: {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)}• dim(V (λ1)) = 2

V (λ2)

• Ecuaciones implícitas:{ −2x1 + x2 + x3 = 0

x1 − 2x2 + x3 = 0


x1 = λx2 = λx3 = λ

• Base: {(1, 1, 1)}• dim(V (λ2)) = 1

A es diagonalizable ∀a ∈ R

Una matriz de paso: P =

−1 −1 11 0 10 1 1

Una forma diagonal: D =

a− 1 0 00 a− 1 00 0 a+ 2

Ejercicio 2.14 Matriz F :

Una matriz de paso: P =

−2 −1 01 0 00 1 1

Una forma diagonal: D =

1 0 00 1 00 0 −1

151

Fn =

1 0 00 1 0

(−1)n − 1 2(−1)n − 2 (−1)n

; ∀n ∈ N


• Una matriz de paso: P =( −1 2

1 1

)


0 00 3

)

• An =(

2 · 3n−1 2 · 3n−1

3n−1 3n−1

); ∀n ∈ N

Matriz B


9 5 43 1 22 2 1


1 0 00 −1 00 0 2

• Bn =16

27 + 5(−1)n+1 − 2n+4 −27 + 5(−1)n+1 + 2n+5 −54 + 30(−1)n − 3 · 2n+3

9 + 5(−1)n+2 − 2n+3 −9 + (−1)n+1 + 2n+4 −18 + 6(−1)n − 3 · 2n+2

6 + 2(−1)n+1 − 2n+2 −6 + 2(−1)n+1 + 2n+3 −12 + 12(−1)n − 3 · 2n+1

Matriz C


−4 −4 23 0 12 1 0


0 0 00 1 00 0 2

• Cn =

3 · 2n − 4 8− 2n+2 3 · 2n+2 − 203 · 2n−1 −2n+1 3 · 2n+1

1 −2 5

; ∀n ∈ N

Capítulo 3


Ejercicio 3.1 1625

+6325i

i

Ejercicio 3.2 Como todos los apartados giran en torno al número complejo5√

32

+52i, voy a empezar hallando el módulo y el argumento de éste:

∣∣∣∣∣5√

32

+52i

∣∣∣∣∣ = 5

Arg

(5√

32

+52i

)= arctg

(1√3

)=π

6

5√

32

+52i = 5(cos

(π6

)+ isen

(π6

))

Se tiene ∣∣∣∣∣∣

(5√

32

+52i

)−1∣∣∣∣∣∣

=1∣∣∣∣∣

5√

32

+52i

∣∣∣∣∣

=15

Arg

(

5√

32

+52i

)−1 = −Arg

(5√

32

+52i

)= −π

6

Por tanto:(

5√

32

+52i

)−1

=15

(cos(−π

6

)+ isen

(−π

6

))=

15

(cos(π

6

)− isen

(π6

))

153


Se tiene:7

√5√

32

+52i =

7

√5π

6=

{ 7√

5(cos(αk) + isen(αk)); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, siendo:

α0 =π

6÷7 =

π

42; αk = α0 +k

(2π7

)=

π

42+k

(2π7

), ∀k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

de donde:α1 =

π

42+

2π7

=13π42

α2 =π

42+ 2 · 2π

7=

25π42

α3 =π

42+ 3 · 2π

7=

37π42

α4 =π

42+ 4 · 2π

7=

49π42

α5 =π

42+ 5 · 2π

7=

61π42

α6 =π

42+ 6 · 2π

7=

73π42∣∣∣∣∣

5√

32

+52i

∣∣∣∣∣ = 5 = 5(cos(0o) + isen(0o))

Ejercicio 3.3 Sea z =3b− 2ai4− 3i

. Efectuando la división, se tiene entonces:

z =3b− 2ai4− 3i

=(3b− 2ai)(4 + 3i)(4− 3i)(4 + 3i)

=12b+ 9bi− 8ai+ 6a

25=

=6a+ 12b

25+ i

9b− 8a25

Ahora bien:z ∈ R⇔ 0 =

9b− 8a25

⇔ 9b = 8a⇔ a =98b

Volviendo a la expresión de z, tenemos:

z =6 · 9

8b+ 12b

25=

(54 + 96)b200

=34b

Pero si z ha de ser un número real y de módulo 1, entonces z = 1 o bien z = −1.

z = 1⇒ b =43

; a =32

z = −1⇒ b = −43

; a = −32

155

Ejercicio 3.4 0 rad.

π rad.

z = ki k > 0 ⇒ Arg(z) =π

2z = ki k < 0 ⇒ Arg(z) =

3π2

Ejercicio 3.5 Si z = 3− 5i⇒ u =2013− 35

13i y w =

2013

+3513i

Ejercicio 3.6 1π2

1π

3√

2π4

2π3

Hacemos primero el cociente indicado:

12√

3− 2i=

2√

3 + 2i(2√

3− 2i)(2√

3 + 2i)=

2√

316

+216i =√

38

+18i

Por tanto:∣∣∣∣

12√

3− 2i

∣∣∣∣ =

√364

+164

=14

; Arg(

12√

3− 2i

)= arctg

(1√3

)=π

6

de donde concluimos:1

2√

3− 2i=(

14

)

π6

Ejercicio 3.7 2i

Se tiene:

23π4

= 2(cos

(3π4

)+ isen

(3π4

))= 2

(−√

22

+√

22i

)= −√

2 +√

2i

5√

22

+5√

22i

√3

2+

12i

Ejercicio 3.8 z1 =32

+3√

32i; z2 =

32− 3√

32i


zk = 2αk ; k = 0, 1, 2, 3, siendo:

α0 =π

4; αk = α0 + k · π

2, ∀k = 1, 2, 3

Hay que resolver en C la ecuación (1 + i)z3 − 2i = 0. En principio despe-jamos z:

(1+i)z3−2i = 0⇔ z3 =2i

1 + i=

2i(1− i)(1 + i)(1− i) =

2i(1− i)2

= i(1−i) = 1+i

Se trata por tanto de hallar:

z = 3√

1 + i = 3

√√2π

4= { 6√

2αk ; ∀k = 0, 1, 2}

siendo:α0 =

π

12; αk = α0 + k · 2π

3, ∀k = 1, 2

esto es:α1 =

π

12+

2π3

=9π12

=3π4

α2 =π

12+ 2 · 2π

3=

17π12

zk =(

14√

2

)

αk

; k = 0, 1; z2 = 0, siendo:

α0 =π

8; α1 = α0 + π

zk = 6√

2αk ; k = 0, 1, 2, siendo:

α0 =π

12; αk = α0 + k · 2π

3, ∀k = 1, 2

Ejercicio 3.9 a = −1; c = 3

Ejercicio 3.10 Nos plantean resolver la ecuación z2 = z. La vamos a resolverde dos formas: en forma binómica y trabajando en forma polar, con objeto decomparar ambos procedimientos:

Sea z = a + bi ⇒ z2 = a2 − b2 + 2abi = a − bi = z. De aquí se obtienenlas dos ecuaciones:

a2 − b2 = a2ab = −b

}

La segunda ecuación permite distinguir los dos casos siguientes:

• b = 0. Entonces de la primera ecuación se tiene a2 = a, lo cualimplica a = 0 ó a = 1. Esta opción produce pues las solucionesz1 = 0; z2 = 1.

157

• b 6= 0. Dividiendo entonces por b en la segunda ecuación, se tiene2a = −1 ⇒ a = −1

2y sustituyendo en la primera ecuación, obten-

emos 14− b2 = −1

2, de donde b2 =

34⇒ b = ±

√3

2, lo cual da lugar

a otras dos soluciones z3 = −12

+√

32i; z4 = −1

2−√

32i

Trabajemos ahora en forma polar. Sea z = Mα, entonces la ecuaciónplanteada se traduce en:

M22α = M−α

de donde se obtiene:

• Los módulos han de ser iguales, luego M2 = M , lo cual produce comosoluciones M = 0 y M = 1.• Los argumentos han de ser iguales, luego se dan las siguientes posi-bilidades:◦ 2α = −α⇒ 3α = 0⇒ α = 0

◦ 2α = −α+ 2π ⇒ 3α = 2π ⇒ α =2π3

◦ 2α = −α+ 4π ⇒ 3α = 4π ⇒ α =4π3

Nota: Es interesante destacar como en este caso no hay que con-templar la posibilidad 2α = −α+ 6π ya que daría lugar de nuevo ala solución α = 0 y así sucesivamente.

Es trivial que con M = 0 se obtiene la solución z1, y luego 10 =z2; 1 2π

3= z3; 1 4π

3= z4 que son las soluciones obtenidas de forma

binómica.

Ejercicio 3.11{z1 = 2 + (3−√7)i w1 = −1 + (3 +

√7)i

z2 = 2 + (3 +√

7)i w2 = −1 + (3−√7)i

Ejercicio 3.12 zk = 1αk ; k = 0, 1, siendo:

α0 =π

4; α1 = α0 + π

zk = 4√

2αk ; k = 0, 1, siendo:

α0 =π

8; α1 = α0 + π

zk = 1αk ; k = 0, 1, 2, 3, siendo:

α0 =3π8

; αk = α0 + k · π2, ∀k = 1, 2, 3


zk = 6√

2αk ; k = 0, 1, 2, siendo:

α0 =π

4; αk = α0 + k · 2π

3, ∀k = 1, 2

zk = 6√

2αk ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, siendo:

α0 =5π18

; αk = α0 + k · π3, ∀k = 1, 2, 3, 4, 5

512 + 512√

3i

Ejercicio 3.13 Usemos la fórmula de De Moivre para obtener expresiones desen(3α), cos(3α) en función de sen(α), cos(α). La citada fórmula nos propor-ciona la identidad:

cos(3α) + isen(3α) = (cos(α) + isen(α))3

Desarrollando pues el cubo por el binomio de Newton, tenemos:

cos(3α) + isen(3α) = (cos(α) + isen(α))3 =

= cos3(α) + 3cos2(α)sen(α)i− 3cos(α)sen2(α)− isen3(α)

Igualando partes reales e imaginarias, obtenemos:

cos(3α) = cos3(α)− 3cos(α)sen2(α)

sen(3α) = 3cos2(α)sen(α)− sen3(α)

Para obtener ahora la fórmula de tg(3α) en función de tg(α), usamos las fór-mulas que acabamos de obtener:

tg(3α) =sen(3α)cos(3α)

=3cos2(α)sen(α)− sen3(α)cos3(α)− 3cos(α)sen2(α)

÷cos3(α)=

=

3cos2(α)sen(α)cos3(α)

− sen3(α)cos3(α)

cos3(α)cos3(α)

− 3cos(α)sen2(α)cos3(α)

=3tg(α)− tg3(α)

1− 3tg2(α)

cos(4α) = cos4(α)− 6cos2(α)sen2(α) + sen4(α)

sen(4α) = −4cos(α)sen3(α) + 4cos3(α)sen(α)

tg(4α) =4tg(α)− 4tg3(α)

1− 6tg2(α) + tg4(α)

Ejercicio 3.14{

1,12

+√

32i,−1

2+√

32i,−1,−1

2−√

32i,

12−√

32i

}

159

Ejercicio 3.15 e1+π2 i

5eπ3 i

2eπ3 i

Tenemos que escribir en forma exponencial el número complejo:

z =e√2− e√

2i

Recordemos que la forma exponencial de un número complejo consiste enescribirlo como z = |z|eArg(z)i. Luego solo necesitamos calcular su móduloy su argumento principal:

∣∣∣∣e√2− e√

2i

∣∣∣∣ =

√e2

2+e2

2=√e2 = e

Arg

(e√2− e√

2i

)= arctg

− e√

2e√2

= 2π − π

4=

7π4

Por tanto, se tiene:e√2− e√

2i = e · e 7π

4 i = e1+ 7π4 i

Ejercicio 3.16 Circunferencia de centro (−1, 0) y radio 2.

Ejercicio 3.17 En todo el ejercicio, llamaremos z = x+yi ∈ C. Es importantepara este tipo de ejercicios, notar que |z − w|; z, w ∈ C representa la distanciaentre los a�jos de los números complejos z, w.

Re(z) + Im(z) = 1⇔ x+ y = 1⇔ y = 1−x luego se trata de la recta quepasa por (1, 0) y (0, 1)

Círculo y circunferencia de centro (0, 0) y radio 1.

|z + 1| < |z − 1| se puede interpretar como el conjunto de los númeroscomplejos cuya distancia hasta el -1 es menor que su distancia hasta el 1.Si tenemos en cuenta que el conjunto de puntos de un plano que equidistade dos puntos �jos es una recta (su mediatriz), y tenemos en cuenta quela mediatriz de los puntos 1 y -1 es el eje imaginario, resulta que este con-junto está representando el semiplano abierto x < 0, es decir el semiplanoa la izquierda del eje vertical. Analíticamente también se puede obtenereste resultado de la siguiente manera:

0 ≤ |z+1| < |z−1| ⇔ |z+1|2 < |z−1|2 ⇔ (x+1)2 +y2 < (x−1)2 +y2 ⇔

⇔ x2 + 2x+ 1 < x2 − 2x+ 1⇔ 4x < 0⇔ x < 0


Semiplano cerrado superior al eje horizontal

Si tenemos en cuenta la siguiente cadena de implicaciones:

|2z + 3| < 1⇔∣∣∣∣2(z +

32

)∣∣∣∣ < 1⇔∣∣∣∣(z +

32

)∣∣∣∣ <12

luego se trata del círculo de centro(−3

2, 0)

y radio 12

Se tiene:

|z| ≤ |2z + i| = |2x+ (2y + 1)i| ⇔ x2 + y2 ≤ 4x2 + 4y2 + 1 + 4y ⇔

⇔ 0 ≤ 3x2 + 3y2 + 4y + 1⇔ x2 + y2 +43y +

13≥ 0⇔

⇔ x2 +(y +

23

)2

− 49

+13≥ 0⇔ x2 +

(y +

23

)2

≥ 19

luego se trata del exterior del círculo, más la circunferencia de centro(0,−2

3

)y radio 1

3

C

Se veri�ca (salvo para z = −2):∣∣∣∣z − 3z + 2

∣∣∣∣ = 2⇔ |z − 3| = 2|z + 2| ⇔ (x− 3)2 + y2 = 2[(x+ 2)2 + y2]⇔

⇔ x2+9−6x+y2 = 2x2+8+8x+2y2 ⇔ 0 = x2+y2+14x−1⇔ (x+7)2+y2−49−1 = 0⇔⇔ (x+ 7)2 + y2 = 50

luego se trata de la circunferencia de centro (−7, 0) y radio 5√

2

Ejercicio 3.18 π

2i

3π2i

Se tiene:ln(−1) = ln

(1 · eπi) = ln(1) + ln

(eπi)

= πi

ln(3√

2) +π

4i

3− 2ln(2)π

i

Ejercicio 3.19 Se veri�ca:

ii = ei·ln(i) = eπ2 i·i = e−

π2 ∈ R

161

e−7π4

(√2

2−√

22i

)

e−π2 i

e(ln(2)−π4 )[cos(π

2+ ln(

√2))

+ isen(π

2+ ln(

√2))]

Ejercicio 3.20 |z| =√π2

16+ ln2(

√2)

Arg(z) = arctg

ln(

√2

−π4

Ejercicio 3.21 Circunferencia de centro (−i) y radio 2

Círculo más circunferencia de centro (1− 2i) y radio 2.

Semirrecta que pasa por (0, 0) y (1, 1) con origen en (0, 0)

Semirrecta que pasa por i y por 1 + 2i con origen en i

Corona circular con circunferencias de centro (−1, 0) y radios 1 y 2.

Mediatriz del segmento que une los puntos (2, 0) y (0, 2)

Intersección del semiplano superior limitado por la mediatriz del segmentoque une (−1, 0) con (0, 1) y el círculo (junto a la circunferencia) de centro(1,−1) y radio 3.

Capítulo 4


Ejercicio 4.1 ∞;{

+∞ si x→ 0+

−∞ si x→ 0−

Se tiene:

lımx→1

sen(x2 − 1)x− 1

=(

00

)sen(x2−1)∼(x2−1)

= lımx→1

x2 − 1x− 1

=

= lımx→1

(x− 1)(x+ 1)x− 1

= lımx→1

(x+ 1) = 2

Se veri�ca:

lımx→0

3x − 2x

x=(

00

)= lımx→0

(32

)x− 1

x2−x( 3

2 )x−1∼xln( 32 )

= lımx→0

ln

(32

)

2−x= ln

(32

)

Se tiene:

lımx→0

x · arctg(x

2

)

cos(x)sen2(x)=(

00

)sen2(x)∼x2

= lımx→0

x · arctg(x

2

)

x2cos(x)= lımx→0

arctg(x

2

)

xcos(x)=

arctg( x2 )∼ x2= lımx→0

x

2xcos(x)

= lımx→0

12cos(x)

=12

12

+√

22

si x→ 0+

−√

22

si x→ 0−

163


Se veri�ca:

lımx→0

[cos(x)]cotg2(x) = (1∞) = e

lımx→0

cotg2(x)(cos(x)− 1) cos(x)−1∼− x22=

= elımx→0

cos2(x)sen2(x)

(−x

2

)

=sen2(x)∼x2

= elım→0

cos2(x)x2

(−x

2

2

)

=

= e−

12 =

√e

e

e3

1

Ejercicio 4.2 P (−1) = 143

P ′(0) = −60

P ′′(1) = 26

Ejercicio 4.3 Si realizamos las derivadas sucesivas, obtenemos:

f(x) = (1 + x)−1 f(0) = 1f ′(x) = −1 · (1 + x)−2 f ′(0) = −1f ′′(x) = 2 · 1 · (1 + x)−3 f ′′(0) = 2f ′′′(x) = −3 · 2 · 1(1 + x)−4 f ′′′(0) = −6

......

......

fn)(x) = (−1)n · n!(1 + x)−n−1 fn)(0) = (−1)n · n!fn+1)(x) = (−1)n+1(n+ 1)!(1 + x)−n−2 fn+1)(t) = (−1)n+1(n+ 1)!(1 + t)−n−2

Por tanto, el desarrollo de Taylor queda:

11 + x

= 1− x+ x2 − x3 + · · ·+ (−1)nxn + (−1)n+1 xn+1

(1 + t)n+2; t ∈ (0, x)

Ejercicio 4.4

P (x) = 8− 14(x+ 1) + 17(x+ 1)2 − 10(x+ 1)3 + 3(x+ 1)4

Ejercicio 4.5P3,0(f)(x) = e+ ex+ ex2 +

56ex3

Ejercicio 4.6P4,0(f)(x) = 1 + x+

12x2 − 1

8x4

165

Ejercicio 4.7 Si realizamos las derivadas sucesivas, obtenemos:

f(x) = sen(x) f(π

2

)= 1

f ′(x) = cos(x) f ′(π

2

)= 0

f ′′(x) = −sen(x) f ′′(π

2

)= −1

f ′′′(x) = −cos(x) f ′′′(π

2

)= 0

f IV )(x) = sen(x) f IV )(π

2

)= 1

......

......

De donde se deduce:

fk)(x) =

(−1)nsen(x) si k = 2n, n ≥ 1

(−1)k+1cos(x) si k = 2n− 1, n ≥ 1

Y de ahí que:

fk)(π

2

)=

(−1)n si k = 2n, n ≥ 1

0 si k = 2n− 1, n ≥ 1

Y por tanto, el polinomio de Taylor de grado par e:

P2n,π2(f)(x) = 1− 1

2

(x− π

2

)2

+14!

(x− π

2

)4

− · · ·+ (−1)n

(2n)!

(x− π

2

)2n

Ejercicio 4.8

P2n,π(f)(x) = −1 +12

(x− π)2 − 14!

(x− π)4 + · · ·+ (−1)n+1

(2n)!(x− π)2n

Ejercicio 4.9

Pn,1(f)(x) = e+ e(x− 1) +e

2(x− 1)2 +

e

3!(x− 1)3 + · · ·+ e

n!(x− 1)n

Ejercicio 4.10

Pn,2(f)(x) = ln(2)+12

(x− 2)− 14 · 2 (x− 2)2+

18 · 3 (x− 2)3+· · ·+(−1)n+1

2nn(x− 2)n

Ejercicio 4.11

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+

et

(n+ 1)!xn+1


Ejercicio 4.12 Hemos de estudiar el error cometido al tomar como verdaderovalor del número e, la suma:

1 +11!

+12!

+13!

En primer lugar desarrollamos según Taylor la función y = ex (ver problemaanterior), en un entorno de x = 0, hasta el grado 3. Con esto se pretende analizarla relación entre la suma que nos han dado como aproximación y el citadodesarrollo. Se tiene que:

ex = 1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+et

4!x4; t ∈ (0, x)

Sustituyendo x = 1:

e = 1 +11!

+12!

+13!

+et

4!; t ∈ (0, 1)

Luego, el error cometido al tomar como verdadero valor de e la suma de loscuatro primeros sumandos de su desarrollo es precisamente el término comple-mentario correspondiente, es decir:

Error =et

4!t<1<

e

4!e<3<

34!

= 0, 125

El error cometido es, pues, menor que 0, 125.

Ejercicio 4.13

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− · · ·+ (−1)n+1x

n

n+ (−1)n

xn+1

(n+ 1)tn+1; t ∈ (0, x)

Ejercicio 4.14 Según la forma de la aproximación que nos sugieren, calculamosP2,0(

√1 + x)(x). Para ello:

f(x) = (1 + x)12 f(0) = 1

f ′(x) =12

(1 + x)−12 f ′(0) =

12

f ′′(x) = −12· 1

2(1 + x)−

32 f ′′(0) = −1

4f ′′′(x) =

32· 1

2· 1

2(1 + x)−

52

Por tanto:

√1 + x = 1 +

x

2− x2

8+

38

(1 + t)−52

3!x3; t ∈ (0, x); x ∈ (0, 1)

Luego efectivamente√

1 + x ' 1 +x

2− x2

8; x ∈ (0, 1)

167

y el error cometido en la aproximación es:

Error =x3

16(1 + t)52

x<1<

116(1 + t)

52

1

(1+t)52<1

<116

El error cometido es menor que 116

.

Ejercicio 4.15 Se trata de relacionar la aproximación dada con P3,0( 3√

1 + x)(x)para x > 0.

Ejercicio 4.16 Es necesario tomar P5,0(ex)(0, 4). La aproximación obtenida es1, 4917453.

Ejercicio 4.17

sen(x) = x− x3

3!+x5

5!+ · · ·+ (−1)nx2n+1

(2n+ 1)!+ (−1)n+1 sen(t)

(2n+ 2)!x2n+2; t ∈ (0, x)

Ejercicio 4.18

cos(x) = 1− x2

2!+x4

4!+ · · ·+ (−1)nx2n

(2n)!+ (−1)n+1 sen(t)

(2n+ 1)!x2n+1; t ∈ (0, x)

Ejercicio 4.19 f tiene un punto de in�exión en (1, 0).

f no tiene extremos relativos.

Ejercicio 4.20 f presenta un mínimo relativo en (−2, 0)

f no tiene puntos de in�exión.

Ejercicio 4.21 Tenemos que calcular, mediante desarrollos de Taylor:

lımx→0


Se trata pues de realizar los desarrollos adecuados, a saber:

sen(x) = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · · ⇒ x− sen(x) =

x3

3!− x5

5!+x7

7!− · · ·

cos(x) = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · · ⇒ cos(3x) = 1− 9x2

2!+

81x4

4!− · · · ⇒

⇒ 1− cos(3x) =9x2

2− 81x4

24+ · · · ⇒ x(1− cos(3x)) =

9x3

2− 81x5

24+ · · ·

Sustituyendo en la expresión del límite:

lımx→0


=(

00

)= lımx→0

x3

(13!− x2

5!+x4

7!− · · ·

)

x3

(92− 81x2

24+ · · ·

) =


= lımx→0

13!− x2

5!+x4

7!− · · ·

92− 81x2

24+ · · ·

=

13!92

=127

13

4

−12

16

−4

1

Tenemos ahora que calcular el siguiente límite, haciendo uso de los desar-rollos de Taylor:

lımx→0

sen(x)ex − ax

Ya conocemos los desarrollos:

sen(x) = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · ·

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·

Necesitamos ahora hacer el desarrollo de y = ax.

f(x) = ax f(0) = 1f ′(x) = axln(a) f ′(0) = ln(a)f ′′(x) = axln2(a) f ′′(0) = ln2(a)f ′′′(x) = axln3(a) f ′′′(0) = ln3(a)

......

......

fn)(x) = axlnn(a) fn)(0) = lnn(a)

Por tanto:

ax = 1 + ln(a)x+n2(a)

2x2 +

ln3(a)6

x3 + · · ·

luego:

ex − ax = [1− ln(a)]x+(

1− ln2(a)2

)x2 +

(1− ln3(a)

6

)x3 + · · ·

169

Sustituyendo pues en el límite que queremos calcular, llegamos a:

lımx→0

sen(x)ex − ax =

(00

)=

= lımx→0

x

(1− x2

6+

x4

120− · · ·

)

x(

1− ln(a) +(

1−ln2(a)2

)x+ · · ·

) =1

1− ln(a)

32

0

Ejercicio 4.22 P2,0(f)(x) = 1 + ax+a2

2x2. Se cumple P2,0(f)(1) =

12⇔ a =

−1

Ejercicio 4.23

sh(x) = x+x3

3!+x5

5!+

12et + e−t

7!x7; t ∈ (0, x)

Ejercicio 4.24 Una solución aproximada de la ecuación es 1 +√

72

= 1, 822876

Capítulo 5


5.1. Cambio de variableEjercicio 5.1 ln|x5 + 3x2 + 1|+ C

4x2−3

2ln(4)+ C

14tg(x4 + 2) + C

16sen6(x) + C

1−2ln2(x)

+ C

12arctg(x2 − 2x) + C

Se tiene:∫

ex√4− (ex − 1)2

dx[1]=∫

dt√4− t2 =

∫dt√

4(

1− t2

4

) =

=∫

dt

2

√1−

(t

2

)2=

12

∫dt√

1−(t

2

)2

[2]=∫

dz√1− z2

=

= arcsen(z) + C = arcsen

(t

2

)+ C = arcsen

(ex − 1

2

)+ C

donde hemos hecho los cambios de variable:

[1] : e−1 = t⇒ ex dx = dt

171


[2] :t

2= z ⇒ 1

2dt = dz

5.2. Por partesEjercicio 5.2 −(x+ 1)cos(x− 2) + sen(x− 2) + C

Se tiene:∫e2x+1sen(2x+1) dx

[1]=

12

∫etsen(t) dt

[2]=

12

[−etcos(t) +

∫etcos(t) dt

]=

[3]=

12

[−etcos(t) + etsen(t)−

∫etsen(t) dt

]=

= −12etcos(t) +

12etsen(t)− 1

2

∫etsen(t) dt

Llegamos por tanto a:

12

∫etsen(t) dt = −1

2etcos(t) +

12etsen(t)− 1

2

∫etsen(t) dt

Escribiendo la integral que deseamos calcular en un solo miembro:∫etsen(t) dt = −1

2etcos(t) +

12etsen(t)

de donde:∫e2x+1sen(2x+ 1) dx =

12

∫etsen(t) dt = −1

4etcos(t) +

14etsen(t) =

=14e2x+1[sen(2x+ 1)− cos(2x+ 1)] + C

donde hemos hecho los siguientes cambios:

[1] : 2x+ 1 = t⇒ 2dx = dt⇒ dx =12dt

[2] :{

u = et ⇒ du = et dtdv = sen(t) dt ⇒ v = −cos(t)

[3] :{

u = et ⇒ du = et dtdv = cos(t) dt ⇒ v = sen(t)

ex+1(x2 − 2x+ 3) + C

(17x7 − x5 +

12x4 + x

)ln(x)− 1

49x7 +

15x5 − 1

8x4 − x+ C

5.3. RACIONALES CON RAÍCES REALES SIMPLES 173

5.3. Racionales con raíces reales simplesEjercicio 5.3 Hemos de hacer la integral racional:

∫x3 − 4x2 − 1

dx

Como el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador,debemos previamente hacer la división, de la que se obtiene como resultado(usando Dividendo=divisor×cociente+resto)

x3 − 4 = x(x2 − 1) + (x− 4)⇒ x3 − 4x2 − 1

= x+x− 4x2 − 1

Por tanto: ∫x3 − 4x2 − 1

dx =∫x dx+

∫x− 4x2 − 1

dx

El denominador tiene dos raíces reales simples {1,−1}, por tanto, la de-scomposición en fracciones simples de la fracción que tenemos que integrares del tipo:

x− 4x2 − 1

=A

x+ 1+

B

x− 1⇒ x− 4 = A(x− 1) +B(x+ 1)

Identi�cando coe�cientes o bien sustituyendo en ambos miembros por cadauna de las raíces, que en este caso es el camino más rápido y cómodo,llegamos a A =

52

; B = −32, y por tanto la integral queda como:

∫x3 − 4x2 − 1

dx =∫x dx+

∫x− 4x2 − 1

dx =

=12x2 +

∫ 52

x+ 1dx−

∫ 32

x− 1dx =

=12x2 +

52ln|x+ 1| − 3

2ln|x− 1|+ C =

12x2 +

12ln

∣∣∣∣(x+ 1)5

(x− 1)3

∣∣∣∣+ C

x3 + 12x− 12ln|x+ 2|+ 12ln|x− 2|+ C

−19ln|x+ 1| − 1

9ln|x− 2|+ 11

9ln|x− 5|+ C

18ln|x− 1| − 1

4ln|x+ 1|+ 1

8ln|x+ 3|+C


5.4. Racionales con raíces reales múltiplesEjercicio 5.4 1

2x2 − x+

8216ln|x− 3|+ 7

8ln|x− 1| − 1

2(x− 1)+ C

x+ ln|x− 1|+ 4ln|x− 2| − 8x− 2

+ C

Tenemos ahora que hacer la integral:∫

3x− 2(x+ 1)2(x− 1)

dx

El denominador aparece ya descompuesto en factores, por lo que es in-mediato observar que tiene como raíces {−1(doble), 1}. Por tanto, la de-scomposición en fracciones simples, en este caso es del tipo:

3x− 2(x+ 1)2(x− 1)

=A

x− 1+

B

x+ 1+

C

(x+ 1)2

de donde:

3x− 2 = A(x+ 1)2 +B(x− 1)(x+ 1) + C(x− 1)

sustituyendo por cada una de las raíces e identi�cando coe�cientes, se llegaa A =

14

; B = −14

; C =52y por tanto, la integral quedaría:

∫3x− 2

(x+ 1)2(x− 1)dx =

∫ 14

(x− 1)dx+

∫ −14

(x+ 1)dx+

∫ 52

(x+ 1)2dx =

t=x+1; dt=dx=

14ln|x− 1| − 1

4ln|x+ 1|+ 5

2

∫t−2 dt =

=14ln|x− 1| − 1

4ln|x+ 1| − 5

2(x+ 1)+ C =

14ln

∣∣∣∣x− 1x+ 1

∣∣∣∣−5

2(x+ 1)+ C

94ln

∣∣∣∣x+ 4x+ 2

∣∣∣∣−5

2(x+ 2)+ C

5.5. Racionales con raíces complejas simplesEjercicio 5.5 1

4ln|x| − 1

8ln(x2 + 4) + C

Tenemos que hacer la integral:∫

x− 2x3 − x2 + x− 1

dx

5.5. RACIONALES CON RAÍCES COMPLEJAS SIMPLES 175

En primer lugar, al descomponer el denominador se obtiene

x3 − x2 + x− 1 = (x− 1)(x2 + 1)

por tanto, el denominador tiene una raíz real simple, {1} y dos raícescomplejas simples {i,−i}. El factor que da lugar a las raíces complejas sepuede expresar, pues, de la forma:

x2 + 1 = (x− α)2 + β2 = (x− 0)2 + 12 = x2 + 1

La descomposición en fracciones simples es el del tipo:

x− 2x3 − x2 + x− 1

=A

x− 1+Mx+N

x2 + 1

que da lugar a:

x− 2 = A(x2 + 1) + (Mx+N)(x− 1)

sustituyendo por la única raíz real e identi�cando coe�cientes llegamos aA = −1

2; M =

12

; N =32y por tanto la integral queda:

∫x− 2

x3 − x2 + x− 1dx =

∫ −12

x− 1dx+

∫ 12x+

32

x2 + 1dx =

= −12ln|x− 1|+

∫ 12x

x2 + 1dx+

∫ 32

x2 + 1dx =

= −12

[1]+

12

∫x

x2 + 1dx+

32

∫1

x2 + 1dx =

= −12

+12

∫ 12tdt+

32arctg(x) =

−12ln|x− 1|+ 1

4ln(x2 + 1) +

32arctg(x) + C

donde hemos hecho el cambio:

[1] :

t = x2 + 1dt = 2x dx

x dx =12dt

Tenemos ahora que hacer la integral: Tenemos que hacer la integral:∫

x− 3x2 − 2x+ 4

dx


En primer lugar, al hallar las raíces del denominador, resolviendo la cor-respondiente ecuación de segundo grado, se obtiene como raíces complejassimples {1 ±√3i}; (α = 1; β =

√3). El factor que da lugar a las raíces

complejas, en este caso todo el denominador, se puede expresar, pues, dela forma:

x2 + 1 = (x− α)2 + β2 = (x− 1)2 +√

32

= (x− 1)2 + 3

La descomposición en fracciones simples es el del tipo:x− 3

x2 − 2x+ 4=

Mx+N

(x− 1)2 + 3

lo que da lugar a:x− 3 = Mx+N

identi�cando coe�cientes llegamos a M = 1; N = −3 y por tanto laintegral queda:∫

x− 3x2 − 2x+ 4

dx =∫

x− 3(x− 1)2 + 3

dx∓Mα=

∫x− 1 + 1− 3(x− 1)2 + 3

dx =

=∫

x− 1(x− 1)2 + 3

dx+∫ −2

(x− 1)2 + 3dx =

[1]=

12

∫dt

t−2∫

dx

(x− 1)2 + 3=

12ln|(x−1)2+3|−2

∫dx

3(

1 +(x− 1)2

3

) =

=12ln|(x− 1)2 + 3| − 2

3

∫dx

1 +(x− 1√

3

)2 =

[2]=

12ln|(x−1)2 +3|− 2

3

∫ √3 dt

1 + t2=

12ln|(x−1)2 +3|− 2

√3

3arctg(t)+C =

=12ln[(x− 1)2 + 3]− 2

√3

3arctg

(x− 1√

3

)+ C

donde hemos hecho los siguientes cambios:

[1] :

t = (x− 1)2 + 3dt = 2(x− 1) dx

(x− 1) dx =12dt

[2] :

t =x− 1√

3dt =

1√3dx

dx =√

3 dt

13ln|x− 1| − 1

6ln[(x− 2)2 + 2)] +

7√

26arctg

(x− 2√

2

)+ C

5.6. TRIGONOMÉTRICAS: CAMBIO T = TG

(X

2

)177

5.6. Trigonométricas: cambio t = tg(x

2

)

Ejercicio 5.6 Se ha de hacer ahora la integral∫

dx

cos(x) + sen(x) + 3

Esta integral es del tipo R(sen(x), cos(x)), luego hacemos el cambio:

t = tg(x

2

)

dx =2 dt

1 + t2; sen(x) =

2t1 + t2

; cos(x) =1− t21 + t2

Sustituyendo en la integral, obtenemos:

∫dx

cos(x) + sen(x) + 3=∫ 2 dt

1 + t2

1− t21 + t2

+2t

1 + t2+ 3

= 2∫

dt

2t2 + 2t+ 4=

=∫

dt

t2 + t+ 2

Hemos de realizar ahora una integral racional en t. Para ello, hallamoslas raíces del denominador, resolviendo la correspondiente ecuación desegundo grado. Obtenemos así que las soluciones de dicha ecuación son

los raíces complejas simples{−1

2±√

72i

}, de donde α = −1

2; β =

√7

2luego el denominador se descompone de la forma:

t2 + t+ 2 =(t+

12

)2

+74

La descomposición en fracciones simples del integrando es del tipo:

1t2 + t+ 2

=Mt+N(t+

12

)2

+74

⇒M = 0; N = 1

Por tanto, la integral queda como sigue:∫

dx

cos(x) + sen(x) + 3=∫

dt

t2 + t+ 2=∫

dt(t+

12

)2

+74

=


=∫

dt

74

1 +

t+

12√

72

2

[1]=

47

∫√

72dz

1 + z2=

2√

77arctg(z) =

=2√

77arctg

t+

12√

72

=

2√

77arctg

[2√

77

(tg(x

2

)+

12

)]+ C

donde hemos hecho el cambio

[1] :

z =t+

12√

72

=2√7

(t+

12

)

dz =2√7dt

dt =√

72

dz

ln∣∣∣tg(x

2

)− 5∣∣∣− ln

∣∣∣tg(x

2

)− 3∣∣∣+ C

14ln∣∣∣2 + tg

(x2

)∣∣∣+14ln∣∣∣2− tg

(x2

)∣∣∣+ C

√2

2ln

∣∣∣∣∣∣tg(x

2

)− 1 +

√2

tg(x

2

)− 1−√2

∣∣∣∣∣∣+ C

5.7. Trigonométricas: cambio t = tg(x)

Ejercicio 5.7 Hemos de hacer la integral:∫

dx

9cos2(x)− sen2(x)

Es inmediato comprobar que esta integral es del tipo R(sen(x), cos(x)) =R(−sen(x),−cos(x)), luego hago el cambio

t = tg(x)

dx =dt

1 + t2; sen(x) =

t√1 + t2

; cos(x) =1√

1 + t2

5.8. TRIGONOMÉTRICAS: TIPO∫SENM (X)COSN (X) DX 179

Sustituyendo en la integral, ésta queda:∫

dx

9cos2(x)− sen2(x)=∫

1

9(

11 + t2

)− t2

1 + t2

dt

1 + t2=∫

dt

9− t2 =

= −∫

dt

t2 − 9ahora tenemos que realizar una integral racional en t. El denominadortiene dos raíces reales simples {±3}, luego la descomposición en fraccionessimples del integrando es del tipo:

1t2 − 9

=A

t+ 3+

B

t− 3⇒ 1 = A(t− 3) +B(t+ 3)

de donde A = −16

; B =16, y volviendo a la integral, tenemos:

∫dx

9cos2(x)− sen2(x)= −

∫dt

t2 − 9= −

∫ −1

6dt

t+ 3+∫ 1

6dt

t− 3

=

=16ln|t+ 3| − 1

6ln|t− 3|+ C =

16ln

∣∣∣∣t+ 3t− 3

∣∣∣∣+ C =16ln

∣∣∣∣tg(x) + 3tg(x)− 3

∣∣∣∣+ C

− 1tg(x)

+13tg3(x) + 2tg(x) + C

12ln|tg(x) + 1| − 1

4ln|tg2(x)|+ 1

2x+ C

5.8. Trigonométricas: tipo∫senm(x)cosn(x) dx

Ejercicio 5.8 Vamos a realizar la integral:∫sen5(x) dx

Como es impar en seno, apartamos un seno y hacemos el cambio de vari-able

t = cos(x)⇒ dt = −sen(x) dx⇒ sen(x) dx = −dtpor lo que la integral quedaría:∫sen5(x) dx =

∫sen4(x)sen(x) dx =

∫(sen2(x))2sen(x) dx =

∫(1−cos2(x))2sen(x) dx =

=∫

(1− t2)2 (−dt) = −∫

(1− 2t2 + t4) dt = −t+23t3 − 1

5t5 + C =

= −15cos5(x)− cos(x) +

23cos3(x) + C


12sen2(x)− 1

4sen4(x) + C

14cos4(x)

− 12cos2(x)

+ C =14tg4(x) + C

sec(x) + cos(x) + C

20x− 16sen(2x) + 3sen(4x)64

+sen3(2x)

48+ C

24x+ sen(8x) + 8sen(4x)64

+ C

18x− sen(4x+ 4)

32+ C

116x− sen(4x)

64− sen3(2x)

48+ C

5.9. Trigonométricas: tipo∫sen(mx)cos(nx) dx;∫

sen(mx)sen(nx) dx;∫cos(mx)cos(nx) dx

Ejercicio 5.9 Según las fórmulas transformadoras de productos trigonométri-cos en sumas trigonométricas, se tiene:

∫sen(6x)cos(3x) dx =

∫12

(sen(9x) + sen(3x)) dx =

−cos(9x)18

− cos(3x)6

+ C

sen(15x)30

+sen(5x)

10+ C

−cos(7x+ 1)14

− cos(5x+ 1)10

+ C

−sen(8x)16

+xcos(2)

2+ C

5.10. Irracionales: tipos√a2 − b2x2;

√a2 + b2x2;√

a2x2 − b2

Ejercicio 5.10 Tenemos que hacer la integral∫

2√

4− 2x2 dx

5.11. MISCELÁNEA DE INTEGRALES 181

Es una integral irracional, hacemos el cambio:

x =2√2sen(t)⇒ dx =

2√2cos(t) dt

y sustituyendo en la integral, llegamos a:∫

2√

4− 2x2 dx = 2∫ √

4− 242sen2(t)

2√2cos(t) dt =

= 2√

2∫ √

4(1− sen2(t))cos(t) dt = 4√

2∫ √

1− sen2(t)cos(t) dt =

= 4√

2∫cos2(t) dt = 4

√2∫

1 + cos(2t)2

dt = 2√

2∫

(1 + cos(2t)) dt =

= 2√

2t+√

2sen(2t)+C = 2√

2arcsen

(√2

2x

)+√

2sen

[2arcsen

(√2

2x

)]+C

4arcsen(x)− sen(4arcsen(x))16

+ C

√3

3ln

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

tg

arctg

(√6

3x

)

2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ C

2√

2tg(arcsec

(12x

))− 2√

2arcsec(

12x

)+ C

5.11. Miscelánea de integrales

Ejercicio 5.11 xln

∣∣∣∣x− 1x+ 1

∣∣∣∣− ln|x2 − 1|+ C

13ln|x− 2|+ 2

3ln|x+ 1|+ C

−√2cos(arcsen

(x√2

))− 3arcsen

(√2x2

)+ C

− 1tg(ln(x))

12ln(1 + x2) + C

Ejercicio 5.12 12arctg

(tg(x)

2

)+ C


−cos(7x)14

− cos(5x)10

+ C

− 1√7 + x2

+ C

ex−3(x3 − 3x2 + 6x− 4) + C

13sen3(ex) + C

Ejercicio 5.13 −16ln|x|+ 3

10ln|x− 2| − 2

15ln|x+ 3|+ C

23

(x+ 1)32 + C

− 1

8tg2(x

2

) +tg2(x

2

)

8− 1

2ln∣∣∣tg(x

2

)∣∣∣+ C

2ln|x|+ 32ln[(x+ 1)2 + 3]− 7

√3

3arctg

(x+ 1√

3

)+ C

− [7 + cos(x)]6

6+ C

Ejercicio 5.14 −12

(x+ 1)cos(2x) +14sen(2x) + C

− 1tg(x)

+ tg(x) + C

−1013ln

∣∣∣∣tg(x) +32

∣∣∣∣+513ln[1 + tg2(x)] +

2413x+ C

(x2 + 2x

2

)arctg(x)− 1

2x− 1

2ln(1 + x2) +

12arctg(x) + C

73ln|x− 1|+ 1

3ln(x2 + x+ 1) + C

Ejercicio 5.15 sen(4x)− 2sen(2x)8

+ C

ln(1 + sen2(x)) + C

− 11 + sen(x)

+ C

23

(x+ 1)32 + C


arctg(ln(x)) + C

Ejercicio 5.16 −ln|tg(x)− 1|+ 12ln[1 + tg2(x)] + C

esen(x) + C

xln

(x+ 1x− 3

)+ ln|x+ 1|+ 3ln|x− 3|+ C

− 17tg7(x)

− 35tg5(x)

− 1tg3(x)

− 1tg(x)

+ C

− 1tg(sen(x))

+ C

Ejercicio 5.17 tg(x) +15tg5(x) +

23tg3(x) + C

−cos(2x2)

8+

(x2 − 1)sen(2)4

+ C

12

(x3 − 6x2 + 3x)23 + C

−12e−x+1[sen(x+ 1) + cos(x+ 1)] + C

Ejercicio 5.18−6tg2

(x2

)− 10tg

(x2

)− 8

3(tg(x

2

)+ 1)3 + C

√2

3(x2 − 2)

32 + C

√5

3tg(arcsec(

√5x))−

√5

3arcsec(

√5x) + C

7√

66arctg

(2√

66tg(x

2

))+ C

12tg2(x)

− 14tg4(x)

+ ln

∣∣∣∣tg(x)

(1 + tg2(x))12

∣∣∣∣+ C

Ejercicio 5.19 −35ln|x|+ 3

10ln[4 + (x+ 1)2] +

810arctg

(x+ 1

2

)+ C

(13cos3(x)− cos(x)

)ln(cos(x))− 1

9cos3(x) + cos(x) + C


25

(x+ 1)52 + C

32ln

∣∣∣∣x2 +75

∣∣∣∣+√

357arctg

(√357x

)+ C

− 326ln[tg(x)− 5] +

352ln[1 + tg2(x)] +

1526x+ C

Ejercicio 5.20 − 124sen24x

+ C

−12ln

∣∣∣∣tg(x

2

)+

12

∣∣∣∣+ C

52arcsen

(√5

5x

)+

54sen

(2arcsen

(√5

5x

))+ C

√2sen(x) + C

ln|x| − 12ln

∣∣∣∣∣(x+

12

)2

+34

∣∣∣∣∣−√

33arctg

[2√

33

(x+

12

)]+ C

Ejercicio 5.21 x2sen(x) + 2xcos(x)− 2sen(x) + C

−13x+

13ln|ex − 3|+ C

− 1

4sen(arctg

(12x

)) + C

16sen3(x2 + 1) + C

−35ln|tg(x) + 2|+ 3

10ln[tg2(x) + 1]− 1

5x+ C

Ejercicio 5.22 12x2arctg(x+ 1)− 1

2x+

12ln[1 + (x+ 1)2] + C

113ln|x− 3| − 1

26ln[9 + (x− 1)2] +

1139arctg

(x− 1

3

)+ C

13x3ln

(x+ 1x− 2

)+

12x2 + x+

13ln|x+ 1|+ 8

3ln|x− 2|+ C

23x√x+ x+ C

ex−1(x3 + 4x2 − 2x− 3) + C


Ejercicio 5.23 (−x3 + 6x)cos(x− 3) + (3x2 − 6)sen(x− 3) + C

23

(x+ 1)32 − 6

√x+ 1 + C

12cos2(ln(x))

+ C

x+ C

Capítulo 6


6.1. Cálculo de áreas, longitudes y volúmenesEjercicio 6.1 En el dibujo se observa como:

Area =∫ 5

1

1x2

dx =[− 1x

]5

1

= −15

+ 1 =45

81514324313122765123

No existen soluciones enteras para el intervalo de integración.

Observando el dibujo, se tiene que:

Area =∫ 1

0

2 dx+∫ 5

1

(2−√x− 1) dx = 2 + 8−[

23

(x− 1)32

]5

1

=

187


= 10− 163

=143

43

16

Para calcular la intersección de las curvas que delimitan el recinto cuyaárea queremos calcular resolvemos el siguiente:

y = x4 − 2x2

y = 2x2

}⇔ x4 − 2x2 = 2x2 ⇔ x = 0(doble); x = 2; x = −2

lo que da lugar a los tres puntos de corte {(0, 0), (2, 8), (−2, 8)}. Ahorahacemos un esbozo de la grá�ca de y = x4 − 2x2. Para ello observamos:

• lımx→±∞

(x4 − 2x2) = +∞• y′ = 0 ⇔ 4x3 − 4x = 0 ⇔ x = 0; x = 1; x = −1. Ahora bieny′′ = 12x2 − 4 ⇒ y′′(0) = −4; y′′(±1) = 8, por tanto, en (0, 0)hay un máximo relativo y en (±1,−1) hay sendos mínimos relativos.Observando ahora la grá�cas, se tiene que:

Area = 2∫ 2

0

(2x2 − x4 + 2x2) dx = 2∫ 2

0

(4x2 − x4) dx =

= 2[

43x3 − 1

5x5

]2

0

=1285

Ejercicio 6.2 • Alrededor del eje X. Se tiene que R(x) = x, por tanto:

V olumen = π

∫ 4

0

x2 dx =π

3[x3]40

=64π3

• Alrededor del eje Y . Se tiene R(y) = 4; r(y) = y ⇒ R2(y)− r2(y) =16− y2, por tanto:

V olumen = π

∫ 4

0

(16− y2) dy = π

[16y − 1

3y3

]4

0

=128π

3

• Alrededor de la recta x = 4. Se tiene que R(y) = 4− y, por tanto:

V olumen = π

∫ 4

0

(4− y)2 dy = −π∫ 4

0

−(4− y)2 dy =

= −π[

(4− y)3

3

]4

0

=64π3

6.1. CÁLCULO DE ÁREAS, LONGITUDES Y VOLÚMENES 189

• Alrededor de la recta x = 6. Se tiene R(y) = 6 − y; r(y) = 2 ⇒R2(y)− r2(y) = (6− y)2 − 4, por tanto:

V olumen = π

∫ 4

0

[(6− y)2 − 4] dy = −π∫ 4

0

−(6− y)2 dy − 16π =

= −π[

(6− y)3

3

]4

0

− 16π =160π

3

• Alrededor del eje X. 8π

• Alrededor del eje Y . 128π5

• Alrededor de la recta y = 240π3

• Alrededor de la recta x = −1584π15

• Alrededor del eje X (esferoide prolato). 48π

• Alrededor del eje Y (esferoide oblato). 64π

• Alrededor del eje X (esferoide prolato). 4πab2

3

• Alrededor del eje Y (esferoide oblato). 4πa2b

3π

24π

Se trata de una parábola vertical con las ramas hacia abajo que cortaal eje X en los puntos (1, 0), (5, 0).

Alrededor del eje X. Se tiene R(x) = −x2 + 6x− 5, por tanto:

V olumen = π

∫ 5

0

(−x2+6x−5)2 dx = π

∫ 5

1

(x4−12x3+46x2−60x+25) dx =

= π

[15x5 − 3x4 +

463x3 − 30x2 + 25x

]5

1

=512π15

•• Alrededor del eje Y . El vértice de la parábola se encuentra en el punto(3, 4). En este caso se tiene R(y) = 3+

√4 + y; r(y) = 3−√4 + y ⇒

R2(y)− r2(y) = 12√

4 + y, por tanto:

V olumen = 12π∫ 4

0

sqrt4 + y dy = 8π[(4 + y)

32

]40

= 64π

33π4


Ejercicio 6.3(a

5,a

5

)

(6548,

175

)

(0,

25a2

)

(503,

4021

)

Ejercicio 6.4 ∫ √3

0

4√4− x2

dx

Ejercicio 6.5 Dada la función f(x) =16x3 +

12x

, se trata de hacer la integral:

s =∫ 3

1

√1 + [f ′(x)]2 dx

Ahora bien:f ′(x) =

x4 − 12x2

⇒ 1 + [f ′(x)]2 =(x4 + 1)2

4x4

por tanto, la integral queda:

s =∫ 3

1

(x4 + 1

2x2

)dx =

12

∫ 3

1

(x2 + x−2) dx =12

[13x3 − 1

x

]3

1

=

=143

Ejercicio 6.6 En primer lugar, hay que pensar que un cono circular de altura4 y radio 3 está generado al girar sobre el eje Y el segmento de la recta y =

−43x+4, comprendido entre los puntos (3, 0), (0, 4). La fórmula que nos da dicho

área es:S = 2π

∫ 3

0

r(x)√

1 + [f ′(x)]2 dx

donde r(x) representa, para cada x, la distancia desde la grá�ca hasta el eje derevolución. En nuestro ejemplo:

r(x) = x; f(x) = −43x+ 4⇒ r(x)

√1 + [f ′(x)]2 =

53x

por tanto:

s = 2π∫ 3

0

53x dx = 15π

6.2. INTEGRALES IMPROPIAS 191

Ejercicio 6.7 No tiene soluciones enteras.

Ejercicio 6.8415

Ejercicio 6.9π

12

Ejercicio 6.108π3

Ejercicio 6.11815

(1 + 6√

3)

6.2. Integrales impropiasEjercicio 6.12 4 Convergente

2 Convergente

Es necesario separar la integral en dos, puesto que el punto en el quepresenta la impropiedad de 2a especie está en el interior del intervalo deintegración:

∫ 2

0

1(x− 1)

23dx =

∫ 1

0

(x− 1)−23 dx+

∫ 2

1

(x− 1)−23 dx =

= 3[

3√x− 1

]10

+ 3[

3√x− 1

]21

= 3(−(−1)) + 3 · 1 = 6

Convergente

También es necesario separar en dos integrales porque el punto que producela impropiedad de 2a especie se encuentra en el interior del intervalo deintegración. Divergente

1 Convergente12Convergente

Divergente

Hacemos una integración por partes:∫ +∞

0

xe−x dx[1]= − [xe−x]+∞

0+∫ +∞

0

e−x dx =

= − [xe−x]+∞0− [e−x]+∞

0= − lım

x→+∞(xe−x) + 1 =


= 1− lımx→+∞

( xex

)L′H= 1− lım

x→+∞1ex

= 1

Convergente. Donde hemos hecho el cambio:

[1] : u = x ⇒ du = dxdv = e−x dx ⇒ v = −e−x

2 Convergente

0 Convergente

1 Convergente

Divergente12Convergente

b

a2 + b2Convergente

π Convergente

∫ +∞

0

x3

(x2 + 1)2dx

[1]=∫ +∞

1

t−2(t− 1)32

12

(t− 1)−12 dt =

=12

∫ +∞

1

(t− 1t2

)dt =

12

∫ +∞

1

(1t− t−2

)dt =

=12

[ln(t)]+∞1 − 12

[−1t

]+∞

1

Divergente, pues lımt→+∞

ln(t) = +∞, donde hemos hecho el cambio:

[1] :

x2 + 1 = tx =

√t− 1

x3 = (t− 1)32

dx =1

2√t− 1

dt

∫ +∞

0

1ex + e−x

dx =∫ +∞

0

ex

e2x + 1dx

[1]=∫ +∞

1

dt

1 + t2=

= [arctg(t)]+∞1 =π

4Convergente, donde hemos hecho el cambio:

[1] :t = ex

dt = ex dx


Divergente

Divergente

Divergente

Divergente

Divergente

6 Convergente

0 Convergente

−14Convergente

Divergente

Divergenteπ

2

ln(2 +√

3)

Divergente

0

Divergente

Ejercicio 6.13 p > 1

Ejercicio 6.14 p < 1

Ejercicio 6.15 Se trata de una demostración por inducción en n.

n = 1. Se tiene:∫ +∞

0

xe−x dx[1]=[−xe−x]+∞

0+∫ +∞

0

e−x dx =

= − lımx→+∞

x

ex− [e−x]+∞

0= 1

luego convergente, donde hemos hecho la integración por partes:

[1] :u = x ⇒ du = dx

dv = e−x dx ⇒ v = −e−x


n⇒ n+ 1. Supongamos ahora que la integral:∫ +∞

0

xne−x dx

converge. Tenemos que probar que también converge la integral:

(n+ 1)∫ +∞

0

xn+1e−x dx

Ahora bien: ∫ +∞

0

xn+1e−x dx[2]= − [xn+1e−x

]+∞0

+

+(n+ 1)∫ +∞

0

xne−x dx = (n+ 1)∫ +∞

0

xne−x dx

pero esta integral converge por la hipótesis de inducción. Hemos hecho laintegración por partes:

[1] : u = xn+1 ⇒ du = (n+ 1)xn dxdv = e−x dx ⇒ v = −e−x

Ejercicio 6.16 Sólo hay que aplicar la fórmula que de�ne la transformada deLaplace, a saber:

F (s) =∫ +∞

0

e−stf(t) dt; s > 0

F (s) =1s

F (s) =1s2

F (s) =2s3

Para f(t) = eat con a, t > 0, su transformada de Laplace es:

F (s) =∫ +∞

0

e−steat dt =∫ +∞

0

e(−s+a)t dt =

=1

a− s[e(−s+a)t

]+∞0

a<s=1

s− aPor tanto F (s) =

1s− a en (a,+∞)

F (s) =s

s2 + a2

F (s) =a

s2 + a2


Ejercicio 6.17 1

π

3

Divergente

Ejercicio 6.18 1

2π

Ejercicio 6.19 8π(π + 1)

Ejercicio 6.20 • Es una función de densidad• 1− e− 4

7 = 0, 4353→ 43, 53 %

• E(t) = 7

• Es una función de densidad• 1− e− 8

5 = 0, 7981→ 79, 81 %

• E(t) =52

Ejercicio 6.21 Tenemos que realizar la integral impropia de 1a especie:

P = k

∫ +∞

1

1(a2 + x2)

32dx

En primer lugar hacemos la integral inde�nida, usando varios cambios de vari-able:

[1] :

a2 + x2 = t2

(a2 + x2)32 = t3

x =√t2 − a2

dx =t√

t2 − a2dt

[2] :

t =a

cos(u)

t2 − a2 =a2sen2(u)cos2(u)

dt =asen(u)cos2(u)

du

Por tanto: ∫1

(a2 + x2)32dx

[1]=∫

1t3· t√

t2 − a2dt =

=∫

1t2√t2 − a2

dt[2]=∫

1a2

cos2(u)· asen(u)cos(u)

· asen(u)cos2(u)

du


=∫

asen(u)cos3(u)a3sen(u)cos2(u)

du =1a2

∫cos(u) du =

1a2sen(u) + C

Ahora bien:

cos(u) =a

t⇒ sen(u) =

√1− a2

t2=√t2 − a2

t⇒

⇒ 1a2sen(u) =

√t2 − a2

a2t=

x

a2√a2 + x2

En de�nitiva, llegamos así a:

P = k

∫ +∞

1

1(a2 + x2)

32dx = k

[x

a2√a2 + x2

]+∞

1

=

= k

[lım

x→+∞x

a2√a2 + x2

− 1a2√a2 + 1

][3]=

= k

[1a2− 1a2√a2 + 1

]= k

√a2 + 1− 1a2√a2 + 1

=k(√a2 + 1− 1)

a2√a2 + 1

donde hemos realizado aparte el límite:

lımx→+∞

x

a2√a2 + x2

=(∞∞)

= lımx→+∞

x

x

a2

√a2

x2+x2

x2

=

= lımx→+∞

1

a2

√a2

x2+ 1

=1a2

6.3. Funciones eulerianasEjercicio 6.22 15

√π

8

3π256

Ejercicio 6.23 13

Ejercicio 6.24√π

4

Ejercicio 6.25 Con ayuda de las integrales eulerianas, vamos a calcular lasiguiente integral: ∫ 8

0

x−12

(2− x 1

3

) 14

6.3. FUNCIONES EULERIANAS 197

Hacemos el siguiente cambio de variable:

x13 = 2tx = 8t3

dx = 24t2 dt

por tanto, la integral queda:∫ 8

0

x−12

(2− x 1

3

) 14

=∫ 1

0

2−32 t−

32 2

14 (1− t) 1

4 23 · 3t2 dt =

= 3 · 2 74

∫ 1

0

t12 (1− t) 1

4 dt = 3,2 4√

23β

(32,

52

)=

= 6 4√

23

Γ(

32

)Γ(

54

)

Γ(

32

+54

) = 6 4√

23

12

Γ(

12

)Γ(

54

)

Γ(

114

) =

= 3 4√

23√π

Γ(

54

)

74

Γ(

74

) =127

4√

23 · √π ·Γ(

54

)

Γ(

74

)

Ejercicio 6.26 π

4

Ejercicio 6.27 Tenemos ahora que realizar la integral:∫ 1

0

dx√1− 4√x

para ello, hacemos el cambio de variable:

x14 = tx = t4

dx = 4t3 dt

con lo cual la integral quedaría:∫ 1

0

dx√1− 4√x

= 4∫ 1

0

t3(1− t)− 12 dt = 4β

(4,

12

)=

= 4Γ(4)Γ

(12

)

Γ(

92

) = 43!√π

72· 5

2· 3

2· 1

2√π

=12835

Ejercicio 6.28 π

8


Ejercicio 6.29 234 · 3√π ·

Γ(

54

)

Γ(

114

)

Capítulo 7


7.1. Funciones escalaresEjercicio 7.1 • 3

2• 6

• x

2

• −14

• 5y

; ∀y ∈ R \ {0}

• 5t; ∀t ∈ R \ {0}

• 5

• 3e2

• 2e

• 5ey

• e2x

• tet

• 23

• 0

• √2

• 3sen(1)

• 4

• 6

199


Ejercicio 7.2 Rec(f) = [0,+∞). Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 4}.Se trata del círculo cerrado de centro (0, 0) y radio 2.

Rec(f) = R. Dom(f) = {Banda cerrada entre las líneas paralelas y =1− x; y = −1− x}Rec(f) = R. Dom(f) = {Plano XY salvo los ejes de coordenadas}Rec(f) = R. Dom(f) = {Semiplano inferior abierto de frontera y = 4−x}Rec(f) = (0,+∞). Dom(f) = {Plano XY salvo el eje X}Rec(f) = R \ {0}. Dom(f) = {Plano XY salvo los ejes coordenados}

Ejercicio 7.3 Para la función f(x) =√

25− x2 − y2, las curvas del nivelf(x, y) = c ∈ R, son del tipo:

√25− x2 − y2 = c⇔ x2 + y2 = 25− c2

, por tanto para cada valor de c ∈ (−5, 5), se trata de circunferenciasconcéntricas de centro (0, 0) y radio +

√25− c2. A medida que c crece, el

radio de la circunferencia decrece desde 5 hasta 0. Para c = ±5, la curvade nivel se reduce al punto (0, 0).

Para c = 0, las curvas de nivel representan los ejes de coordenadas. Parac 6= 0, las curvas de nivel representan hipérbolas equiláteras en los cuad-rantes primero y tercero si c > 0 o segundo y cuarto si c < 0. A medidaque |c| crece, la hipérbola se abre cada vez más.

Para c = 0, se trata del eje Y . Para c 6= 0, las curvas de nivel representancircunferencias de centro

(12c, 0)

y radio 12|c|

Las curvas de nivel representan la familia de rectas paralelas a y = x,todas por debajo de ésta, salvo y = x, que no es una curva de nivel.

Para c = 1, se tienen los ejes de coordenadas. Para c 6= 1 se tienenhipérbolas equiláteras centradas en el punto (0, 0) y cuyas asíntotas sonlos ejes de coordenadas.

Ejercicio 7.4 Ha de ser c ≤ 600. Para c < 600, las isotermas son circunferen-cias de centro (0, 0) y radio

√600− c

0, 75. Para c = 600, la isoterma se reduce al

punto (0, 0)

Ejercicio 7.5 k =5203

P = kT

V. Si c 6= 0, las curvas de nivel son rectas en el plano TV , cuya

pendiente es kcy pasan por el origen. Si c = 0, se trata del eje V .

7.2. FUNCIONES VECTORIALES 201

Ejercicio 7.6 V = πr2

(43r + l

)

7.2. Funciones vectorialesEjercicio 7.7 R \ {0}

[−2, 2]

(0,+∞)

R \ {3, 5}

Ejercicio 7.8 1; ∀t ∈ R√t(1 + 9t); ∀t ∈ R

Ejercicio 7.9 Se trata de la recta que pasa por (0,−1) y cuyo vectordirector es (3, 1).

Circunferencia de centro (0, 0) y radio 2 recorrida en sentido contrario delas agujas del reloj.

La parábola y = x2, recorrida de izquierda a derecha.

La hipérbola equilátera y =1x, recorrida de izquierda a derecha.

Ejercicio 7.10 (3, 2)

(0, 0)(

29, e−6

)

Ejercicio 7.11 Se trata de la parábola horizontal y = ±√x sobre el ejeX.

Se trata de la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1.

Ejercicio 7.12 r′(t) = (3, 1); r′′(t) = (0, 0)

r′(t) = (−asen(t), acos(t)); r′′(t) = (−acos(t),−asen(t))

r′(t) = (1− cos(t), sen(t)); r′′(t) = (sen(t), cos(t))

Ejercicio 7.13 1. r′(t) = (3, 4)

2. Dt[r(t) · u(t)] = 24t+ 12t2

3. Dt[3r(t)− u(t)] = (5, 12− 2t)

4. Dt[||r(t)||] = 5


1. r′(t) = (cos(t),−sen(t))

2. Dt[r(t) · u(t)] = 0

3. Dt[3r(t)− u(t)] = (3cos(t) + sen(t),−3sen(t) + cos(t))

4. Dt[||r(t)||] = 0

Ejercicio 7.14 (−∞, 0) ∪ (0,+∞)

(kπ

2,

(k + 1)π2

); ∀k ∈ Z

(−∞,∞)

(−∞,∞)

Ejercicio 7.15 (2t3, 3t) + (C1, C2)

(ln(t), et) + (C1, C2)

(−4cos(t), 3sen(t)) + (C1, C2)

(−1

2e−t

2,

12t2)

+ (C1, C2)

Ejercicio 7.16(

3,−32

)

(23,

23

(2√

2− 1))

(4, 3)

(e3 − 1, 2e3 + 1)

Ejercicio 7.17 r(t) = (2e2t, 3et − 3)

r(t) =(t2 + 1,

23t

32 + 1

)

r(t) = (4cos(t), 3sen(t))

Ejercicio 7.18 Se trata de usar las reglas para multiplicar números reales porfunciones vectoriales y aplicar las reglas comunes de derivación de funcionesreales de una variable real.

7.3. COORDENADAS RECTANGULARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS203

7.3. Coordenadas rectangulares, cilíndricas y es-féricas

Ejercicio 7.19(

5,π

2, 1)

(2,π

3, 4)

(2√

2,7π4,−4

)

Ejercicio 7.20 (5, 0, 2)(

32,

3√

32, 2

)

(−2√

3,−2, 3)

Ejercicio 7.21(

4, 0,π

2

)

(4√

2,2π3,π

4

)

(4,π

6,π

6

)

Ejercicio 7.22 (√

6,√

2, 2√

2)

(0, 0, 12)(

52,

52,−5√

22

)

Ejercicio 7.23(

4,π

4,π

2

)

(2√

13,−π6, arccos

(3√13

))

(13, π, arccos

(513

))

Ejercicio 7.24(

10,π

6, 0)

(3√

3,−π6, 3)

(4,

7π6, 4√

3)


Ejercicio 7.25r = 2⇒ x2 + y2 = 4

θ =π

6⇒ y = tg

(π6

)x =

√3

3x⇒

√3y − x = 0

r = 2sen(θ)⇒ r2 = 4sen2(θ)

Ahora bien:

tg(θ) =y

x⇒ 1 + tg2(θ) = 1 +

y2

x2=x2 + y2

x2=

1cos2(θ)

⇒

⇒ cos2(θ) =x2

x2 + y2⇒ sen2(θ) = 1− x2

x2 + y2=

y2

x2 + y2

Por tanto la ecuación queda como:

x2 + y2 = 4y2

x2 + y2⇒ (x2 + y2)2 = 4y2 ⇒ x2 + y2 = 2y ⇒

⇒ x2 + y2 − 2y = 0

luego se trata de un cilindro de base la circunferencia de centro (0, 1, 0) yradio 1.

r2 + z2 = 4⇒ x2 + y2 + z2 = 4

que es una esfera de centro (0, 0, 0) y radio 2.

Ejercicio 7.26 x2 + y2 + z2 = 4, una esfera de centro (0, 0, 0) y radio 2.

φ =π

6⇒ cos(φ) =

z√x2 + y2 + z2

=√

32⇒ z2

x2 + y2 + z2=

34⇒

⇒ 3x2 + 3y2 + 3z2 − 4z2 = 0⇒ 3x2 + 3y2 − z2 = 0

que es un cono de base circular.

ρ = 4cos(φ)⇒ ρ =z

ρ⇒ ρ2 = 4z ⇒ x2 + y2 + z2 = 4z ⇒

⇒ x2 + y2 + (z − 2)2 = 0

que se trata de una esfera de centro (0, 0, 2) y radio 2.

7.4. LÍMITES Y CONTINUIDAD 205

ρ = cosec(φ)⇒ ρ2 = cosec2(φ) =1

sen2(φ)=

11− cos2(φ)

=

=1

1− z2

ρ2

=ρ2

ρ2 − z2⇒ 1 =

1ρ2 − z2

⇒

⇒ ρ2 − z2 = 1⇒ x2 + y2 = 1

que corresponde a la ecuación de un cilindro que tiene como base la cir-cunferencia de centro (0, 0, 0) y radio 1.

Ejercicio 7.27 Se tiene la siguiente tabla de correspondencias entre las ecua-ciones de las �guras:

Cartesianas Cilíndricas Esféricasx2 + y2 + z2 = 16 r2 + z2 = 16 ρ = 4

x2 + y2 + z2 − 2z = 0 r2 + z2 − 2z = 0 ρ = 2cos(φ)

x2 + y2 = 4y r = 4sen(θ) ρ = 4sen(θ)sen(φ)

x2 − y2 = 9 r2 =9

cos(2θ)ρ2 =

9sen2(φ)cos(2θ)

7.4. Límites y continuidadEjercicio 7.28 2

203

15

25

Ejercicio 7.29 5

−3

0

2√

2En todos los casos, la función es continua en el punto indicado.

Ejercicio 7.30 1

No existe el límite

0

0


Ejercicio 7.31 f es continua en R3 \ {(0, 0, 0)}f es continua en R3 salvo en los puntos del cilindro x2 + y2 = 4

f es continua en R3.

f es continua en R3.

Ejercicio 7.32 (f ◦ g)(x) = (3x− 2y)2 es continua en R2.

(f ◦ g)(x) =1

3x− 2yes continua en R2 salvo en los puntos de la recta

3x− 2y = 0.

(f ◦ g)(x) =1

4− (x2 + y2)es continua en R2 salvo en los puntos de la

circunferencia x2 + y2 = 4

Capítulo 8


8.1. Derivadas parcialesEjercicio 8.1 Hemos de hallar las dos derivadas parciales de la función

f(x, y) = xxxy

Se tiene:D1f(x, y) = xx

y · xxxy−1 + xx

xy

ln(x)[xy · xxy−1 + xx

y

ln(x)yxy−1]

D2f(x, y) = xxxy

ln(x)xxy

ln(x)xyln(x) = xxxy

xxy

xyln3(x)

de donde se obtieneD1f(1, 0) = 1; D2f(1, 0) = 0

Ejercicio 8.2 Tenemos que calcular ahora dos derivadas parciales, aplicandola de�nición de derivada:

D1f(2, 3) = lımx→2

f(x, 3)− f(2, 3)x− 2

=

= lımx→2

x+ 3x− 3

− (−5)

x− 2= lımx→2

x+ 3 + 5x− 15(x− 2)(x− 3)

=

= lımx→2

6(x− 2)(x− 2)(x− 3)

= lımx→2

6x− 3

= −6

D2f(2, 3) = lımy→3

f(2, y)− f(2, 3)y − 3

=

= lımy→3

2 + y

2− y − (−5)

y − 3= lımy→3

2 + y + 10− 5y(y − 3)(2− y)

=

= lımy→3

−4(y − 3)(y − 3)(2− y)

= lımy→3

−42− y = 4

207


Ejercicio 8.3 D1f(x, y) =4xy2

(x2 + y2)2; D2f(x, y) = − 4x2y

(x2 + y2)2

D1f(x, y) =2sen(x)cos(y)

(cos(x)− cos(y))2; D2f(x, y) =

−2sen(y)cos(x)(cos(x)− cos(y))2

D1f(x, y, z) = ex − yzexyz; D2f(x, y, z) = ey − xzexyz; D3f(x, y, z) =ez − xyexyz

D1g(x, y) = 1 + tg2(x) + 2x; D2g(x, y) = −cos(y)− 2y

Dkh(x1, x2, . . . , xn) = 2xk; ∀k = 1, 2, . . . , n

D1u(x, y, z, w) = − 1x2

; D2u(x, y, z, w) = 1; D3u(x, y, z, w) = 2z; D4u(x, y, z, w) =1w

D1w(x, y, z) =[ysen2(x)− sen(x) + xcos(x)

sen2(x)

]cos

[x

(y − 1

sen(x)

)]; D2w(x, y, z) =

xcos

(x

(y − 1

sen(x)

)); D3w(x, y, z) = 0

Ejercicio 8.4 ∀(x, y) ∈ R2/x 6= 0

Ejercicio 8.5 D1f(x, y, z) = y + z; D2f(x, y, z) = x+ z; D3f(x, y, z) =x+ y

D1f(x, y, z) = 1 + ycos(xy) +1x

; D2f(x, y, z) = xcos(xy); D3f(x, y, z) =1z

D1f(x, y) = yexy − 1x2y

; D2f(x, y) = xexy − 1xy2

D1g(x, y) = − 1x√x2 − (xy + 1)2

; D2g(x, y) =x√

x2 − (xy + 1)2

D1h(x, y, z) = yz; D2h(x, y, z) = xz; D3h(x, y, z) = xy

D1u(x, y, z) = −y + z

x2yz; D2u(x, y, z) = −x+ z

xy2z; D3u(x, y, z) = −x+ y

xyz2

Ejercicio 8.6 D1f(x, y) = 2; D2f(x, y) = −3

D1f(x, y) = y; D2f(x, y) = x

D1z =√y; D2z =

x

2√y

D1z = 2xe2y; D2z = 2x2e2y

8.1. DERIVADAS PARCIALES 209

D1z =2xx2y2

; D2z =2y

x2 + y2

∂z

∂x= − 2y

x2 − y2;∂z

∂y=

2xx2 − y2

∂h

∂x(x, y) = −2xe−(x2+y2);

∂h

∂y(x, y) = −2ye−(x2+y2)

∂h

∂x(x, y) =

x√x2 + y2

;∂h

∂y(x, y) =

y√x2 + y2

∂z

∂x= 2cos(2x− y);

∂z

∂y= −cos(2x− y)

∂z

∂x= eyycos(xy);

∂z

∂y= ey[sen(xy) + cos(xy)]

Hemos de hacer las dos derivadas parciales de la función:

f(x, y) = sen

(∫ y

x

(t2 − 1) dt)

Primero las vamos a obtener sin efectuar la integral, sino usando el teo-rema fundamental del cálculo integral:

∂f

∂x(x, y) = cos

(∫ y

x

(t2 − 1) dt)

[−(x2−1)] = (−x2+1)cos(∫ y

x

(t2 − 1) dt)

∂f

∂y(x, y) = cos

(∫ y

x

(t2 − 1) dt)

(y2 − 1) = (y2 − 1)cos(∫ y

x

(t2 − 1) dt)

Y ahora efectuando previamente la integral:

f(x, y) = sen

[[13t3 − t

]y

x

]= sen

(13y3 − y − 1

3x3 + x

)

de donde:

∂f

∂x(x, y) = (−x2 + 1)cos

(13y3 − y − 1

3x3 + x

)

∂f

∂y(x, y) = (y2 − 1)cos

(13y3 − y − 1

3x3 + x

)

(se deja al alumno comprobar la igualdad de los resultados)

Ejercicio 8.7 fx(2,−2) =14

; fy(2,−2) =14

fx(2,−2) = −14

; fy(2,−2) =14


fx(1, 0) = 0; fy(1, 0) = 4

Ejercicio 8.8 ∂w

∂x=

x√x2 + y2 + z2

;∂w

∂y=

y√x2 + y2 + z2

;∂w

∂z=

z√x2 + y2 + z2

∂w

∂x=

y(y + z)(x+ y + z)2

;∂w

∂y=

x(x+ z)(x+ y + z)2

;∂w

∂z=

−xy(x+ y + z)2

∂H

∂x(x, y, z) = cos(x+ 2y + 3z);

∂H

∂y(x, y, z) = 2cos(x+ 2y + 3z);

∂H

∂z=

3cos(x+ 2y + 3z)

Ejercicio 8.9 ∂2f

∂x2(x, y) = 0;

∂2f

∂x∂y(x, y) =

∂2f

∂y∂x(x, y) = − 1

y2;∂2f

∂y2(x, y) =

2xy3

Ejercicio 8.10 ∂2f

∂x2(1, 1) =

14

;∂2f

∂y2(1, 1) =

14

Ejercicio 8.11 ∂2z

∂x2= 2;

∂2z

∂y∂x=

∂2z

∂x∂y= −2;

∂2z

∂y2= 6

∂2z

∂x2= extg(y);

∂2z

∂y∂x=

∂2z

∂x∂y= ex(1 + tg2(y));

∂2z

∂y2= 2extg(y)(1 +

tg2(y))

∂2z

∂x2=

2xy(x2 + y2)2

;∂2z

∂y∂x=

∂2z

∂x∂y=

y2 − x2

(x2 + y2)2;∂2z

∂y2= − 2xy

(x2 + y2)2

∂2z

∂x2=

y2

(x2 + y2)32

;∂2z

∂y∂x=

∂2z

∂x∂y=

−xy(x2 + y2)

32

;∂2z

∂y2=

x2

(x2 + y2)32


∂y∂x=

∂2z

∂x∂y= 6x

∂2z

∂y∂x=

∂2z

∂x∂y=

sen(y)cos2(y)

∂2z

∂y∂x=

∂2z

∂x∂y= −2ye−y

2

Ejercicio 8.13 fxyy = fyxy = fyyx = 0

fxyy = fyxy = fyyx = 0

fxyy = fyxy = fyyx = e−xz2sen(yz)

8.1. DERIVADAS PARCIALES 211

fxyy = fyxy = fyyx =2

(y + z)3

Ejercicio 8.14 Se tiene la función f : R2 → R2, de�nida por f(x, y) = (x +y, x2 − y2). Por tanto, las dos funciones componentes son: f1(x, y) = x +y; f2(x, y) = x2 − y2. Entonces:

Jf(x, y) =(D1f1(x, y) D2f1(x, y)D1f2(x, y) D2f2(x, y)

)=(

1 12x −2y

)


∂x2= −∂

2z

∂y2= 0

∂2z

∂x2= −∂

2z

∂y2= −1

2(ey − e−y)sen(x)

∂2z

∂x2= −∂

2z

∂y2= exsen(y)

∂2z

∂x2= −∂

2z

∂y2=

2xy(x2 + y2)2


∂t2= c2

∂2z

∂x2= −c2sen(x− ct)

∂2z

∂t2= c2

∂2z

∂x2= −w2c2sen(wct)sen(wx)

Ejercicio 8.17 ∂z

∂t= c2

∂2z

∂x2= −e−tcos

(xc

)

∂z

∂t= c2

∂2z

∂x2= −e−tsen

(xc

)

Ejercicio 8.18 fx(x, y) = 2; fy(x, y) = 3

fx(x, y) =1

2√x+ y

; fy(x, y) =1

2√x+ y

Ejercicio 8.19 Sabemos que la pendiente de la recta tangente a la curva in-tersección de una super�cie z = f(x, y) con un plano x = cte es la derivadaparcial de la función que de�ne la super�cie respecto de la variable y. Análoga-mente la pendiente de la recta tangente a la curva intersección de una super�ciez = f(x, y) con un plano y = cte es la derivada parcial de la función que de�nela super�cie respecto de la variable x.

Se considera la super�cie de�nida por la función z =√

49− x2 − y2. Lovamos a hacer de dos formas:


• Hallando la ecuación de la curva:

x = 2⇒ z =√

45− y2

z′(y) =−y√

45− y2⇒ z′(3) = −1

2

• Hallando directamente la derivada parcial correspondiente:

∂z

∂x(x, y) =

−y√49− x2 − y2

⇒ ∂z

∂x(2, 3) = −1

2

18

Ejercicio 8.20 ∂R

∂v0

(2000,

π

36

)= 21, 7060;

∂R

∂θ

(2000,

π

36

)= 246201, 9383

Ejercicio 8.21 ∂T

∂x(2, 3) = −2, 4;

∂T

∂y(2, 3) = −9

Ejercicio 8.22 ∂P

∂T=K

V;∂V

∂P= −KT

P 2

Ejercicio 8.23 fx(x, y) =x4y + 4x2y3 − y5

(x2 + y2)2; fy(x, y) =

−xy4 − 4x3y2 + x5

(x2 + y2)2;∀(x, y) 6=

(0, 0)

fx(0, 0) = 0; fy(0, 0) = 0

fxy(0, 0) = fyx(0, 0) = 0

8.2. Derivadas direccionales. GradienteEjercicio 8.24 • ∇f(x, y, z) = (2x+y3cos(xy), 2ysen(xy)+y2cos(xy), 0)

• ∇f(x, y, z) = (2xy3z4, 3x2y2z4, 4x2y3z3)

• ∇f(x, y, z) =(

2xx2 + 2y2 − 3z2

,4y

x2 + 2y2 − 3z2,

−6zx2 + 2y2 − 3z2

)

• ∇f(x, y, z) =(yzxy

z−1, xyz

yz−1zln(z), xyz

yzln(x)ln(y))

Ahora me piden unas derivadas direccionales en la dirección del vec-tor ~v(1,−1, 2). Como este vector tiene de módulo ||~v|| =

√6. Luego

hay que considerar el vector ~v′(

1√6,− 1√

6,

2√6

). Usamos la fórmula

válida para funciones diferenciables:

D~vf(P ) = ∇f(P ) · v; con ||~v|| = 1

D~vf(1, 1, 0) =2(1− sen(1))√

6

8.2. DERIVADAS DIRECCIONALES. GRADIENTE 213

•• D~vf(1, 1, 0) = 0

• D~vf(1, 1, 0) = − 23√

6

• D~vf(1, 1, 0) =1√6

Ejercicio 8.25 ∇f(P ) = (6√

2−√13,√

13− 4√

2

{~v(x, y) ∈ R2/||~v|| = 1; (6√

2−√13)x+ (√

13− 4√

2)y = 0}√

130− 20√

26

Ejercicio 8.26 6√

2

∇f(1, 2, 3) = (17, 5, 11)√

435

Ejercicio 8.27 2√

1111

∇f(1,−1, 2) = (4,−2, 12)

2√

41

Ejercicio 8.28 D~vf(0, 0) = v1 + v2

D~uf(0, 0) =75

D~vf(0, 0) =1 + 2

√2

3

Ejercicio 8.29 Se considera la función f(x, y) = x2 + y2 y el vector~u

(35,

45

)con ||~u|| = 1. Me piden D~uf(2, 3), aplicando la de�nición.

D~uf(2, 3) = lımh→0

f

(2 +

35h, 3 +

45h

)− f(2, 3)

h=

= lımh→0

(2 +

35h

)2

+(

3 +45h

)2

− 13

h=

= lımh→0

9h2

25+

12h5

+16h2

25+

24h25

h= lımh→0

h

(365

+ h

)

h=

365

de la misma forma se tiene D~vf(2, 3) =14√

5


∂f

∂x(2, 3) = 4;

∂f

∂y(2, 3) = 6

Ejercicio 8.30 D~vf(1, 2) =−5 +

√3

2

D~vf(2, 3) =5√

22

D~vf(3, 4) = − 725

D~vf(

1,π

2

)= −e

D~vf(1, 1, 1) =2√

63

D~vf(4, 1, 1) =π + 84√

6

Ejercicio 8.31

θ =π

4⇒ ~u = (cos(θ), sen(θ)) =

(√2

2,

√2

2

)

con la ventaja de que en los casos en los que el vector viene de�nido porsu dirección, éste ya es de forma trivial, de módulo 1.

∇f(x, y) = (2x, 2y)⇒ D~uf(x, y) = ∇f(x, y) · ~u =√

2x+√

2y

D~uf(x, y) = cos(2x− y)

(1 +√

32

)

Ejercicio 8.32

P (3, 1), Q(1,−1)⇒ ~v = −→PQ(−2,−2)⇒ ~v′(−1√

2,−1√

2

)

∇f(x, y) = (2x, 8y)⇒ ∇f(3, 1) = (6, 8)⇒ D−→PQf(3, 1) = ∇f(3, 1)·~v′ = −7√

2

D−→PQf(1, 0, 0) =7√19

Ejercicio 8.33 ∇f(4, 2) = (2,−8); Mx D~vf(4, 2) = 2√

17

∇f(

2,π

4

)= (1, 4); Mx D~vf

(2,π

4

)=√

17

∇f(1, 2) =(

215,

415

); Mx D~vf(4, 2) =

2√

5√15

8.2. DERIVADAS DIRECCIONALES. GRADIENTE 215

∇f(0, 5) = (0, 1); Mx D~vf(0, 5) = 1

∇f(0, 0, 0) = (0, 0, 0); Mx D~vf(0, 0, 0) = 0

Ejercicio 8.34 Efectivamente la curva de nivel f(x, y) = x2 + y2 = 25pasa por (3, 4), luego el vector gradiente ∇f(3, 4) es normal a dicha curvade nivel en el punto en cuestión.

∇f(x, y) = (2x, 2y)⇒ ∇f(3, 4) = (6, 8)

∇f(1, 1) =(

0,−12

)

Ejercicio 8.35 La parábola 4x2 − y = 6 pasa por (2, 10). Consideramospues la función f(x, y) = 4x2 − y de la cual la parábola anterior es unacurva de nivel. Por tanto:

∇f(x, y) = (8x,−1)⇒ ∇f(2, 10) = (16,−1)

que es un vector normal a la parábola dada en el punto en cuestión.

Considerando la función f(x, y) = 9x2 +4y2, se tiene que el vector normalpedido es ∇f(2,−1) = (36,−8)

Ejercicio 8.36 ∇T (3, 4) =(

7625

,−24625

)

Ejercicio 8.37 ∇h(500, 300) = (−1,−2′4)

Capítulo 9


Ejercicio 9.1 Se tiene:

df(x0, y0, z0) = Jf(x0, y0, z0) ·

dxdydz

=

=(

2x0 −2y0 ez0

z30 0 3z2

0x0

)·

dxdydz

=

(2x0dx− 2y0dy + ez0dz

z30dx+ 3z2

0x0dz

)

D12f1(x0, y0, z0) = D21f2(x0, y0, z0) = D22f2(x0, y0, z0) = D11f2(x0, y0, z0) =0

Ejercicio 9.2 df(0, 0, 0) = 0

Ejercicio 9.3 J(g◦f)(1, 1) =

2 1

−12−1

48 4

; d(g◦f)(1, 1) =

2dx+ dy

−12dx− 1

4dy

8dx+ 4dy

Ejercicio 9.4 df(x, y) =(

dx+ dy2xdx− 2ydy

)

Ejercicio 9.5 df(1, 1) = 2dx+ 2dy

Ejercicio 9.6 df(1, 1, 1) =(

2dx+ dy + 3dzdx+ dy + dz

)

Ejercicio 9.7 dz = 6xy3dx+ 9x2y2dy

dz =2xydx− x2

y2dy

dz =2

(x2 + y2)2[xdx+ ydy]

217


dz = ex[sen(y)dx+ cos(y)dy]

dz = (cos(y) + ysen(x))dx− (xsen(y) + cos(x))dy

dz =(ex

2+y2 − e−x2−y2)

[xdx+ ydy]

dw = 2z2[yzcos(x)dx+ zsen(x)dy + 3ysen(x)dz]

dw = excos(y)dx− exsen(y)dy + dz

dw =1

z − 2y[dx+

2x+ z

z − 2ydy − x+ y

z − 2ydz]

dw = 2xyz2dx+ (x2z2 + zcos(yz))dy + (2x2yz + ycos(yz))dz

9.1. Planos tangentes y rectas normales

Ejercicio 9.8 ~vN

(1√3,

1√3,

1√3

)

Si consideramos la función F (x, y, z) =√x2 + y2 − z, tenemos que la

super�cie de ecuación F (x, y, z) = 0 contiene al punto P (3, 4, 5). Entoncesel vector gradiente ∇F (3, 4, 5) es normal a dicha super�cie en el punto encuestión. Así:

∇F (x, y, z) =

(x√

x2 + y2,

y√x2 + y2

,−1

)∇F (3, 4, 5) =

(35,

45,−1

)

Como este vector no es unitario, ya que ||∇F (3, 4, 5)|| = √2, tenemos queun vector normal unitario a la super�cie F (x, y, z) = 0 en el punto (3, 4, 5)es:

~vN

(3

5√

2,

45√

2,− 1√

2

)

~vN

(32√2049

,32√2049

,−1√2049

)

~vN

(−1√113

,−6√

3√113

,2√113

)

~vN

(1√3,− 1√

3,

1√3

)

Ejercicio 9.9 Sea la función f(x, y) = 25 − x2 − y2. Consideramos lasuper�cie de ecuación z = f(x, y) = 25 − x2 − y2, que evidentementecontiene al punto (3, 1, 15). Entonces la ecuación del plano tangente en elpunto en cuestión viene dada por:

fx(3, 1)(x− 3) + fy(3, 1)(y − 1)− (z − 15) = 0

9.1. PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES 219

Se tiene:fx(x, y) = −2x⇒ fx(3, 1) = −6

fy(x, y) = −2y ⇒ fy(3, 1) = −2

luego el plano tangente es:

πt : −6(x− 3)− 2(y − 1)− (z − 15) = 0⇒ πt : −6x− 2y − z + 35 = 0

o bien:πt : 6x+ 2y + z = 35

πt : 2x− y + z = 2

πt : − 10x+ 8y + z = −9

πt : − 2x+ z = 2

πt : 3x+ 4y − 25z = 25(1− ln(5))

πt : x− 4y + 2z = 18

Consideramos ahora la función F (x, y, z) = xy2 +3x−z2−4. La super�ciede ecuación F (x, y, z) = 0 contiene al punto (2, 1,−2). La ecuación delplano tangente a dicha super�cie en el punto en cuestión viene dada ahorapor:

Fx(2, 1,−2)(x− 2) + Fy(2, 1,−2)(y − 2) + Fz(2, 1,−2)(z − (−2)) = 0

Como:Fx(x, y, z) = y2 + 3⇒ Fx(2, 1,−1) = 4

Fy(x, y, z) = 2xy ⇒ Fy(2, 1,−1) = 4

Fz(x, y, z) = −2z ⇒ Fz(2, 1,−1) = 4

se tiene que la ecuación del plano tangente es:

πt : 4(x− 2) + 4(y − 1) + 4(z + 2) = 0⇒ πt : 4x+ 4y + 4z − 4 = 0

o bien:πt : x+ y + z = 1

Ejercicio 9.10 Se considera la super�cie de ecuación F (x, y, z) = 0, sien-do F (x, y, z) = x2 + y2 + z2− 9. Esta super�cie contiene al punto (1, 2, 2).La recta normal a la super�cie dada en el punto indicado es la recta quepasa por dicho punto y tiene como vector director el vector normal a lasuper�cie en el mismo, es decir:

rN ;x− 1

Fx(1, 2, 2)=

y − 2Fy(1, 2, 2)

=z − 2

Fz(1, 2, 2)


Ahora bien:Fx(x, y, z) = 2x⇒ Fx(1, 2, 2) = 2

Fy(x, y, z) = 2y ⇒ Fy(1, 2, 2) = 4

Fz(x, y, z) = 2z ⇒ Fz(1, 2, 2) = 4

luego podemos tomar como vector normal (1, 2, 2) ∼ (2, 4, 4), y obtenemos:

rN ;x− 1

1=y − 2

2=z − 2

2

πt : 3x+ 2y + z = −6; rN ;x+ 2

3=y + 3

2=z − 6

1

πt : x− y + 2z =π

2; rN ;

x− 11

=y − 1−1

=z − π

42

Ejercicio 9.11 θ = 86o2′0, 96′′

θ = 77o23′44, 22′′

Ejercicio 9.12 P (0, 3, 12)

P

(12,−1,−31

4

)

Ejercicio 9.13 Se trata en cada apartado de multiplicar escalarmente el vectorgradiente en un punto (x0, y0, z0) por el vector (x− x0, y − y0, z − z0)

Capítulo 10


10.1. Derivación de funciones compuestasEjercicio 10.1 Consideramos las funciones:

f : R3 → R2/ f(x, y, z) =(sen(xy + z), (1 + x2)yz

)

g : R2 → R2/ g(u, v) = (u+ ev, v + eu)

por tanto:g ◦ f : R3 → R2

Observemos que f(1,−1, 1) =(

0,12

)

Se tiene:

Jf(x, y, z) =(

ycos(xy + z) xcos(xy + z) cos(xy + z)yz(1 + x2)yz−12x z(1 + x2)yzln(1 + x2) y(1 + x2)yzln(1 + x2)

)⇒

⇒ Jf(1,−1, 1) =

( −1 1 1

−12

12ln(2) −1

2ln(2)

)⇒

⇒ df(1,−1, 1) =

( −dx+ dy + dz

−12

(dx− ln(2)dy + ln(2)dz)

)

Análogamente:Jg(u, v) =

(1 ev

eu 1

)⇒

Jg

(0,

12

)=(

1√e

1 1

)⇒

⇒ dg

(0,

12

)=(du+

√edv

du+ dv

)

221


Utilizando la regla de la cadena, se tiene:

J(g◦f)(1,−1, 1) = Jg(f(1,−1, 1))·Jf(1,−1, 1) = Jg

(0,

12

)·Jf(1,−1, 1) =

=(

1√e

1 1

)·( −1 1 1

−12

12ln(2) −1

2ln(2)

)=

=

−1− 1

2√e 1 +

√e

2ln(2) 1−

√e

2ln(2)

−32

1 +12ln(2) 1− 1

2ln(2)

⇒

⇒ d(g◦f)(1,−1, 1) =

(−1−

√e

2

)dx+

(1 +√e

2ln(2)

)dy +

(1−√e

2ln(2)

)dz

−32dx+

(1 +

ln(2)2

)dy +

(1− ln(2)

2

)dz

Ejercicio 10.2 Tenemos las funciones:

w(x, y) = x2 + y2;{x(t) = et

y(t) = e−t

Usando un diagrama de árbol para aplicar la regla de la cadena, se tiene:

dw

dt(t) =

∂w

∂x(x(t), y(t)) · x′(t) +

∂w

∂y(x(t), y(t)) · y′(t)

Ahora bien:∂w

∂x(x, y) = 2x⇒ ∂w

∂x(x(t), y(t)) = 2et

∂w

∂y(x, y) = 2y ⇒ ∂w

∂y(x(t), y(t)) = 2e−t

y sustituyendo, llegamos a:

dw

dt(t) = 2et · et + 2e−t(−e−t) = 2(e2t − e−2t)

dw

dt= − et

cos(t)[1 + tg(t)]

dw

dt= 4e2t

Ejercicio 10.3 Consideramos ahora las funciones:

w(x, y) = x2 + y2;{x(s, t) = s+ ty(s, t) = s− t

10.1. DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS 223

Usando un diagrama de árbol para aplicar la regla de la cadena, se tiene:

∂w

∂s(s, t) =

∂w

∂x(x(s, t), y(s, t)) · ∂x

∂s(s, t) +

∂w

∂y(x(s, t), y(s, t)) · ∂y

∂s(s, t) =

= 2x(s, t) + 2y(s, t) = 2(s+ t+ s− t) = 4s⇒ ∂w

∂s(2,−1) = 8

Análogamente:

∂w

∂t(s, t) =

∂w

∂x(x(s, t), y(s, t)) · ∂x

∂t(s, t) +

∂w

∂y(x(s, t), y(s, t)) · ∂y

∂t(s, t) =

= 2x(s, t)− 2y(s, t) = 2(s+ t− s+ t) = 4t⇒ ∂w

∂s(2,−1) = −4

∂w

∂s= 2scos(2t);

∂w

∂s

(3,π

4

)= 0;

∂w

∂t= −2s2sen(2t);

∂w

∂t

(3,π

4

)= −18

Ejercicio 10.4 dw

dt= 2cos(2t)

dw

dt= 9t2 − 2t− 3

Ejercicio 10.5 ∂w

∂r= 0;

∂w

∂θ= 8θ

∂w

∂r= 0;

∂w

∂θ= 1

Ejercicio 10.6 Se trata de calcular, usando la regla de la cadena, a través de undiagrama de árbol, ∂w

∂ry ∂w∂θ

y después comprobar que se cumplen las igualdadespropuestas

Ejercicio 10.7 J(g ◦ f)(2, 2) = ( 12 40 )

Ejercicio 10.8 d(g ◦ f)(0, 0) =(

0dx− dy

)

Ejercicio 10.9 dF (0, 0, 0) = d(g ◦ f)(0, 0, 0) = dx+ 2ady + 2a2dz

D32F (x, y, z) = 2aez = D23F (x, y, z)

a = 0

Ejercicio 10.10 ∇f(a) =

(10√

2− 4√

53

,5√

2 + 4√

53

)

g′(2) = 10√

2 + 4√

5

D(2,1)(g ◦ f)(a) = 20√

2 + 28√

5


10.2. Derivación de funciones de�nidas implícita-mente

Ejercicio 10.11 Consideramos la ecuación x2 +y2 +z2 = 25 y llamamosF a la función F (x, y, z) = x2 +y2 +z2−25. La función F es diferenciableen todo R3 por ser un polinomio y ∂F

∂z(x, y, z) = 2z. Para que se pueda

aplicar el teorema de la función implícita para despejar z en función dex, y es necesario que ∂F

∂z(x, y, z) = 0. Por tanto, ya podemos a�rmar que

la ecuación dada de�ne a z como función z = z(x, y) diferenciable encualquier punto salvo en los puntos de la circunferencia z = 0; x2 + y2 =25. En los puntos en los que z es función de x, y, tenemos:

x2 + y2 + z2(x, y) = 25

Hallamos ahora las derivadas parciales de z respecto de sus dos variablesx, y de dos formas distintas:

• Aplicando directamente las fórmulas:

∂z

∂x(x, y) = −

∂F

∂x(x, y, z(x, y))

∂F

∂z(x, y, z(x, y))

= − 2x2z(x, y)

= − x

z(x, y)

∂z

∂y(x, y) = −

∂F

∂y(x, y, z(x, y))

∂F

∂z(x, y, z(x, y))

= − 2y2z(x, y)

= − y

z(x, y)

• Derivando ambos miembros de la ecuación:◦ Respecto de x:

2x+ 2z(x, y) · ∂z∂x

(x, y) = 0⇒ ∂z

∂x(x, y) = − 2x

2z(x, y)= − x

z(x, y)

◦ Respecto de y:

2y + 2z(x, y) · ∂z∂y

(x, y) = 0⇒ ∂z

∂y(x, y) = − 2y

2z(x, y)= − y

z(x, y)

∂z

∂x= − z + y

x+ y;∂z

∂y= −x+ z

x+ y

∂z

∂x= −1 + tg2(x+ y)

1 + tg2(y + z);∂z

∂y= −2 + tg2(x+ y) + tg2(y + z)

1 + tg2(y + z)

∂z

∂x=

exsen(y + z)1− excos(y + z)

;∂z

∂y=

excos(y + z)1− excos(y + z)

10.2. DERIVACIÓN DE FUNCIONES DEFINIDAS IMPLÍCITAMENTE 225

Ejercicio 10.12 Consideramos la ecuación: x2+2yz+z2 = 1 y la funciónF (x, y, z) = x2 + 2yz + z2 − 1. Como ∂F

∂z(x, y, z) = 2y + 2z, se tiene que

la ecuación anterior de�ne z = z(x, y) diferenciable en los puntos en losque y + z 6= 0. En estos puntos vamos a trabajar el resto del ejercicio:

∂z

∂x= − 2x

2y + 2z= − x

y + z

∂z

∂y= − 2z

2y + 2z= − z

y + z

Ahora se tiene: (recuérdese que z = z(x, y))

∂2z

∂x2= −

y + z − x∂z∂x

(y + z)2= −

y + z − x( −xy + z

)

(y + z)2=

= − (y + z)2 + x2

(y + z)3

∂2z

∂x∂y=x

(1 +

∂z

∂y

)

(y + z)2=x

(1− z

y + z

)

(y + z)2=

xy

(y + z)3

∂2z

∂y2= −

∂z

∂x(y + z)− z

(1 +

∂z

∂y

)

(y + z)2= −

y∂z

∂y− z

(y + z)2=

= −− yz

y + z− z

(y + z)2=

2yz + z2

(y + z)3

∂z

∂x= − 1

cos(y + z);∂z

∂y= −1

∂2z

∂x2=

sen(y + z)cos3(y + z)

;∂2z

∂x∂y= 0 =

∂2z

∂y∂x;∂2z

∂y2= 0

Ejercicio 10.13 ∂w

∂x= − z(y + w)

z(x− y) + 2w;∂w

∂y=

z(−x+ w)z(x− y) + 2w

;∂w

∂z=

−xy − xw + yw

z(x− y) + 2w

∂w

∂x= − x+ 3w

3x− 8w;∂w

∂y= − y

3x− 8w;∂w

∂z= − z

3x− 8w

Ejercicio 10.14 a 6= 0

Para ningún valor de a


Ejercicio 10.15 f(x, y) = 0 de�ne a y como función implícita de x en unentorno de (0, 0) ya que ∂f

∂y(0, 0) = 1 6= 0. Además dh(0, 0) = 0

Ejercicio 10.16 dF (0, 0) = dx+ 2dy

D~vF (0, 0) = 0

Max D~vF (0, 0) = ||∇F (0, 0)|| = √5

F (x, y) = 2 de�ne a y como función implícita de x en un entorno de (0, 0)

ya que ∂F∂y

(0, 0) = 2 6= 0

y′′(0) =38

Capítulo 11


Ejercicio 11.1 En(

12, 2)

se alcanza un mínimo relativo.

Ejercicio 11.2 Consideramos la función:

f(x, y) = xy(3− x− y) = 3xy − x2y − xy2

Hallamos los puntos críticos:

0 =∂f

∂x(x, y) = 3y − 2xy − y2 = y(3− 2x− y)

0 =∂f

∂y(x, y) = 3x− 2xy − x2 = x(3− 2y − x)

Si x = 0, la primera ecuación nos proporciona:

0 = y(3− y)⇒ y = 0; y = 3

lo cual nos da los puntos críticos (0, 0), (0, 3). Si y = 0, la segunda ecuación nosproporciona:

0 = x(3− x)⇒ x = 0; x = 3

lo cual nos proporciona un nuevo punto crítico: (3, 0). Si x, y 6= 0, dividiendo laprimera ecuación por y ambos miembros y la segunda por x, llegamos al sistema:

0 = 3− 2x− y0 = 3− x− 2y

}⇒ x = 1; y = 1

En de�nitiva, los puntos críticos son:

{(0, 0), (3, 0), (0, 3), (1, 1)}Calculamos ahora el hessiano de la función.

∂2f

∂x2(x, y) = −2y;

∂2f

∂x∂y(x, y) = 3− 2x− 2y;

∂2f

∂y2(x, y) = −2x⇒

227


⇒ H(f)(x, y) =∣∣∣∣

−2y 3− 2x− 2y3− 2x− 2y −2x

∣∣∣∣Sustituyendo en los puntos críticos, obtenemos:

H(f)(0, 0) =∣∣∣∣

0 33 0

∣∣∣∣ = −9 < 0⇒ En (0, 0) hay un punto de silla.

H(f)(0, 3) =∣∣∣∣−6 −3−3 0


H(f)(3, 0) =∣∣∣∣

0 −3−3 −6


H(f)(1, 1) =∣∣∣∣−2 −1−1 −2

∣∣∣∣ = 3 > 0;∂2f

∂x2(1, 1) = −2 < 0 ⇒ En (1, 1) hay

un máximo relativo.

Ejercicio 11.3 En (0, 0) hay un mínimo local. En(−5

3, 0)

se alcanza un máx-imo local. En (−1, 2), (−1,−2) la función presenta puntos de silla.Ejercicio 11.4 En (1, 2) hay un mínimo relativo. En (−1,−2) hay un máximorelativo. En (1,−2), (−1, 2) la función presenta puntos de silla.

Ejercicio 11.5 En (0, 0) el criterio no decide. En(

23,

23

)la función presenta

un mínimo relativo.Ejercicio 11.6 Se alcanzan máximos relativos en los puntos (

√5,√

5), (−√5,−√5).Se alcanzan mínimos relativos en (−√5,

√5), (√

5,−√5).Ejercicio 11.7 Si a = 0, el único punto crítico es el (0, 0), en el que es

el criterio no decide.Si a 6= 0, hay dos puntos críticos. En el (0, 0) la función presenta un puntode silla, ∀a 6= 0. En (a, a), se tiene:• Si a > 0, en dicho punto hay un mínimo local.• Si a < 0, en el punto en cuestión hay un máximo local.

Ejercicio 11.8 Consideramos la función f(x, y, z) = xln(x) + yln(y) + zln(z)con la restricción 0 = g(x, y, z) = x+y+z−1. Formamos la función lagrangiana:L(x, y, z, λ) = f(x, y, z)+λg(x, y, z) = xln(x)+yln(y)+zln(z)+λ(x+y+z−1)

A continuación hallamos los puntos críticos:

0 =∂L∂x

= ln(x) + 1 + λ

0 =∂L∂y

= ln(y) + 1 + λ

0 =∂L∂z

= ln(z) + 1 + λ

0 =∂L∂λ

= x+ y + z − 1

⇒x = e−1−λ

y = e−1−λ

z = e−1−λ

229

Sustituyendo en la última ecuación, llegamos a:

3e−1−λ = 1⇒ e−1−λ =13⇒ −1− λ = −ln(3)⇒

⇒ λ = ln(3)− 1⇒ x = y = z = e−1−ln(3)+1 = e−ln(3) =13

En de�nitiva, tenemos un sólo punto crítico:{(

13,

13,

13

)}para λ = ln(3)− 1.

Ahora estudiamos la condición su�ciente:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1x

0 0 1

01y

0 1

0 01z

1

1 1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

F2−F1;F3−F1=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1x

0 0 1

− 1x

1y

0 0

− 1x

01z

0

1 1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

− 1x

1y

0

− 1x

01z

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=1yz

+1xz

+1xy⇒

⇒ ∆(

13,

13,

13, ln(3)− 1

)= 9 + 9 + 9 = 27 > 0

Por tanto, en el punto(

13,

13,

13

)la función f alcanza un máximo condicionado

a la restricción g.

Ejercicio 11.9 En (−1, 2,−2), (1,−2, 2) f presenta dos mínimos locales condi-cionados.

Ejercicio 11.10 En (−1, 0, 0), (0,−1, 0), (0, 0,−1) el criterio no decide. En(

1√3,

1√3,

1√3

)

y(−1√

3,−1√

3,−1√

3

), la función presenta mínimos relativos condicionados.

Ejercicio 11.11 En (0, 1), f presenta un máximo relativo condicionado. En(1√2,

12

)y en

(−1√2,

12

)la función presenta mínimos relativos condicionados.

Ejercicio 11.12 4 de largo, 4 de ancho y 2 de alto (unidades de longitud)


Ejercicio 11.13(

10003

,1000

3,

10003

)

Ejercicio 11.14 Se producen mínimos relativos condicionados en los puntos(±8√3,±8√

3,±8√

3

)

Ejercicio 11.15 Se alcanzan mínimos relativos en los puntos(−√2,

−3√

22

,−5√

22

),

(√

2,3√

22,

5√

22

)

Ejercicio 11.16 En(p

2,p

2

)se alcanza un máximo relativo condicionado.

Ejercicio 11.17 En(a√2,b√2

)se alcanza un máximo relativo condicionado.

Capítulo 12


12.1. Integrales doblesEjercicio 12.1 Se tiene:

∫ 1

0

∫ 2

0

(x+y) dydx =∫ 1

0

[xy +

12y2

]2

0

dx =∫ 1

0

(2x+2) dx =[x2 + 2x

]10

= 3

136

16π

2

316

Ejercicio 12.2 Tenemos que cambiar el orden en la integral:∫ 4

0

∫ y

0

f(x, y) dxdy

El recinto de integración se describe así:

R = {(x, y) ∈ R2/ 0 ≤ y ≤ 4; 0 ≤ x ≤ y} = {(x, y) ∈ R2/ 0 ≤ x ≤ 4; x ≤ y ≤ 4}

por tanto: ∫ 4

0

∫ y

0

f(x, y) dxdy =∫ 4

0

∫ 4

x

f(x, y) dydx

∫ 1

0

∫ +√y

−√yf(x, y) dxdy

231


Ejercicio 12.3∫ 2

0

∫ 1

0

dxdy = 2

En primer lugar hacemos la integral en el orden en que se encuentra de�ni-da: ∫ 1

0

∫ √1−y2

−√

1−y2dxdy = 2

∫ 1

0

√1− y2 dy =

[1]= 2

∫ π2

0

cos2(t) dt = 2∫ π

2

0

1 + cos(2t)2

dt =

=[t+

12sen(2t)

]π2

0

=π

2


[1] :{

y = sen(t)dy = cos(t) dt

Cambiando el orden de integración llegamos a:

∫ 1

0

∫ √1−y2

−√

1−y2dxdy =

∫ 1

−1

∫ √1−x2

0

dydx =

=∫ 1

−1

√1− x2 dx

integrandopar= 2

∫ 1

0

√1− x2 dx =

π

2

∫ 1

0

∫ 2y

0

dxdy = 1

∫ 4

0

∫ +√

4−x

−√4−xdydx =

323

Ejercicio 12.4 Tenemos que calcular, a través de una integral doble, elárea del recinto limitado por las grá�cas de las funciones:

√x+√y = 2; x = 0; y = 0

En la primera ecuación, se tiene:

x = 0⇒ √y = 2⇒ y = 4

Análogamente:y = 0⇒ √x = 2⇒ x = 4

Además √x+√y = 2⇒ x = (2−√y)2

12.1. INTEGRALES DOBLES 233

Por tanto:

A(R) =∫ 4

0

∫ (2−√y)2

0

dxdy =∫ 4

0

(2−√y)2 dy =

=∫ 4

0

(4 + y − 4y12 ) dy =

[4y +

12y2 − 8

3y

32

]4

0

=83

5

πab

Ejercicio 12.5 12

(e4 − 1)

−4cos(4) + sen(4)

Ejercicio 12.6 8

36

0

Ejercicio 12.7∫ 3

0

∫ 5

0

xy dydx =∫ 5

0

∫ 3

0

xy dxdy =2254

∫ 2

0

∫ 2x

x

y

x2 + y2dydx =

∫ 2

0

∫ y

y2

y

x2 + y2dxdy +

∫ 4

2

∫ 2

y2

y

x2 + y2dxdy =

ln

(52

)

∫ 3

0

∫ √25−y2

4y3

x dxdy =∫ 4

0

∫ 3x4

0

x dydx+∫ 5

4

∫ √25−x2

0

x dydx = 25

Ejercicio 12.8 Tenemos que calcular, usando integrales dobles, el volu-men de la región del espacio limitada por:

z = xy; z = 0; y = x; x = 1

En el plano z = 0, se tiene el área limitada por las grá�cas de y = x yx = 1. Por tanto, se tiene que el volumen es:

V =∫ 1

0

∫ x

0

xy dydx =∫ 1

0

x12[x2]x0dx =

12

∫ 1

0

x3 dx =18[x4]10

=18

323π

4


163

Ejercicio 12.9 Las fórmulas de Wallis a�rman:

Si n es impar, n ≥ 3:∫ π

2

0

cosn(x) dx =(

23

)(45

)(67

)· · ·(n− 1n

)

Si n es par, n ≥ 2:∫ π

2

0

cosn(x) dx =(

12

)(34

)(56

)· · ·(n− 1n

)π

2

Tenemos que calcular el volumen de la región del espacio limitada por lasgrá�cas de las funciones:

z = 4− x2 − y2; z = 0

En el plano z = 0, se tiene la circunferencia x2 + y2 = 4. Por tanto elvolumen es:

V =∫ 2

−2

∫ √4−x2

−√4−x2(4−(x2+y2)) dydx =

∫ 2

−2

(4y − x2y − 1

3y3

)√4−x2

−√4−x2

dx =

=∫ 2

−2

[8√

4− x2 − 2x2√

4− x2 − 23

(4− x2)√

4− x2

]dx =

= 2∫ 2

−2

(83− 2

3x2

)√4− x2 dx =

=83

∫ 2

0

(4− x2)√

4− x2 dx[1]=

83

∫ π2

0

4cos2(t)4cos2(t) dt =

=1283

∫ π2

0

cos4(t) dt Wallis=27

3· 1

2· 3

4· π

2= 8π

donde hemos el hecho el cambio:

[1] :

x = 2sen(t)4− x2 = 4cos2(t)dx = 2cos(t) dt

4π

Ejercicio 12.10 2

83

12.1. INTEGRALES DOBLES 235

Ejercicio 12.11 La probabilidad pedida es 727

Ejercicio 12.12 0

5√

5π6

π2

8+ 1

Ejercicio 12.13 Se trata de un cuadrante de la circunferencia de centro(0, 0) y radio a. Por tanto, haciendo el cambio:

x = rcos(θ)y = rsen(θ)

}⇒ J = r

y por tanto la integral quedaría:∫ a

0

∫ √a2−y2

0

y dxdy =∫ π

2

0

∫ a

0

rsen(θ) · r drdθ =

=∫ π

2

0

sen(θ)13[r3]a0dθ =

13a3

∫ π2

0

sen(θ) dθ =

=13a3 [−cos(θ)]

π20 =

a3

3

9π2

16

Se debe hacer el cambio:

x = 1 + rcos(θ)y = rsen(θ)

}⇒ J = r

La solución es 23

Ejercicio 12.14 163

π2

16

Ejercicio 12.15 18

250π3

128π3


Ejercicio 12.16 Tenemos que calcular la integral:

I =∫ +∞

−∞e−

x22 dx

Esta integral es irrealizable como integral de una función de una sola variable.Sin embargo, haciendo uso de las integrales dobles y del cambio a coordenadaspolares, se puede calcular:

I2 =(∫ +∞

−∞e−

x22 dx

)(∫ +∞

−∞e−

y2

2 dy

)=∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞e−

x2+y2

2 dxdy =

=∫ 2π

0

∫ +∞

0

e−r22 · r drdθ [1]

=∫ 2π

0

∫ 0

−∞et dtdθ =

=∫ 2π

0

[et]0−∞ dθ = 2π ⇒ I =

√2π


[1] :

−r

2

2= t

−r dr = dtr dr = −dt

Ejercicio 12.17 La fórmula para calcular el área de una super�cie:

A =∫ ∫

R

dS =∫ ∫

R

√1 + [fx(x, y)]2 + [fy(x, y)]2 dA

6

12π

27− 5√

512

427

(31√

31− 8)

√2− 1

π

6(17√

17− 1)

12.2. Integrales triplesEjercicio 12.18 Se tiene:

∫ 3

0

∫ 2

0

∫ 1

0

(x+ y + z) dxdydz =

12.2. INTEGRALES TRIPLES 237

=∫ 3

0

∫ 2

0

[12x2 + xy + xz

]1

0

dydz =∫ 3

0

∫ 2

0

(12

+ y + z

)dydz =

=∫ 3

0

[12y +

12y2 + zy

]2

0

dz =∫ 3

0

(1 + 2 + 2z) dz =∫ 3

0

(3 + 2z) dz =

=[3z + z2

]30

= 18

110

152

(1− 1

e

)

7299

12815

Ejercicio 12.19 Usando las integrales triples, tenemos que determinar elvolumen del sólido determinado por las super�cies de ecuaciones:

x = 4− y2; z = 0; z = x

El cuerpo limitado por estas super�cies está limitado por las siguientesinecuaciones:

0 ≤ x ≤ 4; −√4− x ≤ y ≤ +√

4− x; 0 ≤ z ≤ x

por tanto:

V =∫ 4

0

∫ √4−x

−√4−x

∫: 0x dzdydx = 2

∫ 4

0

x√

4− x dx =

= 2∫ 4

0

x

√4(

1− x

4

)dx = 4

∫ 4

0

x

√1− x

4dx =

[1]= 4 · 4 · 4

∫ 1

0

t√

1− t dt = 64∫ 1

0

t(1− t) 12dt = 64β

(2,

32

)=

= 64Γ(2) · Γ

(32

)

Γ(

2 +32

) = 64 ·12√π

52· 3

2· 1

2√π

=25615

25615

Ejercicio 12.20 8


5245

π2

16(1− e−8)

0

Ejercicio 12.21 Sólo hay que tener en cuenta los jacobianos de los cambios devariable. Éstos son:

De cartesianas a cilíndricas: J = r.

De cartesianas a esféricas: J = ρ2sen(φ)

La siguiente tabla muestra los resultados del ejercicio:

Cilíndricas Esféricas∫ 2π

0

∫ 2

0

∫ 4

r2r2cos(θ) dzdrdθ

∫ 2π

0

∫ π2

0

∫ 4cos(φ)

0

ρ3sen2(φ)cos(θ) dρdφdθ∫ 2

0

∫ π2

0

∫ √16−r2

0

r2 dzdθdr

∫ π2

0

∫ π2

0

∫ √12

cos(φ)

4cos(φ)

ρ3sen2(φ) dρdφdθ

∫ 2π

0

∫ a

0

∫ a+√a2−r2

a

r2cos(θ) dzdrdθ∫ π

4

0

∫ 2π

0

∫ 2acos(φ)

acos(φ)

ρ3sen2(φ)cos(θ) dρdθdφ

∫ π2

0

∫ 1

0

∫ √1−r2

0

√r2 + z2r dzdrdθ

∫ π2

0

∫ 1

0

∫ π2

0

ρ3sen(φ) dρdφdθ

Y ahora los resultados:Resultado

0

32π

[π

12−√

38

]

0π

8

Capítulo 13


Ejercicio 13.1 ∇f(x, y) = (10x+ 3y, 3x+ 20y)

∇f(x, y) = (3cos(3x)cos(4y),−4sen(3x)sen(4y))

∇f(x, y, z) = (−yex,−ex, 1)

∇f(x, y, z) =(−zx2− z

y,

1z

+xz

y2,−yz2

+1x− x

y

)

∇f(x, y) =(yln(x+ y) +

xy

x+ y, xln(x+ y) +

xy

x+ y

)

∇f(x, y, z) =

(arcsen(yz),

xz√1− y2z2

,xy√

1− y2z2

)

Ejercicio 13.2 Tenemos que estudiar el campo F (x, y) = (2xy, x2). Sean:

M(x, y) = 2xy; N(x, y) = x2

las funciones componentes del campo F . Entonces:

∂M

∂y(x, y) =

∂N

∂x(x, y) = 2x

por lo tanto, F es conservativo y existe, pues, una función potencial f/ ∇f =F . Ahora bien:∂f

∂x(x, y) = 2xy ⇒ f(x, y) =

∫2xy dx+ g(y) +K1 = x2y + g(y) +K1

∂f

∂y(x, y) = x2 ⇒ f(x, y) =

∫x2 dy + h(x) +K2 = x2y + h(x) +K2

Tomando g(y) = h(x) = K1 = K2 = 0, se tiene que una función potencialpara el campo F es f(x, y) = x2y

239


Sea ahora el campo F (x, y) = xex2y(2y, x) y sean:

M(x, y) = xex2y2y; N(x, y) = xex

2yx


∂M

∂y(x, y) = x3ex

2y2y + 2xex2y = 2xex

2y(1 + yx2)

∂N

∂x(x, y) = 2xex

2y + x2yex2y = xex

2y(2 + xy)

por lo tanto, F es no conservativo.

F no es conservativo.

F es conservativo. f(x, y) = x2y3.

F es conservativo. f(x, y) = ln(√x2 + y2)



F es conservativo. f(x, y) = − 1x2 + y2

Tenemos que estudiar el campo F (x, y, z) = (sen(y),−xcos(y), 1). Sean:

P (x, y, z) = sen(y); Q(x, y, z) = −xcos(y); R(x, y, z) = 1


Rot(F ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zP (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zsen(y) −xcos(y) 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=

= 0 ·~i+ 0 ·~j − 2cos(y) · ~k = (0, 0,−2cos(y)) 6= (0, 0, 0)



F es conservativo. f(x, y, z) = xyez.

F es conservativo. f(x, y, z) = x3y2z.

Tenemos que estudiar el campo F (x, y, z) =(

1y,− x

y2, 2z − 1

). Sean:

P (x, y, z) =1y

; Q(x, y, z) = − x

y2; R(x, y, z) = 2z − 1

241


Rot(F ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zP (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

1y− x

y22z − 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

=(

0, 0,− 1y2

+1y2

)= (0, 0, 0)

luego, F es conservativo, por tanto, existe una función potencial f/ ∇f =F . Se tiene:

∂f

∂x=

1y⇒ f(x, y, z) =

x

y+ g(y, z) +K1

∂f

∂x=−xy2⇒ f(x, y, z) =

x

y+ h(x, z) +K2

∂f

∂x= 2z − 1⇒ f(x, y, z) = z2 − z + j(x, y) +K3

tomando K1 = K2 = K3 = 0; g(y, z) = h(x, z) = z2 − z; j(x, y) =x

y, se

tiene que una función potencial para F es:

f(x, y, z) =x

y+ z2 − z

F es conservativo. f(x, y, z) = ln(√x2 + y2) + z.

Ejercicio 13.3 Rot(F ) =(

0, 0,2x

x2 + y2

)

Rot(F ) =(

x2

(x− y)2− x2

(x− z)2,

y2

(x− y)2+

y2

(y − z)2,−z2

(x− z)2+

z2

(y − z)2

)

Rot(F ) = (cos(y − z), cos(z − x), cos(x− y))

Rot(F ) =

(y − z√

x2 + y2 + z2,

z − x√x2 + y2 + z2

,x− y√

x2 + y2 + z2

)

Ejercicio 13.4 Se consideran los campos:

F (x, y, z) = (1, 2x, 3y); G(x, y, z) = (x, y, z)

Entonces:

(F ×G)(x, y, z) =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k1 2x 3yx y z

∣∣∣∣∣∣= (2xz − 3y2, 3xy − z, y − 2x2)


y por tanto

Rot(F ×G)(x, y, z) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

2xz − 3y2 3xy − z y − 2x2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (2, 6x, 9y)

Se tiene:(F ×G)(x, y, z) = (xy,−xz2 − x3, xy)

y por tanto

Rot(F ×G)(x, y, z) = (x+ 2xz,−y,−z2 − 3x2 − x)

Ejercicio 13.5 Se tiene:

Rot(F ) = (0, xy,−xz)⇒ Rot(Rot(F )) = (0, z, y)

Se tiene:

Rot(F ) = (z + 2x, x2,−2z)⇒ Rot(Rot(F )) = (0, 1, 2x)

Se tiene:Rot(F ) = (0, 0, 0)⇒ Rot(Rot(F )) = (0, 0, 0)

Se tiene:Rot(F ) = e−xyz(xy − xz, yz − xy, xz − yz)⇒

⇒ Rot(Rot(F )) = e−xyz(−x2z2 + xyz2 − z + xy2z − x2y2 − y,, xyz2 − y2z2 − z − x2y2 + x2yz − x,−y2z2 + xy2z − y + x2yz − x2z2 − x)

Ejercicio 13.6 El teorema de la divergencia nos garantiza que:

div(Rot(F )) = 0

para todo campo vectorial F . En este ejercicio se trata de comprobar este resultado.

Ejercicio 13.7 Se trata de utilizar las de�niciones de los conceptos que apare-cen y los resultados conocidos sobre divergencia y rotacional para demostrar estaspropiedades.

Hay que demostrar que:

Rot(F +G) = Rot(F ) +Rot(G)

Escribamos los campos vectoriales:

F = (F1, F2, F3); G = (G1, G2, G3)

243

La clave de la demostración de esta propiedad está en una de las propiedadesde los determinantes que permite descomponer un determinante en sumade dos cuando cada uno de los elementos de una de las �las es suma dedos sumandos, a saber:

RoT (F +G) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

F1 +G1 F2 +G2 F3 +G3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

G1 G2 G3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Rot(∇f) = ∇ × ∇F . Si ∇F es continuo, gracias al teorema de Schwarzde derivadas cruzadas, se tiene Rot(∇f) = θ

div(F +G) = div(F ) + div(G)

div(F ×G) = Rot(F ) ·G− F ·Rot(G)

∇× [∇f + (∇× f)] = ∇× (∇× f)

∇× (fF ) = f(∇× F ) +∇f × Fdiv(fF ) = fdiv(F ) +∇f · F

Ejercicio 13.8 Consideramos el campo vectorial F (x, y, z) = (x, y, z) y la fun-ción real f(x, y, z) = ||F (x, y, z)||) =

√x2 + y2 + z2

∇(ln(f)) =F

f2

∇(

1f

)= − F

f3

∇(fn) = n · fn−2 · F ; ∀n ∈ N. Vamos a demostrar esta propiedad porinducción en n.

• n = 1. Hay que demostrar:

∇f = f−1 · FCalculando directamente:

∇(√x2 + y2 + z2) =

(x√

x2 + y2 + z2,

y√x2 + y2 + z2

,z√

x2 + y2 + z2

)=

=F

f= f−1 · F


• n ⇒ n + 1. Suponemos ahora que la tesis es cierta para el valorn, es decir,∇(fn) = n · fn−2 · F (esta suposición se llama hipótesisinducción (HI)) y hay que demostrar ahora:

∇(fn+1) = (n+ 1)fn−1 · F

Efectivamente:

∇(fn+1) = ∇(f · fn)prop.∇

= ∇f · f + f · ∇(fn) =

n=1+HI= f−1 · F · fn + f · n · fn−2 · F = fnf−1F + nfn−1F =

= fn−1F + nfn−1F = (n+ 1)fn−1F

como queríamos demostrar.

Ejercicio 13.9 10

2√

23√

65[π

2+

83π3

]

49920

Ejercicio 13.10 9

333π

2

4π

Ejercicio 13.11 19√

26

57√

102

19(1 +√

2)6

343

Ejercicio 13.12 356

−403

0

245

−1715

π6

192

Ejercicio 13.13 25

663647102203

5− 12π2

Ejercicio 13.14 • 1115

• 116

• 40

• 40

• 2776

• 2776

• −ln(2 +√

3)

• −ln(2 +√

3)

Ejercicio 13.15 1

0

• 0

• −13

• −12

ln

(13

)

• 64

• 0


• 0

• 0

• 0

• −10

• 12e4 − 3e2 +

52

• 0

• 643

• 643

• 640

• −83

• 32

• 32

• −2

• 12

• 23

• 176

• 0

• 0

• 0

• 0

Ejercicio 13.16 24

25

−1

− π

12

0

2

11

27

247

Ejercicio 13.17 F es conservativo.

−π0

Ejercicio 13.18 43

2π

56

15π

Ejercicio 13.19 323

−4

0

0

0

Ejercicio 13.20 πa2

323

Apéndice A

Ecuaciones rectangulares dealgunas curvas planas

A.1. Rectasy = mx+ p

Ax+By = C

x

a+y

b= 1

A.2. CircunferenciasCircunferencia de centro (x0, y0) y radio R:

(x− x0)2 + (y − y0)2 = R2

Ecuación general de la circunferencia:

Ax2 +By2 + Cxy +Dx+ Ey + F = 0; A = B; C = 0

A.3. CónicasElipse

x2

a2+y2

b2= 1

Hipérbolax2

a2− y2

b2= 1

La ecuación referida a sus asíntotas es:

xy = k2

249

250APÉNDICE A. ECUACIONES RECTANGULARES DE ALGUNAS CURVAS PLANAS

Parábolay2 = 2px

Ecuación general de una cónica:

Ay2 +Bxy + Cx2 +Dy + Ex+ F = 0

• B2 − 4AC < 0⇒ una elipse o un punto.• B2 − 4AC > 0⇒ una hipérbola o dos rectas no paralelas.• B2−4AC = 0⇒ una parábola o bien dos rectas paralelas o bien una

recta.

A.4. Cisoide

y = ±x√

x

2a− x

A.5. Estrofoide

y = ±x√a+ x

a− x

A.6. Lemniscata

(x2 + y2)2 − 2a2(x2 − y2) = 0

Apéndice B

Ecuaciones polares de algunascurvas planas

B.1. CardioidesEcuaciones: {

ρ = a(1± cos(θ))ρ = a(1± sen(θ)) ; a > 0

ρ = a(1± cos(θ)) es simétrica respecto al eje polar.

ρ = a(1± sen(θ)) es simétrica respecto al eje θ =π

2.

En todos los casos, el punto singular del corazón se encuentra en el (0, 0)

Puntos de corte con los ejes:

• ρ = a(1 + cos(θ)) : {(2a, 0), (0, 0), (0, a), (0,−a)}• ρ = a(1− cos(θ)) : {(−2a, 0), (0, 0), (0, a), (0,−a)}• ρ = a(1 + sen(θ)) : {(0, 2a), (0, 0), (a, 0), (−a, 0)}• ρ = a(1− sen(θ)) : {(0,−2a), (0, 0), (a, 0), (−a, 0)}

B.2. LemniscatasEcuaciones: {

ρ2 = a2cos(2θ)ρ2 = a2sen(2θ)

• ρ2 = a2cos(2θ); θ ∈[−π

4,π

4

]

• ρ2 = a2sen(2θ); θ ∈[0,π

2

]

251

252APÉNDICE B. ECUACIONES POLARES DE ALGUNAS CURVAS PLANAS

Para cada valor de θ en su dominio, existen dos puntos en la curva, corre-spondientes a las dos determinaciones de ρ; positiva y negativa. Estos dospuntos son, pues, simétricos respecto al polo (0, 0)

ρ2 = a2cos(2θ) es simétrica respecto al eje polar y la longitud máxima decada rama del orbital es a.

ρ2 = a2sen(2θ) es simétrica respecto a la recta θ =π

4y la longitud máxima

de cada rama del orbital es a.

B.3. CaracolesEcuaciones: {

ρ = a± bcos(θ)ρ = a± bsen(θ)) ; a, b > 0; a 6= b

ρ = a± bcos(θ) es simétrica respecto al eje polar.

ρ = a± bsen(θ) es simétrica respecto al eje θ =π

2.

El signo + orienta la �gura hacia la parte positiva del eje polar.

El signo − orienta la �gura hacia la parte negativa del eje polar.

0 <a

b< 1⇒ caracol con lazo interno.

1 <a

b< 2⇒ caracol con hoyuelo.

0 <a

b< 1⇒ caracol con lazo interno.

a

b≥ 2⇒ caracol convexo.

B.4. RosasEcuaciones: {

ρ = acos(nθ)ρ = asen(nθ)) ; a > 0

Si n es impar, la rosa tiene n pétalos.

Si n es par, la rosa tiene 2n pétalos.

Todos los pétalos tienen la misma longitud: a.

ρ = acos(nθ) es simétrica respecto al eje polar.

ρ = asen(nθ) es simétrica respecto a la recta θ =π

2.

B.5. CIRCUNFERENCIAS 253

Valores de θ para los que se obtienen los ejes de los pétalos:

• ρ = acos(nθ):

◦ n par:{kπ

n; k = 0, 1, · · · , 2n− 1

}

◦ n impar:{

2kπn

; k = 0, 1, · · · , n− 1}

• ρ = asen(nθ):

◦ n par:{

(2k + 1)π2n

; k = 0, 1, · · · , 2n− 1}

◦ n impar:{

(4k + 1)π2n

; k = 0, 1, · · · , n− 1}

B.5. Circunferenciasρ = a; a > 0: Circunferencia de centro (0, 0) y radio a.

ρ = acos(θ); a ∈ R: Circunferencia de centro(a

2, 0)y radio |a|

2.

ρ = asen(θ); a ∈ R: Circunferencia de centro(

0,a

2

)y radio |a|

2.

Cuando θ recorre el intervalo [0, 2π) cada circunferencia de los dos últimostipos se recorre dos veces.

ρ2−2ρ(x0cos(θ)+y0sen(θ))+(x20 +y2

0−R2) = 0: Circunferencia de centro(x0, y0) y radio R

B.6. Rectasθ = θ0: recta que pasa por el polo (0, 0) y tiene de pendiente tg(θ)

ρ =A

Bsen(θ) + Ccos(θ)o bien ρ =

1Msen(θ) +Ncos(θ)

B.7. Cónicas

ρ =1

1− ecos(θ)e = 1⇒ parábola

e < 1⇒ elipse

e > 1⇒ hipérbola

254APÉNDICE B. ECUACIONES POLARES DE ALGUNAS CURVAS PLANAS

B.8. EspiralesDe Arquímedes: ρ = aθ

Hiperbólica ρ =a

θ

Logarítmica ρ = aeθ

Apéndice C

Ecuaciones paramétricas dealgunas curvas planas

C.1. RectasRecta que pasa por (x0, y0) en la dirección del vector ~u = (α, β)

{x = x0 + αty = y0 + βt

; t ∈ R

C.2. CircunferenciasCircunferencia de centro (x0, y0) y radio R:

{x = x0 +Rcos(t)y = y0 +Rsen(t) ; t ∈ [0, 2π)

C.3. CónicasParábola:

x =t2

2py = t

; t ∈ R

Elipse: {x = x0 + asen(t)y = y0 + bsen(t) ; t ∈ R; a 6= b

Hipérbola: {x =

a

cos(t)y = btg(t)

; t ∈ R

255

256APÉNDICE C. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE ALGUNAS CURVAS PLANAS

C.4. Cicloide{x = R(t− sen(t))y = R(1− cos(t)) ; t ∈ R

C.5. Folium de Descartes

x =3at

1 + t3

y =3at2

1 + t3

; t ∈ R

Apéndice D

Ecuaciones rectangulares dealgunas super�cies

D.1. CuádricasElipsoide

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

Traza PlanoElipse paralelo al plano xyElipse paralelo al plano xzElipse paralelo al plano yz

La super�cie es una esfera si a = b = c 6= 0

Hiperboloide de una hoja

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1

Traza PlanoElipse paralelo al plano xy

Hipérbola paralelo al plano xzHipérbola paralelo al plano yz

El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coe�ciente es nega-tivo.

Hiperboloide de dos hojas

−x2

a2− y2

b2+z2

c2= 1

257

258APÉNDICE D. ECUACIONES RECTANGULARES DE ALGUNAS SUPERFICIES



El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coe�ciente es posi-tivo. No hay traza en el plano coordenado perpendicular a este eje.

Cono elípticox2

a2+y2

b2− z2

c2= 0



El eje del cono corresponde a la variable cuyo coe�ciente es negativo. Lastrazas en los planos coordenados paralelos a ese eje son rectas que secortan.

Paraboloide elípticoz =

x2

a2+y2

b2


Parábola paralelo al plano xzParábola paralelo al plano yz

El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la potenciaunidad.

Paraboloide hiperbólicoz =

y2

b2− x2

a2

Traza PlanoHipérbola paralelo al plano xyParábola paralelo al plano xzParábola paralelo al plano yz

El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la potenciaunidad.

Apéndice E

Exámenes de años anteriores

E.1. 10 de Febrero de 20041. Para cada uno de los siguientes subconjuntos de R3, estudia si es o no un

subespacio vectorial. Para aquellos que lo sean, escribe unas ecuacionesparamétricas y unas ecuaciones implícitas del mismo. Calcula una base yescribe su dimensión.

a) A = {(x1, x2, x3) ∈ R3/x1 + x2 = 0; x22 − x3 = 0}

b) B = {(x1, x2, x3) ∈ R3/x1 + x2 = 0; x2 − x3 = 0}c) C = {(λ, λ− µ, µ)/λ, µ ∈ R}Solución:

a) ~u(1,−1, 1), ~v(3,−3, 9) ∈ A y sin embargo ~u+ ~v = (4,−4, 10) 6∈ A yaque (−4)2− 10 6= 0. Por tanto A no es un subespacio vectorial de R3

b) Sean ~u(x1, x2, x3), ~v(y1, y2, y3) ∈ B. Por tanto, se tienen las siguientesigualdades: x1 + x2 = 0; x2− x3 = 0; y1 + y2 = 0; y2− y3 = 0. Seanademás α, β ∈ R. Entonces:

α~u+ β~v = (αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3) ∈ B

En efecto:

αx1 + βy1 + αx2 + βy2 = α(x1 + x2) + β(y1 + y2) = α · 0 + β · 0 = 0

αx2 + βy2 − αx3 − βy3 = α(x2 − x3) + β(y2 − y3) = α · 0 + β · ,0 = 0

Por tanto, B es un subespacio vectorial de R3

1) Ecuaciones implícitas de B:{x1 + x2 = 0x2 − x3 = 0

259

260 APÉNDICE E. EXÁMENES DE AÑOS ANTERIORES

2) Ecuaciones paramétricas de B:

x1 = −λx2 = λx3 = λ

3) Base de B : {(−1, 1, 1)}4) dim(B) = 1

c) Sean ~u(λ, λ − µ, µ), ~v(λ′, λ′ − µ′, µ′) ∈ C. Sean además α, β ∈ R.Entonces:

α~u+β~v = (αλ+βλ′, αλ−αµ+βλ′−βµ′, αµ+βµ′) = (λ′′, λ′′−µ′′, µ′′) ∈ C

llamando λ′′ = αλ + βλ′; µ′′ = αµ + βµ′. Por tanto, C es un sube-spacio vectorial de R3

1) Ecuaciones implícitas de C:{ −x1 + x2 + x3 = 0

2) Ecuaciones paramétricas de C:

x1 = λx2 = λ− µx3 = µ

3) Base de C : {(1, 1, 0), (0,−1, 1)}4) dim(C) = 1

�

2. Sean a, c, d ∈ R. Se considera la matriz:

A =(a 0c d

)

Estudia la diagonalización sobre R de A en función de a, c, d. En los casosen que A sea diagonalizable sobre R, halla una forma diagonal y una matrizde paso.Solución: Si c = 0, entonces A es una matriz diagonal, y el problema estrivial. Suponemos a continuación que c 6= 0 y realizamos el proceso dediagonalización de A:

a) Polinomio característico de A : λ2 − (a+ d)λ+ ad

b) Autovalores de A : λ1 = a; λ2 = d. Distinguimos ahora los siguientescasos:1) a 6= d. Entonces A tiene autovalores reales distintos, por tanto


E.1. 10 DE FEBRERO DE 2004 261

a ′ Ecuaciones implícitas de V (λ1):{cx1 + (a− d)x2 = 0

b′ Ecuaciones paramétricas de V (λ1):

x1 = µ

x2 =(

c

a− d)µ

c′ Base de V (λ1) : {(a− d, c)}d ′ Ecuaciones implícitas de V (λ2):

{x1 = 0

e ′ Ecuaciones paramétricas de V (λ2):{x1 = 0x2 = µ

f ′ Base de V (λ2) : {(0, 1)}g ′ Forma diagonal de A:

D =(a 00 d

)

h ′ Matriz de paso:P =

(a− d 0c 1

)

2) a = d Entonces A tiene un único autovalor λ = a; m = 2. Eneste caso:a ′ Ecuaciones implícitas de V (λ):

{x1 = 0

Por tanto, dim(V (λ)) = 1 6= m = 2, y de aquí que este casoA no sea diagonalizable:

�

3. Escribe en forma polar y binómica el resultado de efectuar las siguientesoperaciones con números complejos:

[(√

3 + i)

(32− 3√

32i

)]6

√2

2+√

22i

Solución: Si escribimos en forma polar todos los números complejos queintervienen en la operación que tenemos que realizar, tendremos:


a)√

3 + i = 230o

b) 32− 3√

32i = 3300o

c)√

22

+√

22i = 145o

Por tanto:[

(√

3 + i)

(32− 3√

32i

)]6

√2

2+√

22i

=(230o · 3300o)6

145o=

=(6330o)6

145o=

466561980o

145o=

46656180o

145o= 46656135o =

= −23328√

2 + 23328√

2i

�

4. Desarrolla por Mc-Laurin la función f(x) = cos(ax), siendo a ∈ R. Paraello, escribe el polinomio de Taylor de grado 2n más su término comple-mentario correspondiente.Solución: Si observamos las primeras derivadas de la función:

f(x) = cos(ax) ⇒ f(0) = 1f ′(x) = −asen(ax) ⇒ f ′(0) = 0f ′′(x) = −a2cos(ax) ⇒ f ′′(0) = −a2

f ′′′(x) = a3sen(ax) ⇒ f ′′′(0) = 0f4)(x) = a4cos(ax) ⇒ f4)(0) = a4

Podemos inferir:

f2n)(x) = (−1)na2ncos(ax); ∀n ∈ N⇒ f2n)(0) = (−1)na2n

f2n+1)(x) = (−1)n+1a2n+1sen(ax); ∀n ∈ N ∪ {0}De aquí la fórmula correspondiente del desarrollo de Mc-Laurin de f(x) =cos(ax):

cos(ax) = 1−a2

2!x2+

a4

4!x4−· · ·+(−1)n

a2n

(2n)!x2n+(−1)n+1 a2n+1

(2n+ 1)!sen(at)x2n+1

con t entre 0 y x. �

E.2. 2 DE JULIO DE 2004 263

E.2. 2 de Julio de 20041. Sea F el subespacio vectorial de R3 generado por los vectores:

{(1, 3, 5), (0, 1,−2), (1, 1, 9)}a) Halla una base de F y su dimensión.b) Escribe unas ecuaciones paramétricas de F .c) Escribe unas ecuaciones implícitas de F .Solución: En primer lugar, tiene que

Rg

1 0 13 1 15 −2 9

= 2

, por tanto, dim(F) = 2 y una base de F está formada por ejemplo porlos dos primeros vectores {(1, 3, 5), (0, 1,−2)}. De ahí que unas ecuacionesparamétricas de F sean:

x = λy = 3λ+ µz = 5λ− 2µ

Resolviendo el determinante correspondiente, obtenemos la única ecuaciónimplícita de de este subespacio:

0 =

∣∣∣∣∣∣

x 1 0y 3 1z 5 −2

∣∣∣∣∣∣= −11x+ 2y + z

�

2. Construye una matriz A ∈M2×2(R) con todos los elementos no nulos quetenga por autovalores λ1 = 3 y λ2 = −2.Solución: Si los autovalores de A han de ser λ1 = 3; λ2 = −2, la ecuacióncaracterística será λ2 − λ− 6 = 0. Por otra parte, si

A =(a bc d

)

entonces la ecuación característica es λ2 − (a+ d)λ+ ad− bc = 0. Identif-icando coe�cientes, llegamos al sistema:

a+ d = 1ad− bc = −6

}

. Basta encontrar una solución particular de este sistema, por ejemplo:

A =

12

52

52

12


�

3. Escribe el polinomio de grado 5 que mejor aproxima a la función y = tg(x)en un entorno de x = 0.Solución: Realizamos las derivadas sucesivas de la función f(x) = tg(x)(⇒f(0) = 0):

f ′(x) = 1 + tg2(x)⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = 2tg(x) + 2tg3(x)⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = 2 + 8tg2(x) + 6tg4(x)⇒ f ′′′(0) = 2

f IV (x) = 16tg(x) + 40tg3(x) + 24tg5(x)⇒ f IV (0) = 0

fV (x) = 16 + 120tg2(x) + 240tg4(x) + 120tg6(x)⇒ fV (0) = 16

Por tanto, el polinomio de Taylor de grado 5 de f(x) en x = 0 es:

P0,5(x) = x+13x3 +

215x5

�

4. Calcula la determinación principal de ln(−1− i)Solución: Se tiene:

| − 1− i| =√

2; arg(−1− i) =5π4

de donde:ln(−1− i) =

12ln(2) + i

5π4

�

5. Calcula la integral:∫ 1

0

ln(x) dx

Solución: Se trata de una integral impropia de 2a especie, ya que la funcióny = ln(x) no está acotada en un entorno de x = 0. Efectuamos la integralpor partes, con el siguiente cambio:

{u = ln(x) ⇒ du =

1xdx

dv = dx ⇒ v = x

Por tanto:∫ 1

0

ln(x) dx = [x · ln(x)]10 −∫ 1

0

dx = − lımx→0

x · ln(x)− 1 = (0 · ∞) =

= − lımx→0

ln(x)1x

− 1 =(∞∞)

= − lımx→0

1x

− 1x2

− 1 = lımx→0

x− 1 = −1

�

E.2. 2 DE JULIO DE 2004 265

6. Dada la función f(x, y) = x−√y, analiza las curvas de nivel asociadas aella.Solución: Las curvas de nivel tienen por ecuación f(x, y) = c ∈ R. Portanto:

x−√y = c⇔ √y = x− c⇔ y = (x− c)2

Se trata, pues de parábolas verticales con las ramas hacia el semiplanosuperior y con vértices en los puntos (c, 0), es decir, en todos los puntosdel eje X.�

7. Usando coordenadas polares, calcula detalladamente:

lım(x,y)→(0,0)

xy3

x2 + y2

Solución: Hacemos el cambio a coordenadas polares x = ρcos(θ); y =ρsen(θ). Tras este cambio, la función quedaría como:

f(ρ, θ) =ρ4cos(θ)sen3(θ)

ρ2= ρ2cos(θ)sen3(θ)

Como la función se puede escribir en la forma f(ρ, θ) = h(ρ)g(θ), conlımρ→0

h(ρ) = 0 y |g(θ)| ≤ 1; ∀ θ ∈ R3, se llega a que:

lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0

�

8. Se considera la función f(x, y) = arctg (e−xy). Calcula D~uf(0, 1), siendo~u = (1, 1)

Solución: Dada la función f(x, y) = arctg(e−xy), que es diferenciable porálgebra y composición de funciones diferenciables, usamos:

D~uf(0, 1) = ∇f(0, 1) · ~u; ||~u|| = 1

de donde tomaremos como vector, ~u =(

1√2,

1√2

). Tenemos entonces:

∂f

∂x(x, y) =

−ye−xy1 + e−2xy

⇒ ∂f

∂x(0, 1) = −1

2

∂f

∂y(x, y) =

−xe−xy1 + e−2xy

⇒ ∂f

∂y(0, 1) = 0

D~uf(0, 1) = ∇f(0, 1) · ~u =(−1

2, 0)·(

1√2,

1√2

)= −√

24

�


9. Calcula dz(

0,π

2

), siendo z = x2 + 3xysen(y)

Solución: Se considera la función z = x2 + 3xysen(y). Se sabe que:

dz(

0,π

2

)= zx

(0,π

2

)dx+ zy

(0,π

2

)dy

Por tanto:zx = 2x+ 3ysen(y)⇒ zx

(0,π

2

)=

3π2

zy = 3xsen(y) + 3xycos(y)⇒ zy

(0,π

2

)= 0

de donde:dz(

0,π

2

)=

3π2dx

�

10. Halla ∂w

∂s(4, 3) y ∂w

∂t(4, 3), con w =

x2

9+y2

4; x = 3scos(t); y = 2ssen(t)

a) Haciendo previamente la composición de funciones.b) Usando la regla de la cadena.

Solución: Consideramos w(x, y) =x2

9+y2

4; x(s, t) = 3scos(t); y(s, t) =

2ssen(t).

a) Hacemos previamente la composición:

w(s, t) = w(x(s, y), y(s, t)) = w(3scos(t), 2ssen(t)) =9s2cos2(t)

9+

4s2sen2(t)4

= s2

de donde:∂w

∂s= 2s⇒ ∂w

∂s(4, 3) = 8

∂w

∂t= 0⇒ ∂w

∂t(4, 3) = 0

b) Usamos ahora la regla de la cadena. Teniendo en cuenta que x(4, 3) =12sen(3); y(4, 3) = 8sen(3), necesitamos antes las siguientes derivadas:

∂w

∂x=

2x9⇒ ∂w

∂x(12cos(3), 8sen(3)) =

24cos(3)9

∂w

∂y=y

2⇒ ∂w

∂y(12cos(3), 8sen(3)) = 4sen(3)

∂x

∂s= 3cos(t)⇒ ∂x

∂s(4, 3) = 3cos(3)

∂y

∂s= 2sen(t)⇒ ∂y

∂s(4, 3) = 2sen(3)

E.2. 2 DE JULIO DE 2004 267

∂x

∂t= −3ssen(t)⇒ ∂x

∂t(4, 3) = −12sen(3)

∂y

∂t= 2scos(t)⇒ ∂y

∂t(4, 3) = 8cos(3)

Ya estamos en condiciones de aplicar la regla de la cadena:

∂w

∂s(4, 3) =

∂w

∂x(12cos(3), 8sen(3))·∂x

∂s(4, 3)+

∂w

∂y(12cos(3), 8sen(3))·∂y

∂s(4, 3) =

=24cos(3)

9· 3cos(3) + 4sen(3) · 2sen(3) = 8cos2(3) + 8sen2(3) = 8

∂w

∂t(4, 3) =

∂w

∂x(12cos(3), 8sen(3))·∂x

∂t(4, 3)+

∂w

∂y(12cos(3), 8sen(3))·∂y

∂t(4, 3) =

=24cos(3)

9·−12sen(3)+4sen(3)·8cos(3) = −32sen(3)cos(3)+32sen(3)cos(3) = 0

�

11. Sea h : R3 → R la función de�nida por:

h(x, y, z) = 3x3z + 2xyez

¾De�ne la ecuación h(x, y, z) = 2 a z como función implícita de x e y en unentorno del punto (1, 1, 0)? . En caso a�rmativo, calcula zx(1, 1); zy(1, 1)

Solución: Consideramos h(x, y, z) = 3x3z + 2xyez. En primer lugar, com-probamos que el punto (1, 1, 0) satisface la ecuación h(x, y, z) = 2. Enefecto: h(1, 1, 0) = 0 + 2 · 1 · 1 · 1 = 2. Se tiene ahora:

∂h

∂z(x, y, z) = 3x3 + 2xyez ⇒ ∂h

∂z(1, 1, 0) = 5 6= 0

, de donde se deduce que h(x, y, z) = 2 de�ne a z como función implícitade x, y en un entorno del punto (1, 1, 0). Derivando parcialmente respectoa x y respecto a y la ecuación 3x3z+ 2xyez = 2, y teniendo en cuenta quez = z(x, y) en un entorno de (1, 1, 0), tenemos:

9x2z + 3x3zx + 2yez + 2xyezzx = 0⇒ zx = − 9x2z + 2yez

3x3 + 2xyez⇒

⇒ zx(1, 1) = −25

3x3zy + 2xez + 2xyezzy = 0⇒ zy = − 2xez

3x3 + 2xyez⇒

⇒ zy(1, 1) = −25

�


12. Halla los extremos relativos de la función f(x, y) = (x2+y2)2−2a2(x2−y2)con a 6= 0.Solución: Consideramos la función f(x, y) = (x2 +y2)2−2a2(x2−y2), cona ∈ R a 6= 0. Hallamos en primer lugar los puntos críticos:

0 = fx = 2(x2 + y2)2x− 4a2x = 4x(x2 + y2 − a2)0 = fy = 2(x2 + y2)2y + 4a2y = 4y(x2 + y2 + a2)

}

Para resolver este sistema, usamos la segunda ecuación ya que al ser a 6= 0,se tiene x2+y2+a2 6= 0 y por tanto, la única opción es y = 0. Sustituyendoen la primera ecuación del sistema, se llega a:

4x(x2 − a2) = 0⇒ x = 0, a,−a

Esto es, tenemos tres puntos críticos, a saber:

{(0, 0), (a, 0), (−a, 0)}

Calculamos ahora la matriz hessiana de f en estos puntos.

∂2f

∂x2= 12x2 + 4y2 − 4a2

∂2f

∂y∂x= 8xy =

∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y2= 4x2 + 12y2 + 4a2

Y ahora, sustituyendo, tenemos:

H(f)(0, 0) =( −4a2 0

0 4a2

)

Como |H(f)(0, 0)| = −16a4 < 0, se tiene que f tiene en (0, 0) un puntode silla.

H(f)(a, 0) =(

8a2 00 8a2

)

Como |H(f)(a, 0)| = 64a4 > 0;∂2f

∂x2(a, 0) = 8a2 > 0, se tiene que f tiene

en (a, 0) un mínimo local.

H(f)(−a, 0) =(

8a2 00 8a2

)

Como |H(f)(−a, 0)| = 64a4 > 0;∂2f

∂x2(−a, 0) = 8a2 > 0, se tiene que f

tiene en (−a, 0) un mínimo local. �

E.3. 1 DE SEPTIEMBRE DE 2004 269

13. Calcula∫ ∫

R

(x2 − y) dxdy, siendo R la región comprendida entre lasgrá�cas de las curvas y = x2; y = −x2 y las rectas x = −1 y x = 1

Solución: Las desigualdades que describen el recinto R de integración son−1 ≤ x ≤ 1; − x2 ≤ y ≤ x2. Por tanto:∫ ∫

R

(x2 − y)dA =∫ 1

−1

∫ x2

−x2(x2 − y) dydx =

∫ 1

−1

[x2y − 12y2]x

2

−x2 dx =

=∫ 1

−1

(x4 − 12x4 + x4 +

12x4) dx =

∫ 1

−1

2x4 dx =45

�

E.3. 1 de Septiembre de 20041. Estudia, según los distintos valores de x ∈ R, la dependencia o indepen-

dencia del siguiente conjunto de vectores: {(2, x, 0), (5,−1, x), (1,−3, 1)}Solución: Sea S = {(2, x, 0), (5,−1, x), (1,−3, 1)} Estudiamos los valores dex para los cuales el determinante de la matriz formada por las componentesde los vectores de S es 0.

0 =

∣∣∣∣∣∣

2 5 1x −1 −30 x 1

∣∣∣∣∣∣= x2 + x− 2⇔ x = −2 o x = 1

Por tanto:

x = −2 ó x = 1⇒ S es linealmente dependiente.x 6= −2 y x 6= 1⇒ S es linealmente independiente.

�

2. Diagonaliza la siguiente matriz simétrica mediante una matriz de pasoortogonal:

A =(

2 44 8

)

Solución: Como A es una matriz simétrica, es diagonalizable sobre R.

Ecuación característica de A:

0 =∣∣∣∣

2− λ 44 8− λ

∣∣∣∣ = λ2 − 10λ.

Autovalores de A: {λ1 = 0; λ2 = 10}V (0)


• Ecuaciones implícitas: x1 + 2x2 = 0• Ecuaciones paramétricas:

{x1 = −2µx2 = µ

• Base de V (0) : {(−2, 1)}• Base ortonormal de V (0) :

{−2√5,

1√5

}

V (10)

• Ecuaciones implícitas: 2x1 − x2 = 0• Ecuaciones paramétricas:

{x1 = µx2 = 2µ

• Base de V (0) : {(1, 2)}• Base ortonormal de V (0) :

{1√5,

2√5

}

Matriz de paso:

P =

−2√5

1√5

1√5

2√5

Forma diagonal:D =

(0 00 10

)

�

3. Halla todos los números complejos z tales que z3z = −1

Solución: Escribamos z en forma polar z = Mα. Entonces z3 = M33α y

z = M−α. De aquí tenemos:

−1 = 1π = M33α ·M−α = M4

2α ⇒

M = 1 y 2α = π + 2kπ ⇒M = 1 y α =π

2+ kπ

Lo cual da lugar a sólo dos posibles valores de

z :

1π

2, 13π

2

= {i,−i}

�


4. Escribe el polinomio de Taylor de grado n en el punto x = 0 de la funciónf(x) = (1 + x)α con α ∈ RSolución: Realizamos las derivadas sucesivas de f(x) = (1 + x)α

f(x) = (1 + x)α ⇒ f(0) = 1f ′(x) = α(1 + x)α−1 ⇒ f ′(0) = α

f ′′(x) = α(α− 1)(1 + x)α−2 ⇒ f ′′(0) = α(α− 1)f ′′′(x) = α(α− 1)(α− 2)(1 + x)α−3 ⇒ f ′′′(0) = α(α− 1)(α− 2)

......

...(E.1)

De donde obtenemos la generalización:

fn)(x) = α(α−1)(α−2) . . . (α−n+1)(1+x)α−n ⇒ fn)(0) = α(α−1)(α−2) . . . (α−n+1)

Por tanto, el polinomio de Taylor de grado n en x = 0 de f(x) es:

P5,0(x) = 1 + αx+α(α− 1)

2!x2 + · · ·+ α(α− 1) . . . (α− n+ 1)

n!xn

�

5. Calcula la integral∫ −4x+ 1x3 + 3x2 + x+ 3

dx

Solución: El denominador se descompone en factores sobre R así:

x3 + 3x2 + x+ 3 = (x+ 3)(x2 + 1)

Por tanto, tiene una raíz real simple {−3} y dos raíces complejas conju-gadas {i,−i}. Hacemos la descomposición en fracciones simples:

−4x+ 1x3 + 3x2 + x+ 3

=A

x+ 3+Mx+N

x2 + 1(E.2)

Identi�cando coe�cientes se llega a A =1310

; M = −1310

; N = − 110

. Porúltimo integrando término a término en la igualdad anterior, se llega a:

∫ −4x+ 1x3 + 3x2 + x+ 3

dx =∫ 13

10x+ 3

dx+∫ −13

10x− 1

10x2 + 1

dx =

=1310ln|x+ 3| − 13

10 · 2∫

2xx2 + 1

dx− 110arctg(x) + C =

=1310ln|x+ 3| − 13

20ln(x2 + 1) dx− 1

10arctg(x) + C

�


6. Halla el dominio y el recorrido de la función f(x, y) =x+ y

|x+ y|Solución:Sea f(x, y) =

x+ y

|x+ y| . Se tiene:

Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 / |x+ y| 6= 0} = {(x, y) ∈ R2 / y 6= −x}

Se trata pues de la unión de dos semiplanos complementarios abiertos,esto es, todo el plano salvo los puntos de la recta y = −x. Ahora bien,teniendo en cuenta ésto, la función puede expresarse como una funciónde�nida en dos trozos, a saber:

f(x, y) ={

1 si y > −x−1 si y < −x

De donde es evidente que el recorrido de f está formado por dos puntosaislados: Rec(f) = {−1, 1}. �

7. Calcula, si existe, el siguiente límite: lım(x,y)→(0,0)

(1− cos(xy))sen(x)x2 + y2

Indicación: Primero usa in�nitésimos equivalentes para 1− cos(xy) cuandoy → 0 y para sen(x) cuando x→ 0 y luego pasa a coordenadas polaresSolución: En primer lugar usamos los siguientes in�nitésimos equivalentes:

1− cos(xy) ∼ x2y2

2(y → 0); sen(x) ∼ x (x→ 0)

por tanto, el límite quedaría:

lım(x,y)→(0,0)


= lım(x,y)→(0,0)

x3y2

2(x2 + y2)

Y ahora estudiamos este límite a través de un cambio a coordenadas po-lares:

lımr→0

r5cos3(θ)sen2(θ)r2

= lımr→0

r3cos3(θ)sen2(θ) = 0

ya que se trata del producto de una función que tiende a cero, multiplicadapor una función acotada. Por tanto ya podemos concluir que:

lım(x,y)→(0,0)


= 0

�

8. Una función f(x, y) dos veces derivable y con segundas derivadas continuasse dice que es armónica si veri�ca la ecuación ∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0. Comprueba

que la función f(x, y) = ln(x2 + y2) es armónica en R2 \ {(0, 0)}


Solución: Consideremos la función f(x, y) = ln(x2 + y2) de�nida en R2 \{(0, 0)}. Hagamos sus derivadas sucesivas en puntos de su dominio:

∂f

∂x(x, y) =

2xx2 + y2

∂f

∂y(x, y) =

2yx2 + y2

∂2f

∂x2(x, y) =

−2x2 + 2y2

(x2 + y2)2

∂2f

∂y2(x, y) =

2x2 − 2y2

(x2 + y2)2

De donde es trivial observar que:

∂2f

∂x2(x, y) +

∂2f

∂y2(x, y) = 0

lo cual demuestra que f es armónica en su dominio de de�nición. �

9. Halla la diferencial en (0, 0) de la función:

f(x, y) = (x2 + y, sen(x) + cos(y), exy)

Solución: Se tiene:

Jf(x, y) =

2x 1cos(x) −sen(y)yexy xexy

⇒ Jf(0, 0) =

0 11 00 0

⇒

⇒ df(0, 0) =

0 11 00 0

(dxdy

)=

dydx0

�

10. Se consideran las funciones:

g(x, y) = x2 + y2; f(t) = ((t− 1)2, (t+ 1)2); h = g ◦ fHalla h′(t) utilizando la regla de la cadena. Comprueba el resultado, real-izando previamente la composición para hallar explícitamente h(t).Solución:Se tiene h(t) = (g◦f)(t) = g(f(t)) = g((t−1)2, (t+1)2) = g(x, y),de donde x = (t− 1)2; y = (t+ 1)2. por tanto:

a) Aplicando la regla de la cadena:

h′(t) =∂g

∂xx′(t) +

∂g

∂yy′(t) = 2x2(t− 1) + 2y2(t+ 1) =

= 4[(t− 1)3) + (t+ 1)3]


b) Haciendo previamente la composición de funciones:h(t) = g((t− 1)2, (t+ 1)2) = (t− 1)4 + (t+ 1)4

de donde h′(t) = 4[(t− 1)3 + (t+ 1)3]

�

11. Demuestra que la ecuación z3 + xz + y = 0 de�ne una función z(x, y)diferenciable en un entorno del punto (1,−2). Halla ∇z(1,−2)

Solución: En primer lugar, estudiamos cuál será el valor de z para x =1; y = −2. Como se tiene la ecuación:

h(x, y, z) = z3 + xz + y = 0

sin más que sustituir, llegamos a z3+z−2 = 0. Pero esta ecuación sólo tieneuna solución real, a saber, z = 1. Ahora bien, la función h es diferenciableen R3, por tratarse de un polinomio y además, se tiene:

∂h

∂z(x, y, z) = 3z2 + x⇒ ∂h

∂z(1,−2, 1) = 4 6= 0

de donde se deduce que la ecuación h(x, y, z) = 0 de�ne a z como funciónimplícita de (x, y) en un entorno del punto (1, 2). Derivando de formaimplícita, teniendo en cuenta que z = z(x, y):

3z2zx + z + xzx = 0⇒ zx =−z

3z2 + x⇒ zx(1,−2) =

−14

3z2zy + z + xzy + 1 = 0⇒ zy =−1

3z2 + x⇒ zx(1,−2) =

−14

Por tanto, se concluye:

∇z(1,−2) =(−1

4,−14

)

�

12. Halla los máximos y mínimos relativos de f(x, y) = x2 − 4xy2 + 4y4

Indicación: aunque el hessiano en cada punto crítico es cero, se puede decidircomo es el punto, atendiendo a la forma de escribir la función. Observa quela función es un cuadrado perfectoSolución: En primer lugar, observemos que:

f(x, y) = x2 − 4xy2 + 4y4 = (x− 2y2)2

de donde se deduce que la función f(x, y) es no negativa en todo R2.Calculamos ahora sus puntos críticos:

0 =∂f

∂x= 2(x− 2y2)

0 =∂f

∂y= −8y(x− 2y2)


De la primera ecuación del sistema, se obtiene que x−2y2 = 0, que satisfacetambién la segunda ecuación. De ésta, se obtiene además y = 0⇒ x = 0,pero este punto está incluido en la condición anterior. En resumen, lospuntos críticos de f son los in�nitos puntos de la parábola de ecuaciónx− 2y2 = 0, esto es, los puntos del conjunto:

C = {(x, y) ∈ R2 / x− 2y2 = 0}Estudiemos ahora el hessiano de f en los puntos del conjunto C:

|H(f)(x, y)| =∣∣∣∣

2 −8y−8y −8x+ 48y2

∣∣∣∣ = −16(x− 2y2)

Por tanto:(x0, y0) ∈ C ⇒ |H(f)(x0, y0)| = 0

Ahora bien, aunque el hessiano de f en cada uno de los puntos críticos escero, se puede seguir el siguiente razonamiento:f(x, y) > 0 ⇔ (x, y) /∈ Cf(x0, y0) = 0 ∀(x0, y0) ∈ C

}⇒ (x0, y0) es mnimo local de f, ∀(x0, y0) ∈ C

�

13. Calcula, cambiando el orden de integración:∫ 2

1

∫ ln(y)

0

e−x dxdy

Solución: Se trata de calcular el valor de la integral:∫ 2

1

∫ ln(y)

0

e−x dxdy

cambiando para ello, el orden de integración. El dominio de integraciónestá descrito por las desigualdades:

{1 ≤ y ≤ 20 ≤ x ≤ ln(y)

Cambiando el orden de integración y teniendo en cuenta que x = ln(y)⇔y = ex, se llega a describir el recinto de integración así:

{0 ≤ x ≤ ln(2)ex ≤ y ≤ 2

con lo cual se obtiene:∫ 2

1

∫ ln(y)

0

e−x dxdy =∫ ln(2)

0

∫ 2

exe−x dydx =

=∫ ln(2)

0

e−x(2−ex) dx =∫ ln(2)

0

(2e−x−1) dx = [−2e−x−x]ln(2)0 = 1−ln(2)

�

apuntes de matemáticas para 1o de ciencias químicas

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