Universidad de ExtremaduraDepartamento de Matematicas

Apuntes de

Fundamentos Matematicos de laIngenierıa

Pedro Martın Jimenez

Badajoz, junio 2009

Indice

Introduccion 9

1. Conjuntos Numericos 111.1. Numeros naturales, enteros y racionales . . . . . . . . . . . . . 111.2. El principio de induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Sucesiones numericas de numeros reales 192.1. Topologıa de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Definicion de sucesion de numeros reales.

Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1. Operaciones con sucesiones convergentes . . . . . . . . . 21

2.3. Completitud de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4. Lımites infinitos. Infinitesimos. Calculo de lımites. . . . . . . . 22

2.4.1. Lımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2. Infinitesimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4.3. Regla de Stolz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Funciones reales de variable real 273.1. Definicion. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Lımites y continuidad de funciones 334.1. Lımite de una funcion en un punto. Lımites laterales . . . . . . 334.2. Lımites infinitos y lımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . 354.3. Calculo de lımites. Infinitesimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4. Funcion continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3

4 INDICE

5. Derivadas y diferenciales 415.1. Derivada de una funcion en un punto. . . . . . . . . . . . . . . 415.2. Funcion derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3. Operaciones con funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3.1. Derivada de una funcion implıcita . . . . . . . . . . . . 485.3.2. Derivadas sucesivas. Formula de Leibniz . . . . . . . . . 49

5.4. Diferencial de una funcion. Funcion diferenciable . . . . . . . . 49

6. Propiedades de la funciones derivables 516.1. Comportamiento en un punto de las funciones derivables. Cre-

cimiento y decrecimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2. Teoremas fundamentales del calculo diferencial . . . . . . . . . 52

7. Aproximacion local de funciones mediante polinomios 557.1. Teorema de Taylor en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.1.1. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.1.2. Teorema de Taylor. Formula de Taylor . . . . . . . . . . 57

7.2. Estudio local de la grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . 59

8. Representacion grafica de funciones y curvas 658.1. Representacion grafica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 658.2. Curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.2.1. Curvas en forma parametrica . . . . . . . . . . . . . . . 668.2.2. Curvas en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9. Integral de Riemann 719.1. Definicion y propiedades de la integral

de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.1.1. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.2. Teoremas fundamentales del calculo integral . . . . . . . . . . . 74

10.Tecnicas de integracion 7710.1. Primitivas de una funcion. Primitivas inmediatas . . . . . . . . 7710.2. Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.3. Integracion por cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.4. Integracion de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.5. Metodo de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.6. Integracion de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . 81

INDICE 5

10.7. Integracion de funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . 8210.7.1. Integracion por cambios de variable . . . . . . . . . . . 8210.7.2. Integracion por descomposicion . . . . . . . . . . . . . . 82

11.Aplicaciones de la integral definida 8511.1. Area definida por dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.2. Area definida por una curva en parametricas . . . . . . . . . . 8611.3. Area definida por una curva en polares . . . . . . . . . . . . . . 8611.4. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.5. Area de una superficie de un cuerpo de revolucion . . . . . . . 8711.6. Volumen de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

12.Integrales impropias 8912.1. Integrales en intervalos no acotados . . . . . . . . . . . . . . . . 8912.2. Criterios de convergencia de integrales en intervalos no acotados 9112.3. Integrales de funciones no acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . 9212.4. Criterios de convergencia para integrales de funciones no acotadas 9312.5. Integrales de funciones no acotadas en intervalos no acotados . 94

13.Integracion numerica 9713.1. Integracion numerica mediante interpolacion . . . . . . . . . . . 97

13.1.1. Regla del trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9813.1.2. Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

13.2. Reglas compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

14.Ecuaciones diferenciales 10314.1. Introduccion y nociones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10314.2. Ecuaciones en variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10614.3. Ecuaciones diferenciales homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . 106

14.3.1. Ecuaciones reducibles a homogeneas . . . . . . . . . . . 10714.4. Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10714.5. Ecuaciones de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

15.Matrices y determinantes. 11115.1. Matrices y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

15.1.1. Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11215.1.2. Matriz invertible. Rango de una matriz . . . . . . . . . 112

15.2. Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6 INDICE

15.2.1. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . 11615.3. Metodos de calculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . 117

15.3.1. Metodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11715.3.2. Desarrollo por una fila o columna . . . . . . . . . . . . . 117

15.4. Calculo de la matriz inversa usando determinantes . . . . . . . 11815.5. Calculo del rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

16.Sistemas de ecuaciones lineales 12116.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12116.2. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . 12216.3. Teorema de Rouche-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12316.4. Metodo de Gauss de resolucion de sistemas . . . . . . . . . . . 12416.5. Sistemas lineales homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

17.Espacios vectoriales 12717.1. Definicion y propiedades de espacio vectorial . . . . . . . . . . 127

17.1.1. Ejemplos de espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . 12817.2. Subespacio vectorial y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 129

17.2.1. Ejemplos de subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . 13017.2.2. Operaciones con subespacios . . . . . . . . . . . . . . . 131

17.3. Dependencia e independencia lineal. Sistemas generadores . . . 13217.4. Base de un espacio vectorial. Dimension . . . . . . . . . . . . . 13417.5. Coordenadas de un vector en una base . . . . . . . . . . . . . . 13517.6. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

18.Espacio afın 13718.1. El espacio afın bidimensional y tridimensional . . . . . . . . . . 137

18.1.1. Espacio afın n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 13718.1.2. Subespacio afın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

18.2. Sistemas de referencia afın. Coordenadas de un punto. . . . . . 13818.2.1. Cambios de sistema de referencia afın . . . . . . . . . . 139

18.3. La recta en el espacio afın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14018.4. El plano en el espacio afın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14118.5. Incidencia, interseccion y paralelismo en E3 . . . . . . . . . . . 142

18.5.1. Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14218.5.2. Haz de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14218.5.3. Radiacion de planos y rectas . . . . . . . . . . . . . . . 14318.5.4. Posicion relativa de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . 143

INDICE 7

18.5.5. Posicion relativa de una recta y un plano . . . . . . . . 14418.5.6. Posicion relativa de dos planos . . . . . . . . . . . . . . 14418.5.7. Posicion relativa de tres planos . . . . . . . . . . . . . . 145

19.Espacio afın euclıdeo 14719.1. Producto escalar. Espacio vectorial euclıdeo . . . . . . . . . . . 147

19.1.1. Norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14819.1.2. Vectores ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14819.1.3. Angulo determinado por dos vectores . . . . . . . . . . 149

19.2. Producto vectorial y producto mixto en V3 . . . . . . . . . . . 14919.2.1. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14919.2.2. Producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

19.3. Espacio afın euclıdeo E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15119.3.1. Vector normal a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 15119.3.2. Angulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15219.3.3. Angulo entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15219.3.4. Angulo entre recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . 15219.3.5. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . 15219.3.6. Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . 15319.3.7. Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . 15319.3.8. Distancia entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . 15319.3.9. Distancia entre recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . 15419.3.10.Distancia entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . 15419.3.11.Areas y volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Introduccion

El texto que sigue no es definitivo ni exhaustivo. Se ira reformando amedida que se detecten fallos o se modifique el contenido para mejorarlo.Debeis emplearlo como una ayuda para preparar la asignatura FundamentosMatematicos de la Ingenierıa y como complemento de las notas que tomeis enclase.

Espero que os sirva.

Pedro Martın.

9

Capıtulo 1

Conjuntos Numericos

1.1. Numeros naturales, enteros y racionales

El conjunto de los numeros naturales N esta incluido en el conjunto de losnumeros enteros Z, que a su vez esta contenido en el conjunto de los numerosracionales Q, es decir, los numeros que se pueden expresar como fraccion dedos numeros enteros:

N = {1, 2, 3, ...} Z = {0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, ...}

Q = {0, 1,−1, 2,−2, 3,−3,12,−12, 4,−4,

13,−13, 5,−5,

14,−14,23,−23,32,−32, ...}

Los numeros racionales se pueden sumar y se pueden multiplicar. Ademas,estan ordenados, es decir, dados dos numeros racionales distintos es posibledeterminar cual es el menor y cual es el mayor. Las propiedades que tienenlas operaciones suma y producto en el conjunto Q hacen que tenga estructurade cuerpo conmutativo y ordenado.

1.2. El principio de induccion

La induccion es un razonamiento que permite demostrar una infinidad deproposiciones, o una proposicion que depende de un parametro n que tomauna infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturalesN.

11

12 Capıtulo 1

Si llamamos P (n) a la proposicion enunciada para el numero n ∈ N, elrazonamiento para demostrar la veracidad de todas las proposiciones es elsiguiente

1. Se demuestra que P (1) es cierta (iniciacion de la induccion).

2. Se demuestra que si se asume la proposicion cierta para un numero k,entonces tambien es cierta para el siguiente numero k + 1.

P (k) es verdad ⇒ P (k + 1) es verdad

Luego, demostrado esto, concluımos por induccion, que P(n) es cierto paratodo natural n.

Ejercicio: Demuestra que 1 + 2 + · · ·+ (2n− 1) = n2 siendo n cualquiernumero natural.

1.3. Numeros reales

La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es√

2, que es unnumero real no racional. El conjunto de los numeros reales R contiene a Q ya otros numeros llamados irracionales I que no se pueden expresar en formade fraccion de numeros enteros.

Entre dos numeros reales cualesquiera siemprehay numeros reales racionales e irracionales.

Los numeros reales se pueden sumar, multiplicar y ordenar, y las propie-dades que cumplen estas operaciones con el orden establecido hacen que Rtenga estructura de cuerpo conmutativo y ordenado. Con los numeros realespodemos medir cualquier distancia (por ejemplo, la diagonal del cuadrado delado 1), a diferencia de lo que ocurrıa con Q.

Una cota superior de un conjunto de numeros reales es un numero realmayor o igual que todos los del conjunto. Un conjunto de numeros realesesta acotado superiormente si existe una cota superior para el conjunto.Por ejemplo, 1 y 1.7 son cota superior de los intervalos [0, 1] y [0, 1). Ambosintervalos estan acotados superiormente.

Una cota inferior de un conjunto de numeros reales es un numero realmenor o igual que todos los del conjunto. Un conjunto de numeros reales

Conjuntos numericos 13

esta acotado inferiormente si existe una cota inferior para el conjunto. Porejemplo, -1 y 0 son cota inferior de los intervalos (0, 1] y [0, 1). Ambos intervalosestan acotados inferiormente.

Un conjunto esta acotado si estan acotado superior e inferiormente. Porejemplo [0, 1) estan acotado.

El supremo de un conjunto, si existe, es la menor de las cotas superiores.Si el supremo es un elemento del conjunto entonces se llama maximo. Elınfimo de un conjunto, si existe, es la mayor de cotas inferiores. Si el ınfimode un conjunto es un elemento del conjunto entonces se llama mınimo. Porejemplo, respecto a (0, 1], 1 es supremo y maximo pero 0 es ınfimo pero nomınimo.

Todos los conjuntos de numeros reales acotados tiene supremo e ınfimo.

Dado un numero real x se define valor absoluto de x al numero realpositivo

|x| ={

x si x ≥ 0−x si x < 0

y se verifica que

1. x ≥ 0 y |x| = 0⇔ x = 0.

2. |xy| = |x||y|

3. | − x| = |x|

4. ||x| − |y|| ≤ |x± y|

5. |x| < ε⇒ x ∈ (−ε, ε)

Dado un numero real x se define parte entera de x al mayor numeroentero que sea menor o igual que x.

Todo numero real x admite una expresion decimal de la forma

p′a1a2...an...

donde p ∈ Z y ai ∈ {0, 1, ..., 9} tal que

x = p+ a1 ∗ 10−1 + a2 ∗ 10−2 + ...+ an ∗ 10−n + ...

14 Capıtulo 1

Si la expresion decimal es finita o periodica entonces x es un numero racional.En otro caso x sera irracional. La expresion decimal de un numero real esunica salvo casos similares a este:

1′34000 = 1,3399.

A veces es necesario recortar el numero de decimales de una determinadaexpresion. En este caso, este truncamiento ha de hacerse usando las reglas deredondeo: el ultimo dıgito que se conserva se aumenta en uno si el primerdıgito descartado es mayor que 5; si es 5 o es 5 seguido de ceros, entonces elultimo dıgito retenido se incrementa en uno solo si este ultimo es impar:

numero 5 cifras decimales 7 cifras decimales5.6170431500 5.61704 5.61704325.6170462500 5.61705 5.6170462

Las reglas de redondeo minimizan los errores de aproximacion. Se defineerror E como

E = valor verdadero− valor aproximado

A menudo se trabaja con el error absoluto (|E|). El error relativo es

e =E

valor verdadero.

Este ultimo compara la magnitud del error cometido con la magnitud del valorque se pretende estimar y puede interpretarse en terminos de %.

1.4. Numeros complejos

La solucion de la ecuacion x2 + 1 = 0 es el numero complejo i =√−1. Se

define el conjunto de los numeros complejos como

C = {(x, y) ∈ R2/ x ∈ R, y ∈ R} = {x+ yi/ x ∈ R, y ∈ R}

La expresion a + bi de un numero complejo se denomina forma binomica.Todo numero real x es tambien un numero complejo cuya forma binomicasera x+ 0i.

Dados dos numeros complejos (a + bi) y (c + di), se define la suma y elproducto de ambos ası:

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ b) + (c+ d)i

Conjuntos numericos 15

(a+ bi) · (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i

El conjunto C con las operaciones suma y producto tiene estructura decuerpo en el que no es posible establecer un orden. El numero complejo a+ bise puede representar en el plano XY como el vector (a, b). Se denomina afijodel complejo a+ bi al punto (a, b) del plano.

Dado el numero complejo z = a+ bi se define conjugado de z y se denotaz a:

z = a− bi.

Dados dos numeros complejos z y z′, se verifica que

z + z′ = z + z′ z · z′ = z · z′

El modulo de un complejo z = a+ bi es el numero real positivo

|z| =√z · z =

√a2 + b2

que representa la distancia del afijo a+ bi al 0. Para dividir dos complejos, esdecir, multiplicar uno por el inverso del otro, podemos multiplicar numeradory denominador por el conjugado del denominador:

z

w=z · ww · w

=z · w|w|2

=1|w|2

z · w.

Se verifica que:

1. |z| ≥ 0 ∀z ∈ C y |z| = 0⇔ z = 0.

2. |z · w| = |z| · |w| ∀z, w ∈ C.

3. |z−1| = 1|z| ∀z 6= 0, z ∈ C, siendo z−1 el inverso de z.

4. |z + w| ≤ |z|+ |w| ∀z, w ∈ C.

5.∣∣|z| ± |w|∣∣ ≤ |z ± w| ∀z, w ∈ C.

6. z|z| tiene modulo 1.

Dado el complejo z = a+ bi 6= 0, se define argumento principal de z alnumero real θ ∈ (0, 2π] tal que:

cos θ =a√

a2 + b2=

a

|z|sen θ =

b√a2 + b2

=b

|z|

16 Capıtulo 1

Graficamente, θ representa el angulo que forma el vector (a, b) con la partepositiva del eje X. El conjunto de argumentos de z es

arg(z) = {θ + 2kπ : k ∈ Z}.

Se tiene que

z = a+ bi = |z| cos(θ) + |z| sen(θ)i = |z|(cos(θ) + sen(θ)i)

La expresion |z|(cos(θ) + sen(θ)i) es la forma trigonometrica de z.La expresion |z|θ es la forma modulo-argumento de z, siendo θ uno de

los argumentos de z. Dos complejos z y w son iguales si tienen iguales susmodulos y sus argumentos difieren en un multiplo entero de 2π :

|z|θ = |w|ψ ⇔ |z| = |w| y θ − ψ = 2kπ, k ∈ Z.

El conjugado de |z|θ es |z|2π−θ = |z|−θ.La forma modulo-argumento es util para realizar operaciones de producto

y potencia de exponente entero. Si z, w ∈ C y n ∈ Z, se verifica que

1. |z|θ · |w|ψ =(|z| · |w|

)θ+ψ

2. |z|θ|w|ψ =

( |z||w|)θ−ψ

3.(|z|θ)n = z · z · ...(n-veces)... · z =

(|z|n)nθ

Ejercicio: Calcula los numeros complejos tales que z3 · z = −1.

Dado z ∈ C, n ∈ N, se dice que w ∈ C es una raız n-esima de z si wn = z.Un numero complejo distinto de 0 tiene n raıces n-esimas y n

√z representa al

conjunto de todas ellas. Puesto que z = wn, se tiene que |z|θ =(|w|n

)nψ

y portanto

|z| = |w|n ⇒ |w| = n√|z|

θ − nψ = 2kπ, k ∈ Z⇒ ψ = θ+2kπn , k ∈ Z.

Ejercicio: Calcula las raıces sextas de 1 y las raıces sextas de −1.

Conjuntos numericos 17

Ejercicio: Calcula las numeros complejos de modulo 1 tales que sus raıcescuartas tienen sus afijos en las bisectrices de los cuadrantes del plano.

Si b ∈ R, define eib como

eib = cos(b) + i sen(b).

Si z = a+ bi ∈ C, se define la exponencial de z como:

ez = ea+ib = ea · ebi = ea · (cos(b) + i sen(b)).

Se verifica que ez · ew = ez+w, siendo z, w ∈ C.

Ejercicio: Comprueba que si z = a + bi, entonces el modulo de ez es|ez| = ea y el argumento de ez es b, con lo que ez en forma modulo-argumentoes(ea)b.

Partiendo de la forma trigonometrica del numero complejo

z = |z| · (cos θ + i sen θ)

se llega a la forma exponencial

z = |z|eiθ.

De la definicion de la exponencial compleja eib = cos b + i sen b, siendob ∈ R, se deduce que

cos b =eib + e−ib

2sen b =

eib − e−ib

2i.

Si sustituimos en lo anterior la exponencial compleja por la exponencial real,obtenemos las definiciones de seno hiperbolico y coseno hiperbolico

cosh b =eb + e−b

2senh b =

eb − e−b

2.

Por similitud con el caso real, si z ∈ C se definen coseno y seno paranumeros complejos ası

cos z =eiz + e−iz

2sen b =

eiz − e−iz

2i.

18 Capıtulo 1

Entre los numeros reales no se pueden encontrar logaritmos de numerosnegativos. Sin embargo, sı es posible hacerlo entre los numeros complejos. Dadoz ∈ C, se dice que w ∈ C es un logaritmo neperiano de z si se verifica queew = z. El conjunto de todos los logaritmos neperianos de un complejo z serepresentara

L z = {w ∈ C/ ew = z}.

Ejercicio: Comprueba que si z = |z|θ entonces

L z = L |z|+ i(θ + 2kπ) k ∈ Z.

De la definicion de logaritmo de un numero real, se deduce que ab = ebL a,siendo a, b ∈ R, a 6= 0. Por similitud, dados z, w ∈ C, z 6= 0, se llaman poten-cias de base z y exponente w a todos los numero complejos representados porzw y definidos ası

zw = ew L z.

Capıtulo 2

Sucesiones numericas denumeros reales

2.1. Topologıa de R

Sea a ∈ R. Se define bola abierta de centro a y radio r > 0 y se denotaB(a, r), al intervalo abierto (a− r, a+ r)

B(a, r) = {x ∈ R/ |x− a| < r}.

Un conjunto de numeros reales es abierto si para todo elemento del conjuntose verifica que existe una bola abierta centrada en el elemento que a su vezesta contenida en el conjunto. Un conjunto es cerrado si es el complementariode un abierto.

Se define bola cerrada de centro a y radio r > 0 y se denota B[a, r], alintervalo cerrado [a− r, a+ r]

B[a, r] = {x ∈ R/ |x− a| ≤ r}.

Un numero real x es punto de acumulacion de un conjunto si toda bolaabierta centrada en x contiene puntos del conjunto distintos de x.

Se denomina recta ampliada al conjunto {R ∪ {−∞,∞}}.

19

20 Capıtulo 2

2.2. Definicion de sucesion de numeros reales.Propiedades

Una sucesion de numeros reales (an)n∈N es un conjunto de infinitosnumeros reales que estan ordenados, es decir, que hay un primer numero (a1),un segundo (a2), un tercero (a3), un n-esimo (an), etc. Los siguientes sonejemplos de sucesiones:

1,12,

13,

14, · · · , 1

n, · · ·

1,12,

12,

14,

13,

18,

14,

116,

15, · · ·

1,12,

13, 1,

14,

15, 1,

16,

17, 1, · · ·

Puesto que a cada numero real de la sucesion se le asigna un lugar (primero,segundo, etc.), de forma exacta y rigurosa se dice que una sucesion (an)n∈Nde numeros reales es una aplicacion de N en R:

N → Rn 7→ an

Podemos identificar una sucesion mediante su termino general ((an)n∈N = 1n),

con una definicion por recurrencia (b1 = 0,5, bn = 2bn−1− 1) o mostrando susprimeros terminos (1, 1

2 ,14 , . . . ). Una sucesion puede representarse en unos ejes

cartesianos, situando los valores de n en el eje X y los valores de an en el ejeY . Tambien se suelen representar solo los valores de an en la recta real, peroen este caso la representacion no permite identificar el orden de la sucesion.

Intuitivamente, una sucesion es convergente a un numero real l (yse denota lım

n→∞= l) si los terminos de la sucesion se van acercando al valor

de l. Mas precisamente se dice que una sucesion (an)n∈N de numeros realesconverge a l ∈ R o tiene como lımite l si se verifica alguna de estas propiedadesequivalentes:

Todas y cada una de las bolas B(l, ε) centradas en l contienen todos losterminos de la sucesion an salvo, quizas, una cantidad finita de ellos; esdecir, a partir de un termino aν , todos los posteriores estan contenidosen B(l, ε).

Sucesiones numericas de numeros reales 21

Para todo ε > 0, existe un ν ∈ N tal que si n ≥ ν entonces |an − l| < ε.

Intuitivamente una sucesion de numeros reales es de Cauchy si, a medidaque avanzamos en la sucesion, los terminos cada vez estan mas cerca unosde otros. De forma mas precisa, se dice que una sucesion de numeros reales(an)n∈N es de Cauchy si sea cual sea la distancia ε > 0 que fijemos, existe untermino aν a partir del cual, si elegimos dos terminos cualesquiera posterioresan y am (n,m ≥ ν), la distancia entre ellos es menor que ε (|an − am| < ε).

Una sucesion (an)n∈N se dice que es creciente si an ≤ an+1 para todon ∈ N y estrictamente creciente si an < an+1. De forma similar se de-fine sucesion decreciente y estrictamente decreciente. Una sucesion esmonotona si es creciente o decreciente.

2.2.1. Operaciones con sucesiones convergentes

Una sucesion se puede sumar, multiplicar, dividir con otra sucesion terminoa termino. Tambien se puede multiplicar una sucesion por un numero realmultiplicando cada termino por el numero real. Ası mismo es posible consideraruna sucesion elevada a otra sucesion (abnn ) termino a termino o calcular ellogaritmo a los terminos de una sucesion ( Lan).

Sean (an)n∈N y (bn)n∈N sucesiones convergentes y λ ∈ R. Se verifican lassiguientes propiedades:

1. El lımite de una sucesion convergente es unico.

2. Las operaciones suma, producto y producto por un numero de sucesionesconvergentes da como resultado una sucesion convergente y

lımn→∞

an + bn = lımn→∞

an + lımn→∞

bn.

lımn→∞

anbn = lımn→∞

an · lımn→∞

bn.

lımn→∞

λan = λ lımn→∞

an.

3. Si lımn→∞

an = l y l < k, entonces an < k a partir de un termino enadelante.

4. Si an < k a partir de un termino en adelante, entonces lımn→∞

an ≤ k.

5. Si lımn→∞

an < lımn→∞

bn, entonces an < bn a partir de un termino en ade-lante.

22 Capıtulo 2

6. Si lımn→∞

an = lımn→∞

bn y an ≤ cn ≤ bn, entonces

lımn→∞

an = lımn→∞

cn = lımn→∞

bn.

7. Toda sucesion formada con terminos extraıdos de otra sucesion conver-gente (subsucesion) es convergente al mismo lımite.

8. Toda sucesion convergente es de Cauchy y que toda sucesion de Cauchyes acotada.

9. Toda sucesion creciente y acotada superiormente es convergente. Equi-valentemente, toda sucesion decreciente y acotada inferiormente es con-vergente

2.3. Completitud de R

Ejercicio: Construye una sucesion formada por numeros racionales queconverja a

√2.

La sucesion del ejercicio anterior es una sucesion de Cauchy de numerosracionales, sin embargo el lımite no es un numero racional sino un numeroreal:

El conjunto Q no es completo.

Por el contrario, no es posible encontrar una sucesion de Cauchy formada pornumeros reales cuyo lımite no sea un numero real puesto que

Teorema: Toda sucesion de Caychy de numeros reales es convergente enlos numeros reales.

El resultado anterior se conoce como teorema de completitud de R.

El conjunto R es completo.

2.4. Lımites infinitos. Infinitesimos. Calculo de lımi-tes.

2.4.1. Lımites infinitos

Se dice que una sucesion (an)n∈N de numeros reales converge a infinito otiene como lımite infinito ( lım

n→∞an =∞) si se verifica alguna de estas propie-

Sucesiones numericas de numeros reales 23

dades equivalentes:

Todos y cada uno de los intervalos de la forma (k,∞), k ∈ N contienentodos los terminos de la sucesion an salvo, quizas, una cantidad finitade ellos; es decir, a partir de un termino aν , todos los posteriores estancontenidos en (k,∞).

Para todo k ∈ N, existe un ν ∈ N tal que si n ≥ ν entonces an > k.

De forma similar se define lımn→∞

an = −∞. Las sucesiones divergentes son lasque tienen como lımite ±∞.

Sean (an)n∈N y (bn)n∈N sucesiones y λ ∈ R. Se verifican las siguientespropiedades:

1. lımn→∞

an = ±∞⇒ lımn→∞

1an

= 0.

2. La operacion suma con las sucesiones da como resultado lo siguiente:

+ lımn→∞

an =∞ lımn→∞

an = −∞ lımn→∞

an = l < 0

lımn→∞

bn =∞ +∞ ? +∞lımn→∞

bn = −∞ ? −∞ −∞lımn→∞

bn = p ≥ 0 +∞ −∞ p+ l

3. La operacion producto con las sucesiones da como resultado lo siguiente:

· lımn→∞

an =∞ lımn→∞

an = −∞ lımn→∞

an = l < 0

lımn→∞

bn =∞ +∞ −∞ −∞lımn→∞

bn = −∞ −∞ +∞ +∞lımn→∞

bn = p > 0 +∞ −∞ p · llımn→∞

bn = 0 ? ? 0

4. El producto de un numero real λ por una sucesion da como resultado losiguiente:

·λ lımn→∞

an =∞ lımn→∞

an = −∞ lımn→∞

an = l

λ > 0 +∞ −∞ λ · lλ < 0 −∞ +∞ λ · lλ = 0 0 0 0

24 Capıtulo 2

5. En general, al manejar sucesiones con potencias, logaritmos y cocientes,el resultado de la operacion correspondiente es una sucesion con lımiteigual a la potencia, logaritmo o cociente de los lımites correspondiente,teniendo en cuenta la regla de los signos en los cocientes. Ademas, sepueden presentar los siguientes casos que son indeterminaciones y hayque estudiarlos de forma particular:

00,±∞±∞

, ∞−∞, 0 · (±∞), 1±∞, ∞0.

2.4.2. Infinitesimos

Un infinitesimo es una sucesion convergente a 0. El producto de dosinfinitesimos es otro infinitesimo y el producto de un infinitesimo por unasucesion acotada es un infinitesimo.

Dos infinitesimos (an)n∈N y (bn)n∈N se dice que son equivalentes (an ∼ bn)si

lımn→∞

anbn

= 1.

En el calculo de lımites, si tenemos un infinitesimo como factor en la expresionde un producto o cociente, podemos sustituirlo por un infinitesimo equivalente.Si an → 0, son infinitesimos equivalentes los siguientes:

L(1 + an) ∼ an sen an ∼ tan an ∼ an 1− cos an ∼12a2n

Para el calculo de lımites es util el siguiente resultado:

2.4.3. Regla de Stolz

Regla de Stolz: Sean (an)n∈N y (bn)n∈N dos sucesiones de numeros realestal que:

(bn)n∈N es estrictamente monotona (creciente o decreciente)

O bien lımn→∞

bn = ±∞, o bien lımn→∞

an = lımn→∞

bn = 0.

Entonces

lımn→∞

an − an−1

bn − bn−1= l ∈ {R,±∞} ⇒ lım

n→∞

anbn

= l.

Sucesiones numericas de numeros reales 25

Ejercicio: Calcula el lımite lımn→∞

1 + 2 + · · ·+ n

n.

Como consecuencia de la regla de Stolz, se puede demostrar que:

1. lımn→∞

x1 + x2 + · · ·+ xnn

= lımn→∞

xn

2. lımn→∞

n√x1x2 . . . xn = lım

n→∞xn

3. lımn→∞

n√xn = lım

n→∞

xnxn−1

Capıtulo 3

Funciones reales de variablereal

3.1. Definicion. Conceptos basicos

Tendremos una funcion real de variable real (f : R → R) cuando a cadaelemento x de un conjunto de numeros reales (llamado dominio) le asignemosun elemento f(x) (llamado imagen de x) y solo uno de un conjunto (llamadorecorrido o conjunto imagen).

Dominio de f(x) = {x ∈ R/ existe f(x)}

Recorrido de f(x) = {y ∈ R/y es imagen de algun x}

Representacion graficaSea f(x) una funcion definida alrededor de un punto a ∈ R. Diremos que:

f(x) es creciente en a, si existe una bola B centrada en a tal que para todox, y ∈ B,

x < a < y ⇒ f(x) ≤ f(a) ≤ f(y)

Sera estrictamente creciente en a si

x < a < y ⇒ f(x) < f(a) < f(y).

f(x) es decreciente en a, si existe una bola B centrada en a tal que paratodo x, y ∈ B,

27

28 Capıtulo 3

x < a < y ⇒ f(x) ≥ f(a) ≥ f(y)

Sera estrictamente decreciente en a si

x < a < y ⇒ f(x) > f(a) > f(y).

f(x) alcanza un mınimo relativo en a si existe una bola B centrada ena tal que para todo x ∈ B,

f(x) ≥ f(a).

El mınimo sera estricto si f(x) > f(a) para todo x ∈ B.f(x) alcanza un maximo relativo en a si existe una bola B centrada en

a tal que para todo x ∈ B,

f(x) ≤ f(a).

El maximo sera estricto si f(x) < f(a) para todo x ∈ B.Una funcion f(x) se dice que es periodica en un conjunto I si se existe

una cantidad P tal que

f(x+ P ) = f(x) ∀x ∈ I

Se denomina periodo de la funcion f(x) al valor mınimo P que verifica loanterior.

Ejemplo: Las funciones sen(x), cos(x), tg(x) son periodicas.Una funcion f(x) esta acotada superiormente en un conjunto I si existe

un valor k ∈ R tal quef(x) ≥ k ∀x ∈ I

Una funcion f(x) esta acotada inferiormente en un conjunto I si existeun valor k ∈ R tal que

f(x) ≤ k ∀x ∈ I

Una funcion f(x) esta acotada en un conjunto I si existe un valor k ∈ R talque

|f(x)| ≤ k ∀x ∈ I

Sean f(x) y g(x) dos funciones. El resultado de componer la funcion g conla funcion f (se escribe g ◦ f) es la funcion que resulta de aplicar primero la

Funciones reales de variable real 29

funcion f y al resultado aplicarle la funcion g. La composicion g ◦ f solo sepodra hacer si las imagenes de f(x) estan contenidas en el dominio de g(x).

g ◦ f : R → R → Rx 7→ f(x) 7→ g(f(x))

De forma similar la composicion de f con g (se escribe f ◦ g) es la funcion queresulta de aplicar primero g y al resultado aplicarle f . Solo se podra hacer siel dominio de f contiene al recorrido de g.

La funcion recıproca o inversa de f es otra funcion f−1 tal que

f−1 ◦ f(x) = x ∀x ∈ Dominio de f

f ◦ f−1(y) = y ∀y ∈ Dominio de f−1

La inversa de una funcion solo esta definida en un intervalo donde la funcionoriginal tenga valores de las imagenes no repetidos. Por ejemplo, la inversa def(x) = x2 es la funcion f−1(x) =

√x en el intervalo [0,∞). Ası mismo, la

inversa de sen(x) es el arc sen(x) en el intervalo (−π/2, π/2), que es donde elseno es estrictamente creciente y no tiene imagenes repetidas.

3.2. Funciones elementales

La funciones polinomicas son de la forma

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n

con n ∈ N. Su dominio es (−∞,∞). Las de grado impar tiene siempre unnumero impar de raıces y las de grado para tienen siempre un numero par deraıces.

Las funciones racionales son de la forma

f(x) =P (x)Q(x)

siendo P (x) y Q(x) polinomios. Su dominio son todos los numeros reales ex-cepto los valores donde se anula el denominador.

Las funciones trigonometricas son seno, coseno, tangente, cosecante, se-cante y cotangente.

Las funciones seno y coseno tiene su dominio en (−∞,∞) y son periodicasde periodo 2π.

30 Capıtulo 3

Figura 3.1: funcion sen(x).

Figura 3.2: funcion cos(x).

La funcion tangente tiene su dominio en todos los numeros reales salvo enkπ, con k ∈ Z, y es periodica de perıodo π.

Las funciones exponenciales son de la forma ax, con a > 0. Son crecientessi a > 1 y decreciente si 0 < a < 1. Las funciones logarıtmicas de la formaloga(x) son las inversas de las exponenciales ax.

Las funciones hiperbolicas son las siguientes:

senh(x) =ex − e−x

2cosh(x) =

ex + e−x

2tgh(x) =

ex − e−x

ex + e−x

y sus inversas son, respectivamente

L(x+√x2 + 1) Lx+

√x2 − 1 L

√1− x2

1− x

Figura 3.3: funcion tg(x).

Figura 3.4: funcion ex.

Figura 3.5: funcion L(x).

Figura 3.6: funcion senh(x).

Figura 3.7: funcion cosh(x).

Capıtulo 4

Lımites y continuidad defunciones

4.1. Lımite de una funcion en un punto. Lımiteslaterales

Consideremos la funcion f : R→ R representada en la figura 4.1 y definidaası

f(x) =x2 − 1x+ 1

.

cuyo domino es R− {−1}.

Figura 4.1: f(x) = x2−1x+1

Intuitivamente, se dice que f(x) tiene lımite l = −2 en el punto a = −1(simplificadamente lım

x→−1f(x) = −2) porque todos los valores de x cercanos

a −1 tienen sus imagenes cerca de −2. Dicho de otra forma: dada cualquiersucesion de puntos (xn)n∈N que converja a −1, se verifica que la sucesion desus imagenes (f(xn))n∈N converge a −2.

Por similares razones, se dice que

lımx→1

x2 − 1x+ 1

= 0 lımx→2

x2 − 1x+ 1

= 1.

33

34 Capıtulo 4

En general, se dice que una funcion cualquiera f(x) tiene lımite l cuando xtiende al numero a (simplificadamente lım

x→af(x) = l) cuando se verifica algunas

de las siguientes condiciones equivalentes:

Dada cualquier bola B(l, ε), existe una bola B(a, δ) tal que si x ∈ B(a, δ)y x 6= a entonces f(x) ∈ B(l, ε).

Dada cualquier sucesion de puntos (x1, x2, . . . , xn, . . . ) que converja a a,la sucesion de sus imagenes (f(x1), f(x2), . . . , f(xn), . . . ) converge a l.

Consideremos la funcion representada en la figura 4.2

g(x) ={

x si x < 2x2 + 1 si x ≥ 2

Figura 4.2: funcion sin lımite en 2.

Si nos acercamos a 2 por la izquierda el lımite de las imagenes es 2, perosi nos acercamos a 2 por la derecha el lımite es 5.

Se dice que una funcion f(x) : R → R tiene lımite lateral l por laderecha de a y se representa lım

x→a+f(x) = l, cuando se verifica algunas de las

siguientes condiciones equivalentes:

Dada cualquier bola B(l, ε), existe una bola B(a, δ) tal que si x ∈ B(a, δ)y x > a entonces f(x) ∈ B(l, ε).

Dada cualquier sucesion de puntos que converja a a con puntos mayoresestrictos que a, la sucesion de sus imagenes converge a l.

De forma similar se define lımite lateral por la izquierda.De las definiciones anteriores se deducen las siguientes propiedades:

1. Si una funcion f(x) tiene lımite real en un punto a, entonces ese lımitees unico y coincide con los lımites laterales de la funcion en a.

2. Si una funcion f(x) tiene lımites laterales reales en a y son iguales,entonces existe el lımite de f(x) en a y coincide con el valor de loslımites laterales.

Lımites y continuidad de funciones 35

4.2. Lımites infinitos y lımites en el infinito

Consideremos la funcion f : R → R representada en la figura 4.3 definidaası

f(x) =x2 + 1

(x− 1)2.

Intuitivamente, se dice que f(x) tiene lımite infinito en el punto a = 1 (sim-

Figura 4.3: f(x) = x2+1(x−1)2

plificadamente lımx→1

f(x) = ∞) porque los valores de x cercanos a 1 tienensus imagenes positivas y no acotadas. Dicho de otra forma: dada cualquiersucesion de puntos (xn)n∈N que converja a 1, se verifica que la sucesion de susimagenes (f(xn))n∈N converge a infinito.

Por similares razones, se dice que

lımx→∞

x2 + 1(x− 1)2

= 1 lımx→−∞

x2 + 1(x− 1)2

= 1 lımx→ 1

−x2 − 1(x− 1)2

= −∞.

En general, se dice que una funcion cualquiera f(x) tiene lımite infinitocuando x tiende al numero a (simplificadamente lım

x→af(x) = ∞) si se

verifica algunas de las siguientes condiciones equivalentes:

Dado cualquier valor k > 0, existe una bola B(a, δ) tal que si x ∈ B(a, δ)y x 6= a entonces f(x) > k.

Dada cualquier sucesion de puntos que converja a a con puntos distintosde a, la sucesion de sus imagenes converge a infinito.

De forma similar se define

lımx→a

f(x) = −∞, lımx→a+

f(x) = ±∞ lımx→a−

f(x) = ±∞

Se dice que una funcion cualquiera f(x) tiene lımite l cuando x tiendea infinito (simplificadamente lım

x→∞f(x) = l) cuando se verifica algunas de las

siguientes condiciones equivalentes:

36 Capıtulo 4

Dada cualquier bola B(l, ε), existe un numero k > 0 tal que si x > kentonces f(x) ∈ B(l, ε).

Dada cualquier sucesion de puntos que converja a infinito, la sucesion desus imagenes converge a l.

De forma similar se define lımx→−∞

f(x) = l.

4.3. Calculo de lımites. Infinitesimos.

En el calculo de lımites de funciones, siempre que tenga sentido la expresioncorrespondiente y salvo las indeterminaciones que se vieron en los lımites consucesiones, se verifica que

lımx→a

f(x) + g(x) = lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x)

lımx→a

f(x)g(x) = lımx→a

f(x) · lımx→a

g(x)

lımx→a

f(x)g(x)

=lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x)

lımx→a

logb f(x) = logb( lımx→a

f(x))

lımx→a

bf(x) = blımx→a

f(x)

lımx→a

f(x)g(x) = lımx→a

f(x)lımx→a

g(x)

siendo a un numero real o ±∞.Un infinitesimo en a es una funcion cuyo lımite en a es 0.Un infinito en a es una funcion cuyo lımite en a es ±∞.Dos infinitesimos o dos infinitos f(x) y g(x) en a son equivalentes y se

representa como f(x) x→a∼ g(x) si

lımx→a

f(x) = lımx→a

g(x) y lımx→a

f(x)g(x)

= 1.

Sea f(x) un infinitesimo en a ∈ R. Son equivalentes los siguientes infi-nitesimos:

f(x), sen f(x), tan f(x), arc sen f(x), arctan f(x), L(1 + f(x)), ef(x) − 1

Por ejemplo, son equivalentes los infinitesimos:x, senx, tanx, arc senx, arctanx, L(1 + x) y ex − 1 en x = 0.

Lımites y continuidad de funciones 37

1− cosx y x2

2 en x = 0x− 1 y Lx en x = 1.

En el calculo de lımites de productos o cocientes se puede sustituir uninfinitesimo o infinito por otro equivalente. Se verifica que:

1. Si f(x) es un infinitesimo en a y g(x) esta acotada en una bola B(a, ε),entonces f(x)g(x) es un infinitesimo en a.

2. Si f(x) es un infinito en a y g(x) esta acotada inferiormente en una bolaB(a, ε), entonces f(x) + g(x) es un infinito en a.

3. Si f(x) es un infinito en a, entonces 1f(x) es un infinitesimo en a.

Ejercicio: Calcula los siguientes lımites:

lımx→0+

x2

3− Lx lımx→0

1− cosxx2 + 3x

lımx→π

2

(sen2 x)tan2 x

4.4. Funcion continua

Intuitivamente una funcion f(x) es continua en un punto a cuando valoresde x cercanos a a tiene imagenes cercanas a f(a), es decir, la grafica de lafuncion f(x) tiene un trazo continuo alrededor de a.

Sea f(x) : R→ R una funcion definida en un abierto que contenga a a ∈ R.De forma mas precisa, se dice que f(x) es continua en a si se cumple estascondiciones:

Existe lımx→a

f(x) y es un numero real.

Existe f(a).

f(a) = lımx→a

f(x).

Si la funcion no es continua en a se dice que tiene una discontinuidad ena. La discontinuidad puede ser:

Evitable: existe lımx→a

f(x) y es un numero real.

Esencial: no existe lımx→a

f(x) o es ±∞. A su vez, esta puede ser:

• De salto infinito: existen los lımites laterales y alguno es ±∞.

38 Capıtulo 4

• De salto finito: existen los lımites laterales y ambos son finitos.

• De segunda especie: no existe algun lımite lateral.

Una funcion f(x) es continua por la derecha de a ∈ R si existelımx→a+

f(x), es un numero real y coincide con f(a). De forma equivalente se

define continuidad por la izquierda.Sea f(x) continua en a. Se verifica que:

1. f(x) esta acotada en una bola B(a, δ).

2. Si f(a) 6= 0, entonces f(x) tiene el mismo signo que a en una bola B(a, δ).

3. Si g(x) es continua en a, entonces f + g, f · g y fg (g(a) 6= 0) tambien

son continuas en a.

4. bx, logb x, xn (n ∈ N), xx, polinomios, funciones racionales y funcionestrigonometricas son continuas en su dominio.

5. Si g(x) es continua en f(a), entonces g ◦ f es continua en a.

Ejercicio: Estudia la continuidad de las funciones:

f(x) =

{x2−4x+2 si x 6= −2−4 si x = −2

g(x) =

senx si x ≤ −π2

m senx+ n si −π2 < x < π2

2 cosx si x ≥ 2.

Se dice que una funcion f(x) es continua en el intervalo (a, b) si escontinua en todos los puntos del intervalo.

Se dice que una funcion f(x) es continua en el intervalo [a, b] si escontinua en todos los puntos del intervalo (a, b), continua por la derecha en ay continua por la izquierda en b.

De forma similar se define continuidad en [a, b) y en (a, b].

Teorema (de Bolzano): Si f(x) es una funcion continua en [a, b] yf(a)f(b) < 0, entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Ejercicio: Pon un ejemplo de:

1. Funcion definida en [a, b] tal que f(a)f(b) < 0 y no exista c ∈ (a, b) talque f(c) = 0.

Derivadas y diferenciales 39

2. Funcion continua en (a, b) tal que f(a)f(b) < 0 y f(c) 6= 0 en todo puntoc ∈ (a, b).

3. Funcion continua en [a, b] y tal que no exista c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema de valor intermedio: Si f(x) es continua en [a, b] y d ∈[f(a), f(b)], entonces existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = d.

Ejercicio: Encuentra un ejemplo de funcion continua en (a, b) que nocumpla el teorema de valor intermedio.

Teorema: Si f(x) es continua en un intervalo I, entonces la imagen f(I)tambien es un intervalo.

Teorema: Si f(x) es continua en un intervalo [a, b], entonces existe valoresm,M ∈ [a, b] tales f(m) y f(M) son, respectivamente, el mınimo y el maximode la funcion f(x) en [a, b].

Ejercicio: Encuentra ejemplos donde falle alguna de las hipotesis de losresultados anteriores y no se verifiquen los teoremas correspondientes.

40 Capıtulo 4

Capıtulo 5

Derivadas y diferenciales

5.1. Derivada de una funcion en un punto.

Sea f(x) una funcion definida en un intervalo I de R y sea a ∈ I. Se diceque f(x) es derivable en el punto a, si existe (es un numero real) alguno deestos dos lımites

lımx→a

f(x)− f(a)x− a

lımh→0

f(a+ h)− f(a)h

.

En ese caso, a ese numero real se le llama derivada de f(x) en a y se denotaf ′(a) o Df(a).

Ejemplo: La funcion f(x) = 1√x

es derivable en a = 4 porque

lımx→4

f(x)− f(4)x− 4

= lımx→4

1√x− 1√

4

x− 4= lım

x→4

2−√x

2√x

x− 4=

= lımx→4

4− x2√x(x− 4)(2 +

√x)

= lımx→4

−12√x(2 +

√x)

=−116.

Por tanto, la derivada de f(x) en 4 existe y vale f ′(4) = −1/16.�

41

42 Capıtulo 5

Ejemplo: La funcion f(x) = x2 es derivable en a = 2 porque

lımh→0

f(2 + h)− f(2)h

= lımh→0

(2 + h)2 − 22

h=

lımh→0

4 + 4h+ h2 − 4h

= lımh→0

h2 + 4hh

= lımh→0

h+ 4 = 4.

Por tanto, la derivada de f(x) en 2 existe y vale f ′(2) = 4.�

¿Que significa que la derivada de f(x) = 1√x

en 4 sea

f ′(4) = −1/16 = −0,0625 ?

(Ver figura 5.1)1. Elijamos una sucesion que converja a a = 4, por ejemplo xn = 4 + 1/n.2. Calculemos los cocientes f(xn)−f(4)

xn−4 . Cada uno de estos cocientes repre-sentan la inclinacion de la recta que pasa por los puntos (xn, f(xn)) y por(4, f(4)) (es decir, la tangente del angulo que forma la recta con el eje X).

3. Cuando xn se acerca a 4, las rectas anteriores se acercan a la rectatangente a la funcion f(x) en el punto 4.

4. El lımite de dichos cocientes (inclinaciones) cuando avanzamos en la su-cesion, es decir, cuando xn se acerca a 4, representa la inclinacion de la rectatangente en 4.

xn inclinacionx200 = 4,005 −0,06244146721847x1000 = 4,001 −0,06248828369088x2500 = 4,0004 −0,06249531289054

x140345 = 4,000007125298372 −0,0624999165060x2345678 = 4,000000426315974 −0,06249999507708

Derivadas y diferenciales 43

Figura 5.1: f(x) = 1√x

¿Puede existir una funcion que en un punto a sea derivable y en ese mismopunto no sea continua ? No.

Propiedad: Toda funcion derivable en a es continua en a.

Demostracion. Si f ′(a) = lımx→a

f(x)− f(a)x− a

es un numero real entonces

lımx→a

[f(x)− f(a)] = lımx→a

f(x)− f(a)x− a

(x− a)

= lımx→a

f(x)− f(a)x− a

· lımx→a

(x− a) = f ′(a) · 0 = 0,

y esto ultimo significa que lımx→a

f(x) = f(a), es decir, que f(x) es continua ena.

�Sea f(x) una funcion definida en un intervalo I de R y sea a ∈ I. Se dice

que f(x) es derivable en el punto a por la derecha, si existe (es unnumero real) alguno de estos dos lımites

lımx→a+

f(x)− f(a)x− a

lımh→0+

f(a+ h)− f(a)h

.

En ese caso, a ese numero real se le llama derivada de f(x) en a por la derechay se denota f ′+(a).

De forma similar se define funcion derivable en a por la izquierda y derivadaen a por la izquierda:

f ′−(a) = lımx→a−

f(x)− f(a)x− a

= lımh→0−

f(a+ h)− f(a)h

.

Propiedad: Una funcion f(x) es derivable en un punto a si y solo si esderivable por la izquierda y por la derecha en a y ambas derivadas lateralescoinciden.

44 Capıtulo 5

Demostracion. f(x) es derivable en a si y solo si existe

lımx→a

f(x)− f(a)x− a

,

es decir, si y solo si existen los lımites laterales

lımx→a+

f(x)− f(a)x− a

y lımx→a−

f(x)− f(a)x− a

y son iguales.�

Ejemplo: La funcion f(x) = |x| es continua en 0 pero no es derivable,porque f ′−(0) = −1 y f ′+(0) = 1.

5.2. Funcion derivada

¿Cuanto vale la derivada de f(x) =√x en un punto cualquiera a?

f ′(a) = lımx→a

√x−√a

x− a= lım

x→a

√x−√a

x− a·√x+√a√

x+√a

=

lımx→a

x− a(x− a)(

√x+√a)

=1

2√a.

Sea una funcion f(x) definida en un intervalo I. Se dice que f(x) es deri-vable en I si es derivable en todo x ∈ I. En tal caso, podemos construir otrafuncion tal que a cada punto x le asigne la derivada de f(x) en ese punto:

x ∈ I f ′−→ f ′(x).

Dicha funcion se llama funcion derivada de f(x) o simplemente la derivada def(x), y se denota f ′(x).

Ejercicio: ¿Que diferencia hay entre la derivada de una funcion en unpunto y la derivada de una funcion?

�Las funciones polinomicas, exponenciales, logarıtmicas y trigonometricas

son derivables en cualquier punto de su dominio. Estas son las derivadas delas funciones elementales:

Derivadas y diferenciales 45

funcion derivada funcion derivada funcion derivadak ∈ R 0 L(x) 1/x Loga(x) 1

x Loga eex ex ax, a > 0 axLa xk, k ∈ R kxk−1

n√x 1

n n√x

sen(x) cos(x) cos(x) − sen(x)tan(x) 1 + tan2(x) arc sen(x) 1√

1−x2arc cosx −1√

1−x2

arctan(x) 11+x2 senh cosh(x) cosh(x) senh(x)

tanh(x) 1− tanh2(x) arcsenh(x) 1√1+x2

arccosh(x) 1√x2−1

arctanh(x) 11−x2

Nota.- Se define seno, coseno y tangente hiperbolica como

senh(x) =ex − e−x

2cosh(x) =

ex + e−x

2tanh(x) =

ex − e−x

ex + e−x

Ejercicio: Calcula la ecuacion de la recta:

1. Tangente a f(x) = 2x2 − 5x+ 3 y paralela a la recta y + 3x = 7.

2. Tangente a f(x) = 2x2 − 5x+ 3 en el punto x = −2.

�Ejercicio: Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcion

f(x) = |x2 − 7x+ 10|.

�Si f(x) es derivable en un intervalo I y su derivada f ′(x) es tambien deri-

vable en I, entonces la derivada de esta ultima es la derivada segunda de f(x)y se denota f ′′(x). De forma similar se definen f ′′′(x), f4), f5), etc.

46 Capıtulo 5

5.3. Operaciones con funciones derivables

Si f(x) y g(x) son funciones derivables en I, entonces:

1. La funcion suma (f + g)(x) y la diferencia (f − g)(x) son funcionesderivables en I y las derivadas de una y otra son

f ′(x) + g′(x) y f ′(x)− g′(x).

Demostracion. Para la suma:

(f + g)′(a) = lımh→0

(f + g)(a+ h)− (f + g)(a)h

=

lımh→0

f(a+ h) + g(a+ h)− [f(a) + g(a)]h

=

lımh→0

(f(a+ h)− f(a)h

+ lımh→0

g(a+ h) + g(a)h

= f ′(a) + g′(a).

De forma similar serıa para la diferencia.

2. La funcion α · f(x) es derivable ∀α ∈ R, y

(α · f)′(x) = α · f ′(x).

3. La funcion producto (f · g)(x) es derivable en I, y

(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x).

Demostracion.

(f · g)′(a) = lımh→0

(f · g)(a+ h)− (f · g)(a)h

=

= lımh→0

f(a+ h)g(a+ h)− f(a)g(a)h

=

= lımh→0

(f(a+ h)g(a+ h)− f(a)g(a+ h) + f(a)g(a+ h)− f(a)g(a)h

=

= lımh→0

[ [f(a+ h)− f(a)]g(a+ h)h

+f(a)[g(a+ h)− g(a)]

h

]=

= f ′(a)g(a) + f(a)g′(a).

Derivadas y diferenciales 47

4. La funcion cociente f/g es derivable en todo x ∈ I tal que g(x) 6= 0 y

f

g

′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)[g(x)]2

.

5. Si f(x) es derivable en I, g(x) es derivable en f(I), entonces la compo-sicion g ◦ f es derivable en I y (g ◦ f)′(x) = g′(f(x))f ′(x) (Regla de lacadena).

Demostracion.

(f ◦ g)′(a) = lımx→a

g(f(x))− g(f(a))x− a

= ∗

Hacemos uso de la funcion:

F (x) =

{g(f(x))−g(f(a))f(x)−f(a) − g′(f(a)) si f(x)− f(a) 6= 0

0 si f(x)− f(a) = 0.

Esta funcion verifica dos cosas:

a) g(f(x))− g(f(a)) = [F (x) + g′(f(a))][f(x)− f(a)].

b) lımx→a F (x) = 0.

Por tanto:

∗ = lımx→a

[F (x) + g′(f(a))][f(x)− f(a)]x− a

=

lımx→a

[F (x)

f(x)− f(a)x− a

]+ lımx→a

[g′(f(a))

f(x)− f(a)x− a

]=

0 · f ′(a) + g′(f(a)) · f ′(a) = g′(f(a)) · f ′(a).

�

Ejemplo: La funcion derivada de sen(f(x)) en un punto a es

cos(f(a)) · f ′(a).

Ejercicio: Sabiendo que la composicion de una funcion f(x) y su inversaf−1(x) es la funcion identidad ((f ◦ f−1)(x) = x), demuestra que laderivada del arcoseno es 1√

1−x2y que (f−1)′(x) = 1

f ′(f−1(x)).

�

48 Capıtulo 5

5.3.1. Derivada de una funcion implıcita

Sea F (x, y) = 0 una expresion que depende de x y de y. Supongamos queexiste un intervalo I ⊂ R y una funcion y = f(x) tal que si x ∈ I entoncesF (x, f(x)) = 0. Se dice que la funcion f(x) esta definida implıcitamente porla expresion F (x, y) = 0.

Ejemplo: La expresion x2+y2 = 0 define implıcitamente la funcion f(x) =√1− x2 y la funcion g(x) = −

√1− x2.

�

Si una funcion f(x) esta definida implıcitamente por una expresion F (x, y) =0, es posible calcular la derivada de la funcion y = f(x) respecto a la variablex en algun punto (x0, y0) que verifique la expresion F (x0, y0) = 0. El procesoserıa el siguiente:

1. Se deriva la expresion F (x, y) (considerando que y es una funcion quedepende de x) y se iguala a 0.

2. Se sustituye (x, y) en la expresion derivada anterior por (x0, y0).

3. Se despeja el valor de y′(x0).

Ejemplo: Calculamos la derivada de y respecto de x en el punto (1/2,√

3/2)sabiendo que x2 + y2 = 1.

1. Se deriva la expresion x2 + y2 − 1 y se iguala a 0:

Dx(F (x, y)) = 2x+ 2yy′ = 0

2. Se sustituye en la expresion derivada anterior (x, y) por (1/2,√

3/2):

2 ∗ 1/2 + 2 ∗√

3/2 ∗ y′(1/2) = 0

3. Se despeja el valor de y′(x0) :

y′(1/2) =−1√

3

Ejercicio: Calcula la derivada de y respecto de x en el punto (1, 2) sabiendoque xy2 = (1 + x)2 − Lx.

Derivadas y diferenciales 49

5.3.2. Derivadas sucesivas. Formula de Leibniz

Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en un intervalo abierto I. Laformula de Leibniz permite calcular la derivada n-esima del producto:

Dn(fg) =n∑i=0

(ni

)fn−i)gi).

5.4. Diferencial de una funcion. Funcion diferencia-ble

Sean f(x) y g(x) dos funciones reales definidas alrededor de un puntoa ∈ R. Diremos que f(x) y g(x) tienen un contacto de orden r ≥ 0 en a,si se verifica que:

1. f(a) = g(a)

2. lımx→a

f(x)− g(x)(x− a)r

= 0.

Intuitivamente, que dos funciones tenga un punto de contacto en a significaque las dos funciones son ”parecidas” alrededor de a. El parecido sera mayorcuanto mayor sea el orden r del contacto.

�Ejercicio: 1. Comprueba que si f(x) es continua en a entonces f(x) y la

funcion constante f(a) tienen un punto de contacto en a de orden 0.2. Demuestra que si f(x) y g(x) tienen un punto de contacto en a de orden

r, entonces tiene un punto de contacto en a de orden s, siendo s cualquiernumero tal que 0 ≤ s ≤ r.

�

Sea f(x) una funcion real definida alrededor de un punto a ∈ R.

Definicion 1: Se dice que f(x) es diferenciable en a si existe una funcionafın g(x) (un polinomio de grado menor o igual a 1), que podra expresarse comog(x) = n+ l(x− a) con n, l ∈ R, de modo que f(x) y g(x) tienen un punto decontacto en a de orden 1, es decir

lımx→a

f(x)− [n+ l(x− a)]x− a

= 0.

50 Capıtulo 5

Propiedad: Sea f(x) una funcion real definida en un entorno de un puntoa ∈ R. Entonces:

f(x) es diferenciable en a ⇔ f(x) es derivable en a.

�

Si la funcion f es diferenciable, la funcion g(x) sera siempre la recta tan-gente a f(x) en a, es decir: g(x) = f(a) + f ′(a)(x− a).

Se define diferencial de una funcion f(x) en un punto a a la funcionlineal

dfa : R → Rx 7→ f ′(a)x.

Puesto que la recta tangente g(x) y f(x) tienen un punto de contacto en a,ambas funciones tienen valores parecidos alrededor de a, y se puede utilizarg(x) como aproximacion de f(x) alrededor de a. Ası

f(x)− f(a) ≈ g(x)− g(a) = f ′(a)(x− a) = dfa(x− a).

Luego la diferencia f(x)− f(a) se puede aproximar por el valor de la funciondfa en el punto x− a.

Dado lo anterior, se puede definir tambien funcion diferenciable de la si-guiente forma:

Definicion 2: Una funcion f(x) es diferenciable en a ∈ R si existe unafuncion lineal dfa tal que

lımx→a

f(x)− f(a)− dfa(x− a)x− a

= 0.

Se define diferencial de una funcion f(x) a la aplicacion que a cadapunto a ∈ R le adjudica su correspondiente funcion lineal dfa:

df : R → L(R,R)x 7→ dfx = f ′(x)dx.

siendo L(R,R) el conjunto de las funciones lineales de R en R.

Capıtulo 6

Propiedades de la funcionesderivables

6.1. Comportamiento en un punto de las funcionesderivables. Crecimiento y decrecimiento.

Sea f(x) una funcion definida alrededor de un punto a ∈ R. Recordan-do los conceptos de crecimiento, decrecimiento, maximo relativo y mınimorelativo que se definieron en la seccion 3.1, podemos enunciar las siguientespropiedades:

1. Si f(x) es una funcion derivable en a y creciente (equivalentemente,decreciente) en a, entonces f ′(a) ≥ 0 (f ′(a) ≤ 0).

Demostracion. El valor de f ′(a) = lımx→af(x)−f(a)

x−a es mayor o igual que0, porque si x < a, el numerador y el denominador son negativos, y six > a, ambos son positivos. �

2. Si f(x) es una funcion derivable en a y f ′(a) > 0 (equivalentemente,f ′(a) < 0), entonces f(x) es estrictamente creciente en a (estrictamentedecreciente en a).

Demostracion. Como f ′(a) = lımx→af(x)−f(a)

x−a > 0, existe una bola cen-trada en a tal que si x < a, el numerador y el denominador son negati-vos, con lo que f(x) < f(a); si x > a, ambos son positivos, con lo quef(x) > f(a). �

51

52 Capıtulo 6

3. Si f(x) es una funcion derivable en a y alcanza un mınimo relativo en a(equivalentemente, maximo relativo), entonces f ′(a) = 0.

Demostracion. Por ser a un mınimo relativo, se tiene que f(x) − f(a)y x − a tienen el mismo signo si x < a y distinto signo si x > a. Portanto f ′−(a) = lımx→a−

f(x)−f(a)x−a ≤ 0 y f ′+(a) = lımx→a+

f(x)−f(a)x−a ≥ 0.

Se concluye que f ′(a) = 0. De forma similar se razona para un maximorelativo. �

¿Si f(x) es estrictamente creciente en a entonces f ′(a) > 0?

¿Si f ′(a) = 0 entonces a es un maximo o mınimo?

6.2. Teoremas fundamentales del calculo diferencial

Ejercicio: Sea f(x) = x3 − 9x + 1 la funcion que muestra el beneficio enel intervalo de anos [−3, 3], siendo 0 el ano presente. Calcula el beneficio 3anos antes y 3 anos despues y calcula si el crecimiento del beneficio ha sido 0algun ano.

El beneficio hace 3 anos fue f(−3) = 1 y el beneficio 3 anos despuessera f(3) = 1. El crecimiento del beneficio se valora con la derivada de lafuncion y sera 0 si f ′(x) es 0 en algun valor del intervalo [−3, 3]. Esto ultimose puede asegurar que ocurre basandonos en el teorema de Rolle:

Teorema de Rolle: Si f(x) es continua en [a, b], derivable en (a, b) yademas f(a) = f(b), entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Demostracion. Como f(x) es continua en el intervalo [a, b], por una propie-dad de las funciones continuas (ver seccion 4.4), alcanzara un valor maximo(M) y un valor mınimo (m) en [a, b]. Si M o m se corresponden con un puntoc ∈ (a, b), entonces f ′(c) = 0 por ser maximo o mınimo relativo. Si M y mse alcanzan en a y b, entonces M = f(a) = f(b) = m, con lo que f(x) esconstante en [a, b] y su derivada vale 0 en todo punto de [a, b].

�

Propiedades de las funciones derivables 53

Teorema de Cauchy de valor medio: Si f(x) y g(x) son funcionescontinuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe un punto c ∈ (a, b) talque f ′(c)[g(b)− g(a)] = g′(c)[f(b)− f(a)].

Demostracion. Basta comprobar que la funcion f(x)[g(b)−g(a)]−g(x)[f(b)−f(a)] cumple el teorema de Rolle en [a, b].

�

Figura 6.1: f(x) = 1√x

Ejercicio: Las expresiones f(t) = t3 + 1 y g(t) = t2 + 3 representan losbeneficios en funcion del tiempo de dos empresas (ver figura 6.1). Compruebaque el incremento de los beneficios de una de ellas es el doble que el incrementodel beneficio de la otra en el intervalo de tiempo desde t = 0 hasta t = 2.¿En algun instante el crecimiento de los beneficios de una fue el doble que elcrecimiento de los beneficios de la otra?

�Teorema de Lagrange de valor medio: Si f(x) es una funcion continua

en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que f(b)−f(a) = f ′(c)[b− a].

Demostracion. Basta aplicar el teorema anterior a f(x) y a g(x) = x.�

Ejercicio: En el ejercicio anterior, calcula el incremento medio de los be-neficios en el periodo [0, 2]. ¿En algun instante de ese periodo el crecimientode los beneficios fue igual que el incremento medio?

�

54 Capıtulo 6

Regla de L’Hopital: Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en todoslos puntos de una bola reducida B de a ∈ R∪ {∞,−∞} (un bola centrada ena a la que le quitamos a). Si ambas funciones son derivables en B y g′(x) 6= 0∀x ∈ B, entonces:

1. Si lımx→a

f(x) = lımx→a

g(x) = 0 y lımx→a

f ′(x)g′(x)

= k ∈ R, entonces

lımx→a

f(x)g(x)

= lımx→a

f ′(x)g′(x)

= k.

2. Si lımx→a

f(x) =∞, lımx→a

g(x) =∞ y lımx→a

f ′(x)g′(x)

= k ∈ R, entonces

lımx→a

f(x)g(x)

= lımx→a

f ′(x)g′(x)

= k.

Demostracion del Caso 1. Si a ∈ R, definimos f(a) = 0 y g(a) = 0, con loque f(x) y g(x) son funciones continuas en B ∪ a. Si x ∈ B, podemos aplicarel teorema de Cauchy al intervalo [x, a] (o al intervalo [a, x]) y tendremos queexiste un punto cx ∈ [x, a] (o cx ∈ [a, x]) tal que

f(x)g(x)

=f(x)− f(a)g(x)− g(a)

=f ′(cx)g′(cx)

.

Por tanto,

lımx→a

f(x)g(x)

= lımx→a,cx→a

f ′(cx)g′(cx)

Si a = ±∞, basta hacer el cambio t = 1/x y aplicar lo anterior.�

Capıtulo 7

Aproximacion local defunciones mediantepolinomios

7.1. Teorema de Taylor en una variable

7.1.1. Polinomio de Taylor

Dada una funcion f(x), ¿como construir una funcion sencilla que ”se pa-rezca” a f(x) alrededor de un cierto punto a ∈ R?

Figura 7.1: Polinomios de Taylor de ex en 0 de orden 0, 1, 2 y 3.

Teorema (local de Taylor): Sea B una bola abierta centrada en un puntoa ∈ R, y f : B ⊂ R→ R es una funcion diferenciable m veces en a. Existe unaunica funcion polinomica de grado menor o igual que m que tiene un contactoen a con f(x) de orden m. Dicha funcion es:

Pma f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ fm)(a)

m!(x− a)m

Pma f(x) es el polinomio de Taylor de f(x) de grado m en el punto a.

55

56 Capıtulo 7

Demostracion del Teorema local de Taylor. Consideremos el polinomio

P (x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · ·+ cm(x− a)m.

Si f(x) y P (x) tienen un contacto de orden m en a, entonces (ver seccion 5.4)se cumplira lo siguiente:

1. f(a) = P (a)⇒ c1 = f ′(a).

2. lımx→a

f(x)− P (x)(x− a)r

= 0, ∀ 0 ≤ r ≤ m.

En particular, si r = 1,

0 = lımx→a

f(x)− P (x)(x− a)

=

= lımx→a

f(x)− [f(a) + c1(x− a) + · · ·+ cm(x− a)m](x− a)

=

lımx→a

f(x)− f(a)x− a

− c1 ⇒ c1 = f ′(a).

Si r = 2,

0 = lımx→a

f(x)− P (x)(x− a)2

=

= lımx→a

f(x)− [f(a) + c1(x− a) + · · ·+ cm(x− a)m](x− a)2

=

= lımx→a

f(x)− f(a)− f ′(a)(x− a)(x− a)2

= (L’Hopital) =

= lımx→a

f ′(x)− f ′(a)2(x− a)

− c2 ⇒ c2 = f ′′(a)2 .

Razonando de forma similar hasta r = m se obtiene que los unicos coeficientesposibles para el polinomio son los siguientes

c0 = f(a) c1 = f ′(a) c2 = f ′′(a)2! · · · cm = fm)(a)

m! .

Ejercicio: Calcula los polinomios de Taylor para la funciones ex y sen(x)en el punto 0 de orden 1, 2, 3, 4. Deduce la expresion para orden n.

Aproximacion local de funciones 57

�Ejercicio: Demuestra que la funcion

f(x) ={x3 sen( 1

x) si x 6= 00 si x = 0

y el polinomio P (x) = 0 tiene un punto de contacto de orden 3 en el punto 0.Sin embargo, la funcion f(x) no es 3 veces diferenciable.

�Ejercicio: Si f(x) es un polinomio de grado n, ¿cuales son sus polinomios

de Taylor de grado 0, 1, 2, . . . ,m?�

7.1.2. Teorema de Taylor. Formula de Taylor

Ejercicio: Calcula aproximadamente el valor de e0,2 haciendo uso de lospolinomios de Taylor de grado 1,2,3 y 4.

�

¿Como estimar el error cometido al aproximar un cierto valor haciendo usode los polinomios de Taylor?

Si f(x) es m + 1 veces derivable en [a, b) y m veces derivable en (a, b),entonces existe c ∈ (a, b) tal que

f(b) = Pma f(b) + fm+1)(c)(m+1)! (b− a)m+1.

Teorema: Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en [a, b], continuas en[a, b], m veces derivables en [a, b) y m+ 1 veces derivables en (a, b). Entonces:

1. Existe c ∈ (a, b) tal que

[f(b)− Pma f(b)] · gm+1)(c) = [g(b)− Pma g(b)] · fm+1)(c)

2. Existe c ∈ (a, b) tal que

f(b)− Pma f(b) = fm+1)(c)(m+1)! (b− a)m+1.

58 Capıtulo 7

Demostracion. Caso 1. Consideramos las funciones

F (x) = f(x)− Pma f(x) G(x) = g(x)− Pma g(x).

A partir de ellas construimos la funcion H(x) = F (b)G(x)−G(b)F (x).

Paso 1. H(x) verifica las hipotesis del teorema de Rolle en el intervalo [a, b]:es continua en [a, b], es derivable en (a, b) y 0 = H(a) = H(b). Por tanto existeun punto c1 ∈ (a, b) tal que H ′(c1) = 0.

Paso 2. H ′(x) verifica las hipotesis del teorema de Rolle en el intervalo[a, c1]: es continua en [a, c1], es derivable en (a, c1) y 0 = H ′(a) = H ′(c1). Portanto existe un punto c2 ∈ (a, c1) tal que H ′′(c2) = 0.

Y ası sucesivamente hasta el paso m.

Paso m+1. Hm(x) verifica las hipotesis del teorema de Rolle en el intervalo[a, cm]: es continua en [a, cm], es derivable en (a, cm) y 0 = Hm)(a) = Hm)(cm).Por tanto existe un punto c ∈ (a, cm) tal que Hm+1(c) = 0. Pero

0 = Hm+1)(c) = F (b) ·Gm+1)(c)−G(b) · Fm+1)(c) =

[f(b)− Pma f(b)] · gm+1)(c)− [g(b)− Pma g(b)] · fm+1)(c).

Por lo tanto, hemos encontrado el punto c buscado.Caso 2. Basta aplicar el caso 1 a f(x) y a g(x) = (x− a)m+1.

�

La expresion

f(b)− Pma f(b) =fm+1)(c)(m+ 1)!

(b− a)m+1

sirve para estimar la diferencia entre el valor de f(x) en un punto b cuandolo aproximamos por el valor del polinomio de Taylor en b, es decir, se utilizapara acotar el error cometido en la aproximacion.

Ejercicio: Calcula una cota de los errores cometidos en el ejercicio anterior,al aproximar e0,2 haciendo uso de los polinomio de Taylor de grado 1,2,3 y 4.

Aproximacion local de funciones 59

Ejercicio: ¿Que polinomio usarıas para encontrar una aproximacion de e1

con seis cifras decimales exactas?

Ejercicio: ¿Que polinomio usarıas para encontrar una aproximacion desen(3) con error menor que 10−10?

Ejercicio: Calcula

lımx→0

sen(x)x

haciendo uso de la formula de Taylor de sen(x) en 0.

7.2. Estudio local de la grafica de una funcion

Si f(x) una funcion diferenciable en a, f(x) estara definida alrededor de a ytendra una unica recta tangente a en a. La grafica de la funcion tendra ecuaciony = f(x) y la recta tangente en a tendra ecuacion

y = f(a) + f ′(a)(x− a).

Se dice que f(x) tiene en a un punto de

1. concavidad, si existe una bola centrada en a tal que la recta tangenteesta por encima de la grafica de f(x):

f(a) + f ′(a)(x− a) ≥ f(x)

2. convexidad, si existe una bola centrada en a tal que la recta tangenteesta por debajo de la grafica de f(x):

f(a) + f ′(a)(x− a) ≤ f(x)

3. inflexion, si existe una bola centrada en a tal que la recta tangenteesta por encima de la grafica de f(x) si x < a y por debajo de f(x) six > a.

Se dice que una funcion f(x) es

4. creciente en un intervalo I (equivalentemente, estrictamente cre-ciente) si para todo x, y ∈ I

x < y ⇒ f(x) ≤ f(y) (f(x) < f(y)),

60 Capıtulo 7

5. decreciente en un intervalo I (equivalentemente, estrictamente de-creciente) si para todo x, y ∈ I, si

x < y ⇒ f(x) ≥ f(y) (f(x) > f(y)),

6. convexa en un intervalo I si para todo x, y, z ∈ I, si

x < y < z ⇒ f(y)− f(x)y − x

≤ f(z)− f(y)z − y

,

7. concava en un intervalo I si para todo x, y, z ∈ I, si

x < y < z ⇒ f(y)− f(x)y − x

≥ f(z)− f(y)z − y

,

En general, no tiene por que ocurrir ninguna de las tres cosas.

Aproximacion local de funciones 61

Teorema: Sea f(x) una funcion derivable varias veces. Si la primera deri-vada en a de orden mayor que 1 que no se anula es

1. de orden par y positiva, entonces a es un punto de convexidad para f(x);

2. de orden par y negativa, entonces a es un punto de concavidad paraf(x);

3. de orden impar, entonces a es un punto de inflexion para f(x).

Demostracion. Caso 1. Supongamos que

f ′′(a) = f ′′′(a) = · · · = fm−1)(a) = 0, fm)(a) > 0.

Por el teorema local de Taylor sabemos que f(x) y Pma f(x) tiene un punto decontacto de orden m en a, luego:

0 = lımx→a

f(x)− Pma f(x)(x− a)m

=

= lımx→a

f(x)− [f(a) + f ′(a)(x− a) + · · ·+ fm(a)m! (x− a)m]

(x− a)m,

es decir

lımx→a

f(x)− f(a)− f ′(a)(x− a)(x− a)m

=fm)(a)m!

> 0.

De modo que el numerador y denominador de la fraccion f(x)−f(a)−f ′(a)(x−a)(x−a)m

tienen que tener el mismo signo alrededor del punto a. Por ser m par, el signode (x− a)m es positivo y como consecuencia

f(x)− f(a)− f ′(a)(x− a) > 0

alrededor de a, que es la condicion para que a sea punto de convexidad.Los casos 2 y 3 se razonan de forma similar.

�

62 Capıtulo 7

Teorema: Sea f(x) una funcion derivable varias veces. Si la primera deri-vada en a es 0 y a es un punto de

1. convexidad, entonces a es un mınimo relativo para f(x)

2. concavidad, entonces a es un maximo relativo para f(x).

Demostracion. Similar a la anterior.�

Teorema: Sea I un intervalo abierto (acotado o no) y f(x) una funcionderivable definida en I. Entonces:

1. f(x) es creciente ⇔ f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I.

2. f(x) es decreciente ⇔ f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ I.

Demostracion.⇐) Si x < y entonces y−x > 0, usando el teorema de valormedio existe c ∈ (x, y) tal que

f(y)− f(x) = f ′(c)(y − x).

Como por hipotesis f ′(c) ≥ 0, tenemos que f(y)− f(x) ≥ 0.

⇒) Si f ′(x) < 0 en algun punto x, entonces (ya visto) f(x) serıa estric-tamente decreciente en un entorno de x (contradiccion). Por tanto f ′(x) ≥ 0para todo x ∈ I.

�

Proposicion: Sea I un intervalo abierto (acotado o no) y f(x) una funcionderivable definida en I. Entonces:

1. f(x) es convexa en I ⇔ f ′(x) es creciente en I

2. f(x) es concava ⇔ f ′(x) es decreciente en I.

Demostracion. ⇒) Sea f(x) una funcion convexa. Por la definicion, si x <y < z, tenemos que

f(y)− f(x)y − x

≤ f(z)− f(y)z − y

Si hacemos que z tienda hasta x, tendremos que

Aproximacion local de funciones 63

lımy→x

f(y)− f(x)y − x

≤ lımz→x

f(z)− f(y)z − y

⇒ f ′(x) ≤ f ′(y)

que significa que f ′ es una funcion creciente en I.⇐) Sean x < y < z. Aplicando el teorema de valor medio a los intervalos

[x, y] e [y, z], encontramos dos valores u ∈ [x, y] y v ∈ [y, z] tales que

f(y)− f(x) = f ′(u)(y − x) f(z)− f(y) = f ′(v)(z − y).

Por tantof(y)− f(x)

y − x= f ′(u) ≤ f ′(v) =

f(z)− f(y)z − y

lo que significa que f es una funcion convexa en I.�

Teorema: Sea I un intervalo abierto (acotado o no) y f(x) una funcionderivable definida en I. Entonces:

f(x) es convexa ⇔ f ′′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ I

Demostracion. Por la proposicion anterior, f(x) es convexa si y solo si f ′(x)es creciente. Esto ultimo es cierto si y solo si la derivada de f ′(x) es mayor oigual que 0, es decir f ′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ I.

�

Capıtulo 8

Representacion grafica defunciones y curvas

8.1. Representacion grafica de funciones

La representacion grafica de una funcion debe incluir el estudio de lo si-guiente:

1. Dominio: D = {x ∈ R/ ∃f(x) ∈ R}.

2. Simetrıas: par f(x) = f(−x) o impar −f(x) = f(−x) ∀ x ∈ D.

3. Periodicidad: existe T ∈ R llamado perıodo tal que

f(x+ T ) = f(x) ∀ x ∈ D.

4. Puntos de corte con los ejes: en el eje OX los puntos de la forma (x, 0)y en el eje OY los puntos de la forma (0, f(0)).

5. Signo de la funcion: los conjunto de puntos {x ∈ R/ f(x) > 0} y{x ∈ R/ f(x) < 0}.

6. Puntos de discontinuidad:

Evitable: existe lımx→a

f(x) y es un numero real.

Esencial: no existe lımx→a

f(x) o es ±∞. A su vez, esta puede ser:

65

66 Capıtulo 8

• De salto infinito: existen los lımites laterales y alguno es ±∞.• De salto finito: existen los lımites laterales y ambos son finitos.• De segunda especie: no existe algun lımite lateral.

7. Asıntotas:

Horizontales: son rectas de la forma y = b tales que

lımx→±∞

f(x) = b

Verticales: son rectas de la forma x = a tales que

lımx→a+,a−

f(x) = ±∞

Oblicuas: son rectas de la forma y = mx+ n tales que

lımx→±∞

f(x)x

= m y lımx→±∞

f(x)−mx = n.

8. Regiones de crecimiento y decrecimiento

9. Maximos o mınimos relativos.

10. Regiones de concavidad y convexidad.

11. Puntos de inflexion.

�

8.2. Curvas en el plano

8.2.1. Curvas en forma parametrica

Sea I un subconjunto de los numero reales. Una curva en el plano R2 esuna aplicacion

σ : I ⊂ R → R2

t 7→ (x(t), y(t))

I es el dominio de definicion de la curva y suele ser un intervalo. σ(t) =(x(t), y(t)) se conoce como la expresion parametrica de la curva. Una relacionentre x e y que solo verifiquen los puntos de la curva se denomina expresionimplıcita de la curva.

Representacion de funciones 67

Ejemplos:

1. σ1(t) = (cos 5t, sen t) para t ∈ [0, 2π).

2. σ2(t) = ( 3t1+t3

, 3t2

1+t3) para t ∈ R− {−1}.

3. Cualquier funcion f : R→ R es un caso particular de curva en el plano:

σf : t ∈ Dom(f) → R2

t 7→ (t, f(t))

�

Figura 8.1: σ1(t) = (cos 5t, sen t) y σ2(t) = ( 3t1+t3 ,

3t2

1+t3 ).

Dada una curva σ(t) = (x(t), y(t)) (t ∈ [t1, t2]) en el plano, si alrededor deun punto t = t0 se puede expresar y en funcion de x (y = f(x)), entonces

dy

dt(t0) =

d(f ◦ x)dt

=df

dx(x(t0)) · dx

dt(t0)

de donde se deduce quedf

dx(x(t0)) =

dydt (t0)dxdt (t0)

y en generaldf

dx=

dydtdxdt

(x′(t0), y′(t0)) es el vector tangente a una curva parametrica en un puntot = t0 y la recta tangente a la curva en el punto t = t0 tiene ecuacion

(y − y(t0))x′(t0) = (x− x(t0))y′(t0).

La recta normal a la curva en el punto t = t0 es la que pasa por el pun-to (x(t0), y(t0)) y tiene vector director perpendicular al tangente, es decir,(−y′(t0), x′(t0)).

68 Capıtulo 8

Los posibles maximos o mınimos relativos de tangente horizontal son lospuntos tales que y′(t) = 0 y x′(t) 6= 0. Los de tangente vertical son aquellostales que x′(t) = 0 y y′(t) 6= 0.

Los puntos singulares de la curva son aquellos en los que x′(t) = y′(t) = 0.Si existen t y t′ tales que x(t) = x(t′) y y(t) = y(t)′, dicho punto de la

curva es multiple.La curva es simetrica

respecto del eje Y si para todo t ∈ [t1, t2] existe t′ ∈ [t1, t2] tal quex(t) = −x(t′) y y(t) = y(t′);

respecto del eje X si para todo t ∈ [t1, t2] existe t′ ∈ [t1, t2] tal quex(t) = x(t′) y y(t) = −y(t′);

respecto del punto (0, 0) si para todo t ∈ [t1, t2] existe t′ ∈ [t1, t2] tal quex(t) = −x(t′) y y(t) = −y(t′).

La curva tiene asıntota

horizontal de ecuacion y = b si

lımt→t0

x(t) = ±∞, lımt→t0

y(t) = b (t0 ∈ {R,±∞});

vertical de ecuacion x = a si

lımt→t0

y(t) = ±∞ lımt→t0

x(t) = a, (t0 ∈ {R,±∞});

oblicua de ecuacion y = mx+ n (m 6= 0) si existe t0 ∈ {R,±∞} tal que

lımt→t0

x(t) = ±∞, lımt→t0

y(t)x(t)

= m, lımt→t0

[y(t)−mx(t)] = n, (t0 ∈ {R,±∞}).

Ejercicio: Estudia las graficas de la curvas

1. σ1(t) = (cos 5t, sen t) para t ∈ [0, 2π).

2. σ2(t) = ( 3t1+t3

, 3t2

1+t3) para t ∈ R− {−1}.

3. x = t− sen t y = 1− cos(t) para t ∈ [0, 2π).

�

Representacion de funciones 69

Figura 8.2: r = eθ+1eθ+2

y r = sen(4θ).

8.2.2. Curvas en polares

Sean (r, θ) las coordenadas polares de un punto del plano R2. El conjuntode puntos que verifican r = 3 forman la circunferencia de radio 3 centrada enel punto 0. El anterior es un ejemplo de ecuacion polar de una curva.

En general, si f : R → R una funcion siempre positiva, el conjunto depuntos cuyas coordenadas polares verifican r = f(θ) forman una curva en elplano y la expresion r = f(θ) es la ecuacion polar de la curva.

Toda curva polar r = f(θ) se puede estudiar como la curva parametrica

x(θ) = f(θ) cos(θ) y(θ) = f(θ) sen(θ).

Aparte de todo lo estudiado para curvas parametrica, tambien es posibleestudiar en una curva polar lo siguiente:

Simetrıas:

respecto al eje polar X si f(θ) = f(−θ)

respecto al eje perpendicular al polar Y si f(θ) = f(π − θ)

respecto al polo (0, 0) si f(θ) = f(π + θ).

Asıntotas:

de ecuacion θ = θ0 si lımθ→θ0

f(θ) =∞,

de ecuacion r = r0 si lımθ→±∞

f(θ) = r0.

Ejercicio: Estudia las graficas de las curvas polares

r =eθ + 1eθ + 2

y r = sen(4θ).

�

Capıtulo 9

Integral de Riemann

9.1. Definicion y propiedades de la integralde Riemann

Sea f : R→ R una funcion positiva definida en un intervalo [a, b]. Preten-demos calcular el area delimitada por la grafica de la funcion f y por el eje Xdesde x = a hasta x = b, que denotaremos

∫ ba f(x)dx.

Para calcular el area, elegimos una particion P = {x0, x1, . . . , xn} delintervalo [a, b], es decir, un conjunto de puntos del intervalo [a, b] tal que

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b y [a, b] = ∪nk=1[xk−1, xk].

A partir de la particion anterior, se puede calcular el valor s(f, P ), quesera la suma de las area de los rectangulos de base [xk−1, xk] y altura el valorınfimo de f(x) en intervalo [xk−1, xk]:

s(f, P ) =n∑k=1

mk(f)|xk − xk−1| siendo mk(f) = ınf{f(x) : x ∈ [xk−1, xk]}.

De forma similar, se puede calcular el valor S(f, P ), que sera la suma delas areas de los rectangulos de base [xk−1, xk] y altura el valor supremo def(x) en intervalo [xk−1, xk]:

S(f, P ) =n∑k=1

Mk(f)|xk−xk−1| siendo Mk(f) = sup{f(x) : x ∈ [xk−1, xk]}.

71

72 Capıtulo 9

De esta forma, tenemos acotado el valor del area que pretendıamos calcular:

s(f, P ) ≤∫ b

af(x) dx ≤ S(f, P ).

Si queremos aproximarnos mas al valor del area buscada, podemos elegiruna particion P ′ mas fina que P , es decir, una particion del intervalo [a, b]con mas puntos. Se puede comprobar facilmente que si P ′ es mas fina que P ,entonces

s(f, P ) ≤ s(f, P ′) ≤∫ b

af(x) dx ≤ S(f, P ′) ≤ S(f, P )

Siguiendo este proceso de forma que la anchura de los ”trocitos”[xk−1, xk]de las particiones tienda a 0, podremos aproximar el valor del area buscadatanto como queramos, siempre que se verifique que los lımites de las sumass(f, P ) y S(f, P ) converjan al mismo valor. En ese caso, el area

∫ ba f(x)dx es

la integral de f(x) en el intervalo [a, b] y se define como

∫ ba f(x)dx = lımS(f, P ) = lım s(f, P )

y la funcion f(x) se dice que es integrable.El proceso anterior y la correspondiente definicion de integral de f(x) en

[a, b] es valido tambien cuando la funcion es negativa o cuando tiene una partepositiva y otra negativa.

Si la funcion es negativa, el resultado de∫ ba f(x)dx sera el valor del area

definida por f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b, pero con el signonegativo.

Si la funcion tiene una parte positiva y otra negativa en [a, b], elvalor de

∫ ba f(x)dx obtenido mediante el proceso anterior es la suma del area

definida por la parte positiva de la funcion menos el area definidapor la parte negativa de la funcion en el intervalo [a, b].

En resumen, una funcion f : [a, b]→ R acotada es integrable en [a, b] si

lımS(f, P ) = lım s(f, P )

Calculo integral 73

cuando la particion P se hace mas fina y la distancia mınima de los puntos dela particion tiende a 0 . En ese caso se llama integral de f(x) en [a, b] a∫ b

af(x)dx = lımS(f, P ) = lım s(f, P )

y su valor representa la suma del area definida por el eje X y la parte positivade la funcion f(x) menos el area definida por el eje X y la parte negativa dela funcion f(x), todo ello dentro del intervalo [a, b]

9.1.1. Propiedades de la integral

Sea f : R→ R una funcion acotada en un intervalo [a, b].

1. Si f(x) es monotona (creciente o decreciente) o continua en [a, b], enton-ces f(x) es integrable en [a, b].

2. Si f(x) es integrable en [a, b], entonces −f(x) es integrable en [a, b] y∫ ba −f(x)dx = −

∫ ba f(x)dx.

3. Si f(x) ≥ 0 en [a, b], entonces∫ ba f(x)dx ≥ 0.

4. Si f(x)y g(x) son integrables en [a, b] y f(x) ≥ g(x) en [a, b], entonces∫ ba f(x)dx ≥

∫ ba g(x)dx.

5. Si f(x) es integrable en [a, b], entonces |f(x)| tambien y |∫ ba f(x)dx| ≤∫ b

a |f(x)|dx.

6. Si f(x) y g(x) son integrables en [a, b] entonces αf(x)± βg(x) tambieny∫ ba [αf(x)± βg(x)]dx = α

∫ ba f(x)dx± β

∫ ba g(x)dx ∀α, β ∈ R.

7. Si f(x) es integrable en [a, b], entonces f(x) es integrable en [a, c] y en[c, b] ∀a < c < b y

∫ ba f(x)dx =

∫ ca f(x)dx+

∫ bc f(x)dx.

8.∫ aa f(x)dx = 0.

9. Si f(x) tiene, como mucho, un numero de discontinuidades finitas oinfinitas numerables (tantas discontinuidades como numeros naturaleshay), entonces f(x) es integrable en [a, b].

74 Capıtulo 9

9.2. Teoremas fundamentales del calculo integral

Teorema del valor medio

Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada en [a, b]. Sean

m = ınf{f(x) : x ∈ [a, b]} M = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}.

Si f(x) es integrable en [a, b], entonces:

1. m(b− a) ≤∫ ba f(x)dx ≤M(b− a)

2. existe m ≤ µ ≤M tal que∫ ba f(x)dx = µ(b− a).

Teorema

Sea f : [a, b] → R una funcion integrable en [a, b]. Entonces, existe lafuncion F : [a, b]→ R definida ası:

F (x) =∫ x

af(t)dt ∀x ∈ [a, b].

Ademas la funcion F (x) es continua en [a, b].

f(x) ={

1 si x ∈ [0, 12 ]

2 si x ∈ (12 , 1] F (x) =

{x si x ∈ [0, 1

2 ]2x− 1

2 si x ∈ (12 , 1]

Calculo integral 75

Teorema fundamental del calculo integral

Sea f : [a, b] → R una funcion continua en [a, b]. Entonces la funcionF (x) =

∫ xa f(t)dt es derivable en (a, b) y F ′(x) = f(x) ∀x ∈ (a, b).

f(x) = x F (x) =x2

2

�Sea f(x) : [a, b] → R. Una primitiva de f(x) en [a, b] es una funcion

G : [a, b]→ R tal que G′(x) = f(x) ∀x ∈ (a, b).

Ejemplos:

1. x2

2 es primitiva de x en todo R.

2. Si f(x) es continua en [a, b], entonces F (x) =∫ xa f(t)dt es una primitiva

de f(x) en [a, b].

Ejercicio: Justifica que si F (x) y G(x) son dos primitivas de una mismafuncion f(x) en un intervalo [a, b], entonces F (b)− F (a) = G(b)−G(a).

�

Regla de Barrow

Sea f : [a, b] → R una funcion continua en [a, b] y G(x) una primitiva def(x) en [a, b]. Entonces: ∫ b

af(x)dx = G(b)−G(a).

Ejemplo:∫ 31 x dx =

[x2

2

]31

= 92 −

12 = 4.

Capıtulo 10

Tecnicas de integracion

10.1. Primitivas de una funcion. Primitivas inme-diatas

Denotaremos∫f(x) dx al conjunto de funciones primitivas de f(x), es

decir, las funciones cuya derivada es f(x). Ya justificamos en el tema anteriorque dos primitivas de una misma funcion se diferencian en una constante, portanto, conocida una primitiva, se conoceran todas las demas. A continuacionse presentan las primitivas de algunas funciones que denominaremos primitivasinmediatas:

∫k dx = kx ∀k ∈ R

∫xn dx = xn+1

n+1 ∀n 6= −1∫1x dx = L |x|

∫ex dx = ex∫

ax dx = ax

La

∫sen(x) dx = − cos(x)∫

cos(x) dx = sen(x)∫

1sen2(x)

dx = − cotg(x)∫1

cos2(x)dx = tg(x)

∫1

1+x2 dx = arc tg(x)∫1√

1−x2dx = arc sen(x) = − arcos(x)

10.2. Integracion por partes

Sea u(x) y v(x) dos funciones. Dado que

(u(x) · v(x))′ = u(x) · v′(x) + u′(x) · v(x)

77

78 Capıtulo 10

se deduce queu(x) · v′(x) = (u(x) · v(x))′ − u′(x) · v(x)

y por tanto ∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x)dx

Ejercicios: Calcula∫

Lx dx∫ Lx

x dx∫x cosx dx

∫ex cosx dx

10.3. Integracion por cambio de variable

Sea f(x) una funcion. Supongamos que x es funcion de otra variable t(x=g(t)). En ese caso, se puede demostrar que∫

f(x) dxx=g(t)

=∫f(g(t)) g′(t) dt

Si se utiliza este metodo de integracion, hay que tener en cuenta que, obien expresamos el resultado final en la variable original deshaciendo el cambio(t = g−1(x)), o bien cambiamos los lımites de integracion en el caso de que loestemos aplicando al calculo de una integral

∫ ba f(x) dx.

Ejercicio: Calcula∫ 31 x√x− 1 dx

10.4. Integracion de funciones racionales

Una funcion racional en la variable x es un cociente de polinomios en dichavariable. En esta seccion resolveremos integrales de funciones racionales.

Ejemplos:∫x2

x−1 dx∫

2x−3x2−3x+2

dx∫

3x+5x3−x2−x+1

dx∫

1x3+1

dx∫

2x3−2x2+16x(x2+4)2

dx

Caso 1:∫ P (x)Q(x)dx con grado(P ) ≥ grado(Q).

Se utiliza la division de polinomios P (x) = Q(x)C(x)+R(x) para descom-poner la integral: ∫

P (x)Q(x)

dx =∫ (

C(x) +R(x)Q(x)

)dx

Tecnicas de integracion 79

En la integral de R(x)Q(x) el numerador tiene menor grado que el denominador y

corresponde al caso 2.

Ejercicio: Calcula∫

x2

x−1 dx

Caso 2:∫ P (x)Q(x)dx grado(P ) < grado(Q).

Caso 2.1: Q(x) solo tiene raıces reales simples Es decir,

Q(x) = k(x− x1) . . . (x− xp)

con k, x1, · · · , xp ∈ R. Siempre es posible descomponer la fraccion de estaforma: ∫

P (x)Q(x)

dx =∫ (

A1

x− x1+ · · ·+ Aq

x− xp

)dx

siendo Ai ∈ R. Las integrales que quedan en la suma son de tipo logaritmo.

Ejercicio: Calcula∫

2x−3x2−3x+2

dx

Caso 2.2: Q(x) tiene raıces reales simples y multiples:

Q(x) = k(x− x1)α1 . . . (x− xp)αp

con k, x1, . . . , xp ∈ R y α1, . . . , αp ∈ N. Siempre es posible descomponer lafraccion de esta forma:

∫P (x)Q(x)

dx =∫ (

A11

x− x1+ · · ·+ Aα1

1

(x− x1)α1+ . . .

· · ·+A1p

x− xp+ · · ·+ A

αpp

(x− xp)αp

)dx

con Aji ∈ R.

Ejercicio:∫

3x+5x3−x2−x+1

dx

80 Capıtulo 10

Caso 2.3: Q(x) tiene raıces complejas simples

Q(x) = k(x− x1)α1 . . . (x− xp)αp [(x− b1)2 + c21] . . . [(x− bk)2 + c2k]

con k, xi, aj , cj ∈ R y αi ∈ N. Siempre es posible descomponer la fraccionde esta forma:

∫P (x)Q(x)

dx =∫ (

A11

x− x1+ · · ·+ Aα1

1

(x− x1)α1+ . . .

· · ·+A1p

x− xp+ · · ·+ A

αpp

(x− xp)αp+

+M1x+N1

[(x− b1)2 + c21]+ · · ·+ Mkx+Nk

[(x− bk)2 + c2k]

)dx

siendo Mj , Nj ∈ R

Ejercicio:∫

1x3+1

dx

Caso 2.4: Q(x) tiene raıces complejas multiples

Ejemplo:∫

2x3−2x2+16x(x2+4)2

dx

Para resolver integrales como la del ejemplo se puede emplear el metodode Hermite que se presenta en el siguiente apartado.

10.5. Metodo de Hermite

El metodo de Hermite permite calcular primitivas de cocientes de poli-nomios rebajando el grado de los polinomios implicados en sucesivos pasos.Supongamos que

Q(x) = (x− x1)α1 . . . (x− xs)αp

y grado(P (x)) < grado(Q(x)) con x1, . . . , xp ∈ C. Se puede demostrar quela integral permite esta descomposicion:∫

P (x)Q(x)

dx =H(x)D(x)

+∫K(x)S(x)

Tecnicas de integracion 81

dondeD(x) = M.C.D(Q(x), Q′(x)) = (x− x1)α1−1 . . . (x− xp)αp−1

S(x) = (x− x1) . . . (x− xp)y H(x) y K(x) se calculan a partir de

P (x)Q(x)

dx =(H(x)D(x)

)′+K(x)S(x)

sabiendo que grado(H(x)) < grado(D(x)) y grado(K(x)) < grado(S(x)).

Ejercicio:∫

2x3−2x2+16x(x2+4)2

dx

10.6. Integracion de funciones irracionales

En esta seccion, se recomiendan cambios de variable que permiten trans-formar las integrales de la forma∫

R(x,√ax2 + bx+ c)dx

donde a, b, c ∈ R y R una funcion racional en las variables x y√ax2 + bx+ c,

es decir, R es una fraccion en la que el numerador y/o el denominador sonsumas y productos de x y de

√ax2 + bx+ c.

Ejemplos:∫1

(x+1)√x2+x+1

dx∫

1√4−3x−x2

dx∫

1√−x2+4x−3

dx∫

1√2−x2

dx

Los cambios de variable transforman las integrales dadas en integrales decocientes de polinomios como las de la seccion 10.4, pero puede haber otrosmetodos mas cortos o sencillos para resolver el calculo. Los cambios son lossiguientes:

Si Cambio de variablea > 0

√ax2 + bx+ c = t+ x

√a

c > 0√ax2 + bx+ c = tx+

√c

a < 0 y c < 0√ax2 + bx+ c = t(x− α)∫

R(x,√x2 ± c2)dx

√x2 ± c2 = t+ x∫

R(x,√c2 − x2)dx x = c sen(t) o x = c cos(t)

82 Capıtulo 10

10.7. Integracion de funciones trigonometricas

10.7.1. Integracion por cambios de variable

En esta seccion se presentan cambios de variables que permiten simplificarel calculo de integrales del tipo∫

R(sen(x), cos(x))dx

donde R una funcion racional en las variables senx y cosx, es decir, R es unafraccion en la que el numerador y/o el denominador son sumas y productosde sen(x) y cos(x).

Ejemplos:∫1

senx+cosx+1 dx∫

cosxsen2 x

dx∫

sen3 x cosx dx∫

4 sen2 xcos2 x

dx

Los cambios de variable permiten transformar la integral en una integralde cocientes de polinomios como las de la seccion 10.4, pero puede haber otrosmetodos mas cortos o sencillos para resolver el calculo. Son los siguientes:

Si la funcion verifica... Cambio de variableR(− sen(x), cos(x)) = −R(sen(x), cos(x)) cos(x) = t

R(sen(x),− cos(x)) = −R(sen(x), cos(x)) sen(x) = t

R(− sen(x), cos(x)) = R(sen(x), cos(x))R(sen(x),− cos(x)) = R(sen(x), cos(x))

tg(x) = t

En todos los casos tg(x2 ) = t

Ejercicio: Calcula la siguiente integral∫senx

1 + cos3 xdx

10.7.2. Integracion por descomposicion

En algunas integrales donde aparecen funciones trigonometricas se puedeintentar simplificar la expresion descomponiendola mediante la aplicacion deidentidades trigonometricas.

Tecnicas de integracion 83

Ejemplos:∫sen2 x dx

∫cos(4x) sen(3x) dx

∫cos2 x dx∫

tg2 x dx∫

sen4 x dx∫

cos5 x dx

Las formulas trigonometricas utiles para la integracion por descomposicionson estas:

sen2 a+ cos2 a = 1 sec2 a = 1 + tg2 a cosec2 a = 1 + cotg2 a

Formulas para la suma

sen(a+ b) = sen a cos b + cos a sen bcos(a+ b) = cos a cos b − sen a sen b

tg(a+ b) = tan a + tg b1 − tg a tg b

Formulas para la diferencia

sen(a− b) = sen a cos b − cos a sen bcos(a− b) = cos a cos b + sen a sen b

tg(a− b) = tg a − tg b1 + tg a tg b

Formulas para el angulo doble

sen(2a) = 2 sen a cos acos(2a) = cos2 a − sen2 a

tg(2a) = 2 tg a1 − tg2 a

Formulas para el angulo mitad

cos a2 = ±√

1 + cos a2

sen a2 = ±

√1 − cos a

2

tg a2 = ±

√1 − cos a1 + cos a

84 Capıtulo 10

Formulas para la suma y diferencia de senos, cosenos y tangentes

sen a + sen b = 2 sen a+b2 cos a−b2

sen a − sen b = 2 sen a−b2 cos a+b2

cos a + cos b = 2 cos a+b2 cos a−b2

cos a − cos b = −2 sen a+b2 sen a−b

2

tg a + tg b = sen(a+b)cos a cos b

tg a − tg b = sen(a−b)cos a cos b

Formulas para el producto de senos y cosenos

sen a cos b = 12 [sen(a+ b) + sen(a− b)]

cos a sen b = 12 [sen(a+ b) − sen(a− b)]

cos a cos b = 12 [cos(a+ b) + cos(a− b)]

sen a sen b = −12 [cos(a+ b) − cos(a− b)]

Ejercicios: ∫cos2 x dx

∫tg2 x dx

∫sen2 x dx

Capıtulo 11

Aplicaciones de la integraldefinida

11.1. Area definida por dos funciones

Dadas dos funciones f(x) y g(x) integrables que se cortan en dos puntosa y b y tal que f(x) ≥ g(x) en todo el intervalo [a, b], el area que definen esasdos funciones se puede calcular con la integral∫ b

a[f(x)− g(x)]dx.

∫ ba [f(x)− g(x)]dx

Ejercicios: Calcula en cada uno de los siguientes casos el area definidapor las curvas:

1. x = 3, x = −3, y = x2 − 4, y = 0.

2. y = 1/2, x = 1, y = x3, x = 2.

3. y = x4, y = 8x2 + 9.

4. y = ex, y = e−x, y = 1/2.

85

86 Capıtulo 11

11.2. Area definida por una curva en parametricas

Sea σ(t) = (x(t), y(t)) una curva en coordenadas parametricas. El areadefinida por la curva σ(t) y el eje x, entre los valores del parametro t ∈ [t1, t2]se puede calcula con la integral∫ t2

t1

|y(t)x′(t)|dt.

∫ t2t1|y(t)x′(t)|dt

Ejercicio: Calcula el area que encierra una circunferencia de radio 3.

11.3. Area definida por una curva en polares

Sea r = r(θ) una curva en coordenadas polares. El area definida por lacurva r(θ) y las rectas θ = θ1 y θ = θ2 se puede calcula con la integral∫ θ2

θ1

12r2(θ)dθ.

∫ θ2θ1

12r

2(θ)dθ.

Ejercicio: Calcula el area del primer cuadrante de una circunferencia deradio 3.

11.4. Longitud de un arco de curva

Sea f(x) una funcion definida en [a, b] y derivable en (a, b). La longitud dela curva entre los puntos x = a y x = b se puede calcular con la integral∫ b

a

√1 + [f ′(x)]2dx.

Aplicaciones de la integral definida 87

∫ ba

√1 + [f ′(x)]2dx.

La longitud de una curva en parametricas σ(t) = (x(t), y(t)) entre lospuntos ((x(t1), y(t1) y (x(t2), y(t2)) se puede calcular con la integral∫ t2

t1

√x′(t)2 + y′(t)2dt.

La longitud de una curva en polares r = r(θ) entre los puntos de coorde-nadas polares (r(θ1), θ1) y (r(θ2, θ2) se puede calcular con la integral∫ θ2

θ1

√ρ(θ)2 + ρ′(θ)2dθ

Ejercicio: Calcula la longitud de una circunferencia de radio 3.

11.5. Area de una superficie de un cuerpo de revo-lucion

Sea f(x) una funcion definida en el intervalo [a, b]. Si hacemos girar lafuncion alrededor del eje X o del eje Y , se generara una figura tridimensionalque se llama cuerpo de revolucion. Lo mismo ocurre si en lugar de una funcionconsideramos una curva cualquiera (x(t), y(t)) entre los puntos (x(t1), y(t1)) y(x(t2), y(t2)).

El area de la superficie de un cuerpo de revolucion generado algirar una funcion alrededor del eje X se puede calcular con la integral

2π∫ b

af(x)

√1 + [f ′(x)]2dx.

Si en lugar de una funcion f(x) tenemos una curva (x(t), y(t)), el calculode la superficie serıa

2π∫ t2

t1

y(t)√x′(t)2 + y′(t)2dt

88 Capıtulo 11

El area de la superficie de un cuerpo de revolucion generado algirar una funcion alrededor del eje Y se puede calcular con la integral

2π∫ b

ax√

1 + [f ′(x)]2dx.

Si en lugar de una funcion f(x) tenemos una curva (x(t), y(t)), el calculode la superficie serıa

2π∫ t2

t1

x(t)√x′(t)2 + y′(t)2dt.

Ejercicio: Calcula el area de la superficie de una esfera de radio 3.

11.6. Volumen de un cuerpo

El volumen de un cuerpo tridimensional contenido entre los planos x = ay x = b se puede calcular con la integral∫ b

aA(x)dx

Siendo A(x) el area de la superficie que resulta de intersecar el cuerpo con unplano perpendicular al eje X que pase por el punto (x, 0, 0).

En el caso de que el cuerpo sea de revolucion resultado de girar la funcionf(x) alrededor del eje X entre los valores x = a y x = b, lo anterior se reducea calcular la integral ∫ a

bπ[f(x)]2dx

Se pueden obtener expresiones similares en funcion de las variables y o z.

Ejercicio:

1. Calcula el volumen que encierra un cono de altura b y base una circun-ferencia de radio a.

2. Calcula el volumen que encierra una esfera de radio 3.

Capıtulo 12

Integrales impropias

12.1. Integrales en intervalos no acotados

En este apartado pretendemos dar sentido al calculo de integrales de fun-ciones en intervalos que no estan acotados. Por ejemplo,∫ ∞

1

1xdx

Como la funcion 1/x es acotada e integrable en todo intervalo [1,M ] siM ≥ b, podemos calcular la integral anterior como∫ ∞

1

1xdx = lım

M→∞

∫ M

1

1xdx.

con lo que∫ ∞1

1xdx = lım

M→∞

∫ M

1

1xdx = lım

M→∞[ L|x|]M1 = lım

M→∞( L|M | − L|1|) =∞

En general, si b ∈ R y f(x) es una funcion acotada e integrable en todointervalo [b,M ] con M ≥ b, se define

∫∞b f(x)dx = lımM→∞

∫Mb f(x) dx.

89

90 Capıtulo 12

De forma similar, si integramos en el intervalo (−∞, b], con b ∈ R y f(x)es una funcion acotada e integrable en todo intervalo [M, b] con M ≤ b, sedefine

∫ b−∞ f(x)dx = lımM→−∞

∫ bM f(x)dx.

Cada una de las integrales anteriores es convergente si existe el lımitecorrespondiente y es finito; es divergente si el lımite es ±∞; no existe si noexiste el lımite.

Si lo que queremos es integrar en el intervalo (−∞,∞), como por ejemplo∫ ∞−∞

11 + x2

dx

tendremos que descomponer la integral de esta forma o de otra parecida:∫ ∞−∞

11 + x2

dx =∫ 0

−∞

11 + x2

dx+∫ ∞

0

11 + x2

dx

En general, si f(x) es acotada e integrable en [N, c] y en [c,M ] para todoN ≤ c y c ≤M :

∫ ∞−∞

f(x)dx =∫ c

−∞f(x)dx+

∫ ∞c

f(x)dx =

lımN→−∞

∫ c

Nf(x)dx+ lım

M→∞

∫ M

cf(x)dx.

Ejercicios: Calcula las siguientes integrales∫ ∞1

1x2

dx

∫ ∞0

x2 dx

∫ −1

−∞

1x3

dx

∫ ∞−∞

e−|x| dx

Integrales impropias 91

12.2. Criterios de convergencia de integrales en in-tervalos no acotados

A menudo, lo que interesa de un integral en un intervalo no acotado no essu valor, sino saber si es convergente o no. Esto se puede estudiar sin tenerque hacer el calculo.

Sean f(x) y g(x) funciones positivas y continuas en [a,∞). Para es-tudiar la convergencia de

∫∞a f(x)dx y de

∫∞a g(x)dx se pueden emplear los

criterios1 que se exponen a continuacion.

Criterio de comparacion

1. Si 0 ≤ f(x) ≤ g(x) a partir de un cierto x en adelante, entonces∫∞a g(x)dx <∞ =⇒

∫∞a f(x)dx <∞.∫∞

a f(x)dx =∞ =⇒∫∞a g(x)dx =∞.

Criterio del lımite

Sea A = lımx→∞f(x)g(x) :

1. Si A ∈ R− {0}, entonces∫∞a f(x)dx y

∫∞a g(x)dx convergen o divergen

simultaneamente.

2. Si A = 0, entonces∫∞a g(x)dx <∞ =⇒

∫∞a f(x)dx <∞.∫∞

a f(x)dx =∞ =⇒∫∞a g(x)dx =∞.

3. Si A =∞, entonces∫∞a g(x)dx =∞ =⇒

∫∞a f(x)dx =∞.

1Si las funciones son negativas o se integra en el intervalo (−∞, b], se pueden enunciarunos criterios parecidos con unos cambios mınimos.

92 Capıtulo 12

∫∞a f(x)dx <∞ =⇒

∫∞a g(x)dx <∞.

�

Ejercicios: Estudia la convergencia de las siguientes integrales∫ ∞0

1ex + 15

dx

∫ ∞1

1√xdx

∫ ∞1

1xp

dx

12.3. Integrales de funciones no acotadas

Supongamos que queremos darle un sentido a lo siguiente:∫ 1

0

1xdx.

La funcion 1x no esta acotada en 0, sin embargo se puede integrar en todo

intervalo de la forma [M, 1] con M > 0, y se puede definir∫ 1

0

1xdx := lım

M→0+

∫ 1

M

1xdx = lım

M→0+[ L|x|]1M = L|1|+∞ =∞.

En general, si a, b ∈ R y f(x) es una funcion no acotada en a pero integrableen todo intervalo [M, b] con M > a, se define

∫ ba f(x)dx = lımM→a+

∫ bM f(x) dx.

La integral es convergente si existe el lımite anterior y es finito; es di-vergente si el lımite es ±∞; no existe si no existe el lımite.

De forma similar, si f(x) no es acotada en b pero es acotada en [a,M ]∀M < b, definimos:

∫ ba f(x)dx = lımM→b−

∫Ma f(x) dx.

Integrales impropias 93

Si f(x) no es acotada en c ∈ (a, b), pero es integrable en [a,M1] y en [M2, b],para todo M1 < c < M2, definimos

∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx =

lımM1→c−

∫ M1

af(x)dx+ lım

M2→c+

∫ b

M2

f(x)dx.

Ejercicios: Calcula∫ 1

0

1x2

dx

∫ 0

−1

1x4

∫ 1

0

1√xdx

Sea f(x) una funcion no acotada en c ∈ (a, b). Se define valor principalde Cauchy de la integral de una funcion f(x) en el intervalo [a, b] como

VP(∫ b

af(x)dx

)= lım

ε→0

(∫ c−ε

af(x)dx+

∫ b

c+εf(x)dx

)El valor principal de Cauchy de una integral puede coincidir con el valor

de la integral, pero puede ser distinto.

Ejercicios: Calcula el valor de la integral y el valor principal de la integralen los siguientes casos: ∫ 1

−1

1x2

dx

∫ 1

−1

1x3

12.4. Criterios de convergencia para integrales defunciones no acotadas

Supongamos que f(x) ≥ 0 es una funcion continua en [a, b) y no acotadaen b . Para estudiar la convergencia de la integral

∫ ba f(x) dx se pueden utilizar

los siguientes criterios2:

2Si la funcion es negativa o es no acotada en a en lugar de en b, se pueden enunciar unoscriterios parecidos con cambios mınimos.

94 Capıtulo 12

Criterio de comparacion

1. Si existe otra funcion g(x) tal que f(x) ≤ g(x) ∀a < x < b, entonces∫ ba g(x)dx <∞ =⇒

∫ ba f(x)dx <∞.

2. Si existe otra funcion g(x) tal que 0 ≤ g(x) ≤ f(x) ∀a < x < b, entonces∫ ba g(x)dx =∞ =⇒

∫ ba f(x)dx =∞.

Criterio del lımite

Sean g(x) ≥ 0 otra funcion definida en [a, b) y tal que A = lımx→b−f(x)g(x) .

Entonces:

1. Si A ∈ R−{0},∫ ba g(x)dx y

∫ ba f(x)dx convergen o divergen simultanea-

mente.

2. Si A = 0, entonces∫ ba g(x)dx <∞ =⇒

∫ ba f(x)dx <∞.

3. Si A =∞, entonces∫ ba g(x)dx =∞ =⇒

∫ ba f(x)dx =∞.

Ejercicios: Determina si son convergentes o no las siguientes integrales:∫ 1

0

1√xdx

∫ 1

0

13√x

∫ 2

0

1x− 2

dx

∫ 2

0

1(x− 2)p

dx

12.5. Integrales de funciones no acotadas en inter-valos no acotados

Supongamos que queremos calcular o estudiar la convergencia de la integral∫ ∞0

1x2 − 4

dx.

Presenta varios problemas:

Integrales impropias 95

1. Uno de los extremos de integracion es∞, por lo que estamos integrandoen el intervalo no acotado [0,∞).

2. La funcion no esta acotada en el valor x = 2 que esta incluido en elintervalo de integracion

En general, para el estudio de una integral de una funcion no acotada enun intervalo no acotado, debemos descomponer la integral en una suma deintegrales, de modo que cada una de las integrales que manejemos presentesolo una dificultad, bien integracion en intervalo no acotado, bien integracionde funcion no acotada en un solo extremo de integracion.

En el caso del ejemplo, se podrıa descomponer ası:∫ ∞0

1x2 − 4

dx =∫ 2

0

1x2 − 4

dx+∫ 3

2

1x2 − 4

dx+∫ ∞

3

1x2 − 4

dx.

La integracion en el intervalo [2, 3] podrıa sustituirse por la integracion encualquier otro intervalo [2, b] con b > 2.

Ejercicios: Estudia la convergencia de las siguientes integrales:∫ 0

−∞

x√2x2 + 3

dx

∫ π4

0tan(2x)dx

∫ ∞0

13x2 − 2x+ 2

dx

∫ ∞0

xe−xdx

Capıtulo 13

Integracion numerica

13.1. Integracion numerica mediante interpolacion

El objetivo es obtener un valor aproximado de∫ ba f(x)dx sin calcular la

primitiva de f(x). La idea es sustituir∫ ba f(x)dx por

∫ ba p(x)dx, siendo p(x)

una funcion que se parezca a f(x). La forma mas sencilla de obtener unafuncion que se parezca a f(x) en todo un intervalo [a, b] es elegir un conjuntode puntos x0, x1, . . . , xn (llamados nodos) del intervalo [a, b] y construir unpolinomio que en esos puntos tome los mismo valores que la funcion f(x).

Ejemplo: Una funcion f(x) toma los siguientes valores:

x −1 0 1 2f(x) −2 −2 0 4

Calcula un polinomio que pase por esos mismos puntos y aproxima la in-tegral de f(x) en el intervalo [−1, 2] por el valor de la integral del polinomio.

Solucion: Como son 4 puntos, es decir 4 condiciones, intentaremos buscarun polinomio con cuatro coeficientes, por tanto, de grado menor o igual que 3y de la forma Pn(x) = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3. El sistema que resulta es

a0 + a1(−1) + a2(−1)2 + a3(−1)3 = −2a0 + a1(0) + a2(0)2 + a3(0)3 = −2a0 + a1(1) + a2(1)2 + a3(1)3 = −2a0 + a1(2) + a2(2)2 + a3(2)3 = 4

97

98 Capıtulo 13

Que es un sistema compatible determinado y que, por tanto, tiene una unicasolucion, es decir, existe un unico polinomio de grado menor o igual que 3 quepasa por los puntos de la tabla. Dicho polinomio es P (x) = −2 + x+ x2.

La integral de la funcion se puede aproximar ası:∫ 2

−1f(x) dx ≈

∫ 2

−1(−2 + x+ x2) dx =

[−2x+ x2/2 + x3/3

]2−1

= −7/6

�Se puede demostrar que si tenemos n + 1 nodos, hay un unico polinomio

de grado menor o igual que n que pasa por esos nodos.

Figura 13.1: Integracion por aproximacion

13.1.1. Regla del trapecio

Cuando la integral de la funcion f(x) en el intervalo [a, b] se aproxima porla integral del polinomio de grado 1 que pasa por los nodos x = a y x = b, elmetodo de integracion numerica se conoce como metodo del trapecio. Eneste caso, se obtiene la formula∫ b

af(x)dx ≈ b− a

2[f(a) + f(b)]

El error en la aproximacion anterior es igual a

error =f ′′(ξ)

2(a− b)3

6

para un cierto valor ξ ∈ (a, b), que sera, en general, desconocido. Esto implicaque la regla de aproximacion dara un resultado exacto, no aproximado, si seaplica a funciones que sean polinomios de grado 1.

En resumen, si h = b− a, la Regla del Trapecio quedarıa ası:∫ b

af(x)dx ≈ h

2[f(a) + f(b)] con error=− f ′′(ξ)h

3

12(13.1)

Integracion numerica 99

para un cierto ξ ∈ [a, b].

Ejemplo: Calcula∫ 0,20 ex

2dx con la regla del trapecio.∫ 0,2

0ex

2dx ≈ 0,2− 0

2[e0 + e0,2

2] = 0,20408107741924

Sabiendo que si x ∈ [0, 0,2] entonces

|f ′′(x)| = |2ex2+4x2ex

2 | ≤ |f ′′(0,2)| = |2e0,22+4·0,2e0,22 | = 2,248151272255559,

una cota del error sera

| − 2,2481512722555590,23

12| = 0,00149876751484.

�

13.1.2. Regla de Simpson

Cuando la integral de la funcion f(x) en el intervalo [a, b] se aproxima porla integral del polinomio de grado 2 que pasa por los nodos x0 = a, x1 = a+b

2y x2 = b, el metodo de integracion numerica se conoce como metodo delSimpson 1/3. En este caso, se obtiene la formula:∫ b

af(x)dx ≈ h

3[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] con error− f4)(ξ)

h5

90

para un cierto ξ ∈ [a, b].De la expresion del error se deduce que sera un metodo exacto si se aplica

a funciones que sean polinomios de grado menor o igual que 3.Cuando la integral de la funcion f(x) en el intervalo [a, b] se aproxima por

la integral del polinomio de grado 3 que pasa por los nodos x0 = a, x1 = 2a+b3 ,

x2 = a+2b3 y x3 = b:

∫ b

af(x)dx ≈ 3h

8[f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)] con error− f4)(ξ)

3h5

80

para un cierto ξ ∈ [a, b].

100 Capıtulo 13

Es un metodo exacto tambien para polinomios de grado menor o igual que3. Es mejor usar la regla de Simpson 1/3 que esta otra, puesto en ambas elerror es proporcional a h5 pero | − 1/90| < | − 3/80|. En general es preferibleusar una regla con un numero impar de nodos.

Ejemplo: Calcula∫ 0,20 ex

2dx con la regla de Simpson.∫ 0,2

0ex

2dx ≈ 0,2/2

3[e0 + 4e0,1

2+ e0,2

2] = 0,2027

Sabiendo que x ∈ [0, 0,2], entonces

|f4)(x)| = |12ex2

+ 48ex2x2 + 16ex

2x4| ≤ |f4)(0,2)

= |12e0,22

+ 48e0,220,22 + 16e0,2

20,24| = 14,5147,

y una cota del error sera

| − 14,5147(0,2/2)5

90| = 1,6 ∗ 10−6

�

13.2. Reglas compuestas

Este metodo consiste en dividir el intervalo [a, b] en subintervalos y apli-car en cada uno de ellos una regla simple. Por ejemplo, la regla del trapeciocompuesta consiste en fijar unos puntos a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b yaplicar la regla del trapecio a cada subintervalo [xi−1, xi].

Es equivalente a sustituir f(x) por una funcion que aproxime a f(x) portrozos de lınea.

Si los puntos estan igualmente espaciados y siendo ese espacio h = b−an y

xi = a+ ih con i = 1, 2, . . . , n, la regla del trapecio compuesta nos queda

∫ b

af(x)dx ≈ h

2[f(x0) + 2f(x1) + · · ·+2f(xn−1) + f(xn)]

con error− h2

12(b− a)f ′′(ξ)

Integracion numerica 101

para un cierto ξ ∈ [a, b]. La formula es exacta para polinomios de gradomenor o igual que 1.

Figura 13.2: Regla del trapecio compuesta con 3 y 4 puntos

Ejemplo: Calcula un valor aproximado de∫ 0,20 ex

2dx mediante la regla del

trapecio compuesta.

Si tomamos tres puntos x0 = 0, x1 = 0,1 y x2 = 0,2∫ 0,2

0ex

2dx ≈ 0,1

2

[e0 + 2e0,1

2+ e0,2

2]

= 0,201085

Una cota del error serıa∣∣∣∣−0,12

12(0,2− 0)(ex

2(2 + 4ex

2))∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣−0,12

120,2 · f ′′(0,2)

∣∣∣∣ = 0,00187346

�

Si el numero n de intervalos en los que dividimos [a, b] es par podemosaplicar de forma sencilla la regla de Simpson compuesta aplicando a cadados subintervalos la regla de Simpson, con h = b−a

n y xi = a+ ih (0 ≤ i ≤ n),∫ b

af(x)dx =

∫ x2

x0

f(x)dx+∫ x4

x2

f(x)dx+ · · ·+∫ xn

xn−2

f(x)dx

con lo que obtenemos la formula

∫ b

af(x) ≈ h

3[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + . . .

+ 4f(xn−1) + f(xn)]

o lo que es lo mismo

102 Capıtulo 13

∫ b

af(x)dx ≈ f(x0) +

n2∑i=1

[2f(x2i)+4f(x2i−1)] + f(xn)

con error− b− a180

h4f4)(ξ)

con ξ ∈ [a, b].

Capıtulo 14

Ecuaciones diferenciales

14.1. Introduccion y nociones basicas

Una ecuacion diferencial ordinaria (EDO) es una relacion de igualdad entreuna variable independiente x, otra dependiente de la primera y(x) y derivadasde distinto orden de la segunda respecto de la primera (y′(x), y′′(x), . . . ). Sepuede presentar en

Forma implıcita

F (x, y(x), y′(x), y′′(x), . . . ) = 0,

Forma normal:yn) = f(x, y, y′, y′′, . . . , yn−1)

Forma diferencial:

f(x, y)dx+ g(x, y)dy = 0

Ejemplos:

x3y′′ − 3xy = 0 y′′ = 4xy + senx (x− 1)dx− (x2 + y2)dy = 0

El orden de una EDO es el de la mayor derivada que aparece en la ecuacion.El grado de una EDO es el mayor exponente de la derivada de mayor ordenque aparece en la ecuacion.

103

104 Capıtulo 14

Ejemplo:

ecuacion orden gradoy′ = y tan(x+ 3) 1 1

(y′)2 = y tan(x+ 3) 1 2y′′ = y tan(x+ 3) 2 1

�La solucion general de una EDO es una familia de funciones que verifican

la EDO. En general, la solucion general de una EDO de orden k es una familiade funciones que depende de una parametro k.

Ejemplo: La solucion general de y′ = sen(x) es y = − cos(x) + k conk ∈ R. La solucion general de y′′ = −y es y = a sen(x) + b cos(x), con a ∈ R yb ∈ R.

�Una solucion particular de una EDO es un elemento particular de la solu-

cion general. Una solucion singular es una funcion que verifica la EDO peroque no esta recogida en la solucion general.

Figura 14.1: Solucion singular y algunas soluciones particulares de y′ = y1/3

Ejemplo: La ecuacion y′ = y1/3 tiene como solucion general y = (23x)

32 +C

con C ∈ R. Una solucion particular es y = (23x)

32 + 4 y una solucion singular

es y = 0.�

En general, una ecuacion diferencial no tiene por que tener solucion, y enel caso que la tenga, esta no tiene por que ser unica. Ademas, la busqueda desoluciones exactas de una ecuacion diferencial es un problema difıcil. Veremoscomo se pueden resolver algunas ecuaciones diferenciales ordinarias sencillas,pero es habitual tener que recurrir a metodos numericos para encontrar solucio-nes aproximadas. El planteamiento tıpico de una ecuacion diferencial ordinariade grado 1 con valor inicial es

y′ = f(x, y(x)) y(x0) = y0.

Ecuaciones diferenciales ordinarias 105

Ejemplo: Resuelve la ecuacion

y′ =−yx, y(2) = −1.

Solucion. Si y′ = −yx , suponiendo que y 6= 0 se tiene que

y′

y=−1x⇒

∫y′

ydx =

∫−1x

dx ⇒ L|y| = − L|x|+ a

con a ∈ R. Denotando b = ea, la solucion general se puede expresar ası:

|y| = 1|x|b

siendo1 b > 0, es decir

y =c

xc ∈ R− 0.

De todas las soluciones recogidas en la solucion general nos interesa aquellaque verifica y(2) = −1, es decir:

y(2) =c

2= −1 ⇒ c = −2

Nuestra solucion particular serıa y = −2x .

Una solucion singular no recogida en la solucion general serıa la funcion

y = 0,

que habıamos descartado al razonar dividiendo por y en la ecuacion diferencialpero que tambien verifica la ecuacion diferencial.

�En lo que sigue plantearemos ecuaciones diferenciales de la forma

y′ = f(x, y(x))

donde y(x) sera una funcion que dependa de x, y buscaremos la soluciongeneral de algunas EDO de primer orden de este tipo.

1Hay que tener en cuenta que b = ea > 0))

106 Capıtulo 14

14.2. Ecuaciones en variables separadas

Una EDO en variables separadas se puede expresar en forma normal ası

y′ =f(x)g(y)

y en forma diferencial como

F (x)G(y)dx+H(x)J(y)dy = 0

Se pueden resolver integrando por separado las expresiones que dependen dex y por otro las que dependen de y:∫

y′ g(y) dy =∫f(x) dx

Ejemplo: Resuelve las ecuaciones

1. y′ = cos(3x) + 5 2. 2y dx+ 3x dy = 0

14.3. Ecuaciones diferenciales homogeneas

Una funcion f(x, y) que depende de x y y se dice que es homogenea degrado k ∈ R si

f(αx, αy) = αkf(x, y) ∀α ∈ R

Ejemplo: La funcion x2 + y2 − xy es homogenea de grado 2 y la funcion√x+ y es homogenea de grado 1/2. La funcion x2 + y no es homogenea.

Una EDO homogenea se puede expresar en forma normal ası

y′ =f(x, y)g(x, y)

y en forma diferencial como

f(x, y)dx+ g(x, y)dy = 0

siendo f y g dos funciones homogeneas del mismo grado.

Ecuaciones diferenciales ordinarias 107

Se pueden transformar en EDO en variables separadas mediante el cambioy = u(x) · x, teniendo en cuenta que

d(u(x) · x) = du x+ u dx

Ejemplo: Resuelve la ecuacion

(x2 − 3y2) dx+ 2xy dy = 0

14.3.1. Ecuaciones reducibles a homogeneas

Una EDO que en forma normal se puede presentar ası

y′ = f

(ax+ by + c

a′x+ b′y + c′

)siendo a, b, c, a′, b′ y c′ numeros reales, se puede transformar en una ecuaciondiferencial homogenea mediante alguno de los siguientes cambios de variable:

1. Si las rectas y = ax + by + c, y = a′x + b′y + c′ se cortan en un punto(x0, y0), el cambio serıa

x = x′ + x0, y = y′ + y0.

2. Si las rectas y = ax+ by + c, y = a′x+ b′y + c′ son paralelas, el cambioserıa

u = ax+ by.

Ejemplo: Resuelve las ecuaciones

1. y′ =6x− 7y − 43x+ y − 2

2. y′ = e4x+3y−25x−y+1 3. (x+y−2) dx+(x−y+4) dy = 0

14.4. Ecuaciones diferenciales lineales

Una EDO lineal en forma normal se puede presentar ası

y′ = p(x)y + r(x)

108 Capıtulo 14

Siendo p(x) y r(x) funciones en la variable x.Si r(x) es 0, la EDO lineal se dice que es homogenea y sera una EDO en

variables separadas:

y′ = p(x)y ⇔∫y′

ydy =

∫p(x) dx

Resolviendo la integral de la izquierda y siendo c una constante se llega a que

L|y| − c =∫p(x) dx

de donde se deduce quey = k e

∫p(x) dx

siendo k ∈ R.Para encontrar una solucion de la ecuacion no homogenea y′ = p(x)y+r(x),

primero obtendremos la solucion de la ecuacion homogenea correspondientey = k e

∫p(x) dx, y despues buscaremos la solucion de la no homogenea entre

las funciones de la forma y = k(x) e∫p(x) dx, siendo k(x) una funcion de la

variable x.

Ejemplo: Resuelve la ecuacion:

y′ + 2xy = 4x

14.5. Ecuaciones de Bernoulli

Una EDO de tipo Bernoulli se puede expresar en forma normal ası:

y′ = p(x)y + q(x)yn

siendo n 6= 0, 1 porque en estos dos casos la EDO serıa lineal. En formadiferencial quedarıa ası:

dy = (p(x)y + q(x)yn) dx

Si dividimos toda la ecuacion por yn y aplicamos el cambio de variable

u =1

yn−1

Ecuaciones diferenciales ordinarias 109

la ecuacion de Bernoulli se transformara en lineal2:

dy

yn=(p(x)

1yn−1

+ q(x))dx ⇔ du

1− n= (p(x)u+ q(x)) dx

es deciru′

1− n= p(x)u+ q(x)

que es la ecuacion lineal u′ = (1− n)p(x)u+ (1− n)q(x).

Ejemplo: Resuelve la ecuacion:

y′ + xy = x3y3.

2Aplicando el cambio anterior se obtiene que dyyn

= du1−n

Capıtulo 15

Matrices y determinantes.

15.1. Matrices y operaciones

Una matriz A de numeros reales de orden m × n es un conjunto de m · nnumeros reales ordenados en m filas y n columnas.

Por ejemplo,(

3 5 22 1 3

)tiene orden 2× 3.

aij denotara al elemento de la fila i y la columna j.La matriz se denotara A = (aij)1≤i≤m,1≤j≤n o simplemente A.El conjunto de todas las matrices de orden m× n se denotara Mm×n.Si α ∈ R y A y B son dos matrices, podemos realizar las siguientes opera-

ciones:- Multiplicar una matriz por un numero:

α ·A = (αaij)1≤i≤m,1≤j≤n.

- Sumar dos matrices A y B si A,B ∈Mm×n:

A+B = (ai,j + bij)1≤i,j≤m.

- Multiplicar dos matrices A ∈Mm×p y B ∈Mp×n:

A ·B = (p∑

k=1

aikbkj)1≤i≤m,1≤j≤n ∈Mm×n.

En el conjuntoMm×n, la suma de matrices es una operacion que da comoresultado otra matriz del conjuntoMm×n: es una operacion interna en el con-junto. La suma de matrices dentro del conjuntoMm×n verifica las propiedades

111

112 Capıtulo 15

asociativa ((A + B) + C = A + (B + C)), tiene elemento neutro (la matrizcon todos los elementos 0), cada matriz tiene su elemento opuesto (la matrizopuesta de A = (aij) es −A = (−aij)) y es conmutativa (A+B = B +A).

El producto de una matriz por un numero tambien da como resultado otramatriz de Mm×n: es una operacion externa sobre los numeros reales.

El producto de dos matrices del conjunto Mn×n es una operacion internaenMn×n que verifica la propiedades asociativa

((A ·B) ·C = A ·(B ·C)

), tiene

elemento neutro (que es la matriz con todos los elemento 0 salvo los aii = 1).El producto de matrices no es conmutativo.

15.1.1. Tipos de matrices

La matriz traspuesta de A es la matriz At que resulta de intercambiar lasfilas de A por las columnas de A. Se verifica que:

1. (At)t = A

2. (A+B)t = At +Bt

3. (A ·B)t = Bt ·At

4. (αA)t = αAt ∀α ∈ R

A es simetrica si At = A. A es antisimetrica si At = −A.Una matriz A es cuadrada si m = n.Los elementos aii de una matriz forma la diagonal principal.Una matriz A es diagonal si aij = 0 para i 6= j.La matriz identidad (Id) es la matriz diagonal con los elementos aii = 1.Una matriz A es triangular superior (equivalentemente, inferior) si aij = 0

para i > j (equivalentemente, i < j).Dos matrices A y B son iguales si aij = bij para todo i, j.La matriz A es nula si aij = 0 para todo i, j.

15.1.2. Matriz invertible. Rango de una matriz

La matriz identidad de orden n× n es

Id =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0

. . .0 0 . . . 0 1

Matrices y determinantes 113

Se verifica que A · Id = Id ·A = A, ∀A ∈Mn×n.

B es una matriz inversa de A por la derecha si B ·A = Id

B es una matriz inversa de A por la izquierda si A ·B = Id.

Si A ∈ Mn×n, entonces la inversa por la izquierda es tambien inversa porla derecha. Por tanto, la inversa de una matriz cuadrada es unica y se denotaA−1

A−1 ·A = A ·A−1 = Id.

Si A tiene inversa se denomina invertible, regular o no singular. No todas lasmatrices tiene inversa.

PropiedadesSean A,B ∈Mn×n invertibles. Entonces:

1. A−1 es invertible y (A−1)−1 = A.

2. A ·B es invertible y (A ·B)−1 = B−1 ·A−1.

3. Si 0 6= α ∈ R, entonces αA es invertible y (αA)−1 = 1αA−1.

4. Si At es invertible y (At)−1 = (A−1)t

¿Sera invertible (A+B)? ¿Cuanto vale su inversa?

Se llaman operaciones elementales de una matriz al intercambio de dosfilas o columnas, al producto de una fila o columna por un numero distintode 0, a la suma de una fila o columna otra fila o columna multiplicada por unnumero, o cualquier combinacion finita de las operaciones anteriores.

Cada operacion elemental en una matriz A se puede expresar medianteproducto de A por otra matriz, que se llama matriz fundamental.

El intercambio de la segunda y tercera filas se puede expresar ası:1 0 00 0 10 1 0

·a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

a11 a12 a13

a31 a32 a33

a21 a22 a23

.

El producto de la segunda fila por un numero α se puede expresar ası:1 0 00 α 00 0 1

·a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

a11 a12 a13

αa21 αa22 αa23

a31 a32 a33

114 Capıtulo 15

Y la suma a la tercera fila de la segunda fila multiplicada por un numero α es:1 0 00 1 00 α 1

·a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

¿Que cambios produce en A la siguiente operacion?1 0 0

0 0 α0 1 αλ

·a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

- Sustituir la fila segunda por la tercera multiplicada por α.- Multiplicar la tercera fila por αλ y sumarle la segunda.

Si A ∈ Mn×n tiene inversa, entonces existe un conjunto de matrices fun-damentales Ek con k = 1, . . . , p, tales que

EpEp−1 . . . E1A = Id,

con lo que multiplicando por A−1 por la derecha en ambos terminos se obtieneque

EpEp−1 . . . E1Id = A−1,

es decir, aplicando las mismas operaciones fundamentales a la matriz Id ob-tendremos la matriz inversa A−1.

Ejemplo: Calcula la inversa de la matriz

A =

1 2 31 3 32 4 7

.

Partimos de A y la matriz Id. El primer cambio consiste en restar a la segundafila la primera (correspondiente al producto por una cierta matriz fundamentalE1):

E1 ·A =

1 2 30 1 02 4 7

E1 · Id =

1 0 0−1 1 00 0 1

Matrices y determinantes 115

El segundo cambio (multiplicar por E2) consiste en restar a la tercera dosveces la primera:

E2 · E1 ·A =

1 2 30 1 00 0 1

E2 · E1 · Id =

1 0 0−1 1 0−2 0 1

A la primera le resto dos veces la segunda (E3):

E3 · E2 · E1 ·A =

1 0 30 1 00 0 1

E3 · E2 · E1 · Id =

3 −2 0−1 1 0−2 0 1

A la primera le resto tres veces la tercera (E4):

E4 · E3 · E2 · E1 ·A =

1 0 00 1 00 0 1

A−1 =

9 −2 −3−1 1 0−2 0 1

.

Y hemos obtenido la inversa de A.�

Se dice que un grupo de filas de una matriz de numeros reales son inde-pendientes si ninguna fila del grupo se puede obtener aplicando operacioneselementales al resto de las filas del grupo, es decir, no es posible obtenerninguna fila multiplicando el resto de filas del grupo por numeros reales ysumandolas.

De forma similar, se define la independencia de las columnas de unamatriz.

Se llama rango de una matriz A al mayor numero de filas (o columnas)independientes de A.

rgA = numero maximo de filas independientes

Se verifica que

1. Si A ∈Mm×n, P ∈Mm×m y Q ∈Mn×n son invertibles, entonces

rg(PAQ) = A

2. rgA = At

116 Capıtulo 15

Para toda matriz A ∈Mn×n son equivalentes:1. A−1 existe.2. Las n filas de la matriz A son independientes.3. Las n columnas de la matriz A son independientes.4. A es producto de matrices elementales.5. El rango de A es n.

15.2. Determinante de una matriz

Sea A ∈Mn×n. El determinante de |A| es la suma de todos los productosposibles de n elementos de A, de modo que:

en cada sumando hay un elemento y solo uno de cada fila y de cadacolumna de A,

cada sumando es precedido del signo + si la permutacion que indicalas filas de las que provienen los elementos del sumando y la que indicalas columnas son de la misma clase. En caso contrario, el sumando esprecedido de signo −.

15.2.1. Propiedades de los determinantes

Sea A ∈Mn×n.

1. Una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante.

Como consecuencia, toda propiedad enunciada para filas es valida tam-bien para columnas y recıprocamente.

2. Si una matriz tiene una fila o columna con todos sus elementos 0, sudeterminante es 0.

3. Si en una matriz A se permutan entre sı dos filas o dos columnas, seobtiene otra matriz cuyo determinante es −|A|.

4. Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales, su determinante es 0.

5. Si se multiplican por un numero λ ∈ R todos los elementos de una filao columna de una matriz |A|, el determinante de la matriz obtenida esigual a λ|A|.

Matrices y determinantes 117

6. Si una matriz tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinantees igual a 0.

7. Si A, B y C son tres matrices iguales excepto en la fila i, de forma quela fila i de C es suma de las fila i de A y de la fila i de B, entonces|C| = |A|+ |B|.

8. Si un matriz tiene una fila o columna que es combinacion lineal de lasrestantes, su determinante es 0.

9. Si a los elementos de una fila (o de una columna) de una matriz se lesuman los de otra fila (respectivamente, otra columna), multiplicadospor un numero, se obtiene otra matriz que tiene el mismo determinanteque A.

Como consecuencia, a los elementos de una fila se les puede sumar unacombinacion lineal de los elementos de las restantes filas de A y se obtieneotra matriz con el mismo determinante.

10. Aplicando las propiedades anteriores sucesivas veces, toda matriz A sepuede transformar en otra matriz triangular que tiene el mismo deter-minante.

15.3. Metodos de calculo de determinantes

15.3.1. Metodo de Gauss

Se basa en

El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementosde la diagonal principal.

Aplicando las propiedades de los determinantes, toda matriz se puedetransformar en otra matriz triangular que tiene el mismo determinante.

Podemos calcular el valor del determinante de una matriz aplicando las pro-piedades para obtener una matriz triangular con el mismo determinante.

15.3.2. Desarrollo por una fila o columna

Dado el elemento aij de la matriz A, se define

118 Capıtulo 15

menor complementario de aij como el determinante de la matriz queresulta de suprimir en A la fila i y la columna j.

adjunto de aij , que denotaremos Aij , como el menor complementariode aij multiplicado por (−1)i+j .

Podemos obtener el valor del determinante de una matriz calculando lasuma de los elementos de una fila (o columna) multiplicado cada uno de ellospor su adjunto.

15.4. Calculo de la matriz inversa usando determi-nantes

Para calcular la inversa de A ∈Mn×n, puedo seguir estos pasos:

Calculo la matriz formada por los adjuntos de cada elemento.

Hallo la traspuesta de la matriz anterior.

Divido la matriz de los adjuntos traspuesta por |A|.

Se obtiene la matriz

1|A|

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2

. . .A1n A2n . . . Ann

La anterior es la matriz A−1 porque

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . .an1 an2 . . . ann

1|A|

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2

. . .A1n A2n . . . Ann

En el producto anterior, los elementos de la diagonal son iguales a 1:

ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin|A|

=|A||A|

= 1.

y el resto de elementos son 0:

Sistemas lineales 119

ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · ·+ ainAjn|A|

=0|A|

= 1.

15.5. Calculo del rango de una matriz

Sea A ∈Mm×n.

Un menor de orden h de la matriz A es cualquier determinante de unamatriz de orden h× h obtenida con los elementos comunes a h filas y hcolumnas de A.

Orlar un menor de orden h es anadir a ese menor los elementoscomunes a una fila y una columna de A distintas a las que formaban elmenor. El menor obtenido se llama menor orlado.

El rango de la matriz A es el maximo numero de filas o columnas de Aindependientes.

Teorema: Si M es un menor de orden h de A no nulo y todos los menoresque se obtienen orlando M con la fila k y todas y cada una de la restantescolumnas de A son nulos, se puede asegurar que la fila k se puede obtenermultiplicando por numeros y sumando las h filas de A utilizadas para formarM .

Consecuencia: Si el rango de A es r y M es un menor de orden r no nulode A, cada fila o columna de A se puede obtener multiplicando por numerosy sumando las h filas de A utilizadas para formar M .

Metodo de calculo del rango de una matriz A ∈Mm×n

1. Se elige un menor de orden 2 no nulo. Si no lo hay, el rango es 1, salvoque la matriz sea nula.

2. Si tengo un menor de orden k no nulo, se busca un menor no nulo deorden k + 1 orlando el anterior. Si no lo hay, el rango es k.

3. Se repite el paso anterior.

120 Capıtulo 15

Capıtulo 16

Sistemas de ecuacioneslineales

16.1. Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de la forma

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = c1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = c2

. . .am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = cm

o en forma matricial A ·X = C, siendo

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . .am1 am2 . . . amn

X =

x1

x2

. . .xn

C =

c1c2. . .cm

siendo aij ∈ R los coeficientes, xj las incognitas a calcular y ci ∈ R los

terminos independientes.

121

122 Capıtulo 16

Una solucion del sistema AX = C es un conjunto de numeros reales(x1, x2, . . . , xn) que verifican las ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones lineales pueden ser

1. Compatible: tienen alguna solucion

a) Determinado: la solucion es unica.

2x1 + x2 = 0x2 = 1

}⇒ x1 = −1

2x2 = 1

b) Indeterminado: hay varias soluciones.

2x1 + x2 = 0}⇒ x1 = −α

2x2 = α

α ∈ R

2. Incompatible: no tiene solucion

x1 + x2 = 0x1 + x2 = 1

Dos sistemas AX = C y A′X = C ′ son equivalentes si tienen las mis-mas soluciones. Si en el sistema AX = C realizamos algunas o varias de lassiguientes operaciones resulta un sistema A′X = C ′ equivalente:

1. Suprimir o anadir un ecuacion que es igual a la suma de otras ecuacionesmultiplicadas por numeros.

2. Multiplicar una ecuacion por un numero distinto de 0.

3. Sumar a una ecuacion otras ecuaciones multiplicadas por numeros.

16.2. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer

Un sistema de ecuaciones es de Cramer si tiene el mismo numero de ecua-ciones que de incognitas y no es nulo el determinante de la matriz de loscoeficientes.

Sistemas lineales 123

Teorema: Todo sistema de Cramer AX = C tiene solucion unica y secalcula ası

xi =1|A|

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . c1 . . . a1n

a21 a22 . . . c2 . . . a2n

. . .an1 an2 . . . cn . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}

Demostracion. La solucion sera

X = A−1C =

=1|A|

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2

. . .A1n A2n . . . Ann

c1c2· · ·cn

=

=1|A|

c1A11 + c2A21 + · · ·+ cnAn1

c1A12 + c2A22 + · · ·+ cnAn2

. . .c1A1n + c2A2n + · · ·+ cnAnn

.

Para demostrar el enunciado, basta tener en cuenta que

c1A1i + c2A2i + · · ·+ cnAni =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . c1 . . . a1n

a21 a22 . . . c2 . . . a2n

. . .an1 an2 . . . cn . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ .

16.3. Teorema de Rouche-Frobenius

Dado el sistema AX = C, consideramos la matriz ampliada

A∗ =

a11 a12 . . . a1n c1a21 a22 . . . a2n c2. . .am1 am2 . . . amn cm

Teorema (de Rouche-Frobenius): El sistema AX = C es compatible

si y solo si el rango de A es igual al rango de A∗.

124 Capıtulo 16

Demostracion.⇒ Si AX = C es compatible, existe una solucion α1, α2, . . . , αn tal que

α1

a11

a21

. . .am1

+ α2

a12

a22

. . .am2

+ · · ·+ αn

a1n

a2n

. . .amn

=

c1c2. . .cm

es decir, la columna C es dependiente de las columnas de la matriz A. Portanto, rango(A) = rango(A∗).

⇐ Si rango(A) = rango(A∗) = h, hay h columnas de A linealmente in-dependientes, que podemos suponer que son las h primeras columnas de A (sifuesen otras, las reordenamos para seguir el razonamiento). Si a esas h colum-nas le anadimos la columna cj , el rango sigue siendo h, porque rango(A∗) = h.Se concluye que la columna cj es dependiente de las h primeras columnas deA:

α1

a11

a21

. . .am1

+ α2

a12

a22

. . .am2

+ · · ·+ αh

a1h

a2h

. . .amh

=

c1c2. . .cm

es decir, α1, α2, . . . , αh, 0, . . . , 0 es solucion del sistema AX = C.

�

Dado el sistema AX = C

1. Si rango(A) = rango(A∗) = numero de incognitas, el sistema es compa-tible determinado.

2. Si rango(A) = rango(A∗) < numero de incognitas, el sistema es compa-tible indeterminado.

3. Si rango(A) 6= rango(A∗), el sistema es incompatible.

16.4. Metodo de Gauss de resolucion de sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones, transformamos el sistema AX = Cen un sistema equivalente A′X = C ′ donde A′ es triangular, haciendo usos delas siguientes operaciones:

Sistemas lineales 125

1. Intercambiando de ecuaciones

2. Multiplicando una ecuacion por un numero distinto de 0.

3. Sumando a una ecuacion una combinacion lineal de otras ecuaciones.

Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

6x1 − 2x2 + 2x3 + 4x4 = 1212x1 − 8x2 + 6x3 + 10x4 = 343x1 − 13x2 + 9x3 + 3x4 = 27−6x1 + 4x2 + x3 − 18x4 = −38.

En forma matricial es sistema serıa6 −2 2 412 −8 6 103 −13 9 3−6 4 1 −18

x1

x2

x3

x4

=

123427−38

.

Paso 1. Elegimos como elemento pivote el termino 6 de la primera fila yefectuamos las siguientes operaciones:

(fila 2a)− 2(fila 1a) (fila 3a)− 1/2(fila 1a) (fila 4a)− (−1)(fila 1a)6 −2 2 40 −4 2 20 −12 8 10 2 3 −14

x1

x2

x3

x4

=

121021−26

.

Paso 2. Elegimos como elemento pivote el termino −4 de la segunda fila yefectuamos las siguientes operaciones:

(fila 3a)− 3(fila 2a) (fila 4a)− (−1/2)(fila 2a)6 −2 2 40 −4 2 20 0 2 −50 0 4 −13

x1

x2

x3

x4

=

1210−9−21

.

126 Capıtulo 16

Paso 3. Elegimos como elemento pivote el termino 2 de la tercera fila yefectuamos la siguiente operacion:

(fila 4a)− 2(fila 3a)6 −2 2 40 −4 2 20 0 2 −50 0 0 −3

x1

x2

x3

x4

=

1210−9−3

.

que es el sistema de ecuaciones triangular superior:

6x1 − 2x2 + 2x3 + 4x4 = 12−4x2 + 2x3 + 2x4 = 10

2x3 − 5x4 = −9−3x4 = −3

de solucion

x1 = 1/6(12− 4x4 − 2x3 + 2x2) = 1x2 = −1/4(10− 2x4 − 2x3) = −3x3 = 1/2(−9 + 5x4) = −2x4 = 1

16.5. Sistemas lineales homogeneos

Un sistema de ecuaciones de la forma AX = 0, siendo 0 la matriz nula, esun sistema lineal homogeneo. Un sistema homogeneo siempre es compatibleporque la matriz nula X = 0 siempre es solucion. Puede ser:

1. Compatible determinado si rangoA =numero de incognitas.

2. Compatible indeterminado si rangoA <numero de incognitas.

Capıtulo 17

Espacios vectoriales

17.1. Definicion y propiedades de espacio vectorial

Figura 17.1: Producto por un escalar Figura 17.2: suma de vectores

Un conjunto V dotado de una operacion interna (+ : V × V → V , nor-malmente llamada suma) y otra operacion externa sobre los numeros reales(·R : R× V → V , normalmente llamada producto por escalares) es un espaciovectorial sobre R si se verifican las siguientes propiedades:

1. (V,+) es un grupo conmutativo:

a) (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w), ∀ ~u, ~v, ~w ∈ V (propiedad asociativa).

b) Existe un elemento neutro (~0, vector cero o nulo) tal que ~0 + ~u =~u+~0 = ~u (elemento neutro).

c) Para cada vector no nulo ~u existe un elemento opuesto (−~u) quesumado con ~u da el neutro (elemento opuesto).

d) ~u+ ~v = ~v + ~u ∀~u,~v ∈ V (conmutativa).

2. α(~u+~v) = α~u+α~v, ∀ α ∈ R, ∀~u,~v ∈ V (propiedad distributiva respectode la suma de vectores).

127

128 Capıtulo 17

3. (α+β)~u = α~u+β~u, ∀ α, β ∈ R, ∀~u ∈ V (propiedad distributiva respectode la suma de escalares).

4. (αβ)~u = α(β~u), ∀ α, β ∈ R, ∀~u ∈ V (asociativa mixta).

5. 1~u = ~u, ∀~u ∈ V .

En lo que sigue, (V,+, ·R) denotara al espacio vectorial V sobre los numerosreales.

17.1.1. Ejemplos de espacios vectoriales

Los vectores del plano V2 y los vectores del espacio V3 con la sumahabitual de vectores y el producto de vectores por un numero real.

El conjunto R2 = {(x, y)/ x ∈ R, y ∈ R} con las operaciones

(x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′) α(x, y) = (αx, αy)

siendo (x, y) ∈ R2 y α ∈ R.

El conjunto Rn = {(x1, x2, . . . , xn)/ xi ∈ R, i = 1, . . . , n} con las opera-ciones

(x1, . . . , xn) + (x′1, . . . , x′n) = (x1 + x′1, . . . , xn + x′n)

α(x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn)

siendo (x1, . . . , xn) ∈ Rn y α ∈ R.

Las sucesiones de numeros reales con la suma habitual de sucesiones yel producto por un numero real.

Los polinomios de grado menor o igual que 3 (P3[x]) con la suma habitualde polinomios y el producto de un polinomio por un numero real. Lospolinomios de grado 3 no son espacio vectorial.

Las funciones f : R→ R que se anulan en un punto.

Las siguientes son algunas propiedades que se deducen de la definicion deespacio vectorial:

Espacios vectoriales 129

1. 0~u = ~0 ∀ ~u ∈ Vporque 0~u = (0 + 0)~u = 0~u+ 0~u⇒ 0~u = ~0)

2. α~0 = ~0 ∀ α ∈ Rporque α~0 = α(~0 +~0) = α~0 + α~0⇒ α~0 = ~0).

3. Si α~u = ~0, entonces o bien α = 0, o bien ~u = ~0

porque si α 6= 0, entonces ~u = (α−1α)~u = α−1(α~u) = α−1~0 = ~0).

4. −(α~u) = (−α)~u = α(−~u), en particular −~u = (−1)~u

porque

(−α)~u+ α~u = (−α+ α)~u = ~0⇒ (−α)~u = −(α~u)

y

α(−~u) + α~u = α(−~u+ ~u) = ~0⇒ α(−~u) = −(α~u).

5. Si α~u = α~v, o bien α = 0, o bien ~u = ~v

porque si α 6= 0, entonces ~0 = α~u− α~v = α(~u− ~v) y por la propiedad 3,se deduce que ~u = ~v.

17.2. Subespacio vectorial y operaciones

Sea (V,+·R) un espacio vectorial. Un subconjunto U de V es un subespaciovectorial de (V,+, ·R) si el subconjunto U con las mismas operaciones sumay producto por escalares verifica las propiedades necesarias para ser espaciovectorial.

Teorema: Si (V,+, ·R) es un espacio vectorial, para que un subconjun-to U de V sea subespacio vectorial de V basta que se verifiquen estas dospropiedades:

1. La suma es operacion interna en el conjunto U :

~u+ ~v ∈ U, ∀~u,~v ∈ U.

2. La multiplicacion por escalares es una operacion externa en U :

α~u ∈ U, ∀α ∈ R, ∀~u ∈ U.

130 Capıtulo 17

Demostracion. Excepto la propiedad del elemento neutro y la del opuesto,el resto de propiedades que tienen que cumplir los elemento de U para que elsubconjunto sea un espacio vectorial se cumplen porque los elementos de Uson elementos de V , y V es espacio vectorial.

Ademas, se verifica que si ~u es un elemento de U no nulo, entonces~0 = 0~u ∈ U (U contiene al elemento neutro) y(−1)~u = −~u (el elemento opuesto de ~u esta contenido en U)

con lo que (U,+, ·R) verifica todas las propiedades requeridas para ser espaciovectorial.

�

17.2.1. Ejemplos de subespacios vectoriales

1. En cualquier espacio vectorial (V,+ · R), el vector ~0 y el total V sonsubespacios vectoriales.

2. En cualquier espacio vectorial (V,+ ·R), si ~u ∈ V y ~v ∈ V , son subespa-cios vectoriales los conjuntos

< ~u >= {α~u/ α ∈ R} < ~u,~v >= {α~u+ β~v/ α, β ∈ R}.

Figura 17.3: Subespacio generado por 1vector en el espacio

Figura 17.4: Subespacio generado por 2vectores en el espacio

3. En (V2,+ · R), los vectores que estan contenidos en una misma rectaforma un subespacio vectorial si la recta pasa por el origen del plano.Sin embargo, si la recta no pasa por el origen no es subespacio vectorial.

4. En (V3,+ · R), los vectores que estan contenidos en una misma recta(equivalentemente, en un mismo plano) forman un subespacio vectorialsi la recta (equivalentemente, el plano) pasa por el origen del espacio. Sinembargo, si la recta (o el plano) no pasa por el origen no es subespaciovectorial.

5. En (R2,+ · R),

{(x, y) ∈ R2/ 2x+ y = 0} es un subespacio vectorial

Espacios vectoriales 131

{(x, y) ∈ R2/ 2x+ y = 3} no es un subespacio vectorial.

6. En (R3,+ · R),

{(x, y, z) ∈ R3/ x+ y = 2z} es un subespacio vectorial

{(x, y, z) ∈ R3/ x+ y = 2z, 2x+ y = 0} es un subespacio vectorial

{(x, y, z) ∈ R3/ x+ y + 1 = 2z} no es un subespacio vectorial.

{(x, y, z) ∈ R3/ x+y+1 = 2z, 2x+y = 0} no es un subespacio vectorial

7. Las sucesiones que convergen a 0 forman una subespacio vectorial de lassucesiones. Las que convergen a 1 no son subespacio vectorial.

8. Los polinomios de grado menor o igual que 2 forma un subespacio de lospolinomios de grado menor o igual que 3.

9. Dentro del espacio vectorial de las funciones, las funciones acotadas, lasque se anulan en un mismo punto, las que son continuas, las funcio-nes pares (que son aquellas tales que f(x) = f(−x) ∀x ∈ R) formansubespacios vectoriales.

10. El conjunto C = {(x, y) ∈ R2/ y = x2} no es un subespacio vectorialde R2 con las operaciones habituales. Sin embargo, si cambiamos lasoperaciones, C puede cumplir las condiciones para ser espacio vectorial:

C × C → C(x, x2), (r, r2) 7→ (x+ r, (x+ r)2)

R× C → Cα, (r, r2) 7→ (αr, α2(x+ r)2)

17.2.2. Operaciones con subespacios

Sea (V,+. · R) un espacio vectorial y U1 y U2 dos subespacios vectorialesde V .

La interseccion U1 ∩U2 es el conjunto de vectores que pertenecen a U1 y aU2.

U1 ∩ U2 = {u ∈ V/ u ∈ U1, u ∈ U2}U1∩U2 es un subespacio vectorial de V y es el mayor subespacio vectorial queesta contenido en U1 y U2.

Ejemplos:

132 Capıtulo 17

1. La interseccion en el espacio de dos planos distintos que pasan por elorigen es una recta que pasa por el origen, que es un subespacio vectorial.

2. La interseccion en el espacio de un plano y una recta que pasan ambospor el origen es un subespacio. Sera el punto origen si la recta es secanteo bien la propia recta si esta esta contenida en el plano.

En general, cualquier interseccion de subespacios vectoriales (no necesa-riamente dos subespacios sino mas) es un subespacio vectorial.

La union U1 ∪ U2 es el conjunto de vectores que, o bien son de U1, o bienson de U2.

U1 ∪ U2 no es, en general, un subespacio vectorial.

U1 ∪ U2 = {u ∈ V/ u ∈ U1 o′ u ∈ U2}

El conjunto de vectores que resultan de sumar un vector de U1 y otro de U2

se denomina U1 + U2.

U1 ∪ U2 = {u ∈ V/ u = u1 + u2, u1 ∈ U1, u2 ∈ U2}

U1 +U2 es un subespacio vectorial de V y es el menor subespacio vectorialque contiene a U1 y U2.

Ejemplos: En el espacio, la union de dos planos distintos que pasan porel origen sera todo el espacio.

La union de una plano en el espacio y una recta, que pasen ambos por elorigen, sera un subespacio vectorial. Resultara el propio plano si la recta estancontenida en el plano. En caso contrario, sera todo el espacio.

En general, la suma de cualquier numero finito de subespacios vectorialeses un subespacio vectorial.

17.3. Dependencia e independencia lineal. Sistemasgeneradores

Sea (V,+. · R) un espacio vectorial.Se denomina familia o sistema de vectores a cualquier conjunto de vectores

contenidos en V .Se dice que un vector ~v ∈ V es combinacion lineal de los vectores

del sistema {~v1, ~v2, . . . , ~vn} ⊂ V (o que ~v se puede construir a partir de

Espacios vectoriales 133

{~v1, ~v2, . . . , ~vn} por combinacion lineal) si existen unos numeros reales α1, α2, . . . , αntales que

v = α1 ~v1 + α2 ~v2 + · · ·+ αn ~vn.

Se dice que un sistema {~v1, ~v2, . . . , ~vn} ⊂ V es ligado (o que los vectores delsistema son linealmente dependientes) si se verifica alguna de estas condiciones:

El vector ~0 es combinacion lineal de {~v1, ~v2, . . . , ~vn} con algun escalarαi distinto de 0.

Alguno de los vectores del sistema {~v1, ~v2, . . . , ~vn} es combinacion delresto de vectores.

Se dice que un sistema {~v1, ~v2, . . . , ~vn} ⊂ V es libre (o que los vecto-res del sistema son linealmente independientes) si se verifica alguna de estascondiciones:

El vector ~0 solo es combinacion lineal de {~v1, ~v2, . . . , ~vn} con todos losescalares iguales a 0.

Ninguno de los vectores del sistema {~v1, ~v2, . . . , ~vn} es combinacion delresto de vectores.

Se dice que {~v1, ~v2, . . . , ~vn} ⊂ V es un sistema generador de V (o quelos vectores del sistema generan V ) si todos los vectores de v son combinacionlineal de los vectores {~v1, ~v2, . . . , ~vn}.

El conjunto de vectores que son combinacion lineal de un sistema de vec-tores se denomina subespacio generado por el sistema y es un subespaciovectorial.

Estas son algunas propiedades que se deducen de todo lo anterior:

1. Si {~v1, ~v2, . . . , ~vn} es un sistema libre y {~v1, ~v2, . . . , ~vn, ~w} es ligado, en-tonces ~w es combinacion lineal de {~v1, ~v2, . . . , ~vn}.

2. Si {~v1, ~v2, . . . , ~vn} es un sistema generador de V y { ~u1, ~u2, . . . , ~um} esun sistema libre de V con m ≤ n, entonces el sistema libre se puedecompletar con n − m vectores del sistema generador para que resultetambien un sistema generador de V .

3. Todo sistema libre de V tiene igual o menor numero de vectores quecualqier sistema generador de V .

134 Capıtulo 17

17.4. Base de un espacio vectorial. Dimension

Sea (V,+, ·R) un espacio vectorial.Definicion 1: Se dice que un sistema de vectores B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} ⊂ V

es base de V si se verifican las dos condiciones siguientes:

B es un sistema libre

B es un sistema generador de V

Definicion 2: Se dice que un sistema de vectores B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} ⊂ Ves base de V si todos los vectores de V se pueden expresar como combinacionlineal de los vectores de B de forma unica.

Un espacio vectorial V tiene dimension finita si admite un sistema gene-rador con un numero finito de vectores.

Teorema: Todo espacio V de dimension finita distinto del espacio nulo ~0tiene al menos una base.

Proposicion: En un espacio V de dimension finita, todas las bases tienenel mismo numero de vectores.

Dado un espacio vectorial V de dimension finita, se llama dimension deV al numero de vectores de una de sus bases.

dimV = {numero de vectores de una base}

El rango de un sistema de vectores {~v1, ~v2, . . . , ~vn} es la dimension delsubespacio generado por el sistema.

Sea V es un espacio vectorial de dimension finita. Esta son algunas pro-piedades que se deducen de todo lo anterior:

1. Si {~v1, ~v2, . . . , ~vn} ⊂ V es un sistema libre, siempre es posible completarlohasta formar una base.

2. Si dimV = n, todo sistema de mas de n vectores es ligado.

3. Si dimV = n, todo sistema generador tiene al menos n vectores.

4. Si dimV = n, entonces B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} ⊂ V es base si cumplealguna de estas condiciones

Espacios vectoriales 135

B es libre

B es sistema generador

5. Si B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} es una base de V y { ~u1, ~u2, . . . , ~up} ⊂ V es unsistema libre, se puede asegurar que hay n−p vectores de B que anadidosa { ~u1, ~u2, . . . , ~up} forman una base.

6. El rango del sistema {~v1, ~v2, . . . , ~vn} coincide con el maximo numero devectores independientes contenidos en el sistema.

7. Si U1 y U2 son subespacios vectoriales de V de dimension finita, entonces

dim(U1 + U2) = dimU1 + dimU2 − dim(U1 ∩ U2)

17.5. Coordenadas de un vector en una base

Sea (V,+ · R) un espacio vectorial de dimension n. Dada una base B ={~v1, ~v2, . . . , ~vn}, si ~v ∈ V existen unos unicos numeros α1, α2, . . . , αn ∈ R talesque

~v = α1 ~v1 + α2 ~v2 + · · ·+ αn ~vn

Dichos numeros (α1, α2, . . . , αn) son las coordenadas de ~v en la base B.Estas son algunas propiedades que se deducen de lo anterior:

1. Un mismo vector ~v, en general, tiene unas coordenadas diferentes encada base.

2. Si {~v1, ~v2, . . . , ~vn} es una base de V , las coordenadas de ~vi son

α1 = 0, α2 = 0, . . . , αi = 1, . . . , αn = 0,

es decir

~v1 = (1, 0, . . . , 0), ~v2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , ~vn = (0, 0, . . . , 1)

3. Se llama base canonica de Rn a la formada por los vectores

{(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 0, 1)}

4. Fijada una base B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn}, cualquier espacio vectorial de di-mension n se puede identificar con el espacio vectorial Rn.

136 Capıtulo 17

17.6. Cambio de base

Sea (V,+, ·R) un espacio vectorial de dimension n y B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn}y B′ = { ~u1, ~u2, . . . , ~un} dos bases de V . Si ~v ∈ V tendra unas coordenadas enla base B y otras en la base B′:

~v = α1 ~v1 + α2 ~v2 + · · ·+ αn ~vn ~v = β1 ~u1 + β2 ~u2 + · · ·+ βn ~un

Los vectores de la base B tendran a su vez unas coordenadas en la base B′:

~v1 = a11 ~u1 + a21 ~u2 + · · ·+ an1 ~un~v2 = a12 ~u1 + a22 ~u2 + · · ·+ an2 ~un

· · ·~v1 = a1n ~u1 + a2n ~u2 + · · ·+ ann ~un

Puesto que

~v = α1 ~v1 + α2 ~v2 + · · ·+ αn ~vn =α1 (a11 ~u1 + a21 ~u2 + · · ·+ an1 ~un)+α2(a12 ~u1 + a22 ~u2 + · · ·+ an2 ~un)+

. . .

αn(a1n ~u1 + a2n ~u2 + · · ·+ ann ~un)

de donde

~v = (α1 a11 + α2 a12 + · · ·+ αn a1n) ~u1+(α1 a21 + α2 a22 + · · ·+ αn a2n) ~u2+

. . .

(α1 an1 + α2 an2 + · · ·+ αn ann) ~un

y por comparacion con ~v = β1 ~u1 + β2 ~u2 + · · · + βn ~un deducimos lassiguientes ecuaciones de cambio de coordenadas de base B a base B′:

β1 = α1 a11 + α2 a12 + · · ·+ αn a1n

β2 = α1 a21 + α2 a22 + · · ·+ αn a2n

. . .βn = α1 an1 + α2 an2 + · · ·+ αn ann

Capıtulo 18

Espacio afın

18.1. El espacio afın bidimensional y tridimensional

Sea E el conjunto de puntos del plano y V el conjunto de vectores del plano.Cada par de puntos A,B ∈ E definen un unico vector del plano ~v = [ ~AB]. Esposible definir la aplicacion

f : E × E → V

(A,B) 7→ ~v = [ ~AB]

Esta aplicacion verifica que

1. f(A,B) = ~0⇒ A = B

2. Si A,B,C ∈ E, entonces f(A,B) = f(A,C) + f(C,B)

3. Dado un vector ~v ∈ V y un punto A ∈ E, existe un unico punto B ∈ Etal que f(A,B) = ~v.

En las condiciones anteriores, la terna (E, V, f) constituye el espacio afınbidimensional (simplificadamente, E2).

Si E es el conjunto de puntos del espacio y V es el conjunto de vectoresdel espacio, la terna (E, V, f) constituye el espacio afın tridimensional (sim-plificadamente, E3).

18.1.1. Espacio afın n-dimensional

Si E es un conjunto no vacıo cualquiera de puntos, V es un espacio vectorialde dimension n y f es una aplicacion que verifica las condiciones anteriores,

137

138 Capıtulo 18

la terna (E, V, f) constituye el espacio afın n-dimensional (simplificadamente,En).

En todo espacio afın En se verifica ademas que

1. f(A,B) = −f(B,A).

2. Si f(A,B) = f(C,D), entonces f(A,C) = f(B,D).

Ejemplo: Si E es el conjunto de puntos del plano, V es el espacio vectorialde los vectores del plano y f es la aplicacion que a cada dos puntos del planoA, B ∈ E le asigna el vector ~AB, la terna (E, V, f) constituye el espacio afınbidimensional E2.

Ejemplo: Si E es el conjunto de puntos del espacio, V es el espacio vec-torial de los vectores del espacio y f es la aplicacion que a cada dos puntosdel espacio A, B ∈ E le asigna el vector ~AB, la terna (E, V, f) constituye elespacio afın tridimensional E3.

18.1.2. Subespacio afın

Dado un espacio afın En = (E, V, f), se llama subespacio afın de En deter-minado por un punto p ∈ E y por un subespacio vectorial W de V , al conjuntode puntos

{x = p+ ~w/ ~w ∈W}

Los subespacios afines en el espacio afın bidimensional son los puntos, lasrectas y todo el espacio.

Los subespacios afines en el espacio afın tridimensional son los puntos, lasrectas, los planos y todo el espacio.

18.2. Sistemas de referencia afın. Coordenadas deun punto.

Sea En = (E, V, f) un espacio afın. Si O ∈ E y {−→u1,−→u2, . . . ,

−→un} es una basede V , se denomina sistema de referencia afın de En a {0;−→u1,

−→u2, . . . ,−→un}.

Las rectas O+ < ~u1 >, O+ < ~u2 >, . . . ,O+ < ~un > se denominan ejescoordenados.

Espacio afın 139

Fijar un sistema de referencia afın es fijar un punto O como origen y unabase {−→u1,

−→u2, . . . ,−→un} del espacio vectorial correspondiente.

Se llaman coordenadas cartesianas de un punto P ∈ E en el sistema dereferencia afın {0;−→u1,

−→u2, . . . ,−→un}, a las coordenadas del vector ~OP en la base

{−→u1,−→u2, . . . ,

−→un}:~OP = α1

−→u1 + α2−→u2 + · · ·+ αn

−→unα1, α2, . . . , αn son las coordenadas cartesianas de P en el sistema de referencia{0;−→u1,

−→u2, . . . ,−→un}.

Si en el sistema {0;−→u1,−→u2, . . . ,

−→un} P ∈ En y Q ∈ En tienen coordenadas(p1, p2, . . . , pn) y (q1, q2, . . . , qn), respectivamente, entonces el vector

−−→PQ tiene

coordenadas (q1 − p1, q2 − p2, . . . , pn − qn):

−−→PQ = Q− P, P = Q+

−−→PQ, Q = P −

−−→PQ

18.2.1. Cambios de sistema de referencia afın

Sean {0;−→u1,−→u2, . . . ,

−→un} y {O′;−→v1 ,−→v2 , . . . ,−→vn} dos sistemas referencia en unespacio afın En.

Un mismo punto P ∈ En tendra coordenadas (x1, x2, . . . , xn) en el primersistema y coordenadas (x′1, x

′2, . . . , x

′n) en el segundo. Dado que

~O′P = ~O′O + ~OP

se deduce que la relacion entre ambas coordenadas es la siguiente:x′1x′2. . .x′n

=

a1

a2

. . .an

+

a11 a21 . . . an1

a12 a22 . . . an2

. . .a1n a2n . . . ann

x1

x2

. . .xn

simplificadamente X ′ = a+AX, siendo (a1, a2, . . . , an) las coordenadas de

O en {O′;−→v1 ,−→v2 , . . . ,−→vn} y a11 a21 . . . an1

a12 a22 . . . an2

. . .a1n a2n . . . ann

la matriz de cambio de base {−→u1,

−→u2, . . . ,−→un} a base {−→v1 ,−→v2 , . . . ,−→vn}

140 Capıtulo 18

Para obtener las coordenadas de forma inversa:

X ′ − a = AX ⇒ X = A−1(X ′ − a)⇒ X = A−1X ′ −A−1a

es decirX = BX ′ + b

siendo B = A−1 la matriz de cambio de base {−→v1 ,−→v2 , . . . ,−→vn} a base{−→u1,−→u2, . . . ,

−→un} y b = −A−1a las coordenadas deO′ en el sistema {O;−→u1,−→u2, . . . ,

−→un}.

18.3. La recta en el espacio afın

Una recta en el espacio afın En queda determinada por un punto A con-tenido en la recta y un vector director −→v no nulo que determine la direccion.Todo punto X de la recta verifica que existe λ ∈ R tal que

−−→AX = λ−→v o bien X = A+ λ−→v

que son las ecuaciones vectoriales de la recta. Sustituyendo las coordenadas

(x1, x2, . . . , xn) = (a1, a2, . . . , an) + λ(v1, v2, . . . , vn)

nos queda

x1 = a1 + λv1, x2 = a2 + λv2, . . . , xn = an + λvn

que son las ecuaciones parametricas de la recta. Si ai 6= 0 para todo i ∈1, 2, . . . , n

x1 − a1

v1=x2 − a2

v2= · · · = xn − an

vn

que es la ecuacion de la recta forma continua.Como los vectores

−−→AX y −→v son dependientes, la matriz

x1 − a1 v1x2 − a2 v2. . .

xn − an vn

tendra rango 1. De esta ultima condicion se obtienen las ecuaciones carte-

sianas o implıcitas de la recta.

Espacio afın 141

Por ejemplo, si n = 3, y v1 6= 0 quedarıan ası:

rg

x1 − a1 v1x2 − a2 v2x3 − a3 v3

= 1⇒∣∣∣∣ x1 − a1 v1x2 − a2 v2

∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣ x1 − a1 v1x3 − a3 v3

∣∣∣∣ = 0

es decir:

v2(x1 − a1)− v1(x2 − a2) = 0, v3(x1 − a1)− v1(x3 − a3) = 0

y simplificando obtenemos las ecuaciones implıcitas

v2x1 − v1x2 = v2a1 − v1a2, v3x1 − v1x3 = v3a1 − v1a3.

18.4. El plano en el espacio afın

Un plano en el espacio afın queda determinado por un punto A contenidoen el plano y dos vectores directores −→u y −→v que indican la direccion. Si X esun punto del plano, existen λ, µ ∈ R tal que

−−→AX = λ−→v + µ−→u o bien X = A+ λ−→v + µ−→u

que son las ecuaciones vectoriales del plano. Sustituyendo las coordenadas

(x1, x2, . . . , xn) = (a1, a2, . . . , an)+λ(v1, v2, . . . , vn) + µ(u1, u2, . . . , un)

nos queda

x1 = a1 + λv1 + µu1, x2 = a2+λv2 + µu2, . . .

. . . , xn = an + λvn + µun

que son las ecuaciones parametricas del plano.Como los vectores AX, −→v y −→u son dependientes, la matriz

x1 − a1 v1 u1

x2 − a2 v2 u2

. . .xn − an vn un

142 Capıtulo 18

tendra rango 2. De esta ultima condicion se obtienen las ecuaciones cartesianaso implıcitas del plano.

Por ejemplo, si n = 3 quedarıan ası:

rg

x1 − a1 v1 u1

x2 − a2 v2 u2

x3 − a3 v3 u3

= 2⇒

∣∣∣∣∣∣x1 − a1 v1 u1

x2 − a2 v2 u2

x3 − a3 v3 u3

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Simplificando lo anterior, se obtendrıa una expresion del tipo

A1x1 +A2x2 +A3x3 = D

que es la ecuacion implıcita de un plano en el espacio.

18.5. Incidencia, interseccion y paralelismo en E3

Consideremos el espacio afın E3. Un punto P ∈ E3 es incidente con unasubvariedad afın o esta contenido en ella si P pertenece a la subvariedad.

18.5.1. Puntos

Tres puntos A,B,C estan alineados si los vectores−−→AB y

−→AC son propor-

cionales.Tres puntos A,B,C estan siempre en el mismo plano.Cuatro puntos A,B,C,X son coplanarios si los vectores

−−→AB,

−→AC y

−−→AX

son dependientes.

18.5.2. Haz de planos

Se llama haz de planos que pasan por una recta de ecuacion

ax+ by + cz + d = 0a′x+ b′y + c′z + d′ = 0

al conjunto de planos que contienen a esa recta. Si en la expresion

ax+ by + cz + d+ λ (a′x+ b′y + c′z + d′)

le damos valores al parametro λ ∈ R obtendremos todos los planos del hazsalvo el de ecuacion a′x+ b′y + c′z + d′ = 0.

Espacio afın 143

18.5.3. Radiacion de planos y rectas

Se llama radiacion de planos (equivalentemente, de rectas) que pasan porun punto P ∈ E3 al conjunto de planos (de rectas) que pasan por el puntoP = (p1, p2, p3). La ecuacion de cualquier plano que pasa por P es de la forma

Ax+By + Cz − (Ap1 +Bp2 + Cp3) = 0

La ecuacion de cualquier recta que pasa por P = (p1, p2, p3) es de la forma

x− p1

v1=x− p2

v2=x− p3

v3.

18.5.4. Posicion relativa de dos rectas

Dos rectas A+ λ−→v y B + α−→u :

Son paralelas si −→v y −→u son proporcionales. Seran coincidentes si ademastienen algun punto en comun.

Son secantes si tiene algun punto en comun. En este caso, −→v ,−→u y−−→AB

seran linealmente dependientes. Los puntos comunes se calculan resol-viendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas.

Se cruzan si no son paralelas ni secantes. En este caso, −→v ,−→u y−−→AB seran

linealmente independientes.

Para estudiar la posicion relativa de dos rectas se puede estudiar el sistemaque forman sus ecuaciones:

ax+ by + cz + d = 0a′x+ b′y + c′z + d′ = 0

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0a′1x+ b′1y + c′1z1 + d′1 = 0

Si A es la matriz de los coeficientes del sistema formado por las cuatro ecua-ciones y A∗ es la matriz ampliada, se tiene que:

1. Si rango(A) = 3 6= rango(A∗) = 4, las rectas se cruzan.

2. Si rango(A) = rango(A∗) = 3, las rectas son secantes en un solo punto.

3. Si rango(A) = 2 6= rango(A∗) = 3, las rectas son paralelas.

4. Si rango(A) = rango(A∗) = 2, las rectas son iguales.

144 Capıtulo 18

18.5.5. Posicion relativa de una recta y un plano

Dados una recta A+ λ−→v y un plano B + α < −→u ,−→w >, se dice que

Son paralelos si −→v , −→u y −→w son linealmente dependientes.

Son secantes si tienen algun punto en comun.

La recta estan contenida en el plano si son paralelos y tienen algun puntoen comun.

Para estudiar la posicion relativa de una recta y un plano se puede estudiarel sistema que forman sus ecuaciones:

ax+ by + cz + d = 0a′x+ b′y + c′z + d′ = 0

a1x+ b1y + c1z + d = 0

Si A es la matriz de los coeficientes del sistema formado por las tres ecuacionesy A∗ es la matriz ampliada, se tiene que:

1. Si rango(A) = rango(A∗) = 3, la recta y el plano se cortan en un solopunto.

2. Si rango(A) = 2 6= rango(A∗) = 3, la recta y el plano paralelos.

3. Si rango(A) = rango(A∗) = 2, la recta estan contenida en el plano.

18.5.6. Posicion relativa de dos planos

Dados dos planos A+ λ < −→u ,−→v > y B + α < −→m,−→n >, se dice que

Son paralelos si los vectores −→v , −→u , −→m y −→n son dependientes tomadosde tres en tres.

Son secantes si tienen algun punto en comun.

Son coincidentes si son paralelos y tienen algun punto en comun.

Para estudiar la posicion relativa de dos planos se puede estudiar el sistemaque forman sus ecuaciones:

ax+ by + cz + d = 0 a1x+ b1y + c1z + d = 0

Si A es la matriz de los coeficientes del sistema formado por las dos ecuacionesy A∗ es la matriz ampliada, se tiene que:

Espacio afın 145

1. Si rango(A) = rango(A∗) = 2, los planos se cortan en una recta.

2. Si rango(A) = 1 6= rango(A∗) = 2, los planos son paralelos y no secortan.

3. Si rango(A) = rango(A∗) = 1, los planos son coincidentes.

18.5.7. Posicion relativa de tres planos

Dados tres planos de ecuaciones

ax+ by + cz + d = 0 a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 a2x+ b2y + c2z + d2 = 0,

si A es la matriz de los coeficientes del sistema formado por las tres ecuacionesy A∗ es la matriz ampliada, se tiene que:

1. Si rango(A) = rango(A∗) = 3, los planos se cortan en un punto.

2. Si rango(A) = 2 6= rango(A∗) = 3, los planos no tienen ningun punto encomun.

3. Si rango(A) = rango(A∗) = 2, los planos se cortan en una recta.

4. Si rango(A) = 1 6= rango(A∗) = 2, los planos son paralelos (dos de ellospueden coincidir).

5. Si rango(A) = rango(A∗) = 1, los planos son coincidentes.

Capıtulo 19

Espacio afın euclıdeo

19.1. Producto escalar. Espacio vectorial euclıdeo

Sea V un espacio vectorial. Un producto escalar sobre V es una aplica-cion

V × V → R~u,~v 7→ ~u · ~v

que verifique

1. ~u · ~u > 0 ∀~u 6= ~0. Ademas, ~u · ~u = 0⇔ ~u = ~0

2. ~u · ~v = ~v · ~u ∀~u,~v ∈ V

3. ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w, ∀~u,~v, ~w ∈ V

4. λ~u · ~v = λ(~u · ~v), ∀λ ∈ R, ∀~u,~v ∈ V

Dada una base {~e1, ~e2, . . . , ~en} de un espacio vectorial Vn de dimension n,el producto escalar habitual (que sera el que utilicemos salvo que se indiquelo contrario) es:

~u · ~v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

La base {~e1, ~e2, . . . , ~en} la denominaremos base canonica.Un espacio vectorial V dotado de un producto escalar es un espacio vec-

torial euclıdeo.Otra propiedades que se deducen en todo espacio vectorial euclıdeo:

1. (~u+ ~v) · ~w = ~u · ~w + ~v · ~w, ∀~u,~v, ~w ∈ V

147

148 Capıtulo 19

2. ~u · (λ~v) = λ(~u · ~v), ∀λ ∈ R, ∀~u,~v ∈ V

3. ~u ·~0 = 0 ∀~u ∈ V

19.1.1. Norma de un vector

Dado un espacio euclıdeo (V, ·), se denomina norma ‖ ‖ a la aplicacion

‖ ‖ : V → R~u 7→

√~u · ~u

Propiedades de la norma:

1. ‖~u‖ > 0 ∀~u 6= ~0. Ademas, ‖~u‖ = 0⇔ ~u = ~0

2. |~u · ~v| ≤ ‖~u‖ ‖~u‖∀~u,~v ∈ V

3. ‖λ~u‖ = |λ| ‖~u‖, ∀λ ∈ R, ∀~u ∈ V

4. ‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖, ∀~u,~v ∈ V

La norma de un espacio euclıdeo es una forma de ”medir”los vectores delespacio.

En el espacio euclıdeo habitual, ‖~u‖ =√u2

1 + u22 + · · ·+ u2

n.Si ~u 6= ~0, los vectores ±~u‖~u‖ tienen norma 1 y se les denomina unitarios.

19.1.2. Vectores ortogonales

Se dice que dos vectores ~u y ~v son ortogonales (se representa ~u⊥~v) o que~u es ortogonal a ~v o que ~v es ortogonal a ~u, si ~u · ~v = 0. Se verifica que

1. ~0 es ortogonal a todos los vectores y es el unico vector ortogonal a sı mis-mo.

2. Su ~u⊥~v, lo mismo ocurre con todos sus proporcionales.

3. Si ~u⊥~v y ~u⊥~w, ~u es ortogonal a las combinaciones lineales de ~v y ~w.

4. Si ~u⊥~v, entonces ‖~u+ ~v‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2 (Teorema de Pitagoras).

Se dice que una base es

Espacio afın euclıdeo 149

ortogonal si los vectores que la forman son ortogonales dos a dos.

ortonormal si los vectores que la forma son unitarios y ortogonales dosa dos.

19.1.3. Angulo determinado por dos vectores

Dados dos vectores ~u y ~v no nulos de un espacio euclıdeo, se define angulodeterminado por ~u y ~v (denotado uv) al unico numero real α ∈ [0, π] tal que

cosα =~u · ~v‖~u‖ ‖~v‖

Si alguno de los vectores es ~0, el angulo determinado se dice que es nulo.Se deduce que ~u · ~v = ‖~u‖ ‖~v‖ cos(uv).

19.2. Producto vectorial y producto mixto en V3

Sea V3 un espacio vectorial de dimension 3 y sea B = { ~u1, ~u2, ~u3} unabase de V3. Consideremos tres vectores ~a,~b,~c ∈ V3 linealmente independientes,cuyas coordenadas en la base son (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) y (c1, c2, c3), respecti-vamente. Se dice que ~a,~b,~c estan orientados positivamente respecto a la baseB si ∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ > 0

En caso contrario, estan orientados negativamente.

19.2.1. Producto vectorial

Fijada una base, se llama producto vectorial de dos vectores ~u y ~v no nulos(denotado ~u× ~v), al unico vector de V3 que verifica:

‖~u× ~v‖ = ‖~u‖ ‖~v‖ sen(uv)

(~u× ~v)⊥~u y (~u× ~v)⊥~v

Los vectores ~u,~v, ~u×~v estan orientados positivamente respecto a la basefijada.

150 Capıtulo 19

Si algun vector es nulo, el producto vectorial se define como el vector ~0.

Propiedades del producto vectorial:

1. Si ~u× ~v = ~0, o algun vector es nulo o los vectores son paralelos.

2. Con el producto escalar habitual, si la base canonica es {~e1, ~e2, ~e3}, en-tonces:

~e1 × ~e2 = ~e3 ~e2 × ~e3 = ~e1 ~e3 × ~e1 = ~e2

3. Con el producto escalar habitual, si la base canonica es {~e1, ~e2, ~e3} y

u = u1 ~e1 + u2 ~e2 + u3 ~e3 v = v1 ~e1 + v2 ~e2 + v3 ~e3,

entonces

~u× ~v =∣∣∣∣ u2 u3

v2 v3

∣∣∣∣ ~e1 − ∣∣∣∣ u1 u3

v1 v3

∣∣∣∣ ~e2 +∣∣∣∣ u1 u2

v1 v2

∣∣∣∣ ~e3Lo anterior puede memorizarse (aunque no es una expresion matematicacorrecta) como

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣~e1 ~e2 ~e3u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣4. ~u× ~v = −(~v × ~u), ∀~u,~v ∈ V3

5. (λ~u)× ~v = ~u× (λ~v) = λ(~u× ~v), ∀~u,~v ∈ V3, ∀λ ∈ R

6. ~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~w, ∀~u,~v, ~w ∈ V3

7. El producto vectorial no es asociativo.

19.2.2. Producto mixto

Dados tres vectores ~u,~v, ~w ∈ V3, se define el producto mixto de los tresvectores como

[~u,~v, ~w] = ~u · (~v × ~w).

Propiedades del producto mixto:

1. En valor absoluto, el producto mixto es el volumen del paralelepıpedodefinido por los tres vectores.

Espacio afın euclıdeo 151

2. Con el producto escalar habitual se verifica que

[~u,~v, ~w] =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣3. Como consecuencia de las propiedades de los determinantes

[~u,~v, ~w] =[~v, ~w, ~u] = [~w, ~u,~v] ==− [~v, ~u, ~w] = −[~u, ~w,~v] = −[~w,~v, ~u]

∀~u,~v, ~w ∈ V3.

4. Si el producto mixto es 0, los tres vectores son linealmente dependientes.

5. [~u+ ~u′, ~v, ~w] = [~u,~v, ~w] + [~u′, ~v, ~w], ∀~u, ~u′, ~v, ~w ∈ V3.

6. [λ~u,~v, ~w] = [~u, λ~v, ~w] = [~u,~v, λ~w] = λ[~u,~v, ~w], ∀~u,~v, ~w ∈ V3 y ∀λ ∈ R.

19.3. Espacio afın euclıdeo E3

Un espacio afın euclıdeo es aquel en el que el espacio vectorial asociadotiene definido un producto escalar.

En un espacio afın euclıdeo es posible estudiar angulos, distancias, areas yvolumenes.

Sea E3 un espacio afın de dimension 3 y {~e1, ~e2, ~e3} la base canonica parael producto escalar correspondiente, de modo que el producto escalar es

~u · ~v = (u1, u2, u3) · (v1, v2, v3) = u1v1 + u2v2 + u3v3.

19.3.1. Vector normal a un plano

Un vector ~n es normal a un plano π si para cualesquiera dos puntos delplano A,B, se verifica que ~n⊥ ~AB, es decir, ~n · ~AB = 0.

Ecuacion del plano que pasa por el punto P = (p1, p2, p3) y es perpendi-cular la vector ~n = (n1, n2, n3):

~n · ~PX = 0⇒ n1x1 + n2x2 + n3x3 − (n1p1 + n2p2 + n3p3) = 0.

El plano de ecuacion Ax1 + Bx2 + Cx3 + D = 0 tiene como vector normal~n = (A,B,C).

152 Capıtulo 19

19.3.2. Angulo entre dos rectas

Se llama angulo determinado por las rectas r : A + λ~u y s : B + α~v alsiguiente

r, s = mın[uv, −uv] = arc cos|~u · ~v|‖~u‖ ‖~v‖

Las rectas r y s son perpendiculares si sus vectores directores son ortogonales.

19.3.3. Angulo entre dos planos

Se llama angulo determinado por los planos

π : Ax1 +Bx2 + Cx3 +D = 0 π′ : A′x1 +B′x2 + C ′x3 +D′ = 0

al menor de los angulos que forman sus vectores ortogonales, que es igual alangulo diedro formado por los planos. Si ~n = (A,B,C) y ~n′ = (A′, B′, C ′),entonces

π, π′ = mın[nn′, −nn′] = arc cos|~n · ~n′|‖~n‖ ‖~n′‖

Las planos π y π′ son perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales.

19.3.4. Angulo entre recta y plano

Se llama angulo determinado por una recta r : A + λ~u y un plano π :Ax+By + Cz +D = 0 al complementario del angulo formado los vectores ~uy ~n = (A,B,C), es decir:

rπ = arc sen|~u · ~n|‖~u‖ ‖~n‖

Recta y plano son perpendiculares si ~u y ~n son paralelos.

19.3.5. Distancia entre dos puntos

Si A y B son dos puntos del espacio euclıdeo E3, se define distancia entreA y B a la norma del vector ~AB:

d(A,B) = ‖ ~AB‖ =√

~AB · ~AB

Espacio afın euclıdeo 153

19.3.6. Distancia de un punto a un plano

La distancia de un punto P = (p1, p2, p3) a un plano de ecuacion π :Ax + By + Cz + D = 0 es la menor de las distancias entre P y los puntosdel plano. Esta distancia se alcanza en el punto P ′ resultado de proyectar Portogonalmente sobre el plano.

Si ~n = (A,B,C) y X = (x1, x2, x3) es un punto cualquiera del plano, sededuce que:

| ~PX · ~n| = |( ~PP ′ + ~P ′X) · ~n| = | ~PP ′ · ~n| = ‖ ~PP ′‖ ‖~n‖ cos(PP ′, n)

Como ~PP ′ y ~n son paralelos

| ~PX · ~n| = ‖ ~PP ′‖ ‖~n‖

y

d(P, π) = ‖ ~PP ′‖ =| ~PX · ~n|‖~n‖

=|Ap1 +Bp2 + Cp3 +D|√

A2 +B2 + C2

Podemos calcular P ′ calculando previamente la recta perpendicular alplano π que pasa por P e intersecandola con el plano π.

19.3.7. Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto P = (p1, p2, p3) a una recta r : A+λ~u es la menorde las distancias entre P y los puntos de la recta. Esta distancia se alcanza enel punto P ′ resultado de proyectar P ortogonalmente sobre la recta.

Los vectores ~AP y ~u determinan un paralelogramo cuyo area es ‖ ~AP × ~u‖o bien ‖~u‖ · d(P, r). Por tanto

d(P, r) =‖ ~AP × ~u‖‖~u‖

Podemos calcular P ′ imponiendo la condicion ~PP ′ · ~u = 0.

19.3.8. Distancia entre dos rectas

Se llama distancia entre las rectas r : A+λ~u y B+α~v a la mınima distanciaentre dos puntos, uno de cada recta.

La distancia es 0 si las rectas se cortan

154 Capıtulo 19

Si son paralelas, la distancia es la distancia de un punto cualquiera de unade las rectas a la otra recta.

Si las rectas se cruzan, la distancia entre ambas es la distancia entre P ∈ ry Q ∈ S, siendo P y Q puntos de la recta perpendicular comun a r y s.

Los vectores ~AB, ~u y ~v determinan un paralelepıpedo cuyo volumen es[ ~AB, ~u,~v] o bien ‖~u× ~v‖ · ‖ ~PQ‖. Por tanto

d(r, s) = ‖ ~PQ‖ =[ ~AB, ~u,~v]‖~u× ~v‖

Los puntos P y Q se pueden calcular como interseccion de la recta per-pendicular comun con r y s, respectivamente. La perpendicular comun a r ys es la recta definida por los planos

[ ~AX, ~u, ~u× ~v] = 0 [ ~BX,~v, ~u× ~v] = 0

19.3.9. Distancia entre recta y plano

Se define como distancia entre una recta r : A+ λ~u y un plano π : Ax1 +Bx2 + Cx3 + D = 0 como la distancia mınima entre dos puntos, uno de larecta y otro del plano.

Si r y π se cortan, la distancia es 0.Si r y π son paralelos, la distancia es la distancia de un punto cualquiera

de la recta al plano.

19.3.10. Distancia entre dos planos

Se define distancia entre dos planos π y π′ como la distancia mınima entredos puntos, uno de cada plano.

Si π y π′ se cortan, la distancia es 0.Si π y π′ son paralelos, la distancia es la distancia de un punto cualquiera

de π a π′.

19.3.11. Areas y volumenes

Area de un paralelogramo definido por los puntos A,B,C,D:

‖ ~AB × ~AC‖

siendo B y C los puntos contiguos al punto A en el paralelogramo. El triangulode vertices A,B,C tiene area la mitad de lo anterior.

Espacio afın euclıdeo 155

Volumen del paralelepıpedo de aristas AB, AC y AD:∣∣∣[ ~AB, ~AC, ~AD]∣∣∣ .

El tetraedro de vertices A,B,C,D tiene volumen la sexta parte de lo anterior.