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Apuntes de Física del Plasma

Fernando O. Minotti

1er cuatrimestre de 2005

1

Índice General

1 Introducción 41.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Longitud de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Logaritmo de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Reactores de fusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Movimiento en campos magnéticos 152.1 Deriva generada por fuerza perpendicular al campo . . . . . . 162.2 Derivas en campo magnéticos constantes suavemente variables

en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 i) B paralelo a ez con variación perpendicular . . . . . 172.2.2 ii) B de módulo constante con ligera curvatura . . . . . 182.2.3 iii) B paralelo a ez con variación a lo largo de z . . . . 21

2.3 Invariantes adiabáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Variaciones temporales lentas de E y B . . . . . . . . . . . . 252.5 Corrientes de deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Plasma como fluido 293.1 Descripción cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Descripción de fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Fluidos múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.2 Aproximación de dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.3 Fluido simple y MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.4 Congelamiento de líneas magnéticas . . . . . . . . . . . 403.2.5 Modelo de CGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.6 MHD bidimensional incompresible . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Aproximación de difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.1 Plasmas débilmente ionizados . . . . . . . . . . . . . . 473.4.2 Plasmas totalmente ionizados . . . . . . . . . . . . . . 51

2

ÍNDICE GENERAL 3

4 Colisiones 534.1 Colisiones en plasmas totalmente ionizados . . . . . . . . . . . 534.2 Ecuación de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Relajación en plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1 Plasmas fríos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.2 Plasmas maxwellianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Resistividad en plasma maxwelliano . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Oscilaciones en plasmas 665.1 Ecuaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 Oscilaciones en plasmas sin campo magnético . . . . . . . . . 685.3 Oscilaciones en plasmas con campo magnético . . . . . . . . . 71

5.3.1 Propagación paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.2 Propagación perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3.3 Propagación oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 Equilibrios y estabilidad 846.0.4 Tokamak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.1 Pinchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.1.1 Theta-pinch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.1.2 Z-pinch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.2 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3 Modos flute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.4 Principio de energía de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.4.1 Estabilidad del z-pinch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5 Inestabilidad de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.6 Inestabilidades tipo “ballooning” . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.7 Inestabilidades resistivas (modos “tearing”) . . . . . . . . . . . 110

6.7.1 Problema interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.7.2 Problema externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7 Teoría cinética de plasmas 1167.1 Aproximación de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2 Ondas de plasma y amortiguamiento de Landau . . . . . . . . 1217.3 Amortiguamiento de Landau en ondas iónico-acústicas . . . . 1237.4 Inestabilidad de dos haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.5 Amortiguamiento inverso de Landau . . . . . . . . . . . . . . 126

7.5.1 Inestabilidad de ondas de plasma . . . . . . . . . . . . 1267.5.2 Inestabilidad iónico-acústica . . . . . . . . . . . . . . . 126

Capítulo 1

Introducción

1.1 GeneralidadesSe denomina plasma al medio gaseoso que contiene un número apreciable decargas libres, pero que es aproximadamente neutro en su conjunto. La grancantidad de cargas libres da lugar a altas conductividades eléctricas y a laposibilidad de establecer fácilmente corrientes eléctricas que interactúan concampos magnéticos aplicados y con los propios generados por tales corrientes.Un enorme porcentaje (> 99%) de la materia en el universo existe aparen-temente en forma de plasma; el medio estelar, interplanetario e interestelar,y las altas atmósferas planetarias. Sin embargo, en los medios relativamentedensos y/o fríos en los que se desarrolla la vida el estado de plasma es másraro por la tendencia a la recombinación de las cargas libres. En el labo-ratorio debe aplicarse energía a un gas para producir el estado de plasma,y su mantenimiento prolongado, sobre todo en las condiciones de densidady temperatura necesarias para las aplicaciones, incluyendo la generación dereacciones de fusión nuclear, plantea enormes desafíos tecnológicos.

1.2 Longitud de DebyeImaginemos entonces que entregamos energía a un gas, típicamente estable-ciendo una descarga eléctrica a través de éste. Los electrones emitidos por elcátodo disociarán y ionizarán las moléculas del gas, produciendo a su vez máselectrones capaces de ionizar. A su vez, los electrones libres emiten radiaciónelectromagnética al ser acelerados en su interacción con otras partículas, ylos iones, átomos y moléculas emiten y absorben radiación al desexcitarseo excitarse a distintos niveles; esta radiación también produce ionizaciones.Se establece eventualmente un equilibrio entre los distintos tipos de ioniza-

4

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 5

ciones, recombinaciones y pérdidas y ganancias de partículas a través delcontorno, sostenido por el circuito externo. En este estado de plasma ten-dremos una población de electrones, iones con distintos estados de carga yexcitación, partículas neutras (moléculas y átomos) también en distintos es-tados excitados, y radiación electromagnética. La población relativa de cadauna de estas especies dependerá del tipo de equilibrio que se establezca; losprocesos de ionización más importantes son los debidos a impacto electrónico(e+A→ A++2e) y ionización radiativa (hν+A→ A++e), mientras que lasrecombinaciones corresponden a los procesos inversos; recombinación a trescuerpos (A+ + 2e → e + A) y recombinación radiativa (A+ + e → hν + A).En equilibrio termodinámico estos cuatro procesos estarían equilibrados; estoes, habría una temperatura única a la que estarían todas las especies (inclu-yendo la radiación) a la que cada proceso y su inverso producirían la mismacantidad de reacciones por unidad de tiempo, lo que requiere una poblaciónrelativa de especies muy particular para cada temperatura. Muy rara vezel plasma es lo suficientemente extenso y denso para retener la radiación yestablecer así un equilibrio con ella (esto sí sucede en los interiores estelares);de todas maneras es todavía posible tener equilibrio termodinámico entre losprocesos que no involucran radiación; la ecuación de Saha permite entoncesobtener la población relativa de especies. Sin embargo, a las densidades ytemperaturas habituales de plasmas de laboratorio la recombinación a trescuerpos es generalmente mucho menos probable que la recombinación radia-tiva. El resultado es entonces que muchas veces se establece un equilibrio depoblaciones no termodinámico, en el que la ionización por impacto es balan-ceada por recombinación radiativa, el denominado equilibrio corona (por sercaracterístico de la corona solar).Los procesos inelásticos considerados producen entonces un cierto nivel

de población de las especies del plasma. Estas especies, a su vez, interactúantambién a través de procesos elásticos, especialmente las especies cargadasa través de la fuerza eléctrica de largo alcance. Imaginemos un plasma enequilibrio mecánico, en el que cada elemento fluido (macroscópico) del plasmaestá quieto y, por simplicidad, consideremos que contiene una sola especiede iones. Tendremos una densidad volumétrica de electrones ne (x), y unadensidad ni (x) de iones de carga Ze (e es el módulo de la carga del electrón).El equilibrio mecánico requiere que la fuerza neta sobre cada especie en elelemento de volumen sea cero; así, escribimos

−T∇ne + ene∇φ = 0,

−T∇ni − Zene∇φ = 0,

donde hemos aproximado la presión de cada especie por nT , la expresión degas ideal (con la temperatura T medida en unidades de energía), y supuesto


temperatura uniforme. Por la condición de estacionareidad el campo eléctricoes potencial, con potencial φ, que estará determinado por la ecuación dePoisson (unidades MKS)

∇2φ = −ρelecε0,

dada la densidad de carga ρelec. Imaginemos que en el seno de tal plasmaexiste una partícula quieta de carga Q, que consideramos en el origen decoordenadas, y determinemos entonces la distribución de equilibrio de den-sidades y de potencial eléctrico. Las condiciones de equilibrio se integrantrivialmente dando

ne = ne0 exp (eφ/T ) , (1.1a)

ni = ni0 exp (−Zeφ/T ) , (1.1b)

por lo que escribimos la ecuación de Poisson como

∇2φ = − 1ε0[Qδ (x) + Zeni0 exp (−Zeφ/T )− ene0 exp (eφ/T )] .

Como esperamos campo eléctrico nulo lejos del origen, tomando φ = 0 muylejos, debe ser

Zni0 = ne0, (1.2)

que es la condición de que el plasma sean neutro lejos de la carga Q. Laecuación obtenida para el potencial es extremadamente complicada, por loque la aproximaremos suponiendo que φ es lo suficientemente pequeño paraaproximar las exponenciales a primer orden (esto no será correcto muy cercade Q, pero será suficiente en las zonas de interés). Escribimos entonces,usando la (1.2), y usando simetría esférica

1

r2d

dr

µr2dφ

dr

¶= − Q

4πε0r2δ (r) +

e2ne0ε0T

(1 + Z)φ,

cuya solución es

φ =Q

4πε0rexp (−r/λD) ,

donde hemos introducido la denominada longitud de Debye

λD ≡s

ε0T

e2ne0 (1 + Z)

λD [m] = 7.4× 103s

T [eV ]

ne0 [m−3] (1 + Z).


(1 eV = 1, 6× 10−19J = 11600◦K).Vemos que el potencial de la carga es apantallado a distancias mayores que

λD. La razón es clara de las relaciones (1.1); si Q > 0 el potencial cercano a lacarga es positivo y las (1.1) indican entonces que ne será mayor allí que muylejos, mientras que ni será menor (lo opuesto ocurre si Q < 0), manifestandola tendencia de las cargas a acumularse cerca de la carga de signo contrario.La presencia de un gran número de cargas, así como la agitación térmicamicroscópica impiden el aglutinamiento excesivo y determina una distanciacaracterística de apantallamiento finita.Lo dicho para la carga Q vale para cualquiera de las partículas cargadas

del plasma; cada electrón o ión siente el campo individual de las partículasque están dentro de un esfera de radio ≈ λD alrededor de él. El campo decada partícula fuera de esta esfera de Debye es fuertemente apantallado y elelectrón o ión sólo percibe el campo macroscópico (o colectivo) generado portodas las partículas fuera de su esfera de Debye.El número de partículas dentro de la esfera de Debye es

ND ' 4π

3ne0

µ1 +

1

Z

¶λ3D

=1.7× 1012

Z

sT 3 [eV ]

ne0 [m−3] (1 + Z),

que normalmente es un número muy grande; aun en plasmas relativamentefríos, de unos pocos eV, con densidades características de 1020m−3, tenemosND ' 100. De hecho, la condición ND À 1 es la que caracteriza cuanti-tativamente a un plasma, porque le otorga su dinámica particular al tenerun gran número de partículas interactuando simultáneamente a través de lafuerza eléctrica. El denominado parámetro de plasma es la inversa de ND

g ≡ N−1D ¿ 1.

Notemos el hecho importante que, al haber una separación media entrepartículas dada por (no hacemos distinción entre especies)

d ≈ n−1/3,la energía media de interacción por partícula es

hUi ≈ e2

4πε0d≈ e

2n1/3

4πε0,

que si la comparamos con la energía cinética media hW i que, por equiparti-ción, es del orden de T , tenemos

hW ihUi ≈

4πε0T

e2n1/3≈ N2/3

D À 1.


Al ser la energía de interacción media mucho menor que la energía cinética, esuna muy buena aproximación considerar al plasma como un gas ideal desdeel punto de vista termodinámico, como hicimos más arriba.

1.3 Logaritmo de CoulombEl hecho que cada partícula interactúa simultáneamente con ≈ ND partículasa través de la fuerza de Coulomb genera desviaciones de su trayectoria que seconsideran como colisiones. Estimemos primero cuán cerca debe pasar unapartícula de otra para sufrir una desviación apreciable. Esto requiere quellegue a distancias bc en las que la energía de interacción es comparable a lacinética; como ya vimos, podemos escribir

T ≈ e2

4πε0bc=⇒ bc ≈ e2

4πε0T.

Notemos primero que, como es natural de la discusión anterior, esta distanciaes mucho menor que la separación media entre partículas

bcd≈ e2n1/3

4πε0T≈ N−2/3

D ¿ 1.

Designemos a este tipo de colisión binaria colisión de Coulomb. La seccióneficaz correspondiente es

σc ≈ πb2c ≈e4

16πε20T2' 6, 5× 10−26

T 2[keV ]m2.

En términos de la sección eficaz y de la densidad de partículas blanco pode-mos definir un camino libre medio entre colisiones de Coulomb

λc =1

nσc≈ 16πε

20T

2

ne4,

que, comparado con la longitud de Debye, es

λcλD≈ 16πε

20T

2

ne4

se2n

ε0T≈ ND À 1. (1.3)

El punto importante es ver ahora qué sucede con las interacciones Co-ulombianas débiles (con parámetros de impacto grandes) que sufre la par-tícula al interactuar con las ≈ ND partículas dentro de su esfera de Debye.Para esto estimemos el ángulo que se desvía una partícula al pasar a una


distancia b de otra. El cambio de velocidad perpendicular al movimiento ori-ginal será del orden de la aceleración, debida a la interacción, por el tiempode duración de la misma

∆u⊥ ≈ 1

m

e2

4πε0b2∆t ≈ 1

m

e2

4πε0b2b

u,

por lo que el ángulo de desviación será

δθ ≈ ∆u⊥u≈ e2

4πε0bmu2=b0b, (1.4)

donde hemos introducido una constante similar a bc

b0 ≡ e2

4πε0mu2. (1.5)

El δθ estimado corresponde a la desviación por interacción con una solapartícula, si superponemos las desviaciones simultáneas al interactuar conlas ≈ ND partículas dentro de la esfera de Debye, el valor medio hδθi seanulará por ser las desviaciones equiprobables en cualquier dirección; sinembargo, la desviación cuadrática media no es nula, sino del orden

(δθ)2

® ≈ Z bmax

bmin

(δθ)2 2πnb dbL

donde 2πnb dbL es el número de partículas blanco que encuentra la partículaa una distancia b cuando recorre una dada longitud L. Usando (1.4) tenemosinmediatamente

(δθ)2® ≈ 2πnb20 lnµbmaxbmin

¶L.

Como la interacción está apantallada a distancias mayores que λD tomamosbmax ≈ λD, mientras que, como consideramos desviaciones pequeñas, debeser bmin > bc; debido a la insensibilidad de la función logaritmo, el valor no esmuy sensible a los valores precisos por lo que tomamos bmin ≈ bc. Con esto,la desviación cuadrática media de la partícula al recorrer una distancia L es

(δθ)2® ≈ 2πnb20 lnΛL,

donde hemos introducido el símbolo usual

Λ ≡ λDbc≈r

ε0T

e2n

4πε0T

e2≈ ND,

cuyo logaritmo es denominado logaritmo de Coulomb.


Vemos entonces que la partícula se desvía apreciablemente,(δθ)2

® ≈ 1,luego de recorrer una distancia

λ⊥ ≈ 1

2πnb20 lnΛ,

por lo que λ⊥ es el camino libre medio para desviaciones perpendiculares porinteracciones simultáneas de baja desviación individual, pero con un númerogrande de partículas blanco (≈ ND). En términos de una sección eficazpodemos escribir

λ⊥ =1

nσ⊥,

de donde identificamos la sección eficaz correspondiente

σ⊥ ≈ 2πb20 lnΛ ≈e4

8πε20 (mu2)2lnΛ.

Para partículas con energías medias características, mu2 ≈ T , tenemos

σ⊥ ≈ e4

8πε20T2lnΛ ≈ σc lnΛ.

Obtuvimos así el resultado importante que las numerosas colisiones depoca desviación son un factor lnΛ ≈ lnND más efectivas para desviar laspartículas que las pocas colisiones cercanas de Coulomb. Notemos que (usan-do (1.3))

λ⊥λD≈ λc

λD lnΛ≈ NDlnND

À 1.

Estimemos finalmente la importancia de las colisiones de partículas car-gadas con neutros. Para colisiones con éstos la sección eficaz es aproximada-mente

σn ≈ πa20 ≈ 10−20m2,

donde a0 es el radio de Bohr. Si, para estar del lado seguro, usamos lamenor de las secciones eficaces para colisiones entre partículas cargadas, σc,podemos escribir la condición para que dominen las colisiones con partículascargadas como

λc =1

nσc< λn =

1

nnσn,

donde n sin subíndice indica la densidad de cualquiera de las especies carga-das, y nn la de neutros. La condición es entonces

n

nn>

σnσc≈µa0bc

¶2≈ 0.03T 2 [eV ] .


Por supuesto, la relación n/nn es una función complicada de la temperaturay del tipo de equilibrio que se establezca; sin embargo, la condición se cumplegeneralmente cuando la temperatura supera muy pocos eV . En el caso dehidrógeno, ya para T ≈ 1, 5 eV es n/nn ≈ 1, con lo que las colisiones conneutros son despreciables (note sin embargo que en este caso un tercio de laspartículas del plasma corresponde a neutros). Como regla, las colisiones conneutros son dominantes por debajo del eV , y totalmente despreciables paraunos cuantos eV . En el rango intermedio, que corresponde, por ejemplo, alos arcos de alta presión, ambos tipos de colisiones deben considerarse.

1.4 Reactores de fusiónLa idea de lograr reacciones de fusión nuclear controlada motivó el grandesarrollo de la física del plasma a partir de la segunda mitad de los años1950. De las posibles reacciones de fusión, la más promisoria es la de unnúcleo de deuterio (deuterón) y uno de tritio, que da lugar a una partículaalfa y a un neutrón

D + T → He4 (3, 5MeV ) + n (14, 1MeV ).

Debido a la repulsión coulombiana entre los núcleos esta reacción tiene unasección eficaz despreciable a bajas energías. El máximo (unos 8 10−28 m2)corresponde a energías del deuterón de alrededor de 100 keV . Reaccionesalternativas como

D +D → T +H + 4, 03MeV,

D +He3 → He4 +H + 18, 3MeV,

tienen secciones eficaces del orden de 4 10−30 a energías equivalentes.Notemos que la fusión de 1 kg de D−T entrega una energía de 108 kWh

(La producción anual de energía eléctrica de Argentina es de unos 8, 3× 1010kWh). Si bien el tritio es prácticamente inexistente en forma natural, puedeser generado a partir del litio, por la reacción

Li6 + n→ T +He4 + 4, 8MeV,

usando los mismos neutrones de la reacción de fusión.Las reservas mundiales de deuterio son enormes, y alcanzarían para sos-

tener el consumo mundial actual de energía por miles de millones de años.Teniendo en cuenta las reservas naturales de litio, sólo en tierra firme, seríaposible sostener el consumo actual por unos 30.000 años. Si se incluyen lasreservas marinas el límite se incrementa a unos 30 millones de años.


Para lograr un número de reacciones sustancial se requiere entonces hacercolisionar los núcleos con energías considerables, del orden de los 100 keV ,durante un tiempo suficiente para tener un número apreciable de reacciones.Si se dirige un haz de deuterones con estas energías de 100 keV sobre unblanco de tritio sólido, los deuterones pierden energía muy rápidamente. Sise lanzan dos haces interpenetrantes las densidades posibles son demasiadobajas para tener un número suficiente de reacciones.El método más promisorio es entonces contener durante un tiempo pro-

longado un plasma deD−T a temperaturas suficientes para que las partículasde más alta energía (las de la cola de la distribución) logren fusionarse encantidades apreciables.Desde ya, calentar y contener al plasma requiere entrega de energía, por

lo que el interés es alcanzar un estado en el que la energía entregada porlas reacciones de fusión alcance a sostener esta configuración. En cualquiersistema de confinamiento concebible los neutrones escapan del plasma. Laspartículas alfa, sin embargo, depositan su energía muy eficazmente en elplasma. Podemos entonces estimar la energía, por unidad de volumen y detiempo, que entregan las partículas alfa como

Pα =1

4n2 hσviEα,

donde suponemos un plasma con 50 % D y 50 % T , por lo que nD = nT =n/2, Eα = 3, 5MeV , y hσvi es es el producto de la sección eficaz por lavelocidad relativa, promediado sobre la distribución de energías, denominadotasa de la reacción.Por otro lado, debido a las pérdidas de energía del plasma, éste se enfriaría

en un tiempo característico τE si no se le entregara energía, por lo que, dadoque la energía del plasma (por unidad de volumen) es 3nT , podemos escribirlas potencia perdida por unidad de volumen como

Pp =3nT

τE.

Existen entonces estados en los que la temperatura del plasma puedeser sostenida en contra de las pérdidas por la energía de las partículas alfamismas. La condición para que esto suceda es Pα > Pp, o sea,

nτE >12T

hσviEα. (1.6)

Usando la expresión de hσvi en función de la temperatura, el lado derechode esta expresión tiene un mínimo en aproximadamente T = 30 keV , que da


la condición para autosostenimeinto del plasma

nτE > 1, 5× 1020m−3s,similar al denominado criterio de Lawson (éste es algo menos restrictivo, conun límite de 0, 6×1020m−3s, y el tiempo característico es el de confinamientoy no el de pérdida de energía).En la práctica τE también es función de la temperatura, por lo que la

condición de T ' 30 keV no es muy conveniente, y deben considerarse tem-peraturas algo menores. Dado que en el rango de 10 − 20 keV el hσvi sepuede aproximar por hσvi = 1, 1× 10−24T 2 [keV ]m3s−1, podemos escribir lacondición (1.6) como

nT τE > 3× 1021m−3keV s.Los valores alcanzados de nTτE han ido aumentando desde ' 1015 en

los años 1960 hasta ' 1021 en la actualidad. Estos altos valores son muydifíciles (y costosos) de producir, por lo que los esfuerzos actuales hacia lafusión nuclear controlada para generar energía útil sólo son posibles a travésde grandes experimentos multinacionales.Dada la alta temperatura del plasma el confinamiento no es posible con

paredes materiales, por lo que se aprovecha la conductividad eléctrica delplasma para contenerlo con campos magnéticos. Un medio conductor no eslibre de moverse a través de líneas de campo magnético, ya que al hacerloinduce corrientes que se oponen a este movimiento, por lo que el plasmatiende a fluir más bien a lo largo de las líneas.Varios tipos de confinamiento magnético se estudian en la actualidad, en

configuraciones de líneas abiertas (espejos magnéticos) o cerradas (toroides)generadas con distribuciones de bobinas externas al plasma.En las configuraciones abiertas se incrementa la intensidad del campo en

los extremos para minimizar las pérdidas (lo veremos más adelante). Lasconfiguraciones cerradas requieren además que las líneas de campo no seansimplemente toroidales (esto no alcanza para confinar), sino que tengan ade-más una torsión. La torsión del campo se logra con bobinas externas (stella-rators), o con corrientes producidas en el mismo plasma (tokamaks).Existen también configuraciones llamadas pinch, en las que el campo

magnético es generado íntegramente por corrientes circulando en el plasma.Finalmente, se consideran también confinamientos puramente inerciales,

sin campos magnéticos, en los que el plasma es comprimido radialmente ylas condiciones de fusión se logran durante esta aceleración centrípeta, lainercia es entonces la que se opone a la disgregación del plasma. Esta rápidacompresión se logra dirigiendo haces concéntricos de luz láser muy intensa,


o de partículas energéticas, sobre pequeños blancos esféricos que contienenD − T .

Capítulo 2

Movimiento en camposmagnéticos

Muchos de los plasmas naturales y de laboratorio interactúan con camposmagnéticos impuestos exteriormente. Cuando las fuerzas magnéticas resul-tantes sobre las partículas del plasma son apreciables, comparadas con lasfuerzas entre partículas mismas, la dinámica del plasma en su conjunto esfuertemente determinada por el campo magnético impuesto. Esta dinámicaes en general muy compleja y una primera aproximación es considerar la di-námica de partículas individuales (sin interacción con otras del plasma) enestos campos.Consideremos primero el movimiento en un campo magnético uniforme,

B = Bez, sin campo eléctico, E = 0. La ecuación de movimiento

mdu

dt= qu×B, (2.1)

se escribe en componentes cartesianas

mduxdt

= quyB, (2.2a)

mduydt

= −quxB, (2.2b)

mduzdt

= 0. (2.2c)

Tenemos entonces que uz = cte y, definiendo (i es la unidad imaginaria)

U ≡ ux + iuy,al multiplicar la segunda ecuación (2.2) por i y sumar las dos primeras es

mdU

dt= −iqBU,

15

CAPÍTULO 2. MOVIMIENTO EN CAMPOS MAGNÉTICOS 16

cuya solución esU = U0e

−iqBt/m.

Si elegimos el instante inicial para que la velocidad incial tenga sólo compo-nente y, es U0 = iuy0, y tenemos entonces la solución

ux = uy0 sin

µqB

mt

¶=⇒ x = x0 − uy0m

qBcos

µqB

mt

¶, (2.3a)

uy = uy0 cos

µqB

mt

¶=⇒ x = y0 +

uy0m

qBsin

µqB

mt

¶, (2.3b)

uz = uz0 =⇒ z = z0 + uz0t. (2.3c)

Vemos entonces que la trayectoria es una hélice con eje en la direcciónz (paralela al campo magnético) centrada en (x0, y0), de radio (denominadoradio de Larmor)

rL =u⊥m|q|B ,

donde u⊥ representa la magnitud de la velocidad perpendicular al campomagnético (u⊥ =

pu2x + u

2y). La frecuencia angular del movimiento (definida

positiva)

ωc ≡ |q|Bm

,

es denominada frecuencia angular de ciclotrón. Si uno observa el movimien-to enfrentando al campo magnético, las partículas positivas describen giroshorarios con frecuencia ωc y las negativas anti-horario, a la vez que avanzancon velocidad uniforme uz0 a lo largo del campo magnético. Notemos queel campo magnético generado por el movimiento de la partícula se opone alcampo magnético original. En este sentido el movimiento es diamagnético.

2.1 Deriva generada por fuerza perpendicu-lar al campo

Es claro que al agregar una fuerza paralela al campo magnético, Fq, la par-tícula se acelerará en esa dirección con aceleración Fq/m. Si se agrega unafuerza perpendicular F⊥ tenemos

mdu

dt= F⊥ + qu×B,

que, al transformar a un sistema de referencia inercial S 0 que se mueve convelocidad constante VD, se convierte en

mdu0

dt= F⊥ + q (u0 +VD)×B,


donde hemos despreciado los cambios de orden (VD/c)2 que sufre el campo

magnético al cambiar el sistema de referencia (c es la velocidad de la luz en elvacío), y u0 = u−VD es la velocidad de la partícula en S 0. Vemos entoncesque si elegimos VD para que

F⊥ + qVD ×B = 0, (2.4)

la ecuación de movimiento en S 0 corresponde a la (2.1) y tenemos entoncesen S0 la trayectoria en hélice descripta arriba. Para resolver la (2.4) usamosque, para un vector arbitrario A, es

(A×B)×B = −B2A⊥,conA⊥ la componente perpendicular aB. Al post-multiplicar vectorialmentepor B la (2.4) obtenemos así

VD =F⊥ ×BqB2

. (2.5)

La trayectoria en el sistema original es entonces una hélice cuyo eje (o centrode giro o centro guía) se mueve con una velocidad de deriva VD perpendiculara B.Vemos así, por ejemplo, que si la fuerza es debida a un campo eléctri-

co uniforme y constante perpendicular a B, los centros guía de todas laspartículas cargadas se mueven con la velocidad

VE =E×BB2

,

independientemente de su carga.

2.2 Derivas en campo magnéticos constantessuavemente variables en el espacio.

2.2.1 i) B paralelo a ez con variación perpendicular

La ecuación general de movimiento perpendicular al campo se escribe

mdu⊥dt

= qu⊥ ×B

' qu⊥ ×·B0 + (x− x0) ∂B

∂x

¯̄̄̄0

+ (y − y0) ∂B∂y

¯̄̄̄0

¸' qu⊥ ×B0 + qu⊥0 ×

·(x− x0) ∂B

∂x

¯̄̄̄0

+ (y − y0) ∂B∂y

¯̄̄̄0

¸,


donde hemos tomado el eje de la hélice en (x0, y0), donde el campo vale B0,y supuesto las variaciones de B muy suaves, en el sentido que las longitudescaracterísticas de su variación son muy grandes comparadas con el radio deLarmor de la partícula considerada. u⊥0 corresponde al movimiento imper-turbado por la variación del campo Así, usando las (2.3) que reescribimoscomo

ux0 =q

|q|rLωc sin (ωct) =⇒ x = x0 − q

|q|rL cos (ωct) , (2.6a)

uy0 = rLωc cos (ωct) =⇒ y = y0 + rL sin (ωct) , (2.6b)

vemos que a la fuerza qu⊥ × B0, se adiciona una perpencicular a B0 quecontiene términos oscilantes con la frecuencia de ciclotrón (de su primeraarmónica, para ser precisos). Nos interesa sin embargo el efecto de estafuerza en tiempos largos comparados con el período de ciclotrón Tc = 2π/ωc,por lo que tomamos el promedio temporal en un período

h...i ≡ 1

Tc

Z t+Tc

t

... dt.

Esto es muy sencillo con las (2.6) (recordemos además que B = B (x, y) ez)con el resultado

F⊥ ≡¿qu⊥0 ×

·(x− x0) ∂B

∂x

¯̄̄̄0

+ (y − y0) ∂B∂y

¯̄̄̄0

¸À= −1

2|q| r2Lωc

µ∂B

∂xex +

∂B

∂yey

¶= −1

2|q| r2Lωc∇⊥B.

De (2.5) esta fuerza genera una deriva

Vgrad = −W⊥∇⊥B ×BqB3

, (2.7)

donde hemos definido la energía cinética correspondiente al movimiento per-pendicular

W⊥ ≡ 12mr2Lωc =

1

2mu2⊥.

2.2.2 ii) B de módulo constante con ligera curvatura

Consideremos ahora que las líneas de campo magnético no son estrictamenterectas, sino que tienen una ligera curvatura. Para esto tomemos las líneasde campo en el plano (x, z), y analicemos el movimiento cerca del punto


(x0, z0) donde el campo tiene sólo componente z y vale B0. La ecuación demovimiento en el entorno de este punto es

mdu

dt= qu×B0 + qu0 ×

·(z − z0) ∂Bx

∂z

¯̄̄̄0

ex

¸.

Dado que el movimiento imperturbado por la curvatura tiene uz0 = uq = cte,z = z0 + uqt, el segundo término de la derecha corresponde a una fuerzaque es perpendicular al campo y de valor (la componente z debida a la u⊥circular que aparece por el primer término tiene promedio temporal nulo)

F⊥ = qu2q t∂Bx∂z

¯̄̄̄0

ey,

que, usando la relación geométrica

∂Bx∂z

¯̄̄̄0

= −B0Rc,

con Rc el radio de curvatura de la línea de campo en el punto en cuestión,puede escribirse como

F⊥ = −qu2q tB0Rcey.

Podemos expresar esta relación en forma covariante usando el vector radiode curvatura Rc, que tiene la dirección del radio de curvatura, con sentidopositivo de la zona cóncava a la convexa de la curva, de la forma

F⊥ = qu2q tRc ×BR2c

,

con lo que podemos escribir la ecuación de movimiento como (al orden deaproximación usado no distinguimos entre B y B0)

mdu

dt= qu×B+ qu2q t

Rc ×BR2c

.

Como hicimos antes, podemos pasar a un sistema S 0, pero ahora con unavelocidad dependiente del tiempo VD (t), con lo que la ecuación de movi-miento en este sistema es (esperamos que VD sea perpendicular al campo,por lo que u0q = uq)

mdu0

dt= q (u0 +VD)×B+ qu2q t

Rc ×BR2c

−mdVD

dt.


Si, por analogía con el caso de deriva constante, escribimosVD = VD1+VD2,con

VD1 = u2q t(Rc ×B)×B

R2cB2

= −u2q tRc

R2c, (2.8)

La ecuación de movimiento de S 0 se simplifica a

mdu0

dt= q (u0 +VD2)×B+mu2q

Rc

R2c−mdVD2

dt

que nos permite entonces elegir a VD2 constante e igual a

VD2 =mu2qq

Rc ×BR2cB

2(2.9)

En el ejemplo analizado (2.8) puede escribirse en la forma sugestiva

VD1 = −uquqtRcex,

que indica más claramente que la velocidad de deriva del centro guía debida aVD1 es precisamente la necesaria para seguir la curvatura de la línea de campo(note que es independiente del valor de q). Por otro lado, el movimiento dederiva debido a VD2 es perpendicular tanto a B como a Rc. Vemos entoncesque en su movimiento a lo largo del campo magnético el centro de giro delas partículas sigue las líneas de campo, aun en el caso de ser éstas curvas(siempre hablamos de curvaturas suaves, rL ¿ Rc), a la vez que derivaperpendicularmente con velocidad dada por (2.9). Definiendo el versor b enla dirección del campo magnético,

b ≡ BB,

se puede usar la relación geométrica

Rc

R2c= − (b ·∇)b.

La ventaja de esta expresión es que, con la condición que∇×B = 0, lo querequiere que no haya corrientes apreciables en la zona en cuestión, podemosdeducir la igualdad (queda como ejercicio para valientes)

[(b ·∇)b]×B = ∇⊥B × b,con lo que podemos escribir (2.9) en una forma muy similar a la (2.7) como

VD2 ≡ Vcurv = −2Wq∇⊥B ×BqB3

,


donde hemos introducido la energía cinética correspondiente al movimientoa lo largo del campo

Wq ≡ 12mu2q .

Notemos que para la deriva debida al gradiente perpendicular (2.7) su-pusimos un campo B (x, y) ez que necesariamente tiene rotor no nulo, lo querequiere una corriente. Si permitimos que las líneas de campo sean curvasse puede relajar esta condición, y tenemos ahora la contribución de ambasderivas, de gradiente y de curvatura, que podemos escribir para un camposin rotor como

VB = − (W⊥ + 2Wq)∇⊥B ×BqB3

= (W⊥ + 2Wq)Rc ×BqR2cB

2. (2.10)

2.2.3 iii) B paralelo a ez con variación a lo largo de z

Dado que debe cumplirse que ∇ · B = 0, podemos escribir en coordenadascilíndricas

∂Bz∂z

= −1r

∂Bθ

∂θ− 1r

∂

∂r(rBr) ,

por lo que al promediar a lo largo de una órbita de la partícula, en su movi-miento rotatorio alrededor de las líneas de campo,

h...i = 1

2π

Z 2π

0

... dθ,

obtenemos h∂Bθ/∂θi = 0 y∂ hBzi∂z

= −1r

∂

∂r(r hBri)

= −∂ hBri∂r

− hBrir

' −2hBrir,

donde hemos usado que hBri = 0 en r = 0 y que su valor es pequeño enr ≈ rL. Escribiendo hBzi = B (z) al mismo orden de aproximación, vemosque en su giro de ciclotrón la partícula sufre un pequeño campo radial devalor

hBri = −rL2

dB

dz,

que produce una fuerza en la dirección del campo

F = qu⊥ × hBri er.


Usando queu⊥ = − q|q|u⊥eθ,

tenemos finalmente

F = −W⊥B

dB

dzez. (2.11)

Vemos que esta fuerza acelera la partícula, independientemente de sucarga, a lo largo de la línea de campo y hacia las zonas de menor valor decampo magnético.Podemos entonces escribir la ecuación de movimiento del centro guía en

esta configuración de campo como

mduqdt= muq

duqdz

=dWq

dz= −W⊥

B

dB

dz.

Por otro lado, como la fuerza magnética no ejerce trabajo, la energía cinéticase conserva:

W = Wq +W⊥ = cte,

con lo que obtenemos inmediatamente

dW⊥dz

=W⊥B

dB

dz,

o sea,W⊥B

= cte

en el movimiento de la partícula.Estas expresiones permiten estudiar la posibilidad de confinar partículas

cargadas en los denominados espejos magnéticos (o botellas magnéticas), concampos esencialmente axiales cuya intensidad es mínima en una zona centraly crece en ambos sentidos al apartarse de ésta. La fuerza (2.11) tiende amantener las partículas de cualquier signo de carga en la zona de menorcampo, confinándolas así a la zona central de la botella. Denominemos B0al valor mínimo del campo (zona central) y BM al valor máximo (cuellos dela botella). Una partícula que en la zona con B0 tenga valores de energíascinéticas Wq0 y W⊥0 tendrá entonces valores WqM y W⊥M en la zona concampo BM dados por las relaciones

W⊥MBM

=W⊥0B0

,

WqM +W⊥M = Wq0 +W⊥0,


de donde obtenemos

WqM

Wq0= 1 +

W⊥0Wq0

µ1− BM

B0

¶.

Si la partícula llega a la zona del cuello con valor finito (por supuesto positivo)de WqM seguirá su viaje a partir de este punto y escapará por lo tanto de labotella magnética. La condición de pérdida de partícula es entonces

1 +W⊥0Wq0

µ1− BM

B0

¶> 0,

o sea,Wq0

W⊥0>BMB0− 1.

En término de las velocidades esto se translada a

uq0u⊥0

>

rBMB0− 1,

que puede escribirse en terminos del ángulo α0 entre el vector velocidad y elcampo magnético como

tanα0 <1p

BM/B0 − 1.

Así, partículas que en la zona central tengan velocidades orientadas con án-gulos menores que α0 escaparán de la botella; se dice que están dentro delcono de pérdida de la misma (en el espacio de velocidades).

2.3 Invariantes adiabáticosAl fin de la sección anterior dedujimos la constancia de W⊥/B durante elmovimiento de la partícula en un campo de intensidad suavemente variable.Notemos que, con notación evidente,

W⊥B

=mu2⊥2B

=mr2Lω

2c

2B= |q| r

2Lωc2

=|q|Tc

πr2L = iA = µ, (2.12)

donde µ es el momento magnético de la carga en su giro de ciclotrón. Laconstancia de µ es un caso particular de invariante adiabático estudiado enMecánica. Sabemos que cuando pueden definirse variables de acción

Ji =1

2π

Ipidqi


en los movimientos periódicos de la coordenada generalizada qi, con momen-to conjugado pi, estas variables son constantes ante cambios lentos de losparámetros del sistema considerado. Se entiende por lentos comparados conlos períodos Ti del movimiento de las qi y, más precisamente, se deduce quesi los parámetros varían con un tiempo característico Tp, la variación relativade los Ji es de orden exp (−Tp/Ti). El movimiento de una partícula carga-da en un campo magnético es un ejemplo clásico en el que los invariantesadiabáticos son

J1 =1

2π

Imu⊥ · dl,

que corresponde a µ (µ = J1 |q| /2m),

J2 =1

2π

Imuq · dl,

y

J3 =1

2π

ImVD · dl.

Para que esté definido J2 el movimiento a lo largo de las líneas de campo debeser periódico, mientras que para J3 el movimiento debido a la deriva debeser periódico. Este último es en sí muy lento en general, por lo que para quesea útil este invariante los parámetros deben variar demasiado lentamente,lo que no sucede habitualmente en la práctica.En un espejo magnético las partículas efectivamente atrapadas se mueven

a lo largo de las líneas de campo entre dos puntos de retorno, en los que Wqse anula. La invarianza de J2 ante cambios lentos (comparados con estemovimiento) de los parámetros del sistema asegura, por ejemplo, que si lazona de campo magnético intenso se desplaza lentamente, J2 permaneceráconstante. Sabemos además que µ es constante, por lo que podemos escribir,de (2.12)

W⊥ = µB,

por lo que podemos expresar la energía cinética como

W =mu2q2+ µB,

de donde, sabiendo que µ es constante

uq =

r2

m(W − µB),

los puntos de retorno corrresponden a B = W/µ. Llamando z1 y z2 a estospuntos es

J2 =m

π

Z z2

z1

r2

m(W − µB)dz.


Supongamos que prácticamente en toda la región del movimiento el campovale B0, y sólo en regiones muy pequeñas, cercanas a z1,2, toma valoresmayores. Con esto

J2 ' m

π

r2

m(W − µB0)L,

con L = z2 − z1. Consideremos ahora que L varía lentamente en el tiempo,por lo que también variará W . Sabiendo que tanto µ como J2 se conservan,de dJ2/dt = 0 obtenemos

LdW

dt= −2 (W − µB0) dL

dt,

que podemos integrar para obtener

W = µB0 + (W0 − µB0)µL0L

¶2,

que nos dice que la energía de la partícula se incrementa relativamente rápidocon la disminución de L. Éste es un posible mecanismo de generación de rayoscósmicos de alta energía, propuesto originalmente por Fermi.

2.4 Variaciones temporales lentas de E y BSupongamos que la intensidad del campo magnético varía lentamente com-parada con el período de ciclotrón de las partículas consideradas. Sabemospor la ley de Faraday que al variar B se genera un campo eléctrico

∇× E = −∂B

∂t.

Este campo eléctrico ejerce un trabajoW sobre una partícula en movimiento,cuya variación temporal vale

dW

dt= qE · u,

por lo que la energía del movimiento perpendicular de la partícula tieneuna tasa de variación promedio, en un giro de ciclotrón, de valor (para unapartícula de carga positiva)

d hW⊥idt

=1

Tc

Z Tc

0

qE · u⊥dt = − qTc

IE · dl

= − qTc

Z∇× E · dS = q

Tcπr2L

∂B

∂t= µ

∂B

∂t.


Para una carga negativa obtenemos el mismo valor, ya que cambian simul-táneamente el signo de q y el del sentido de giro. Vemos entonces que laenergía de las partículas aumenta al aumentar lentamente (adiabáticamente)la intensidad del campo magnético. Notemos además que, como W⊥ = µB,tenemos que sigue siendo dµ/dt = 0 como corresponde a un invariante adia-bático.Para el caso en que el campo eléctrico varía lentamente, de la ecuación

de movimiento

mdu

dt= qE (t) + qu×B,

como hicimos en el caso de campos magnéticos con curvatura podemos pasara un sistema de referencia acelerado en el que

mdu0

dt= qE (t) + qu0 ×B+ qVD ×B−mdVD

dt,

haciendo VD = VD1 +VD2, con

VD1 =E (t)×BB2

,

tenemos

mdu0

dt= qu0 ×B+ qVD2 ×B−m∂E/∂t×B

B2−mdVD2

dt;

si la variación de E es muy lenta, de manera que podamos despreciar suderivada segunda, podemos tomar a VD2 como prácticamente constante devalor

VD2 ≡ Vp = − m

qB4

µ∂E

∂t×B

¶×B = m

qB2∂E⊥∂t

,

que se denomina deriva de polarización, ya que da lugar a una polarizacióndel medio análoga a la producida en un medio dieléctrico (ver fin de la secciónsiguiente).

2.5 Corrientes de derivaPara calcular la corriente eléctrica debida a las derivas vistas arriba debemosconsiderar al conjunto de partículas del plasma. Como las velocidades dederiva dependen en general de la velocidad microscópica de las partículas,al calcular la corriente debemos considerar el número de partículas en cadaintervalo de velocidades y sumar apropiadamente. Esto se hace a través dela función de distribución de cada especie: fe (x,u), fi (x,u), que expresa


el número de partículas de la especie dada, por unidad de volumen y en elentorno de velocidad u, de la forma

dne,i = fe,i (x,u) d3u,

con (la integral extendida a todas las velocidades)

ne,i =

Zfe,i (x,u) d

3u

Debemos escribir entonces

jD = Ze

Zfi (x,u)VDi (u) d

3u− eZfe (x,u)VDe (u) d

3u.

En el caso de deriva eléctrica las derivas no dependen de la velocidad de laspartículas, por lo que tenemos

jE = (Zeni − ene) E×BB2

,

que en condiciones de neutralidad local (Zni = ne) es nula.Si consideramos en forma conjunta las derivas de gradiente y de curvatura

(en el caso de corrientes despreciables, ∇×B = 0; ecuación (2.10))

VB = − (W⊥ + 2Wq)∇⊥B ×BqB3

,

usando que, para cada especie, para una función genérica G (u)Zf (x,u)G (u) d3u = n hGi ,

tenemos

jB = − [ni hWi⊥ + 2Wiqi+ ne hWe⊥ + 2Weqi]∇⊥B ×BB3

.

Finalmente, de la condición de equipartición en equilibrio termodinámico,para cada especie es (el movimiento paralelo tiene un grado de libertad y elperpendicular dos)

hWqi = 1

2Tq, hW⊥i = T⊥,

con las correspondientes presiones

pq = nTq, p⊥ = nT⊥,


lo que resulta en (pq ≡ peq + piq, p⊥ ≡ pe⊥ + pi⊥, y p = pq + p⊥)

jB = − p

B3∇⊥B ×B = p

R2cB2Rc ×B.

Finalmente, para la deriva de polarización, como ésta no depende de lavelocidad de las partículas tenemos sencillamente (ρ es la densidad de masadel plasma)

jp = (neme + nimi)1

B2∂E

∂t=

ρ

B2∂E

∂t.

Con esta expresión podemos escribir la ley de Ampère como

∇×B = µ0 (jext + jp) + µ0ε0∂E

∂t

= µ0jext + µ0ε0

µ1 +

ρ

ε0B2

¶∂E⊥∂t

+ µ0ε0∂Eq∂t,

que nos indica que el plasma tiene una permitividad eléctrica anisótropa,distinta en las direcciones paralela y perpendicular al campo magnético

εq = ε0,

ε⊥ = ε0

µ1 +

ρ

ε0B2

¶.

Tengamos en cuenta que esta expresión es válida para variaciones temporaleslentas de E comparadas con los períodos de ciclotrón de las partículas.

Capítulo 3

Plasma como fluido

3.1 Descripción cinéticaLa dinámica del plasma es extremadamente rica y está lejos de ser compren-dida actualmente en muchos de sus aspectos importantes. Para entenderalgunas de sus características es útil la descripción del plasma como un flui-do, en la que se consideran algunos aspectos macroscópicos solamente, comodensidades y velocidades medias de las partículas, sin tener en cuenta de ma-nera detallada la distribución de velocidades microscópicas. La consideraciónde estas últimas da lugar a la llamada descripción cinética, en términos de lasfunciones de distribución fα (x,v) introducidas al fin del capítulo anterior,donde α designa una especie genérica.Comencemos considerando la ecuación cinética de cada especie. La con-

servación del número de partículas (suponiendo que no hay procesos de ioni-zación y recombinación que cambien dicho número) nos dice que el númerode partículas en un volumen ∆V en el entorno de un punto espacial x, convelocidades dentro de un volumen ∆Vv en el entorno del valor v, sólo puedecambiar porque nuevas partículas con velocidad v ingresan a ∆V mientrasque otras que estaban originalmente escapan, a la vez que partículas con unavelocidad ligeramente distinta a v son aceleradas dentro de ∆Vv mientrasotras originalmente con v son aceleradas a velocidades distintas. Esto seexpresa formalmente como

∂fα∂t

= −v · ∂fα∂x− F

mα

· ∂fα∂v.

De la descripción hecha en la Introducción, las fuerzas que actúan sobre ca-da partícula pueden descomponerse en aquellas consideradas como colisiones(interacciones con las partículas dentro de la esfera de Debye), y las debi-das a las partículas externas a la esfera de Debye, cuyo efecto es colectivo

29

CAPÍTULO 3. PLASMA COMO FLUIDO 30

ya que individualmente son fuertemente apantalladas. Este efecto colectivose manisfiesta a través de los campos electromagnéticos que generan y quepodemos determinar a través de las ecuaciones de Maxwell escritas como (qαes la carga de la especie α)

∇ · E =1

ε0

Xα

qα

Zfαd

3v, (3.1a)

∇× E = −∂B

∂t, (3.1b)

∇ ·B = 0, (3.1c)

∇×B = µ0Xα

qα

Zvfαd

3v +1

c2∂E

∂t. (3.1d)

La fuerza no colisional se escribe entonces

Fnc = qα (E+ v ×B) .

Las fuerzas colisionales las designamos simplemente por Fc y escribimossu efecto sobre fα como

− Fcmα

· ∂fα∂v≡µ∂fα∂t

¶col

;

dejamos por ahora la consideración detallada de este término y escribimos laecuación cinética como

∂fα∂t

+ v · ∂fα∂x

+qαmα

(E+ v ×B) · ∂fα∂v

=

µ∂fα∂t

¶col

. (3.2)

3.2 Descripción de fluido

3.2.1 Fluidos múltiples

Notemos dos puntos de importancia, primero la complejidad del sistema nolineal de ecuaciones (3.1) y (3.2); aun en el caso de usar expresiones sencillaspara el término colisional. Segundo, las ecuaciones de Maxwell sólo requierenconocer la densidad de partículas y la velocidad media

nα =

Zfαd

3v,

uα =1

nα

Zvfαd

3v,


que son precisamente las que se obtienen en una descripción de fluido. Con-sideremos entonces esta descripción tomando momentos de la ecuación (3.2).Primero la integramos sobre todo el espacio de velocidades, teniendo en cuen-ta que las colisiones no cambian el número de partículas dentro de un volumenespacial, por lo que Z µ

∂fα∂t

¶col

d3v = 0.

Resulta entonces la ecuación de continuidad, suponiendo además que fα → 0suficientemente rápido cuando |v|→∞,

∂nα∂t

+∂

∂x· (nαuα) = 0. (3.3)

Para obtener una ecuación para uα multiplicamos (3.2) por v e integra-mos sobre todo el espacio de velocidades. Debemos tener en cuenta que eltérmino colisional contiene interacciones de la especie α con todas las espe-cies, incluida ella misma. Por conservación de la cantidad de movimientocolisiones con la misma especie no cambian la cantidad de movimiento totalde dicha especie; es decirZ µ

∂fα∂t

¶(α)col

mαvd3v = 0,

donde el supraíndice indica con qué especie es la colisión considerada. Porotro lado, hay un intercambio de cantidad de movimiento en colisiones entreespecies distintas, que denotamos de la siguiente maneraZ µ

∂fα∂t

¶(β)col

mαvd3u ≡ mαnα (uβ − uα) ναβ,

donde ναβ denota una frecuencia de colisión de la especie α con la β. Notemosel punto evidente que la cantidad de movimiento cedida por la especie α a laβ, instante a instante, es igual a menos la cedida por la β a la α, por lo quedebe ser

mαnα (uβ − uα) ναβ = −mβnβ (uα − uβ) νβα,o sea,

mαnαναβ = mβnβνβα. (3.4)

Notemos además que al multiplicar por v e integrar, el segundo términode (3.2) se escribe Z µ

v · ∂fα∂x

¶vd3v =

∂

∂x·Zfαvvd

3v,


que, escribiendov = uα + δv,

se reescribeZ µv · ∂fα

∂x

¶vd3v =

∂

∂x· (nαuαuα) + ∂

∂x· (nα hδvδviα) ,

donde hemos denotado el promedio sobre velocidades

nα hδvδviα ≡Zfαδvδvd

3v.

Obtenemos así

∂

∂t(nαuα) +

∂

∂x· [nα (uαuα + hδvδviα)]

− qαmαnα (E+ uα ×B) =

Xβ 6=α

nα (uβ − uα) ναβ.

Usando (3.3) podemos escribir esta ecuación como

∂uα∂t

+

µuα · ∂

∂x

¶uα = − 1

nα

∂

∂x· (nα hδvδviα)

+qαmα

(E+ uα ×B) +Xβ 6=α

(uβ − uα) ναβ.

Para obtener ecuaciones cerradas se necesita determinar los hδvδviα ylos ναβ. Estos últimos requieren una expresión del término colisional, queestudiaremos más adelante. En cuanto a hδvδviα, en condiciones cercanas alequilibrio termodinámico, para el caso de distribución isótropa de velocidadesmicroscópicas, tenemos

hδvδviα =1

3

|δv|2®αI =

TαmαI, (3.5)

donde I es la matriz indentidad, y hemos usado equipartición en cada gradode libertad, suponiendo además una temperatura propia de la especie α.Por otro lado, en presencia de un campo magnético intenso la distribución

de velocidades tiende a ser anisótropa, con velocidades distintas a lo largo delcampo y perpendicular a él. Usando el versor b = B/B podemos expresaresto como (verifique la expresión contrayendo apropiadamente con b)

hδvδviα =1

2

|δv⊥|2®α I+µ|δvq|2®α − 12 |δv⊥|2®α¶bb

=T⊥αmα

I+1

mα(Tqα − T⊥α)bb. (3.6)


La (3.5) es válida en plasmas en los que las colisiones son muy efectivaspara isotropizar la distribución de velocidades contra la tendencia a la ani-sotropía determinada por el campo magnético. Cuantitativamente podemosasegurar esto si la frecuencia de colisiones es mucho mayor que la frecuenciade ciclotrón (

Pβ 6=α ναβ À ωcα); se dice entonces que la especie α no está

magnetizada. Para el caso de especie magnetizada (P

β 6=α ναβ ¿ ωcα) la(3.6) es la expresión más apropiada. Note que la (3.6) se reduce a la (3.5) siTqα = T⊥α = Tα.Recordemos finalmente que la energía de interacción media de las par-

tículas del plasma es mucho menor que su energía cinética media, por lo quela aproximación de gas ideal es un excelente modelo, con lo que podemosescribir

pqα = nαTqα, p⊥α = nαT⊥α,

la ecuación de movimiento se escribe entonces (para el caso más generalanisótropo)

mαduαdt

= − 1nα

∂

∂x· [p⊥αI+(pqα − p⊥α)bb]

+qα (E+ uα ×B) +Xβ 6=α

mα (uβ − uα) ναβ., (3.7)

donde hemos introducido la derivada convectiva o material

duαdt≡ ∂uα

∂t+

µuα · ∂

∂x

¶uα.

Supuesto un modelo para el término colisional, todavía se necesita unarelación que determine la presión (o la temperatura) en términos de la densi-dad nα. La técnica más completa corresponde a tomar un momento adicionala la ecuación cinética, que proporcione ecuaciones para hδvδviα. El forma-lismo se complica mucho porque aparecen nuevas magnitudes que requierenmodelado, cuyo tratamiento más satsifactorio es a través de soluciones per-turbativas de la ecuación cinética (alrededor de funciones de distribución deequilibrio termodinámico local, típicamente maxwellianas con temperaturaanisótropa). En la práctica se obtienen descripciones muy buenas suponiendouna relación barotrópica de la forma (para cada especie)

pqn−γqq = cte, p⊥n

−γ⊥⊥ = cte.

Si la evolución es adiabática, sabemos que para un gas ideal con N gradosde libertad es γ = (2 +N) /N . En tal caso, como el movimiento paralelo


al campo tiene N = 1, obtenemos γq = 3, mientras como el movimientoperpendicular tiene N = 2, obtenemos γ⊥ = 2. Para evoluciones isotérmicases en cambio, γq = γ⊥ = 1.El sistema así cerrado es denominado de varios fluidos (una ecuación de

fluido para cada especie).

3.2.2 Aproximación de dos fluidos

Una aproximación adicional es considerar a todas las posibles especies de io-nes en una única especie de carga Ze promedio, y masa mi (se entiende queson todos iones del mismo elemento y sólo difieren en el grado de ionización;mi es, por supuesto, prácticamente la misma para todos ellos). Restringéndo-nos entonces a plasmas de alta temperatura (los neutros pueden despreciarse)tenemos el modelo de dos fluidos, que reescribimos aquí por completitud

∂ne∂t

+∂

∂x· (neue) = 0, (3.8a)

∂ni∂t+

∂

∂x· (niui) = 0, (3.8b)

meneduedt

= − ∂

∂x· [p⊥eI+(pqe − p⊥e)bb]

−ene (E+ ue ×B) +Rei, (3.9)

miniduidt

= − ∂

∂x· [p⊥iI+(pqi − p⊥i)bb]

+Zeni (E+ ui ×B) +Rie, (3.10)

∇ ·E =ρcε0, ∇× E = −∂B

∂t,

∇ ·B = 0, ∇×B = µ0j+1

c2∂E

∂t,

donde (por (3.4))

Rei = −Rie ≡ mene (ui − ue) νei, (3.11)

ρc = Zeni − ene, j = Zeniui − eneue,junto con las ecuaciones barotrópicas correspondientes para cada especie:pqn

−γqq = cte, p⊥n

−γ⊥⊥ = cte.


3.2.3 Fluido simple y MHD

La complejidad de la descripción de dos fluidos puede todavía reducirse apro-vechando la gran diferencia de masa entre iones y electrones, si además consi-deramos que todas las magnitudes tienen variaciones espaciales sobre distan-cias grandes comparadas con la longitud de Debye. Esto último nos permiteconsiderar elementos de fluido de tamaño mayor que la longitud de Debye,en los que es entonces válida la aproximación de cuasineutralidad

Zni ' ne. (3.12)

Esto nos permite escribir

j = ene (ui − ue) . (3.13)

Por otro lado, introducimos la velocidad de masa del fluido

u ≡ miniui +meneuemini +mene

=miui + Zmeuemi + Zme

, (3.14)

y la densidad de masa del fluido

ρ ≡ mini +mene. (3.15)

Entre (3.13) y (3.14) podemos despejar (despreciando términos de ordenme/mi frente a la unidad)

ui = u+Zme/mi

1 + Zme/mi

j

ene' u+ Zme

mi

j

ene, (3.16a)

ue = ui − j

ene' u− j

ene. (3.16b)

Usando estas expresiones en la ecuación suma de las (3.8) se obtiene inme-diatamente

∂ρ

∂t+

∂

∂x· (ρu) = 0. (3.17)

Si sumamos ahora entre sí las (3.9) y (3.10), usamos las (3.16) y el hechoque Rei +Rie = 0, despreciamos términos orden me/mi frente a la unidad,habiendo usado las (3.8) para escribir las derivadas convectivas en formaconservativa

ne,idue,idt

=∂

∂t(ne,iue,i) +

∂

∂x· (ne,iue,iue,i) ,


se obtiene

ρdu

dt= − ∂

∂x· [p⊥I+(pq − p⊥)bb]

−me

e2∂

∂x··j j

ne

¸+ ρcE+ j×B,

donde

pq ≡ pqe + pqi,

p⊥ ≡ p⊥e + p⊥i,

ydu

dt≡ ∂u

∂t+

µu · ∂

∂x

¶u.

Comparando el término proporcional a ∇ · (j j/ne) con el del términoconvectivo ∇ · (ρuu) podemos escribir

|mej j/ (e2ne)|

|ρuu| ≈ me

mi

|ui − ue|2u2

¿ 1,

por lo que podemos despreciar dicho término. Por otro lado estimemos eltérmino de fuerza eléctrica, comparándolo también con el término convectivo

|ρcE||∇ · (ρuu)| ≈

ρcE

ρu2/L,

donde L es una distancia característica de variación de las magnitudes. Paraestimar ρc usamos la ecuación de Poisson

ρc = ε0∇ ·E ≈ ε0E

L,

mientras que, para estar del lado seguro, estimamos u usando un valor ca-racterístico muy moderado, que es el correspondiente a la deriva eléctrica

u ≈ |E×B|B2

≈ EB. (3.18)

Con esto tenemos|ρcE|

|∇ · (ρuu)| ≈ε0B

2

ρ=

B2

µ0ρc2,

que nos dice que este término es del orden del cociente entre la densidadde energía magnética y la densidad de energía de masa (el famoso mc2) del


plasma. Éste es un número pequeño en general, típicamente < 10−3, por loque podemos también despreciar la fuerza eléctrica.Finalmente, ante variaciones temporales podemos escribir que

ρ∂u

∂t≈ j×B,

de donde estimamos

j ≈ ρu/τ

B,

con τ un tiempo característico de variación de las magnitudes. Así, la relaciónentre la corriente de desplazamiento y la corriente eléctrica en la ecuación deAmpère se puede estimar como (usando también la (3.18))¯̄

1c2

∂E∂t

¯̄µ0j

≈ ε0E/τ

ρu/ (Bτ )≈ ε0B

2

ρ.

Vemos entonces que también puede despreciarse la corriente de desplazamien-to en la ecuación de Ampère. Note que esto implica que puede despreciraseel término ∂ρc/∂t frente a ∇ · j en la ecuación de conservación de la carga.Podemos así despreciar todos los términos que contienen ρc (salvo en la ecua-ción de Poisson), lo que se corresponde con la condición de cuasineutralidaddel plasma.Para calcular j se consideran procesos suficientemente lentos para que los

electrones, fácilmente móviles, tengan tiempo de equilibrarse mecánicamente,lo que equivale a despreciar su inercia. La (3.9) se escribe entonces, usandoademás la segunda de las (3.16),

E+ u×B = ηj+1

ene

½j×B− ∂

∂x· [p⊥eI+(pqe − p⊥e)bb]

¾, (3.19)

que es denominada ley de Ohm generalizada, y donde hemos introducido laresistividad del plasma

η ≡ meνeie2ne

. (3.20)

El término (j×B) / (ene) es denominado término de Hall.La densidad ne se determina por la condición de cuasineutralidad escri-

biendoρ = mini +mene = ne

³mi

Z+me

´' nemi

ZEl sistema de ecuaciones resultante es entonces (3.19) más

∇ ·B = 0, ∇× E = −∂B

∂t,

∇×B = µ0j,


∂ρ

∂t+

∂

∂x· (ρu) = 0,

ρdu

dt= − ∂

∂x· [p⊥I+(pq − p⊥)bb] + j×B.

Notemos que la ecuación de Poisson ya no es necesaria, salvo que uno quieracalcular la densidad de carga eléctrica, y que al despreciar la corriente dedesplazamiento la conservación de la carga se escribe

∇ · j = 0.

Se deja como ejercicio calcular la forma desarrollada del témino de pre-siones (donde debe usarse que ∇ ·B = 0)

∂

∂x· [p⊥I+(pq − p⊥)bb] =∇p⊥ + (B ·∇)

·(pq − p⊥) B

B2

¸.

Cuando la presión es isótropa (plasma no magnetizado), pq = p⊥ = p, estetérmino se reduce simplemente a ∇p.Si usamos ahora la ley de Ampère para escribir

j×B = 1

µ0(∇×B)×B,

y usamos la identidad vectorial

(∇×A)×B = (B ·∇)A−Bm∇ (Am) ,podemos escribir la ecuación de movimiento como

ρdu

dt= −∇

µp⊥ +

B2

2µ0

¶+ (B ·∇)

·B

µ0− (pq − p⊥) B

B2

¸, (3.21)

que es denominada ecuación de Parker. Notemos que la cantidad B2/2µ0cumple las veces de una presión, llamada presión magnética. Es costumbredenominar β al cociente entre la presión termodinámica y la magnética

β ≡ 2µ0p⊥B2

,

que indica qué papel cumple la presión en la dinámica del plasma. Para teneruna idea del valor de la presión magnética, notemos que a un campo de 1 Tle corresponde una presión de aproximadamente 4 atm (3, 93 para ser másprecisos).


Una aproximación final más restrictiva consiste en simplificar la ley deOhm comparando el término de presiones y u × B (no distinguimos entretemperaturas de especies, que suponemos no muy distintas)

1ene

¯̄∂∂x· [p⊥eI+(pqe − p⊥e)bb]

¯̄|u×B| ≈ T/L

euB

≈ rLipT/mi

uL,

donde rLi es el radio de Larmor de iones para velocidades térmicaspT/mi.

Como j×B es del mismo orden que el término de presiones, la misma esti-mación vale para el término de Hall. Vemos entonces que con la condiciónde radio de Larmor pequeño (rLi ¿ L), para velocidades u no muy pequeñascomparadas con

pT/mi, podemos aproximar la ley de Ohm por

E+ u×B = ηj. (3.22)

Ésta es la ley de Ohm que se utiliza habitualmente, aunque debe tenersecuidado para determinar que sea aplicable. El sistema de un solo fluido conesta aproximación es conocido como descripción magneto-hidrodinámica oMHD.En esta aproximación es habitual considerar además presión isótropa y

despreciar la resistividad, con lo que se obtiene la denominada MHD ideal,cuyo sistema completo explicitamos aquí

∂ρ

∂t= −∇ · (ρu) , (3.23)

ρdu

dt= −∇p+ j×B, (3.24)

d

dt

µp

ργ

¶= 0, (3.25)

∂B

∂t= ∇× (u×B) , (3.26)

∇×B = µ0j, ∇ ·B = 0. (3.27)

Conviene elaborar algo la ecuación de evolución adiabática, desarrollandola derivada tenemos

dp

dt= γ

p

ρ

dρ

dt= −γp∇ · u,

donde hemos usado la ecuación de continuidad.


3.2.4 Congelamiento de líneas magnéticas

Notemos una particularidad de la ley de Ohm simplificada. Tomemos elrotor de (3.22) y usemos la ecuación de Faraday para escribir (consideramosη uniforme por simplicidad)

∇× E+∇× (u×B) = −∂B

∂t+∇× (u×B) = η∇× j.

Por la ley de Ampère tenemos

∇× j = 1

µ0∇× (∇×B) ,

que, usando la identidad vectorial

∇× (∇×B) = −∇2B+∇ (∇ ·B) = −∇2B,nos permite escribir finalmente una ecuación para la evolución del campomagnético

∂B

∂t=∇× (u×B) + η

µ0∇2B. (3.28)

Vemos entonces que el campo magnético evoluciona forzado por el campode velocidades, a la vez que difunde con difusividad magnética η/µ0. Paracomparar la importancia relativa de los dos términos del segundo miembrode (3.28) estimamos el cociente de éstos como

|∇× (u×B)|ηµ0

¯̄∇2B¯̄ ≈ µ0uB/LηB/L2

= RM ≡ µ0uLη,

donde hemos intriducido el número de Reynolds magnético RM . A valoresde RM muy grandes la difusión del campo es despreciable, mientras que avalores pequeños el campo básicamente difunde.Para comprender mejor la dinámica de la ecuación (3.28) calculemos la

variación del flujo magnético a través de una superficie fluida S (t)

dφ

dt=d

dt

ZS(t)

B · dS.

Si lo expresamos como

dφ

dt= lim

∆t→0

·ZS(t+∆t)

B (t+∆t) · dS−ZS(t)

B (t) · dS¸

= lim∆t→0

·ZS(t+∆t)

B (t) · dS+ZS(t+∆t)

∆t∂B (t)

∂t· dS

−ZS(t)

B (t) · dS¸.


Usando que IS(V )

B · dS =ZV

∇ ·B dV = 0,

podemos escribirZS(t+∆t)

B (t) · dS−ZS(t)

B (t) · dS = −ZSlat

B (t) · dS,

donde Slat es la que, junto a S (t) y S (t+∆t), forma una superficie cerrada.Como

dSlat = dl× u∆t,donde dl es el elemento de longitud de la curva C en la que se apoya S (t),tenemos

dφ

dt=

ZS(C)

∂B (t)

∂t· dS−

IC

B · (dl× u) .

Dado que, por conmutatividad del producto mixto, esIC

B · (dl× u) =IC

dl · (u×B) =ZS(C)

[∇× (u×B)] · dS,

tenemos finalmente, usando (3.28),

dφ

dt=

ZS(C)

·∂B (t)

∂t−∇× (u×B)

¸· dS

=η

µ0

ZS(C)

∇2B · dS.

Vemos entonces que en un plasma de muy alta conductividad, η → 0 (oRM → ∞), el flujo magnético a través de una superficie fluida permanececonstante. Esto significa que las líneas de campo no pueden atravesar lacurva contorno de la superficie o, en otras palabras, que la velocidad delfluido perpendicular a las líneas es la misma que la de las líneas. Se diceentonces que el fluido arrastra a las líneas, o que éstas están “congeladas”en el fluido. Note que la velocidad del fluido paralela a las líneas no estárestringida; el plasma puede fluir a lo largo de ellas.Intuitivamente este fenómeno es esperable de acuerdo a lo que sabemos

del movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos, especialmenteen el caso en que la resistividad es muy pequeña, lo que significa que lascolisiones son despreciables frente a la fuerza magnética. Por otro lado,también es esperable por la ley de Faraday, ya que si el fluido con cargas libresatraviesa líneas de campo magnético se genera un campo eléctrico a lo largo


de ellas dando lugar a corrientes limitadas sólo por la resistividad. Si ésta esdespreciable las corrientes resultantes son muy grandes y generan entoncescampos magnéticos intensos que modifican los originales. Además, las fuerzasde Lorentz sobre estas corrientes son muy grandes y opuestas al movimientoa través de las líneas. En el límite de resistividad nula, una distribución decorriente finita requiere entonces la condición de congelamiento de líneas.

3.2.5 Modelo de CGL

Consideremos ahora el problema de determinar ecuaciones para pq y p⊥. Porla conservación del momento magnético µ en un plasma fuertemente magne-tizado (donde las colisiones son despreciables frente a la fuerza magnética)podemos escribir, para cada especie

d

dt

µe,i®=d

dt

¿W⊥e,iB

À=d

dt

µT⊥e,iB

¶=d

dt

µp⊥e,ine,iB

¶= 0.

Usando cuasineutralidad es

d

dt

µp⊥eneB

¶=d

dt

µp⊥eZniB

¶= 0,

por lo que, usando ni ' ρ/mi, resulta fácilmente

d

dt

µp⊥ρB

¶= 0. (3.29)

De la conservación de J2 tenemos que, para cada especie,Zvqe,i · dl ' vqe,i δV

δA= cte,

donde hemos escrito la longitud a lo largo de la línea de campo en términosdel volumen y la sección de un tubo de líneas magnéticas de pequeña secciónque rodea a la línea en cuestión. En la condición de conservación del flujomagnético en cada tubo magnético fluido tenemos que

BδA = cte,

mientras que la conservación del número de partículas dentro del elementofluido impone que

ne,iδV = cte.

con esto obtenemos inmediatamente

vqe,i ' ctene,iB;


así,

pqe,i = me,ine,iv2qe,i

® ' cteme,in3e,i

B2,

o sea,d

dt

µpqe,iB

2

n3e,i

¶= 0,

como hicimos antes, usando cuasineutralidad, obtenemos

d

dt

µpqB

2

ρ3

¶= 0. (3.30)

Las ecuaciones (3.29) y (3.30) corresponden al modelo de doble adiabáticao CGL (Chew, Goldberger y Low), y son válidas en un plasma fuertementemagnetizado con alta conductividad eléctrica. Notemos que si comprimimos(o expandimos) el plasma a lo largo de las líneas de campo magnético (sinexpansión o compresión lateral) B permanece constante, y obtenemos pq ∝ρ3, como corresponde a una evolución adiabática para un grado de libertad.El resultado correspodiente p⊥ ∝ ρ indica que la evolución resultante de losgrados de libertad perpendiculares es isotérmica en este caso.El sistema cerrado de ecuaciones en esta aproximación es (3.29) y (3.30),

junto con (3.17), (3.21), y la (3.28) con η = 0 (desde ya, debe respetarse∇ · B = 0, que, si se satisface en un momento dado, se sigue cumpliendosiempre de acuerdo a la (3.28). como es inmediato verificar).

3.2.6 MHD bidimensional incompresible

Una aproximación útil a las ecuaciones de la MHD corresponde al caso deflujo incompresible y bidimensional. Por bidimensional entendemos que lasmagnitudes no dependen de una coordenada, que nosotros consideraremoscartesiana, y que podemos tomar como la coordenada z, a lo largo de la cualsólo puede haber componentes uniformes de la velocidad y del campo mag-nético. La condición de incompresibilidad es correcta en los fluidos cuandolas velocidades relativas de sus elementos son pequeñas comparadas con lade propagación de ondas de presión (velocidad del sonido). Veremos másadelante que en un plasma existen muchos modos oscilatorios que propaganperturbaciones de presión, por lo que debemos considerar la menor de lasvelocidades de propagación de estas perturbaciones, que corresponde a lavelocidad de Alfvén vA = B/

√2µ0ρ, asociada a ondas en las que la fuerza

restauradora es la tensión y presión magnéticas.Así, para flujos en los que u2 ¿ v2A el flujo se puede considerar incompre-

sible y la ecuación de continuidad (3.23) se reduce a ∇ · u = 0. En el caso


bidimensional considerado (∂u/∂z = 0) esto se escribe

∂ux∂x

+∂uy∂y

= 0,

que sabemos que implica que la velocidad puede derivarse de una funciónescalar llamada función de corriente ξ de manera que

ux =∂ξ

∂y, uy = −∂ξ

∂x.

Esto puede expresarse en forma compacta como

u =∇ξ × ez. (3.31)

Análogamente, como∇ ·B = 0 y ∂B/∂z = 0, podemos también expresarel campo magnético a través de una función escalar ψ como

B =∇ψ × ez. (3.32)

Usando la identidad genérica

∇× (A×C) = A (∇ ·C)−C (∇ ·A) + (C ·∇)A− (A ·∇)C, (3.33)

se obtiene inmediatamente que

∇×B =−∇2ψ ez,con lo que la ley de Ampère nos dice entonces que

j = − 1µ0∇2ψ ez = jez.

Análogamente, la vorticidad del flujo es

∇× u =−∇2ξ ez = ωez.

Con esto, tomando el rotor a la ecuación de movimiento (3.24) y volviendoa usar (3.33), se obtiene fácilmente (el rotor del gradiente es nulo y ρ esuniforme)

ρ

µ∂ω

∂t+ u ·∇ω

¶= B ·∇j. (3.34)

En la ecuación de evolución del campo magnético (3.26) tenemos

u×B = (∇ξ × ez)×B= (B ·∇ξ) ez − (B · ez)∇ξ.


Como la componente Bz es uniforme tenemos entonces que

∇× (u×B) =∇× [(B ·∇ξ) ez] =∇ (B ·∇ξ)× ez.

De esta manera, si además incluimos el témino difusivo con resitividad ηconstante en la ecuación (3.26), podemos escribir ésta como

∇µ∂ψ

∂t

¶× ez =∇ (B ·∇ξ)× ez + η

µ0∇ ¡∇2ψ¢× ez,

de donde se obtiene inmediatamente

∂ψ

∂t= B ·∇ξ +

η

µ0∇2ψ. (3.35)

Esta ecuación, junto a la (3.34), las (3.31), (3.32) y

ω = −∇2ξ , j = − 1µ0∇2ψ, (3.36)

forma un conjunto completo de ecuaciones de la MHD bidimensional incom-presible, cuya forma escalar y el hecho de no incluir términos de presión, lashace muy apropiadas en las aplicaciones.

3.3 Conservación de la energíaEs importante ver que en la aproximación de plasma sin resistividad podemosdeducir la conservación de la energía total del sistema, lo que es muy útil paracomprender muchos aspectos de la dinámica del plasma.La forma más directa para determinar la conservación de la energía es

usar que la variación de la energía cinética más interna del plasma es igual altrabajo de las fuerzas que actúan sobre él; en este caso la fuerza de Lorentz(por unidad de volumen) j × B. Este trabajo, por unidad de tiempo y devolumen, es (j×B) · u, por lo que podemos escribir

d

dt

Z µ1

2ρu2 +

p

γ − 1¶d3x =

Z(j×B) · u d3x,

donde hemos escrito la energía interna (por unidad de volumen) del plasmaen la aproximación de gas ideal, considerando presión isótropa por simpli-cidad, y las integrales están extendidas a todo el volumen de plasma, queconsideramos limitado por vacío o por paredes rígidas, de manera que nohaya trabajo ejercido sobre la superficie del plasma.


Usando la ley de Ampère y la identidad vectorial

(∇×B)×B = (B ·∇)B−∇B2/2,podemos escribirZ

(j×B) · u d3x =1

µ0

Z £(B ·∇)B−∇B2/2¤ · u d3x

=1

µ0

Z ¡ukBi∂iBk − ui∂iB2/2

¢d3x,

donde usamos notación indicial cartesiana para escribir la segunda línea.Escribiendo

ukBi∂iBk = ∂i (ukBkBi)−BiBk∂iuk,donde se usó que∇ ·B = 0. Tenemos entonces, usando el teorema de Gaussy considerando u→ 0 en el contorno,Z

(j×B) · u d3x = − 1µ0

Z ¡ui∂iB

2/2 +BiBk∂iuk¢d3x. (3.37)

Notemos por otro lado que, usando la ecuación (3.28) con η = 0, es

d

dt

ZB2

2d3x =

ZB·∂B

∂td3x

=

ZB· [∇× (u×B)] d3x.

Usando notación indicial tenemos (εijk es la densidad tensorial de Levi-Civita)

B· [∇× (u×B)] = Bkεkim∂i (εmpjupBj)

= εmkiεmpjBk∂i (upBj)

= (δkpδij − δkjδpi)Bk∂i (upBj)

= Bk∂i (ukBi)−Bk∂i (uiBk)= BiBk∂iuk − ∂i (uiBkBk) + uiBk∂iBk,

donde se usó en la última línea que ∇ ·B = 0. Tenemos entoncesZB· [∇× (u×B)] d3x =

Z ¡BiBk∂iuk + ui∂iB

2/2¢d3x. (3.38)

Comparando (3.37) y (3.38) vemos queZ(j×B) · u d3x = − d

dt

ZB2

2µ0d3x,


con lo que resulta finalmente

d

dt

Z µ1

2ρu2 +

p

γ − 1 +B2

2µ0

¶d3x = 0. (3.39)

Esta expresión es muy sugestiva. Nos dice que en la evolución del plasmase conserva la suma de su energía cinética, su energía interna y la energíamagnética. La energía interna o magnética puede convertirse en energíacinética, lo que tiene importantes implicaciones en el estudio de estabilidadde configuraciones de plasma.

3.4 Aproximación de difusión

3.4.1 Plasmas débilmente ionizados

Las ecuaciones de fluido son ciertamente muy complejas, por lo que convieneobtener aproximaciones útiles en ciertas condiciones. Un caso de interés esel de un plasma débilmente ionizado, en el que las colisiones con neutros sondominantes. Imaginemos una distribución espacial uniforme de la densidadde neutros, con densidades mucho menores de partículas cargadas, una situa-ción usual en descargas de alta presión. Las ecuaciones de fluido para cadaespecie cargada son las (3.3) y (3.7), en la última de las cuales incluimos sólocolisiones con neutros (β ≡ n) y describimos la dinámica en el sistema en elque los neutros tienen velocidad nula. Consideramos además que estas coli-siones son lo suficientemente efectivas para que las presiones sean isótropas,y estudiamos evoluciones lentas comparadas con la frecuencia de colisiones,para que los procesos sean isotérmicos (pqα = p⊥α = pα = nαTα, y Tα = cte).Con todo esto escribimos

∂nα∂t

+∂

∂x· (nαuα) = 0,

mαduαdt

= −Tαnα∇nα + qα (E+ uα ×B)−mαuαναn.

Consideramos además apartamientos pequeños del estado de velocidadnula y densidad uniforme n0α, por lo que uα es una magnitud “pequeña”, lomismo que δnα ≡ nα − n0α. Linealizando el sistema de ecuaciones tenemos

∂δnα∂t

+ n0α∇ · uα = 0, (3.40)

mα∂uα∂t

= − Tαn0α∇δnα + qα (E+ uα ×B)−mαuαναn.


Si llamamos τ al tiempo característico de evolución de las magnitudes,podemos estimar

|mα∂uα/∂t||mαuαναn| ≈

1

ναnτ.

Como consideramos procesos lentos en el sentido que existen muchas colisio-nes durante el tiempo de evolución, ναnτ À 1, podemos entonces despeciarel término de aceleraciones frente al colisional y escribir

uα = − Tαn0αmαναn

∇δnα +qα

mαναn(E+ uα ×B) . (3.41)

En este punto conviene introducir el flujo de partículas de la especie α:−→Γ α ≡

n0αuα, y los coeficientes de difusión y de movilidad, Dα ≡ Tα/ (mαναn) yMα ≡ qα/ (mαναn), respectivamente, con lo que podemos escribir (3.41)como −→

Γ α = −Dα∇δnα +Mα

³n0αE+

−→Γ α ×B

´. (3.42)

Postmultiplicando esta ecuación vectorialmente por B tenemos (usando que(A×B)×B = −A⊥B2)

−→Γ α ×B = −Dα∇δnα ×B+Mα

³n0αE×B−−→Γ α⊥B2

´,

que al reemplazar en (3.42) nos da (probarlo como ejercicio, usando además lafrecuencia de ciclotrón ωcα = |qα|B/mα, útil porqueMαB = |qα|ωcα/ (ναnqα))

−→Γ α +

µωcαναn

¶2−→Γ α⊥ = −Dα

µ∇δnα +

|qα|qα

ωcαναn∇δnα × b

¶+n0αMα

µE+

|qα|qα

ωcαναn

E× b¶.

donde hemos usado b = B/B.Vemos entonces que el flujo paralelo al campo magnético es

Γαq = −Dα∇qδnα + n0αMαEq,

mientras que el perpendicular es

−→Γ α⊥ = − Dα

1 + (ωcα/ναn)2

µ∇⊥δnα +

|qα|qα

ωcαναn∇δnα × b

¶+

n0αMα

1 + (ωcα/ναn)2

µE⊥ +

|qα|qα

ωcαναn

E× b¶.


Si definimos entonces los coeficientes y movilidades siguientes

Dαq ≡ Dα =Tα

mαναn, Mαq ≡Mα =

qαmαναn

, (3.43a)

Dα⊥ ≡ Dα

1 + (ωcα/ναn)2 , Mα⊥ ≡ Mα

1 + (ωcα/ναn)2 , (3.43b)

DαH ≡ |qα|qα

Dα ωcα/ναn

1 + (ωcα/ναn)2 , MαH ≡ |qα|

qα

Mα ωcα/ναn

1 + (ωcα/ναn)2 , (3.43c)

donde el subíndice H corresponde a Hall, tenemos que

Γαq = −Dαq∇qδnα + n0αMαqEq,−→Γ α⊥ = −Dα⊥∇⊥δnα −DαH∇δnα × b

+n0αMα⊥E⊥ + n0αMαHE× b,

que junto con la ecuación de continuidad (3.40) escrita como

∂δnα∂t

+∇ ·−→Γ α = 0,

constituyen el sistema simplificado de ecuaciones en la aproximación de di-fusión.Notemos la fuerte anisotropía en los coeficientes de difusión introducida

por el campo magnético cuando ωcα À ναn. Muy pequeña difusión en ladirección perpendicular al campo, y una difusión de Hall mayor en la direc-ción tanto perpendicular al campo como al gradiente de densidad. La mayordifusión es a lo largo de las líneas, como es de esperar en un plasma muymagnetizado. En el límite opuesto, ωcα ¿ ναn, los coeficientes de difusiónparalelo y perpendicular son iguales, y no hay difusión Hall. Lo análogopuede decirse de la contribución del campo eléctrico al flujo de partículas através de las movilidades.Estudiemos primero la difusión en un caso sin campo magnético (o cam-

po magnético débil, ωcα ¿ ναn). En tal caso, especializando para iones yelectrones, las ecuaciones son las de continuidad para cada especie y

−→Γ e = −De∇δne + n0eMeE,−→Γ i = −Di∇δni + n0iMiE,

con los coeficientes dados por la primera de las (3.43).Podemos estimar las frecuencias de colisión con neutros como el cociente

de la velocidad característica microscópica (velocidad térmica) y el camino


libre medio para colisiones con neutros (de densidad nn; a0 es el radio deBohr)

ναn ≈ vαTλαn≈ nnσαn

rTαmα≈ πa20nn

rTαmα,

por lo quemαναn ≈ πa20nn

pmαTα.

Vemos entonces que los coeficientes de difusión y de movilidad de electronesson mucho más grandes (por un factor ≈ pmi/me) que los de iones. Loselectrones tienden a difundir más rápido, generando una diferencia de cargay consecuente campo eléctrico que limita esta difusión, a la vez que acelerala de los iones. Ambas especies entonces difunden juntas con

−→Γ e =

−→Γ i, lo

que nos permite calcular el campo eléctrico generado consistentemente como(usamos cuasineutralidad; n0e = Zn0i, δne = Zδni)

E = −Temiνin − Timeνen/Z

miνin +meνen

∇δneen0e

' − Teen0e

∇δne,

que al reemplazar en la expresión de−→Γ i nos da el flujo (en la fórmula de

−→Γ e

debe reemplazarse la expresión de E aproximada a un orden más alto paratener el mismo resultado)

−→Γ e =

−→Γ i ≡ −→Γ = −DA∇δne,

donde hemos introducido el coeficiente de difusión ambipolar

DA ≡ Te + Ti/Zmiνin

,

que resulta algo mayor que Di.Para el caso opuesto de plasma muy magnetizado, ωcα À ναn, la difusión

a lo largo del campo magnético es como en el caso no magnetizado, pero parala difusión perpendicular tenemos que, de las (3.43),

Dα⊥ ' Dα

µναnωcα

¶2=Tαναnmαω2cα

=Tαmαναnq2αB

2,

Mα⊥ ' Mα

µναnωcα

¶2=qαναnmαω2cα

=mαναnqαB2

,

por lo que ahora son los iones los que tienden a difundir mucho más rápido quelos electrones. Si suponemos que la separación de carga no puede producirsee imponemos entonces −→

Γ e⊥ =−→Γ i⊥,


obtenemos procediendo como antes (probarlo como ejercicio)

−→Γ e⊥ =

−→Γ i⊥ = −De⊥

µ1 +

TiZ2Te

¶∇⊥δni, (3.44)

con lo que el plasma difunde a través del campo magnético con un coeficientede difusión muy similar al de los electrones. Notemos sin embargo que es po-sible, si el circuito externo que mantiene el plasma lo permite, que la pérdidapreferencial de iones perpendicular al campo magnético sea compensada poruna pérdida de electrones a lo largo del campo (efecto Simon de cortocircui-to). En tal caso no aparece un campo suficientemente intenso para retardarla pérdida perpendicular de iones, y éstos difunden con su propio coeficienteDi⊥.Así, por ejemplo, en configuraciones con líneas de B abiertas (espejos

magnéticos, pinchs cilíndricos) los electrones se escapan preferencialmentey el plasma tiende a cargarse positivamente. En configuraciones de líneascerradas (tokamaks, pinchs de campo revertido) son los iones los que escapanmás fácilmente y el plasma se carga negativamente.Finalmente, notemos de la segunda de las (3.43) que el máximo valor del

coeficiente de difusión perpendicular Dα⊥ ocurre cuando ναn = ωcα. Bohmargumentó que si existen microinestabilidades en el plasma, éstas producencampos electromagnéticos rápidamente oscilantes y al azar, que tienen comoefecto dispersar a las partículas como lo hacen los choques, lo que se reflejaen una frecuencia de colisiones aumentada. Muchas veces en la práctica elnivel de microinestabilidades parece autoajustarse de manera que ναn ≈ ωcα,con lo que Dα⊥ tiene una dependencia de la forma

Dα⊥ ∼ Tαmαωcα

=Tα|qα|B.

El ajuste experimental da un coeficiente de difusión de valor

Dα⊥Bohm ' 6, 25× 102Tα[eV ]ZB[T ]

cm2s−1

conocido como coeficiente de difusión de Bohm. Este coeficiente aumentadoindica que para contener un plasma se requieren valores del campo magnéticomucho mayores que los dados por la teoría sin microinestabilidades, y es unode los motivos de las dificultades tecnológicas para el confinamiento efectivodel plasma.

3.4.2 Plasmas totalmente ionizados

En la aproximación difusiva para plasmas totalmente ionizados conviene usarla ecuación de un solo fluido donde, nuevamente por efecto de las colisiones


importantes, la presión es considerada isótropa

ρdu

dt= −∇p+ j×B,

E+ u×B = ηj+1

ene(j×B−∇pe) .

Como antes, consideramos variaciones lentas y pequeñas respecto de un es-tado de reposo, por lo que despreciamos el término de aceleraciones paraescribir

∇p = j×B, (3.45)

que al reemplazar en la ley de Ohm nos da

E+ u×B = ηj+1

ene∇pi.

Postmultiplicando vectorialmente por B y procediendo en la forma usualdespejamos

u⊥ =E×BB2

− ∇pi ×BeneB2

− η

B2j×B

=E×BB2

− ∇pi ×BeneB2

− η

B2∇p,

donde hemos usado en la segunda línea la (3.45). El primer témino del se-gundo miembro es la deriva eléctrica ya conocida; el segundo término esdenominado deriva diamagnética, mientras que el tercero es el término difu-sivo propiamente dicho. Notemos que, por (3.45), el ∇p es perpendicular aB por lo que la contribución a la velocidad es en la dirección correcta. Enel caso isotérmico característico de los procesos lentos considerados tenemos,como p ∝ ρ,

ρ∇p = p∇ρ,

por lo que el flujo de masa es (escribimos sólo la contribución difusiva)

ρu⊥ = − ηp

B2∇ρ,

con lo que identificamos el coeficiente de difusión perpendicular

D⊥ =ηp

B2.

Usando que p = neTe + niTi, cuasineutralidad y la definición de η (3.20)obtenemos

D⊥ =meνeiTee2B2

µ1 +

TiZTe

¶,

por lo que vemos que, como en (3.44), son los parámetros de los electroneslos que determinan la difusión perpendicular del plasma. En este sentido ladifusión es también ambipolar.

Capítulo 4

Colisiones

4.1 Colisiones en plasmas totalmente ioniza-dos

Consideramos ahora las colisiones entre partículas cargadas. Sabemos de laIntroducción que en un plasma, al ser el número de partículas dentro de laesfera de Debye muy grande, las colisiones dominantes son las de pequeñadesviación. La idea ahora es llevar adelante en forma precisa el desarolloaproximado de la Introducción.Consideramos la interacción eléctrica entre una partícula proyectil α y

una partícula blanco β, que pueden ser o no de la misma especie. Sabemosde la Mecánica que conviene estudiar esta interacción en términos de lasvariables velocidad relativa y velocidad del centro de masas

v = vα − vβ,V =

mαvα +mβvβmα +mβ

,

en términos de las cuales las velocidades son

vα = V +mβ

mα +mβv, (4.1a)

vβ = V− mα

mα +mβv. (4.1b)

El problema de la interacción de las dos partículas originales se traduceasí en un problema equivalente, correspondiente a la interacción de una solapartícula de masa igual a la masa reducida

µαβ =mαmβ

mα +mβ,

53

CAPÍTULO 4. COLISIONES 54

que se mueve con la velocidad relativa v y que interactúa con un centro fijoa través del potencial

U = − qαqβ4πε0r

,

donde r es la distancia relativa entre partículas verdaderas. Esta partículaequivalente se desvía luego de la interacción un ángulo χ respecto de ladirección original, que es una función del parámetro de impacto b dada por

tan³χ2

´=b0b, (4.2)

dondeb0 ≡ qαqβ

4πε0µαβv2, (4.3)

muy similar a la definición (1.5) usada en la Introducción.En el problema equivalente el módulo de la velocidad relativa v no cam-

bia luego de la interacción (por conservación de la energía), por lo que ladesviación se reduce al cambio de dirección, de ángulo χ, y podemos por lotanto escribir el cambio de velocidad relativa debido a la interacción como,descomponiéndolo en componentes paralela y perpendicular a la direcciónoriginal,

∆vq = v cosχ− v = − 2b20/b2

1 + b20/b2v, (4.4a)

∆v⊥ = v sinχ =2b0/b

1 + b20/b2v, (4.4b)

donde para las últimas igualdades usamos la relación (4.2).Como hicimos en la Introducción, calculamos la desviación producida

por la superposición de desviaciones con parámetros de impacto entre dosvalores dados bmin y bmax, mientras la partícula recorre una distancia v∆t,en el tiempo ∆t. Debemos tener en cuenta que la densidad de centros dis-persores es igual a la de partículas blanco con velocidad vβ, que podemosexpresar en términos de la función de distribución como dnβ = fβ (vβ) d3vβ.El número de centros dispersores, con parámetro de impacto en el entornode b, que encuentra la partícula equivalente al recorrer la distancia v∆t, esentonces 2πbdbv∆t dnβ. De la (4.4a) vemos además que todas las interaccio-nes producen variación paralela en el mismo sentido, por lo que todas ellasse superponen directamente para dar

h∆vqib =Z bmax

bmin

∆vq2πbdb dnβv∆t = −4πv2b20 lnΛ dnβ∆t,


donde hemos escrito Λ = bmax/bmin, y hemos simbolizado la operación reali-zada con h...ib.Para el caso de desviación perpendicular, el valor dado por (4.4b) es

equiprobable en todas las direcciones perpendiculares, por lo que su valorintegrado es nulo, no así la desviación cuadrática que es

(∆v⊥)

2®b=

Z bmax

bmin

(∆v⊥)2 2πbdb dnβv∆t = 8πv

3b20 lnΛ dnβ∆t.

Las desviaciones por unidad de tiempo pueden entonces expresarse como

d

dth∆vqib = −4πv2b20 lnΛ dnβ,

d

dt

(∆v⊥)

2®b= 8πv3b20 lnΛ dnβ.

Estas desviaciones están referidas a las direcciones paralela y perpendicu-lar respecto de la dirección inicial de la partícula equivalente. Con estosresultados podemos expresar las desviaciones lineal y cuadrática en formatensorial covariante, teniendo en cuenta que la lineal es en la dirección de lavelocidad original

d

dth∆vib = −4πv2b20 lnΛ dnβ

v

v

= −(qαqβ)2 lnΛ

4πε20µ2αβ

dnβv

v3.

Por otro lado, la cuadrática tiene sólo componentes perpendiculares (verifi-que esto por conservación de |v|2, y del hecho que |h∆vqib| resulta igual a(∆v⊥)

2®b/2v). Ambas componentes son de la misma magnitud (que es la

mitad de la calculada, ya que, tomando el eje z en la dirección paralela, es(∆v⊥)

2 = (∆vx)2 + (∆vy)

2)

d

dth∆v∆vib = 4πv3b20 lnΛ dnβ

³I− vv

v2

´=

(qαqβ)2 lnΛ

4πε20µ2αβv

dnβ³I− vv

v2

´.

Estas expresiones pueden hacerse más amigables notando que

∂

∂v

µ1

v

¶= − v

v3,

∂2v

∂v∂v=

1

v

³I− vv

v2

´,


con lo que

d

dth∆vib =

(qαqβ)2 lnΛ

4πε20µ2αβ

∂

∂v

µ1

v

¶dnβ,

d

dth∆v∆vib =

(qαqβ)2 lnΛ

4πε20µ2αβ

∂2v

∂v∂vdnβ.

Debemos ahora calcular las desviaciones de la partícula proyectil real α.En el problema real la velocidad del centro de masas se conserva durante lainteracción, por lo que el cambio de velocidad ∆vα es, de (4.1),

∆vα =mβ

mα +mβ∆v,

con lo que, usando también que v = vα − vβ, podemos expresar las desvia-ciones por unidad de tiempo de la partícula proyectil original, en términosde sólo variables originales, como

d

dth∆vαib =

µmβ

mα +mβ

¶(qαqβ)

2 lnΛ

4πε20µ2αβ

∂

∂vα

µ1

|vα − vβ|¶dnβ,

d

dth∆vα∆vαib =

µmβ

mα +mβ

¶2(qαqβ)

2 lnΛ

4πε20µ2αβ

∂2

∂vα∂vα|vα − vβ| dnβ.

Falta la última operación, que es sumar sobre todas las velocidades delas partículas blanco, para obtener las desviaciones promedio propiamentedichas. Conviene para esto definir las funciones (denominadas potenciales deRosenbluth)

gαβ ≡Z|vα − vβ| dnβ =

Z|vα − vβ| fβ (vβ) d3vβ, (4.5a)

hαβ ≡ mα

µαβ

Zdnβ

|vα − vβ| =mα

µαβ

Zfβ (vβ)

|vα − vβ|d3vβ, (4.5b)

con lo que tenemos finalmente las desviaciones por unidad de tiempo departículas tipo α debidas a interacciones con partículas tipo β

d

dth∆vαi =

(qαqβ)2 lnΛ

4πε20m2α

∂hαβ∂vα

, (4.6a)

d

dth∆vα∆vαi =

(qαqβ)2 lnΛ

4πε20m2α

∂2gαβ∂vα∂vα

. (4.6b)

Notemos que definimos Λ como el cociente bmax/bmin; como argumentamosen la Introducción, tomamos bmax igual a la longitud de Debye, más allá de


la cual la interacción considerada es fuertemente apantallada. Para bmintomamos la distancia característica de una colisión fuerte, que es b0 evaluadoen una energía característica µαβv

2/2 = 3T/2

bmin =qαqβ12πε0T

.

El logaritmo de Coulomb lnΛ varía relativamente poco (menos de un factor3) en la amplia gama de estados de plasma conocidos, en los que densidadesy temperaturas varían en varios órdenes de magnitud. En todos los casosprácticos es: 10 . lnΛ . 30, por lo que en lugar de calcularlo es máspráctico consultar en una tabla el valor apropiado para el tipo de plasma quese está estudiando.

4.2 Ecuación de Fokker-PlanckA partir de las expresiones (4.6) podemos finalmente calcular la forma deltérmino de colisiones en la ecuación cinética (3.2). La idea es que el grannúmero de colisiones simultáneas dentro de la esfera de Debye logra que elestado dinámico de una dada partícula en un instante t+∆t no dependa desus estados previos a t (∆t es una medida del tiempo necesario para “borrar”la memoria anterior, a través de muchas colisiones; o sea,∆t es el tiempo en elque la velocidad de la partícula cambia apreciablemente debido a colisiones).De esta manera, el estado de la función de distribución en t + ∆t se puedeexpresar como

fα (vα, t+∆t) =

Zfα (vα −∆vα, t)P (vα −∆vα,∆vα,∆t) d

3∆vα,

donde P (vα −∆vα,∆vα,∆t) es la densidad de probabilidad de que una par-tícula con vα − ∆vα sufra un cambio ∆vα en un ∆t. Estamos expresandoasí que, considerando la evolución debida a sólo las colisiones, la funciónen el instante t + ∆t se determina completamente por la correspondientefunción en t (proceso Markoviano). Si desarrollamos en Taylor la igualdadanterior; el miembro de la izquierda a orden uno en ∆t, y el de la dere-cha a orden dos en ∆vα (desarrollamos en el entorno de vα el productofα (vα −∆vα, t)P (vα −∆vα,∆vα,∆t)), obtenemos

fα (vα, t) +

µ∂fα∂t

¶col

∆t = fα (vα, t)

ZP (vα,∆vα,∆t) d

3∆vα

− ∂

∂vα··fα (vα, t)

Z∆vαP (vα,∆vα,∆t) d

3∆vα

¸


+1

2

∂

∂vα∂vα:

·fα (vα, t)

Z∆vα∆vαP (vα,∆vα,∆t) d

3∆vα

¸.

Notemos que, por ser P una densidad de probabilidad, esZP (vα,∆vα,∆t) d

3∆vα = 1,

a la vez que Z∆vαP (vα,∆vα,∆t) d

3∆vα = h∆vαies la variación media de velocidad ocurrida en un intervalo ∆t, que podemosescribir como

h∆vαi = ∆td

dth∆vαi .

AnálogamenteZ∆vα∆vαP (vα,∆vα,∆t) d

3∆vα = ∆td

dth∆vα∆vαi .

Con todo esto tenemos, tomando el límite ∆t→ 0,µ∂fα∂t

¶col

= − ∂

∂vα··fα (vα)

d

dth∆vαi

¸+1

2

∂

∂vα∂vα:

·fα (vα)

d

dth∆vα∆vαi

¸.

Usando entonces las (4.6), y teniendo en cuenta que debemos considerarinteracciones con todas las especies cargadas (incluida α misma), tenemos laexpresión final del término de colisiones de Fokker-Planckµ

∂fα∂t

¶col

=Xβ

γαβ

·− ∂

∂vα·µfα

∂hαβ∂vα

¶+1

2

∂

∂vα∂vα:

µfα

∂2gαβ∂vα∂vα

¶¸,

(4.7)donde hemos introducido la notación

γαβ ≡(qαqβ)

2 lnΛ

4πε20m2α

.

Con este término de colisiones la ecuación cinética (3.2), junto a las ecua-ciones de Maxwell en la forma (3.1), constituye la descripción más completadel plasma.Para la evolución del plasma en tiempos largos en el sentido que las par-

tículas sufren un número apreciables de colisiones se acostumbra resolver lasecuaciones cinéticas en el entorno de funciones maxwellianas, aproximandolas funciones de distribución por

fα (x,v, t) = fαMB (x,v, t) [1 + ϕ (v)] , (4.8)


donde

fαMB (x,v, t) =nα (x, t)

[2πTα (x, t) /mα]3/2exp

"−mα |v − uα (x, t)|2

2Tα (x, t)

#,

y ϕ (v) es una función de valor pequeño comparado con la unidad, y quedepende de sólo la velocidad. Las variables de fluido nα (x, t), Tα (x, t) yuα (x, t) (densidad, temperatura y velocidad de fluido) se suponen funcionessuavemente variables en el tiempo y el espacio. La idea consiste en reempla-zar (4.8) en la ecuación cinética, linealizarla en ϕ (v) y resolver para ϕ (v)descomponiendo ésta en una base de polinomios apropiada (habitualmen-te polinomios de Sonine). Las condiciones de existencia de solución paralos coeficientes de estos polinomios determinan relaciones entre las derivadasespaciales y temporales de las variables de fluido, que resultan ser, precisa-mente, ecuaciones de tipo fluido, que incluyen los coeficientes de transportetotalmente determinados; estos son viscosidades y conductividades térmicay eléctrica. Este método, denominado de Chapman y Enskog, es conceptual-mente sencillo, pero también muy tedioso. Fue empleado por primera vezpor Braginskii para el caso de plasmas (S. I. Braginskii, Reviews of Plas-ma Physics, Vol. 1, Consultants Bureau, New York, 1965)), por lo que lasecuaciones de fluido y coeficientes de transporte correspondientes llevan sunombre.

4.3 Relajación en plasmas

4.3.1 Plasmas fríos

Las desviaciones colisionales medias dadas por las (4.6) dependen de la fun-ción de distribución de las partículas blanco. Para partículas blanco frías,sin velocidad de deriva, tenemos fβ (vβ) = nβδ (vβ), donde δ es la delta deDirac. Con esto, los potenciales de Rosenbluth (4.5) se reducen a

gαβ = nβvα,

hαβ =mα

µαβ

nβvα,

y, por lo tanto,

d

dth∆vαi = −(qαqβ)

2 nβ lnΛ

4πε20mαµαβv3α

vα, (4.9a)

d

dth∆vα∆vαi =

(qαqβ)2 nβ lnΛ

4πε20m2αvα

·I− vαvα

v2α

¸. (4.9b)


Estas expresiones son también válidas cuando la velocidad vα de la par-tícula proyectil es mucho mayor que la velocidad térmica de las partículasblanco. En términos de desviaciones paralela y perpendicular a la trayectoriaoriginal es

d

dth∆vαqi = −(qαqβ)

2 nβ lnΛ

4πε20mαµαβv2α

, (4.10a)

d

dt

(∆vα⊥)

2® =(qαqβ)

2 nβ lnΛ

2πε20m2αvα

, (4.10b)

que nos permite establecer tiempos característicos de frenado longitudinal departículas α por β

τ qαβ ≡ vα¯̄ddth∆vαqi

¯̄ = 4πε20mαµαβv3α

(qαqβ)2 nβ lnΛ

, (4.11)

y de deflexión perpendicular de partículas α por β

τ⊥αβ ≡ v2α¯̄ddt

(∆vα⊥)

2®¯̄ = 2πε20m2αv3α

(qαqβ)2 nβ lnΛ

.

Vemos queτ qαβτ⊥αβ

=2µαβmα

=2mβ

mα +mβ.

Así, partículas livianas colisionando con partículas pesadas (mα ¿ mβ)son frenadas y deflectadas en tiempos muy similares; lo mismo sucede conpartículas que colisionan con partículas semejantes (mα ≈ mβ). Partículaspesadas colisionando con livianas (mα À mβ) son frenadas en tiempos muchomás largos que los necesarios para deflectarlas.Estimemos los tiempos característicos de variación de energía cinética

Kα = mαv2α/2. Usando que

∆Kα =mα

2

£(vα +∆vαq)

2 + (∆vα⊥)2¤− mα

2v2α

=mα

2

£(∆vαq)

2 + (∆vα⊥)2¤+mαvα∆vαq,

con lo cual, dado qued

dt

(∆vαq)

2® ' 0,resulta

d

dth∆Kαi =

mα

2

d

dt

(∆vα⊥)

2®+mαvαd

dth∆vαqi


=(qαqβ)

2 nβ lnΛ

4πε20vα

µ1

mα− 1

µαβ

¶= −(qαqβ)

2 nβ lnΛ

4πε20mβvα. (4.12)

El tiempo característico de decaimiento de la energía cinética es entonces(recordemos que las partículas blanco están quietas; la energía de la partículaproyectil sólo puede decaer en este caso)

τKαβ ≡Kα¯̄

ddth∆Kαi

¯̄ = 2πε20mαmβv3α

(qαqβ)2 nβ lnΛ

.

Si comparamos el tiempo de variación de la energía de la partícula αdebido a partículas de su misma especie con el debido a partículas de otraespecie β, es

τKαατKαβ

=

µqβqα

¶2 mα

mβ,

que nos dice que las partículas livianas son más rápidamente afectadas porlas de su propia especie que por especies más pesadas, mientras que paralas partículas pesadas ocurre lo contrario. Así, tanto los electrones como losiones muy rápidos moviéndose en un plasma pierden su energía básicamentedebido a sólo los electrones de éste.Considerando ahora que las partículas proyectil α tienen una distribución

maxwelliana, su temperatura está dada por

Tα =2

3nα

ZKαfα (vα) d

3vα,

con lo que la variación de la temperatura de esta distribución de partículas,debida a los choques con la distribución de partículas blanco β es

dTαdt

=2

3nα

Zd

dth∆Kαi fα (vα) d3vα

=2

3 (2πTα/mα)3/2

Zd

dth∆Kαi exp

µ−mαv

2α

2Tα

¶d3vα, (4.13)

que, usando la expresión (4.12), es fácilmente evaluable y da

dTαdt

= − 2 (qαqβ)2 nβ lnΛ

3ε20mαmβ (2πTα/mα)3/2Tα,


que nos permite identificar el tiempo de decaimiento (recordar que las par-tículas blanco son frías) de la temperatura como

τTαβ =3ε20mαmβ (2πTα/mα)

3/2

2 (qαqβ)2 nβ lnΛ

. (4.14)

Si consideramos entonces un plasma de iones y electrones maxwellianos aigual temperatura, que interactúa con otra distribución mayoritaria de ionesdel mismo tipo y electrones a temperatura muy inferior, podemos evaluar lasrelaciones de tiempos característicos

τTeeτTii

' τTiiτTei

'rme

mi

,

que nos indican que los electrones tienden a termalizar entre sí muy rápi-damente; a su vez, en un tiempo característico ' p

me/mi veces mayortermalizan entre sí los iones, y en un tiempo todavía mayor a éste por elmismo factor ' p

me/mi termalizan ambas especies entre sí. Estas consi-deraciones nos indican porqué es posible tener en la práctica un plasma coniones a temperatura diferente de la de electrones, dado que es habitual quehaya procesos de calentamiento diferenciados para cada especie, y los tiem-pos de termalización entre especies pueden ser muy grandes comparados conlos de interés.

4.3.2 Plasmas maxwellianos

Veamos ahora las expresiones correspondientes a una distribución de partícu-las blanco maxwelliana sin deriva

fβ (vβ) =nβ

(2πTβ/mβ)3/2exp

µ−mβv

2β

2Tβ

¶.

Para evaluar los potenciales de Rosenbluth con esta expresión son útiles lassiguientes integrales definidas (sobre vectores tridimensionales y adimensio-nales x, y) Z

exp (−x2)|y − x| d

3x =π3/2

yerf (y) ,Z

|y − x| exp ¡−x2¢ d3x = π exp¡−y2¢

+π3/2 (1 + 2y2)

2yerf (y) ,


donde erf (y) es la función error

erf (y) ≡ 2√π

Z y

0

exp¡−x2¢ dx; erf (∞) = 1.

Definiendo

y ≡rmβ

2Tβvα,

los potenciales resultan entonces

hαβ =nβ

(2Tβ/mβ)3/2

mα +mβ

mβ

erf (y)

y,

gαβ = nβ

s2Tβπmβ

·exp

¡−y2¢+ √π (1 + 2y2)2y

erf (y)

¸,

con los que resulta

d

dth∆vαqi =

(qαqβ)2 nβ lnΛ

4πε20m2α

µmα +mβ

mβ

¶mβ

2Tβ

×·2√π

exp (−y2)y

− erf (y)y2

¸, (4.15)

y

d

dt

(∆vα⊥)

2® =(qαqβ)

2 nβ lnΛ

4πε20m2αvα

×·2√π

exp (−y2)y

+

µ2− 1

y2

¶erf (y)

¸. (4.16)

En el límite de velocidades vα grandes comparadas con la velocidad tér-mica de las partículas blanco β, y À 1, es inmediato recuperar los resultados(4.10).Una derivación similar a la que llevó a la expresión (4.13), usando ahora

las expresiones (4.15) y (4.16) (lo que complica la evaluación de las integralesa efectuar), lleva a que

dTαdt

= −Tα − TβτTαβ

,

con la expresión (4.14), que, como corresponde, indica el proceso de tendenciaa igualación de temperaturas por colisiones.


4.4 Resistividad en plasma maxwellianoPara cerrar el modelo de un solo fluido falta evaluar la resistividad η (3.20)(η = meνei/e

2ne) a través de la frecuencia de colisiones νei. Evaluaremos éstapara una distribución maxwelliana de electrones, que se mueve con velocidadde deriva ue a través de un fondo de iones sin deriva (ue es la velocidadrelativa entre electrones e iones). La frecuencia de colisiones usada es la quemodela la transferencia de impulso entre especies (3.11)

Rei = mene (ui − ue) νei = −meneueνei,

en la configuración considerada.La fuerza realizada por los iones sobre los electrones a través de las coli-

siones puede escribirse en general como

Rei =

Zmed

dth∆veii fe (ve) d3ve.

Consideramos que la velocidad de deriva ue es pequeña comparada con lavelocidad térmica electrónica, con lo cual

fe (ve) =ne

(2πTe/me)3/2exp

Ã−me |ve − ue|2

2Te

!

' ne

(2πTe/me)3/2

µ1 +

me

Teve · ue

¶exp

µ−mev

2e

2Te

¶.

Por otro lado, usando la definición (4.11) escribimos

d

dth∆veii = −

veτ qei

,

con todo lo cual, usando además que la integral de ve con una función isótropade ve es nula, nos lleva a que

Rei = −mene

(2πTe/me)3/2

me

Teue ·

Zveveτ qei

exp

µ−mev

2e

2Te

¶d3ve,

como, por isotropía debe serZveveτ q

exp

µ−mev

2e

2Te

¶d3ve =

1

3I

Zv2eτ qei

exp

µ−mev

2e

2Te

¶d3ve,

resulta

Rei = −mene

3 (2π)3/2

µme

Te

¶5/2ue

Zv2eτ qexp

µ−mev

2e

2Te

¶d3ve,


de donde identificamos

νei =1

3 (2π)3/2

µme

Te

¶5/2 Zv2eτ qei

exp

µ−mev

2e

2Te

¶d3ve.

Esta expresión es fácilmente evaluable para el caso de iones con tempera-turas similares o menores que la de electrones, en cuyo caso las velocidadesde éstos son muy superiores a las térmicas iónicas, y podemos por lo tantousar la expresión sencilla (4.11)

τ qei =4πε20meµeiv

3e

Z2e4ni lnΛ' 4πε20m

2ev3e

Z2e4ni lnΛ.

La integración es elemental, y resulta

νei =Z2e4ni lnΛ

3 (2π)3/2 ε20T3/2e√me

.

Notemos que esta evaluación es aproximada debido a que no hemos tenidoen cuenta cómo las colisiones e− i afectan la distribución fe (ve) apartándolade la maxwelliana suspuesta. La resolución más rigurosa se hace a travésdel método de Chapman-Enskog mencionado arriba, que tiene en cuenta elapartamiento respecto de la maxwelliana a través de la función ϕ (v). Elresultado de Braginskii muestra que el valor correcto de νei es la mitad delcalculado aquí. Incluyendo el factor 1/2 de este cálculo más riguroso, laresistividad resulta entonces (usando cuasineutralidad)

η =Ze2√me lnΛ

6 (2π)3/2 ε20T3/2e

. (4.17)

Notemos que es independiente de la densidad del plasma; el efecto de incre-mentar la densidad de iones que tiende a frenar más el flujo de electrones,se compensa con el incremento proporcional de electrones (portadores decarga).

Capítulo 5

Oscilaciones en plasmas

5.1 Ecuaciones básicasEl plasma posee muy variados modos de oscilación. Estudiaremos aquí lasoscilaciones lineales (de pequeña amplitud) que se propagan en un estado ba-se en reposo y homogéneo en densidades, temperaturas y campo magnético,cuyas magnitudes denotamos con subíndice 0. Describiremos el plasma conla aproximación de dos fluidos y consideraremos efectos de presión isótropasolamente. Así, para cada especie desarrollamos a primer orden en los apar-tamientos, respecto al estado base, y estudiamos las formas de oscilaciónde estos apartamientos. Las ecuaciones, fácilmente deducibles, son (α y βrepresentan electrones o iones)

∂δnα∂t

+ n0α∇ · uα = 0,

∂uα∂t

= − c20α

n0α∇δnα +

qαmα

(E+ uα ×B0)− ναβ (uα − uβ) ,

donde hemos usado la velocidad del sonido en el estado base, c0α =p

γαp0α/ρ0α,al considerar procesos barotrópicos de la forma genérica

pαn−γαα = cte,

para los cuales los apartamientos δpα y δnα están relacionados por

δpα = γαp0αn0α

δnα = mαc20αδnα.

Hemos tenido en cuenta también que en el estado base tanto el campo eléctri-co como las velocidades son nulos, y sus apartamientos no han sido designados

66

CAPÍTULO 5. OSCILACIONES EN PLASMAS 67

con una δ. Debemos agregar las ecuaciones de Maxwell también linealizadas(usamos neutralidad del estado base, Zn0i = n0e)

∇ ·E =e

ε0(Zδni − δne) ,

∇×E = −∂δB

∂t, ∇ · δB = 0

∇× δB = µ0en0e (ui − ue) +1

c2∂E

∂t.

Usando el hecho que todas estas ecuaciones son lineales y de coeficientesconstantes, desarrollamos las magnitudes perturbadas en componentes deFourier espaciales y temporales, escribiendo para una magnitud perturbadagenérica a (x, t)

a (x, t) = a exp [i (k · x− ωt)] .

Aquí i es la unidad imaginaria, a es una amplitud compleja constante (no ladistinguimos con un símbolo diferente para no introducir notación demasiadopesada), k es el vector de onda y ω la frecuencia angular del modo genérico.Notemos que para magnitudes vectoriales es

∇ · a→ ik · a, ∇× a→ ik× a,con lo que las ecuaciones para las amplitudes complejas son fácilmente cal-culables, resultando

−ωδnα + n0αk · uα = 0,−iωuα = −ik c

20α

n0αδnα +

qαmα

(E+ uα ×B0)− ναβ (uα − uβ) ,

ik · E =e

ε0(Zδni − δne) ,

k× E = ωδB, k · δB = 0ik× δB = µ0en0e (ui − ue)− i

ω

c2E.

Comenzamos por reducir el número de variables usando la ecuación decontinuidad para eliminar las perturbaciones de densidad, y la ley de Faradaypara eliminar la perturbación del campo magnético

δnα = n0αk · uαω

, δB =k× Eω

,

con lo que obtenemos el sistema reducido a sólo las velocidades y el campoeléctrico (notemos que la ecuación k · δB = 0 se satisface idénticamente)

−iωuα = −ikc20αk · uαω

+qαmα

(E+ uα ×B0)− ναβ (uα − uβ) ,


ik ·E =en0eε0ω

k · (ui − ue) , (5.1a)

ik× (k×E) = µ0en0eω (ui − ue)− iω2

c2E. (5.1b)

Usando la identidad vectorial

k× (k×E) = k (k · E)− k2Een la segunda de las (5.1) vemos que al multiplicar escalarmente por k (y usarque µ0ε0 = 1/c

2) la primera de las (5.1) se satisface idénticamente (la razón esque la conservación de la carga, implícita en las ecuaciones de Maxwell, equi-vale aquí a la conservación de las partículas, que fue usada en la eliminaciónde las densidades perturbadas). Podemos por lo tanto reducirnos al sistema(explicitamos las especies, usando (3.4) para escribir νie = νeiZme/mi, yelaboramos ligeramente la ecuación de Maxwell sobreviviente)

−iωue = −ikc20ek · ueω− e

me(E+ ue ×B0) + νei (ui − ue) , (5.2)

−iωui = −ikc20ik · uiω

+Ze

mi

(E+ ui ×B0)− Zme

mi

νei (ui − ue) , (5.3)µk2 − ω2

c2

¶E− k (k · E) = ien0e

ε0c2ω (ui − ue) (5.4)

Este conjunto de ecuaciones forma la base para el estudio de oscilacionesde pequeña amplitud en plasmas homogéneos. El punto es que este sistemade ecuaciones algebraicas es lineal y homogéneo. Soluciones no triviales sonposibles (esto es, existen perturbaciones oscilantes) sólo si el determinantede la matriz de coeficientes del sistema se anula. Esta condición estableceuna relación entre la frecuencia de la oscilación y el vector de onda, la de-nominada relación de dispersión, que depende de las magnitudes del estadobase homogéneo.A pesar de la apariencia sencilla de las ecuaciones, las oscilaciones posibles

son muy variadas y la deducción de la relación de dispersión es bastantetediosa si no se consideran algunas situaciones particulares.

5.2 Oscilaciones en plasmas sin campo mag-nético

Comenzamos por estudiar las oscilaciones posibles en un plasma sin cam-po magnético base (B0 = 0) y consideramos frecuencias de oscilación altas


comparadas con la frecuencia de colisiones (ω À νei). Tenemos en tal caso

ue = kc20ek · ueω2− i e

meωE,

ui = kc20ik · uiω2

+ iZe

miωE.

Si multiplicamos escalarmente por k cada una de estas ecuaciones para des-pejar el k ·uα correspondiente, y el resultado lo reemplazamos en la ecuaciónoriginal obtenemos

ue = −i e

meω

·k (k ·E)

ω2/c20e − k2+E

¸,

ui = iZe

miω

·k (k · E)

ω2/c20i − k2+E

¸,

que al reemplazar en la (5.4) nos da una única ecuación vectorial para elcampo eléctricoµk2 − ω2

c2+

ω2pec2+

ω2pic2

¶E− k (k · E)

·1− ω2pe/c

2

ω2/c20e − k2− ω2pi/c

2

ω2/c20i − k2¸= 0,

(5.5)donde hemos introducido las denominadas frecuencias de plasma para elec-trones e iones

ω2pe ≡e2n0eε0me

, ω2pi ≡(Ze)2 n0iε0mi

. (5.6)

De (5.5) podemos ver que existen dos tipos posibles de oscilación. Unoes aquel con campo eléctrico perpendicular a k (ondas transversales), cuyarelación de dispersión es claramente

ω2 = c2k2 + ω2pe + ω2pi ' c2k2 + ω2pe. (5.7)

Éstas son ondas electromagnéticas afectadas por la respuesta de los electrones(los iones prácticamente no participan ya que ω2pi ¿ ω2pe). Para muy altasfrecuencias (ω À ωpe) tenemos la relación de una onda electromagnética enel vacío ω2 = c2k2; la inercia de los electrones no les permite responder a laexcitación electromagnética tan rápida. Por otro lado, vemos que no puedeexistir este tipo de oscilación con ω < ωpe; los electrones son capaces deresponder para anular el campo eléctrico de la onda.El otro tipo de oscilación es el de ondas longitudinales, también denomina-

das electrostáticas, conE paralelo a k. Basta multiplicar a (5.5) escalarmentepor k para obtener la condición de existencia de estas ondas

ω2µ

ω2peω2 − k2c20e

+ω2pi

ω2 − k2c20i− 1¶= 0,


por lo que tendremos oscilaciones electrostáticas si

ω2peω2 − k2c20e

+ω2pi

ω2 − k2c20i= 1. (5.8)

Ésta es una ecuación cuadrática en ω2, lo que nos proporciona dos ramasdistintas. Dado que

c20e,i = γe,iTe,ime,i

,

es c20e À c20i para temperaturas no muy diferentes, por lo que si tenemosfrecuencias con ω2 > k2c20e, ciertamente será también ω2 > k2c20i, con lo queen este rango se puede despreciar el segundo término en (5.8), lo que permiteobtener inmediatamente

ω2 = ω2pe + k2c20e,

que corresponde a la rama de oscilaciones de plasma (las primeras que seobservaron experimentalmente, lo que les dió este nombre tan exclusivo).Nótese que aun en un plasma frío (c0e = 0) tendríamos oscilaciones (convelocidad de grupo ∂ω/∂k = 0) de manera que la fuerza restitutiva no esla presión, como en las oscilaciones longitudinales acústicas, sino el campoeléctrico que se genera al desbalancear localmente la neutralidad del plasma;la inercia está dada por la de los electrones; los iones permanecen práctica-mente quietos. La presencia de temperatura agrega una componente acústicaa esta oscilación básicamente electrostática, que da lugar a una velocidad degrupo finita.La otra rama puede identificarse en la zona de bajas frecuencias (ω ¿

ωpe). En tal caso, al llevar (5.8) a la forma de una cuadrática en ω2 podemosdespreciar ω4 frente a ω2ω2pe, lo que permite fácilmente obtener

ω2 ' k2µc20i + c

20e

ω2piω2pe

¶= k2

ZγeTe + γiTimi

.

Identificamos aquí una oscilación longitudinal acústica en la que la fuerzarestitutiva está provista por la presión de iones y electrones, y la inercia porlos iones. Este modo de oscilación es entonces denominado iónico-acústico.Haciendo la teoría cinética de esta oscilación se ve que es muy fuertementeamortiguada, salvo cuando Te À Ti (intuitivamente, si los electrones notienen una velocidad muy grande son capaces de anular el campo eléctricode la onda). La velocidad de fase de las ondas ondas iónico-acústicas es


entonces

c2s =ZγeTemi

.

5.3 Oscilaciones en plasmas con campo mag-nético

Cuando incluimos un campo magnético uniforme en el estado base el álgebranecesaria para obtener la relación de dispersión se complica grandemente,aun considerando ω À νei para poder despreciar las colisiones. Podemossimplificar el problema un poco más viendo que el término de presiones,comparado con el de inercia, en las ecuaciones (5.2) y (5.3) es¯̄

kc20e,ik · ue/ω¯̄

|ωue| ≈ k2c20e,iω2

,

por lo que si consideramos ondas cuya velocidad de fase vf = ω/k es grandecomparada con las velocidades del sonido, el término de presiones puededespreciarse (note que sólo hace falta que los cuadrados de las velocidadessatisfagan la desigualdad, v2f À c20e,i, por lo que basta que vf sean unas pocasveces más grande que c0e,i para que la aproximación sea muy buena). De estamanera podemos escribir

ue = − ie

meω(E+ ue ×B0) ,

ui =iZe

miω(E+ ui ×B0) .

Para despejar la velocidad de estas ecuaciones procedemos, como es yahabitual, postmultiplicando vectorialmente por B0 y reemplazando el resul-tado en la ecuación original, con lo que obtenemos

ue = − ie

meωE+

µeB0meω

¶2ue⊥ −

µe

meω

¶2E×B0,

ui =iZe

miωE+

µZeB0miω

¶2ui⊥ −

µZe

miω

¶2E×B0,

que, usando el versor en la dirección de B0, b = B0/B0, y las frecuenciasangulares de ciclotrón, podemos escribir como

ue −³ωce

ω

´2ue⊥ = − ie

meωE−

³ωceω

´2 E× bB0

,

ui −³ωci

ω

´2ui⊥ =

iZe

miωE−

³ωciω

´2 E× bB0

,


de donde podemos evaluar inmediatamente las componentes paralela y per-pendicular a b como

ueq = − ie

meωEq, uiq =

iZe

miωEq, (5.9a)

ue⊥ =1

1− (ωce/ω)2µ− ie

meωE⊥ −

³ωceω

´2 E× bB0

¶, (5.9b)

ui⊥ =1

1− (ωci/ω)2µiZe

miωE⊥ −

³ωciω

´2 E× bB0

¶. (5.9c)

Al reemplazar estas expresiones en (5.4) obtenemos un sistema algebraicoque sólo contiene al campo eléctrico. Conviene en este punto introducir unsistema ortogonal adaptado al problema. Por supuesto, elegimos un eje pa-ralelo al campo magnético. En el plano perpendicular tomamos como eje 1 elque es paralelo al vector de onda perpendicular k⊥, y el eje 2 el perpendiculara éste y al campo magnético, que forma la terna derecha (1, 2, q). Así, paraun vector genérico A tenemos

Aq = A · b, A⊥ = A− Aqb,A⊥1 = A⊥ · k⊥|k⊥| = A ·

k⊥|k⊥| ,

A⊥2 = A⊥ · b× k⊥|k⊥| = A⊥ · b× k|k⊥| .

Si notamos que, usando conmutatividad del producto mixto, es

(A× b) · (b× k) = [b× (b× k)] ·A = −k⊥ ·A,

la proyección sobre los ejes 1 y 2 de las dos últimas de las (5.9) es muy sencillay se obtiene

ue⊥1 =1


meωE⊥1 −

³ωceω

´2 E⊥2B0

¶,

ue⊥2 =1


meωE⊥2 +

³ωceω

´2 E⊥1B0

¶,

ui⊥1 =1


miωE⊥1 −

³ωciω

´2 E⊥2B0

¶,

ui⊥2 =1


miωE⊥2 +

³ωciω

´2 E⊥1B0

¶.


Las proyecciones sobre el sistema de ejes (1, 2, q) es muy sencilla para laecuación de Maxwell (5.4) y resultaµ

k2 − ω2

c2

¶Eq − kq (kqEq + k⊥E⊥1) = i

en0eε0c2

ω (uiq − ueq) ,µk2 − ω2

c2

¶E⊥1 − k⊥ (kqEq + k⊥E⊥1) = i

en0eε0c2

ω (ui⊥1 − ue⊥1) ,µk2 − ω2

c2

¶E⊥2 = i

en0eε0c2

ω (ui⊥2 − ue⊥2) .

Reemplazando en estas últimas las expresiones de las velocidades llegamosal sistema de ecuaciones para el campo eléctrico

0 =¡ω2pe + ω2pi + k

2⊥c

2 − ω2¢Eq − kqk⊥c2E⊥1,

0 =

·ω2pe

1− (ωce/ω)2+

ω2pi

1− (ωci/ω)2+ k2q c

2 − ω2¸E⊥1

+

· −iω2peωce/ω1− (ωce/ω)2

+iω2piωci/ω

1− (ωci/ω)2¸E⊥2 − kqk⊥c2Eq,

0 =

·iω2peωce/ω

1− (ωce/ω)2− iω2piωci/ω

1− (ωci/ω)2¸E⊥1

+

·ω2pe

1− (ωce/ω)2+

ω2pi

1− (ωci/ω)2+ k2c2 − ω2

¸E⊥2,

donde hemos vuelto a usar las definiciones (5.6) para las frecuencias de plas-ma. Para obtener una expresión más presentable de este sistema es útilintroducir el índice de refracción n = kc/ω, y poner de manifiesto el ánguloθ entre la dirección de propagación de la onda (la dirección de k) y el campomagnético, tal que kq = k cos θ, k⊥ = k sin θ. Además, es de suma utilidadintroducir las definiciones convencionales

R ≡ 1− ω2pe/ω

ω − ωce− ω2pi/ω

ω + ωci,

L ≡ 1− ω2pe/ω

ω + ωce− ω2pi/ω

ω − ωci,

P ≡ 1− ω2peω2− ω2pi

ω2,


con denominanciones por right, left y plasma, respectivamente, y las deriva-das de éstas (por suma y diferencia)

S ≡ R+ L

2= 1− ω2pe

ω2 − ω2ce− ω2pi

ω2 − ω2ci,

D ≡ R− L2

= −ω2peωce/ω

ω2 − ω2ce+

ω2piωci/ω

ω2 − ω2ci.

Con todo esto el sistema se escribe finalmente como

n2 sin θ cos θE⊥1 +¡P − n2 sin2 θ¢Eq = 0, (5.10a)¡

S − n2 cos2 θ¢E⊥1 − iDE⊥2 + n2 sin θ cos θEq = 0, (5.10b)

iDE⊥1 +¡S − n2¢E⊥2 = 0. (5.10c)

Para conceptualizar mejor los modos posibles de este sistema convieneestudiar propagaciones estrictamente paralelas o perpendiculares al campomagnético.

5.3.1 Propagación paralela

En este caso el sistema (5.10) se reduce a

PEq = 0, (5.11a)¡S − n2¢E⊥1 − iDE⊥2 = 0, (5.11b)

iD E⊥1 +¡S − n2¢E⊥2 = 0, (5.11c)

que nos indica que las componentes Eq y E⊥ están desacopladas entre sí, ypueden ser estudiadas por separado. La condición de existencia de oscilacio-nes electrostáticas (E q k) es entonces P = 0, que corresponde a

ω2 = ω2pe + ω2pi ' ω2pe;

esto es, oscilaciones de plasma en el límite de plasma frío. Como el campoeléctrico paralelo al magnético no induce movimiento perpendicular, la fuerzade Lorentz no actúa en este modo de oscilación, con lo que se tiene la mismarelación de dispersión que para plasmas sin campo magnético. Los efectos detemperatura son los mismos que los vistos en el caso de plasmas sin campomagnético; en particular, la aparición de ondas iónico-acústicas propagándosea lo largo del campo magnético..Para oscilaciones electromagnéticas (E ⊥ k) la relación de dispersión

resulta de la anulación del determinante de las últimas dos de (5.11)¡S − n2¢2 −D2 = 0,


o sea,S − n2 = ±D,

que si reemplazamos en cualquiera de las dos últimas (5.11) nos dice que

E⊥2 = ±iE⊥1,

que corresponde a polarización circular derecha e izquierda, respectivamente(en la convención de la mano derecha e izquierda, respectivamente, con elpulgar en la dirección y sentido de B0). Podemos escribir la relación como

n2 = S ±D =½RL.

Para n2 = R tenemos polarización derecha, y para n2 = L polarizaciónizquierda. Aprovechamos este punto para aclarar algunos puntos genéricos.En primer lugar algunos puntos convencionales: consideramos que pode-

mos imponer la longitud de onda de la perturbación a voluntad, por lo que larelación de dispersión indica con qué frecuencia o frecuencias (si hubiera másde una rama) oscilará tal perturbación, mientras que las ecuaciones del cam-po eléctrico indicarán qué tipo de polarización tendrá la onda. Consideramosademás que el vector de onda es real, y que la frecuencia correspondiente pue-de ser compleja; su parte real indica la frecuencia de oscilación propiamentedicha, y su parte imaginaria si la amplitud de la onda crece (parte imagina-ria positiva) o decrece (parte imaginaria negativa) en el tiempo. Finalmente,consideramos siempre que la parte real de ω es positiva, ya que un cam-bio de signo corresponde a una onda propagándose en sentido contrario, quetenemos en cuenta cambiando el signo del vector de onda.En segundo lugar notemos que es de interés obtener, de la relación de

dispersión, los posibles valores de ω para los que k = 0, denominados fre-cuencias de corte, y los correspondientes a k →∞, llamadas frecuencias deresonancia. En el contexto de plasmas homogéneos que estamos tratando es-ta nomenclatura no es evidente; sólo podemos decir que en el entorno de estasfrecuencias las velocidades de fase divergen (corte) o se anulan (resonancia).Esto último indica, en particular, que cerca de las resonancias los efectos tér-micos no pueden ser despreciados. Cuando las propiedades del plasma sonsuavemente variables en el espacio (varían sobre longitudes mucho mayoresque la longitud de onda) la teoría que usamos es aplicable y una perturbacióncon ω dado puede propagarse a zonas donde ω se acerque a un corte o unaresonancia. Un estudio detallado de este proceso muestra que en la zona confrecuencia de corte igual a ω la onda se refleja completamente, mientras queen el caso de resonancia la energía entrante de la onda se acumula (y existen


eventualmente procesos adicionales como transformación de ondas de un tipoen otro). Los cortes indican así zonas donde una dada perturbación no puedepropagarse, mientras que las resonancias muestran zonas de fuerte absorción(de interés, por ejemplo, para calentar el plasma con ondas).Continuando con el análisis, la relación de dispersión para ondas circulares

derechas se escribe

k2c2 = ω2 − ω ω2peω − ωce

− ω ω2piω + ωci

. (5.12)

Como Re (ω) > 0 tenemos resonancia (k = ∞) sólo para ω = ωce, lo quees natural pues son los electrones los que tienen el mismo sentido de giroalrededor del campo magnético que el vector E, y pueden por lo tanto giraren fase con éste y absorber energía electromagnética de la onda.La frecuencia de corte (k = 0) resulta de

ω − ω2peω − ωce

− ω2piω + ωci

= 0,

que, anticipando que sucede para frecuencias altas (ω À ωpi), podemos calcu-lar despreciando la dinámica iónica, y obtener la frecuencia de corte paraondas R como la raiz positiva de la ecuación cuadrática resultante

ωR =1

2

³ωce +

qω2ce + 4ω

2pe

´. (5.13)

La relación de dispersión (5.12) tiene dos ramas; una de alta frecuenciaω > ωR, que podemos determinar despreciando completamente la dinámicaiónica y escribir

k2c2 = ω2 − ω ω2peω − ωce

.

Esta rama comienza en ω = ωR para k → 0, y vemos que para ω À ωpesatisface la relación k2c2 = ω2 de una onda electromagnética. Notemos quecomo ωR > ωce esta rama no presenta resonancia.La rama de baja frecuencia (ω < ωce, pero siempre con ω À ωpi) nos da

para ω ¿ ωce y ωpe

k2c2 ' ω ω2peωce

=⇒ ω ' ωceω2pec2k2,

y alcanza la resonancia para ω → ωce. Esta rama es denominanda habitual-mente “whistler” por su efecto de silbido al ser recibida en un receptor deradio de sintonía no muy buena. En efecto, si una perturbación con un espec-tro ancho es generada, por ejemplo por rayos durante una tormenta eléctrica,


la perturbación se propaga en forma dispersiva a lo largo del campo mag-nético terrestre; al alcanzar un punto alejado (típicamente en un hemisferiodiferente al de su generación) las componentes de mayor frecuencia lleganprimero (vg = ∂ω/∂k ' 2ωcec

2k/ω2pe), seguidas por las de frecuencia pro-gresivamente decreciente, generando un sonido de silbido en un receptor deradio.La zona de muy baja frecuencia de esta rama (ω ¿ ωci) debe incluir la

dinámica iónica. Escribiendo, a primer orden en ω/ωce,i,

1

ω ± ωce,i' ± 1

ωce,i

µ1∓ ω

ωce,i

¶, (5.14)

aproximamos (5.12) por

k2c2 = ω2 + ωω2peωce

µ1 +

ω

ωce

¶− ω

ω2piωci

µ1− ω

ωci

¶,

que, usando, de sus definiciones,

ω2peωce

=ω2piωci,

ωpeωce

¿ ωpiωci,

resulta en

k2c2 = ω2

"1 +

µωpiωci

¶2#' ω2

µωpiωci

¶2,

de dondeω = kvA, (5.15)

donde hemos introducido la velocidad de Alfvén vA

vA ≡ c ωciωpi

=

sB20

µ0ni0mi

. (5.16)

Estas ondas son denominadas de Alfvén torsionales (ya que el campo mag-nético perturbado gira junto al campo eléctrico, generando torsión de laslíneas magnéticas al avanzar la onda).Vemos finalmente que para ωce < ω < ωR no existe propagación de ondas

de tipo R.Para las ondas circulares izquierda, n2 = L,

k2c2 = ω2 − ω ω2peω + ωce

− ω ω2piω − ωci

, (5.17)


el análisis es muy similar al de las ondas R. Vemos que en la rama de altafrecuencia (ω À ωci y ωpi) no hay resonancia, mientras que la frecuencia decorte está dada por la raiz positiva de

ω − ω2peω + ωce

= 0,

que da

ωL =1

2

³−ωce +

qω2ce + 4ω

2pe

´. (5.18)

Vemos que esta rama también tiende a una onda electromagnética, ω = kc,cuando ω À ωpe, y, por supuesto, ω = ωL para k → 0.Para estudiar la rama de baja frecuencia debemos incluir la dinámica

iónica y, como hicimos antes, para ω ¿ ωci obtenemos también la relación deondas de Alfvén torsionales (5.15) ω = kvA, mientras que esta rama presentala resonancia ω = ωci, al ser ahora los iones los que giran en el mismo sentidoque el vector E.Concluimos notando que las ondas R y L, al tener k · E = 0 y k q B0,

cumplen, de las (5.2) y (5.3), que k · ue,i = 0, por lo que no hay correc-ciones por efectos térmicos. Vemos además que, salvo para las muy bajasfrecuencias (ondas de Alfvén), para un dado valor de k las frecuencias corres-pondientes de ondas R y L son distintas, con lo que la velocidad de fase deestas ondas será diferente. Al descomponer una onda linealmente polarizadaen dos componentes circulares R y L, la diferente velocidad de fase de cadauna de éstas se traduce en una rotación progresiva de la dirección de pola-rización lineal de la onda a medida que se propaga, lo que se conoce comoefecto Faraday. Sólo son inmunes al efecto Faraday las ondas de muy bajafrecuencia, ya que ambos modos R y L tienden a la misma velocidad de fasevA, y las electromagnéticas de muy alta frecuencia, cuya velocidad de fase esla de la luz.

5.3.2 Propagación perpendicular

En este caso el sistema (5.10) se reduce a¡P − n2¢Eq = 0,

SE⊥1 − iDE⊥2 = 0,

iDE⊥1 +¡S − n2¢E⊥2 = 0.

Vemos que nuevamente se desacoplan las componentes de E paralelas y per-pendiculares a B0. Para oscilaciones con E⊥ = 0 tenemos que debe sern2 = P , con lo que obtenemos nuevamente las ondas electromagnéticas (5.7)


que obtuvimos en el caso sin campo magnético. Esto es razonable porqueal ser E q B0 no hay fuerza de Lorentz y, por lo tanto, no hay efecto delcampo magnético sobre la dinámica de estas oscilaciones, razón por la cualse denominan ondas ordinarias u ondas O.Por contraposición, y porque el efecto del campo magnético genera una

dinámica muy especial, las ondas con Eq = 0 (siempre con propagación per-pendicular) se denominan ondas extraordinarias u ondas X. La relación dedispersión correspondiente es

S¡S − n2¢ = D2,

que puede escribirse en términos de R y L como

n2 =2RL

R + L. (5.19)

Reemplazando en el sistema original obtenemos que

E⊥2 = −i SDE⊥1 = −iR+ L

R− LE⊥1, (5.20)

por lo que tenemos una onda elípticamente polarizada, con una componentelongitudinal (a lo largo de k) E⊥1, y otra perpendicular, E⊥2, ambas perpen-diculares a B0.Las frecuencias de corte corresponden entonces a R = 0 y L = 0, que son

las ωR y ωL ya calculadas para las ondas R y L con θ = 0; ecuaciones (5.13)y (5.18).Las frecuencias de resonancia estarán dadas por las raíces de R + L =

2S = 0, o sea,

1− ω2peω2 − ω2ce

− ω2piω2 − ω2ci

= 0. (5.21)

Si consideramos la rama de alta frecuencia (ω À ωci) podemos despreciar ladinámica iónica con lo que obtenemos la resonancia híbrida superior

ωUH =q

ω2ce + ω2pe. (5.22)

La otra resonancia debe incluir la dinámica iónica; anticipando que es-to ocurre a frecuencias suficientemente bajas para que ω2 ¿ ω2ce podemosaproximar la condición de resonancia (5.21) por

1 +ω2peω2ce− ω2pi

ω2 − ω2ci= 0,


de donde obtenemos inmediatamente la resonancia híbrida inferior

ωLH =

sω2ci +

ω2pi1 + ω2pe/ω

2ce

. (5.23)

El estudio de la relación de dispersión de ondas X se complica por el altogrado del polinomio que resulta de (5.19). Si particularizamos para las altasfrecuencias en las que podemos ignorar la dinámica iónica tenemos que (5.19)se escribe

k2c2 =

£ω − ω2pe/ (ω − ωce)

¤ £ω − ω2pe/ (ω + ωce)

¤1− ω2pe/ (ω

2 − ω2ce)

=(ω − ωR)

2 (ω − ωL)2

ω2 − ω2UH.

Esta relación indica dos ramas de alta frecuencia; una con corte en ωR y otracon corte en ωL. Notemos el ordenamiento que resulta de las definicionesmismas (pruébelo como ejercicio)

ωL < ωUH < ωR,

que indica que la rama con inicio en ωR no tiene resonancia y tiende a altasfrecuencias a ω = kc, nuestra familar onda electromagnética. La rama quecomienza en ωL tiende para k →∞ a la resonancia híbrida superior.Para estudiar las bajas frecuencias (ω ¿ ωci ) debemos incluir la dinámica

iónica. Lo hacemos usando (5.14)

ωR = ω − ω2peω − ωce

− ω2piω + ωci

' ω

µ1 +

ω2peω2ce

+ω2piω2ci

¶' ω

ω2piω2ci,

ωL = ω − ω2peω + ωce

− ω2piω − ωci

' ω

µ1 +

ω2peω2ce

+ω2piω2ci

¶' ω

ω2piω2ci,

y

R+ L

2= 1− ω2pe

ω2 − ω2ce− ω2pi

ω2 − ω2ci

' 1 +ω2peω2ce

+ω2piω2ci≈ ω2pi

ω2ci,


con lo que obtenemos nuevamente la relación de ondas de Alfvén (5.15) ω =kvA. Esta rama a frecuencias mayores alcanza la resonancia híbrida inferiorωLH para k →∞.A diferencia de las ondas de Alfvén con torsión, del caso de propagación

paralela B0, estas ondas no tuercen las líneas de campo magnético, sinoque las comprimen (tenemos para estas ondas que k · ue,i 6= 0, por lo quetenemos efectos de compresión del plasma y, por congelamiento de las líneasde campo, compresión del campo magnético). Se denominan entonces ondasde compresión de Alfvén u ondas magnetosónicas.

5.3.3 Propagación oblicua

La relación de dispersión se obtiene en este caso general pidiendo la anulacióndel determinante del sistema (5.10) que, usando que

S2 −D2 = RL,

se reduce a

PSn2 cos2 θ − Pn4 cos2 θ + PSn2 − PRL− Sn4 sin2 θ +RLn2 sin2 θ = 0.

Escribiendo cos2 θ = 1− sin2 θ despejamos fácilmente

sin2 θ =P (n4 − 2Sn2 +RL)

(P − S)n4 + (RL− PS)n2 ,

de donde podemos ver también que

cos2 θ =−Sn4 + (PS +RL)n2 − PRL(P − S)n4 + (RL− PS)n2 .

Dividiendo entre sí las dos últimas expresiones tenemos finalmente

tan2 θ =−P (n2 −R) (n2 − L)(n2 − P ) (Sn2 −RL) .

De esta expresión vemos que las resonancias (n→∞) corresponden a

tan2 θ = −PS,

que nos dice que las frecuencias de resonancia dependen del ángulo θ. Veriquecomo ejercicio que para θ = 0, π/2 se obtienen las resonancias vistas (ωpe,ωce, ωci, ωUH y ωLH).


En cuanto a las frecuencias de corte (n = 0) se obtiene la relación

tan2 θ = −PRLPRL

,

que sólo puede ser satisfecha si PRL = 0,∞. De hecho, poniendo n = 0es el sistema original (5.10) obtenemos inmediatamente P = 0 y S2 −D2 =RL = 0. La condición P = 0 da la frecuencia de corte ωpe (que también es deresonancia para un plasma frío), mientras que R = 0 da el corte ωR, y L = 0el corte ωL. Vemos entonces que las frecuencias de corte son independientesdel ángulo θ.Notemos que la onda R, con resonancia en ωce, se transforma, al pasar

de θ = 0 a θ = π/2, en la magnetosónica con resonancia en ωLH . La onda L,con resonancia en ωci, desaparece tendiendo a ω = 0 a medida que θ→ π/2.Para estudiar la transformación de las ondas mencionadas, a medida que

cambia θ, en el límite de muy baja frecuencia (ω ¿ ωci), podemos simplificarlas expresiones de S, D y P ,

S ' ω2piω2ci

=c2

v2A,

D ' −ω2piω3ci

ω = −S ω

ωci' 0,

P ' −ω2peω2

'∞,

con lo que obtenemos del sistema general (5.10) el sistema aproximado paramuy bajas frecuencias

∞Eq = 0,µc2

v2A− n2 cos2 θ

¶E⊥1 + n2 cos θ sin θEq = 0,µ

c2

v2A− n2

¶E⊥2 = 0,

de donde se deduce inmediatamente que Eq = 0, y que tenemos dos modosindependientes de propagación; uno con E⊥1 6= 0, con relación de dispersiónω = kvA cos θ, y otro con E⊥2 6= 0, y relación de dispersión ω = kvA.El modo con E⊥1 6= 0 corresponde a una onda de Alfvén torsional (li-

nealmente polarizada, superposición de ondas R y L en θ = 0) con direcciónde propagación oblicua. Este modo, denominado “lento”, tiende a ω = 0 amedida que θ → π/2.


El modo con E⊥2 6= 0 es el de una onda de Alfvén compresional (magneto-sónica), denominado “rápido”, que descubrimos que tiene la misma relaciónde dispersión independientemente de la dirección de propagación, al menosen la aproximación de plasma frío (para θ = 0 no hay correcciones por efectostérmicos, por compresión del plasma, pero para θ 6= 0 los efectos térmicosmodifican la relación de dispersión).

Capítulo 6

Equilibrios y estabilidad

El confinamiento del plasma durante tiempos prolongados (muchos tiemposde colisión) es uno de los problemas más importantes y difíciles de la física delplasma. Debemos primero lograr configuraciones estacionarias (generalmentetambién estáticas, u = 0) que además sean estables. Dado que en generalinteresa confinar el plasma durante tiempos largos comparados con el tiempode colisiones, la aproximación de presión isótropa es apropiada. Por otrolado, a las altas temperaturas de interés la resistividad del plasma es muybaja y puede ignorarse en una primera aproximación. Con esto, considerandoequilibrios estáticos, la condición de equilibrio es, en la descripción de un solofluido,

∇p = j×B, (6.1)

complementada con las ecuaciones de Maxwell correspondientes

∇×B = µ0j, ∇ ·B = 0. (6.2)

Estas expresiones tienen consecuencias inmediatas importantes. Vemos de la(6.1) que debe ser

j ·∇p = 0,

B ·∇p = 0,

por lo que las superficies de p = cte deben contener tanto a las líneas de jcomo a las de B. Así, las superficies isobaras son también superficies mag-néticas y superficies de corriente (cuidado, j y B no son en general constantessobre estas superficies, sólo tangentes a ellas).Tomando la divergencia de la primera (6.2) es ∇ · j = 0, que, junto con

∇ ·B = 0, nos dice que las líneas de corriente y las de campo no pueden co-menzar ni terminar en las superficies consideradas si éstas están en una región

84

CAPÍTULO 6. EQUILIBRIOS Y ESTABILIDAD 85

limitada (configuración cerrada), y se prolongan al infinito en superficies noacotadas (configuración abierta). Notemos que en una configuración cerra-da las líneas no necesariamente se cierran sobre sí mismas; pueden tambiénrecorrer indefinidamente la superficie (cubrirla densamente).La (6.1) indica que en general es j × B 6= 0, salvo que la presión del

plasma sea muy pequeña comparada con la presión magnética (β → 0), encuyo caso tenemos un equilibrio denominada libre de fuerzas, en el cual

(∇×B)×B = 0.

En este caso es j q B, o equivalentemente, de (6.2), ∇×B q B, que podemosescribir como (ecuación de Beltrami)

∇×B = γB,

donde γ es una función escalar cualquiera. Tomando la divergencia de estaecuación tenemos que debe ser B ·∇γ = 0, por lo que las superficies γ = cteson superficies magnéticas.Escribamos la ecuación de equilibrio usando la ecuación de Ampère

∇p =1

µ0(∇×B)×B

=1

µ0

£(B ·∇)B−∇B2/2¤ ,

con lo que

∇µp+

B2

2µ0

¶=1

µ0(B ·∇)B.

Si consideramos la interfase plasma-vacío e integramos esta última igual-dad a través de ella, como el segundo miembro es finito, resulta (i correspondeal interior del plasma y e al exterior)µ

p+B2

2µ0

¶i

=

µB2

2µ0

¶e

.

Tanto la presión termodinámica como la presión magnética pueden ser dis-continuas en la interfase, pero su suma es continua. Recordemos que lacomponente normal del campo magnético es continua, por lo que una discon-tinuidad en la presión magnética requiere discontinuidad en la componentetangencial del campo, lo que es causado por corrientes superficiales en elplasma.


6.0.4 Tokamak

Una configuración de importancia práctica es la de tokamak, con buena apro-ximación libre de fuerzas, debido a que el plasma es de bajo β. Es una con-figuración cerrada toroidal, con el campo principal en la dirección azimutal(campo toroidal), generado por bobinas externas al plasma, más una compo-nente meridional (campo poloidal) generada por una corriente que circula enel mismo plasma en la dirección azimutal (a lo largo del toro). Esta corrientees inducida por un bobinado externo que hace las veces de primario de untransformador en el que el plasma es el secundario.Para evitar las complicaciones de la geometría toroidal podemos consi-

derar una aproximación en la que el toro es “enderezado” y convertido enun cilindro recto circular. En este caso la dirección toroidal corresponde aleje del cilindro (eje z), y la dirección poloidal corresponde a la dirección θ.Tenemos entonces Bz (r) generado por bobinas externas, y Bθ generada porla corriente en el plasma, o sea

Bθ (r) =µ0I (r)

2πr, (6.3)

donde I (r) es la corriente (en la dirección z) que circula entre r = 0 y r.El equilibrio libre de fuerzas (∇×B)×B = 0 se escribe entonces

d

dr

¡B2z +B

2θ

¢+2

rB2θ = 0, (6.4)

que, junto con (6.3), nos permite determinar Bz (r) una vez dada I (r).Si suponemos que el plasma tiene un radio R0 y que la corriente total que

circula por él es I0 y está uniformemente distribuida, es I (r) = I0r2/R20, conlo que, para r ≤ R0, es

Bθ (r) =µ0I02πR20

r,

minetras que para r ≥ R0 es

Bθ (r) =µ0I02πr

.

Esto nos permite integrar fácilmente (6.4) para obtener que Bz es constanteen r ≥ R0, que denominamos Bzext, mientras que en el plasma es

B2z = B2zext +

µ20I20

2π2R40

µ1− r2

R20

¶.


6.1 PinchsUno de los tipos de equilibrio más interesantes es el denominado pinch, en elque el campo magnético que confina el plasma es generado por corrientes quecirculan en el plasma mismo. Existen dos tipos básicos de configuracionesabiertas con simetría cilíndrica; el z-pinch y el θ-pinch, donde z y θ indicanla dirección de la corriente en coordenadas cilíndricas.

6.1.1 Theta-pinch

La densidad de corriente en este caso tiene la forma j = j (r) eθ, que generaun campo B (r) en la dirección z calculable fácilmente por la ley de Ampère

dB

dr= −µ0j (r) .

La condición de equilibrio (6.1) es para esta configuración

dp

dr= j (r)B (r) = − 1

µ0

dB

drB (r)

= − ddr

µB2

2µ0

¶,

de manera que tenemos simplemente

p+B2

2µ0= cte.

Al ser las líneas de campo rectas no tenemos efectos de tensión, sino sólode presión magnética. La condición de equilibrio es entonces que la presióntotal (térmica más magnética) sea constante.Todas las magnitudes se obtienen a partir de la distribución de corriente

j (r). Para el caso de interés en que la corriente circula en una capa deespesor muy pequeño en r = R, podemos escribir

j (r) =I

Lδ (r −R) ,

donde I es la corriente total y L la longitud sobre la que está distribuida enla dirección z. El campo correspondiente vale

B (r) =

½µ0I/L, para r < R,0, para r > R,

y la presión es

p (r) =

½pext − µ0I2/2L2, para r < R,pext, para r > R.


6.1.2 Z-pinch

En este caso la corriente es de la forma j = j (r) ez, que genera campomagnético B = B (r) eθ, dado por la ley de Ampère como

B (r) =µ0I (r)

2πr,

donde

I (r) = 2π

Z r

0

j (r0) dr0,

es la corriente que circula dentro del radio r, y de la cual podemos escribir

j (r) =1

2πr

dI

dr.

La condición de equilibrio es

dp

dr= −j (r)B (r) = − µ0

4π2r2I (r)

dI

dr

= − µ08π2r2

dI2

dr.

Consideremos ahora que el plasma se extiende hasta el radio R0 y que lacorriente total que circula por él es I0. La presión del plasma en r = R0 esnula (suponemos confinamiento magnético puro), por lo que, integrando porpartes, Z R0

0

dI2

drdr = I20 = −

8π2

µ0

Z R0

0

r2dp

drdr

= −8π2

µ0

·R20p (R0)− 2

Z R0

0

rp (r) dr

¸=

16π2

µ0

Z R0

0

rp (r) dr.

Como

p (r) = ni (r)Ti + ne (r)Te

= ni (r) (Ti + ZTe) ,

donde hemos considerado temperaturas uniformes y cuasineutralidad, pode-mos escribir

I20 =16π2

µ0(Ti + ZTe)

Z R0

0

rni (r) dr


=8π

µ0(Ti + ZTe)

Z R0

0

2πrni (r) dr

=8π

µ0(Ti + ZTe)

NiL,

donde Ni es el número total de iones del plasma, que tiene longitud L enla dirección z. Esta última expresión, denominada relación de Bennett, nosindica cuál es la corriente necesaria para contener el plasma con las caracte-rísticas dadas.Como antes, la distribución radial de las distintas magnitudes se obtiene a

partir de la forma dada de j (r). Para el caso de interés en que esta corrientees uniforme

j (r) =

½I0/πR

20, para r < R0,

0, para r > R0,

obtenemos en el plasma

p (r) =µ0I

20

4π2R20

µ1− r2

R20

¶.

Para el caso de estar la corriente restingida a una capa muy delgada enR0,

j (r) =I02πR0

δ (r −R0) ,

tenemos (H es la función de Heaviside)

I (r) = I0H (r −R0)

con lo que

dp

dr= −µ0I

20

4πr2H (r −R0) δ (r −R0)

= −µ0I20

8πr2δ (r −R0) ,

donde se usó la convención H (0) = 1/2. La presión es entonces constante atrozos y vale (considerando que es nula fuera del plasma)

p (r) =

½µ0I

20/ (8πR

20) , para r < R0,

0, para r > R0.


6.2 EstabilidadUna configuración de equilibrio puede no realizarse en la práctica si la mismaes inestable; esto es, si ante apartamientos pequeños la configuración evolu-ciona alejándose del estado de equilibrio. Nos interesan aquí configuracionesde plasma en la descripción de un solo fluido, en las que los detalles de lasdistribuciones microscópicas de las partículas no son muy importantes. Evo-luciones de este estado se traducen en movimientos macroscópicos del plasma,que son justamente los más nocivos para el confinamiento. Existen ademásevoluciones menos peligrosas en este sentido, que corresponden a cambios dela forma de las funciones de distribución, sin afectar grandemente la variablesmacroscópicas, y que deben estudiarse con una teoría cinética.Consideramos entonces las ecuaciones de la MHD ideal

∂ρ

∂t= −∇ · (ρu) ,

ρdu

dt= −∇p+ j×B,

dp

dt= −γp∇ · u,

∂B

∂t= ∇× (u×B) ,

∇×B = µ0j, ∇ ·B = 0.Nos interesa estudiar pequeños apartamientos de un equilibrio estático

dado por u0 = 0, y∇p0 = j0 ×B0,

en el que las magnitudes con subíndice 0 indican valores de equilibrio, engeneral no uniformes espacialmente. Esta no uniformidad nos impide pro-ceder como en el caso de ondas en plasmas homogéneos y estudiar modossimples de Fourier para los apartamientos, lo que hace el tratamiento de laestabilidad complicado.Procedemos entonces a definir los apartamientos de los elementos de fluido

del plasma ξ (x, t), respecto de sus posiciones de equilibrio, como la posiciónal tiempo t del elemento que en t = 0 se encontraba en x, referida a estaposición inicial. Estudiamos además la evolución en tiempos cortos para queel apartamiento pueda considerarse pequeño. De esta manera, podemos decirque

u (x, t) =∂

∂tξ (x, t) , (6.5)

en los tiempos de interés (piense porqué esta igualdad es sólo aproximada,válida sólo a tiempos cortos). Si escribimos entonces para las magnitudes en


los tiempos considerados

a (x, t) = a0 (x) + δa (x, t) ,

podemos linealizar las ecuaciones de la MHD ideal, despreciando los términosno lineales en los δa, y obtenemos, usando además (6.5) y las ecuaciones delequilibrio,

∂δρ

∂t= −∇ ·

µρ0

∂ξ

∂t

¶, (6.6a)

ρ0∂2ξ

∂t2= −∇δp+ δj×B0 + j0 × δB, (6.6b)

∂δp

∂t= −∂ξ

∂t·∇p0 − γp0∇ · ∂ξ

∂t, (6.6c)

∂δB

∂t= ∇×

µ∂ξ

∂t×B0

¶, (6.6d)

∇× δB = µ0δj, ∇ · δB = 0. (6.6e)

La ventaja de introducir los apartamientos ξ es que estas ecuaciones (salvola segunda) se pueden integrar trivialmente en t para obtener los apartamien-tos δa expresados en términos de ξ

δρ = −∇ · (ρ0ξ) , (6.7a)

δp = −ξ ·∇p0 − γp0∇ · ξ, (6.7b)

δB = ∇× (ξ ×B0) , (6.7c)

δj =1

µ0∇× δB, (6.7d)

donde se usó que para ξ = 0 es δa = 0. Si ahora reemplazamos las últimastres expresiones en la segunda de las (6.6) obtenemos una ecuación lineal dela forma

ρ0∂2ξ

∂t2= F (ξ) , (6.8)

donde F (ξ) es el operador lineal y homogéneo que resulta del reemplazomencionado

F (ξ) = ∇ (ξ ·∇p0 + γp0∇ · ξ)+1

µ0(∇× δB)×B0 + 1

µ0(∇×B0)× δB. (6.9)

La ecuación (6.8) es la base del estudio de estabilidad de configuracionesde equilibrio en MHD ideal. Conceptualmente, si en alguna zona los apar-tamientos crecen monótonamente en el tiempo se dice que el equilibrio es


(linealmente) inestable, mientras que si en cada punto del plasma los apar-tamientos se mantienen pequeños en todo tiempo (típicamente oscilando) elequilibrio es estable.

6.3 Modos fluteConsideremos la configuración más sencilla posible, un plasma indefinidamen-te extenso, con presión de equilibrio uniforme y sin campo magnético, conuna interfase plasma-vacío plana, con campo magnético externo que mantie-ne el plasma en equilibrio. Tomemos el plano (y,z) en la interfase, con normalex hacia afuera del plasma, y el eje z en la dirección del campo magnéticode equilibrio B0 (x) ez. La condición de equilibrio es

p0 =B20 (x = 0)

2µ0, (6.10)

donde p0 es la presión uniforme del plasma, y B0 (x = 0) el valor del cam-po inmediatamente fuera de la interfase. El salto de campo magnético alcruzar la interfase (de cero a B0 (x = 0)) requiere una densidad de corrientesuperficial en el plasma.Por ser p0 uniforme y B0 = 0 en el plasma, la (6.8) se reduce a

ρ0∂2ξ

∂t2= γp0∇ (∇ · ξ) . (6.11)

Aprovechando que sólo hay variaciones de las magnitudes de equilibrio enla dirección x podemos estudiar ξ en sus modos de Fourier temporales yespaciales en y, z,

ξ (x, y, z, t) = bξ (x) exp i (kyy + kzz − ωt) ,

que nos permite escribir la ecuación (6.11) en componentes como

−ρ0ω2bξx = γp0d

dx

Ãdbξxdx

+ ikybξy + ikzbξz!,

−ρ0ω2bξy = γp0iky

Ãdbξxdx

+ ikybξy + ikzbξz!,

−ρ0ω2bξz = γp0ikz

Ãdbξxdx

+ ikybξy + ikzbξz!.


De las últimas dos se despejan fácilmente

bξy,z = iky,zc20

k2c20 − ω2dbξxdx, (6.12)

donde hemos introducido la velocidad del sonido en el plasma

c20 = γp0ρ0,

y hemos escritok2 = k2y + k

2z .

Al reemplazar (6.12) en la ecuación de bξx obtenemosk2c20 − ω2

c20bξx = d2bξx

dx2,

cuya solución es inmediata bξx = bξx0 exp (κx) , (6.13)

donde κ es la raiz con parte real positiva

κ =

pk2c20 − ω2

c0, (6.14)

elegida así para quedarnos con la solución que no diverge en x = −∞, comocorresponde a un apartamiento físicamente aceptable.Debemos ahora tener en cuenta la condición de contorno que el aparta-

miento satisface en la interfase plasma-vacío. La condición es que la suma depresiones termodinámica y magnética debe ser continua. Esto lo vimos en elcaso de equilibrio, pero debe ser cierto también cuando hay movimiento paraque la interfase no sufra aceleraciones infinitas. Así, denotando con i y e lasregiones interior y exterior al plasma, tenemos en un caso genérico·

p0 + δp+1

2µ0

¡B20 + δB ·B0

¢¸i

=1

2µ0

¡B20 + δB ·B0

¢e.

Debe tenerse cuidado porque esta igualdad se satisface sobre la superficieperturbada S; si queremos reducirla a una igualdad que se satisfaga sobre lasuperficie sin perturbar S0 basta desarrollar los términos de orden cero en elentorno de la superficie original,µ

p0 +B202µ0

¶S

'µp0 +

B202µ0

¶S0

+∂

∂n

µp0 +

B202µ0

¶ξ · n.


Como sobre S0 se satisfaceµp0 +

B202µ0

¶i

=

µB202µ0

¶e

,

tenemos finalmente (ya evaluado todo en S0)·δp +

1

µ0δB ·B0

¸i

=1

µ0(δB ·B0)e +

·1

2µ0

∂

∂n

¡B20e −B20i

¢− ∂p0i∂n

¸ξ · n.

En nuestro caso es p0i = p0 uniforme, B0i = 0 y B0e = B0 (x) ez, con lo quela condición de equilibrio en la superficie x = 0 es

δp|x=0 =·δBzB0µ0

+1

2µ0

∂B20∂x

ξx

¸x=0

,

o sea, usando la segunda de las (6.7),

−γp0 ∇ · ξ|x=0 =·δBzB0µ0

+1

2µ0

∂B20∂x

ξx

¸x=0

. (6.15)

Como

∇ · ξ =

Ãdbξxdx

+ ikybξy + ikzbξz!exp i (kyy + kzz − ωt)

= − ω2

k2c20 − ω2dbξxdx

exp i (kyy + kzz − ωt) ,

donde hemos usado la (6.12) para escribir la segunda línea, la (6.15) se escribe

γp0ω2

k2c20 − ω2dξxdx

¯̄̄̄x=0

=

·δBzB0µ0

+1

2µ0

∂B20∂x

ξx

¸x=0

. (6.16)

El punto molesto es que todavía debemos calcular la variación del campoexterno δB debida al campo de apartamientos ξ. Para esto debemos teneren cuenta que, en el sistema que se mueve con el plasma, el campo eléctricoes nulo (ley de Ohm con resistividad nula). Por continuidad de la compo-nente tangencial del campo eléctrico, también será nula esta componenteinmediatamente fuera de la interfase (en el mismo sistema de referencia)

(δEq + u×B0)x=0 = 0, (6.17)

donde el símbolo q significa paralelo a la interfase.


Como los campos eléctrico y magnético que nos interesa calcular son losdel vacío (sin cargas ni corrientes), es útil escribirlos en términos del potencialvectorA, con en el gauge más sencillo, compatible con la ausencia de fuentes,que es el de potencial eléctrostático nulo y ∇ ·A = 0, con lo que

δE = −∂A

∂t,

δB = ∇×A.

En términos de A la (6.17) se escribe (usando que u = ∂ξ/∂t)

∂Aq

∂t

¯̄̄̄x=0

=

µ∂ξ

∂t×B0

¶x=0

,

que integramos inmediatamente para obtener

Aq|x=0 = (ξ ×B0)x=0 , (6.18)

que es la condición de contorno satisfecha porA. Las ecuaciones que satisfaceA son la de no haber corrientes (se desprecian las de desplazamiento por serlas variaciones temporales “lentas”: ω ¿ kc)

∇2A = 0,y la del gauge elegido

∇ ·A = 0.Escribiendo en componentes la (6.18)

Ay|x=0 = − (ξxB0)x=0 = −bξx0 exp i (kyy + kzz − ωt)B0 (x = 0) ,(6.19)

Az|x=0 = 0,

vemos que las condiciones de contorno no introducen ninguna dependenciaen x, por lo que podemos escribir que

A = A0 exp i (kxx+ kyy + kzz − ωt) ,

con A0 = cte, por lo que

∇2A = −A ¡k2x + k2y + k2z¢ = 0,de donde k2x = −

¡k2y + k

2z

¢, o sea,

kx = iqk2y + k

2z = ik, (6.20)


donde se ha elegido el signo de la raiz para que A no diverja en x = +∞,como corresponde a un campo físicamente aceptable.Las mismas condiciones de contorno nos permiten elegir Az = 0, con lo

que∇ ·A = ikxAx + ikyAy = 0,

de donde

Ax = −kykxAy.

Tenemos entonces que

δBz = (∇×A) · ez = ikxAy − ikyAx= ikxAy +

ik2ykxAy = i

k2x + k2y

kxAy

= −k2z

kAy,

donde en la última línea se usó (6.20). Así, usando la (6.19),

δBz|x=0 = −k2zkAy|x=0 =

k2zkbξx0 exp i (kyy + kzz − ωt)B0 (x = 0) .

Esta expresión nos permite escribir la condición (6.16) como

γp0ω2

k2c20 − ω2dbξxdx

¯̄̄̄¯x=0

=1

2µ0

·∂B20∂x

+2k2zkB20

¸x=0

bξx0,que, usando las (6.13) y (6.14), reescribimos

γp0ω2

c0pk2c20 − ω2

bξx0 = 1

2µ0

·∂B20∂x

+2k2zkB20

¸x=0

bξx0.Tenemos así la relación de dispersión

ω2pk2c20 − ω2

=c0

2γp0µ0

·∂B20∂x

+2k2zkB20

¸x=0

.

De aquí es fácil deducir si una configuración es estable estudiando losposibles valores de ω. Llamemos

g0 ≡ c02γp0µ0

·∂B20∂x

+2k2zkB20

¸x=0

, (6.21)


con lo que

ω2 = g0

qk2c20 − ω2. (6.22)

Recordando que elegimos Re³p

k2c20 − ω2´> 0, por lo que si g0 > 0 resulta

Re (ω2) > 0. Si despejamos ahora ω2, resolviendo la cuadrática en ω2 queresulta de (6.22), obtenemos, con la condición Re (ω2) > 0,

2ω2 = −g20 +qg40 + 4k

2c20g20,

que nos dice inmediatamente que ω2 es real y positiva. De esta manera, losapartamientos ξ efectúan oscilaciones puras y la configuración es entoncesestable. La condición para esto fue g0 > 0, que vemos se cumple siempre si∂B20/∂x ≥ 0; esto es, si el campo no decrece hacia afuera del plasma.Podemos tener inestabilidad entonces sólo g0 < 0, que puede ocurrir

si ∂B20/∂x < 0. En particular, como el segundo término entre corchetesde (6.21) es definidio positivo, los modos más inestables serán aquellos conkz → 0; esto es, apartamientos que no varían a lo largo de las líneas de campomagnético. La forma particular de estos modos, largos surcos paralelos alcampo magnético, recuerdan el decorado de columnas griegas denominado“flute” en inglés, por lo que estos modos son conocidos con ese nombre. Paralos modos flute basta que ∂B20/∂x < 0 para que g0 < 0, con lo que (6.22) nosdice que Re (ω2) < 0, y la solución de la cuadrática es entonces en este caso(k = ky)

2ω2 = −g20 −qg40 + 4k

2yc20g20,

que nos dice además que ω2 es real, por lo que estos modos crecen sin os-cilar (ω no tiene parte real). Si escribimos que ω = iΓ, estos modos crecenen el tiempo como exp (Γt), con lo que Γ−1 es el tiempo característico decrecimiento de esta inestabilidad. Tenemos entonces

Γ2 =g202

³1 +

q1 + 4k2yc

20/g

20

´.

Vemos que,

4k2yc20

g20= 4γ2k2y

µ2µ0p0

∂B20/∂x|x=0

¶2= (2γkyL)

2 ,

donde L es la longitud típica de variación del campo, L ≡ B20/ |∂B20/∂x|x=0,y se usó la condición de equilibrio (6.10) para la última igualdad. De igualmanera, g0 = c0/ (γL), por lo que tenemos

Γ =c0γL

s1

2

·1 +

q1 + (2γkyL)

2

¸.


Los modos de crecimiento más lento (menor Γ) son claramente aquellospara los que kyL¿ 1, que tienen Γ−1 = γL/c0, por lo que el tiempo de creci-miento es el necesario para que el sonido (del plasma) recorra una distanciaγL. Teniendo en cuenta que c0 es aproximadamente la velocidad térmica delos iones, vemos entonces que son modos de crecimiento muy rápido.

6.4 Principio de energía de BernsteinLa solución de (6.8) no puede obtenerse en general, pero puede muchas ve-ces demostrarse la estabilidad de una configuración a partir de un principiodebido a Bernstein y otros (I. B. Bernstein et al, Proc. Roy. Soc. Lond.,A244, 17 (1958)).Si multiplicamos escalarmente (6.8) por ξ̇ = ∂ξ/∂t, e integramos sobre

todo el volumen del plasma, se obtiene

Zρ0ξ̇ ·

∂ξ̇

∂td3x =

Z1

2ρ0

∂¯̄̄ξ̇¯̄̄2

∂td3x =

Zξ̇ · F (ξ) d3x.

El punto importante es que el operador F (ξ) es hermítico; esto es, paracualesquiera ξ y η, Z

η ·F (ξ) d3x =Z

ξ · F (η) d3x.

Esto nos dice que, en particular,Zξ̇ · F (ξ) d3x =

Zξ · F

³ξ̇´d3x,

por lo queZξ̇ ·F (ξ) d3x =

1

2

Zξ̇ · F (ξ) d3x+ 1

2

Zξ · F

³ξ̇´d3x

=1

2

Z∂

∂t[ξ · F (ξ)] d3x.

Tenemos así que

Z1

2ρ0

∂¯̄̄ξ̇¯̄̄2

∂td3x =

1

2

Z∂

∂t[ξ ·F (ξ)] d3x.


Si integramos esta igualdad entre el instante inicial en que ξ = 0, y un uninstante genérico (pequeño) posterior, esZ

1

2ρ0

¯̄̄ξ̇¯̄̄2d3x =

1

2

Zξ · F (ξ) d3x.

Así, si definimos el potencial

WB ≡ −12

Zξ ·F (ξ) d3x,

vemos que la energía cinética del plasma puede ser no nula sólo si WB < 0para el campo de desplazamientos dado. Una dada distribución de equilibriono puede generar movimiento (aumentar su energía cinética) si en todo des-plazamiento pequeño posible es WB > 0. La condición de equilibrio establees entonces

WB > 0, (6.23)

para cualquier distribución de apartamientos ξ (x).Probar la hermiticidad de F puede hacerse por cálculo directo, pero es

muy laborioso, y la daremos por supuesta aquí (el interesado puede consultar:B. B. Kadomtsev, Reviews of Plasma Physics, Vol. 2, Consultants Bureau,New York, 1966).Una consecuencia importante de la hermiticidad de F es que si estudiamos

modos normales en el tiempo, ξ = bξ exp (iωt), la (6.8) se escribe−ρ0ω2bξ = F³bξ´ ,

que si multiplicamos por bξ∗, el complejo conjugado de bξ, e integramos entodo el volumen del plasma nos da

ω2 = −R bξ∗F³bξ´ d3xR

ρ0bξ∗bξd3x .

Como, por hermiticidad,Z bξ∗F³bξ´ d3x = Z bξF³bξ∗´ d3x,resulta inmediatamente que ω2 es real, por lo que ω es real o imaginariopuro; algo que ya vimos en el caso de modos flute, pero que resulta ser unapropiedad general del equilibrio estático MHD ideal (la hermiticidad de Fdeja de ser válida si el estado base tiene movimiento).


Para evaluar WB conviene efectuar algunas integraciones por partes; porejemplo, Z

ξ ·∇δpd3x =

Z∇ · (δpξ) d3x−

Zδp∇ · ξd3x

=

Iδpξ · ndS −

Zδp∇ · ξd3x.

También, usando notación indicial cartesiana y la densidad de Levi-Civitaεklm,

ξ · [(∇× δB)×B0] = ξkεklmεlij (∂iδBj)B0m,

con lo queZξ · [(∇× δB)×B0] d3x =

Z∂i (ξkεklmεlijδBjB0m) d

3x

−Z

εklmεlijδBj∂i (ξkB0m) d3x

=

I[(ξ ×B0)× δB] · ndS

−Z[∇× (ξ ×B0)] · δBd3x,

=

I[(ξ ×B0)× δB] · ndS −

ZδB · δBd3x,

donde en la última igualdad se usó que ∇ × (ξ ×B0) = δB. Si usamosademás la identidad vectorial

(ξ ×B0)× δB = (δB · ξ)B0 − (δB ·B0) ξ,y recordamos que la superficie de equilibrio es una superficie magnética, porlo que B0 · n = 0, tenemos que el término de superficie se simplica aI

[(ξ ×B0)× δB] · ndS = −I(δB ·B0) ξ · ndS.

Para el término restante sólo usamos conmutatividad del producto mixto

ξ · [(∇×B0)× δB] = δB · [ξ × (∇×B0)] .Con todo esto obtenemos

2WB =

Z (−δp∇ · ξ + |δB|

2

µ0− δB

µ0· [ξ × (∇×B0)]

)d3x

+

I µδp+

1

µ0δB ·B0

¶ξ · ndS. (6.24)


Los términos de superficie pueden ser tratados en forma similar a como setrabajó en el caso de modos normales para una interfase plasma-vacío. Aquí,sin embargo, consideraremos sólo el caso simple de perturbaciones tales queξ·n = 0 en la superficie (plasma limitado por paredes rígidas o perturbacionessólo internas), con lo que los términos de superficie se anulan.

6.4.1 Estabilidad del z-pinch

Como ejemplo importante de aplicación del principio de Bernstein conside-remos la estabilidad de un z-pinch difuso (el plasma se extiende indefinida-mente), por lo que ignoramos los términos de superficie en (6.24). Tenemosla configuración de equilibrio dada por p0 (r) y B0 = B0 (r) eθ, que satisfacen

dp0dr

= − B0µ0r

d

dr(rB0) . (6.25)

Consideremos la estabilidad de esta configuración frente a apartamientosindependientes de θ,

ξ = ξr (r, z) er + ξz (r, z) ez.

Calculamos entonces fácilmente

δp = −ξrdp0dr− γp0∇ · ξ,

δB = −·B0

∂ξz∂z

+∂

∂r(B0ξr)

¸eθ,

ξ × (∇×B0) = −ξr1

r

d

dr(rB0)

=µ0ξrB0

dp0dr,

donde

∇ · ξ = 1

r

∂

∂r(rξr) +

∂ξz∂z.

Usando esta última para reemplazar ∂ξz/∂z podemos escribir

δB = −·B0∇ · ξ + ξr

µdB0dr− B0r

¶¸eθ,

con lo que, de (6.24),

2WB =

Z ½µξrdp0dr+ γp0∇ · ξ

¶∇ · ξ+


1

µ0

·B0∇ · ξ + ξr

µdB0dr− B0r

¶¸2+

ξrB0

dp0dr

·B0∇ · ξ + ξr

µdB0dr− B0r

¶¸¾d3x. (6.26)

Dado que ξr y ξz son independientes, podemos tomar como nuevas varia-bles a ξr y∇ ·ξ, en las que el integrando de (6.26) es claramente una funcióncuadrática. Sabemos que la expresión cuadrática genérica

ax2 + by2 + 2cxy

es positiva para todo (x, y) sólo si a > 0, b > 0, y c2 < ab. De esta manera,(6.26) será definida positiva (y por lo tanto el equilibrio estable) si se satisface

γp0 +B20/µ0 > 0,

que obviamente vale siempre, y siµdB0dr− B0r

¶·1

µ0

µdB0dr− B0r

¶+1

B0

dp0dr

¸> 0,

junto con·B0µ0

µdB0dr− B0r

¶+dp0dr

¸2>

µγp0 +

B20µ0

¶1

B0

µdB0dr− B0r

¶×·B0µ0

µdB0dr− B0r

¶+dp0dr

¸.

Usando la relación de equilibrio (6.25) es

B0µ0

µdB0dr− B0r

¶+dp0dr

= −2B20

µ0r,

que es definido negativo, con lo que las condiciones de equilibrio son

dB0dr− B0r< 0,

y µγp0 +

B20µ0

¶1

B0

µdB0dr− B0r

¶< −2B

20

µ0r.

Usando nuevamente la relación (6.25) se deja como ejercicio mostrar queestas relaciones se escriben

−d ln p0d ln r

<4

β,

−d ln p0d ln r

<4γ

2 + γβ, (6.27)


dondeβ =

2µ0p0B20

, (6.28)

de las cuales la más restrictiva es claramente la segunda, que es por lo tantola condición buscada.Si consideramos ahora perturbaciones con dependencia en θ, podemos

descomponer éstas en modos de Fourier de la forma

ξ = ξr (r, z) cos (mθ) er + ξθ (r, z) sin (mθ) er

+ξz (r, z) cos (mθ) ez,

de los que m = 0 corresponde a las perturbaciones vistas antes. Dejamoscomo ejercicio calcular que resulta

|δB|2 =m2B20r2

sin2 (mθ)¡ξ2r + ξ2z

¢+

·B0

∂ξz∂z

+∂

∂r(B0ξr)

¸2cos2 (mθ)

y

δB · [ξ × (∇×B0)] = −mB0r2

d

dr(rB0) sin

2 (mθ) ξrξθ

+ξrr

d

dr(rB0)

·B0

∂ξz∂z

+∂

∂r(B0ξr)

¸cos2 (mθ) .

Al integrar estas expresiones en θ, los sin2 (mθ) y cos2 (mθ) dan simple-mente factores 1/2. Por otro lado, consideraremos modos incompresibles, quetienden a ser los más inestables, ya que para ellos está ausente el términoestabilizante γp0 (∇ · ξ)2 en WB. De esta manera, como

∇ · ξ =·1

r

∂

∂r(rξr) +

∂ξz∂z

+m

rξθ

¸cos (mθ) = 0,

podemos elegir para todo m 6= 0m

rξθ = −

·1

r

∂

∂r(rξr) +

∂ξz∂z

¸≡ −∇ · ξ⊥.

Usando esta expresión de ξθ, y la definición de∇·ξ⊥ para reemplazar ∂ξz/∂z,podemos escribir, como hicimos antes,

4µ0WB =

Z (m2B20r2

¡ξ2r + ξ2z

¢+

·B0∇ · ξ⊥ +

µdB0dr− B0r

¶ξr

¸2−1r

d

dr(rB0)

·2B0∇ · ξ⊥ +

µdB0dr− B0r

¶ξr

¸ξr

¾rdrdz.


Notando que el término proporcional a ξ2z es definido positivo y, por lo tanto,estabilizante, podemos estudiar los modos más fácilmente inestables comoaquellos con ξz → 0, aún con ∂ξz/∂z finito (esto equivale a kz → ∞). Deesta manera el integrando deWB resulta nuevamente una función cuadráticaen las variables ξr y ∇ · ξ⊥. Procediendo como antes, queda como ejerciciodemostrar que la condición de estabilidad para modos con m 6= 0 está dadapor (β es el usual (6.28))

−d ln p0d ln r

<m2

β. (6.29)

Si comparamos (6.27) y (6.29) y notamos que

4γ

2 + γβ<m2

β

para todos los modos m ≥ 2, vemos que si se satisface la condición de es-tabilidad para modos m = 0, entonces se satisface para los modos m ≥ 2.Cuando m = 1, sin embargo, la desigualdad no se cumple para β > 2/ (3γ)encuyo caso la condición de estabilidad puede satisfacerse para m = 0, pero nopara m = 1.Notemos que si la condición de estabilidad no se satisface en alguna re-

gión del plasma, siempre podemos elegir una perturbación apropiada que seanule en las demás regiones y sólo contribuya entonces con valores negativosa WB, con lo que se tiene entonces una fuente de energía para generar mo-vimiento, y la configuración de equilibrio es inestable (en la descripción demodos temporales es ω2 < 0).La inestabilidad resultante cuando no se satisface (6.27) es conocida como

inestabilidad de salchicha o de garganta (sausage o necking en inglés), ya quecorresponde a una perturbación con m = 0 y tiene por lo tanto forma deestrangulamiento axisimétrico del plasma. En la zona del estrangulamientola intensidad del campo magnético se incrementa (la misma corriente axialpasa por una sección de menor radio), y la presión magnética aumentadatiende a estrangular aún más el plasma.Si el z-pinch es estable para modos m = 0 (se satisface (6.27)) vimos que

puede ser inestable ante modos m = 1 si β > 2/ (3γ). Las perturbacionesen esta inestabilidad son de la forma ξr (r, z) cos θ, que dan a la columna deplasma la forma de comba (kink en inglés). En el lado de la comba cóncavohacia afuera del plasma las líneas de campo magnético se acercan, mientrasque en el lado convexo se separan. Resulta así un aumento de la presiónmagnética en la zona cóncava y una disminución en la convexa que tiendena aumentar la deformación.


Estos tipos de inestabilidades son denominados electromagnéticos y lafuente de energía para el movimiento es el campo magnético. El plasmatiende a estados de energía magnética menor.

6.5 Inestabilidad de intercambioSi consideramos un z-pinch de bajo β (β ¿ 1) vemos que los modos conm 6= 0 son estables, mientras que la condición de estabilidad de modosm = 0se reduce a

−d ln p0d ln r

< 2γ

que es entonces la única condición de estabilidad del z-pinch. En realidadésta es la particularización a z-pinchs de una condición más general, apli-cable cuando β ¿ 1. Cuando el β es pequeño, el plasma está fuertementeconstreñido por el campo magnético y su única posibilidad de movimiento esen formas que no afecten este campo (comprimir o curvar líneas de camporequiere entrega de energía por parte del plasma). Por otro lado, la condicióndel congelamiento de líneas implica limitaciones a este tipo de movimiento.Consideremos un tubo de sección muy pequeña δs cuyas paredes estén

formadas por líneas de campo. El hecho que ∇ · B = 0, junto a que Bes paralelo a las paredes del tubo nos dice que el flujo magnético φ = Bδsa través de cualquier sección del tubo es el mismo. Como este tubo estáformado por un plasma de conductividad muy alta sabemos también que elplasma contenido en el tubo se desplaza con él y, más aún, el flujo se conservaen el desplazamiento. La energía magnética contenida en el tubo es (l es lalongitud a lo largo del tubo)

UM =1

2µ0

ZB2dV =

1

2µ0

ZB2δsdl,

que, usando que B = φ/δs, con φ = cte, podemos escribir como

UM =φ2

2µ0

Zdl

δs,

donde al valor de la integral sólo contribuye la geometría del tubo.Supongamos ahora que intercambiamos de lugar dos tubos entre sí, que

designamos por 1 y 2. Como cada tubo conserva su φ, pero el lugar geométri-co de los tubos se intercambia, el cambio de energía magnética resultante será

2µ0∆UM = φ21

Z2

dl

δs+ φ22

Z1

dl

δs−µφ21

Z1

dl

δs+ φ22

Z2

dl

δs

¶,


donde indicamos en la integral sobre qué lugar geométrico se efectúa cadaintegral. Es claro entonces que el intercambio de dos tubos genéricos no dalugar a variaciones de energía magnética sólo si sus flujos magnéticos soniguales, φ1 = φ2. Con esta condición, veamos entonces en cuánto varía laenergía interna del plasma al realizar el intercambio. En la aproximación degas ideal, la energía interna del tubo es

UI =1

γ − 1ZpdV =

p

γ − 1Z

δsdl

=pV

γ − 1 ,

donde, como p es la presión de equilibrio, debe ser constante a lo largo delas líneas de campo y, por lo tanto, a lo largo del tubo. Como consideramosprocesos barotrópicos pV γ = cte, al cambiar el volumen del tubo la presióncambia a

p0 = pµV

V 0

¶γ

,

con lo que el cambio de energía interna debido al intercambio de tubos es

(γ − 1)∆UI = p1µV1V2

¶γ

V2 + p2

µV2V1

¶γ

V1 − (p1V1 + p2V2) .

El punto es que si ∆UI < 0, el plasma puede acceder, a través del inter-cambio, a un estado de energía menor (recordemos que la energía magnéticano varía), por lo que si el intercambio es posible (no está impedido por condi-ciones de contorno o alguna ley de conservación adicional), el plasma tenderáa este estado y el equilibrio no es estable. La condición de estabilidad es en-tonces ∆UI > 0, análoga al principio de energía de Bernstein para este casoespecial de ∆UM = 0.Investigamos entonces el efecto de intercambiar dos tubos muy cercanos

escribiendo

p2 = p1 + δp ≡ p+ δp,

V2 = V1 + δV ≡ V + δV.

Tenemos así µV + δV

V

¶γ

' 1 + γδV

V+1

2γ (γ − 1)

µδV

V

¶2,µ

V

V + δV

¶γ

' 1− γδV

V+1

2γ (γ + 1)

µδV

V

¶2,


con lo que resulta, al orden más bajo no nulo,

∆UI = γp(δV )2

V+ δpδV. (6.30)

Como γp (δV )2 /V > 0, una condición suficiente para la estabilidad es

δpδV > 0.

Como sabemos además que intercambiamos tubos con igual flujo magnéticoφ, podemos escribir

V1 =

Z1

δsdl = φ

Z1

dl

B,

V2 = φ

Z2

dl

B,

con lo que

δV = φ

µZ2

dl

B−Z1

dl

B

¶= φδ

Zdl

B.

La condición de estabilidad es entonces (φ fue definido como positivo)

δpδ

Zdl

B> 0.

Como la presión disminuye hacia afuera del plasma en un confinamientotípico, debemos tener que al movermos hacia afuera del plasma δ

Rdl/B <

0 para estabilidad, condición que equivale a que las líneas de campo seanconvexas hacia el plasma.Para el caso habitual que las líneas de campo sean cerradas podemos

mejorar el criterio considerando también el término γp (δV )2 /V en (6.30).En efecto, como los tubos finos considerados son ahora cerrados y finitos,tenemos el valor finito del volumen de cada uno de ellos

V = φ

Idl

B,

donde la integral es ahora sobre la curva cerrada. Por otro lado, los tubosestán claramente apoyados sobre superficies magnéticas, que son tambiénsuperficies de presión constante (estado de equilibrio), por lo que en generalpodemos escribir a la presión como una función de Σ ≡ H dl/B, variable queserá en general distinta sobre cada superficie magnética. De esta manera,


el δp entre dos superfices magnéticas cercanas se puede escribir (volvemos aponer los subíndices 0 del equilibrio)

δp =dp0dΣ

δΣ.

Por otro lado, el δV lo escribimos como δV = φδΣ, o tambiénδV

V=

δΣ

Σ,

con lo que (6.30) resulta

∆UI = γp0δΣδV

Σ+dp0dΣ

δΣδV

=

µγp0 + Σ

dp0dΣ

¶δΣδV

Σ,

como Σ es positiva, también es δΣδV > 0, con lo que tendremos estabilidadpara

γp0 + Σdp0dΣ

> 0. (6.31)

Por ejemplo, en el caso del z-pinch con corriente concentrada es

B0 =µ0I

2πr,

con lo que

Σ =

Idl

B0=

Irdθ

B=4π2r2

µ0I,

y

Σdp0dΣ

= Σdp0/dr

dΣ/dr=r

2

dp0dr.

La condición de estabilidad es entonces, de (6.31), el ya conocido

−d ln p0d ln r

< 2γ.

Tengamos sin embargo cuidado con la interpretación de esta desigualdad,que fue deducida con la condición que la corriente no es afectada por el inter-cambio de modos (el campo magnético permaneció fijo). Las inestabilidadesde salchicha y de comba del z-pinch son inestabilidades electromagnéticas,en las que el plasma tiende a un estado de energía magnética inferior a lade equilibrio. Los modos que consideramos en el intercambio, largos tubosen la dirección local del campo magnético, no son otros que los modos flu-te, ya conocidos, para el caso especial de β ¿ 1, cuyas inestabilidades songeneradas por la tendencia a expandirse del plasma hacia estados de energíainterna inferior; la fuente que alimenta la inestabilidad es entonces la energíainterna en este caso.


6.6 Inestabilidades tipo “ballooning”Vimos que los modos flute son estables en las zonas con curvatura de líneasde campo convexas hacia el plasma. En general, una misma línea de campotendrá regiones con curvatura favorable (para la estabilidad) y con curvaturadesfavorable. Es posible entonces que las zonas con curvatura desfavorableevolucionen hacia estados de menor energía interna, lo cual requiere necesa-riamente que la línea se doble, ya que en la zona favorable no evoluciona. Eldoblar la línea de campo requiere utilizar energía, por lo que si la energíainterna disponible no es suficiente la inestabilidad no se desarrollará. En ca-so que la energía sea suficiente tendremos una instabilidad que se denominaballooning, por la analogía con el inflarse como un globo del sector debilitadode una cámara de neumático.Para hacer algunas estimaciones comparemos la energía interna disponible

(por unidad de volumen), en la zona desfavorable, ante un apartamiento ξde un modo flute. De (6.30) y (6.7)

∆UIV

' δpδV

V' −ξ ·∇p0 (ξ ·∇ lnV ) ∼ −ξ2 |p00|

D,

donde D es la longitud característica de variación del volumen V = φHdl/B

del tubo.Por otro lado, al desplazar en ξ una longitud L de una línea de campo, en

forma perpendicular a ella, generamos una componente de campo adicionalδB, perpendicular al campoB0 original, que podemos estimar de la condición∇ ·B = 0 como

δB

ξ∼ B0L.

La energía (por unidad de volumen) que necesitamos para este desplazamien-to es entonces la energía magnética adicional

∆UMV

' (δB)2

2µ0∼ B202µ0

ξ2

L2.

La condición para el desarrollo de la inestabilidad ballooning, |∆UI | > ∆UM ,es entonces

|p00| >B202µ0

D

L2.

Un caso de interés práctico es el del tokamak, en el que las líneas decampo tienen forma helicoidal, arrolladas alrededor de superficies toroidales.Las regiones sobre el radio mayor interno del toro tienen curvatura favora-ble, mientras que para aquéllas sobre el radio mayor externo la curvatura es


desfavorable. Cada línea recorre q veces la circunferencia mayor del toro (deradio medio R) por cada recorrido completo a lo largo de la circunferenciamenor (de radio a). Tenemos así que la longitud de la zona desfavorable dela línea es del orden de L ∼ qR. Por otro lado, es claro que podemos estimar|p00| ∼ p0/a y D ∼ R. Con esto, la inestabilidad ballooning requiere

2µ0p0B20

= β & a

q2R,

que es una estimación del valor crítico de β por encima del cual se tieneinestabilidad ballooning. En un tokamak es siempre q > 1 (típicamente 1en el centro del plasma y creciente hacia afuera, hasta valores 3− 4). En lapráctica, los tokamaks son estables ante estas inestabilidades por debajo deβ ' 3− 6%.

6.7 Inestabilidades resistivas (modos “tearin-g”)

Un equilibrio que es estable desde el punto de vista de la MHD ideal puedeser inestable si se incluye el efecto de la resitividad. La razón es que elcongelamiento estricto de las líneas del campo magnético al plasma es uncondicionamiento muy fuerte, que impide a la configuración de equilibrioalcanzar ciertas configuraciones de menor energía, que serían accesibles si sepermitiese una pequeña difusividad. Esta difusividad permite que las líneascambien su topología a través del fenómeno de reconexión magnética, haciaun estado de energía magnética inferior a la del equilibrio.Como en la práctica la resistividad del plasma es muy pequeña, los efec-

tos difusivos sólo pueden ser importantes en zonas con fuertes gradientes delcampo magnético, lo que ocurre donde hay alta concentración de la densidadde corriente j. Imaginemos el caso límite de corriente uniforme fluyendo enuna capa delgada plana muy extensa. Podemos pensar esta distribución decorriente como compuesta por hilos muy finos paralelos y muy juntos, lle-vando corriente en el mismo sentido. Sabemos que estos hilos se atraen unosa otros y que pueden estar en equilibrio sólo si la fuerza neta sobre cada unoes nula. Si perturbamos la distribución de equilibrio (por ejemplo apartandoalgunos hilos y acercando otros) aparecerá una tendencia a juntarse de algu-nos grupos de hilos de corriente. Esta nueva distribución da lugar a líneas decampo cerradas alrededor de los agrupamientos de corriente, lo que no existíaen el equilibrio. En otras palabras, la topología de las líneas cambió; éstas se“rompieron” y dieron lugar a líneas cerradas separadas de las originales. Esta


imagen explica la denominación “tearing” de esta inestabilidad. (Tambiénpuede pensarse en el desgarramiento en jirones de la hoja de corriente).Para estudiar los aspectos de la inestabilidad tearing consideremos una

distribución bidimensional de campo magnético de equilibrio de la formaB0 = B0 (y) ex, con

B0 (y) = B∗ tanh³ya

´. (6.32)

Así, a es la longitud característica de variación de B0, y la distribución decorriente que da lugar a este campo es, por la ley de Ampère, j0 = j0 (y) ez,con

j0 (y) = − 1µ0

dB0dy

= − B∗µ0a cosh

2 (y/a), (6.33)

que muestra una distribución de corriente concentrada mayormente en unacapa de semiancho a alrededor del plano (x, z).La idea es ahora perturbar esta configuración y estudiar cómo evolucio-

nan las distintas magnitudes. Como nos interesa estudiar la inestabilidad deconfiguraciones que son muy estables de acuerdo a la MHD ideal, anticipa-mos movimientos del plasma lentos comparados con la velocidad de Alfvén,que es característica de las evoluciones MHD, con lo que podemos suponerla evolución incompresible. Por otro lado, consideramos perturbaciones enel plano donde está contenido el campo B0, el plano (x, y), con todo lo cualpodemos usar la ecuaciones de la MHD bidimensional e incompresible (ecua-ciones (3.34)-(3.36)). Escribimos así que

u = ∇ξ × ez,B = B0 +∇ψ × ez,

con ξ y ψ magnitudes pequeñas. Tenemos así que

j = j0 − 1

µ0∇2ψ.

Linealizando en las perturbaciones las ecuaciones (3.34) y (3.35) obtene-mos fácilmente

ρ∂

∂t∇2ξ =

B0µ0

∂

∂x∇2ψ + dj0

dy

∂ψ

∂x, (6.34)

∂ψ

∂t= B0

∂ξ

∂x+

η

µ0∇2ψ. (6.35)

Como la resistividad η es muy pequeña, sus efectos estarán restringidosa una capa muy estrecha, de semiancho δ, alrededor del plano y = 0, dondela corriente es máxima. De esta manera, podemos separar el problema enel correspondiente al interior de la capa, donde los efectos resistivos sonimportantes, y el exterior, donde puede despreciarse el término difusivo.


6.7.1 Problema interno

Como el estado de equilibrio depende sólo de y, estudiamos perturbaciones dela forma exp (ikx); por otro lado, anticipando una inestabilidad, proponemosuna evolución temporal de la forma exp (γt). Además, con el proviso kδ ¿1, las variaciones en la dirección y son mucho más importantes que en ladirección x, por lo que los laplacianos pueden aproximarse por sólo derivadasrespecto de y. Finalmente, dentro de la capa resistiva el campo magnéticode equilibrio puede aproximarse por (la prima indica derivada respecto de y)

B0 (y) = B00 (0) y,

y, por lo tanto,j00 = 0.

Con todo esto escribimos

ξ = ξ (y) exp (γt+ ikx) ,

con una expresión análoga para ψ, y las (6.34) y (6.35) se reducen a

γρξ00 = ikyB00 (0)µ0

ψ00, (6.36)

γψ = ikyB00 (0) ξ +η

µ0ψ00. (6.37)

Dentro de la capa resistiva ψ difunde eficientemente, por lo que antici-pamos un valor prácticamente constante, y podemos escribir así ψ ' ψ (0).Sin embargo, su derivada segunda debe ser grande para que el término difu-sivo sea importante. Notando que por la simetría del problema ψ (y) es unafunción par, podemos aproximar

ψ00 (0) ' ψ0 (δ)− ψ0 (−δ)δ

=2

δψ0 (δ) .

El valor ψ0 (δ) de la derivada de ψ en el borde de la capa resistiva debecalcularse resolviendo el problema externo. Por ahora conviene expresarlo através de la magnitud (con unidades de inversa de longitud)

K ≡ 2ψ0 (δ)

ψ (0)' 2ψ0 (δ)

ψ (δ)=2ψ0extψext

¯̄̄̄y=0

,

donde ψext es la solución del problema externo (para este problema el espesorde la capa puede tomarse igual a cero), y en términos de la cual es

ψ00 (0) =K

2δψ (0) .


Con esto, evaluando (6.37) en y = 0 tenemos

γψ (0) =η

µ0

K

2δψ (0) ,

lo que nos dice que tendremos inestabilidad (γ > 0) sólo si K > 0. Porotro lado, al evaluar (6.37) en y = δ debemos tener en cuenta que todos lostérminos son del mismo orden:

γψ (0) ∼ ikδB00 (0) ξ (δ) ∼η

µ0ψ00 (δ) ,

que nos dice que ψ00 (δ) ∼ ψ00 (0), y que

ξ (δ) ' − iγψ (0)kδB00 (0)

De estas ecuaciones obtenemos entonces

γ =η

µ0

K

2δ, (6.38)

ξ (δ) ' − iηK

2µ0kδ2B00 (0)

. (6.39)

Evaluando ahora (6.36) en y = δ tenemos

−γρξ (δ)δ2

' ikδB00 (0)

µ0

K

2δψ (0) ,

donde hemos aproximado ψ00 (δ) ' ψ00 (0), y ξ00 (δ) ' −ξ (δ) /δ2 (el signomenos es impuesto porque debe ser δ > 0). Usando (6.38) y (6.39) en estaecuación obtenemos finalmente

γ =η3/5K4/5 [kB00 (0)]

2/5

(2µ0)4/5 ρ1/5

, (6.40)

δ =η2/5K1/5ρ1/5

(2µ0)1/5 [kB00 (0)]

2/5. (6.41)

6.7.2 Problema externo

Para evaluar el problema externo conviene cuantificar mejor el tiempo carac-terístico de la inestabilidad tearing, γ−1. Notemos para esto que el tiempocaracterístico de difusión es

τ η =δ2

η/µ0,


mientras que el tiempo característico de evolución MHD es

τA =1

kvA=

1

kpB2∗/ (2µ0ρ)

.

De la (6.41) vemos que δ2/η ∼ η−1/5, por lo que en el límite de muy bajaresistividad el τη es muy largo, y consideramos entonces τ η À τA.Si escribimos que B00 (0) ' B∗/a, podemos expresar (6.40) como

γ = τ−3/5η τ−2/5A (Ka)4/5 (δ/a)6/5 .

Análogamente, podemos expresar (6.41) como

δ/a = Ka (τA/τη)2 , (6.42)

con lo que tenemos finalmente

γ−1 = (Ka)−2 (τ η/τA)3 τA À τA, (6.43)

paraKa ∼ 1. Con estos tiempos largos de evolución, la inercia es despreciableen el problema externo, por lo que podemos escribir (6.34) como

B0µ0

∂

∂x∇2ψext + j00

∂ψext∂x

= 0.

Haciendo entonces ψext (x, y) = ψext (y) exp (ikx), obtenemos la ecuación

ψ00ext −µk2 − µ0j

00

B0

¶ψext = 0.

Con las expresiones (6.32) y (6.33) esta ecuación se escribe

ψ00ext −µk2 − 2

a2 cosh2 (y/a)

¶ψext = 0,

que tiene la solución analítica (con la condición ψext (|y|→∞) = 0)

ψext = C exp (−k |y|)·1 +

tanh (y/a)

ka

¸,

con C una constante arbitraria.Podemos ahora evaluar K

K =2ψ0extψext

¯̄̄̄y=0

=2

a

µ1

ka− ka

¶.


Recordemos que la inestabilidad (γ > 0) requiere K > 0, lo que vemos queocurre para ka < 1; esto es, para longitudes de onda mayores que 2πa.Notemos que el problema interno es general ya que no depende de la for-

ma precisa del equilibrio (que entra en el problema sólo a través de B00 (0)).Aunque la solución obtenida aquí es aproximada, la solución numérica ri-gurosa proporciona un valor de γ que difiere sólo en un factor 0, 55 de laexpresión (6.40). Por otro lado, el problema externo depende del equilibrioestudiado, pero el resultado obtenido de K ∼ (ka2)

−1 para pequeños k esválido en perfiles de corriente bastante genéricos. Notemos finalmente quela solución obtenida deja de ser válida cuando τA . τη; esto es, por (6.42),cuando K & δ/a2, o sea, k . δ−1.Para los modos de onda largos tenemos entonces que la tasa de crecimiento

de la inestabilidad es

γ ' η3/5B00 (0)2/5

k2/5 (a2µ0)4/5 ρ1/5

∼ λ2/5.

Capítulo 7

Teoría cinética de plasmas

La descripción de fluido es suficiente para tratar la mayoría de los procesosmacroscópicos en plasma. Sin embargo, algunos fenómenos de interés depen-den de la forma detallada de la distribución de velocidades de las partículas.Cuando las colisiones son infrecuentes y por lo tanto inefectivas para max-wellianizar las funciones de distribución, es necesario determinar ésta paradescribir los fenómenos mencionados.

7.1 Aproximación de VlasovEsta aproximación consiste en despreciar el término de colisiones en la ecua-ción cinética general (3.2). Esto es razonable cuando se estudian procesosque evolucionan rápidamente en comparación con el tiempo de colisiones.Por ejemplo, en fenómenos oscilatorios de alta frecuencia y en inestabilida-des cinéticas, que son precisamente los temas que consideraremos. El sistemacompleto de ecuaciones de Vlasov es entonces

∂fα∂t

+ v · ∂fα∂x

+qαmα

(E+ v ×B) · ∂fα∂v

= 0,

∇ · E =1

ε0

Xα

qα

Zfαd

3v,

∇× E = −∂B

∂t,

∇ ·B = 0,

∇×B = µ0Xα

qα

Zvfαd

3v +1

c2∂E

∂t.

116

CAPÍTULO 7. TEORÍA CINÉTICA DE PLASMAS 117

De los posibles procesos descriptos por estas ecuaciones, nos limitaremosa los casos en los que el campo magnético no tiene ningún rol dinámico,como hemos visto es el caso de las oscilaciones de plasma y las oscilacio-nes iónico-acústicas. En este caso sólo es necesaria la ecuación de Poisson.Consideramos además problemas que dependen de una sola coordenada car-tesiana, que llamamos x, y consideramos una sola especie de iones de cargaZe. Así, podemos escribir la ecuación cinética para cada especie como

∂fα∂t

+ vx · ∂fα∂x

+qαmα

Ex · ∂fα∂vx

= 0,

la que podemos integrar respecto de las velocidades vy y vz, y definir lasfunciones de distribución unidimensionales

Fα (x, vx, t) =

Zfα (x,v, t) dvydvz.

El sistema a estudiar es entonces

∂Fe∂t

+ vx∂Fe∂x− e

meEx

∂Fe∂vx

= 0,

∂Fi∂t

+ vx∂Fi∂x

+Ze

miEx

∂Fi∂vx

= 0,

∂Ex∂x

=e

ε0

·Z

ZFidvx −

ZFedvx

¸.

Los fenómenos descriptos por este sistema simplificado son muy comple-jos, por lo que estudiaremos la evolución de pequeñas perturbaciones a unestado base estacionario y espacialmente homogéneo, definido por las funcio-nes de distribución F0e,i (vx), que satisfacen la condición de neutralidad

Z

ZF0idvx =

ZF0edvx,

a la vez que el campo eléctrico de orden cero es nulo. Para simplificar lanotación no explicitaremos más los subíndices espaciales y escribiremos sim-plemente E por Ex, y v por vx.Si escribimos entonces

Fe,i (x, v, t) = F0e,i (v) + F1e,i (x, v, t) ,

tenemos en cuenta la condición de neutralidad del estado base, y desprecia-mos términos de orden dos en las perturbaciones (el campo eléctrico es de


orden uno), obtenemos el sistema linealizado

∂F1e∂t

+ v∂F1e∂x− e

meEdF0edv

= 0,

∂F1i∂t

+ v∂F1i∂x

+Ze

miEdF0idv

= 0,

∂E

∂x=e

ε0

·Z

ZF1idv −

ZF1edv

¸.

Como estudiaremos problemas sin contornos, y no existen factores ex-plícitos dependientes de x, conviene estudiar los modos de Fourier espacialesde E y de F1e,i. Escribimos así

eE (k, t) =

Z +∞

−∞E (x, t) exp (−ikx) dx,

eF1e,i (k, v, t) =

Z +∞

−∞F1e,i (x, v, t) exp (−ikx) dx.

Podríamos en principio estudiar también los modos de Fourier temporales,pero veremos que es más correcto tratar la parte temporal con el método dela transformada de Laplace. Definimos entonces

E (k, s) =

Z +∞

0

eE (k, t) exp (−st) dt,Fe,i (k, v, s) =

Z +∞

0

eF1e,i (k, v, t) exp (−st) dt.Teniendo en cuenta queZ +∞

0

∂

∂teF1e,i (k, v, t) exp (−st) dt = − eF1e,i (k, v, 0) + sFe,i (k, v, s) ,

se obtiene fácilmente el sistema transformado Fourier y Laplace

(s + ikv)Fe =eEme

dF0edv

+ eF1e (k, v, 0) ,(s + ikv)Fi = −ZeE

mi

dF0idv

+ eF1i (k, v, 0) ,ikE =

e

ε0

·Z

Z +∞

−∞Fidv −

Z +∞

−∞Fedv

¸.


Las dos primeras nos dan inmediatamente Fe,i en función de E

Fe (k, v, s) =

·eEme

dF0edv

+ eF1e (k, v, 0)¸ 1

s + ikv,

Fi (k, v, s) =

·−ZeEmi

dF0idv

+ eF1i (k, v, 0)¸ 1

s + ikv,

que al reemplazarse en la tercera nos da, tras unas operaciones sencillas,

D (k, s) E (k, s) = N (k, s) , (7.1)

donde

N (k, s) =ie

kε0

"Z +∞

−∞

eF1e (k, v, 0)s + ikv

dv − ZZ +∞

−∞

eF1i (k, v, 0)s + ikv

dv

#, (7.2)

D (k, s) = 1− ie2

kε0me

Z +∞

−∞

dF0e/dv

s + ikvdv − iZ2e2

kε0mi

Z +∞

−∞

dF0i/dv

s + ikvdv.(7.3)

Como nos interesa determinar la evolución temporal de un modo espacialde Fourier dado, invertimos sólamente la transformada de Laplace. Así, porejemplo, eE (k, t) = 1

2πi

Z σ+i∞

σ−i∞E (k, s) exp (st) ds,

donde σ es un número real tal que el camino de integración deja a su izquierdatodas las singularidades de E (k, s). En términos de los puntos singulares spde E (k, s) podemos escribir la fórmula de inversión como

eE (k, t) =Xsp

residuo [E (k, s) , sp] exp (spt) ,

que nos dice que los puntos singulares con Re (sp) > 0 corresponden a ines-tabilidades, y aquellos con Re (sp) < 0 a modos amortiguados.Vemos de (7.1) que, si escribimos E (k, s) = N (k, s) /D (k, s), los puntos

singulares de E (k, s) corresponden a puntos singulares de N (k, s) y a cerosde D (k, s). Las integrales en la variable v que definen a estas funciones en(7.2) y (7.3) deben considerarse como correspondientes al plano de valorescomplejos de v, a lo largo de una curva cerrada C que incluye el eje real(recorrido en el sentido indicado), que se cierra a través de un arco al infinitoen el semiplano Im (v) > 0 (que tiene contribución nula para las funciones dedistribución aceptables). Es claro entonces que para Re (s) > 0 los puntossingulares de los integrandos en (7.2) y (7.3), correspondientes a v = is/k, se


encuentran en el semiplano superior; esto es, dentro de la curva de integra-ción, y por lo tanto no dan lugar a singularidades de la integral (se entiendeque esto vale para funciones de distribución razonables, que son los numera-dores de los integrandos). Así, N (k, s) y D (k, s) son funciones enteras (sinsingularidades) en Re (s) > 0.Por lo dicho, N (k, s) sólo puede tener singularidades en Re (s) < 0, que

además sólo pueden tener valores finitos (no nulos) debido a que, al ser enteraen Re (s) > 0, siempre puede prolongarse analíticamente la función N (k, s)al menos en una banda de valores finitos de Re (s) < 0. En términos dela evolución temporal de eE (k, t) esto se translada en la posible apariciónde modos estrictamente amortiguados, nunca de inestabilidades, y debidosademás a un particular perfil inicial de la perturbación, eF1e,i (k, v, 0), y no aefectos colectivos del plasma, que están representados en la función D (k, s).Por esta razón dejamos de lado completamente las posibles singularidades deN (k, s) y estudiamos entonces sólo los ceros de D (k, s).Como dijimos arriba, para Re (s) > 0 las singularidades en los integran-

dos en D (k, s) están dentro de la curva de integración, y dan por lo tantolugar a valores finitos que podemos calcular fácilmente por residuos. El com-portamiento interesante aparece cuando Re (s) = 0 (que corresponde a unmodo puro de Fourier con ω = is) y cuando Re (s) < 0. En estos casos lacontinuación analítica de D (k, s) requiere deformar las curvas de integraciónen v para que incluyan en su interior el punto singular v = is/k.En el caso Re (s) = 0 la curva se deforma ligeramente incluyendo la

singularidad sobre el eje real de v, al saltearla con una semicircunferencia deradio infinitesimal. Esto permite calcular inmediatamenteZ

C

dF0e,i/dv

s + ikvdv = Pr

Z +∞

−∞

dF0e,i/dv

s + ikvdv +

π

k

dF0e,idv

¯̄̄̄v=is/k

, (7.4)

donde Pr representa el valor principal de la integral.Notemos que si hubiésemos atacado el problema usando modos de Fou-

rier temporales de entrada, que formalmente se obtienen de lo hecho aquítomando eF1e,i (k, v, 0) = 0 y s = −iω, habríamos obtenido la ecuación parael campo eléctrico (el subíndice V corresponde a Vlasov)

DV (k,ω) E (k,ω) = 0, (7.5)

con

DV (k,ω) = 1− e2

k2ε0me

Z +∞

−∞

dF0e/dv

v − ω/kdv− Z2e2

k2ε0mi

Z +∞

−∞

dF0i/dv

v − ω/kdv. (7.6)

La condición de existencia de perturbación; esto es, E (k,ω) 6= 0, conduce ala relación de dispersión ω (k) dada en forma implícita por DV (k,ω) = 0.


El problema es que, siendo ω un número real, no tendríamos una prescrip-ción correcta para tratar las singularidades de los integrandos en v = ω/k.Vlasov trató el problema originalmente usando modos de Fourier y postulóque la singularidad se salvaba tomando el valor principal de las integrales,con lo que perdió el segundo témino en (7.4). Fue Landau quien luego realizóel tratamiento correcto de Laplace, por lo que los efectos asociados al nuevotérmino llevan su nombre.Es importante destacar que, como vimos, para Re (s) > 0 el circuito

original de integración C no necesita ser deformado, por lo que el tratamientode Laplace coincide con el de Fourier más la suposición de una frecuenciacompleja ω = is, con parte imaginaria positiva. Tenemos entonces que lasinestabilidades pueden estudiarse con el formalismo más simple de Fourier,suponiendo simplemente frecuencias complejas.

7.2 Ondas de plasma y amortiguamiento deLandau

Un problema importante que puede ser abordado con lo visto es el de osci-laciones de plasma. La alta frecuencia asociada a estas oscilaciones permitedespreciar completamente el efecto de los iones, considerando que debido ala gran inercia de éstos su función de distribución no es alterada por las per-turbaciones del campo eléctrico: F1i = 0. Estudiamos además oscilacionesprácticamente puras (Re (s) ' 0), con lo que conviene usar la notación másfamiliar s = −iω, con lo que la expresión (7.3) se escribe en este caso, usandoademás (7.4),

D (k,ω) = 1 +e2

kε0me

"Pr

Z +∞

−∞

dF0e/dv

ω − kv dv −iπ

k

dF0edv

¯̄̄̄v=ω/k

#. (7.7)

Notemos que ωpe ' vTe/λD, con lo que, como esperamos oscilaciones conω ' ωpe,

ω

k' vTekλD

À vTe,

para longitudes de onda mucho mayores que la longitud de Debye. De estamanera, como la contribución principal al numerador del integrando es parav ∼ vTe, podemos aproximar

1

ω − kv =1

ω

"1 +

kv

ω+

µkv

ω

¶2+ ...

#,


y la integral se realiza fácilmente, dandoZ +∞

−∞

dF0e/dv

ω − kv dv = −n0eω

"k

ω+ 2

µk

ω

¶2hvi0 + 3

µk

ω

¶3 v2®0+ ...

#,

donde h...i0 simboliza el promedio con la función de distribución impertur-bada.Para el caso de no tener corriente en el equilibrio es hvi0 = 0, mientras

que hv2i0 = v2Te, con lo que obtenemos

D (k,ω) = 1− e2n0ekε0meω

"k

ω+ 3

µk

ω

¶3v2Te + ...+

iπω

kn0e

dF0e,idv

¯̄̄̄v=ω/k

#

= 1− ω2peω2− 3ω

2pek

2v2Teω4

− iπω2pe

k2n0e

dF0edv

¯̄̄̄v=ω/k

, (7.8)

donde en la segunda línea hemos despreciado los términos de orden superioren k2v2Te/ω

2.Podemos resolver en forma aproximada la relación de dispersiónD (k,ω) =

0, proponiendo que la frecuencia tiene una pequeña componente imaginaria:ω = ωR + iγ, con |γ| ¿ ωR. Suponiendo también pequeño el último términode (7.8), tenemos al separar parte real e imaginaria

ω2R = ω2pe + 3k2v2Te,

γ =πω3pe2n0ek2

dF0edv

¯̄̄̄v=ωpe/k

. (7.9)

Notemos que hemos obtenido la relación correcta de ondas de plasma, in-cluyendo efectos térmicos, más un efecto nuevo que, para dF0e/dv < 0 (quecorresponde a funciones de distribución en equilibrio), es el de un amor-tiguamiento de la oscilación. El límite de amortiguamiento muy pequeñocorresponde a Re (s) → 0−.Este amortiguamiento es denominado de Landau y constituye un efecto

notable, debido a que no hay procesos disipativos incluidos en el formalismo.La razón física es que los electrones que se mueven con velocidad v ' ωpe/kestán prácticamente en fase con la oscilación de plasma, por lo que estánsometidos a un campo eléctrico que es aproximadamente constante en su sis-tema de referencia. De esta manera, los electrones ligeramente más lentos queωpe/k son acelerados, ganando energía a expensas de la oscilación, mientrasque los que son ligeramente más rápidos son frenados, entregando energía a laonda (como E puede ser negativo o positivo tenemos tanto aceleración como


frenado para ambos tipos de partículas; sin embargo, el frenado de partículascon v . ωpe/k las “saca” de resonancia evitando frenado adicional, mientrasque la aceleración las “pone” en resonancia, aumentando el efecto de estaaceleración; como lo contrario ocurre para las partículas con v & ωpe/k, elefecto neto es el mencionado). Si dF0e/dv < 0 hay más electrones que gananenergía que electrones que ceden energía, con lo que la onda se amortigua.

7.3 Amortiguamiento de Landau en ondas iónico-acústicas

Para estas oscilaciones de baja frecuencia debemos incluir la dinámica iónica,con lo que tenemos, en lugar de (7.7),

D (k,ω) = 1 +e2

kε0me

"Pr

Z +∞

−∞

dF0e/dv

ω − kv dv −iπ

k

dF0edv

¯̄̄̄v=ω/k

#

+Z2e2

kε0mi

"Pr

Z +∞

−∞

dF0i/dv

ω − kv dv −iπ

k

dF0idv

¯̄̄̄v=ω/k

#.

Las frecuencias que esperamos ahora cumplen con el ordenamiento

kvTi ¿ ω ¿ kvTe,

con lo que la integral del término iónico podemos aproximarla como hicimosarriba para el caso electrónico (nos quedamos con la aproximación más baja)Z +∞

−∞

dF0i/dv

ω − kv dv ' −n0ik

ω2.

Para la integral del término electrónico aproximamos

1

ω − kv = −1

kv

·1 +

ω

kv+³ ω

kv

´2+ ...

¸,

y quedándonos con sólo el primer término tenemosZ +∞

−∞

dF0e/dv

ω − kv dv '1

k

Z +∞

−∞

F0ev2dv ' n0e

kv2Te,

con todo lo cual resulta

D (k,ω) = 1 +e2n0e

k2ε0mev2Te− Z

2e2n0iε0miω2


− iπe2

k2ε0

µ1

me

dF0edv

+Z2

mi

dF0idv

¶v=ω/k

= 1 +ω2pek2v2Te

− ω2piω2− iπk2

µω2pen0e

dF0edv

+ω2pin0i

dF0idv

¶v=ω/k

.

Si despeciamos completamente el término de Landau obtenemos, deD (k,ω) =0, despreciando además el uno frente al segundo término,

ω2 =ω2piω2pek2v2Te = k

2c2s,

la ya conocida relación de dispersión para ondas iónico acústicas. Si propo-nemos entonces ω = kcs + iγ, con γ pequeño, obtenemos fácilmente

γ =πkc3s2ω2pi

µω2pen0e

dF0edv

+ω2pin0i

dF0idv

¶v=cs

. (7.10)

Evaluemos esta expresión para distribuciones maxwellianas (vTe,i =pTe,i/me,i)

F0e,i =n0e,i

vTe,i√2πexp

Ã− v2

2v2Te,i

!.

El cálculo es sencillo, y conviene expresar el resultado como

γ = −12

rπ

2kcs

"µZme

mi

¶1/2+

µZTeTi

¶3/2exp

µ−ZTe2Ti

¶#.

Vemos que el amortiguamiento debido a los electrones (el primer términoentre corchetes) es efectivamente pequeño (γ ¿ kcs), pero el debido a losiones es pequeño sólo si Te À Ti (a primera vista lo mismo valdría en ellímite opuesto, pero recuérdese que se usó que kvTi ¿ ω ¿ kvTe). Obtene-mos entonces el resultado que las ondas iónico-acústicas sólo pueden existirsin amortiguamineto apreciable en plasmas con Te À Ti. Notemos que elamortiguamiento debido a los iones es pequeño en este caso porque hay po-cas partículas en fase con el campo eléctrico de la onda. El amortiguamientodebido a los electrones es pequeño en general por una razón muy diferente;hay muchos electrones en fase con el campo eléctrico porque vTe À cs, pero,y debido a esto mismo, dF0e/dv es pequeño en v = cs, con lo que la diferenciaentre el número de electrones que extraen energía y el de los que dan energíaa la onda es pequeña.


7.4 Inestabilidad de dos hacesLas inestabilidades MHD que se estudiaron en el capítulo anterior se des-arrollan en tiempos relativamente largos respecto del tiempo de colisiones,de manera que las funciones de distribución de las partículas del plasma sonaproximadamente maxwellianas. Existe otro tipo de inestabilidades, de rápi-da evolución, relacionado con el apartamiento de la función de distribuciónrespecto de la maxwelliana. Un ejemplo de interés es la inestabilidad de doshaces, en la que la función de distribución de orden cero corresponde a doshaces fríos de electrones interpenetrantes, que se mueven con velocidades v0y −v0, respectivamente, en la dirección x, con un fondo neutralizador deiones quietos. Estas aproximaciones nos permiten un tratamiento analíticosencillo.Sabemos que al estudiar una inestabilidad (Re (s) > 0 en el formalismo de

Laplace) podemos usar el formalismo más sencillo de Fourier, interpretandoa la frecuencia como compleja con Im (ω) > 0. De esta manera, usamos larelación de Vlasov (7.6), sin contribución de los iones,

DV (k,ω) = 1− e2

k2ε0me

Z +∞

−∞

dF0e/dv

v − ω/kdv,

donde la función de distribución de los haces es (usando deltas de Dirac)

F0e =n0e2[δ (v − v0) + δ (v + v0)] .

La integración es entonces trivial (hecha por partes) y resulta

DV (k,ω) = 1−ω2pe2

·1

(ω + kv0)2 +

1

(ω − kv0)2¸.

La relación de dispersión DV (k,ω) = 0 es claramente un polinomio en ω degrado cuatro. Notando que para ω → ±∞ es DV (k,ω) = 1, mientras quepara ω → ±kv0 es DV (k,ω) → −∞, nos dice que la curva DV (k,ω) (parak fijo), función de ω, cruza el eje DV = 0 al menos dos veces en |ω| > kv0,con lo que al menos dos raices son reales. Las otras dos raices serán entoncesreales o complejas conjugadas una de otra. Tendremos entonces inestabilidadsi las raices restantes son complejas. Como

∂

∂ωDV (k,ω) = ω2pe

·1

(ω + kv0)3 +

1

(ω − kv0)3¸

sólo se anula en ω = 0, el máximo de DV (k,ω) se encuentra allí. Para queexistan raices complejas este máximo debe ser negativo, de manera que en


|ω| < kv0 es DV (k,ω) < 0 y la curva sólo cruza el eje en los puntos vistoscon |ω| > kv0. Así, la condición de inestabilidad es DV (k,ω = 0) < 0, o seakv0 < ωpe. Tenemos así inestabilidad para ondas con

λ >2πv0ωpe

.

Las perturbaciones (del estado base de dos haces interpenetrantes) que sa-tisfacen esta condición generan acumulaciones de carga que aumentan con eltiempo dando lugar a un rápido rompimiento de la configuración.

7.5 Amortiguamiento inverso de Landau

7.5.1 Inestabilidad de ondas de plasma

La razón física del amortiguamiento de Landau nos hace esperar que si en elentorno de la velocidad de fase de una oscilación electrostática existen máspartículas rápidas que lentas, la onda crecerá a expensas de la energía cinéticade estas partículas. Esto requiere que en v = ω/k la derivada de la funciónde distribución sea positiva. En el caso de ondas de plasma podemos ver estoen la expresión (7.9), obtenida en este caso como el límite de Re (s)→ 0+,

γ =πω3pe2n0ek2

dF0edv

¯̄̄̄v=ωpe/k

. (7.11)

La condición dF0e/dv|v=ωpe/k > 0 implica que la función de distribuciónpresenta una protuberancia en v ' ωpe/k, que se denomina “bump on thetail” (la expresión castellana no es muy feliz). Siempre que exista esta formade función de distribución se tendrá inestabilidad de las oscilaciones conlongitud de onda apropiada para satisfacer la condición dF0e/dv|v=ωpe/k > 0.La inestabilidad de dos haces es un caso particular (y extremo) de distri-

bución con “bump on the tail” (“tails” en este caso), que fue estudiada sinla restricción γ → 0 (necesaria para deducir la expresión (7.11)). En con-traposición, entendemos por amortiguamiento inverso de Landau el efectoasociado a perturbaciones pequeñas de la función de distribución de equili-brio, típicamente maxwelliana.

7.5.2 Inestabilidad iónico-acústica

Como caso importante de amortiguamiento inverso de Landau veamos elde un plasma que transporta corriente. Consideremos entonces un plasma


maxwelliano en el que los electrones tienen una velocidad de deriva u, quetomamos en la dirección x, respecto de los iones que tienen velocidad medianula. Así,

F0i =n0i

vTi√2πexp

µ− v2

2v2Ti

¶,

F0e =n0e

vTe√2πexp

"−(v − u)

2

2v2Te

#.

Consideramos además que u¿ vTe, con lo que

F0e ' n0e

vTe√2πexp

µ− v2

2v2Te+vu

v2Te

¶'

µ1 +

vu

v2Te

¶n0e

vTe√2πexp

µ− v2

2v2Te

¶.

Con esto, la expresión (7.10) nos permite obtener inmediatamente para osci-laciones iónico-acústicas

γ =1

2

rπ

2kcs

"µZme

mi

¶1/2µu

cs− 1¶−µZTeTi

¶3/2exp

µ−ZTe2Ti

¶#,

con lo que tendremos inestabilidad (γ > 0) si

u

cs> 1 +

µmi

Zme

¶1/2µZTeTi

¶3/2exp

µ−ZTe2Ti

¶,

que en el caso de interés Te À Ti se reduce a u/cs > 1. Así, una corrienterelativamente intensa en el plasma, de manera que la velocidad de derivaelectrónica sea suficientemente alta, da lugar a inestabilidad de ondas iónico-acústicas.

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